Unidad 2 geometria hiperbolica

Geometrías no euclidianas Unidad 2. Geometría hiperbólica

Universidad Abierta y a Distancia de México

Licenciatura en Matemáticas

10° cuatrimestre

Geometrías no euclidianas

Unidad 2. Geometría hiperbólica

Clave: 050941037

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Geometrías no euclidianas Unidad 2. Geometría hiperbólica

Índice Presentación de la unidad ................................................................................................... 3 Propósitos............................................................................................................................ 3 Competencia específica....................................................................................................... 3 2. Geometría hiperbólica ...................................................................................................... 3 Actividad 1. El postulado de las paralelas ...................................................................... 5 2.1. Suma de ángulos. ................................................................................................... 5 2.1.1. Axioma hiperbólico .............................................................................................. 8 2.1.2. Ángulos internos de un triángulo ....................................................................... 11 2.2. Triángulos semejantes .......................................................................................... 23 2.2.1. El postulado de Wallis ....................................................................................... 24 2.2.2. Congruencia de triángulos ................................................................................ 27 Actividad 2. Suma de ángulos y triángulos semejantes ................................................ 28 2.3. Paralelas y perpendiculares .................................................................................. 29 2.3.1. Paralelas que admiten una perpendicular común.............................................. 29 2.3.2. Limitación de rayos paralelos ............................................................................ 38 2.4. Clasificación de las paralelas ................................................................................ 42 Actividad 3. Paralelas y perpendiculares ...................................................................... 43 Autoevaluación .................................................................................................................. 43 Evidencia de aprendizaje. Geometría hiperbólica .............................................................. 43 Autorreflexiones ................................................................................................................. 44 Cierre de la unidad ............................................................................................................ 44 Para saber más ................................................................................................................. 44 Fuentes de consulta .......................................................................................................... 45

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Geometrías no euclidianas Unidad 2. Geometría hiperbólica Presentación de la unidad En el inicio de esta unidad observarás algunas formas equivalentes de presentar el quinto postulado de Euclides, para después construir una geometría distinta a la euclidiana por medio de la negación del postulado de las paralelas de Hilbert y así obtener el axioma hiperbólico y comenzar con el estudio de la conocida como geometría hiperbólica. Aunado a esto, se muestran propiedades que son comunes a ambas geometrías y también algunas diferencias entre ellas.

Propósitos Al término de esta unidad lograrás:    

Identificar algunas equivalencias del quinto postulado de Euclides.

Identificar el axioma hiperbólico como la negación del axioma de las paralelas de Hilbert.

Revisar algunas propiedades comunes entre la geometría euclidiana y la geometría hiperbólica.

Revisar algunas diferencias entre la geometría euclidiana y la geometría hiperbólica.

Competencia específica Analizar la consistencia de la geometría hiperbólica para la resolución de problemas geométricos, mediante los conceptos de ángulo, triángulo y perpendiculares.

2. Geometría hiperbólica Como has observado en la unidad anterior, el quinto postulado de Euclides ha sido el más controversial, muchos matemáticos intentaron deducirlo de los cuatro anteriores fracasando en cada uno de sus intentos; llegaron a la conclusión de que este postulado era independiente de los otros, lo que provocó un cambio en la forma de concebir la geometría, dando origen a otras geometrías conocidas como geometrías no euclidianas. En esta sección se aborda la geometría conocida como hiperbólica.

Es de resaltar que, en muchas ocasiones, cuando una nueva idea surge hay varias personas que trabajan simultáneamente con ésta, es muy conocida la historia del surgimiento del cálculo desarrollado en forma paralela por Newton en Inglaterra y Leibniz en Alemania. La historia ha ubicado a tres matemáticos como los iniciadores en el estudio de una geometría no euclidiana: el húngaro János Bolyai (1802-1860), el alemán Carl Friedrich Gauss (1777-1855) y el ruso Nikolai Ivanovich Lobachevsky (1792-1856).

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Geometrías no euclidianas Unidad 2. Geometría hiperbólica Como se vio en la unidad anterior, dos rectas son paralelas si nunca se cortan, la forma original en que Euclides presenta el quinto postulado en los elementos es: Quinto postulado de Euclides: si dos líneas son cortadas por una transversal de tal forma que la suma de los ángulos interiores de algún lado de la transversal sea menor que dos ángulos rectos, entonces las dos líneas se cortan del mismo lado de la transversal.

Gráficamente, el quinto postulado de Euclides se presenta de la siguiente manera:

Figura 1. El quinto postulado de Euclides

A continuación se presentan algunas equivalencias de este postulado, las cuales se presentan sin demostración: Teorema 2.1. El quinto postulado de Euclides se cumple si y sólo si se cumple el axioma de las paralelas de Hilbert.

Teorema 2.2. El axioma de las paralelas de Hilbert se cumple si y sólo si dadas dos líneas paralelas, si otra línea corta a alguna de éstas, entonces también corta a la otra.

Teorema 2.3. El axioma de las paralelas de Hilbert se cumple si y sólo si cualesquiera dos líneas paralelas que son cortadas por una transversal tienen al menos un par de ángulos alternos internos congruentes.

Teorema 2.4. El axioma de las paralelas de Hilbert se cumple si y sólo si cuando la línea 2 3 y 1  2 , implica que 1  3 .

1 es transversal a las líneas 2 y 3 , donde Teorema 2.5. El axioma de las paralelas de Hilbert se cumple si y sólo si dadas cuatro líneas 1 , 2 , 3 y 4 tales que 1 2 , 1  3 y 1  4 implica que 3  4 o 3 4 .

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Geometrías no euclidianas Unidad 2. Geometría hiperbólica Teorema 2.6. El quinto postulado de Euclides se cumple si y sólo si los rectángulos existen.

Actividad 1. El postulado de las paralelas A través de esta actividad, identificarás los principios básicos de la geometría euclidiana para separar el quinto postulado de Euclides.

1. Investiga algunos resultados de la geometría euclidiana clásica.

2. Ingresa al foro y responde las siguientes preguntas. ¿Cuáles son independientes del quinto postulado de Euclides? ¿Cuáles utilizan el quinto postulado de Euclides?

3. Revisa las aportaciones de dos de tus compañeros(as), realiza una comparación con tus respuestas. Acepta o rechaza sus respuestas.

Consulta la rúbrica general de la participación en foros que se encuentra en la sección Material de apoyo.

2.1. Suma de ángulos Hay muchos objetos y resultados geométricos que se pueden obtener utilizando los axiomas de Hilbert sin necesidad de utilizar el axioma de las paralelas, como se ejemplifica a continuación; pero primero deberás considerar las siguientes definiciones: Definición: Sean t , y ' tres líneas distintas, con t transversal a y ' y donde t corta en B y B ' a las rectas y ' respetivamente. Sean A y C puntos de tales que A * B * C y de forma similar A ' y C ' son puntos de ' tales que A '* B '* C ' . Entonces los ángulos A ' B ' B, ABB ', C ' B ' B, CBB ' son llamados internos. Por otro lado, las parejas de ángulos

ABB ', C ' B ' B y

A ' B ' B,

CBB ' son llamados alternos internos.

La definición anterior se ejemplifica en la siguiente figura:

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Geometrías no euclidianas Unidad 2. Geometría hiperbólica

Figura 2. Ángulos alternos internos

El resultado que se presenta se le conoce como teorema de los ángulos alternos interiores.

Teorema 2.7. Si dos líneas son cortadas por una transversal de tal forma que se forme una pareja de ángulos alternos internos congruentes, entonces las dos son paralelas.

Demostración: sean las líneas t , anterior, entonces: (i).

Se tiene por hipótesis que

y ' , los A, B, C, A ', B ', C ' como en la definición

A ' B ' B  CBB ' .

Figura 3. Ángulos alternos internos en un par de líneas paralelas

(ii).

Por contradicción, supón que y ' no son paralelas, es decir, que existe un punto D donde intersecta a ' y supón que D está del mismo lado con respecto a t que los puntos C y C ' .

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Geometrías no euclidianas Unidad 2. Geometría hiperbólica

Figura 4. Las rectas

(iii).

y

se intersectan en

D

Existe un punto E sobre el rayo B ' A ' tal que B ' E  BD .

Figura 5. El punto

(iv).



E

satisface

B ' E  BD

Como el segmento BB ' es congruente consigo mismo, entonces por el criterio LAL se tiene que B ' BD  BB ' E y en particular DB ' B  EBB '

Figura 6. El triángulos

B ' BD es congruente a

BB ' E

(v).

Dado que DB ' B es suplementario a EB ' B , entonces EBB ' es suplementario a DBB ' . (vi).

En consecuencia E es un punto de . (vii).

Entonces y  tienen dos puntos en común, lo que implica que  ' , lo cual contradice la hipótesis   presentada en la definición. '. (viii).

Por lo tanto D no existe, por lo tanto Lo que demuestra el resultado.

Debido al teorema anterior, se presentan dos consecuencias inmediatas:

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Geometrías no euclidianas Unidad 2. Geometría hiperbólica Corolario 2.7.1. Dos líneas perpendiculares a la misma son paralelas entre sí. Más aún, dada una línea y un punto que no pertenece a ésta, entonces la perpendicular a la línea que pasa dicho punto es única.

Demostración: si dos líneas y  son perpendiculares a la línea t , los ángulos alternos internos son ángulos rectos, y como todos los ángulos rectos son congruentes entre sí, . esto implica que Corolario 2.7.2. Dadas cualquier línea existe al menos una línea m paralela a

y un punto P que no pertenezca a que pasa por P .

entonces

Demostración: existe una línea t perpendicular a la línea que pasa por el punto P , Además de una única línea m perpendicular a t que pasa por P , dado que y m son m. perpendiculares a t entonces por el corolario anterior Observa que este resultado afirma la existencia de la línea m paralela a que pasa por el punto P , pero este corolario no afirma la unicidad de ésta, por lo que no se obtiene el quinto postulado de Euclides.

2.1.1. Axioma hiperbólico Como observaste en la unidad 1, existen resultados que se obtienen inmediatamente de los axiomas de Hilbert, sin necesidad de mezclar unos con otros. Los axiomas que determinan a la geometría hiperbólica son los de Hilbert, sin tomar en cuenta el axioma de las paralelas, que se sustituye por el axioma hiperbólico, es decir, los axiomas que definen la geometría hiperbólica son: (a) (b) (c) (d) (e)

Incidencia Intermediación Congruencia Continuidad Hiperbólico

El axioma hiperbólico se enuncia de la siguiente manera: Axioma hiperbólico: existe una línea y un punto P que no pertenece a existen al menos dos líneas paralelas a distintas que pasan por P .

, tales que

Observa que este axioma es la negación del axioma de las paralelas de Hilbert y, en consecuencia, del quinto postulado de Euclides. La siguiente figura presenta una noción gráfica del axioma hiperbólico: Educación Abierta y a Distancia * Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnologías

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Geometrías no euclidianas Unidad 2. Geometría hiperbólica

Figura 7. Axioma hiperbólico

En geometría hiperbólica, al no cumplirse el axioma de las paralelas de Hilbert, entonces el teorema 2.6. es falso, por consiguiente se tiene el siguiente resultado: Lema 2.1. En geometría hiperbólica no existen los rectángulos.

El lema anterior permite plantear una versión universal del axioma hiperbólico, a esto se le conoce como el teorema hiperbólico universal.

Teorema 2.8. En geometría hiperbólica, para toda línea y todo punto P que no pertenezca a se tiene que a través de P pasan al menos dos distintas líneas paralelas a .

Demostración: basta atender los siguientes pasos: (i).

Sean

una línea y P un punto que no pertenezca a

Figura 8. La línea

(ii).

Considera el punto Q de la línea

y el punto

.

P

, de tal forma que PQ  .

Figura 9. La línea

PQ

perpendicular a

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Geometrías no euclidianas Unidad 2. Geometría hiperbólica (iii).

Sea m la línea que pasa por P tal que PQ  m .

Figura 10. La línea m perpendicular a

(iv).

Sea R un punto sobre

distinto de Q y t la perpendicular a

Figura 11. La línea

(v).

PQ

t

perpendicular a

que pasa por

que pasa por R .

R

Sea S un punto de la línea t , de tal forma que PS  t .

Figura 12. La línea

PS

perpendicular a

t

(vi).

Como PS y

(vii).

Se tiene que mostrar que PS  m o equivalentemente S no es elemento de la línea m , se procede por contradicción, supóngase que S es elemento de m .

En consecuencia, el cuadrilátero QRSP es un rectángulo.

(viii).

son perpendiculares a t se tiene que PS

.

(ix).

Esto contradice el lema 2.7., por consiguiente S no pertenece a m .

Lo que demuestra el resultado.

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Geometrías no euclidianas Unidad 2. Geometría hiperbólica Como consecuencia inmediata del teorema hiperbólico universal, se presenta el siguiente resultado: Corolario 2.8.1. En geometría hiperbólica, para toda línea y todo punto P que no pertenezca a existen un número infinito de líneas paralelas a que pasan por P .

Demostración: dado que las rectas paralelas dependen del punto R y como hay una manera infinita de escoger al punto R , se tiene que existen un número infinito de rectas paralelas a .

2.1.2. Ángulos internos de un triángulo Es momento de revisar el comportamiento de los ángulos interiores de un triángulo en geometría hiperbólica, para ello se presentan las siguientes definiciones:

Definición: dos ángulos son adyacentes si y sólo si tienen el mismo vértice, comparten un lado y no se sobreponen uno sobre el otro.

Gráficamente, dos ángulos adyacentes se ven de la siguiente forma:

Figura 13. Ángulos adyacentes

Definición: dos ángulos son opuestos por un vértice si se forman de la intersección de dos líneas y tales ángulos no son adyacentes.

Gráficamente los ángulos opuestos por un vértice se ven la de la siguiente forma:

Figura 14. Ángulos opuestos por un vértice

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Geometrías no euclidianas Unidad 2. Geometría hiperbólica Los ángulos opuestos por un vértice son congruentes, esto permite mostrar que los ángulos suplementarios de ángulos congruentes son congruentes. El siguiente concepto se utiliza en el próximo resultado: Definición: dados dos ángulos

ABC y

DEF , se dice que

ABC es menor que

DEF

, y se denota por ABC  DEF , si y sólo si existe un rayo EH entre los rayos ED y EF tal que ABC  DEH .

En la siguiente figura se ejemplifica la definición anterior:

Figura 15. El ángulo

CBA

es menor que el ángulo

DEF

El siguiente resultado se conoce como el teorema del ángulo exterior y es muy importante para obtener algunas propiedades básicas sobre triángulos.

Teorema 2.9. Un ángulo exterior de un triángulo es más grande que los otros dos ángulos no adyacentes.

Demostración: basta que observes los siguientes pasos: (i).

Sea el triángulo con vértices en los puntos A, B, C y considera el ángulo

Figura 16. Ángulo

(ii).

BAC

del triángulo

BAC .

ABC

Sea D un punto en la línea BC tal que B * C * D .

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Geometrías no euclidianas Unidad 2. Geometría hiperbólica

Figura 17. Punto

D

que satisface B * C * D

(iii).

Se procede por contradicción, si BAC  ACD entonces las líneas BA y BC son paralelas y en consecuencia B no existe, lo que es una contradicción.

(iv).

Si

BAC  ACD existe un rayo AE , de tal manera que

Figura 18. Rayo

(v).

AE que satisface

(vii). (viii).

ACD  CAD

Existe el punto G sobre el rayo AE , tal que B * G * C .

Figura 19. Punto

(vi).

ACD  CAD .

G que satisface B * G * C

Entonces las líneas AE y CD son paralelas, por consiguiente el punto A no existe, lo que es una contradicción.

Por consiguiente BAC  ACD .

Para mostrar ABC  ACD hay que considerar un punto F que esté en la línea

AC , de tal forma que A * C * F .

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Geometrías no euclidianas Unidad 2. Geometría hiperbólica

Figura 20. Línea

AC

que satisface A * C * F

(ix).

Luego se tiene que ACD  FCB , ya que son opuestos por el vértice C . (x).

Por el razonamiento dado de los pasos (ii) al (vii), se tiene que ABC  BCF . (xi).

En consecuencia ABC  ACD .

Lo que demuestra el resultado.

Como consecuencia del teorema 2.9. y los resultados anteriores, se tienen los siguientes resultados: Proposición 2.1. Dados dos triángulos ABC y B  E entonces ABC  DEF .(LAA)

DEF tales que AC  DF ,

A D y

Proposición 2.2. Dos triángulos rectángulos son congruentes si sus respectivas hipotenusas son congruentes y algunos de sus respectivos catetos son congruentes.

Proposición 2.3. Todo segmento tiene un punto medio.

Proposición 2.4. Todo ángulo tiene una bisectriz.

Proposición 2.5. Todo segmento tiene una única bisectriz perpendicular.

Proposición 2.6. En todo triángulo, el ángulo interno más grande se opone al lado de mayor longitud, y el lado de mayor longitud es opuesto al ángulo interno más grande.

Proposición 2.7. Dados los triángulos ABC y entonces B  E si y sólo si AC  DF .

DEF tales que AB  DE y BC  EF

Proposición 2.8. Dados dos triángulos tales que son congruentes todos sus lados, entonces son congruentes. (LLL)

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Geometrías no euclidianas Unidad 2. Geometría hiperbólica La Proposición 2.1. toma el nombre de criterio Lado-Ángulo-Ángulo (LAA) y la Proposición 2.8. es conocida como el criterio Lado-Lado-Lado (LLL) de congruencias de triángulos.

Es conocido que a cada segmento y a cada ángulo se le asigne un número, el primero llamado longitud y el segundo amplitud (expresada en grados). Los siguientes resultados garantizan la existencia de dichos números, las demostraciones se basan en el axioma de Dedekind y su demostración es presentada en un curso de análisis matemático, por lo cual escapa de los objetivos de este curso.

El primer resultado se presenta para ángulos y se enuncia de la siguiente manera: Teorema 2.10. Dado un ángulo



A , existe una única manera de asignarle los grados

A que satisface las siguientes condiciones: (a) 0   A  180 . (b)



A   B  si y sólo si

A B.

(c) Si el rayo AC es interior al ángulo

(d)



DAC    CAB    DAB  .



A  90 si y sólo si

DAB entonces

A es un ángulo recto.

(e) Para todo x   0,180  existe un ángulo (f) Los ángulos (g)



A y

A tal que



A  x .

B son suplementarios si y sólo si

A   B  si y sólo si



A   B   180 .

A B.

A partir del resultado anterior se obtienen los siguientes conceptos: Definición: dado un ángulo dice que

A , se dice que

A es obtuso si y sólo si



A es agudo si y sólo si



A  90 y se

A  90 .

Como una consecuencia inmediata de este teorema se tiene el siguiente resultado: Corolario 2.10.1. La suma de los grados de dos ángulos internos de un triángulo es menor que 180 .

Ahora se presenta el resultado análogo para segmentos: Teorema 2.11. Dado un segmento OP llamado unidad existe una única manera de asignar la longitud AB del segmento AB tal que satisface las siguientes condiciones: (a) AB  0 y OP  1 . (b) AB  CD si y sólo sí AB  CD .

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Geometrías no euclidianas Unidad 2. Geometría hiperbólica (c) A * B * C si y sólo si AB  BC  AC . (d) AB  CD si y sólo si AB  CD . (e) Para todo x 

con x  0 existe un segmento AB tal que AB  x .

Como consecuencia del teorema anterior se obtiene el siguiente resultado: Corolario 2.11.1. Para cualesquiera tres puntos no colineales A , B y C se tiene que AC  AB  BC .

Demostración: basta observar los siguientes pasos: (i).

Sean A , B y C tres puntos no colineales.

A, B

Figura 21. Puntos no colineales

(ii).

y

C

Aplicando los axiomas de intermediación 1 y de congruencia 1 al rayo opuesto a BA , existe un único punto D que satisface A * B * D y que BD  BC .

Figura 22. Punto

(iii).

Entonces el triángulo

D que satisface A * B * D y que BD  BC

CBD es isósceles y así

BCD  BDC .

Figura 23. Triángulo isósceles

CBD

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Geometrías no euclidianas Unidad 2. Geometría hiperbólica (iv). (v).

Por la parte (c) del teorema 2.11. se tiene que AB  BD  AD .

Como BC  BD se tiene que AB  BC  AD .

(vi).

Dado que el rayo CB esta entre los rayos CA y CD , por definición, se tiene que BCD  ACD .

Como BCD  ACD y BCD  BDC implica que ADC  ACD .

(vii).

Figura 24. El ángulo

(viii). (ix).

ADC es menor que el ángulo

ACD

Por la proposición 2.7. se tiene que AD  AC .

Por la parte (d) del teorema 2.11. se tiene que AD  AC .

(x).

Por consiguiente AB  BD  AD  AC .

Lo que demuestra el resultado.

El siguiente es un resultado muy importante cuya demostración requiere del axioma de Arquímedes, éste es conocido como el teorema de Saccheri-Legendre, pero antes de abordarlo debes revisar el siguiente lema con su demostración.

Lema 2.2. Dado el triángulo

ABC sea D el punto medio del segmento BC , y sea E el

punto sobre el rayo AD de tal forma que A * D * E y AD  DE entonces la suma de las aberturas de los ángulos del triángulo ABC es igual a la suma de las aberturas de los ángulos del triángulo AEC y la medida de alguno de los ángulos AEC o EAC es 1 menor o igual a  BAC  .

2 Demostración: basta observar los siguientes pasos: (i).

Dado un triángulo

ABC , sea D el punto medio del segmento BC y sea E el

punto sobre el rayo AD , de tal forma que A * D * E y AD  DE .

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Geometrías no euclidianas Unidad 2. Geometría hiperbólica

Figura 25. El punto

(ii). (iii).

D

es el punto medio de los segmentos

Por ser ángulos opuestos por el vértice D , se tiene que hipótesis BD  CD y ED  AD .

Por el criterio LAL se tiene que BDA  CDE .

Figura 26. El triángulo

(iv).

Luego

DEC  DAB y así

Como

y

BC

BDA  CDE , y por

es congruente al triángulo

CDE

BAC  BAD  DAC  CEA  EAC .

Figura 27. El triángulo

(v).

BDA

AE

DEC es congruente al triángulo

ABD  ECD , se tiene que

DAB

ECA  ECD  DCA  ECB  BCA .

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Geometrías no euclidianas Unidad 2. Geometría hiperbólica

ABD es congruente al triángulo

Figura 28. El triángulo

(vi).

ECD

Aplicando la parte (c) del teorema 2.10. se tiene que:



BAC    ACB    CBA   CEA   EAC     ACB    ECB      CEA   EAC    ACE 

(vii).

Finalmente



BAC    CEA   EAC   2min

implica que min



CEA ,  EAC 

  12 



CEA ,  EAC 

 lo que

BAC  .

Con lo cual queda demostrado el resultado.

Teorema 2.12. En todo triángulo, la suma de las medidas en grados de sus ángulos internos es menor o igual a 180 .

Demostración: se procede por contradicción siguiendo los siguientes pasos: (i).

Supóngase que la suma de las medidas en grados de sus ángulos internos del triángulo ABC es mayor que 180 .

(ii).

Así, existe p  0 tal que

(iii).

Por el lema 2.2. existe un triángulo ángulos del triángulo



AB1C tal que la suma de las aberturas de los

ABC es igual a la suma de las aberturas de los ángulos del

triángulo

AB1C , es decir



1  BAC  .

2

AB1C  

A   B    C   180  p .



A   B1    C   180  p y

Figura 29. Triángulo

AB1C

que satisface el lema 2.2

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Geometrías no euclidianas Unidad 2. Geometría hiperbólica (iv).

De forma similar, aplicando el lema 2.2. al triángulo

AB1C existe un triángulo

AB2C tal que:



A   B2    C   180  p y

Por inducción matemática para todo k 



AB2C  

1 1  B1 AC    BAC  .

2 4

AB2C que satisface el lema 2.2

Figura 30. Triángulo

(v).



A   Bk    C   180  p y



existe un triángulo

ABk C  

1 2k



ABk C tal que:

BAC  .

1  BAC   p .

2k0 ABk0 C que satisface las siguientes

(vi).

Por el axioma de Arquímedes existe k0 

(vii).

Lo que implica que existe un triángulo

tal que y

relaciones:

180  p   A  (viii). (ix).



Bk0

   C    A

 p   C

En consecuencia 180   A   C  , contradiciendo al corolario 2.10.1.

Por lo tanto



A   B    C   180 .

Lo que demuestra el resultado.

Como consecuencia del teorema anterior se desprenden dos propiedades (corolario), la primera se enuncia a continuación: Corolario 2.12.1. La suma de las medidas de dos ángulos interiores de un triángulo es menor o igual a la medida del ángulo exterior no adyacente.

Para la segunda hay que definir el siguiente concepto: Definición: se dice que un cuadrilátero ABCD es convexo si y sólo si existe un par de lados opuestos, dígase AB y CD , tal que el segmento CD está contenido en uno de los semiplanos determinados por la línea AB y el segmento AB está contenido en uno de los semiplanos determinados por la línea CD .

La siguiente figura ejemplifica la definición de cuadrilátero convexo:

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Geometrías no euclidianas Unidad 2. Geometría hiperbólica

Figura 31. Cuadrilátero convexo y cuadrilátero no convexo

Corolario 2.12.2. La suma de los ángulos interiores de cualquier cuadrilátero convexo es menor o igual a 360 .

El teorema 2.12. permite definir el siguiente concepto: Definición: dado un triángulo



ABC , el defecto  ABC es el número positivo tal que:

A   B    C    ABC  180 .

El siguiente resultado muestra que si existe un triángulo tal que su defecto es positivo, entonces todos los triángulos tienen defecto positivo, equivalentemente, si existe un triángulo cuya suma de ángulos internos es igual a 180 , entonces para cualquier triángulo la suma de sus ángulos interiores es igual a 180 . Primero se comienza con la propiedad aditiva del defecto de un triángulo.

Teorema 2.13. Dados un triángulo ABC y un punto D tal que A * D * B entonces  ABC   ACD   DCB .

Demostración: basta atender los siguientes pasos: (i).

Se tiene que el rayo CD es interior al ángulo ACB .

Figura 32. Rayo CD es interior al ángulo

(ii).

Por la parte (c) del teorema 2.10. se tiene que

(iii).

Como los ángulos 2.10. implica que

(iv).



ADC y



ACB

ACD    DCB    ACB  .

CDB son suplementarios, la parte (f) del teorema

ADC    CDB   180 .

Por definición de defecto se tienen las siguientes relaciones:

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21

Geometrías no euclidianas Unidad 2. Geometría hiperbólica   

ABC    BCA   CAB    ABC  180 DBC    BCD    CDB    DBC  180 ADC    DCA   CAD    ADC  180

(v).

Sumando miembro a miembro y utilizando las relaciones obtenidas en los pasos (ii) y (iii) se obtiene que  ABC   ACD   DCB .

Lo que muestra el resultado.

Corolario 2.13.1. Bajo las hipótesis del teorema 2.13. la suma de los ángulos interiores del triángulo ABC es igual a 180 si y sólo si la suma de los ángulos internos de cada triángulo

ACD y

DCB es 180 .

Demostración: supóngase que la suma de los ángulos internos de cada triángulo

ACD

y DCB es 180 , entonces  ACD   DCB  0 , por el teorema 2.13. se tiene que  ABC   ACD   DCB  0  0  0 , es decir, la suma de los ángulos interiores del triángulo ABC es igual a 180 . Inversamente, si  ABC  0 , entonces por el teorema 2.13. se tiene que  ACD   DCB   ABC  0 , por el teorema 2.12. se tiene que  ACD y  DCB son números no negativos, lo que implica que  ACD   DCB  0 , es decir, la suma de los

ángulos internos de cada triángulo

ACD y

DCB es 180 .

El siguiente resultado muestra que cuando un rectángulo existe también un triángulo que tiene defecto nulo e inversamente, éste se presenta sin demostración.

Teorema 2.14. Si existe un triángulo cuya suma de ángulos internos es 180 , entonces existe un rectángulo. Inversamente, si un rectángulo existe entonces en todo triángulo la suma de sus ángulos internos es igual a 180 .

Corolario 2.14.1. Si existe un triángulo con defecto positivo, entonces todos los rectángulos tienen defecto positivo.

Combinando el lema 2.1. y el teorema 2.14., se tienen los siguientes resultados: Teorema 2.15. En geometría hiperbólica, en cualquier triángulo la suma de sus ángulos internos es menor que 180 .

Una consecuencia del teorema anterior es la siguiente propiedad que tienen los cuadriláteros convexos.

Corolario 2.15.1. En geometría hiperbólica, la suma de los ángulos interiores de cualquier cuadrilátero convexo es menor que 360 .

Demostración: considera los siguientes pasos: (i).

Sea el cuadrilátero convexo ABCD .

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22

Geometrías no euclidianas Unidad 2. Geometría hiperbólica (ii).

Tomando la diagonal AC y considerar los dos triángulos

Figura 33. Triángulos

ABC y

ABC y

ACD .

ACD

(iii).

Por el teorema 2.15. las suma de los ángulos internos de cada triangulo es menor que 180 .

(iv).

Dado que

ABCD es convexo significa que el rayo AC esta entre los rayos AB y

AD .

Figura 34. El rayo AC está entre los rayos

(v).

Por la parte (c) del teorema 2.10. se tiene las siguiente relación:

 (vi).

AB y AD

BAC    CAD    BAD 

De forma similar se tiene que



ACB    ACD    BCD  .

(vii).

Combinando los pasos (ii), (v) y (vi) se tiene que la suma de los ángulos internos del cuadrilátero ABCD es menor que dos veces 180 .

Lo que demuestra el resultado.

2.2. Triángulos semejantes Hasta el momento, tomando en cuenta también la unidad anterior, se han presentado los siguientes criterios de congruencias de triángulos: (a) Criterio Lado-Ángulo-Lado. (b) Criterio Ángulo-Lado-Ángulo. (c) Criterio Lado-Ángulo-Ángulo.

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23

Geometrías no euclidianas Unidad 2. Geometría hiperbólica (d) Criterio Lado-Lado-Lado.

El objetivo de esta sección es mostrar que en geometría hiperbólica basta el criterio LadoLado-Lado.

2.2.1. El postulado de Wallis El resultado importante de esta sección es también equivalente al axioma de las paralelas, inicialmente fue planteado por el astrónomo persa Nasir Eddin al-Tusi (1201-1274); sin embargo, su demostración tiene varias afirmaciones cuya justificación no es correcta, el matemático John Wallis (1616-1703) fue quien se dedicó a resolver los vacíos dejados por el astrónomo persa. Wallis plantea un nuevo postulado y utilizando los axiomas incidencia, intermediación, congruencia y continuidad obtuvo el postulado de las paralelas. Se empieza con el siguiente concepto.

Definición: dados dos triángulos ABC y DEF se dice que el triángulo ABC es semejante a DEF si y sólo si se puede realizar una correspondencia de vértices de tal forma que los ángulos sean congruentes.

Cuando los triángulos

ABC y

DEF son congruentes se denota por

ABC

DEF .

En geometría euclidiana se demuestra que cuando dos triángulos son congruentes los lados correspondientes son proporcionales.

La siguiente figura ilustra concepto de semejanza de triángulos:

Figura 35. Triángulos semejantes

Postulado de Wallis: dados un triángulo ABC y un segmento DE , siempre existe un triángulo DEF , de tal manera que ABC DEF .

A continuación se presenta el resultado principal de esta sección: Teorema 2.16. El postulado de Wallis implica el postulado de las paralelas.

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24

Geometrías no euclidianas Unidad 2. Geometría hiperbólica Demostración: basta atender los siguientes pasos: (i).

Sean una recta y P un punto que no sea elemento de

Figura 36. La línea

(ii).

Sean Q el punto sobre la recta

y punto

tal que PQ 

.

P

y m la recta que pasa por P tal

que m  PQ .

Figura 37. Línea

y m  PQ entonces m

PQ

perpendicular a

(iii).

Como PQ 

(iv).

línea paralela a .

Sea n una línea distinta de m que pasa por P .

, sea desea mostrar que m es la única

Figura 38. Línea n que pasa por

(v).

P

Toma el rayo n1 contenido en n que inicia en P que está entre los rayos PQ y m1 , donde m1 es un rayo contenido en la línea m .

Figura 39. Rayo n1 contenido en n que inicia en

P

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25

Geometrías no euclidianas Unidad 2. Geometría hiperbólica (vi).

Para cualquier punto R en el rayo n1 existe un punto S en el rayo PQ que satisface que SR  PQ .

Figura 40. Línea

(vii).

SR

perpendicular a

Aplicando el postulado de Wallis al triángulo un punto T de tal manera que R

PSR

PQ

PSR y al segmento PQ , así existe

PQT , con la asignación P

P, S

Q y

T . Se puede suponer que T y R están del mismo lado con respecto a la línea

PQ , ya que si T y R están del lado opuesto con respecto a PQ existe un punto T1 que está del mismo lado que R con respecto a PQ tal que

Figura 41. Triángulo

(viii).

Por (viii) se tiene que

PQT congruente al triángulo

PQT 

PQT1 .

PQT1

TPQ  RPS .

(ix).

Por el punto (ix), por el hecho de que PQ  PS y el axioma de continuidad 4

(x).

implican que PR  PT . Por consiguiente T es un punto del rayo PR .

De forma similar, por ser ángulos rectos se tiene que PQT  PSR y se tiene que T es un punto de la línea n , lo que implica que n y

se intersectan en T .

T donde se intersectan las líneas n y Educación Abierta y a Distancia * Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnologías Figura 42. Punto

26

Geometrías no euclidianas Unidad 2. Geometría hiperbólica (xi).

Por lo tanto m es única.

Lo que demuestra el resultado.

2.2.2. Congruencia de triángulos El teorema 2.16. garantiza que el postulado de Wallis no se cumple en geometría hiperbólica. En consecuencia, bajo ciertas circunstancias, en esta geometría hablar de triángulos similares carece de significado. El objetivo de esta sección es agregar condiciones para ver que el concepto de triángulos similares no se tiene en geometría hiperbólica.

Teorema 2.17. En geometría hiperbólica, si dos triángulos son similares, entonces también son congruentes.

Demostración: se procede por contradicción siguiendo los siguientes pasos: (i).

Supóngase que existen dos triángulos ABC y A ' B 'C ' que son similares pero no congruentes, con la correspondencia A A ' , B B ' y C C ' .

Figura 43. Triángulos similares y no congruentes

(ii).

(iii). (iv).

(v). (vi).

Entonces no hay lados correspondientes que sean congruentes, ya que en caso contrario por el criterio LAL garantiza que los triángulos ABC y A ' B 'C ' son congruentes contradiciendo el punto (i).

Considera las dos ternas ordenadas  AB, AC, BC  y  A ' B ', A ' C ', B ' C ' de lados de los triángulos ABC y A ' B 'C ' , respectivamente.

Alguna de las ternas anteriores debe contener al menos dos segmentos que sean más grandes que los otros dos correspondientes, sin pérdida de generalidad, se puede suponer que AB  A ' B ' y AC  A ' C ' .

Luego, existen dos puntos B '' y C '' en AB y AC respectivamente tales que AB ''  A ' B ' y AC ''  A ' C ' .

Por el criterio LAL se tiene que los triángulos AB '' C '' y A ' B 'C ' son congruentes. Esto implica que los ángulos correspondientes son congruentes AB '' C ''  B y AC '' B ''  C .

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27

Geometrías no euclidianas Unidad 2. Geometría hiperbólica (vii).

Por la hipótesis AB '' C ''  B y

(viii).

Por el teorema 2.7. se tiene que BC B '' C '' , trayendo como consecuencia que el cuadrilátero BB '' C '' C es convexo.

Por las partes (b) y (f) del teorema 2.10. se tiene que:

(ix).

ABC A ' B ' C ' y el axioma de congruencia cinco implica que AC '' B ''  C .

 (x).

B    BB '' C ''   C    CC '' B ''  180

Por consiguiente la suma de los ángulos internos del cuadrilátero

BB '' C '' C es

360 , lo que contradice al corolario 2.15.1.

Lo que demuestra el resultado.

En resumen, en la geometría hiperbólica es imposible ampliar o reducir el tamaño del triángulo sin que éste sufra una distorsión. Como una aplicación de esto, si se tiene una fotografía, en un mundo hiperbólico, tiene que ser inherentemente surrealista.

Una consecuencia sorprendente del teorema 2.17. es que en la geometría hiperbólica un segmento puede ser determinado con la ayuda de un ángulo; por ejemplo, el ángulo de un triángulo equilátero determina la longitud de un lado de forma única. Esto a veces se dice de forma más dramática, afirmando que la geometría hiperbólica tiene una unidad absoluta de longitud. Incluso si la geometría del universo físico fuera de tipo hiperbólico, no tendría más que el tamaño necesario, obteniendo así una unidad de longitud que sería cuidadosamente guardada en la Oficina de Pesas y Medidas Internacionales.

Actividad 2. Suma de ángulos y triángulos semejantes A través de esta actividad, resolverás ejercicios de sumas de ángulos y triángulos semejantes, tomando en cuenta los axiomas de intermediación y congruencia.

Instrucciones: 1. Descarga el documento Act. 2. Suma de ángulos y triángulos semejantes.

2. Resuelve los ejercicios que ahí se presentan, toma en cuenta los axiomas de intermediación y congruencia.

3. Guarda tu documento con la siguiente nomenclatura MGNE_U2_A2_XXYZ. 4. Envía tu documento a tu Facilitador(a) y espera su retroalimentación. *Nota: no olvides consultar la Escala de evaluación para conocer los criterios con que será evaluado tu trabajo.

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28

Geometrías no euclidianas Unidad 2. Geometría hiperbólica

2.3. Paralelas y perpendiculares Una de las primeras experiencias que se tiene con las líneas paralelas se presenta al observar las vías del tren, éstas se mantienen siempre a una misma distancia una de la otra, como lo muestra la siguiente figura:

Figura 44: Rieles de ferrocarril

Para formalizar la idea anterior se presenta el siguiente concepto: Definición: dadas dos líneas y ' , para un conjunto de punto A, B, C, sobre la línea , le corresponde el conjunto de puntos A ', B ', C ', de la línea ' , que se obtiene cuando las perpendiculares a que pasan por los puntos A, B, C, respectivamente intersectan a ' .

Se dice que los puntos A, B, C, son equidistantes a  si y sólo si AA '  BB '  CC '  .

La siguiente figura ejemplifica la definición anterior:

Figura 45. Puntos equidistantes de dos líneas

2.3.1. Paralelas que admiten una perpendicular común Educación Abierta y a Distancia * Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnologías

29

Geometrías no euclidianas Unidad 2. Geometría hiperbólica El matemático Girolamo Saccheri (1667-1733) presentó en su libro Euclides ab omni naevo vindicatus la negación del postulado de las paralelas e intentó obtener una contradicción.

Concretamente, Saccheri estudió un tipo particular de cuadriláteros que tienen como base dos ángulos rectos y cuyos lados adyacentes a las bases son congruentes uno al otro, por tal motivo esta clase de cuadriláteros toman el nombre de Cuadriláteros de Saccheri.

Lema 2.3. Los cuadriláteros de Saccheri existen.

Demostración: basta atender los siguientes pasos: (i).

Toma el segmento AB .

Figura 46. Segmento

(ii).

AB

Sean m y n las rectas perpendiculares a la línea AB tal que pasa por A y B respectivamente.

Figura 47. Líneas m y n perpendiculares a

(iii).

AB

Considera los puntos C y D de las líneas m y n respectivamente, de tal manera que C y D están del mismo lado con respecto a AB y que AC  BD .

Figura 48. Puntos

(iv).

C y D que satisfacen AC  BD

Toma la línea que pasa por CD y el cuadrilátero Saccheri.

ABCD es un cuadrilátero de

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30

Geometrías no euclidianas Unidad 2. Geometría hiperbólica

Figura 49. Cuadrilátero

ABCD

Lo que demuestra el resultado.

En la parte alta de un cuadrilátero de Saccheri pueden suceder una y sólo una de las siguientes condiciones: (a) Los ángulos en la altura son ángulos rectos. (b) Los ángulos en la altura son ángulos obtusos. (c) Los ángulos en la altura son ángulos agudos.

En la siguiente figura se ejemplifican los tres casos de cuadriláteros de Saccheri.

Figura 50. Cuadriláteros de Saccheri

La clasificación anterior se deduce a partir del siguiente resultado: Lema 2.4. Dado un cuadrilátero de Saccheri ABCD donde los ángulos rectos y AC  DB entonces C  D .

Demostración: basta atender los siguientes pasos: (i).

Considera el cuadrilátero AC  DB .

ABCD donde los ángulos

A y

A y

B son

B son rectos y

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31

Geometrías no euclidianas Unidad 2. Geometría hiperbólica

Figura 51. El cuadrilátero

(ii).

Considera la segmentos AD y BC , el criterio LAL garantiza que los triángulos CAB y DBA son congruentes y en consecuencia ACB  BDA y CB  DA .

Figura 52. Los triángulos

(iii). (iv). (v).

ABCD

CAB y

DBA son congruentes

Por el criterio LLL los triángulos CBD  DAC , así los ángulos son congruentes.

Luego se tiene que C  ACB  BCD y D  BDA  ADC .

Por las partes (b) y (c) del teorema 2.10. se tiene que:



BCD y

ADC

C    ACB    BCD    BDA   ADB    D

(vi).

Por la parte (b) del teorema 2.10. se tiene que Lo que demuestra el resultado.

C D.

Otra propiedad importante que tienen los cuadriláteros de Saccheri se presenta en el siguiente enunciado: Lema 2.5. En un cuadrilátero de Saccheri, el segmento que une el punto medio de la base con el punto medio de la altura es perpendicular tanto a la base como a la altura y su longitud es más pequeña que la longitud de sus lados paralelos.

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32

Geometrías no euclidianas Unidad 2. Geometría hiperbólica Demostración: considera los siguientes pasos: (i).

Sean y  dos líneas donde los puntos A, B de y los puntos A ' B ' de  son escogidos de tal manera que el ABB ' A ' es un cuadrilátero de Saccheri. Denota por M y M ' los puntos de los segmentos AB y A ' B ' respectivamente.

Figura 53. Cuadrilátero de Saccheri

(ii).

Por el lema 2.4. se tiene que A  B y utilizando el criterio LAL que implican A' AM  B ' BM , obteniendo que los lados A ' M y B ' M son congruentes:

Figura 54. Los triángulos

(iii).

ABB ' A '

A ' AM y

B ' BM son congruentes

El criterio LLL garantiza que A' M ' M  B ' M ' M . Luego los correspondientes ángulos A ' M ' M y B ' M ' M son congruentes y como son congruentes éstos deben ser ángulos rectos, lo que demuestra que M ' M  A ' B ' .

Figura 55. Los triángulos

A' M ' M y

B ' M ' M son congruentes

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33

Geometrías no euclidianas Unidad 2. Geometría hiperbólica (iv). (v).

De las dos congruencias de triángulos anteriores se tiene que A ' MM '  B ' MM ' y A ' MA  B ' MB , Además AMA' A' MM '  AMM ' y BMB ' B ' MM '  BMM ' lo que implica que los ángulos suplementarios A ' MA y B ' MB son congruentes y la parte (b) del teorema 2.10. implica que y



A ' MA   B ' MB  , es decir, los ángulos

A ' MA

B ' MB son rectos.

Figura 56. Los ángulos

A ' MA y

B ' MB son rectos

(vi).

Considera el rectángulo A ' M ' MA , que tiene tres ángulos rectos, en geometría hiperbólica, como los rectángulos no existen el cuarto ángulo tiene que ser agudo.

Lo que implica que AA '  MM ' .

Lo que demuestra el resultado.

En geometría euclidiana es usual utilizar el concepto de equidistancia para definir rectas paralelas como aquéllas que cada punto de una es equidistante a la otra. En geometría hiperbólica las cosas son distintas, como lo muestra el siguiente resultado: Teorema 2.18. En geometría hiperbólica si dos líneas y  son dos líneas paralelas, cualquier conjunto de puntos de la línea a la línea  tiene a lo más dos elementos equidistantes.

Demostración: se procede por contradicción, siguiendo los pasos que a continuación se presentan: (i).

Supóngase que existen tres puntos A, B, C de la línea línea ' .

que son equidistantes a la

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34

Geometrías no euclidianas Unidad 2. Geometría hiperbólica

Figura 57. Los puntos equidistantes

(ii).

Entonces se forman dos cuadriláteros A ' B ' BA , A ' C ' CA y B ' C ' CB que son cuadriláteros de Saccheri, ya que sus ángulos bases son rectos y sus lados son congruentes.

Figura 58. Los cuadriláteros de Saccheri

(iii). (iv).

A, B, C

A ' B ' BA ,

A ' C ' CA y

B ' C ' CB

El lema 2.4. garantiza que A ' AB  B ' BA , A ' AC  C ' CA y B ' BC  C ' CB .

Por el axioma de congruencia 5 se tiene que los ángulos suplementarios B ' BA y B ' BC son congruentes a cada uno de los otros, es decir, son ángulos rectos.

Figura 59. Los ángulos

B ' BA y

B ' BC son rectos

(v).

Lo que implica que A ' B ' BA , A ' C ' CA y B ' C ' CB son rectángulos, lo que contradice el lema 2.1. (vi).

Por lo tanto A , B y C no pueden ser equidistantes a la línea .

Lo que demuestra el resultado.

Los siguientes resultados son importantes, ya que permiten darle una interpretación gráfica a la geometría hiperbólica.

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35

Geometrías no euclidianas Unidad 2. Geometría hiperbólica Teorema 2.19. En geometría hiperbólica si dos líneas y  son paralelas y además existen dos puntos A y B de que son equidistantes a  , entonces y  tienen una perpendicular común.

Demostración: considera los siguientes pasos: (i).

Dadas dos líneas a .

y  paralelas y dos puntos A y B de

Figura 60. Puntos

(ii).

A y B son equidistantes

Existen dos puntos A ' y B ' de la línea  tales que el cuadrilátero A ' B ' BA es un cuadrilátero de Saccheri, es decir, los puntos A ' y B ' de la línea ' se obtienen cuando las perpendiculares a que pasan por A y B respectivamente cortan a ' .

Figura 61. Cuadrilátero de Saccheri

(iii). (iv).

que son equidistantes

A ' B ' BA

Sean M y M ' los puntos medios de los segmentos AB y A ' B ' respectivamente.

El lema 2.5. garantiza que el segmento M ' M es perpendicular a y  simultáneamente.

Figura 62. Línea

M ' M perpendicular a

y 

Lo que demuestra el resultado.

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36

Geometrías no euclidianas Unidad 2. Geometría hiperbólica Teorema 2.20. En geometría hiperbólica si dos líneas y  tienen una perpendicular común MM ' , entonces éstas son paralelas, y la perpendicular MM ' es única. Más aún, si A y B son dos puntos de la línea de tal forma que M es el punto medio de AB entonces los puntos A y B son equidistantes a  .

Demostración: basta atender los siguientes pasos: (i).

El corolario 2.7.1. garantiza que las líneas simultáneamente perpendicular a y  .

MM ' es perpendicular común a

Figura 63. La línea

(ii). (iii). (iv).

Por el criterio LAL se tiene que AM '  BM ' .

Figura 65. Los triángulos

(vi).

y



La perpendicular MM ' a y  es única, ya que si existiera otra perpendicular, ésta formaría un rectángulo, contradiciendo el lema 2.1.

Dados dos puntos A y B de la línea , tales que M sea el punto medio del segmento AB .

Considera los puntos A ' y B ' de la línea  que se obtienen al trazar las perpendiculares a la línea que pasan por los puntos A y B respectivamente.

Figura 64. Línea

(v).

y  son paralelas, ya que MM ' es

MM '

perpendicular a

AM ' M  BM ' M , ya qué

AM ' M y

AM ' M  BM ' M y

BM ' M son congruentes

Por consiguiente:

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37

Geometrías no euclidianas Unidad 2. Geometría hiperbólica 

A ' M ' A  90   AM ' M   90   BM ' M    B ' M ' B  .

Así que A ' M ' A  B ' M ' B , por el criterio LAA se tiene que AA ' M '  BB ' M ' lo que implica que los lados correspondientes AA ' y BB ' son congruentes.

Lo que muestra el resultado.

(vii).

El teorema 2.18. plantea que a los más dos puntos en una línea pueden ser equidistantes a la línea  , el teorema 2.19. plantea que si un par de líneas y  tienen un par de puntos equidistantes éstas poseen una única perpendicular común y el teorema 2.20. proyecta cómo se ubican dos puntos equidistantes. Una idea gráfica que conjunta todos estos resultados se presenta en la siguiente figura:

Figura 66. Líneas paralelas en geometría hiperbólica

2.3.2. Limitación de rayos paralelos A lo largo de esta unidad se ha utilizado una técnica estándar para construir, a partir de una línea y un punto que no pertenezca a ésta, una línea paralela a la línea inicial que pasa por el punto dado. Esta técnica se describe a continuación: Dado una línea

y un punto P que no pertenece a

, se traza la perpendicular PQ a

que pasa por P , luego se traza la perpendicular m a PQ que pasa por P , las líneas m tienen una perpendicular común que es PQ entonces

y

m . Por el teorema hiperbólico

universal existe otra línea n distinta de m que pasa por el punto P tal que

n.

La siguiente es una noción intuitiva del objetivo de esta sección, para ello se hace uso del

 

axioma de continuidad. Considerando la construcción anterior, toma la familia PRk de todos rayos que pasan por P , en este conjunto existe un rayo distinguido PR tal que cualquier rayo PRk que esté entre m y PR es paralelo a

y cualquier rayo PRk que no

esté entre m y PR tiene que intersectar a

, en tal caso se dice que el rayo PR limita a

los rayos PRk que son paralelos a la línea

. La siguiente figura bosqueja la idea antes

presentada: Educación Abierta y a Distancia * Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnologías

38

Geometrías no euclidianas Unidad 2. Geometría hiperbólica

Figura 67. Rayo paralelo limitante

Teorema 2.21. Dada la línea punto de la línea

, y para todo punto P que no pertenezca a

sea Q el

de tal manera que PQ  . Entonces existen dos únicos rayos PX y

PX ' que no intersectan a

y que están en lados opuestos con respecto a la línea PQ

que satisface la condición: un rayo que inicie en P intersecta a

si y sólo si éste está

entre los rayos PX y PX ' . Más aún, esos rayos limitantes están situados simétricamente con respecto a la línea PQ en el sentido de que

XPQ  X ' PQ .

Demostración: basta atender los siguientes pasos: (i).

Sea

PQ a

una línea y P un punto que no pertenece a

, considera la perpendicular

que pasa por P , y se denota por m la perpendicular a PQ que pasa por

P , implicando que

m.

Figura 68. La línea m es paralela a la línea

(ii).

Sea S un punto en la línea m distinto de P y considera la línea SQ . Sea 1 el conjunto de todos los puntos T sobre el segmento SQ , de tal manera que PT intersecta a

y el conjunto  2 el complemento de 1 . Observa que Q 1 y

S 2 .

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39

Geometrías no euclidianas Unidad 2. Geometría hiperbólica

Figura 69. Definición de los conjuntos 1 y  2

(iii).

Si el punto T del segmento SQ pertenece al conjunto 1 , entonces todo el segmento TQ está contenido en 1 , lo que implica que la pareja  1 , 2  es una cortadura de Dedekind. Por el axioma de continuidad se tiene que existe un único punto X de la línea SQ de tal manera que P1 * X * P2 si y sólo si P1 1 y P2 2 .

Por definición de 1 y  2 se tiene que cualquier rayo que esté por encima del rayo PX no intersecta a a .

y cualquier rayo que este por debajo del rayo PX intersecta

Figura 70. La cortadura de Dedekind

(iv).

Se desea mostrar que PX no intersecta a supóngase que PX intersecta a la línea

 1, 2 

y se procede por contradicción, en el punto U .

Figura 71. El rayo PX intersecta a línea

en el punto

U

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Geometrías no euclidianas Unidad 2. Geometría hiperbólica (v).

Sea V cualquier punto sobre la línea

que cumpla con V *U * Q , como U y V

están del mismo lado con respecto a la línea SQ se tiene que los puntos P y V son opuestos con respecto a la línea SQ , implicando que VP intersecta a SQ en el punto Y . Se tiene que Y * X * Q implicando que Y 2 . Contradiciendo el hecho de que PY intersecta a

, lo que implica que PX es un rayo paralelo limitante.

Figura 72. El rayo

(vi).

PX es un rayo paralelo limitante de

Para mostrar la simetría, se procede por contradicción: supóngase que los ángulos contrarios XPQ y X ' PQ no son congruentes y sin pérdida de generalidad se puede suponer que



XPQ    X ' PQ  . Por el axioma de

congruencia 4, existe un rayo PR ' entre los rayos PX ' y PQ , de tal manera que R ' PQ  XPQ .

(vii).

El axioma de congruencia 1 garantiza que existe un punto R que es opuesto a R ' con respecto a la línea PQ que satisface R * Q * R ' y RQ  R ' Q .

(viii).

El criterio LAL garantiza que

RPQ  R ' PQ , lo que implica que

El axioma de congruencia 5 garantiza que

RPQ  R ' PQ .

RPQ  XPQ , lo que es una

contradicción, ya que PR se encuentra entre los rayos PX y PQ .

Figura 73. El rayo

X'

es simétrico al rayo

X

Lo que demuestra el resultado.

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Geometrías no euclidianas Unidad 2. Geometría hiperbólica Los ángulos

XPQ y

X ' PQ que tienen respectivamente los rayos limitantes PX y PX '

son llamados ángulos de paralelismo y usualmente se denotan por   PQ  . Observa que   PQ   90 , ya que si   PQ   90 , entonces se contradice el teorema hiperbólico universal, más aún, se tiene que   PQ  toma cualquier valor entre 0 y 90 . Bolyai y Lobachevsky describieron una fórmula para encontrar el valor del ángulo de paralelismo.

En geometría hiperbólica un segmento unitario natural OI es cualquier segmento OI tal que   OI   45 .

2.4. Clasificación de las paralelas En geometría hiperbólica existen dos tipos de líneas paralelas: (a)

El primer tipo consiste de líneas paralelas m y que tienen una perpendicular común, donde m diverge de en ambos lados de la perpendicular común.

Figura 74: Líneas paralelas de primer tipo

(b)

El segundo tipo consiste de todas las líneas paralelas a que están contenidas en un rayo paralelo limitante en una dirección, es decir, estas paralelas se aproximan asintóticamente a una de las direcciones de y son divergentes a en la otra dirección.

Figura 75. Líneas paralelas de segundo tipo

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Geometrías no euclidianas Unidad 2. Geometría hiperbólica Si la línea m es una paralela de segundo tipo a la línea se puede demostrar que m y no tienen una perpendicular común, lo que muestra que no existe una paralela que sea de ambos tipos. El siguiente teorema, el cual se enuncia sin demostración, establece que sólo existen estos dos tipos de líneas paralelas.

m , supóngase que m no está Teorema 2.22. Dadas dos líneas y m de tal forma que limitado por ningún rayo paralelo a en alguna dirección adecuada. Entonces existe una línea perpendicular común a m y .

Actividad 3. Paralelas y perpendiculares A través de esta actividad, resolverás ejercicios relacionados con paralelas y perpendiculares, tomando en cuenta los axiomas de continuidad y paralelismo.

Instrucciones: 1. Descarga el documento Act. 3. Paralelas y perpendiculares.

2. Resuelve los ejercicios que ahí se presentan, toma en cuenta los axiomas de continuidad y paralelismo.

3. Guarda tu documento con la siguiente nomenclatura MCDI_U2_A3_XXYZ. 4. Envía tu documento a tu Facilitador(a) y espera su retroalimentación. *Nota: no olvides consultar la Escala de evaluación para conocer los criterios con que será evaluado tu trabajo.

Autoevaluación Para reforzar los conocimientos relacionados con los temas que se abordaron en esta unidad, es necesario que resuelvas la autoevaluación.

Ingresa al aula virtual para realizar tu actividad.

Evidencia de aprendizaje. Geometría hiperbólica A través de esta actividad, resolverás ejercicios tomando en cuenta los axiomas de Hilbert. Para ello: Educación Abierta y a Distancia * Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnologías

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Geometrías no euclidianas Unidad 2. Geometría hiperbólica 1. Descarga el documento llamado EA_. Geometría hiperbólica.

2. Resuelve los planteamientos que se presentan de acuerdo con lo que aprendiste en la unidad.

3. Guarda tu documento con la siguiente nomenclatura MCDI_U2_EA_XXYZ. 4. Envía tu reporte al Portafolio de evidencias y espera la retroalimentación de tu Facilitador(a), atiende sus comentarios y reenvía la nueva versión de tu evidencia.

5. Consulta la Escala de evaluación para conocer los criterios con que será evaluado tu trabajo.

Autorreflexiones Como parte de cada unidad, es importante que ingreses al foro Preguntas de autorreflexión y leas los cuestionamientos que formuló tu Facilitador(a), ya que a partir de ellos debes elaborar tu autorreflexión y enviarla mediante la herramienta Autorreflexiones. No olvides que también se toman en cuenta para la calificación final.

Cierre de la unidad En esta unidad iniciaste estudiando distintos enunciados equivalentes al quinto postulado de Euclides, como la geometría hiperbólica, que es distinta a la euclidiana, la cual se obtiene partiendo del axioma hiperbólico, negando el postulado de las paralelas de Hilbert.

Comprendiste que existen algunas propiedades comunes entre la geometría hiperbólica y la geometría euclidiana, como también propiedades que difieren entre ambas.

Te invitamos a que revises la unidad 3, donde estos conocimientos se reforzarán, con lo que lograrás tener un conocimiento integral.

Para saber más Existe una geometría no-euclidiana llamada geometría elíptica que se construye de forma similar a la geometría hiperbólica para ver más detalles puede consultar los siguientes sitios: 

http://en.wikipedia.org/wiki/Elliptic_geometry

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Geometrías no euclidianas Unidad 2. Geometría hiperbólica 

http://www.math.brown.edu/~banchoff/gc/elliptic/elliptic.html



http://web.mnstate.edu/peil/geometry/C2EuclidNonEuclid/7elliptic.htm

Fuentes de consulta      

Courant, R., Robbins, H. y Stewart, I. (1996). What Is Mathematics? An Elementary Approach to Ideas and Methods. EUA: Oxford University Press.

Devlin, K. (2000). The Language of Mathematics: Making the Invisible Visible. EUA: Holt Paperbacks.

Eves, H. (1972). Survey of geometry. EUA: Allyn & Bacon.

Hartshorne, R. (2005). Geometry: Euclid and Beyond. EUA: Springer.

Hilbert D. y Cohn-Vossen, S. (1999) Geometry and imagination. EUA: American Mathematical Society.

Meschkowski, H. (1964). Noneuclidean Geometry. EUA: Academic Press.

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