Unidad 2 esperanza condicional

Probabilidad III Unidad 2. Esperanza condicional

Universidad Abierta y a Distancia de México

Licenciatura en matemáticas

8° cuatrimestre

Programa de la asignatura: Probabilidad III

Unidad 2. Esperanza condicional

Clave: 050930831

Educación Abierta y a Distancia * Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnologías

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Probabilidad III Unidad 2. Esperanza condicional Índice Presentación de la unidad......................................................................................................................3 Propósitos .................................................................................................................................................4 Competencia específica..........................................................................................................................4 Actividad 1. Esperanza condicional ....................................................................................................5 2.1. La esperanza condicionada a diferentes situaciones y sus propiedades.........................5 2.1.1. Condicionada a un evento ...................................................................................................... 6 2.1.2. Condicionada a una variable aleatoria discreta .............................................................. 10 2.1.3. Condicionada a una variable aleatoria arbitraria ............................................................ 14 2.1.4. Condicionada a un

 -campo .............................................................................................. 18

2.1.5. Propiedades generales .......................................................................................................... 19 Actividad 2. Propiedades de la esperanza condicional............................................................... 23 Autoevaluación ...................................................................................................................................... 23 Evidencia de aprendizaje: Demostraciones sobre esperanza condicional ........................... 24 Autorreflexiones .................................................................................................................................... 24 Cierre de la unidad ................................................................................................................................ 25 Para saber más....................................................................................................................................... 25 Referencias Bibliográficas .................................................................................................................. 25

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Probabilidad III Unidad 2. Esperanza condicional Presentación de la unidad En la presente unidad, titulada Esperanza condicional, se tratarán temas que son primordiales para comprender correctamente la Teoría de martingalas; asimismo es fundamental para continuar el estudio del cálculo estocástico, específicamente en el tema de la integral de Itô. La unidad se compone de cinco subtemas que describen los diferentes casos en los que es posible aplicar la definición de esperanza condicional

Subtema 1 • Se desarrolla la esperanza sujeta a la ocurrencia de un evento.

Subtema 2

Subtema 3

Subtema 4

• La esperanza sujeta a la ocurrencia de una variable aleatoria discreta.

• La esperanza sujeta a la ocurrencia de una variable aleatoria arbitraria.

• La esperanza sujeta a la ocurrencia de un σcampo

Subtema 5 • Se describen las propiedades de la esperanza condicional, las cuales permiten calcularla en diferentes situaciones.

Debes contemplar el hecho de que, al igual que en la unidad anterior, a lo largo del desarrollo de los contenidos de esta sección, las definiciones, teoremas y propiedades se resaltan empleando un fondo de color, debiendo hacer énfasis en comprender cada uno de éstos, con la finalidad de que los emplees para ir construyendo un nivel de conocimientos óptimo acerca de la materia de estudio.

Es recomendable que enfoques tus esfuerzos en comprender cada uno de los conceptos que se presentarán, además de que, como lo exige el perfil de la licenciatura en Matemáticas, comprendas cada una de las demostraciones aquí presentadas, y que realices las actividades aquí exhibidas. Se te reitera nuevamente que, cuando se te presente algún tipo de problemática a través de tu estudio, te apoyes de tu Facilitador(a).

Debes tomar en cuenta que cada una de las demostraciones de los teoremas aquí presentados ya fueron realizadas por alguna persona, previamente a la escritura de este documento (como en todos los campos de la matemática que se imparten en el sistema educativo de cualquier país), y aunque es posible memorizarlas, es mejor que pongas énfasis en intentar comprenderlas. Por lo anterior, es imperativo que leas mucho, como ya debes saber, las demostraciones de algún hecho se realizan a través del uso de definiciones y reglas previas que se van ordenando lógicamente para llegar a una determinada conclusión.

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Probabilidad III Unidad 2. Esperanza condicional Asimismo, aunque dicho material es suficiente para culminar con éxito el estudio de esta asignatura, siempre es recomendable que busques información de diversos libros reconocidos por la comunidad científica, con la finalidad de que puedas, considerando toda la información que absorbas, formarte un conocimiento propio acerca de los temas tratados.

Estudiar. Tomada de http://recursostic.educacion.es/bancoima genes/web/

Propósitos Al término de esta unidad lograrás:

  



Identificar el concepto de esperanza condicional sujeta a la ocurrencia de un evento, una variable aleatoria discreta, una variable aleatoria arbitraria o un  -campo.

Identificar las propiedades de la esperanza condicional.

Aplicar las propiedades de la esperanza condicional.

Demostrar las propiedades de la esperanza condicional.

Competencia específica

Aplica el concepto de la esperanza condicional para resolver diversos problemas probabilísticos al utilizar las propiedades de ésta.

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Probabilidad III Unidad 2. Esperanza condicional Actividad 1. Esperanza condicional A través de ésta actividad podrás interactuar con tus compañeros de grupo, con la finalidad de fortalecer lo aprendido en el tema anterior.

Instrucciones: 1. Descarga el archivo “Act.1. Esperanza condicional”, y busca las definiciones de

cada término que se presenta en el documento.

2. El documento que generes te será útil durante toda la unidad, por lo cual es

importante que, en cuanto lo necesites, lo consultes para recordar conceptos, propiedades, definiciones, leyes etcétera.

3. La actividad no es ponderable, pero sí importante e indispensable, dado que te

ayudará a recordar conocimientos anteriores.

A través de esta actividad podrás interactuar con tus compañeros de grupo, con la finalidad de fortalecer lo aprendido en el tema anterior.

2.1. La esperanza condicionada a diferentes situaciones y sus propiedades



La esperanza condicional, denotada por E X

 , indica la esperanza de ocurrencia de una

variable aleatoria X, dado que se sabe que ya ocurrió la situación .



En los siguientes temas estudiarás E X

 , cuando

es:

 Un evento  Una variable aleatoria discreta  Una variable aleatoria arbitraria  Un



- campo

Repasa un poco, para efecto de que vayas preparando los temas que siguen, es recomendable que vayas verificando las afirmaciones aquí presentadas.

Considera el espacio de probabilidades  , F

, P  , en el cual A, B  F

. Entonces se define a

la probabilidad de que ocurra el evento A dado que ya ocurrió el evento B , denotada por

P  A B  , como

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Probabilidad III Unidad 2. Esperanza condicional P  A B 

P  A  B , donde P  B   0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (i) P  B

En este concepto es muy importante observar que el espacio muestral de la probabilidad condicional mostrada en (i) queda restringida al evento B , lo cual se deduce debido a que

 

c previamente se tiene la ocurrencia de B , y ello significa que P  B   1 y P B  0 , en

consecuencia los eventos que se consideren deberán ser subconjuntos de B , y ello lleva a





sustituir P  A por P A B , y a “normalizar” las probabilidades iniciales P  A  B  por P  B  .

En virtud de lo anterior, es posible definir la función de distribución condicional de una variable aleatoria X , dado un evento B , como sigue:

FX  x B  

P  X  x, B  , x  , P  B  0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

P  B (ii)

(La expresión anterior se puede deducir fácilmente, sustituyendo A   X  x , en la expresión (i), donde

x

es un número real, y X es una variable aleatoria)

Por otro lado, derivando (ii) se obtiene la función de densidad condicional de una variable





aleatoria X dado un evento B , f X x B , es decir:

fX  x B 

d  FX  x B   dx 

Las funciones anteriores cumplen todas las propiedades de las funciones de distribución (acumulada) y densidad.

2.1.1. Condicionada a un evento Una vez que revisaste la esperanza condicional a diferentes eventos y sus propiedades, puedes realizar la siguiente definición.

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Probabilidad III Unidad 2. Esperanza condicional Definición 2.1.1.1.

Sea

un espacio de probabilidades, en el cual

, y sea

una variable aleatoria definida en . Entonces se define al valor esperado (o esperanza condicional) de dado , como…

Donde

es la función indicadora de

:

La definición anterior brinda una regla general para calcular el valor esperado de una variable aleatoria X condicionado a la ocurrencia del evento B , pero es necesario analizar la forma que toma para los casos discreto y continuo.

Considerarás primero que X es una variable aleatoria discreta que toma valores x1 , ..., xn . En este caso se tiene que:

n

E  X B    xt





P  X    xt  B

t 1

P  B



n

 x P  X  x B t 1

t

t

Por otro lado, si X es una variable aleatoria continua con función de densidad de probabilidades f X entonces el valor esperado será:



1 1 E  X B   x I B  x  f X  x  dx   P  B   P  B



B

x f X  x  dx

Es usual hallar la expresión anterior de las siguientes formas:

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Probabilidad III Unidad 2. Esperanza condicional (Como una integral de Riemann-Stieltjes)

1 E  X B   P  B



 x dF  x  X



O bien (usando notación de Teoría de la medida, la cual corresponde a la integral de Lebesgue de la función medible X , con respecto de la medida de probabilidad P ).

1 E  X B   P  B



B

X dP

Ejemplo Problema: Considera un juego que consiste en el lanzamiento de dos dados distinguibles de seis caras cada uno, numeradas del 1 al 6, de tal forma que a cada resultado obtenido se le asigna la suma de los valores presentados por ambos dados, generando con ello la variable aleatoria X . ¿Cuál será el valor esperado de X dado que el resultado presenta exactamente un 1?

Dados. Tomada de http://recursostic.educacion.es/ba ncoimagenes/web/

Solución. El espacio muestral de este experimento es:

  1,1 , 1, 2  , 1,3 , 1, 4  , 1,5 , 1,6  ,  2,1 ,  2, 2  ,  2,3 ,  2, 4  ,  2,5 ,  2,6  ,

 3,1 , 3, 2 , 3,3 , 3, 4 , 3,5 , 3, 6  ,  4,1 ,  4, 2  ,  4,3 ,  4, 4  ,  4,5 ,  4, 6 ,  5,1 , 5, 2 , 5,3 , 5, 4  , 5,5 , 5, 6  , 6,1 , 6, 2  , 6,3 , 6, 4  ,  6,5 ,  6, 6

Además, como lo indica el problema, la variable aleatoria X queda definida de la siguiente manera:

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Probabilidad III Unidad 2. Esperanza condicional X  a, b   a  b , donde  a, b   y

 a  b  De donde es fácil ver que:

X 1, 2   3 , X 1,3  4 , X 1, 4   5 , X 1,5  6 , X 1, 6   7 , X  2,1  3 , X  3,1  4 , X  4,1  5 , X  5,1  6 , X  6,1  7 Define al evento B como al subconjunto de  compuesto por los pares ordenados que presentan exactamente un 1, es decir:

B  1, 2 , 1,3 , 1, 4  , 1,5 , 1,6  ,  2,1 , 3,1 ,  4,1 , 5,1 ,  6,1 Por tanto:

n

E  X B    xt t 1









P  X    xt  B P  B













1 n  xt P  X    xt  B P  B  t 1







 

1  2 P  X    2  B  3P  X    3  B  4P  X    4  B P  B



         8P  X    8  B   9 P  X    9  B   10 P  X    10  B  11P  X    11  B   12 P  X    12  B   5P  X    5  B  6 P  X    6  B  7 P  X    7  B



1   0   2   2   2  2  2  0   0  2 3 4 5 6 7 8 9 10   36   36   36   36   36   36   36   36  36

 0  0  0  1 10    11   12     3  2   4  2   5  2   6  2   7  2    5  36   36   36   10

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Probabilidad III Unidad 2. Esperanza condicional En particular, para una variable aleatoria continua integrable X , se tiene que:

E  X   E  X  Siendo fácil verificarlo, al considerar que P     1 y sustituyendo este hecho en la definición 2.1.1.1.

2.1.2. Condicionada a una variable aleatoria discreta Considera ahora una variable aleatoria discreta Y (definida en  ), que toma valores y1 , ..., yn en los sucesos:





Ai   Y    yi , i  1, 2, ...

Los cuales forman una partición de  . Además, asume que P  Ai   0 para cada i .

Entonces, puedes realizar la siguiente definición:

Definición 2.1.2.1.

Para una variable aleatoria integrable definida en , y una variable aleatoria discreta como la mencionada arriba, donde además es finito, entonces se define la esperanza condicional de dado

, como la variable aleatoria:

para

Observa que como Y es una variable aleatoria discreta, ésta puede ser función una constante.

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Probabilidad III Unidad 2. Esperanza condicional Ejemplo Problema: Sea  , F , P  un espacio de probabilidades, considerando    0,1 con el  -campo de conjuntos de Borel y P la medida de Lebesgue en  0,1 . Si



 1,   2,  X  x   3x 2 y Y  x    3,   0, 

 1 x  0,   4 1 1 x  ,  4 2 1 3 x  ,  2 4 3  x   , 1 4 



Calcular E X Y .

Solución: Se tiene que X es integrable, además Y es una variable aleatoria discreta que toma los cuatro posibles valores: 0, 1, 2, 3.

 

Para x  0,

1 : 4  14   1 1 1 4 1 E  X Y   x   E  X 0,     3x 2 dx  4  x3   0 1 16   4 0 4

1 1 : 4 2

Para x   ,

  1 1  1 1 2 7 E  X Y   x   E  X  ,     3x 2 dx  16   4 2  1 1 4 4

1 3 : 2 4

Para x   ,

  1 3  1 3 4 19 E  X Y   x   E  X  ,     3x 2 dx  16   2 4  1 1 2 4

3 

 

Para x   , 1 : 4

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Probabilidad III Unidad 2. Esperanza condicional   3  1 1 2 37 E  X Y   x   E  X  , 1    3x dx  16   4  1 3 4 4 1  1 16 , x  0, 4     7 1 1  , x  ,  16 4 2 E  X Y  x   19 , x   1 , 3    16 2 4   37 , x   3 , 1   16  4 





Debes notar que E X Y es una variable aleatoria discreta. En virtud de ello:

     E  E  X Y     E  X Ai  P  Ai    E  X I Ai   E  X  I Ai   E  X  i 1 i 1  i 1 

Resume lo anterior en una proposición.

Proposición 2.1.2.2.

Para una variable aleatoria integrable discreta se tiene que:

y una variable aleatoria

Del último ejemplo puedes notar que Y puede ser una función constante. En virtud de ello se puede incluir la siguiente proposición.

Proposición 2.1.2.3.

Para una variable aleatoria integrable se tiene que:

y una función constante

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Probabilidad III Unidad 2. Esperanza condicional Demostración.

Dado que Y es una función constante, entonces sólo puede tomar un único valor k.

Debe ser claro para el lector que en este caso:

  k Por tanto:

E  X Y     E  X    E  X 

para cada   La verificación de este suceso E  X   E  X  te corresponde a ti, cuando realices la evidencia de aprendizaje.

Se cerrará este tema con la siguiente proposición: Proposición 2.1.2.4.

Sea una variable aleatoria integrable y una variable aleatoria discreta, entonces se cumplen las siguientes afirmaciones: 1)

es

-medible

2) Para cualquier

se tiene que

Demostración. Supón que Y tiene valores distintos a pares y1 , y2 ,...

Entonces los eventos

  Y    y  ,   Y    y  ,…

1

2

Son disjuntos a pares y cubren a todo  . De aquí se tiene que el

 -campo  Y 

está

generado por estos eventos, pues cada A   Y  es una unión contable de conjuntos.

Como E  X Y  es constante en cada uno de estos sucesos, entonces debe ser  Y  medible.

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Probabilidad III Unidad 2. Esperanza condicional Además, se tiene que:



 Y   yn 

E  X Y  dP 



 Y   yn 

 



E X   Y    yn dP 



X dP

 Y   yn 

De donde se infiere que:

 E  X Y  dP   X dP A

A

Lo anterior se debe a que cada A   Y  es una unión contable de conjuntos de la forma

  Y    y  , los cuales son disjuntos a pares. n





Recuerda que es usual denotar al evento   Y    yn por Y  yn  .

2.1.3. Condicionada a una variable aleatoria arbitraria De la proposición 2.1.2.4. se puede inferir la siguiente definición:

Definición 2.1.3.1.

Sea

una variable aleatoria integrable y

arbitraria, entonces

1)

es

2) Para cualquier

una variable aleatoria

es una variable aleatoria que cumple:

-medible se tiene que

Veamos ahora un lema que es de suma importancia para probar otros resultados posteriores.

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Probabilidad III Unidad 2. Esperanza condicional Lema 2.1.3.2.

Sea  , F

, P

un espacio de probabilidades, y sea G  F un

 -campo. Si X

es una

variable aleatoria G -medible, B está contenido en G , además se tiene que:

 X dP  0 B

Entonces:

X  0 c.s.

Demostración Si  X    G , entonces, para cualquier   0

0   P X    

  dP  

X  

X dP  0

X  

Y por tanto P  X     0 . Asimismo, para cualquier   0 se tiene que P  X     0 .

Debido a los dos resultados anteriores se tiene que:

P    X     1

Para cualquier   0 , en particular para   Además, debido a que  X  0 

1 1  1 , se tiene que P    X    1 n n  n



1  1   X   n n n 1 

Se infiere que:

1  1 P  X  0  lim P    X    1 n  n  n

Esto es lo que se quería probar.

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Probabilidad III Unidad 2. Esperanza condicional Ejemplo

Problema: Sea  , F , P  un espacio de probabilidades,

considerando    0,1 con el  -campo de conjuntos de Borel y P la medida de Lebesgue en  0,1 . Si:

  1 1, x  0, 2     X  x   x2 y Y  x     x, x   1 , 1    2  Encuentra E  X Y  .

Solución: En este caso es claro que X es una variable aleatoria integrable, además Y es una variable aleatoria no discreta, por lo que es necesario aplicar la definición 2.1.3.1.

 

Recalca que la variable aleatoria Y es constante en  0, primer paso describe el

 -campo  Y  :

1 

1 1  y no constante en  , 1 . Como  2 2 

 

1) Para cualquier boreliano B   , 1 se tiene que: 2

B  Y  B  Y 

2) Además:

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Probabilidad III Unidad 2. Esperanza condicional  1 0, 2   B  Y  1  Y  B   Y 

Observa que el conjunto presentado en 2) incluye a todos los elementos de  Y  .



1



Debido a que Y es constante en  0,  , además E X Y  2





debe ser  Y  -medible, debe



tenerse que E X Y es constante.

 

Dado lo anterior, es posible calcular la esperanza condicional en  0,

1 de la misma manera 2 

que se realizó en el ejemplo 2, es decir:

  1 1 1 2 1 E  X Y   x   E  X 0,     x 2 dx  12   2 1 0 2 De donde se infiere que:

 E  X Y   x  dx  

 1 0, 2   



Por otro lado, si E X Y

 x  X

X  x  dx

 1 0, 2   

1 

 

en  , 1 , entonces se tiene que: 2

 E  X Y   x  dx   X  x  dx B

1 

B

 

Para cualquier boreliano B   , 1 .

2 Por esta razón finalmente se puede deducir que:

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Probabilidad III Unidad 2. Esperanza condicional 1  1 12 , x  0, 2     E  X Y  x    x 2 , x   1 , 1    2 

2.1.4. Condicionada a un  -campo Antes de iniciar con esta sección, es necesario que recuerdes lo que es un  -campo (o  álgebra y su propiedades. Por tal motivo se recomienda que revises este libro electrónico de Luis Rincón (2010), Curso intermedio de probabilidad http://www.matematicas.unam.mx/lars/libros/cip.pdf, sobre Teoría de probabilidad y en el que puedes leer sobre este tema.

Definición 2.1.4.1.

Sea

una variable aleatoria en un espacio de probabilidad , y sea un -campo. Se define la esperanza

condicional de

dado

como la variable aleatoria

, tal

que: 1)

es

2) Para cualquier



Considera que E X G

-medible se tiene que

 existe y es único. Este hecho se debe aceptar al momento, de manera

axiomática, debido a que para realizar su demostración se requiere haber fundamentado el Teorema de Radom-Nikoym (el cual también se mencionará sin demostración), debido a que ésta presenta elementos que aún no has desarrollado. Este teorema indica que una variable aleatoria existe y es única c.s., en el sentido en que dos representaciones de ella difieren únicamente en un conjunto de probabilidad cero.

De manera general, se puede decir que si Y es una variable aleatoria, un vector aleatorio o un proceso estocástico en  , y  Y  el



-campo generado por Y , entonces la esperanza

condicional de una variable aleatoria X dado Y está definida por…

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Probabilidad III Unidad 2. Esperanza condicional



E  X Y   E X  Y 



Se cerrará esta sección con la mención del Teorema de Radom-Nikodym con la finalidad de dártelo a conocer.

Teorema 2.1.4.2. (Teorema de Radom-Nikodym) Sea  , F , P  un espacio de probabilidades, y sea G  F , un

 -campo. Entonces, para cada variable aleatoria X existe una variable aleatoria Y , la cual es G -medible, que cumplen lo siguiente:

 X dP   Y dP A

A

2.1.5. Propiedades generales

Las siguientes propiedades de la esperanza condicional proveen algunas reglas que pueden ser útiles al momento de tener que calcular alguna de ellas, y por tal motivo es imperativo que las aprendas y que seas capaz de fundamentarlas (demostrarlas).

Aquí se te presentan las demostraciones, pero es claro que debes poder realizarlas por tu cuenta, en lo sucesivo.

Si k1 , k2  , X y Y son variables aleatorias integrables definidas en un espacio de probabilidades  , F , P  , y G , H son  -campos sobre 

Definición 2.1.5.1.

contenidos en F , entonces la esperanza condicional cuenta con las siguientes propiedades.













1) E k1 X  k2Y G  k1 E X G  k2 E Y G . Esta relación se conoce como linealidad de la esperanza condicional.

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Probabilidad III Unidad 2. Esperanza condicional

 

   E  X H  . Esta relación se conoce como la

2) Si H  G , entonces E E X G H

propiedad de suavizado de la esperanza condicional o propiedad de la torre.

 

3) E E X G

  E  X  . Esta igualdad se conoce como la ley de la doble esperanza y se

obtiene de “2)” tomando H  ,  .









4) Si X es G -medible y el producto X Y es integrable, entonces E XY G  X E Y G .

Esta relación indica que si G contiene toda la información de X , entonces dado que G ocurre, X es conocida, y por tanto puede tratarse como una constante. Es usual llamar a esta regla “extraer lo medible”.





5) Si X es independiente de G , entonces E X G  E  X  . Esta relación indica que si la información conocida no proporciona información acerca de X , entonces la esperanza



condicional E X G

 es lo mismo que la esperanza E  X  . 



6) Si X  0 , entonces E X G  0 .

A esta relación se le llama positividad.

Demostración:

Se demostrará cada uno de los incisos.

1)

Para cualquier B G se tiene que:

  k E  X G   k E Y G  dP  k E  X G  dP   k E Y G  dP  k  X dP  k  Y dP 1

B

2

1

B

2

B

1

2

B

B

   k1 X  k2Y  dP B

De la unicidad de la esperanza condicional, se tiene que:

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Probabilidad III Unidad 2. Esperanza condicional E  k1 X  k2Y G   k1 E  X G   k2 E Y G 

2. De la definición 2.1.4.1. se tiene que si B G y B H , entonces:

 E  X G  dP   X dP B

B

además:

 E  X H  dP   X dP B

Debido a que por hipótesis H  G se

B

 E  X G  dP   E  X H  dP B

tiene que:

B

De donde, por la definición 2.1.4.1.





E EX G  H  EX H



3. Comencemos probando el resultado para X  I A considerando que AG . Entonces para cualquier B G se tiene:

 I E Y G  dP   E Y G  dP   A

B

De donde, por la unicidad, se

A B

I A Y dP

A B

I A E Y G   E  I A Y G 

obtiene que:

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Probabilidad III Unidad 2. Esperanza condicional Análogamente se puede alcanzar el resultado si X es una función de paso G -medible: m

X   a j I Aj j 1

Donde Aj G para j  1,..., m .

Finalmente, el resultado en el caso general se sigue al aproximar X por funciones de paso G medibles.

4. Dado que X es independiente de G , las variables X y I B también lo son para cualquier B G , en virtud de lo cual:

 E  X  dP  E  X  E  I   E  X I    X B

B

B

De donde se

dP

B

EX G   EX 

infiere que:

5. Procediendo por contradicción. Supón que existe B G , con P  B   0 , tal que:

E  X IB   0 Dado lo anterior, se puede ver que tomando valores esperados

Lo cual genera una contradicción, pues si:

Entonces:

E  X G  IB  0

X 0

E  X IB   0

Por tanto, debe cumplirse

EX G   0

que:

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Probabilidad III Unidad 2. Esperanza condicional Actividad 2. Propiedades de la esperanza condicional Al finalizar esta actividad podrás resolver problemas de esperanza condicional utilizando sus propiedades.

Instrucciones: 1. Descarga el archivo llamado “Act. 2. Propiedades de la esperanza condicional”.

2. Analiza cada caso presentado en el archivo y resuélvelos empleando las definiciones y propiedades presentadas en la unidad.

3. Justifica cada una de las respuestas.

4. Guarda tu documento con la siguiente nomenclatura MPRO3_U2_A2_XXYZ, sustituye las XX por las dos primeras letras de tu primer nombre, la Y por la inicial de tu apellido y la Z por la inicial de tu apellido materno.

Envía tu documento a tu Facilitador(a) y espera su retroalimentación.

Autoevaluación Para reforzar los conocimientos relacionados con los temas que se abordaron en esta unidad del curso, es necesario que resuelvas la autoevaluación.

Ingresa al aula virtual para realizar tu actividad.

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Probabilidad III Unidad 2. Esperanza condicional Evidencia de aprendizaje: Demostraciones sobre esperanza condicional Es momento de realizar tu evidencia de aprendizaje, donde podrás resolver ejercicios sobre esperanza condicional, auxiliándote de toda la teoría aprendida durante la unidad.

En esta sección terminarás de formalizar tus conocimientos.

Instrucciones: 1. Descarga el documento llamado “Demostraciones sobre esperanza condicional”.

2. Realiza las actividades que se te plantean en el archivo.

3. Argumenta tus respuestas con base en lo que aprendiste en la unidad.

4. Guarda tu documento con la siguiente nomenclatura MPRO3_U2_EA_XXYZ, sustituye las XX por las dos primeras letras de tu primer nombre, la Y por la inicial de tu apellido y la Z por la inicial de tu apellido materno.

5. Envía tu reporte al portafolio de evidencias y espera la retroalimentación de tu Facilitador(a). Una vez que la tengas, atiende sus comentarios y reenvía la nueva versión de tu evidencia.

Nota: no olvides consultar la Escala de evaluación para conocer los criterios con que será evaluado tu trabajo.

Autorreflexiones Como parte de cada unidad, es importante que ingreses al foro Preguntas de autorreflexión y leas los cuestionamientos que formuló tu Facilitador(a), ya que a partir de ellos debes elaborar tu autorreflexión y enviarla mediante la herramienta Autorreflexiones. No olvides que también se toman en cuenta para la calificación final.

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Probabilidad III Unidad 2. Esperanza condicional

En esta unidad aprendiste a aplicar el concepto de la esperanza condicional para resolver diversos problemas probabilísticos, utilizando sus propiedades.

Unidad 3

Unidad 2

Cierre de la unidad En esta unidad aplicarás la Teoría de procesos estocásticos y esperanza condicional para identificar una martingala, mediante sus definiciones y propiedades.

Para saber más Lee y da clic en las siguientes publicaciones para que amplíes tu cultura matemática: Sesgos en el razonamiento sobre Probabilidad Condicional e implicaciones para la enseñanza http://www.ugr.es/~batanero/ARTICULOS/Revistadigital.pdf El concepto de esperanza condicional en las martingalas http://www.redalyc.org/articulo.oa?id=84920503072

Referencias Bibliográficas Para finalizar la unidad acude a las fuentes de consulta que se utilizaron para el desarrollo de ésta.  Brzezniak, Z. y Zastawniak, T. (1999). Basic stochastic processes. Great Britain: Springer.  Chung, K. L. y Williams R. J. (1990). Introduction to Stochastic Integration. USA: Birkhäuser.  Klebaner, F. (2005). Introduction to Stochastic Calculus with Applications. Imperial College Press.  Mikosch, T. (2000). Elementary stochastic calculus with finance in view. Singapore: World Scientific Publishing.  Rincon, L. (2007) “Curso intermedio de probabilidad”. México. Departamento de Matemáticas Facultad de ciencias de la UNAM, recuperado de: http://www.matematicas.unam.mx/lars/libros/cip.pdf

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