6440000079417anexorespuesta enp1710 temas selectos de mate

Universidad Nacional Autónoma de México

UNAM

Escuela Nacional Preparatoria

Dr. José Narro Robles Rector Dr. Sergio M. Alcocer Martínez de Castro Secretario General

SECRETARÍA ACADÉMICA

Mtro. Juan José Pérez Castañeda Secretario Administrativo

COLEGIO DE MATEMÁTICAS

Lic. Luis Raúl González Pérez Abogado General

Mtro. Oscar Patricio García Romero Secretario Administrativo Lic. Juan Francisco Arellano Heredia Secretario de Difusión Cultural

Dirección de Planteles Dra. Ma. de Lourdes Pastor Pérez Plantel 1 " Gabino Barreda " Lic. Antonio Meza Plantel 2 " Erasmo Castellanos Quinto " Lic. Ligia Kamss Paniagua Plantel 3 " Justo Sierra " Lic. Agustín Sánchez Orendáin Plantel 4 " Vidal Castañeda y Nájera " C.D. Mario Enrique Montante García Núñez Plantel 5 " José Vasconcelos " Mtra. Silvia Estela Jurado Cuéllar Plantel 6 " Antonio Caso " Lic. Leopoldo Martínez González Plantel 7 " Ezequiel A. Chávez " Ing. Raymundo Velázquez Martínez Plantel 8 " Miguel E. Schulz " Ing. Leonardo Arturo García Reséndiz Plantel 9 " Pedro de Alba "

ÁREA 1 FÍSICO-MATEMÁTICAS Sexto Año Clave: 1710 Plan: 96

Clave: 1710 Plan: 96

Ing. Humberto Medrano Cruz Secretario Académico

Temas Selectos de Matemáticas

L.A. José Luis Reyes Jiménez Secretario General

ÁREA 1 FÍSICO-MATEMÁTICAS

Lic. Ma. de Lourdes Sánchez Obregón Directora General

COLEGIO DE MATEMÁTICAS

DGENP

Elaboró: María Elizabeth Herrera Islas Julio Hernández Hernández Sergio López Luna

GUÍA DE ESTUDIO

Temas Selectos de Matemáticas

COLEGIO DE MATEMÁTICAS ÁREA 1 FÍSICO-MATEMÁTICAS Grado: 6° Clave: 1710 Plan: 96

GUÍA DE ESTUDIO

TEMAS SELECTOS DE MATEMÁTICAS

Autor:

María Elizabeth Herrera Islas Julio Hernández Hernández Sergio López Luna

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO

México, 2009.

1

Escuela Nacional Preparatoria Directora General: Lic. Ma. de Lourdes Sánchez Obregón Secretario Académico: Ing. Humberto Medrano Cruz

Diseño de portada: DCV. Cintia Amador Saloma 2ª edición: 2009 © Universidad Nacional Autónoma de México Escuela Nacional Preparatoria Dirección General Adolfo Prieto 722, Col. Del Valle C. P. 03100, México, D. F. Impreso en México ISBN (en trámite)

2

PRESENTACIÓN La formación de las juventudes universitarias es de suma importancia para la proyección de las nuevas generaciones, porque en ellas reside el futuro cultural de nuestro país. Las guías que ha publicado la Dirección General de la Escuela Nacional Preparatoria han sido realizadas con el propósito de regularizar a los jóvenes preparatorianos, que por algún impedimento se han retrasado en una o varias materias.

La misión magisterial y, desde luego, la de toda institución educativa es cuidar los intereses de la colectividad que la conforma, esta colectividad no tan solo está formada por los estudiantes que han aprobado sus materias en forma regular y en el tiempo indicado, sino también por aquellos alumnos que por una circunstancia no establecida, han quedado rezagados y tienen como objetivo fundamental de su trayectoria escolar el regularizarse para concluir sus estudios debidamente. No hay que olvidar que el adolescente que entra al bachillerato universitario es distinto por edad y conformación mental al estudiante de licenciatura, muchas son las afecciones morales y sociales que puede manifestar y, en este sentido, debemos ayudarlo para que logre la consumación de sus estudios.

Las guías que se presentan en este caso han sido concebidas como una herramienta auxiliar que sirve de orientación para el alumno y que en forma práctica son un verdadero apoyo didáctico para la aprobación de sus materias. El alumno puede seguir detenidamente los pasos que se indican en cada una de estas publicaciones, logrando el conocimiento que se requiere para la aprobación de un examen extraordinario.

Esperamos que estos textos alcancen su cometido didáctico, disminuyendo los niveles de reprobación y propiciando la realización plena de los estudiantes integrantes de la sociedad universitaria.

Por un bachillerato óptimo

Lic. María de Lourdes Sánchez Obregón Directora General de la ENP 3

4

Sobre la guía El objetivo de esta guía es preparar a los alumnos que presentarán el examen extraordinario de la asignatura optativa de “Temas Selectos de Matemáticas”, la cual forma parte del currículum de sexto año de bachillerato. El contenido de la guía esta basado en las cuatro unidades de la materia y consiste en definiciones, fórmulas, indicaciones y procedimientos.

Al final de cada unidad se encuentran ejemplos de opción múltiple y al final del material hay dos tipos de exámenes que le permitirán al alumno ejercitarse o prepararse para su examen extraordinario; se incluyen las respuestas de los ejercicios de aprendizaje y de los exámenes propuestos.

Se recomienda consultar la bibliografía que se encuentra al final de cada unidad para un mejor aprovechamiento de la guía.

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ÍNDICE GENERAL UNIDAD I. Conjuntos, lógica e Inducción matemática………………………….

Conjuntos: Universal, vacío……….................……………………………………….

Conjuntos ajenos, iguales......................................................................................

Cardinalidad……………………………………………………………………………..

Conjuntos finitos e infinitos......................................................................... ……..

Correspondencia biunívoca……………………………………………………………

Diagramas de Venn-Euler……………………………………………………………..

Operaciones entre conjuntos. Unión........................................................... ……..

Intersección………………………………...................................................... ……..

Diferencia de conjuntos............................................................................... ……..

Complemento.............................................................................................. ……..

Producto cartesiano..............................................................................................

Leyes de De Morgan para conjuntos....................................................................

Lógica: Proposición o enunciado...........................…………………………. ……..

Axioma de negación.................................................................................... ……..

Disyunción.....................……………………………………………………….. ……..

Conjunción............................................................................................................

Condicional.......................................…………………………………………………

Bicondicional………………………………………………………………….…………

Leyes de De Morgan para proposiciones y tablas de verdad……………... ……..

Métodos de demostración…………………………………………………….............

Inducción matemática………………………………………………………….. ……..

Reducción al absurdo………………………………………………………….............

Ejercicios de aprendizaje.......................................................................................

Bibliografía.............................................................................................................

08 09 10 10 11 11 12 13 14 15 16 18 19 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

UNIDAD II. Análisis combinatorio y Teorema del binomio…………………….

Teorema fundamental del conteo................................................................ ……..

Ordenación……………………………………………………………………………….

Combinación………………………………………………………………….………….

Permutación………………………………………………………………….…………..

Teorema del binomio de Newton………………………………………….….............

Término específico de un desarrollo binomial…………………………….………….

Cálculo de raíces con el binomio de Newton………………………………..............

Interés compuesto………………………………………………………………………

Ejercicios de aprendizaje.......................................................................................

Bibliografía.............................................................................................................

31 31 31 32 34 36 37 37 38 39 40

UNIDAD III. Ecuaciones e inecuaciones………………………………..………….

Números complejos…………………………………………………………...………..

Operaciones con números complejos en forma rectangular.................................

Operaciones con números complejos en forma polar...........................................

División sintética....................................................................................................

Resolución de ecuaciones de grado superior a dos………………………………...

Inecuaciones…………………………………………………………………….............

41 41 42 43 45 46 50

6

De primer grado. …….. ………………………………………………………………...

Sistemas de desigualdades...................................................................................

Desigualdades de segundo grado…………………………………………………….

Desigualdades de segundo grado con valor absoluto………………………………

Desigualdades de cociente de polinomios… ………………………………………..

Ejercicios de aprendizaje.......................................................................................

Bibliografía.............................................................................................................

50 55 56 57 58 58 60

UNIDAD IV. Matrices y determinantes……………………………………………..

Definición de matriz……………………………………………………………………..

Matriz cuadrada.....................................................................................................

Matriz escalonada……………………………………...........................………..........

Matriz unitaria (identidad)…........................…………………………………………..

Suma de matrices…............……………………………………………………...........

Multiplicación por un escalar..................................................................................

Producto de matrices.............................................................................................

Matriz inversa.........................................................................................................

Operaciones elementales con los renglones de una matriz..................................

Matriz asociada a un sistema de ecuaciones........................................................

Método de Gauss-Jordan......................................................................................

Determinantes……………………………………………………………………..........

Regla de Cramer...............…………………………………………………….............

Ejercicios de aprendizaje.......................................................................................

Bibliografía.............................................................................................................

61 61 62 63 64 65 66 66 68 69 71 71 73 76 77 79

ANEXOS Exámenes propuestos…………………………………………………………............

Respuestas a los ejercicios…………………………………………………………….

80 86

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UNIDAD I. Conjuntos, lógica e Inducción matemática Objetivo Esta unidad es muy importante pues le dará al alumno los elementos básicos para el uso correcto del lenguaje matemático. Después de su estudio deberá conocer y operar de una forma adecuada con conjuntos. Además, a través de la lógica matemática entenderá las demostraciones matemáticas.

Introducción Un conjunto es una colección de objetos o elementos que tienen una característica en común. A los conjuntos se les denota con una letra mayúscula, y a los elementos con una letra minúscula separados por comas y encerrados entre llaves.

Notación de conjuntos Existen dos formas de representar conjuntos. En una de ellas se escriben todos y cada uno de sus elementos (extensión), y en la otra se usa una variable que toma los valores de los elementos del conjunto dependiendo de alguna condición (comprensión).

Los conjuntos A = {a, e, i, o, u} y B = {2,4,6,8,10} están escritos por extensión.

Se lee: A es el conjunto cuyos elementos son a, e, i, o, u. O bien A es el conjunto de las vocales.

B es el conjunto cuyos elementos son 2, 4, 6, 8, 10. O bien B es el conjunto de números naturales pares menores o iguales que 10.

Los

conjuntos

C = {x ∈

10 ≤ x}

y

D = { x x es una consonante}

están

representados por comprensión. Al escribir un conjunto por extensión comúnmente se utiliza una variable que toma los valores de cada elemento del conjunto y el símbolo que se lee “tal que”. Entonces se puede decir que C es el conjunto de números naturales mayores o iguales que 10, mientras que D es el conjunto de letras del alfabeto que son consonantes.

El conjunto A = {x x es vocal} se lee de la siguiente forma: “A es el conjunto de las x tales que x es vocal” , es decir, A es el conjunto de las vocales.

Frecuentemente podemos denotar un conjunto por comprensión y también por 2 < x ≤ 10 y x es primo} = {3,5,7} extensión. Por ejemplo, S = {x ∈ Para denotar que un cierto elemento pertenece a un conjunto usamos el símbolo ∈ (pertenece). Para los ejemplos anteriores, si escribimos a ∈ A , significa que el elemento a pertenece al conjunto A , 2 ∈ B significa que el 2 significa que x es un número natural pertenece al conjunto B, y x ∈

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(pertenece al conjunto de los números naturales). La expresión c ∉ A significaría que el elemento c no pertenece al conjunto A .

Es importante recordar que cuando se escribe un conjunto por extensión los elementos deben estar entre llaves y separados por una coma. Para ahorrar espacio en ocasiones se usan puntos suspensivos para denotar que los elementos siguen con la misma secuencia. Por ejemplo, el siguiente conjunto está escrito por extensión: N = {2,4,6,…,24,26} ¿Cuál es la secuencia que cumplen los números de ese conjunto?

Conjunto Universal El conjunto universal se puede considerar como aquel que contiene a todos los elementos que nos interesa estudiar. Se denota por la letra U y también se le conoce como universo del discurso.

Ejemplos 1. Si nos interesa estudiar las figuras geométricas planas, entonces el conjunto universal está formado por los triángulos, cuadriláteros, pentágonos, etc. Pero si nos interesa estudiar las figuras de cuatro lados, entonces el conjunto universal es el que contiene a los cuadrados, rectángulos, trapecios, etc, 2. Si se hace referencia a los números pares, impares, primos, el universo del discurso es el conjunto de números naturales . Sin embargo, si hace referencia a encontrar las raíces de un polinomio el conjunto universal es el conjunto de números complejos 3. Los conjuntos A = {-21, 1, 13, 15}, B = {8, 19, 16} y C = {7, 8} forman, el conjunto universal U = {-21, 1, 7, 8, 13, 15, 16, 19} Conjunto Vacío El conjunto que carece de elementos se llama conjunto vacío o nulo y se representa con uno de los siguientes símbolos: A = Ø ó A = { } Nota: Los dos símbolos no se utilizan al mismo tiempo. Un conjunto vacío no se denota así.

A={ Ø } A={ { } } Ejemplos 1. El conjunto A = {x | x es un número natural y negativo}, no contiene ningún elemento. Entonces A = { }

{

2. El conjunto B = x ∈

x = 0.5 } , tampoco tiene ningún elemento. Entonces

B={ } 3. El conjunto C = { 0 } no se considera conjunto vacío, porque el número cero es elemento del conjunto.

9

Conjuntos Ajenos Cuando los conjuntos A y B no tienen elementos comunes entre ellos, se denominan conjuntos ajenos o disjuntos, es decir, ningún elemento de A pertenece a B y, ningún elemento de B pertenece A.

x ∈ Ayx ∉ B , z ∈ Byz ∉ A Ejemplos 1. Los conjuntos A = {5, 11, 15, 30} y B = {6, 12, 18, 24}, son conjuntos ajenos porque A no tiene ningún elemento de B, y B no tiene ningún elemento A. 2. Los conjuntos C = {7, 3, 15, -2} y D = {13, 20, 30, 40}, son conjuntos disjuntos.

3. Los conjuntos E = {h, o, l, a} y F = {t, e, m, a}, no son conjuntos ajenos, porque el elemento “a” del conjunto E también está en el conjunto F. Conjuntos Iguales Los conjuntos A y B son iguales cuando ambos tienen los mismos elementos, es decir, cada elemento de A pertenece a B y cada elemento de B pertenece a A. A=B={x|x∈A y x∈B} El orden de los elementos no es considerado como criterio para determinar si los conjuntos son iguales.

Ejemplos 1. Los conjuntos A = {11, 12, 13} y B = {12, 11, 13}, son iguales, A = B. 2. Los conjuntos C = {x ∈

x 2 = 9 y D = {-3, 3}, son iguales, C = D.

}

3. Los conjuntos E = {x ∈

x − 1 = 5} , F = {6} y G = {x ∈

x = 6} son iguales,

porque tienen los mismos elementos.

Cardinalidad La cardinalidad de un conjunto A se determina por el número (entero) de elementos que lo forman y se denota por #A ó n(A). Esto indica el tamaño que tiene el conjunto.

El conjunto vacío B = { } tiene cardinalidad cero, es decir #B=0.

Ejemplos 1. En el conjunto A = { 8, 1, 5, 7}, la cardinalidad es n(A) = 4.

10

{

2. En el conjunto B = x ∈

4 < x < 7 } , la cardinalidad es n(B) = 2.

3. En el conjunto C= {x | x = 0 }, la cardinalidad es n(C) = 1.

Conjuntos finitos e infinitos Si se pueden contar los elementos de un conjunto, o si un conjunto es vacío, entonces el conjunto es finito. En caso contrario, el conjunto será infinito.

Ejemplos 1. El conjunto A = {1,2,3,…,10} es finito.

2. El conjunto B = {…, − 3, − 2, − 1,0,1,2,3,…} es infinito.

Recuerda que los puntos suspensivos ( … ) indican que los elementos continúan con la misma secuencia.

3. El conjunto C = { 4 } es finito.

Correspondencia biunívoca Cuando dos conjuntos finitos A y B tienen la misma cardinalidad decimos que son equivalentes, A ∼ B , y existe una correspondencia biunívoca, también llamada uno a uno entre ellos. Esto significa que al tener el mismo número de elementos, entre ellos se puede establecer una relación que asocie a cada elemento del conjunto A, un único elemento del conjunto B.

Ejemplos 1. Los conjuntos A={2, 5, 7} y B={1, 3, 6}, tienen la misma cardinalidad, son equivalentes y tienen correspondencia biunívoca. Una posibilidad (no la única) es por ejemplo asociar el 2 con el 1, el 5 con el 3 y el 7 con el 6.

2. Los conjuntos C={-2, 1, 0, 1} y D={a, b, c, d}, tienen la misma cardinalidad, tienen correspondencia biunívoca. Podríamos asociar el –2 con c, 1 con a, 0 con d y 1 con b. A cada elemento de C le correspondió sólo uno de D, y a cada uno de D sólo uno de C.

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Diagramas de Venn – Euler Los diagramas de Venn - Euler son la representación gráfica que se usa para representar tanto a los conjuntos, como a las operaciones que se realizan entre ellos.

Figura 1.1

Figura 1.2

Ejemplos 1. En la Figura 1.1 El conjunto universal es U = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}. Se tienen los conjuntos A = {3, 4, 5, 7, 10} y B = {2, 4, 6, 8, 10}. Los elementos 9 y 11 que no están en los conjuntos A y B se escriben fuera de los círculos pero dentro del cuadrado, ya que también pertenecen al conjunto universal.

2. En la Figura 1.2 Se tienen tres conjuntos, A = {1,2, 4, 6, 8, 10}, B = { 1, 6, 7, 8, 9, 11} y C = { 1, 3, 4, 7, 8}.

El conjunto universal es U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}. Los elementos 5 y 12 que no están en A, ni en B, ni en C por lo que se escriben fuera de los círculos, ya que pertenecen al conjunto universal.

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Operaciones entre Conjuntos Unión La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen al conjunto A o al conjunto B, y se representa como AUB. A ∪ B = { x x ∈ A o x ∈ B} La unión de conjuntos cumple las siguientes propiedades: Propiedad conmutativa A∪B = B∪ A Propiedad asociativa ( A ∪ B ) ∪ C = A ∪ (B ∪ C )

A∪B

Figura 1.3

B ∪C

Figura 1.4

Ejemplos 1. Figura 1.3 Con los siguientes conjuntos, A = {3, 4, 5, 7, 10} y B = {2, 4, 6, 8, 10}, la operación A U B = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10}.

2. Figura 1.3 Con los siguientes conjuntos, A = {3, 4, 5, 7, 10} y B = {2, 4, 6, 8, 10}, la A∪B = B∪ A operación B U A = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10}.

3. Figura 1.4 Con los siguientes conjuntos, A = {1, 2, 4, 6, 8, 10}, B = {1, 6, 7, 8, 9, 11}, C = {1, 3, 4, 7, 8}, la operación B U C = {1, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11}.

4. Figura 1.4 Con los siguientes conjuntos, A = {1, 2, 4, 6, 8, 10}, B = {1, 6, 7, 8, 9, 11}, C = {1, 3, 4, 7, 8}, la operación A U C = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 10}.

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Intersección La intersección de dos conjuntos A y B es otro conjunto que está formado por aquellos elementos que pertenecen al conjunto A y, al conjunto B. Se denota por A∩B. A ∩ B = { x x ∈ A y x ∈ B} La intersección de los conjuntos cumple las siguientes propiedades: Propiedad conmutativa A∩B = B∩ A Propiedad asociativa ( A ∩ B ) ∩ C = A ∩ (B ∩ C ) A∩B

Figura 1.5

B ∩C

Figura 1.6

Ejemplos 1. Figura 1.5 Con los siguientes conjuntos, A = {3, 4, 5, 7, 10} y B = {2, 4, 6, 8, 10}, la operación A ∩ B = {4, 10}.

2. Figura 1.5 Con los siguientes conjuntos, A = {3, 4, 5, 7, 10} y B = {2, 4, 6, 8, 10}, la operación B ∩ A = {4, 10}.

A∩B = B∩ A 3. Figura 1.6 Con los siguientes conjuntos, A = {1, 2, 4, 6, 8, 10}, B = {1, 6, 7, 8, 9, 11} y C = {1, 3, 4, 7, 8}, la operación B ∩ C = {1, 7, 8}.

4. Figura 1.6 Con los siguientes conjuntos, A = {1, 2, 4, 6, 8, 10}, B = {1, 6, 7, 8, 9, 11} y C = {1, 3, 4, 7, 8}, la operación A ∩ C = {1, 4, 8}.

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Propiedad Distributiva La unión e intersección de conjuntos cumplen con la propiedad distributiva.

•

A ∪ (B ∩ C ) = ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C )

•

A ∩ (B ∪ C ) = ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C )

Diferencia La diferencia de dos conjuntos A y B es un nuevo conjunto, el cual está formado por los elementos que pertenecen al conjunto A, pero que no pertenecen al conjunto B. Se representa como A–B. A − B = { x x ∈ A y x ∉ B} , B − A = { x x ∈ B y x ∉ A} La diferencia de conjuntos no cumple con la propiedad conmutativa, es decir, A−B ≠ B − A A−B

Figura 1.7

B −C

Figura 1.8

Ejemplos 1. Figura 1.7 Con los siguientes conjuntos, A = {3, 4, 5, 7, 10} y B = {2, 4, 6, 8, 10}, la operación A – B = {3, 5, 7}.

2. Figura 1.7 Con los siguientes conjuntos, A = {3, 4, 5, 7, 10} y B = {2, 4, 6, 8, 10}, la A−B ≠ B − A operación B – A = {2, 6, 8}.

3. Figura 1.8 Con los siguientes conjuntos, A = {1, 2, 4, 6, 8, 10}, B = {1, 6, 7, 8, 9, 11}, C = {1, 3, 4, 7, 8}, la operación B – C = {6, 9, 11}.

4. Figura 1.8 Con los siguientes conjuntos, A = {1, 2, 4, 6, 8, 10}, B = {1, 6, 7, 8, 9, 11}, C = {1, 3, 4, 7, 8}, la operación A – C = {2, 6, 10}.

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Complemento El complemento de un conjunto A es otro conjunto, el cual está formado por los elementos que no pertenecen al conjunto A, pero que pertenecen al conjunto universal. Se representa como A’ o como AC.

AC = A' = { x x ∈ U y x ∉ A} AC

Fig. 1.9

BC

Fig. 1.10

Ejemplos 1. Figura 1.9 Los siguientes conjuntos, A = {3, 4, 5, 7, 10}, U = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}, la operación AC = {2, 6, 8, 9, 11}.

2. Figura 1.9 Los siguientes conjuntos, B = {2, 4, 6, 8, 10}, U = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}, la operación BC = {3, 5, 7, 9, 11}.

3. Figura 1.10 Los siguientes conjuntos, B = {1, 6, 7, 8, 9, 11}, U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}, la operación BC = {2, 3, 4, 5, 10, 12}.

4. Figura 1.10 Los siguientes conjuntos, C = {1, 3, 4, 7, 8}, U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}, la operación CC = {2, 5, 6, 9, 10, 11, 12}.

5. Las operaciones pueden combinarse entre sí. Con los conjuntos de la Figura 1.10 realizamos las siguientes operaciones: a) (C ∪ BC)C–A , b) (A–C)∩BC a) Procedemos poco a poco. Si BC = {2, 3, 4, 5, 10, 12}, entonces C ∪ BC = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 10, 12}, y después tenemos (C ∪ BC)C={6, 9, 11}. Por lo tanto el resultado de la operación es (C ∪ BC)C–A = {9, 11}. b) Procedemos de manera similar al inciso anterior. Si A–C = {2, 6, 10} y BC = {2, 4, 3, 10, 5, 12}, entonces el resultado de la operación es (A–C)∩BC = {2, 10 }.

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Aplicación 6. Se tiene una muestra de 663 computadoras registradas. Éstas son utilizadas en tres diferentes zonas, cómo se indica a continuación: 322 para la zona A, 241 para la zona C, 93 para la zona A y C exclusivamente, 109 para la zona A y B, 86 para la zona B exclusivamente, 406 para la zona A ó C, 78 para la zona B y C.

Figura 1.11 n (U) = 663, n (A) = 322, n (C) = 241, n (A ∩ C ∩ BC) = 93, n (A ∩ B) = 109, n (AC ∩ CC ∩ B) = 86, n (A U C) = 406, n (B ∩ C) = 78,

total de computadoras. total de computadoras en la zona A. total de computadoras en la zona C. computadoras en la zona A y C exclusivamente. computadoras en la zona A y B. computadoras en la zona B exclusivamente. computadoras en la zona A ó C. computadoras en la zona B y C.

Para obtener el valor central n (A ∩ B ∩ C); Se suma n(A) + n(C) = 322 + 241 = 563 A éste resultado, se le resta n(A U C), 563 – 406 = 157, el resultado es la intersección n(A ∩ C) = 157, se resta la zona A y C exclusivamente, n(A ∩ C) – n(A ∩ C ∩ BC) = 157 – 93 = 64, por lo tanto n(A ∩ B ∩ C) = 64.

Preguntas: a) ¿Cuál es el número de computadoras que se pueden utilizar en las tres zonas? n (A ∩ B ∩ C) = 64 computadoras b) ¿Cuál es el número de computadoras que no son utilizadas en ninguna de estas zonas? n (AC ∩ BC ∩ CC) = 171 computadoras c) ¿Cuál es el número de computadoras que se utilizan en las zonas B ó C solamente? n (AC ∩ B ∩ C) = 170 computadoras

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Producto cartesiano El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto de todas las parejas ordenadas (x, y) y se denotará con A× B. A x B = {( x , y ) x ∈ A, y ∈ B} , B x A = {( x , y ) x ∈ B, y ∈ A} El producto cartesiano no cumple con la propiedad conmutativa A x B ≠ B x A

Ejemplos 1. Se tienen los conjuntos A = {-3, 2, 4} y B = {2, 4, 5}, entonces el producto A×B tiene 3×3 = 9 elementos.

A x B={(-3,2), (-3,4), (-3,5), (2,2), (2,4), (2,5), (4,2), (4,4), (4,5)} Esto se representa gráficamente como:

Figura 1.12 2. Con los siguientes conjuntos, A = {3, 4, 5, 7, 10} y B = {2, 4, 6, 8, 10}, la operación A x B = { (3, 2), (3, 4), (3, 6), (3, 8), (3, 10), (4, 2), (4, 4), (4, 6), (4, 8), (4, 10), (5, 2), (5, 4), (5, 6), (5, 8), (5, 10), (7, 2), (7, 4), (7, 6), (7, 8), (7, 10), (10,2), (10, 4), (10, 6), (10, 8), (10, 10) }.

3. Con los siguientes conjuntos, A = {3, 4, 5, 7, 10} y B = {2, 4, 6, 8, 10}, la operación B x A = { (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 7), (2, 10), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 7), (4, 10), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 7), (6, 10), (8, 3), (8, 4), (8, 5), (8, 7), (8, 10), (10,3), (10, 4), (10, 5), (10, 7), (10, 10)}.

AxB ≠ Bx A

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Leyes de De Morgan para conjuntos Permiten simplificar la Unión e Intersección de conjuntos. a) El complemento de la Unión de dos conjuntos, es la Intersección de los complementos.

(A U B)’=A’ ∩ B’ b) El complemento de la Intersección de dos conjuntos, es la Unión de los complementos.

(A ∩ B)’=A’ U B’ Ejemplos 1. Con los siguientes conjuntos, A = {3, 4, 5, 7, 10}, B = {2, 4, 6, 8, 10}, U = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}, la operación (A U B) = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10}, (A U B)’ = {9, 11}, A’ = {2, 6, 8, 9, 11}, B’ = {3, 5, 7, 9, 11}, A’ ∩ B’ = {2, 6, 8, 9, 11} ∩ {3, 5, 7, 9, 11} = {9, 11} 2. Con los siguientes conjuntos, A = {3, 4, 5, 7, 10}, B = {2, 4, 6, 8, 10}, U = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11} la operación (A ∩ B) = {4, 10}, (A ∩ B)’ = {2, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 11}, A’ = {2, 6, 8, 9, 11}, B’ = {3, 5, 7, 9, 11}, A’ U B’ = {2, 6, 8, 9, 11} U {3, 5, 7, 9, 11} = {2, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 11}

Lógica Proposición o enunciado Es una oración a la que se le puede calificar como “ verdadera (V) ” o “ falsa (F) ”, pero no ambas. Se indica por medio de una letra minúscula, dos puntos y la proposición.

Las proposiciones pueden ser • • • •

Simples si sólo tienen un sujeto, un verbo y un complemento. En caso contrario, son proposiciones Compuestas.

Cerradas si tienen determinado el sujeto. Abiertas si no lo tienen determinado.

Afirmativas o Negativas según lo afirmen o nieguen.

Verdaderas o Falsas según correspondan o no a la realidad.

Ejemplos p: Brasil se encuentra en América. q: 2=17-15. r: El león pertenece al reino animal y es carnívoro.

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Proposición abierta Una proposición en que el sujeto está dado en forma de símbolo y puede ser reemplazado por alguno de los elementos de un conjunto, se llama función proposicional o proposición abierta.

Ejemplos p: El no corre muy rápido. q: Ella estudio para el examen. s: Nosotros comemos pastel y tomamos café.

2 r: ( x − y ) ≠ x 2 − y 2

Proposición cerrada Es aquella en que el sujeto de la proposición esta bien definido.

Ejemplos p: Ana juega muy bien basquet. q: Tomas no estudio para el examen. s: 4+11=15.

Axioma de la negación Si una proposición es verdadera, su negación es falsa, y si es falsa, su negación es verdadera. Esto se denota con el símbolo ~.

Ejemplos Proposición

Negación de la proposición

p: Ana juega muy bien tenis. q: Ella compro el regalo. r: Tomas no estudio para el examen.

∼p: Ana no juega muy bien tenis. ∼q: Ella no compro el regalo. ∼r: Tomas estudio para el examen.

El axioma de la negación se resume con su tabla de verdad: p ~p V F F V Podemos juntar dos proposiciones para formar una proposición compuesta. Lo podemos hacer de varias maneras:

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Disyunción Usamos una “o” para juntar las proposiciones, cuyo símbolo en lógica es v. La proposición compuesta es verdadera cuando alguna de las proposiciones es verdadera. Es un operador “or” Ejemplo Consideremos el siguiente enunciado: “Tengo que traer la tarea o participar en clase para poder hacer el examen”.

Tenemos las siguientes proposiciones p: Traer la tarea. q: Participar en clase. p ∨ q: Traer la tarea o participar en clase. r: Hacer el examen Para saber si puedo hacer el examen puedo apoyarme en la tabla de verdad de la disyunción: p V V F F

q V F V F

pvq V V V F

En la tabla de verdad, cuando el valor de la proposición p es verdadera, significa que traje la tarea, si q es verdadera, significa que sí participe en clase, y cuando p v q es verdadera, significa que puedo hacer el examen.

Si p y q son falsas, implica que no puedo hacer el examen. Si p o q es verdadera, implica que p ∨ q es verdadera, por lo tanto, puedo hacer el examen.

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Disyunción excluyente Es similar a la disyunción anterior, pero en el caso de que ambas proposiciones sean verdaderas la disyunción es falsa. Para representar la disyunción excluyente se utiliza el símbolo v En la tabla de verdad, cuando el valor de la proposición p es verdadera y con q verdadera, ó para p falsa y q falsa, implica que p v q es falsa, por lo tanto, para p ó q, una de ellas es verdadera, p v q es verdadera.

Tabla de verdad. p V V F F

q V F V F

pvq F V V F

Conjunción Conecta dos proposiciones que se deben cumplir simultáneamente para obtener un resultado verdadero. Usamos una “y” para juntar las proposiciones, y su símbolo es ∧. Es un operador “and” Ejemplo Consideremos el siguiente enunciado: "El coche enciende cuando tiene gasolina en el tanque y tiene corriente la batería" Tenemos las siguientes proposiciones r: El coche enciende. p: Tiene gasolina el tanque. q: Tiene corriente la batería. p ∧ q: Tiene gasolina el tanque y tiene corriente la batería.

Nuevamente nos apoyamos en la tabla de verdad. p V V F F

q V F V F

p∧q V F F F

En la tabla de verdad, cuando el valor de la proposición p es verdadera, significa que el tanque tiene gasolina; cuando q es verdadera, significa que la batería tiene corriente y, cuando p ∧ q es verdadera, significa que el coche puede encender.

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Cuando p es falsa, implica que el auto no tiene gasolina y, que por lo tanto, no puede encender; cuando q es falsa, implica que no tiene corriente la batería del coche, y que por lo tanto, no puede encender.

Si alguna de las dos proposiciones, p ó q es falsa, implica p ∧ q es falsa, el coche no enciende.

Condicional Tenemos una condición o implicación. Queremos ver si cumpliéndose (o no) p, se cumple (o no) q. Se expresa diciendo: si p, entonces q (p ⇒ q).

Ejemplo Sea el siguiente enunciado: “Si ahorro me podré comprar un coche en dos años”. Tenemos las siguientes proposiciones p: Ahorro. q: Podré comprar un coche en dos años.

Veamos la tabla de verdad. p V V F F

q V F V F

P⇒q V F V V

En la tabla de verdad, cuando el valor de la proposición p es verdadera, significa que ahorró, cuando q es verdadera, que se compró el coche en dos años, por lo tanto, si p ⇒ q es verdadera, la persona si dijo la verdad.

Cuando p es verdadera y q es falsa, significa que p ⇒ q es falsa, la persona mintió, ya que ahorró y no se compró el coche.

Cuando p es falsa y q es verdadera, significa que aunque no ahorró, se compró el coche, así que no mintió, de tal forma que p ⇒ q es verdadera. Cuando p es falsa y q es falsa, se interpreta que aunque no ahorró, tampoco se compró el coche, entonces p ⇒ q es verdadera, la persona tampoco mintió.

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Bicondicional Es una doble implicación. La proposición p es verdadera si y sólo si la proposición q es también verdadera. La proposición p es falsa si y sólo si q también lo es. Se indica como si y sólo si, y su símbolo es ⇔.

Ejemplo Sea el siguiente enunciado: “Una persona puede dormir, si y sólo si, tiene sueño”.

Tenemos las proposiciones p: Una persona puede dormir. q: Tiene sueño.

En la tabla de verdad, cuando p es verdadera, significa que una persona puede dormir y, cuando q es verdadera, que tiene sueño, entonces p ⇔ q es verdadera. Cuando p es verdadera y q es falsa, significa que p ⇔ q es falsa, una persona puede no dormir, ya que no tiene sueño.

Cuando p es falsa y q es verdadera, significa que una persona no puede dormir, aunque tenga sueño, esto es, que p ⇔ q es falsa.

Cuando p es falsa y q es falsa, se interpreta como que ni puede dormir ni tiene sueño, por lo tanto p ⇔ q es verdadera.

Tabla de verdad p V V F F

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q V F V F

q⇔q V F F V

Leyes de De Morgan para proposiciones y tablas de verdad a) ∼(p∨q) ↔ ∼p ∧ ∼q b) ∼(p ∧q) ↔ ∼p ∨ ∼q

Para las siguientes proposiciones se elaborará su tabla de verdad apoyándonos en las tablas de valores que se mostraron anteriormente. a) ∼(p∨q) ⇔ ∼p ∧ ∼q

p V V F F

∼(p ∨ q)

pvq V V V F

q V F V F

F F F V

p V V F F

q V F V F

∼p

∼q

∼p ∧ ∼q

F F V V

F V F V

F F F V

b) ∼(p ∧q) ⇔ ∼p ∨ ∼q

p V V F F

q V F V F

p∧q V F F F

∼(p ∧q)

F V V V

p V V F F

q V F V F

∼p

∼q

∼p v ∼q

F F V V

F V F V

F V V V

Tautología y Contradicción Cuando en una tabla de verdad todos los resultados son verdaderos V, decimos que la proposición es una tautología. Si por el contrario, tenemos que son falsos F, decimos que la proposición es una contradicción.

En las tablas de valores siguientes, si p y q son de tal forma que al formar una proposición compuesta, siempre obtenemos el valor Verdadero, sin importar qué valores tomen p y q, hablamos de tautología. Esto queda claro con los valores que toma (p ⇒ q) ⇔ (∼p ⇒ ∼q), siempre verdaderos, sin importar los valores de sus proposiciones que la componen.

Ejemplos 1. La proposición (p ⇒ q ) ⇔ (∼p ⇒ ∼q) es una Tautología y lo podemos comprobar con la siguiente tabla de verdad p F F V V

q F V F V

∼p V V F F

∼q V F V F

P⇒q V V F V

∼q ⇒ ∼p V V F V

(p ⇒ q ) ⇔ (∼p ⇒ ∼q) V V V V

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2. La proposición p ∧ ∼ q es una contradicción, pues el valor de verdad siempre es falso F. p V F

∼p

F V

p ∧ ∼p F F

Métodos de demostración La demostración formal del teorema debe partir de las hipótesis, y seguir una serie de pasos que también deben ser válidos, ya que son producto de reglas de inferencia. Sin embargo no solamente las hipótesis y reglas de inferencia pueden aparecer en una demostración formal, también tautologías.

Ejemplo Demostrar que, n(n+1) es divisible por 2 para todo n ∈

(enteros)

Debemos demostrar que: n(n+1) = 2k Si n es par, tenemos:

n = 2p n+1 = 2p+1,

con p ∈

Entonces,

n(n+1)=2p(2p+1), sea p(2p+1)=k,

Tenemos:

n(n+1)=2k

Por tanto si n es par n(n+1) Si n es impar, tenemos:

donde n es divisible por 2. n=2p+1 n+1=2p+1+1, con p ∈ n+1=2p+2 n+1=2(p+1)

Entonces, n(n+1)=2(p+1)(2p+1), sea (p+1)(2p+1)=k Tenemos:

26

n(n+1)=2k

Por tanto si n es impar n(n+1) Queda demostrado que n∈ .

donde n es divisible por 2.

n(n+1) es divisible por 2 para cualquier valor de

Inducción Matemática Toda demostración que se basa en el principio de inducción matemática se denomina “demostración por inducción”. Esto consta de verificar que se cumplan las siguientes condiciones: • Verificar el cumplimiento de la identidad para n = 1 • Establecer la identidad para n = k • Demostrar, mediante procesos algebraicos, que también es válida para n = k + 1.

Ejemplo Demostrar la siguiente identidad: 1 + 2 + 3 + 4 + .... + n = 1=

Se verifica la validez para n=1:

Se establece que n=k:

n ( n + 1) 2

1 (1 + 1) 2 = =1 2 2

1 + 2 + 3 + 4 + .... + k =

k ( k + 1) 2

(a)

Tratemos de establecer su cumplimiento para n = k + 1, es decir, que: 1 + 2 + 3 + 4 + .... + ( k + 1) = 1 + 2 + 3 + 4 + .... + (k + 1) =

( k + 1) [(k + 1) + 1] 2 ( k + 1) ( k + 2 ) 2

(b)

Sumando k+1 en ambos miembros de la expresión (a) 1 + 2 + 3 + 4 + .... + k + ( k + 1) =

k ( k + 1) + ( k + 1) 2

Expresando en fracciones el lado derecho 1 + 2 + 3 + 4 + .... + k + ( k + 1) =

k (k + 1) 2 ( k + 1) + 2 2

27

1 + 2 + 3 + 4 + .... + k + ( k + 1) =

k ( k + 1) + 2 ( k + 1) 2

Factorizando 1 + 2 + 3 + 4 + .... + k + (k + 1) =

( k + 1) ( k + 2 )

(c)

2

Como (b) es igual a (c) queda demostrada la validez para n=k+1.

Método de demostración por reducción al absurdo Se empieza suponiendo que p es verdadera. Sin embargo, para llegar a la conclusión buscada, que q sea verdadera, se puede proceder haciendo una pregunta ¿Por qué no puede q ser falsa? Si q tiene que ser verdadera, debe de haber alguna razón por la que no puede ser falsa. El objetivo del método es, precisamente, descubrir esa razón. La idea es suponer que p es verdadera y q falsa y ver que no puede ocurrir esto.

Ejemplo Probar que

2 no es un número racional.

Supongamos que

con a, b ∈

2 es un número racional, es decir que y

2=

a b

b≠0

a es una fracción irreducible, es decir que sean b a2 2 = 2 o también a2 = 2b2 primos relativos. Se sigue entonces que: b

Vamos a suponer también que

Luego a2 es par y por tanto a es un entero par, es decir a es de la forma a=2p, con p ∈ De a2 = 2b2 se sigue 4p2 = 2b2 ; es decir b2 = 2p2 Luego b2 es par y por tanto b es par. Se tiene entonces una contradicción con lo que supusimos, que la fracción es irreducible, porque resulta que el 2 es factor común de a y b (ambos son pares). En consecuencia lo correcto sería decir que 2 no es un número racional.

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Ejercicios de aprendizaje

1.- Los conjunto A = {x | 3<x<7}, B = {x | 7<x<9}, la relación que existe entre ellos es: B) Finitos C) Ajenos D) A) Correspondencia Iguales biunívoca 2.- Si A = {1,2,3,4,5} y B = {3,4,7,8} , el conjunto ( A ∪ B ) − ( A ∩ B ) es igual a A)

{1,2,5,7,8}

B) {1,2,5}

C) {7,8}

D)

{1,2,4,5,7,8}

3.- Con los conjuntos U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} , B = {1,3,5,7} y C = {2,3,5,6} , encuentra las operaciones siguientes; 3.1.- ( B ∩ C )

C

B) {4,8,9}

C) {2,3,4,5,6,8,9}

D)

{1,2,4,6,7,8,9}

3.2.- B C ∪ C A) {2,6}

B) {4,8,9}

C) {2,3,4,5,6,8,9}

D)

{1,2,4,6,7,8,9}

3.3.- B C ∩ C C A) {2,6}

B) {4,8,9}

C) {2,3,4,5,6,8,9}

D)

{1,2,4,6,7,8,9}

3.4.- C C ∪ B A) {2,4,6,8,9}

B) {1,3,4,5,7,8,9}

C) {2,3,4,5,6,8,9}

D)

{1,2,4,6,7,8,9}

C) AC ∪ B C

D) AC ∩ B C

C) AC − B

D) A − B C

C) ( A ∩ B) − (A ∩ C)

D) ( A ∪ B) − (A ∪ C)

C) ( A ∩ B) − (A ∩ C)

D) ( A ∪ B) − (A ∪ C)

A)

{2,6}

4.-

El conjunto ( A ∪ B ) es igual a

A) A − B C

C

B) AC − B

5.- El conjunto ( A ∩ B ) es igual a C

A) AC ∩ B C

B) AC ∪ B C

6.- El conjunto A − ( B ∪ C ) es igual a A) (A − B) ∩ (A − C)

B) (A − B) ∪ (A − C)

7.- El conjunto A − ( B ∩ C ) es igual a A) (A − B) ∩ (A − C)

B) (A − B) ∪ (A − C)

29

8.- Con los conjuntos A = {2, 4, 3}, B = {4, 6, 7}, CC = {6, 7, 8, 9}, la operación ( A x B ) ∩ B x CC es:

(

)

A) {(4, 6), (4, 7), (4, 8), (4, 9)} B) {(4, 6), (4, 7)} C) {(2, 6), (2, 7), (3, 6), (3, 7), (4, 6), (4, 7)} D) {(2, 6), (2, 7), (3, 6), (3, 7)} 9.- Si en una ciudad hay tres periódicos El Imparcial, La Prensa y El Jornalero.

En una encuesta se sabe que el 31% de los habitantes de esa ciudad lee El Imparcial, el 50% lee La Prensa, el 12% lee El Imparcial y la Prensa, el 19% lee La Prensa y El Jornalero, el 14% lee El Imparcial y El Jornalero, el 4% leen los tres y el 76% leen La Prensa o El Jornalero. Contesta lo siguiente: 9.1.- ¿Cuál es el porcentaje de los que no leen ninguno de los periódicos?

A) 9 B) 10 C) 15 D) 16 9.2.- ¿Cuál es el porcentaje de los que solamente leen El Imparcial?

A) 9 B) 10 C) 15 D) 16 9.3.- ¿Cuál es el porcentaje de los que leen La Prensa y El Jornalero pero no leen El Imparcial?

A) 9 B) 10 C) 15 D) 16 9.4.- ¿Cuál es el porcentaje de los que solamente leen El Jornalero?

A) 9 B) 10 C) 15 D) 16

10.- Demostrar por inducción matemática que: 2 + 6 + 10 + 14 + .... + (4n − 2) = 2n 2 n(n + 1) n(n + 1)(n + 2) 1 + 3 + 6 + 10 + .... + = 2 6

BIBLIOGRAFÍA

1. Kleiman, Ariel, Conjuntos. México, Limusa, 1981.

2. Becerra Espinosa, José Manuel, Temas selectos de Matemáticas. México, UNAM, 2005.

3. De Oteyza, Elena, Temas selectos de Matemáticas. México, Pearson Prentice Hall, 1998.

4. Carreño Campos, Ximena, Álgebra. México, Publicaciones Cultural, 2003.

5. Barnett, Raymundo, Precálculo. México, Mc Graw Hill, 2000.

30

UNIDAD II. Análisis combinatorio y Teorema del binomio Objetivos En esta unidad los alumnos adquirirán los fundamentos básicos del análisis combinatorio, como es el cálculo de ordenaciones, permutaciones y combinaciones y aplicarán el uso de combinaciones para el manejo del Binomio de Newton; recordarán como calcular un término específico de un binomio elevado a cualquier potencia y por último resolverán problemas de interés compuesto

Teorema fundamental de Conteo Si un evento se puede realizar de p maneras y una vez terminado este evento se efectúa un segundo evento y este se puede realizar de q maneras, entonces el numero de formas en que pueden realizarse estos dos eventos es de ( p )(q ) maneras .

Este teorema puede ser generalizado a más eventos.

Ordenación Es cada distribución de n objetos diferentes que se forman con un conjunto de elementos de tal manera que difiere de otra o por un objeto o por el orden.

El cálculo de ordenaciones Omn = n(n − 1)(n − 2)(n − 3)(n − 4)...

se

realiza

a

través

de

la

expresión

m indica el número de factores

n! donde n! = n(n − 1)(n − 2)(n − 3)(n − 4). … se conoce (n − m )! como factorial de un número y n ∈ Ν .

O bien Omn =

Nota.- Por definición 0!= 1

Ejemplos 1. Si en un salón de clase hay 5 niñas y 4 niños, ¿de cuantas maneras se pueden seleccionar una pareja niña-niño?

Solución: las niñas se pueden elegir de 5 maneras y los niños de 4 maneras, es decir la manera de formar parejas es de (5)(4) = 20

31

2. ¿Cuántos números pares de tres cifras se pueden formar con los elementos de {0,1,2,3,4,5} ?

Solución: la primer cifra solo puede ser elegida de 5 formas ya que el cero no puede ser parte de las centenas, la cifra de las decenas puede ser elegida de 6 formas y la cifra de las unidades solo puede ser elegida de tres formas ya que para que sea par o se elige 0,2 ó 4.

Por lo tanto el conjunto de números pares de tres cifras es (5)(6)(3)=90 3. Se quiere elegir de un grupo de 15 personas a un director, subdirector y un secretario, ¿de cuantas formas se puede efectuar esta elección?

Solución: la primera persona se puede elegir de un conjunto de 15 personas, la segunda de un conjunto de 14 y la tercera de un conjunto de 13 por lo tanto el número de formas en que se puede efectuar la elección es de 15x14x13=2730.

Para el ejemplo O315 = 15 x14 x13 = 2730

ó O315 =

15! = 2730 (15 − 3)!

4. ¿Cuántas señales diferentes de dos colores se pueden formar con cuatro banderas de distinto color colocadas en línea?

Solución: como se requieren señales de dos colores la primer bandera se puede elegir de un conjunto de cuatro y la siguiente de un conjunto de tres por lo que el resultado es O24 = (4)(3) = 12

Combinación Es un arreglo que puede formarse con todos los elementos de un conjunto o parte de ellos, en donde no importa el orden.

Ejemplo

"Mi ensalada de frutas es de papaya, piña y sandía": no importa en qué orden colocamos las frutas, podría ser "piña, papaya y sandia" ó “sandía, papaya y piña", se trata de la misma ensalada no importa el orden de los ingredientes.

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Combinaciones con repetición

El número de combinaciones con repetición se puede calcular mediante: (n + r − 1)! donde r es el número de cosas que puedes elegir (de los cuales C= r !(n − 1)! algunos se repiten) de un total de n.

Ejemplos 1. Se tienen cinco sabores de helado: plátano, chocolate, limón, fresa y vainilla. ¿Si se toman tres paladas de cada uno de los sabores, cuántas variaciones hay?

Solución: n es igual a 5 y r es igual a tres por lo tanto son

(5 + 3 − 1)! 7!

5040 5040 = = = = 35 Variaciones.

3!(5 − 1)! 3!4! (6)(24) 144 Combinaciones sin repetición

El número de combinaciones sin repetición se puede calcular mediante: n! donde r es el número de cosas que puedes elegir (no se r !(n − r )! puede repetir y el orden no importa) de un total de n.

Crn =

Ejemplos 1. ¿Cuántas clases de ramos se pueden formar con tres tipos de flores diferentes si se tienen 8 variedades de flores?

Solución: C 38 =

8!

40320 40320 = = = 56 3!(8 − 3)! (6)(120) 720

2. ¿Cuántas combinaciones de 5 barajas cada una pueden distribuirse con una baraja de 52 cartas?

Solución: C552 =

52!

(52)(51)(50)(49)(48)(47!) 311875 200 = = = 2 598 960 5!(52 − 5)!

5!(47!)

120

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Permutación

Es todo arreglo diferente que puede formarse con todos los elementos de un conjunto o parte de ellos, en donde si importa el orden.

Ejemplo

“En un candado de cerradura de combinación 569, si importa en que orden coloquemos los números, este candado no abriría con combinaciones 596, 659, 695, 956, 965.” Este es un ejemplo de permutación porque si importa el orden.

Permutaciones con repetición

Si se tiene n objetos, de los cuales n1 son iguales, n2 son iguales, n3 son iguales... nr son iguales, entonces el número de permutaciones está dado por: P=

n! n1 ! n2 ! n3 !...nr !

Ejemplos 1. ¿De cuántas maneras se pueden repartir tres monedas de $10 y siete monedas de $5 entre 10 niños, de tal forma que a cada uno le corresponda una sola moneda?

P=

10! (10)(9)(8) = = 120 3!7!

6

2. ¿Cuántas palabras sin significado, se pueden formar con las letras de la palabra “secciones”, tomadas todas a la vez?

P=

34

9!

(9)(8)(7) = = 63 2!2!2!

8

Permutaciones circulares El número de maneras en el que se pueden colocar n elementos a lo largo de una circunferencia es P = (n − 1)!

Ejemplos 1. ¿En cuántas formas diferentes pueden disponerse 4 hombres y 4 mujeres para sentarse en una mesa redonda de tal forma que los hombres no queden juntos?

Solución: si un hombre ó mujer se mantiene fija entonces solo tres de ellos podrán cambiarse de posición mientras que los otros cuatro mujeres u hombres se podrán estar cambiando P = 3!4! = 6(24) = 144

Permutaciones sin repetición

El número de maneras en el que se pueden colocar n objetos tomados de r formas es: Prn =

n! (n − r !)

Ejemplos 1. ¿De cuántas formas se han de hospedar 10 viajeros en un pueblo que cuenta con 13 hoteles, de tal manera que no se hospeden 2 viajeros en el mismo hotel?

13!

Solución: P= = 1037 836 800 (13 − 10)!

2. ¿Cuántos números de tres cifras se pueden formar con los dígitos del uno al nueve sin repetir números?

Solución:

P=

9! = 504 (9 − 3)!

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Binomio de Newton El binomio de Newton nos permite desarrollar binomios a cualquier potencia a través de:

n(n − 1) n −2 n(n − 1)(n − 2) n −3 2 n(n − 1)(n − 2)(n − 3) n − 4 3 x y+ x y + x y ...

2!

3!

4!

Este binomio puede ser expresado con combinaciones: ( x + y )n = x n + nx n −1y +

( x + y )n = C0n x n + C1n x n −1y + C2n x n −2 y + C3n x n −3 y 2 + C4n x n − 4 y 3 ... n! (n − r )! r !

Es importante recordar que sólo cuando n ∈ un binomio es finito.

Donde Crn =

el número de términos del desarrollo de

Ejemplos 1. Desarrolla (2 x + 3)3 usando combinaciones

( 2x + 3 )

3

= C03 ( 2 x ) + C13 (2 x )2 (3) + C23 (2 x )(3)2 + C33 (2 x )0 (3)3

=

3

3!

3!

3!

3!

8x3 + 12 x 2 + 18 x + 27 (3 − 0)!0!

(3 − 1)!1!

(3 − 2)!2!

(3 − 3)!3!

= (1)8 x 3 + (3)12 x 2 + (3)18 x + (1)27 = 8 x 3 + 36 x 2 + 54 x + 27 2. Desarrolla (4 x − 5)4 usando combinaciones

( 4x − 5)

= C04 ( 4 x ) + C14 (4 x )3 ( −5) + C24 (4 x )2 ( −5)2 + C34 (4 x )( −5)3 + C44 (4 x )0 ( −5)4

4

4

=

4!

4!

4!

4!

4!

256 x 4 − 320 x 3 + 400 x 2 − 500 x + 625 (4 − 0)!0!

(4 − 1)!1!

(4 − 2)!2!

(4 − 3)!3!

(4 − 4)!4!

= (1)256 x 4 − (4)320 x 3 + (6)400 x 2 − (4)500 x + (1)625 = 256 x 4 − 1280 x 3 + 2400 x 2 − 2000 x + 625

3. Encuentra los primeros cuatro elementos de (2 x + 1)−1 usando el binomio de Newton

(2 x + 1)−1 = ( 2 x ) + ( −1)(2 x )−2 (1) + −1

=

36

( −1)( −2) ( −1)( −2)( −3) (2 x )−3 (1)2 + (2 x )−4 (1)3 ...

1(2) 1(2)(3)

1 1 1 1 − 2+ 3− ...este desarrrollo nos genera una serie infinita 2x 4 x 8x 16 x 4

Término específico de un desarrollo binomial ( x + y )n n(n − 1)(n − 2)...hasta r − 1factores n −( r −1) r −1 tr = x y , donde tr es el término específico, r 1(2)(3)...hasta r − 1factores es el número del termino buscado y n es el exponente del binomio.

Ejemplos 1. Encuentra el 4° término de (3 x − 2y )6 como r = 4 y n = 6 entonces 6(5)(4) tr = (3 x )6 −3 ( −2y )3 = 20(3 x )3 ( −2y )3 = −4320 x 3 y 3 1(2)(3) 2. Encuentra el 7° término de ( x 2 − 2y )10 como r = 7 y n = 10 entonces tr =

10(9)(8)(7)(6)(5) 2 10−6 ( x ) ( −2y )6 = 210( x 2 )4 ( −2y )6 = 13440 x 8 y 6 1(2)(3)(4)(5)(6)

y⎞ ⎛ 3. Encuentra el 6° término de ⎜ 2 x − ⎟ 2⎠ ⎝ como r = 6 y n = 8 entonces

8

5

5

8(7)(6)(5)(4) 448 3 5 ⎛ y⎞ ⎛ y⎞ tr = (2 x )8−5 ⎜ − ⎟ = 56(2 x )3 ⎜ − ⎟ = − x y = −14 x 3 y 5 1(2)(3)(4)(5) 2 2 32 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Cálculo de raíces con el Binomio de Newton.

Ejemplo

Calcula en forma aproximada la binomial.

30 usando cinco términos del desarrollo 1

5⎞ ⎛ ⎛ 1⎞ ⎛ 1 ⎞2 30 = 25 + 5 = 25 ⎜1+ ⎟ = 25 ⎜1+ ⎟ = 5 ⎜1+ ⎟ ⎝ 25 ⎠ ⎝ 5⎠ ⎝ 5⎠

2 3 ⎡ ⎛ 1 ⎞⎛ 1 ⎞ − 32 ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞⎛ 1 ⎞⎛ 3 ⎞ − 52 ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞⎛ 1 ⎞⎛ 3 ⎞⎛ 5 ⎞ − − ⎟ (1) ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ − ⎟⎜ − ⎟ (1) ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ − ⎟⎜ − ⎟ ⎜ − ⎟ (1) ⎢1 ⎜ ⎟⎜ 1 2 ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ − ⎛ 1⎞ 2 ⎝ 5 ⎠ + ⎝ 2 ⎠⎝ 2 ⎠⎝ 2 ⎠ ⎝ 5 ⎠ + ⎝ 2 ⎠⎝ 2 ⎠⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 5 ⎜1+ ⎟ ≈ 5 ⎢12 + ⎜ ⎟ (1) 2 ⎜ ⎟ + ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎢ 5 2 5 1 (2) 1(2)(3) 1(2)(3)(4) ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎢ ⎣ 1 2

7 2

4 ⎤ ⎛ 1⎞ ⎥ ⎜ ⎟ ⎝ 5 ⎠ ....⎥ ⎥ ⎥ ⎦

1

1 1 1 ⎛ 1 ⎞2 ⎡ 1 ⎤ 5 ⎜1+ ⎟ ≈ 5 ⎢1+ − + − + ....⎥ ⎝ 5⎠ ⎣ 10 200 2000 16000 ⎦ 1

⎛ 1 ⎞2 5 ⎜1+ ⎟ ≈ 5[1.0954375] ⎝ 5⎠ 1

⎛ 1 ⎞2 5 ⎜1+ ⎟ ≈ 5.4771875 ⎝ 5⎠

37

Interés Compuesto

Interés es la cantidad de dinero que se paga cuando se presta o se solicita dinero durante un periodo de tiempo.

En este tipo de problemas las variables que intervienen son: C= capital inicial, valor actual o presente de una cantidad de dinero i= tasa de interés que se cobra por el efecto de prestar una cierta cantidad, la cual esta dada en porcentaje y es aplicada en diferentes periodos de tiempo. n= tiempo o periodos de capitalización.

F= valor futuro del dinero prestado.

La siguiente expresión te permite calcular cualquier variable de este tipo de problemas.

F = C(1 + r )n Nota. En esta expresión es importante considerar el periodo de tiempo n el cuál debe estar en el mismo periodo en el que se fija la tasa de interés i.

Ejemplos 1. ¿Cuál será el valor futuro de $100,000 si se depositan en un banco que otorga el 9% anual de intereses en 5 años?

Solución: F = 100 000(1 + 0.09)5 = 153 862.39 2. ¿En cuánto se convertirán $50,000 si se depositan en un banco que otorga el 2% bimestral de intereses a lo largo de 5 años?

Solución: aquí hay que transformar los 5 años a bimestres para que este en el mismo periodo de tiempo que la tasa de interés, 5años son 30 bimestres F = 50000(1 + 0.02)30 = 90 568.07 3. ¿Cuánto tengo que depositar en este momento si dentro de 6 años quisiera tener $250,000, sabiendo que la tasa de interés es del 8%? (Cuando no se estipula el tiempo en la tasa de interés, se considera anual).

Solución: despejando de la expresión F = C(1 + i )n a C se tiene:

C=

Por lo que

38

F = F (1 + i )− n (1 + i )n

C = 250 000(1 + 0.08)−6 = 157 542.40

4. ¿En cuanto tiempo $100,000 se convertirán en $200,000 si la tasa de interés es del 9% anual?

Solución: despejando n de la expresión de F = C (1 + i )n a n se tiene F C n = ln(1 + i ) ln

200 000 100 000 n= = 8.04 años ln(1 + 0.09) ln

Entonces

5. Hallar la tasa de interés a la cual deben invertir $80000 para tener al cabo de 5 años $160000 si la capitalización de intereses es bimestralmente.

Solución: Si despejamos de F = C (1 + i )n a i se tiene: i=

n

F −1 C

Primero transformamos el tiempo a bimestres, ya que se van a capitalizar intereses en ese tiempo n= 5 años=30 bimestres y ahora sustituimos valores. i = 30

160 000 − 1 = 0.0233 80 000

es decir 2.33% bim estral

Ejercicios de aprendizaje.

1.- Con 6 químicos y 5 biólogos se quiere formar un comité de 7 personas, de manera que en cada uno se tenga 4 químicos. ¿De cuántas maneras puede formarse? a)150 b)25 c)250 D) 15 2.- Hallar n y r si Prn = 840 y Crn = 35 A) r=7,n=4 B) r=4,n=7 C) r=12,n=15D) r=- 4 ,n=- 7 3.- Una caja contiene 7 tarjetas rojas, 6 blancas y 4 azules, ¿de cuántas maneras se pueden elegir tres tarjetas de forma que todas sean rojas?

A) 45 B) 25 C) 35 D) 15

39

4.- ¿Cuántos números de cuatro cifras se pueden formar con los dígitos {3, 5, 6, 7, 9} sin repetir números?

A) 60 B) 720 C) 24 D) 120 5.- ¿Cuántas estaciones de radio se pueden denominar con tres letras diferentes del alfabeto?

A) 15300 B) 15400 C) 15600 D) 15500 6.- ¿Cuántas señales diferentes se pueden realizar con ocho banderas de las cuales 2 son blancas, 3 rojas y 3 azules, de tal forman que se izan de una vez en un hasta bandera?

A) 540 B) 560 C) 550 D) 570 7.- ¿Cuántas pulseras diferentes se pueden hacer ensartando en un hilo 9 cuentas de colores distintos?

A) 20 160 B) 20 150 C) 20 170 D) 20 180 8.- En un desarrollo binomial de ( 5 x − 9 ) el número de términos es: 7

A) 7

B)6

C) 8

D) 2

9.- Los primeros tres términos del desarrollo ( x + y ) son: −4

A)

1 4 y 10 y 2 1 4 y 10 y 2 1 y y2 B) C) + + − + − + x 4 x5 x6 x 4 x5 x6 x4 x5 x6

D)

1 y y2 + + x4 x5 x6

12

1⎞ ⎛ 10.- El 5° término de ⎜ 5 x − ⎟ es: 5⎠ ⎝ 8 B) −309 375 x 8 A) 309 375 x D) 309 375 x 5

C) 309 375 x12

BIBLIOGRAFÍA

1. Murray R. Spiegel, Algebra Superior. México, McGraw-Hill, 1970.

2. Flores Meyer, Marco A, Temas Selectos de Matemáticas. México, Progreso, 1981.

3. Vilenkin, N, ¿De Cuántas formas? Combinatoria. URSS, Mir, 1972.

4. De Oteyza, Elena, Temas Selectos de Matemáticas, México,Prentice Hall, 2006.

5. Lehmann, Charles, Álgebra. México, Limusa, 2003.

6. Becerra Espinoza, José M. Temas Selectos de Matemáticas, México, 2005.

7. Fuenlabrada de la Vega, Samuel, Probabilidad y Estadística. México, McGraw-Hill, 2002 8. Rider, Paul. Algebra. México, Herrero, 1989.

9. http://tutormatematicas.com/ALG/Probabilidad_combinaciones_permutacion es.html

40

UNIDAD III. Ecuaciones e inecuaciones Objetivos En esta unidad el alumno realizará operaciones con números complejos, resolverán ecuaciones de grado superior a dos y encontrara el conjunto solución de una inecuación.

Introducción a los Números Complejos

Cuando el hombre comenzó a resolver problemas con la ayuda del álgebra se dio cuenta que ya no le bastaban los números reales.

Si queremos resolver una ecuación del tipo x 2 + 4 = 0 , esta no tiene soluciones reales, ya que x = ± −4 . De hecho, no existe un número real que multiplicado por sí mismo dé como resultado un número real negativo.

Entonces aparecen los números imaginarios. ( x = ± −a , con a > 0 , son soluciones imaginarias de la ecuación x 2 + a = 0 .)

Definición La unidad imaginaria se define como i y su valor es i = −1 .

Al conjunto de los números imaginarios puros lo denotaremos como Im.

Definición Un número complejo consta de una parte real y una parte imaginaria, es de la forma z = a + bi , donde a, b ∈ ℜ ; la parte real es a y la parte imaginaria es bi, (a esta forma se le denomina forma rectangular)

Los números complejos se pueden ver como parejas ordenadas (a, b ) en un plano cartesiano donde uno de los ejes consta de números reales y el otro de números imaginarios, es decir C = ℜ × Im donde: C = {(a, bi ) = a + bi / a, b ∈ ℜ y bi ∈ Im} .

Los números reales se pueden ver como un subconjunto de los números complejos.

Definición Se define la potencia n de i como i n =

Observación

in =

(

)

−1

n

(

)

n

−1 , con n ∈

es cíclico:

41

i = −1 i = i 5 = i 9 = i 13 = ... = i i 2 = i 6 = i 10 = i 14 = ... = −1

(Observa como se alternan los valores)

i 3 = i 7 = i 11 = i 15 = ... = −i i 4 = i 8 = i 12 = i 16 = ... = 1

Operaciones con números complejos en forma rectangular -Suma ( a + bi ) + ( c + di ) = ( a + c ) + ( b + d ) i

-Multiplicación ( a + bi )( c + di ) = ac + adi + bci + bdi 2 = ( ac − bd ) + ( ad + bc ) i -División.a + bi ⎛ a + bi ⎞⎛ c + bi ⎞ = ⎟ c − bi ⎜⎝ c − bi ⎟⎜ ⎠⎝ c + bi ⎠ ac + abi + bci + b 2i 2 = c 2 − b2i 2

( ac − b ) + ( ab + bc ) i = 2

; ya que i 2 = −1 c 2 + b2 Se utiliza el procedimiento de racionalización para dividir números complejos.

Además i −1 =

1 i

e

i −n =

1 in

Ejemplos

( )

1. Realiza la siguiente operación i −1 i −2 :

i −1 ( i −2 ) = i −3 =

(

)

−1

−3

=

(

1

)

−1

2. Realiza la siguiente operación ( 2 + 3i ) + ( −6 + 4i ) :

3

( 2 + 3i ) + ( −6 + 4i ) = ( 2 − 6 ) + ( 3i + 4i ) = −4 + 7i 3. Realiza la siguiente operación ( −7 + 3i )( 4 − 5i ) :

( −7 + 3i )( 4 − 5i ) = −28 + 35i + 12i − 15i 2 = −28 + 47i − 15( −1) = −13 + 47i 2 + 5i : 2−i 2 + 5i 2 + 5i ⎛ 2 + i ⎞ 4 + 2i + 10i + 5i 2 4 + 12i + 5( −1) −1 + 12i 1 12 = = = = =− + i ⎜ ⎟ 2 2−i 2−i ⎝2+i ⎠ 4−i 4 − ( −1) 5 5 5

4. Realiza la siguiente operación

42

Un número complejo z = a + bi puede escribirse en forma polar o ⎛b⎞ trigonométrica, si r = z = a 2 + b 2 y si θ = arctan ⎜ ⎟ , entonces ⎝a⎠ z = r (cos θ + i sen θ ) = r cis θ

Operaciones con números complejos en forma polar o trigonométrica

Si z1 = r1cisθ1 y z2 = r2cisθ 2 entonces -Multiplicación z1z2 = r1 r2cis(θ1 + θ 2 ) -División

z1 r1 = cis(θ1 − θ 2 ) z2 r2

-Potenciación

( z1 )

n

; z2 ≠ 0

= r1n cis ( nθ )

- Raíces de un número complejo. Si z = rcisθ y n es cualquier entero positivo entonces n z tiene n distintas raíces w 0 ,w1,w 2 ,w 3 ,w 4 ...w n −1 en donde: ⎛ θ + 2π k ⎞ w k = n r cis ⎜ ⎟ n ⎝ ⎠

donde k = 0,1,2,3,4...n − 1

Ejemplos 1. Convierte 4 − 3i a su forma polar: r = 4 2 + ( −3 ) = 5 2

⎛ 4 ⎞ ⎟ = −53.13° = 360 − 53.13 = *306.87° = −0.92rad = *5.36rad ⎝ −3 ⎠ *debido a que el número complejo está en el 4to cuadrante

θ = arctan ⎜

4 − 3i = 5cis 5.36 ó 4 − 3i = 5cis306.87

43

π ⎞⎛ π⎞ ⎛ 2. Realiza la siguiente multiplicación ⎜ 4cis ⎟ ⎜ 6cis ⎟ : 3 ⎠⎝ 4⎠ ⎝ π ⎞⎛ π⎞ ⎛ ⎛π π ⎞ ⎛ 7π ⎞ ⎜ 4cis 3 ⎟ ⎜ 6cis 4 ⎟ = 24cis ⎜ 3 + 4 ⎟ = 24cis ⎜ 12 ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 45cis 3. Realiza la siguiente división

9cis 45cis

π 5 :

π

π

7

5 = 45 cis ⎛ π − π ⎞ = 5cis ⎛ 2π ⎞ ⎜5 7⎟ ⎜ 35 ⎟ π 9 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 9cis 7 10 4. Realiza la siguiente operación ( 2 + i ) :

(2 + i )

10

(

=

(

5cis 0.46

5cis 0.46

)

)

10

(en radianes ) 10

10

1/ 2 = ⎡ ( 5 ) ⎤ cis(4(0.46)) = 3125cis1.84 ⎣ ⎦

(

5. Resuelve la siguiente ecuación z1/ 2 = 1 + 3i

)

1 3

Para despejar z elevam os al cuadrado am bos lados de la igualdad y transform am os el núm ero a form a polar

(z ) 1/ 2

2

1/ 3 ⎛⎛ π ⎞ ⎞ = ⎜ ⎜ 2 cis ⎟ ⎟ ⎜⎝ 3 ⎠ ⎟⎠ ⎝

z=

3

π ⎞ ⎛ ⎜ 2 cis 3 ⎟ ⎝ ⎠

z=

3

4 cis

z=

3

2

2

2π = 3 ⎛ 2π + 2π k ⎜ 4 cis ⎜ 3 3 ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

Entonces z tendrá tres raíces

2π + 2π (0) 2π 3 3 = 3 4cis z0 = 4cis 3 9 2π + 2π 8π 3 3 = 3 4cis z1 = 4cis 3 9 2π + 4π 14π 3 3 = 3 4cis z2 = 4cis 3 9

44

División sintética

La división sintética consiste en tomar los coeficientes tanto del dividendo y del divisor y ordenándolos de manera descendente.

Analizaremos sólo el caso de dividir entre x ± c La idea es suponer que el binomio x ± c es factor del polinomio, entonces el signo del número c cambia.

Ejemplos 1. Realiza la siguiente operación a través de una división sintética

3x 2 + 5x − 6 x−4

Como suponemos que (x-c) es factor del polinomio en el numerador, colocamos a c del lado izquierdo. En este caso c = 4. En el primer renglón se tienen los coeficientes del numerador. El primer coeficiente del numerador se baja y se multiplica por c. El resultado se pone bajo el segundo coeficiente del polinomio y se suman. El resultado se pone abajo, en el tercer renglón. Este número se multiplica por c y se pone bajo el tercer coeficiente del polinomio. Y así sucesivamente.

Al final, los números que quedan en el tercer renglón son los coeficientes del cociente, excepto el último, que es el residuo.

4

3 3

+5

−6

4

3

+5 +12

−6

3

3

4 3

+5 +12

−6

+17

4

3

3

+5 −6 3 4 +12 +68 +17

+5 −6 +12 +68

3 +17 +62

En el ejemplo, el resultado es entonces 3 x + 17 y un residuo igual a 62. Esto es: 3x 2 + 5x − 6 62 . = 3 x + 17 + x−4 x−4 Observación: El numerador es de grado n y el denominador es de grado 1, por lo que el polinomio resultante es de grado n-1.

2. Realiza la siguiente operación a través de una división sintética x 3 − 2x 2 + 3 x − 5 x+2 1 −2 +3 −5 −2 −2 +8 − 22 1

−4

+ 11

− 27

45

3. Realiza la siguiente operación a través de una división sintética

2x 4 + 3 x 3 − 3 x 2 + 6 x − 5 x −3 3

2

+3 +6

−3 + 27

+6 −5 + 72 + 234

2

+9

+ 24

+ 78

+ 229

Resolución de ecuaciones de grado superior a dos

Teorema fundamental del algebra Una ecuación entera f ( x ) = 0 , tiene por lo menos una raíz, ya sea real o compleja

De este teorema se desprende que toda ecuación entera f ( x ) = 0 , de grado n tiene exactamente n raíces.

Si f ( x ) = a0 x n + a1x n −1 + a2 x n −2 + a3 x n −3 + ...an −1x + an = 0 el teorema fundamental se tiene: f ( x ) = a0 ( x − r1 )( x − r2 )( x − r3 )...( x − rn ) = 0

ec.1 ,

a0 ≠ 0 y usando

donde r1, r2 , r3 ...rn son n raíces de la ecuación 1

Teorema del residuo Si un polinomio P(x) se divide entre x-a, siendo a un número real, el residuo es P(a)=0

Ejemplos 1. Encuentra el residuo de

3x 2 + 4x − 5 por medio del teorema del residuo. x −6

Como P ( x ) = 3 x 2 + 4 x − 5 valuamos el polinomio en x = 6; P (6) = 3(6)2 + 4(6) − 5 = 127 entonces el residuo es 127

46

2. Encuentra el residuo de

2x 3 − 3 x 2 + 7 x − 5 por medio del teorema del residuo. x+2

Como P(x) = 2x3 − 3x2 + 7x − 5 valuamos el polinomio en x = −2; P(−2) = 2(−2)3 − 3(−2)2 + 7(−2) − 5 = −47 entonces el residuoes − 47

5x 4 + 3x 3 − 2x 2 + 4 x − 6 por medio del teorema del 3. Encuentra el residuo de x +3 residuo.

Como P(x) = 5x4 +3x3 −2x2 +4x −6 valuamos el polinomioen x =−3; P(−3) = 5(−3)4 +3(−3)3 −2(−3)2 +4(−3) −6 = 288 entonces el residuoes 288

Teorema del factor Un polinomio P(x) es divisible entre x-a si y solo si P(a)=0

Ejemplos 1. Demuestra que x + 2 es un factor de P ( x ) = x 2 + 5 x + 6

P ( −2) = ( −2)2 + 5( −2) + 6 = 0 ∴ como el residuo es cero entonces x + 2 es factor de P ( x ) 2. Demuestra que x − 4 es un factor de P ( x ) = x 3 − 13 x − 12

P (4) = (4)3 − 13(4) − 12 = 0 como el residuo es cero

∴

entonces x − 4 es factor de P ( x )

3. Demuestra que x + 5 es un factor de P ( x ) = x 3 − 3 x 2 − 28 x + 60 P ( −5) = ( −5)3 − 3( −5)2 − 28( −5) + 60 = 0 ∴ como el residuo es cero entonces x + 5 es factor de P ( x )

47

Regla de signos de descartes

Si f ( x ) = 0 es una ecuación entera con coeficientes reales y sin raíces nulas(x=0), entonces: a) El número de raíces positivas de f ( x ) = 0 es igual al número de variaciones de f ( x ) ó es menor que este en un número par. b) El número de raíces negativas de f ( x ) = 0 es igual al número de variaciones de f ( − x ) ó es menor que este en un número par.

Si f ( x ) tiene una variación o un número impar de variaciones se puede asegurar que por lo menos existe una raíz positiva.

Si f ( − x ) tiene una variación o un número impar de variaciones se puede asegurar que por lo menos existe una raíz negativa.

Ejemplo

Por medio de la regla de los signos de Descartes investiga la naturaleza de las raíces de 3 x 3 + 9 x 2 − 7 x + 4 = 0 Si observamos a el polinomio, solamente existen 2 cambios de signo de +9 a -7 y de -7 a +4 por lo que probablemente esta ecuación tiene 2 posibles raíces positivas ó bien ninguna.

Si cambiamos a x por – x en el polinomio se tiene: 3( − x )3 + 9( − x )2 − 7( − x ) + 4 = 0 − 3x 3 + 9x 2 + 7x + 4 = 0

Por lo que observamos que solo existe un cambio de signo de -3 a +9 por tanto está ecuación podría tener una raíz negativa.

Resumiendo el análisis se tiene una de las siguientes posibilidades: Raíces positivas 2 0

48

Raíces negativas 1 1

Raíces complejas 0 2

Teorema de las raíces racionales p Si la fracción , reducida a su mínima expresión, es una raíz de la ecuación q n entera a0 x + a1x n −1 + a2 x n −2 + a3 x n −3 + ... an −1x + an = 0 y a0 , an ≠ 0 Entonces el numerador p es un factor del término constante final de an y el denominador q es un factor del término inicial a0 .

Ejemplos 1. Encuentra las posibles raíces racionales del polinomio 3 x 3 + 9 x 2 − 7 x + 4 = 0

q = ±3, ±1 Los factores de p y q son: p = ±4, ±2 ± 1 Por lo tanto las posibles raíces racionales son 4 4 2 2 1 1 por lo que las posibles raíces racionales son : ± , ± = ±4, ± , ± = ±2, ± , ± = ±1 3 1 3 1 3 1 2. Encuentra las raíces del polinomio 2 x 3 + 5 x 2 + 12 x + 5 = 0

Si observamos al polinomio, no existen cambios de signo por lo que no tiene raíces positivas.

Si cambiamos a x por – x en el polinomio se tiene: 2( − x )3 + 5( − x )2 + 12( − x ) + 5 = 0 − 2 x 3 + 5 x 2 − 12 x + 5 = 0

Por lo que observamos que existen tres cambios de signo de -2 a +5, de +5 a -12 y de -12 a+5 por tanto está ecuación podría tener tres raíces negativas o una raíz negativa.

Resumiendo el análisis se tiene una de las siguientes posibilidades: : Raíces positivas 0 0

Raíces negativas 3 1

Los factores de p y q son: p = ±5 ± 1

Raíces complejas 0 2

q = ±2, ±1

5 1 Por lo tanto las posibles raíces racionales son: ± , ±5, ± , ±1 2 2

49

Ahora realizaremos la división sintética, tomando únicamente las posibles raíces 5 1 negativas − , −5, − , −1 2 2

−

5 2 +5 +12 +5 2 −5 0 −30

2 0 12 −25 1 2 +5 +12 +5 − 2 −1 −2 −5

5 por loque − no es raíz del polinomio 2

por loque −

1 si es raíz del polinomio 2

2 4 10 0 (sedejaal alumnoprobar que −5 y −1 tampoco sonraíces del polinomio) Como el polinomio solo tuvo una raíz negativa entonces las dos raíces faltantes son complejas. −4 ± 16 − 80 x= 4 −4 ± −64 x= 4 −4 ± 8i x= 4 x1 = −1 + 2i y x2 = −1 − 2i Conclusión: el polinomio 2 x 3 + 5 x 2 + 12 x + 5 = 0 tiene como raíces a 1 x1 = −1 + 2i ; x2 = −1 − 2i y x3 = − 2

Inecuaciones Desigualdad de primer grado en una variable

Una desigualdad es una expresión que indica que una cantidad es mayor que, menor que, mayor o igual que y menor o igual que otra cantidad, tal como lo son dos números, en la recta numérica.

Resolución de una desigualdad de primer grado

Resolver una desigualdad significa hallar los valores de las incógnitas que la satisfacen, empleando las propiedades del inverso aditivo e inverso multiplicativo, de manera similar como se hacen en las igualdades, a través de las siguientes propiedades:

50

Propiedades de las Desigualdades: si a, b, c ∈ ℜ 1. Si ambos lados de una desigualdad se suma o se resta una misma cantidad el símbolo de la desigualdad no cambia.

si si si si

a>b; a<b; a≥b; a≤b;

a+c > b+c a+c < b+c a+c ≥ b+c a+c ≤ b+c

a−c > b −c a−c < b−c a−c ≥ b −c a−c ≤ b −c

ó ó ó ó

2. Si ambos lados de una desigualdad se multiplica o divide por una misma cantidad positiva el símbolo de la desigualdad no cambia.

si a > b

y

c > 0;

ac > bc

ó

si a < b

y

c > 0;

ac < bc

ó

si a ≥ b

y

c > 0;

ac ≥ bc

ó

si a ≤ b

y

c > 0;

ac ≤ bc

ó

a c a c a c a c

b c b < c b ≥ c b ≤ c >

3. Si ambos lados de una desigualdad se multiplica o divide por una misma cantidad negativa el símbolo de la desigualdad cambia de sentido.

si a > b

y

c<0;

ac < bc

ó

si a < b

y

c<0;

ac > bc

ó

si a ≥ b

y

c<0;

ac ≤ bc

ó

si a ≤ b

y

c<0;

ac ≥ bc

ó

a c a c a c a c

b c b > c b ≤ c b ≥ c

<

51

4. Si ambos lados de una desigualdad se invierten el símbolo de la desigualdad cambia de sentido:

si

a<b

entonces

si

a>b

entonces

si

a≤b

entonces

si

a≥b

entonces

1 > a 1 < a 1 ≥ a 1 ≤ a

1 b 1 b 1 b 1 b

Intervalos

Una desigualdad lineal en una variable, posee más de un elemento en su conjunto solución, llamado intervalo solución.

Intervalo abierto

( a, b )

a<x<b

( a, ∞ )

a<x<∞

( −∞, b )

−∞ < x < b

Intervalo cerrado

[ a, b ]

a≤x≤b

Intervalo semicerrado

52

⎡⎣a, b )

a≤x<b

⎡⎣a, ∞ )

a≤x<∞

Intervalo semiabierto

( a , b]

( −∞ , b]

a<x≤b

−∞ < x ≤ b

Ejemplos 1. Encuentra el conjunto solución de la desigualdad 8 x − 16 < 2 x − 12 8 x − 16 < 2 x − 12 8 x − 2 x < −12 + 16 6x < 4 4 6 2 x< 3 x<

2⎞ ⎛ Por lo tanto el conjunto solución es ⎜ −∞, ⎟ 3⎠ ⎝

5 − 2x <4 7 Esta desigualdad se puede escribir de acuerdo a las propiedades como:

2. Encuentra el conjunto solución de la desigualdad

5 − 2x 7 − 2(7) ≤ 5 − 2 x − 14 ≤ 5 − 2 x −14 − 5 ≤ −2 x − 19 ≤ −2 x −19 ≥x −2 19 ≥x 2

−2≤

−2 ≤

5 − 2x <4 7 ;5 − 2 x < 4(7) ;5 − 2 x < 28 ; − 2 x < 28 − 5 ; − 2 x < 23 23 ; x> −2 23 ; x>− 2 ;

⎛ 23 19 ⎤ Por lo tanto el conjunto solución es laintersecciónde ambosconjuntos ⎜ − , ⎥ ⎝ 2 2⎦

53

Desigualdades de primer grado con valor absoluto Propiedades de las desigualdades con valor absoluto

1)

x < b equivale a :

2)

x > b equivale a :

3)

x ≤ b equivale a :

4)

x ≥ b equivale a :

−b < x < b x < −b ó x > b −b ≤ x ≤ b x ≤ −b ó x ≥ b

Ejemplo

Encuentra el conjunto solución de la desigualdad

2 − 3x ≥2 5

Esta desigualdad se puede escribir de acuerdo a las propiedades 2 − 3x 2 − 3x ≤ −2 ≥2 y 5 5 2 − 3 x ≤ −2(5) 2 − 3 x ≥ 2(5) − 3 x ≤ −10 − 2 − 3 x ≥ 10 − 2 − 3 x ≤ −12 − 3x ≥ 8 −12 8 x≥ x≤− −3 3 x≥4 8⎤ ⎛ Por lo tanto el conjunto solución es : ⎜ −∞, − ⎥ ∪ [ 4, ∞ ) 3⎦ ⎝ Ejemplo

Encuentra el conjunto solución de la desigualdad

2 ≥5 2x + 3

Esta desigualdad se puede escribir de acuerdo a las propiedades 2x + 3 2

≤

1 5

ó

2x + 3 ≤

2 2 ≤ 2x + 3 ≤ 5 5 2 2 − − 3 ≤ 2x ≤ − 3 5 5 17 13 − ≤ 2x ≤ − 5 5 17 13 − ≤x≤− 10 10 −

54

2 5

⎡ 17 13 ⎤ En apariencia el conjunto solución sería ⎢ − , − ⎥ pero como la desigualdad ⎣ 10 10 ⎦ 3 entonces el conjunto solución es: original no esta definida para x = − 2 ⎡ 17 3 ⎞ ⎛ 3 13 ⎤ ⎢ − 10 , − 2 ⎟ ∪ ⎜ − 2 , − 10 ⎥ ⎣ ⎠ ⎝ ⎦ Sistemas de desigualdades

La solución de un sistema de desigualdades lineales consiste en hallar la región del plano cartesiano que satisface simultáneamente las condiciones establecidas por las desigualdades del sistema.

El método de solución es gráfico, por lo que habrá que graficar cada una de las desigualdades del sistema.

Ejemplo

Resuelva el siguiente sistema de desigualdades lineales de forma gráfica:

⎧ x + y ≥ 4....(1) ⎨ ⎩3 x − y > 6....(2) Primero graficamos cada una de las desigualdades como si fuesen ecuaciones, para la ecuación 1 la dibujamos a través de una línea continua debido a la condición de mayor o igual ( ≥ ) y la ecuación 2 con una línea punteada debido a la condición de mayor (>) como se muestra en la figura.

Ahora despejamos a y de ambas desigualdades y tenemos que: y ≥ −x + 4 ; y < 3x − 6 Para la primer desigualdad “y” debe ser mayor o igual que –x+4 por lo que el área solución es la zona que esta arriba de la recta y para la segunda desigualdad “y” debe ser menor que 3x-6 por lo que el área solución es la parte que está debajo de la recta y al buscar la intersección de ambas áreas se tiene:

55

Si queremos verificar que el área solución es correcta elegimos un punto cualquiera de dicha zona como por ejemplo el punto ( 6,1) que al sustituir en ambas desigualdades se tiene: 6 +1≥ 4 y 3(6) − 1 > 6 por lo que se puede concluir que dicha zona es el área solución del sistema des desigualdades.

Desigualdades de segundo grado

Resolución de una desigualdad de segundo grado Una desigualdad de segundo grado es de la forma: ax 2 + bx + c > 0 o ax 2 + bx + c < 0 . Para resolverla se factoriza el trinomio que resulte en el primer miembro o se resuelve como una ecuación de 2do. con la fórmula general.

Ejemplo 1. Encuentra el conjunto solución de la ecuación x 2 + 4 x − 21 < 0

x 2 + 4 x − 21 < 0

( x + 7 )( x − 3 ) < 0 igualando el factor x + 7 = 0 ; x = −7

y

x −3 = 0 ; x = 3

Ahora ubicamos los valores de x en la recta numérica y definimos los intervalos que se forman con esos valores. ( −∞, −7 ) ( −7,3 ) ( 3,∞ ) -7

3

Por último asignamos un valor en cada intervalo excepto los extremos y lo sustituimos en la desigualdad original

56

Para ( −∞, −7 ) escogemos x = −8 ; ( −8)2 + 4( −8) − 21 = 64 − 32 − 21 = 11 y 11 dx no es menor a cero por lo que este intervalo no satisface la desigualdad Para ( −7,3 ) escogemos x = 2 ; (2)2 + 4(2) − 21 = 4 + 8 − 21 = −9 y − 9 si es menor a cero por lo que este intervalo si satisface la desigualdad Para ( 3, ∞ ) escogemos x = 8 ; (4)2 + 4(4) − 21 = 16 + 16 − 21 = 11 y 11 no es menor a cero por lo que este intervalo no satisface la desigualdad

Por lo tanto el conjunto solución es

( −7,3 )

Desigualdades de segundo grado con valor absoluto Ejemplo

Resuelve la siguiente desigualdad

x 2 − 3 x < 28

Aplicando las propiedades de las desigualdades se tiene −28 < x 2 − 3 x < 28 y separando tenemos que: −28 < x 2 − 3 x 0 < x 2 − 3 x + 28 si se resuelve como una ecuación de 2do. grado esta no tiene solución en los en cambio x 2 − 3 x < 28 ;

x 2 − 3 x − 28 < 0

;

( x − 7 )( x + 4 ) < 0

para lo cual

se plantean 2 casos: Caso 1 x −7 < 0

x+4>0

y

x<7 y x > −4 Cuya intersección de ambos intervalos es Caso 2 x −7 > 0

y

x+4<0

x >7

y

x < −4

( −4,7 )

57

Cuya intersección de ambos intervalos es el conjunto vacío debido a que no hay intersección entre ambos conjuntos.

Conclusión: el conjunto solución es la unión del caso 1 y del caso 2 es decir ( −4,7 ) Desigualdades del cociente de polinomios Ejemplo

Resuelve la siguiente desigualdad

2x − 1 >0 3x + 2

Para resolver esta desigualdad se plantean dos casos Caso 1 2x − 1 > 0 1 x> 2

3x + 2 > 0 2 x>− 3

y ;

⎛1 ⎞ Cuya intersección de ambos intervalos es ⎜ , ∞ ⎟ ⎝2 ⎠ Caso 2 2x − 1 < 0 1 x< 2

3x + 2 < 0 2 x<− 3

y ;

2⎞ ⎛ Cuya intersección de ambos intervalos es ⎜ −∞, − ⎟ 3⎠ ⎝ Por lo tanto el conjunto solución es la unión de los dos casos es decir: 2⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ ⎜ −∞, − 3 ⎟ ∪ ⎜ 2 , ∞ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Ejercicios de aprendizaje

1.- El resultado de operar y simplificar i −1 + i −2 es: A)

−i − 1

B)

i +1

C) −i + 1

D)

i −3

2.- Realiza la siguiente operación (7 + 8i )(5 − 6i ) A) 83 − 2i

58

B) 83 + 2i

C) 35 − 48i

D) 35 + 48i

3.- Realiza la siguiente operación A)

22 7i − 41 41

B)

22 7i + 41 41

4.- Realiza la siguiente operación A) 1 + 3i

3 − 2i 4 − 5i C) −

22 7i + 41 41

D) −

22 7i − 41 41

7−i 1 + 2i

B) 3 − i

C) 1 − 3i

D) 3 + i

5x 2 − 3x + 4 5.- Encuentra el residuo a través del teorema del residuo de : x+2 A) 30 B) 18 C) 6 D) -10 3 x 3 − 2x 2 + x − 5 6.- Encuentra el residuo a través del teorema del residuo de : x −3 A) 61 B) -3 C) -107 D) 107 7.- Encuentra el residuo a través del teorema del residuo de 2x 4 − x 3 + 3 x 2 − 4 x + 3 : x +1 A) -13 B) 13 C) 3 D) -3 8.- Las raíces enteras de la ecuación x 4 − 9 x 3 + 25 x 2 − 19 x − 6 = 0 son: A) −2, −3

B) 2, −3

C) −2,3

D) 2,3

9.- Las raíces complejas de la ecuación 2 x 3 + 9 x 2 + 14 x + 5 = 0 son: A) −2 − i , −2 + i

B) −2 − i , −2 − i

10.- La solución de la desigualdad − A) x < 1

B) x < −1

C) 2 − i ,2 + i 5 1 3 x + < − es: 4 2 4 C) x > 1

11.- La solución de la desigualdad 1 ≤ 6 x + 4 ≤ 5 es: ⎡ 1 1⎤ ⎡ 1 1⎤ ⎡ 1 1⎤ A) ⎢ − , − ⎥ B) ⎢ − , ⎥ C) ⎢ , − ⎥ ⎣ 2 6⎦ ⎣ 2 6⎦ ⎣2 6⎦

D) −2 − i ,2 + i

D) x > −1

⎡ 1 1⎤ D) ⎢ , ⎥ ⎣2 6⎦

12.- La solución de la desigualdad x 2 + 10 x ≤ 11 es: A) [ −11, −1]

B) [ −1,11]

C) [ −11,1]

D) [1,11]

59

13.- La solución de la desigualdad 6 x − 11 ≤ 5 es:

⎡ 8⎤ A) ⎢ −1, ⎥ ⎣ 3⎦

⎡ 8⎤ B) ⎢1, ⎥ ⎣ 3⎦

14.- La solución de la desigualdad

⎛ 11 ⎞ A) ⎜ 1, ⎟ ⎝ 4⎠

⎛ 11 ⎞ B) ⎜ −1, ⎟ 4⎠ ⎝

⎡ 8 ⎤ C) ⎢ − , −1⎥ ⎣ 3 ⎦ 3x + 4 >7 x −1

⎡ 8 ⎤ D) ⎢ − ,1⎥ ⎣ 3 ⎦

es:

⎛ 11 ⎞ C) ⎜ − ,1⎟ ⎝ 4 ⎠

⎛ 11 ⎞ D) ⎜ − , −1⎟ ⎝ 4 ⎠

15.- La solución de la desigualdad x 2 − 3 x ≤ x + 5 A) [1,5]

B) [ −5,1]

C) [ −5, −1]

D)

[ −1,5]

⎧2 x + 5 y ≤ 10 16.- Es un punto del área solución del sistema ⎨ ⎩3 x − 4 y > 12 A) ( 2, −7 ) B) ( −2,7 ) C) ( −1, −1) D) ( 7,1)

Bibliografía

1.- Fuller, Gordon et al., Álgebra universitaria. México, Cecsa, 1992.

2.- SwokowskI, Earl, Algebra universitaria. México Ceesa, 1992.

3.- Dolciani, Mar3' P. et al., Álgebra moderna I y 2. México, Publicación Cultural, 1991.

4.- Lovaglia, Florence et al., Álgebra México, Harla, 1969.

5.- Schaaf, Peters, Álgebra un enfoque moderno._ México, Reverté1972.

6.- Rees, Paul K. et al., Álgebra contemporánea, México, McGraw-Hill, 1980.

7.- Díaz Barriga, Alejandro, Ecuaciones y desigualdades de primer grado.

México, Ceesa, 1979.

8.- Swokowski, Earl, Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica. México, Iberoamérica, 1988.

9.- Bamett, Raymond A., Álgebra y Trigonometría. México, McGraw-Hill, 1988.

10.- Spiegel, Murray R., Álgebra Superior. México, McGraw-Hill, 1970.

60

UNIDAD IV. Matrices y determinantes Objetivo El alumno entenderá el concepto de matriz, algunos tipos de matrices y sus operaciones; recordará el concepto de determinante y aprenderá a encontrar la matriz inversa.

Introducción La notación matricial es una forma abreviada de escribir un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas.

Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, resolución de sistemas de ecuaciones lineales, ecuaciones diferenciales y derivadas parciales. Además de su utilidad para el estudio de sistemas de ecuaciones lineales, las matrices se pueden presentar en problemas de geometría, estadística, economía, informática y física.

La utilización de matrices constituye actualmente una parte esencial en los lenguajes de programación, ya que la mayoría de los datos se introducen en los ordenadores como tablas organizadas en filas y columnas: hojas de cálculo y bases de datos.

Definición de matriz Una matriz es un arreglo rectangular de números o variables. Los números o variables en el arreglo se denominan elementos de la matriz.

Las líneas horizontales en una matriz se denominan filas o renglones; las líneas verticales se denominan columnas. A una matriz con m filas y n columnas se le denomina matriz m por n (escrito m × n). Las dimensiones de una matriz están dadas por el número de filas y el número de columnas, m y n en este caso, y en este orden.

Las matrices se denotan con letras mayúsculas: A, B, C, D…. ; sus elementos, ai j , con letras minúsculas, y los subíndices indican el lugar que ocupa en la matriz con i para las filas y j para las columnas.

Una matriz con una sola columna o una sola fila se denomina, a menudo, vector. Una matriz de 1 × n, es decir, una fila y n columnas, se denomina vector fila, y una matriz de m × 1, m filas y una columna, se denomina vector columna.

61

Ejemplos ⎡ a11 ⎢a A = ⎢ 21 ⎢ . ⎢ ⎣am1

a12 a22 . am 2

.... a1n ⎤ .... a2 n ⎥⎥ . . ⎥ ⎥ .... amn ⎦

B = [ 2 5 9]

⎡3⎤ C = ⎢⎢ 6 ⎥⎥ ⎢⎣9 ⎥⎦

⎡2 7 8⎤ D = ⎢⎢1 4 6 ⎥⎥ ⎢⎣ 3 5 9 ⎥⎦

Se llama rango de una matriz A, al número de filas (o columnas) linealmente independientes, se representa por rg ( A ) . En cualquier matriz, el número de filas linealmente independientes, coincide con el número de columnas linealmente independientes. El valor máximo que puede tener el rango de una matriz, es el menor de los números correspondientes al número de filas y columnas, es decir, si una matriz tiene dimensión 4x5, el valor máximo que puede alcanzar el rango de dicha matriz es 4. ⎡9 2 1 ⎤ A = ⎢⎢ 1 7 3 ⎥⎥ ⎢⎣ 2 3 4 ⎥⎦

rg ( A ) = 3

⎡7 1 4 ⎤ B=⎢ ⎥ ⎣3 9 5 ⎦

rg ( B ) = 2

⎡ 2 3⎤ C=⎢ ⎥ ⎣6 9 ⎦

rg (C ) = 1

La segunda fila, es igual a la primera multiplicada por 3.

Tipos de matrices Matriz cuadrada Una matriz de mxn elementos es una matriz cuadrada si el número de filas es igual al número de columnas. Es decir, m = n.

Se dice entonces que, la matriz es de orden n.

Ejemplos ⎡2 6 8⎤ A = ⎢⎢1 7 9 ⎥⎥ ⎢⎣ 5 3 1 ⎥⎦

62

⎡3 7⎤ B=⎢ ⎥ ⎣2 5⎦

⎡3 ⎢2 C=⎢ ⎢ −2 ⎢ ⎣1

2 1 1 4 5 0 3 −4

7⎤ 0 ⎥⎥ 1⎥ ⎥ 7⎦

La diagonal principal de una matriz cuadrada está formada por los elementos aii . En los ejemplos anteriores, la diagonal de A la forman los elementos 2, 7, 1. La diagonal de B la forman los elementos 3, 5. En la diagonal de C están los elementos 3, 1, 0, 7.

Matriz diagonal Es una matriz cuadrada en la que todos los elementos que están fuera la diagonal son cero.

Ejemplos

⎡1 0⎤ D=⎢ ⎥ ⎣ 0 1⎦

⎡1 0 0⎤ E = ⎢⎢0 −3 0 ⎥⎥ ⎢⎣0 0 2⎥⎦

⎡0 0 0 ⎤ F = ⎢⎢0 1 0 ⎥⎥ ⎢⎣0 0 2⎥⎦

Notemos que la condición es sobre los elementos que no están en la diagonal, no sobre los que sí están en ella, por lo que no importa si ésta incluye o no ceros, como en la matriz F. Matriz escalonada Es una matriz en la que el primer elemento distinto de cero de cada renglón está más a la derecha del primer elemento distinto de cero del renglón anterior.

Ejemplos ⎡1 2 3 4 5⎤ J = ⎢⎢0 1 1 1 1⎥⎥ , ⎢⎣0 0 0 0 1⎥⎦

⎡ 1 1 1 1⎤ K = ⎢⎢0 0 2 0 ⎥⎥ , ⎢⎣0 0 0 0 ⎥⎦

⎡0 0 1 0 0 ⎤ L = ⎢⎢0 0 0 0 1⎥⎥ ⎢⎣0 0 0 0 0 ⎥⎦

En J, el primer elemento distinto de cero del segundo renglón (en este caso es un 1) está más a la derecha que el primer elemento distinto de cero del primer renglón (que en realidad no tiene ceros). Y el primer elemento distinto de cero del tercer renglón (que coincidentemente también es un 1) está más a la derecha que el primer elemento distinto de cero del segundo renglón. Lo mismo se cumple en las matrices K y L. Por otro lado, las siguientes matrices P, Q y R no son matrices escalonadas: ⎡0 1 2 3 ⎤ P = ⎢⎢0 0 3 1⎥⎥ , ⎢⎣0 0 2 3 ⎥⎦

⎡ 0 1 1⎤ Q = ⎢⎢ 1 0 0 ⎥⎥ , ⎢⎣0 1 0 ⎥⎦

⎡1 0 0 0⎤ R = ⎢⎢0 0 1 0 ⎥⎥ ⎢⎣0 0 1 1⎥⎦

63

En P, el primer elemento distinto de cero del tercer renglón (un 2) no está más a la derecha del primer elemento distinto de cero del segundo renglón (un 3) (de hecho, está directamente debajo de él). En Q el primer elemento distinto de cero del segundo renglón incluso está más a la izquierda que su homólogo del primer renglón.

Notemos que podríamos decir entonces que en una matriz escalonada, entre más abajo esté un renglón, más ceros (y únicamente ceros) a su izquierda tiene.

Si además la matriz escalonada tiene sólo ceros y unos, y arriba de los 1 hay sólo ceros, es una matriz escalonada reducida. ⎡ 1 1 1 1 1⎤ S = ⎢⎢0 1 1 1 1⎥⎥ , ⎢⎣0 0 0 0 1⎥⎦

⎡1 0 0 0 0⎤ T = ⎢⎢0 1 1 1 0 ⎥⎥ ⎢⎣0 0 0 0 1⎥⎦

S no es escalonada reducida, T sí.

Matriz unitaria (matriz identidad) Es una matriz cuadrada en la que los elementos de la diagonal principal son todos iguales a uno y todos los otros elementos son iguales a cero. Se denota por: I. Ejemplos

⎡1 0⎤ I= ⎢ ⎥ ⎣ 0 1⎦

⎡1 ⎢0 I= ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0

⎡1 0 0⎤ I = ⎢⎢0 1 0 ⎥⎥ ⎢⎣0 0 1⎥⎦

0 1 0 0

0 0 1 0

0⎤ 0 ⎥⎥ 0⎥ ⎥ 1⎦

Matriz transpuesta Si se tiene una matriz A, se llama transpuesta AT a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas. De esta forma, si A era de m x n, AT es de n x m.

Notemos que el elemento aij de A se convierte en el elemento a ji de AT .

Ejemplos ⎡1 2 5 ⎤ A=⎢ ⎥ ⎣3 4 7 ⎦

Por ejemplo, aquí 3 = a21

64

⎡1 3⎤ A = ⎢⎢2 4 ⎥⎥ ⎢⎣5 7 ⎥⎦ mientras que aquí 3 = a12 T

⎡7 9 3 ⎤ B=⎢ ⎥ ⎣ −1 2 8 ⎦

Aquí 8 = b23

⎡7 −1⎤ BT = ⎢⎢9 2 ⎥⎥ ⎢⎣3 8 ⎥⎦ aquí 8 = b32

Se pueden transponer todas las matrices, sean o no cuadradas.

Operaciones con matrices Suma de matrices Si tenemos dos matrices A y B (m x n), la suma de A + B es la matriz (m x n) calculada sumando los elementos correspondientes ai j + bi j . Es decir, se

suman los elementos homólogos de las matrices.

Ejemplos ⎡1 3 2⎤ ⎡0 0 5 ⎤ ⎡1 + 0 3 + 0 2 + 5 ⎤ ⎡ 1 3 7 ⎤ A + B = ⎢⎢1 0 0 ⎥⎥ + ⎢⎢7 5 0 ⎥⎥ = ⎢⎢1 + 7 0 + 5 0 + 0 ⎥⎥ = ⎢⎢8 5 0 ⎥⎥ ⎢⎣1 2 2⎥⎦ ⎢⎣2 1 1⎥⎦ ⎢⎣1 + 2 2 + 1 2 + 1⎥⎦ ⎢⎣3 3 3 ⎥⎦

− 3 + 0 5 + 2 ⎤ ⎡3 −3 7 ⎤ ⎡2 −3 5 ⎤ ⎡ 1 0 2 ⎤ ⎡2 + 1 C +D = ⎢ +⎢ =⎢ ⎥ ⎥ ⎥=⎢ ⎥ ⎣ 4 1 −7 ⎦ ⎣ −3 5 8 ⎦ ⎣ 4 + ( −3) 1 + 5 −7 + 8 ⎦ ⎣1 6 1 ⎦ Es importante resaltar que no se pueden sumar matrices que tengan diferentes dimensiones. Por ejemplo, no se pueden sumar una matriz de 1x2 con una de 2x1.

Propiedades de la suma de matrices

Conmutativa

A+B = B+A

Asociativa

(A+B) + C = A + (B+C)

Elemento neutro O (matriz cero o matriz nula, la O + A = A + O = O que tiene todos sus elementos iguales a cero) Elemento simétrico -A (inverso aditivo de A)

A + (-A) = (-A) + A = O

La opuesta de la matriz A, o inverso aditivo, se obtiene cambiando de signo todos los elementos de la matriz. − A = ⎡⎣ −ai j ⎤⎦

65

Multiplicación escalar Para multiplicar un escalar c ∈ , por una matriz A, se multiplica el escalar por todos los elementos de la matriz, obteniéndose otra matriz del mismo orden.

Ejemplos

⎡1 8 3 ⎤ A=⎢ ⎥ ⎣4 2 5⎦

⎡1 8 3 ⎤ ⎡(2)(1) (2)(8) (2)(3) ⎤ ⎡2 16 6 ⎤ 2A = 2 ⎢ ⎥=⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎣ 4 2 5 ⎦ ⎣(2)(4) (2)(2) (2)(5)⎦ ⎣8 4 10 ⎦

⎡1 −2 3 ⎤ B=⎢ ⎥ ⎣0 1 8 ⎦

⎡( −5)(1) ( −5)( −2) ( −5)(3) ⎤ ⎡ −5 10 −15 ⎤ −5B = ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎣( −5)(0) ( −5)(1) ( −5)(8)⎦ ⎣ 0 −5 −40 ⎦

Propiedades del producto de una matriz por un escalar

Sean A y B dos matrices de la misma dimensión, c y d dos números reales.

Distributiva, respecto de la suma de matrices.

c(A + B) = cA + cB

Distributiva, respecto de la suma de números reales.

(c + d) A = cA + dA

Asociativa mixta, entre números y matrices.

(c d) A = c (d A)

Elemento neutro.

Siendo 1 la unidad de los reales

1(A) = A

Producto de matrices El producto AB de dos matrices se puede definir sólo si el número de columnas de la matriz A es el mismo que el número de filas (renglones) de la matriz B. Si la matriz A es de m x n y la matriz B es de n x p, entonces el producto matricial AB es una matriz, de m x p.

⎡ a11 a12 ⎢a a22 Si A = ⎢ 21 ⎢ ... ... ⎢ ⎣am1 am 2

... a1n ⎤ ⎡ b11 b12 ⎢b ⎥ b22 ... a2 n ⎥ 21 y B=⎢ ⎢ ... ... ... ... ⎥ ⎢ ⎥ ... amn ⎦ ⎢⎣ bn1 bn 2

Llamemos C ala matriz producto de A y B

66

... b1p ⎤ ... b2 p ⎥⎥ ... ... ⎥ ⎥ ... bnp ⎥⎦

⎡ a11b11 + ... + a1n bn1 ... a11b1p + ... + a1n bnp ⎤ ⎢ ⎥ ... ... ...

Entonces AB = C = ⎢ ⎥ ⎢am1b11 + ... + amn bn1 ... am1b1p + ... + amn bnp ⎥ ⎣ ⎦ Lo anterior se entiende mejor con ejemplos.

Ejemplos a ⎡a Si A = ⎢ 11 12 ⎣a21 a22

⎡ b11 b12 ⎤ ⎡3 1⎤ a13 ⎤ ⎡ 1 0 2⎤ es de 2x3 y B = ⎢⎢ b21 b22 ⎥⎥ = ⎢⎢2 1⎥⎥ es de = a23 ⎥⎦ ⎢⎣ −1 3 1⎥⎦ ⎢⎣ b31 b32 ⎥⎦ ⎢⎣ 1 0 ⎥⎦

3x2 Entonces la multiplicación sí se puede realizar porque A tiene 3 columnas y B c ⎤ ⎡c 3 renglones. El producto AB será de 2x2. Sea AB = C = ⎢ 11 12 ⎥ ⎣c21 c22 ⎦

⎡3 1⎤ ⎡ 1 0 2⎤ ⎢ ⎥ = ⎡(1)(3) + (0)(2) + (2)(1) (1)(1) + (0)(1) + (2)(0) ⎤ = ⎡5 1 ⎤ 2 1 AB = ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎣ −1 3 1⎦ ⎢1 0 ⎥ ⎣( −1)(3) + (3)(2) + (1)(1) ( −1)(1) + (3)(1) + (1)(0)⎦ ⎣ 4 2⎦ ⎣ ⎦

c11 resulta de sumar los productos a11b11, a12b21, a13 b31 . c21 resulta de sumar a21b11, a22b21, a23 b31 . c12 se obtiene si se suman a11b12 , a12b22 , a13 b32 . Y finalmente, c22 se obtiene de la suma de a21b12 , a22 b22 , a23 b32 . Parece difícil, pero si se practica se entiende la idea. Realícese la operación con el primer renglón, el segundo renglón, .... el último renglón de la primera matriz, con la primera columna de la segunda matriz. Hágase la operación con el primer renglón, segundo renglón, ... último renglón de la primera matriz, con la segunda columna de la segunda matriz. Así sucesivamente hasta terminar.

Cada vez se van poniendo los resultados en las columnas de la matriz producto. Y habremos terminado. ¿Por qué no practicar con el siguiente ejemplo?

67

⎡ 4 −1⎤ ⎡2 4 6 ⎤ ⎢ ⎡(2)(4) + (4)(2) + (6)(1) (2)( −1) + (4)(5) + (6)(0) ⎤ = CD = ⎢ 2 5 ⎥⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ (3)(4) + ( −3)(2) + (5)(1) (3)( −1) + ( −3)(5) + (5)(0)⎥⎦ ⎣3 −3 5 ⎦ ⎢ ⎣ ⎣1 0 ⎥⎦ ⎡22 18 ⎤ =⎢ ⎥ ⎣11 −18 ⎦ Propiedades del producto de matrices

Asociativa

(A B) C = A (B C)

Elemento neutro I (matriz identidad o unidad)

AI=IA=A

Distributiva respecto de la suma de matrices

A (B + C) = A B + A C

El producto de matrices no es, conmutativa

AB ≠ BA

Matriz inversa Dada una matriz cuadrada A, si existe otra matriz B tal que AB= BA = I (matriz identidad), entonces se dice que B es la matriz inversa de A y se representa por A-1.

Al multiplicar la matriz por su inversa, A-1 se obtiene la matriz identidad.

A(A-1)=A-1(A)=I Ejemplo

Verifica que el producto de las siguientes matrices es la matriz identidad. ⎡2 3 ⎤ ⎡ −1 3 ⎤ A=⎢ A−1 = ⎢ ⎥ ⎥ ⎣ 1 1⎦ ⎣ 1 −2⎦

⎡2 3 ⎤ ⎡ −1 3 ⎤ ⎡(2)( −1) + (3)(1) (2)(3) + (3)( −2)⎤ ⎡ 1 0 ⎤ ⎢ 1 1⎥ ⎢ 1 −2⎥ = ⎢ (1)( −1) + (1)(1) (1)(3) + (1)( −2) ⎥ = ⎢0 1⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Por lo tanto A y A−1 son inversas Las matrices no sólo se pueden operar con otras matrices sumándolas o multiplicándolas, o multiplicándolas por escalares. También se pueden manejar sus renglones de manera que se obtengan matrices más sencillas (o convenientes para su manejo) pero equivalentes a la original. Esto facilita por ejemplo su uso en la resolución de sistemas de ecuaciones.

68

Operaciones elementales con los renglones de una matriz

Para obtener una matriz equivalente pero más sencilla, podemos: Intercambiar renglones.

Ejemplo ⎡1 3 2 4⎤ ⎡2 1 3 4 ⎤ ⎢ ⎥ A = ⎢0 1 2 3 ⎥ , B = ⎢⎢0 1 2 3 ⎥⎥ ⎢⎣2 1 3 4 ⎥⎦ ⎢⎣ 1 3 2 4 ⎥⎦

A y B son equivalentes porque B se obtuvo de A intercambiando el primer y tercer renglones.

Multiplicar los elementos de un renglón por un número distinto de cero. ⎡1 3 2 4⎤ ⎡1 3 2 4 ⎤ ⎢ ⎥ A = ⎢0 1 2 3 ⎥ , C = ⎢⎢0 −1 −2 −3 ⎥⎥ ⎢⎣2 1 3 4 ⎥⎦ ⎢⎣ 2 1 3 4 ⎥⎦

A y C son equivalentes porque C se obtuvo de A multiplicando el segundo renglón por –1.

Sumar a un renglón otro renglón. ⎡1 3 2 4⎤ ⎡1 3 2 4⎤ ⎢ ⎥ A = ⎢0 1 2 3 ⎥ , D = ⎢⎢0 1 2 3 ⎥⎥ ⎢⎣2 1 3 4 ⎥⎦ ⎢⎣2 2 5 7 ⎥⎦

A y D son equivalentes porque D se obtuvo de A sumando el segundo renglón al tercero.

Antes de ver el uso de las matrices en la solución de sistemas de ecuaciones, veamos cómo usar las operaciones con los renglones de una matriz para obtener la matriz inversa.

69

Matriz inversa por transformaciones elementales Se basa en agregar a la matriz original una matriz identidad (matriz unitaria) del mismo orden. El objetivo es producir ceros y unos en el lado de la matriz original, los unos deben estar en la diagonal principal, y los ceros fuera de la diagonal principal, es decir, convertirla en matriz identidad. Cuando se termine el proceso, la matriz que resulta del lado donde se añadió la matriz unitaria, será la matriz inversa.

Ejemplo

⎡ 4 −1⎤ Encuentra la matriz inversa de B = ⎢ ⎥ ⎣ −6 2 ⎦

⎡ 4 −1 1 0 ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ −6 2 0 1 ⎦

El objetivo es convertir el número 4 en 1. Multiplicamos por un cuarto el primer renglón

⎡ ⎤ 1 1 ⎢ 1 − 4 4 0 ⎥ El objetivo es convertir el (-6) en 0 (cero). Multiplicamos por ⎢ ⎥ 6 el primer renglón y se le suma al segundo renglón ⎢⎣ −6 2 0 1 ⎥⎦

⎡ ⎤ 1 1 ⎢1 − 4 4 0 ⎥ ⎢ ⎥ El objetivo es convertir el (1/2) en 1. Multiplicamos por un 2 ⎢0 1 3 1 ⎥ el segundo renglón. ⎢⎣ ⎥⎦ 2 2

⎡ ⎤ 1 1 ⎢1 − 4 4 0 ⎥ El objetivo es convertir el (-1/4) en 0 (cero). Multiplicamos el ⎢ ⎥ segundo renglón por (1/4) y se le suma al primer renglón. ⎣⎢0 1 3 2 ⎦⎥

⎡ 1⎤ ⎢1 0 1 2 ⎥ ⎢0 1 ⎥ 3 2 ⎥⎦ ⎣⎢

El resultado del lado derecho es la matriz inversa.

1⎤ ⎡ 1 ⎢ La matriz inversa B = 2⎥ ⎢ ⎥ ⎣3 2 ⎦ −1

70

Matriz asociada a un sistema de ecuaciones

Ahora ilustremos el uso de las matrices en la solución de sistemas de ecuaciones.

Podemos tomar un sistema de ecuaciones y manejar únicamente los coeficientes para formar una matriz.

Ejemplo

a11x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = k1 a21x1 + a22 x2 + ... + a2 n xn = k 2 ... + ... + ... + ... = ... am1x1 + am 2 x2 + ... + amn xn = k m Podemos formar una matriz con todos los coeficientes aij de las incógnitas que forman el sistema de ecuaciones: ⎡ a11 a12 ⎢a ⎢ 21 a22 ⎢ ... ... ⎢ ⎣am1 am 2

... a1n ⎤ ... a2n ⎥⎥ ... ... ⎥ ⎥ ... amn ⎦

La matriz anterior, de m x n (notemos que tenemos m ecuaciones y n incógnitas), se llama matriz del sistema. Pero podemos tomar en cuenta también los términos independientes para formar otra matriz: ⎡ a11 a12 ⎢a ⎢ 21 a22 ⎢ ... ... ⎢ ⎣am1 am 2

... a1n ... a2n ... ... ... amn

k1 ⎤ k2 ⎥⎥ ... ⎥ ⎥ kn ⎦

que se llama matriz aumentada precisamente porque se le agregó una columna de los términos independientes.

Método de Gauss - Jordan Consiste en efectuar operaciones elementales de renglones en la matriz aumentada del sistema para intentar obtener del lado izquierdo una matriz escalonada reducida. Con esto lo que se obtendrá será un nuevo sistema equivalente, pero más sencillo de resolver.

Las tres operaciones elementales de los renglones son Intercambiar renglones Multiplicar los elementos de un renglón por un número distinto de cero

71

Sumar a un renglón cualquier otro Ejemplo

4 x − 3 y = −23 5 x + 6 y = 20

⎡ 4 −3 −23⎤ El objetivo es convertir el 4 en 1. Multiplicamos el primer renglón ⎢ ⎥ por (1/4). ⎣ 5 6 20 ⎦

⎡ −3 −23 ⎤ ⎢1 4 4 ⎥ El objetivo es convertir el 5 en 0 (cero). Multiplicamos el primer ⎢ ⎥ renglón por (-5) y se le suma al segundo renglón. ⎣⎢5 6 20 ⎦⎥

⎡ −3 −23 ⎤ ⎢1 4 4 ⎥ El objetivo es convertir el (39/4) en 1. Multiplicamos el segundo ⎢ ⎥ renglón por (4/39). ⎢0 39 195 ⎥ ⎢⎣ 4 4 ⎥⎦

⎡ ⎢1 ⎢ ⎣⎢0

−3 −23 ⎤ El objetivo es convertir (-3/4) en 0 (cero). Multiplicamos el 4 4 ⎥⎥ segundo renglón por (3/4) y se le suma al primer renglón.

1 5 ⎦⎥

⎡ 1 0 −2 ⎤ ⎢ ⎥ ⎣0 1 5 ⎦

Solución:

72

Esta es la matriz resultante.

x = −2

y =5

Definición de determinante A una matriz cuadrada A se le puede asociar un número real, que se denomina determinante de A. Se simboliza det(A) o bien como A

Determinante de orden 2 det( A) =

a11 a12 = a11a22 − a12 a21 a21 a22

det( A) =

2 1 = ( 2 )( 3 ) − (1)( −4 ) = 10 −4 3

Determinante de orden mayor que 2

Se puede calcular un determinante de orden n usando los determinantes de orden n-1, llamados menores. Para el caso n = 3:

Determinante de orden 3 a11

a12

det( A) = a21 a22 a31 a32

a13 a23 = a11 a33

a22 a32

a23 a a23 a a22 − a12 21 + a13 21 a33 a31 a33 a31 a32

Ejemplo −2 det( A) = 1 5

3 1 −3 6 7 1

= ( −2 ) [( −3)(1) − (6)(7)] − 3 [(1)(1) − (6)(5)] + 1[(1)(7) − ( −3)(5)] = 199

Notamos que a11 está multiplicando al determinante de 2x2 que queda del determinante de 3x3 después de eliminar el renglón y la columna en los que se halla a11 . Lo mismo sucede con a12 y a13 . Este es el desarrollo del determinante en términos del primer renglón, ya que el primer renglón está formado por a11, a12 y a13 .

En realidad det(A) se puede desarrollar en términos de cualquier renglón o de cualquier columna.

73

La expansión en términos de la segunda columna es ⎡ a11 a12 det( A) = ⎢⎢ a21 a22 ⎢⎣ a31 a32

a13 ⎤ a a23 a a13 a a13 a23 ⎥⎥ = −a12 21 + a22 11 − a32 11 a31 a33 a31 a33 a21 a23 a33 ⎥⎦

Notamos que en el desarrollo en términos del primer renglón teníamos signos +, -, +. En el desarrollo en términos del segundo renglón los signos son -, +, -.

Dependiendo del renglón o columna que se desee usar para el desarrollo, el patrón de signos que debe seguirse es alternando: + − + − + − +

− +

Determinante de orden 4 Un determinante de una matriz de 4x4, se obtiene al calcular 4 determinantes de matrices 3x3, cada uno calculado a partir de 3 determinantes de 2x2. a11 det( A) =

a12

a13

a14

a21 a22 a31 a32 a41 a42

a23 a33 a43

a24 a34 a44

a22

a23

a24

a21

a23

a24

a21

a22

= a11 a32

a33

a34 − a12 a31

a33

a34 + a13 a31

a32

a42

a43

a44

a43

a44

a42

a41

a41

a21 a22 a34 − a14 a31 a32 a41 a42 a44 a24

a23 a33 a43

En el desarrollo que se haga a partir de cualquier renglón o columna, se debe seguir la misma regla de alternancia de signos. + − + − − + − + +

− +

− +

74

−

− +

Ejemplo

Calcula el determinante de la matriz A de 4x4 ⎡ 2 −3 1 4 ⎤ ⎢ 3 1 − 5 −3 ⎥ ⎥ det( A ) = ⎢ ⎢ 6 2 −1 1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ 1 5 4 −3 ⎦

= (2)

1

−5

−3

2

−1

1

5

4

−3

− ( −3)

3

−5

−3

6

−1

1

1

4

−3

+ (1)

3

1

−3

6

2

1

1

5

−3

− (4)

3

1

−5

6

2

−1

1

5

4

1 −5 −3 2 −1 1 = 1[( −1)( −3) − (4)(1)] − ( −5) [(2)( −3) − (5)(1)] + ( −3) [(2)(4) − (5)( −1)] 5

4

−3 = −95

3 −5 −3 6 −1 1 = 3 [( −1)( −3) − (4)(1)] − ( −5) [(6)( −3) − (1)(1)] + ( −3) [(6)(4) − (1)( −1)] 1

4

−3 = − 173

3 1 −3 6 2 1 = 3 [(2)( −3) − (5)(1)] − 1[(6)( −3) − (1)(1)] + ( −3) [(6)(5) − (1)(2)] 1 5 −3 = −98

3 1 −5 6 2 −1 = 3 [(2)(4) − (5)( −1)] − 1[(6)(4) − (1)( −1)] + ( −5) [(6)(5) − (1)(2)] 1 5 4 = −126 det( A ) = (2) ( −95 ) − ( −3) ( −173 ) + (1) ( −98 ) − (4) ( −126 )

= −190 − 519 − 98 + 504 = −303

75

Un determinante de una matriz de 5x5, se obtiene al calcular 5 determinantes de matrices 4x4 con el procedimiento descrito.

Regla de Cramer Es un método para resolver sistemas de n ecuaciones lineales con n incógnitas mediante determinantes.

Para entenderlo analizamos el siguiente ejemplo:

Ejemplo

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones. ⎧3 x − y + 2z = −1 ⎪ ⎨2 x + y − z = 5 ⎪ x + 2y + z = 4 ⎩

El llamado determinante del sistema es el que corresponde a la matriz que tiene a todos los coeficientes de las incógnitas.

3 −1 2 det ( sist ) = 2 1 −1 1

2

1

= (3) [(1)(1) − (2)( −1)] − ( −1) [(2)(1) − (1)( −1)] + 2 [(2)(2) − (1)(1)] = 18

Ahora definimos un determinante por cada variable, que será igual al determinante del sistema, excepto porque en vez de poner la columna de coeficientes de la variable en cuestión, pondremos los valores constantes del sistema: − 1 −1 det ( x ) = 5

1

2 −1

4

2

1

= ( −1) [(1)(1) − (2)( −1)] − ( −1) [(5)(1) − (4)( −1)] + 2 [(5)(2) − (4)(1)] = 18

76

3 −1 2 det ( y ) = 2 5 −1 1 4 1

= (3) [(5)(1) − (4)( −1)] − ( −1) [(2)(1) − (1)( −1)] + 2 [(2)(4) − (5)(1)] = 36 3 −1 −1 det ( z ) = 2 1 5 1

2

4

= (3) [(1)(4) − (5)(2)] − ( −1) [(2)(4) − (5)(1)] + ( −1) [(2)(2) − (1)(1)] = −18

Los valores para cada una de las incógnitas se obtienen con estos determinantes:

x=

det ( x )

det ( sist )

=

18 =1 18

y=

det ( y )

det ( sist )

=

36 =2 18

z=

det ( z )

det ( sist )

=

−18 = −1 18

Ejercicios de aprendizaje

⎡2 −6 ⎤ 1.- De la siguiente matriz D = ⎢ ⎥ encuentra su matriz inversa. ⎣ 1 −2 ⎦ −1⎤ ⎡ −1 ⎢ A) D = 2⎥ ⎢ ⎥ ⎣3 1 ⎦ −1

⎡ −1 3 ⎤ B) D = ⎢ −1 ⎥ ⎢ 1⎥ ⎣2 ⎦ −1

⎡ 1 3⎤ ⎥ C) D = ⎢ 1 ⎢ 1⎥ ⎣2 ⎦ −1

⎡ 1 −3 ⎤ ⎥ D) D = ⎢ 1 ⎢ −1⎥ ⎣2 ⎦ −1

⎡7 4 1 ⎤ 2.- Encuentra la matriz transpuesta de la siguiente matriz A = ⎢ ⎥. ⎣2 3 5 ⎦ ⎡7 2⎤ A) A = ⎢⎢ 4 3 ⎥⎥ ⎢⎣ 1 5 ⎥⎦ T

⎡2 7 ⎤ B) A = ⎢⎢3 4 ⎥⎥ ⎢⎣5 1⎥⎦ T

⎡2 3 5 ⎤ C) A = ⎢ ⎥ ⎣7 4 1 ⎦

⎡1 4 7 ⎤ D) A = ⎢ ⎥ ⎣5 3 2 ⎦

77

⎡ −3 0 2⎤ 3.- Suma las dos matrices A = ⎢ ⎥ ⎣2 −5 1 ⎦ ⎡2 2 5 ⎤ A) ⎢ ⎥ ⎣ 4 0 2⎦

⎡4 2 5 ⎤ B) ⎢ ⎥ ⎣ 4 10 4 ⎦

⎡1 2 3 ⎤ B=⎢ ⎥ ⎣2 5 −3 ⎦

⎡ −2 2 5 ⎤ C) ⎢ ⎥ ⎣ 4 0 −2⎦

⎡ −4 2 5 ⎤ D) ⎢ ⎥ ⎣ 4 −10 −4 ⎦

⎡ −2 1 3 ⎤ 4.- Realiza la siguiente multiplicación ( −3 ) ⎢⎢ 2 4 −2⎥⎥ ⎢⎣ 5 1 0 ⎥⎦

A) − 3 −9 ⎤ ⎡ 6 ⎢ −6 −12 6 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ −15 −3 0 ⎥⎦

⎡ −5 −2 0 ⎤ B) ⎢⎢ −1 1 −5 ⎥⎥ ⎣⎢ 2 −2 −3 ⎦⎥

5.-

⎡ 6 3 9⎤ C) ⎢⎢ 6 12 6 ⎥⎥ ⎢⎣15 3 0 ⎥⎦

Realiza la multiplicación ⎡ 2 1⎤ ⎡1 −1 0 1⎤ A = ⎢⎢ 1 0 ⎥⎥ B = ⎢ ⎥ ⎣2 1 2 0 ⎦ ⎢⎣ −1 2⎥⎦

⎡ 4 1 2 2⎤ A) ⎢⎢1 1 0 1 ⎥⎥ ⎢⎣3 3 4 1⎥⎦

⎡ 4 3 2 2⎤ B) ⎢⎢1 1 0 1 ⎥⎥ ⎢⎣5 3 4 1 ⎥⎦

de

las

⎡5 2 0 ⎤ D) ⎢⎢ 1 1 5 ⎥⎥ ⎢⎣5 2 3 ⎥⎦

siguientes

⎡4 3 2 2 ⎤ C) ⎢⎢1 −1 0 1 ⎥⎥ ⎢⎣5 3 4 −1⎥⎦

matrices

D) ⎡ 4 −1 2 2 ⎤ ⎢1 −1 0 1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣3 3 4 −1⎥⎦

⎡ 6 4⎤ 6.- Encuentra el determinante de la siguiente matriz A = ⎢ ⎥ ⎣ −2 5 ⎦ A) det ( A ) = −38

B) det ( A ) = 38

C) det ( A ) = −22

D) det ( A ) = 22

⎡ 5 −1 −6 ⎤ 7.- Encuentra el determinante de la siguiente matriz B = ⎢⎢ −2 5 3 ⎥⎥ ⎢⎣ 3 4 2 ⎥⎦

A) 57

78

B) 123

C) 133

D) 115

4 −2 0 ⎤ ⎡0 ⎢ −3 3 −1 2 ⎥ ⎥ 8.- Encuentra el determinante de la siguiente matriz C = ⎢ ⎢0 6 0 0⎥ ⎢ ⎥ ⎣ 5 −6 −5 −4 ⎦ A) −24

B) 12

C) 24

D) −12

9.- Encuentra la solución del siguiente sistema de ecuaciones

A)

x = −2 y = −1

B)

x=2 y = −1

C)

x = −2 y =1

7 x − 15 y = 1 − x − 6y = 8

D)

x=2 y =1 x + y + z = 11

10.- Encuentra la solución del siguiente sistema de ecuaciones x − y + 3z = 13 2 x + 2y − z = 7 x=4 A) y = 2 z=5

x = −2 B) y = −4 z=5

x=2 C) y = 4 z=5

x = −2 D) y = 4 z=5

BIBLIOGRAFÍA

1. Lardner, Robin W., Matemáticas Aplicadas, México, Prentice Hall, 1987 2. Oteyza, Elena, Temas Selectos de Matemáticas, México, Prentice Hall, 1998 3. Becerra, José, Temas Selectos de Matemáticas, México, UNAM, 2005 4. Murray R. Spiegel, Algebra Superior. México, McGraw-Hill, 1970.

5. Flores Meyer, Marco A, Temas Selectos de Matemáticas. México, Progreso, 1981.

6. Lehmann, Charles, Álgebra. México, Limusa, 2003.

7. Rider, Paul. Algebra. México, Herrero, 1989.

79

80

Examen

Tipo A

1.- El enunciado del teorema fundamental del álgebra es: A) La suma de un número racional y un número irracional es irracional.

B) Todo número natural que no sea uno se puede escribir como producto de un conjunto único de números primos.

C) Una ecuación entera f(x)=0 tiene por lo menos una raíz real o compleja D) Sea f una función continua en [a,b] y sea F una primitiva cualquiera de f en él, entonces….

2.- Una de las raíces de la ecuación A) -5 B) 5

x 3 + 2 x 2 − 23 x − 60 = 0 C) 3

3.- El conjunto solución, de la desigualdad B) ( −∞, −4 ) ∩ ( −3, ∞ ) A) ( 3,4 ) D) [3,4]

es: D) 4

x 2 − 7 x + 12 < 0 es: C) ( −∞, −4] ∩ [ −3, ∞ )

4.- La solución del siguiente sistema de inecuaciones

x + y ≤1 − x + 2y ≥ 4

está:

A) en el 1° y 2° cuadrante B) en el 2° y 3° cuadrante C) en el 3° y 4° cuadrante D) en el 4° y 1° cuadrante 5.-¿De cuántas maneras se pueden sentar 5 personas alrededor de una mesa redonda? a)12 b)24 c)120 D) 60 6.- Los primeros tres términos de ( x + 1)−1 son: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 B) + 2 − 3 C) − 2 + 3 A) + 2 + 3 x x x x x x x x x 7.- El 4° término de ( 2 x − 3 ) A) C)

135 3

128 x 2 x 135 128 x 2 x

−

1 2

B) −

D) −

1 1 1 − 2− 3 x x x

es: 135

128 x 3 2 x 135 D) − 128 x 2 x

81

8.- Si una acción puede ser efectuada de m maneras diferentes y una segunda acción puede ser realizada en m formas distintas, se concluye que el número total de maneras diferentes en que puede realizarse la primera acción seguida por la segunda es igual a: m A) m + n B) C) m − n D) (m )(n ) n 9.- Dado los conjuntos U={1,2,3,4,5,6,7}, A ={1, 2, 3, 4, 5} y B ={3, 4, 5, 6, 7} entonces ( A ∩ B) ∪ B ' es: A) U B) A C) B D) A’ 10.- El conjunto solución de A = { x / x 2 + 4 = 0} A) {-2,2} B) {2} C) {-2i,2i}

es: D) {2i}

11.- El monto compuesto al final de 5 años de $1000 invertidos a una tasa del 6% anual con capitalización trimestral es: A) $3491.65 B) $1250.7 C) $1346.85 D) $1356.9 12.- Hallar el valor de k para que al dividir 4 x 3 + kx 2 − 2 x + 5 entre x − 1 , el residuo sea 5: a) k = 12

B) k = −12

C) k = - 2

D) k = 21

13.- Dos de las raíces de la ecuación 2 x 4 − x 3 − 3 x 2 − 31x − 15 = 0 , son: 1 1 1 1 B) −3, − C) 3, − D) −3, A) 3, 2 2 2 2 1 14.- Si las raíces de un polinomio P(x) son −2, , −2 ; entonces el polinomio es: 3 3 2 3 B) 3 x + 11x 2 + 8 x + 4 = 0 A) 3 x + 11x + 8 x − 4 = 0 D) 3 x 3 − 11x 2 − 8 x − 4 = 0 C) 3 x 3 − 11x 2 + 8 x − 4 = 0 ⎛3 ⎛ x + 1 2y − 4 ⎞ 15.- Si A = ⎜ ⎟ y B=⎜ ⎝2 ⎝ 3w − 1 4z + 2 ⎠ matriz nula, entonces la matriz A es: ⎛ −6 10 ⎞ A) A = ⎜ ⎟ ⎝ −4 − 2 ⎠

82

⎛ −7 7 ⎞ B) A = ⎜ ⎟ ⎝ 1 − 1⎠

− 5⎞ ⎟ y A+2B da como resultado la 1⎠ ⎛ −3 C) A = ⎜ ⎝ −2

− 5⎞ ⎟ −1 ⎠

⎛0 D) A = ⎜ ⎝0

0⎞ ⎟ 0⎠

⎛ −1 4 ⎞ ⎜ ⎟ 0 1⎟ y B=⎜ , ⎜ 5 − 3⎟ ⎜ ⎟ ⎝ −2 0 ⎠

16.- Si A = (1 2 3 4 )

⎛ −1 4 ⎞ ⎜ ⎟ 0 2⎟ ⎜ A) ⎜ 15 − 9 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ −8 0 ⎠

por tanto AB es:

⎛ −1 C) ⎜ ⎝ 4

B) ( 6 − 3 )

0 5 − 2⎞ ⎟ D) indefinida 1 −3 0 ⎠

17.- Dada la suma de 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n , la expresión que nos permite calcular la suma para n términos es: A)

n(n − 1) 2

18.- La expresión

B)

n(n + 1) 2

C) (n )(n )

D)

n(3n − 1) 2

n2 (n + 1)2 , nos da la suma de la expresión: 4

A) 1 + 2 + 3 + 4 + ... n C) (1 + 2 + 3 + 4 + ... + n )3

B) 12 + 32 + 52 + 72 + ... + (2n − 1)2 D) 13 + 23 + 33 + 43 + ... + n 3

19.- La forma rectangular del número 2cis 450° es: A) 2

B) 2i

20.- El resultado de A) −20 − 21i

(5 − 2i )2 i

B) 20 + 21i

C) – 2i

D) 2+2i

C) −21 − 20i

d 21 + 20i

es:

83

84

Examen

Tipo B

1.- Si (x-2) es un factor de f ( x ) = 2 x 4 − 5 x 3 + 4 x 2 + kx + 2 , el valor de k es: A) 2 B) 5 C) – 4 D) – 5 2.- La ecuación con coeficientes reales que tiene por raíces 2i y 3 (de multiplicidad 2) es: A) x 4 − 6 x 3 + 13 x 2 − 24 x + 36 = 0 C) x 3 − 7 x 2 + 16 x − 12 = 0

B) x 4 + 6 x 3 + 5 x 2 − 24 x − 36 = 0 D) x 3 − 3 x 2 + 4 x − 12 = 0

3.- El conjunto solución de la desigualdad A) ( −∞,4 ) ∪ ( 4, ∞ )

B) ( −∞,0) ∪( 4,∞)

4.- Sean a, b, c, ∈ ℜ y A) a + c > b + c

x < 0 es: x−4

C) ( 4, ∞ )

D)

( 0,4 )

c < 0 . Si a < b , la expresión correcta es: a b a b B) ac < bc C) D) > < c c c c

5.- Las diferentes formas de escoger 3 cursos diferentes de 8 que hay para elegir son: A) 336

B) 56

C) 24

D) 112

6.- ¿De cuántas formas se pueden sentar 8 personas en una banca?

A) 40300

B) 5040

C) 40320

D) 20160

7.- El coeficiente de x 7 y 4 en el desarrollo del binomio ( x + y )11 es: A) 330

B) 165

8.- El resultado de

(4 + 2i )2 es: i

A) −16 − 12i

B) 16 − 12i

C) 55

D) 462

C) −12 − 16i

D) 12 − 16i

9.- El resultado de (3 + 4i )3 en forma polar es: B) 125cis59.03 C) 25cis118.06 A) 5cis 59.03

D) 125cis159.39

10.- El monto de $2200 al final de 4 años, cuando se invierte a una tasa de interés compuesto del 6% anual capitalizando intereses semestralmente es: A) $2 476.12

B) $2 478.28

C) $3 506.46

D) $2 786.89

85

11.- Se solicitó un préstamo bancario para adquirir un automóvil por la cantidad de $100,000 a una tasa de interés del 24% anual. ¿Qué tiempo tuvo que transcurrir para que su deuda se transformara en $200,000 sin haber efectuado ningún pago?

A) 3.22 años

B) 2.22 años

C) 4.22 años

12.- Sean U = {0,2,4,6,8} A = {4,8} (B − A)'∩ C ' es el conjunto: A) φ

B) {6}

B = {0}

D) 1.22 años

C = {0,2,4,8} , entonces

C) {0,6}

D) {2, 4, 8}

⎛ −2 − 1 ⎞ 13.- Si A = ⎜ ⎟ su matriz inversa es: ⎝ 7 3⎠ ⎛ 1 ⎞ ⎜ − 2 − 1⎟ A) ⎜ ⎟ ⎜ 1 1⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 7 3⎠

⎛ 2 1⎞ B) ⎜ ⎟ ⎝ − 7 − 3⎠

⎛ 3 1⎞ C) ⎜ ⎟ ⎝ −7 − 2 ⎠

⎛ 2 −1 3 ⎞ 14.- Dadas las matrices A = ⎜ ⎟ y ⎝0 1 − 2⎠

A) indefinido

⎛ 2 − 6⎞ B) ⎜ ⎟ ⎝1 −1 ⎠

15.- El valor de n de la expresión A) n = 4

B) n = 16

⎛ 1 ⎞ 1⎟ ⎜ 2 D) ⎜ ⎟ ⎜− 1 − 1 ⎟ ⎜ ⎟ 3⎠ ⎝ 7

2⎞ ⎛ 1 B=⎜ ⎟ , el producto BA es: ⎝ −3 − 4 ⎠

⎛ 2 1 − 1⎞ C) ⎜ ⎟ ⎝ −6 − 1 − 1 ⎠

⎛1 3 3 ⎞ D) ⎜ ⎟ ⎝ 2 − 4 6⎠

(n + 2)! = 18 , es: (n + 1)!

C) n = 15

D) n = 12

⎧1 ⎪ x + 3y > 6 16.- La solución del sistema de desigualdades ⎨ 2 , esta: ⎪⎩ y < 3 x − 4 A) en el 1° y 2° cuadrante C) en el 3° y 4° cuadrante

B) en el 2° y 3° cuadrante D) en el 1° y 4° cuadrante

17.- El conjunto solución de la desigualdad x 2 + x − 6 > 0 es: A) ( −3,2)

86

B) (3, ∞ )

C) ( −∞, −2) ∪ (3, ∞ ) D) ( −∞, −3) ∪ (2, ∞ )

7

⎛ 3 1 ⎞ − i ⎟ es: 18.- El resultado de ⎜⎜ − 2 2 ⎟⎠ ⎝ A) −

3 1 − i 2 2

B)

3 1 − i 2 2

19.- La suma de los n términos de

A)

n (n )(n + 1)

20.- La expresión

B)

C)

3 1 + i 2 2

D) −

3 1 + i 2 2

1 1 1 1 + + ... + es: (1)(2) (2)(3) (3)(4) (n )(n + 1)

n (n + 1)

C)

n (n − 1)

D)

n (n + 2)

n (n + 1)(2n + 7) , nos da la suma de: 6

A) (1)(2) + (2)(3) + (3)(4)... + (n )(n + 1) B) (1)(3) + (2)(4) + (3)(5)... + ( n )(n + 2) C) (2)(5) + (3)(6) + (4)(7)... + (n + 1)(n + 4) D) (1)(2)(3) + (2)(3)(4) + (3)(4)(5)... + (n )(n + 1)(n + 2)

87

88

Soluciones a Ejercicios Propuestos Unidad I Conjuntos, lรณgica e inducciรณn matemรกtica 1C 2A 3.1 D 9.1 C 9.2 A 9.3 C

3.2 C 3.3 B 3.4 B 4 D 9.4 D

5B

6A

7B

8B

Unidad II Anรกlisis combinatorio 1A

2B

3C

4D

5C

6B

7A

8C

9B

10 A

Unidad III Ecuaciones e inecuaciones 1A 11 B

2A 12 C

3B 13 B

4C 14 A

5A 15 D

6A 16 A

7B

8D

9A

10 C

Unidad IV Matrices y determinantes 1B 6B

2A 7D

3C 8A

4A 9A

5D 10 C

Examen Tipo A 1C 11 C

2B 12 C

3A 13 A

4B 14 A

5B 15 A

6C 16 B

7A 17 B

8D 18 D

9B 19 B

10 C 20 A

3D 13 C

4C 14 C

5B 15 B

6C 16 D

7A 17 D

8B 18 A

9D 19 B

10 D 20 B

Examen Tipo B 1 D 11 A

2 A 12 B

89

Universidad Nacional Autónoma de México

UNAM

Escuela Nacional Preparatoria

Dr. José Narro Robles Rector Dr. Sergio M. Alcocer Martínez de Castro Secretario General

SECRETARÍA ACADÉMICA

Mtro. Juan José Pérez Castañeda Secretario Administrativo

COLEGIO DE MATEMÁTICAS

Lic. Luis Raúl González Pérez Abogado General

Mtro. Oscar Patricio García Romero Secretario Administrativo Lic. Juan Francisco Arellano Heredia Secretario de Difusión Cultural

Dirección de Planteles Dra. Ma. de Lourdes Pastor Pérez Plantel 1 " Gabino Barreda " Lic. Antonio Meza Plantel 2 " Erasmo Castellanos Quinto " Lic. Ligia Kamss Paniagua Plantel 3 " Justo Sierra " Lic. Agustín Sánchez Orendáin Plantel 4 " Vidal Castañeda y Nájera " C.D. Mario Enrique Montante García Núñez Plantel 5 " José Vasconcelos " Mtra. Silvia Estela Jurado Cuéllar Plantel 6 " Antonio Caso " Lic. Leopoldo Martínez González Plantel 7 " Ezequiel A. Chávez " Ing. Raymundo Velázquez Martínez Plantel 8 " Miguel E. Schulz " Ing. Leonardo Arturo García Reséndiz Plantel 9 " Pedro de Alba "

ÁREA 1 FÍSICO-MATEMÁTICAS Sexto Año Clave: 1710 Plan: 96

Clave: 1710 Plan: 96

Ing. Humberto Medrano Cruz Secretario Académico

Temas Selectos de Matemáticas

L.A. José Luis Reyes Jiménez Secretario General

ÁREA 1 FÍSICO-MATEMÁTICAS

Lic. Ma. de Lourdes Sánchez Obregón Directora General

COLEGIO DE MATEMÁTICAS

DGENP

Elaboró: María Elizabeth Herrera Islas Julio Hernández Hernández Sergio López Luna

GUÍA DE ESTUDIO

Temas Selectos de Matemáticas