Unidad 2 grupos de permutaciones y grupos cociente

Álgebra moderna 1 Unidad 2. Grupos de permutaciones y grupos cociente Contenido nuclear Universidad Abierta y a Distancia de México Licenciatura en Matemáticas

Licenciatura en Matemáticas

11° Cuatrimestre

Programa de la asignatura: Álgebra moderna I

Unidad 2: Grupos de permutaciones y grupos cociente

Contenido nuclear

Clave: 05144740

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Álgebra moderna 1 Unidad 2. Grupos de permutaciones y grupos cociente Contenido nuclear

Índice Introducción ..................................................................................................................... 3 Desarrollo de contenidos nucleares .............................................................................. 4 Grupos de permutaciones .............................................................................................. 4 Grupo Simétrico ............................................................................................................. 4 Grupo Alternante ............................................................................................................ 5 Grupos cociente, clases laterales izquierdas y derechas ............................................... 6 Teorema de Lagrange .................................................................................................... 6 Recursos web ............................................................................................................... 6 Cierre de la Unidad .......................................................................................................... 7 Fuentes de consulta ........................................................................................................ 7

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Álgebra moderna 1 Unidad 2. Grupos de permutaciones y grupos cociente Contenido nuclear Introducción Al realizar los movimientos de rotación y reflexión en el triángulo equilátero, estamos permutando los vértices del mismo. Las permutaciones tienen una caracterización especial en el Álgebra Moderna, y caracterizan a los llamados grupos de permutaciones.

Por otro lado, si H es un subgrupo de G, podemos definir relaciones de congruencia entre los elementos de H. Estas relaciones nos llevarán a caracterizar conjuntos llamados clases laterales. Dichas clases serán elementos que conformarán nuestra definición de un grupo cociente.

En esta unidad exploraremos los conceptos fundamentales que nos llevarán manejar los grupos de permutaciones y grupos cociente. Además exploraremos el Teorema de Lagrange. En resumen veremos lo siguiente: o o o o o

Grupos de permutaciones. Son aquellos cuyos elementos consisten en permutaciones de un conjunto finito en sí mismo.

Ejemplos de grupos de permutaciones: grupo simétrico, grupo alternante.

Grupos cociente. Si G es un grupo y H un subgrupo de G. El grupo cociente G/H está formado por clases laterales de H en G. Clases laterales. Una clase lateral está formada por productos de elementos de cada grupo que forman al grupo cociente.

Teorema de Lagrange. Sea G un grupo finito de orden n y sea H un subgrupo de G. Entonces el orden de H divide al orden de G.

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Álgebra moderna 1 Unidad 2. Grupos de permutaciones y grupos cociente Contenido nuclear Desarrollo de contenidos nucleares Grupos de permutaciones Las funciones biyectivas que hay de un conjunto en sí mismo son llamadas permutaciones. Cuando el conjunto es finito, sus subgrupos son llamados grupos de permutaciones.

Ejemplo: Recordemos al triángulo equilátero de la unidad anterior. Si lo inscribimos en el plano cartesiano a manera de que su ortocentro coincida con el origen y uno de sus lados sea paralelo al eje x entonces tendremos lo siguiente:

Seguiremos considerando los ejes de reflexión sobre las alturas del triángulo pero con la notación , que representan a la reflexión con respecto a 30°, al eje Y y a 150° respectivamente.

Existen 3!=6 permutaciones de los elementos del conjunto S={1,2,3} formado por los vértices del triángulo. Estas forman el grupo de permutaciones del triángulo. {

}

Grupo Simétrico Llamamos grupo simétrico en n letras al grupo , donde es el conjunto de todas las } en sí mismo. Los elementos de permutaciones de { se caracterizan así: (

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)

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Álgebra moderna 1 Unidad 2. Grupos de permutaciones y grupos cociente Contenido nuclear Donde el primer renglón de la matriz tiene los elementos de 1 a n, y el segundo tiene las imágenes bajo la permutación.

Ejemplos: 1. El grupo de simetrías del triángulo coincide con el grupo simétrico S3 (su grupo de permutaciones).

2. El grupo de simetrías del cuadrado es un subgrupo de su grupo de permutaciones, S4. Se sugiere al lector hacer la prueba.

Grupo Alternante Llamamos grupo alternante, , al conjunto de todas las permutaciones pares de . Una permutación par es aquella que puede descomponerse en un número par de transposiciones. Una transposición es un ciclo de longitud 2.

Un ciclo de longitud k o un k-ciclo es una permutación con la siguiente característica: }, son enteros distintos de { es tal que y para toda .

Ejemplo: Sea

el ciclo en

.

es un 3-ciclo y corresponde a la permutación (

)

Además contamos con el siguiente teorema.

Teorema Toda permutación se puede descomponer en un producto de transposiciones.

Ejemplo: El 3-ciclo anterior se puede escribir como de transposiciones de derecha a izquierda.

Ejemplo: Dado el {

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grupo

simétrico

leyendo la composición

(escrito en notación }, el grupo alternante es: {

de

ciclos) }.

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Álgebra moderna 1 Unidad 2. Grupos de permutaciones y grupos cociente Contenido nuclear Grupos cociente, clases laterales izquierdas y derechas Sea un grupo y un subgrupo de , definimos al grupo cociente formado por el conjunto de clases laterales izquierdas (derechas) y { }.

como el grupo de en . Donde

Teorema de Lagrange Sea un grupo finito de orden divide al orden de .

y sea

un subgrupo de

. Entonces el orden de

Aprende observando

Teorema de LaGrange

En este vídeo se muestran consideraciones previas al Teorema de LaGrange y la teoría en general Tomado de Matemáticas de Yucatán (2010) (Archivo de Vídeo) recuperado de

Recursos web  http://www.dcb.unam.mx/users/casianoam/algebra/capitulos/ESTRUCTURAS%20 ALGEBRAICAS.pdf  http://www.cimat.mx/~fsanchezcv/docs/AModerna.pdf  http://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Algebra_abstracta/abstracta.pdf  http://fmwww.bc.edu/gross/MT216/aata.pdf  http://www.math.niu.edu/~beachy/aaol/structure.html  http://www.math.niu.edu/~beachy/abstract_algebra/  http://staffhome.ecm.uwa.edu.au/~00013270/b_a_a.pdf

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Álgebra moderna 1 Unidad 2. Grupos de permutaciones y grupos cociente Contenido nuclear Cierre de la Unidad En esta unidad utilizaste los contenidos nucleares previos para trabajar con los grupos de permutaciones y los grupos cociente. Ahora cuentas con las herramientas para trabajar con los teoremas principales de isomorfismos.

Fuentes de consulta Zaldívar. F. (2006). Introducción a la Teoría de Grupos. Primera edición. México: Sociedad Matemática Mexicana.

Rotman. J. J. (2000). A First Course in Abstract Algebra. Second edition. United States of America. Prentice Hall.

Herstein. I. N. Álgebra Moderna: Grupos, Anillos, Campos, Teoría de Galois. Segunda edición. México: Trillas.

Fraleigh. J. B. (1994). A First Course in Abstract Algebra. United States of America.

Addison-Wesley Publishing Company.

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