U3 compacidad completitud y categorias

Análisis matemático I Unidad 3. Compacidad, complitud y categorías

Universidad Abierta y a Distancia de México

Licenciatura en Matemáticas

Análisis Matemático I

7° cuatrimestre

Unidad 3. Compacidad, complitud y categorías

Clave: 050930726

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Análisis matemático I Unidad 3. Compacidad, complitud y categorías

Índice Unidad 3. Compacidad completitud y categorías ............................................................................4 Presentación de la unidad ......................................................................................................................... 4 Propósitos de la unidad ............................................................................................................................. 5 Competencia específica ............................................................................................................................. 5 3.1 Compacidad y Continuidad. ............................................................................................................5 Actividad 1. Un poco de historia. .........................................................................................................5 3.1.1 Espacios métricos completos ........................................................................................................... 6 3.1.2 Teorema de Heine-Borel ................................................................................................................ 10 Actividad 2. Compacidad..................................................................................................................... 16 3.2 Continuidad y compacidad .......................................................................................................... 16 3.2.1 La imagen de un compacto bajo una función continua ................................................................. 17 3.2.2. El teorema del Punto Fijo para Contracciones .............................................................................. 19 3.2.3. Continuidad uniforme y compacidad ............................................................................................ 25 Actividad 3. Continuidad, compacidad y completitud ................................................................. 27 3.3. Teorema de Baire ........................................................................................................................... 27 3.3.1. Conjuntos densos y densos en ninguna parte ............................................................................... 27 3.3.2. Conjuntos de primera y de segunda categoría.............................................................................. 28 3.3.2. El teorema de Baire ....................................................................................................................... 29 3.4. Teorema de Arzela-Ascoli ........................................................................................................... 31 Actividad 4. Teorema de Baire y Teorema de Arzela-Ascoli ...................................................... 38 Evidencia de aprendizaje. Aplicación de los teoremas ............................................................... 39 Cierre de la unidad ................................................................................................................................ 40 Para saber más....................................................................................................................................... 40 Referencias Bibliográficas .................................................................................................................. 41

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Análisis matemático I Unidad 3. Compacidad, complitud y categorías Autoevaluación ..........................................................................................¡Error! Marcador no definido.

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Análisis matemático I Unidad 3. Compacidad, complitud y categorías Unidad 3. Compacidad completitud y categorías

Presentación de la unidad En el proceso de fundamentación rigurosa y de generalización de las ideas y resultados del Cálculo Diferencial e Integral, se fueron separando las propiedades de los números reales y las funciones en distintos grupos, por una parte, los axiomas, y por otra parte, los teoremas que se podían demostrar a partir de dichos axiomas. Se fue distinguiendo a las funciones en distintos grupos, se vio que algunas de ellas tenían ciertas propiedades interesantes (suavidad, continuidad, integrabilidad) y otras no. Se trató de caracterizar cada uno de estos conceptos y se revisaron varias veces las demostraciones de lo que antes parecía obvio y que había sido puesto en duda cuando se conocieron ejemplos que chocaban con la intuición y rompían esquemas. Se identificaron las hipótesis mínimas y se trataron de dar argumentos más generales, que no dependieran tanto del dibujo como de la solidez de la argumentación de acuerdo a las leyes de la lógica.

En ese proceso jugaron un papel destacado algunos teoremas sobre funciones continuas definidas sobre un intervalo cerrado y acotado [a,b] y que toman valores reales. Entre esos teoremas destacan los siguientes.   



Si una función definida en un intervalo cerrado y acotado, es continua, entonces está acotada.

Si una función definida en un intervalo cerrado y acotado es continua, entonces alcanza su máximo y su mínimo en ciertos puntos en el intervalo en cuestión.

Si dos números están en la imagen de un intervalo cerrado y acotado bajo una función continua, entonces todos los números intermedios también están en la imagen de dicho intervalo.

Si una función es continua en un intervalo cerrado y acotado, entonces es integrable en dicho intervalo.

Cuando se trataron de generalizar los resultados del cálculo de una variable al cálculo de varias variables y al cálculo de variaciones, se puso especial atención en los intervalos cerrados y acotados, para ver qué propiedades tenían que se usaban en las demostraciones de teoremas como los enunciados anteriormente.

El estudio de dichas propiedades condujo a la definición del concepto de conjunto compacto, el cual es el concepto central de esta unidad. Un proceso como este abarcó todas las nociones del Cálculo, y también condujo a los conceptos de espacio métrico y de espacio métrico completo.

El Teorema de Baire es un resultado que nos introduce al estudio más profundo de los espacios métricos completos. El teorema de Arzela-Ascoli caracteriza los conjuntos compactos en el espacio de las funciones continuas.

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Análisis matemático I Unidad 3. Compacidad, complitud y categorías Propósitos de la unidad 





Que el estudiante desarrolle su nivel de argumentación en el proceso de revisar los fundamentos del Cálculo Diferencial e Integral, en particular los teoremas más fuertes para funciones continuas.

Que el estudiante desarrolle su capacidad de abstracción discutiendo cómo generalizar los teoremas válidos para funciones definidas en subconjuntos de los números reales a funciones definidas en espacios métricos.

Que el estudiante comprenda y maneje los conceptos de conjunto compacto y continuidad uniforme, así como los teoremas de Heine-Borel, de la existencia y unicidad del punto fijo para contracciones, el teorema de Baire y el teorema de Arzela-Ascoli.

Competencia específica Aplicar los teoremas de Heine-Borel, el del Punto Fijo, el de Baire y el Teorema de Arzela-Ascoli en la caracterización de espacios métricos (compactos-completos) y la resolución de problemas del análisis matemático y de otras ramas de las matemáticas, manejando los conceptos de conjuntos compactos, conjuntos densos y la continuidad.

3.1 Compacidad y Continuidad.

Actividad 1. Un poco de historia.

A través de esta actividad identificarás los tipos de problemas que motivaron el proceso de definir con precisión los conceptos y demostrar con rigor los resultados que van del Cálculo Diferencial e Integral hacia el Análisis Matemático.

Instrucciones: 1. Descarga y lee el archivo Un poco de historia.pdf 2. Investiga la definición de Euler de función continua, la definición de sucesión fundamental de Bolzano y el enunciado de los teoremas de Cantor sobre la unicidad de las series de Fourier.

3. Ingresa al foro de la actividad, y describe la idea que encontraste que más te pareció contraria al sentido común o la que te pareció que era más rompeesquemas.

4. Revisa el comentario de dos de tus compañeros aceptando o rechazando su

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5

Análisis matemático I Unidad 3. Compacidad, complitud y categorías aportación.

5. Consulta la “Rubrica de Foros” ubicada en la pestaña de material de apoyo

3.1.1 Espacios métricos completos Cubiertas y compactos Empezaremos esta sección introduciendo la definición formal de conjunto compacto.

Definición. Sea un espacio topológico. Sea un subconjunto de . a) Cubierta Abierta. Se dice que una familia de conjuntos conformada por subconjuntos de que son abiertos { } | a es una cubierta abierta de , si la unión de dichos abiertos contiene a : ⋃

b) Subcubierta. Se dice que una familia de conjuntos es una subcubierta de , si todo conjunto de es un conjunto de y además la unión de los conjuntos de también contiene a A: {

}

|

⋃

c) Sucubierta finita. Se dice que la familia es una subcubierta finita, si por un número finito de conjuntos, en cuyo caso se tendrá: {

Por ejemplo, consideremos

}

⋃

{

}

está formada

, { |

la familia de conjuntos

}

donde cada (

)

(

)

es un intervalo abierto de la forma: (

)

(

)

Y así sucesivamente. Observa que

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Análisis matemático I Unidad 3. Compacidad, complitud y categorías

es una cubierta abierta de , pues cada uno de los puntos de la sucesión { pertenece a la unión de los conjuntos de la familia { |

}

. }

⋃

Definición. Conjunto compacto. Sea un espacio topológico. Sea un subconjunto de .

Se dice que es compacto si para cualquier cubierta abierta de que nos den, siempre podemos extraer una subcubierta conformada por un número finito de elementos de la cubierta y cuya unión sigue conteniendo a .

Por ejemplo

,

{ }

{

}; es decir, el conjunto que resulta de añadir el 0 al

conjunto de puntos de la sucesión infinita del ejemplo anterior. Sea , obtenida de añadir el intervalo (

la familia de conjuntos

)

a los intervalos (

)

(

)

(

del ejemplo anterior. es una cubierta abierta de . Una subcubierta finita de I3, I4, e I5.

)

(

)

la conforman los intervalos I0, I1, I2,

Antes de continuar caben algunas observaciones.

1. Para demostrar que un conjunto es compacto no es suficiente que exista una cubierta abierta de que admite una subcubierta finita. La condición se debe cumplir para toda cubierta abierta de .

2. Para demostrar que un conjunto no es compacto, es suficiente dar una cubierta abierta de tal que ninguna subcubierta sea finita.

3. El conjunto

conformado por los puntos de la sucesión infinita {

} no es

compacto, pues existe una cubierta abierta de (la familia del ejemplo) de la cual no podemos extraer ninguna subcubierta finita, porque cada elemento de la familia cubre exactamente a un elemento de . No importa cómo seleccionemos un número finito de conjuntos pertenecientes a , su unión solamente contendrá un número finito de puntos de , y por lo tanto no cubrirá al conjunto .

4. El conjunto

formado por el cero y todos los puntos de la sucesión infinita

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7

Análisis matemático I Unidad 3. Compacidad, complitud y categorías {

} sí es compacto, porque cualquier cubierta abierta de

debe incluir un

conjunto que contenga al cero. Ya que dicho conjunto es abierto y la sucesión converge al cero, casi todos los términos de la sucesión caen dentro de dicho abierto.

Afuera solamente puede estar un número finito de elementos de la sucesión. Elegimos a C0 como elemento de la subcubierta. Por cada uno de los elementos de la sucesión que nos faltaron seleccionamos un elemento de la subcubierta. Como solamente quedaron afuera un número finito de elementos de la sucesión, nuestra subcubierta es finita y la unión de los conjuntos que la forman contiene a todos los elementos de .

5. Es posible que un conjunto no sea compacto a pesar de que exista una cubierta abierta de él de la cual podamos extraer una subcubierta finita. Por ejemplo, consideremos el conjunto

de los puntos de la sucesión infinita {

} Sea

la cubierta abierta

que está conformada por los intervalos de la forma con y números enteros. De esta cubierta basta seleccionar el conjunto . Obtenemos una subcubierta finita (consta de un único conjunto), aunque mismo no sea compacto.

Espacios Métricos Completos Una manera de extender el concepto de completez discutida anteriormente para el conjunto de los números reales es mediante el concepto de sucesión de Cauchy.

Recuerda que en un espacio métrico con la métrica es una sucesión es de Cauchy si para toda .

, una sucesión { tal que si

}

de puntos en , , entonces

A las sucesiones de Cauchy, también se les conoce como sucesiones fundamentales, y nos sirven para caracterizar espacios completos.

Definición. Espacio métrico completo. Sea un espacio métrico. Se dice que es completo, si toda sucesión de Cauchy es una sucesión convergente, y su límite es un elemento de .

Ejemplos.

1. Sea

el conjunto de las funciones continuas en el intervalo ||

{| Se puede ver que

, con la métrica }

es un espacio métrico completo. Para convencernos de ello tomemos

cualquier sucesión de Cauchy { }

{

}

Esta es una sucesión de funciones continuas en el intervalo

. Para cada

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, esta

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Análisis matemático I Unidad 3. Compacidad, complitud y categorías sucesión de funciones nos produce una sucesión de números reales, la cual también es una sucesión de Cauchy. Por lo tanto es una sucesión convergente de números reales. Sea el límite de dicha sucesión:

Por lo que dada

tal que si

, entonces

|

|

Repitiendo este proceso para todos los puntos del , obtenemos una función . El punto fuerte es mostrar que esta función límite también es continua en todo punto . Veamos.

Sea . Por ser sucesión de Cauchy, tal que si , entonces

Ahora bien,

es continua en el punto |

Afirmamos que esta | 2. Sea

. Por lo tanto, existe una

|

|

sirve para ver que |

|

|

tal que si

|

es continua en |

|

. Pues |

el conjunto de las funciones continuas en el intervalo

| con la métrica

siguiente: (∫

)

Este es un espacio métrico, pero no es completo. Para ello consideremos la sucesión de funciones cuyo término general es el siguiente: [

]

[ {

[

] ]

Es una sucesión de Cauchy, pues ∫

{

}

Pero a pesar de ello, no converge a ninguna función continua en el intervalo

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.A

9

Análisis matemático I Unidad 3. Compacidad, complitud y categorías continuación, vamos a demostrar que converge a una función Sea la función definida como sigue

que no es continua.

{ Veamos que tiende a cero cuando tiende a infinito.

Podemos interpretar a como la raíz cuadrada del área bajo la gráfica de la función

Para ver que tiende a cero basta ver que el área bajo la curva de la función tiende a cero. Observamos que: [ Y si

[

la función

], se tiene que en el intervalo

]

[

]

está acotada por el número 1. Por lo tanto el área bajo es menor que

. Por lo tanto

tiende a cero.

3.1.2 Teorema de Heine-Borel Este teorema caracteriza a los subconjuntos compactos del conjunto de los números reales.

Teorema. Sea un subconjunto del conjunto de los números reales. solamente si es cerrado y acotado.

es compacto si y

Para demostrar este teorema, primero demostraremos tres lemas y el teorema será un corolario de los lemas.

Lema A. Sea un subconjunto del conjunto de los números reales. Si entonces es acotado.

Demostración.

Consideremos la colección de conjuntos es el intervalo abierto :

es compacto,

, donde para cada número natural

,

Esta colección es una cubierta abierta de por el solo hecho de que es un conjunto de números reales.

Como es compacto, de esta cubierta podemos extraer una subcubierta finita, de la siguiente manera: Sea

el máximo entero de dicha subcubierta finita.

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Análisis matemático I Unidad 3. Compacidad, complitud y categorías Se puede ver que cada vez que unimos dos intervalos de esta forma la unión es el intervalo más grande. Por lo tanto la unión de un número finito de dichos intervalos es igual al intervalo más grande de la unión. ⋃ Entonces K está contenido en

. Por lo tanto

está acotado.

Lema B. Sea un subconjunto del conjunto de los números reales. Si entonces es cerrado.

es compacto,

Demostración. Sabemos que un conjunto es cerrado si y solamente si su complemento es abierto. Sea el complemento de . Vamos a demostrar que es abierto. Para ello hay que ver que cada uno de sus puntos es un punto interior, es decir que tiene una vecindad completamente contenida en .

Sea un elemento cualquiera de . Consideremos la siguiente familia infinita de conjuntos abiertos: ( (

)

(

)

)

(

)

(

)

(

)

Nota que cada conjunto es el complemento de un intervalo cerrado: ([ Observa que:  Todo número menor que  Todo número mayor que

pertenece a algún también.

])

([

])

.

Por lo tanto la unión de los conjuntos contiene a todos los números reales distintos de .

En particular contiene a pues no pertenece a , sino a su complemento. Entonces tenemos una cubierta abierta de . Como es compacto, de esta cubierta podemos extraer una subcubierta finita; y, por definición, está contenido en la unión de los conjuntos de dicha subcubierta finita.

Ahora bien, los conjuntos están ordenados por la contención.

La unión de un número finito de estos conjuntos es uno de ellos. Por lo tanto está contenido en algún conjunto . Ahora bien, los puntos que no estén en dicho no están en , y por lo tanto están en el complemento de . Los puntos que no están en , son los de un intervalo cerrado de la forma:

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Análisis matemático I Unidad 3. Compacidad, complitud y categorías [

]

De aquí se puede ver que toda una vecindad de de radio conclusión es abierto. Y por lo tanto es cerrado.

Lema C. Sea

. Si

está contenida en

. En

es cerrado y acotado, entonces es compacto.

Demostración Para demostrar que es compacto hay que ver que cualquier cubierta abierta de tiene una subcubierta finita. Así que damos una cubierta abierta cualquiera de . Por demostrar: tiene una subcubierta finita.

Vamos a seguir el método de reducción al absurdo. Nuestro punto de partida será suponer que no sucede lo que queremos demostrar, para llegar a una contradicción. Suponemos, pues, que no tiene ninguna subcubierta finita. Por hipótesis, es acotado. Esto quiere decir que existe tal que está contenido en el intervalo .

Bisectemos

en dos subintervalos cerrados,

y

. Definimos:

Observa que:  Ambos conjuntos y son cerrados (pues la intersección de dos conjuntos cerrados es otro conjunto cerrado).  Ambos conjuntos son acotados.

La cubierta abierta de K también puede considerarse cubierta abierta de y . Nota que si cada uno de estos conjuntos estuviera contenido en la unión de un número finito de conjuntos de , la unión de ambos (o sea ) también estaría contenida en la unión de un número finito de conjuntos de , es decir, tendría una subcubierta finita. Por lo tanto alguno de ambos conjuntos no está contenido en un número finito de conjuntos de .

Elijamos como a uno de los subintervalos que resultaron de bisectar a lado derecho (ocurre lo mismo si se toma el lado izquierdo).

 de modo que la intersección de con número finito de conjuntos de .

Ahora dividamos a [

] [

. Tomaremos el

no está contenida en la unión de un

por el punto medio en dos subintervalos de la misma longitud:

]. Y consideremos los dos conjuntos siguientes. [

]

[

]

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12

Análisis matemático I Unidad 3. Compacidad, complitud y categorías Los abiertos que conforman la cubierta abierta de también pueden considerarse los abiertos de una cubierta abierta de y de . Si cada uno de los conjuntos , estuviera contenido en la unión de un número finito de los abiertos que cubren a , entonces la intersección de con estaría contenida en la unión de un número finito de abiertos de contrario al criterio con el que elegimos a .

Elijamos como a uno de los subintervalos en que bisectamos a de modo que  La intersección de con no esté contenida en la unión de un número finito de conjuntos de Análogamente podemos bisectar a en dos subintervalos y elegir como a uno de ellos, de modo que  la intersección de con no esté contenida en la unión de un número finito de conjuntos de .

Repitiendo este proceso indefinidamente, podemos construir una sucesión de intervalos cerrados anidados. Aplicando el Principio de Intervalos Anidados, resulta que debe existir al menos un punto que: ⋂ Como está en todo intervalo , en todos esos intervalos hay puntos de , por lo que debe ser un punto de acumulación de .

Pero por hipótesis, es cerrado y contiene a sus puntos de acumulación, entonces .

Como es una cubierta abierta de , debe existir algún abierto de la colección tal que . Pero es abierto, entonces es punto interior de , y toda una vecindad de debe estar contenida en .

Ahora viene el paso final. Considera que la longitud de cada intervalo

,

Es decir, que las longitudes de los intervalos tienden a cero; entonces existe entonces . Lo que quiere decir que

es:

tal que si

Entonces está contenido en la unión de un número finito de conjuntos de porque está contenida en , que es un conjunto de la colección . Esto contradice el criterio con el que elegimos los conjuntos a , pues su intersección con no esta contenida en la unión de un número finito de conjuntos de .

Por lo tanto, el supuesto de que

no tiene ninguna subcubierta finita es falso. En conclusión,

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13

Análisis matemático I Unidad 3. Compacidad, complitud y categorías tiene una subcubierta finita.

Observaciones.  Los tres lemas juntos implican el Teorema de Heine-Borel.  Cada una de las tres nociones involucradas en el teorema (compacto, cerrado y acotado) se pueden generalizar en espacios métricos. Sin embargo, la caracterización de los compactos como cerrados y acotados no es válida en todos los espacios métricos.

Los conjuntos compactos en espacios métricos, se pueden caracterizar con puntos de acumulación y sucesiones, como lo establece el teorema de Heine-Borel-Lebesgue, que se demostrará más adelante. Primero veremos una definición, otro teorema y un lema que usaremos en la demostración del teorema de Heine-Borel-Lebesgue.

Definición. Sea (X, d) un espacio métrico y K X. Decimos que K es secuencialmente compacto, si toda sucesión { } tiene un punto límite .

Nota que K es secuencialmente compacto, si toda sucesión en K tiene una subsucesión que converge a un punto x en K. Teorema. Si (X, d) es un espacio métrico y K es totalmente acotado.

X es secuencialmente compacto, entonces K

Demostración.

Sea K X secuencialmente compacto. Suponemos que K no es totalmente acotado; entonces existe tal que K no se puede expresar como una unión infinita de bolas de radio con centro en puntos de K. Ahora construimos una sucesión de elementos de K de la siguiente manera: 1. Tomamos cualquier punto .

2. Escogemos de manera que . El punto existe, pues de lo contrario sería un recubrimiento finito de K. 3. Elegimos tal, que y . El punto existe, de lo { } contrario sería un recubrimiento finito de K. Y así sucesivamente, continuamos construyendo la sucesión.

La sucesión { } satisface que para , .

Afirmamos que { } no tiene ninguna subsucesión convergente, por tanto K no es secuencialmente compacto. Lo que contradice nuestra hipótesis. Y se sigue que K es totalmente acotado.

Nuestra afirmación es verdadera, ya que si existiera una subsucesión { } que converge a , se tendría que para

existe

tal que para todo

, (

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)

; de manera que si

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Análisis matemático I Unidad 3. Compacidad, complitud y categorías , entonces: (

)

Lo que contradice que (

(

)

)

(

)

.

Lema (de Lebesgue). Sea (X, d) un espacio métrico, K X es secuencialmente compacto y { | } un recubrimiento de K. Entonces, existe tal que para cada , existe que satisface: .

Demostración.

Vamos a suponer no se satisface el lema; es decir , que { } es un recubrimiento de tal que para todo existe con no contenido en para todo . En particular, para todo existe tal que la bola: no está contenida en ningún ….<1> La sucesión { } está contenida en y como es secuencialmente compacto, existe una subsucesión { } que converge a un punto .

Como { } es un recubrimiento de , existe algún tal que que es un conjunto abierto, por lo que existe que satisface: .

Puesto que {

} converge a , dado

tomamos

, (

existe

, entonces )

(

)

, lo que contradice <1>

, por lo que

tal que si

, entonces

. De esta manera, si

. Si , como

. Lo que demuestra que

.

Teorema de Heine-Borel-Lebesgue. Sea un espacio métrico, Entonces, las siguientes proposiciones son equivalentes: a) es compacto. b) Todo subconjunto infinito en tiene un punto de acumulación en . c) Toda sucesión en tiene una subsucesión que converge a un punto de

Demostración a) Implica: Sea un subconjunto infinito de K. Suponemos que A no tiene ningún punto de acumulación. Entonces para cada en K existe una bola tal que o } es un recubrimiento abierto del conjunto | { }. La familia { compacto K, por lo tanto tiene un subrecubrimiento finito. Este subrecubrimiento finito

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Análisis matemático I Unidad 3. Compacidad, complitud y categorías también cubre a A, y tendríamos que A sería finito, lo que contradice la hipótesis b)

implica :Sea { } cualquier sucesión en K, con un número finito de términos con valores distintos. Entonces, a partir de un cierto término , la sucesión es constante y, por tanto, converge. En consecuencia, toda subsucesión de { } converge. Ahora bien, si tomamos cualquier sucesión { } cualquier sucesión en K con un número infinito de términos distintos, por (b) la sucesión tiene un punto de acumulación en K. Por la propiedad que relaciona punto de acumulación con punto límite, es punto límite de { } y, en consecuencia, existe una subsucesión de { } que converge a (por tanto K es secuencialmente compacto).

} un c) Implica:Sea K secuencialmente compacto y { | recubrimiento de K. Por el lema anterior, existe tal que para cada , existe que satisface: . Por el teorema anterior, k es totalmente acotado. } tal Entonces existe un recubrimiento finito de bolas de radio { que cada bola está contenida en algún abierto del recubrimiento: . Entonces { } es un subrecubrimiento finito. Por lo tanto K es compacto.

Actividad 2. Compacidad En esta actividad aplicarás tus conocimientos sobre conjuntos cerrados, acotados y compactos, y demostrarás que hay espacios métricos donde ser cerrado y acotado no es sinónimo de ser compacto.

Instrucciones: 1. Descarga el documento “Actividad 2. Compacidad” 2.

Realiza lo que se te pide hacer en cada problema planteado.

3.

Guarda y envía tu documento con la nomenclatura AM1_U3_A2_XXYZ. Sustituye las XX por las dos primeras letras de tu primer nombre, la Y por la inicial de tu apellido paterno y la Z por la inicial de tu apellido materno. El peso del archivo no debe exceder 4MB.

4. Espera la retroalimentación de tu facilitador.

3.2 Continuidad y compacidad El concepto de continuidad global de una función se puede formular en términos del concepto de conjunto abierto, lo cual da lugar a la generalización de varios teoremas de Cálculo

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Análisis matemático I Unidad 3. Compacidad, complitud y categorías Diferencial e Integral de funciones reales de variable real para funciones en espacios más generales, como los espacios métricos y los espacios topológicos. Específicamente vamos a reformular cinco teoremas para funciones continuas.

Antes de empezar, recordamos la formulación: Una función es continua si y solamente si la imagen inversa de cualquier conjunto abierto es un conjunto abierto.

3.2.1 La imagen de un compacto bajo una función continua En esta sección usaremos los siguientes dos resultados: Proposición 1. Si está imagen directa de :

esta contenido en , la imagen directa de

Demostración. Sea . Esto quiere decir que existe algún , entonces . Por lo tanto

está contenida en la

tal que

. Como

y

.

Proposición 2. Dado un conjunto inversa de está contenida en :

Demostración. Sea un elemento en imagen inversa de : . Pero

en el contradominio de , la imagen directa de la imagen

. Esto quiere decir que para algún si y solamente si . Entonces

en la .

En los cursos de Cálculo Diferencial e Integral se ve que la imagen directa de un intervalo cerrado y acotado bajo una función continua es un intervalo cerrado y acotado , donde es el mínimo valor de la función alcanzado en el intervalo y es el máximo valor de la función en el intervalo . Ahora bien, los intervalos cerrados y acotados son conjuntos compactos. Podemos generalizar el teorema como sigue.

TEOREMA. La imagen directa de un compacto bajo una función continua es un conjunto compacto.

Demostración. Sea una función continua. Sea un conjunto compacto contenido en el dominio de . Queremos demostrar que: , es un conjunto compacto.

Para ello damos una cubierta abierta de . Queremos ver que tiene una subcubierta finita.

Denotamos por a un conjunto cualquiera de la cubierta abierta de , donde está en un conjunto de índices . El conjunto está contenido en la unión de todos los que

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Análisis matemático I Unidad 3. Compacidad, complitud y categorías conforman la cubierta abierta. ⋃ De lo anterior se sigue que

está contenido en la imagen inversa de la unión de los (⋃

)

.

⋃

Como es continua, la colección de conjuntos es una cubierta abierta de .

Pero es compacto. Entonces esta cubierta abierta de tiene una subcubierta finita.

Sean , los conjuntos abiertos que forman la subcubierta finita. Así, que ⋃

De las proposiciones 1 y 2, denotando:

, se sigue que: )

( Esto quiere decir que los conjuntos buscando COROLARIO 1. Sea

son la subcubierta abierta finita que estábamos

una función continua y

compacto. Entonces

es acotada.

Demostración. Por el teorema anterior, la imagen de es un conjunto compacto.

Por el teorema de Heine-Borel, dicho conjunto compacto es un conjunto cerrado y acotado.

Por lo tanto está acotada. Lo que queríamos demostrar COROLARIO 2. Sea máximo.

una función continua y

compacto. Entonces

alcanza su

Demostración. Por el teorema anterior, la imagen de es un conjunto compacto.

Por el teorema de Heine-Borel, dicho conjunto compacto es un conjunto cerrado y acotado.

Basta que el dominio de sea no vacío para decir que su imagen es no vacía.

Por lo tanto existe el supremo de la imagen de . Sea dicho supremo. Afirmamos que pertenece a la imagen de .

Consideremos dos casos 1. Que sea un punto de acumulación de la imagen de .

Por el teorema de Heine-Borel la imagen de es un conjunto cerrado.

Por lo tanto contiene a todos sus puntos de acumulación, en particular a .

2. Que no sea un punto de acumulación de la imagen de .

Este caso solamente es posible si es un punto aislado de , y por lo tanto pertenece a la imagen de .

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Análisis matemático I Unidad 3. Compacidad, complitud y categorías En ambos casos en el dominio de

pertenece a la imagen de . De lo anterior se sigue que existe un punto tal que .

COROLARIO del corolario. Sea

como en el corolario anterior. Entonces

alcanza su mínimo.

Para la demostración, basta aplicar el corolario anterior a – . Claramente el máximo de – igual al mínimo de .

es

3.2.2. El teorema del Punto Fijo para Contracciones En esta sección vamos a discutir un resultado intuitivo y fácil de visualizar en el contexto del estudio de las funciones reales de variable real, que tiene la virtud de que se puede generalizar a cualquier espacio métrico completo, y que cuenta entre sus aplicaciones, ni más ni menos, la demostración del Teorema de Existencia y Unicidad de Ecuaciones Diferenciales. Se trata del Teorema del Punto Fijo para Contracciones.

Para empezar daremos dos definiciones.

DEFINICIÓN. Contracción. Sea un espacio métrico con la métrica . Sea función. Decimos es una contracción si existe una constante positiva cualesquiera dos puntos , se cumple la desigualdad.

una tal que para

Observa que esta condición implica que la distancia entre las imágenes de que la distancia entre e , pues

e

es más chica

Nota también que una función que es una contracción, es una función continua.

Ejemplo. Sea entre dos puntos.

. Esta función es una contracción, pues acorta a la mitad la distancia

DEFINICIÓN. Punto fijo. Sea si .

una función. Se dice que un punto

Teorema del Punto fijo. Sea un espacio métrico completo, y sea Entonces tiene un punto fijo, y es único.

Demostración. Sea manera:

es punto fijo de

una contracción.

un un punto cualquiera de . Definimos una sucesión de la siguiente

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19

Análisis matemático I Unidad 3. Compacidad, complitud y categorías Para continuar, demos por cierta la siguiente afirmación (escribiremos su demostración más adelante): “La sucesión así definida, es una sucesión es de Cauchy”.

Siendo … a sucesión convergente. Sea

Usando el hecho de que

ó Ca hy pa el límite de esta sucesión.

mé

,

a

es continua (por el hecho de ser contracción) tenemos que

pero por la manera en que definimos a la sucesión, tenemos que sucesión , converge a .

Por lo tanto

mpl

; entonces la

es un punto fijo de .

Ahora veamos que es único. Supongamos que . Por definición de contracción

por ser y puntos fijos se tiene que:

Lo que implica que

es otro punto fijo de , es decir, que

. Entonces, para un número positivo

, de donde

,

.

Ahora vamos a demostrar que la sucesión , es una sucesión es de Cauchy. Empecemos comparando la distancia entre dos términos consecutivos de la sucesión. Sea . Entonces:

Y, en general

Ahora comparemos la distancia entre el término

y el término

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20

Análisis matemático I Unidad 3. Compacidad, complitud y categorías En general

Ahora comparemos la distancia entre el término

y el término

:

En general

Si comparamos la distancia entre el término

y el

:

La última cantidad se puede hacer tan pequeña como queramos eligiendo suficientemente grande. Esto quiere decir que para cualquier distancia tan pequeña como queramos, hay un momento a partir del cual cualesquiera dos términos de la sucesión distan entre sí menos que . Esto es, con otras palabras, la definición de sucesión de Cauchy.

Con esto terminamos la demostración del lema, y por lo tanto la demostración del Teorema del Punto Fijo para Contracciones.

Una aplicación. El Teorema de Existencia y Unicidad de Ecuaciones Diferenciales.

En esta sección nos limitaremos a ilustrar en un ejemplo, un método mediante el cual se puede demostrar el teorema de existencia y unicidad dando un método para construir una sucesión de funciones con dos propiedades nada obvias:  

Que la sucesión de funciones es convergente.

Que la función límite es la solución de la ecuación diferencial con las condiciones requeridas.

Empecemos formulando el Teorema de Existencia y Unicidad.

Teorema. Suponiendo que: 1. Se tiene la ecuación diferencial: , con la condición inicial 2. esta definida y es continua en un rectángulo que contiene al punto punto interior.

3. satisface la condición de Lipschitz con respecto a : | | | | Entonces, existe un segmento |

|

en el que existe una solución

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, como

que

21

Análisis matemático I Unidad 3. Compacidad, complitud y categorías satisface la ecuación diferencial y la condición inicial, y ésta solución es única.

A continuación sigue un comentario general y un ejemplo.

El comentario general.

Podemos construir una sucesión de funciones que se vayan aproximando a la solución de la ecuación diferencial con las condiciones iniciales dadas. Para ello necesitamos tener una manera de medir qué tanto se parecen o qué tanto se diferencian dos funciones. Es decir, necesitamos darle una métrica al espacio de las funciones que pueden ser las soluciones.

Si se trata de funciones continuas en un intervalo cerrado y acotado métrica el máximo de los valores absolutos de las diferencias | intervalo .

podemos elegir como | variando en el

Para aplicar el Teorema del Punto Fijo para las Contracciones, también tendríamos que definir una transformación que tenga la propiedad de que cada vez que le demos una función que sea una aproximación a la solución, nos produzca otra función que sea una aproximación mejor.

También tendríamos que verificar que sea una contracción, y que el espacio métrico elegido es mpl . N q m q ga “h y ” p ah p a a la l .

Supongamos que la ecuación diferencial con condición inicial es de la forma

Nótese que si

fuera solución de la ecuación integral ∫

al derivar con respecto a a las funciones de ambos lados de la igualdad tendríamos que satisface la ecuación diferencial dada. Y por la elección del intervalo de integración, así como la elección de constante de integración, garantizamos que esta función cumplirá las condiciones iniciales.

Definamos ∫

Así podemos construir una sucesión de aproximaciones.

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22

Análisis matemático I Unidad 3. Compacidad, complitud y categorías Para que esta sucesión sea convergente, tenemos que buscar las hipótesis que nos garanticen que la transformación que nos da la siguiente aproximación a partir de la presente, es una contracción en el espacio métrico de las funciones con las cuales estamos trabajando.

Para ello necesitaremos ciertas hipótesis sobre la función que define a la ecuación diferencial, entre ellas, que sea continua en un rectángulo que contenga al punto que determina las condiciones iniciales, y también que para cada fija, satisfaga la condición de Lipschitz en cuanto a la variable , es decir, que exista una contante positiva tal que para toda pareja de puntos se cumpla la desigualdad | | | | Para fijar ideas examinemos un ejemplo. Consideremos la ecuación diferencial

En este caso ya conocemos la solución (la función exponencial), pero la ponemos de ejemplo para ilustrar el Método de Aproximaciones Sucesivas de Picard. Nótese que en este caso cumple la condición de Lipschitz requerida con en todo el plano, pero para ilustrar la idea de espacio métrico nos restringiremos al rectángulo . En este caso está acotada en , y una cota es el número 2.

La primera aproximación que daremos es un poco burda, pero cumple con la condición inicial .

Segunda aproximación. ∫

∫

Tercera aproximación. ∫

∫

Cuarta aproximación. ∫

∫

Se puede ver que en este ejemplo el Método de Aproximaciones Sucesivas de Picard, nos produce la sucesión de sumas parciales de la serie de Taylor de la función exponencial, es decir, de la solución de la ecuación diferencial con las condiciones iniciales dadas.

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23

Análisis matemático I Unidad 3. Compacidad, complitud y categorías Ahora bien, el punto que queremos destacar es que se puede definir un espacio métrico de modo que esta sucesión de funciones resulta ser una sucesión convergente de puntos de dicho espacio métrico. De hecho, no haremos más que plantear el contexto en el que se puede aplicar el Teorema del Punto Fijo para Contracciones. 

¿Cuál es el espacio métrico? Podemos elegir como espacio métrico a funciones continuas



], tales que |

definidas en el intervalo [

|

.

¿Cuál es la métrica? Es ||

{| 

, el conjunto de

[

]}

¿Cuál es la contracción? Es la transformación que a cada función función cuya regla de correspondencia es

le asocia la

∫

Se puede ver que si 

está en

, entonces

¿Cuál es el punto fijo? Es la función

también.

tal que ∫



Sean

|

Nótese que es decir, es solución de la ecuación diferencial. Más aún, , es decir, satisface las condiciones iniciales. ¿Cuál es la constante positiva ? Afirmamos que sirve . Vamos a justificar esta respuesta. . Veamos que:

|

∫

|∫

|

|

∫|

|∫

∫|

|

|

∫

De lo anterior se sigue que

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24

Análisis matemático I Unidad 3. Compacidad, complitud y categorías Por lo tanto

es una contracción.

3.2.3. Continuidad uniforme y compacidad Para introducir el concepto de continuidad uniforme de una función en un conjunto recordemos la definición de continuidad local de una función en un punto.

Sea , una función que a cada punto de le asocia un número real y es continua en a si para toda tal que del dominio de

Ahora bien, en principio la depende de la no necesariamente sirve la misma .

. Decimos que

pero también del punto . Si cambiamos de punto,

Definición. Continuidad Uniforme. Sea un subconjunto de un espacio métrico. Sea una función que a cada punto de le asocia un número real. Se dice que es uniformemente continua en si para toda tal que , con | | | |

Ejemplos 1. La función 2. La función

no es uniformemente continua en es uniformemente continua en todo el conjunto de números reales.

Teorema. Sea un subconjunto compacto de un espacio métrico. Sea una función que a cada punto de le asocia un número real. Si es continua en , entonces es uniformemente continua en .

Demostración: Sea Tomamos cualquier . Como es continua en , entonces existe un número tal que si , entonces | | .

La colección de las vecindades de radio de cada , es una cubierta abierta de . Por ser un compacto, tiene una subcubierta finita. Entonces existe un número finito de puntos tales que Sea { |

}

Afirmamos que esta sirve para verificar la definición de continuidad uniforme de efecto, queremos demostrar que:

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en . En

25

Análisis matemático I Unidad 3. Compacidad, complitud y categorías | Sean con | Notemos que, como

|

|

|

|

. Por ser subcubierta finita, , entonces |

|

|

|

|

y |

|

|

con

.

|

|

Esto demuestra que

algun

|

|

es uniformemente continua en

.

A la luz de este concepto podemos revisar la siguiente demostración de que si una función continua en un intervalo cerrado y acotado , entonces es integrable en ese intervalo.

es

Para ello vamos a usar el criterio de Riemann, el que establece que es integrable, si para toda existe una partición del intervalo tal que la diferencia de las sumas superiores menos las sumas inferiores es menor que ε:

Demostración: Sea . Como es continua en en . Entonces existe un tal que para | Dividimos el intervalo

en

|

entonces es uniformemente continua

|

|

partes iguales,

de manera que:

Por ser uniformemente continua en , lo es en cada subintervalo, entonces máximo y su mínimo en cada subintervalo. Así que para toda , existe tal que: { } | { } |

alcanza su

Como la longitud de cada intervalo es menor que , entonces

Si multiplicamos por la longitud del intervalo, (b-a)/n y sumamos obtenemos la diferencia entre las sumas superiores y las sumas inferiores correspondientes a esta partición. ∑

∑

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26

Análisis matemático I Unidad 3. Compacidad, complitud y categorías ∑

Por lo tanto

es integrable en

∑

.

Actividad 3. Continuidad, compacidad y completitud En esta actividad podrás resolver funciones continuas y uniformemente continuas, sucesiones de Cauchy y conjuntos separados.

Instrucciones: 1. Descarga el documento “Actividad 3.Continuidad, compacidad y completitud.

2.

Realiza lo que se te pide hacer en cada problema planteado.

3.

Guarda y envía tu documento con la nomenclatura AM1_U3_A3_XXYZ. Sustituye las XX por las dos primeras letras de tu primer nombre, la Y por la inicial de tu apellido paterno y la Z por la inicial de tu apellido materno. El peso del archivo no debe exceder 4MB.

4. Espera la retroalimentación de tu facilitador.

3.3. Teorema de Baire

3.3.1. Conjuntos densos y densos en ninguna parte Definición. Conjunto denso. Sea un subconjunto de un espacio métrico . Decimos que es denso en si la cerradura de es igual a :

Conjunto denso en nigua parte. Sea que

un subconjunto de un espacio métrico . Decimos

es denso en ninguna parte si el complemento de la cerradura de

Observación. es denso en ninguna parte si y solamente si La razón es la siguiente:

( ) , es denso.

no contiene ningún punto interior.

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27

Análisis matemático I Unidad 3. Compacidad, complitud y categorías Sea

un conjunto denso en ninguna parte. Sea

. Si

fuera un punto interior de

la cerradura de , entonces ese punto estaría aislado de ( ) . Esto no es posible, pues ( ) es denso por definición de que

sea denso en ninguna parte.

Recíprocamente, supongamos que no contiene ningún punto interior. Tomemos un punto . Entonces ocurre una de dos cosas: 1. O

es punto frontera ; y, entonces en toda vecindad de

entonces 2. O

hay puntos de ( ) y

pertenece a la cerradura de ( ) .

es punto exterior de . Esto es,

es un punto interior de ( ) y por lo tanto

está en la cerradura de ( ) .

En cualquiera de los dos casos, se sigue que ( ) es un conjunto denso y, por definición, es denso en ninguna parte.

Por ejemplo, el conjunto de los números enteros es denso en ninguna parte como subconjunto del conjunto de los números reales.

3.3.2. Conjuntos de primera y de segunda categoría Definición. Conjunto de primera categoría. Se dice que un conjunto es de Primera Categoría, si es la unión de un número numerable de conjuntos densos en ninguna parte.

Conjunto de segunda categoría. Se dice que un conjunto es de Segunda Categoría, si no es de Primera Categoría.

Ejemplos.

1. El subconjunto de los números racionales es la unión numerable de conjuntos densos en ninguna parte. Por lo tanto es de Primera Categoría.

2. El conjunto de los números irracionales ¿será de Primera Categoría o de Segunda Categoría? Depende de si el mismo conjunto de los números reales ¿será de Primera o de Segunda Categoría? No basta el hecho de que sea no numerable: El conjunto de Cantor es no numerable y es de Primera Categoría como subconjunto del intervalo [0,1].

En general: consideremos un espacio métrico completo. ¿Será de Primera Categoría o de Segunda Categoría? El teorema de Baire nos dirá la respuesta.

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28

Análisis matemático I Unidad 3. Compacidad, complitud y categorías 3.3.2. El teorema de Baire Antes de enunciar el teorema de Baire, veamos el lema siguiente.

Lema. Sea un espacio métrico completo, y sea una colección numerable de subconjuntos densos y abiertos de . Entonces la intersección de todos los abiertos de esta colección, es no vacía: ⋂

Demostración. Sea

De en

. Como

es abierto, existe una vecindad de

sabemos que es denso, y por lo tanto existe un punto . Como y son abiertos, existe una vecindad y

Sin pérdida de generalidad

y la cerradura de

tal que

que también está tal que

está contenida en la primera bola:

Podemos construir inductivamente una sucesión de puntos vecindades:

y una sucesión de

tales que y Por construcción se tiene que la sucesión vecindades tienden a cero.

Como

es de Cauchy, pues los radios de las

es un espacio métrico completo, dicha sucesión converge. Sea para

su límite. Como

; entonces,

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29

Análisis matemático I Unidad 3. Compacidad, complitud y categorías Como

, se sigue que ⋂

Por tanto esa intersección es no vacía,

.

Teorema de Baire. Un espacio métrico completo no puede expresarse como la unión de una colección numerable de conjuntos densos en ninguna parte.

Demostración: Sea

una colección numerable de conjuntos densos en ninguna

parte. Para cada , sea es un conjunto denso y abierto. Por el lema ( ) , entonces anterior, existe , entonces no está en ningún , y tampoco en su unión. Por lo tanto ⋂ la unión numerable de densos en ninguna parte no contiene a todos los puntos del espacio métrico, .

Regresando a la pregunta de si el conjunto de los números reales era de Primera Categoría o de Segunda Categoría. El teorema de Baire nos dice que es de Segunda Categoría. Y por lo tanto, también el conjunto de los irracionales es de Segunda Categoría.

Una consecuencia del Teorema de Baire es el siguiente corolario.

Corolario. Existe de una función continua en el intervalo [0,1] pero que no es diferenciable en ningún punto.

Solamente puntearemos la demostración. 

Sea



métrica {| | al q espacio métrico completo.

Sea tal que existe al menos un punto para toda

el espacio métrico de todas las funciones continuas en el intervalo [0,1], con la

. Se puede ver que

}. Se puede ver que este es un con |

|

es un subconjunto cerrado de

Equivalentemente, es abierto.

Si hay dos puntos tales que y| Geométricamente esto quiere decir que el punto ó abajo de la recta sumarle a una constante suficientemente pequeña funciones cuya gráfica cae abajo de y arriba de conjunto .

.

| | |. está arriba de la recta . Claramente podemos de modo que todas las siguen sin pertenecer al

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30

Análisis matemático I Unidad 3. Compacidad, complitud y categorías 

También se puede ver que es un conjunto denso en ninguna parte. Tomemos en cuenta que cualquier función g continua en el intervalo puede aproximarse tanto como queramos por una poligonal , cuya derivada por la derecha sea de magnitud mayor que en todos sus puntos. Dicho de una manera un tanto gráfica: adentro de una banda de ancho alrededor de la gráfica de una función , cabe una poligonal formada con segmentos de recta de pendiente tan inclinada como queramos.



Sea



tal que toda

tiene derivada por la derecha finita en al menos un

punto del intervalo . Se puede ver que es un conjunto de primera categoría. Sea ; entonces puede aproximarse por funciones poligonales pertenecientes a algún . Como es cerrado, misma pertenece a . Entonces está contenido en la unión numerable de conjuntos densos en ninguna parte, y por lo tanto es de primera categoría.

Existe una función continua en el intervalo tal que no es diferenciable en ningún punto. Esto se puede ver pues este espacio métrico es un conjunto de segunda categoría. Por lo tanto es un subconjunto propio de . Y cualquier función que pertenezca a

pero no a

es continua pero no es diferenciable en ningún punto.

3.4. Teorema de Arzela-Ascoli El teorema de Arzela-Ascoli, nos permite caracterizar conjuntos compactos en el espacio de funciones continuas, con dominio en un espacio métrico e imagen en los reales. Éste espacio lo denotaremos .

Para poder caracterizar conjuntos compactos resultados preliminares.

DEFINICIÓN. Sea a) Decimos que acotado

necesitamos algunos conceptos y

una familia de funciones continuas. es puntualmente acotada si para cada {

b) Decimos que la familia ; es decir, si existe para toda ,

|

, el conjunto siguiente es

}

es uniformemente acotada si es un conjunto acotado en y existe , tal que para toda y

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31

Análisis matemático I Unidad 3. Compacidad, complitud y categorías Por ejemplo, consideremos las funciones { } dadas por:

(

)

{ Observa las gráficas.

{ } es puntualmente acotada pues Para uniformemente acotada porque para toda siempre existe

, sin embargo, no es con .

En la siguiente definición, ten en cuenta que es para toda una familia de funciones.

DEFINICIÓN Familia Equicontinua. Sea es equicontinua en si

Decimos que

una familia de funciones. Decimos que tal que si y

es equicontinua, si es equicontinua en todo punto

.

Observaciones 1. La definición equivalente con bolas en y vecindades en , sería: es equicontinua si tal que si ( ); es decir, ( ).

2. El número que exista no depende de las funciones en , debe servir para todas ellas; en consecuencia, toda función en una familia equicontinua, es uniformemente continua.

3. Una sucesión de funciones { } es equicontinua si con

Para comprender bien el concepto, es ilustrativo ver una función que no sea equicontinuas. Por ejemplo, una sucesión de funciones de los reales en los reales, definida por no es equicontinua en ningún punto

puesto que podemos dar

y para cualquier

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,

32

Análisis matemático I Unidad 3. Compacidad, complitud y categorías siempre existe |

|

tal que

, y damos

, sin embargo |

|

. Entonces se satisface que (

|

)|

.

DEFINICIÓN. Conjunto totalmente acotado. Sea un espacio métrico, un subconjunto de . Decimos que es totalmente acotado, si para toda , existe un número finito de puntos tales que ⋃

Observaciones 1. La definición anterior nos dice que un conjunto es totalmente acotado, si podemos cubrirlo con un número finito de bolas abiertas.

2. Si es compacto, entonces es totalmente acotado.

3. Si es totalmente acotado, entonces es acotado.

4. Los recíprocos de 2 y 3 no son validos.

Teorema I. Sea

. Si la familia

Demostración. Sea

Como

es totalmente acotada, entonces es equicontinua.

. Buscamos

(que no dependa de ), tal que si:

es totalmente acotada, entonces existen

tales que

⋃

Como cada

Tomamos demostrar que Como

Y como,

es continua en , existen

{

tales que para cada

}, cualquier y cualquier . , existe algún tal, que

ocurre que si:

. Queremos ; esto es, para todo

,

, entonces

Aplicando la desigualdad del triángulo, se tiene lo que queríamos demostrar:

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33

Análisis matemático I Unidad 3. Compacidad, complitud y categorías (

Teorema II. Sea que para toda

)

(

)

(

)

.con compacto, entonces existe un conjunto compacto , la imagen directa de es un subconjunto de , .

tal

Demostración:. es uniformemente acotada, entonces existe y existe , tal que para toda y para toda , ; como es compacto y continua, es compacto y, por tanto, es acotada. En consecuencia, existe tal, que | | , entonces: | | | | | | Terminamos la demostración tomando

̅

como la bola cerrada:

(

).

Teorema de Arzela-Ascoli. Sea .con compacto. La familia es un conjunto compacto si, y sólo si es un conjunto cerrado en , equicontinua y acotada punto por punto.

Demostración: Primero supondremos que la familia es un conjunto compacto. Los teoremas I y II nos garantizan que es cerrado, equicontinua y acotada.

Para el recíproco, suponemos que es cerrado, equicontinua y acotada punto por punto.

Bastará demostrar que es totalmente acotada para demostrar que es compacto. Veamos.

Sea . Queremos demostrar que existe un número finito de bolas abiertas cuya unión contiene a . El teorema II, nos garantizan que existe un conjunto compacto tal que para toda , . La equicontinuidad de y compacidad de nos permiten escoger bolas de radio con centro en tales que para todo y para toda : ⋃ Además,

y

(

es compacto, así que podemos escoger ⋃

Notemos que para

, con

{ } le asocia el número cada bola donde está . Es claro que si

) , tales que

( )

( ), resulta natural la aplicación {

} correspondiente a la

que a centro de la

son tales que ( )

la aplicación es la misma:

; y, si

(

), entonces

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34

Análisis matemático I Unidad 3. Compacidad, complitud y categorías |

|

|

(

)|

| (

)

|

|

(

)|

| (

)

|

} { } y existe Ahora bien, si se tiene cualquier aplicación { tal, que ( ), ésta la denotaremos: . El conjunto de todas las aplicaciones {

}

{

} para las que existe

{ | } es finito.

De esta manera, si tenemos cualquier de las que existe y, se sigue que:

, es finito y, en consecuencia, el conjunto

, la aplicación

|

es la misma para alguna

|

entonces ( ) por lo tanto ⋃

( )

Existen diferentes formulaciones del teorema de Arzela-Ascoli, la expuesta arriba es una de ellas. Algunos autores lo formulan como en el siguiente corolario.

Corolario del Teorema de Arzela-Ascoli. Sea { } es una sucesión en . Si es compacto, { } equicontinua y puntualmente acotada, entonces existe una subsucesión de { }, que converge en .

La demostración es inmediata porque, por el Teorema de Arzela-Ascoli, la cerradura de { } es un conjunto compacto y, el teorema de Heine-Borel-Lebesgue nos garantiza que tiene una subsucesión convergente.

Aplicación del teorema de Arzela-Ascoli El problema de encontrar una función que sea solución de la ecuación diferencial: , de manera que en un punto la función tome el valor , se representa en la forma:

Observa que si

es una solución del problema planteado, debe satisfacer:

De manera que integrando, y usando que

, obtenemos:

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35

Análisis matemático I Unidad 3. Compacidad, complitud y categorías ∫

∫

∫

Así que resolver la ecuación diferencial encontrar una solución de la ecuación:

∫

con valor inicial

, se reduce a

∫

El teorema siguiente establece que existe al menos una solución para el problema planteado.

Teorema. La ecuación

donde

es continua y acotada en

, tiene al menos una solución.

Guzmán Ozámiz (1978) muestra en su libro Ecuaciones Diferenciales Ordinarias, Teoría de Estabilidad y Control la siguiente demostración.

Demostración. Construiremos una sucesión de funciones y aplicaremos el teorema de ArzelaAscoli.

La primera función será la constante

en

, la segunda será la misma constante en [

]y

en el resto del intervalo será la misma constante más una integral. Y así, sucesivamente, para definir la función eme, se divide el intervalo en partes iguales, en la primera parte la función será la misma constante y en los siguientes intervalos, se define a partir de cómo se definió en las partes anteriores, de la siguiente manera:

∫ {

∫ {

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Análisis matemático I Unidad 3. Compacidad, complitud y categorías Como

|

tal que |

es acotada, existe se tiene que:

|

||

Además, dada

||

∫

, si

| |

|

|| ∫

||

| |

∫ | |

y para todo

| |

, entonces |

|

Por tanto, la sucesión de funciones {

} es totalmente acotada y equicontinua. El teorema de

Arzela-Ascoli, garantiza que existe una subsucesión {

∫

que converge en

, entonces, para todo

a una función

} de la forma:

∫

. Entonces, para todo

,

se sigue que: ∫ Y como

∫

es acotada, | ∫ |

Por lo que, para todo

| |

(

)

se tiene que ∫

Así que el límite de la subsucesión, es solución de la ecuación diferencial condición inicial . Lo que queríamos demostrar.

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con

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Análisis matemático I Unidad 3. Compacidad, complitud y categorías Actividad 4. Teorema de Baire y Teorema de Arzela-Ascoli En esta actividad resolverás problemas donde debes aplicar lo que has aprendido sobre conjuntos densos y densos en ninguna parte, familias equicontinuas; así como el teorema de Baire y el de Arzela-Ascol.i Instrucciones: 1. Descarga el documento “Actividad 4. Teorema de Baire y Arzela Ascoli”.

2.

Realiza lo que se te pide hacer en cada problema planteado.

3.

Guarda y envía tu documento con la nomenclatura AM1_U3_A4_XXYZ. Sustituye las XX por las dos primeras letras de tu primer nombre, la Y por la inicial de tu apellido paterno y la Z por la inicial de tu apellido materno. El peso del archivo no debe exceder 4MB.

4. Espera la retroalimentación de tu facilitador.

Autoevaluación Es momento de realizar la autoevaluación, donde podrás medir el grado de conocimiento obtenido durante la unidad.

Instrucciones: Lee lo que se plantea en cada inciso y elige la opción correcta.

1. El Teorema de Heine-Borel dice que todo subconjunto compacto del conjunto de los números reales es a. Abierto y Acotado b. Conexo y Acotado c. Disconexo y Acotado d. Cerrado y Acotado 2. Indica cuál afirmación es verdadera para todo espacio métrico a. Toda sucesión de Cauchy es convergente b. Toda sucesión convergente es de Cauchy c. Toda sucesión que no es convergente es de Cauchy d. Toda sucesión que no es de Cauchy es convergente 3. Indica cuál proposición es falsa a. Toda función continua en (a,b) es uniformemente continua en (a,b) b. Toda función uniformemente continua en (a,b) es continua en (a,b)

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Análisis matemático I Unidad 3. Compacidad, complitud y categorías c. Si f es continua en [a,b] entonces es integrable en [a,b] d. Si f es uniformemente continua en [a,b] entonces es integrable en [a,b] 4. Sea f una función continua ¿Cuál afirmación es verdadera? a. La imagen inversa de un compacto es un compacto b. La imagen directa de un compacto es un compacto c. La imagen directa de un conjunto abierto es un conjunto abierto d. La imagen directa de un conjunto cerrado es un conjunto cerrado 5. Indica cuál proposición es verdadera a. Todo conjunto denso es denso en ninguna parte b. Todo conjunto denso en ninguna parte es denso c. El complemento de la cerradura de un conjunto denso en ninguna parte es denso d. La cerradura del complemento de un conjunto denso es denso en ninguna parte.

6. El teorema de Baire afirma que a. Todo conjunto de primera categoría es un espacio métrico completo b. Todo conjunto de segunda categoría es un espacio métrico completo c. Todo espacio métrico completo es un conjunto de primera categoría d. Todo espacio métrico completo es un conjunto de segunda categoría Es necesario comparar tus respuestas, para ello revisa el documento Respuestas_autoevaluación_U3, ubicada en la pestaña material de apoyo de la unidad 2 Retroalimentación 1-3 aciertos. Los conocimientos obtenidos no fueron suficientes, debes revisar nuevamente el contenido de la unidad.

4-6 aciertos. Tienes un conocimiento claro de los conocimientos de la Unidad, sigue adelante.

Evidencia de aprendizaje. Aplicación de los teoremas Es momento de realizar tu evidencia de aprendizaje, donde resolverás diversos problemas que requieren la aplicación de los teoremas de Heine-Borel, de funciones continuas y uniformemente continuas, el teorema de Baire, el del Punto Fijo y el de Arzela-Ascoli.

Instrucciones: 1.

Descarga el archivo “EA. Aplicación de teoremas”

2. Lee las instrucciones y realiza lo que se te indica.

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Análisis matemático I Unidad 3. Compacidad, complitud y categorías 3. Guarda y envía tu reporte al portafolio de evidencias con la nomenclatura AM1_U3_EA_XXYZ. Sustituye las XX por las dos primeras letras de tu primer nombre, la Y por la inicial de tu apellido paterno y la Z por la inicial de tu apellido materno. El peso del archivo no debe exceder 4MB 4. Envía tu reporte al portafolio de evidencias y espera la retroalimentación de tu facilitador(a), atiende sus comentarios y renvía la nueva versión de tu evidencia.

Consulta la Escala de Evaluación para conocer los criterios con que será evaluado tu trabajo.

Autorreflexiones Al finalizar, consulta el Foro: Preguntas de autorreflexión para realizar el ejercicio correspondiente y enviarlo a través de la herramienta Autorreflexiones. Recuerda que también se toman en cuenta para la calificación final.

Cierre de la unidad Esperamos que al concluir esta unidad sientas que un proceso de abstracción, que en un primer momento puede ser un poco difícil, tiene la ventaja de que puedes mirar con otros ojos problemas que ya haz tratado anteriormente, y puedas desarrollar una solución más sencilla.

Que veas cómo el hecho de distinguir una propiedad que puede parecer árida en sí misma (como la que define el que un espacio sea compacto), puede ser fructífero y simplificar las demostraciones de teoremas no triviales.

Que veas cómo el hecho de trabajar con espacios más generales, como los espacios métricos, puede conducirte a tratar de otro modo los problemas de aplicaciones, como las ecuaciones diferenciales.

Que te vuelvas más riguroso, sabiendo que existen ejemplos que rebasan los límites de nuestra intuición, como el de la función que es continua pero no es diferenciable en todo un intervalo.

En fin, queremos que al final de esta unidad hayas desarrollado la apa a los dibujos para poder trabajar con objetos que tal vez no puedas dibujar.

“má allá”

Para saber más

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Análisis matemático I Unidad 3. Compacidad, complitud y categorías Recomendamos al lector la lectura del libro Boyer, Carl B. A History of Mathematics. John Wiley & Sons. New York, Toronto, Singapur. 1989. Lo puedes descargar gratuitamente en: http://ia700706.us.archive.org/3/items/AHistoryOfMathematics/BoyerAHistoryOfMathematics.pdf Como su nombre lo indica, es una buena historia de las matemáticas, con un lugar importante para el surgimiento y la evolución del Análisis Matemático.

Referencias Bibliográficas 1. Kolmogorov, A. N., Fomin, S. V. Elementos de la Teoría de Funciones y del Análisis Funcional. Editorial Mir Moscú. 1975.

2. Royden, H. L. Real Analysis. The Macmillian Company, New York. 1968.

3. Boyce, W., DiPrima, R. Ecuaciones Diferenciales y problemas con valores en la frontera.

Editorial Limusa, 1985.

4. Bartle. Introduction to real análisis. John Wiley & Sons. 1992.

5. Halmos, P. Measure Theory. New York:Van Nostrand, 1950.

6. Lang, S. Real Analysis. Addison-Wesley Publishing Company. Reading. Massachusetts, 1983.

7. Rudin, W. Real and Complex Analysis. McGraw Hill. New delhi, tercera edición, 1988.

8. Bartle, R. The elements of Real Analysis. Jhon Wiley and Sons. Inc. New York, 1964.

9. Hewitt, E. and Stromberg, Real and Abstract analysis. Heidelberg:SpringerVerlag, 1965.

10. Taylor A.E., General theory of Functions and Integration, Waltham, MA: Blaisdell, 1965.

11. Dieudonné, Foundations of Modern Analysis. New york: Academic Press, 1969.

12. Goffman, C. Real Functions. New York: Prindle, Weber and Schmidt, 1953.

13. Kelley, J.L. General Topology. Princeton, NJ: Van Nostrand, 1955.

14. Rudin, W. Principles of Mathematical Analysis, New York:McGraw-Hill, 1974.

15. Simmons, G.F., Introduction to Topology and Modern Analysis. New York: McGraw-Hill, 1963.

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