Analisis cuantico del pozo cuadrado doble y algunas aplicaciones

Universidad Nacional San Cristobal de Huamanga Facultad de Ingenieria de Minas Geologia y Civil

Analisis Cuantico del Pozo Cuadrado Doble y algunas Aplicaciones TESIS PARA OPTAR EL GRADO DE Licenciado en Ciencias Físico matemáticas MENCION: FISICA

Presentado por: Bach. Liendro Arcoccaulla Collado Asesor: Mg. Walter Mario Solano Reynoso

AYACUCHO-PERU 2019

A mis padres y hermanos

i

Agradecimientos A mi asesor el Mg. Walter Mario Solano Reynoso por la confianza y el apoyo incondicional que me permitió desarrollar esta aventura intelectual.

A mis amigos entrañables que siempre estuvieron para apoyarme en los momentos difíciles A mis docentes que me inculcaron el sacrificio y el trabajo para conseguir logros importantes, en especial al Mg. Abrahan Aslla Quispe.

A mi madre Alejandra, a mis hermanos Roel, Betz, Binet a mi compañera de la vida Kimberly.

A la comunidad científica de Físicos en todo el mundo que me permitió acceder a información valiosa y libre para desarrollar el presente trabajo.

Liendro.

ii

Resumen En el presente trabajo se exponen las ideas útiles de los modelos de pozos potenciales,tales como pozo cuadrado finito,pozo cuadrado doble,tanto en una dimension como en dos y tres dimensiones por tener un gran interés académico y aplicativo. Un pozo particularmente que se desarrollara es el de pozo doble potencial pues cuenta con muchas aplicaciones y sigue siendo un tema de investigación en la actualidad. Este modelo físico requiere ser bien estudiada y comprendida desde el punto de vista cuantico escudriñar las soluciones de scrodinger por regiones con condiciones de frontera es decir analiticamente y luego aproximarnos a las soluciones de scrodinger numericamente por el metodo de difrencia finitas y de mayor interés con el método numerov porque se ajusta con buena presicion en la busqueda de los eigenvalores y sus correspondiente eingenestados por el que se propone el presente trabajo a contribuir en la formación académica y la investigacion de la fisica.

Palabras clave:

iii

Abstract

iv

Índice general

1. Introducción

1

1.1. Ecuación de Schrodinger en la representación |ri

. . . . . . . . . . . .

2. METODOLOGIA

7

2.1. Pozo potencial cuadrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2.2. Doble pozo de potencial finito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

2.3. Método de Numerov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

3. RESULTADOS Y DISCUSION

22

3.1. Pozo potencial cuadrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

3.2. Doble pozo de potencial finito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

3.3. Oscilador armónico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

3.4. Atomo de nitrogeno en el amoniaco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

4. Conclusiones

.

3

32

Bibliografía

33

v

A. Relaciones importantes

34

vi

Capítulo 1 Introducción Los grandes y rápidos avances científicos y tecnológicos ocurridos en el último siglo, muestran que cada vez la comunidad cientifica mundial requiere entender en comportamiento de los materiales a partir de sus estructura atómica, en ese sentido el análisis de los sistemas atómicos tiene una gran importancia tanto en el ambito académico como tecnológico, porque permite entender mejor las propiedades mecánicas, eléctricas y magnéticas de los materiales. El funcionamiento de los dispositivos cuánticos utilizados para aplicaciones prácticas se encuentran constituidos por un conjunto de muchas partículas, siendo el tratamiento del problema bastante complejo debido a la gran cantidad de variables que contiene el hamiltoniano del sistema y la complejidad que presenta resolver las ecuaciones de Schrodinger [1]. Con el fin de simplificar dichos problemas utilizamos aproximaciones, siendo las mas útiles las aproximaciones al estudio de una sola partícula.

En la mecánica cuántica existen muy pocos sistemas cuánticos que pueden ser analizados completamente de manera analíticamente, tal es el caso de la partícula libre, el pozo cuántico infinito, la barrera de potencial, el oscilador armómico y el átomo de hidrogeno [2, 3], en cambio sistemas como el caso del pozo cuadrado finito y otros muchos no tienen una solución que sea totalmente analítica, en dichos casos el estudio se puede aproximar utilizando sistemas conocidos o en los casos que sea posible utilizar métodos de solución numérica, como los que utilizamos en el presente trabajo con la finalidad de determinar los niveles de energía y las correspondientes eigenfunciones asociadas.

El estudio de los pozos potenciales unidimensionales, como es el caso del pozo 1

cuadrado finito y del pozo de potencial, tienen interés académico pues ellos pueden servir como punto de partida para entender sistemas cuánticos mas complejos, que en general constituyen sistemas de muchas partículas. Analizaremos principalmente los niveles de energía y eigenfunciones del estado fundamental y los primeros niveles excitados, debido a que las propiedades de un material, como es el caso de la conductidad eléctrica y térmica estan relacionados a los electrones al rededor del nivel de energía de Fermi. En el caso del pozo doble finito es posbile encontrar también el efecto túnel, que puede representar por ejemplo procesos de inversion de dirección del momento dipolar en materiales polarizados, la solución analítica de las eigenfunciones y sus correspondientes niveles de energía no es posible, por tanto para este problema utilizaremos una solución mixta, en el cual utilizamos una solución analítica para las funciones de onda en cada región, luego usamos las condiciones de contorno para determinar una ecuación trascendental, a partir del cual mediante una solución numérica determinamos los niveles de energía, para finalmente calcular las correspondientes eigenfunciones. Por otro lado utilizamos también un método completamente numérico, como es el caso del método de Numerov [4, 5, 6], por ser un método con un error de orden seis O6 (h), siendo por tanto un método mas eficiente que el método de diferencias finitas en el cual la segunda derivada tiene un error de orden dos O2 (h). Como posibles aplicaciones de los sistemas estudiados discutiremos sistemas de semiconductores magnéticos.

La ecuación de Schrödinger que describe el comportamiento de partículas cuánticas es una ecuación diferencial parcial de autovalores para lo cual existe teorías y técnicas que permiten resolver el problema de autovalores en la representación |ri y si no es posible encontrar soluciones analíticas, se recurren a métodos numéricos. No olvidar que el problema es determinar los autoestados ϕn asociados a los valores de En llamados autovalores del sistema físico los cuales generalmente se determinan usando las condiciones de frontera del problema, este caso el pozo cuadrado finito, y el pozo doble de potencial. La función de onda deben ser continuas y pertenecer al espacio de funciones cuadrado integrables L2 , apesar de que los potenciales V (r) no lo sean y también ovbiamente, dichas funciones de onda deben ser finitas. En cuanto a las derivadas de la función de onda, estas deben deben ser finitas y continuas siempre que el potencial sea finito, como es el caso de los pozos finitos estudiados, cuando el potencial es continuo como en el caso del oscilador armónico o el átomo de hidrógeno, en cambio puede presentar discontinuidades cuando el potencial tiene singularidades del tipo de las funciones delta de Dirac.

El problema de la investigación de la presente tesis radica en analizar las 2

soluciones de la ecuación de Schrödinger para una partícula confinada en un pozo de potencial unidimensional, condición que es satisfecha bajo la condición de que la energía E de la partícula sea menor que el potencial V (x) para todo x fuera de la región de confinamiento (es decir E < V (x)), por el contrario en las regiones de confinamiento donde V (x) puntos de equilibrio estable tenemos que E > V (x), bajo estas condiciones podemos asegurar siempre que ϕ(x) → 0 cuando x → ±∞. En el caso del pozo cuadrado finito y el pozo doble usamos condiciones de frontera para determinar una ecuación trascendental que permite determinar los niveles de energía y sus correspondientes funciones de onda, utilizamos también el método numérico de Numerov para resolver todos los casos considerados.

La vida moderna va ligada a la computación así la ciencia de la ingeniería, economía, sociología, medicina entre otras ramas del saber humano, están siendo soportados por las herramientas que entrega el software. La resolucón de problemas físicos por medio de la computación, es a menudo la oportunidad más importante para los estudiantes y investigadores de observar y explorar en el mundo real las aplicaciones fundamentales de las teorías aprendidas cada día, gracias al desarrollo de nuevas herramientas de software y programas especializados es posible resolver problemas cada vez mas complejos y extensos.

1.1.

Ecuación de Schrodinger en la representación |ri

Para describir el comportamiento de las partículas cuánticas es necesario considerar el sexto postulado de la mecanica cuántica [2], que proporociona la evolucion temporal del vector de estado de un sistema dada por:

i~

d|ϕ(t)i = H(t)|ϕ(t)i dt

(1.1)

A partir de las consideraciones clásicas el hamíltoniano se expresa como la suma de energía cinética y potencial, tal como

P2 + V (R, t) (1.2) 2m donde P y R son los operadores de momento lineal y posición respectivamente. Con H(t) =

3

H(t) dada por la (1.2) la ecuación (1.1) se escribe en la representación |ri como:

i~

dhx|ϕ(t)i P2 = hr| + V (R, t)|ϕ(t)i dt 2m

(1.3)

Teniendo en cuenta que:

hr|ϕ(t)i = ϕ(r, t) hr|P |ϕ(t)i =

~ ~ ∇hr|ϕ(t)i = ∇ϕ(r, t) i i

(1.4) (1.5)

y

~ ~ ∇ · ∇ hr|ϕ(t) = −~2 ∇2 ϕ(r, t). hr|P |ϕ(t)i = i i 2

(1.6)

Por otro lado, por ahora aceptaremos que también se satisface la siguiente relación V (R, t)|ri = V (r, t)|ri

(1.7)

y tambien sabemos que V (R, t) es hermitiano, entonces se tiene

hr|V (R, t)|ϕ(t)i = hr|V (R, t)|ϕ(t)i = V (r, t)hr|ϕ(t)i = V (r, t)ϕ(r, t)

(1.8)

reemplazando las dos ultimas ecuaciones en la ecuacion (1.1) de la evolución temporal del vector de estado se obtiene −

~2 2 ∂ϕ(x, t) ∇ ϕ(x, t) + V (x, t)ϕ(x, t) = i~ 2m ∂t

(1.9)

la cual viene hacer una ecuacion de Schrodinger en la representacion |ri.

Cuando el hamiltoniano H no depende del tiempo, el sistema es conservativo y |ϕ(t)i se expresa como una combinacion lineal de los elementos de la base del hamiltoniano como:

4

|ϕ(t)i =

X

t

Cn,τ e−iEn ~ |ϕn,τ i,

(1.10)

n,τ

donde se considera que t0 = 0. Reemplazando (1.10) en la ecuacion de Schrodinger de la evolucion temporal se obtiene

i~

t d|ϕ(t)i −i X = i~ Cn,τ (0)En |ϕn,τ i e−iEn ~ dt ~ n,τ

(1.11)

Siendo H independiente del tiempo definido de manera análoga a (1.2) como :

P2 + V (R) (1.12) 2m donde la energia potencial V (R) no depende del tiempo. Escribiendo nuevamente ambos lados de la ecuación de la evolucion temporal de Schrodinger tenemos H=

i~

t iX d|ϕ(t)i = i~ Cn,τ (0)En |ϕn,τ ie−iEn ~ dt ~ n,τ

(1.13)

y (

X t P2 P2 + V (R))|ϕ(t)i = Cn,τ (0)e−iEn ~ ( + V (R))|ϕn,τ i 2m 2m n,τ

(1.14)

luego de igualar las ecuaciones (1.13) y (1.14) y llevar todos los términos al segundo miebro se obtiene:

X ~2 2 −iEn ~t ∇ hr| + V (r)hr| − En hr| |ϕn,τ i = 0 (1.15) Cn,τ (0)e − 2m n,τ por la independencia lineal de los autovectores del hamiltoniano y considerando que hr|ϕn,τ i = ϕn,τ (r) se tiene: −

~2 2 ∇ ϕn,τ (r) + V (r)ϕn,τ (r) − En ϕn,τ (r) = 0 2m

(1.16)

de donde se obtiene la siguiente ecuacion: −

~2 2 ∇ ϕn,τ (r) + V (r)ϕn,τ (r) = En ϕn,τ (r) 2m

llamada ecuacion de Schrodinger independiente del tiempo.

5

(1.17)

Para una partícula que se encuentra confinada en un pozo de potencial unidimensional definido por V (x) , la ecuación (1.17) se escribe como: −

~2 d2 ϕn (x) + V (x)ϕn (x) = Eϕn (x) 2m dx2

(1.18)

Esta última ecuación se puede reescribir también en la forma: d2 ϕn (x) 2m + 2 (E − V (x)) ϕn (x) = 0 dx2 ~

(1.19)

o en la forma de la ecuación del oscilador armónico simple d2 ϕn (x) + k 2 ϕn (x) = 0 dx2 con k2 =

2m (E − V (x)) ~2

(1.20)

(1.21)

En el capítulo 2 describimos la metodología utilizada para la solución de la ecuación de Schrodinger (1.18) tanto desde el punto de vista analítico usando condiciones de frontera y el punto de vista numérico usando el método de Numerov en su forma matricial.

En el capítulo 3 presentamos los resultados obtenidos con las discusiones correspondientes, usando soluciones con condiciones de frontera y el método numérico para los casos del pozo cuadrado finito y el pozo doble finito. Para el caso del oscilador armónico y el átomo de nitrogeno en el amoniaco [7] las soluciones presentadas son unicamente numéricas.

Finalmente en el capítulo 4 presentamos las principales conclusiones a las cuales llegamos luego del desarrollado del trabajo.

6

Capítulo 2 METODOLOGIA

2.1.

Pozo potencial cuadrado

Analizamos el comportamiento de una partícula de masa m confinada dentro de un pozo potencial cuadrado definido como:

   V0 , x < 0 V (x) = 0, 0 ≤ x ≤ a   V0 , x > a

(2.1)

cuya representación gráfica se muestra en la figura 2.1, siendo V0 la profundidad del pozo.

V (x) V0

a

0

x

Figura 2.1: Doble pozo potencial finito

7

De acuerdo a los valores que puede tener la energía E de la partícula, tenemos que:

Cuando E > V0 , tenemos que en la ecuación (1.21) k 2 > 0 de modo que la ecuación de Schrodinger (1.20) tiene soluciones oscilatorias representadas por ondas planas para todo x. Siendo en ese caso la partícula una partícula libre.

Cuando E < V0 , tenemos que en las regiones x < 0 y x > a en la ecuación (1.21) k 2 < 0, teniendo la ecuación (1.20) soluciones reales, y en la región 0 ≤ x ≤ a tenemos k 2 > 0 teniendo la ecuación (1.20 soluciones oscilatorias.

Con la finalidad de garantizar que la partícula se encuentre confinada dentro del pozo cuadrado asumimos en el presente análisis E < V0 ~2 d2 ϕ + V ϕ = Eϕ 2m dx2

(2.2)

En las regiones (I) x < 0 y (II) x > a la ecuación de Schrodinger (1.19) se escribe como:

−

d2 ϕ 2m + 2 (E − V0 ) ϕ = 0 dx2 ~

(2.3)

Como E < V0 asumimos que − k12 =

2m (E − V0 ) ~2

(2.4)

r

2m (E − V0 ) ~2

(2.5)

es decir k1 =

Siendo, las soluciones de la ecuación (2.3) dados como

ϕ1 (x) = A1 ek1 x + B1 e−k1 x ,

ϕ3 (x) = A3 ek1 x + B3 e−k1 x , 8

para x < 0 (Región I)

(2.6)

para x < a (Región III)

(2.7)

En la región II, definida por 0 ≤ x ≤ a la ecuación de Schrodinger (1.19) es dado como:

d2 ϕ 2m + 2 Eϕ = 0 dx2 ~ Considerando k2 = es decir

2m E ~2

r k=

2m E ~2

(2.8)

(2.9)

(2.10)

Siendo k > 0, las soluciones de la ecuación (2.8) son oscilatorias, cuyas soluciones se pueden escribir como:

para 0 ≤ x ≤ a (Región II)

ϕ2 (x) = A2 cos(kx) + B2 sen(kx),

(2.11)

Con la finalidad de garantizar que la partícula se encuentre confinada dentro de la región II, tenemos que ϕ(x) → 0 cuando x → ±∞, debemos tener B1 = 0 y A3 = 0, quedando la función de onda de la forma

 k1 x  x<0  A1 e , ϕ(x) = A2 cos(kx) + B2 sen(kx), 0 ≤ x ≤ a   B3 e−k1 x , x>a

(2.12)

Aplicando las condiciones de continuidad de ϕ(x) en x = 0 y x = a tenemos

A1 = A2

(2.13)

B3 e−k1 a = A2 cos(ka) + B2 sen(ka)

9

(2.14)

De la continuidad de las derivadas de ϕ(x) en x = 0 y x = a tenemos A1 k1 = B2 k

(2.15)

B3 k1 e−k1 a = −A2 k sen(ka) + B2 k cos(ka)

(2.16)

De la ecuación (2.14) tenemos B2 = A1

k1 k

(2.17)

Sustituyendo A2 y B2 en la ecuación (2.15) encontramos

B3 = A1

ek1 a (k cos(ka) + k1 sen(ka)) k

(2.18)

Reemplazando A2 , B2 y A3 en la ecuación (2.16) se tiene

A1

ek1 a (k cos(ka) + k1 sen(ka)) k1 e−k1 a = −A1 k sen(ka) + A1 k1 cos(ka) k

(2.19)

Simplificando resulta

tan(ka) =

2kk1 − k12

k2

(2.20)

Es decir la ecuación trascendental para determinar los eigenvalores de energía es:

k tan(ka) =

q

2m V − k2 ~2 0 k 2 − ~m2 V0

10

(2.21)

V (x) V0 V1

0

a a+b

2a + b

x

Figura 2.2: Pozo potencial cuadrado finito

2.2.

Doble pozo de potencial finito

En esta sección analizamos el comportamiento de una partícula de masa m confinada dentro de un pozo potencial definido por:

  V0 ,       0, V (x) = V1 ,    0,     V, 0

x<0 0≤x≤a a<x<a+b a + b ≤ x ≤ 2a + b 2x + b > a

(2.22)

cuya representación gráfica con V1 < V0 se muestra en la figura 2.1.

Analizando los posibles valores que puede tener la energía E de la partícula, tenemos que:

Cuando E > V0 , tenemos que en la ecuación (1.21) k 2 > 0 de modo que la ecuación de Schrodinger (1.20) tiene soluciones oscilatorias representadas por ondas planas para todo x. Siendo en ese caso la partícula una partícula libre.

Cuando E < V 0, tenemos que en las regiones x < 0 y x > 2a + b en la ecuación (1.21) k 2 < 0, teniendo la ecuación (1.20) soluciones reales, en las regiones 0 ≤ x ≤ a y a + b ≤ x ≤ 2a + b tenemos k 2 > 0 teniendo la ecuación (1.20 soluciones oscilatorias. En la región a < x < a + b, si E < V1 < V0 tenemos k 2 < 0 con soluciones para (1.19) reales, en cambio si V1 < E < V0 tenemos k 2 > 0 con soluciones de (1.19) oscilatorias.

11

Con la finalidad analizar el estado fundamental y los primeros estados excitados de la partícula asumimos que E < V1 < V0

−

~2 d2 ϕ + V ϕ = Eϕ 2m dx2

(2.23)

En las regiones (I) x < 0 y (V) x > 2a + b la ecuación de Schrodinger (1.19) se escribe como:

d2 ϕ 2m + 2 (E − V0 ) ϕ = 0 dx2 ~

(2.24)

Como E < V0 asumimos que − k12 =

2m (E − V0 ) ~2

(2.25)

r

2m (E − V0 ) ~2

(2.26)

es decir k1 =

Siendo, las soluciones de la ecuación (2.24) dados como

ϕ1 (x) = A1 ek1 x + B1 e−k1 x ,

ϕ5 (x) = A5 ek1 x + B5 e−k1 x ,

para x < 0 (Región I)

(2.27)

para x < 2a + b (Región V)

(2.28)

En las regiones (II) 0 ≤ x ≤ a y (IV) a + b ≤ x ≤ 2a + b la ecuación (1.19) es dado como:

d2 ϕ 2m + 2 Eϕ = 0 dx2 ~ Considerando k2 =

2m E ~2

12

(2.29)

(2.30)

es decir

r k=

2m E ~2

(2.31)

Siendo k > 0, las soluciones de la ecuación (2.29) son oscilatorias, cuyas soluciones se pueden escribir como:

para 0 ≤ x ≤ a (Región II)

(2.32)

para a + b ≤ x ≤ 2a + b (Región IV)

(2.33)

ϕ2 (x) = A2 cos(kx) + B2 sen(kx),

ϕ4 (x) = A4 cos(kx) + B4 sen(kx),

En la región (III) a < x < a + b la ecuación (1.19) es dado como:

d2 ϕ 2m + 2 (E − V1 )ϕ = 0 dx2 ~

(2.34)

Como E < V1 asumimos que − k22 =

2m (E − V1 ) ~2

(2.35)

r

2m (E − V1 ) ~2

(2.36)

es decir k2 =

Siendo, las soluciones de la ecuación (2.34) dados como

ϕ3 (x) = A3 ek1 x + B3 e−k1 x ,

para a < x < a + b (Región III)

(2.37)

Con la finalidad de garantizar que la partícula se encuentre confinada dentro de la región II, tenemos que ϕ(x) → 0 cuando x → ±∞, debemos tener B1 = 0 y A5 = 0, quedando la función de onda de la forma

13

  A1 ek1 x ,       A2 cos(kx) + B2 sen(kx), ϕ(x) = A3 ek2 x + B3 e−k2 x ,    A4 cos(kx) + B4 sen(kx),     B e−k1 x , 5

x<0 0≤x≤a a<x<a+b a + b ≤ x ≤ 2a + b x > 2a + b

(2.38)

Aplicando las condiciones de continuidad de ϕ(x) en x = 0, x = a, x = a + b y x = 2a + b tenemos

A1 = A2

(2.39)

A2 cos(ka) + B2 sen(ka) = A3 e

k2 a

−k2 a

+ B3 e

(2.40)

A3 ek2 (a+b) + B3 e−k2 (a+b) = A4 cos(k(a + b)) + B4 sen(k(a + b)) B5 e−k1 (2a+b) = A4 cos(k(2a + b)) + B4 sen(k(2a + b))

(2.41) (2.42)

De la continuidad de las derivadas de ϕ(x) en x = 0, x = a, x = a + b y x = 2a + b tenemos

A1 k1 = B2 k

(2.43) k2 a

−A2 k sen(ka) + B2 k cos(ka) = A3 k2 e A3 k2 e

k2 (a+b)

−k2 (a+b)

− B3 k2 e

−k2 a

− B3 k2 e

= −A4 sen(k(a + b)) + B4 k cos(k(a + b))

(2.44) (2.45)

−B5 k1 e−k1 (2a+b) = −A4 k sen(k(2a + b)) + B4 k cos(k(2a + b))(2.46)

De la ecuación (2.43) tenemos B2 = A1

k1 k

(2.47)

Sustituyendo A2 y B2 en las ecuaciones (2.40) y (2.44) encontramos A3 y B3 en función de A1

14

A3 = A1

e−k2 a k(k1 + k2 ) cos(ka) + (−k 2 + k1 k2 ) sen(ka) 2kk2

(2.48)

B3 = A1

e−k2 a −k(k1 − k2 ) cos(ka) + (k 2 + k1 k2 ) sen(ka) 2kk2

(2.49)

Sustituyendo A3 y B3 en las ecuaciones (2.41) y (2.45) encontramos A4 y B4 en función de A1

1 A1 e−bk2 (−k cos[ak](k((−1 + e2bk2 )k1 + (1 + e2bk2 )k2 ) cos[(a + b)k]− 2k 2 k2 k2 ((1 + e2bk2 )k1 + (−1 + e2bk2 )k2 ) sen[(a + b)k]) + sen[ak](k((−1 + e2bk2 )k 2 −

A4 = −

(1 + e2bk2 )k1 k2 ) cos[(a + b)k] − k2 ((1 + e2bk2 )k 2 − (−1 + e2bk2 )k1 k2 ) sen[(a + b)k])) (2.50)

B4 = −

1 A1 e−bk2 (k cos[ak](k(−k1 + e2bk2 k1 k2 + e2bk2 k2 )+ 2 2k k2 k2 (k1 + e2bk2 k1 − k2 + e2bk2 k2 ) cot[(a + b)k]) − (k((−1 + e2bk2 )k 2 − (1 + e2bk2 )k1 k2 ) + k2 ((1 + e2bk2 )k 2 − (−1 + e2bk2 )k1 k2 ) cot[(a + b)k]) sen[ak]) sen[(a + b)k] (2.51)

Sustituyendo A4 y B4 en las ecuaciones (2.42) encontramos B5 en función de A1

15

1 A1 e2ak1 +bk1 −bk2 (cos[(2a + b)k](−k cos[ak](k((−1 + e2bk2 )k1+ 2k 2 k2 (1 + e2bk2 )k2) cos[(a + b)k] − k2 ((1 + e2bk2 )k1 + (−1 + e2bk2 )k2 ) sen[(a + b)k])+

B5 = −

sen[ak](k((−1 + e2bk2 )k 2 − (1 + e2bk2 )k1 k2 ) cos[(a + b)k] − k2 ((1 + e2bk2 )k 2 − (−1 + e2bk2 )k1 k2 ) sen[(a + b)k])) − (k cos[ak](k(−k1 + e2bk2 k1 + k2 + e2bk2 k2 )+ k2 (k1 + e2bk2 k1 − k2 + e2bk2 k2 ) cot[(a + b)k]) − (k((−1 + e2bk2 )k 2 − (1 + e2bk2 )k1 k2 )+ k2 ((1 + e2bk2 )k 2 − (−1 + e2bk2 )k1 k2 ) cot[(a + b)k]) sen[ak]) sen[(a + b)k] sen[(2a + b)k]) (2.52) Finalmente sustituyendo A4 y B4 y B5 en las ecuaciones (2.46) encontramos la ecuación trascendental que nos permitirá determinados los eigenvalores de energía. k cos[(2a + b)k](k cos[ak](k(−k1 + e2bk2 k1 + k2 + e2bk2 k2 )+ k2 (k1 + e2bk2 k1 − k2 + e2bk2 k2 ) cot[(a + b)k]) − (k((−1 + e2bk2 )k 2 − (1 + e2bk2 )k1 k2 ) + k2 ((1 + e2bk2 )k 2 − (−1 + e2bk2 )k1 k2 ) cot[(a + b)k]) sen[ak]) sen[(a + b)k]+ k(−k cos[ak](k((−1 + e2bk2 )k1 + (1 + e2bk2 )k2 ) cos[(a + b)k] − k2 ((1 + e2bk2 )k1 + (−1 + e2bk2 )k2 ) sen[(a + b)k]) + sen[ak](k((−1 + e2bk2 )k 2 − (1 + e2bk2 )k1 k2 ) cos[(a + b)k]− k2 ((1 + e2bk2 )k 2 − (−1 + e2bk2 )k1 k2 ) sen[(a + b)k])) sen[(2a + b)k]− k1 (cos[(2a+b)k](−k cos[ak](k((−1+e2bk2 )k1 +(1+e2bk2 )k2 ) cos[(a+b)k]−k2 ((1+e2bk2 )k1 + (−1 + e2bk2 )k2 ) sen[(a + b)k]) + sen[ak](k((−1 + e2bk2 )k 2 − (1 + e2bk2 )k1 k2 ) cos[(a + b)k]− k2 ((1+e2bk2 )k 2 −(−1+e2bk2 )k1 k2 ) sen[(a+b)k]))−(k cos[ak](k(−k1 +e2bk2 k1 +k2 +e2bk2 k2 )+ k2(k1 + e2bk2 k1 − k2 + e2bk2 k2 ) cot[(a + b)k]) − (k((−1 + e2bk2 )k 2 − (1 + e2bk2 )k1 k2 )+ k2 ((1+e2bk2 )k 2 −(−1+e2bk2 )k1 k2 ) cot[(a+b)k]) sen[ak]) sen[(a+b)k] sen[(2a+b)k]) = 0 (2.53)

2.3.

Método de Numerov

Utilizamos el método de Numerov para resolver numéricamente la ecuación de Schrodinger (1.18) por tener un error de aproximación de orden seis y ser un método mas eficiente que las diferencias finitas.

Con el fin de deducir las ecuaciones matriciales de la ecuación de Schrodinger por

16

el método de Numerov consideramos como punto de partida la expansión en serie de Taylor de la función de onda hasta el orden seis para ϕ(x + h) y ϕ(x − h).

ϕ(x + h) = ϕ(x) +

h dϕ(x) h2 d2 ϕ(x) h3 d3 ϕ(x) h4 d4 ϕ(x) h5 d5 ϕ(x) + + + + + O6 (h) 1! dx 2! dx2 3! dx3 4! dx4 5! dx5 (2.54)

ϕ(x − h) = ϕ(x) −

h dϕ(x) h2 d2 ϕ(x) h3 d3 ϕ(x) h4 d4 ϕ(x) h5 d5 ϕ(x) + − + − + O6 (h) 1! dx 2! dx2 3! dx3 4! dx4 5! dx5 (2.55)

Sumando las ecuaciones (2.54) y (2.55) tenemos

ϕ(x + h) + ϕ(x − h) = 2ϕ(x) + h2

2

ϕ(x + h) − 2ϕ(x) + ϕ(x − h) = h

Para determinar la forma

d2 ϕ(x) dx2

+

h2 d4 ϕ(x) 12 dx4

d2 ϕ(x) h4 d4 ϕ(x) + + O6 (h) dx2 12 dx4

(2.56)

d2 ϕ(x) h2 d4 ϕ(x) + dx2 12 dx4

(2.57)

+ O6 (h)

expresamos la ecuación de Schrodinger (1.18) en

d2 ϕ(x) + g(x)ϕ(x) = 0 dx2 Sumando y restando

h2 d4 ϕ(x) 12 dx4

(2.58)

se tiene

d2 ϕ(x) h2 d4 ϕ(x) h2 d4 ϕ(x) + + g(x)ϕ(x) − ϕ(x) = 0 dx2 12 dx4 12 dx4 d2 ϕ(x) h2 d4 ϕ(x) h2 d2 + + g(x)ϕ(x) − dx2 12 dx4 12 dx2

17

d2 ϕ(x) dx2

(2.59)

=0

(2.60)

Sustituyendo

d2 ϕ(x) dx2

de (2.58) en la ecuación (2.60)

d2 ϕ(x) h2 d4 ϕ(x) h2 d2 + + g(x)ϕ(x) − (−g(x)ϕ(x)) = 0 dx2 12 dx4 12 dx2

(2.61)

d2 ϕ(x) h2 d4 ϕ(x) h2 d2 + = −g(x)ϕ(x) − (g(x)ϕ(x)) dx2 12 dx4 12 dx2

(2.62)

Usando la expresión de la segunda derivada de una función f (x) en diferencias finitas de orden dos d2 f (x) f (x + h) − 2f (x) + f (x − h) = 2 dx h2

(2.63)

tenemos g(x + h)ϕ(x + h) − 2g(x)ϕ(x) + g(x − h)ϕ(x − h) d2 (g(x)ϕ(x)) = 2 dx h2

(2.64)

Reemplazando (2.64) en (2.62), teniendo en cuenta -que ϕ(x) = ϕi , ϕ(x + h) = ϕi+1 y ϕ(x − h) = ϕi−1 se obtiene

2

h2 −gi ϕi − 12

gi+1 ϕi+1 − 2gi ϕi + gi ϕi−1 h2

+ O6 (h)

(2.65)

h2 h2 h2 2 1 + gi+1 ϕi+1 = 2 − h gi + gi ϕi − 1 + gi−1 ϕi−1 + O6 (h) 12 6 12

(2.66)

ϕi+1 − 2ϕi + ϕi−1 = h

Factorizando términos comunes

Resultando la expresión para ϕi+1 como

2 1− ϕi+1 =

5h2 g 12 i

ϕi − 1 +

1+

h2 g 12 i−1

18

h2 g 12 i−1

ϕi−1

+ O6 (h)

(2.67)

La ecuación (2.67) se puede resolver numéricamente para determinar todos los ϕi , de manera similar que el método de Runge Kutta [8], si se tienen las condiciones iniciales ϕ0 = ϕ(x0 ) y ϕ1 = ϕ(x0 + h).

En nuestro caso debido a que en una condición de confinamiento de la partícula dentro del pozo de potencial tenemos que ϕ(x) → 0 cuando x → ±∞, reformulamos la ecuación (2.67) en forma matricial de la siguiente forma:

h2 5h2 h2 1 + gi+1 ϕi+1 = 2 1 − gi ϕi − 1 + gi−1 ϕi−1 12 12 12

(2.68)

De la ecuación (1.18) y (2.58) tenemos

g(x) = −

2m (E − V (x)) ~2

(2.69)

Luego en (2.68) con V (x) = Vi resulta

5h2 2m h2 2m h2 2m (E − Vi+1 ) ϕi+1 = 2 1 + (E − Vi ) ϕi − 1 − (E − Vi−1 ) ϕi−1 1− 12 ~2 12 ~2 12 ~2 Asociando todos los términos que contienen E −

~2 ϕi−1 − 2ϕi + ϕi+1 Vi−1 ϕi−1 + 10Vi ϕi + Vi+1 ϕi+1 ϕi−1 + 10ϕi + ϕi+1 + = E 2m h2 12 12 (2.70)

Siendo que para una solución numérica x no puede tener infinitos valores, consideramos que nuestra región de interés es x ∈ [x0 , xn ], el mismo que es particionado en n particiones discretas con tamaçnos de paso iguales, de modo que los los valores de x son representados por el vector fila (x0 , x1 , x2 , . . . , xn−1 , xn ) con sus correspondientes valores de funciones de onda dados por el vector fila (ϕ0 , ϕ1 , ϕ2 , . . . , ϕn−1 , ϕn ). Además debido al confinamiento de la partícula dentro del pozo consideramos la condición de frontera ϕ(x0 ) = ϕ(xn ) = 0 ( es decir ϕ0 = ϕn = 0).

19

Escribiendo (2.70) para i = 1, 2, . . . , n − 1 tenemos

~2 −2ϕ1 + ϕ2 10V1 ϕ1 + V2 ϕ2 − + 2m h2 12 ~2 ϕ1 − 2ϕ2 + ϕ3 V1 ϕ1 + 10V2 ϕ2 + V3 ϕ3 − + 2m h2 12 .. . ~2 ϕn−2 − 2ϕn−1 Vn−2 ϕn−2 + 10Vn−1 ϕn−1 − + 2m h2 12

10ϕ1 + ϕ2 12 ϕ1 + 10ϕ2 + ϕ3 = E 12 .. = . ϕn−2 + 10ϕn−1 = E 12 = E

(2.71) (2.72)

(2.73)

Escribiendo las ecuaciones (2.71) al (2.73) en forma matricial tenemos



     −2 1 0 0 ... ϕ1 ϕ1 10V1 V2 0 0 ...       0 . . . ϕ2  0 . . .  ϕ 2   1 −2 1  V1 10V2 V3   1    ~2 1  0 ϕ3 +  0   1 −2 1 . . . V2 10V3 V4 . . . −       ϕ 3  2 2m h  12       0 1 −2 . . . ϕ4  0 V3 10V4 . . .  0 ϕ 4   0 .. .. .. .. . . .. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . . . . . .    ϕ1 10 1 0 0 . . .     1 10 1 0 . . . ϕ2    1   ϕ3  (2.74) 0 1 10 1 . . . =E    12   0 0 1 10 . . . ϕ     4 .. .. .. .. .. . . . . . . . .

Definiendo las matrices A, B y V dados por:



 −2 1 0 0 ...   0 . . .  1 −2 1    0 1 −2 1 . . .

A=   0  0 1 −2 . . .   .. .. .. .. . . . . . . .

20

(2.75)

  10 1 0 0 . . .    1 10 1 0 . . .    0 1 10 1 . . .

B=    0 0 1 10 . . .   .. .. .. .. . . . . . . . 

V1 0 0 0   0 V2 0 0  V =  0 0 V3 0 0 0 0 V 4  .. .. .. .. . . . .

 ...  . . .  . . .  . . .  .. .

(2.76)

(2.77)

Reescribimos la ecuación (2.74) usando las matrices A, B y V como

−

~2 Aϕ + BV ϕ = EBϕ 2m

(2.78)

Multiplicando por la inversa de la matriz B obtenemos

−

~2 −1 B Aϕ + V ϕ = Eϕ 2m

(2.79)

Conocida como la expresión matricial del método de Numerov, el mismo que es exactamente la expresión matricial de la ecuación de la ecuación de Scrhodinger (1.18), por tanto determinar los niveles de energía y los correspondientes eigenestados se resumen a resolver esta ecuación matricial.

21

Capítulo 3 RESULTADOS Y DISCUSION En este capítulo discutimos los resultados encontrados para los niveles de energía y sus eigenfunciones para el estado fundamental y los primeros estados excitados, de todos los casos estudiados. Los calculos fueron realizados considerando que la partícula confinada es un electrón de masa me = 9,10938291 × 10−31 Kg, utilizando en todos los cálculos el Software Wolfram Mathematica.

3.1.

Pozo potencial cuadrado

Consideramos un electrón confinado en un pozo cuadrado dada por la ecuación (2.1) con un ancho a = 50 bohr, y una altura del pozo V0 = 40 eV. Primero determinamos los niveles de energía y eigen estados utilizando la ecuación trascendental (2.21), con ese fin en la figura 3.1 representamos gráficamente ambos miembros de la ecuación (2.21), siendo las soluciones válidas para k dados por las intersecciones de de las curvas correspondientes al lado derecho e izquierdo de la ecuación (2.21).

Para determinar las raices de la ecuación (2.21) utilizamos la gráfica 3.1 y el método de Newton Raphson, que ya se encuentra implementado en la rutina FindRoot del Wolfram Mathematica,

√ 2mev0 ∧ k −k 2 ∧ 2 FindRoot Tan[k ∗ a]== k∧hbar , {k, 1 · 5 × 109 } 2− mev0 hbar∧ 2

22

Figura 3.1: Solución gráfica de la ecuación (2.21).

Resultando para el número de onda para el estado fundamental k = 1,16028 × 109 m−1 , con dicho valor de k el nivel de energía del estado fundamental es E0 = 8,21573×10−21 J, y el el eigen estado fundamental ϕ0 (x) sin normalizar es representado gráficamente en la figura 3.2

Figura 3.2: Eigenestado fundamental normalizado ϕ0 (x).

Para determinar los valores del número de onda y el correspondiente nivel de energía de los estados excitados, cambiamos el punto inicial para k en la rutina FindRoot, siendo por ejemplo 2 · 5 × 109 m−1 el valor de k inicial para el caso del primer estado excitado

√ 2mev0 ∧ k −k 2 9 hbar ∧ 2 FindRoot Tan[k ∗ a]== k∧ 2− mev0 , {k, 2 · 5 × 10 } hbar∧ 2

Que produce el resultando k = 2,32052 × 109 m−1 , con el primer nivel de energía excitado E1 = 3,28703 × 10−20 J. En la figura 3.3 se muestran las eigen funciones sin normalizar ϕ0 (x), ϕ1 (x) y ϕ2 (x) obtenidos mediante la ecuación (2.12) luego de determinar los correspondientes valores de k usando la ecuación trascendental (2.21).

El método de Numerov, implementado también en el Software Mathematica produce un valor de energía para el estado fundamental de E0 = 8,21573 × 10−21 J, el cual es 23

Figura 3.3: Eigenestado normalizado del primer estado excitado ϕ1 (x). n 0 1 2 3 4

En [J] (2.21) 8.21781 ×10−21 3.28703 ×10−20 7.39545 ×10−20 1.31466 ×10−19 2.05397 ×10−19

En [J] Numerov 8.21573 ×10−21 3.28621 ×10−20 7.39366 ×10−20 1.31435 ×10−19 2.05351 ×10−19

∆En % 0.0253109 0.0249465 0.0242041 0.0235802 0.0223957

Cuadro 3.1: Cinco primeros niveles de energía para el pozo cuadrado finito.

0.0253109 % menor que el calculado utilizando la ecuación trascendental (2.21). La figura 3.4, muestra las eigenfunciones normalizadas ϕ0 (x), ϕ1 (x) y ϕ2 (x) obtenidas resolviendo la ecuación matricial del método de Numerov, dichos resultados coinciden exactamente con los resultados mostrados en la figura 3.3 salvo por el factor que representa la constante de normalización.

Figura 3.4: Eigenestado normalizado del primer estado excitado ϕ1 (x).

En la figura 3.5 representamos gráficamente los valores de los 20 primeros niveles de energía En en función de n, y en la tabla 3.1 hacemos un resumen comparativo de los cinco primeros niveles de energia obtenidos usando la ecuación trascendental (2.21) y el método de numerov, siendo en todos los casos los valores correspondientes de energía muy proximos.

24

Figura 3.5: Niveles de energía En en función de n.

3.2.

Doble pozo de potencial finito

Consideramos un electrón confinado en un pozo de la forma dada en la ecuación (2.1) con a = 50 bohr, b = 5 bohr y alturas del pozo V0 = 40 eV y V1 = 30 eV y representado gráficamente en la figura 3.6.

Figura 3.6: Pozo potencial doble finito utilizado.

Para determinar los niveles de energía utilizamos la ecuación trascendental dada en la ecuación (2.53), donde consideramos que el primer miem de la ecuación sea g(k), de modo que dicha ecuación se escriba como g(k) = 0. En la figura 3.7 mostramos la gráfica de g(k) en función de k, siendo en este caso las soluciones de la ecuación (2.53) dadas por las interseciones de g(k) con el eje k.

Figura 3.7: Solución gráfica de la ecuación (2.21).

25

Utilizando la rutina FindRoot del Wolfram Mathematica y la figura 3.1 para determinar el valor de k inicial encontramos que número de onda k y el nivel de energía E0 del estado fundamental son k = 1,15821 × 109 m−1 y E0 = 8,18863 × 10−21 J respectivamente. La figura 3.2 muestra la función del onda sin normalizar del estado fundamental obtenido mediante la ecuación (2.38).

Figura 3.8: Eigenestado fundamental ϕ0 (x).

Los cálculos realizados utilizando el método de Numerov, producen una información mas completa, incluyendo la degeneración de los niveles de energía. En este caso el nivel de energía del estado fundamental es doblemente degenerado E0 = 8,2171 × 10−21 J, que tienen una diferencia de 0,347677 % respecto al valor calculado de E0 usando la ecuación trascendental (2.53). En la tabla 3.2 presentamos los primeros cinco niveles de energía obtenidos resolviendo la ecuación (2.53) y los obtenidos mediante el método de Numerov, siendo los resultados en ambos casos bastante próximos. n 0 1 2 3 4

En [J] (2.53) 8.18863 ×10−21 3.27554 ×10−20 7.36951 ×10−20 1.30993 ×10−19 2.04653 ×10−19

En [J] Numerov 8.21710 ×10−21 3.28673 ×10−20 7.39471 ×10−20 1.31451 ×10−19 2.05370 ×10−19

∆En % 0.347677 0.341623 0.341949 0.349637 0.350349

Cuadro 3.2: Cinco primeros niveles de energía para el pozo doble finito.

Los niveles de energía mostrados en la tabla 3.2 son doblemente degenerados en todos los casos, las funciones de onda ϕn (x) correspondientes a n = 0, 1, 2 se muestran en la figura 3.8 (a) y (b), donde las dos eigen funciones ϕ0 (x) asociados a E0 se representan en color azul, siendo una de las funciones simétrica respecto al centro del pozo y el otro antisimétrico, las dos funciones de onda ϕ1 (x) asociados a E1 se representan en color rojo y ϕ2 (x) asociados a E2 se representan en color marron.

En la figura 3.4 representamos gráficamente los valores de los quince primeros 26

(a)

(b)

Figura 3.9: Eigenestado normalizado de los tres primeros estados ϕn (x), n = 0, 1, 2. niveles de energía obtenidos utilizando el método de Numerov, donde observamos la degeneración doble de cada nivel de energía, indicada por dos puntos consecutivos con iguales valores de energía.

Figura 3.10: Energía En en función de n para el pozo doble.

27

3.3.

Oscilador armónico

Resolvemos numéricamente usando el método de Numerov el problema de un electron confinado en el pozo el pozo potencial del oscilador armónico cuántico representado por:

1 V (x) = mω 2 x2 2

(3.1)

Donde para fines del calulo numérico consideramos ω = 2πν con ν = 7 × 1014 Hz, siendo la grafica del potencial (3.1) representada en la figura 3.11

Figura 3.11: Energia potencial del oscilador armónico cuántico.

Los resultados numéricos obtenidos numéricamente coinciden exactamente con los obtenidos de manera teórica, como se muestra en la tabla 3.3, así mismo en la figura 3.12 mostramos la representación gráfica de los niveles de energía En en función de n, resultando una recta que indica que la separación de cada dos niveles de energía es constante e igual a ~ω. n 0 1 2 3 4

En [J] (Teórico) 2.31912 ×10−19 6.95737 ×10−19 1.15956 ×10−18 1.62339 ×10−18 2.08721 ×10−18

En [J] Numerov 2.31912 ×10−19 6.95737 ×10−19 1.15956 ×10−18 1.62339 ×10−18 2.08721 ×10−18

∆En % 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

Cuadro 3.3: Cinco primeros niveles de energía para el oscilador armónico.

En la figura 3.13 presentamos eigen estados normalizados para los tres primeros niveles de energía, siendo ϕ0 (x) de color azul una función de onda simétrica que corresponde al estado fundamental, la eigen función ϕ1 (x) de color rojo es una función

28

Figura 3.12: Niveles de energía En en función de n para el oscilador armónico antisimétrica que corresponde al primer estado excitado y la eigen función ϕ2 (x) es una función simétrica que corresponde al segundo estado excitado.

Figura 3.13: Eigen funciones ϕn (x) del oscilador armónico

3.4.

Atomo de nitrogeno en el amoniaco

Consideramos un electrón confinado en el potencial del átomo de nitrógeno en el amoniaco [7], expresado como

1 V (x) = K (|x| − a)2 2

(3.2)

Donde el valor de K es considerado del mismo modo que para el oscilador armónico K = mω 2 , con ω = 2πν y ν = 7 × 1014 Hz. Así mismo para los resultados mostrados consideramos a = 10 bohr, resultando la representación gráfica del potencial (3.2) como el mostrado en la figura 3.14.

Los primeros diez niveles de energía obtenidos usando el método numérico de 29

Figura 3.14: Potencial del atomo de nitrogeno en el amoniaco Numerov se muestran en la tabla 3.4, donde encontramos una pequeña diferencia entre el estado fundamental y el primer estado excitado, observamos que las diferencias E1 − E0 , E3 − E2 , E5 − E4 , E7 − E6 , . . . aumentan respecto al anterior, en cambio las diferencias de energía E2 − E1 , E4 − E3 , E6 − E5 , E8 − E7 , . . . disminuyen respecto al anterior, tendencias que se observan claramente en la figura 3.15. n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

En [ J ] Numerov 2.31891×10−19 2.31932×10−19 6.95308×10−19 6.96102×10−19 1.15572×10−18 1.16257×10−18 1.60358×10−18 1.63759×10−18 2.03073×10−18 2.13125×10−18

En − En−1 [ J] 0.00041×10−19 4.63376×10−19 0.00794×10−19 4.59618×10−19 0.06850×10−19 4.41010×10−19 0.34010×10−19 3.93140×10−19 1.00520×10−19

Cuadro 3.4: Diez primeros niveles de energía para el atomo de nitrogeno en el amoniaco.

En la figura 3.16 presentamos eigen estados normalizados para los seis primeros niveles de energía, siendo las funciones ϕ0 (x), ϕ2 (x) y ϕ4 (x) funciones de onda simétricas y representadas en la figura 3.16 (a) y las funciones de onda ϕ1 (x), ϕ3 (x) y ϕ5 (x) antisimétricas como muestra la figura 3.16 (b).

30

Figura 3.15: Niveles de energía En en función de n para el oscilador armónico

(a)

(b)

Figura 3.16: Eigen funciones ϕn (x) del amoniaco

31

CapĂ­tulo 4 Conclusiones las conclusiones obtenidas son:

32

Bibliografía [1] Ashcroft, N. W. & Mermin, N. D. Solid State Physics (Saunders College, 1976).

[2] Cohen-Tannoudji, C., Diu, B. & Laloe, F. Quantum mechanics, vol. 1 (Wiley and Sons, 1991).

[3] Cohen-Tannoudji, C., Diu, B. & Laloe, F. Quantum mechanics, vol. 2 (Wiley and Sons, 1991).

[4] Quiroz González, J. L. M. & Thompson, D. Getting started with numerov’s method.

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Numerical Analysis (Cengage

ApĂŠndice A Relaciones importantes

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