Información general de la asignatura 1

Geometrías no euclidianas Información general de la asignatura

Universidad Abierta y a Distancia de México

Licenciatura en Matemáticas

10° cuatrimestre

Geometrías no euclidianas

Información general de la asignatura

Clave:

Educación Abierta y a Distancia * Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnologías

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Geometrías no euclidianas Información general de la asignatura

Índice Información general de la asignatura ...................................... 3 Ficha de identificación ............................................................. 3 Descripción.............................................................................. 3 Propósitos ............................................................................... 4 Competencias a desarrollar .................................................... 5 Temario ................................................................................... 5 Metodología de trabajo ........................................................... 6 Evaluación ............................................................................... 6 Fuentes de consulta básica .................................................... 8 Fuentes de consulta complementaria ..................................... 8

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Ficha de identificación

Licenciatura / Ingeniería en: Nombre de la asignatura: Clave de asignatura: Seriación:

Cuatrimestre: Horas de estudio:

Licenciatura en Matemáticas Geometría no euclidiana Geometría, Introducción al pensamiento matemático, Geometría analítica I y Algebra lineal I Décimo 72

Descripción La presente asignatura le proporciona al alumno la capacidad de aplicar las competencias adquiridas en las materias de Geometría, introducción al Pensamiento Matemático, Geometría Analítica y Algebra Lineal I. En esta materia se te brindarán los axiomas de Hilbert que modelan la geometría euclidiana, a partir de estos, presentan los axiomas que modelan la geometría hiperbólica, que es representada en dos modelos que son: el disco de Poincaré y el modelo de Klein-Beltrami.

Se imparte en el décimo cuatrimestre de la licenciatura en Matemáticas y consta de 3 unidades: En la primera unidad se presentan los axiomas de Hilbert para la geometría euclidiana observando que solo son válidos en el plano, este conjunto de axiomas se dividen en 5 secciones que son: los axiomas de incidencia, intermediación, congruencia, continuidad y paralelismo, los de incidencia afirman las existencia de objetos llamados líneas y puntos, los de intermediación establecen relaciones entre puntos colineales y rectas que inciden en un punto, los de congruencia son los que permiten comparar segmentos y ángulos, el de continuidad permite garantizar que las líneas no tienen huecos y el de paralelismo el cual su afirmación o negación permite construir otro tipo de geometrías. En la segunda unidad se presentan una introducción a la geometría hiperbólica, donde se muestran los conceptos de rectas, ángulos, paralelas, perpendiculares, triángulos junto con sus propiedades y contrastando los resultados obtenidos con los clásico dado por Euclides. En la tercera unidad se presenta dos modelos donde son válidos los axiomas de la geometría hiperbólica, que son el disco de Poincaré y el modelo de Klein-Beltrami, también se hace un breve estudio sobre geometría euclidiana necesarios para poder estudiar el concepto de distancia en el disco de Poincaré.

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Los contenidos presentados en este curso son fundamentales para los egresados que presenten interés en realizar estudios más profundos en otro tipo de geometrías como la elíptica y la proyectiva, entre otras tantas.

Unidad 1 Axiomas de Hilbert. Esta lista de propiedades se describe las distintas geometrías que posee un espacio. Para ello se mostrará los axiomas de incidencia, e orden, congruencia, paralelos y continuidad.

Unidad 2. Geometría hiperbólica. Este es el primer ejemplo de geometría no euclidiana.

Donde se revisan el teorema de paralelas y perpendiculares, suma de ángulos, triángulo semejantes.

Unidad 3. Independencia del postulado de las paralelas. Aquí se muestra la consistencia de una geometría no euclidiana. Tomando como base el quinto postulado de la geometría Euclidiana.

Propósitos Propósito general Brindar al alumno los axiomas Hilbert para la geometría euclidiana, para que a partir de algunas modificaciones de estos axiomas presentar los axiomas y la consistencia de la geometría hiperbólica.

Propósitos particulares  Identificar y aplicar los axiomas de Hilbert: o Incidencia. o Intermediación. o Congruencia. o Continuidad. o Paralelismo.  Analizar el axioma hiperbólico.  Analizar los conceptos de recta, ángulos, triángulo, perpendiculares y paralelas en la geometría hiperbólica.  Analizar independencia que tiene la geometría hiperbólica del postulado de las paralelas de Euclides.  Analizar el disco de Poincaré.  Analizar el modelo de Klein-Beltrami.

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Geometrías no euclidianas Información general de la asignatura Competencias a desarrollar Competencia General: Utilizar los axiomas de Hilbert para mostrar la consistencia de otras geometrías distintas a la euclidiana mediante la selección de conceptos similares a los utilizados en geometría euclidiana.

Competencias específicas de unidad:  



Utilizar los axiomas de Hilbert, para la comprensión de los conceptos fundamentales de la geometría, mediante el planteamiento de problemas.

Analizar la consistencia de la geometría hiperbólica, para la resolución de problemas geométricos, mediante los conceptos de ángulo, triángulo y perpendiculares Aplicar los axiomas de Hilbert para mostrar la independencia de las rectas paralelas por medios de los modelos de Poincaré y Beltrami-Klein.

Temario 1. Axiomas de Hilbert 1.1. Axiomas de intermediación.

1.1.1. Una motivación.

1.1.2. Los axiomas de intermediación.

1.1.3. Consecuencia de los axiomas de intermediación 1.2. Axiomas de congruencia.

1.2.1. Congruencia de segmentos.

1.2.2. Congruencia de ángulos.

1.3. Axiomas de continuidad.

1.3.1. Una motivación.

1.3.2. Axioma de Dedekind.

1.4. Axiomas de paralelismo.

2. Geometría hiperbólica 2.1. Suma de ángulos.

2.1.1. Axioma hiperbólico.

2.1.2. Ángulos internos de un triángulo.

2.2. Triángulos semejantes.

2.2.1. El postulado de Wallis.

2.2.2. Congruencia de triángulos.

2.3. Paralelas y perpendiculares.

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Geometrías no euclidianas Información general de la asignatura 2.3.1. Paralelas que admiten una perpendicular común.

2.3.2. Limitación de rayos paralelos.

2.4. Clasificación de las paralelas.

3. Independencia del postulado de las paralelas 3.1. Modelo de Beltrami-Klein.

3.2. Modelo de Poincaré.

3.3. Perpendicularidad en el modelo de Beltrami-Klein.

3.4. Inversión en círculos en el modelo de Poincaré.

3.4.1. Algunos resultados de geometría euclidiana.

3.4.2. Longitud de Poincaré.

Metodología de trabajo La asignatura de Geometrías no euclidianas presenta a la geometría euclidiana desde el enfoque de los axiomas Hilbert para poder presentar la geometría hiperbólica utilizando axiomas que tienen una variación de los presentados por Hilbert. La metodología de aprendizaje se basa en la resolución de problemas. Esta asignatura se presenta a través del planteamiento de un conjunto de axiomas y postulados con el objetivo de que reconozcas que existen otras geometrías paralelas a la euclidiana que son igualmente consistentes.

Se te recomienda que, en medida de lo posible, revises diversas bibliografías sobre el tema, con la finalidad de mejorar el conocimiento que obtengas sobre los tópicos incluidos en el presente curso. Por otro lado, debes solicitar apoyo a tu facilitador(a) con los temas que se te dificulten, con la finalidad de no dejar lagunas que te impidan avanzar en el proceso de aprendizaje.

Considera que para abordar esta materia es imperativo que cuentes con conocimientos de la Geometría, Geometría analítica I, y Álgebra lineal.

Evaluación Para este cuatrimestre, la evaluación se hará con base en las siguientes categorías: Actividades colaborativas. Esta categoría engloba todas las actividades que realizarás en equipo con tus compañeros, mismas que pueden ser proyectos, escritos, participación en foros, etc. Los medios que se utilizarán para la entrega de los productos que resulten de las actividades de esta categoría pueden ser diferentes, por lo que es importante que revises las instrucciones detenidamente a fin de comprender la dinámica de trabajo.

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Tareas. Esta categoría incluye todas las actividades que realizarás de manera individual, tal y como lo has hecho en ciclos anteriores. Las tareas serán entregadas a través de la plataforma y tendrás la oportunidad de enviar tu borrador y la versión final después de los ajustes que tu facilitador sugiera en su retroalimentación con el propósito de que obtengas los mejores resultados en tu evaluación. e-Portafolio. En esta categoría se integran las evidencias de aprendizaje, las cuales pueden ser de diferentes tipos y que como sabes, son los productos que dan cuenta del alcance de las competencias que se plantean para cada unidad y que en su conjunto, evidencian el logro de la competencia general de la asignatura. Las evidencias ya en este nivel, se enfocan a que demuestres cómo has logrado la integración del conocimiento adquirido a lo largo de los módulos anteriores y cómo lo utilizas en el ámbito de la formación especializada, centrándose en los procesos y reproduciendo las condiciones o al menos la clase de problemas, a los que te enfrentarás en la vida laboral. También en el portafolio se consideran las autorreflexiones de cada unidad, actividad que te permite revisar tu propio proceso de aprendizaje y cómo los distintos saberes han contribuido a tu formación profesional.

Asignación a cargo del facilitador. Esta es la última categoría de evaluación y en ella se consideran todas las actividades que tu facilitador asigna y califica durante el curso de manera independiente a las que se han definido en el programa de la asignatura. Estas actividades son importantes dado que los docentes las diseñan y las evalúan, con base en lo que han observado durante el acompañamiento de tu aprendizaje, tus áreas de oportunidad, identificando las habilidades y/o actitudes que requieren de tu parte una mayor ejercitación y reflexión.

Con base en lo anterior, el esquema de evaluación para la asignatura queda definido de la siguiente manera:

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Geometrías no euclidianas Información general de la asignatura Cabe señalar que para aprobar la asignatura, se debe de obtener la calificación mínima indicada por la UnADM.

Fuentes de consulta básica     

Courant R., Robbins H, Stewart I. (1996) What Is Mathematics? An Elementary Approach to Ideas and Methods, USA, Oxford University Press.

Devlin, K. (2000) The Language of Mathematics: Making the Invisible Visible, USA, Holt Paperbacks.

Eves, H. (1972) Survey of geometry, USA, Allyn & Bacon.

Hartshorne, R. (2005) Geometry: Euclid and Beyond, USA, Springer.

Hilbert D., Cohn-Vossen S. (1999) Geometry and imagination, USA, American Mathematical Society.

Fuentes de consulta complementaria     

Anderson, J. (2000) Hyperbolic Geometry, USA, Springer.

Coolidge J.L. (2008) The Elements of Non-Euclidean Geometry, UK, Merchant Books.

Coxeter H. S. M. (1998) Non-Euclidean Geometry, USA, The Mathematical Association of America.

Martin, G. E. (1998) The Foundations of Geometry and the Non-Euclidean Plane, USA, Springer.

Meschkowski, H. (1964) Noneuclidean Geometry, USA, Academic Press.

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