U2 continuidad y equivalencias topológicas

Topología General Unidad 2. Continuidad y equivalencias topológicas

Licenciatura en matemáticas 9° cuatrimestre Programa de la asignatura: Topología General

Unidad 2. Continuidad y equivalencias topológicas

Clave: 050930933

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Topología General Unidad 2. Continuidad y equivalencias topológicas Índice Unidad 2.Continuidad y equivalencias topológicas............................................................. 3 Presentación de la unidad.................................................................................................. 3 Propósitos de la unidad...................................................................................................... 3 Competencia específica ..................................................................................................... 4 2.1. Continuidad ................................................................................................................. 4 2.1.1. Definición topológica de continuidad

4

Actividad 1. Identificación de funciones continuas............................................................ 10 2.1.2.Ejemplos de funciones continuas

10

2.2. Homeomorfismos y propiedades topológicas ............................................................ 14 2.2.1. Homeomorfismos y espacios equivalentes14 Actividad 2. Visualización de funciones continuas............................................................ 20 2.2.2.Propiedades topológicas

20

Actividad 3. Propiedades topológicas............................................................................... 22 Autoevaluación ................................................................................................................ 22 Evidencia de aprendizaje. Distinguir espacios ................................................................. 22 Autorreflexiones ............................................................................................................... 23 Cierre de la unidad........................................................................................................... 23 Para saber más ............................................................................................................... 24 Fuentes de consulta......................................................................................................... 24

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Topología General Unidad 2. Continuidad y equivalencias topológicas Unidad 2.Continuidad y equivalencias topológicas

Presentación de la unidad Hasta este momento has estudiado varios conceptos relacionados con los espacios topológicos y sus subconjuntos (subespacios). Ahora es necesario estudiar funciones entre tales espacios.

Las funciones que naturalmente se asocian con los espacios topológicos son las funciones continuas. El concepto de continuidad es uno de los más importantes en topología.

Recuerda que una topología en un conjunto es una estructura que establece una noción de “cercanía” o “proximidad” en el conjunto. Las funciones continuas entre espacios topológicos son las que preservan la cercanía, es decir, son las que envían puntos que están cerca en un espacio a puntos cercanos en el otro.

En la sección 2.1.1 recordarás la definición de continuidad que has visto en nuestros cursos de Cálculo y a partir de ella construirás una definición topológica de función continua, es decir, una definición que no dependa de las distancias entre puntos.

En la sección 2.1.2 se te presentan varios resultados sobre continuidad y ejemplos de funciones continuas.

Una función continua y biyectiva cuya inversa es también continua se llama homeomorfismo.

Tales funciones establecen la principal noción de equivalencia topológica. Hay ciertas propiedades de los espacios topológicos que son preservadas por los homeomorfismos, a estas propiedades se les llama propiedades topológicas y sirven para distinguir espacios topológicos.

En la sección 2.2.1 introduciremos a los homeomorfismos y veremos algunos ejemplos de ellos y de espacios homeomorfos.

En la sección 2.2.2 definiremos qué es una propiedad topológica y presentaremos ejemplos que muestran cómo usarlas para distinguir espacios topológicos.

Propósitos de la unidad Al finalizar el estudio de la unidad dos:  Sabrás la definición topológica de continuidad y la de homeomorfismo.  Utilizaras la definición topológica de continuidad para decidir si una función es continua o no.  Visualizaras funciones continuas y homeomorfismos.  Establecerás homeomorfismos entre espacios topológicos equivalentes.  Identificarás qué es una propiedad topológica.

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Topología General Unidad 2. Continuidad y equivalencias topológicas Competencia específica Analizar el concepto de Homeomorfismo entre Espacios Topológicos para establecer las propiedades que distinguen, en casos sencillos, si dos Espacios Topológicos son equivalentes o no, utilizando las propiedades topológicas.

2.1. Continuidad La continuidad es un concepto que ya hemos estudiado en los cursos de Cálculo. Sin embargo en esos cursos se estudió desde el punto de vista métrico, utilizando en la definición el concepto de distancia entre puntos y en espacios euclidianos exclusivamente.

Sin embargo, el concepto de continuidad es un concepto topológico. Esto significa que para definir continuidad no hace falta hablar de distancias, se puede definir utilizando el concepto de conjunto abierto y no se puede definir sin este concepto (o sus equivalentes, como conjunto cerrado). Además, si uno tiene dos conjuntos, A y B, es equivalente decir cuales funciones entre A y B son continuas a definir una topología en A y otra en B. Es por esto que el concepto de continuidad es central en topología.

2.1.1. Definición topológica de continuidad El primer acercamiento que tuviste al concepto de continuidad se dio en los cursos de Cálculo o Análisis, centrado en funciones de la línea real a ella misma. Una definición típica de continuidad en esos cursos es la siguiente: Definición 2.1.Una función | una tal que si |

es continua si para todo | entonces | .

y para todo

existe

En otras palabras; la función es continua si para cada y podemos encontrar una de modo que si está suficientemente cerca de ( cerca) entonces está cerca de ( cerca). A ésta, se le suele llamar la definición de continuidad. Es importante notar que en esta definición se usa el concepto de distancia entre dos puntos para hablar de cercanía.

Otra definición de continuidad, que es más general porque puede usarse para funciones que van de un espacio topológico a otro, o más bien, se aplica en espacios donde el concepto de distancia posiblemente no esté definido.

Definición 2.2. Sean y espacios topológicos. Una función es abierto en siempre que sea abierto en .

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es continua si

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Topología General Unidad 2. Continuidad y equivalencias topológicas A ésta última se le conoce como la definición topológica de continuidad. En palabras simples dice que es continua si la imagen inversa de cualquier conjunto abierto es un conjunto abierto.

Con esta definición la idea de cercanía está expresada en términos de conjuntos abiertos: dos puntos son “cercanos” si están en un conjunto abierto.

Vamos a hacer una pausa para explicar el concepto de imagen inversa de un conjunto bajo una función con el propósito de entender la definición topológica de continuidad.

La imagen que viene a nuestra cabeza cuando nos hablan de la función recta de pendiente 2 que pasa por el origen (Ilustración 1).

Ilustración 1. Gráfica de

es la de una

, tomada de Kinsey, C. (1993). Topology of surfaces. New York: Springer Verlag.

Sin embargo, podemos visualizar a de acuerdo a la forma en que transforma la recta real.

Piensa en lo siguiente: si evaluamos en un número, el resultado es otro número dos veces más grande; , , . Si le damos el intervalo [ ], nos devuelve el intervalo [ ]. Lo que está haciendo la función a la recta real es estirarla por un factor 2.

Podemos imaginar la acción de como nos muestra la Ilustración 2.

Ilustración 2. La acción de

De la misma forma,

Ilustración 3. La acción de

, tomada de Kinsey, C. (1993). Topology of surfaces. New York: Springer Verlag.

| | “dobla” la recta real a la mitad (Ilustración 3).

| |, tomada de Kinsey, C. (1993). Topology of surfaces. New York: Springer Verlag.

Ahora piensa que es la función que dobla un rectángulo a la mitad (mira la Ilustración 4). Se puede ejemplificar el concepto de imagen inversa de un conjunto bajo una función utilizando a la función .

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Ilustración 4. La función

dobla un rectángulo a la mitad, tomada de Kinsey, C. (1993). Topology of surfaces.

New York: Springer Verlag.

La imagen inversa está definida para cualquier subconjunto consiste del conjunto de puntos que bajo caen en .

de la imagen de la función

y

Si es el disco que se muestra en la parte derecha de la Ilustración 4, la imagen inversa de denotada por son los dos discos de la izquierda. Nota que en este contexto no es una función.

Un punto dibujado en la parte baja del rectángulo de la derecha tiene una vecindad que es un medio disco y es abierto relativo al rectángulo de la derecha. es un disco completo en el rectángulo de la izquierda y es abierto en tal rectángulo.

Formalmente se define la imagen inversa como: Definición 2.3. Sea imagen inversa de un subconjunto .

de

una función y denotada por definimos

Ejemplo. Si

[

]

un punto en la imagen de

, como el conjunto , la imagen inversa de

. Más aún: dado , como el conjunto

se define con la regla de correspondencia [ √ √ ]y

[

]

[ √

]

. Definimos la

, entonces

[ √ ].

Aprovechando la pausa, se define otro concepto relacionado con la imagen inversa: la imagen directa. Este concepto está definido para subconjuntos del dominio de una función.

Formalmente se define como sigue: Definición 2.4 Sea una función y de bajo como el conjunto

un subconjunto de . Se define la imagen directa (Ilustración 5).

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Ilustración 5. La imagen directa de bajo , tomada de Adams, C., Franzosa, R. (2009). Introduction to topology. India: Pearson Prentice Hall.

Ejemplos. 

Para

([ √ ]) 

definida por

[

tenemos

([ √ √ ])

[

] y ([ √

])

].

Para , el conjunto es la imagen directa del dominio de conoce como imagen o rango de .

y es lo que se

Observaciones 2.5. Las siguientes son algunas propiedades de la imagen inversa y de la imagen directa que usaremos más adelante. Estas propiedades pueden ser verificadas a partir de la definición con nociones básicas de teoría de conjuntos.

Sea una función, y . Entonces: i. ii. iii. iv. v. vi.

Aquí terminamos con la pausa para explicar el concepto de imagen inversa e imagen directa.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Veamos ahora que la definición topológica de continuidad es equivalente a la definición de continuidad en el caso de funciones .

Como primer paso traduciremos la definición abiertos.

de continuidad al lenguaje de conjuntos

Afirmación 2.6. es continua según la definición de continuidad si y solo si para todo y todo conjunto abierto tal que , existe una vecindad de tal que (Ilustración 6).

En esta traducción, el conjunto abierto juega el rol del intervalo definido por la desigualdad | | en la definición de continuidad y el conjunto abierto juega el rol del | intervalo definido por | .

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Ilustración 6. Para todo

, existe tal que , tomada de Adams, C., Franzosa, R. (2009).

Introduction to topology. India: Pearson Prentice Hall.

Ahora, veamos que la traducción de la Afirmación 2. es equivalente a la definición topológica de continuidad.

Teorema 2.7. Una función es continua según la definición topológica de continuidad si y solo si para todo y todo conjunto abierto tal que , existe una vecindad de tal que .

Prueba: Primero supón que es continua (según la definición topológica). Sea y un conjunto abierto en tal que . Tenemos que probar que existe una vecindad de tal que . Proponemos . Definido de esta forma, es abierto en porque es continua. Además . Con esto vemos que cumple lo que queremos.

Ahora supongamos que para todo y todo conjunto abierto tal que , existe una vecindad de tal que . Probaremos que es abierto en para todo abierto en . Sea un conjunto abierto en . Para mostrar que es abierto mostraremos que todo es un punto interior. Sea , entonces . Como es abierto en , por hipótesis tenemos que existe una vecindad de tal que . Esto es lo mismo que decir que . Hasta aquí tenemos que para todo , existe una vecindad

de

tal que

, así que quería mostrar.

. Por lo tanto, cualquier es abierto y

es punto interior de

es continua según la definición topológica, como se

El siguiente es un resultado muy útil.

Teorema 2.8. Sean es continua.

Prueba: Supongamos que

y

funciones continuas. Entonces la composición

y son continuas y sea . Como es continua,

un conjunto abierto en . Entonces es abierto en y como es continua,

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Topología General Unidad 2. Continuidad y equivalencias topológicas abierto en

es abierto en . Tenemos entonces que y por lo tanto es continua.

es abierto en

para todo

Una definición alternativa de continuidad se puede dar usando conjuntos cerrados, la equivalencia es fácil de probar y proponemos que se realice como ejercicio.

Teorema 2.9.Sean y espacios topológicos. Una función es cerrado en para todo cerrado en .

es continua si y solo si

La definición topológica de continuidad es muy fácil de enunciar. Pero no se ve claramente por qué decimos que las funciones continuas preservan la cercanía o proximidad.

El siguiente teorema nos da la idea de que las funciones continuas envían puntos que están cerca en un espacio a puntos cercanos en el otro. (Recuerda que los puntos que están en la cerradura de un conjunto son los que están “cerca” del conjunto).

Teorema 2.10.Sea . (Ilustración 7).

una función continua y

. Si

entonces

Prueba: Supongamos que es continua. Sea y . Vamos probar que si entonces (esto es equivalente a lo que afirma el teorema). Como existe un conjunto abierto que contiene a y que no interseca a . Se sigue de esto que es un conjunto abierto que contiene a y que no interseca a . Por lo tanto , como queríamos probar.

Ilustración 7. Si

es continua, manda puntos cercanos a puntos cercanos, tomada de Adams, C., Franzosa, R. (2009). Introduction to topology. India: Pearson Prentice Hall.

Ejemplo. En la Ilustración 8 podrás observar el ejemplo de una función que no es continua. La función corta un rectángulo en dos y los separa. Observa que una sucesión de puntos convergente a un punto , se mapea en una sucesión de puntos cuyo límite ha quedado alejado.

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Topología General Unidad 2. Continuidad y equivalencias topológicas

Ilustración 8. Si

no es continua, puede mandar puntos cercanos a puntos lejanos, tomada de Kinsey, C. (1993). Topology of surfaces. New York: Springer Verlag.

Actividad 1. Identificación de funciones continuas En esta actividad identificarás una función continua que se utilice en la vida cotidiana. La describirás y argumentarás por qué es continua.

1. Identifica una situación de la vida cotidiana en la que se utilice una función continua.

2. Ingresa en el foro y realiza lo siguiente: a) Describe en qué consiste la función. b) Menciona en que momentos de tu vida cotidiana utilizas la función que describiste. c) Explica brevemente por qué es continua.

3. La función que describes debe ser distinta a las que hayan descrito tus compañeros en el foro.

4. Lee las descripciones de tus compañeros. Comenta al menos una de ellas, diciendo si la función descrita es continua o no.

Consulta la rúbrica general de la participación en foros, que se encuentra en la sección Material de apoyo.

2.1.2. Ejemplos de funciones continuas Ejemplo Sea

y

con las topologías indicadas en la Ilustración 9. Sean

definidas por:

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Topología General Unidad 2. Continuidad y equivalencias topológicas

Ilustración 9. Funciones de X a Y, tomada de Adams, C., Franzosa, R. (2009). Introduction to topology. India: Pearson Prentice Hall.

La función es continua. Esto puede ser verificado directamente calculando la imagen inversa de cada conjunto abierto de y observando que es un conjunto abierto en . De la misma forma puede verse que la función es continua. Sin embargo, no es continua porque es abierto en pero no es abierto en .

Ejemplo. Sea un espacio topológico. La función identidad continua. La razón de esto es que para todo también lo es.

Ejemplo. Sean define por o bien continua.

y

definida por , así que si es abierto

es

espacios topológicos y sea . La función constante se para todo . Consideremos un conjunto abierto en ; si si . En ambos casos es abierto en y por lo tanto es

Importante: Puede pensarse que es la regla de correspondencia de una función lo que determina su continuidad o discontinuidad. Pero no es así, la topología del dominio y contradominio de la función son muy importantes también. Veamos el siguiente ejemplo.

Ejemplo. Sea un conjunto. A partir de podemos formar los siguientes dos espacios topológicos. El primero es , que resulta de darle a la topología discreta (recuerda que la topología discreta es en la que cualquier subconjunto de es abierto). El segundo es , resultado de darle a la topología indiscreta (que es la que solo tiene dos elementos: y ).

Ahora considera la función

Nota que esta función sería la función identidad si y fueran el mismo espacio topológico y está definida por la misma regla de correspondencia que la función del ejemplo 2.15. Sin embargo está función no es continua porque el conjunto para cualquier es abierto en y no es abierto en .

El ejemplo anterior muestra que al hablar de continuidadde una función hay que tener cuidado de especificar cuál topología le estamos dando al dominio y al contradominio de la función.

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Topología General Unidad 2. Continuidad y equivalencias topológicas Ejemplo Sea un espacio topológico y un subespacio de . La función inclusión dada por es una función continua. Por supuesto se está considerando a con la topología de subespacio. Si se toma un conjunto abierto entonces y es abierto en por la definición de la topología de subespacio en . De hecho, la topología de subespacio es la topología más pequeña (la que tiene menos elementos) en la que la función inclusión es continua.

Importante: la definición de función continua dice que para que sea continua debe pasar que la imagen inversa de todo abierto en es un conjunto abierto en . Sin embargo, no hace falta verificar esto para todo abierto en . El siguiente resultado nos dice que para probar que es continua basta verificar que la imagen inversa de los elementos de una base de la topología de son abiertos en . Esto es de gran ayuda porque restringe los conjuntos abiertos para los que debemos calcular su imagen inversa cuando queremos probar la continuidad de una función.

Teorema 2.11. Sean y dos espacios topológicos y Entonces es una función continua si y solo si

una base para la topología de . es abierto en para todo

.

Prueba: Supongamos que es continua. Entonces es abierto en para todo abierto en . Como los elementos de la base son abiertos en , se cumple que es abierto en para todo .

Ahora supón que es abierto en para todo . Se mostrará que es continua. Sea un conjunto abierto en . Entonces es unión de elementos de la base, es decir ⋃ .

Entonces, . Como se asumió que cada conjunto es ⋃ ⋃ abierto en se tiene que su unión también es un conjunto abierto. Por lo tanto es un conjunto abierto para todo conjunto abierto en y esto nos dice que es continua.

Se utiliza el teorema anterior en el siguiente ejemplo.

Ejemplo. Las funciones y son todas funciones continuas de en (con su topología estándar). ¿Por qué? Consideremos el intervalo con . Este intervalo es un elemento típico de la base de la topología estándar de . Se tiene que:

(

)

(

)

(

)

( √ √ )⋃(√ √ ) { ( √ √ )

(

,

),

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Topología General Unidad 2. Continuidad y equivalencias topológicas En todos los casos, la imagen inversa de un elemento de la base arbitrario es un conjunto abierto. Esto nos dice que las tres funciones son continuas.

Ejemplo. La multiplicación es una función continua. Es decir, la función dada por es continua. Para ver esto, tomemos un elemento de la base de la topología del rango de la función . Su imagen inversa es el subconjunto de

(

)

Este conjunto consiste en los puntos que están entre las hipérbolas y incluirlas). Un ejemplo donde y son positivos se muestra en la Ilustración 10.

(sin

Ilustración 10. La imagen inversa con y positivos, tomada de Adams, C., Franzosa, R. (2009). Introduction to topology. India: Pearson Prentice Hall.

Intuitivamente es claro que mostrar que para cada punto contenido en

(

tal que | |, | | y (

(

) es un conjunto abierto de (

. Para probarlo podemos

), hay un cuadro abierto centrado en

)(Observa la Ilustración 10). Tomando

y y

sean menores que , tenemos que

).

La suma es otra función continua y puede demostrarse esta afirmación como ejercicio.

Combinando la continuidad de la multiplicación y la de la suma obtenemos el siguiente resultado: Teorema 2.12. Sea dada por

con su topología estándar. Entonces toda función polinomial es continua.

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,

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Topología General Unidad 2. Continuidad y equivalencias topológicas Puede probarse con la definición topológica de continuidad y resultados que se desprenden de ella, que las funciones racionales, trigonométricas, exponenciales y logarítmicas son continuas en los dominios en los que están definidas.

Importante: Una función continua no necesariamente envía conjuntos abiertos a conjuntos abiertos. Por ejemplo, la función dada por es continua, pero la imagen directa del conjunto abierto es [ , que no es abierto.

En la siguiente sección veremos que las funciones continuas que mandan abiertos a abiertos son muy importantes en topología, pues establecen la noción básica de equivalencia topológica.

2.2. Homeomorfismos y propiedades topológicas En esta sección se define a los homeomorfismos. Los homeomorfismos son funciones entre espacios topológicos que nos proveen de la más fundamental noción de equivalencia topológica. Tales funciones preservan todas las propiedades que le da una topología a un conjunto porque definen una correspondencia entre los puntos y entre los conjuntos abiertos de dos espacios topológicos.

Las propiedades preservadas por los homeomorfismos reciben el nombre de propiedades topológicas. Dos espacios homeomorfos o equivalentes comparten estas propiedades. Si encontramos una propiedad topológica que no compartan dos espacios podemos afirmar que no son equivalentes, en otras palabras, que son distintos desde el punto de vista de la topología.

2.2.1. Homeomorfismos y espacios equivalentes Se inicia con la definición de homeomorfismo.

Definición 2.13. Sean y espacios topológicos. Un homeomorfismo

es una función

biyectiva con inversa de modo que y son continuas. Si existe un homeomorfismo entre y decimos que y son homeomorfos o topológicamente equivalentes y denotamos esta relación con .

Sea

una función biyectiva. Para que sea continua debe pasar que (la imagen inversa de bajo ) sea abierto en para todo abierto en . Como es una función biyectiva para todo . Entonces debe ser abierto en para todo abierto en . Por lo tanto, decir que es continua cuando es una biyección es lo mismo que decir que la imagen directa bajo de conjuntos abiertos es un conjunto abierto. Por lo mismo, decir que es continua cuando es biyectiva es equivalente a decir que la imagen directa bajo de un conjunto abierto es un conjunto abierto. Mira la

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Topología General Unidad 2. Continuidad y equivalencias topológicas Ilustración 11Ilustración 11. Un homeomorfismo es una correspondencia biunívoca entre conjuntos abiertos

Ilustración 11. Un homeomorfismo es una correspondencia biunívoca entre conjuntos abiertos, tomada de Adams, C., Franzosa, R. (2009). Introduction to topology. India: Pearson Prentice Hall.

Una forma coloquial de decir que es un homeomorfismo es la siguiente: es un homeomorfismo si es una biyección entre los puntos y entre los conjuntos abiertos.

Cada punto de queda emparejado con uno de sin que sobren puntos en . Además, a cada conjunto abierto de le corresponde un único conjunto abierto en sin que sobren conjuntos abiertos en .

Si recuerdas que una topología en un conjunto es la colección de subconjuntos abiertos, podrás darte cuenta de que un homeomorfismo es una biyección entre espacios topológicos que preserva la estructura topológica dada por las topologías de cada espacio.

Ejemplo. Sea y dos espacios topológicos con las topologías que se muestran en la Ilustración 12. Defínase por . Entonces es un homeomorfismo porque es una biyección entre los elementos y entre los conjuntos abiertos de y .

Ilustración 12. Un homeomorfismo entre y , tomada de Adams, C., Franzosa, R. (2009). Introduction to topology. India: Pearson Prentice Hall.

Ejemplo. Las dos topologías en el conjunto de tres puntos Ilustración 13 son diferentes como colecciones de subconjuntos de equivalentes porque la función definida por homeomorfismo.

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que se muestran en la pero son topológicamente es un

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Topología General Unidad 2. Continuidad y equivalencias topológicas

Ilustración 13. Dos topologías equivalentes en , tomada de Adams, C., Franzosa, R. (2009).

Introduction to topology. India: Pearson Prentice Hall.

Ejemplo. Sea dada por por lo tanto

dada por

. Esta función es biyectiva y su inversa está

. Como ambas funciones son polinomios en

, ambas son continuas y

es un homeomorfismo.

La acción de sobre la recta es estirarla por factor tres y moverla a la derecha una unidad.

Como es de esperarse, esta acción no modifica las propiedades topológicas de la recta.

Afirmaciones 2.14.

Las siguientes afirmaciones sobre los homeomorfismos implican que la equivalencia topológica es una relación de equivalencia en la colección de todos los espacios topológicos. Estas afirmaciones pueden ser fácilmente demostradas y se dejan como ejercicio. i.

La función , definida por es un homeomorfismo. ii.

Si es un homeomorfismo, entonces también lo es. iii.

Si y son homeomorfismos, entonces también lo es la composición .

Ejemplo. Consideremos al intervalo Defina la función como

con la topología estándar (la que hereda de ). . La gráfica de esta función se muestra en la | |

Ilustración 14. Intuitivamente, podemos ver en la gráfica de la función que es una biyección entre y y la imagen inversa bajo y de intervalos abiertos son intervalos abiertos.

Entonces y son continuas y por lo tanto son homeomorfismos entre y . Con este ejemplo se ve que y son el mismo espacio topológicamente hablando, es decir, son indistinguibles para la topología.

Ilustración 14. Homeomorfismo entre y , tomada de Adams, C., Franzosa, R. (2009). Introduction to topology. India: Pearson Prentice Hall.

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Topología General Unidad 2. Continuidad y equivalencias topológicas Ejemplo. es homeomorfo a cualquier intervalo abierto , no solo a . Es más, consideremos las siguientes colecciones de intervalos con la topología que heredan de y con y números reales arbitrarios con : (i) Intervalos abiertos: , , , , (ii) Intervalos cerrados y acotados: [ ], (iii) Intervalos semi-abiertos e intervalos cerrados no acotados: [ , ], ], [ .

Cada una de las colecciones consta de espacios topológicos equivalentes, es decir, todos los intervalos abiertos son homeomorfos, todos los intervalos cerrados y acotados son homeomorfos y todos los intervalos de la familia (iii) son homeomorfos. Más que eso, dos intervalos que pertenezcan a distintas familias no son homeomorfos. A continuación vamos a ilustrar algunos homeomorfismos entre intervalos de la misma familia y en la unidad 3 estaremos en posibilidades de probar que dos intervalos de distinta familia no son homeomorfos.

Para los intervalos de la familia (i). La función dada por es un homeomorfismo. Entonces, es homeomorfo a cualquier intervalo de la forma . Como ser homeomorfos es una relación de equivalencia entonces cualquier intervalo de la forma es homeomorfo a cualquier otro de la forma . Un homeomorfismo entre los intervalos y es la función lineal dada por . Así, tenemos que cualesquiera dos intervalos de la forma son homeomorfos entre sí y homeomorfos a (porque ya sabíamos que el intervalo (-1,1) es homeomorfo a ). Por todo lo anterior podemos concluir que todos los intervalos de la familia (i) son homeomorfos.

La gráfica del homeomorfismo se muestra en la parte izquierda de la Ilustración 15. El homeomorfismo es como el de la parte central de la Ilustración 15 pero con dominio lugar de [ ].

en

Para los intervalos de la familia (ii). El homeomorfismo [ ] [ ] dado por (casi igual que el del párrafo anterior, la diferencia es el dominio e imagen) sirve para mostrar que todos los intervalos cerrados y acotados son homeomorfos al intervalo [0,1] y por lo tanto todos los intervalos cerrados y acotados son homeomorfos. Ver parte central de la Ilustración 15.

Ilustración 15. Homeomorfismos entre intervalos, tomada de Adams, C., Franzosa, R. (2009). Introduction to topology. India: Pearson Prentice Hall.

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Topología General Unidad 2. Continuidad y equivalencias topológicas [ Finalmente, para los intervalos de la familia (iii). La función ] dada por , es un homeomorfismo entre los intervalos [ y ], así que cualesquiera de estos intervalos son homeomorfos ¿Puedes encontrar un homeomorfismo ]y entre los intervalos [ ]y[ y otro entre los intervalos ] con ?

Combinando estos homeomorfismos y podemos probar que todos los intervalos de la familia (iii) son homeomorfos.

Ejemplo. Considera el intervalo [ y el círculo unitario en con las topologías que les heredan y respectivamente. Denotaremos con al punto en con ángulo , medido desde la parte positiva del eje en sentido anti-horario. Sea [ definida por , como se ve en la Ilustración 16. es biyectiva y nos preguntamos si es continua.

Calculemos la imagen inversa de un elemento de la base de la topología de . Un elemento de tal base se puede expresar como . Vamos a considerar dos casos para : si o si ( es el punto correspondiente al ángulo . Si entonces es un intervalo abierto [ . Si entonces es de la [ forma . En ambos casos es un conjunto abierto en [ . Entonces es continua.

Pero ¿es ([

continua? Tenemos que el intervalo [ )

[

no es abierto en

es abierto en [

. Entonces

pero

no es continua y por lo tanto

no

es un homeomorfismo.

De hecho, no hay homeomorfismos entre estos dos espacios porque no son topológicamente equivalentes. En la unidad 3 podremos probar esta afirmación usando la propiedad topológica conexidad por trayectorias.

Ilustración 16. Una función biyectiva y continua de [ a que no es un homeomorfismo, tomada de Adams, C., Franzosa, R. (2009). Introduction to topology. India: Pearson Prentice Hall.

Ejemplo. El plano con su topología estándar es homeomorfo al semiplano abierto (derecho) y al disco abierto } ( y con la topología que heredan de ). Mira la Ilustración 17.

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Topología General Unidad 2. Continuidad y equivalencias topológicas

Ilustración 17. El plano es homeomorfo a medio plano abierto y al disco abierto, tomada de Adams, C., Franzosa, R. (2009). Introduction to topology. India: Pearson Prentice Hall.

La función dada por es un homeomorfismo entre y . Esta función envía líneas verticales a líneas verticales y la acción que tiene sobre el plano es la siguiente:  La imagen de la mitad izquierda del plano es la franja en dada por .  El eje va a la línea .  La mitad derecha del plano es enviada a la región en en la que .

La función

definida en coordenadas polares por

es un

homeomorfismo entre y el disco abierto. Esta función contrae todo el plano radialmente hasta que coincide con el disco abierto .

Ejemplo. La superficie de un cubo es homeomorfo a la esfera , tal como se muestra en la Ilustración 18. Si imaginamos que ambos, el cubo y la esfera están centrados en el origen del espacio , entonces la función definida por es un homeomorfismo. | | Notemos que es un punto a distancia 1 del origen y por lo tanto está en . Lo que hace la función es proyectar cada punto en la superficie del cubo radialmente hasta que cae en la esfera. En la Ilustración 18 podemos ver que también los abiertos de se mapean biyectivamente en los abiertos de .

Ilustración 18. La superficie de un cubo y la esfera son homeomorfos, tomada de Adams, C., Franzosa, R. (2009). Introduction to topology. India: Pearson Prentice Hall.

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Topología General Unidad 2. Continuidad y equivalencias topológicas Actividad 2. Visualización de funciones continuas A través de esta actividad, analizarás dos espacios topológicos, describirás un par de funciones continuas entre ellos y analizarás si son o no homeomorfos. Para ello: 1. Descarga el documento “Act.2. Visualización de funciones continuas” 2. Sigue las instrucciones que se plantean en el documento descargable.

3. Guarda y envía tu documento con la nomenclatura MTGE_U2_A2_XXYZ. 4. Espera la retroalimentación de tu facilitador (a). * Recuerda consultar la Escala de evaluación de la actividad para saber qué aspectos se tomarán en cuenta para su revisión

2.2.2. Propiedades topológicas Hay ciertas propiedades de los espacios topológicas que se conservan al aplicarles un homeomorfismo y hay otras que se pierden. Las propiedades que se conservan bajo homeomorfismos son muy útiles para distinguir espacios y reciben el nombre de propiedades topológicas. Su definición formal es la siguiente: Definición 2.15. Una propiedad es una propiedad topológica si y solo si siempre que el espacio tiene la propiedad y el espacio es homeomorfo a entonces también tiene la propiedad . ¿Por qué son tan útiles las propiedades topológicas? En la sección pasada revisaste ejemplos de espacios homeomorfos y se probó que son homeomorfos mostrando un homeomorfismo entre ellos. Sin embargo, en los ejemplos donde había espacios no homeomorfos tuvimos que dejar la prueba de ello para la unidad tres. Esto se debe a que, con las herramientas que tenemos hasta ahora, si quisiéramos probar que dos espacios no son homeomorfos tendríamos que probar que ninguna de las funciones que se pueden definir entre los espacios es un homeomorfismo. Esto es muy difícil, imagina considerar todas las funciones entre dos espacios, ¡son demasiadas!. Es aquí donde entran las propiedades topológicas a facilitarnos las cosas. Supón que sabemos que una cierta propiedad es topológica. Entonces si dos espacios son homeomorfos, ambos deben tener la propiedad . Pero si descubrimos que alguno de los espacios no tiene la propiedad y el otro sí la tiene podremos asegurar que los espacios no son homeomorfos. Esta es una vía mucho más sencilla de probar que dos espacios no son homeomorfos.

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Topología General Unidad 2. Continuidad y equivalencias topológicas La conexidad por trayectorias y la compacidad son ejemplos de propiedades topológicas. En la siguiente unidad las estudiaremos a detalle. Por lo pronto, en el siguiente ejemplo se muestra una propiedad que no es topológica: la de ser acotado. Se define como sigue: Definición 2.16. Sea . es acotado si para algún acotado si está contenido en una bola suficientemente grande.

Ejemplo. Sea y sea ambos con la topología que les hereda . Nota que es una copia de un punto en la esfera. Afirmamos que es homeomorfo a dice que la esfera agujerada es homeomorfa al plano.

. Esto es, A es

metida en . Sea . Coloquialmente se

Para mostrar que son homeomorfos definimos la siguiente función conocida como proyección estereográfica. Colocamos la esfera sobre el plano de modo que se toquen en el polo sur de la esfera y el punto quede ubicado en el polo norte (Ilustración 19). Para cada , la recta que pasa por y por toca al plano en un único punto. Definimos como el punto donde dicha recta toca al plano.

Ilustración 19. Proyección estereográfica

Se puede obtener una regla de correspondencia para la proyección estereográfica utilizando trigonometría básica. De la imagen resulta claro que es una biyección entre los puntos y entre los conjuntos abiertos de la esfera agujerada y el plano. Entonces estos dos espacios son homeomorfos.

Nota que la esfera es acotada y el plano no es acotado. Esto nos dice que ser acotado no es una propiedad topológica.

Observa también que la propiedad de ser acotado involucra distancias, por lo que era de esperarse que no fuera propiedad topológica.

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Topología General Unidad 2. Continuidad y equivalencias topológicas

Actividad 3. Propiedades topológicas En esta actividad clasificarás propiedades de espacios topológicos en dos grupos: las propiedades topológicas y propiedades no topológicas.

Instrucciones: 1. Considera las siguientes propiedades de un espacio topológico: a) Ser acotado b) Ser conexo c) Ser homeomorfo a la esfera d) Tener 3 elementos e) Tener un ángulo de 90 grados f) Ser un cubo 2. Clasifica las propiedades en dos grupos:  Grupo A: las que son topológicas  Grupo B: las que no son topológicas.

3. Argumenta por qué no son topológicas las propiedades del grupo B. 4. Describe brevemente en qué consisten las propiedades del grupo A. 5. Guarda y envía tu documento con la nomenclatura MTGE_U2_A3_XXYZ. 6. Espera la retroalimentación de tu facilitador (a). * Recuerda consultar la Escala de evaluación de la actividad para saber qué aspectos se tomarán en cuenta para su revisión

Autoevaluación Para reforzar los conocimientos relacionados con los temas que se abordaron en esta unidad del curso, es necesario que resuelvas la autoevaluación.

Ingresa al Aula virtual para realizar tu actividad.

Evidencia de aprendizaje. Distinguir espacios En esta actividad clasificarás espacios topológicos en grupos de espacios topológicamente equivalentes. Describirás homeomorfismos entre los espacios equivalentes y encontraras diferencias entre los no homeomorfos.

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Topología General Unidad 2. Continuidad y equivalencias topológicas Instrucciones: 1. Descarga el archivo “EA. Distinguir espacios” 2. Sigue las instrucciones que se detallan en el documento descargable.

3. Guarda tu documento con la siguiente nomenclatura MTGE_U2_EA_XXYZ. 4. Envía tu documento al Portafolio de evidencias y espera la retroalimentación de tu Facilitador(a). Una vez que la tengas, atiende sus comentarios y reenvía la nueva versión de tu evidencia.

Nota: No olvides consultar la Escala de evaluación para conocer los criterios con que será evaluado tu trabajo.

Autorreflexiones Al finalizar, consulta el Foro: Preguntas de autorreflexión para realizar el ejercicio correspondiente y enviarlo a través de la herramienta Autorreflexiones. Recuerda que también se toman en cuenta para la calificación final.

Cierre de la unidad Hemos terminado la unidad 2. En esta parte del curso estudiamos a las funciones continuas y a los homeomorfismos.

Las funciones continuas son la clase de funciones que se definen naturalmente entre espacios topológicos. El concepto de continuidad está íntimamente relacionado con la topología de un espacio.

Los homeomorfismos son funciones continuas y biyectivas cuya inversa es continua. Si hay un homeomorfismo entre dos espacios decimos que son homeomorfos. Los espacios homeomorfos son iguales para la topología. Un homeomorfismo es una forma de pasar de un espacio a otro sin cambiar su “forma topológica” porque son correspondencias biyectivas entre los abiertos de un espacio y los del otro.

Recordaras que las áreas de las matemáticas se pueden describir en términos de los objetos que estudian, las funciones que se definen en esos objetos y las propiedades que se preservan bajo la aplicación de tales funciones. Hasta ahora hemos estudiado, en el caso de la topología, los objetos (espacios topológicos) y las funciones (funciones continuas). Además al final de esta unidad introdujimos la definición de las propiedades que se preservan bajo homeomorfismos

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Topología General Unidad 2. Continuidad y equivalencias topológicas (propiedades topológicas). En la siguiente unidad estudiaremos a detalle dos propiedades topológicas: la conexidad por trayectorias y la compacidad.

Recuerda consultar con el facilitador si tienes dudas. La autoevaluación de la unidad te servirá para darte cuenta si has comprendido o no los conceptos más importantes de la unidad.

Para saber más Puedes encontrar algunos juegos topológicos en la página web de Jeff Weeks: http://www.geometrygames.org/ Puedes consultar las notas de topología básica escritas por A. Hatcher en la página http://www.math.cornell.edu/~hatcher/Top/TopNotes.pdf Puedes consultar el libro de Análisis de Carlos Ivorra. Los primeros dos capítulos son sobre topología. http://www.uv.es/~ivorra/Libros/Analisis.pdf

Fuentes de consulta Básica: Adams, C., Franzosa, R. (2009). Introduction to topology. India: Pearson Prentice Hall.

Kinsey, C. (1993). Topology of surfaces. New York: Springer Verlag.

Complementaria: Munkres, J. R. (2002).Topología. Madrid: Pearson Educación.

García-Maynez, A., Tamariz, A. (1998). Topología General. México: Porrúa.

Prieto, C. (2003). Topología Básica. México: Fondo de Cultura Económica.

Ilustraciones: Las ilustraciones 1-4, 8 y 19 fueron tomadas del libro Kinsey, C. Topology of surfaces El resto, se tomaron del libro Adams, C., Franzosa, R. Introduction to topology.

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