Estadistica y probabilidad enp unam

COLEGIO DE MATEMÁTICAS ÁREA 1 FÍSICO-MATEMÁTICAS Grado: 6° Clave: 1712 Plan: 96

GUÍA DE ESTUDIO

ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD

Autor:

Act. Cristina Alvarado Valencia M. en C. Leticia Sánchez López

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO México, 2009.

Escuela Nacional Preparatoria Directora General: Lic. Ma. de Lourdes Sánchez Obregón Secretario Académico: Ing. Humberto Medrano Cruz

Diseño de portada: DCV. Cintia Amador Saloma 2ª edición: 2009 © Universidad Nacional Autónoma de México Escuela Nacional Preparatoria Dirección General Adolfo Prieto 722, Col. Del Valle C. P. 03100, México, D. F. Impreso en México ISBN (en trámite) 2

PRESENTACIÓN La formación de las juventudes universitarias es de suma importancia para la proyección de las nuevas generaciones, porque en ellas reside el futuro cultural de nuestro país. Las guías que ha publicado la Dirección General de la Escuela Nacional Preparatoria han sido realizadas con el propósito de regularizar a los jóvenes preparatorianos, que por algún impedimento se han retrasado en una o varias materias.

La misión magisterial y, desde luego, la de toda institución educativa es cuidar los intereses de la colectividad que la conforma, esta colectividad no tan solo está formada por los estudiantes que han aprobado sus materias en forma regular y en el tiempo indicado, sino también por aquellos alumnos que por una circunstancia no establecida, han quedado rezagados y tienen como objetivo fundamental de su trayectoria escolar el regularizarse para concluir sus estudios debidamente. No hay que olvidar que el adolescente que entra al bachillerato universitario es distinto por edad y conformación mental al estudiante de licenciatura, muchas son las afecciones morales y sociales que puede manifestar y, en este sentido, debemos ayudarlo para que logre la consumación de sus estudios.

Las guías que se presentan en este caso han sido concebidas como una herramienta auxiliar que sirve de orientación para el alumno y que en forma práctica son un verdadero apoyo didáctico para la aprobación de sus materias. El alumno puede seguir detenidamente los pasos que se indican en cada una de estas publicaciones, logrando el conocimiento que se requiere para la aprobación de un examen extraordinario.

Esperamos que estos textos alcancen su cometido didáctico, disminuyendo los niveles de reprobación y propiciando la realización plena de los estudiantes integrantes de la sociedad universitaria.

Por un bachillerato óptimo Lic. María de Lourdes Sánchez Obregón Directora General de la ENP

3

4

ÍNDICE

Palabras al alumno ............................................................................................................7

Unidad I. Estadística descriptiva........................................................................................9

Unidad II. Conjuntos ........................................................................................................15

Unidad III. Probabilidad ...................................................................................................21

Respuestas a los ejercicios .............................................................................................25

Bibliografía .......................................................................................................................37

5

6

Palabras al alumno

Esta guía de estudio ha sido elaborada para preparar a los alumnos que presentarán el examen extraordinario de la materia Estadística

y

Probabilidad. Está organizada en tres secciones que corresponden a las unidades temáticas que se señalan en el programa de estudios oficial de la materia. Al final de la guía encontrarás las soluciones a las preguntas, y en la mayoría de los casos una breve explicación, sin pretender que ésta supla el estudio de los temas; por tal razón, se incluyen también referencias bibliográficas que se deberán consultar para fortalecer la comprensión de los temas y ejercicios.

7

8

UNIDAD I Estadística Descriptiva Objetivos En esta unidad debes ser capaz de diferenciar, organizar, representar gráficamente e interpretar el significado que un conjunto de datos tiene en relación con un fenómeno relativo a su entorno social, para vincular la estadística con tu realidad.

Contesta las siguientes preguntas después de estudiar los temas referentes a la unidad.

1.- Escribe en el espacio correspondiente el concepto que mejor defina los enunciados abajo escritos. a. Población

b. Muestra

c. Variable

d. Parámetro poblacional

e. Datos

f. Estadístico muestral

g. Experimento

____ Subconjunto representativo de una población. ____ Característica de interés acerca de cada elemento de una población o muestra. ____ Actividad realizada según un plan definido, cuyos resultados producen un conjunto de datos. ____ Característica numérica de una muestra. ____ Conjunto o cúmulo de individuos u objetos que presentan características comunes que se han de analizar. ____ Característica numérica de una población. ____ Conjunto de valores de la variable medidos a partir de cada uno de los elementos de una población o muestra.

9

2.- En el siguiente ejercicio indica si se trata de una variable categórica nominal, categórica ordinal, numérica discreta o numérica continua.

En un salón de clase se hicieron diferentes encuestas con los alumnos, los datos obtenidos fueron: a.

Peso de los alumnos ________________________________.

b.

Año de nacimiento _________________________________.

c.

Deporte favorito ___________________________________.

d.

Número de hermanos _______________________________.

e.

Calificación (A, B, C, D, E) __________________________.

3.- Escribe en el espacio correspondiente el tipo de escala conveniente para representar la siguiente información.

1. Nominal 2. Ordinal 3. De intervalo 4. De razón o lineal a.

Número de partidos ganados por un equipo ____.

b.

Calidad buena, regular o mala de un producto

____.

c.

Temperatura ambiente en grados centígrados

____.

d.

Estado de la República donde nació una persona

____.

4.- A continuación se muestran algunos enunciados, responde con falso o verdadero, según corresponda. a.

Las gráficas circulares y de barras se utilizan para representar datos cualitativos__________.

b.

El histograma es la gráfica de barras con espaciamiento entre ellas, colocando en el eje de las abscisas a los límites de clase de una tabla de frecuencias__________.

10

c.

La ojiva es una gráfica construida con segmentos de líneas rectas, que unen los puntos obtenidos al colocar en el eje X los límites superiores de clase y en el eje Y las frecuencias acumuladas___________.

d.

El polígono de frecuencias es una gráfica de segmentos de líneas rectas que unen los puntos obtenidos al colocar en el eje horizontal a lo límites inferiores de cada clase y en el vertical a las frecuencias absolutas o relativas__________.

5.- La siguiente tabla muestra una distribución de frecuencia del rendimiento en kilogramos de plantas de maíz atacadas por el barrenador europeo.

Rendimiento Plantas de (Kg)

maíz

(3.8 , 4.6]

4

(4.6 , 5.4]

1

(5.4 , 6.2]

7

P

19 (7.0 , 7.8]

20

(7.8 , 8.6]

9

(8.6 , 9.4] (9.4 , 10.2]

1

(10.2 , 11.0]

2

Total

73

11

Considerando estos datos, contesta lo siguiente: a.

El límite inferior de la sexta clase

__________

b.

La marca de clase del quinto intervalo

__________

c.

El tamaño del noveno intervalo

__________

d.

La frecuencia relativa del séptimo intervalo

__________

e.

El intervalo que falta

f.

Porcentaje de plantas de maíz con rendimiento menor de 9.4 Kg. pero

__________

mayor de 6.2 Kg. g.

__________

Completa la columna de frecuencias acumuladas relativas y grafica una ojiva (recuerda el título, nombre de los ejes y comentarios)

6.- Utiliza los siguientes datos para calcular lo que se te pide respecto a las variables x e y.

Pesos y estaturas de 10 investigadores

Pesos (x)

63

52

78

49

71

62

68

48

56

67

(en Kg.) Estaturas (y) 162 158 167 151 162 168 167 153 152 173 (en cm.)

a.

10

∑x i =1

b.

i

3

∑x i =1

= 2

i

=

3

c. (∑ xi ) 2 = i =1

d. Mediana de la estaturas e. Moda de los pesos 12

f. Media aritmética de los pesos y estaturas g. Rango medio de las estaturas h. Rango de los pesos i.

Primer cuartil

j. Tercer cuartil k. Rango intercuartil l. Varianza de los pesos y estaturas m. Desviación estándar de los pesos y estaturas n. Covarianza de las variables x e y o. Coeficiente de correlación de las dos variables

13

14

Unidad II Conjuntos Objetivo En cuarto año estudiaste una unidad llamada conjuntos. Aquí debes recordar algunos conceptos sobre conjuntos y sus operaciones básicas, para aplicarlos en problemas de análisis combinatorio y probabilidad.

1. De un examen presentado por 160 alumnos se formaron los siguientes conjuntos de resultados: A = {x│x es un alumno con calificación de 10} B = {x│ x es un alumno con calificación de 8} C = {x│ x es un alumno con calificación de 6} D = {x│ x es un alumno con calificación no aprobatoria} Resuelve: a. ¿Cuál es el conjunto complemento de D? b. Si 24 alumnos obtuvieron una calificación de 10, 38 alumnos obtuvieron 8, 82 alumnos obtuvieron 6, ¿cuál es la cardinalidad del conjunto D? c. ¿Cuál es la cardinalidad del conjunto complemento de B? d. ¿Cuál es la cardinalidad del conjunto A ∪ C ?

2. Sean

U = { x ∈ 0 ≤ x ≤ 10} ,

A = {2,4,6,8} ,

B = {1,3,5,7,9} ,

C = {1,2,3,4} ,

encuentra: a. A ∪ B b. A ∩ C c. A ∩ B d. Ac

15

e.

( A ∩ B)

f.

B−C

c

g. C − B h.

( A ∪ B) ∩ ( A ∪ C)

i.

( A ∩ B) ∪ ( A ∩ C)

j.

(A

c

∩ BC

)

k. A ∩ ( B ∪ C )

3. Sean A = {a, b, c, d} , B = {a, b,1} , C = {1,2} ; encuentra: a. A ∪ B b. B ∪ C c. A ∩ C d. A ∩ B e. B ∩ B f. C ∪ C

16

g.

( A ∪ B) ∪ C

h.

( B ∪ C) ∪ ( A ∪ B) ∩ C

i.

( A ∪ B) ∩ C

j.

( A ∩ C) ∪ ( B ∩ C)

4. En el siguiente diagrama, los números representan las cardinalidades de las secciones que los conforman. Determinar las cardinalidades siguientes:

1. n(A) 2. n(B) 3. n(C) 4. n(U) 5. n ( B ∪ C ) 6. n ( B ∩ C ) 7. n ( A ∩ B ∩ C ) 8. n ( A ∪ B ∪ C )

5. De los 200 estudiantes de nuevo ingreso de una universidad, 98 son mujeres, 60 estudian comunicación y 60 son mujeres que no estudian comunicación. ¿Cuántos hombres no estudian comunicación?

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6. Se hizo un estudio de mercado a 750 profesores universitarios para averiguar qué periódico prefiere leer y se obtuvieron los siguientes resultados:

Periódico

Número de lectores

Reforma

344

La Jornada

435

El Universal

127

Reforma y El Universal

94

Reforma y La Jornada

76

La Jornada y El Universal

59

Los tres diarios

38

a. ¿Cuántos profesores prefieren Reforma o El Universal? b. ¿Cuántos prefieren La Jornada, pero no Reforma o El Universal? c. ¿Cuántos no mostraron preferencia por ninguno de estos periódicos? d. ¿Cuántos no prefieren el Reforma?

7. Una encuesta arroja la siguiente información: 29 estudiantes practican básquetbol 23 practican natación 40 practican fútbol 10 practican fútbol y básquetbol 13 practican fútbol y natación 5 practican básquetbol y natación 3 practican los tres deportes

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Si el total de alumnos encuestados fue de 70, determina: a. El número de estudiantes a quienes sólo les gusta el fútbol b. El número de estudiantes que practican básquetbol y natación, pero no fútbol. c. El número de estudiantes que no practican ninguno de los tres deportes.

8. Se hizo una entrevista a 1000 personas y se les preguntó en qué lugares hacían sus compras. Se encontró que 750 compran en mercados, 775 en supermercados, 520 en tiendas pequeñas, 570 en mercados y supermercados, 345 en supermercados y tiendas pequeñas, 440 en mercados y tiendas pequeñas y todas hacen sus compras en al menos uno de estos lugares.

Determina cuántas personas hacen sus compras en los 3 tipos de lugares mencionados.

9. En un concurso de dibujo se inscribieron 60 participantes, de los cuales 35 eran mayores de 8 años, 32 eran niñas y 20 eran niñas mayores de 8 años.

Determina: a. ¿cuántos participantes eran niños? b. ¿cuántos eran niños mayores de 8 años? c. ¿cuántos eran niños de 8 años o menos? d. ¿cuántos participantes tenían 8 años o menos?

19

20

Unidad III Probabilidad Objetivos: En esta unidad debes ser capaz de identificar a la probabilidad como un instrumento confiable en la inferencia y toma de decisiones. Es muy importante que leas bien los problemas y hagas un pequeño dibujo para aclararlos.

Resuelve los siguientes problemas.

1. La lista de un restaurante indica que hay 4 sopas, 5 carnes, 6 ensaladas y 7 postres. ¿De cuántas maneras se puede ordenar una comida consistente de una sopa, una carne, dos ensaladas y un postre?

2. ¿Cuántos números de 3 cifras podrán formarse con los números 1,2 y 3 empleando cada número una sola vez?

3. ¿Cuántos números de tres cifras pueden formarse con las cifras 1,2, y 3 si se permite repetir cualquiera de estos números?

4. ¿Cuántas palabras de tres letras podemos formar con las cinco vocales, sin repetir ninguna en la misma palabra? (No es necesario que las palabras tengan sentido) 5. Hay 20 personas que pueden ser seleccionadas para formar un comité de tres personas. ¿De cuántas maneras posibles puede ser formado este comité?

21

6. De un grupo de 5 matemáticos y 7 físicos se forma un comité de 2 matemáticos y 3 físicos, de cuántas maneras puede formarse si: a. Puede pertenecer a él cualquier matemático y físico b. Un físico determinado debe pertenecer al comité c. Dos matemáticos determinados no pueden estar en el comité

7. Con siete consonantes y cinco vocales diferentes, ¿cuántas palabras pueden formarse que consten de cuatro consonantes y tres vocales? (No es necesario que las palabras tengan sentido)

8. Describe el espacio muestral para cada uno de los siguientes casos: a. Sea el experimento de lanzar tres monedas y observar las caras que aparecen en la parte superior. b. Un experimento consiste en registrar el número de águilas obtenidas en lanzamientos consecutivos antes de que se observe el primer sol. c. Sea el experimento de lanzar una moneda 5 veces y registrar el número total de soles obtenidos.

9. Sea el espacio de eventos S = {1, 2,3, 4,5, 6} cuyos elementos son igualmente probables. Si C = {1, 2} y D = {3,4,5,6} . Determina P(C), P(D) , P(S), P(C c )

10. En un recipiente se tienen 3 esferas rojas, 2 amarillas y 2 azules. ¿Cuál es la probabilidad de que una bola extraída al azar sea:

22

a.

anaranjada?

b.

amarilla?

c.

azul?

d.

amarilla o azul?

11. Hallar la probabilidad de que en un sólo lanzamiento de un dado resulte un número menor que 4, dado que se obtuvo un número impar.

12. ¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente dos águilas en seis lanzamientos de una moneda? Encuentra el resultado aplicando la función de Distribución Binomial

p ( x)= n C x p x q n − x

13. Hallar la probabilidad de que una familia con cuatro hijos tenga al menos un niño.

14. Si el 20% de los cerrojos producidos por una máquina son defectuosos, determinar la probabilidad de que, de cuatro cerrojos elegidos al azar a.

1 sea defectuoso.

b.

0 sean defectuosos.

c.

a lo más 2 cerrojos sean defectuosos.

15. Las calificaciones de un examen nacional estandarizado tienen una distribución normal con media 500 y desviación estándar 100. a.

Un alumno obtuvo calificación de 560. Calcular el valor z de esta calificación.

b.

Si el valor

z de la calificación de un alumno es 1.75 ¿cuál fue su

puntaje en el examen?

23

24

Respuestas a los ejercicios Unidad I. Estadística Descriptiva.

1. b c g f a d e 2. a. numérica continua b. numérica discreta c. categórica nominal d. numérica discreta e. categórica ordinal 3. a. razón b. ordinal c. intervalo d. nominal 4. a. verdadero b. falso c. verdadero d. falso 5. a. 7.8 b. 7.4 c. 0.8 Kg d.

10 73

e. (6.2 , 7.0 ] f. 79.45%

25

g.

Rendimiento Plantas de

P

(Kg)

maíz

(3.8 , 4.6]

4

4/73

(4.6 , 5.4]

1

5/73

(5.4 , 6.2]

7

12/73

(6.2 , 7.0 ]

19

31/73

(7.0 , 7.8]

20

51/73

(7.8 , 8.6]

9

60/73

(8.6 , 9.4]

10

70/73

(9.4 , 10.2]

1

71/73

(10.2 , 11.0]

2

73/73

Total

73

1

Distribución de frecuencia del rendimiento en kg de plantas de maíz atacadas por el barrenador europeo

Frecuencia acumulada absoluta

80 70 60 50 40 30 20 10 0 3.8

4.6

5.4

6.2

7.0

7.8

Límite superior

26

8.6

9.4

10.2

11.0

6. a.

614

b.

12757

c.

37249

d.

162

e.

∃ (No existe)

f.

Media aritmética de pesos = 61.4 Media aritmética de estaturas = 161.3

g.

162

h.

30

i.

Q1 = 52

j.

Q3 = 68

k.

RIC = 16

l.

Varianza de pesos = 99.6 Varianza de estaturas = 57.79

m. Desviación estándar de pesos = 9.98 Desviación estándar de estaturas = 7.6 n.

Covarianza = 58.87

o.

Coeficiente de correlación = 0.78

Unidad II. Conjuntos.

1. a El complemento de D se denota con el símbolo DC y consta de los elementos que no pertenecen a D, por lo que

D C = { x x es un alumno con calificación aprobatoria} .

27

1. b La cardinalidad del conjunto D se denota con el símbolo n ( D ) y es el número de elementos que hay en este conjunto. Como los conjuntos A, B, C, D son ajenos entre sí y además

A ∪ B ∪ C ∪ D = U , entonces

n(U ) = n ( A ) + n ( B ) + n ( C ) + n ( D ) ,

de donde: n( D) = n (U ) − n ( A ) − n ( B ) − n ( C ) = 160 − 24 − 38 − 82 = 16 1. c Como los conjuntos B y Bc son mutuamente excluyentes y B ∪ B c = U ,

n (U ) = n ( B ) + n ( B c ) ,

entonces

de

donde

n ( B c ) = n (U ) − n ( B ) = 160 − 38 = 122 1. d Por ser conjuntos ajenos, n( A ∪ C ) = n ( A ) +n ( C ) =24+82=106 2. a A ∪ B = {1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9} 2. c A ∩ B = { 2.e

( A ∩ B)

c

}=∅

2. b A ∩ C = {2, 4} 2.d Ac = {0,1, 3, 5, 7,9,10}

=U

2. f B − C = {5, 7,9}

2.g C − B = {2, 4} 2.h

( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C ) = A ∪ C = {1, 2,3, 4, 6,8}

2. i

( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C ) = A ∩ C = {2, 4}

2.j Ac ∩ B c = {0,10}

2.k A ∩ ( B ∪ C ) = {2, 4}

3. Para contestar esta pregunta podemos graficar los conjuntos A, B, C en un diagrama de Venn:

28

3.a A ∪ B = {a, b, c, d ,1}

3.b B ∪ C = {a, b,1, 2}

3.d A ∩ B = {a, b}

3.c A ∩ C = ∅

3.e B ∩ B = B = {a, b,1}

3.f C ∪ C = C = {1, 2}

3.g ( A ∪ B ) ∪ C = {a, b, c, d ,1, 2}

3.h ( B ∪ C ) ∪ ( A ∪ B ) ∩ C = {1, 2}

3.i ( A ∪ B ) ∩ C = {1}

3.j

( A ∩ C ) ∪ ( B ∩ C ) = {1}

4.1 n ( A ) = 32

4.2 n ( B ) = 36

4.3 n ( C ) = 27

4.4 n (U ) = 76

4.5 n ( B ∪ C ) = 50

4.6 n ( B ∩ C ) = 13

4.7 n ( A ∩ B ∩ C ) = 7

4.8 n ( A ∪ B ∪ C ) = 63

5. Un diagrama de Carroll nos ayudará a resolver el problema, escribiendo los datos que se proporcionan en las casillas correspondientes, y completando las restantes de modo que al sumar cualquier fila o columna se obtengan los subtotales. (El número pequeño en cada casilla indica el orden en que fue colocado, este orden puede variar)

Estudian

Hombres

Mujeres

Subtotal

22

38

60

80

60

140

102

98

Total 200

comunicación No estudian comunicación Subtotal

Así, en la tabla se puede observar que hay 80 hombres que no estudian comunicación.

29

6. El primer paso para resolver un problema de este tipo, es tratar de representarlo con un diagrama de Venn, generalmente éste lo debes llenar comenzando por las intersecciones de los tres conjuntos (en este caso).

A continuación conviene llenar los sectores de las intersecciones de los conjuntos tomados de dos en dos, por ejemplo, como sabemos que El Reforma y El Universal es leído por 94 personas, ubicamos esta intersección de ambos conjuntos:

De las 94 personas que leen ambos periódicos, ya están consideradas 38, así que en el sector que falta deben ubicarse 94 - 38= 56. Procediendo así, con el Reforma y La Jornada, así como con la Jornada y el Universal, obtenemos:

30

Posteriormente consideramos los conjuntos de uno en uno, por ejemplo, como el Reforma es leído por 344 personas, de las cuales ya consideramos 38+38+56= 132, en el último sector de este conjunto debemos ubicar a 344132= 212 personas. Al continuar nos daremos cuenta que la suma de cada sector es igual a 715, por lo que las 35 personas restantes tienen la característica de no leer alguno de los tres periódicos. El diagrama queda finalmente así:

6 a. 377

6 b. 338

6.c 35

6 d. 406

7. El diagrama de Venn correspondiente es:

7 a. 20

7 b. 2

7 c. 3

31

8. El diagrama de Venn correspondiente es:

Hay 310 personas que hacen sus compran en los tres tipos de tiendas.

9. El diagrama de Carroll apropiado es: Niñas

Niños

Subtotal

Mayores de 8

20

15

35

Menores

12

13

25

32

28

Total 60

o

iguales a 8 Subtotal

9 a. 28

b. 15

c.13

d. 25

Unidad III. Probabilidad.

1. Podemos elegir 1 de 4 tipos de sopa, por cada una de estas opciones tenemos 5 más para elegir el tipo de carne, es decir, tenemos (5)(4)=20 maneras de elegir las primeras dos entradas. Y por cada una de estas 20, ⎛ 6 ⎞ 6! podemos escoger dos ensaladas de seis, de ⎜ ⎟ = = 15 formas. De la ⎝ 2 ⎠ 4!2! misma manera con los postres, por lo que el total de posibles elecciones es: (4)(5)(15)(7)= 2100

32

2. La primera cifra que escribamos, sea de las unidades, las decenas o las centenas la podemos elegir de tres formas distintas: 1, 2, 3. Pero en la siguiente cifra sólo tendremos dos opciones, dada la condición de no poder repetir los números permitidos, y en la tercera cifra ya no podremos elegir, pues ya tendríamos escritos dos de los tres números permitidos. Mediante este razonamiento podemos asegurar que hay (3)(2)(1) = 6 posibles números de tres cifras formados con los números 1,2,3 empleando cada número una sola vez, lo que podemos constatar escribiendo cada número: 123 132 213 231 321 312

3. Para cada una de las tres cifras tenemos 3 opciones, por lo tanto hay (3)(3)(3) = 27 posibles números de tres cifras formados con los números 1,2,3.

Compruébalo, realiza la lista de los 27 números posibles.

4. Este problema tiene la misma estructura de los anteriores. Podemos formar (5)(4)(3)= 60 posibles palabras eligiendo, sin repetir, tres de las cinco vocales. ⎛ 20 ⎞ 20! 18 19 20 = = 1140 5. ⎜ ⎟ = 2 3 ⎝ 3 ⎠ 17!3! ⎛ 5 ⎞ ⎛ 7 ⎞ 5! 7!

6. a. ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = = 350 ⎝ 2 ⎠ ⎝ 3 ⎠ 3!2! 4!3! ⎛ 3 ⎞ ⎛ 7 ⎞ 3! 7! c. ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = = 105 ⎝ 2 ⎠ ⎝ 3 ⎠ 1!2! 4!3!

⎛ 5 ⎞ ⎛ 6 ⎞ 5! 6! b. ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = = 150 ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 3!2! 4!2!

⎛ 7 ⎞⎛ 5⎞ 7! 5!

7. ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 7! = 7! = 1.764x106 4 3 3!4! 2!3! ⎝ ⎠⎝ ⎠

8. a. Ω={(A,A,A),(A,A,S),(A,S,A),(A,S,S),(S,S,S),(S,S,A),(S,A,S),(S,A,A)} b. Ω={ 0,1,2,3,4,…} c. Ω={0,1,2,3,4,5}

33

9. P ( C ) =

2 1 = 6 3

10. a. 0

P ( D) = b.

4 2 = 6 3

2 7

P(S ) =1

c.

2 7

P (C c ) = P ( D ) = d.

4 2 = 6 3

4 7

11. Definimos los eventos

A: Obtener un número menor que 4 B: Obtener un número impar La probabilidad de A dado que B ha ocurrido está dada por: P ( A | B) =

P ( A ∩ B) P ( B)

Entonces P ( B) =

3 1 = 6 2

P ( A ∩ B ) es la probabilidad de obtener un número impar que sea menor

que 4, y sólo son los casos en los que cae 1 ó 3 de las seis posibilidades.

Así, P ( A ∩ B ) =

2 1 = 6 3

1 P ( A ∩ B) 3 2 ∴ P ( A | B) = = = 1 3 P ( B) 2

2

⎛ 6⎞⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ 12. P ( X = 2 ) = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠

34

6−2

=

6! 1 1 = 0.23 4!2! 4 16

13. Para facilitar el cálculo podemos obtener la probabilidad del complemento del evento que se pide: Sea A el evento la familia con cuatro hijos que tiene al menos un niño, entonces Ac es el evento tiene cero niños, sabemos que P ( A ) = 1 − P ( Ac ) .

Si definimos a X como la variable aleatoria (v.a.), tal que X es el número de niños que tiene una familia con cuatro hijos, podemos afirmar que X es una 1 v.a. binomial con p = y n = 4 , por lo que calculamos la probabilidad para 2 x=0: 0 4−0 ⎛ 4⎞⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ 1 P ( X = 0) = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = = 0.0625 16 ⎝0⎠⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ Y entonces P ( A ) = 1 − 0.0625 = 0.9375

14. Definimos X como la variable aleatoria tal que X es el número de cerrojos defectuosos al elegir cuatro de ellos, podemos afirmar que X es una v.a. binomial con p = 0.2 , q = 0.8 y n = 4 ⎛ 4⎞ 1 4 −1 a. P ( X = 1) = ⎜ ⎟ ( 0.2 ) ( 0.8 ) = 4(0.2)(0.8)3 = 0.4096 ⎝1⎠ ⎛ 4⎞ 0 4−0 b. P ( X = 0 ) = ⎜ ⎟ ( 0.2 ) ( 0.8 ) = (0.8) 4 = 0.4096 ⎝0⎠

c. P ( X = 0 ) + P ( X = 1) + P ( X = 2 ) =

⎛ 4⎞ 4!

2 4− 2 2 2 ( 0.4096 ) + ⎜ ⎟ ( 0.2 ) ( 0.8 ) = 0.8192 + (0.2) 2 ( 0.8 ) = 0.8192 + 0.1536 = 0.9728 2!2! ⎝ 2⎠

15. a. z =

560 − 500 60 = = 0.6 100 100

b. 1.75 =

x − 500 ⇒ x = 175 + 500 = 675 100

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BIBLIOGRAFIA

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