Informacion general de la asignatura(2)[6]

Lógica matemática Información general de la asignatura

Universidad Abierta y a Distancia de México

Licenciatura en Matemáticas

8° semestre

Lógica matemática

Información general de la asignatura

Clave: 05144845

Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnología | Licenciatura en Matemáticas 1

Lógica matemática Información general de la asignatura

Índice Información general de la asignatura ...................................... 3 Ficha de identificación ............................................................. 3 Descripción.............................................................................. 3 Propósitos ............................................................................... 4 Competencias a desarrollar .................................................... 4 Temario ................................... ¡Error! Marcador no definido.

Metodología de trabajo ........................................................... 6 Evaluación ............................................................................... 7 Fuentes de consulta básica .................................................... 8 Fuentes de consulta complementaria ..... ¡Error! Marcador no definido.

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Lógica matemática Información general de la asignatura Información general de la asignatura

Ficha de identificación

Licenciatura / Ingeniería en: Nombre de la asignatura: Clave de asignatura: Seriación: Semestre: Horas de estudio:

Licenciatura en Matemáticas Lógica matemática 05144845 Introducción al álgebra superior, introducción al pensamiento matemático Décimo 72

Descripción La lógica es una ciencia formal que estudia la forma del razonamiento, los principios de la demostración e inferencia válida. La lógica matemática es la disciplina que trata de métodos de razonamiento de la lógica en las matemáticas, estudia los sistemas formales en relación con el modo en que se definen nociones intuitivas de los objetos matemáticos como conjuntos, números, entre otros utilizando un lenguaje formal; ha tenido un desarrollo importante a partir de los años treinta del siglo pasado y ha alcanzado notables resultados teóricos y de aplicaciones con los trabajos de Gödel, Herbrand, Turing, Church, Tarski, Robinson, Wang, Davis, Putnam, entre otros.

En un principio, la lógica matemática puede considerarse como un modelo matemático del razonamiento correcto, al desarrollarse y nutrirse de la teoría intuitiva de conjuntos y del álgebra universal, dio origen a la teoría de modelos, que es parte del objetivo de este curso.

La asignatura se encuentra en el décimo semestre de la Licenciatura en Matemáticas y corresponde al módulo 4 de formación profesional. Consta de tres unidades que te guiarán de manera secuencial en el proceso de niveles básicos a complejos y así lograr el conocimiento que se requiere para cumplir con la asignatura.

En la unidad 1 aplicarás el lenguaje de la lógica en diferentes ejemplos y enunciados para que tengas una idea real de un sistema formal, ayudado por los conocimientos adquiridos en Introducción al pensamiento matemático y el cálculo proposicional.

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Lógica matemática Información general de la asignatura En la unidad 2 revisarás la lógica de primer orden, su lenguaje formal, las tablas de verdad y sus diversos modelos; mediante el cálculo deductivo aprenderás las deducciones formales, reglas de inferencia, axiomas y teoremas de generalización.

En la unidad 3 estudiarás los teoremas de validez y completud, así como modelos en la lógica de primer orden.

Propósitos Con el estudio de esta asignatura:    

Utilizarás los conceptos de la lógica de primer orden.

Harás demostraciones que impliquen la consideración de sistemas distintos a los usuales dentro del margen de la lógica de primer orden.

Manejarás el concepto abstracto de enunciado y lenguaje.

Identificarás propiedades de modelos y sistemas de enunciados.

Competencias a desarrollar Competencia general: Aplicar los conceptos, resultados y técnicas de la lógica matemática de primer orden para analizar las nociones básicas de la teoría de modelos, mediante los principios elementales de la teoría de conjuntos y del álgebra universal estudiados en cursos previos.

Competencias específicas: Unidad 1 Aplica el lenguaje de la lógica de proposiciones para comprender el concepto de sistema formal mediante el cálculo proposicional (utilización).

Unidad 2 Analiza algunos resultados de un cálculo deductivo para determinar métodos de deducción adecuados y demostrar que un enunciado dado es implicado lógicamente por otros, mediante el empleo de razonamientos matemáticos correctos expresados en el lenguaje de la lógica de primer orden (utilización).

Unidad 3 Analiza propiedades de conjuntos de fórmulas de un lenguaje dado para determinar propiedades de modelos o estructuras donde son satisfactibles tales fórmulas, mediante el uso de los teoremas de validez, completud, compacidad y de Löwenheim-Skolem (utilización).

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Lógica matemática Información general de la asignatura Contenido nuclear Lógica de enunciados o de proposiciones El lenguaje de la lógica de enunciados Introducción a los lenguajes formales Símbolos de la lógica de enunciados Reglas de formación de fórmulas Principio de inducción Asignaciones de verdad Tablas de verdad Implicación tautológica Equivalencia tautológica Tautologías Inducción y recursión Teoremas generales de inducción y recursión Unicidad de lectura Conectivos lógicos Funciones booleanas Conjuntos de conectivos completos Conjuntos de conectivos incompletos Compacidad y efectividad Teorema de compacidad Efectividad y calculabilidad Decidibilidad y efectividad numerable Lógica de primer orden o de predicados Lenguajes de primer orden Símbolos lógicos y no lógicos Términos y fórmulas Variables libres y variables acotadas Definición y ejemplos de enunciados Verdad y modelos Interpretaciones o estructuras Definición de satisfacción Definición de verdad para enunciados y definición de modelo Implicación lógica Equivalencia lógica Fórmulas universalmente válidas Definibilidad de una estructura Homomorfismos y teorema del homomorfismo Un cálculo deductivo Deducciones formales Reglas de inferencia Axiomas lógicos

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Lógica matemática Información general de la asignatura Deducciones y metateoremas Teorema de generalización Teorema de la deducción Teorema de la generalización sobre constantes Teorema de la existencia de variantes alfabéticas Validez, completud y modelos en la lógica de primer orden Teoremas de validez y completud Introducción al enunciado de los teoremas Demostración de los teoremas Teorema de compacidad Modelos de teorías Modelos finitos Tamaño de modelos Teoremas de Löwenheim-Skolem

Metodología de trabajo Por medio de ejemplos casi coloquiales, se presenta el concepto de lenguaje formal en el contexto de la lógica, permitiendo la construcción del concepto general de enunciado.

Partiendo de la concepción intuitiva del valor de verdad de un enunciado, se determina la forma de plantear si es verdadero o falso, dependiendo de otros o, en caso contrario, si no es posible, se recae al concepto de deducibilidad.

Se presenta el concepto de inducción que se conoce desde cálculo para dar una generalización de este principio así como del principio de recursión. Se presentará un cálculo deductivo particular y se desarrollarán algunos resultados respecto de la forma en que trabaja sin demostrar la validez del mismo, esto siguiendo la línea de razonamiento presentada en el texto de Enderton, A mathematical introduction to logic.

Se llevará una secuencia que conducirá a la presentación de teoremas clásicos de la lógica de primer orden y algunos resultados de la lógica de enunciados, demostrándolos de la forma más completa posible y permitirá al estudiante obtener algunos resultados que podrá consultar en los textos de la bibliografía, con el fin de que conozca distintas formas de trabajar la lógica en este nivel. Los conceptos dentro de las unidades se introducirán de manera constructiva y no sólo axiomática, según sea el caso, permitiendo una comprensión más clara de éstos.

En lo posible, se harán comentarios de la relación de los conceptos e ideas estudiadas aquí de acuerdo con lo que se presentó a lo largo de la carrera para remarcar el carácter general y formal de la lógica.

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Lógica matemática Información general de la asignatura Evaluación Para este semestre, la evaluación se hará con base en las siguientes categorías: Actividades colaborativas. Esta categoría engloba todas las actividades que realizarás en equipo con tus compañeros, las que pueden ser proyectos, escritos, participación en foros, etc. Los medios que se utilizarán para la entrega de los productos que resulten de las actividades pueden ser diferentes, por lo que es importante que revises las instrucciones detenidamente a fin de comprender la dinámica de trabajo.

Tareas. Esta categoría incluye todas las actividades que realizarás de manera individual, tal y como lo has hecho en ciclos anteriores. Las tareas serán entregadas a través de la plataforma y tendrás la oportunidad de enviar tu borrador y la versión final después de los ajustes que tu Docente(a) sugiera en su retroalimentación, con el propósito de que obtengas los mejores resultados en tu evaluación. e-Portafolio. En esta categoría se integran las evidencias de aprendizaje, las cuales pueden ser de diferentes tipos y que, como sabes, son los productos que dan cuenta del alcance de las competencias que se plantean para cada unidad y que, en su conjunto, evidencian el logro de la competencia general de la asignatura. Las evidencias, ya en este nivel, se enfocan a que demuestres cómo has logrado la integración del conocimiento adquirido a lo largo de los módulos anteriores y de qué manera lo utilizas en el ámbito de la formación especializada, centrándose en los procesos y reproduciendo las condiciones o al menos la clase de problemas a los que te enfrentarás en la vida laboral. También en el portafolio se consideran las autorreflexiones de cada unidad, actividad que te permite revisar tu propio proceso de aprendizaje y cómo los distintos saberes han contribuido a tu formación profesional.

Asignación a cargo del Docente. Esta es la última categoría de evaluación y en ella se consideran todas las actividades que tu Docente asigna y califica durante el curso de manera independiente a las que se han definido en el programa de la asignatura. Estas actividades son importantes dado que los docentes las diseñan y las evalúan con base en lo que han observado durante el acompañamiento de tu aprendizaje, tus áreas de oportunidad, identificando las habilidades y/o actitudes que requieren mayor ejercitación y reflexión de tu parte.

Con base en lo anterior, el esquema de evaluación para la asignatura queda definido de la siguiente manera:

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Esquema de evaluación Actividades colaborativas Tareas E-Portafolio Evidencia de aprendizaje Asignación a cargo del Docente

Foros Evidencias Autorreflexiones Instrumentos y técnicas a cargo del docente

Calificación Final

10 % 30 % 45 % 0% 15 % 100%

Cabe señalar que para aprobar la asignatura, se debe obtener la calificación mínima indicada por la UnADM.

Fuentes de consulta Amor, J. A. y Rojas, R. (1991). Sistemas formales (Vínculos matemáticos núm. 149).

México: Facultad de Ciencias/UNAM. Amor, J. A. (1993). Lógica proposicional dentro de la lógica de primer orden (Vínculos matemáticos núm. 113). México: Facultad de Ciencias/UNAM. Enderton, H. (2001). A Mathematical Introduction to Logic. Academic Press.

Kleene, S. C. (2002). Mathematical Logic. Nueva York. Dover Publications, Inc. Mendelson, E. (1997). Introduction to Mathematical Logic. Chapman & Hall.

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