Unidad 1 grupos y subgrupos

Álgebra moderna I Unidad 1. Grupos y subgrupos Contenido nuclear Universidad Abierta y a Distancia de México Licenciatura en Matemáticas

Licenciatura en Matemáticas

11° Cuatrimestre

Programa de la asignatura: Álgebra moderna I

Unidad 1: Grupos y subgrupos

Contenido nuclear

Clave: 050941141

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Álgebra moderna I Unidad 1. Grupos y subgrupos Contenido nuclear

Índice Introducción........................................................................... 3 Desarrollo de contenidos nucleares ................................... 4 Simetrías ............................................................................... 4 Aprende observando ............................................................ 8 Operaciones binarias ............................................................ 8 Grupos .................................................................................. 8 Aprende observando ............................................................ 9 Subgrupos .......................................................................... 10 Grupos cíclicos y generadores ........................................... 10 Orden de un grupo y un elemento ...................................... 11 Recursos web ..................................................................... 11 Cierre de la Unidad.............................................................. 11 Fuentes de consulta............................................................ 12

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Álgebra moderna I Unidad 1. Grupos y subgrupos Contenido nuclear Introducción El Álgebra Moderna (o Abstracta) estudia las estructuras algebraicas mediante sus simetrías. La estructura que estudiaremos en este curso será la estructura de grupo.

En esta unidad exploraremos los conceptos fundamentales que nos llevarán a construir un grupo. o o

o o o

Simetrías. Una simetría es un movimiento que deja invariante a un lugar geométrico.

Operaciones binarias. Una operación binaria es aquella que toma elementos en el producto cartesiano de un conjunto consigo mismo y cuya imagen es un elemento en el mismo conjunto.

Grupos. Un grupo es un conjunto con una operación que cumple las propiedades de asociatividad, elemento neutro e inverso.

Subgrupos. Un subgrupo es un subconjunto, no vacío, de un grupo que cumple con las propiedades de grupo bajo su misma operación.

Grupos cíclicos. Un grupo cíclico es aquel que tiene un elemento generador, es decir, todo elemento del grupo se expresa como una potencia entera del generador.

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Álgebra moderna I Unidad 1. Grupos y subgrupos Contenido nuclear Desarrollo de contenidos nucleares Simetrías Según el diccionario de la lengua española, una simetría es una correspondencia exacta en la disposición regular de las partes o puntos de un cuerpo o figura con relación a un centro, un eje o un plano. En efecto, en matemáticas, una simetría es un movimiento que deja invariante a una figura, es decir, que después de moverla seguimos teniendo la misma figura.

En nuestra experiencia, estamos familiarizados con las simetrías desde edades muy tempranas. Por ejemplo, al reconocer nuestro cuerpo, notamos que existe un eje de simetría a lo largo del cual se disponen nuestros miembros y algunos órganos. También es muy probable que hayamos jugado con figuras geométricas que presentaban simetrías. Y conforme fuimos creciendo nos encontramos con otros ejemplos en la pintura, la escultura y la música.

Podemos reconstruir los primeros ejemplos de simetrías en matemáticas usando figuras planas regulares. Por ejemplo un triángulo equilátero.

Habiendo numerado a sus vértices y trazado una de sus alturas podemos reflejar con respecto a ésta los vértices 2 y 3. Este movimiento dejará invariante a la figura de la manera siguiente.

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El movimiento de reflexión que hemos realizado es una simetría. Así mismo son simetrías las rotaciones que dejan invariante al triángulo equilátero, a saber, la rotación por 120°, 240° y 360°. Esta última se considera el elemento neutro pues regresa a la figura a su posición inicial, como si no la hubiésemos movido. Al elemento neutro lo denotaremos .

El centro de estas rotaciones es el punto de intersección de las alturas del triángulo, el ortocentro.

Al componer simetrías obtendremos nuevas para la misma figura. Por ejemplo si componemos la reflexión por con la de (que denotaremos y , respectivamente), tendremos lo siguiente. Primero aplicamos .

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Álgebra moderna I Unidad 1. Grupos y subgrupos Contenido nuclear Esta simetría se denota de forma matricial de la siguiente manera: en el primer renglón se escriben los vértices y en el segundo renglón sus imágenes bajo la reflexión.

Después aplicamos la reflexión

:

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Álgebra moderna I Unidad 1. Grupos y subgrupos Contenido nuclear Al final obtenemos la rotación por 240°, que denotaremos

En efecto

.

. (

)(

)

(

)

La composición de simetrías es una composición de funciones y por lo tanto se efectúa de ( ) ( ) derecha a izquierda. Por ejemplo, en el caso anterior, . Por lo tanto ( )( ) .

El conjunto de las reflexiones y rotaciones del triángulo equilátero junto con la operación de composición de funciones forma un grupo, el grupo de simetrías del triángulo equilátero. {

}

Se invita al lector a escribirlas todas en su notación matricial.

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Álgebra moderna I Unidad 1. Grupos y subgrupos Contenido nuclear Aprende observando Grupos de simetrías del cuadrado

En estos dos videos se muestra el Grupo de simetrías del cuadrado.

Grupo de simetrías del cuadrado I

Grupo de simetrías del cuadrado II

Operaciones binarias Dado un conjunto no vacío , una operación binaria es aquella operación definida de la siguiente forma:

Ejemplo: Si

es el conjunto de los enteros, la suma de enteros es una operación binaria.

Ejemplo: Si es el conjunto de las simetrías del triángulo, la composición de simetrías es una operación binaria. Se invita al lector a demostrar este hecho.

Grupos Un grupo es un conjunto con una operación binaria , lo denotamos 〈 las siguientes propiedades: i) Asociatividad ) Si entonces ( ( ) ii) Elemento neutro Existe tal que para todo . iii) Inversos

〉, que cumple

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Álgebra moderna I Unidad 1. Grupos y subgrupos Contenido nuclear Para todo

existe

tal que

Ejemplo: Ahora podemos demostrar que el conjunto de simetrías del triángulo equilátero { } es un grupo junto con la operación de composición de funciones. Se invita al lector a completar la demostración comprobando todos los incisos. i)

En efecto la composición de simetrías es asociativa.

ii)

El movimiento neutro

iii)

elementos al componerse con ellos.

Cada elemento de tiene su inverso en , a saber

(

) está en

y no afecta a ninguno de sus

Aprende observando Definición y ejemplos de En este vídeo se muestra la definición de grupo y algunos grupos ejemplos: Tomado de Matemáticas de Yucatán (2010) (Archivo de Vídeo) recuperado de:

Teoría de Grupos I

Grupos y subgrupos

Teoría de Grupos II

En este vídeo se muestra el grupo general lineal GL(2,R)

Grupo lineal GL, 2, R

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Álgebra moderna I Unidad 1. Grupos y subgrupos Contenido nuclear Subgrupos Sea un grupo y lo denotamos

Si

un subconjunto no vacío de , decimos que

es un subgrupo de

y

es un grupo bajo la operación de .

〉 es el grupo aditivo de los números reales, entonces Ejemplo: Si 〈 Veamos.  es un subconjunto no vacío de  La suma de racionales es racional y también es asociativa  El pertenece a los racionales y es el neutro de la suma  Si está en entonces – está en y Grupos y subgrupos

es un subgrupo.

En este vídeo se muestra el Grupo de enteros módulo n

Grupo de enteros módulo n

Grupos cíclicos y generadores Para adentrarnos en la definición de grupo cíclico, primero estudiemos las potencias enteras de un elemento.

Sea 〈 〉 un grupo y , definimos las potencias enteras de como sigue:  Si entonces  Si entonces  Si – entonces ( ) El siguiente lema nos llevará a la definición de un grupo cíclico.

Lema Si es un grupo y es cualquier elemento de , el conjunto 〈 〉 〈 〉 es un subgrupo de .

Demostración. Se deja como ejercicio al lector. 〉 es llamado el subgrupo cíclico generado por . Así, decimos El grupo 〈 〉 〈 〈 〉. Al que un grupo es un grupo cíclico si existe un elemento tal que elemento lo llamaremos un generador de .

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Álgebra moderna I Unidad 1. Grupos y subgrupos Contenido nuclear 〉 es un grupo cíclico. Su generador Ejemplo: El grupo aditivo de los números enteros 〈 es el puesto que todos los elementos de se pueden ver como potencias enteras del .

Orden de un grupo y un elemento A partir del ejemplo anterior podemos introducir el concepto de orden. El orden de un grupo es la cardinalidad de sus elementos. Por ejemplo, si es el grupo de las simetrías del triángulo equilátero, entonces su orden es , y lo denotamos ( ) .

Si es un grupo y cualquier entero para todo Ejemplo: Si

es cualquier elemento, decimos que tiene orden infinito si para se tiene que . Si existe un entero tal que y . El orden de un elemento lo denotamos por ( ).

es el grupo de simetrías del triángulo equilátero, {

( )

, (

)

para

} , (

)

, (

)

Recursos web http://www.dcb.unam.mx/users/casianoam/algebra/capitulos/ESTRUCTURAS%20ALGEB RAICAS.pdf http://www.cimat.mx/~fsanchezcv/docs/AModerna.pdf http://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Algebra_abstracta/abstracta.pdf http://fmwww.bc.edu/gross/MT216/aata.pdf http://www.math.niu.edu/~beachy/aaol/structure.html http://www.math.niu.edu/~beachy/abstract_algebra/ http://staffhome.ecm.uwa.edu.au/~00013270/b_a_a.pdf

Cierre de la Unidad

En esta unidad construiste y trabajaste con los primeros ejemplos de grupos y subgrupos.

Ahora cuentas con las herramientas para trabajar con un nuevo tipo de grupos y operaciones entre ellos.

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Álgebra moderna I Unidad 1. Grupos y subgrupos Contenido nuclear Fuentes de consulta Zaldívar. F. (2006). Introducción a la Teoría de Grupos. Primera edición. México: Sociedad Matemática Mexicana.

Rotman. J. J. (2000). A First Course in Abstract Algebra. Second edition. United States of America. Prentice Hall.

Herstein. I. N. Álgebra Moderna: Grupos, Anillos, Campos, Teoría de Galois. Segunda edición. México: Trillas.

Fraleigh. J. B. (1994). A First Course in Abstract Algebra. United States of America.

Addison-Wesley Publishing Company.

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