U3 diferenciacion de funciones complejas

PROGRAMA DESARROLLADO Unidad 3.Diferenciacion de funciones complejas

Universidad Abierta y a Distancia de México

Licenciatura en matemáticas

7° cuatrimestre

Variable compleja I

Unidad 3. Derivación de funciones complejas

Clave: 060920517/ 050920517

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PROGRAMA DESARROLLADO Unidad 3.Diferenciacion de funciones complejas

INDICE Contenido Unidad 3. Derivación de funciones complejas .................................................................................... 3 Presentación de la unidad ...................................................................................................................... 3 Propósitos de la unidad .......................................................................................................................... 3 Competencia específica ......................................................................................................................... 3 3.1. La derivada compleja ...................................................................................................................... 3 3.1.1 Definición de derivada compleja ............................................................................................. 3 3.1.2. Condiciones de suficiencia y necesidad de la derivada ..................................................... 7 3.1.3. Propiedades de la derivada .................................................................................................. 16 Actividad 1. Derivación de funciones complejas............................................................................... 21 Actividad 2. La derivada compleja ..................................................................................................... 22 3.2. Funciones holomorfas ................................................................................................................... 22 3.2.1. Definición de una función holomorfa ................................................................................... 22 3.2.2. Funciones armónicas ............................................................................................................. 25 Actividad 3. Funciones holomorfas ..................................................................................................... 30 Autoevaluación....................................................................................................................................... 31 Evidencia de aprendizaje. Diferenciación de funciones complejas ............................................... 32 Autorreflexiones ................................................................................................................................. 33 Cierre de la unidad ................................................................................................................................ 33 Para saber más ...................................................................................................................................... 33 Referencias bibliográficas .................................................................................................................... 34

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PROGRAMA DESARROLLADO Unidad 3.Diferenciacion de funciones complejas Unidad 3. Derivación de funciones complejas

Presentación de la unidad En esta unidad se presenta la definición de derivada de una función compleja motivada por la derivada de funciones de variable real, se mostrará que relaciones hay entre la derivada compleja y las derivadas parciales de sus componentes, además se presentan las propiedades de la derivada compleja y finalmente se presentan el concepto de función armónica.

Propósitos de la unidad En la primera parte esta unidad se estudiará el concepto de derivada para una función compleja, después se estudian las condiciones de suficiencia y necesidad de la derivada y finalmente, se estudiarán las propiedades de la derivada de funciones complejas. En la segunda parte se estudiará el concepto de función holomorfa y por último estudiaras el concepto de función armónica.

Competencia específica Utilizar las características de las funciones elementales complejas, mediante el concepto de derivada para resolver problemas que involucren variables complejas.

3.1. La derivada compleja La variable compleja generaliza las ideas del Cálculo para funciones con dominio en el conjunto de los números complejos, en consecuencia, la derivada es uno los conceptos mas importantes dentro de la funciones complejas, aquí se presenta el paralelismo existente entre la derivada de funciones reales y la derivada compleja.

3.1.1 Definición de derivada compleja La derivada compleja se define de manera similar que derivada real, el cual se realiza del siguiente modo: Sean f :    y z0  se dice que f es derivable en z0 ó que f tiene derivada en z0 si y solo si el límite lim z  z0

f ( z )  f ( z0 ) existe, en caso tal caso se denota z  z0

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PROGRAMA DESARROLLADO Unidad 3.Diferenciacion de funciones complejas por

df dz

ó por f '( z0 ) . Se dice que f es derivable en un conjunto 1   si y solo si z  z0

f '( z ) existe para todo z 1 , en particular, se dice que f es entera si f es derivable en

todo .

De manera equivalente, denotando z  z  z0 , es fácil ver que cuando z  z0 se tiene que

z  0 , en consecuencia se tiene lo siguiente: f ( z )  f ( z0 ) f ( z0  z )  f ( z0 ) . f '( z0 )  lim  lim z  z0  z  0 z  z0 z Gráficamente se tiene lo siguiente:

Ejemplo: Calcular la derivada de la función f ( z )  z 2 en z0  1  2i .

Solución: Solo hay que aplicar la definición de derivada para al función f ( z )  z 2 y el punto z0  1  2i . Entonces lim z  z0

 z  ( 1  2i )  z  ( 1  2i ) f ( z )  f ( z0 ) z 2  ( 1  2i ) 2  lim  lim z 1 2 i z  ( 1  2i ) z 1 2 i z  z0 z  ( 1  2i )  lim

z 1 2 i

 z  ( 1  2i )  ( 1  2i )  ( 1  2i )

 2  4i.

Por lo tanto f '(1  2i )  2  4i .

Ejemplo: Muestre que para la función f ( z )  z , se tiene que f '( z ) no existe para todo z  .

Solución: Sea z0 un número complejo arbitrario. Aplicando la definición de derivada se tiene lo siguiente: lim z  z0

f ( z )  f ( z0 ) z  z0  lim z  z 0 z  z z  z0 0

Ahora hay que presentar dos aproximaciones que tengan dos límites distintos. Sea horizontal qua pasa por z0  x0  iy0 , cualquier elemento z 

1

1

la recta

tiene la forma z  x  iy0 como

lo muestra la figura:

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PROGRAMA DESARROLLADO Unidad 3.Diferenciacion de funciones complejas

Luego se obtiene lo siguiente: lim z  z0

z  z0 x  iy0  x0  iy0 ( x  iy0 )  ( x0  iy0 )  lim  lim z  z0 x x0 ( x  iy0 )  ( x0  iy0 ) x x0 x  x0  lim

x  x0

Sea

2

x  x0 x  x0

 lim 1  1. x  x0

la recta vertical qua pasa por z0  x0  iy0 , cualquier elemento z 

2

tiene la forma

z  x0  iy como lo muestra la figura:

Luego se obtiene lo siguiente: lim z  z0

z  z0 x0  iy  x0  iy0 ( x  iy )  ( x0  iy0 )  lim  lim 0 y  y x  x 0 ( x  iy )  ( x  iy ) 0 z  z0 i ( y  y0 ) 0 0 0  lim

x  x0

Así lim z  z0

 i ( y  y0 ) i ( y  y0 )

 lim [1]  1. x  x0

z  z0 no existe. Por lo tanto f '( z0 ) no existe para todo z0  . z  z0

Ejemplo: Muestre que la función f ( z ) 

1 es derivable para todo z0  z

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\ 0 .

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PROGRAMA DESARROLLADO Unidad 3.Diferenciacion de funciones complejas 1 está definida para todo z  0 . Sea z0  0 un z número complejo arbitrario fijo, aplicando la definición de derivada se tiene lo siguiente: z0   z0  z   z 1 1   z0  z  z0  lim  z0  z  z0 f ( z0  z )  f ( z0 ) z  z z0 lim  lim 0  lim z 0 z 0 z 0 z 0 z z z z 1 2 1 1 1 z  zz0  lim 0  lim 2  2  2 z 0  z  0 1 z0  z z0 z0  lim  z z0  z0   0  z

Solución: Claramente la función f ( z ) 

z 0



Por lo tanto f '( z0 )  

1 . z02

1 . z02

Ejemplo: Dada la función f ( z )  z n , donde n 

n 1 \ 0 , muestre que f '( z0 )  nz0 para todo

z0  .

Solución: Sea z0 un número complejo cualquiera. Por definición de derivada se tiene lo siguiente:     k z  z  n

n

f ( z0  z )  f ( z0 ) ( z  z )  ( z0 ) lim  lim 0  lim k 0   z 0  z  0 z 0 z z n

n

k 0

n k

 z0n

z

 n  n  n  n 1  n  n 2  n  n 2 n 1 n n  0  z 0   0  z 0 z   0  z 0  z     n  1  z 0  z    n    z   z 0            lim z 0 z n n n   n 1   n 2   n 2 n 1 n  0  z0 z   0  z0  z     n  1 z0  z    n   z         lim   z 0 z  n  n  n  n n 2 n 1  z   z0n 1    z0n 2 z    z0  z      z     0  n  1 n  0    lim z 0 z  n  n  n  n n 2 n 1   lim   z0n 1    z0n 2 z    z0  z      z    z 0  0  n  1 n  0   n n!    z0n 1  z0 n 1  nz0n 1.

0 0! ( n  0)!  

Por lo tanto f '( z0 )  nz0n 1 .

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PROGRAMA DESARROLLADO Unidad 3.Diferenciacion de funciones complejas 3.1.2. Condiciones de suficiencia y necesidad de la derivada En esta sección se presenta la relación existente entre la derivada compleja ya la derivadas parciales de las componente. Antes de comenzar se presentan las definiciones de derivadas parciales de una función real de dos variables reales. Sean g :  

2



y ( x0 , y0 )  , la

derivada parcial de g con respecto a x en ( x0 , y0 ) se define por: lim

x  x9

g ( x, y0 )  g ( x0 , y0 ) x  x0

g ( x0 , y0 ) . Análogamente, la derivada x parcial de g con respecto a y en ( x0 , y0 ) se define por:

Cuando este límite existe, en tal caso se denota por

lim

x  x9

g ( x0 , y )  g ( x0 , y0 ) y  y0

Cuando este límite existe, en tal caso se denota por

g ( x0 , y0 ) . y

La primera parte es la condición de necesidad, la cual se enuncia de la siguiente manera: Teorema: Sean f :    y z, z0  , con f ( z)  u( x, y )  iv( x, y ) , z  x  iy y z0  x0  iy0 .

Si f es derivable en z0 entonces las derivadas parciales

u u v v existen en ( x0 , y0 ) y , , , x y x y

satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann: u v v u ( x0 , y0 )  ( x0 , y0 ) y ( x0 , y0 )   ( x0 , y0 ) . x y x y Demostración: Como f es derivable en z0 , se tiene que: lim z  z0

f ( z )  f ( z0 )  f '( z0 ) z  z0

Por la unicidad del límite de una función compleja, no importa por dónde se haga el acercamiento al valor z0 . En particular, sea 1 la recta horizontal qua pasa por z0  x0  iy0 , luego, cualquier elemento z 

1

tiene la forma z  x  iy0 como lo muestra la figura:

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PROGRAMA DESARROLLADO Unidad 3.Diferenciacion de funciones complejas

Por consiguiente: lim z  z0

f ( z )  f ( z0 ) u( x, y0 )  iv( x, y0 )  u( x0 , y0 )  iv( x0 , y0 )  lim x  x0 z  z0 ( x  iy0 )  ( x0  iy0 )  lim

x  x0

u( x, y0 )  u( x0 , y0 )  i v( x, y0 )  v ( x0 , y0 ) x  x0

 u( x, y0 )  u( x0 , y0 )   v ( x, y0 )  v ( x0 , y0 )   lim   i lim    x  x0 x  x 0 x  x0 x  x0     u v  ( x0 , y0 )  i ( x0 , y0 )  f '( z0 ) x x

Análogamente, sea z

2

2

la recta vertical qua pasa por z0  x0  iy0 , así, cualquier elemento

tiene la forma z  x0  iy como lo muestra la figura:

Además se tiene:

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PROGRAMA DESARROLLADO Unidad 3.Diferenciacion de funciones complejas lim z  z0

f ( z )  f ( z0 ) u( x0 , y )  iv( x0 , y )  u( x0 , y0 )  iv( x0 , y0 )  lim y  y 0 z  z0 ( x0  iy )  ( x0  iy0 )  lim

x  x0

u( x0 , y )  u( x0 , y )  i  v( x0 , y )  v( x0 , y ) iy  iy0

 v ( x , y )  v ( x0 , y )   u( x0 , y )  u( x0 , y )   lim   i lim  0   x  x0 x  x0 i  y  y0  i  y  y0      1 u v v u  ( x0 , y0 )  ( x0 , y0 )  ( x0 , y0 )  i ( x0 , y0 )  f '( z0 ) i y y y y

Por la relación del límite de una función y los límites de sus componentes, se sigue que las u u v v derivadas parciales existen en ( x0 , y0 ) , adicionalmente se tienen las siguientes , , , x y x y igualdades: u v v u ( x0 , y0 )  i ( x0 , y0 )  f '( z0 )  ( x0 , y0 )  i ( x0 , y0 ) x x y y

Por la igualdad de números complejos se tienen las ecuaciones de Cauchy-Riemann u v v u ( x0 , y0 )  ( x0 , y0 ) y ( x0 , y0 )   ( x0 , y0 ) . x y x y Como consecuencia inmediata de lo anterior se tiene el siguiente resultado: Corolario: Si las componentes de una función no cumplen con las ecuaciones de CauchyRiemann en un punto, entonces la función no es derivable en ese punto.

Ejemplo: Muestre que la función f ( z )  z no es derivable en para todo z  .

Solución: Ya se demostró por medio de la definición de derivada que la función f ( z )  z no es derivable, lo cual fue algo tedioso por el hecho de calcular los límites. Hay que observar que cuando z  x  iy se tiene que f ( z )  x  iy . Por consiguiente u( x, y )  x y v( x, y )   y .

Así, se obtienen las siguientes derivadas parciales: u v ( x, y )  1 ( x, y )  0 x x u v ( x, y )  0 ( x, y )  1 y y Se sigue que

u v ( x, y )  ( x, y ) para todo ( x, y )  x y

2

, la conclusión se obtiene del corolario

anterior.

Dado que las ecuaciones de Cauchy-Riemann se obtienen de calcular la derivada de una función compleja, es natural pensar que es proceso es inverso, es decir, que la validez de las

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PROGRAMA DESARROLLADO Unidad 3.Diferenciacion de funciones complejas ecuaciones de Cauchy-Riemann implica la derivada compleja de una función. Es camino inverso no siempre es verdadero como lo muestra la siguiente observación: Ejemplo: Sea f ( z)  u( x, y )  iv( x, y ) donde u( x, y ) 

( x, y ) 

2

xy y v( x, y )  0 para cualesquiera

. Muestre que las ecuaciones de Cauchy-Riemann se cumplen en z0  0 pero que

f '(0) no existe.

Solución: Inmediatamente se tiene que

v v (0,0)  (0,0)  0 ya que v( x, y )  0 . Para x y

u (0,0) sea 1 el eje horizontal, entonces dado z  x x  . En consecuencia

calcular

u u( x,0)  u(0,0) (0,0)  lim  lim x 0 x 0 x x 0

Análogamente, para calcular z  0  iy , con y 

u (0,0) sea y

2

1

x·0  0·0 x

se tiene que z  x  i0 , con

0 0. x 0 x

 lim

el eje vertical, así dado z 

2

se tiene que

. Entonces

0· y  0·0 u u(0, y )  u(0,0) 0 (0,0)  lim  lim  lim  0 . y 0 y 0 x 0 y y y 0 y De lo anterior se deduce que u v (0,0)  0  (0,0) x y

y

v u (0,0)  0   (0,0) x y

Por lo tanto se cumplen las ecuaciones de Cauchy-Riemann.

Por otra parte, se 3 la recta x  y  0 , así, dado z  3 , se tiene que z  x  ix . Tomando lim z 0

f ( z )  f (0) u( x, x )  iv( x, x)  u(0,0)  iv(0,0)  lim x 0 z0  x  ix    0  i0   x·x  i (0)    0·0  i (0)      lim  x 0 x 1  i   lim x 0

x x 1  lim . x 1  i  1  i x0 x

x no existen por con siguiente f '(0) no existe. x Antes de continuar con la condición de suficiencia de la existencia de la derivada, se requiere presentar el siguiente resultado funciones reales de dos variables reales. En esencia afirma que la derivada es la mejor “aproximación lineal” de una función.

Pero es fácil ver que lim x 0

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PROGRAMA DESARROLLADO Unidad 3.Diferenciacion de funciones complejas Lema: Sean g :  

2



y ( x0 , y0 )  , si las derivadas parciales de g existen y son

continuas en ( x0 , y0 ) , entonces g ( x, y )  g ( x0 , y0 )  ( x  x0 )

Donde

k ( x  x0 , y  y0 )

g g ( x0 , y0 )  ( y  y0 ) ( x0 , y0 )  ( x  x0 )1  ( y  y0 ) 2 x y

 0 cuando ( x, y )  ( x0 , y0 ) , para k  1,2 .

Finalmente, la condición de suficiencia requiere que una hipótesis extra que es la existencia y continuidad de las derivadas parciales.

Teorema: Sean f ( z)  u( x, y )  iv( x, y ) y z0  x0  iy0 , supóngase que las derivadas parciales u u v v existen y son continuas en ( x0 , y0 ) . Entonces las ecuaciones de Cauchy, , , x y x y

Riemann: u v ( x0 , y0 )  ( x0 , y0 ) x y

y

v u ( x0 , y0 )   ( x0 , y0 ) x y

Implica que f es derivable en z0 .

Demostración: Sea z  un punto cerca de z0 , entonces se tiene lo siguiente:

f ( z )  f ( z0 ) u( x, y )  iv( x, y )  u( x0 , y0 )  iv ( x0 , y0 )  z  z0 ( x  iy )  ( x0  iy0 ) 

u( x, y )  u( x0 , y0 )  i v( x, y )  v( x0 , y0 ) ( x  x0 )  i ( y  y0 )

Sean x  x  x0 y y  y  y0 . Por el lema anterior se tiene lo siguiente: u u ( x0 , y0 )  y ( x0 , y0 )  x1  y 2 x y v v v( x, y )  v ( x0 , y0 )  x ( x0 , y0 )  y ( x0 , y0 )  x 3  y 4 x y

u( x, y )  u( x0 , y0 )  x

Donde

 k ( x, y ) ( x, y )

 0 cuando ( x, y )  ( x0 , y0 ) , para k  1,2,3,4 .

Sustituyendo

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PROGRAMA DESARROLLADO Unidad 3.Diferenciacion de funciones complejas 

u( x, y )  u( x0 , y0 )  i v( x, y )  v( x0 , y0 )   x 

 u u ( x0 , y0 )  y ( x0 , y0 )  x1  y 2  x y 

 v  v i  x ( x0 , y0 )  y ( x0 , y0 )  x 3  y 4  y  x   u  v v  u   x  ( x0 , y0 )  i ( x0 , y0 )   y  ( x0 , y0 )  i ( x0 , y0 )  x y  x   y   x 1  i 3   y  2  i 4 .

Pero las ecuaciones de Cauchy-Riemann dicen que u v v u ( x0 , y0 )  ( x0 , y0 ) y ( x0 , y0 )   ( x0 , y0 ) x y x y En consecuencia u v v u ( x0 , y0 )  i ( x0 , y0 )   ( x0 , y0 )  i ( x0 , y0 ) y y x x

Luego v u v  u   v   u  x  ( x0 , y0 )  i ( x0 , y0 )   y   ( x0 , y0 )  i ( x0 , y0 )    x  iy   ( x0 , y0 )  i ( x0 , y0 )  x x x  x   x   x  Sustituyendo se tiene lo siguiente:

f ( z )  f ( z0 )  z  z0 

Observando que

u v  ( x0 , y0 )  i ( x0 , y0 )   x 1  i 3   y  2  i 4  x  x  x  iy

 x  iy  

x 1  i 3   y  2  i 4  u v ( x0 , y0 )  i ( x0 , y0 )  x x x  iy

x 1  i 3   y  2  i 4  0 x  iy

cuando ( x, y )  ( x0 , y0 )

Así se obtiene que lim z  z0

f ( z )  f ( z0 ) u v  ( x0 , y0 )  i ( x0 , y0 ) z  z0 x x

Por lo tanto f '( z0 ) existe.

Ejemplo: Muestre por medio de las ecuaciones de Cauchy-Riemann que función

f ( z)  (1  i ) z 2  (2  3i ) z es derivable para todo z  .

Solución: Dado z  x  iy se tiene que

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PROGRAMA DESARROLLADO Unidad 3.Diferenciacion de funciones complejas f ( z )  f ( z )  (1  i ) z 2  ( 2  3i ) z  (1  i )( x  iy )2  ( 2  3i )( x  iy )  Ejemplo: Muestre por medio de las ecuaciones de Cauchy-Riemann que función f ( z ) 

1 es z

derivable para todo z  0 .

Solución: Dado z  x  iy se tiene que f ( z )  u( x, y ) 

x x  y2 2

x y , en consecuencia i 2 2 x y x  y2 2

y v ( x, y ) 

y x  y2 2

Calculando las derivadas parciales se tiene lo siguiente:

2 2 u   x   x  y   x 2 x   x2  y2 ( x, y )   2   2 2 2 2 x x  x  y 2  x  y    x2  y2 

 x 2 y  u   x  2 xy ( x, y )   2   2 2 2 2 2 2 y x  x  y   x  y   x  y2  v    y     y  2 x  2 xy ( x, y )   2   2 2 2 x x  x  y   x 2  y 2   x2  y2  2 2 v    y   x  y   1    y  2 y   x 2  y 2 ( x, y )   2   2 2 y x  x  y 2   x2  y2   x2  y2 

Claramente se tienen las siguientes relaciones: u  x2  y2 v u 2 xy v ( x, y )   ( x, y ) y ( x, y )     ( x, y ) 2 2 x y  x 2  y 2  y  x 2  y 2  x Además como las derivadas parciales son polinomios en de las variables x, y , estos son continuos salvo x  y  0 . Por lo tanto f ( z ) 

1 es derivable para todo z  \ 0 . z 2

Ejemplo: Hallar el conjunto donde la función f ( z )  z 2  1 es derivable.

Solución: Sea z  x  iy , entonces z 2  ( x 2  y 2 )  2 xyi , por consiguiente:

f ( z )  z 2  1  ( x 2  y 2 )  2 xyi   1   x 2  y 2  1  2 xyi 2

2

2

  x 2  y 2  1   2 xy   1  2 x 2  x 4  2 y 2  2 x 2 y 2  y 4    4 x 2 y 2  2

2

 1  2 x2  x4  2 y2  2 x2 y2  y4 .

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PROGRAMA DESARROLLADO Unidad 3.Diferenciacion de funciones complejas Es decir, u( x, y )  1  2 x 2  x 4  2 y 2  2 x 2 y 2  y 4 y v( x, y )  0 . Derivando parcialmente las anteriores funciones se obtiene lo siguiente: u   1  2 x 2  x 4  2 y 2  2 x 2 y 2  y 4   4 x  4 x 3  4 xy 2 x x u   1  2 x 2  x 4  2 y 2  2 x 2 y 2  y 4   4 y  4 x 2 y  4 y 3 x y 

v 0 x v 0 y

Por las ecuaciones de Cauchy-Riemann se tiene las siguientes relaciones: u v  4 x  4 x 3  4 xy 2  0  x y u v  4 y  4 x2 y  4 y3  0   x y La continuidad de las derivadas parciales esta garantizada por el hecho de que las expresiones que determinan las derivadas parciales son polinomios. El ejercicio se resuelve encontrando la solución del siguiente sistema de ecuaciones, el que se obtiene de factorizar los términos 4x y 4 y , así como también cancelando el número 4 en las relaciones previas: x  1  x 2  y 2   0 y 1  x 2  y 2   0

Se tiene que 1  x 2  y 2  0 para cualesquiera x, y 

por consiguiente de la segunda

ecuación se tiene que y  0 . Así la primera ecuación se transforma en x( 1  x 2 )  0 , de donde se obtienen que x  0 ó x  1 . Por lo tanto f solo es derivable en el conjunto 0,1, 1 .

Para finalizar esta parte, se presentan las ecuaciones de Cauchy-Riemann en su forma polar.

Pero antes hay que presenta la regla de la cadena para funciones de varias variables reales.

Teorema: Dadas dos funciones f : U 

n



m

y g :V 

m



p

tales que g f exista. Si

f es derivable en x0 y g es derivable en y0  f ( x0 ) entonces ( g f ) es derivable en x0 y

se cumple que D  g f  ( x0 )  Dg  y0  Df ( x0 ) .

En particular, si n  2 , m  2 y p  1 entonces la última relación del teorema se escribe del siguiente modo:

 f  x  1

f   f  x2   y1

 y1 f   x1 y2   y2  x  1

y1  x2   f y1 f y2   y2   y1 x1 y2 x1 x1 

f y1 f y2   y1 x2 y2 x2 

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PROGRAMA DESARROLLADO Unidad 3.Diferenciacion de funciones complejas En consecuencia, se tiene las siguientes relaciones: f f y1 f y2   x1 y1 x1 y2 x1 f f y1 f y2   x2 y1 x2 y2 x2

Aplicando las relaciones anteriores a una función compleja f ( z)  u( x, y )  iv( x, y ) y las relaciones dadas por x  r cos y y  r sen  . Calculando las derivadas parciales con respecto a r se tiene lo siguiente: u u x u y u u    cos  sen  r x r y r x y v v x v y v v    cos  sen  r x r y r x y

Análogamente, se calculan las derivadas parciales con respecto a  para obtener lo siguiente:  u u x u y u u     r   sen   cos   x  y  x y    v v x v y v v     r   sen   cos   x  y  x y  

Por las ecuaciones de Cauchy-Riemann se tiene que

v u v u y   , sustituyendo en  x x y y

las dos últimas relaciones se tiene lo siguiente:   u u u  v v  v  r   sen   cos   r   sen   cos    r  x y  y x  r     v v v  u u  u  r   sen   cos   r sen   cos   r  x y  y x  r  

Por lo tanto, las ecuaciones de Cauchy-Riemann en su forma polar son las siguientes: u 1 v v 1 u  y  r r  r r  En consecuencia se tiene el siguiente resultado: Teorema: Sean f ( z)  u(r, )  iv(r, ) y z0  r0ei0 , supóngase que las derivadas parciales u u v v existen y son continuas en z0 . Entonces las ecuaciones de Cauchy-Riemann , , , r  r  en la forma polar:

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PROGRAMA DESARROLLADO Unidad 3.Diferenciacion de funciones complejas u 1 v ( r0 ,0 )  ( r0 ,0 ) y r r0 

v 1 u ( r0 ,0 )   ( r0 ,0 ) r r0 

Implica que f es derivable en z0 .

3.1.3. Propiedades de la derivada En esta sección se presentan las propiedades de las funciones complejo derivables, aquí se observará que la variable compleja resulta ser una teoría análoga al cálculo ya que en esencia las propiedades de las funciones complejo derivables son las mismas que las presentadas en las funciones reales.

La primera propiedad que se presenta es la siguiente: Teorema: Si f es derivable en z0 entonces f es continua en z0 .

Demostración: Por definición de continuidad hay que demostrar que lim f ( z )  f ( z0 ) ó z  z0

equivalentemente lim  f ( z )  f ( z0 )  0 . Para obtener la conclusión anterior hay que observar z  z0

lo siguiente:    f ( z )  f ( z0 )    z  z0   lim  f ( z )  f ( z0 )  lim  f ( z )  f ( z0 )    lim  z  z0       z  z0 z  z0 z  z0  z  z 0   z  z0       f ( z )  f ( z0 )     lim    zlimz0  z  z0   f '( z0 )(0)  0. z  z0 z  z0   Por lo tanto, f es continua en z0 .

Cabe mencionar que el inverso del teorema anterior no es valido, es decir, existen funciones continuas que no son derivables, como se vio anteriormente la función f ( z )  z es continua pero no derivable.

Ahora toca el turno de presentar las propiedades algebraicas de la derivada de funciones complejas. Las cuales se enuncian en el siguiente resultado: Teorema: Supóngase que f , g :  



son derivables en z0  entonces se tiene lo

siguiente: (i).

f  g es derivable en z0 dónde ( f  g )'( z0 )  f '( z0 )  g '( z0 ) .

(ii).

f  g es derivable en z0 dónde ( f  g )'( z0 )  f '( z0 )  g '( z0 ) .

(iii).

f ·g es derivable en z0 dónde ( f ·g )'( z0 )  f ( z0 ) g '( z0 )  f '( z0 ) g ( z0 ) .

(iv).

f  g ( z0 ) f '( z0 )  f ( z0 ) g '( z0 ) f es derivable en z0 donde   '( z0 )  y g ( z0 )  0 .

2 g  g ( z0 )  g

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PROGRAMA DESARROLLADO Unidad 3.Diferenciacion de funciones complejas Demostración: Para demostrar (i) y (ii) basta observar lo siguiente:   f ( z )  g ( z )    f ( z0 )  g ( z0 )    ( f  g )( z )  ( f  g )( z0 )  lim   lim    z  z0 z  z0 z  z0   z  z0     f ( z )  f ( z0 )    g ( z )  g ( z 0 )    lim   z  z0 z  z0    f ( z )  f ( z0 )   g ( z )  g ( z0 )   lim   lim    z  z0 z  z0 z  z0   z  z0    f '( z0 )  g '( z0 ).

Por otro lado, para mostrar (iii) y (iv) se utiliza el hecho de que f y g son continuas en z0 es decir lim f ( z )  f ( z0 ) . En particular para (iii) hay que realizar lo siguiente: z  z0

 ( f ·g )( z )  ( f ·g )( z0 )   f ( z ) g ( z )  f ( z0 ) g ( z0 )  lim   lim    z  z0 z  z0 z  z0   z  z0    f ( z ) g ( z )  f ( z ) g ( z 0 )  f ( z 0 ) g ( z0 )  f ( z ) g ( z0 )   lim   z  z0 z  z0    f ( z )  g ( z )  g ( z 0 )     f ( z0 )  f ( z )  g ( z 0 )   lim   z  z0 z  z0      g ( z )  g ( z0 )   f ( z )  f ( z0 )   lim  f ( z )   g ( z0 )    z  z0 z  z0 z  z0          f ( z )  f ( z0 )    g ( z )  g ( z0 )    lim  f ( z )   lim  g ( z0 )     z  z0 z  z0 z  z0    z  z0        f ( z )  f ( z0 )   g ( z )  g ( z0 )    lim f ( z )   lim  lim  lim g ( z0 )     z  z0   z  z0   z  z z 0  z  z0 z  z0     z0  f ( z0 ) g '( z0 )  f '( z0 ) g ( z0 ).

Finalmente, (iv) se obtiene de los siguientes cálculos:

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PROGRAMA DESARROLLADO Unidad 3.Diferenciacion de funciones complejas  f    f   f ( z ) f ( z0 )   f ( z ) g ( z0 )  f ( z0 ) g ( z )    g  ( z )   g  ( z0 )   g ( z)  g ( z )    g ( z ) g ( z0 )   0   lim  lim      lim   z  z0  z  z0  z  z0  z  z0 z  z0  z  z0            f ( z ) g ( z0 )  f ( z ) g ( z )  f ( z0 ) g ( z )  f ( z ) g ( z )    g ( z ) g ( z0 )  lim   z  z0 z  z0       f ( z )  f ( z0 )   g ( z )  g ( z0 )     g ( z)  f ( z)   z  z0 z  z0       lim z  z0   g ( z ) g ( z0 )       f ( z )  f ( z0 )   g ( z )  g ( z0 )  lim g ( z )    lim f ( z )   lim  lim       z  z0 z  z z  z z  z  0   0  0 z  z0 z  z0      lim g ( z )   lim g ( z )  0  z  z0   z  z0  f '( z0 ) g ( z0 )  f ( z0 ) g ( z0 )  .

2  g ( z0 ) 

Como consecuencia inmediata del teorema anterior y aplicando inducción matemática se tiene el siguiente resultado: Corolario: Sean f1 , f 2 ,, f n un conjunto finito de funciones complejas que son derivables en z0 entonces

d  n  n d f ( z )  k    dz  f k ( z )  . dz  k 1  k 1

d  c   0 , para todo z  . dz Solución: Dado z  y aplicando la definición de derivada se tiene lo siguiente: d cc 0  lim  lim [0]  0 .  c   lim z 0 z z 0 z z 0 dz d Por lo tanto se tiene que c  0 . dz d n Ejemplo: Muestre que para todo n  \ {0} y para todo z  se tiene que z   nz n 1 .  dz

Ejemplo: Dada una contante c  , demuestre que

Demostración: Se procede por inducción matemática. El resultado se cumple para n  1 ya que tiene lo siguiente:





1

z  z  z d 1 z z   lim  lim  lim[1]  1  1·z11 .  z 0 z 0 z z 0 dz z

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PROGRAMA DESARROLLADO Unidad 3.Diferenciacion de funciones complejas d k  z   kz k 1 . Tomando n  k  1 y aplicando la dz propiedad (iii) del teorema anterior se tiene lo siguiente: d k 1 d d d z    z k ·z   z k  z    z k  z   z k  1   kz k 1   z   dz dz dz dz k k k  z  kz  (k  1) z  (k  1) z ( k 1)1

Supóngase que para n  k se cumple

Por lo tanto, se sigue que

d n z   nz n 1 para todo n   dz

\ {0} .

Ejemplo: Dado c  , muestre que si f es derivable en z entonces

d d  cf ( z )   c  f ( z )  . dz dz

Solución: Aplicando la regla del producto se tiene lo siguiente d d d d d  cf ( z)   c  f ( z)    c  f ( z)  c  f ( z )    0  f ( z)  c  f ( z )  . dz dz dz dz dz

Ejemplo: Dada la función f ( z )  (3  4i ) z 3  (1  4i ) z 2  (5  3i ) z  ( 4  6i) calcular f '( z ) .

Solución: Este ejercicio se resuelve aplicando las propiedades algebraicas de la derivada del siguiente modo: d f '( z )   (3  4i ) z 3  ( 1  4i ) z 2  (5  3i ) z  ( 4  6i )   dz d d d d   (3  4i ) z 3    ( 1  4i ) z 2    (5  3i ) z   ( 4  6i ) dz dz dz dz d d d  (3  4i )  z 3   ( 1  4i )  z 2   (5  3i )  z    0  dz dz dz  (3  4i )  3z 31   ( 1  4i )  2 z 21   (5  3i ) 1  (9  12i ) z 2  ( 2  8i ) z  (5  3i ).

Por lo tanto f '( z)  (9  12i ) z 2  (2  8i ) z  (5  3i ) . z 1 , calcular f '(1  i ) . z 1 Solución: Para cualquier número complejo z  1 se tiene lo siguiente:

Ejemplo: Dada la función f ( z ) 

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PROGRAMA DESARROLLADO Unidad 3.Diferenciacion de funciones complejas d  z  1 dz  z  1  d d  z  1  z  1   z  1  z  1 dz dz  2  z  1

f '( z ) 

 

 z  11   z  11 2  z  1 z 1 z 1

 z  1

2



2

 z  1

2

En particular, tomando z  1  i se tiene que 2 2 2 6 8 f '(1  i )      i.

2 2  1  i   1  2  i  3  4i 25 25 Por lo tanto se tiene que f '(1  i ) 

6 8  i.

25 25

Continuando con las propiedades de las funciones derivables, toca el turno de estudiar como se comportan las funciones derivables con respecto a la operación de composición de funciones.

Teorema: Dadas dos funciones complejas f y g de tal manera que g f este definida. Si f es derivable en z0 y g es derivable en w0  f ( z0 ) entonces g f es derivable en z0 y se

cumple que  g f  '( z0 )  g '( w0 ) f '( z0 ) .

Demostración: Supóngase que f es derivable en z0 y que g es derivable en w0  f ( z0 ) .

Dado

 0 se define una función  con dominio en la vecindad V ( w0 ) del siguiente modo:  g ( w)  g ( w0 )  g '( w0 ), si w  w0   ( w)   w  w0  0, si w  w0 

Dado que g '( w0 ) existe, se tiene que lim  ( w)  0 . Por otra parte como f '( z0 ) existe ww0

entonces f es continua en z0 , así para

 0 existe   0 tal que f ( z )  f ( z0 ) 

cuando

z  z0   . Se tiene que cuando z  z0   implica que f ( z ) V ( w0 ) , en consecuencia se

puede considerar que w  f ( z ) . Luego sustituyendo en  y realizando las operaciones adecuadas se tiene lo siguiente:

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PROGRAMA DESARROLLADO Unidad 3.Diferenciacion de funciones complejas  ( f ( z )) 

g ( f ( z ))  g ( f ( z0 ))  g '( w0 ) f ( z )  f ( z0 )

 f ( z )  f ( z0 )   ( f ( z ))  g '( w0 )  g ( f ( z ))  g ( f ( z0 ))

 f ( z )  f ( z0 )  g ( f ( z ))  g ( f ( z0 ))  ( f ( z ))  g '( w0 )    z  z0 z  z0  

Lo anterior es válido mientras 0  z  z0   .

Además, como f es continua en z0 y  es continua en w0 se sigue que  f es continua en z0 , por lo tanto lim  f  ( z0 )  0 . Finalmente se tiene lo siguiente: z  z0

lim z  z0

  f ( z )  f ( z0 )   g ( f ( z ))  g ( f ( z0 ))  lim    ( f ( z ))  g '( w0 )   z  z0 z  z0 z  z0     f ( z )  f ( z0 )     lim  ( f ( z ))  g '( w0 )   zlim z  z0 z  z0    z0  f '( z0 )  0  g '( w0 )   g '( w0 ) f '( z0 ).

Por lo tanto  g f  '( z0 )  g '( w0 ) f '( z0 ) .

Ejemplo: Dada la función h( z )   z 2  z  2  , calcular h '( z ) .

3

Solución: Primero hay que observar que h  g f donde f ( z )  z 2  z  2 y g ( w)  w3 . De lo anterior se tiene que f '( z)  2 z  1 y g '( w)  3w2 , el resultado se obtiene sustituyendo

w  f ( z)  z 2  z  2 y realizando las siguientes operaciones: h '( z )   g f  '( z)  g '( w) f '( z)   3w2   2 z  1  3 2 z  1  z 2  z  2  .

2

Por lo tanto h '( z )  3 2 z  1  z 2  z  2  .

2

Actividad 1. Derivación de funciones complejas A través de esta actividad podrás recordar alguna(s) interpretación(es) de la derivada de funciones reales y comentar si crees que se puedan aplicar a los números complejos, Instrucciones

1. Recuerda alguna(s) interpretación(es) de la derivada de funciones reales 2. Ingresa al foro y comenta si crees que se puedan aplicar a los números complejos, recordando lo que aprendiste de ellos en asignaturas anteriores.

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PROGRAMA DESARROLLADO Unidad 3.Diferenciacion de funciones complejas 3. Revisa las aportaciones de tres de tus compañeros como máximo, aceptando o rechazando su respuesta.

4. Consulta la rúbrica general de la participación en foros, que se encuentra en la sección Material de apoyo.

Actividad 2. La derivada compleja A través de esta actividad. Podrás resolver ejercicios sobre derivada compleja.

Instrucciones: 1. Descarga el archivo “Actividad 2. La derivada compleja”.

2. Resuelve los ejercicios que en el documento se proponen 3. Guarda y envía tu documento y el archivo de la función creada con la nomenclatura MCO1_U3_A2_XXYZ. Sustituye las XX por las dos letras de tu primer nombre, la Y por la inicial de tu apellido paterno y la Z por la inicial de tu apellido materno. El peso del archivo no debe exceder los 4 Mb. 4. Espera la retroalimentación de tu facilitador (a).

3.2. Funciones holomorfas En la sección anterior se estudio la derivada de una función compleja, no importó saber que propiedades hay en el dominio ni en el contradominio de la misma. En esta sección se estudia la derivada de una función agregándole algunas propiedades topológicas al subconjunto de dominio donde la función es derivable.

3.2.1. Definición de una función holomorfa Sean f una función definida de  

en

y z0  , se dice que f es holomorfa en z0 sí

y solo si existe una vecindad de z0 donde f es derivable en todo elemento de la vecindad, es decir, existe

 0 tal que f es derivable en V ( z0 ) . En consecuencia, se dice que f es

holomorfa en 1   sí y solo si f es holomorfa en z , para todo z 1 . Equivalentemente, f es holomorfa en  si y solo si  es un conjunto abierto. En particular, toda función entera

es holomorfa. También se utiliza la palabra analítica como sinónimo de holomorfa.

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PROGRAMA DESARROLLADO Unidad 3.Diferenciacion de funciones complejas Las propiedades de la derivad junto con el hecho de que la intersección de conjuntos abiertos es un conjunto abierto implica que la suma, la diferencia y el producto de funciones holomorfas es una función holomorfa. Dado que una función holomorfa es continua entonces el conjunto donde la función se nula es un conjunto cerrado por consiguiente el cociente de funciones holomorfas es también holomorfa. Finalmente, la composición de funciones holomorfas resulta ser holomorfa. Aquí se están empleando propiedades topológicas que se muestran en un curso de topología o análisis matemático. z2 Ejemplo: La función f ( z )  2 es holomorfa, ya que f es derivable en \ {i} y este es z 1 un conjunto abierto.

Ejemplo: La función f ( z )  z solo tiene derivada en z  0 ya que u( x, y )  x 2  y 2 y 2

v( x, y )  0 , por consiguiente

v u v u  2 y    2x  0 y  0 , de donde se obtiene que x x y y

x  y  0 , pero un punto aislado no es un conjunto abierto. Por lo tanto f ( z )  z no es 2

holomorfa.

En cálculo se muestra que una función constante tiene derivada cero, e inversamente si una función es continua y tiene derivada cero entonces es constante. En la sección anterior se mostro que una función compleja y constate tiene derivada idénticamente igual a cero. El siguiente es el inverso a esta observación. Antes hay que recordar que un dominio es un conjunto y conexo.

Teorema: Sean  un dominio y f una función definida de  en

. Si f '( z )  0 para todo

z  entonces f es constante.

Demostración: Sean z1 , z2  , como  es conexo implica que existe una curva

 : [a, b] 

talque  (a )  z1 ,  (b)  z2 y  (t )  para t  (a, b) . Por la regla de la cadena se

tiene que: d  f  (t )    f '   t  ·y '  t , dt

para todo t  (a, b)

Por hipótesis se tiene que f '( (t ))  0 ya que  (t )  , es decir, se tiene que

d  f  (t )    0 . dt

Luego denotando por f ( z)  u( x, y )  iv( x, y ) se observa que: d d d  f  (t )    dt u  (t )    i dt  v  (t )    0 dt

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PROGRAMA DESARROLLADO Unidad 3.Diferenciacion de funciones complejas d d  u  (t )    dt  v  (t )    0 , luego existen c1, c2  tales que dt u( (t ))  c1 y v( (t ))  c1 . Así f ( (t ))  c1  ic2 para todo t  (a, b) . Por la continuidad  se

De lo que se obtiene

sigue que f ( (a))  f ( (b)) , por lo tanto f ( z1 )  f ( z2 ) .

Por otro lado, las relaciones: 1 1  z  z  y y  (z  z ) 2 2i Implican que toda función de variable compleja z es una función compleja de las variables reales x, y . Inversamente, toda función compleja de las variables reales x, y es una función z  x  iy

si y solo si

x

compleja de las variables z, z , donde se consideran a z y z como variables independientes.

A partir de lo anterior se definen los siguientes operadores: 

 1      i  z 2  x y 

y



 1      i  z 2  x y 

Estos operadores no tienen interpretación como límites, pero se pueden interpretar como derivadas parciales con respecto a z y z respectivamente.

Sean  un domino en

y f una función compleja definida en  , con

f ( z)  u( x, y )  iv( x, y ) . Supóngase que una función f satisface f ( z )  0 para todo z  ,

finalmente suponga que el operador  satisface las regla usuales de la derivada. Entonces  1    1   f ( z )    i  f ( z )   f ( z)  i f ( z)  2  x y  2  x y   1     u( x, y )  iv ( x, y )   i u( x, y )  iv ( x, y )   2  x y   1       u( x, y )  i v ( x, y )  i u ( x, y )  v ( x, y )  2  x x y y   i   1      u ( x , y )  v ( x , y )    v ( x, y )  u ( x , y )  2  x y y  2  x 

Por hipótesis f ( z )  0 lo que implica que:   u( x, y )  v ( x, y )  0 x y   v ( x, y )  u ( x, y )  0 x y

Es decir, f satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann, si se agrega la condición de la continuidad de las derivadas parciales de u, v en  se sigue que f es holomorfa. Por lo

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PROGRAMA DESARROLLADO Unidad 3.Diferenciacion de funciones complejas tanto se puede definir una función holomorfa de manera equivalente a través del operador  : Dado un dominio  de y f una función compleja definida en  , entonces f es holomorfa en  si y solo si f ( z )  0 . Es decir, una función holomorfa es independiente de la variable compleja z .

Ejemplo: Utilizando el operador  muestre que la función

f ( z )   2 x 2  2 xy  2 y 2   i( x 2  4 xy  y 2 )

Es holomorfa en .

Solución: Este problema es directo, basta aplicar la definición del operador  , en consecuencia:     2 ( f )( z )    i   2 x 2  2 xy  2 y 2   i  x 2  4 xy  y 2   x y      2 x 2  2 xy  2 y 2   i  x 2  4 xy  y 2   i  2 x 2  2 xy  2 y 2   i  x 2  4 xy  y 2  x y       2 x 2  2 xy  2 y 2   i  x 2  4 xy  y 2   i  2 x 2  2 xy  2 y 2    x 2  4 xy  y 2  x x y y   4 x  2 y   i  2 x  4 y   i  2 x  4 y    4 x  2 y   0.

Por lo tanto  ( f )( z )  0 .

3.2.2. Funciones armónicas Antes de comenzar a estudiar las relaciones existentes entre las funciones holomorfas y las funciones armónicas, primero hay que definir el operador de Laplace de dimensión n .

El operador de Laplace ó Laplaciano de dimensión n es el operador diferencial de segundo orden definido por: n 2 2 2 2 2   2  2  2   2  2   2 x1 x2 xn 1 xn k 1 xk En consecuencia, dada una función f definida de  

n

en

, el operador de Laplace

aplicado a f es la siguiente expresión:  ( f )  2 ( f ) 

Una función f definida de  

n

2 f 2 f   x12 x22

en



n 2 f 2 f 2 f    xn21 xn2 k 1 xk2

es armónica en (a1 ,, an ) si y solo si satisface la

ecuación de Laplace: 2 f (a1 ,, an )  0 2 k 1 xk n

2 ( f )(a1 ,, an )  

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PROGRAMA DESARROLLADO Unidad 3.Diferenciacion de funciones complejas Finalmente, se dice que f es armónica en 1   si y solo si f es armónica en z para todo z 1 .

En particular, cuando n  2 el operador de Laplace aplicado a f es  ( f )  2 ( f ) 

2 f 2 f . Además, f es armónica en ( x0 , y0 ) si y solo si  x 2 y 2

2 f 2 f ( x , y )  ( x0 , y0 )  0 .

0 0 x 2 y 2

Ejemplo: Muestre que la función f ( x)  ax  b , con a, b 

es armónica en

.

Solución: Sea x  , aplicando el operador de Laplace a f en x se tiene lo siguiente: d2 d2 d f ( x )  (ax  b)  (a)  0 .

2 2 dx dx dx

Ejemplo: La función f ( x)  x 2  y 2 , con a, b  Solución: Sea ( x, y ) 

2

es armónica en

2

.

, aplicando el operador de Laplace a f en ( x, y ) se tiene lo

siguiente:

2 f 2 f 2 2 2 2 2 ( x , y )  ( x , y )  ( x  y )  (x  y2 ) x 2 y 2 x 2 y 2    (2 x)  (2 y)  2  2  0. x y

 2 ( f )( x, y ) 

Ahora se presenta el teorema de las derivadas iteradas, que es esencial para entender la relación entre las funciones holomorfas y las funciones armónicas.

Teorema: Dada una función f definida de   n en tal que sea de clase 2 en (a1 ,, an ) , es decir, existen las derivadas de segundo orden y son continuas en (a1 ,, an ) .

Entonces las derivadas iteradas satisfacen la siguiente relación: 2 f 2 f (a1 ,, an )  (a1 ,, an ), para j  k . x j xk xk x j

Volviendo a la variable compleja, sean  un domino en

y f una función holomorfa en  ,

con f ( z)  u( x, y )  iv( x, y ) . Entonces, se cumplen las ecuaciones de Cauchy-Riemann para todo ( x, y )  :   u( x, y )  v ( x, y ) x y   v ( x, y )   u( x, y ) x y

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PROGRAMA DESARROLLADO Unidad 3.Diferenciacion de funciones complejas

En consecuencia, se sigue lo siguiente:  2   2    u ( x , y )  u ( x , y )  v ( x , y )   xy v ( x, y )  x  y x 2 x  x       2   2  u ( x , y )  u ( x , y )   v ( x , y )   v ( x, y )  y  x  y 2 y  y yx  

Sumando miembro a miembro se obtiene lo siguiente: 2 2 2 2 u( x, y )  2 u( x, y )  v ( x, y )  v ( x, y ) 2 x y xy yx

Ahora supóngase que

u u v v son continuas en ( x, y ) para todo ( x, y )  . Aplicando , , , x y x y

el teorema de la derivada iterada se tiene que 2 2 v ( x, y )  v ( x, y )  0 xy xy Así, u( x, y ) satisface la ecuación de Laplace, es decir, u es armónica en  . Análogamente, también que v es armónica en  . Por lo tanto se tiene el siguiente resultado: Lema: Si f  u  iv es holomorfa en  tal que

u u v v son continuas en ( x, y ) para , , , x y x y

todo ( x, y )  entonces u, v son amónicas en  .

Finalmente, suponer que las derivadas parciales de las componentes de f sean continuas en ( x, y ) es redundante, ya que toda función holomorfa es de clase



, es decir,

existen todos sus ordenes de diferenciabilidad. La demostración de este resultado utiliza técnicas de integración de funciones complejas por tal motivo se presenta en el curso de variable compleja II. Ejemplo: Sea f ( z )  z 2  z , muestre que Re( f ) e Im( f ) son armónicas en

.

Solución: Dado que Re( f ) e Im( f ) son las componentes de la función entera f , el teorema anterior garantiza que Re( f ) e Im( f ) son armónicas en

. Para comprobar la afirmación

anterior, dado z  x  iy se tiene que f ( z )   x 2  y 2  x   i  2 xy  y  , por consiguiente: u( x, y )  x 2  y 2  x

y

v( x, y )  2 xy  y

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PROGRAMA DESARROLLADO Unidad 3.Diferenciacion de funciones complejas Aplicando el operador de Laplace a u se obtiene lo siguiente:  2 ( u )( x , y ) 

2 2 u ( x , y )  u ( x, y ) x 2 y 2

2 2 2 2 2 x  y  x  x  y2  x    2 2  x y     2 x  1   2 y   2  2  0. x y



Análogamente, para v se tiene: 2 ( v )( x, y ) 

2 2 v ( x , y )  v ( x, y ) x 2 y 2

2 2 2 xy  y     2 xy  y  x 2 y 2     2 y    2 x   0  0  0. x y



Por lo tanto Re( f ) e Im( f ) son armónicas en

.

A partir de la observación anterior, una pregunta natural es la siguiente: Si tengo dos funciones armónicas u, v sobre un dominio   , ¿bajo qué condiciones la función compleja f ( z )  u  iv es una función holomorfa?

La respuesta es muy sencilla: como f tiene que ser holomorfa en  , las funciones u y v tienen que satisfacer las ecuaciones de Cauchy-Riemann en todo punto ( x, y )  . De esta observación se tiene que dos funciones armónicas u y v que satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann se dice u es armónica conjugada de v y viceversa.

Ahora se plantean las siguientes preguntas: Dada una función armónica u ¿existe alguna función armónica conjugada v ?, la respuesta a esta pregunta es afirmativa y la demostración de como obtener la función v se escapa de los objetivos de este curso, por el cual solo se presenta el método para calcularla. La pregunta anterior planea la existen de la función armónica conjugada, a partir de ahí, la pregunta inmediata es: ¿Cuántas armónicas conjugadas existes para una función armónica dada?, la repuesta a esta pregunta la proporciona el siguiente resultado.

Teorema: Sea u una función armónica en un dominio   armónicas conjugadas entonces existe una constante b

. Si v1 , v2 son dos funciones tal que v1 ( x, y)  v2 ( x, y)  b para

todo ( x, y )  .

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PROGRAMA DESARROLLADO Unidad 3.Diferenciacion de funciones complejas Demostración: Sean f1 ( z)  u( x, y)  iv1 ( x, y) y f 2 ( z)  u( x, y)  iv2 ( x, y) las funciones holomorfas sobre  que se forman de las funciones armónicas v, v1 , v2 . Se define la función h( z)  f1 ( z)  f 2 ( z ) , entonces para cualquier ( x, y)  se obtiene lo siguiente:

v        h '( z )  f1 '( z )  f 2 '( z )   u ( x, y )  i 1 ( x, y)    u ( x, y)  i v2 ( x, y)  x x   x   x           u ( x, y )  i u ( x, y )    u ( x, y)  i u ( x, y)   0. y y  x   x  Por consiguiente, h( z ) es una función constante, denotada por h( z)  a  ib . Más aun, tomando



 



h( z )  f1 ( z )  f 2 ( z)  u( x, y)  iv1 ( x, y)  u( x, y)  iv2 ( x, y)  i v1 ( x, y)  v2 ( x, y)  a  ib Luego a  0 y v1 ( x, y)  v2 ( x, y)  b , lo que demuestra el resultado.

Ejemplo: Dada la función armónica u( x, y)  2 xy hallar su función armónica conjugada.

Solución: Sea v( x, y) la función armónica conjugada de u( x, y) . Por la ecuaciones de Cauchy-Riemann se tiene que    v( x, y )  u ( x, y )   2 xy   2 y y x x    v( x, y )   u ( x, y )    2 xy   2 x x y x Se comienza escogiendo una de las dos relaciones anteriores, por ejemplo si se elige la primera, esta presenta la derivada de v( x, y) con respecto a y . Así, para encontrar la forma de la función v( x, y) se integra con respecto a la variable y obteniendo lo siguiente: v ( x, y )  

 v( x, y ) dy   2 ydy   ( x)  y 2   ( x) y

Hay que recordar que se está trabajando con derivadas parciales, por lo tanto al integrar con respecto a y hay que sumar una función exclusiva de la variable x , en este caso se denota por  ( x) .

Por otro lado, hay que utilizar la segunda relación que proporcionan las ecuaciones de Cauchy-Riemann para ello hay que derivar parcialmente con respecto a la otra variable, en este caso es x , después se iguala con la relación que se obtiene de las ecuaciones de Cauchy-Riemann, en este caso se obtiene lo siguiente:   2 x  v( x, y)   y 2   ( x)    ( x) x x

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PROGRAMA DESARROLLADO Unidad 3.Diferenciacion de funciones complejas Por consiguiente  ( x)  2 x , de lo anterior se tiene que  ( x)   x2  c con c  . Por lo tanto la función armónica conjugada de u( x, y)  2 xy es v( x, y)  y 2  x2  c .

Ejemplo: Muestre que la función u( x, y)  e2 x cos(2 y) es armónica en todo punto ( x, y) del plano complejo y hallar su función armónica conjugada.

Solución: Primero hay que aplicar el operador de Laplace a la función u( x, y)  e2 x cos(2 y) , obteniendo lo siguiente: 2 2x 2 2x e cos(2 y )    y 2  e cos(2 y)  x 2     2e2 x cos(2 y )    2e 2 x sen(2 y )  x y

 2u ( x, y )   2  e 2 x cos(2 y ) 

  4e2 x cos(2 y )    4e2 x cos(2 y)   0.

Es decir, u( x, y) es armónica.

Por otra parte, sea v( x, y) la función armónica buscada, las ecuaciones de Cauchy-Riemann proporcionan las siguientes relaciones:    v( x, y )   u ( x, y )    e 2 x cos(2 y )   2e 2 x sen(2 y) x y y    v( x, y )  u ( x, y )   e2 x cos(2 y)   2e 2 x cos(2 y) y x x Tomando la primera relación e integrando con respecto a x se tiene lo siguiente:  v( x, y)   v( x, y) dx   2e2 x sen(2 y) dx  e2 x sen(2 y)   ( y) x Derivando parcialmente con respecto a y e igualando se obtiene: 2e2 x cos(2 y) 

  v( x, y)   e2 x sen(2 y )   ( y)   2e2 x cos(2 y)   ( y) y y

Lo que implica que  ( y)  0 , equivalentemente  ( y)  c . Por lo tanto v( x, y)  e2 x sen(2 y)  c .

Actividad 3. Funciones holomorfas Mediante esta actividad, resolverás ejercicios de funciones holomorfas, para determinar que sea armonica.

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PROGRAMA DESARROLLADO Unidad 3.Diferenciacion de funciones complejas A través de esta actividad. Podrás resolver ejercicios sobre derivada compleja.

Instrucciones: 1. Descarga el archivo “Actividad 3. Funciones holomorfas”.

2. Resuelve los ejercicios que en el documento se proponen 3. Guarda y envía tu documento y el archivo de la función creada con la nomenclatura MCO1_U3_A3_XXYZ. Sustituye las XX por las dos letras de tu primer nombre, la Y por la inicial de tu apellido paterno y la Z por la inicial de tu apellido materno. El peso del archivo no debe exceder los 4 Mb. 4. Espera la retroalimentación de tu facilitador (a).

Autoevaluación Es momento de realizar la autoevaluación, recuerda que es importante realizarlo para medir el conocimiento adquirido durante la unidad.

Instrucciones: Selecciona la respuesta correcta que corresponda al reactivo planteado 1. Calcular f '( z ) donde f ( z )  (2  3i) z 2  (3  4i) z 

3  4i . z

3  4i . z2 3  4i b. f '( z )  (2  3i) z  (3  4i) z 2  2 . z 2(2  3i) c. f '( z )   (3  4i)  (3  4i) z . z 3  4i d. f '( z )  (2  3i)  2(3  4i) z  2 . z 2. Dada la función f ( z )  x  i y hallar el conjunto  donde se cumplen las ecuaciones

a.

f '( z )  2(2  3i) z  (3  4i) 

de Cauchy-Riemann. a.   ( x, y) ûxy  0 . b.   ( x, y) ûx  y  0 . c.

  ( x, y) ûx  y  0 .

d.   ( x, y) ûx2 y 2  0 .

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PROGRAMA DESARROLLADO Unidad 3.Diferenciacion de funciones complejas 3. Hallar los valores de a, b

tales que la función

f ( z)  cos x cosh y  a senh y   i sen x cosh y  b senh y 

Sea holomorfa en . a. a  1 y b  1 . b. a  2 y b  2 . c.

a  3 y b  1.

d. a  0 y b  0 .

4. Dada la función armónica u( x, y)  ln  x 2  y 2  , hallar su función armónica conjugada.  y a. v( x, y )  2 tan 1    c . x x b. v( x, y )  4 tan 1    c .  y 1 c. v( x, y)   tan  x  y   c .

d. v( x, y)  tan  2 x  3 y   c .

5. Dada la función f ( z )   2 x2  2 xy  2 y 2   i  x 2  y 2  , calcular f ( z ) . a. f ( z )  2(1  i) z . b. f ( z )  2 z . c.

f ( z )  z  2 z .

d. f ( z )  0 .

RETROALIMENTACION 1-3 aciertos. Los conocimientos obtenidos no fueron suficientes, debes revisar nuevamente el contenido de la unidad.

4-5 aciertos. Tienes un conocimiento claro de los conocimientos de la Unidad, sigue adelante.

Evidencia de aprendizaje. Diferenciación de funciones complejas En esta actividad, resolverás ejercicios de los temas vistos durante la unidad, recuerda que debes realizar los procedimientos en el documento que envíes para que tengas evidencia.

Instrucciones: revisa y resuelve los ejercicios que a continuación se plantean a) Calcular f '( z ) donde f ( z ) 

3iz  4 . z 2  4i

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PROGRAMA DESARROLLADO Unidad 3.Diferenciacion de funciones complejas b) Dada la función f ( z )   27 x  x3  3xy 2   i  27 y  3x2 y  y 3  hallar los valores

z

tales que f '( z ) existe.

zi , calcular ( g f )'(0) . iz  2 d) De las siguientes funciones ¿Cuál es armónica en el plano complejo?

1 e) Dada la función armónica u ( x, y)  x  2 x 2  6 xy  2 y 2  ln[ x 2  y 2 ] hallar su 2 función armónica conjugada.

c) Dado f ( z)  (2  i) z 2  iz y g ( z ) 

1. Guarda tu documento con la siguiente nomenclatura MCO1_U3_EA_XXYZ. 2. Sustituye las XX por las dos primeras letras de tu primer nombre, la Y por la inicial de tu apellido paterno y la Z por la inicial de tu apellido materno.

3. Envía tu reporte al Portafolio de Evidencias y espera la retroalimentación de tu Facilitador(a), atiende sus comentarios y reenvía la nueva versión de tu evidencia.

4. Consulta la Escala de Evaluación para conocer los criterios con que será evaluado tu trabajo.

Autorreflexiones Al finalizar, consulta el Foro: Preguntas de autorreflexión para realizar el ejercicio correspondiente y enviarlo a través de la herramienta Autorreflexiones. Recuerda que también se toman en cuenta para la calificación final.

Cierre de la unidad En esta unidad se estudió el concepto de derivada para una función compleja, además se estudiaron las condiciones de suficiencia y necesidad de la derivada, así como también sus propiedades, después estudiaste el concepto de función holomorfa y finalmente aprendiste el concepto de función armónica.

Para saber más Para mayor comprensión de funciones armónicas y armónicas conjugadas puedes visitar los siguientes sitios: http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Conjugate_harmonic_functions

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PROGRAMA DESARROLLADO Unidad 3.Diferenciacion de funciones complejas http://caicedoteaching.wordpress.com/2008/12/23/275-harmonic-functions-and-harmonicconjugates/ Para profundizar los conceptos de cálculo vectorial utilizados en esta unidad, se puede visitar el siguiente sitio: http://www2.ph.ed.ac.uk/~bjp/vc/vc.pdf

Referencias bibliográficas Bak, J. y Newman, D. (2010). Complex analysis. USA: Springer-Verlag.

Churchill, R. y Brown, J. (2010). Variable compleja y aplicaciones. México: McGraw-Hill.

Lang, S. (1998). Complex analysis. USA: Springer-Verlag.

Marsden, J. y Hoffman, M. (1996). Análisis básico de variable compleja. México: Trillas.

Marsden, J. y Tromba, A. (2009). Cálculo vectorial. México: Pearson.

McMahon, D. (2008). Complex variables demystified. USA: McGraw-Hill.

Spiegel, M. (2011). Variable compleja. México: McGraw-Hill.

Zill, D. y Shanahan, P. (2008). A first course in complex analysis with applications. USA: Jones & Bartlett Publishers.

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