U2 li mites y continuidad de funciones complejas

PROGRAMA DESARROLLADO Unidad 2. Límites y continuidad de funciones complejas Solución: Sea

 0 , se tiene que f ( z )  z y L  z0 , entonces  f ( z )  L  z  z0 , por

consiguiente basta tomar   .

Ejemplo: Demuestre que lim z  z0 . z  z0

Solución: Sea

 0 , se tiene que f ( z )  z y L  z0 , entonces se tiene lo siguiente

 f ( z )  L  z  z0  z  z0  z  z0 , por consiguiente basta tomar   .

2.3.2. Propiedades de los límites En tema anterior se presentó la definición formal del límite de una función en un punto dado en términos de vecindades, dicha definición no proporciona un método para para calcular el límite de una función. En este tema se presentan las propiedades de los límites y como calcular el límite de algunas funciones en particular.

La primera propiedad es la siguiente: Teorema: Si el límite de una función existe entonces es único.

Demostración: Se procede por contradicción. Supóngase que lim f ( z )  L y lim f ( z )  M z  z0

z  z0

con L  M , entonces L  M  0 . Como lim f ( z )  L existe entonces para cualquier z  z0

existe   0 tal que f ( z )  L  , si 0  z  z0   , en particular tomando

1  0 tal que f ( z )  L 

LM  0 existe 2

LM , si 0  z  z0  1 .

2

Análogamente, como lim f ( z )  M existe para z  z0

f ( z)  M 



0



LM  0 existe  2  0 tal que 2

LM , si 0  z  z0   2 . Tomando 2

L  M   L  f ( z)    f ( z)  M   L  f ( z)  f ( z)  M 

LM LM   LM .

2 2

Para cualquier z tal que 0  z  z0    min{1 ,  2 } . En consecuencia L  M  L  M . Por lo tanto L  M , es decir, lim f ( z ) es único. z  z0

Como consecuencia inmediata del teorema anterior se tiene el siguiente resultado:

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