U2 li mites y continuidad de funciones complejas

PROGRAMA DESARROLLADO Unidad 2. Límites y continuidad de funciones complejas

Universidad Abierta y a Distancia de México

Licenciatura en matemáticas

7° cuatrimestre

Variable compleja I

Unidad 2. Límite y continuidad de funciones complejas

Clave: 060920517/ 050920517

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PROGRAMA DESARROLLADO Unidad 2. Límites y continuidad de funciones complejas

INDICE Unidad 2. Límite y continuidad de funciones complejas ................................................................... 3 Presentación de la unidad ...................................................................................................................... 3 Propósitos de la unidad .......................................................................................................................... 3 Competencia específica ......................................................................................................................... 3 Actividad 1. Límite y continuidad de funciones complejas ................................................................ 3 2.1. Regiones en el plano complejo...................................................................................................... 4 2.1.1. Conjuntos abiertos, cerrados y conexos ............................................................................... 6 2.1.2 Curvas ....................................................................................................................................... 13 Actividad 2. Regiones en el plano complejo...................................................................................... 17 2.2. Funciones complejas..................................................................................................................... 17 2.2.1. Forma rectangular .................................................................................................................. 19 2.2.2. Gráfica de una función compleja.......................................................................................... 23 Actividad 3. Funciones complejas....................................................................................................... 26 2.3. Límites y continuidad..................................................................................................................... 27 2.3.1 Definición de límite de funciones complejas ....................................................................... 27 2.3.2. Propiedades de los límites .................................................................................................... 31 2.3.3. Definición de continuidad de funciones complejas ........................................................... 40 2.3.4. Propiedades de las funciones continuas ............................................................................ 41 Actividad 4. Límite y continuidad........................................................................................................ 42 Autoevaluación....................................................................................................................................... 43 Evidencia de aprendizaje. Límite y continuidad de funciones complejas ..................................... 44 Autorreflexiones ..................................................................................................................................... 45 Cierre de la unidad ................................................................................................................................ 45 Para saber más ...................................................................................................................................... 45 Referencias bibliográficas .................................................................................................................... 45

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PROGRAMA DESARROLLADO Unidad 2. Límites y continuidad de funciones complejas Unidad 2. Límite y continuidad de funciones complejas

Presentación de la unidad Aquí se presentan algunos conceptos topológicos sobre conjunto en el plano. Se define el concepto de función compleja, su representación y su gráfica, además se presentan las operaciones de suma, resta, multiplicación y división de las mismas, así como también la composición. Posteriormente, son abordados los conceptos de límite y continuidad de funciones complejas en un determinado punto y se finaliza presentando sus propiedades.

Propósitos de la unidad A lo largo unidad se presentan los conceptos topológicos de conjuntos abiertos, cerrados, conexo. Después estudiaras las funciones complejas, su representación y su gráfica. También aprenderás el concepto de límite y sus propiedades. Finalmente, estudiaras el concepto de límite y así como también sus propiedades.

Competencia específica Utilizar las características de una función compleja para determinar el límite y continuidad, mediante diferentes representaciones de una función.

Actividad 1. Límite y continuidad de funciones complejas A través de esta actividad podrás relacionar entre límite y continuidad de funciones complejas Instrucciones: 1. Tomando en cuenta, los conceptos de límite y continuidad de funciones reales contesta la siguiente pregunta. ¿Cuál es la relación entre los límites y la continuidad de funciones reales y cómo lo extenderías a los números complejos?

2. Ingresa al foro, comenta tu respuesta.

3. Revisa la respuestas de tres de tus compañeros (as) aceptando o rechazando sus respuestas.

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PROGRAMA DESARROLLADO Unidad 2. Límites y continuidad de funciones complejas 4. Consulta la rúbrica general de la participación en foros, que se encuentra en la sección Material de apoyo.

2.1. Regiones en el plano complejo En este tema se presentan algunos conceptos que son útiles en el estudio de la variable compleja. Los conceptos de conjuntos abiertos, cerrados, conexos y disconexo, así como también las propiedades de los puntos internos, exteriores, acumulación y frontera, son parte del estudio de la rama de las matemáticas llama Topología, lo cual se escapa del objetivo de este curso, pero es muy importante entender qué significado tiene cada uno ya que muchas de las propiedades de funciones complejas se enuncian utilizando dichos conceptos.

Una región  es un subconjunto del plano complejo , para graficar una región es conveniente expresar al elemento z  como z  x  iy y después establecer las relaciones entre x y y .

Ejemplo: Graficar en el conjunto   z  ûRe( z )  Im( z )  1 Solución: Sea z  x  iy , la condición Re( z )  Im( z )  1 se traduce a x  y  1 . Lo anterior se tiene que analizar en los siguientes casos: 

x  0, y  0 entonces x  x y y  y , por consiguiente x  y  1 , cuya representación gráfica es la siguiente:



x  0, y  0 entonces x  x y y   y , por consiguiente x  y  1 , cuya representación gráfica es la siguiente:

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

x  0, y  0 entonces x   x y y  y , por consiguiente  x  y  1 , cuya representación gráfica es la siguiente:



x  0, y  0 entonces x   x y y   y , por consiguiente  x  y  1 , cuya representación gráfica es la siguiente:

Por lo tanto la región  tiene la siguiente representación gráfica:

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



Ejemplo: Graficar el conjunto   z  ûRe  z 2  1  0 .

Solución: Sea z  x  iy , entonces z 2  ( x 2  y 2 )  2 xyi , por consiguiente

Re  z 2  1  x 2  y 2  1  0 . Por lo tanto x 2  y 2  1 , cuya gráfica está en la siguiente figura:

2.1.1. Conjuntos abiertos, cerrados y conexos En cálculo, el concepto de intervalo es fundamental para el estudio del límite y continuidad de funciones reales, las definición de intervalo (abierto ó cerrado) depende del orden que tienen los números reales, intentar una definición análoga en los números complejos no tiene sentido ya que este conjunto no es ordenado. Para definir, en los números complejos, un concepto a análogo al intervalo primer hay que definir de manera equivalente dicho concepto de tal forma que no involucre el orden, lo cual se realiza del siguiente modo: Recordando que dados a, b con a  b , el intervalo abierto de a a b es el conjunto

(a, b)  x  ûa  x  b Gráficamente (a, b) es el segmento de recta que va de a a b , como lo muestra la siguiente figura:

Para rescribir la definición anterior, primero hay que observar que dados a, b

con a  b

ab , 2 así la distancia r que hay de x0 a a tiene el mismo valor que la distancia de x0 a b , la que

existe x0 

tal que x0 es el punto medio del segmento de recta, algebraicamente x0 

se tiene el valor r 

ba , como lo muestra la figura: 2

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La figura muestra que cada elemento x del intervalo (a, b) está más cerca a x0 que a ó b , esto permite redefinir al conjunto (a, b) del siguiente modo: (a, b)  x 

û x  x0  r .

El concepto análogo a un intervalo en los números complejos es el siguiente: Dado z0 

y

r  0 la vecindad de radio r de z0 es el conjunto Vr ( z0 )  V ( z0 , r )  z  û z  z0  r .

En la Unidad 1 se presentó que una circunferencia tiene una ecuación de la forma z  z0  r , por consiguiente el conjunto Vr ( z0 ) es la región limitada por la circunferencia z  z0  r como lo muestra la siguiente figura:

Como generalización de una vecindad se tiene el siguiente concepto: Sea   , se dice que si y solo si dado z  existe r  0 tal que Vr ( z )   ,  es un conjunto abierto de gráficamente se tiene lo siguiente:

Ejemplo: Dados z 

y r  0 entonces Vr ( z ) es abierto.

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PROGRAMA DESARROLLADO Unidad 2. Límites y continuidad de funciones complejas Solución: Sea x Vr ( z ) , por la definición de conjunto abierto hay que encontrar un número positivo r ' tal que Vr ' ( x)  Vr ( z) . Definiendo r '  r  z  x , se tiene que r '  0 , por otra parte para w Vr ' ( x) se tiene que w  z  (w  x)  ( x  z)

sumando y restando x

 w x  x z

por la desigualdad del triángulo

 r ' x  z

ya que w Vr ( x )

r zx  xz

definición de r '

 r.

En consecuencia w  z  r , es decir w Vr ( z ) , así Vr ' ( x)  Vr ( z) . Gráficamente se tiene lo siguiente:

Por lo tanto Vr ( z ) es abierto en

.

Ejemplo: Mostrar por argumentos geométricos que el conjunto   z  ûRe( z  1)  2 es abierto.

Solución: Primero hay que representar gráficamente al conjunto  . Sea z  x  iy , por consiguiente z  1  ( x  1)  iy , así Re( z  1)  x  1 . Luego

x 1  2  2  x 1  2  2 1 x  2 1 1  x  3 Como y no tiene restricciones, se tiene que el conjunto  se representa del siguiente modo:

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Dado un elemento z  , con z  x  iy , el elemento y no tiene restricciones, sin embargo x tiene que cumplir con la condición 1  x  3 . A partir de lo anterior, tomando r  min{3  x, x  1} , garantiza que Vr ( z )   como lo muestra la siguiente figura:

Los conjuntos abiertos tienen las siguientes propiedades: , son abiertos. (i). (ii).

k es abierto.

Dada una familia arbitraria de conjuntos abiertos {k }kI , entonces kI

(iii).

Dada una familia finita de conjuntos abiertos {k }nk 1 , entonces

Por otro lado, dado conjunto   c es un conjunto abierto en .

n

 k es abierto.

k 1

, se dice que  es un conjunto cerrado de

si y solo si

Ejemplo: Mostrar que el conjunto   {z  û z  z0  r} es cerrado.

Solución: Dado que   Vr ( z0 )  y Vr ( z0 ) es abierto, entonces  es cerrado. Gráficamente c

se tiene lo siguiente:

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Los conjuntos cerrados tienen las siguientes propiedades: (iv). , son cerrados. (v).

k es cerrado.

Dada una familia arbitraria de conjuntos cerrados {k }kI , entonces kI

(vi).

Dada una familia finita de conjuntos cerrados {k }nk 1 , entonces

n

 k es cerrado.

k 1

El siguiente concepto es el siguiente: dado   se dice que  es disconexo si y sólo si existen conjuntos abiertos A, B  tales que   A  B y A  B   . A partir de lo anterior se tiene que dado   se dice que  es conexo si y sólo si  no es disconexo.

Gráficamente un conjunto es conexo si se presenta en una sola pieza, como se ve en la siguiente figura:

Ahora toca el turno de comparar elementos de   se tienen las siguientes definiciones:

con subconjuntos de

. Dado z 

y

1. Se dice que z0 es un punto interior de  si y solo si r  0 tal que Vr ( z0 )   . El interior de  es el conjunto de todos los puntos interiores de  .

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PROGRAMA DESARROLLADO Unidad 2. Límites y continuidad de funciones complejas 2. Se dice que z0 es un punto exterior de  si y sólo si r  0 tal que Vr ( z0 )  c . Hay que observar que z0  . El exterior de  es el conjunto de todos los puntos exteriores de  .

3. Se dice que z0 es un punto aislado de  si y sólo si r  0 tal que Vr ( z0 )  c  {z0 } .

Hay que observar que z0  .

4. Se dice que z0 es un punto de acumulación o punto límite de  si y sólo si r  0 se tiene que Vr ( z0 ) \ {z0 }     . Hay que observar que z0  ó z0  .

5. Se dice que z0 es un punto frontera de  si y solo si r  0 se tiene que Vr ( z0 )     y Vr ( z0 )  c   . Hay que observar que z0  ó z0  . La frontera de  es el conjunto de todos los puntos fronteras de  .

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PROGRAMA DESARROLLADO Unidad 2. Límites y continuidad de funciones complejas Ejemplo: El conjunto   z  ûRe( z )  1 y Im( z)  1 , tiene la siguiente representación gráfica:

Ya que si z  x  iy entonces Re( z )  1 e Im( z )  1 implica que x  1 y y  1 . Gráficamente

 no es abierto ni cerrado, es disconexo, además el interior de  es el conjunto dado en la siguiente figura:

El exterior de  es el conjunto dado en la siguiente figura:

La frontera de  es el conjunto dado en la siguiente figura:

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2.1.2 Curvas Una curva  es una función continua de un intervalo cerrado [a, b] a identifica con el plano cartesiano

2

entonces una curva  : [a, b] 

. Dado que 

2

se

se tiene que 

toma la forma  (t )   x(t ), y(t )   x(t )  iy(t ) con t  [a, b] , aquí t recibe el nombre de parámetro. Como  es una función continua entonces las funciones componentes

x, y : [a, b] 

son funciones continuas. Por propiedades topológicas se tiene que [a, b] es

un conjunto conexo y  es una función continua, en consecuencia la gráfica de  es conexa, además el intervalo [a, b] tiene un sentido natural de recorrerse, es decir, se puede considerar como como el segmento de recta dirigido que va del punto a al punto b , así la curva  toma una orientación, se recorre de  (a ) a  (b) como lo muestra la siguiente figura:

Se dice que curva  : [a, b] 

es una cerrada si y sólo si  (a)   (b) . Gráficamente se tiene

lo siguiente:

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Se dice que curva cerrada  : [a, b] 

es simple o de Jordan si y sólo si  es una función

inyectiva en (a, b) , es decir, si  (t1 )   (t2 ) entonces t1  t2 . Gráficamente la curva no se cruza, como lo muestra la siguiente figura:

Una curva  : [a, b] 

es suave a trozos o pedazos si y sólo sí y '(t ) existe para casi todo

t  (a, b) , es decir,  '(t ) existe salvo un número finito de valores de t . Gráficamente se tiene que la curva tiene un número finito de picos, como lo muestra la siguiente figura:

Finalmente dado   se dice que  es simplemente conexo si y sólo si la frontera de  es una curva simple. Gráficamente, un conjunto es simplemente conexo si no tiene “huecos”, además un conjunto conexo que no es simplemente conexo toma el nombre de multiconexo.

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Los siguientes ejemplos presentan la parametrización de curvas conocidas: 1. La curva (t )  t ( z2  z1 )  z1 , donde t  [0,1] , es el segmento de recta que va del punto z1 a z2 .

2. La curva c(t )  Reit  z0 , donde t  [0,2 ] , es la circunferencia de radio R centrada en z0 .

3. Dada una función f : [a, b] 

, con f continua en [a, b] , la curva  (t )  t  if (t ) es la

gráfica de f .

4. Dada una función f : [a, b] 

, con f continua en [a, b] , la curva  (t )  f (t )  it es la

gráfica de f vista verticalmente.

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Ejemplo: Graficar la curva  (t )  t  it 2 para t  [1,2] .

Solución: Se tiene que la curva  (t )  t  it 2 tiene la forma  (t )  t  if (t ) donde f (t )  t 2 , en consecuencia la curva es el segmento de parábola que va de 1 a 2 , por consiguiente la gráfica de  es la siguiente:

Ejemplo: Graficar la curva  (t )  3eit  4  3i , donde t  [0,2 ] .

Solución: Se tiene que la curva  (t )  3eit  4  3i , tiene la forma Reit  z0 , por consiguiente  es una circunferencia de radio 3 y centro en 4  3i , gráficamente se tiene lo siguiente:

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Actividad 2. Regiones en el plano complejo Mediante esta actividad podrás graficar y demostrar por medio de argumentos geométricos si un conjunto es abierto, cerrado o es parte de un punto de acumulación.

Instrucciones: 1. Descarga el archivo “Actividad 2.Regiones en el plano complejo”.

2. Resuelve los ejercicios que en el documento se proponen 3. Guarda y envía tu documento y el archivo de la función creada con la nomenclatura MCO1_U2_A2_XXYZ. Sustituye las XX por las dos letras de tu primer nombre, la Y por la inicial de tu apellido paterno y la Z por la inicial de tu apellido materno. El peso del archivo no debe exceder los 4 Mb. 4. Espera la retroalimentación de tu facilitador (a).

2.2. Funciones complejas En general, una función es una terna ( A, B, f ) que consta de dos conjuntos A, B   , donde

A es llamado dominio y B contradominio y una regla de correspondencia f de tal manera a un elemento x  A se corresponde con uno y solo un y  B . En símbolos una función se denota por f : A  B donde x

y , para enfatizar que el elemento y es la

asignación bajo la regla f del elemento x , en muchas ocasiones, se suele denotar por

y  f ( x) . Una representación gráfica de una función se da del siguiente modo:

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En este te tema se estudian funciones donde el dominio es un subconjunto  del plano complejo y el contradominio es . Los elementos del dominio toman el nombre de variable independiente y a los elementos del contradominio se le llama variable dependiente. Es común presentar una función f :    solo por su regla de correspondencia f , en esto caso, el domino está dado por todos los valores que permite trabajar con la regla de correspondencia f .

Ejemplo: Dada la función f ( z )  c , donde c  , hallar su dominio de definición.

Solución: Dado que no hay ningún impedimento para que se realice la asignación el dominio de definición es todo el conjunto .

Ejemplo: Dada la función f ( z )  z n , con n 

\ {0} , hallar su dominio de definición.

Solución: Dado que no hay ningún impedimento para que se calcule la potencia entera positiva de a un número complejo se tiene que el dominio de definición de f es todo el conjunto

.

1 , hallar su dominio de definición. z 1 1 Solución: Se tiene que el consiente 2 no está definido cuando el denominador es cero, z 1

Ejemplo: Dada la función f ( z ) 

2

por consiguiente f ( z ) está definida cuando z 2  1  0 . Pero la ecuación z 2  1  0 tiene como solución z  i , por lo tanto el dominio de la función f es el conjunto

\ {i} .

En muchas ocasiones las funciones no siempre se presentan una sola regla de correspondencia, para presentar tales funciones, fichas funciones se presentan de la siguiente forma:  f1 ( z ), si z  1  f ( z ), si z    2 f ( z)   2   f n ( z ), si z  n Donde  j  k   para j  k .

Ejemplo: Dada la función

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PROGRAMA DESARROLLADO Unidad 2. Límites y continuidad de funciones complejas  z 2  4, si Re( z )  0 f ( z)   2 z  4, si Re( z )  0 Calcular f ( 4  3i ) y f (4  5i) .

Solución: Como Re(4  3i )  4  0 la regla que le corresponde es z 2  4 , entonces f ( 4  3i )   4  3i   4   7  24i   4  3  24i .

2

Como Re(4  5i )  4  0 , la regla de correspondencia es 2 z  4 , entonces f (4  5i)  2(4  5i)  4  (8  5i)  4  4  5i .

Por lo tanto f (4  3i )  3  24i y f (4  5i)  4  5i .

Existen otro tipo de relaciones donde la regla de correspondencia no cumple con la condición anterior, es decir, la regla de correspondencia asigna más de un elemento de contradominio, éstas funciones toman el nombre de funciones multivaluadas.

Ejemplo: Dado n 

\ {0} , la función f ( z )  n z es una función multivaluada ya que para

cada número complejo existen n valores para n z .

Ejemplo: La función f ( z)  arg( z) es una función multivaluada ya que dado un número complejo existen un número infinito de valores para arg( z ) .

2.2.1. Forma rectangular Primero, dada una función f :  



, para cualquier z  se tiene que z  x  iy en

consecuencia el número complejo z se considera como una función de la pareja ( x, y ) . En segundo lugar como f ( z ) 

z , así u, v :  



entonces tiene la forma f ( z )  u  iv , donde u, v dependen de

equivalente a una función f :   Re( f )  u :  

2





. Finalmente como 2



2

2

, se tiene que toda función f :  



es

, la parte real de f es la función

y la parte imaginaria de f es la función Im( f )  v :  

2



. Por

lo tanto una función compleja tiene la forma f ( z)  u( x, y )  iv( x, y ) donde z  x  iy .

Inversamente cuando se tiene una función de la forma f ( x, y )  u( x, y )  iv( x, y ) , haciendo

z  x  iy se tiene que z  x  iy , lo que permite obtener las siguientes relaciones: x

1 1 z  z  y y  z  z  2 2i

Así la función f ( x, y )  u( x, y )  iv( x, y ) es una función de la variable compleja z .

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PROGRAMA DESARROLLADO Unidad 2. Límites y continuidad de funciones complejas Dada la estructura algebraica de los números complejos, esta induce operaciones entre funciones complejas, del siguiente modo. Dados f : 1   y g : 2   dos funciones complejas y   1  2 , se define los siguientes conceptos: 

La suma f  g :  



definida por ( f  g )( z)  f ( z)  g ( z) .



La resta f  g :  



definida por ( f  g )( z)  f ( z)  g ( z) .



El producto f · g :  



definida por ( f · g )( z )  f ( z ) g ( z ) .



La división f  g :  



definida por ( f  g )( z)  f ( z)  g ( z) y g ( z )  0 .

Existe otra operación entre funciones que no depende de la estructura algebraica de los números complejos que es la siguiente: Dados dos funciones f : A  B y g : C  D tales que

B  C , la composición de f seguida de g , que se denota por g f y se define por ( g f )( z )  g  f  z   . La figura siguiente muestra cómo se comporta la composición de

funciones:

Ejemplo: Dada la función f ( z )  z 2  2 z  3 , hallar la parte real e imaginaria de f .

Solución: Sea z  x  iy , entonces se tiene lo siguiente: f ( z)  z2  2 z  3  ( x  iy )2  2( x  iy )  3  ( x 2  y 2 )  2 xyi   ( 2 x  2 yi )  3   x 2  y 2  2 x  3   2 xy  2 y  i

Por lo tanto Re( f )  u( x, y )  x 2  y 2  2 x  3 y Im( f )  v( x, y)  2 xy  2 y .

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PROGRAMA DESARROLLADO Unidad 2. Límites y continuidad de funciones complejas 1 , hallar la parte real e imaginaria de f . z Solución: Sea z  x  iy , entonces se tiene lo siguiente:

Ejemplo: Dada la función f ( z ) 

1 1 1 x  iy    z x  iy x  iy x  iy x  iy x y  2  2 i 2 2 2 x y x y x  y2

f ( x) 

Por lo tanto Re( f )  u( x, y ) 

x y y Im( f )  v( x, y )   2 .

2 x y x  y2 2

Ejemplo: Dada la función f ( x, y )  ( x 2  y 2  y )  i(2 xy  x) expresarla con función de una variable compleja.

Solución: Se tiene que u( x, y )  x 2  y 2  y v( x, y )  2 xy  x , sustituyendo x  y

1 z  z  e 2

1  z  z  en u( x, y ) se tiene lo siguiente: 2i 2

2

1  1  1  u( x, y )  x  y  y    z  z      z  z      z  z   2   2i   2i  1 1 2 i  z 2  2 zz  z 2  z  2 zz  z 2   z  z  4 4 2 1 2 1 2 i i  z  z  z z 2 2 2 2 2

2









Análogamente, sustituyendo en v( x, y ) se tiene:

1  1  1  v ( x, y )  2 xy  x  2   z  z    z  z      z  z   2  2i  2  1 1   z2  z 2    z  z  2i 2 i 2 i 2 1 1  z  z  z z 2 2 2 2 Sustituyendo lo anterior en f ( x, y ) se llega a lo siguiente:

f ( x, y )  u( x, y )  i ( x, y ) 1 i i   i i 1 1  1   z2  z 2  z  z   i  z2  z 2  z  z  2 2 2   2 2 2 2  2 

1 2 1 2 i i 1 1 i i z  z  z  z  z2  z 2  z  z 2 2 2 2 2 2 2 2

 z 2  iz

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21

PROGRAMA DESARROLLADO Unidad 2. Límites y continuidad de funciones complejas Por lo tanto la función buscada es f ( z )  z 2  iz .

Ejemplo: Dada la función f ( z )  z , hallar la parte real e imaginaria de f .

Solución: Sea z  x  iy y supóngase que

z  a  ib , en consecuencia

x  iy  (a  ib)2  (a 2  b2 )  2abi Por consiguiente x  a 2  b2 y y  2ab . Cuando a  0 se tiene que b 

y , en consecuencias 2a

y2 x  a  2 , lo que lleva a las siguientes relaciones: 4a 2

4a 4  4a 2 x  y 2 4a 4  4a 2 x  x 2  y 2  x 2

Sumando x 2

(2a 2  x )2  x 2  y 2

Factorizando

2a 2  x   x 2  y 2 a2 

Como

Extrayendo raíz cuadrada

1 x  x2  y2   2

x 2  y 2  x y a 2  0 entonces el signo negativo es despreciado de la expresión

 x 2  y 2 por lo tanto a 2 

1 x  x 2  y 2  , por consiguiente:   2

x  a 2  b2 1 x  x 2  y 2   b2  2 1 b2    x  x 2  y 2   2 x

Sustituyendo a 2

Lo anterior dice que a y b tienen ambos dos signos, estos no se pueden combinar de manera arbitraria, dada la relación y  2ab , los signo de a y b se escogen de manera que el producto ab tiene el mismo signo que y . Por lo tanto se tiene que  x  x2  y2 y z   i 2 y  

 x  x2  y2   .

2  

Ejemplo: Dadas las funciones f ( z )  z 2  z y g ( z )  2 z  1 , calcular g f y f g .

Solución: Para calcular g f , se tiene lo siguiente:

( g f )( z )  g  f  z    g  z 2  z   2  z 2  z   1  2 z 2  2 z  1 .

Análogamente, para calcular f g , se tiene lo siguiente:

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PROGRAMA DESARROLLADO Unidad 2. Límites y continuidad de funciones complejas ( f g )( z )  f  g  z    f  2 z  1   2 z  1   2 z  1 2

 2 z 2  4 z  1  2 z  1  2 z 2  6 z  2.

En la Unidad 1 se presentó que cuando z  x  iy  r cos  i sen   , se sigue qué x  r cos y

y  r sen  , esto permite estudiar las funciones complejas desde la forma polar de un número complejo. Dada una función compleja f ( z)  u( x, y )  iv( x, y ) , entonces f tiene la forma f ( z)  u1 ( r, )  iv1 ( r, ) , donde u1 (r, )  u( x( r, ), y( r, )) y v1 ( r, )  v( x( r, ), y( r, ))

Ejemplo: Expresar en términos de r y  la función f ( z )  z n , donde n 

\ {0} .

Solución: Sea z  r cos  i sen   , entonces z n  r n cos  n   i sen  n  , por consiguiente

u1 (r, )  r n cos  n  y v1 (r, )  r n sen  n  .

Ejemplo: Expresar en términos de r y  la función multivaluada f ( z )  n z donde n 

\ {0}

.

Solución: Se tiene que z  r cos  i sen   entonces n

  2 k     2 k     z  n r cos    i sen    donde 0  k  n  n    n 

Por lo tanto

 2 k     2 k    n u1 ( r, )  n r cos   y v1 ( r, )  r sen    n   n .

2.2.2. Gráfica de una función compleja En general, dada una función f : A  B , se define la gráfica de f como el conjunto:

grap( f )  ( x, y )  A  B ûx  A y y  f ( x) En el caso de una función f :  



se tiene que grap( f ) 

 , pero





4

, lo

cual es un obstáculo para visualizar la gráfica función compleja. Una manera de solucionar lo anterior es por medio de dos planos complejos, en el primero se grafica algún subconjunto A de  (por lo regular son curvas o regiones conocidas) y el en otro plano se dibuja el conjunto en el que se transforma bajo f el conjunto A , el cual se denota por f ( A) y toma el nombre de imagen de A bajo f .

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PROGRAMA DESARROLLADO Unidad 2. Límites y continuidad de funciones complejas Tradicionalmente se denota f ( z )  w , donde z  x  iy y w  u  iv , el conjunto A se grafica por medio de las relaciones que existen entre x y y , estas relaciones se transformar a través de f para obtener como se relacionan u y v , de las relaciones previas se obtiene f ( A) , como lo muestra la figura siguiente:

Cuando se tiene una función multivaluada, su gráfica es una familia de gráficas, en este caso, se toma un plano que representa el dominio de la función y en el contradominio se utilizan tantos planos como valores toma la función, como lo muestra la siguiente figura:

Ejemplo: Hallar la imagen de una recta horizontal y una recta vertical bajo la función f ( z )  z 2 .

Solución: Dado z  x  iy , entonces z 2  ( x 2  y 2 )  2 xyi. Sea entonces existe c1 

talque

1

1

una recta horizontal,

es representada por la ecuación y  c1 , para cualquier z 

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1

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PROGRAMA DESARROLLADO Unidad 2. Límites y continuidad de funciones complejas entonces z  x  ic1 , por consiguiente z 2  ( x 2  c12 )  2c1 xi . En consecuencia u  x 2  c12 y 2

 v  v v2 , así se tiene que u   v  2c1 x . Cuando c1  0 entonces x   c   c12 . En un  1 2 2 c 4 c 2c1 1  1

curso de geometría analítica de bachillerato se sabe que la relación u 

v2  c12 es una 4c12

parábola cuyo vértice está en el punto ( c12 ,0) y que corta en los puntos (0, 2c12 ) . Cuando 2 c1  0 se tiene que v  0 y u  x , que es la parte positiva del eje u . Gráficamente se tiene lo

siguiente:

Análogamente, Sea

2

una recta horizontal, entonces existe c2 

representada por la ecuación x  c2 , para cualquier z 

2

talque

2

es

entonces z  c2  iy , por

consiguiente z 2  (c12  y 2 )  2c2 yi . En consecuencia u  c22  y 2 y v  2c2 y . Cuando c2  0 2

v2  v  v v2 2 2 u  c  entonces y  , así se tiene que u  c22   .

La relación es una  c  2  2 4c22 2c2 4c22  2c2  parábola cuyo vértice está en el punto (c22 ,0) y que corta en los puntos (0, 2c22 ) . Cuando c2  0 se tiene que v  0 y u   y 2 , que es la parte negativa del eje u . Gráficamente se tiene

lo siguiente:

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PROGRAMA DESARROLLADO Unidad 2. Límites y continuidad de funciones complejas

En resumen, la función f ( z )  z 2 transforma una malla de líneas horizontales y verticales en una malla de parábolas con eje de simetría en el eje u , como se muestra en la siguiente figura:

Actividad 3. Funciones complejas En esta actividad resolverás problemas que involucren la definición de una función, Instrucciones: 1. Descarga el archivo “Actividad 3.Funciones complejas”.

2. Resuelve los ejercicios que en el documento se proponen

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PROGRAMA DESARROLLADO Unidad 2. Límites y continuidad de funciones complejas 3. Guarda y envía tu documento y el archivo de la función creada con la nomenclatura MCO1_U2_A3_XXYZ. Sustituye las XX por las dos letras de tu primer nombre, la Y por la inicial de tu apellido paterno y la Z por la inicial de tu apellido materno. El peso del archivo no debe exceder los 4 Mb. 4. Espera la retroalimentación de tu facilitador (a).

2.3. Límites y continuidad Los límites y la continuidad funciones reales son dos conceptos importantes del estudio del cálculo, en esta sección se presente extender dichos conceptos a funciones de variable compleja. La idea intuitiva de aproximación o cercanía es fundamental para el entendimiento del concepto de límite, a partir de este se define la continuidad de una función.

2.3.1 Definición de límite de funciones complejas Para presentar una idea intuitiva del concepto de límite se considera el siguiente ejemplo: hay un tren que viaja en línea recta de la ciudad A a la ciudad B , este tren parte puntalmente a las 10 : 00 am y llega a su destino de manera puntal a las 11: 00 , dadas estas condiciones se puede construir una función para cada instante de tiempo t se le asigna el valor d (t ) que es la distancia que le resta por recorrer al tren, como lo muestra la figura:

Por la puntualidad del tren, a medida que el tiempo avanza más cerca está el tren de la ciudad B , así cuando el valor de t es cercano a las 11: 00 am el tren está más cerca de B , en consecuencia d (t ) es más cercano a 0 , es decir que cuando d (t ) está cercano a 0 es porque t es cercano a 11: 00 pm hay que observar que t no toma el valor de 11: 00 am para deducir lo anterior.

Pero ¿Qué significa que t es “cercano” a las 11: 00 ? Similarmente ¿Qué significa que d (t ) es “cercano” a 0 ?, la idea de cercanía depende del concepto distancia, hay que recordar que la distancia entre dos números a y b es d (a, b)  a  b , en consecuencia t es “cercano” a las

11: 00 se traduce que existe   0 tal que t  11: 00   y análogamente d (t ) es “cercano” a

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PROGRAMA DESARROLLADO Unidad 2. Límites y continuidad de funciones complejas 0 se traduce en que existe

 0 tal que d (t )  0  , por lo anterior se dice que el “límite” de

d cuando t “tiende” a 11: 00 am es “igual” a 0 .

El ejemplo anterior es relativamente sencillo el proceso de acercamiento ya que el universo donde se trabaja es una línea recta, sin embargo en el plano complejo hay un sinnúmero de formas de acercarse a un punto fijo z0 , a partir de la observación anterior, la pregunta natural es ¿Cómo hay que aproximarse a z0 para estudiar el concepto de límite de una función?, la respuesta a esta pregunta es por cualquiera, para evitar problemas con los acercamientos, el concepto de límite hace uso de las vecindades, gráficamente si se tiene control sobre la vecindad de z0 se controlan todos los acercamientos a z0 , como lo muestra la siguiente figura:

Lo anterior permite presentar la definición formal de límite de una función f en z0 en términos de vecindades.

La definición formal de límite es la siguiente: Dada una función f :  



y z0 

un

punto de acumulación de  se dice que el límite de f ( z ) cuando z tiende a z0 es L si y solo si para todo

 0 existe   0 tal que

0  z  z0   implica que

f ( z)  L 

En caso de existir, se denota por lim f ( z )  L ó equivalentemente f ( z )  L cuando z  z0 . z  z0

Hay que observar que  depende de

, además mientras

se hace más pequeño,  tiene

que ser más pequeño y que la condición 0  z  z0 implica que z  z0 . Gráficamente el concepto de límite se muestra en la siguiente figura:

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PROGRAMA DESARROLLADO Unidad 2. Límites y continuidad de funciones complejas Ejemplo: Sean f ( z )  z 2  4 z y z0  1  2i , calcular intuitivamente lim f ( z ) . z  z0

Solución: Antes de todo hay que observar que z0  1  2i pertenece al dominio de f . Primero hay que presentar un acercamiento al punto z0  1  2i , como segundo paso estos valores son evaluados en f ( z )  z 2  4 z y finalmente hay que observar el comportamiento de estas evaluaciones, lo anterior se presenta en la siguiente tabla:

z

Evaluación en f

f ( z)

0i

0  i 

1  4i

0.9  1.9i

 0.9  1.9i 

0.99  1.99i

 0.99  1.99i 

0.999  1.999i

 0.999  1.999i 

0.9999  1.9999i

 0.9999  1.9999i 

0.99999  1.99999i

 0.99999  1.99999i 

2

 4 0  i  2

 4  0.9  1.9i  2

0.8  11.02i

 4  0.99  1.99i  2

0.98 -11.9i

 4  0.999  1.999i  2

0.998 11.99i

 4  0.9999  1.9999i  2

 4  0.99999  1.99999i 

0.9998 11.999i 0.99998  11.9999i

Intuitivamente, se tiene que f ( z)  1  12i cuando z0  1  2i .

Ejemplo: Sean f ( z ) 

z2  1 y z0  i , calcular intuitivamente lim f ( z ) . z  z0 zi

Solución: Antes de todo hay que observar que z0  i no pertenece al dominio de f Como en el ejemplo anterior se tiene lo siguiente:

z

Evaluación en f

f ( z)

0.1  0.9i

 0.1  0.9i   1  0.1  0.9i   i

0.1  1.9i

0.01  0.99i

 0.01  0.99i   1  0.01  0.99i   i

0.01  1.99i

0.001  0.999i

 0.001  0.999i   1  0.001  0.999i   i

0.001  1.999i

0.0001  0.9999i

 0.0001  0.9999i   1  0.0001  0.9999i   i

0.0001  1.9999i

2

2

2

2

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29

PROGRAMA DESARROLLADO Unidad 2. Límites y continuidad de funciones complejas 0.00001  0.99999i

 0.00001  0.99999i   1  0.00001  0.99999i   i

0.00001  1.99999i

0.000001  0.999999i

 0.000001  0.999999i   1  0.000001  0.999999i   i

0.000001  1.999999i

2

2

Intuitivamente, se tiene que f ( z )  2i cuando z0  i .

Ejemplo: Demuestre que lim  2 z  1  3  2i . z 1i

Solución: Para resolver este problema hay que encontrar el valor de  que depende del valor . Sea  0 un número positivo cualquiera, se tiene que f ( z)  2 z  1 , z0  1  i y L  3  2i , en consecuencia: f ( z )  L  (2 z  1)  (3  2i )  2 z  2  2i  2  z  1  i   2 z  1  i  2 z  1  i   2 z  z0

Entonces cuando f ( z )  L  consiguiente basta tomar  

se tiene que 2 z  z0 

2

por consiguiente z  z0 

2

, por

. Gráficamente se tiene lo siguiente:

Ejemplo: Demuestre que lim c  c , donde c es una contante fijan. z  z0

Solución: Sea

 0 , se tiene que f ( z )  c y L  c , entonces f ( z )  L  c  c  0  , por

consiguiente no importa qué valor tome z por consiguiente  es cualquier valor positivo.

Ejemplo: Demuestre que lim z  z0 . z  z0

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PROGRAMA DESARROLLADO Unidad 2. Límites y continuidad de funciones complejas Solución: Sea

 0 , se tiene que f ( z )  z y L  z0 , entonces  f ( z )  L  z  z0 , por

consiguiente basta tomar   .

Ejemplo: Demuestre que lim z  z0 . z  z0

Solución: Sea

 0 , se tiene que f ( z )  z y L  z0 , entonces se tiene lo siguiente

 f ( z )  L  z  z0  z  z0  z  z0 , por consiguiente basta tomar   .

2.3.2. Propiedades de los límites En tema anterior se presentó la definición formal del límite de una función en un punto dado en términos de vecindades, dicha definición no proporciona un método para para calcular el límite de una función. En este tema se presentan las propiedades de los límites y como calcular el límite de algunas funciones en particular.

La primera propiedad es la siguiente: Teorema: Si el límite de una función existe entonces es único.

Demostración: Se procede por contradicción. Supóngase que lim f ( z )  L y lim f ( z )  M z  z0

z  z0

con L  M , entonces L  M  0 . Como lim f ( z )  L existe entonces para cualquier z  z0

existe   0 tal que f ( z )  L  , si 0  z  z0   , en particular tomando

1  0 tal que f ( z )  L 

LM  0 existe 2

LM , si 0  z  z0  1 .

2

Análogamente, como lim f ( z )  M existe para z  z0

f ( z)  M 



0



LM  0 existe  2  0 tal que 2

LM , si 0  z  z0   2 . Tomando 2

L  M   L  f ( z)    f ( z)  M   L  f ( z)  f ( z)  M 

LM LM   LM .

2 2

Para cualquier z tal que 0  z  z0    min{1 ,  2 } . En consecuencia L  M  L  M . Por lo tanto L  M , es decir, lim f ( z ) es único. z  z0

Como consecuencia inmediata del teorema anterior se tiene el siguiente resultado:

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PROGRAMA DESARROLLADO Unidad 2. Límites y continuidad de funciones complejas Corolario: Si existen dos “acercamientos” de una función cuyo límite toma valores distintos entonces el límite de la función no existe.

Ejemplo: Mostrar que lim z 0

z no existe. z

Solución: Este problema se resuelve utilizando el corolario anterior, para ello hay que presentar dos acercamientos de tal manera que sus límites sean distintos. Sea 1 la parte positiva del eje real, así cuando z  1 , se tiene que z  t  i0 , con t  0 . Luego z  0 si y sólo si t  0 , en consecuencia: lim z 0

Por otro lado, sea

2

t z t  i0 t  i0  lim  lim  lim  lim 1  1 . t0 z t 0 t  i 0 t 0 t  i 0 t 0 t

la parte positiva del eje imaginario, así cuando z  1 , se tiene que

z  0  it , con t  0 . Luego z  0 si y sólo si t  0 , en consecuencia:

lim z 0

z 0  it 0  it  it  lim  lim  lim  lim  1  1 . t0 z t 0 0  it t 0 0  it t 0 it

Como 1  1 se sigue que lim z 0

z no existe. z

Ahora se presenta la relación que existe entre el concepto de límite y los límites de sus funciones componente.

Teorema: Dada una función f :  



y z0 , z, L 

un punto de acumulación de  , con

f ( z)  u( x, y )  iv( x, y ), z  x  iy, z0  x0  iy0 y L  u0  iv0 .

Entonces se tiene lo siguiente: lim f ( z )  L si y sólo si z  z0

lim

( x , y )( x0 , y0 )

u( x, y )  u0 y

lim

( x , y )( x0 , y0 )

v( x, y )  v0 .

Demostración: Supóngase que lim f ( z )  L , se tiene que z  z0

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PROGRAMA DESARROLLADO Unidad 2. Límites y continuidad de funciones complejas u( x, y )  u0  Re( f ( z )  L)  f ( z )  L v( x, y )  v0  Im( f ( z )  L)  f ( z )  L

Por lo tanto, para cualquier

 0 existe   0 tal que f ( z )  L  , si 0  z  z0   . Además

z  z0  ( x, y )  ( x0 , y0 ) , lo anterior implica que u( x, y )  u0 

v( x, y )  v0 

y

Siempre y cuando 0  ( x, y )  ( x0 , y0 )   . Por lo tanto lim

( x , y )( x0 , y0 )

u( x, y )  u0 y

v( x, y )  v0 .

Inversamente, si

2

lim

( x , y )( x0 , y0 )

lim

( x , y )( x0 , y0 )

u( x, y )  u0 y

lim

( x , y )( x0 , y0 )

v( x, y )  v0 . Para cualquier

 0 se tiene que

 0 , por hipótesis existen 1 ,  2  0 tales que u( x, y )  u0  , 2

si 0  ( x, y )  ( x0 , y0 )  1

v( x, y )  v0  , 2

si 0  ( x, y )  ( x0 , y0 )   2

Así para que la pareja ( x, y ) satisfaga al mismo tiempo las dos condiciones anteriores tiene que satisfacer simultáneamente las condiciones:

0  ( x, y )  ( x0 , y0 )  1 y 0  ( x, y )  ( x0 , y0 )   2 La relaciones anteriores son dos vecindades centradas en ( x0 , y0 ) , entonces su intersección es el disco más pequeño, 0  ( x, y )  ( x0 , y0 )   el cual se obtiene tomando  igual al mínimo entre 1 y  2 , claramente   0 .

Tomando f ( z )  L   u( x, y )  iv( x, y )    u0  iv0    u( x, y )  u0   i  v ( x, y )  v0   u( x, y )  u0  i  v ( x, y )  v0   u( x, y )  u0  i ·  v ( x, y )  v0   u( x, y )  u0   v( x, y )  v0  

2



2



Siempre y cuando 0  z  z0   . Por lo tanto lim f ( z )  L . z  z0

Ejemplo: Calcular lim  z  3z  . z 2 3i 2

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PROGRAMA DESARROLLADO Unidad 2. Límites y continuidad de funciones complejas Solución: Se tiene que f ( z )  z 2  3z y z0  2  3i , es decir ( x0 , y0 )  (2, 3) . Además, dado

z  x  iy se obtiene que: 2 f ( z )   x  iy   3  x  iy    x 2  y 2   2 xyi    3x  3 yi 

  x 2  y 2  3x   i  2 xy  3 y  .

Por consiguiente u( x, y )  x 2  y 2  3x y v( x, y )  2 xy  3 y .

Por otro lado, se tiene: u0  v0 

lim

u( x, y ) 

lim

v ( x, y ) 

( x , y )( x0 , y0 ) ( x , y )( x0 , y0 )

lim

 x 2  y 2  3x    2    3  3  2   4  9  6  11

lim

2 xy  3 y   2  2  3  3  3  12  9  3

2

( x , y ) (2, 3) ( x , y )(2, 3)

2

Luego, se tiene que L  u0  iv0  11  3i . Por lo tanto lim  z 2  3z   11  3i . z 2 3i Se continúa con la relación del concepto de límite con las operaciones de algebraicas de funciones, la cual se muestra en el siguiente resultado.

Teorema: Supóngase que lim f ( z )  L y lim g ( z )  M , entonces se tiene lo siguiente: z  z0

z  z0

(i).

lim  f  g  ( z )  L  M .

(ii).

lim  f  g  ( z )  L  M .

(iii).

lim  f ·g  ( z )  L·M .

(iv).

f  L lim   ( z )  , cuando M  0 . z  z0 g M  

z  z0

z  z0

z  z0

Demostración: Sea

 0 , la validez de los incisos (i) y (ii) se obtiene de lo siguiente, como

lim f ( z )  L y lim g ( z )  M para z  z0

z  z0

2

 0 existen 1 ,  2  0 , tales que

f ( z)  L  , 2 g ( z)  M  , 2

si 0  z  z0  1 si 0  z  z0   2

Tomando z tal que 0  z  z0    min{1 ,  2 } garantiza que se cumplen las dos condiciones simultáneamente. Por consiguiente, tomando

( f  g )( z )  ( L  M )   f ( z )  g ( z )   ( L  M )   f ( z )  L    g ( z )  M   f ( z)  L  g ( z)  M 

2



2

 .

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34

PROGRAMA DESARROLLADO Unidad 2. Límites y continuidad de funciones complejas Por lo tanto lim  f  g  ( z )  L  M . z  z0

Para (iii) supóngase que L, M  0 , como lim f ( z )  L se tiene que para z  z0

3M

,1  0 existen

1 ,  2  0 tales que f ( z)  L 

3M

,

si 0  z  z0   2

f ( z )  L  1, Análogamente, como lim g ( z )  M para z  z0

g ( z)  M 

si 0  z  z0  1

,  0 existen  3 ,  4  0 tales que 3L 3

3M

,

g ( z)  M  , 3

si 0  z  z0   3 si 0  z  z0   4

Tomando z tal que 0  z  z0    min{1 , 2 , 3 , 4 } garantiza que se cumplen las cuatro condiciones simultáneamente. Por consiguiente, tomando

 f ·g  z   LM

 f ( z ) g ( z )  LM  f ( z ) g ( z )  f ( z ) M  g ( z ) L  LM  f ( z ) M  g ( z ) L  2 LM   f ( z )  L  g ( z )  M   M  f ( z )  L   L  g ( z )  M    f ( z )  L  g ( z )  M   M  f ( z )  L   L  g ( z )  M   f ( z)  L g ( z)  M  M f ( z)  L  L g ( z)  M    1    | M  3 

3

 |  3| M 

  |L| | 

     3| L | 

   3 3

Por lo tanto lim  f ·g  ( z )  L·M . z  z0

1 1 Para (iv) primero se mostrará que lim   ( z )  , con M  0 . Como lim g ( z )  M para z  z0 g z  z0 M   M  0 existe 1  0 tale que 2 M g ( z)  M  , si 0  z  z0  1 2

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35

PROGRAMA DESARROLLADO Unidad 2. Límites y continuidad de funciones complejas Pero g ( z )  M  g ( z )  M , lo que implica que 

M M , es decir  g ( z)  M  2 2 2

M 3M M 2 1 2 , equivalentemente . Además para  g ( z)    2 2 2 M g ( z) 3 M

 0 existe

 2  0 tal que 2

M 2

g ( z)  M 

,

si 0  z  z0   2

Tomando z tal que 0  z  z0    min{1 ,  2 } garantiza que se cumplen las dos condiciones simultáneamente. Por consiguiente, tomando g ( z)  M 1 1 1 1 M  g ( z)  g  ( z)  M  g ( z)  M  g ( z)M  g ( z) M   1 g ( z)  M 2 g ( z)  M   g ( z) M M M 

M

 | M |2  g ( z)  M  | M |2  2 2

2 2

   

1 1 Lo que muestra que lim   ( z )  . Finalmente, tomando z  z0 g M   f   1   1  1 L lim   ( z )  lim  f ( z )·  lim f ( z )   lim  L·      z  z0 g z  z0 z  z z  z   0 g( z)  g ( z)   0 M M   

f  L Por lo tanto se tiene que lim   ( z )  . z  z0 g M   z 1 . z i Solución: Aplicando el teorema anterior se tiene lo siguiente:

Ejemplo: Calcular lim

z 1 2 i

lim z    lim 1 lim  z  1  z  z  1 z  1 2 i    1 2i   z 12i  z 1 2 i z  i lim  z  i   lim z    lim i  z 1 2 i  z 1 2i   z 1 2i   1  2i   1  2i  1  i.   1  2i   i 1  i lim

z 1  1 i . z 1 2 i z  i

Por lo tanto lim

Ejemplo: Calcular lim  z 2   2  i  z  . z 3 4 i

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36

PROGRAMA DESARROLLADO Unidad 2. Límites y continuidad de funciones complejas Solución: Aplicando el teorema anterior se tiene lo siguiente: lim  z 2   2  i  z   lim  z 2   lim  2  i  z    lim z   lim z    lim (2  i )   lim z  z 3 4 i z 3 4 i  z 34 i   z 34 i   z 34 i   z 34 i 

z 3 4 i

  3  4i  3  4i    2  i  3  4i    7  24i   10  5i   17  19i.

Por lo tanto lim  z 2   2  i  z   17  19i . z 3 4i Ejemplo: Demostrar que lim z n  z0n para todo n  . z  z0

Solución: Se procede por inducción. Para n  0 se tiene que lim z n  lim z 0  lim 1  1  z00 . z  z0

z  z0

z  z0

Supóngase que para n  k se tiene que lim z  z , tomando n  k  1 se tiene lo siguiente: k

z  z0

k 0

lim z k 1  lim  z k ·z    lim z k   lim z   z0k ·z0  z0k 1  z z0   z z0  z  z0 z  z0 Lo que implica que lim z n  z0n para todo n  . z  z0

Ejemplo: Calcular lim z 2

z2 . z2  4

Solución: El teorema anterior no se puede aplicar directamente a la expresión lim z 2

z2 ya z2  4

que lim  z 2  4  (2)2  4  0 . Sin embargo se tiene lo siguiente: z 2

z2 z2 z2 1    2 z  4  z  2  z  2  ( z  2) ( z  2) z  2 El termino z  2 se cancela por el hecho de que z  2 significa que z toma valores cercanos a 2 pero nunca es igual a 2 , por consiguiente z  2  0 . En consecuencia: lim 1 z2 1 1 1 lim 2  lim  z 2   . z 2 z  4 z 2 z  2 lim  z  2 2  2 4 z 2

z2 1 Por lo tanto lim 2  . z 2 z  4 4 El siguiente resultado muestra la relación que existe entre el concepto de límite y la operación de composición de funciones.

Teorema: Sean f : 1 



, g : 2 



dos funciones tales que g f exista,

supóngase que z0 y L dos puntos de acumulación de 1 y  2 respectivamente. Si lim f ( z )  L y lim g ( w)  M entonces lim ( g f )( z )  M . z  z0

w L

Demostración: Sea

z  z0

 0 , como lim g ( w)  M para w L

 0 existe 1  0 tal que

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37

PROGRAMA DESARROLLADO Unidad 2. Límites y continuidad de funciones complejas g ( w)  M  ,

si 0  w  L  1

Como lim f ( z )  L para 1  0 existe   0 tal que z  z0

f ( w)  L  1 ,

si 0  z  z0  

Tomando todos los valores que satisfagan w  f ( z ) y 0  z  z0   . En consecuencia se tienen las relaciones siguientes: g ( f ( z ))  M  , f ( w)  L  1 ,

si 0  f ( z )  L  1 si 0  z  z0  

Lo que implica que g ( f ( z))  M  , si 0  z  z0   . Por lo tanto lim ( g f )( z )  M . z  z0

Gráficamente se tiene lo siguiente:

El teorema anterior dice que para calcular el límite de una composición de funciones se puede realizar primero la composición y después el cálculo del límite o este límite se puede calcular por medio de una cadena de límites.

Ejemplo: Sea f ( z )  z 2 , g ( z )  2 z  1 y z0  3  2i , entonces

g

f  ( z)  g  f  z   g  z 2   2z 2  1 ,

Por consiguiente lim  g f  ( z )  lim 2 z 2  1  2  3  2i   1  11  24i . Por otra parte, z 32 i z 32 i 2

calculando lim f ( z )  lim z 2   3  2i   5  12i , así L  5  12i , después calculado 2

z 3 2i

z 3 2i

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PROGRAMA DESARROLLADO Unidad 2. Límites y continuidad de funciones complejas lim g ( z )  lim 2 z  1  2 5  12i   1  11  24i , que es igual al resultado que se obtuvo

z 512i

z 512 i

primero.

Para finalizar esta sección, se presenta como interactúan los conceptos de infinito y límite de una función. Primero la notación z   se interpreta que el número real z   , en consecuencia se tiene que f ( z )  L cuando z   si y solo si para todo tal que f ( z )  L  , si z  N . La idea es que mientras

 0 , existe N 

se hace más pequeño, N tiene que

crecer. Análogamente f ( z )   cuando z  z0 si y solo si para todo N 

existe   0 tal

que f ( z )  N , si 0  z  z0   . La idea es que mientras N se hace grande,  se hace más pequeño.

Como consecuencia de las definiciones anteriores se tiene las siguientes relaciones: 1 1 lim  lim z  0 si y solo si lim z  lim   z  z  0 z  z z 0 z 1 Esto permite calcular límites al infinito, sustituyendo z por e  por 0 . z z2 Ejemplo: Calcular lim . z  2 z  4 Solución: Utilizando la relación antes mencionada se tiene lo siguiente: 1 1  2z  2 z (1  2 z ) z2 z  lim  lim  lim z  lim z  2 z  4 z 0  1  z 0 2  4 z z 0 z (2  4 z ) 2   4 z z 1  2 z  1 (1  2 z ) lim  lim  z 0  . z 0 (2  4 z ) lim  2  4 z  2 z 0

Por lo tanto lim z 

z2 1  .

2z  4 2

z2  4 . z  2 z  5 Solución: Utilizando la relación antes mencionada se tiene lo siguiente:

Ejemplo: Calcular lim

2

1   4 z2  4 z lim  lim    lim z  2 z  5 z 0  1  z 0 2   5 z

1 1  4z2  4 z 1  4 z 2  2 z2 z  lim  lim 2 z 0 1  5 z z 0 z 1  5 z  2 5 z z

 1 1  4z2   1   1  4z2   lim   lim   ·1  .   lim z 0 z 1  5 z     z 0 z   z 0 1  5 z 

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39

PROGRAMA DESARROLLADO Unidad 2. Límites y continuidad de funciones complejas z2  4  . z  2 z  5

Por lo tanto lim

2.3.3. Definición de continuidad de funciones complejas La propiedad de continuidad es un concepto topológico. En variable compleja, la definición de función continua en un punto, es idéntica a la presentada en cursos de Cálculo, es decir, dada una función f :    y z0  se dice que f es continua en z0 sí y sólo si lim f ( z ) existe y es igual a f ( z0 ) . En esencia son funciones que permiten calcular los límites z  z0

a través de la evaluación de la misma. En caso de no cumplirse lo anterior se dice que f es discontinua en z0 . Hay que observar que el concepto de continuidad es local, esto quiere decir que depende del punto z0 . En términos de vecindades la continuidad se define del siguiente modo: para todo

 0 existe   0 tal que f ( z )  f ( z0 )  , si z  z0   .

Finalmente, se dice que f es continua en  si y sólo f es continua en z para todo z  .

Cabe mencionar que las razones por las cuales una función f es discontinua en un punto z0 es por alguna de las tres razones siguientes: 

Que f no está definida en z0 . Por ejemplo la función f ( z ) 

1 es discontinua en z2

z0  2 ya que f ( z0 )  f (2) no existe.



z  Que lim f ( z ) no esté definido. Por ejemplo la función f ( z )   z z  z0  4

z no existe. z 0 z 0 z  z2  Qué lim f ( z )  f ( z0 ) . Por ejemplo, la función f ( z )   z 2  4 z  z0   0

si z  0

es

si z  0

discontinua en z0  0 ya que lim f ( z )  lim 

si z  2

es discontinua

si z  2

z2 1  pero f (2)  0 . z 2 z 2 z 2  4 2 Ejemplo: Muestre que la función f ( z )  z  4 es continua en .

en z0  2 ya que lim f ( z )  lim

Solución: Sea z0  , entonces f ( z0 )  z0  4 , además

lim f ( z )  lim  z  4   lim z    lim 4  z0  4  f ( z0 )  zz0   z z0  z  z0 z  z0 Por lo tanto f es continua en .

Ejemplo: Muestre que la función

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40

PROGRAMA DESARROLLADO Unidad 2. Límites y continuidad de funciones complejas  z3  1 , si z  1  f ( z)   z  1  si z  1  3,

Es continua en z0  1 .

Solución: Se tiene que f (1)  3 , por otro lado tomando

lim f ( z )  lim z 1

z 1

 z  1  z 2  z  1 z3  1  lim  lim  z 2  z  1  3  f (3) . z 1 z  1 z 1  z  1

Por lo tanto f es continua en z0  1 .

2.3.4. Propiedades de las funciones continuas La continuidad es un concepto topológico el cual conserva la conexidad de un conjunto, es decir, transformar un conjunto conexo bajo una función continua produce otro conjunto conexo. Dado que la continuidad se ha definido en términos de límites, las propiedades de los límites permiten obtener propiedades sobre las funciones continuas.

Se comienza presentando la relación existente entre una función continua y sus componentes por medio del siguiente resultado.

Teorema: Dado f :  



con f ( z)  u( x, y )  iv( x, y ) , supóngase que z0  con

z0  x0  iy0 y f ( z0 )  u( x0 , y0 )  iv( x0 , y 0 ) . Entonces f es continua en z0 si y solo si u y v son

continuas en ( x0 , y0 ) .

Demostración: Supóngase que f es continua en z0 , entonces lim f ( z )  f ( z0 )  u( x0 , y0 )  iv( x0 , y0 ) . z  z0

En consecuencia

lim

( x , y )( x0 , y0 )

u( x, y )  u( x0 , y0 ) y

lim

( x , y )( x0 , y0 )

v( x, y )  v( x0 , y0 ) . Por lo tanto u y v

son continuas en ( x0 , y0 ) .

Por otra parte si u y v son continuas en ( x0 , y0 ) entonces lim

( x , y )( x0 , y0 )

u( x, y )  u( x0 , y0 ) y

lim

( x , y )( x0 , y0 )

v( x, y )  v( x0 , y0 ) .

Es decir lim f ( z )  u( x0 , y0 )  iv( x0 , y0 )  f ( z0 ) . Por lo tanto f es continua en z0 . z  z0

Toca el turno de presentar como interactúan las funciones continúas con respecto a las operaciones algebraicas de las funciones, lo que se presenta en el siguiente resultado.

Teorema: Supóngase que f y g son continuas en z0 , entonces: (i).

La suma f  g es continua en z0 .

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PROGRAMA DESARROLLADO Unidad 2. Límites y continuidad de funciones complejas (ii).

La diferencia f  g es continua en z0 .

(iii).

El producto f ·g es continua en z0 .

(iv).

El cociente f  g es continua en z0 , sí g ( z0 )  0 .

Demostración: Esto se sigue inmediatamente de las propiedades algebraicas de los límites.

Por hipótesis se tiene lim f ( z )  f ( z0 ) y lim g ( z )  z0 . Entonces se tiene lo siguiente: z  z0

z  z0

lim  f  g  ( z )  lim f ( z )  lim g ( z )  f ( z0 )  g ( z0 )   f  g  ( z0 ) z  z0

z  z0

z  z0

lim  f  g  ( z )  lim f ( z )  lim g ( z )  f ( z0 )  g ( z0 )   f  g  ( z0 ) z  z0

z  z0

z  z0

lim  f ·g  ( z )   lim f ( z )   lim g ( z )   f ( z0 ) g ( z0 )   f ·g  ( z0 )  z  z0   z  z0  z  z0 lim f ( z ) f ( z ) z z 0 lim  f  g  ( z )  0    f  g  ( z0 ), cuando g ( z0 )  0 z  z0 lim g ( z ) g ( z0 ) z  z0

Lo que demuestra el teorema.

El siguiente resultado muestra la relación que existe entre el concepto de continuidad y la composición de funciones.

Teorema: Dadas dos funciones complejas f y g tales que g f existe, si f es continua en z0 y g es continua en f ( z0 ) , entonces g f es continua en z0 .

Demostración: Por hipótesis se tiene que lim f ( z )  f ( z0 ) y lim g ( w)  g ( f ( z0 )) , por z  z0

w f ( z0 )

consiguiente lim  g f  ( z )  g  f ( z0 )    g f  ( z0 ) , es decir g f es continua en z0 . z  z0

Actividad 4. Límite y continuidad En esta actividad resolverás ejercicios de límites y su demostración, además de determinar su continuidad.

Instrucciones: 1. Descarga el archivo “Actividad 4.Límite y continuidad”.

2. Resuelve los ejercicios que en el documento se proponen 3. Guarda y envía tu documento y el archivo de la función creada con la nomenclatura MCO1_U2_A4_XXYZ. Sustituye las XX por las dos letras de tu primer nombre, la Y

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42

PROGRAMA DESARROLLADO Unidad 2. Límites y continuidad de funciones complejas por la inicial de tu apellido paterno y la Z por la inicial de tu apellido materno. El peso del archivo no debe exceder los 4 Mb. 4. Espera la retroalimentación de tu facilitador (a).

Autoevaluación Es momento de realizar la autoevaluación, donde podrás medir el grado de conocimiento obtenido en la unidad.

Instrucciones: Selecciona la opción correcta que corresponda a la pregunta planteada.

Resolver los siguientes ejercicios.

1. Dada la función f ( z )  2 z 2  (1  i ) z hallar sus componentes. a.

f ( z )    x  2 x 2  y  2 y 2   i   x  y  4 xy  .

b.

f ( z )    x  y  4 xy   i   x  2 x 2  y  2 y 2  .

c.

f ( z )    x  2 x 2  y  2 y 2   i  x  y  4 xy  .

d.

f ( z )   x  y  4 xy   i  x  2 x 2  y  2 y 2  .

2. Expresar en términos de la variable compleja z la función

f ( x, y )    x  2 x 2  2 xy  2 y 2   i   x 2  y  4 xy  y 2  .

a.

f ( z )  (2  i ) z 2  z .

b.

f ( z )  z 2  (2  i ) z .

c.

f ( z )  iz 2  (4  2i ) z .

d.

f ( z )  z 2  iz .

3. Hallar la trasformación de la recta x  y 

1 1 bajo la función f ( z )  .

2 z

a. El círculo  u  1   v  1  2 .

2

2

b. La recta 2v  3v  6 . c. El círculo  u  1   v  2   1 .

2

2

d. La recta u  2v  4 .

4. Calcular lim z 2

z3  8 . z2  4

a. 3 .

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PROGRAMA DESARROLLADO Unidad 2. Límites y continuidad de funciones complejas b.  . c. 0 .

1 d. .

3 5. Sean f ( z )   4  2i  z   2  3i  , z0  1  i y L  4  i . Dado

 1 hallar el valor   0

tal que f ( z )  L  , si 0  z  z0   . a.  

1 2 5

.

1 .

2 1 c.   .

5 d.   1 .

b.  

RETROALIMENTACION 1-3 aciertos. Los conocimientos obtenidos no fueron suficientes, debes revisar nuevamente el contenido de la unidad.

4-5 aciertos. Tienes un conocimiento claro de los conocimientos de la Unidad, sigue adelante.

Evidencia de aprendizaje. Límite y continuidad de funciones complejas En esta actividad podrás ejercitar los conocimientos adquiridos durante la unidad sobre variable compleja, tomando en cuenta la transformación a variable compleja, su continuidad.

Instrucciones: Resuelve los siguientes ejercicios, tomando en cuenta la solicitud que se hace en cada una de ellas.

1. Resuelve los ejercicios que se presentan a continuación a) Expresar la función f ( x, y )   3x  2 xy   i  x 2  3 y  y 2  en términos de la variable compleja z . b) Transformar la recta y  x  1 bajo la función f ( z)  (1  i ) z . c) Sean f ( z)  5z  4i , z0  2  3i y L  10  11i . Dado

 0.03 hallar el valor   0 tal

que f ( z )  L  , si 0  z  z0   . z6  1 , no está definida en z0  2 , ¿Qué valor se le tiene que dar a z4  1 f (2) para f sea continua en z0  2 ?

d) La función f ( z ) 

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PROGRAMA DESARROLLADO Unidad 2. Límites y continuidad de funciones complejas a. No se puede definir f (2) . e) Expresar la función f ( z )  z 3  z  3 en términos de variable compleja.

2. Guarda tu documento con la siguiente nomenclatura MCO1_U2_EA_XXYZ. 3. Sustituye las XX por las dos primeras letras de tu primer nombre, la Y por la inicial de tu apellido paterno y la Z por la inicial de tu apellido materno.

4. Envía tu reporte al Portafolio de Evidencias y espera la retroalimentación de tu Facilitador(a), atiende sus comentarios y reenvía la nueva versión de tu evidencia.

5. Consulta la Escala de Evaluación para conocer los criterios con que será evaluado tu trabajo.

Autorreflexiones Al finalizar, consulta el Foro: Preguntas de autorreflexión para realizar el ejercicio correspondiente y enviarlo a través de la herramienta Autorreflexiones. Recuerda que también se toman en cuenta para la calificación final.

Cierre de la unidad A lo largo unidad aprendiste los conceptos topológicos de conjuntos abiertos, cerrados, conexo, las funciones complejas y los conceptos de límite y continuidad.

Para saber más Para profundizar sobre conceptos topológicos y sus propiedades, se puede consultar la siguiente página web: http://at.yorku.ca/i/a/a/b/23.htm Para ver las gráficas de algunas funciones complejas, visita la siguiente página web: http://my.fit.edu/~gabdo/function.html

Referencias bibliográficas Bak, J. y Newman, D. (2010). Complex analysis. USA: Springer-Verlag.

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PROGRAMA DESARROLLADO Unidad 2. Límites y continuidad de funciones complejas Churchill, R. y Brown, J. (2010). Variable compleja y aplicaciones. México: McGraw-Hill.

Lang, S. (1998). Complex analysis. USA: Springer-Verlag.

Marsden, J. y Hoffman, M. (1996). Análisis básico de variable compleja. México: Trillas.

McMahon, D. (2008). Complex variables demystified. USA: McGraw-Hill.

Needham, T. (1999). Visual complex analysis. USA: Oxford University Press.

Spiegel, M. (2011). Variable compleja. México: McGraw-Hill.

Zill, D. y Shanahan, P. (2008). A first course in complex analysis with applications. USA: Jones & Bartlett Publishers.

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