Unidad 2 conjuntos de números

Introducción álgebra superior Unidad 2. Conjuntos de números

Universidad Abierta y a Distancia de México

Licenciatura en matemáticas

2° cuatrimestre

Introducción al álgebra superior

Unidad 2 Conjuntos de números

Clave: 05141106/06141106

Índice

Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnología | Licenciatura en Matemáticas 1

Introducción álgebra superior Unidad 2. Conjuntos de números Tabla de contenido UNIDAD 2. Conjuntos de números .................................................................................................. 3 Presentación de la unidad ............................................................................................................... 3 Propósitos de la unidad ................................................................................................................... 3 Competencia específica .................................................................................................................. 3 2.1. Números naturales ................................................................................................................... 4 2.1.1. Estructura .............................................................................................................................. 4 Actividad 1. Propiedades de los números naturales ....................................................................... 6 2.1.2. Inducción matemática ........................................................................................................... 6 Actividad 2. Inducción matemática ................................................................................................. 8 2.1.3. Principio del buen orden ....................................................................................................... 8 Actividad 3. Principio del buen orden ............................................................................................. 9 2.2. Números enteros...................................................................................................................... 9 2.2.1. Suma y producto de enteros ............................................................................................... 10 2.2.2. Divisibilidad y números primos ........................................................................................... 11 2.2.3. Teorema fundamental de la aritmética .............................................................................. 12 2.2.4. Máximo común divisor y algoritmo de la división .............................................................. 13 2.2.5. Congruencias ....................................................................................................................... 15 Actividad 4. Divisibilidad y congruencia ........................................................................................ 16 Evidencia de aprendizaje. Números naturales y enteros .............................................................. 17 Cierre de la unidad ........................................................................................................................ 17 Para saber más .............................................................................................................................. 17 Fuentes de consulta ...................................................................................................................... 18

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Introducción álgebra superior Unidad 2. Conjuntos de números

UNIDAD 2. Conjuntos de números Presentación de la unidad En esta unidad construiremos el concepto de número natural a partir del concepto de conjunto, mediante su caracterización como conjunto ordenado y sus operaciones elementales, mediante los axiomas de Peano, éstos se pueden presentar dentro de la Teoría de conjuntos o presentarse por separado, dada la experiencia que lograste en la unidad anterior, la presentaremos dentro de la teoría. Harás demostraciones de inducción en los naturales y a partir del conjunto de los naturales podrás construir el conjunto de los números enteros y sus operaciones elementales mediante el concepto de extensión de operaciones.

Recuerda que todo esto son las bases y te brindarán el lenguaje que utilizarás a lo largo de tu vida como matemático y como dato, la aplicación directa se encuentra en la computación, específicamente en la recursión, se utiliza el proceso inductivo.

Propósitos de la unidad Mediante el estudio de esta unidad podrás: 1. Demostrar propiedades de los números naturales.

2. Resolver problemas de suma y productos de enteros, divisibilidad y números primos.

3. Resolver problemas del teorema fundamental de la aritmética.

Competencia específica Aplicar las leyes de los números para demostrar sus propiedades, utilizando la inducción matemática y sus teoremas.

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Introducción álgebra superior Unidad 2. Conjuntos de números Números naturales En este tema estudiarás la construcción axiomática de los números naturales mediante la noción de la función sucesor. Los números naturales son la herramienta fundamental para controlar procesos, como sucesiones, sumas, mediante la indexación, además son la base mediante la cual se construirán todos los sistemas numéricos empezando con el de los números enteros.

El concepto de número natural que se presenta es conjuntista, así los números naturales se verán como una clase particular de conjuntos construidos a partir de un conjunto distinguido: el conjunto vacío. Todas las culturas han tenido necesidad de contar objetos, lo que ha originado que todos tengan alguna noción de número, la noción abstracta de número no debe de depender de una relación con objetos concretos, sino que al igual que los conjuntos su existencia será convencional y se establecerá en forma de axiomas.

Estructura Sabemos de nuestra experiencia previa que los números naturales son el conjunto ordenado {1, 2, 3,…}, los griegos antiguos manejaban muchos conceptos relacionados con los números naturales, pero fue Giuseppe Peano (1858-1932, nacido en Spineta, Italia) quien formuló el conjunto de los números enteros positivos con base en tres términos no definidos: uno, número y sucesor. Los axiomas de Peano son los siguientes: 1.

2.

3.

4.

5.

es un número natural.

Si es un número natural existe un número natural llamado su sucesor: .

Para todo número natural su sucesor .

Para todos los números naturales y , si entonces .

Si es un subconjunto de los naturales (que denotaremos ) y para todo , entonces .

La función nos da una relación entre el concepto de orden, número y la inducción matemática, la inducción matemática ya había sido usada como herramienta de demostración por los matemáticos desde el siglo XV, entre ellos: Fermat, Pascal y De Morgan que fue el primero en usar el término.

La función sucesor se define formalmente usando teoría de conjuntos: Definición: Si es un conjunto, el sucesor de es el conjunto .

Entonces por definición y , de esta manera se establece un orden “natural” entre un conjunto y su sucesor, como el uno no está definido podríamos usar cualquier conjunto y luego usar la función sucesor conjuntista. Se acostumbra usar el como el conjunto base, es decir asociamos al el natural uno, así , y a este elemento lo llamamos dos, el sucesor de { } Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnología | Licenciatura en Matemáticas 4

Introducción álgebra superior Unidad 2. Conjuntos de números y a este lo llamamos tres, así por construcción , con lo que nuestro conjunto está ordenado por la relación de pertenencia, este será un buen modelo para nuestros números naturales al que denotaremos y al uno lo denotaremos como ,usaremos para cuando las operaciones hayan sido definidas. Los elementos de los denotaremos con letras minúsculas, se puede demostrar usando Teoría de conjuntos que este conjunto cumple los axiomas de Peano, el axioma 5 es el que caracteriza a los números naturales. En los números naturales se definen dos operaciones: la suma y el producto. Daremos las definiciones formales a continuación.

Definición: La suma + en los naturales es una operación binaria como sigue: . , entonces

Dado Así para sumar saber

que es

, definida

.

, tendríamos que conocer

y para sumar (

, así

sólo nos falta ( (

)

))

(

)

. Sumar formalmente puede ser muy engorroso, así que haremos uso de esta operación de manera práctica.

Aceptaremos las siguientes propiedades de la suma sin demostración aunque se pueden probar usando inducción: Para , se tiene: 1. . Asociatividad.

2. . Conmutatividad.

Definición: El producto es la operación binaria .

Dado , entonces .

Para multiplicar 2 por 2 se tendría que saber 2 por 1, así Las siguientes son las propiedades del producto: Para , se tiene: 1.

Conmutativa 2.

Asociativa La siguiente propiedad relaciona las dos operaciones Para , se tiene: producto con respecto a la suma.

Definimos la diferencia de dos naturales denotamos .

, definida como sigue:

.

. Distributiva por la izquierda del

como el natural

tal que

, lo

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Introducción álgebra superior Unidad 2. Conjuntos de números Actividad 1. Propiedades de los números naturales Demostrar algunas propiedades de los números naturales y que aprenda que ellos son la base de la cultura matemática y ésta se vea como un proceso histórico-social.

Inducción matemática La inducción matemática es una técnica de demostración, la cual se basa en el quinto axioma de Peano, para demostrar que una propiedad que depende de los números naturales es válida para todos los números naturales.

Así, si es una propiedad que depende de los números naturales escribiremos , para demostrar que es válida para todo natural utilizaremos el siguiente esquema: Si demostramos que 1. , uno cumple la propiedad (base de la inducción) y 2. , (paso inductivo).

Entonces habremos demostrado que . | Así, sea , por 1) , y por 2) Por el quinto axioma de Peano .

Un ejemplo clásico es la siguiente identidad: ∑ .

Para demostrar su validez para todo natural consideramos el conjunto |∑ . ∑ Escribimos .

Aquí el valor más pequeño para es uno. ∑ , por lo que es verdadera y tenemos nuestra base de la inducción.

El paso inductivo es suponer

y demostrar

.

Lo que tenemos que demostrar es que ∑

.

Para hacerlo escribimos : ∑ (Asociando los primeros inducción es decir

es cierto), ahora (

sumandos y aplicando la hipótesis de

)

es cierto, así queda probado el paso inductivo por lo que

, con lo que es cierto para todo

.

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Introducción álgebra superior Unidad 2. Conjuntos de números Primero debemos expresar lo que se quiere demostrar como una proposición que dependa de , donde es un número natural, lo que nos lleva a construir el conjunto de números naturales que satisfacen esa proposición.

Por ejemplo tenemos la siguiente igualdad: , la proposición de la igualdad es , ahora construimos un conjunto .

Ahora estamos listos para hacer la demostración, que se hará en dos pasos, en el primero se muestra que , a este paso se le conoce como base de la inducción, el segundo paso consiste en suponer que es válido para y hacer la demostración para , a este paso se le conoce como paso inductivo.

1er paso: de la inducción.

, la identidad se cumple para

2º. Paso. Suponemos que

, hemos demostrado la base

es válida, demostraremos que es cierta. , trabajaremos con la primera

parte de la igualdad: (Asociamos los primeros

términos) (Aplicamos la hipótesis de inducción para el primer sumando) (Aplicamos la identidad de un binomio al cuadrado).

Hemos demostrado que .

La demostración está completa así por el quinto axioma de Peano, .

En la práctica sólo se dice que la demostración se va a hacer por inducción matemática, indicando sobre qué variable se va a considerar. Así, en la anterior demostración la inducción se hizo sobre .

Aprende observando En este vídeo se dan los principios sobre inducción matemática.

Inducción matemática I

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Teoría de conjuntos

El siguiente recurso, es parte de los recursos de la UNADM donde se representan diversos ejemplos sobre inducción matemática

Inducción matemática

Actividad 2. Inducción matemática La finalidad de la presente actividad es que el estudiante resuelva problemas de suma y productos de enteros, divisibilidad y números primos mediante el uso de demostraciones utilizando la inducción matemática

Principio del buen orden El principio del buen orden es una proposición que resulta ser equivalente al principio de inducción. Se usa en proposiciones de tipo negativo.

Principio del buen orden: Todo subconjunto no vacío de , tiene un elemento que es más pequeño que cualquier otro elemento de , es decir, es el elemento mínimo de .

Posponemos al 2.2.2 un ejemplo de cómo se aplica este principio. Lo citaremos como PBO. El PBO se usa principalmente en demostraciones por contradicción, un ejemplo además de las secciones 2.2.2 y 2.2.3 es el método de descenso infinito. La técnica es la siguiente: Supongamos que se quiere demostrar una proposición que depende de , lo que se hace es suponer que para un cierto número la negación se cumple y se demuestra que entonces se cumple para un número menor que , si se aplica el procedimiento al nuevo número, se obtendría una sucesión infinita y decreciente de números naturales, lo que es una contradicción por satisfacer los naturales el PBO. Por lo tanto se concluye que es cierta.

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Introducción álgebra superior Unidad 2. Conjuntos de números Ejemplo: queremos demostrar que la ecuación sólo tiene la solución trivial en los naturales. Sea La ecuación sólo tiene la solución trivial en los naturales. La negación de es existen no todos cero tales que son solución de la ecuación. Sea el conjunto de los que son parte de la solución, si este conjunto fuera distinto del vacío por el PBO tendría un elemento mínimo que es parte de una solución de la ecuación y además debe ser par, por lo tanto , sustituyendo el valor de en la ecuación se obtiene dividiendo entre se obtiene la ecuación , aplicamos el argumento anterior para y obtenemos la ecuación , si aplicamos el mismo argumento para , obtenemos una ecuación , con como solución y menor que , contradiciendo la minimalidad de .

Actividad 3. Principio del buen orden Mediante esta actividad comprenderás la importancia del Principio del buen orden para hacer ciertas demostraciones, así que realiza lo que se te pide a continuación:

Números enteros Los números enteros se construyen a partir de los naturales mediante la siguiente motivación: dados , existe tal que , ahora si tomamos la ecuación , ésta tiene solución para si y sólo si , si la ecuación no tiene solución en los naturales.

Para que las ecuaciones del tipo tengan solución para cualesquiera y , sin importar cuál es mayor o si son iguales, es necesario construir un conjunto de números en el cual además de estar incluidos los naturales también se encuentren sus “negativos” y un neutro aditivo o “cero”. Veremos primero la definición formal del conjunto de los números enteros construidos a partir de los números naturales, para posteriormente abordar la notación usual.

Primeramente observemos que si es la solución de dos ecuaciones y , sumando ambas ecuaciones obtenemos que implica La implicación inversa también es cierta, con lo que se obtiene la siguiente equivalencia: y tienen la misma solución si y sólo si . Ya que la ecuación está determinada por la pareja se puede definir una relación de equivalencia sobre el conjunto de parejas , con y naturales, de la siguiente manera: si y sólo si . Con esta relación generamos el conjunto de ecuaciones con una misma solución. Usando estas ideas se da la definición formal de número entero: Definición: Un número entero es una clase Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnología | Licenciatura en Matemáticas 9

Introducción álgebra superior Unidad 2. Conjuntos de números [

] =

|

|

Así el conjunto de los números enteros se denota por

y se define como

. ] El neutro aditivo es la clase [ ] [ ] . escribimos [

[

] , el inverso aditivo de [

Definimos los enteros positivos como las clases [ pueden ser particionados en tres clases: ] 1. [ . ] [ ] 2. [ . [ ] [ ] 3.

Definimos el orden de los enteros como [ [ ] .

]

]

]

[

[

] y

, los enteros

]

[

]

[

]

Se puede dar una función inyectiva en los enteros que preserve la operación de suma con

[

] esta función identifica los naturales con los enteros no

negativos y a los negativos con las clases de la forma [

] con n>0.

Definamos el producto de manera similar a la suma, solo escribiremos la definición: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Abusamos de la notación y expresamos como

Suma y producto de enteros ] [ ] [ ] La suma se define como [ ] [ ] , el inverso aditivo de [ ] [ ] y El neutro aditivo es la clase [ ] [ ] . escribimos [ Definamos el producto de manera similar a la suma, sólo escribiremos la definición: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Abusamos de la notación y expresamos como De esta manera los enteros Con las definiciones dadas se puede probar que los enteros satisfacen las siguientes propiedades: Sean 1.

2.

3.

4.

números enteros, entonces: . Conmutativa . Asociativa . Neutro aditivo . Inverso aditivo.

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Introducción álgebra superior Unidad 2. Conjuntos de números Donde abusamos de la notación y usamos los mismos signos de la suma y producto para naturales.

El producto satisface las siguientes propiedades: Sean enteros, entonces: 1. . Conmutativa 2. . Asociativa 3. , para todo entero. Neutro multiplicativo 4. . Distribuitva del producto con respecto a la suma A menudo usaremos o en lugar de .

Divisibilidad y números primos El concepto de divisibilidad fue estudiado por los antiguos griegos Euclides de Megara (matemático griego del siglo V A.E. autor de “Los elementos”) que utilizó el algoritmo que lleva su nombre en representaciones geométricas de números y Diofanto de Alejandría (siglo III A.E.) autor de la “Aritmetica” donde plantea problemas que se resuelven con el uso de congruencias, a esas ecuaciones se les conoce ahora como “ecuaciones diofánticas”.

Definición. Se dice que divide a o que es factor de en , si existe tal que . En este caso se dice que es múltiplo de o que es divisible por . Lo denotamos | .

Si |

, | y | , donde es cualquier entero, en general | ( veces). y | , para cualquier entero .

, donde

Si , entonces posee al menos los siguientes divisores: , , , . A estos divisores de les llamaremos divisores impropios de . Si existen divisores de que no son impropios los llamaremos propios, por ejemplo 2, -2, 3, -3, son divisores propios de 6.

La divisibilidad satisface las siguientes propiedades: Sean 1. Si | y | , entonces | (transitiva).

2. Si | y | , entonces o (simetría).

3. Si | , entonces o .

4. Si | y | entonces | o | .

5. Si | y | entonces | .

Definición. Se denomina número primo a todo número entero que posee exactamente cuatro divisores. Es decir es número primo si sus únicos divisores son: , , , , todos distintos entre sí.

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Introducción álgebra superior Unidad 2. Conjuntos de números Dos números entonces

y o

se dirá que son coprimos o primos relativos, si satisfacen: | y | .

Ejemplos: 1, -1 y 0 no son primos, 2, 3 y 5 son números primos pues tiene cuatro divisores.

Enunciaremos la siguiente proposición que es intuitivamente cierta, sin demostración.

Proposición. Sea . Si y no es un número primo, existe tal que | |y | .

En la demostración del siguiente teorema haremos uso del PBO. Teorema. Todo entero distinto de y es divisible por un número primo.

Demostración: Usaremos una técnica de demostración llamada reducción al absurdo, negamos la proposición y llegaremos a una contradicción.

Supongamos que existe un entero no divisible por ningún primo, si es dicho entero entonces | | tampoco es divisible por ningún primo y por lo tanto hay enteros positivos no divisibles por ningún primo.

Sea el conjunto de enteros positivos no divisibles por ningún primo, , pues | | . , es un subconjunto no vacío de los naturales por el PBO tiene un elemento mínimo que llamaremos (menor entero positivo distinto de uno no divisible por ningún primo), no es primo, pues ya que | entonces sería divisible por un primo. De la proposición anterior se sigue que existe un entero tal que | .

Ya que entonces , por lo tanto | con primo, por transitividad | , lo que es una contradicción. La contradicción vino de suponer la existencia de un entero distinto de 1 y -1 no divisible por ningún primo.

Ejemplos: Todo número impar se puede escribir como la diferencia de dos cuadrados consecutivos, , en general si es primo impar entonces (( Todo primo de la forma es primo, por tanto

)

(

)) ((

)

es de la forma

es par igual a

, así

(

))

.

, ya que si es impar entonces contradicción ya que .

Teorema fundamental de la aritmética La importancia del Teorema fundamental de la Aritmética, es que enuncia la propiedad que caracteriza a los números enteros, la de expresar cualquier número entero como producto de un número finito de números primos, conocerás posteriormente otros sistemas numéricos en los que no ocurre esto. Esta propiedad de los números enteros es Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnología | Licenciatura en Matemáticas 12

Introducción álgebra superior Unidad 2. Conjuntos de números útil cuando se requiera construir códigos encriptados, dado un número y su descomposición única como producto de primos podemos describir el número usando sólo sus potencias, por ejemplo puede ser descrito por sus potencias si hacemos caso omiso de los ceros la descripción puede ser más corta.

Teorema fundamental de la aritmética. Sea sucesión finita de primos tal que ∏ , donde .

La forma anterior de expresar ∏ que ,

Entonces existe una y

es única, es decir que si , con

, entonces

son primos, tales ;

;

.

Ejemplos: 12=2∙2∙3, 15=3∙5, -20=-1∙2∙2∙5.

La demostración es muy larga y usa inducción y PBO, una interesante aplicación es la siguiente.

Si con primos; si , entonces los divisores de son donde , de manera que divisores positivos.

posee exactamente

Máximo común divisor y algoritmo de la división El algoritmo de la división es un interesante teorema que formaliza nuestra experiencia al hacer nuestras divisiones de la primaria, generalizando para enteros.

Teorema. Algoritmo de la división. Sean , . Entonces: Existen enteros y tales que con , y son únicos, a les denomina cociente y residuo respectivamente de la división de entre .

ya

se

| Demostración, otra vez usaremos el PBO. Sea , este conjunto es no vacío ya que contiene por ejemplo a , , , observemos que tiene enteros no negativos, si entonces se vio que , si , , como , entonces , por lo tanto , por tanto , así esta intersección es un subconjunto no vacío de por el PBO tiene un elemento mínimo r , para algún , ,o sea que , Para ver que , supongamos que , .

Entonces , implica y , ya que (por minimalidad) lo que implica , contradicción. Por lo tanto .

Para ver la unicidad supongamos que existen tales que y | | |, supongamos que | | , por lo tanto | ,| | | | | |, por otro lado , por lo tanto implica y así Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnología | Licenciatura en Matemáticas 13

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|

|

, , implica

implica – . Entonces – contradicción, por lo tanto y de aquí que

Corolario. Sean | |.

. Existen

y

únicos tales que

que implica . , con

Ejemplos.

Dado que al dividir entre 2 el residuo es 0 ó 1, entonces por la unicidad un número natural o es par o es impar, definiendo como impares los que dejan residuo 1, y como pares los que dejan residuo 0.

Si

es par

, entonces , es par, más aún si es par, ya que si no es par entonces lo es.

es par entonces

es par.

Si y , entonces , Si es entero. ¿Cuál es el residuo al dividir entre 3,4,5?

Observemos que al dividir entre los residuos son . Los números de la forma y dejan residuo y los múltiplos de dejan residuo . Entre los residuos son . Los números de la forma y dejan residuo y los de la forma y dejan residuo , los residuos para son . Los de la forma y dejan residuo , los de la forma y dejan residuo y los múltiplos de dejan residuo .

El siguiente teorema es importante y su demostración es constructiva.

Teorema. Sean y enteros no simultáneamente nulos, entonces existe un natural único tal que: 1. | y | , y 2. Existen enteros y tales que .

Demostración. La demostración es constructiva pues nos dice como hallar . Sin perder generalidad supongamos que , y se procede inductivamente sobre . Si , entonces , satisface ya que | y | , con .

Ahora supóngase válido para valores menores que con y para fijo. Por el algoritmo de la división: (1) , entonces | , cumple el teorema ya que si , | y | ( y v=1). Si entonces Por la hipótesis de inducción aplicada a existe tal que | y | (2)

si

y existen enteros

, de (1) y (2) | y | implican | y . . Y el teorema queda demostrado. tales que

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Introducción álgebra superior Unidad 2. Conjuntos de números Al entero definido en el teorema anterior se le llama máximo común divisor de se le denota . Algunas propiedades sencillas pero útiles son las siguientes: Sean enteros  (  | | si y sólo si | .  Si , entonces  Si | y | , entonces | . 

(

  

)

y

y

. | |

.

. y

.

Ejemplos: Sean y . Usando el algoritmo de la división y la técnica de demostración del teorema anterior, hallaremos .

Por el teorema anterior

Para hallar .

y , despejaremos

, aplicado sucesivamente nos da , pues | . hacia atrás y obtendremos

y

en términos de

y

Un corolario muy útil es el siguiente Sean y enteros. Entonces y son coprimos si y sólo si

Congruencias Si nosotros dividimos dos números enteros y entre otro entero , obtenemos dos residuos y . Si dividimos , o . ¿Qué residuos se obtendrán? Preguntas como la anterior dan origen a la noción de congruencia y a la aritmética modular.

Definición: Si y dejan el mismo residuo cuando los dividimos entre decimos que son congruentes módulo , en símbolos Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnología | Licenciatura en Matemáticas 15

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|

o .

o

|

si

Ejemplos      . ¿Para qué valores de es cierto que Ya que , entonces ya que un divisor de y entonces

, o concisamente

? entonces

sólo puede ser

.

Si

es un entero impar, entonces . Ya que es impar , pero se vio en 2.2.4 que k(k+1) es par, así múltiplo de .

Algunas propiedades de la congruencia son: 1. Reflexividad: .

2. Simetría: .

3. Transitividad: 4. .

5. .

6. .

7.

8. .

9. .

10.

11.

,así es

por un

.

.

.

Un teorema famoso y útil que no demostraremos es el siguiente Pequeño Teorema de Fermat. Si es primo entonces .

Si El Pequeño Teorema de Fermat se interpreta .

Ejemplos y y

nos da nos da

deja residuo

cuando lo dividimos entre

. .

Actividad 4. Divisibilidad y congruencia Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnología | Licenciatura en Matemáticas 16

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Evidencia de aprendizaje. Números naturales y enteros

Cierre de la unidad En esta unidad has conocido las definiciones formales de los números naturales y los números enteros. La formalidad es importante porque da certeza en la existencia de estos objetos matemáticos como producto de la mente humana en relación con el conocimiento intuitivo que de ellos se tiene. Los números naturales son la base de los sistemas numéricos, porque a partir de ellos se van construyendo todos los demás sistemas numéricos, y de vital importancia para el programador de computadoras. Las propiedades de los números enteros conocidas desde los antiguos griegos, adquieren importancia en nuestro tiempo para los sistemas de seguridad de datos en la Criptografía. La combinatoria hará uso de las propiedades operativas de estos sistemas numéricos para resolver problemas de conteo. Es importante conocer la estructura de los enteros, pues se hallará una similitud con la estructura de los polinomios con sus dos operaciones de suma y producto, se encontrarán generalizaciones del teorema fundamental de la aritmética y el algoritmo de la división.

Es aconsejable que revises nuevamente la unidad en caso de que lo anterior no te sea familiar, o no lo recuerdes, de no ser ese tu caso, ya estás preparado(a) para seguir con la Unidad 3. Combinatoria y polinomios, en donde aprenderás a resolver problemas básicos de conteo, a partir de los principios del producto y la suma

Para saber más Para fortalecer y complementar los conocimientos adquiridos en esta unidad, se te sugiere la lectura y revisión de los siguientes materiales: 

http://www.eduteka.org/MI/master/interactivate/lessons/clock.html Es una interesante página sobre la aplicación de la aritmética a la Criptografía.



Historia de las matemáticas del siglo XVII a los comienzos del siglo XX, incluye unas secciones dedicadas a los trabajos de Peano sobre los números naturales.

Collete, Jean Paul. (2007). Historia de las Matemáticas II. México: Siglo XXI.



Una historia concisa pero completa de la matemática griega antigua: Heath, Sir Thomas L. (1903, Reimpresión 2003). A manual of greek mathematics.

USA: Dover Publications Inc.

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Introducción álgebra superior Unidad 2. Conjuntos de números 

Una historia completa sobre aritmética desde sus orígenes hasta la primera mitad del siglo XX: Ore, Oystein. (1976). Number Theory and its History. USA: Dover Publications Inc.



Interesante libro que incluye reflexiones sobre la idea de número en los pitagóricos: Livio, Mario. (2009). ¿Es Dios un matemático? España: Ariel.

Fuentes de consulta Básica: Bravo Mójica, Alejandro, Rincón Mejía, H., Rincón Orta, César. (2011). Algebra Superior.

México: Las prensas de Ciencias.

Cárdenas Trigos, Humberto, Lluis, Emilio, Raggi, Francisco, (1973). Algebra Superior.

México: Trillas.

Fregoso, Arturo. (1980). Los elementos del lenguaje de la matemática 3. México: Trillas.

Complementaria Gentile, Enzo R. (1985). Aritmética elemental. USA: OEA Pérez Seguí, María Luisa. (2004). Combinatoria. México: UNAM.

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