Unidad 2 integral de riemann stieltjes

Análisis matemático II Unidad 2. Integral de Riemann Stieltjes

Universidad Abierta y a Distancia de México

Licenciatura en Matemáticas

8° cuatrimestre

Análisis Matemático II

Unidad 2. Integral de Riemann Stieltjes

Clave: 050930829

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Análisis matemático II Unidad 2. Integral de Riemann Stieltjes

Índice Unidad 2. Integral de Riemann-Stieltjes. ................................................................................. 3 Presentación de la unidad ........................................................................................................ 3 Propósitos de la unidad ........................................................................................................... 3 Competencia específica de la unidad...................................................................................... 3 2.1. Antecedentes ..................................................................................................................... 3 2.1.1. Definición de la Integral de Riemann-Stieltjes. Notación. ............................................... 4 2.1.2. Propiedades .................................................................................................................. 7 2.1.3. Integración por partes .................................................................................................... 9 Actividad 1.”Foro integral de Riemann-Stieltjes” ................................................................. 10 2.2. Teorema de cambio de variable ...................................................................................... 11 2.2.1. Enunciado y demostración del teorema ....................................................................... 11 2.2.2. Aplicaciones ................................................................................................................ 13 Actividad 2. Cálculo de Integrales ......................................................................................... 15 Autoevaluación ....................................................................................................................... 15 Evidencia de Aprendizaje. Aplicaciones de la Integral de Riemann-Stieltjes ..................... 16 Autorreflexiones ............................................................................¡Error! Marcador no definido.

Cierre de la unidad.................................................................................................................. 16 Para saber más: ...................................................................................................................... 17 Referencias Bibliográficas ..................................................................................................... 17

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Análisis matemático II Unidad 2. Integral de Riemann Stieltjes Unidad 2. Integral de Riemann-Stieltjes

Presentación de la unidad En las Matemáticas a menudo un concepto se generaliza en el sentido que más objetos cumplen alguna propiedad. La integral de Riemann-Stieltjes es una generalización de la Integral de Riemann que se estudia en el curso elemental de Cálculo Integral. La integral de Riemann es presentada como un proceso mediante el cual se puede calcular el área bajo la gráfica de ciertas funciones reales de variable real en un intervalo compacto dado. Si a este proceso le agregamos otra función para determinar ciertos “pesos” agregados a los intervalos obtenemos una definición de integral que cumple las propiedades de linealidad y aditividad, esta definición satisface los teoremas que permiten el cálculo de integrales a modo de las técnicas de integración en términos elementales: la integración por partes y el cambio de variable

Propósitos de la unidad   

Comparar integral de Riemann-Stieltjes contra Integral de Riemann.

Resolver problemas utilizando Integración por partes.

Resolver problemas utilizando el Teorema de Cambio de Variable.

Competencia específica de la unidad Aplicar las propiedades de la integral de Riemann-Stieltjes para resolver problemas de integración. Comparándola con la integral De Riemann clásica.

2.1. Antecedentes Thomas Jan Stieltjes (1856-1894) matemático nacido en Holanda, en 1894 realizó investigaciones que lo llevaron a introducir el concepto matemático de distribución de masa positiva, señaló que una distribución de este tipo era equivalente a una función creciente φ(x) que daba la masa total correspondiente al intervalo [0,x] de modo que los puntos de discontinuidad de φ corresponden a las masas concentradas en un punto, para este tipo de ) ( )), y demostró que, distribución en [a,b], Stieltjes consideró las sumas ∑ ( )( ( cuando f era continua, estas sumas tendían a un límite que designó por ∫

( )

( ).En 1909

el matemático húngaro F. Riesz utilizó la integral definida por Stieltjes para resolver el problema de representación de funcionales lineales continuos y desarrolló la integral de Stieltjes.

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Análisis matemático II Unidad 2. Integral de Riemann Stieltjes 2.1.1. Definición de la Integral de Riemann-Stieltjes. Notación La integral de Riemann consiste en aproximar áreas bajo la gráfica de una función con áreas - con un conjunto finito de elementos en de rectángulos, mediante la partición del conjunto , , -, daremos la definición de integral de Riemann como punto de partida.

Definición 0. Sea , recibe el nombre de partición - donde subconjunto finito de puntos de , Escribimos Sea

función real, acotada, definida sobre ,

(

/

)

)

∑

(

)

∑

/

-, sean

) )

(

.∫

(

) donde se ha considerado el

sup(supremo ) y el inf (infimo) sobre todas las particiones P sobre , anteriores se llaman integral superior e inferior de Riemann sobre ,

-, las definiciones -, respectivamente.

Definición1. Si las integrales superior e inferior son iguales decimos que Riemann, se representa el valor común por ∫ existen dos números

y

tal que ( )

( ) ( )

- cualquier .

- y P partición de ,

( ) ( ( ) (

Definimos S.∫

del intervalo ,

es integrable según

y se escribe . Ya que es acotada, , -, de aquí que para todo , ( ) ( )

) ( ) forman un conjunto acotado, lo que implica la De modo que los números ( existencia de las integrales superior e inferior El siguiente teorema nos da un criterio para probar si una función es Riemann integrable.

Teorema 2. , ( ) .

(

)

- y una partición, en la diferencia ( ) Definición 3. Sea f una función definida en , ( ) ∑( ) cuando f es Riemann integrable es pequeña, una parte importante de esta condición es que sea más pequeño, a esta última diferencia le llamaremos la , - y se denotará -). ( , oscilación de

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Análisis matemático II Unidad 2. Integral de Riemann Stieltjes Con esta definición del teorema 2 se obtiene el siguiente .

Corolario 4. La función , es integrable si y solo si para cualquier partición P tal que ∑

( ,

, existe una

-)

Se cumple linealidad en la integral de Riemann, lo que se enuncia en el siguiente teorema. ,

Teorema 5. Si integrables y

-

,

-

∫ ( ( )

son integrables y ( ))

( )

∫

, entonces

son

( )

∫

Y ∫

( )

∫

( )

.

Los dos siguientes teoremas caracterizan a funciones Riemann integrables ,

Teorema 6 Teorema 7. Si

,

-

es continua, entonces f es Riemann integrable. es monótona, entonces f es Reimann integrable.

Enunciaremos también los teoremas fundamentales de integral de Riemann Teorema 8. Teorema fundamental del Cálculo. Si la función ,

-

es tal que

( )

(

( ) para

,

), entonces ∫

-

es continua y

( )

( )

Y Teorema 9. Segundo Teorema Fundamental del Cálculo. Supóngase que integrable y , está definida por ( )

∫

,

( ).

-

es

( )

Entonces (a) F(x) es uniformemente continua. (b) Si f es continua en un punto c, entonces F es diferenciable en c

( )

Haciendo una modificación en la definición de suma de Riemann sustituyendo obtiene una nueva definición:

( ). ( ), se

Definición 10. , -, y es una (a) Si , son acotadas, P es una partición de , colección de puntos intermedios de P, la suma de Riemann-Stieltjes de f con respecto a g, P y es

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Análisis matemático II Unidad 2. Integral de Riemann Stieltjes ( ) ∑ ( )( ( ) ( )). (b) integrable Reimann-Stieltjes con respecto a g con integral I, si dado , existe una ) | partición P tal que | ( siempre que P´ sea un refinamiento de P y para cualquier colección de puntos intermedios, si esto es así escribimos ∫

∫

( )

( );

A la función f se le llama el integrando y a g el integrante, se dice que f es g-integrable, o f es Riemann-Stieltjes integrable con respecto a g. ( ) ( Escribimos inferiores y superiores, sean

), la definición anterior es equivalente a una de sumas como en la definición 1:

Teorema 11. Sea , -, g es creciente en , f es Riemann-Stieltjes integrable con respecto a g si y solo si, dado existe una partición tal que ( ) ( ) ∑ ∑ .

Ejemplo.

1. 1 Si ( ) Reimann ∫

, la integral de Riemann-Stieltjes ∫ ( )

2. Supóngase que Entonces ( ) ( ) ) Entonces (

es la misma que la integral de

. ,

(

) 0

( ) es continua en 0. Sea ( ) , a menos que ) y si esto es así, ( )

( )

(

)

,

Sea ( )

{

)

( ) ya que f es continua en

pequeño, se sigue que ∫

0, ambos valores están cercanos a f(0) haciendo ( ).

3.

)

.

,

, si consideramos

-,y

,

-

, entonces para

, - se tiene que ( ) ( ) ( ) ( ), así la cualquier partición condición para que f sea g-integrable es que ( ) ( ), esto incluye obviamente a las constantes, este es un ejemplo de una función Riemann-Stieltjes integrable que no es Riemann integrable.

El siguiente teorema da una caracterización de g-integrabilidad: Teorema 12. Si , es continua y Stieltjes - integrable con respecto a g.

,

-

es creciente, entonces f es Reimann

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Análisis matemático II Unidad 2. Integral de Riemann Stieltjes Demostración Sea dado, elijamos ( ) ( )) . (

tal que

Como f es uniformemente continua en , | ( )

(1)

- existe un

tal que

( )|

, , | Si | Si P es cualquier partición de , ( ) Por lo tanto

-.

- tal que

(

)

Entonces (1) implica

(

)

( ( )

∑

)

∑( ( ))

Por el teorema 11 f es g-Reimann-Stieltjes integrable, algunas veces se expresa

( ).

Ejemplo.

Se tienen las funciones siguientes definidas en el intervalo , ( ) | | ( ) , entonces ya que es continua y (aplicando el teorema 12).

-, es creciente f es

2.1.2. Propiedades La integral de Riemann-Stieltjes satisface las propiedades establecidas en el siguiente teorema: Teorema 13. ( )y 1) Si ( ), ( )

( ) en ,

-, y ∫ (

) ∫

2) Si

( )

( ) en ,

∫

∫ ∫

-

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Análisis matemático II Unidad 2. Integral de Riemann Stieltjes ∫ ( ) en ,

3) Si ∫

-y

∫

, entonces

∫

( ) en ,

4) Si

(

- y | ( )|

(

∫

(

-

,

-,

en ,

), entonces

-, ( ( )

| (

( ))

)y

)

; ∫ ∫ ( ) y c es una constante positiva, entonces

(

∫

)

( ) en ,

.

|∫ 5) Si

∫

)

∫

(

)y

.

Demostración.

Se demostrará la primera parte de 1), las demás se hacen de manera similar.

- tenemos que Si y P es alguna partición de , ( ) ( ) ( ) ( Si (

)

(

( ) ) (

)

(

( ), dado ) .

).

(I)

. Existen particiones

. Tales que

Esas desigualdades subsisten si se sustituyen P1 y P2 por su refinamiento común P. Entonces (I) implica (

)

(

)

, lo que demuestra que

( ).

Con este mismo P, tenemos Por lo que (I) implica ( ) ∫ ( ) ∫ . ∫ ∫ Como ∫

era arbitrario, se deduce que . ∫ ∫

Sustituyendo en la anterior desigualdad f1 y f2 por –f1 y –f2 se invierte la desigualdad y queda demostrada la igualdad.

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Análisis matemático II Unidad 2. Integral de Riemann Stieltjes 2.1.3. Integración por partes De los teoremas 12 y 13. observamos que una función continua es integrable con respecto a cualquier función continua es integrable con respecto a cualquier función que pueda ser escrita como suma de funciones crecientes y decrecientes. A tales funciones se les llama funciones de variación acotada. Con esto se obtiene el siguiente corolario Corolario 14. Si , es continua y integrable con respecto a g.

,

-

es de variación acotada, entonces f es

Tenemos ahora nuestra definición para una clase de funciones continuas con las de variación acotada, con el siguiente teorema podemos intercambiar los roles de f y g.

Teorema 15 Si f es integrable con respecto a g, entonces g es integrable con respecto a g y ∫

( ) ( )

( ) ( )

∫

* + una partición de , - tal que si P´ es cualquier refinamiento Demostración. Sea * + es una colección de puntos intermedios, | ( ) | de P y . Sea * + -, con . Entonces es también una partición de , y ( ) . Sumando y restando = , y P´ es un refinamiento de P. Considere la suma ∑ los términos ( ) ( ) ( ) ( ) reacomodando y observando que , vemos que ∑ ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

∑ ( )( ( ( ) ( )

)

(

(

))

)

* + y es siempre uno de los puntos xk de la partición original. La última Donde suma es una suma de Riemann-Stieltjes para f con respecto a g sobre un refinamiento de P, y así está a una distancia

de ∫

, con lo que se concluye el resultado.

Teorema 16 Si la derivada g´ existe y es continua en J y si f es integrable con respecto a g entonces el producto es integrable y ∫

∫

Ejemplos Sea ( )

. Evalúa ∫

, ya que f(x)=x es continua y

así aplica el teorema, intercambiando f y g obtenemos ∫

es de variación acotada, ∫

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.

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Análisis matemático II Unidad 2. Integral de Riemann Stieltjes ( )

,

es integrable con respecto a (

∫

)

-, así (

∫

) |

Actividad 1. Integral de Riemann-Stieltjes La finalidad de esta actividad es que puedas identificar diferencias a través de comparar la integral de Reimann y la integral de Reimann-Stieltjes.

La siguiente es una serie de preguntas que te servirán de base para anotar tus conclusiones dentro del foro: 1. A partir de las definiciones, menciona como la Integral de Reimann-Stieltjes generaliza la integral de Reimann. ¿En qué casos la integral de Riemann-Stieltjes se puede reducir a una integral de Riemann?

Ejemplo. Si ∫

,

-

es continua, ( )

,

-

,

{

-

(

), existe

y es igual a ( ).

2. Generaliza el ejemplo anterior a n puntos en , 3. Dada una suma ∑

-.

,

b) ¿En qué casos es posible expresarla como una integral de Riemann-Stieltjes? c) ¿Existe un análogo en integral de Riemann? d) ¿Qué ocurre si en una integral de Riemann-Stieltjes, la función integrante tiene un número infinito numerable de discontinuidades?

4. Ingresa al foro y anota tus conclusiones.

5. Comenta las aportaciones de tus compañeros. Acepta o rechaza al menos las de dos de ellos.

Nota: Antes de participar en el foro, recuerda consultar la Rúbrica general de participación en foros que se encuentra en la sección Material de apoyo.

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Análisis matemático II Unidad 2. Integral de Riemann Stieltjes 2.2. Teorema de cambio de variable El teorema de cambio de variable nos ha permitido calcular integrales con la integral de Riemann, un teorema análogo satisfacen las Integrales de Riemann-Stieltjes. Presentaremos algunos teoremas sin demostración para centrarnos en el teorema principal.

2.2.1. Enunciado y demostración del teorema Estamos interesados en calcular integrales de R-S (Riemann-Stieltjes), presentamos los principales teoremas que nos facilitarán esta tarea: Teorema 17 Primer Teorema del Valor Medio. Si g es creciente en de , entonces, existe un número c tal que ∫

( )∫

( )( ( )

,

- y f es continua

( )).

Teorema 18 Teorema de Diferenciación. Suponga que f es continua en J y que g es creciente en J y tiene una derivada en un punto c en J. Entonces, la función F definida para x en J por medio de ( ) Tiene una derivada en c y

( )

( ) ( ).

Demostración. Si h>0 es tal que anterior se sigue que (

∫

)

pertenece a J, entonces del teorema 3 y del resultado ( )

∫ ( )( (

∫ )

∫ ( ))

Para alguna c1 con una relación análoga se da si h<0. Dado que f es continua y g tiene una derivada en c, entonces F´(c) existe y es igual ( ) ( ).

El siguiente teorema se refiere a la integral de Riemann.

Teorema 19. Primer teorema del valor medio , -y ( ) . Si son continuas en para toda tal que ∫

( ) ( )

( )∫

, entonces, existe un punto

( )

El siguiente teorema es el análogo de integral de Riemann al de integral de Riemann-Stieltjes.

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Análisis matemático II Unidad 2. Integral de Riemann Stieltjes tienen derivadas continuas en ,

Teorema 20. Integración por partes. Si ( ) ( )

∫

( ) ( )

-, entonces

∫

El siguiente resultado se refiere a integral de R-S. Teorema 21. Segundo teorema del valor medio. ,

1. Si f es creciente y g es continua en

-, entonces, existe un punto

tal que

( )∫ ( )∫ . ∫ 2. Si f es creciente y h es continua en J , entonces, existe un punto c en J tal que ∫ 3. Si

( )∫

( )∫

es no negativa y creciente y h es continua en J, entonces, existe un punto c en J tal

que ∫

( )∫

.

Demostración.

Para 1, Aplicando el teorema 17 implica que g es integrable con respecto a f en J. Se obtiene ( )( ( ) ( )), aplicando el teorema 15 (integración por partes) y el primer ∫ teorema del valor medio se concluye que f es integrable con respecto a g y ∫

( ( ) ( )

( ) ( ))

( )( ( )

( ))

( )∫

( )∫

Para 2, sea g definida en J por ( ) Para 3, se define F igual a

∫ (

para

, -

( )( ( )

( )( ( )

( ))

( ))

. usando T-16 y y parte 1

( )

y se aplica 2 a F.

Cambio de variable, el siguiente es el resultado que permite calcular muchas integrales Teorema 22. Cambio de variable.

Supóngase que es una función continua estrictamente creciente que mapea un intervalo , , -. Supóngase también que es monótona creciente sobre , -. Si se define - por medio de. y g sobre , ( ) ( ( )) ( ) ( ( )). ( )y Entonces ∫

∫

( )

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Análisis matemático II Unidad 2. Integral de Riemann Stieltjes Demostración + , - le corresponde una partición A cada partición P= * * + , -, de tal forma que - se ( ). Todas las particiones de , - son los mismos que los obtienen de esta forma. Como los valores tomados por f sobre , -, de aquí que tomados por g sobre , ( ) ( ) ( ) ( ) por la integrabilidad de f dado existe una partición P´ de [a,b] tal que ( ( ) por tanto g es integrable con respecto a . Y se satisface (1).

)

Una propiedad muy importante en cualquier definición de integral es su comportamiento bajo sucesiones, la convergencia de las integrales depende de la convergencia de las sucesiones, como queda plasmado en el siguiente teorema Teorema 23 Sea una función monótona creciente en , - y sea * + una sucesión de funciones integrables con respecto a g sobre . Suponga que la sucesión * + converge uniformemente en a una función límite . Entonces, es integrable con respecto a y ∫

∫

.

2.2.2. Aplicaciones A continuación se dan dos aplicaciones de la Integral de Riemann-Stieltjes, una a la Probabilidad y otra a la Física.

1.

En un experimento numérico se obtienen los resultados , con probabilidades asociadas , el valor esperado del experimento es ∑ . Ahora supóngase que los resultados posibles del experimento incluyen todos los números entre a y b. Entonces tendremos en lugar de una colección finita de probabilidades, una función acumulativa de -. distribuciones ( ), donde ( ) , En el caso discreto podemos representar la esperanza matemática por ∑ ( ). ( ) con f función de densidad, Para una función continua de probabilidades tenemos ∫ ahora se define la función de distribución F( )

(

)=∫

( ) ,

( )

Por tanto la

definición de esperanza matemática en el caso continuo es ∫

( )

∫

( )

2.

En física, considere n masas, cada una de las masas . localizadas a lo largo del eje x ,a una distancia del origen, con . El momento de inercia I alrededor del eje x, a través del origen en ángulos rectos al sistema de masas. Está dado por

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Análisis matemático II Unidad 2. Integral de Riemann Stieltjes ∑ en el caso discreto, si en lugar de eso tenemos un alambre de longitud a lo largo del eje x con un extremo en el origen, entonces el momento de inercia es ( )

∫ Donde para cada

( ) es la densidad seccional transversal.

3. El uso que Riesz hizo de la integral de Reimann_Stieltjes le permitió demostrar su famoso teorema de representación.

El teorema de Representación de Riesz (matemático húngaro,1880-1955) es fundamental en análisis funcional daremos solo las definiciones elementales para enunciarlo.

Sea y‖ ‖

,

-, denotemos por * ( ) +.

( ) al conjunto de funciones reales continuas definidas sobre J,

Una funcional lineal G definida sobre ( ) cumplen (

( ) es una función real, tal que dados )

La funcional lineal se positiva, si para cada ( ) .

( )

( )

( ) tal que ( )

, se tiene

Una funcional G definida sobre ( ) se dice que es acotada si existe una constante M, tal ‖ ‖, para todo ( ). que: | ( )| Con esto se tiene el siguiente lema Lema 24. Si g es una función monótona creciente y G está definida para ( )

( ) por

∫

Entonces G es una funcional lineal, positiva, acotada sobre

( ).

G se obtiene calculando una integral de Riemann-Stieltjes para cada elemento de siguiente es el teorema donde Riesz utilizó la integral de Riemann-Stieltjes.

( ), el

Teorema 25. Teorema de Representación de Riesz, si G es una funcional lineal, positiva, acotada sobre ( ), entonces existe una función monótona creciente g sobre J tal que ( )

∫

, para toda

( ).

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Análisis matemático II Unidad 2. Integral de Riemann Stieltjes Actividad 2. Cálculo de Integrales El objetivo de esta actividad es que puedas aplicar las propiedades de la Integral de Riemann-Stieltjes para resolver diversos problemas matemáticos usando los conceptos básicos así como integración por partes y Teorema de cambio de variable Instrucciones: 1. Descarga el archivo llamado “Act.2. Cálculo de integrales””.

2. Resuelve cada una problemas de acuerdo a las propiedades de la integral de RiemannStieltjes 3. Guarda tu documento con la siguiente nomenclatura MANU2_U2_A2_XXYZ.

4. Envía tu documento a tu facilitador y espera su retroalimentación.

Recuerda consultar la Escala de evaluación de la actividad para saber qué aspectos se tomarán en cuenta para su revisión.

Autoevaluación Para reforzar los conocimientos relacionados con los temas que se abordaron en esta unidad del curso, es necesario que resuelvas la autoevaluación.

Ingresa al Aula virtual para realizar tu actividad.

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Análisis matemático II Unidad 2. Integral de Riemann Stieltjes Evidencia de Aprendizaje. Aplicaciones de la Integral de Riemann-Stieltjes Es momento de realizar tu evidencia de aprendizaje, donde tendrás que aplicar tus conocimientos sobre aproximación de funciones continuas.

Instrucciones: 1. Descarga el documento: “EA. Integral de Riemann-Stieltjes” 2. Lee las instrucciones y resuelve los problemas que se plantean, tomando en cuenta el contenido de la unidad.

3. Guarda y envía tu reporte al portafolio de evidencias con la nomenclatura MAMT2_U2_EA_XXYZ. Espera la retroalimentación de tu Facilitador(a). Una vez que la tengas, atiende sus comentarios y reenvía la nueva versión de tu evidencia.

Nota: No olvides consultar la Escala de evaluación para conocer los criterios con que será evaluado tu trabajo.

Autorreflexiones Como parte de cada unidad, es importante que ingreses al foro Preguntas de autorreflexión y leas los cuestionamientos que formuló tu Facilitador(a), ya que a partir de ellos debes elaborar tu Autorreflexión y enviarla mediante la herramienta Autorreflexiones. No olvides que también se toman en cuenta para la calificación final.

Cierre de la unidad En esta unidad hemos ampliado nuestro concepto de integral a partir de la Integral de Riemann, se generaliza de una forma que permite mayor cantidad de funciones integrables a la vez que permite que las funciones Reimann-integrables sean Riemann-Stieltjes integrables. Se estudió que la integral de Reimann-Stieltjes satisface todas las propiedades de la integral de Riemann.

El teorema 16 es muy importante pues nos da la posibilidad de reducir integrales de RiemanStieltjes a integrales de Riemann Por otra parte la existencia de las funciones integradoras será importante en el desarrollo de la integral de Lebesgue que se estudiará en las siguientes unidades. Las aplicaciones de la integral de Riemann-Stieltjes son herramienta fundamental en varias áreas de la ciencia.

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Análisis matemático II Unidad 2. Integral de Riemann Stieltjes Para saber más: En el siguiente link te brinda datos biográficos de Thomas Stieltjes que incluyen referencias a su producción matemática: http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Mathematicians/Stieltjes.html Archivo libre en donde puedes descargar el libro escrito por Hermite sobre su correspondencia con Stieltjes el link es el siguiente http://archive.org/details/correspondancedh01hermuoft Notas de acceso libre donde se estudia la fuerte relación entre integral de Stieltjes y la probabilidad: https://files.nyu.edu/eo1/public/Book-PDF/pChapterDDD.pdf Tesis de licenciatura sobre la integral de Riemann-Stieltjes http://lic.mat.uson.mx/tesis/20TesisVale.PDF

Referencias Bibliográficas Apostol, Tom. (1981). Mathematical Analysis. USA. Addison Wesley.

Bartle, R. (1980). Introducción al Análisis Matemático. México. Limusa.

Protter, M. (1991). Basic Elements of Real Analysis. USA. Springer Verlag.

Rudin, W. (1980). Principios de Análisis Matemático. México. Mc Graw Hill.

Sánchez, Carlos, Valdés, Concepción. (2004). De los Bernoulli a los Bourbaki. España. Nivola.

Schram, Michael. (1996). Introduction to Real Analysis. USA. Prentice Hall.

Wheeden, R., Zygmund, A. (1977). New York. USA:

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