Unidad 2 sistemas de ecuaciones no lineales correcciones 2

Ecuaciones diferenciales II Unidad 2. Sistemas de ecuaciones no lineales

Licenciatura en Matemáticas

10° cuatrimestre

Ecuaciones diferenciales II

Unidad 2. Sistemas de ecuaciones no lineales

Clave: 050941038

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Ecuaciones diferenciales II Unidad 2. Sistemas de ecuaciones no lineales

Índice Unidad 2. Sistemas de ecuaciones no lineales....................................................................... 3 Presentación de la unidad ........................................................................................................ 3 Propósitos de la unidad ........................................................................................................... 3 Competencia específica ........................................................................................................... 3 2.1. Linealización ...................................................................................................................... 3 Actividad 1. ¿Qué es un sistema de ecuaciones diferenciales no lineal? ............................ 4 2.1.1. Linealización alrededor de los puntos críticos ......................................................... 5 2.1.2. Modelo de especies en competencia ......................................................................... 9 Actividad 2. Linealización ...................................................................................................... 11 2.2. Métodos cualitativos .................................................................................................... 12 2.2.1. Análisis de los puntos críticos ................................................................................. 15 2.2.2. Ceróclinas y su clasificación .................................................................................... 18 Actividad 3. Análisis cualitativo ............................................................................................. 21 Actividad 4. Aplicaciones de sistemas no lineales .............................................................. 23 Evidencia de aprendizaje: sistemas no lineales ................................................................... 24 Autoevaluación ....................................................................................................................... 24 Autorreflexiones .................................................................................................................... 25 Cierre de la unidad ................................................................................................................ 25 Para saber más ..................................................................................................................... 25 Referencias bibliográficas ..................................................................................................... 26

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Ecuaciones diferenciales II Unidad 2. Sistemas de ecuaciones no lineales Unidad 2. Sistemas de ecuaciones no lineales Presentación de la unidad La unidad 2 contempla dos subtemas respecto a los sistemas de ecuaciones no lineales: linealización de un sistema y el modelo de especies en competencia.

El primer tema muestra la definición y propiedades de los sistemas de ecuaciones no lineales, así como el teorema de la linealización.

El segundo corresponde a un problema de especies en competencia que es modelado por medio de un sistema no lineal.

A lo largo de la unidad se presentarán en fondo de color las definiciones, teoremas, propiedades y ejemplos, y se resaltarán en letra negrita los conceptos importantes.

Propósitos de la unidad Al término de esta unidad lograrás:  

Aplicar las propiedades y teoremas de los sistemas de ecuaciones no lineales para hallar una aproximación lineal.

Resolver un problema de la vida real por medio del modelo de especies en competencia.

Competencia específica Utilizar la definición y propiedades para analizar sistemas de ecuaciones diferenciales no lineales a partir del teorema de linealización y métodos cualitativos.

2.1. Linealización En esta unidad se definen los sistemas de ecuaciones no lineales y una forma de analizar su solución, delimitando conceptos y teoremas necesarios. Debes tener presente el análisis y solución de sistemas lineales vistos en la unidad 1, también los conceptos de ecuación diferencial no lineal, linealización de una ecuación diferencial no lineal, reducción de orden de una ecuación diferencial, derivadas parciales y, en general, conocimientos sólidos de ecuaciones diferenciales 1 y cálculo diferencial.

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Ecuaciones diferenciales II Unidad 2. Sistemas de ecuaciones no lineales Trabajarás con sistemas de ecuaciones diferenciales no lineales autónomos y con coeficientes constantes. En general, las definiciones, teoremas y resultados funcionan para n ecuaciones diferenciales aunque, por simplicidad, se utilizarán ejemplos de sistemas de dos ecuaciones.

Definición: un sistema no lineal es el que está formado por ecuaciones no lineales y que no cumplen con el principio de linearidad (o principio de superposición):

Ejemplo ¿Por qué el siguiente es un sistema de ecuaciones diferenciales no lineales?

Solución: Es un sistema no lineal porque las ecuaciones del sistema tienen términos no lineales; la primera ecuación tiene el término y la segunda Propiedades y características de los sistemas no lineales  Tienen al menos un término no lineal en las ecuaciones que los conforman.  No cumplen con el principio de linearidad o superposición.  Los sistemas no lineales pueden tener varios puntos de equilibrio.  No siempre es posible hallar una solución explícita.

Actividad 1. ¿Qué es un sistema de ecuaciones diferenciales no lineales?

Por medio de las definiciones y propiedades de sistemas de ecuaciones diferenciales no lineales podrás identificar sus principales características.

Instrucciones 1. Ingresa al foro y responde las siguientes preguntas:   

Define con tus propias palabras qué es un sistema no lineal. ¿Qué es un sistema no lineal autónomo? ¿Por qué el siguiente sistema es un sistema no lineal?



¿Cuántos puntos críticos puede tener un sistema no lineal?

2. Revisa las conclusiones de tres de tus compañeros(as). Acepta o rechaza sus

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Ecuaciones diferenciales II Unidad 2. Sistemas de ecuaciones no lineales respuestas.

Consulta la rúbrica general de la participación en foros que se encuentra en la sección Material de apoyo.

2.1.1. Linealización alrededor de los puntos críticos Es posible encontrar soluciones exactas a los sistemas lineales y, por medio de un sencillo análisis geométrico, conocer el comportamiento de sus soluciones.

De lo anterior se desprende la importancia de obtener aproximaciones lineales de sistemas no lineales para conocer la forma de sus soluciones; cabe mencionar que esta propiedad sólo la poseen algunos sistemas que presentan ciertas perturbaciones alrededor de sus puntos críticos.

A continuación verás algunas definiciones que te permitirán entender la linealización.

Definición: Puntos críticos y soluciones equilibrio Dado el sistema no lineal ⁄ ⁄ Se llama punto crítico o de equilibrio del sistema a un punto que cumple con y . Por consiguiente, es llamada solución de equilibrio.

Observación: A los puntos críticos también se les llama puntos de equilibrio, puntos fijos o puntos estacionarios.

- Los puntos de equilibrio son soluciones constantes del sistema.

Procedimiento para calcular los puntos críticos Para que obtengas los puntos críticos será necesario que iguales las ecuaciones a cero, como se muestra a continuación.

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Ecuaciones diferenciales II Unidad 2. Sistemas de ecuaciones no lineales Después debes resolverlas simultáneamente como un sistema de ecuaciones algebraicas, donde las soluciones obtenidas corresponden a los puntos críticos o de equilibrio del sistema.

Ejemplo Calcula los puntos críticos del sistema no lineal ⁄ ⁄ Solución: Primero se resuelve

y

Para que

, se debe cumplir que

Para que

se satisface que si

. entonces

Si

entonces

Así se encuentra que el sistema tiene dos puntos críticos (4,1) y (4,0).

Definición de matriz jacobiana: La matriz jacobiana de f y g, respecto a primer orden de dichas funciones:

e , se compone de las derivadas parciales de

(

)

Ejemplo Calcula la matriz jacobiana del siguiente sistema no lineal:

Solución: Sean

y

.

Entonces, la matriz jacobiana de f y g será:

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(

)

Linealización Para linealizar un sistema no lineal cerca de un punto de equilibrio

:

Primero es necesario trasladar dicho punto al origen:

Después, por medio del desarrollo de Taylor de primer grado para se tiene: [

] [

[ ]

y

] [

]

Ya que y y sólo interesa el primer grado del desarrollo anterior, se observa que los términos resultantes forman la matriz jacobiana: [

]

[

]

[

]

[

]

Teorema de linealización Sea el sistema no lineal ⁄ ⁄ Sea

un punto crítico o de equilibrio y considerando

y

.

Entonces, el sistema linealizado está dado por:

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(

( )

) (

)

Donde: J es la matriz jacobiana del sistema.

Ejemplo Para el siguiente sistema

Encuentra una aproximación lineal alrededor de algún punto crítico.

Solución: Primero se calculan sus puntos críticos; al igualar el sistema a cero en cada una de sus ecuaciones se obtiene que el punto fijo es (1,0).

Después se calcula su matriz jacobiana en el punto (1,0), como se indica a continuación: (

)

(

)

Por lo que el sistema linealizado alrededor del punto (1,0) resulta ser: (

)

Con la matriz jacobiana se calculan los valores y vectores propios para el sistema linealizado, que son , cuyos vectores propios son (0,1) y (1,0) respectivamente.

Como > , se aplica el criterio que aprendiste en la unidad 1 y se concluye que el punto de equilibrio para este sistema corresponde a una fuente, el plano fase es de la siguiente forma:

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Imagen generada por el programa Dfield and plane de J. C. (2002). Dfield and plane. Tomada de http://math.rice.edu/~dfield/dfpp.html

Y así el sistema no lineal alrededor del punto de equilibrio (1,0) se comportará de forma semejante al sistema lineal encontrado.

Observación: La aproximación entre el sistema no lineal y el linealizado depende del punto alrededor del cual se realizó la linealización.

2.1.2. Modelo de especies en competencia Considera dos especies P y Q que compiten por recursos en un mismo hábitat, donde un incremento en la especie P provocará una disminución de la especie Q, y viceversa. La importancia de este modelo es conocer a largo plazo el comportamiento de dichas especies, es decir, saber si coexistirán o se extinguirán con el paso del tiempo. Cada especie crecerá logísticamente y se estabilizará en la medida de la capacidad de carga del ambiente.

Sean y el número de integrantes de P y Q, respectivamente en un tiempo ; las ecuaciones establecidas por Volterra en 1925 que modelan dicho sistema son: (

)

(

)

Donde: es el grado de crecimiento exponencial en ausencia de competencia para P. es el grado de crecimiento exponencial en ausencia de competencia para Q.

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Ecuaciones diferenciales II Unidad 2. Sistemas de ecuaciones no lineales son el número máximo de integrantes, respectivos para P y Q, que permiten un crecimiento positivo (que pueden ser sostenidos por el ambiente). es la contribución de Q para reducir a P, con es la contribución de P para reducir a Q, .

Observación: Calculando los puntos críticos (o de equilibrio) del sistema, éstos proporcionan información precisa sobre el comportamiento de las especies:   

No hay especie alguna presente en el punto (0,0).

Q es ausente y P está presente a la capacidad del hábitat en el punto P es ausente y Q está presente a la capacidad del hábitat en el punto



Si α y β son pequeños y tales que punto de equilibrio será

y

. .

, significa que P y Q coexisten, y el

.

Ejemplo: Dado el siguiente sistema de especies en competencia, P y Q:

( Escribe el valor de cada uno de los parámetros

)

,

Encuentra sus puntos de equilibrio y linealiza el sistema alrededor de alguno de los puntos.

Muestra cómo sería el plano fase del sistema linealizado.

Solución: Los parámetros del sistema son

,

Se resuelve Para

(

y , se tiene que x= 0 o

- Si x=0 entonces Para , - Si y=0 entonces x

o

o

)

:

.

por lo que (0,0) y (0,2) son puntos de equilibrio.

por lo que (0,0) y (1,0) son puntos de equilibrio.

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Ecuaciones diferenciales II Unidad 2. Sistemas de ecuaciones no lineales - Si (

)

y

entonces

y

por lo que ()

Por lo anterior, los puntos de equilibrio para el sistema serán (0,0), (1, 0), (2,0) y (5/2, -1/2).

Para linealizar se calcula la matriz jacobiana alrededor de (1,0): (

)

(

)

Por lo que el sistema linealizado alrededor de (1,0) es: ( Los valores propios para el sistema linealizado son son (-3/2,1) y (1,0) respectivamente.

) , cuyos vectores propios

Plano fase del sistema linealizado.

Imagen generada por el programa Dfield and plane de J. C. (2002). Dfield and plane.

Tomada de http://math.rice.edu/~dfield/dfpp.html

Actividad 2. Linealización Al finalizar esta actividad podrás aplicar la linealización a sistemas no lineales alrededor de sus puntos críticos.

Instrucciones:

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Ecuaciones diferenciales II Unidad 2. Sistemas de ecuaciones no lineales 1. Descarga el archivo Act. 2 Linealización.

2. Analiza e identifica el método de solución de cada sistema no lineal.

3. Resuelve cada sistema dependiendo su clasificación.

4. Guarda tu documento con la siguiente nomenclatura MED2_U2_A2_XXYZ. Sustituye las XX por las dos primeras letras de tu primer nombre, la Y por la inicial de tu apellido paterno y la Z por la de tu apellido materno.

5. Envía tu documento a tu Facilitador(a) y espera su retroalimentación.

Nota: no olvides consultar la Escala de evaluación para conocer los criterios con que será evaluado tu trabajo.

2.2. Métodos cualitativos Cuando no es posible obtener una solución exacta a un sistema de ecuaciones diferenciales, los métodos cualitativos resultan de gran utilidad para conocer el comportamiento de las soluciones del sistema. Muchas veces dan información suficiente para resolver preguntas de lo que sucederá con el sistema a largo plazo.

Basta establecer condiciones iniciales o valores paramétricos para llegar a conclusiones importantes. Uno de los métodos cualitativos consiste en el análisis de los puntos críticos y de las ceróclinas.

Definición: Campo direccional Considera el sistema

El campo direccional es una representación de segmentos de recta trazados en el plano que muestran el comportamiento o dirección de la pendiente de cada curva solución.

Para trazar el campo direccional del sistema siguiente procedimiento: a) Elije un rectángulo en el plano

y

, utiliza el

.

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Ecuaciones diferenciales II Unidad 2. Sistemas de ecuaciones no lineales b) Escoge un conjunto de puntos en el rectángulo elegido. c) Obtén el vector . d) Grafica el vector a partir de .

Ejemplo: Traza el campo direccional del sistema no lineal

Solución: Se escogerá el cuadrante I: Pendiente (0.7,0.5) (0.9,1.3) (1.1,1.9) (1.3,1.2) (1.5,0.6) (1.7,1.6) (2,1) (2.3,1.5)

(0.49,-0.35) (0.81,0.27) (1.21,0.99) (1.69,0.26) (2.25,-0.6) (2.89,1.02) (4,0) (5.29,1.15)

Conjunto de puntos del campo direccional

Negativa Positiva Positiva Positiva Positiva Positiva Cero Positiva

Campo direccional completo

Imágenes generadas por el programa Dfield and plane de J. C. (2002). Dfield and plane.

Tomadas de http://math.rice.edu/~dfield/dfpp.html

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Ecuaciones diferenciales II Unidad 2. Sistemas de ecuaciones no lineales Definición: Plano fase El plano fase de un sistema es la gráfica del conjunto de sus puntos críticos, así como algunas curvas representativas y sus respectivas trayectorias que indiquen la dirección del flujo.

El método para trazar el plano fase del sistema siguiente:

y

es el

a) Encuentra el conjunto de puntos críticos igualando a cero las ecuaciones que componen el sistema. b) Grafica esos puntos críticos. c) Define el campo direccional. d) Siguiendo el campo direccional, grafica algunas trayectorias.

Ejemplo: Traza el plano fase del sistema no lineal:

Solución: Se calculan los puntos críticos resolviendo y .

Se puede ver que dado que x=0, entonces el sistema posee una infinidad de puntos críticos y éstos corresponden a todo el eje Y. El campo direccional se comporta de la siguiente forma:

Imagen generada por el programa Dfield and plane de J. C. (2002). Dfield and plane.

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Ecuaciones diferenciales II Unidad 2. Sistemas de ecuaciones no lineales Tomada de http://math.rice.edu/~dfield/dfpp.html

Algunas trayectorias solución del sistema son:

Imagen generada por el programa Dfield and plane de J. C. (2002). Dfield and plane.

Tomada de http://math.rice.edu/~dfield/dfpp.html

Cuyo plano fase queda determinado como lo muestra la siguiente imagen:

Imagen generada por el programa Dfield and plane de J. C. (2002). Dfield and plane.

Tomada de http://math.rice.edu/~dfield/dfpp.html

2.2.1. Análisis de los puntos críticos Por medio de la linealización se sabe que las soluciones de un sistema no lineal alrededor de sus puntos críticos se comportan de forma muy semejante a las soluciones del sistema lineal asociado, por lo menos en una vecindad cercana a ellos.

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Ecuaciones diferenciales II Unidad 2. Sistemas de ecuaciones no lineales Clasificación de los puntos críticos Los puntos críticos se clasifican considerando a la matriz jacobiana de un sistema no lineal en un punto de equilibrio , con valores propios reales o valores propios complejos .

Valores propios reales negativos o complejos con parte real negativa Si o entonces es un sumidero para el sistema lineal y las soluciones se acercan a si , para el sistema no lineal las soluciones que inician cerca de y se acercan a él si .

Para estos casos el punto de equilibrio recibe el nombre sumidero, y es un sumidero espiral si se trata de valores propios complejos.

Valores propios reales positivos o complejos con parte real positiva Si o conforme t crece.

, entonces las soluciones cerca del punto crítico

se alejan

A se le llama fuente para el caso real, y fuente espiral si se trata de valores propios complejos.

Valores propios reales de diferente signo Si entonces es un punto silla y las trayectorias de las soluciones que convergen o divergen del punto crítico son tangentes, en el punto crítico, a los vectores propios correspondientes.

Para el sistema lineal hay dos curvas solución que se acercan a dos más cuando t crece.

cuando t decrece y

Ejemplo Para el sistema

Calcula los puntos críticos del sistema. Encuentra el sistema linealizado en (1/2,1/2) y clasifica sus puntos críticos. Traza el plano fase del sistema linealizado.

Solución: Para hallar los puntos críticos, se resuelve

y

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Ecuaciones diferenciales II Unidad 2. Sistemas de ecuaciones no lineales .

Para , se tiene que x= 0 o .

- Si x=0 entonces o por lo que (0,0) y (0,3) son puntos de equilibrio.

Para , - Si y=0 entonces x - Si

o

por lo que (0,0) y (2,0) son puntos de equilibrio. y(

entonces

y

.

Por lo anterior, los puntos de equilibrio para el sistema serán (0,0), (2, 0), (0,3) y (1/2, 1/2).

Para linealizar, se calcula la matriz jacobiana alrededor de (1/2,1/2): (

)

(

)

(

)

Por lo que el sistema linealizado alrededor de (1/2,1/2) es: ( Los valores propios para el sistema linealizado son propios son (1,1) y (-4/5,1) respectivamente.

) , cuyos vectores

Ya que los valores propios son de signos diferentes, se trata de un punto silla.

Es importante observar que al hallar este punto significa que ambas especies pueden coexistir en equilibrio, y que al tener tres puntos críticos distintos, las soluciones del sistema no lineal tendrán diferentes tipos de comportamiento de acuerdo con cada punto crítico.

El retrato fase del sistema linealizado es:

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Imagen generada por el programa Dfield and plane de J. C. (2002). Dfield and plane.

Tomada de http://math.rice.edu/~dfield/dfpp.html

Observación: En puntos lejanos a los puntos críticos no es posible obtener información por medio del análisis anterior de los puntos críticos.

2.2.2. Ceróclinas y su clasificación Las ceróclinas permiten analizar el comportamiento de las soluciones, permitiendo trazar más completo el plano fase del sistema.

Definición: Sea el sistema ⁄ ⁄ Se definirá a la como el conjunto de puntos cuando direccional vertical, y la corresponde al conjunto de puntos , con campo direccional horizontal.

, con campo cuando

Ejemplo: Sea el sistema no lineal

Los puntos críticos de este sistema son (0,0), (3,0), (0,2) y (1,1).

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Ecuaciones diferenciales II Unidad 2. Sistemas de ecuaciones no lineales La

y la

del sistema serán:

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Tomada de http://math.rice.edu/~dfield/dfpp.html

Observaciones: Las ceróclinas dividen al plano fase en regiones.

Los puntos de equilibrio están en los puntos de intersección de la .

y la

Si existe una solución en un punto en alguna de las regiones divididas por las ceróclinas, entonces la trayectoria: a) Tiende a un punto de equilibro en esa región. b) Se aleja hacia infinito. c) Ingresa a una región vecina siguiendo una dirección.

Ejemplo: Considera nuevamente el sistema de especies en competencia

Cuyos puntos críticos o de equilibrio se obtuvieron en el ejemplo anterior, y son: (0,0), (3,0), (0,2) y (1,1).

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Ecuaciones diferenciales II Unidad 2. Sistemas de ecuaciones no lineales Para determinar las ceróclinas primero se hace

Por lo que una

Para la

es

y=0 o

y

o

, entonces resulta que

, y se obtiene

.

Al trazar las ceróclinas (diferentes a los ejes X e Y) el plano fase en el primer cuadrante queda dividido en cuatro regiones, y la dirección de las trayectorias quedará determinada por .

Por ejemplo, para un punto (-1,5/2) en la región 1: Para determinar la dirección de las trayectorias en la punto en y’, entonces , por lo que la dirección para la

, se evalúa el es hacia arriba.

Para determinar la dirección de las trayectorias en la punto en x’, entonces , por lo que la dirección para la izquierda.

, se evalúa el es hacia la

Imagen generada por el programa Dfield and plane de J. C. (2002). Dfield and plane.

Tomada de http://math.rice.edu/~dfield/dfpp.html

Región 1: el sentido de las trayectorias será de arriba y hacia la izquierda.

Región 2: el sentido de las trayectorias será de abajo y hacia la derecha.

Región 3: el sentido de las trayectorias será de arriba y hacia la derecha

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Ecuaciones diferenciales II Unidad 2. Sistemas de ecuaciones no lineales Región 4: el sentido de las trayectorias será de abajo y hacia la izquierda.

Actividad 3. Análisis cualitativo Al finalizar esta actividad podrás analizar sistemas de ecuaciones diferenciales no lineales de manera cualitativa.

Instrucciones: 1. Descarga el archivo llamado Act. 3. Análisis cualitativo.

2. Analiza cada sistema e identifica el método de solución más conveniente.

3. Resuelve y escribe el comportamiento de cada sistema dependiendo su clasificación.

4. Guarda tu documento con la siguiente nomenclatura MED2_U2_A2_XXYZ. Sustituye las XX por las dos primeras letras de tu primer nombre, la Y por la inicial de tu apellido paterno y la Z por la de tu apellido materno.

5. Envía tu documento a tu Facilitador(a) y espera su retroalimentación.

Nota: no olvides consultar la Escala de evaluación para conocer los criterios con que será evaluado tu trabajo.

Aplicaciones Existen diversos problemas de aplicación modelados por sistemas no lineales. Verás un ejemplo particular de los sistemas de dos especies en competencia, a la que se le conoce como interespecífica.

Ejemplo: En la Antártida una especie de pingüino P y las ballenas B se alimentan de la misma criatura, el krill, que se encuentra en extinción. El número máximo de integrantes que pueden ser sostenidos por el ambiente para ambas especies es y , respectivamente. El efecto de las ballenas sobre el crecimiento de los pingüinos es , asimismo el efecto de los pingüinos sobre el crecimiento de las ballenas es . La razón de crecimiento de la especie de pingüinos en ausencia de las ballenas está dada por y la razón de crecimiento de las ballenas en ausencia de los pingüinos por y .

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Ecuaciones diferenciales II Unidad 2. Sistemas de ecuaciones no lineales De acuerdo con la información dada, el sistema que representa al problema anterior estará dado por:

Los parámetros del sistema son

(

)

(

)

,

.

Para conocer el posible comportamiento de las soluciones se calcularán los puntos críticos del sistema y se analizarán las ceróclinas.

Los puntos críticos del sistema son (0,0), (0,3), (2,0) y (1,1). (

Las ceróclinas están dadas por Por lo que una Para la

es y=0 o (

)

(

y

o(

)

)

, y se obtiene

)

, entonces resulta que .

Como se sabe, al trazar y , el plano fase queda dividido en cuatro regiones y la dirección de las trayectorias quedan determinadas por .

Imagen generada por el programa Dfield and plane de J. C. (2002). Dfield and plane.

Tomada de http://math.rice.edu/~dfield/dfpp.html

En la región 1, si se evalúa algún punto dentro, se verá que flecha en la apunta a la izquierda y la flecha en la

y

, por ello es que la hacia arriba. Lo

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Ecuaciones diferenciales II Unidad 2. Sistemas de ecuaciones no lineales mismo sucede con las demás regiones.

Nota que las soluciones pueden dirigirse a alguna región contigua, a algún punto crítico o a infinito.

Es importante mencionar que como se trata de poblaciones de especies vivas, se considera el primer cuadrante, donde e son positivas. También se observa que ambas ceróclinas coinciden en el punto crítico (1,1); es justamente en ese punto donde ambas logran coexistir en un estado de equilibrio.

Plano fase del sistema Imagen generada por el programa Dfield and plane de J. C. (2002). Dfield and plane.

Tomada de http://math.rice.edu/~dfield/dfpp.html

Actividad 4. Aplicaciones de sistemas no lineales Al finalizar esta actividad podrás resolver aplicaciones de sistemas de ecuaciones diferenciales no lineales.

Instrucciones: 1. Descarga el archivo llamado Act. 4. Aplicaciones.

2. Analiza el tipo de sistema e identifica el método de solución.

3. Resuelve y escribe las conclusiones que obtengas del análisis del sistema no lineal.

4. Guarda tu documento con la siguiente nomenclatura MED2_U2_A2_XXYZ.

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Ecuaciones diferenciales II Unidad 2. Sistemas de ecuaciones no lineales Sustituye las XX por las dos primeras letras de tu primer nombre, la Y por la inicial de tu apellido paterno y la Z por la de tu apellido materno.

5. Envía tu documento a tu Facilitador(a) y espera su retroalimentación.

Nota: no olvides consultar la Escala de evaluación para conocer los criterios con que será evaluado tu trabajo.

Evidencia de aprendizaje: Sistemas no lineales Es momento de realizar tu evidencia de aprendizaje, donde tendrás que analizar problemas de sistemas no lineales y utilizar toda la teoría que aprendiste durante la unidad para encontrar la solución de la Evidencia de aprendizaje.

Instrucciones: 1. Descarga el documento llamado EA. Sistemas no lineales.

2. Argumenta tu respuesta con base en lo que aprendiste en la unidad.

3. Resuelve correctamente el problema que se te plantea en el documento.

4. Guarda tu documento con la siguiente nomenclatura MED2_U2_A2_XXYZ. 5. Sustituye las XX por las dos primeras letras de tu primer nombre, la Y por la inicial de tu apellido paterno y la Z por la de tu apellido materno.

6. Envía tu reporte al Portafolio de evidencias y espera la retroalimentación de tu Facilitador(a), atiende sus comentarios y reenvía la nueva versión de tu evidencia.

Consulta la Escala de evaluación para conocer los criterios con que será evaluado tu trabajo.

Autoevaluación Para reforzar los conocimientos relacionados con los temas que se abordaron en esta unidad, es necesario que resuelvas la autoevaluación.

Ingresa al Aula virtual para realizar tu actividad.

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Ecuaciones diferenciales II Unidad 2. Sistemas de ecuaciones no lineales Autorreflexiones Al finalizar, consulta el foro Preguntas de autorreflexión para realizar el ejercicio correspondiente y envíalo a través de la herramienta Autorreflexiones. Recuerda que también se toman en cuenta para la calificación final.

Cierre de la unidad En esta unidad 2 aprendiste las características principales y solución de sistemas de ecuaciones diferenciales no lineales a través del uso de teoremas y propiedades del álgebra lineal, cálculo diferencial y la unidad 1. Ahora sabes que los sistemas no lineales tienen aplicación en la vida cotidiana y que a partir de su análisis se realiza la toma de decisiones en los modelos matemáticos que utilizan diferentes áreas de estudio, como la biología.

En la unidad 3 la meta es aprender las características de los sistemas que presentan caos.

Para saber más En los siguientes enlaces podrás encontrar programas para calcular planos fase de un sistema de ecuaciones diferenciales.

Sin nombre. (2010). Direction Field. http://www.scottsarra.org/applets/dirField2/dirField2.html J. C. (2002). Dfield and plane. http://math.rice.edu/~dfield/dfpp.html En los siguientes enlaces podrás encontrar teoría y ejemplos correspondientes al tema de linealización, ceróclinas y campos de dirección.

Salinas, R, (2012). Linealización de sistemas dinámicos no lineales. http://www.fime.uanl.mx/~salinas/APUNTES5_CM.pdf García, I y Román. N. (2008). Ecuaciones diferenciales, tema 4.4. http://www-ma4.upc.edu/~nrr/docs/edteor.pdf Seron, M. y. Braslavsky, J. (2014). Sistemas no lineales. ftp://ftp.unicauca.edu.co/Facultades/FIET/DEIC/Materias/Nolineales%20Master/Notas%20clase %20del%20Khalil/Apunte.pdf Las notas se escribieron en el año 2000, los autores suben versiones cada semestre escolar en su sitio web, por ello se añadió la fecha de la última modificación.

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Ecuaciones diferenciales II Unidad 2. Sistemas de ecuaciones no lineales

Referencias bibliográficas Braun, M. (1990). Ecuaciones diferenciales y sus aplicaciones. México: Iberoamérica.

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Educación Abierta y a Distancia * Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnologías

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