Quantidade de movimento (momento linear) e sua conservação
p = m. v (quantidade de movimento ou momento linear) m1 v1 + … + mn vn = msistema . vCM ⇒ p1 + … + pn = psistema p1 + … + pn = psistema derivando vem:
m1 a1 + … + mn an = msistema aCM d p1 +… dt FR1 + … + FRn = msistema aCM
Σ Fexteriores + Σ Finteriores = msistema aCM
→ 2ª Lei de Newton aplicada a um sistema de partículas
Σ Fexteriores = msistema aCM
msistema . vCM = psistema d p1 dt
= FR1 → ou seja, FR =
dp dt
2ª Lei de Newton
Onde
FR
mèdia
=
∆p ∆t
Chama-se impulso de uma força ( I ) a F. ∆ t → I = F. ∆ t Logo,
I = ∆p Se o CM do sistema está em repouso ou com o CM está com movimento retilineo e uniforme → FResultante p1 + … + pn = psistema = c o n s t a n t e psistema
inicial
= psistema
final
=0 S i s t em a
Exercícios: 1. A
B
mA = mB = m vA = 2. ex m / s
início→
ey
vB = 0 m / s
ex
Calcular após a colisão : v A , sabendo que v B =1,5 ex m / s e que A
a)
permanece com a mesma direção b)
B
v B =1,0 m/s
Plano horizontal
30º
O módulo e a direção da velocidade de A
a) psistema
inicial
= psistema
final
pA + pB = p 'A + p 'B → mA vAx + 0 = mA v 'Ax + mB v 'Bx como mA = mB = m a massa "corta" vAx = v 'Ax + v 'Bx 2 = v 'Ax + 1,5 v 'Ax = 0, 5 m / s v 'A = 0, 5 ex m / s
b) psistema
inicial
= psistema
final
⇔ pA + pB = p 'A + p 'B ⇒
⇔
⇔
vAx + 0 = v 'Ax + v 'Bx 0 + 0 = v 'Ay + v 'By
⇔
mA vAx + mB vBx = mA v 'Ax + mB v 'Bx mA vAy + mB vBy = mA v 'Ay + mB v 'By
⇔
2 = v 'Ax + 1, 0. cos 30º 0 = v 'Ay + 1, 0. sin 30º
⇔
v 'Ax = 1, 13 m / s v 'Ay = − 0, 5 m / s vA =
2 2 1, 13 + 0, 5 = 1, 24 m/s
Direção: É tal que faz um ângulo de - tg
−1
0, 5 com o eixo Ox 1, 13
totalmente elástica → Há conservação da energia cinética do sistema Colisão→
completamente inelástica → As partículas seguem juntas após a colisão Nenhuma das anteriores
2. O fio da figura tem 80 cm de comprimento e é inextensível 60º
B
A A bola A é abandonada e a colisão é totalmente elástica, sendo m A =m B
Calcula a velocidade de lançamento de B
Resolução:
ey mA = mB = m
ex 60º
B
Y
A X
Da conservação da energia mecânica para a esfera A, resulta que:
hA
1 . m. v 2A ⇒ vA = 2
EmecX = EmecY ⇔ m. g. hA =
⇔ vA =
⇔ vA =
2. g. L. 1 − cos 60º
2. g. hA ⇔
2 × 10 × 0, 8 1 − cos 60º
⇔ vA = 2, 83 m/s Durante a colisão há conservação da quantidade de movimento.... ou seja,
= p'
p sistema
sistema
⇒ pA + pB = p 'A + p 'B ⇒ decompondo no eixo Ox vem: − m. 2, 83 = m. v ' + m. v ' ⇔ − 2, 83 = v ' + v ' A B A B
Como a colisão é totalmente elástica E
C
=E Sistemaantes
⇔ C
Sistemaap os
1 1 1 2 2 . m. v 2A = . m. v 'A + . m. v 'B ⇔ 2 2 2
⇔ v 2A = v '2A + v '2B Resolvendo o sistema vem: − 2, 83 = v ' + v ' A B 2 2 2 2, 83 = v 'A + v 'B
v 'A = − 2, 83 e v 'B = 0
⇒
ou v 'A = 0 e v 'B = − 2, 83
Logo a velocidade de lançamento da bola B é: v 'B = − 2, 83. ex (m/s)
vA = 4. ex (m/s)
3. Situação inicial →
ey
vB = 0. eX mA = 2. mB
eX
NOTA: O movimento ocorre apenas no eixo Ox A
B
Qual a velocidade dos carrinhos após a colisão, sabendo que esta é completamente inelástica? v 'A = v 'B = v ' psistema = p 'sistema ⇔ pA + pB = p 'A + p 'B → mA ⋅ 4 + 0 = mA + mB v ' ⇔
⇔ 2. mB ⋅ 4 = 3. mB v ' ⇔ v ' = v' =
8 (m/s) 3
8 e (m/s) 3 x