UNAM
Universidad Nacional Autónoma de México
Escuela Nacional Preparatoria
Dr. Enrique Graue Wiechers Rector Dr. Leonardo Lomelí Vanegas Secretario General
SECRETARÍA ACADÉMICA
Ing. Leopoldo Silva González Secretario Administrativo
COLEGIO DE MATEMÁTICAS
Dra. Mónica González Contró Abogado General
Mtra. Silvia E. Jurado Cuéllar Directora General Lic. Rogelio Cepeda Cervantes Secretario General
COLEGIO DE MATEMÁTICAS
DGENP
QUINTO AÑO Clave: 1500 Plan: 96
Lic. Miguel Ángel Álvarez Torres Secretario Académico
M. en C. Ana Laura Gallegos y Téllez Rojo Jefa del Departamento Dirección de Planteles Lic. Enrique Espinosa Terán Plantel 1 " Gabino Barreda " Lic. Isabel Jiménez Téllez Plantel 2 " Erasmo Castellanos Quinto " M. en C. Laura Elena Cruz Lara Plantel 3 " Justo Sierra " Mtro. Hugo Martín Flores Hernández Plantel 4 " Vidal Castañeda y Nájera " Biól. Ma. Dolores Valle Martínez Plantel 5 " José Vasconcelos "
Matemáticas V
Mtro. Juan Neftalí Hernández Nolasco Secretario de Difusión Cultural
Clave: 1500 Plan: 96
Lic. Luis Felipe Ortega Montiel Secretario Administrativo
I.Q. María del Carmen Rodríguez Quilantán Plantel 7 " Ezequiel A. Chávez " Arq. Ángel Huitrón Bernal Plantel 8 " Miguel E. Schulz " Q.F.B. Roberta Ma. del Refugio Orozco Hernández Plantel 9 " Pedro de Alba "
QUINTO AÑO
Mtra. Alma Angélica Martínez Pérez Plantel 6 " Antonio Caso "
Elaboró: Martín Fermoso Díaz Martha Patricia Rodríguez Rosas Gustavo Saulés Estrada
GUÍA DE ESTUDIO
Matemáticas V
ESCUELA NACIONAL PREPARATORIA COLEGIO DE MATEMÁTICAS ÁREA 1 FÍSICO-MATEMÁTICAS Grado: 5° Clave: 1500 Plan: 96
GUÍA DE ESTUDIO
MATEMÁTICAS V
Autor:
Martín Fermoso Díaz Martha Patricia Rodríguez Rosas Gustavo Saulés Estrada
Revisión 2011: Laura Isabel Mora Reyes
UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO
1
Escuela Nacional Preparatoria Directora General: Mtra. Silvia E. Jurado Cuéllar Secretario Académico: Lic. Miguel Ángel Álvarez Torres Producción Editorial: Mtra. María Esther Rueda Palma
Guía de Estudio Matemáticas V Diseño editorial: DCG. Edgar Rafael Franco Rodríguez 4ª edición: 2011 Reimpresión 2017, 1,300 ejemplares. © Universidad Nacional Autónoma de México Escuela Nacional Preparatoria Dirección General Adolfo Prieto 722, Col. Del Valle C. P. 03100, México, D. F. Impreso en México
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PRESENTACIÓN La Escuela Nacional Preparatoria durante más de 145 años ha trabajado en la formación de jóvenes comprometidos con su país, a quienes tenemos que guiar para fortalecer sus conocimientos, habilidades, valores y actitudes que los conduzcan hacia el logro de éxitos universitarios, aspectos que a su vez reforzarán su seguridad personal para enfrentar los retos académicos. Las herramientas que adquieren los estudiantes durante esta etapa escolar, son
fundamentales,
columna
vertebral
que
sostendrá
sus
estudios
profesionales, por ello es nuestro compromiso fomentar la creación y desarrollo de materiales y recursos didácticos de todo tipo, tanto impresos como electrónicos, que promuevan en los alumnos la adquisición de conocimientos y el desarrollo de habilidades y continuar por la vida de manera organizada, persistente y armónica. Con entrega y entusiasmo los académicos trabajan de manera colegiada e invierten sus saberes y esfuerzos en el desarrollo e innovación de materiales, a fin de proporcionar más y mejores elementos de apoyo para que los alumnos concluyan de manera satisfactoria sus estudios de Bachillerato. La presente Guía de Estudio es un producto didáctico que se ha diseñado para facilitar la enseñanza y el aprendizaje. Se puede utilizar de manera autodidacta o con la ayuda de los profesores que a diario brindan asesorías en cada uno de los planteles de la Escuela Nacional Preparatoria. Continuaremos en la búsqueda de más y mejores alternativas presenciales y en línea, con el propósito de apoyar a nuestros alumnos para que logren un egreso satisfactorio y una prolongación exitosa en sus estudios de licenciatura. “Juntos por la Escuela Nacional Preparatoria” Mtra. Silvia E. Jurado Cuéllar Directora General
3
ÍNDICE
I. Relaciones y funciones ......................................................................................5 II. Funciones trigonométricas ..............................................................................17 III. Funciones exponenciales y logarítmicas ........................................................31 IV. Sistemas de Coordenadas y algunos conceptos básicos ..............................39 V. Discusión de ecuaciones algebraicas .............................................................49 VI. Ecuación de primer grado ..............................................................................54 VII. Ecuación general de segundo grado ............................................................69 VIII. Circunferencia ..............................................................................................71 IX. Parábola.........................................................................................................76 X. Elipse ..............................................................................................................80 XI. Hipérbola........................................................................................................85 Bibliografía ..........................................................................................................90 Solución de ejercicios propuestos .......................................................................91 Muestra de examen...........................................................................................110
4
I. RELACIONES Y FUNCIONES Introducción. Un concepto importante en el estudio de las asignaturas de matemática en la Escuela Nacional Preparatoria es el de función. Las funciones nos ayudan a modelar matemáticamente fenómenos físicos, químicos y de todo tipo. Es muy importante que esta unidad la comprendas bien para que las siguientes no te representen muchos problemas. Objetivo. En la presente unidad se definirá qué es una función, los distintos tipos de funciones, sus notaciones y cómo encontrar su inversa. Es muy importante que después de cada sección realices los ejercicios de autoevaluación, trata de no revisar los contenidos pues así te darás cuenta de qué es lo que necesitas volver a estudiar. ¡Suerte! Producto cartesiano: El
producto
cartesiano
de
dos
conjuntos
cualesquiera, A y B se define como: A × B, se lee
{
A × B = (a,b) a ∈A,b ∈B
}
“A cruz B”, es el conjunto de parejas ordenadas (a,b) tales que a está en A y b, en B. Ejemplo: Encuentra el producto cartesiano A × B y B × A de los siguientes conjuntos. A = {1, 2, 3} y B = {a, b, c} Solución: A × B = {(1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c), (3, a), (3, b), (3, c)} B × A = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3), (c, 1), (c, 2), (c, 3)} Como puedes ver no es lo mismo
A × B
que B × A, esto significa que no es
conmutativo. Ejemplo: Encuentra C × D y D × C para los conjuntos:
C=
{x ∈ R
3 ≤ x ≤ 7} y D =
{y ∈ R
2 ≤ y ≤ 5}
5
Solución:
El producto cartesiano de los dos conjuntos es:
= C× D
5
y
2
{( x, y ), x, y ∈ / 3 ≤ x ≤ 7 y 2 ≤ y ≤ 5 }
3
7 7
x
y
El producto cartesiano de los dos conjuntos es:
{
D × C = (x, y), x, y ∈R / 2 ≤ x ≤ 5 y 3 ≤ y ≤ 7
}
3
2
5
x
1.1 Ejercicios Encuentra el producto cartesiano A × B y B × A de los siguientes conjuntos: 1.- A =
{x ∈ R
2 ≤ x ≤ 4} y B =
{y ∈ R
2 ≤ y ≤ 5}
2.- A =
{x ∈ Z
2 ≤ x ≤ 4} y B =
{y ∈ Z
2 ≤ y ≤ 5}
y B= { x ∈ R 2 < x}
3.- A = { x ∈ R 5 < x} 4.- A = {0,1, 3, 5} 5.- A = {1, 3}
y
B = {-1, 2, 4}
y B = {1, 2, 3}
6.- A = {-2, 2, 4} y B = {1} Relación: Una relación entre dos conjuntos A y B es cualquier subconjunto formado Por parejas ordenadas de A × B .
Para cualquier
relación: R = {( x, y )} el conjunto de
todos los valores que toma la
abscisa (x) se denomina dominio y el conjunto de todos los valores que toma la ordenada (y) se llama rango.
6
El contradominio es el conjunto de donde se obtiene el rango, para todos nuestros ejemplos no discretos serán los números reales. Ejemplo: Encuentra la gráfica, el dominio y el rango de las siguientes relaciones: a) R = { (3, 2), (4, 1), (-2, -3), (4, b) R = {(x, y), x, y ∈ R
1 2
), (3, -3), (0, 2)}
2x + y = 4 }
c) R = {(x, y), x, y ∈ R
y2 = x }
d) R = {(x, y), x, y ∈ R
2x2 + 4 y 2 = 4 }
Solución: a)
Para R = {(3, 2), (4, 1), (-2, -3), (4,
1 2
), (3, -3), (0, 2)} La gráfica es:
El dominio es: {-2, 0, 3, 4} El rango es: {-3,
b) Para R = {(x, y), x, y ∈ R
1 2
, 1, 2}
2x + y = 4 }
La gráfica de esta relación es una recta, para obtenerla hacemos lo siguiente: • •
Cuando la relación está en forma implícita despejamos la “y” para tenerla en forma explícita. Le damos valores a la “x” y obtenemos el resultado para “y”, es conveniente hacer una tabla.
Generalmente tomamos valores de la abscisa (x) alrededor del cero, dándole valores enteros, pero eso sólo es por facilidad, ya que podemos usar cualquier valor para obtener la ordenada (y)
7
Observa: • x
La relación está en forma implícita, así que despejando la “y” queda:
y = −2 x + 4
y -3 -2 -1 0 1 2 3
Estos valores nos ayudan a hacer la gráfica, pero es importante que recuerdes que no son los únicos que toma la “x”. Considerando lo anterior el dominio, rango, contradominio y la gráfica son:
10 8 6 4 2 0 -2
Gráfica
Dominio: R (los números reales) Rango: R Contradominio: R
c) Para R = {(x, y), x, y ∈ R
y2 − x = 0 }
La gráfica de esta relación es una curva, para obtenerla hacemos una tabla con los valores de “x” y los respectivos de “y” (siempre que se pueda). Observa: • La relación está en forma implícita, así que despejando la “y” queda: y=± x • La variable (x) no puede tomar valores negativos ya que se obtendrían números que no son reales. x 0 1 2 3 4 5 6
8
± ±
± ± ±
± ±
y 0
=0
1 = 1; − 1
1.41 −1.41 +1.73 3= −1.73 +2 4 = −2 +2.24 5= −2.24 +2.45 6 = −2.45 2 =
Estos valores nos ayudan a hacer la gráfica, pero es importante que recuerdes que no son los únicos que toma la “x”. Considerando lo anterior, el dominio, contradominio, rango y la gráfica son: Dominio: [0, ∞). Rango: R Contradominio: R
Gráfica
d) Para R = {(x, y), x, y ∈ R
2x2 + 4 y 2 = 4 }
De la misma forma que en el ejercicio anterior hacemos una tabla con
los
valores de “x” y los que se obtienen de “y”. Como la relación esta en forma implícita, se despeja la variable “y” de
2x2 + 4 y 2 = 4 4 − 2x2 y = 4 2
y=±
4 − 2x2 4
El dominio es el conjunto de todos los valores que puede tomar la x: − 2,
2
El rango son los valores que adquiere la “y”:
[−1, 1] El contradominio: R
1.2. Ejercicios: Encuentra la gráfica, dominio y rango de las siguientes relaciones: a) b) c) d)
R = {(1,3), (2,4), (3,5), (4,6), (5,7)} R = {(-2,-1), (-1,2), (0,0), (1,-1), (1,3),(2,1),(2,2)} R = {(-1,1), (-1,-1), (1,-1), (1,1), (1,2),(2,1)} x, y ∈ R y x 2 − y 2 = 2 } R = { (x, y)
e) R = { (x, y)
x, y ∈ R y 2 x 3 + y = 0 }
f)
R = { (x, y)
x, y ∈ R y 2 x + y = 0 }
g) R = { (x, y)
x, y ∈ R y x 2 + y = 2 }
Funciones: Las funciones son aquellas relaciones en las cuales a cada elemento del dominio sólo le corresponde uno del rango. En otras palabras, de un conjunto de parejas ordenadas (x, y) una abscisa cualquiera (x) no puede tener más de una ordenada (y). Como ves todas las funciones son relaciones, pero no todas las relaciones son funciones.
9
Ejemplo: Determina si la siguiente relación R = {(1, 2), (-2,4), (0,1), (1,6), (3,-5)} es función. Solución: Esta relación no es función ya que hay dos parejas (1, 2) y (1, 6) en las cuales el mismo valor de la x tiene diferente valor de y. • Método práctico Para saber cuando una relación es función, conviene hacer la gráfica y observar que para cada valor de x haya solo uno de y. De forma práctica podemos trazar (mentalmente) líneas verticales, las cuales solo deben cruzar la curva una vez.
No es función ya
Si es función ya que No es función ya
Si es función ya que
que por lo menos
cualquier línea
cualquier línea
una línea la cruza
vertical solo la cruza una línea la cruza
vertical solo cruza
dos veces
una vez.
una vez.
que por lo menos dos veces
Ejemplo: Determina si la siguiente relación es función: R = {(x, y), x, y ∈ R Solución: Haciendo la gráfica encontramos fácilmente que no es función ya que si trazamos líneas verticales, hay algunas que cruzan la gráfica en dos puntos; en otras palabras hay valores de x que tienen dos valores de y.
10
x2 − y 2 = 4 }
1.3. Ejercicios: De las siguientes relaciones indica cuál es función y porqué : 1. R = {(1,3), (2,3), (3,3), (4,3), (5,3)}
2x + y = 0 }
2. R = {(1,1), (1,-2), (1,3), (1,-4), (1,5)} 4. R = {(x, y)
4 x + y = 0}
5. R = {(-4,1), (-4,-2), (-3,3), (-2,-4), (5,5)
6. R = {(x, y)
x y + = 1} 16 4
7. R = {(-1,3), (-2,6), (-1,9), (4,30), (5,0)}
8. R = {(9,1)}
3. R = {(x, y)
9. R = {(x, y)
y − x2 = 0 }
10. R = {(x, y)
2x − y2 = 0
Notación de funciones. Generalmente para denotar funciones se utiliza f(x)
(“efe de x”), pero se puede utilizar
g(x), h(x), u(x), etc. También se puede sustituir la variable x por y, z etc. 1.4. Ejercicios: Si f(x) es una función con dominio los números reales y como regla de correspondencia a)
f ( x) = x 2 − 2
b)
f ( x) = x3 − 2 x + 3
Encuentra, para cada función: 1. f (0)
2. f (2)
3. f (-3)
4. f ( 21 )
6. f (a)
7. f (x + 3)
8. f ( 2x )
9. f (x + h)
5. f ( 2 ) 10. f (a + b)
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Clasificación de las funciones: Existen muchas formas de clasificar funciones, aquí sólo mostramos algunas: Creciente:
Para cualesquiera dos valores de x, uno mayor que otro; sus correspondientes imágenes serán, la primera mayor que la segunda. Si x1 < x2 entonces f ( x1 ) < f ( x2 )
Decreciente
Para cualesquiera dos valores de x, uno mayor que otro; sus correspondientes imágenes serán, la primera menor que la segunda. Si x1 < x2 entonces f ( x1 ) > f ( x2 )
Inyectiva:
Cuando a cada valor de y le corresponde solo uno de x. En forma práctica traza mentalmente líneas horizontales, éstas sólo deben de cortar a la gráfica una vez.
Suprayectiva:
Cuando el contradominio es igual al rango.
Biyectiva:
Cuando la función es inyectiva y suprayectiva.
Recuerda que los conjuntos asociados con las funciones son: Dominio:
Son todos los valores de x que satisfacen la función
Rango:
Son todos los valores de y, que se obtienen al sustituir x.
Contradominio: Son los números reales R. Ya que solo consideramos funciones reales de variable real. Ejemplo: Encuentra el dominio, contradominio, rango y las características (de acuerdo a nuestra clasificación) de la función f ( x) =
1 x −1
Solución: Lo que tienes que hacer es gráficar la función y de ahí se pueden encontrar fácilmente lo que se pide.
12
Observa: La función no puede evaluarse en x = 1, ya que se dividiría entre cero y eso no se puede hacer. La x puede tomar cualquier Es inyectiva valor, menos el uno, por lo Ya tanto el dominio es:
que
si
mentalmente
trazamos líneas horizontales,
R - {1}
solo cruzan una vez.
La y no puede tomar el cero, por lo tanto el rango No es suprayectiva es:
Porque el rango no es igual al R - {0}
Contradominio: R
contradominio No es biyectiva Porque no es suprayectiva
Es decreciente en: (- ∞, 1) ∪ (1, ∞) 1.5. Ejercicios. Traza la gráfica y encuentra el dominio, rango, contradominio (C.D.) y clasifica las siguientes funciones: 1. f ( x) = 3 x + 5 4. f ( x) =
x+4
1 x 10. f ( x) = x 7. f ( x) =
2. f ( x) = x 2 5. f ( x) = [ x]
1 x+2 x −1 11. f ( x) = x+2 8. f ( x) =
3. f ( x) = ( x − 3) 2 6. f ( x) = x 3 9. f ( x) =
1 x2
12. f ( x) =
4 − x2
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Función inversa Función
Espejo
Cuando se refleja una función con respecto a un espejo colocado en una línea a 45°, se obtiene la función inversa.
Función
El dominio y rango de la función original se convierten
en
el
rango
y
i
dominio,
respectivamente, de la función inversa. El requisito para obtener la inversa es que la función original sea biyectiva.
•
Método para encontrar la función inversa
La técnica para encontrar la inversa consiste solamente en despejar la variable independiente (x): Ejemplos Encuentra la inversa de: a) f ( x) = 2 x + 3 b) f ( x) = 3 x 2 + 4 Soluciones a) f ( x) = 2 x + 3 El dominio, rango y contradominio son: Dom: R, Rango: R y contradominio: R La función es biyectiva, por lo tanto tiene inversa. Para encontrarla, primero hacemos y = f ( x) y despejamos “x”:
= y 2x + 3 y −3 =x 2 y −3 Por lo tanto la inversa es: f ( y ) = 2 Es común volver a utilizar como variable la "x", por lo que la inversa queda como
f −1 (x) =
x −3 x−3 * , también se puede escribir f ( x) = 2 2
con dominio R, Rango R y contradominio R
14
Recuerda que las variables se pueden escribir con cualquier letra. b) f ( x) = 3 x 2 + 4 . El dominio, rango y contradominio son, Dom: R,
Rango: [4, ∞)
y
C.D.: R
Como puedes observar de la gráfica la función no es inyectiva, no es suprayectiva y por lo tanto no es biyectiva. No tiene inversa.
Sin embargo... Si restringimos el dominio al intervalo [0, ∞) el rango quedará como [4, ∞). Si restringimos, también, el contradominio a [4, ∞) la función se vuelve inyectiva, suprayectiva y biyectiva. Con estas consideraciones la función sí tiene inversa. La gráfica de cómo queda la función se muestra a la derecha. Para encontrar la inversa, primero hacemos y = f ( x) y despejamos “x”:
y = 3x 2 + 4 y−4 =x 3 Por lo tanto la inversa es f −1 ( x ) =
x−4 3
El dominio de la función inversa es, [4, ∞) . El rango [0, ∞) (solo se toma la raíz positiva) y el C.D. [0, ∞)
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1.6. Ejercicios: Encuentra la función inversa de las siguientes funciones, cuando no sean biyectivas restringe lo que sea necesario para que lo sean. Da el dominio, rango y contradominio de ambas funciones. 1. f ( x) = 5 x − 4
2. f ( x) = x − 1
4. f ( x) = − x 2 + 5
5. f ( x) = 8 x 2 − 2
7. f ( x) =
8. f ( x) =
x−4
10. f ( x) = x 2 + x
16
1 x+2
3. f ( x) =
6− x 3
6. f ( x) = 3 x 3 + 9 9. f ( x) =
x −1 x+2
II. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Introducción. Un tipo de funciones son las funciones trigonométricas, que sirven para modelar fenómenos periódicos, para esta unidad es recomendable que repases el teorema de Pitágoras y tengas una calculadora a la mano para que puedas resolver algunos problemas, si no tienes calculadora puedes dejar indicado el resultado. Objetivo. En esta unidad identificaremos dos tipos de medida de ángulo, trabajarás con las funciones seno, coseno y tangente para resolver algunos problemas de trigonometría es decir encontrarás con el valor de los lados, ángulos, área y perímetro de cualquier triángulo. ¡Suerte! Ángulo: Es la medida del giro que haría un segmento de recta (fijando un extremo) para que coincida con la dirección del otro segmento. Se puede medir en grados y/ó radianes, la equivalencia entre ambos está dada por: 360º = 2π
ó π = 180º
Ejemplo: a) Transforma 120º a radianes. b) Transforma 1.25 rad. a grados. c) Transforma 79 π a grados Solución: a) Para transformar 120º a radianes, usa la relación de equivalencia y una regla de tres:
π → 180° x → 120°
De donde se tiene: x =
120(π ) 2 = π radianes múltiplos de π 180 3
También se puede escribir: x =
2 (3.1416) = 2.094 rad 3
17
Para transformar 1.25 rad. a grados, usa la relación de equivalencia y una regla de tres:
π → 180°
De donde se tiene: x =
1.25 → x° b) Para transformar
7 9
1.25 rad(180º ) 1.25 rad(180º ) = = 71.62º 3.1416 rad π rad
π a grados, usa la relación de equivalencia y una regla de tres:
π → 180° = x De donde se tiene: 7 π → x° 9
7 9
π rad (180º ) 7(180º ) = = 140º π rad 9
2.1.- Ejercicios: a) Transforma de radianes a grados: 1. 6.
π
4
π
5
3π 4 19π 7. 20 2.
3.
π
2 2π 8. 3
4.
π
5π 36
5.
6 11π 9. 18
10.
b) Transforma de grados a radianes y radianes múltiplos de π . 1. 12º 2. 23º 3. 298º 4. (3/2)º 6. 100º 12’ 7. 212º 30’ 45’’ 8. 3 014º 9. 10º 10’
π
3
5. 345º 10. 25’
Razones trigonométricas.
Para un triángulo rectángulo (el que tiene un ángulo de 90º) las proporciones entre sus lados y la hipotenusa se pueden obtener por medio de las razones trigonométricas. Para el triángulo rectángulo de la siguiente figura, se tienen:
cateto opuesto b = hipotenusa c cateto opuesto b tan( B) = = cateto adyacente a hipotenusa c sec( B) = = cateto adyacente a sen( B) =
cos( B) =
cateto adyacente a = hipotenusa c
cateto adyacente a cot( B) = = cateto opuesto b hipotenusa c csc( B) = = cateto opuesto b
B a
C
c b
A
Observa: Si quieres obtener las razones trigonométricas con respecto al ángulo “A”, las definiciones son las mismas, pero toma en cuenta que los catetos son diferentes.
18
Relaciones directas entre las razones trigonométricas: A partir de la definición para las razones trigonométricas encontramos que:
sec( B) =
1 cos( B)
cot( B ) =
1 tan( B )
csc( B) =
1 sen( B)
tan( B) =
sen( B) cos( B)
Observa: Si quieres calcular las razones trigonométricas de un ángulo en grados ó radianes, recuerda que el modo de tu calculadora tiene que estar en “deg” ó “rad” respectivamente. Ejemplo: Encuentra los valores de las razones trigonométricas para el ángulo Solución: sen (x)
cos (x)
0.87
0.5
tan (x)
0.87 = 1.73 0.5
cot (x)
1 = 0.58 1.73
sec (x)
1 =2 0.5
π 3
. csc (x)
1 = 1.15 0.87
2.2. Ejercicios: a) Usa tu calculadora para encontrar los valores de las razones trigonométricas de los siguientes ángulos (x): x
25º
12º15’ 45º 30’
2.5 rad
3π
π 9
300°
2 001º
16π 6
sen (x) cos (x) tan (x) cot (x) sec (x) csc (x) b) Sin usar la calculadora (sin calcular el ángulo) encuentra los valores de las otras razones trigonométricas, sabiendo que sen(θ ) =
1 2
Identidades trigonométricas
Usa tu calculadora y encuentra (sen (θ ))2 para un ángulo cualquiera, súmale (cos(θ )) 2 para el mismo ángulo ¿qué resultado obtuviste? Vuelve a realizar el cálculo usando otro ángulo. Como te habrás dado cuenta sin importar el ángulo que selecciones siempre se cumple que:
sen 2θ + cos 2 θ = 1 19
A la ecuación anterior se le conoce como identidad trigonométrica pitagórica. Recuerda que, por facilidad, se escribe (sen (θ ))2 = sen 2θ lo cual es válido para cualquier razón trigonométrica. Ejemplo Tomando en cuenta la identidad pitagórica y las relaciones directas entre las razones trigonométricas, muestra por medio de manipulaciones algebraicas que se cumple: 1. 1 + tan 2 (θ ) = sec 2 (θ ) 2. (sec θ + tan θ )(1 − senθ ) = cos θ 3. sec θ − cosθ = tan θ senθ
Solución 1. 1 + tan 2 (θ ) = sec 2 (θ ) Usando tan θ =
senθ , se tiene que: cosθ 2
sen θ sen 2θ 1 + tan (θ ) = 1 + = 1 + = cos θ cos 2 θ 2
cos 2 θ + sen 2θ 1 = = sec 2 (θ ) 2 2 cos θ cos θ 1 = = sec 2 (θ ) Que es lo que se quería. 2 cos θ =
2. (sec θ + tan θ )(1 − senθ ) = cos θ Realizando la multiplicación del lado izquierdo se tiene:
(sec θ + tan θ )(1 − senθ ) = sec θ − sec θ sen θ + tan θ − tan θ sen θ = 1 1 sen θ = − sen θ + tan θ − sen θ = cosθ cosθ cosθ 1 sen 2θ = − tan θ + tan θ − = cosθ cosθ 1 sen 2θ = − = cosθ cosθ 1 − sen 2θ = cosθ cos 2 θ Que es lo que se quería. = = cos θ cos θ
3. sec θ − cosθ = tan θ sen θ
20
Ahora iniciamos por el lado derecho (se puede iniciar por el lado que más convenga), Usando tan θ =
senθ senθ se tiene: tan θ senθ = senθ = cosθ cosθ
=
sen 2θ 1 − cos 2 θ = = cosθ cosθ
=
1 − cos θ = secθ − cos θ cos θ
2.3. Ejercicios. Tomando en cuenta la identidad sen θ + cos θ = 1 y las relaciones directas entre las razones trigonométricas, muestra por medio de manipulaciones algebraicas que se cumplen las siguientes igualdades: 2
2. (tan θ + cot θ ) tan θ = sec 2 θ
1. tan 2 (θ ) + 1 = sec 2 (θ ) 3. (1 + sen θ )(1 − sen θ ) =
2
1 sec 2 θ
4. cos 2 θ (sec 2 θ − 1) = sen 2θ
5.
sen θ + cosθ = 1 + tan θ cos θ
6.
7.
tan θ + cosθ = sec θ + cot θ sen θ
8. (1 − sen 2θ )(1 + tan 2 θ ) = 1
sec θ + tan θ = tan θ sec θ cosθ + cot θ
Triángulos rectángulos
Un triángulo rectángulo es aquel en el que dos de sus lados forman un ángulo de 90º, resolverlo quiere decir encontrar sus tres lados, ángulos, perímetro y área. El perímetro tendrá unidades lineales (u) y el área, unidades cuadráticas (u2). El símbolo significa “ángulo”, así A = 10º significa el “ángulo A es igual a 10 grados”. Ejemplo: Encuentra todos los elementos del triángulo:
A = 25° y C = 90° a=2 y c=4
4 2 90° b
25°
21
Solución:
b despejando el cateto se tiene: 4 b = 4 cos(25°) = 4(0.9063) = 3.625
- De acuerdo a la figura: cos(25°) =
- Por lo tanto el perímetro es: P = 2 + 4 + 3.625 = 9.625 u
b ⋅ a (3.625)(2) = = 3.625 u 2 2 2
- Y el área es A =
- Como la suma de los tres ángulos es 180°, entonces: B = 180° - 90° - 25° = 65° 2.4. Ejercicios: Encuentra todos los elementos del triángulo: 3 ángulos, 3 lados, perímetro y área. A
B
1 2
35º
C
a
b
90º
4
6
90º
c
90º
5
8
4
90º
4 3
8
5
90º 64º 20’
Área
25
3
6
Perímetro
5 3
90º
10 3
20.1
Triángulos Oblicuángulos
Cuando un triángulo no tiene un ángulo recto (90º) se denomina oblicuángulo. Área de triángulos oblicuángulos: Es el producto de las longitudes de dos
A
ē rea =
c
lados
cualesquiera por el seno
del
entre
ellos,
ángulo todo
b C
B
ē rea =
(a)(c)sen( 2
a
dividido entre dos.
ē rea =
22
(b)(c)sen( A 2
(a)(b)sen(C) 2
Ley de los senos:
Ley de los cosenos:
Son tres ecuaciones que se pueden Son tres ecuaciones que relacionan dos escribir como: lados y un ángulo:
c 2 = (b) 2 + (a ) 2 − 2(b)(a ) cos(C )
sen( A) sen( B) sen(C) = = a b c
a 2 = (b) 2 + (c) 2 − 2(b)(c) cos( A)
Esta ley sirve para encontrar los elementos de un triángulo cuando se conocen:
b 2 = (a) 2 + (c) 2 − 2(a )(c) cos( B) Estas relaciones se pueden utilizar para
encontrar los elementos de un triángulo a) Dos lados y un ángulo opuesto a cuando se conocen: uno de ellos (LLA) a) Dos lados y el ángulo entre ellos (LAL) b) Dos ángulos y cualquier lado (ALA), (AAL) b) Tres lados (LLL) Ejemplo: Encuentra todos los elementos del triángulo definido por: A = 41°, C = 77° y a = 10.5 Solución: Lo primero que notamos es que tenemos dos
A + B + C = 180º
ángulos y sabemos que la suma de los Por lo tanto: B = 180 – (41 + 77) = 62º ángulos interiores de un triángulo es de 180º.
Para obtener el lado c usamos la ley de los de donde: senos:
sen( A) sen(C) = a c
de la misma forma para el lado b:
sen( A) sen( B) = b a
Finalmente:
c=
sen(77) sen(C) (10.5) = 15.59 (a) = sen(41) sen( A)
de donde:
b=
senB sen(62) (10.5) = 14.13 a= senA sen(41)
El perímetro es: a + b + c = 14.13 +15.6 + 10.5 = 40.23 u El= área: Área
(a )(b) sen(C ) (10.5)(14.13)sen(77) = = 72.28 u2 2 2
23
Ejemplo: Encuentra todos los elementos del triángulo definido por: B = 150°, a = 150 y c = 30 Solución: Tenemos dos lados y el ángulo entre despejando b: ellos, por lo que usamos la relación: 2
b 2 = (a ) 2 + (c) 2 − 2(a )(c) cos( B)
b = (150) + (30) 2 − 2(150)(30) cos(150) = 176.62
Para encontrar el ángulo A usamos sen(150) senB = 0.425 = 150 sen( A) = a la ley de los senos:
sen( A) sen( B) = b a
por lo tanto:
176.62
−1 = A sen = (0.425) 25.12º
De la misma forma para el ángulo C
sen(C) sen( A) = a c Finalmente:
b
sen(C) = c
sen(150) senA = 30 = 0.1 a 150
Por lo tanto: −1 = C sen = (0.1) 5.74º
El perímetro es, a + b + c =150 +30 + 176.6 = 356.6 u El área: ē rea =
(a)(c)sen( B) 150(30)sen(150) = = 1125 u2 2 2
2.5. Ejercicios Encuentra todos los elementos del triángulo: 3 ángulos, 3 lados, perímetro y área. 1 2 3 4 5
A
B
410 52.98°
770
60°
a
C
75010´
b
c
248 20 3
23.47 195 30 4
10.5
71.010
2
Perímetro
Área
Algunos problemas de triángulos Ejemplo: De lo alto de un faro, de 120 m sobre el nivel del mar, el ángulo de depresión de un bote es de 15º. ¿A qué distancia esta el bote del faro? Solución: Observa que se forma un triángulo rectángulo, recuerda que el ángulo de depresión es el que se mide de arriba hacia abajo. 15°
Usando: tan(75°) =
120 m 75° d
De donde:
24
d 120 m
d = (120 m) tan(75°) = = 447.85 m
Ejemplo: Encuentra la altura de un árbol, si el ángulo de elevación de su parte superior cambia de 20º a 40º cuando el observador avanza 25 metros (m) hacia la base del árbol. Solución: Observa que se forman dos triángulos rectángulos 1 40°
2 a
20°
a
40°
20° x +25 m
x
25 m
a x
de donde: x =
a tan(40°)
a x + 25 m
de donde: x =
a − 25 m tan(20°)
Del primero encontramos que, tan(40°) = Del segundo triángulo, tan( 20°) =
Despejando x de ambas ecuaciones, e igualándolas tenemos que:
a a = − 25 m tan(40°) tan(20°)
De donde despejamos la altura (a):
a a − = −25 m tan(40°) tan(20°)
a=
−25 m 1 1 tan(40°) − tan(20°)
Finalmente encontramos que la altura es: a =
−25 m = 16 m −1.56
Ejemplo: Una persona camina 5 km en la dirección S 40° O y luego 3 km en la dirección N 60° O ¿cuál es la distancia desde el punto inicial de partida? Solución: Observa que se forma un triángulo oblicuangulo: 3 km
N O
E
100°
60°
5 km
40°
S Por lo que podemos usar la ley de los cosenos: c 2 = (b) 2 + (a ) 2 − 2(b)(a ) cos(C )
25
Encontramos que: c 2 = (5) 2 + (3) 2 − 2(5)(3) cos(100°) = 34 + 5.21 = 39.21 Finalmente la distancia desde el origen es: c = 39.21 = 6.26 km 2.6. Ejercicios. 1. Encuentra el perímetro de un octágono regular inscrito en un círculo de radio 150 cm. 2. Desde un punto a nivel del suelo, los ángulos de elevación de la punta y la base de un árbol situado en una colina son: 47º 50´ y 39º 45´ respectivamente. Encuentra la altura de la colina si el árbol mide 115.5 pies. 3. Encuentra la altura y base de un triángulo isósceles cuyo ángulo en el vértice opuesto a al base es igual a 65º y sus lados iguales son de 6 cm. 4. Dos aviones de pasajeros, un 757 y un 732 se dirigen hacia el aeropuerto de la ciudad de México. a) El 757 esta a 20 000 pies del suelo y el ángulo de depresión con la torre es de 6° Encuentra la distancia entre el jet 757 y la torre.
d
b) El 737 esta a 15000 pies del suelo y el ángulo de depresión con la torre es de 3°. Encuentra la distancia entre el jet 737 y la torre. c) ¿Qué separación hay entre los aviones?
5. Un barco navega 15 km en la dirección S40°O, después navega 21 km en la dirección N28O, encuentra la distancia y dirección donde se encuentra desde el punto de partida. 6. Dos barcos tienen un equipo de radio cuyo alcance es de 200 millas. Uno de ellos esta a 155 millas del origen en la dirección N 42° 40’ E y el otro esta a 165 millas del origen en la dirección N 45° 10’ E. ¿Se pueden comunicar los dos barcos? 7. Encuentra la altura de un árbol, si el ángulo de elevación de su parte superior cambia de 20º a 40º cuando el observador avanza 25 m hacia la base del árbol. 8. Un asta bandera de 15 m de alto se encuentra sobre un edificio, en la calle una persona mide los ángulos de elevación de 54°51’ para la parte superior del asta y de 47°30’ para la parte inferior. ¿Qué altura tiene el edificio?
26
Gráficas de las funciones trigonométricas Las gráficas de las funciones trigonométricas se obtienen dándole valores a x, recuerda que los valores son ángulos, te mostramos las de seno, tangente y secante:
f (x) = sen(x)
Dominio: R Rango: [-1, 1] C.D.: R Es creciente y decreciente por tramos. No es inyectiva, No es suprayectiva. No es biyectiva.
f ( x) = tan( x)
Dominio: R – { n π2 }
con n = ±1, ±3, ±5... Rango: R C.D.: R Es creciente No es inyectiva Si es suprayectiva. No es biyectiva.
f ( x) = sec( x)
Dominio: R – { n π2 }
con n = ±1, ±3, ±5... Rango: R – {0} C.D.: R Es creciente y decreciente por tramos. No es inyectiva, No es suprayectiva. No es biyectiva.
2.7. Ejercicios. Traza las gráficas y encuentra el dominio, contradominio, rango y las características de las funciones trigonométricas: coseno, cotangente y cosecante.
Funciones trigonométricas inversas.
Recuerda que para que una función tenga inversa es necesario que sea biyectiva. Las funciones trigonométricas no lo son, pero si se restringe el dominio y/o el contradominio se vuelven biyectivas y por lo tanto pueden tener inversa. Ejemplo: Encuentra la función inversa de f (x) = sen(x) Solución: La función f (x) = sen(x) tiene dominio los números reales R, rango el intervalo [-1, 1] y contradominio los reales R. Como ya sabemos ésta función no es biyectiva, pero si restringimos el dominio a que tome solamente valores entre [ − π2 , π2 ], el rango
permanece igual, [-1, 1]. Y sí también restringimos el contradominio al conjunto [-1, 1] la función se vuelve biyectiva y por lo tanto tendrá inversa: f ( x) = arcosen( x) Nota: En las calculadoras aparece como: f (x) = sin−1 (x)
27
f (x) = sen(x)
f (x) = arcosen(x)
Dominio: [ − π2 , π2 ]
Dominio: [-1, 1] y Rango: [ − π2 , π2 ]
Rango: [-1, 1] y C.D.: [-1, 1] Si es biyectiva
C.D.: [ − π2 , π2 ]
También es biyectiva
2.8. Ejercicios. Restringe el dominio de las funciones cos(x) y tan(x), encuentra sus gráficas y la de sus inversas. Función periódica: Una función es periódica si existe un número positivo P de tal forma que: f ( x + P) = f ( x) para toda x. El valor más pequeño de P se llama periodo. Las funciones trigonométricas son periódicas, la forma general para las funciones seno y el coseno es
(
y = Asen kx + d
)
y = A cos (kx + d ) con k > 0
Ejemplo:
A = amplitud Periodo = Desfasamiento (fase):
2π k
d d unidades a la derecha (Si < 0) k k d d unidades a la izquierda (Si > 0) k k
Gráfica la función y = sen(x) determina su amplitud, periodo y desfasamiento; después gráfica la misma función, pero cambia lo que se indica: a) Periodo = π b) Desfasamiento = c) Amplitud A = 2 d) Todo junto.
28
π 6 y
Solución a) y = sen(x)
Amplitud =1 Periodo = 2π Desfasamiento = 0
b) y = sen(2x)
Amplitud =1 Periodo = π Desfasamiento = 0
c) y = sen(x +
π 6
Amplitud =1 Periodo = 2π
)
Des. =
d) y = 2sen(2x +
Para la función y =
6
a la izquierda
Amplitud = 2 Periodo = 2π Desfasamiento = 0
d) y = 2sen(x)
Ejemplo:
π
π 3
Amplitud =2 Periodo = π
)
Des. =
π
6
a la izquierda
π 1 sen 4x + encuentra 2 2
a) el periodo, b) la amplitud y c) el desfasamiento. Solución a) La amplitud es A = A =
1 2
2π 2π π = = k 2 4 π d 2 π ó 22.5° hacia la izquierda c) El desfasamiento es = = k 4 8
b) El periodo es:
Ejemplo Encuentra la ecuación para la función coseno con amplitud 4.5, periodo 6 π y fase π a la derecha Solución • La amplitud es A = 4.5 de donde se tiene que: A = 4.5 , A = −4.5 •
2π 2π 1 El periodo es: = 6π ; por lo que:= k = k 6π 3
•
El desfasamiento es
d π = −π de donde: d = −kπ = − k 3 29
Nota: El signo menos indica que es hacia la derecha. Por lo tanto las ecuaciones son:
x π x π y = 4.5cos − ó y = −4.5cos − 3 3 3 3
2.9. Ejercicios: a) Encuentra la amplitud, periodo y desfasamiento de las siguientes funciones: 1. y = 3sen 0.5x + π
(
( )
)
2. y = 10sen 2x
x − π 4
3. y = 0.5sen
x π − 4 4 2π 5. y = 3cos 0.5 x + 3 π 6. y = sen 0.5x + 3 1 5
4. y = − cos
b) Escribe una ecuación de la función seno y otra para el coseno para cada amplitud y periodo, solo toma el valor positivo de la amplitud. 1. Amplitud = 0.4, periodo = 0.3π 2. Amplitud = 5, periodo = 2π 3. Amplitud =
30
3π 2 , periodo = 5 5
III. FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS Introducción. Otras funciones que también son útiles en muchos problemas son las funciones exponenciales y sus inversas, las logarítmicas. Las exponenciales nos sirven para modelar cualquier tipo de crecimiento y decrecimiento, por ejemplo de dinero, poblaciones, etc. Es muy importante que recuerdes las propiedades de los exponentes que viste en cuarto año para que esta unidad no se te complique demasiado. Objetivo. En esta unidad repasaremos las propiedades de los exponentes y logaritmos para aplicarlas en la resolución de problemas. Cuando los resuelvas debes tener mucho cuidado en cada paso que hagas pues debes aplicar correctamente las propiedades. ¡Suerte!
Definición de la función exponencial: Todas las funciones del tipo: f ( x) = a x (con a > 0 y a ≠ 1) se denominan funciones exponenciales. Cuando la base (a) es el número “e”, se denomina función exponencial natural, en este caso tenemos la función f ( x) = e x .
f ( x) = e x
Dominio: R Rango: (0, ∞) Contradominio: R La función es creciente e inyectiva, no es suprayectiva ni biyectiva. Si restringimos el contradominio al intervalo (0,∞) la función se vuelve biyectiva
31
Definición de la función logarítmica: Todas las funciones del tipo: f ( x) = log a ( x) (con a > 0 y a ≠ 1) se denominan funciones logarítmicas. Cuando la base es el número “e” se dice logaritmo natural se denota como ln x .
()
Dominio: R+ Rango: R Contradominio: R
f (x) = ln(x)
La función es creciente, suprayectiva y biyectiva.
inyectiva,
3.1. Ejercicios Dibuja las gráficas y encuentra su dominio, rango, contradominio, di si es inyectiva, suprayectiva, biyectiva o ninguna de ellas de las siguientes funciones: 1. f ( x) = 2 x
2. f ( x) = 12 x
3. f ( x ) = (0.5) x
3. f ( x ) = log 2 ( x ) (ver nota)
4. f (x) = log 1 (x) 2
(ver nota) Nota: En tu calculadora solo puedes obtener directamente el logaritmo en base 10 (log) y en base “e” (ln), para hacer el cálculo en otras bases utiliza la ecuación:
log a ( x) =
log b x log b a
En donde la base b puede ser las de tu calculadora: 10 ó e.
Ejemplo: Encuentra log 2 (28) Solución:
log(28) = 4.81 log(2) ln(28) También se puede hacer cambio a la base e: log 2 28 = = 4.81 ln(2) Inversa del logaritmo y la exponencial
Haciendo cambio de base se tiene: log 2 28 =
Como ya seguramente notaste si restringimos el contradominio de la función exponencial a los números reales positivos, ésta se vuelve suprayectiva y biyectiva; por lo que tiene inversa. Por otro lado la función logarítmica es biyectiva y también tiene inversa. Para saber cuales son las inversas observa que si trazamos las gráficas de las funciones ln( x) y e x en un mismo plano. Lo que se tiene es lo siguiente:
32
Como puedes observar estas gráficas se reflejan una en la otra a través de una línea de 45º (que representaría un espejo)
ex
Esto significa que son inversas; esto es: x La inversa de ln( x) es e
ln( x)
x La inversa de e es ln( x)
Y esto se cumple para cualquier base Por lo tanto, la inversa de la exponencial es la logarítmica y la de la logarítmica es la exponencial, en su respectiva base. En base 10: log( x) ⇔ 10 x
En base 2:
log 2 ( x) ⇔ 2
En base
x
1 2
:
log 1 ( x) ⇔ ( 12 )
x
2
…, lo mismo para otras bases.
Ejemplo: 1
Convierte en forma logarítmica: 36 2 = 6 Solución: Esta expresión está en forma exponencial, la base es 36 y el exponente 21 , por lo tanto el logaritmo será de base 36 y el resultado será igual a
1 2
log 36 (6) =
1 2
.
Ejemplo: Convierte en forma exponencial: log 4 (64) = 3 Solución: Esta expresión esta en forma logarítmica la base es 4 y el resultado 3, por lo tanto en forma exponencial quedará:
43 = 64
3.2. Ejercicios Convierte a logarítmica ó exponencial según se requiera 1
1) 8 3 = 2 6) log10 (1000) = 3
−3 2) 4 =
1
64 7) log 3 (9) = 2
−1
3) 81
4
=
1 3
1 = −3 8) log 5 125
x 4) 3 = 243
9) log 1 (x) = 3 4
1 25 10) log 4 ( x + 1) = 64 5) 5− x =
33
Ecuaciones exponenciales y logarítmicas sencillas
El hecho de que estas dos funciones sean inversas nos ayuda a resolver ecuaciones exponenciales y logarítmicas. Ejemplos: x a) Encuentra el valor de la incógnita de la ecuación: 3 = 243 b) Encuentra el valor de la incógnita de la ecuación: log 4 ( x + 1) = 3 Solución: x a) Para 3 = 243 Transformando a la forma logarítmica
x = log 3 243
Cambiando la base:
x = log 3 243 =
log 243 =5 log 3
b) Para log 4 ( x + 1) = 3 Transformamos a la forma exponencial
( x + 1) = 43
Despejando x:
x = 43 − 1 = 63
3.3.- Ejercicios Resuelve las siguientes ecuaciones:
1) log 3 ( x − 2) = 21
5) log(3 x + 2) = log 300
2) log 5 ( x + 2) = 3
6) 20 = 40e
x+ 3 3) 2 = 32
7) log 4 ( x + 1) = 3
11) 3x + 2 =
4) log( x + 2) = log(3 x − 1)
8) log 2 ( x + 1)3 = 4
12) e4 x =
34
− 2x
9) ln( x 2 + 1) = ln 5 1− x 10) 8 = 64
3 2
1 5
Propiedades de los logaritmos: En tu curso de matemáticas de cuarto año aprendiste que los logaritmos tienen algunas propiedades básicas a continuación las escribimos para que te acuerdes de ellas: Logaritmo de un producto:
log a ( xy ) = log a x + log a y
Logaritmo de un cociente:
x log a = log a x − log a y y
Logaritmo de una potencia:
log a ( x n ) = n log a x
En donde a es cualquier base mayor que cero, pero diferente de uno.
Ejemplo: a) Utiliza las propiedades de los logaritmos para desarrollar log 5
[ x( x + 2)]3 2
b) Agrupa, es decir, expresa en términos de un solo logaritmo el siguiente
log 7 ( x + 1) + 2 log 7 ( x + 4) − 3log 7 ( x − 5) Solución: a) Para desarrollar debes tener mucho cuidado en reconocer las potencias, prductos y cocientes.
[ x( x + 2)]3 = log 5 [ x( x + 2)]3 − log 5 2 2
propiedad de división
log 5 [ x( x + 2)]3 − log 5 2 = 3log 5 x( x + 2) − log 5 2
propiedad de potencia
3log 5 x( x + 2) − log 5 2 = 3log 5 x + 3log 5 ( x + 2) − log 5 2
propiedad del producto
log 5
b) Para agrupar trata de realizarlo paso por paso para que no te equivoques.
log 7 ( x + 1) + 2 log 7 ( x + 4) − 3log 7 ( x − 5) = log 7 ( x + 1) + log 7 ( x + 4) 2 − log 7 ( x − 5)3
potencia propiedad de
log 7 ( x + 1) + log 7 ( x + 4) 2 − log 7 ( x − 5)3 = log 7 [( x + 1)( x + 4) 2 ] − log 7 ( x − 5)3 log 7 [( x + 1)( x + 4) 2 ] − log 7 ( x − 5)3 = log 7
propiedad de
[( x + 1)( x + 4) 2 ] ( x − 5)3
producto propiedad de división
35
3.4. Ejercicios a) Desarrolla las siguientes expresiones: 1) log
x
2) log 5 ( x − 3) x 2
x−3
6) log 3
(
x x−2 3
2x
)
3
2
7) ln x a + b+ c
a3b
3) log 2
8) log
4
c
a bc
4) log 5
9) log5
x( x − 6) x3
x
5) log 4
2
(x − 3)
4
10) log
x5 c+4
a b c4
b) Agrupa las siguientes expresiones: 1) 2[log 5 ( x ) − 2 log 5 ( x − 3)]
5) log (a − b ) + log (a + b )
1 2) log 3 ( x ) + 2 log 3 ( x − 2) − log 3 (2 x ) 3 3) log 7 + 3log a + 2 log b + 5log c − log 3 − 2 log x − log y
6) ln x − 2 ln( x + 4) + ln 3
4)
1 1 1 log 2 + log x + log y − log 3 − log z 2 2 2
Solución de ecuaciones exponenciales y logarítmicas usando las propiedades Ejemplo: Resuelve las ecuaciones: a) log 5 ( x) + log 5 ( x + 1) = log 5 12 x x+ 5 b) 5 = 2
Solución: a) Para la ecuación: log 5 ( x) + log 5 ( x + 1) = log 5 12 Agrupa: transforma a exponencial: elimina porque tienen la misma base: queda una ecuación de segundo grado: resuelve por factorización: las posibles soluciones son:
log 5 ( x)( x + 1) = log 5 12 5log5 12 = x( x + 1)
12 = x( x + 1) x 2 + x − 12 = 0 ( x + 4)( x − 3) = 0 x = -4 y x = 3
Comprueba el resultado y verifica que solo es correcta la solución x = 3.
36
x x+ 5 b) Para la ecuación: 5 = 2
Toma logaritmo base 10 de ambos lados:
log 5 x = log 2 x+5
usa la propiedad de potencia:
x log 5 = ( x + 5) log 2 x log 5 − x log 2 = 5log 2 x(log 5 − log 2) = 5log 2
factoriza la x: El resultado es:
x=
5log 2 = 3.78 (log 5 − log 2)
3.5. Ejercicios. Encuentra el valor de x que satisfagan las siguientes ecuaciones. − x+2
5. 2 log 5 ( x − 2) = log 5 36
1 =2 2. 2 1 4. (log 7 x + log 7 8) = log 7 16 2 6. log 3 x 2 − log 9 x = 1
7. log x − 2 log x = log 2 − log 54
8. log 4 (2 x + 1) = log 4 (5 x − 4)
1. log11 x + log11 ( x + 1) = log11 6 3. log 4 ( x − 3) + log 4 ( x + 3) = 2
10. log b x −
9. 103 x− 2 = 100 000 Algunos problemas de logaritmos
2 log b 27 = 2 log b 2 − log b 3 3
Ejemplo: ¿Cuántos años se necesitarán para que un capital de $100 000 se duplique, si se sabe que la tasa de interés compuesto anual es de 14.5%? (Usa la fórmula para interés compuesto: C = c(1 + r )t ) Solución: Usando la fórmula para el interés compuesto para inversiones anuales es C = c(1 + r )t Donde: C = capital final c = capital inicial r = tasa de interés anual t = tiempo en años Lo que tenemos que hacer es despejar el tiempo de la ecuación anterior, tomando logaritmos de los dos lados encontramos que:
log C = log[c(1 + r )t ]
de donde log C = log c + t log(1 + r ) por lo tanto el tiempo t =
log C − log c log(1 + r )
Como queremos que el capital final sea el doble del inicial, entonces: C = 2c La tasa de interés es r = 14.5% = 0.145
37
Sustituyendo lo anterior encontramos que el tiempo requerido para duplicar el capital es:
t= 3.6. Ejercicios:
log 2c − log c log(200 000) − log(1 000) = = 5.12 a–os log(1 + r) log(1 + 0.145)
1. Se prestan $3 500 a una tasa de interés compuesto anual de 6%, ¿Cuál será el capital después de 3 años? 2. Encuentra los intereses que producen $9 000 colocados al 5% de interés nominal anual, durante 2 años 6 meses. 3. Una cantidad de $6 000 que estuvo prestada al 3% de interés compuesto anual se convirtió en $6 950. ¿Cuánto tiempo estuvo prestada? 4. Determina la tasa de interés compuesto anual a la cual un capital inicial de $2 000 genera un interés de $850 en un plazo de cinco años. 5. ¿Cuánto tiempo tardará un capital en cuadruplicarse si se invierte al 20% de interés compuesto anual? 6. Una sola bacteria del cólera se divide cada media hora para producir dos bacterias completas. Si se empieza con una colonia de 5 000 bacterias, después de t horas habrá
A = (5 000)22t bacterias. ¿Cuánto tiempo tendrá que pasar para que se tengan 1 000 000 de bacterias? t 48
( )
7. Un cierto cultivo de bacterias crece a una razón de N = 1 000 10
, donde N es el
número de bacterias y t el tiempo transcurrido en horas. Determina el tiempo que sería necesario para que la población de dichas bacterias sea de 600 000 elementos. 8. En Guyana la tasa de crecimiento poblacional es de –0.90%. Si en 1996 tenía 712 091 habitantes, de contar con esta tasa, ¿cuándo tendrá las
38
2 de la población de 1996? 3
IV. SISTEMAS DE COORDENADAS Y ALGUNOS CONCEPTOS BÁSICOS Introducción. A partir de esta unidad comenzaremos a trabajar con la geometría analítica, es importante que el Teorema de Pitágoras lo comprendas bien pues lo utilizaremos con mucha frecuencia, además de las razones trigonométricas que viste en la unidad II. Objetivo. En esta unidad trabajaremos, en un principio con segmentos de recta, mediremos su distancia, la dividiremos en partes iguales. Hallaremos área y perímetro de triángulos además de mostrar otro tipo de coordenadas que nos ayudan a localizar puntos en el plano y gráficaremos curvas sencillas pero muy interesantes. Además transformaremos funciones del sistema cartesiano al polar y viceversa. Distancia entre dos puntos, dadas sus coordenadas. La distancia entre dos puntos: (x1, y1) y (x2, y2) en el plano se obtiene por el teorema de Pitágoras:
d {( x1 , y1 ) → ( x2 , y2 )} = ( y2 − y1 ) 2 + ( x2 − x1 ) 2
(x1, y1)
y2 – y1
(x2, y2) - (x2 – x1) -
Ejemplo: Encuentra la distancia entre los puntos: (−1,4) y (5,−9) Solución: Solo hay que utilizar la fórmula de distancia entre dos puntos, ten cuidado de no mezclar abscisas con ordenadas.
d = (−9 − 4) 2 + (5 − (−1)) 2 = 169 + 36 = 14.32 Área y perímetro de un triángulo dadas sus coordenadas.
(
)
Para un triángulo con vértices A x1 , y1 ,
(
B x2 , y2
) y C (x , y ) el 3
3
perímetro y área
están determinados como sigue: Perímetro. Es la suma de las longitudes de los lados.
P = d ( AB) + d ( AC ) + d ( BC ) Con A, B y C los vértices.
Se utiliza la fórmula de distancia entre cada par de puntos:
d = ( y2 − y1 ) 2 + ( x2 − x1 ) 2
39
Área. Es la superficie interior delimitada por el triángulo.
1.
2. El valor absoluto de:
A = s ( s − a )( s − b)( s − c)
x1 y1 1 1 A = x2 y2 1 2 x3 y3 1
Con a, b y c la longitud de los Se pueden usar lados y s la mitad del cualquiera de las dos perímetro: s = 1 P fórmulas mostradas a la 2 izquierda:
(x , y ), (x , y ) y (x , y ) 1
2
1
2
3
3
son las coordenadas de los vértices del triángulo. Ejemplo: Encuentra el perímetro y área del triángulo formado por los vértices: (8, 2), (2, 7) y (3,3) Solución: Como el perímetro es la suma de las longitudes de los lados, utilizamos la fórmula de distancia entre dos puntos: d = ( x2 − x1 ) 2 + ( y2 − y1 ) 2 para cada par de puntos: Para los puntos (8,2), (2,7)
a=
Para los puntos (8,2), (3,3)
b = (3 − 8) 2 + (3 − 2) 2 = 25 + 1 = 26
Para los puntos (2,7), (3,3)
c=
(2 − 8) 2 + (7 − 2) 2 =
36 + 25 =
61
(3 − 2) 2 + (3 − 7) 2 = 1 + 16 = 17
El perímetro, en unidades lineales, es:
P=
61 + 26 + 17
Para calcular el área usaremos los dos métodos: •
Como la mitad del perímetro es: s = cuadráticas, igual a:
17 = 8.5 entonces el área queda, en unidades 2
A = s ( s − a )( s − b)( s − c) = 8.5(8.5 − 7.8)(8.5 − 5.1)(8.5 − 4.1) = •
89 = 9.45 u 2
Usando el determinante encontramos que:
x1 y1 1 8 2 1 1 1 1 1 A = x2 y2 1 = 2 7 1 = 8 7 − 3 − 2 2 − 3 + 1 6 − 21 = 19 = 9.5 u2 2 2 2 2 3 31 x3 y3 1
(( ) ( ) (
)) ( )
Observa que hay una pequeña diferencia, esto es debido al redondeo de las cifras.
40
4.1. Ejercicios Encuentra el perímetro y área de los triángulos cuyos vértices están el los siguientes puntos: 1. (−1, −3), (0, 0), (1,1) 2. (1, −2), (4, 2), (−3, −5) 3. (−2, 2), (8, −4), (−5, −3) 4. (8,1), (2, 7), (3,3) 5. (2, −1), (−4, 7), (8, 0) 6. (1,3), (−2,3), (5, −2) 7. (−3, 2), (5, −2), (1,3)
3 1 1
8. − ,2 , , , (5,−2) 2 2 2
División de un segmento en una razón dada.
(
)
9. (0, 0), (a, 0), (0, h)
(
Dados los puntos: A x1 , y1 y B x2 , y2 Las coordenadas de un punto P que divide
A
P
al segmento AB en una razón
r=
AP PB
x=
son:
) B
x1 + rx2 , 1+ r
y=
y1 + ry2 1+ r
Ejemplo: Encuentra las coordenadas del punto medio del segmento AB con A (1, 4) y B (-3, -2) Solución: Observa que para el punto medio la razón es r = 1 ya que AP = PB
x=
x1 + rx2 1 + (1)(−3) = = −1 , 1+ r 1+1
y=
El punto medio y1 + ry2 4 + (1)(−2) = = 1 es: 1+1 1+ r P −1,1
( )
Ejemplo: Encuentra las coordenadas de los puntos que dividen al segmento AB , con A(1, 4) y B(-3, -2), en tres partes iguales. Solución Como el segmento se divide en tres partes iguales entonces debemos encontrar dos puntos cuyas razones son: Para el primer punto: a) r =
1 1 ya que AP = PB 2 2
Para el segundo punto: b) r = 2 ya que AP = 2 PB
A A
P1
B PA
B
Como ya tenemos las razones podemos encontrar las coordenadas de cada punto, para el inciso a:
41
x=
x1 + rx2 1+ r
=
1+
( )(−3) = − 1 , 1 2
1+
1 2
y=
3
y1 + ry2 1+ r
=
4+
( )(−2) = 2
El primer punto es:
1 2
1+
1 P1 − ,2 3
1 2
Para el inciso b:
x=
x1 + rx2 1 + (2)(−3) 5 = =− , 1+ r 1+ 2 3
y=
y1 + ry2 4 + (2)(−2) = =0 1+ r 1+ 2
El segundo punto:
5 P2 − ,0 3
4.2. Ejercicios 1. Encuentra las coordenadas del punto P que divide al segmenta AB en la razón r dada: a) A = (1, 4), B = (-3, -2), r = c) A = (6, 2), B = (3, 3), r =
1 4
b) A = (-4, 1), B = (3, 8), r = 3 d) A = (5, 4), B = (-1, 2), r = 2
3 2
e) A = (0, -4), B = (-5, 6), r =
1 2
f) A = (0, -1), B = (3, -2), r =
5 2
2. Encuentra las coordenadas de los puntos que dividen al segmento CD en tres partes iguales, considera las coordenadas de los puntos como C(1, -4) y D(8, -2).
3. Encuentra las coordenadas de los puntos que dividen al segmento AB en cuatro partes iguales, considera las coordenadas de los puntos como A(-8, 2) y B(6, 10)
4. Encuentra las coordenadas del punto A, dadas las coordenadas de B, la razón r y el punto P que divide al segmento AB en dicha razón.
42
a) B = (0, 0), P = (4, -2), r =
1 4
b) B = (-10, 5), P = (2, 12), r = 3
c) B = (-3, 4), P = (2, 2), r =
3 2
d) B = (-5, 2), P = (-7, 22), r = 2
Polígonos Es la porción del plano limitada por una línea poligonal (línea en tramos) llamada contorno, se dividen en cóncavos y convexos; se dice que son regulares (si tienen sus ángulos y lados iguales) o irregulares. De acuerdo al número de lados se clasifican como: Número de Nombre lados Tres Triángulo Cuatro Cuadrilátero Cinco Pentágono Seis Hexágono Siete Heptágono Ocho Octágono Nueve Eneágono Diez Decágono Once Endecágono
Perímetro y área de polígonos regulares Perímetro: Es la suma de la longitud Área: Es el producto del semiperímetro por la de sus lados P apotema: A = a
2
La apotema es el segmento perpendicular trazado del centro a uno de sus lados Ejemplo: Encuentra el área del hexágono regular de lado 8 cm.
8
Solución: Primero calcularemos el perímetro, solo se multiplica por seis la longitud de un lado:
P = (8 cm)(6) = 48 cm
Ahora calcularemos la apotema: Por ser un polígono regular cada ángulo interno es de
360º = 60° , por lo tanto el triángulo rectángulo que se forma tiene 6 60º = 30° siendo su cateto opuesto la mitad del un ángulo de 2 8 4 lado = 4 y su cateto adyacente la apotema: tan(30°) = 2 a 4 cm de donde a = = 6.93 cm tan(30°) 48 cm P Finalmente el área es: A = a = 6.93 cm = 166.28 cm 2 2 2
60°
30º
a 4
43
4.3. Ejercicios Traza el polígono correspondiente y encuentra el área: Polígono 1. pentágono 2. pentágono 3. pentágono
Lado 10 cm 3 cm 8 mm
Polígono 4. octágono 5. octágono 6. octágono
Lado 13 cm 5 cm 4.6 cm
Polígono 7. hexágono 8. hexágono 9. hexágono
Lado 13.5 cm 45 cm 100 cm
Coordenadas Polares El sistema cartesiano no es el único para localizar puntos y trazar gráficas, existen muchos sistemas. El sistema de coordenadas polares utiliza como elementos un punto llamado polo y una línea recta que sale del polo, llamada eje polar.
Polo
Ejemplo: Localiza los puntos: (3, 45°), (4, 120°) y (−4, 53π ) . Solución: El punto (3, 45°)
El punto (4, 120°)
El punto (−4, 53π )
.
.
.
Marca el ángulo y mide tres unidades desde el origen.
Marca el ángulo y Marca el ángulo y mide cuatro unidades mide tres unidades desde el origen. desde el origen hacia el lado contrario
4.4. Ejercicios. Localiza en el plano polar los siguientes puntos: A: (1, 0°)
B: (1, π3 )
C: (2, 45°)
F: (0, 0°)
G: (3,− π3 )
H: (1,
K: (4, − 20°)
3π 4
)
D: (4, π2 )
E: (1.5, 180°)
I: (4, − 60)
J: (2, 512π )
Nota: Recuerda que los ángulos negativos solo indican que se miden en la dirección en que se mueven las manecillas del reloj.
44
Gráficas en coordenadas polares De la misma forma que en el plano cartesiano es posible hacer gráficas en el plano polar; también tienes que hacer una tabla, pero dándole valores al ángulo para encontrar r Ejemplo: Traza la gráfica de la ecuación: r = 1 + cos(α ) Solución: Dándole valores al ángulo se tiene que: r r α α 10° 1.99 290° 1.34 20° 1.94 310° 1.64 30° 1.87 340° 1.94 40° 1.76 360° 2 90° 1 140° 0.24 180° 0 200° 0.06 270° 1
r = 1 + cos(α )
Recuerda que los valores del ángulo los seleccionas de acuerdo a como se este formando la figura, a veces se requieren más valores para tener más detalle. Como puedes ver en coordenadas polares es posible representar curvas muy interesantes con expresiones sencillas. Te mostramos otros dos ejemplos:
1 r= α 2
r=
4.5 Ejercicios Encuentra la gráfica de las siguientes funciones polares 1. r = sen(α ) 2. r = sen(α ) − 1 4. r = cos(α ) − 1 7. r = cos (3α ) 2
10. r =
5. r = cos(2α ) 8. r = α
2 1 − cos(α )
3. r = 2sen(α ) − 1 6. r = cos(4α ) 9. r 2 = 1 − cos(α )
2 2 − cos α
45
Transformación de coordenadas r=
x2 + y 2
De cartesianas a polares
y
α = arctan x
r α x
con x ≠ 0
x = r cos(α )
De polares
y
y = r sen(α )
a cartesianas Notas: • Recuerda que el arcotan(x) = arctan(x) = tan-1(x) • Recuerda que cuando calcules el ángulo, al resultado tienes que sumarle cierto valor,
y sólo se obtiene el ángulo agudo formado con el eje x. x
debido a que con arctan
Cuando el punto este en el cuadrante:
Primero Segundo Tercer Cuarto
Súmale
0° 180° 180° 360°
0
π π 2π
Ejemplo: Encuentra las coordenadas cartesianas del punto (4, 45°) Solución:
x = r cos(α ) = 4cos(45°) = 4(0.7071) = 2.283 y = r sen(α ) = 4sen(45°) = 4(0.7071) = 2.283
Las coordenadas cartesianas son:
( x, y ) = (2.283, 2.283)
Ejemplo: Encuentra las coordenadas polares del punto (-2, 4) Solución:
r=
x 2 + y 2 = (−2) 2 + 42 = 20 = 4.47
y
4
α = arctan = arctan = −63.45° x −2 debido a que el punto esta en el segundo cuadrante,
46
Las coordenadas polares son:
(r , α ) = (4.47,116.55°)
el ángulo es: -63.45º + 180º = 116.55º 4.6. Ejercicios. a) Transforma de polares a cartesianas: 1. (-1, − π2 ) 4. (-2 3 , 2. (2 2 , 3. (6,
7π 6
3π 4
2π 3
)
5. (1, π) 6. (-3, 76π )
)
)
5π 4
)
8. ( 3 , π3 )
b) Transforma de cartesianas a polares: 1. (-2, -2) 4. ( 2 , 2 ) 2. (-5, 0) 5. (4, 3) 3. (1, - 2 )
7. (0,
6. (0, 0)
7. (-1, -1) 8. (-1,
3)
Transformación de ecuaciones Es posible expresar las ecuaciones cartesianas en forma polar (ó viceversa), sólo tienes que usar las fórmulas de transformación. Ejemplo: Transforma la ecuación x 2 + y 2 = a 2 (una circunferencia) a la forma polar: Solución: Como:
Sustituyendo en la ecuación:
y = r sen(α ) x = r cos(α )
(r cos(α ))2 + (r sen(α ))2 = a 2 r 2 (cos 2 (α ) + sen 2 (α )) = a 2 Pero como: cos 2 (α ) + sen 2 (α ) = 1 Por lo tanto el resultado es r = a
Ejemplo: Transforma la ecuación 5 x − y = 4 a la forma polar: Solución: Como y = r sen(α ) y x = r cos(α ) Sustituyendo en la ecuación 5 x − y = 4 , se tiene que:
5r cos(α ) − r sen(α ) = 4 r(5cos(α ) − sen(α )) = 4
47
De donde el resultado es r =
4 5cos(α ) − sen(α )
4.7. Ejercicios. a. Transforma las siguientes ecuaciones de forma cartesiana a forma polar: 1) x = 4 2) x 2 + y 2 = 2 3) x 2 − y 2 = 4 4) 3 x − 2 y + 1 = 0 5) y 2 = x 3
7) y = x
6) x 2 + y 2 − 4 x = 0
8) xy = 1
b.- Transforma las siguientes ecuaciones de forma polar a forma cartesiana:
π 4
1) r = 5
2) α =
4) r = sen(2α )
5) r 2 = cos(α )
7) r = sec(α )
8) r 2 = sen(2α )
10) r =
48
1 1 + sen(α )
3) r = 4 sen(α )
1 1 − 2 sen(α ) 9) r = 2 sen(α ) + 3cos(α )
6) r 2 =
V. DISCUSIÓN DE ECUACIONES ALGEBRAICAS Introducción. En esta unidad encontrarás los elementos más importantes para poder gráficar una función. Uno de los problemas que resuelve la Geometría Analítica es que a partir de la ecuación podamos hacer su gráfica. En esta unidad verás algunos ejemplos desarrollados paso a paso para que puedas interpretar gráficamente los resultados de las operaciones que habremos de realizar. Objetivo. Dada una ecuación la manipularemos para encontrar sus intersecciones con los ejes coordenados, sus simetrías y asíntotas. Esa es una información necesaria para encontrar la gráfica de dicha ecuación. Es necesario que hagas una interpretación geométrica de los resultados que vayas obteniendo, por ejemplo debes saber qué significa que la ecuación sea simétrica con respecto al eje X o cómo es la gráfica de una ecuación si tiene una asíntota vertical, por ejemplo, en x = 2. Simetrías. Cualquier figura es simétrica con respecto a un punto, si cuando la giro 180° con respecto a dicho punto, la figura no se altera. Una forma práctica para determinar simetrías es: Simetría
Método que se usa para determinarla
Ejemplo
f ( x) = x3
Con respecto al Si se cambia a y por es simétrica con origen –y y a x por –x y la respecto al origen, ya ecuación no se altera. que:
x = y2 − 4
Con respecto al Si se cambia a y por es simétrica con eje x –y y la ecuación no se respecto al eje x, ya altera. que:
y = 2x2 + 6
Con respecto al Si se cambia a x por es simétrica con eje y –x y la ecuación no se respecto al eje y, ya altera. que:
− y = ( − x )3 − y = −( x )3 y = x3 x = y2 − 4 x = (− y )2 − 4 x = y2 − 4 y = 2x2 + 6 y = 2(− x) 2 + 6 y = 2x2 + 6
49
Para que veas como son estas simetrías te mostramos las gráficas de las ecuaciones:
f ( x) = x3
x = y2 − 4
y = 2x2 + 6
Simétrica con respecto al origen
Simétrica con respecto al eje x
Simétrica con respecto al eje y
Intersecciones con los ejes. Es importante saber las coordenadas de los puntos que cruzan los ejes, para deducirlos hacemos lo siguiente: Intersección
Método que se usa
Ejemplo
para determinarlo
x = y2 − 4 Con el eje x
Se hace y = 0 y se Intersecta el eje x en despeja x. el punto: (-4, 0).
x = y2 − 4 x = (0) 2 − 4 x = −4
Ya que:
x = y2 − 4 Con el eje y
Se hace x = 0 y se Intersecta el eje y en despeja y. los puntos: (0, -2) y (0, 2)
y =± x+4 y = ± 0+4 y = ±2
Ya que: Observa en la gráfica de la ecuación: x = y 2 − 4 (página anterior) que los puntos de intersección con los ejes son: (0, -2), (0, 2) y (-4, 0).
50
Asíntotas horizontales y verticales Una asíntota es una recta que se aproxima mucho a una curva, cuando ésta se aleja del origen, pero no la cruza. Asíntota Método que se usa Ejemplo para determinarlo Igualando a cero el 4 xy − 8 x = 2 Horizontal Se despeja x, y se Despejando x: denominador y despejando resuelve la ecuación que se forma igualando 4y −8 = 0 x(4 y − 8) = 2 el denominador con y=2 2 cero. x= La recta y = 2 es una 4y −8 asíntota Vertical
4 xy − 8 x = 2
Se despeja y, y se Despejando y: resuelve la ecuación que se forma igualando 4 xy = 2 + 8 x el denominador con 2 + 8x cero. y=
Igualando a cero el denominador y despejando
4x = 0 x=0 La recta x = 0 es una
4x
asíntota
Para que veas donde están las asíntotas te mostramos la gráfica de la ecuación:
4 xy − 8 x = 2
Una asíntota es el eje y:
x=0
La otra asíntota es la recta:
y=2
Ejemplo: Analiza la ecuación: 4 yx 5 = 1 Solución: 1. Primero encontramos las simetrías a) Si cambiamos a y por –y y a x por –x se tiene: 4(− y )(− x)5 = 4 yx 5 = 1 la ecuación no se altera, por lo tanto la gráfica es simétrica con respecto al origen. b) Si cambiamos a y por –y se tiene: 4(− y ) x 5 = −4 yx 5 = 1 la ecuación si se altera, por lo que la gráfica no es simétrica con respecto al eje “x”. c) Si cambio x por –x se tiene: 4 y (− x)5 = −4 yx 5 = 1 la ecuación si se altera, por lo que la gráfica no es simétrica con respecto al eje “y”.
51
2. Ahora encontremos las intersecciones con los ejes a) Hacemos y = 0 y despejamos a x: 4(0) x 5 = 1 esta incongruencia significa que la gráfica no cruza el eje x. b) Hacemos x = 0 y despejamos a y: 4 y (0)5 = 1 esta incongruencia significa que la gráfica tampoco cruza el eje y. 3.- Finalmente encontramos las asíntotas a) Despejando x, se tiene x =
5
1 de donde si 4 y = 0 implica que y = 0 lo que 4y
significa que una asíntota es el eje “x” b) Despejando
y se tiene y =
1 4 x5
5 de donde si 4 x = 0 implica que x = 0 lo
que significa que otra asíntota es el eje “y” Ejemplo: Analiza la ecuación: yx = x 2 − 1 Solución: Conviene, primero, escribir la ecuación como: yx − x 2 + 1 = 0 1. Simetrías a) Si cambiamos a y por –y y a x por –x se tiene: (− y )(− x) − (− x) 2 + 1 = yx − x 2 + 1 por lo tanto la gráfica es simétrica con respecto al origen. b) Si cambiamos a y por –y se tiene: (− y ) x − x 2 + 1 ≠ yx − x 2 + 1 , por lo que la gráfica no es simétrica con respecto al eje “x”. c) Si cambio x por –x se tiene: y (− x) − (− x) 2 + 1 ≠ yx − x 2 + 1 por lo que la gráfica no es simétrica con respecto al eje “y”. 2. Ahora analicemos las intersecciones con los ejes a) Hacemos y = 0 y despejamos a x: (0) x − x 2 + 1 = 0 x = ± 1 por lo que la gráfica cruza el eje “x” en 1 y –1. b)
Hacemos x = 0 y despejamos a y: y (0) − 02 + 1 = 0 esta incongruencia significa que la gráfica no cruza el eje “y”.
3.- Finalmente encontramos las asíntotas a) Despejando a x, como una ecuación de segundo grado en x ( − x 2 + yx + 1 = 0 ) se
− y ± y2 + 4 de donde encontramos que no hay asíntotas horizontales. −2 x2 − 1 de donde si x = 0 implica que una asíntota b) Despejando a y se tiene y = x es x = 0 ( el eje “y”) tiene x =
52
Te presentamos las gráficas de las dos ecuaciones anteriores para observes las características encontradas.
4 yx 5 = 1
yx = x 2 − 1
Observa que la segunda gráfica tiene una asíntota vertical y otra oblicua, esta última no se encuentra con el método mostrado. Investiga como se podría obtener. 5.1 Ejercicios Analiza las siguientes ecuaciones: 1. y − 6 x = 0 2. xy = −10
3. x 2 y = 2 x + 1
5. yx 2 − 4 y = 8
6. y = 2 x 3 y + 2
7.
8. yx = x − 4
9. y 2 + 4 x − 4 y = 12
4. x 2 + y 2 = 25
x2 =1 y2
10. xy = 4 y
5.2 Ejercicios Investiga que es la extensión de una ecuación y cuál es la diferencia con el rango de una relación.
53
VI. ECUACIÓN DE PRIMER GRADO. Introducción. Muchos fenómenos se pueden modelar con una función lineal, es decir con un polinomio de primer grado, para esta unidad es necesario que recuerdes bien cómo despejar ecuaciones lineales. Objetivo. En esta unidad tendremos la oportunidad de recordar cómo calcular la pendiente de una recta, ver las condiciones de paralelismo y perpendicularidad, así como encontrar el ángulo que forman dos rectas. Línea recta: Por dos puntos en el plano ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ) se puede trazar una línea recta. - La pendiente (m) esta dada por:
m=
(x1, y1)
(x2, y2)
y2 − y1 x2 − x1
θ
- La inclinación (θ) se obtiene a partir de:
m = tan(θ )
θ = tan −1 (m) La ecuación de la línea recta que pasa por dos puntos es:
y2 − y1 ( x − x1 ) x2 − x1 y − y1 = m( x − x1 )
y − y1 = La cual se puede escribir como:
y − y2 = m( x − x2 )
o bien de la forma y = mx + b de
esta forma se puede reconocer fácilmente el valor de la pendiente. Ejemplo: Encuentra la ecuación de la recta que pasa por: (-2, -1) y (4, 2). Solución: La pendiente definida por (-2, -1) y (4, 2) es:
m=
54
y2 − y1 2 − (−1) 3 1 = = = x2 − x1 4 − (−2) 6 2
La ecuación de la recta es:
1 ( x − 2) 2 2y + 2 = x − 2 x − 2y − 4 = 0 y − (−1) =
Rectas paralelas y perpendiculares Dos rectas son paralelas cuando tienen las mismas pendientes:
m1 = m2 (m1 )(m2 ) = −1 ,
Dos rectas son perpendiculares cuando el producto de sus ó también: pendientes es igual a menos uno. También se dice que 1 dos rectas son perpendiculares si sus pendientes son m1 = − m2 recíprocas y de signo contrario.
Ejemplo: Encuentra la ecuación de la recta que pasa por (-5, 1) y es perpendicular a la recta 3 x − 4 y − 5 = 0 . También encuentra la paralela que pasa por ese mismo punto. Solución: En la ecuación que nos dan despejamos la “y”, para poder reconocer fácilmente la pendiente: m =
3 4
3 La recta paralela tiene pendiente , por lo tanto la 4 ecuación que pasa por el punto (-5, 1) es: La recta perpendicular tiene pendiente:
m⊥ = −
4 1 1 =− =− 3 m 3 4
Por lo tanto la ecuación que pasa por el punto (-5, 1) es:
3x − 4 y − 5 = 0 −4 y = −3 x + 5 3 5 y = x− 4 4
3 y − 1 = ( x − (−5)) 4 4 y − 4 = 3 x + 15 3 x − 4 y + 19 = 0 4 y − 1 = − ( x − (−5)) 3 3 y − 3 = −4 x − 20
4 x + 3 y + 17 = 0
6.1. Ejercicios Encuentra la ecuación de la recta que pasa por: 1. (1, -2) y (4, -3) 2. (9,0) y (4, 2) 3. (-4, 3) y tiene pendiente m = 3 4. (0, 4) y tiene pendiente m = 13
5. (2, -3) y es perpendicular a la recta 2 x − 3 y + 6 = 0 6. (1, 2) y es perpendicular a la recta 5 x − 2 y − 16 = 0
7. (1, -3) y es paralela a la recta x + y − 2 = 0 8. (0, 0) y es paralela a la recta 3 x + 4 y − 5 = 0 9. Encuentra las ecuaciones de las rectas de los lados del triángulo formado por los vértices: (1, 2) (-1, -1) y (-3,3)
55
Diversas formas en que se puede escribir la ecuación de la recta
Ax + By + C = 0
Forma general Pendiente y ordenada al origen.
y = mx + b x y + =1 a b y − y1 y1 − y2 = x − x1 x1 − x2 x cos(α ) + y sen(α ) + d = 0 , donde:
Simétrica
Cartesiana Normal
A
cos(α ) =
2
A + B2 B
sen(α ) =
C
d=
A + B2 2
2
A + B2
Ejemplo: Expresa la ecuación de la recta 3 x + y − 7 = 0 en las otras formas: Solución: • En forma general ya está: 3 x + y − 7 = 0 en la cual A = 3, B = 1 C = -7 • En forma pendiente y ordenada al origen, se despeja y de 3 x + y − 7 = 0 •
quedando y = −3 x + 7 . En forma simétrica:
•
En forma cartesiana, se buscan dos puntos que satisfagan la ecuación, por
3x + y − 7 = 0 3x + y = 7 x y − =1 7 7 3
ejemplo para x1 = 1, y1 = 4 ; y para x2 = 2, y2 = 1 la ecuación queda •
y − 4 4 −1 = x −1 1 − 2
En forma normal, para pasar de la ecuación Ax + By + C = 0 a la forma normal hay que cerciorarse que el término independiente (C) sea negativo, de lo contrario habrá que multiplicar la ecuación por –1. Como en este caso C = -7, no debemos multiplicar la ecuación por –1. Por lo tanto: d =
−7
10
Finalmente la ecuación queda:
56
cos(α ) = 3 10
x+
1 10
3
sen(α ) =
10 y−
7 10
=0
1
10
6.2. Ejercicios. Expresa las ecuaciones de las rectas en las formas faltantes. 1. 2 x − 3 y + 6 = 0
2. 5 x − 2 y − 16 = 0
4. 3 x + 4 y − 5 = 0
0 5. x − y − 10 =
7. y =
3 x−5 2
3. x + y − 2 = 0
x y − =4 2 3 1 9. y = −2 x + 4 6.
8. 2 x + 2 = y − 5
Ángulo entre rectas El ángulo entre L1 y L2 menor de 90° (agudo), no negativo, medido desde L1 hasta L2 se obtiene por medio de:
m − m1 β = tan −1 2 1 + m2 m1
β
L2
Con: L1
m1 = pendiente de L1 m2 = pendiente de L2
Recuerda: Las barras indican valor absoluto Nota: Si queremos el ángulo obtuso (mayor de 90°) entre las rectas lo que hacemos es:
α = 1800 − β
Ejemplo: Encuentra el ángulo entre las rectas:
y + 2x − 1 = 0 2 y − 6x + 4 = 0
Solución: Despejamos a y de las Identificamos dos ecuaciones: las pendientes:
y = −2 x + 1 y = 3x − 2
No es necesario hacer la gráfica, pero te puede ayudar.
m1 = −2 m2 = 3
3 − (−2) 5 = − = −1 5 1 + 3(−2)
Por lo tanto el ángulo menor entre las rectas es: tan( β ) =
β = tan −1 (−1) = −450 = 450 0 0 0 El ángulo obtuso (mayor de 90°) entre las rectas es: α = 180 − 45 = 135
57
Ejemplo: Encuentra los ángulos interiores del triángulo definido por los puntos, A(−3,1) , B (2, 6) y C (−2, 4) . Solución: Primero dibuja el triángulo, ponle etiquetas y calcula las pendientes de los lados: B
A(−3,1) B (2, 6) C (−2, 4)
C
A
6 −1 =1 2 − (−3) 4 −1 m( AC ) = =3 −2 − (−3) 4−6 1 m( BC ) = = −2 − (2) 2 m( AB ) =
Ahora encuentra el ángulo entre cada par de lados, ayúdate de la figura: Ángulo en el vértice A:
m( AB) = 1 m( AC ) = 3
3 −1 1 tan(α ) = = 1 + 3(1) 2
Por lo tanto: −1 1 = = α tan 26.56º 2
Este ángulo agudo es triángulo.
el interior
del
∠A = 26.560
Ángulo en el vértice B:
m( BC ) =
1 2
m( AB) = 1
1 1− 2 1 tan( β ) = = 1 3 1 + (1) 2
Por lo tanto: −1 1 = β tan = 18.43º 3
Este ángulo agudo es triángulo.
el interior
del
∠B = 18.43º
Ángulo en el vértice C:
m( AC ) = 3 m( BC ) =
58
1 2
Por lo tanto:
1 2 − 3 γ = tan −1 (−1) = −45° = 45° tan(γ ) = = −1 1 1 + (3) En este caso el ángulo interior del triángulo 2 es el obtuso, por lo que: ∠C = 180° − 45= ° 135º
Observa que la suma de los tres ángulos interiores es la adecuada:
∠A + ∠B += ∠C 26.56º +18.43º += 135º 179.99º 6.3 Ejercicios: Encuentra los ángulos interiores de los siguientes triángulos 1. (1, 2), (3, 0), (4,1)
2. (1,5), (3, −1), (−1, −1)
3. (3,1), (7, 2), (1,9)
4. (3, 2), (4,5), (−1, −1) 5. (−2,3), (−1, 7), (4, 2) Distancia de un punto a una recta.
6. (−1, 0), (4, 6), (9,1)
La distancia mínima de un punto: (x1, y1) a una recta con ecuación en forma general:
La distancia mínima es la perpendicular: . (x1, y1)
Ax + By + C = 0
Esta dada por:
d ( P1 → l ) =
Ax1 + By1 + C
Ax + By + C = 0
A2 + B 2
Ejemplo:
3 4
− x+ Encuentra la distancia del punto (1, 2) a la recta y =
1 2
Solución: Lo primero que tenemos que hacer es escribir la ecuación en la forma general.
3 1 y =− x+ 4 2
multiplicando por 4 se tiene
4 y = −3 x + 2 finalmente la recta en su forma general queda: 3 x + 4 y − 2 = 0
De donde observamos que A = 3, B = 4 y C = -2, de donde:
d ( P1 → l ) =
Ax1 + By1 + C A2 + B 2
=
3(1) + 4(2) − 2 9 + 16
=
9 5
59
6.4. Ejercicios Encuentra la distancia del punto a la recta indicada: 1. (3, −2); 5 x − y + 4 = 0
1
2. ,−2 ; − 3x − 6 y + 14 = 0 2
4 ( x − 2) 3 1 2 1 4. 0,− ; y = x − 4 3 3 3 4 y + x = −2 5. (3, 6); 4 3 y x + =1 6. (0, −6); 16 5 3. (0, −6); y =
Rectas y puntos notables del triángulo: Ortocentro:
Circuncentro:
Baricentro:
Es el punto de intersección Es el punto de intersección Es el punto de intersección de las alturas. de las mediatrices. de las medianas. Las rectas que forman las alturas son perpendiculares a cada lado y pasan por el vértice opuesto.
Las mediatrices son rectas que pasan por el punto medio y son perpendiculares a cada lado.
Las medianas son rectas que pasan por el punto medio de cada lado y el vértice opuesto.
Ejemplo: Encuentra los puntos y rectas notables del triángulo definido por los vértices: (-6, -3), (8, -1) (2, 3) Solución: a) Circuncentro: 1. Dibujamos el triángulo y asignamos una etiqueta a cada vértice: C • A (-6, -3) • B (8, -1) • C (2, 3) B A
60
2. Calculamos las pendientes de los lados, usando m = Para los puntos A y B:
m( AB ) =
Para los puntos A y C:
−1 − (−3) 1 = 8 − (−6) 7
m( AC ) =
y2 − y1 x2 − x1
Para los puntos B y C:
3 − (−3) 3 = 2 − (−6) 4
m( BC ) =
3. Calculamos las pendientes perpendiculares, usando: m⊥ = −
m( AB ) ⊥ = −
1 = −7 1 7
m( AC ) ⊥ = −
1 4 =− 3 3 4
1 m
m( BC ) ⊥ = −
3 − (−1) 2 =− 2−8 3
1 3 = 2 2 − 3
x1 + x2 y1 + y2 , 2 2 Pm( BC )
4. Calculamos los puntos medios de los lados del triángulo: Pm
Pm( AB)
Pm( AC )
−6 + 8 −3 + (−1) , = (1, −2) 2 2
−6 + 2 −3 + 3 , = (−2, 0) 2 2
8 + 2 −1 + 3 , = ( 5,1) 2 2
5. Obtenemos las mediatrices. Las mediatrices son las rectas perpendiculares a cada lado que pasan por el punto medio. Para obtener sus ecuaciones usamos, y − y1 = m⊥ ( x − x1 ) , con la pendiente perpendicular y los puntos medios de cada lado: Mediatriz para el lado AB
m( AB) ⊥ = −7 Pm( AB= ) (1, −2)
y − (−2) = −7( x − 1) y + 2 = −7 x + 7 7x + y − 5 = 0
Mediatriz para el lado AC
4 3 Pm( AC ) = (−2, 0)
m( AC ) ⊥ = −
4 y − 0 = − ( x − (−2)) 3 3 y = −4 x − 8 4x + 3y + 8 = 0
Mediatriz para el lado BC:
3 2 Pm( BC ) = ( 5,1)
m( BC ) ⊥ =
3 ( x − 5) 2 2 y − 2 = 3 x − 15 3 x − 2 y − 13 = 0 y −1 =
61
6. Obtenemos el circuncentro Calculamos la intersección de dos rectas mediatrices cualesquiera; usaremos la primera 7 x + y − 5 = 0 y la tercera 3 x − 2 y − 13 = 0 (tú puedes usar dos cualesquiera) Despejando “y” de la primera ecuación queda: y = −7 x + 5 Sustituyéndola en la tercera, se tiene:
3 x − 2(−7 x + 5) − 13 = 0 3 x + 14 x − 10 − 13 = 0
En esta ecuación despejamos la “x”
3 x + 14 x − 10 − 13 = 0 17 x = 23 x=
23 = 1.353 17
Para encontrar el valor de y sustituimos en la primera ecuación:
23 y = −7 + 5 = 17 =−
76 161 = −4.471 +5= − 17 17
Por lo tanto el circuncentro esta en el punto:
23 76 17 ,− 17 = (1.353,−4.471)
b) El baricentro: 1. Dibujamos el triángulo y asignamos una etiqueta a cada vértice:
C • • •
A (-6, -3) B (8, -1) C (2, 3) B A
62
x1 + x2 y1 + y2 , 2 2 Pm( BC )
1. Calculamos los puntos medios de los lados del triángulo Pm
Pm( AB)
Pm( AC )
−6 + 8 −3 + (−1) , = (1, −2) 2 2
−6 + 2 −3 + 3 , = (−2, 0) 2 2
8 + 2 −1 + 3 , = (5,1) 2 2
2. Calculamos las pendientes de las rectas definidas por el punto medio de cada lado y el vértice opuesto. Pm(AB) = (1, -2) y C (2, 3) Pm(AC) = (-2, 0) y B(8, -1) Pm(BC) = (5, 1) y A(-6, -3)
m( Pm ( AC ) y B)
m( Pm ( AB) y C ) =
3 − (−2) =5 2 −1
=
−1 − 0 1 =− 8 − (−2) 10
m( Pm ( BC ) y A) =
−3 − 1 4 = −6 − 5 11
3. Obtenemos las medianas. Para obtener las ecuaciones de las rectas que forman las medianas usamos:
y − y1 = m( x − x1 ) con la pendiente definida con el punto medio de cada lado y el vértice opuesto. Para el punto ( x1 , y1 ) usamos también el vértice opuesto de cada lado. Para el lado AB
m( Pm ( AB ) y C ) = 5 C (2, 3)
Para el lado AC
m( Pm ( AC ) y B) = − B (8, -1)
y − 3 = 5( x − 2) y − 3 = 5 x − 10 y − 5x + 7 = 0
Para el lado BC:
1 10
1 ( x − 8) 10 10 y + 10 = − x + 8 10 y + x + 2 = 0 y − (−1) = −
m( Pm ( BC ) y A)= A (-6, -3)
4 11
4 ( x − (−6)) 11 11 y + 33 = 4 x + 24 11 y − 4 x + 9 = 0 y − (−3) =
4. Obtenemos el baricentro. Ahora calculamos la intersección de dos rectas cualesquiera; usaremos la primera y − 5 x + 7 = 0 y la segunda 10 y + x + 2 = 0 (tú puedes usar las que quieras). Despejando x de la segunda:
x = −10 y − 2
y sustituyéndola en la priemera, se tiene
y − 5(−10 y − 2) + 7 = 0 y + 50 y + 10 + 7 = 0
63
y + 50 y + 10 + 7 = 0 51 y = −17
Despejando la “y”
17 = −0.333 51 17 x = −10 − − 2 = 51 y=−
El valor de x se encuentra sustituyendo en la primera ecuación:
=
68 170 −2= = 1.333 51 51
Por lo tanto el baricentro está en el punto:
68 17 51 ,− 51 = (1.333,−0.333)
c) El Ortocentro 1. Dibujamos el triángulo y asignamos una etiqueta a cada vértice: A (-6, -3) C B (8, -1) C (2, 3) B A
2. Calculamos las pendientes de los lados, usando m = Para los puntos A y B:
m( AB ) =
64
−1 − (−3) 1 = 8 − (−6) 7
Para los puntos A y C:
m( AC ) =
3 − (−3) 3 = 2 − (−6) 4
y2 − y1 x2 − x1 Para los puntos B y C:
m( BC ) =
3 − (−1) 2 =− 2−8 3
3. Calculamos las pendientes perpendiculares, usando: m⊥ = −
m( AB ) ⊥ = −
1 = −7 1 7
m( AC ) ⊥ = −
1 4 =− 3 3 4
1 m
m( BC ) ⊥ = −
1 3 = 2 2 − 3
4. Obtenemos las ecuaciones de las rectas que forman las alturas. Para obtenerlas usamos, y − y1 = m⊥ ( x − x1 ) considerando la pendiente perpendicular de cada lado y el respectivo vértice opuesto. Para el lado AB
m( AB ) ⊥ = −7 C (2,3)
Para el lado AC
m( AC ) ⊥ = − B(8, −1)
y − 3 = −7( x − 2) y − 3 = −7 x + 14 y + 7 x − 17 = 0
Para el lado BC:
4 3
m( BC ) ⊥ = A (−6, −3)
4 y − (−1) = − ( x − 8) 3 3 y + 3 = −4 x + 32 3 y + 4 x − 29 = 0
3 2
3 ( x − (−6)) 2 2 y + 6 = 3 x + 18 2 y − 3 x − 12 = 0 y − (−3) =
5. Obtenemos el ortocentro. Ahora calculamos la intersección de dos rectas cualesquiera; usaremos la primera y + 7 x − 17 = 0 y la tercera 2 y − 3 x − 12 = 0 (Tú puedes usar las que quieras) Despejando y de la primera:
y = −7 x + 17
y sustituyéndola en la otra, se tiene:
Despejando la “x”
2(−7 x + 17) − 3 x − 12 = 0 −14 x + 34 − 3 x − 12 = 0
−14 x + 34 − 3 x − 12 = 0 −17 x = −22 x=
El valor de y se encuentra sustituyendo el de x en la primera ecuación:
22 = 1.294 17
22 y = −7 + 17 17 154 135 =− + 17 = = 7.941 17 17
65
Por lo tanto, el ortocentro esta en el punto:
22 135 17 , 17 = (1.294,7.941)
6.5. Ejercicios: Encuentra el ortocentro, circuncentro y baricentro de los triángulos determinados por los vértices 1.- (−1,3), (0, −1), (1,1)
2.- (1, −2), (4, 2), (−3, −5)
4.- (8,1), (2, 7), (3,3)
5.- (2, −1), (−4, 7), (8, 0)
3.- (−2, 2), (8, −4), (−5, −3) 6.- (1,1), (−2,3), (5, −2)
Ecuaciones de lugares geométricos Como recordarás cualquier conjunto de parejas ordenadas del plano representa un lugar geométrico, hay muchos de ellos cuyos puntos (parejas ordenadas) satisfacen diversas propiedades. Encontraremos las ecuaciones de algunos de estos lugares geométricos. Ejemplo: Encuentra la ecuación del lugar geométrico de todos los puntos (x, y) del plano cartesiano cuya distancia al punto (-2, 4) es igual a 10. Solución: Queremos expresar algebraicamente que la distancia de un punto cualquiera (x, y) al punto (-2, 4) es igual a 10. Usando la fórmula de distancia entre dos puntos:
{
}
d (x, y) → (−2,4) = (x + 2)2 + ( y − 4)2 = 10 Por lo tanto la ecuación buscada es:
( x + 2) 2 + ( y − 4) 2 = 102
o, si desarrollamos los cuadrados y escribimos todos los términos en el primer miembro:
x 2 + y 2 + 4 x − 8 y − 80 = 0
Ejemplo: Encuentra la ecuación del lugar geométrico de todos los puntos (x, y) del plano cartesiano cuya distancia al punto (-2, 1) es el doble de la distancia a (4, 2). Solución: La distancia de (x, y) al punto (-2, 1) es:
66
( x + 2) 2 + ( y − 1) 2
La distancia de (x, y) al punto (4, 2) es:
( x − 4) 2 + ( y − 2) 2
Queremos que la primera distancia sea el doble de la segunda:
( x + 2) 2 + ( y − 1) 2 = 2 ( x − 4) 2 + ( y − 2) 2 Elevando al cuadrado Desarrollando
( x + 2) 2 + ( y − 1) 2 = 4 (( x − 4) 2 + ( y − 2) 2 )
x 2 + 4 x + 4 + y 2 − 2 y + 1 = 4 x 2 − 32 x + 64 + 4 y 2 − 16 y + 16
Finalmente simplificamos y tenemos la ecuación del lugar geométrico pedido:
3 x 2 + 3 y 2 − 36 x − 14 y + 75 = 0
Es la ecuación de una circunferencia fuera del origen, que veremos más adelante. Ejemplo: Encuentra la ecuación del lugar geométrico de todos los puntos (x, y) del plano cartesiano que equidistan del origen a la recta x + y + 1 = 0 Solución: El decir que equidistan significa que están a la misma distancia. La distancia de (x, y) al punto (0, 0) es:
x2 + y 2
La distancia de (x, y) a la recta x + y + 1 = 0 es:
x + y +1
=
x + y +1
2 12 + 12 x + y +1 Queremos que las distancias sean iguales: = x2 + y 2 2 2 ( x + y + 1) Elevando al cuadrado: = x2 + y 2 2
Simplificando tendremos la ecuación pedida: x 2 + y 2 − 2 xy − 2 x − 2 y − 1 = 0
67
6.6. Ejercicios 1. Encuentra la ecuación del lugar geométrico de todos los puntos (x, y) del plano
cartesiano cuya distancia al punto (2, -2) es igual a 5.
2. Encuentra la ecuación del lugar geométrico de todos los puntos (x, y) del plano
cartesiano que equidistan a los puntos (-1,-2) y (2, 1).
3. Encuentra la ecuación del lugar geométrico de todos los puntos (x, y) del plano
cartesiano tal que la suma de sus distancias a (-3, 4) y (2, 4) es igual a 2.
4. Encuentra la ecuación del lugar geométrico de todos los puntos (x, y) del plano
cartesiano tal que el producto de sus distancias a los ejes coordenados es igual a 6.
5. Encuentra la ecuación del lugar geométrico de todos los puntos (x, y) del plano
cartesiano que están en la recta que contiene a (2, 0) y (4, 7).
6. Encuentra la ecuación del lugar geométrico de todos los puntos (x, y) del plano
cartesiano cuya distancia al punto (-3, 3) es igual a
2 y − 3x − 1 = 0
la distancia
de la recta
7. Encuentra la ecuación del lugar geométrico de todos los puntos (x, y) del plano
cartesiano que la abscisa es el doble de la ordenada.
8. Encuentra la ecuación del lugar geométrico de todos los puntos (x, y) del plano
cartesiano tal que la abscisa, menos seis, es el cuadrado de la ordenada.
68
VII. ECUACIÓN GENERAL DE SEGUNDO GRADO Introducción. Un tema muy importante en la geometría analítica es el estudio de las cónicas, se llaman así pues las podemos obtener con distintos cortes a uno o dos conos. Objetivo. Dada la ecuación general de segundo grado podemos identificar, mediante una operación, de qué tipo de cónica se trata.
Ecuación general de segundo grado. La ecuación general de segundo grado Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 representa una cónica (hipérbola, parábola o elipse) de acuerdo al siguiente criterio:
B 2 − 4 AC > 0 B 2 − 4 AC = 0 B 2 − 4 AC < 0
Hipérbola Parábola Elipse
Cuando B ≠ 0 los ejes de la cónica están inclinados con respecto a los ejes coordenados.
A continuación te mostramos una hipérbola con los ejes paralelos a los ejes coordenados y otra con los ejes inclinados.
2 x 2 − 3 y 2 − 3 y − 4 = 0 aquí B = 0
2 x 2 + 2 xy − 3 y − 4 = 0 aquí B ≠ 0
Ejemplo: Determina qué tipo de cónica representa la ecuación: a. 5 x 2 + 5 y 2 + xy − 7 x + 2 y − 1 = 0 b.
2 x 2 + 5 xy − 3 y − 4 = 0
c.
x2 + 6x − y 2 + 3 y − 4 = 0
69
Solución: a. Para 5 x 2 + 5 y 2 + xy − 7 x + 2 y − 1 = 0 calculamos la expresión
B 2 − 4 AC = 1 − 4(5)(5) = −99 < 0 el resultado fue un número negativo, por lo tanto la ecuación representa una elipse
inclinada con respecto a los ejes.
b. Para 2 x 2 + 5 xy − 3 y − 4 = 0 la expresión B 2 − 4 AC = 25 − 4(2)(0) = 25 > 0 es un número positivo por lo que la ecuación representa una hipérbola inclinada con respecto a los ejes. c. Para x 2 + 6 x − y 2 + 3 y − 4 = 0 vemos que B 2 − 4 AC = 0 − 4(1)(−1) = 4 > 0 , es positivo por lo que la ecuación representa una hipérbola con los ejes paralelos a los ejes coordenados.
7.1. Ejercicios: Determina qué tipo de cónica representan las ecuaciones: 1) x 2 + xy + y 2 = 0 2) 4 x 2 + 12 xy + 9 y 2 + 8 x + 12 y − 65 = 0 3) 5 x 2 − 4 xy + 8 y 2 − 36 = 0 4) 4 x 2 + 2 xy + 9 y 2 − 10 x − 11 y + 20 = 0 5) 5 x 2 + 6 xy + 5 y 2 − 8 = 0 6) 2 x 2 + 3 xy + y 2 − 6 x − 5 y + 4 = 0 7) 9 x 2 + 3 y 2 − 10 x − 22 y + 1 = 0
70
VIII.- CIRCUNFERENCIA.
Introducción. Una cónica que no es muy complicada, es la circunferencia, pues como los coeficientes de x2 e y2 son iguales entonces las factorizaciones que se hacen en una variable se tienen que hacer en la otra. Para esta unidad es muy recomendable que repases cómo factorizar un trinomio cuadrado perfecto pues para todas las cónicas es muy utilizada esta técnica. Objetivo. Después de esta unidad podrás decir, dada la ecuación general de una circunferencia, dónde está su centro y cuánto mide su radio. Definición: Es el lugar geométrico formado por todos aquellos puntos del plano cuya distancia a un punto fijo es constante. El punto fijo es el centro y la distancia el radio.
R C
La ecuación general es: Ax 2 + Ay 2 + Dx + Ey + F = 0 con A ≠ 0, sino fuera cero entonces estaremos hablando de una recta. Ecuación canónica La ecuación canónica y los elementos de la circunferencia son: La ecuación canónica es:
k
( x − h) 2 + ( y − k ) 2 = R 2 Centro en (h, k)
Radio = R
h
La ecuación general la encontramos desarrollando los cuadrados.
Ejemplo: Encuentra la ecuación de la circunferencia con centro en (-3, 4) y radio 4. Solución: El centro es: (h, k) = (-3, 4) De donde: h = -3 y k = 4
Por lo tanto la ecuación canónica es: 2
2
( x + 3) + ( y − 4) = 16
La ecuación general es:
x 2 + 6 x + 9 + y 2 − 8 y + 16 = 16 x2 + y 2 + 6x − 8 y + 9 = 0
El radio es 4.
71
Ejemplo: Encuentra la ecuación de la circunferencia cuyo centro está en la recta 4 x + 3 y + 5 = 0 , es tangente a la recta 3 x + 4 y + 12 = 0 y tiene radio 4. Observa que son tres condiciones. Solución: Las condiciones son: 1. El centro (h, k) esta en la recta 4 x + 3 y + 5 = 0 por lo tanto se satisface la ecuación:
4h + 3k + 5 = 0 2. El radio es R = 4. 3. Como es tangente a la recta 4 x + 3 y + 5 = 0 , entonces la distancia del centro a la recta tangente es igual al radio:
3h + 4k + 12 32 + 42
= 4 de donde: 3h + 4k + 12 = 20
A partir de estas condiciones se obtienen dos ecuaciones con dos incógnitas:
4h + 3k + 5 = 0
3h + 4k + 12 = 20
Resolvemos este sistema:
4 3
Despejamos k de la primera ecuación k = − h −
5 3
5 4 3h + 4 − h − + 12 = 20 3 3
La sustituimos en la segunda De donde se obtiene 16 − 7 h = 60
16 − 7 h = ±60
Quitando el valor absoluto queda
h=−
Despejando h, tenemos dos soluciones
44 76 y h= 7 7
De la primera ecuación obtenemos, también, dos valores para k, respectivamente:
k=
47 7
y
k =−
113 7
Por lo tanto con estos datos encontramos que la solución son dos circunferencias con ecuaciones: 2
2
44 47 1. x + + y − = 16 7 7
72
2
2
76 113 2. x − + y+ = 16 7 7
Ejemplo: Encuentra la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(0, -1), B(-3, -2) y C(-6, -1). Determina la ecuación canónica, el centro y radio. Solución: Como la circunferencia pasa por esos tres puntos, la ecuación ( x − h) 2 + ( y − k ) 2 = R 2 debe satisfacerlos a cada uno. Para A(0, -1):
(0 − h) 2 + (−1 − k ) 2 = R 2
Para B(-3, -2):
(−3 − h) 2 + (−2 − k ) 2 = R 2
Para C(-6, -1): (−6 − h) 2 + (−1 − k ) 2 = R 2 Tenemos que resolver un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas: Igualamos la primera con la segunda (tú puedes igualar las que quieras):
(0 − h) 2 + (−1 − k ) 2 = (−3 − h) 2 + (−2 − k ) 2
2 2 2 2 Desarrollamos los cuadrados: h + 1 + 2k + k = 9 + 6h + h + 4 + 4k + k después de simplificar tenemos que: 6h + 2k + 12 = 0
Ahora igualamos la primera con la tercera:
(0 − h) 2 + (−1 − k ) 2 = (−6 − h) 2 + (−1 − k ) 2
2 2 2 2 Desarrollamos los cuadrados: h + 1 + 2k + k = 36 + 12h + h + 1 + 2k + k después de simplificar tenemos que: 12h + 36 = 0
Con lo anterior hemos simplificado el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas a un
6h + 2k + 12 = 0 12h + 36 = 0
sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:
De las cuales encontramos que: h = -3 y k = 3 por lo que el centro es: C (−3,3) El radio se obtiene de cualquiera de las tres ecuaciones iniciales, por ejemplo de la primera:
(0 − h) 2 + (−1 − k ) 2 = R 2
R 2 = (0 + 3) + (−1 − 3) = 25 2
2
R = 25 = 5 Finalmente la ecuación es: (x + 3) + ( y − 3) = 25 2
2
73
8.1. Ejercicios Encuentra la ecuación de la circunferencia, en forma canónica y general, a partir de las condiciones que se presentan. a) Centro (-4, 6) y radio 8 b) Centro (5, -2) y radio 3 c) Centro ( 12 , -3) y radio 150 d) Centro (5, 1) y tangente a la recta x + 3 y + 2 = 0 e) f) g) h)
Los extremos de uno de sus diámetros son los puntos ( 3, 4 ) y ( −7, −2 ) . Es tangente a los dos ejes, su radio es 3 y está en el primer cuadrante. Pasa por los puntos (0, 0),(4, 0) y (0, 4) Pasa por los puntos (-2, 3), (6, -5) y (0, 7)
Método de completar cuadrados para encontrar los elementos de la circunferencia De lo que se trata es utilizar el método de completar cuadrados para convertir la ecuación general de la circunferencia en la ecuación canónica e identificar fácilmente los elementos. Ejemplo: Completa cuadrados para obtener la ecuación canónica y encuentra sus elementos:
4 x 2 + 4 y 2 − 12 x + 16 y − 4 = 0
Solución: Primero agrupamos en términos con la misma variable y pasamos el término independiente del otro lado:
4 x 2 − 12 x + 4 y 2 + 16 y = 4
Dividimos todo entre el coeficiente de x 2
4 x 2 − 12 x + 4 y 2 + 16 y 4 = 4 4 2 2 x − 3x + y + 4 y = 1 2
Sumamos de cada lado de la ecuación el cuadrado de la mitad del coeficiente del término lineal tanto de x como de y. Ésto se llama completar el cuadrado perfecto. Observa que se tienen los términos de un binomio cuadrado perfecto, y por lo tanto la ecuación canónica. Los elementos de la circunferencia son:
3 centro: , 2 , radio: 2
74
29 = 2.693 4
2 3 x − 3 x + − + y 2 + 4 y + ( +2 ) 2 2
2
2 3 = 1 + − + ( 2) 2
2
3 29 2 x − + ( y + 2) = 2 4
8.2. Ejercicios Utiliza el método de completar cuadrados para encontrar el centro y radio de una circunferencia dada en forma general:
1. 5 x 2 + 5 y 2 − 9 x − 19 y − 26 = 0 2. x 2 + y 2 − 4 x + 10 y + 13 = 0 3. x 2 + y 2 − 4 x + 2 y + 1 = 0 4. 36 x 2 + 36 y 2 − 36 x + 24 y + 49 = 0 5. 48 x 2 + 48 y 2 + 48 x − 24 y − 1 = 0
75
IX. PARÁBOLA Introducción. En una parábola se mezclan binomios al cuadrado de una variable y términos lineales de la otra. Para esta unidad es muy recomendable que repases cómo factorizar un trinomio cuadrado perfecto pues para todas las cónicas es muy utilizada esta técnica. Objetivo Después de esta unidad podrás decir, dada la ecuación general de una parábola, dónde está su vértice y foco. Además debes reconocer cuándo es una parábola horizontal y cuándo, una vertical. Definición: Es el lugar geométrico de los puntos del plano que se encuentran a la misma distancia de un punto determinado,
V
llamado foco, y de una línea determinada, que se conoce como directriz (D)
Lr
F
Elementos: D
Vértice v(h, k) Foco F(h, k+p) (varía de acuerdo a la posición de la parábola) Ecuación de la Directriz x=h-p (varía de acuerdo a la posición de la parábola)
Eje focal
La distancia del Lado recto Lr=4p La distancia del foco a la directriz es 2p
La ecuación general cuando el eje focal es oblicuo a los ejes coordenados es.
Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 , con B 2 − 4 AC = 0 La ecuación general cuando el eje focal es paralelo a algún eje coordenado es:
Ax 2 + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 , con A ≠ 0 ó C ≠ 0 Ecuación canónica La ecuación canónica y los elementos para las cuatro formas que puede tomar la parábola con el eje focal paralelo a algún eje son (recuerda que p > 0 ):
76
Vertical hacia arriba
Horizontal derecha
Vertical hacia abajo
D Lr
D Lr
D
Horizontal izquierda
Lr
( x − h) 2 = 4 p ( y − k )
( y − k ) 2 = 4 p ( x − h) ( x − h) 2 = −4 p ( y − k )
Vértice: (h, k )
Vértice: (h, k )
Vértice: (h, k )
Foco: (h, k + p ) Directriz: y = k − p
Foco: (h + p, k ) Directriz: x = h − p
Foco: (h, k − p ) Directriz: y = k + p
Lado recto = 4 p
Lado recto = 4 p
Lado recto = 4 p
D Lr
( y − k ) 2 = −4 p ( x − h)
Vértice: (h, k ) Foco: (h − p, k ) Directriz: x = h + p Lado recto = 4 p
Ejemplo: Encuentra todos los elementos y la gráfica de la parábola: x 2 = −8 y Solución: Observamos que la ecuación tiene la forma:
( x − h) 2 = −4 p ( y − k ) de donde deducimos que:
h = 0, k = 0 y p = 2
Comparando con la tabla anterior, los elementos son: Vértice: (h, k ) = (0,0) Foco: (h, k − p ) = (0, −2) Directriz: y = k + p = 2 Lado recto = 4 p = 8
Ejemplo: Encuentra la ecuación de la parábola con vértice en (-5, 1) y foco en (2, 1). Solución: Como el vértice está a la izquierda del foco, deducimos que la parábola es horizontal y abre a la derecha, por lo que la ecuación tiene la forma: ( y − k ) 2 = 4 p ( x − h) .
77
La distancia entre los puntos es: −5 − 2 = 7 de donde 2 p = 7,
p=
ecuación queda ( y + 5) 2 = 14( x − 1)
7 finalmente la 2
9.1. Ejercicios a) Encuentra los elementos y la gráfica de las parábolas: 1. x 2 = −6 y 4. ( x − 2) 2 = −4 y 7. ( x + 6) 2 = −4( y − 1)
16 y 5 26 2 x 5. ( y + 3) = 5 8. ( x) 2 = 2 / 3( y − 3)
2 2. x = −
3.- ( y + 12) 2 = −14( x + 1) 6.- x 2 = y
b) A partir de las condiciones dadas encuentra la ecuación de las siguientes parábolas: 1. El foco está en (4, -1) y la ecuación de la directriz es: y = −5 2. El foco está en (3, 0) y la ecuación de la directriz es: x = −8 3. El vértice está en (-3, 1/2), eje focal (también llamado de simetría) x =-3 y pasa por el punto (3, 112 ). 4. El foco está en (0, 6), p = 3 y abre a la izquierda. 5. El foco está en (2, 6) y el vértice en (2, -1). 6. El foco está en (-2, 4) y el vértice en (10, 4).
Método de completar cuadrados para obtener la ecuación canónica de la parábola De lo que se trata es utilizar el método de completar cuadrados para convertir la ecuación general de la parábola en la ecuación canónica. Ejemplo: Completa cuadrados para obtener la ecuación canónica y encuentra sus elementos:
2 x2 − 8x + 3 y + 6 = 0
Solución: Agrupamos los términos con x de un lado y los de y en el otro. El término independiente lo agrupamos con la variable que no tenga cuadrado: Factorizamos el coeficiente de la variable cuadrada. Sumamos, dentro del paréntesis, el cuadrado de la mitad del coeficiente lineal. Esto mismo se lo agregamos del lado derecho, multiplicado por el coeficiente que está fuera del primer paréntesis.
78
2 x 2 − 8 x = −3 y − 6 8 2 x 2 − x = −3 y − 6 2 2 8 8 2 x2 − x + − = 2 4
8 = −3 y − 6 + 2 − 4
2
2
Observa que de un lado se tienen los términos de un binomio cuadrado perfecto. Del otro lado se hacen las operaciones respectivas
Factorizando el coeficiente de la variable lineal del lado derecho
8 64 2 x − = −3y − 6 + = 4 8 = −3y +
16 8
2
8 16 2 x − = −3 y − 4 24 2
Dividiendo ambos términos por el coeficiente del binomio al cuadrado, llegamos a la ecuación canónica:
16 3 8 x− = − y− 24 2 4
Los elementos y la gráfica son: Observa que: 4 p = Por lo tanto:
2 3 25 Directriz: y = 24
3 3 , de donde p = 2 8
Vértice: 2,
Foco: 2,
Lado recto = 4 p =
3 2
7 24
9.2. Ejercicios Utiliza el método de completar cuadrados para encontrar los elementos de la parábola dada en forma general: 1) y 2 − 2 x + 14 y + 41 = 0 2) 9 x 2 + 36 x − 6 y − 24 = 0 3) 2 x 2 − 12 y − 16 x + 20 = 0 4) 3 x 2 − 30 y − 18 x + 87 = 0 5) x 2 + 10 x + 8 y − 1 = 0 6) y 2 + 4 x − 12 = 0
79
X. ELIPSE Introducción. Esta cónica es muy parecida a la circunferencia, es más una circunferencia es un caso de elipse. La diferencia está en que los coeficientes de x2 e y2 no son iguales por lo que las factorizaciones cambian un poco en comparación de la circunferencia. Objetivo. Después de esta unidad podrás decir, dada la ecuación general de una elipse, dónde está su centro, dónde sus vértices, focos, el valor de su excentricidad y el de su lado recto. Es importante que reconozcas cuándo es una elipse horizontal o vertical. Definición: El lugar geométrico formado por todos aquellos puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos es constante. Dichos puntos se llaman focos.
F2
C
F1
La ecuación general cuando el eje focal es oblicuo a los ejes coordenados es. Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 , con B 2 − 4 AC < 0 La ecuación general cuando el eje focal es paralelo a algún eje coordenado es: Ax 2 + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 , con A ≠ 0, C ≠ 0, A y C tienen el mismo signo. Ecuación canónica La ecuación canónica y los elementos de la elipse son: Elipse horizontal
Elementos
( x − h) 2 ( y − k ) 2 + = 1 , con a > b a2 b2 Lado recto
V4
Lado recto
V3 F2
b
c
V1
80
F1 a
V2
Centro (h, k) Focos: (h ± c, k ) Vértices del eje mayor: (h ± a, k ) Vértices del eje menor: (h, k ± b) Lado recto = 2
b2 a
excentricidad =
2 2 2 se cumple la relación: a = b + c
c a
En donde: a = eje mayor o distancia del centro al vértice más alejado. b = eje menor o distancia al vértice cercano. c = distancia del centro al foco. Elipse vertical
Elementos
( x − h) 2 ( y − k ) 2 + = 1 , con b2 a2
a>b
b
Lado recto
F2 V4
a
V2
Vértices del eje menor: (h ± b, k ) Lado recto = 2
F1 Lado recto
Focos: (h, k ± c) Vértices del eje mayor: (h, k ± a )
V3
c
Centro (h, k)
b2 a
c a 2 2 a = b + c2
excentricidad =
se cumple la relación: V1
En donde: a = eje mayor o distancia del centro al vértice más alejado. b = eje menor o distancia al vértice cercano. c = distancia del centro al foco. Ejemplo: Encuentra todos los elementos y la gráfica de la elipse:
( x − 5) 2 ( y + 2) 2 + =1 4 16
Solución: Como el número mayor (16) está debajo de la variable y, la ecuación indica que es una elipse vertical, de donde comparando con la ecuación canónica encontramos que:
a = 16 = 4
Por lo tanto: c =
y
b= 4=2
a 2 − b 2 = 16 − 4 = 12 = 3.46
81
Comparando con la tabla de la elipse vertical encontramos que: h = 5 y k = -2 Los elementos son: Centro (5,-2); Focos: (5, 1.46) y (5, -5.46) Vértices del eje mayor: (5, 2) y (5, -6) Vértices del eje menor: (7, -2) y (3, -2) Lado recto = 2; excentricidad =
3.46 = 0.865 4
Ejemplo: Encuentra la ecuación de la elipse con focos (2, 0), (-2, 0) y a = 7. Solución: Como los focos están en la misma línea horizontal, deducimos que la elipse es también horizontal. Su ecuación será de la forma:
( x − h) 2 ( y − k ) 2 + =1 a2 b2
Para encontrar c, observa que la distancia Para encontrar b usamos la relación: entre los focos es: 2c = −2 − 2 = 4 , a 2 = b 2 + c 2 , con a = 7 entonces c = 2.
b = a 2 − c 2 = 49 − 4 = 45 = 6.71
Como los focos son: (h ± c, k ) , deducimos que k = 0 y también que h +2 = 2, entonces h = 0. Finalmente la ecuación es:
( x) 2 ( y ) 2 + =1 49 45
10.1. Ejercicios a) Encuentra los elementos y la gráfica de las elipses:
x2 y 2 + =1 4 9 ( x − 4) 2 ( y + 6) 2 4. + =1 16 9 7. 9 x 2 + y 2 = 1 1.
82
( x − 6) 2 ( y − 7) 2 + =1 100 121 ( x) 2 ( y ) 2 5. + =1 144 169 8. 16( x − 3) 2 + 9( y + 1) 2 = 144 2.
( x − 3) 2 y 2 + =1 25 4 ( x) 2 y 2 6. + =1 81 64
3.
b) A partir de las condiciones dadas encuentra la ecuación de las siguientes elipses: 1. Centro en (0, 0), vértice en (0, -13) y foco en (0, -5) 2. Vértices del eje mayor en (6, 0) y (-6, 0) y lado recto: 2. 3. Focos en (6, 0) y (-6, 0) y excentricidad = 53
4. Focos en (0, -3) y (0, 3) y a = 8 5. Vértices del eje mayor en (-11, 5) y (7, 5) y vértices del eje menor en (-2, 9) y (-2, 1) 6. Focos en (3, 5) y (3, 0) y excentricidad igual a 14
Método de completar cuadrados para obtener la ecuación canónica de la elipse. Ejemplo: Completa cuadrados para obtener la ecuación canónica y encuentra sus elementos:
4 x 2 + 9 y 2 − 40 x + 36 y + 100 = 0
Solución: Primero agrupamos en términos con la misma variable y pasamos el término independiente del otro lado: Factorizamos los coeficientes de los términos cuadráticos:
4 x 2 − 40 x + 9 y 2 + 36 y = −100 40 36 4 x2 − x + 9 y2 + 4 9
y = −100
2 2 36 36 40 40 2 2 Sumamos dentro de cada paréntesis 4 x − y+ = x + − + 9 y + 9 4 18 8 el cuadrado de la mitad del coeficiente
del término lineal, esto completar el cuadrado Recuerda que también se que sumar del lado multiplicado por el número afuera del paréntesis.
se llama 2 2 perfecto. 36 40 lo tienes = −100 + 4 − + 9 18 8 derecho, que está 2
Observa que se tienen los términos de un binomio cuadrado perfecto, entonces podemos factorizar. Dividiendo entre 36 se obtiene la ecuación canónica:
2
40 36 4 x − + 9 y + = 8 18 −100 + 4 (−5 ) + 9(2) 2 = 36 2
4 9 36 2 2 (x − 5 ) + ( y + 2 ) = 36 36 36
(x − 5 )
2
9
( y + 2)
2
+
4
=1
83
La ecuación canónica indica que la elipse es horizontal, por lo que: a = 9 = 3, b = 4 = 2 De donde: c = a 2 − b 2 = 9 − 4 = 5 = 2.24 También se tiene: h = 5, k = -2
Por lo tanto los elementos y la gráfica son:
Centro: (5, -2) Focos: (7.24, -2) , (2.56, -2) Vértices del lado mayor (8, -2) (2, -2) Vértices del lado menor: (5, 0) (5, -4)
Lado recto =
2(4) 8 = = 2.67 3 3
Excentricidad =
5 = 0.745 3
10.2. Ejercicios Utiliza el método de completar cuadrados para encontrar la ecuación canónica de la elipse dada en forma general: 1) 25 x 2 + 9 y 2 + 100 x − 18 x − 116 = 0 2) 3 x 2 + y 2 + 18 x − 2 y + 4 = 0 3) 16 x 2 + 25 y 2 − 96 x − 200 y + 144 = 0 4) 4 x 2 − 12 x + 6 y 2 + 36 y + 36 = 0 5) 9 x 2 + 4 y 2 + 108 y − 56 x + 484 = 0 6) 12 x 2 + 18 y 2 − 144 y − 48 x + 120 = 0
84
XI. HIPÉRBOLA Introducción. Esta cónica se caracteriza por que los coeficientes de los términos cuadráticos tienen signos contrarios. Objetivo. Después de esta unidad podrás decir, dada la ecuación general de una hipérbola, dónde está su centro, dónde sus vértices, focos además de las ecuaciones de sus asíntotas y el valor de su lado recto. Es importante que reconozcas cuándo es una hipérbola horizontal o vertical. Definición: El lugar geométrico formado por todos aquellos puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos es constante. Dichos puntos fijos se denominan focos.
F1
F2
La ecuación general cuando el eje focal es oblicuo a los ejes coordenados es: Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 , con B 2 − 4 AC > 0 La ecuación general cuando el eje focal es paralelo a algún eje coordenado es:
Ax 2 + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 , con A ≠ 0 y C ≠ 0; En el caso de las hipérbolas A y C tienen diferente signo. Ecuación canónica La ecuación canónica y los elementos de la hipérbola son: Hipérbola horizontal
( x − h) 2 ( y − k ) 2 − =1 a2 b2
Elementos a = distancia del centro al vértice b = eje menor c = distancia del centro al foco
85
A1
Lado
2 2 2 Se cumple: c = a + b
A2
b V1
F2
Lado
Centro: (h, k )
Vértices V2,1 = (h ± a, k )
Focos F2,1 = (h ± c, k )
V2 a
F1 c
b ( x − h) a c 2b 2 , ex = Lado recto: L = a a Asíntotas A2,1 : y − k = ±
Nota: V2,1 = V1 , V2 y lo mismo para las otras relaciones. Hipérbola vertical
( y − k ) 2 ( x − h) 2 − =1 a2 b2
2 2 2 Se cumple: c = a + b
Lado recto F1
A1
b V2
Vértices V2,1 = (h, k ± a )
a ( x − h) b c 2b 2 , ex = = a a
Asíntotas A1,2 : y − k = ±
a F2
Centro: (h, k )
Focos F2,1 = (h, k ± c)
V1
c
Elementos a = distancia del centro al vértice b = eje menor c = distancia del centro al foco
A2
Lado recto: L2,1
Lado recto
Ejemplo:
( y − 3) 2 ( x − 2) 2 Encuentra todos los elementos y la gráfica de hipérbola: − =1 16 4
Solución: De la ecuación vemos (el signo positivo está en el término que contiene la “y”) que la hipérbola es vertical, entonces: a = 16 = 4 b = por lo que: c =
86
a 2 + b 2 = 16 + 4 = 20 = 4.47
4=2
De la ecuación vemos que: h = 2 y k = 3 Por lo tanto, comparando con la tabla de la hipérbola vertical, los elementos son: Centro (2, 3);
Focos: (2, 7.47) y (2, -1.47)
Vértices: (2, 7) y (2, -1);
Lado recto = 2
excentricidad = 1.12;
Asíntotas: y − 3 = ±2( x − 2)
Ejemplo: Encuentra la ecuación de la hipérbola con centro en (-3,1) un foco en (2,1) y excentricidad igual a 54 . Solución: Como el foco está a la derecha del centro, en la misma línea, deducimos que la hipérbola es horizontal. Su ecuación será de la forma:
( x − h) 2 ( y − k ) 2 =1 − a2 b2
Recuerda que la distancia entre el centro y el Para encontrar el eje menor usamos la 2 2 2 foco es c, por lo que: relación: c = a + b
c = −3 − 2 = 5
De la excentricidad encontramos que:
e=
c 5 = , entonces a = 4 a 4
De donde:
b = c 2 − a 2 = 25 − 16 = 9 = 3
Como el centro es: (-3, 1), entonces: h = 3 y k = -1 por lo tanto la ecuación queda:
( x + 3) 2 ( y − 1) 2 =1 − 9 16
11.1. Ejercicios a) Encuentra los elementos y la gráfica de las hipérbolas:
( y − 7) 2 ( x + 1) 2 − =1 64 4 ( x − 3) 2 ( y + 2) 2 3. − + =1 1/ 4 1/16 ( x) 2 ( y ) 2 5. − =1 4 49
1.
2.
( y − 5) 2 ( x) 2 =1 − 81 9
4. 16( x − 3) 2 − 9( y + 1) 2 = −36 6.
( x) 2 y 2 − =1 64 81
87
7. 9 x 2 − 4 y 2 = 9 9.
8.
y 2 ( x − 3) 2 − =1 25 144
x2 y 2 − =1 4 9
b) A partir de las condiciones dadas, encuentra la ecuación canónica de las siguientes hipérbolas: 1. Vértices en (2, 0), (-2, 0) y foco en (-4, 0) 2. Vértice en (0, 2) y focos en (0, -5) y (0, 5) 3. Asíntotas y = ±
3 x y foco en (0, -10) 4
4. Focos en (8, 0) y (-8, 0) y a = b 5. Las pendientes de las asíntotas son 2 y –2, los focos están en (1, 5) y (1, -3). 6. Focos en (10, -3) y (-2, -3) y excentricidad igual a 65
7. La ecuación de una asíntota es 3 x − 11 = 2 y , el centro está en (3, -1) y un vértice en el punto de coordenadas (5, -1).
Método de completar cuadrados para obtener la ecuación canónica de la hipérbola. Ejemplo: Completa cuadrados para obtener la ecuación canónica y encuentra sus elementos:
−4 x 2 + 9 y 2 − 24 x − 90 y + 153 = 0
Solución: Primero agrupamos en términos con
−4 x 2 − 24 x + 9 y 2 − 90 y = −153
la misma variable y pasamos el término independiente del otro lado: Factorizamos los coeficientes de los términos cuadráticos:
24 90 −4 x 2 + x + 9 y2 − 4 9
y = −153
Sumamos dentro de cada paréntesis el
cuadrado
de
la
mitad
del
coeficiente del término lineal, esto se llama completar el cuadrado perfecto. Recuerda que también se lo tienes que
sumar
del
lado
derecho,
multiplicado por el número que está afuera del paréntesis.
88
(
) (
−4 x 2 + 6 x + ( 3) + 9 y 2 − 10 y + ( −5 ) 2
= −153 − 4 ( 3) + 9 ( −5 ) 2
2
2
)=
Observa que se tienen los términos −4 (x + 3)2 + 9 ( y − 5 )2 = −153 − 36 + 225 = 36 de un binomio cuadrado perfecto. Dividiendo
entre
el
término
independiente (36) y un poco de
−
4 9 36 2 2 (x + 3) + ( y − 5 ) = 36 36 36
aritmética se obtiene la ecuación
( y − 5)
canónica.
2
4
(x + 3)
2
−
9
=1
De la ecuación en forma canónica observamos que representa una hipérbola vertical, por 2 2 2 lo que: a = 4 = 2, b = 9 = 3 para encontrar c usamos c = a + b de donde
c = a 2 + b 2 = 4 + 9 = 13 = 3.61 De la ecuación también encontramos que: h = -3 y k = 5 Los elementos y la gráfica son: Centro (-3,5) Focos: (-3, 8.6) y (-3, 1.4) Vértices: (-3, 7) y (-3, 3) Lado recto = 9 excentricidad = 1.8 Asíntotas:
2 y − 5 = ± ( x + 3) 3
11.2. Ejercicios Utiliza el método de completar cuadrados para encontrar la ecuación canónica de la hipérbola dada en forma general:
1) −25 x 2 + 16 y 2 − 96 y + 100 x − 356 = 0
4) x 2 − 4 y 2 + 6 x − 8 y − 11 = 0
2) 9 x 2 − 4 y 2 − 54 x − 40 y − 55 = 0
5) −4 x 2 + 9 y 2 − 24 x − 90 y + 153 = 0
3) 36 x 2 − 49 y 2 − 72 x − 294 y − 2169 = 0
6) 25 y 2 − 9 x 2 − 100 y − 72 x − 269 = 0
89
Bibliografía: 1. Swokowski Earl, Jeffery Cole Álgebra y trigonomería con geometría analítica Ed. Thomson & Learning 2. Riddle Douglas Geometría analítica Ed. Thompson 3. Barnet Raymond Precálculo Ed. Limusa 4.Holliday Berchie, et al. Geometría analítica con trigonometría Ed. Mc Graw Hill 5. Larson Roland et al. Álgebra intermedia Ed. Mc Graw Hill 6. Purcell Edwin; D. Varberg Cálculo diferencial e integral Ed. Pearson 7. Guerra Tejada Manuel; S. Figueroa Campos Geometría analítica Ed. Mc graw hill
90
Solución de los ejercicios propuestos 1.1. Ejercicios: 1.
= A× B
{( x, y)
x, y ∈ R y 2 ≤ x ≤ 4 y 2 ≤ y ≤ 5}
= B× A
{( x, y)
x, y ∈ R y 2 ≤ x ≤ 5 y 2 ≤ y ≤ 4}
= A× B
{( x, y)
x, y ∈ y 2 ≤ x ≤ 4 y 2 ≤ y ≤ 5}
B× A =
{( x, y)
x, y ∈ y 2 ≤ x ≤ 5 y 2 ≤ y ≤ 4}
A× B =
{( x, y)
x, y ∈ R y 5 < x y 2 < y}
= B× A
{( x, y)
x, y ∈ R y 2 < x y 5<y}
2.
3.
4.
A × B = {(0, -1), (0, 2), (0, 4), (1, -1), (1, 2), (1, 4), (3, -1), (3, 2), (3, 4), (5, -1), (5, 2), (5, 4)}
B × A = {(-1, 0), (-1, 1), (-1, 3), (-1, 5), (2, 0), (2, 1), (2, 3), (2, 5), (4, 0), (4, 1), (4, 3), (4, 5)}
5.
91
A × B = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (3, 1), (3, 2),
(3, 3)}
B × A = {(1, 1), (1, 3), (2, 1), (2, 3), (3, 1),
(3, 3)} 6
A × B = {(-2, 1), (2, 1), (4, 1)}
B × A = {(1, -2), (1, 2), (1, 4)}
1.2. Ejercicios: R = {(1,3), (2,4), (3,5) (4,6), (5,7)}
R = {(-2,1),(-1,2), (0, 0), R={(-1,1), (-1,-1), (1,- R = {(x, y), (1,-1), (1,3), (2,1),(2,2)} 1), (1,1), (1,2), (2,1)} 2 2
Dominio:{1,2,3,4,5} Rango: {3,4,5,6,7}
Dominio: {-2,-1,0,1,2} Rango: {-1,0,1,2,3}
x − y = 2}
Dominio: {-1,1,2} Rango: {-1,1,2}
Dominio:
(−∞, − ¬2] ∪ [ 2, ∞) Rango: R
x, y ∈ R / 2x + y = 0 }
R = { (x, y),
3
Dominio: R Ran. R
92
x, y ∈ R
R = { (x, y), / 2x +
x, y ∈ R
y = 0}
Dominio: R Ran. R
R = { (x, y), /x
2
x, y ∈ R
+ y = 2}
Dominio: R Ran. ( −∞, 2]
1.3. Ejercicios: 1. Si es función ya que no hay un par de parejas ordenadas que tengan la misma primera componente. 2. No es función ya que todas las parejas ordenadas tienen la misma primera componente. 3. Si es función ya que a cada x le corresponde una sola y. 4. Si es función ya que a cada x le corresponde una sola y. 5. No es función ya que hay dos parejas con un mismo primer componente. 6. Si es función ya que a cada x le corresponde una sola y. 7. Si es función ya que no hay un par de parejas ordenadas que tengan la misma primera componente. 8. Si es función ya que a una ordenada le corresponde una abscisa. 9. Si es función ya que a cada x le corresponde una sola y. 10. No es función ya que hay valores de x para los cuales hay dos ordenadas.
1.4. Ejercicios:
(b ) f (x ) = x3 − 2 x + 3
(a ) f (x ) = x 2 − 2 1. f 0 = 3
()
2.
( )
3. f −3 = −18
f 0 = −2
2.
f 2 =2
3.
f −3 = 7
( )
7 4
1 17 f = 2 8
( 2 )= 0
5.
f
()
6. f a = a − 2a + 3
2
6. f a = a − 2
(
)
2
(
)
(
)
3
)
3
2
7. f x + 3 = x + 9x + 25x + 24
x x2 f = −2 2 4
(
( 2 )= 3 ()
7. f x + 3 = x + 6x + 7
8.
()
f 2 =7
4.
( )
4. f 1 / 2 = − 5. f
()
()
1.
x x3 − x+3 8. f = 2 8 2
2
9. f x + h = x + 2xh + h − 2 2
10. f a + b = (a + b) − 2
9. 10.
(
)
(
)
f x + h = x 3 + 3x 2 h + 3xh2 + h3 − 2x − 2h + 3 f a + b = (a + b)3 − 2(a + b) + 3
93
1.5. Ejercicios: 1. f ( x) = 3 x + 5
2.
Dom. R Ran. R C.D. R Inyectiva Suprayectiva Biyectiva
Dom. R Ran. [0, ∞) C.D. R No inyectiva No suprayectiva No biyectiva
5. f ( x) = [ x]
Dom. R Ran. C.D. R No Inyectiva No suprayectiva No biyectiva 9. f ( x) =
1 x2
Dom. R–{0} Ran. (0, ∞) C.D. R No inyectiva No suprayectiva No biyectiva
94
6.
f ( x) = x 2
f ( x) = x3
Dom. R Ran. R C.D. R Inyectiva Suprayectiva Biyectiva 10. f ( x) = x
Dom. R Ran. [0, ∞) C.D. R No inyectiva No suprayectiva No biyectiva
3.
f ( x) = ( x − 3) 2
Dom. R Ran. [0, ∞) C.D. R No inyectiva No suprayectiva No biyectiva 7.
f ( x) =
1 x
4. f ( x) =
x+4
Dom. [ −4, ∞) Ran. [0, ∞) C.D. R Inyectiva No suprayectiva No biyectiva 8. f ( x) =
1 x+2
Dom. R –{0} Ran. R–{0} C.D. R Inyectiva No suprayectiva No biyectiva
Dom. R–{-2} Ran. R–{0} C.D. R Inyectiva No suprayectiva No biyectiva
11. f ( x) =
12. f ( x) =
x −1 x+2
Dom. R–{-2} Ran. R–{1} C.D. R Inyectiva No Suprayectiva No Biyectiva
4 − x2
Dom. [ −2, 2] Ran. [0, 2] C.D. R No inyectiva No suprayectiva No biyectiva
1.6. Ejercicios: 1. f ( x) = 5 x − 4 Dom: R Ran R CD R
2. f ( x) = x − 1 Dom: R, Ran R CD R
Biyectiva
Biyectiva
Inversa.
x+4 f −1 ( x) = 5
Inversa. −1
f ( x)= x + 1
3. f ( x) = Dom: R, Ran R CD R Biyectiva Inversa.
x+4 f −1 ( x) = 5
Dom: R Ran R CD R
Dom: R Ran R CD R
Dom: R Ran R CD R
Biyectiva
Biyectiva
Biyectiva
6.
f ( x) = 3 x3 + 9 7.
f ( x) =
Dom: R Ran R CD R Biyectiva
Dom: [4, ∞) , Ran [0, ∞) CD [0, ∞) Biyectiva Inversa.
Inversa.
f * ( x) =
x−4
3
x−9 3
f * ( x) = x 2 + 4
Dom: [0, ∞)
Biyectiva
8. f ( x) =
4.
2
f ( x) = − x + 5 Dom: [0, ∞] Ran ( −∞,5] CD ( −∞,5] Biyectiva Inversa.
f ( x= )
5− x
Dom: ( −∞,5] Ran [0, ∞] CD [0, ∞] Biyectiva
1 x+2
9.
f ( x) =
x −1 x+2
Dom: R – {-2} Ran R – {1} CD R – {1} Biyectiva
Inversa.
Inversa.
1 − 2x x
Biyectiva
x+2 8 Dom: [ −2, ∞) Ran [0, ∞) CD [0, ∞) f −1 ( x) =
Biyectiva
Dom: R – {-2} Ran R –{0} CD R –{0} Biyectiva
f * ( x) =
f ( x) = 8 x 2 − 2 Dom: [0, ∞) Ran [ −2, ∞) CD [ −2, ∞) 5.
Inversa.
−1
f * ( x) =
f ( x) = x 2 + x Dom: [ − 1 , ∞) 2 1 Ran [ − , ∞) 4 CD [ − 1 , ∞) 4 10.
2x + 1 1− x
CD [4, ∞)
Dom: R – {0] Ran R – {-2} CD R – {-2}
Dom: R – {1} Ran R – {-2} CD R – {-2}
Biyectiva
Biyectiva
Biyectiva
Ran [4, ∞)
Dom: R Ran R CD R
6− x 3
Biyectiva Inversa. f * ( x) =
−1 + 1 + 4 y 2
Dom: [ − 1 , ∞) 4 1 Ran [ − , ∞) 2 CD [ − 1 , ∞) 2 Biyectiva
2.1. Ejercicios: a)
1. 45°
2. 135°
3. 90°
4. 30°
5. 25°
6. 36°
7. 171°
8. 120°
9. 110° 10. 60°
b)
π = 0.20944 radianes 15 23π = 0.40143 radianes 2. 180 149π = 5.201093 radianes 3. 90 π = 0.02618 radianes 4. 120 23π = 6.0214 radianes 5. 12
1.
167π = 1.748824 radianes 300 1889π = 3.70905 radianes 7. 1600 1507π = 52.6043 radianes 8. 90 61π = 0.017453 radianes 9. 1080 6.
10.
π
432
=
0.007272 radianes
95
2.2. Ejercicios: a) 25° x Sen(x) Cos(x) Tan(x) Cot(x) Sec(x) Csc(x)
0.4226 0.9063 0.4663 2.1445 1.1034 2.3662
12°15’ 45°30’
2.5 radianes
3π
0.2122 0.9772 0.2171 4.6057 1.0233 4.713
0.0139 0.9999 0.0139 71.9955 1 72.0025
0 -1 0 No definido -1 No definido
0.7133 0.7009 1.0176 0.9827 1.4267 1.4020
π
300°
9
2001°
16π 6
0.3420 -0.866 -0.3584 0.8660 0.9397 0.5 -0.9336 -0.5 0.3640 -1.7321 0.3839 -1.7321 2.7475 -0.5774 2.6051 -0.5774 1.0642 2 -1.0711 -2 2.9238 -1.1547 -2.7900 1.1547
b)
cosθ =
3 2
2.3. Ejercicios
1. senθ 2 tan2 θ += 1 ( cos θ) +1
tan θ =
2.
1 3
cot θ = 3
sec θ =
2 3
csc θ = 2
3.
4. 1 sen2θ cos2 θ (sec2 θ − 1) = (1 + senθ )(1 − senθ ) = 2 sec θ cos2 θ sec2 θ − cos2 θ = 2 = 1 − sen θ 1 cos2 θ = − cos2 θ 1 pero sen2θ + cos2 θ = cos2 θ = cos2 θ = 1 − cos2 θ 1 = sen2θ = 2 sec θ
(tanθ + cotθ )tanθ = sec2 θ
= tan2 θ + cotθ tanθ sen2θ + 1 1 cos2 θ = tan2 θ + tanθ 2 2 tan θ sen θ + cos θ = = tan2 θ + 1 cos2 θ = sec2 θ 1 = cos2 θ = sec2 θ 5. 6. 7. 8. senθ + cosθ secθ + tanθ tanθ + cosθ (1 − sen2θ )(1 + tan2 θ ) = 1 = 1 + tanθ = tanθ secθ = secθ + cotθ 2 2 2 cosθ cosθ + cotθ senθ 1 + tan θ − sen θ − sen θ tan2 θ senθ cosθ tanθ cosθ 1 = + =sec2 θ − sen2θ (1 + tan2 θ ) = + + tanθ cosθ cosθ θ θ sen sen cos θ = = sec2 θ − sen2θ sec2 θ = tanθ + 1 1 senθ cosθ + = sec2 θ (1 − sen2θ ) 1 = 1 + tanθ tanθ = cosθ + 1 + tanθ cosθ 1 senθ senθ = cos2 θ 2 θ cos cos θ cos θ = cosθ tanθ + 1 1 1 cos2 θ = + = tanθ cosθ tanθ cos2 θ tanθ (1 + tanθ cosθ ) = secθ + cotθ =1 = cosθ (cosθ tanθ + 1) tanθ (1 + tanθ cosθ ) = cosθ (1 + tanθ cosθ ) 1 = tanθ cosθ = tanθ secθ
=
96
2.4. Ejercicios: A
B
C
a
b
c
Perímetro
Área
1
56°18’
33°41’
90º
4
6
2 13
17.21
12
2 3
35º 38°41’
55° 51°19’
90º 90º
14.34 5
20.48
25 8
59.82 19.24
146.84 15.61
4 5 6
60° 60° 25°40’
30° 30° 64º 20´
90º 90º 90º
4√3 15 20.1
4 5√3 41.83
8 10√3 46.41
18.93 40.98 108.34
13.86 64.95 420.39
39
2.5. Ejercicios:
1 2
A
B
C
41°
77°
62° 0
a
b
c
Perímetro
Área
10.5
15 059
14.13
40.22
72.27
52.98°
56.01°
71.01
14.34
17.98
23.47
55.79
147.15
3
56°22’
0
75 10´
48°28’
214.38
248
195
657.38
19899.33
4
60°
40.89°
79.11°
10 7
20
30
76.46
259.81
5
28..96°
21.47°
129.57°
2
3
4
9
2.31
2.6. Ejercicios: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
918.44 cm 352.586 pies Base = 6.4476 cm. Altura = 5.0603 cm a) D = 191335.44 pies b) D = 286609.84 pies c) d = 5000 pies Distancia 20.736 km., dirección N 160.12° O. Sí; distancia entre ambos 12.75 millas. 16.07 m 49.8 m
97
2.7. Ejercicios:
y = cos( x)
Dom: R Ran: [-1, 1] CD: R No Inyectiva No suprayectiva No biyectiva
2.8.- Ejercicios:
y = cos(x)
y = cot( x)
y = csc( x)
Dominio: R - {..., −2π , −π ,0, π , 2π ,...}
Dominio: R - {..., −2π , −π ,0, π , 2π ,...}
Rango: ( −∞, ∞) , No Inyectiva No suprayectiva No biyectiva
Rango: ( −∞, −1] ∪ [1, ∞) CD: R No Inyectiva No suprayectiva No biyectiva
y = arccos(x)
CD: R
y = tan( x)
−1
= tan −1 (x)
= cos (x)
Dom: [0, π ] Ran:
[−1,1] CD: [ −1,1]
[−1,1] Ran: [0, π ] CD: [0, π ]
Inyectiva suprayectiva biyectiva
Inyectiva suprayectiva biyectiva
98
Dom:
y = arctan(x)
Dom: [ − π
,π ] 2 2 Ran: ( −∞, ∞) CD: ( −∞, ∞) Inyectiva suprayectiva biyectiva
(−∞, ∞) Ran: [ − π , π ] 2 2 CD: [ − π , π ] 2 2 Dom:
Inyectiva suprayectiva biyectiva
2.9. Ejercicios: a)
(
Amplitud
)
1.-
y = 3 sen 0.5x + π
2.-
y = 10 sen 2x
3.-
x y = 0.5 sen − π 4
A = 10 = 10
A = 0.5 = 0.5
1 x π cos − 5 4 4
A=−
2π 3
5.- y = 3cos 0.5 x +
y = 0.4 sen ( 6 x )
2
y = 5sen 6 10x 2 y = sen 3 5
2π 2π = = 4π k 0.5
A = 1 =1
Función seno
1 3
1 1 = 5 5
A = 3 =3
π 6.- y = sen 0.5x + 3 b)
2π 2π = = 4π k 0.5 2π 2π = =π k 2 2π 2π = = 8π 1 k 4 2π 2π = 8π = 1 k 4 2π 2π = = 4π 0.5 k
A = 3 =3
( )
4.- y = −
Periodo
y = −0.4 sen ( 6 x )
y = −5sen x 10x 2 y = − sen 3 5
3.1. Ejercicios:
x
1. f ( x) = 2 x
2. f ( x ) = 12
Dom: R Ran: (0, ∞) CD: R Inyectiva No suprayectiva No biyectiva
Dom: R Ran: (0, ∞) CD: R No Inyectiva No suprayectiva No biyectiva
desfasamiento
π
0.5
= 2π 0
π = 4π 1 4 π 4
π
=π
4 2π 3
0.5 π 3
0.5
=
4 π 3
=
2π 3
Función coseno
y = 0.4 cos ( 6 x )
y = −0.4 cos ( 6 x )
y = 5cos6
y = −5cos x
y=
3. f ( x ) = (0.5)
10x 2 cos 3 5 x
Dom: R Ran: (0, ∞) CD: R No Inyectiva No suprayectiva No biyectiva
2 10x y = − cos 5 3
3. f ( x ) = log 2 ( x )
4. f ( x ) = log1 / 2 ( x )
Dom: (0, ∞) Ran: R CD: R No Inyectiva No suprayectiva No biyectiva
Dom: (0, ∞) Ran: R CD: R No Inyectiva No suprayectiva No biyectiva
99
3.2. Ejercicios:
1. log8 2 =
1 3
6. 103 = 1000
2. log 4
1 = −3 64
7. 32 = 9
3.3. Ejercicios:
1. x = 321 + 2 2. x = 123
7. x = 63
1 125
8. 5−3 =
3. x = 2
3
1 9. = x 4
9. 2 log5 x − 4 log(x − 3)
5. x =
10. x = −1
3.4.- Ejercicios: a)
1 log x − log ( x − 3) 2 1 1 1 3. log 2 a + log 2 b − log 2 c 4 3 2 5 1 5. log 4 x − log 4 (c + 4 ) 2 2 7. a ln(x) + bln(x) + c ln x
3 2
4. x =
8. x = 1.5198 9. x = ±2
1.
4. log 3 243 = x
1 1 3. log81 = − 3 4
298 3
5. log5
1 = −x 25
10. 464 = x + 1
6. x = 1.3852
11. x = −1.631 12. x = −0.402
(
)
2. 2 log5 x − 3 + 3log5 x
(
)
4. log5 x − 6 − 2 log5 x 1 6. log x + 2 log(x − 2) − (log 2 + log x) 3
8. log a − log b − log c 1 10. log a + log b − 4 log c 2
b)
1. log 3. log
x2 (x − 3)4
2. log 3
3 2 5
7a b c 3x 2 y
4. log
5. log(a 2 − b2 )
3.5. Ejercicios
1. x = 2 6. x = 30
100
6. ln
2. x = 3 7. x = 9
3. x = 5 8. x =
5 3
x(x − 2)2 3
2x
2xy 3z 3x
(x + 4)
2
4. x = 32 9. x =
7 3
5. x = 8 10. x = 12
3.6. Ejercicios: 1. C = 4168.56 2. Interés = 1167.54 3. t = 4 años 11 meses 20 días 4. r = 7.34% anual 4.1. Ejercicios: 2 1. Área 1.0 u Perímetro 9.05 u 2
6. Área 7.5 u Perímetro 18.0 u
2
2. Área 3.5 u Perímetro 19.9 u
5. 6. 7. 8.
t = 7 años 7 meses 7 días t = 3 horas 49 minutos 19 segundos t = 133 horas 21 minutos 5 segundos t = 44 años 10 meses 6 días
2
2
3. Área 34 u 4. Área 9.0 u Perímetro 30.53 u Perímetro 18.0 u
2
2
7. Área 12.0 u 8. Área 0.875 u 9. Perímetro 19.47 u Perímetro 15.28 u
2
5. Área 27.98 u Perímetro 30.0 u
Área
(a)h 2 u 2
Perímetro
a + h + a 2 + h2 u
4.2. Ejercicios: 1.
8 ¬14 P ,− 5 5
5 25 P , 4 4
21 13 P , 5 5
17 8 10 10 , − P2 , − 3 3 3 3 10 18 3. P1 − , 4 P2 (−1, 6 ) P3 ,8 4 4 5 19 b) (38,33) c) 4. a) 5, − , −1 2 2
8 P 1, 3
5 2 P − ,− 3 3
15 12 P ,− 7 7
2. P1
d) (−11, 62 )
4.3. Ejercicios:
1. Lado 10 cm
2. Lado 3 cm
3. Lado 8 mm
6. Lado 4.6 cm
7. Lado 13.5 cm
8. Lado 45 cm
A= 172.048 cm 2
A= 102.169 cm 2
A= 15.484 cm 2
A= 473.499 cm 2
A= 110.11 mm 2
A= 5261.104 cm 2
4. Lado 13 cm
A= 816.004 cm 2
5. Lado 5 cm
A= 120.711 cm 2
9. Lado 100 cm
A= 25980.76 cm 2
101
4.4. Ejercicios:
Puntos
Gráfica
K: (4.00, -20°) J: (2.00, 75°) I: (4.00, -60°) H: (1.00, 135°) G: (3.00, -60°) F: (0.00, 0°) E: (1.50, 180°) D: (4.00, 90°) C: (2.00, 45°) B: (1.00, 60°) A: (1.00, 0°)
4.5. Ejercicios: 1. r
6.
= sen(α )
r = cos(4α )
102
2.
7.
r = sen(α ) − 1 3. r = 2 sen(α ) − 1
r = cos(3α ) 2
8.
r =α
4.
9.
r = cos(α ) − 1 5. r = cos(2α )
r = 1 − cos(α ) 2
10.
r=
2 2 − cos(α )
4.6. Ejercicios: a) 1. 2. (0, -1) (-2, 2)
b) 1.
(2
2 , 225°
)
3. (0, -1)
2.
5. (-1, 0) (-3 3 , -3)
3.
4.
( 3,305.26°)
(5,180° )
4.7. Ejercicios: a) 1. r cos(α ) = 4
4.
2.
7.
3 3 3 , 2 2
5.
6.
(2, 45° ) (5, 36.87 ) (0, 0 )
3.
2
6.
r= =2 r2
4 = 2 cos (α ) − sen 2(α )
4 1 − 2 sen 2 (α ) sen α α 1 = 7. = tan cos α
4.
r=
8.
(0, 0 )
3 3 , 2 2
7.
(
2 , 225°
)
8.
(2,120° )
1 3cos(α ) − 2 sen(α )
=
5.
6.
r = tan 2 (α ) sec(α ) r = 4 cos(α )
b) 1.
x 2 + y 2 = 25
6.
2
2
x − y =1
Ejercicios 5.1: 1. y − 6 x = 0
2.
3.
7.
8.
y=x
x2 + y 2 − 4 y = 0
x =1 2.
2
2
2
2
4. 9.
3.
x2 y = 2x + 1
Simetrías origen
Simetrías No
Intersecciones Eje x (0, 0) Eje y (0, 0)
Intersecciones No
Intersecciones Eje x (-1/2, 0)
Asíntotas x = 0 y = 0
Asíntotas x = 0 y = 0
3
6. = y 2x y + 2 Simetrías No Intersecciones Eje y (0, 2) Asíntotas y =0
7.
5.
2
2
x + y − 4 x y = 0 x + y − 3x − 2 y = 0
xy = −10
x2 y2
=1
Simetrías Origen Eje x Eje y Intersecciones No Asíntotas
8.
2 sen(2α )
( x 2 + y 2 )3 − 4 x 2 y 2 = 0 x 2 + y 2 = x 2 / 3
Simetrías origen
Asíntotas No
2
8. r =
yx = x − 4
4.
x 2 + y 2 = 25 Simetrías Origen Eje x Eje y Intersecciones Eje x (-5,0) (5,0) Eje y (0,-5) (0,5)
10.
x2 + 2 y − 1 = 0 5.
Simetrías Eje y Intersecciones No Asíntotas x = 2 x = -2 y =0
Asíntotas No 2
9. y + 4 x − 4 y = 12
yx 2 − 4 y = 8
10.
xy = 4 y
Simetrías No
Simetrías No
Simetrías Eje x
Intersecciones Eje x (4, 0)
Intersecciones Eje x (3, 0) Eje y (0, -2) (0, 6)
Intersecciones No
Asíntotas x =0 y =1
Asíntotas No
Asíntotas x =4
103
x=
No
3 1 2
6.1. Ejercicios: 1. x + 3 y + 5 = 0 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
9.
AB
3x − 2 y + 1 = 0
2 x + 5 y − 18 = 0 3 x − y + 15 = 0 x − 3 y + 12 = 0 3x + 2 y = 0 2 x + 5 y − 12 = 0 x+ y+2=0 3x + 4 y = 0
6.2. Ejercicios General 1. Pendiente ordenada Simétrica
Normal
4.
Simétrica
Cartesiana Normal
Pendiente ordenada
104
CA
2x + y + 3 = 0
2x − 3y + 6 = 0 2 y= x+2 3 x y + =1 −3 2
2.
3x + 4 y − 5 = 0 3 5 y=− x+ 4 4 x y + =1 5 5 3 4 y − 12 3 = − x −1 4
5.
3.
3 x − 2 y − 10 = 0 3 y = x−5 2
8.
x − y − 10 = 0 y= x − 10
6.
y −1 = −1 x −1 1 1 2 x+ y− =0 2 2 2
3 x − 2 y − 24 = 0 3 y = x − 12 2 x y + =1 8 −12 y+9 3 = x−2 2
y+9 =1 x −1
−2 3 24 x+ y− =0 13 13 13
1 1 10 x− y− = 0 2 2 2
2x − y + 7 = 0 y = 2x + 7
x+ y−2=0 y = −x + 2 x y + =1 2 2
x y + = 1 10 −10
3 4 x + y − 1 =0 5 5
7.
5 x − 2 y − 16 = 0 5 y = x −8 2 x y =1 + 16 −8 5 y+3 5 = x−2 2
5 −2 16 x+ y− =0 29 29 29
−2 3 6 x+ y− =0 13 13 13
Pendiente ordenada
General
x + 4y − 9 = 0
y−4 2 = x−3 3
Cartesiana
General
BC
9.
8x + 4 y − 1 = 0 1 y = −2 x + 4
Simétrica
x y + =1 10 −5 3 y+2 3 = x−2 2
x y + =1 7 7 − 2 y −9 =2 x −1
3 −2 10 x+ y− =0 13 13 13
−2 1 7 x+ y− =0 5 5 5
Cartesiana Normal
6.3. Ejercicios: 1. Ángulos 2. Ángulos 90° 71.6° 63.4° 71.66° 26.6° 36.9° 6.4. Ejercicios
21 26
1. d =
2. d =
49 6 5
6.5. Ejercicios: 1.- ( −1,3), (0, −1), (1,1) ortocentro =
7 4 3 , 3
baricentro = (0,1)
7 5 − 6 , 6
circuncentro =
4.-
(8,1), (2, 7), (3,3)
ortocentro =
baricentro =
4 4 − 3 ,− 3
13 11 3 , 3 43 37 , 6 6
circuncentro =
3. Ángulos 90° 63.4° 26.6°
3. d =
10 5
2
baricentro =
2 5 3 ,− 3
23 21 − 2 , 2
circuncentro =
5.-
(2, −1), (−4, 7), (8, 0)
ortocentro =
44 65 − 27 ,− 9
baricentro = (2, 2 )
103 119 , 27 18
circuncentro =
84 x − 16 y + 84 x + 128 y − 319 = 0 5. 7 x − 2 y − 14 = 0 7. x − 2 y = 0 3.
1 4 13
(1, −2), (4, 2), (−3, −5) ortocentro = (25, −26 )
( x − 2) 2 + ( y + 2) 2 = 25 2
4. d =
2.-
6.6. Ejercicios 1.
4. Ángulos 145.3° 21.4° 13.3°
2 5
x y + =1 1 1 8 4 y + 74 = −2 x −1 1
x+
5
5. Ángulos 59° 85.4° 35.5°
5. d =
y−
1
4 5
=0
6. Ángulos 84.8° 50.7° 44.5°
126 337
6. d =
110 281
(−2, 2), (8, −4), (−5, −3) ortocentro = (−2, 2 ) 3.-
baricentro =
1 5 3 ,− 3
circuncentro =
3 7 2 ,− 2
(1,1), (−2,3), (5, −2) ortocentro = (91,127 ) 6.-
baricentro =
4 2 3 , 3
87 125 ,− 2 2
circuncentro= −
x+ y=0 4. xy = 6 2 2 6. 4 x + 9 y + 12 xy + 72 x − 82 y − 233 = 0 2 8. x − y = 6
2.
105
7.1. Ejercicios: 1.-
B 2 − 4 AC = (1) 2 − 4(1)(1) = −3 < 0
Elipse
2.-
B 2 − 4 AC = (12) 2 − 4(4)(9) = 0
Parábola
3.-
B 2 − 4 AC = (−4) 2 − 4(5)(8) = −144 < 0
Elipse
4.-
B 2 − 4 AC = (2) 2 − 4(4)(9) = −140 < 0
Elipse
5.-
B 2 − 4 AC = (6) 2 − 4(5)(5) = −64 < 0
Elipse
6.-
B 2 − 4 AC = (3) 2 − 4(2)(1) = 1 > 0
Hipérbola
7.-
B 2 − 4 AC = (0) 2 − 4(9)(3) = −108 < 0
Elipse
8.1 Ejercicios: a)
d)
b)
( x + 4) 2 + ( y − 6) 2 = 64 x 2 + y 2 + 8 x − 12 y − 12 = 0
x 2 + y 2 − 10 x − 2 y + 16 = 0
2
2
( x + 2.96) + ( y + 6.28) = 16
8.2. Ejercicios: 1.
C (0.9, 1.9) R = 3.14
2.
2
= −6 y
2
2
x + y − 10 x + 4 y + 20 = 0
e)
h)
( x + 2) 2 + ( y − 1) 2 = 34 x 2 + y 2 + 4 x − 2 y − 29 = 0 ( x − 2) 2 + ( y − 2) 2 = 8
C (2, − 5) R=4
9.1. Ejercicios: a) 1. x
2. x
2
=−
3.
C (2, − 1) R=2
16 y 5
Vértice: (0,0) Foco: (0, −3/ 2)
Vértice: (0,0) Foco: (0, −16 / 20)
Directriz: y = 3/ 2 Lado recto = 6
Directriz: y = 16 / 20 Lado recto = 16 / 5
106
c)
2
( x − 5) + ( y + 2) = 9
( x − 5) 2 + ( y − 1) 2 = 10
g)
2
3.
( x − 12 ) 2 + ( y + 3) 2 = 150 4 x 2 + 4 y 2 − 4 x + 24 y − 563 = 0
f)
i)
( x − 3) 2 + ( y − 3) 2 = 9 x 2 + y 2 − 6 x − 6 y + 18 = 0 ( x − 5) 2 + ( y − 2) 2 = 50
4.No es real
2
( y + 12) = −14( x + 1)
Vértice: (−1, −12) Foco: (−4.5, −12) Directriz: x = 2.5 Lado recto = 14
5.
C (−1/ 2, 1/ 4) R = 1/ 3
4. ( x − 2)
2
= −4 y
Vértice: (2,0) Foco: (2, −1) Directriz: y = 1 Lado recto = 4
5. ( y + 3)
2
=
26 x 5
6. x
2
=y
Vértice: (0,0) Foco: (0,1/ 4)
Vértice: (0, −3) Foco: (1.3, −3) Directriz: x = −1.3 Lado recto = 26 / 5
Directriz: y = −1/ 4 Lado recto = 1
b)
7.
2
( x + 6) = −4( y − 1)
Vértice: (−6,1) Foco: (−6,0) Directriz: y = 2
8. ( x )
Directriz: y = 2.8 Lado recto = 2 / 3
Lado recto = 4
( x − 4) 2 = 8( y + 3)
4.
( y − 6) 2 = −12( x − 3)
2.
y 2 = 22( x + 2.5)
5.
( x − 2) 2 = 28( y + 1)
3. (x + 3) 2 = 7.2( y − 12 )
6.
( y − 4) 2 = −48( x − 10)
( y + 7) 2 = 2( x + 4) Vértice: ( −4, −7) Foco: ( −3.5,7) Directriz: x = −4.5 Lado recto = 2
( x + 2) 2 = 6 / 9( y + 10) Vértice: ( −2, −10) Foco: ( −2, −9.8) Directriz: y = −10.1 Lado recto = 6 / 9 5. (x + 5) 2 = −8( y − 13 ) 4
1.
2.
( x − 3) 2 = 10( y − 2) Vértice: (3,2) Foco: (3, 4.5) Directriz: y = −0.5 Lado recto = 10
4.
(−5,3.25) Foco: ( −5,1.25) Directriz: y = 5.25 Lado recto = 8
Vértice:
= 2 / 3( y − 3)
Vértice: (0,3) Foco: (0,3.16)
1.
9.2. Ejercicios:
2
( x − 4) 2 = 6( y + 1) Vértice: (4, −1) Foco: (4, 0.5) Directriz: y = −2.5 Lado recto = 6 2 6. y = −4( x − 3) Vértice: (3, 0) Foco: (2, 0) Directriz: x = 1 Lado recto = 4 3.
10.1. Ejercicios: a)
x2 y 2 + =1 9 4
Centro: (0, 0) Focos: (0, − 5) (0, 5) Vértices:
(0, −3) (0,3) (−2, 0) (2,0)
( x − 3) 2 y 2 ( x − 6) 2 ( y − 7) 2 + =1 + =1 100 121 4 25
Centro: (6,7) Focos:
Centro: (3, 0) Focos:
Vértices:
Vértices:
(6,11.58) (6, 2.42)
(6,18) (6, −4)
(3, −4.58) (3, 4.58)
(3,5) (3, −5) (5, 0) (1, 0)
( x − 4) 2 ( y + 6) 2 + =1 16 9
Centro: (4, −6) Focos:
(6.65, −6) (1.35, −6)
Vértices:
(0, −6) (8, −6)
107
( x) 2 ( y ) 2 + =1 144 169
(16, 7) (−4, 7) Lado recto = 18.18 ( x) 2 y 2 + =1 64 81
Centro: (0, 0) Focos:
Centro: (0,0) Focos:
Lado recto = 8 / 3
(0,5) (0, −5)
Vértices:
(0,13) (0, −13) (12, 0) (−12, 0) Lado recto = 22.15
(0, 4.12) (0 − 4.12)
Vértices:
(0,9) (0, −9) (8, 0) (−8, 0) Lado recto = 14.22
9x2 + y 2 = 1
(4, −9) (4, −3) Lado recto = 4.5 16( x − 3) 2 + 9( y + 1) 2 = 144
Centro: (0,0) Focos:
Centro: (3, −1) Focos:
Vértices:
Vértices:
Lado recto = 1.6
(0, 0.94) (0, −0.94) (3,1.65) (3, −3.65)
(0,1) (0, −1) (1/ 3, 0) (−1/ 3, 0) Lado recto = 2 / 3
(3, −5) (3,3) (0, −1) (6, −1) Lado recto = 4.5
b)
x2 y2 + =1 169 144 x2 y 2 2. + =1 36 6 2 2 3. 16 x + 25 y = 576 1.
x2 y 2 + =1 55 64 ( x + 2) 2 ( y − 5) 2 5. + =1 81 16 ( y − 52 )2 (x)2 6. +4 =1 100 375 4.
10.2. Ejercicios: 1.
( x + 2) 2 ( y − 1) 2 + =1 9 25
( x + 3) 2 ( y − 1) 2 =1 + 8 24 ( x − 3) 2 ( y − 4) 2 3. + =1 16 25 2.
108
4.
(x − 23 )2 27 4
+
( y + 3)2 9 2
=1
( x + 6) 2 ( y − 7) 2 + =1 4 9 ( x − 2) 2 ( y − 4) 2 6. + =1 12 18
5.
11.1. Ejercicios: 2 16( x − 3) 2 − 9( y + 1) 2 = −36 ( y − 5) 2 ( x ) 2 ( x + 1) 2 ( x − 3) 2 ( y + 2) 2 a) ( y − 7) − = 1 − = 1 − + = 1 64 4 81 9 1/ 4 1 / 16
Centro: (-1, 7) Focos:(-1, 15.3), (-1, -1.3) Vértices:(-1, 15), (-1, -1) Asintotas:
Centro: (0, 5) Focos:(0, 14.5), (0, -4.5) Vértices:(0, 14), (0, -4) Asintotas:
y = 4 x + 11 y = −4 x + 3
Ex.:1.05
Ex.:1.25
Ex.:1.25
y = (4 / 3) x − 5 y = −(4 / 3) x + 3
( x) 2 ( y ) 2 − =1 4 49
( x) 2 y 2 − =1 64 81
9x2 − 4 y 2 = 9
Centro: (0,0) Focos:(7.3. 0), (-7.3, 0) Vértices:(2, 0), (-2, 0) Asintotas:
Centro: (0, 0) Focos:(12.04, 0), (-12.04, 0) Vértices:(8, 0), (-8, 0) Asintotas:
Centro: (0, 0) Focos:(1.8, 0), (-1.8, 0) Vértices:(1. 0), (-1, 0) Asintotas:
Centro: (0, 0) Focos:(3.6, 0), (-3.6, 0) Vértices:(2, 0), (-2, 0) Asintotas:
Centro: (3, 0) Focos:(3, 13), (3, -13) Vértices:(3, 5), (3, -5) Asintotas:
Ex.:3.6
Ex.:1.51
Ex.:1.8
Ex.:18
Ex.:2.6
1. 2.
x2 4 y2 4
− −
y2 12 x2 21
y2
3. = 1
36 x2
4. = 1
32
− −
x2 64 y2 32
= 1
5.
= 1
6.
5( y − 1) 2 64 ( x − 4) 2
− −
25
y = (3 / 2) x y = −(3 / 2) x
5( x − 1) 2
16 ( y − 3) 2 11
y 2 ( x − 3) 2 − =1 25 144
x2 y 2 − =1 4 9
y = (3 / 2) x y = −(3 / 2) x
y = (9 / 8) x y = −(9 / 8) x
y = 3.5 x y = −3.5 x
b)
Centro: (3, -1) Focos:(3, 1.5), (3, -3.5) Vértices:(3, 1), (3, -3) Asintotas:
y = 0.5 x − 3.5 y = −0.5 x − 0.5
y = (9 / 3) x + 5 y = −(9 / 3) x + 5
Ex.:1.03
Centro: (3, -2) Focos:(3, -1.69), (3, -2.31) Vértices:(3, -2.75), (3, -2.25) Asintotas:
7. = 1
y = 0.42 x − 1.25 y = −0.42 x + 1.25
( x − 3) 2 9
−
( y + 1) 2 4
= 1
= 1
11.2. Ejercicios: 1. 2.
( y − 3)
2
25
( x − 3) 2 4
−
−
( x − 2) 16
2
3. = 1
( y + 5) 2 9
4. = 1
( x − 1) 49
2
−
( y + 4) 2 11
( y + 3)
2
36
−
= 1
( x + 3) 2 44
= 1
5. 6.
( x + 12)
2
126
( y − 2) 2 9
−
−
( y − 5)
2
56
( x + 4) 2 25
= 1
= 1
109
Muestra de examen Éste es sólo una muestra de cómo es el examen, pero recuerda que los temas pueden variar, no te confíes. Lee con cuidado los siguientes enunciados y selecciona la respuesta correcta. 1. De los siguientes planteamientos aquel que define a una función es:
{
}
{
}
A) Sean A = ni–os , B = mascotas ; g : A → B tal que g (a ) = mascota de a
A Q= , B Q; h : A → B tal que h (x ) = B) Sean=
x
x + 1 si x > 2 x + 1 si x ≤ 2
A R= , B R; f : A → B tal que f (x ) = C) Sean= A = D) Sean
= {seres humanos }, B
N ; α : A → B tal que α ( h ) = edad en años de h
2. El dominio y rango de la función f (x ) =
A ) Dom= ( -∞,1) (1, ∞ )
B ) Dom=R
Rang= ( -∞,1) (1, ∞ )
Rang=R 3. Si log b
1 9
A)
4. El
1 son respectivamente: x +1 D ) Dom=R C ) Dom=R 2
Rang= ( 0,1]
1 3 = − entonces el valor de b es: 27 2
B) 9
valor
C) 9 3
que
debe
D ) 81 3
x,
tomar
de
3 2 log b 4 − log b 8 + 2 log b 2 = log b x se cumpla es: 2 3 17 log b ( −2 ) 6
A)
Rang= ( 0,1)
B)
9 log b 1 2
C)
14 3
tal
forma
que
la
D) x = 8
5. Un puesto de observación, que está en la costa, se encuentra a una altura de 225 metros sobre el nivel del mar. Si el ángulo de depresión desde este punto hasta un barco en el mar es
π
6
. La
distancia a la que se encuentra el barco de la orilla del mar es de:
A)
110
75 3
B)
225 3 3
C)
675 3 3
D ) 675 3
igualdad
6. El valor que debe tomar k de tal forma que la línea recta kx − 3 y = 10 sea perpendicular a la recta y = 2 x + 4 es:
A) −
3 2
B) −
1 2
C)
3 10
D)
2 4
7. La pendiente de la recta l1 , tal que el ángulo entre l1 y l2 es arctan
l2 contenga a los puntos (2,1) y (−4, −5 ) es: 2 1 A ) −1 D) 1 B) − C) 3 5
2 , y además que 3
8. El lugar geométrico del conjunto de puntos del plano, tales que disten del punto A (2, 0 ) , la mitad de su distancia a la recta x = 8 es:
A ) una circunferencia B ) una elipse C ) una parábola D ) una recta paralela a x = 8
9. La ecuación de la parábola que se muestra en la siguiente gráfica es:
A ) x 2 = −8 y
B) x2 = 8 y
C ) y 2 = −8 x
D ) y 2 = 8x
10. Las ecuaciones de las circunferencias que son tangentes a 3 x − 4 y + 3 = 0 en y radio 7, son:
A ) x 2 + y 2 + 52 x − 56 y + 47 = 0 x 2 + y 2 + 52 x − 56 y + 47 = 0 C ) 5 x 2 + 5 y 2 + 52 x − 56 y + 7 = 0 x 2 + y 2 − 32 x + 56 y − 7 = 0
(−1, 0 )
B ) 5 x 2 − 5 y 2 + 52 x − 56 y + 47 = 0 5x 2 − 5 y 2 + 32 x + 56 y + 37 = 0 D ) 5 x 2 + 5 y 2 + 52 x − 56 y + 47 = 0 5x 2 + 5 y 2 − 32 x + 56 y − 37 = 0
111
11. La ecuación de la elipse con ejes paralelos a los ejes coordenados, con vértices en (1, −4 ) y (1, 6 ) , y cuyo foco está sobre la recta 2 y − x − 7 = 0 es:
A ) 25 x 2 + 16 y 2 − 50 x − 32 y − 359 = 0
B ) x 2 + y 2 − 2 x − 2 y − 1 =0
C ) x 2 + y 2 − 50 x − 32 y + 15 = 0
D ) 16 x 2 + 25 y 2 − 50 x − 32 y − 359 = 0
12. La ecuación de la hipérbola cuyos ejes son paralelos a los ejes coordenados y que
( ) ( )(
)
pasa por los puntos 0,1 , 0,5 , 2,−2 y (6, −2 ) es:
A ) 3 x 2 − 4 y 2 − 24 y − 16 y + 20 = 0
B ) 4 x 2 − 3 y 2 − 24 y − 16 y + 20 = 0
C ) 3 x 2 + 4 y 2 − 24 y − 16 y + 20 = 0
D ) 3x 2 − y 2 − 6 y − 4 y + 5 = 0
13. La definición “conjunto de puntos en los que el valor absoluto de las diferencias de sus distancias a dos puntos fijos es siempre igual a una constante” se refiere a:
A ) Parábola
B ) Elipse
C ) Hipérbola
D ) Circunferencia
14. De las siguientes afirmaciones referentes a la parábola, el enunciado que es falso es el representado por el inciso: A) El eje de una parábola es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco. B) El lado recto mide lo mismo que la directriz. C) Los rayos que se dirigen al interior de un paraboloide siguiendo una trayectoria paralela al eje del paraboloide, al llegar al paraboloide y reflejarse, se reflejan de tal modo se que se dirigen directamente al foco. Por eso los paraboloides son buenas antenas receptoras si el receptor se coloca en el foco. D) Entre más grande sea el lado recto, más abierta es la parábola. 15. De las siguientes ecuaciones aquella que representa a una hipérbola es:
A ) − 4 x2 − 4 y 2 + 4 = 0
B) − 4 x2 + y 2 + 4 = 0
C) 4 x2 + 4 y − 4 = 0
D ) x2 + 4 y 2 − 4 = 0
112
UNAM
Universidad Nacional Autónoma de México
Escuela Nacional Preparatoria
Dr. Enrique Graue Wiechers Rector Dr. Leonardo Lomelí Vanegas Secretario General
SECRETARÍA ACADÉMICA
Ing. Leopoldo Silva González Secretario Administrativo
COLEGIO DE MATEMÁTICAS
Dra. Mónica González Contró Abogado General
Mtra. Silvia E. Jurado Cuéllar Directora General Lic. Rogelio Cepeda Cervantes Secretario General
COLEGIO DE MATEMÁTICAS
DGENP
QUINTO AÑO Clave: 1500 Plan: 96
Lic. Miguel Ángel Álvarez Torres Secretario Académico
M. en C. Ana Laura Gallegos y Téllez Rojo Jefa del Departamento Dirección de Planteles Lic. Enrique Espinosa Terán Plantel 1 " Gabino Barreda " Lic. Isabel Jiménez Téllez Plantel 2 " Erasmo Castellanos Quinto " M. en C. Laura Elena Cruz Lara Plantel 3 " Justo Sierra " Mtro. Hugo Martín Flores Hernández Plantel 4 " Vidal Castañeda y Nájera " Biól. Ma. Dolores Valle Martínez Plantel 5 " José Vasconcelos "
Matemáticas V
Mtro. Juan Neftalí Hernández Nolasco Secretario de Difusión Cultural
Clave: 1500 Plan: 96
Lic. Luis Felipe Ortega Montiel Secretario Administrativo
I.Q. María del Carmen Rodríguez Quilantán Plantel 7 " Ezequiel A. Chávez " Arq. Ángel Huitrón Bernal Plantel 8 " Miguel E. Schulz " Q.F.B. Roberta Ma. del Refugio Orozco Hernández Plantel 9 " Pedro de Alba "
QUINTO AÑO
Mtra. Alma Angélica Martínez Pérez Plantel 6 " Antonio Caso "
Elaboró: Martín Fermoso Díaz Martha Patricia Rodríguez Rosas Gustavo Saulés Estrada
GUÍA DE ESTUDIO
Matemáticas V