Appunti Matematici 35 36

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Patrizio Gravano

APPUNTI MATEMATICI

IL CALCOLO INTEGRALE numeri 35 - 36 - novembre - dicembre 2017

INTRODUZIONE

Questo elaborato contiene una raccolta che credo, senza troppi timori, possa essere considerata una completa ed esaustiva sintesi sul calcolo integrale.

In essa ho raccolto praticamente tutti i possibili integrali che possono essere presentati come esercizi negli esami di Analisi matematica.

Anche questo elaborato si limita agli aspetti piu’ elementari e operativi e certo e’ stato un utile motivo di ripasso della materia, in una parte a volte non facile.

La copertina di questo numero e’ dedicata a Evangelista Torricelli, allievo di Galilei, che fu tra i primi, con Isaac Barrow, maestro di Isaac Newton, ad interessarsi al calcolo integrale.

Roma, ottobre, novembre 2017.

Patrizio Gravano

patrizio.gravano@libero.it

IL CALCOLO INTEGRALE

Introduzione storica

Il calcolo integrale e’ stato elaborato nel Seicento ad opera di grandi matematici come Evangelista Torricelli, Isaac Barrow, Isaac Newton e successivamente perfezionato da molti altri matematici, tra i quali Jean Bernoulli.

Il calcolo integrale sorse precedentemente al calcolo differenziale come tecnica risolutiva di un problema eminentemente pratico, trattandosi della esigenza di calcolare l’area sottesa ad una data curva, che nel linguaggio odierno definiamo a partire da una funzione f(x), solitamente continua in un dato intervallo (a ,b).

Un esempio pratico chiarisce la modalita’ con la quale si puo’ pervenire alla determinazione dell’area sottesa da una curva f(x) continua in (a, b). In relazione all’intervallo (a, b) o anche e piu’ appropriatamente ad ⌋ a, bâŚŒ si puo’ immaginare di dividere detto intervallo in n parti di ampiezza

đ?‘?−đ?‘Ž đ?‘›

.

E’ intuitivo che al crescere di n decresce l’ampiezza della parte. Detta ampiezza viene indicata come ∆x . Al tendere di n all’infinito allora ∆đ?‘Ľ → 0.

Nel caso piu’ generale possibile (quando la funzione non e’ strettamente monotona) per ogni intervallo (đ?‘Ľđ?‘– , đ?‘Ľđ?‘–+1 ) ⊂ ⌋a, bâŚŒ esiste un valore di minimo e un valore di massimo per la funzione continua (teorema di Weierstrađ?›˝) denotati rispettivamente come đ?‘Ľđ?‘–đ?‘š e đ?‘Ľđ?‘–đ?‘€ . Un unico pedice e’ sufficiente a caratterizzare la situazione.

A titolo esemplificiativo, ove la funzione fosse monotona strettamente crescente allora sarebbe đ?‘Ľđ?‘–đ?‘š ≥ đ?‘Ľđ?‘– e đ?‘Ľđ?‘–đ?‘€ ≥ đ?‘Ľđ?‘–+1. Se la suddivisione di ⌋a, bâŚŒ ha ampiezza ∆đ?‘Ľ e’ possibile considerare le aree dei rettangoli inscritti e dei rettangoli circoscritti che valgono rispettivamente f(đ?‘Ľđ?‘–đ?‘š ) ∆đ?‘Ľ e f(đ?‘Ľđ?‘–đ?‘€ ) ∆đ?‘Ľ. Pertanto la somma delle aree dei rettangoli inscritti e circoscritti risulta, rispettivamente, essere: a =∑đ?‘›đ?‘–=1 f(đ?‘Ľđ?‘–đ?‘š ) ∆đ?‘Ľ

A =∑đ?‘›đ?‘–=1 f(đ?‘Ľđ?‘–đ?‘€ ) ∆đ?‘Ľ Si dimostra che per n →+∞ (ed equivalentemente per ∆đ?‘Ľ → 0) si ha che: lim | f(đ?‘Ľđ?‘–đ?‘€ ) − f(đ?‘Ľđ?‘–đ?‘š )| = 0.

∆đ?‘Ľâ†’0

Per ∆đ?‘Ľ → 0 si ha che A −đ?‘Ž → 0.

Detto limite e’ detto integrale definito della funzione f(x).

Si osservi che l’integrale definito e’ un numero, che geometricamente definisce l’area della porzione di piano delimitate dalla curva continua f(x) e dale rette verticali y = a e y = đ?‘?.

La notazione di integrale definito e’ dovuta a von Leibnitz ed e’ la seguente: đ?‘?

âˆŤđ?‘Ž đ?‘“(đ?‘Ľ)đ?‘‘đ?‘Ľ In buona sostanza si puo’ scrivere che: đ?‘?

lim đ?‘Ž < âˆŤđ?‘Ž đ?‘“(đ?‘Ľ)đ?‘‘đ?‘Ľ < lim đ??´

đ?‘›â†’+∞

đ?‘›â†’+∞

I valori a e b sono detti estremi di integrazione, inferiore e superiore.

La funzione f(x) e’ detta funzione integranda.

E’ noto dalla geometria elementare che l’area e’ sempre un valore positivo, espresso in unita’ quadrate di lunghezza, in genere il metro quadrato, indicato come �2 .

In realta’ nel calcolo integrale si utilizza la convenzione che le porzioni di superficie sopra l’asse delle x si intendono positive, mentre quelle sottostanti si devono considerare negative.

In relazione alle aree calcolate con riferimento a un sistema cartesiano ortogonale il segno dell’integrale segue il segno della funzione in relazione ad un assegnato intervallo. Ad esempio se la funzione continua in ⌋a, bâŚŒ e’ tale che in detto intervallo đ?‘?

risulti f(x) > 0 allora risulta essere âˆŤđ?‘Ž đ?‘“(đ?‘Ľ)đ?‘‘đ?‘Ľ > 0.

La curva rossa individua la funzione integranda f(x) positiva. La superficie verde (comunemente detta trapezioide) ha area positiva data dal valore dell’integrale definito della funzione f(x) quando gli estremi di integrazione sono a e b. Se la funzione continua in ⌋a, bâŚŒ e’ tale che in esso risulti f(x) < 0 allora đ?‘?

risulta essere âˆŤđ?‘Ž đ?‘“(đ?‘Ľ)đ?‘‘đ?‘Ľ < 0. Questa figura chiarisce il caso prospettato.

La superficie in giallo ha area negativa.

Nel caso piu’ generale possibile per un dato intervallo chiuso di estremi a e b si puo’ avere la situazione descritta dalla seguente figura.

In questo caso il valore dell’integrale deve intendersi come la somma algebrica delle aree positive (in verde) e negativa (in giallo). Al precedente approccio di definizione dell’integrale definito ⌋Campitelli, Campodonico, GualdiâŚŒ e’ possibile esaminarne un altro simile ⌋Bramanti, Salsa, PaganiâŚŒ detto delle somme di Cauchy-Riemann. Si ammette data e continua la funzione f(x) in ⌋a, bâŚŒ e sia data una suddivisione di detto intervallo nei punti a= đ?‘Ľ0 , đ?‘Ľ1 , ‌. , đ?‘Ľđ?‘›âˆ’1 , đ?‘Ľđ?‘› = đ?‘?. Per ogni subintervallo⌋ đ?‘Ľđ?‘—−1 , đ?‘Ľđ?‘— âŚŒ si considera un punto arbitrario đ?œ€đ?‘— e si costruisce la seguente somma detta di Cauchy-Riemann

đ?‘†đ?‘› = ∑đ?‘›đ?‘—=1 đ?‘“( đ?œ€đ?‘— )(đ?‘Ľđ?‘— − đ?‘Ľđ?‘—−1 ) =

đ?‘?−đ?‘Ž đ?‘›

∑đ?‘›đ?‘—=1 đ?‘“( đ?œ€đ?‘— ).

đ??´ questo punto si puo’ far tendere n all’infinito.

lim

đ?‘?−đ?‘Ž

đ?‘›â†’+∞ đ?‘›

∑đ?‘›đ?‘—=1 đ?‘“( đ?œ€đ?‘— ) e’ detto integrale definito e si scrive:

đ?‘?

âˆŤđ?‘Ž đ?‘“(đ?‘Ľ)đ?‘‘đ?‘Ľ = lim

đ?‘?−đ?‘Ž

đ?‘›â†’+∞ đ?‘›

∑đ?‘›đ?‘—=1 đ?‘“( đ?œ€đ?‘— )

Uno dei piu’ importanti teoremi del calcolo integrale e’ il teorema di Torricelli-Barrow.

Esso e’ enunciabile come segue. Sia data una funzione f(x) continua in ⌋a , bâŚŒ e sia t | t ∈ ⌋a , bâŚŒ. Sia detta funzione non negativa, cioe’ sia f(x) ≼ 0.

Viene definito l’integrale definito funzione del suo estremo superiore.

La figura seguente ben chiarisce il contesto.

đ?‘Ž

E’ ben noto che S(a) = âˆŤđ?‘Ž đ?‘“(đ?‘Ľ)đ?‘‘đ?‘Ľ = 0 potendo anche scrivere che S(b) = đ?‘?

âˆŤđ?‘Ž đ?‘“(đ?‘Ľ)đ?‘‘đ?‘Ľ = đ?‘†. Si considera quindi un h piccolo a piacere (la figura per ragioni evidenti enfatizza h e non lo rende piccolo come solitamente deve essere). In ⌋b , b+â„ŽâŚŒ si ammette che la funzione sia strettamente nonotona. Nel caso in figura essa e’ strettamente crescente. E’ possibile definire l’area S(t+â„Ž) − đ?‘†(đ?‘Ą). E’ immediato osservare che hf(t) < S(t+â„Ž) − đ?‘†(đ?‘Ą) < â„Žđ?‘“(đ?‘Ą + â„Ž). Poiche’ h ≠0 si puo’ scrivere che:

f(t) <

S(t+â„Ž) −đ?‘†(đ?‘Ą) â„Ž

< đ?‘“(đ?‘Ą + â„Ž).

Per h → 0 dalla continuita’ di f(x) discende che f(t+ℎ) = �(�).

In definitiva lim

ℎ→0

S(t+â„Ž) −đ?‘†(đ?‘Ą) â„Ž

= �′(�) = �(�)

La derivata della funzione integrale in un punto assegnato e’ eguale al valore che la funzione integranda assume in quello stesso punto.

Sono possibili i seguenti passaggi formali. đ?‘Ľ

S(đ?‘Ľ1 )= âˆŤđ?‘Ž 1 đ?‘“(đ?‘Ľ) đ?‘‘đ?‘Ľ = đ??š(đ?‘Ľ1 ) + đ?‘?1 đ?‘Ľ

S(đ?‘Ľ2 )= âˆŤđ?‘Ž 2 đ?‘“(đ?‘Ľ) đ?‘‘đ?‘Ľ = đ??š(đ?‘Ľ2 ) + đ?‘?2 avendo posto đ?‘Ľ2 > đ?‘Ľ1 e đ?‘?đ?‘– reale qualunque. đ?‘Ľ

đ?‘Ľ

đ?‘Ľ

Si puo’ porre âˆŤđ?‘Ľ 2 đ?‘“(đ?‘Ľ)đ?‘‘đ?‘Ľ = âˆŤđ?‘Ž 2 đ?‘“(đ?‘Ľ) đ?‘‘đ?‘Ľ − âˆŤđ?‘Ž 1 đ?‘“(đ?‘Ľ) đ?‘‘đ?‘Ľ = đ??š(đ?‘Ľ2) +đ?‘?2 − 1

đ??š(đ?‘Ľ1 ) −đ?‘?1. Ponendo đ?‘?2 = đ?‘?1 si puo’ ottenere che: đ?‘Ľ

2 âˆŤđ?‘Ľ đ?‘“(đ?‘Ľ)đ?‘‘đ?‘Ľ = đ??š(đ?‘Ľ2 ) −đ??š(đ?‘Ľ1 ). 1

Invertendo gli estremi di integrazione si ottiene una nota proprieta’ dell’integrale per la quale: đ?‘?

đ?‘Ž

âˆŤ đ?‘“(đ?‘Ľ)đ?‘‘đ?‘Ľ = − âˆŤ đ?‘“(đ?‘Ľ)đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘Ž

đ?‘?

Esempi di calcolo di somme đ?‘şđ?’? e đ?’”đ?’? . Calcolo dell’integrale definito.

Sia data la funzione f(x) = đ?‘&#x; + đ?‘ đ?‘Ľ in I = ⌋đ?‘Ž, đ?‘?âŚŒ quando detto intervallo venga diviso in n parti.

L’ampiezza di ciascun intervallo e’ ∆đ?‘Ľ =

Gli estremi sono đ?‘Ľ0 = đ?‘Ž, đ?‘Ľ1 = đ?‘Ž +

Per k = n si ha đ?‘Ľđ?‘› = đ?‘Ž + đ?‘›

đ?‘?−đ?‘Ž đ?‘›

đ?‘?−đ?‘Ž đ?‘›

đ?‘?−đ?‘Ž đ?‘›

.

, ‌ . , đ?‘Ľđ?‘˜ = đ?‘Ž + đ?‘˜

đ?‘?−đ?‘Ž đ?‘›

.

= đ?‘Ž + đ?‘? − đ?‘Ž = đ?‘?.

đ?‘?

Si tratta di calcolare l’integrale âˆŤđ?‘Ž ( đ?‘&#x; + đ?‘Ąđ?‘Ľ)dx

L’intervallo I viene diviso in n parti di ampiezza

Nel primo intervallo (đ?‘Ž, đ?‘Ž + funzione đ?‘€1 = đ?‘&#x; + đ?‘Ą

đ?‘?−đ?‘Ž đ?‘›

đ?‘?−đ?‘Ž đ?‘›

đ?‘?−đ?‘Ž đ?‘›

.

) si ottiene il massimo e il minimo della

mentre il minimo vale đ?‘š1 = đ?‘&#x; + đ?‘Ąđ?‘Ž.

Per il k-esimo intervallo si ha:

đ?‘€đ?‘˜ = đ?‘&#x; + đ?‘Ąđ?‘˜

đ?‘?−đ?‘Ž đ?‘›

đ?‘šđ?‘˜ = đ?‘&#x; + đ?‘Ą(đ?‘Ž + (đ?‘˜ − 1)

đ?‘?−đ?‘Ž đ?‘›

) = r +đ?‘Ąđ?‘Ž + đ?‘˜(

đ?‘?−đ?‘Ž đ?‘›

)−

đ?‘?−đ?‘Ž đ?‘›

Le somme riferite a n intervalli tengono conto che k varia da 1 a n. In particolare con riferimento a đ?‘šđ?‘˜ si puo’ scrivere che:

đ?‘š = ∑ đ?‘šđ?‘˜ = nr +đ?‘›đ?‘Ąđ?‘Ž + (

đ?‘?−đ?‘Ž đ?‘›

)∑đ?‘˜ − đ?‘›

đ?‘?−đ?‘Ž đ?‘›

= nr +��� + (

đ?‘?−đ?‘Ž đ?‘›

)(

đ?‘›(đ?‘›âˆ’1) 2

)–

(b-a)

(questa somma e’ stata ottenuta ricordando due regole sulle sommatorie finite di numeri reali, ovvero che ∑đ?‘›đ?‘˜=1 đ?‘Ž = đ?‘›đ?‘Ž e che ∑đ?‘›đ?‘˜=1 đ?‘˜đ?‘Ž = đ?‘Ž ∑đ?‘›đ?‘˜=1 đ?‘˜, oltre alla nota relazione di Gauβ per la quale la somma dei primi n interi assoluti vale

đ?‘›(đ?‘›âˆ’1) 2

ricavata dal matematico tedesco in prima elementare).

Da � si ottiene s che quindi si puo’ porre nella forma seguente:

s =(

đ?‘?−đ?‘Ž đ?‘›

)( nr +đ?‘›đ?‘Ąđ?‘Ž + (đ?‘? − đ?‘Ž)(n-1) – (b-a)).

In definitiva si puo’ scrivere che:

s = (đ?‘? − đ?‘Ž)đ?‘&#x; + đ?‘Ąđ?‘Ž(đ?‘? − đ?‘Ž) +

đ?‘›âˆ’1 đ?‘›

(đ?‘? − đ?‘Ž)2 −

(đ?‘?−đ?‘Ž)2 đ?‘›

.

A questo punto si puo’ procedere a calcolare s quando n → +∞.

In questo caso si deve ricordare che lim

đ?‘›âˆ’1

đ?‘›â†’+∞ đ?‘›

đ?‘?

= 1 e che lim

đ?‘›â†’+∞

(đ?‘?−đ?‘Ž)2 đ?‘›

= 0.

Pertanto âˆŤđ?‘Ž ( đ?‘&#x; + đ?‘Ąđ?‘Ľ)dx = lim đ?‘ = (đ?‘? − đ?‘Ž)đ?‘&#x; + đ?‘Ąđ?‘Ž(đ?‘? − đ?‘Ž) + (đ?‘? − đ?‘Ž)2 . đ?‘›â†’+∞

Giunto a questo punto ho deciso di verificare la bonta’ dei passaggi ipotizzati ed ho verificato con un integrale ampiamente spiegato in un manuale di consultazione ⌋Fico, Cariani, MattinaâŚŒ che spiega i passaggi standard che portano al calcolo dell’integrale come nell’esempio 3

dell’integale definito âˆŤ1 (đ?‘Ľ + 1)đ?‘‘đ?‘Ľ = 6. Sostituendo in formula ho ricavato il medesimo risultato. Data l’espressione (đ?‘? − đ?‘Ž)đ?‘&#x; + đ?‘Ąđ?‘Ž(đ?‘? − đ?‘Ž) + (đ?‘? − đ?‘Ž)2 raccogliendo (b – a) a fattore comune si puo’ scrivere in forma equivalente detta espressione come segue: (b – a) (r +đ?‘Ąđ?‘Ž) + (đ?‘? − đ?‘Ž)2 . đ?‘?

In definitiva âˆŤđ?‘Ž ( đ?‘&#x; + đ?‘Ąđ?‘Ľ)dx =(b – a) (r +đ?‘Ąđ?‘Ž) + (đ?‘? − đ?‘Ž)2 . Nel caso della retta questo esito ha un significato puramente eserciziale.

In termini grafici si ha questa situzione.

đ?‘?

In termini elementari l’area âˆŤđ?‘Ž đ?‘&#x; + đ?‘Ąđ?‘Ľ si puo’ ottenere per differenza tra le aree dei triangoli CXB e PXA.

Nesso tra la derivazione e l’integrazione di una funzione f(x)

Si puo’ sintetizzare il nesso con lo schema seguente:

đ?‘“

+đ?‘˜

x → f(x) →

đ??ˇđ?‘Ľ

đ??ˇđ?‘Ľâˆ’1 =âˆŤâ€Śđ?‘‘đ?‘Ľ

f(x) +đ?‘˜ → f ’(x) →

f(x) + đ?‘˜.

Tra gli operatori derivata e integrale vi e’ la stessa relazione logica che vi e’ tra funzione e funzione inversa di essa.

Questa successiva rappresentazione simbolica evidenzia graficamente e intuitivamente quanto detto.

Cio’ e’ vero per ogni k reale, anche per k = 0.

Una sostanziale differenza e’ che non c’e’ una corrispondenza univoca tra funzione e derivate della funzione. f(x) +đ?‘˜ definisce infatti, infinite funzioni cioe’ una funzione per ogni possibile valore di k. E’ possibile ripartire le funzioni (đ?‘“đ?‘– (x) +đ?‘˜) derivabili in ⌋ đ?‘Žđ?‘– , đ?‘?đ?‘– âŚŒ in classi di equivalenza tale che la loro unione riproduca tutte le funzioni derivabili in ⌋ đ?‘Žđ?‘– , đ?‘?đ?‘– âŚŒ. Simmetricamente, a đ?‘“đ?‘– ‘(x) sono associabili, tramite đ??ˇđ?‘Ľâˆ’1 , tutte e sole le funzioni (đ?‘“đ?‘– (x) +đ?‘˜) derivabili in ⌋ đ?‘Žđ?‘– , đ?‘?đ?‘– âŚŒ.

Si puo’ scrivere che: đ??ˇđ?‘Ľâˆ’1 đ?‘“đ?‘– ‘(x) = âˆŤ đ?‘“đ?‘– ‘(x) dx = đ?‘“đ?‘– (x) +đ?‘˜. đ?‘“đ?‘– (x) +đ?‘˜ funzioni‌

e’ detta funzione primitiva. Si tratta in realta’ di infinite

âˆŤ đ?‘“đ?‘– ‘(x) dx e’ detto integrale indenfito. Si tratta della forma compatta che definisce la totalita’ delle primitive. Da đ??ˇđ?‘Ľâˆ’1 đ?‘“đ?‘– ‘(x) = âˆŤ đ?‘“đ?‘– ‘(x) dx = đ?‘“đ?‘– (x) +đ?‘˜ si ha đ??ˇđ?‘Ľâˆ’1 đ?‘“đ?‘– ‘(x) = đ?‘“đ?‘– (x) +đ?‘˜ e quindi: đ??ˇđ?‘Ľ (đ??ˇđ?‘Ľâˆ’1 đ?‘“đ?‘– ‘(x)) =đ??ˇđ?‘Ľ (đ?‘“đ?‘– (x) +đ?‘˜) da cui si ha: (đ??ˇđ?‘Ľ đ??ˇđ?‘Ľâˆ’1 ) đ?‘“đ?‘– ‘(x)) =đ??ˇđ?‘Ľ (đ?‘“đ?‘– (x) +đ?‘˜) ovvero: đ?‘“đ?‘– ‘(x)) =đ?‘“′đ?‘– (x) La funzione đ?‘“′đ?‘– (x) e’ detta funzione integranda e l’espressione đ?‘“′đ?‘– (x)dx e’ detta espressione integranda. Il simbolo âˆŤ(‌ . ) e’ detto simbolo di integrazione ed e’ dovuto a von Leibnitz.

Si ha che: đ?‘‘đ?‘Ś

f ’ (x) = đ?‘‘đ?‘Ľ da cui si ottiene f’(x) dx = đ?‘‘đ?‘Ś. Si avrebbe quindi âˆŤ f’(x) dx = (âˆŤ đ?‘‘đ?‘Ś ) +đ?‘˜. Non ho mai rinvenuto la forma a destra, contenente (âˆŤ đ?‘‘đ?‘Ś ), e forse essa non e’ immediatamente operativa.

Come ben noto si puo’ pervenire alla tavola degli integrali immediati che si puo’ ritenere nota quando siano note le derivate prime delle varie funzioni, essendo, come ormai e’ chiaro, l’integrazione indefinita l’operazione opposta alla derivazione delle funzioni.

Con lo schema logico introdotto e’ possibile ad esempio ricavare âˆŤ sin(đ?‘Ľ) đ?‘‘đ?‘Ľ .

Potrebbe ingenerarsi un equivoco in quanto in queste pagine si trovano scritture del tipo âˆŤ đ?‘“ ′ (đ?‘Ľ)đ?‘‘đ?‘Ľ mentre nella manualistica si hanno stenografie del tipo âˆŤ đ?‘“(đ?‘Ľ)đ?‘‘đ?‘Ľ.

In ogni caso la sostanza delle cose non muta in quanto secondo lo schema che mi sono elaborato sarebbe f’(x) = sin(x) da cui sarebbe đ??ˇđ?‘Ľâˆ’1 sin(x)= −cos(đ?‘Ľ) +đ?‘˜.

Gli integrali immediati

Dalla osservazione circa i nessi tra la derivazione e l’integrazione discendono alcuni integrali detti immediati la cui conoscenza e’ di fondamentale importanza in quanto riconducendo un integrale assegnato ad uno di essi si procede piu’ speditamente.

Gli integrali immediati sono undici e li possiamo elencare, come segue. âˆŤ đ?‘‘đ?‘Ľ = đ?‘Ľ + đ?‘?

âˆŤ đ?‘Ľ đ?‘› đ?‘‘đ?‘Ľ =

đ?‘Ľ đ?‘›+1 đ?‘›+1

+ đ?‘? (a condizione che sia n ≠−1)

1

âˆŤ đ?‘Ľdx = ln |đ?‘Ľ| + đ?‘? âˆŤ đ?‘’ đ?‘Ľ dx = đ?‘’ đ?‘Ľ + đ?‘? âˆŤ đ?‘Ž đ?‘Ľ dx = đ?‘Ž đ?‘Ľ log đ?‘’ đ?‘Ž + đ?‘? âˆŤ sin(đ?‘Ľ)dx = −cos(đ?‘Ľ) + đ?‘? âˆŤ cos(đ?‘Ľ)dx = đ?‘ đ?‘–đ?‘›(đ?‘Ľ) + đ?‘? 1

âˆŤ đ?‘?đ?‘œđ?‘ 2 (đ?‘Ľ)dx = đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘›đ?‘”(đ?‘Ľ) + đ?‘?

1

âˆŤ đ?‘ đ?‘–đ?‘›2 (đ?‘Ľ)dx = −đ?‘?đ?‘Ąđ?‘”(đ?‘Ľ) + đ?‘? 1

âˆŤ √1−đ?‘Ľ 2dx = đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘?đ?‘ đ?‘–đ?‘›(đ?‘Ľ) + đ?‘? 1

âˆŤ 1+đ?‘Ľ 2 dx = đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘?đ?‘Ąđ?‘”(đ?‘Ľ) + đ?‘?

Relativamente a questi due ultimi integrali indefiniti occorre ricordare che essi ammettono una soluzione alternativa, tenendo conto che arcsin(x) + arccos(đ?‘Ľ) = 0 e che arctang(x) + arcctg(đ?‘Ľ) = 0.

Linearita’ dell’integrale

Si e’ soliti dire che l’integrale e’ un operatore lineare.

Risulta cioe’ che: âˆŤ đ?‘?1 đ?‘“1 (đ?‘Ľ) Âą đ?‘?2 đ?‘“2 (đ?‘Ľ) = âˆŤ đ?‘?1 đ?‘“1 (đ?‘Ľ) Âą âˆŤ đ?‘?2 đ?‘“2 (đ?‘Ľ) = đ?‘?1 âˆŤ đ?‘“1 (đ?‘Ľ) Âą đ?‘?2 âˆŤ đ?‘“2 (đ?‘Ľ) Le quantita’ đ?‘?1 đ?‘’ đ?‘?2 sono due numeri reali qualunque. Esercizi elementari sugli integrali indefiniti âˆŤ đ?‘˜đ?‘‘đ?‘Ľ = đ?‘˜ âˆŤ đ?‘‘đ?‘Ľ = đ?‘˜đ?‘Ľ + đ?‘?

𝑥 (𝑛−2)+1

∫ 𝑘𝑥 𝑛−2 𝑑𝑥 = 𝑘 ∫ 𝑥 𝑛−2 𝑑𝑥 = 𝑘 (𝑛−2)+1 +𝑐 = 𝑘

𝑥 𝑛−1 𝑛−1

+𝑐

∫ 2𝑒 𝑥 𝑑𝑥 = 2 ∫ 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑐 = 2𝑒 𝑥 + 𝑐 ∫(𝑎𝑒 𝑥 + 𝑏𝑠𝑖𝑛(𝑥))dx

= ∫ 𝑎𝑒 𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 𝑏𝑠𝑖𝑛(𝑥)dx

= 𝑎 ∫ 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 +

𝑏 ∫ 𝑠𝑖𝑛(𝑥)dx = (𝑎𝑒 𝑥 − 𝑏𝑐𝑜𝑠(𝑥)) + 𝑐 𝑎

1

∫ 𝑥 dx = 𝑎 ∫ 𝑥 dx = 𝑎𝑙𝑛|𝑥| + 𝑐

23

2

3

1 3

2

∫ 𝑘 √𝑥 dx = 𝑘 ∫ √𝑥 𝑑𝑥 = 𝑘 ∫(𝑥) dx =

1

( +1) 𝑥3 𝑘2 1 +1 3

𝑎

3

3

= 4 𝑘 2 √𝑥 4 + 𝑐

1

∫(𝑐𝑜𝑠2 (𝑥) + 𝑏𝑐𝑜𝑠(x))dx= 𝑎 ∫ 𝑐𝑜𝑠2 (𝑥)dx+𝑏 ∫ cos(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑎𝑡𝑎𝑛(𝑥) + 𝑏𝑠𝑖𝑛(𝑥) + 𝑐

Esercizi elementari sugli integrali definiti 2𝑎

∫𝑎 (5𝑥 + 2)𝑑𝑥 2𝑎

2𝑎

2𝑎

In questo caso si puo’ scrivere che ∫𝑎 (5𝑥 + 2)𝑑𝑥 = ∫𝑎 5𝑥𝑑𝑥 + ∫𝑎 2𝑑𝑥 = 2𝑎

2𝑎

𝑥2

5 ∫𝑎 𝑥𝑑𝑥 + 2 ∫𝑎 𝑑𝑥 = 5⦋ 2 ⦌2𝑎 +2⦋𝑥⦌2𝑎 = 5( 𝑎 𝑎 15𝑎2 2

+ 2𝑎

4𝑎2 2

−

𝑎2 2

) +2(2𝑎 − 𝑎) =

đ?‘Ž

âˆŤâˆ’đ?‘Ž đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ľ con a > 0 In casi come questi oltre a sviluppare i passaggi formali si puo’ osservare che gli estremi di integrazione sono simmetrici rispetto all’origine e si puo’ rappresentare la funzione integranda (bisettrice del I e del III quadrante). đ?‘Ž

E’ immediato constatare che si ha âˆŤâˆ’đ?‘Ž đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ľ = 0.

Integrazione per trasformazione

L’integrazione per trasformazione presuppone banali trasformazioni algebriche della funzione integranda.

Una trasformazione particolarmente utilizzata e’ la seguente: 1 ��

1

= (đ?‘Ľ)đ?‘› = đ?‘Ľ −đ?‘› considerate sotto la condizione n ≼ 2.

Tanto premesso, si puo’ scrivere che:

1

1

âˆŤ đ?‘Ľ đ?‘› đ?‘‘đ?‘Ľ = âˆŤ(đ?‘Ľ)đ?‘› đ?‘‘đ?‘Ľ = âˆŤ đ?‘Ľ −đ?‘› đ?‘‘đ?‘Ľ =

đ?‘Ľ 1−đ?‘› 1−đ?‘›

+đ?‘?

E’ possibile considerare un semplice esempio, quale il seguente.

đ?‘Ž

đ?‘Ľ 1−đ?‘›+3

âˆŤ đ?‘Ľ đ?‘›âˆ’3 đ?‘‘đ?‘Ľ = đ?‘Ž 1−đ?‘›+3 +đ?‘? = đ?‘Ž

đ?‘Ľ 4−đ?‘› 4−đ?‘›

+đ?‘?

Deve essere n−3 ≼ 2 đ?‘’ đ?‘žđ?‘˘đ?‘–đ?‘›đ?‘‘đ?‘– đ?‘› ≼ 5. 1

Ove negli integrali âˆŤ đ?‘Ľ đ?‘› đ?‘‘đ?‘Ľ si considerasse il caso n intero negativi allora essi sarebbero un integrale immediato, come il seguente esempio ben chiarisce.

1

âˆŤ đ?‘Ľ −3 đ?‘‘đ?‘Ľ = âˆŤ đ?‘Ľ 3 đ?‘‘đ?‘Ľ =

đ?‘Ľ4 4

+đ?‘?

Un ulteriore esempio di integrali ai quali e’ possibile utilizzare il metodo di trasformazione e’ il seguente: �

âˆŤ √đ?‘Ľ đ?‘š dx đ?‘š

đ?‘›

E’ possibile utilizzare il morfismo √đ?‘Ľ đ?‘š ≥ (đ?‘Ľ) đ?‘›

Si ha che:

âˆŤ

đ?‘›

√đ?‘Ľ đ?‘š

đ?‘š đ?‘›

dx =âˆŤ(đ?‘Ľ) đ?‘‘đ?‘Ľ =

đ?‘š

( +1) (đ?‘Ľ) đ?‘› đ?‘š +1 đ?‘›

đ?‘š+đ?‘›

+đ?‘? =

(đ?‘Ľ) đ?‘›

đ?‘š+đ?‘› đ?‘›

đ?‘›

+ đ?‘? = đ?‘š+đ?‘› (đ?‘Ľ)

đ?‘š+đ?‘› đ?‘›

+ đ?‘?.

Anche in questo caso e’ possibile considerare un caso esemplificativo quale il seguente. đ?‘˜âˆ’2

âˆŤ đ?‘Ľ đ?‘˜ √đ?‘Ľ đ?‘˜+1 dx

đ?‘˜âˆ’2

đ?‘˜+1

Le funzione integranda e’ đ?‘Ľ đ?‘˜ √đ?‘Ľ đ?‘˜+1 che puo’ essere trasformata in đ?‘Ľ đ?‘˜ đ?‘Ľ đ?‘˜âˆ’2 đ?‘˜+1

= đ?‘Ľ đ?‘˜ +đ?‘˜âˆ’2 = đ?‘Ľ

đ?‘˜(đ?‘˜âˆ’2)+đ?‘˜+1 đ?‘˜âˆ’2

Posto

đ?‘˜(đ?‘˜âˆ’2)+đ?‘˜+1 đ?‘˜âˆ’2

= � si puo’ scrivere che:

đ?‘˜âˆ’2

âˆŤ đ?‘Ľ đ?‘˜ √đ?‘Ľ đ?‘˜+1 dx = âˆŤ đ?‘Ľ đ?‘˘ dx =

� �+1 �+1

+đ?‘?

Un ulteriore esempio di integrale trasformabile e’ il seguente. đ?‘Žđ?‘Ľ đ?‘›+1 +đ?‘?đ?‘Ľ đ?‘›+4

âˆŤ đ?‘Ž đ?‘?

đ?‘?đ?‘Ľ đ?‘›âˆ’1

đ?‘Žđ?‘Ľ đ?‘›+1

đ?‘?đ?‘Ľ đ?‘›+4

đ?‘Ž

đ?‘Ľ đ?‘›+1

đ?‘?

đ?‘Ľ đ?‘›+4

dx = âˆŤ đ?‘?đ?‘Ľ đ?‘›âˆ’1 đ?‘‘đ?‘Ľ + âˆŤ đ?‘?đ?‘Ľ đ?‘›âˆ’1 đ?‘‘đ?‘Ľ = đ?‘? âˆŤ đ?‘Ľ đ?‘›âˆ’1 đ?‘‘đ?‘Ľ + đ?‘? âˆŤ đ?‘Ľ đ?‘›âˆ’1 đ?‘‘đ?‘Ľ = đ?‘?

đ?‘Ž

đ?‘?

âˆŤ đ?‘Ľ đ?‘›+1−đ?‘›+1 đ?‘‘đ?‘Ľ + đ?‘? âˆŤ đ?‘Ľ đ?‘›+4−đ?‘›+1 đ?‘‘đ?‘Ľ = đ?‘? âˆŤ đ?‘Ľ 2 đ?‘‘đ?‘Ľ + đ?‘? âˆŤ đ?‘Ľ 5 đ?‘‘đ?‘Ľ

L’integrale e’ stato ricondotto alla somma di due integrali immediati.

Integrazione per sostituzione Utile a gestire situzioni del tipo âˆŤ đ?‘“(đ?‘Ą)đ?‘‘đ?‘Ą quando esista una đ?œ‘ | đ?‘Ą = đ?œ‘(đ?‘Ľ). Se e’ dato đ?‘Ą = đ?œ‘(đ?‘Ľ) si puo’ scrivere: âˆŤ đ?‘“(đ?‘Ą)đ?‘‘đ?‘Ą = âˆŤ đ?‘“(đ?œ‘(đ?‘Ľ))đ?‘‘ (đ?œ‘(đ?‘Ľ)) La funzione đ?œ‘(đ?‘Ľ) e’ derivabile, quindi si ha: đ?‘‘ đ?‘‘đ?‘Ľ

đ?œ‘(đ?‘Ľ) = đ?œ‘′(đ?‘Ľ) e quindi đ?‘‘đ?œ‘(đ?‘Ľ) = đ?œ‘ ′ (đ?‘Ľ)đ?‘‘đ?‘Ľ.

Pertanto si ha: âˆŤ đ?‘“(đ?‘Ą)đ?‘‘đ?‘Ą = âˆŤ đ?‘“(đ?œ‘(đ?‘Ľ))đ?‘‘ (đ?œ‘(đ?‘Ľ)) = âˆŤ đ?‘“(đ?œ‘(đ?‘Ľ)) đ?œ‘ ′ (đ?‘Ľ)đ?‘‘đ?‘Ľ

Esempi di integrazione per sostituzione

Ecco ora alcuni esempi di integrazione per sostituzione. đ?‘‘đ?‘Ľ

âˆŤ √đ?‘˜+đ?‘Ľ Occorre porre đ?œ‘(đ?‘Ľ) = đ?‘˜ + đ?‘Ľ. Derivando rispetto alla x otteniamo đ?‘‘ đ?‘‘đ?‘Ľ

đ?œ‘(đ?‘Ľ) =

đ?‘‘ đ?‘‘đ?‘Ľ

(đ?‘˜ + đ?‘Ľ) = 0 = +1 = 1 e quindi đ?‘‘đ?œ‘(đ?‘Ľ) = đ?‘‘đ?‘Ľ.

Per comodita’ si puo’ porre đ?œ‘(đ?‘Ľ) = đ?‘˘ đ?‘’ đ?‘žđ?‘˘đ?‘–đ?‘›đ?‘‘đ?‘– đ?‘‘đ?œ‘(đ?‘Ľ) = đ?‘‘đ?‘˘. In ogni caso dx = đ?‘‘đ?‘˘.

Pertanto âˆŤ đ?‘˘

1 2

(− )

1

du =

− +1 đ?‘˘ 2 1 2

− +1

1

+đ?‘? =

�2 1 2

Un ulteriore esempio e’ il seguente. ��

âˆŤ đ?‘˜đ?‘Ľ+1

+ đ?‘? = 2√đ?‘˘ +đ?‘? = 2√đ?‘˜ + đ?‘Ľ +đ?‘?

Semplicemente si utilizza la sostituzione u = đ?‘˜đ?‘Ľ + 1 .

Differenziando si ha du = đ?‘˜đ?‘‘đ?‘Ľ. Pertanto dx =

đ?‘‘đ?‘˘ đ?‘˜

.

Con la sostituzione considerate l’integrale diviene: 1 ��

âˆŤđ?‘˘

đ?‘˜

1

= đ?‘˜ âˆŤ đ?‘˘âˆ’1du = ln|đ?‘˘| + đ?‘? = ln|đ?‘˜đ?‘Ľ + 1| + đ?‘?. 1

(x ≠− đ?‘˜) Anche il seguente integrale e’ calcolabile per sostituzione. âˆŤ đ?‘’ −3đ?‘Ľ dx Puo’ utilmente utilizzarsi la sostituzione u = −3đ?‘Ľ che differenziata conduce a du = −3đ?‘‘đ?‘Ľ.

Si ha dx= −

âˆŤ đ?‘’ đ?‘˘ (−

�� 3

�� 3

e quindi si ottiene il seguente integrale:

1

1

) = − 3 âˆŤ đ?‘’ đ?‘˘ du = − 3 đ?‘’ −3đ?‘Ľ + đ?‘?

Tra gli integrali calcolabili per sostituzione vi e’ il seguente:

�′(�)

âˆŤ đ?‘“(đ?‘Ľ) dx

Si utilizza la sostituzione f(x) = u. Si osservi che f’(x) che compare al ��

numeratore puo essere posta eguale a �� avendo quindi che: �� ��

= � ′ (�)

�′(�)

1

1

âˆŤ đ?‘“(đ?‘Ľ) dx = âˆŤ đ?‘“(đ?‘Ľ) đ?‘“′(đ?‘Ľ)dx= âˆŤ đ?‘˘ du = ln|đ?‘˘| + đ?‘? = ln|đ?‘“(đ?‘Ľ)| + đ?‘? đ?‘”(đ?‘Ľ)

Occorre ricordare che questi integrali possono trovarsi nella forma âˆŤ đ?‘“(đ?‘Ľ)dx essendo rimesso all’interprete osservare se g(x) = đ?‘“′(đ?‘Ľ).

Una ulteriore classe di integrali calcolabili per sostituzione e’ quella riconducibile alla forma âˆŤâŚ‹đ?‘“(đ?‘Ľ)âŚŒđ?‘› đ?‘“ ′ (đ?‘Ľ)đ?‘‘đ?‘Ľ Si utilizza la sostituzione f(x) = đ?‘˘. đ?‘‘đ?‘˘

Da f’(x) =�� da cui discende che du =f’(x)dx.

Cio’ ottenuto si puo’ scrivere ⦋𝑓(𝑥)⦌𝑛+1 𝑛+1

+𝑐

∫⦋𝑓(𝑥)⦌𝑛 𝑓 ′ (𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑢𝑛 𝑑𝑢 =

𝑢𝑛+1 𝑛+1

+𝑐 =

Riconoscere alcuni integrali immediati

Alcuni integrali indefiniti possono essere considerati integrali immediati. Sia ad esempio dato il seguente integrale âˆŤ đ?‘˜(đ?‘˜đ?‘Ľ − 3)6 đ?‘‘đ?‘Ľ. Questo integrale potrebbe essere gestito ricordando che âˆŤ đ?‘˜(đ?‘˜đ?‘Ľ − 3)6 đ?‘‘đ?‘Ľ = âˆŤ(đ?‘˜đ?‘Ľ − 3)6 đ?‘‘đ?‘Ľ

con la sostituzione đ?‘˜đ?‘Ľ − 3 = đ?‘˘ e procedendo di

conseguenza.

Ma esite un secondo metodo risolutivo che poggia sull’osservazione che k �

= đ?‘‘đ?‘Ľ ( đ?‘˜đ?‘Ľ − 3) . Sotto queste condizioni si puo’ scrivere che âˆŤ đ?‘˜(đ?‘˜đ?‘Ľ − 3)6 đ?‘‘đ?‘Ľ = âˆŤ(đ?‘˜đ?‘Ľ − đ?‘‘

3)6 đ?‘‘đ?‘Ľ = âˆŤ(đ?‘˜đ?‘Ľ − 3)6 đ?‘‘đ?‘Ľ ( đ?‘˜đ?‘Ľ − 3)dx = âˆŤ(đ?‘˜đ?‘Ľ − 3)6 đ?‘‘(( đ?‘˜đ?‘Ľ − 3)) Quello ottenuto e‘ un integrale immediato avendo che:

âˆŤ(đ?‘˜đ?‘Ľ − 3)6 đ?‘‘(( đ?‘˜đ?‘Ľ − 3))=

(đ?‘˜đ?‘Ľâˆ’3)7 7

+ đ?‘?.

Si considero ora un integrale indefinito del tipo âˆŤ(đ?‘Ž + đ?‘?đ?‘Ľ)đ?‘˜ dx .

Anche in questo caso l’integrale indefinito si potrebbe approcciare con il metodo di sostituzione, cioe’ ponendo đ?‘Ž + đ?‘?đ?‘Ľ = đ?‘˘

e procedere

conseguentemente.

Una modalita’ risolutiva alternativa potrebbe essere la seguente.

Si puo’ ragionare sulla funzione integranda osservando che risulta essere � ��

( đ?‘Ž + đ?‘?đ?‘Ľ) = đ?‘?.

Da cui si ha d(a+đ?‘?đ?‘Ľ) = đ?‘?đ?‘‘đ?‘Ľ da cui si ottiene dx =

đ?‘‘(đ?‘Ž+đ?‘?đ?‘Ľ) đ?‘?

.

Questo valore puo’ essere sostituito nell’integrale avendo che:

âˆŤ(đ?‘Ž + đ?‘?đ?‘Ľ)đ?‘˜ dx = âˆŤ(đ?‘Ž + đ?‘?đ?‘Ľ)đ?‘˜

đ?‘‘(đ?‘Ž+đ?‘?đ?‘Ľ) đ?‘?

1

= đ?‘? âˆŤ(đ?‘Ž + đ?‘?đ?‘Ľ)đ?‘˜ đ?‘‘(đ?‘Ž + đ?‘?đ?‘Ľ).

�� ℎ� ora a che fare con un integrale immediato e si puo’ scrivere che:

1

1 (đ?‘Ž+đ?‘?đ?‘Ľ)đ?‘˜

âˆŤ(đ?‘Ž + đ?‘?đ?‘Ľ)đ?‘˜ đ?‘‘(đ?‘Ž + đ?‘?đ?‘Ľ) = đ?‘? đ?‘?

(đ?‘˜+1)

đ?‘„đ?‘˘đ?‘’đ?‘ đ?‘Ąđ?‘– integrali sono stati manipolati per portarli ad una forma nella quale la funzione integranda e’ del tipo đ?‘“ đ?‘› (x)f’(x) applicando il teorema per il quale âˆŤ đ?‘“ đ?‘› (x)f’(x)dx =

đ?‘“ đ?‘›+1 (x) đ?‘›+1

+đ?‘?.

In questi casi deve essere n ≠−1.

In alcuni casi si ha a che fare con funzioni integrande del tipo

�′(�) �(�)

.

�′(�)

In questi casi risulta âˆŤ đ?‘“(đ?‘Ľ) đ?‘‘đ?‘Ľ = ln|đ?‘“(đ?‘Ľ)| + đ?‘?. đ?‘˜đ?‘Ľ

E’ il caso del seguente integrale âˆŤ đ?‘Ľ đ?‘˜ −đ?‘Ądx đ?‘‘

Lo si gestisce osservando che kx = đ?‘‘đ?‘Ľ (đ?‘Ľ đ?‘˜ − đ?‘Ą) ed applicando immediatamente la formula risolutiva.

Molto efficacemente si possono risolvere integrali la cui funzione integranda e’ del tipo đ?‘’ đ?‘“(đ?‘Ľ) f ’(x) Da âˆŤ đ?‘’ đ?‘Ľ dx = đ?‘’ đ?‘Ľ +đ?‘? si ha il corrispondente integrale indefinito immediato che deve essere della forma âˆŤ đ?‘’ đ?‘“(đ?‘Ľ) d(f(x)) = đ?‘’ đ?‘“(đ?‘Ľ) +đ?‘?

Ma

equivalentemente

essi

possono

essere

messi

âˆŤ đ?‘’ đ?‘“(đ?‘Ľ) đ?‘“ ′ (đ?‘Ľ)đ?‘‘đ?‘Ľ in quanto d(f(x))= đ?‘“ ′ (đ?‘Ľ)đ?‘‘đ?‘Ľ.

Sono gestibili con questo teorema integrali tipo il seguente:

nella

forma

đ?‘˜

âˆŤ đ?‘˜đ?‘Ľ đ?‘˜âˆ’1 đ?‘’ đ?‘Ľ dx riconducibile a una forma immediata soo che si osservi che đ?‘‘

đ?‘˜đ?‘Ľ đ?‘˜âˆ’1 = đ?‘‘đ?‘Ľ (đ?‘Ľ đ?‘˜ ). đ?‘˜

đ?‘˜

In questo caso si ha che âˆŤ đ?‘˜đ?‘Ľ đ?‘˜âˆ’1 đ?‘’ đ?‘Ľ dx = đ?‘’ đ?‘Ľ + đ?‘?.

Sia dato, ad esempio, il seguente integrale âˆŤ đ?‘’ đ?‘˜đ?‘Ľ dx . In questo caso occorre ricondursi ad un integrale del tipo âˆŤ đ?‘’ đ?‘˜đ?‘Ľ đ?‘‘(đ?‘˜đ?‘Ľ), che e’ un integrale immediato.

Si puo’ scrivere che đ?‘‘(đ?‘˜đ?‘Ľ) đ?‘˜

âˆŤ đ?‘’ đ?‘˜đ?‘Ľ

đ?‘‘ đ?‘‘đ?‘Ľ

(kx) = đ?‘˜ da cui d(kx) = đ?‘˜đ?‘‘đ?‘Ľ e in definitiva dx =

e quindi sostituendo nell’integrale si ha il seguente integrale đ?‘‘(đ?‘˜đ?‘Ľ) đ?‘˜

1

1

= đ?‘˜ âˆŤ đ?‘’ đ?‘˜đ?‘Ľ đ?‘‘(đ?‘˜đ?‘Ľ) = đ?‘˜ đ?‘’ đ?‘˜đ?‘Ľ + đ?‘?.

E’ riconducibile ad un integrale immediato pure il seguente âˆŤ

sin(���)) �

dx che

e’ immediatamente ponibile in una forma nota quando si osservi che la 1

funzione integranda puo’ essere messa nella forma � sin(ln(�)).

1

Si deve infatti osservare che đ?‘Ľ =

đ?‘‘ đ?‘‘đ?‘Ľ

ln(x) e pertanto l’integrale puo’ essere

equivalentemente scritto come âˆŤ đ?‘“ ′ (đ?‘Ľ)sin(đ?‘“(đ?‘Ľ))đ?‘‘đ?‘Ľ = −cos(đ?‘“(đ?‘Ľ)) + đ?‘?.

Infatti,

đ?‘‘ đ?‘‘đ?‘Ľ

f(x) = � ′ (�) da cui si ottiene d(f(x)) = � ′ (�)dx e quindi

l’espressione integranda e’ riscivibile come âˆŤ sin(đ?‘“(đ?‘Ľ))đ?‘‘(đ?‘“(đ?‘Ľ)) = − cos(đ?‘“(đ?‘Ľ)) + đ?‘?.

Infatti derivando rispetto a d(f(x)) si ha: đ?‘‘

đ?‘‘

âˆŤ sin(đ?‘“(đ?‘Ľ))đ?‘‘(đ?‘“(đ?‘Ľ)) = đ?‘‘ đ?‘“(đ?‘Ľ) (− cos(đ?‘“(đ?‘Ľ)) + đ?‘?) đ?‘‘ đ?‘“(đ?‘Ľ) da cui si ottiene sin(f(x)) = sin(đ?‘“(đ?‘Ľ))

Con

riferimento

all’integrale

considerato

1

âˆŤ đ?‘Ľ sin(ln(đ?‘Ľ))đ?‘‘đ?‘Ľ

=

− cos(ln(đ?‘Ľ)) + đ?‘?.

Anche integrali del tipo âˆŤ đ?‘ đ?‘–đ?‘›(đ?‘Žđ?‘Ľ + đ?‘?)đ?‘‘đ?‘Ľ possono essere ricondotti al modello di risoluzione precedente con un artificio in quanto anche detto integrale

deve

essere

ricondotto

equivalente âˆŤ đ?‘“ ′ (đ?‘Ľ)sin(đ?‘“(đ?‘Ľ))đ?‘‘đ?‘Ľ = −cos(đ?‘“(đ?‘Ľ)) + đ?‘?.

alla

forma

Nell’integrale considerato la funzione integranda non contiene il termine � ′ (�) .

Detta derivata, nel caso considerato, vale a ed allora si avrebbe l’integrale âˆŤ đ?‘Žđ?‘ đ?‘–đ?‘›(đ?‘Žđ?‘Ľ + đ?‘?)đ?‘‘đ?‘Ľ = đ?‘Ž âˆŤ đ?‘ đ?‘–đ?‘›(đ?‘Žđ?‘Ľ + đ?‘?)đ?‘‘đ?‘Ľ. đ?‘‘

Si puo’ ragionare sul primo membro osservando che đ?‘‘đ?‘Ľ (đ?‘Žđ?‘Ľ + đ?‘?) = đ?‘Ž e in definitiva d(ax+đ?‘?) = đ?‘Žđ?‘‘đ?‘Ľ da cui dx =

d(ax+đ?‘?) đ?‘Ž

che conduce a scrivere il

seguente integrale indeifnito:

âˆŤ đ?‘ đ?‘–đ?‘›(đ?‘Žđ?‘Ľ + đ?‘?)

d(ax+đ?‘?) đ?‘Ž

=

1 đ?‘Ž

1

âˆŤ sin(đ?‘Žđ?‘Ľ + đ?‘?) đ?‘‘(đ?‘Žđ?‘Ľ + đ?‘?) = − đ?‘Žcos((đ?‘Žđ?‘Ľ + đ?‘?) +

đ?‘?. đ??śđ?‘œđ?‘› considerazioni analoghe si trattano i seugenti integrali indefiniti. âˆŤ đ?‘“ ′ (đ?‘Ľ) cos(đ?‘“(đ?‘Ľ)) đ?‘‘đ?‘Ľ = sin(đ?‘“(đ?‘Ľ)) + đ?‘? đ?‘“′(đ?‘Ľ)

âˆŤ đ?‘?đ?‘œđ?‘ 2 (đ?‘“(đ?‘Ľ))dx = đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘›đ?‘”(đ?‘“(đ?‘Ľ)) + đ?‘? đ?‘“′(đ?‘Ľ)

âˆŤ đ?‘ đ?‘–đ?‘›2 (đ?‘“(đ?‘Ľ))dx = −đ?‘?đ?‘œđ?‘Ąđ?‘Žđ?‘›đ?‘”(đ?‘“(đ?‘Ľ)) + đ?‘?

Vi sono ulteriori classi di integrali calcolabili elementarmente.

đ?‘˜

Un esempio particolare e’ il seguente integrale âˆŤ √1−đ?‘˜ 2 2dx che in forma đ?‘Ľ equivalente puo’ essere scritto come âˆŤ

đ?‘˜ √1−(đ?‘˜đ?‘Ľ)2

dx.

Si osservi che ponendo kx = �(�) allora si puo’ affermare che k = �′(�).

Fatte queste premesse questo integrale particolare e’ riconducibile agli integrali della classe âˆŤ

Ma � ′ (�) =

đ?‘‘(đ?‘“(đ?‘Ľ)) đ?‘‘đ?‘Ľ

đ?‘“′(đ?‘Ľ) √1−(đ?‘“(đ?‘Ľ))2

dx.

da cui � ′ (�)�� = d(f(x)) che conduce alla forma

1

âˆŤ √1−(đ?‘“(đ?‘Ľ))2 đ?‘‘(đ?‘“(đ?‘Ľ)) = arcsin(đ?‘“(đ?‘Ľ)) + đ?‘?.

Un

ulteriore

esempio

di

elementarmente e’ il seguente: ��

âˆŤ √1−đ?‘’ 2đ?‘Ľdx

questi

integrali

particolari

risolubili

Occorre porre l’espressione � 2� sotto forma di quadrato cioe’ come � 2� = (� � )2 .

Con questa osservazione l’interale considerato e’ riconducibile ad una �

forma canonica in quanto đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘’ đ?‘Ľ = đ?‘’ đ?‘Ľ . đ?‘’đ?‘Ľ

Pertanto si puo’ scrivere che: âˆŤ √1−đ?‘’ 2đ?‘Ľ dx = arcsin(đ?‘’ đ?‘Ľ ) +đ?‘?.

Una ulteriore ampia classe di integrali puo’ essere risolta con la formula seguente: �′(�)

âˆŤ 1+(đ?‘“(đ?‘Ľ))2dx = đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘?đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘›đ?‘”(đ?‘“(đ?‘Ľ)) + đ?‘? đ?‘ˆđ?‘› esempio di integrale riconducibile a questa formula e’ il seguente: 1

âˆŤ đ?‘Ľ(1+đ?‘™đ?‘›2 (đ?‘Ľ))dx . đ??¸ ′ utile riscrivere l’espressione integranda come segue: 1

1

đ?‘Ľ 1+(ln đ?‘Ľ)2

1

dx avendo quindi il seguente integrale indefinito âˆŤ đ?‘Ľ 1

in esso avendo che đ?‘Ľ =

đ?‘‘ đ?‘‘đ?‘Ľ

(ln(đ?‘Ľ)).

1 1+(ln đ?‘Ľ)2

dx

Pertanto e’ possibile scrivere che âˆŤ

1

1

đ?‘Ľ 1+(ln đ?‘Ľ)2

dx = đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘?đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘›đ?‘”(ln(đ?‘Ľ)) + đ?‘?.

Integrazione di alcune funzioni irrazionali

Si considerano integrali indefiniti dei tipi seguenti:

âˆŤ √đ?‘Ľ 2 Âą đ?‘Ž2 đ?‘‘đ?‘Ľ

âˆŤâˆš

1 đ?‘Ľ 2 Âąđ?‘Ž2

dx

Ho constatato dalla manualistica ⌋Fico, Cariani, MattinaâŚŒ che per essi viene proposta la sostituzione t = x + √đ?‘Ľ 2 Âą đ?‘Ž2 .

Nell’osservare l’espressione delle primitive ho ipotizzato di utilizzare una diversa sostituzione.

Ad esempio, con riferimento all’integrale âˆŤ √đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ž2 đ?‘‘đ?‘Ľ ho ipotizzato la sostituzione u = đ?‘˘(đ?‘Ľ) = đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ž2 che definisce propriamente una classe di funzioni, al variare di a nei numeri reali R.

A

questo

punto

si

ha

l’integrale

indefinito

âˆŤ √đ?‘˘(đ?‘Ľ)đ?‘‘đ?‘Ľ

non

immediatamente gestibile, in quanto non riconducibile ad un integrale immediato.

A questo punto si puo’ lavorare su u(x) osservando che: u = � 2 + �2 e’ derivabile rispetto alla x avendosi conseguentemente che: � ��

đ?‘‘

��

u = đ?‘‘đ?‘Ľ (đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ž2 ) da cui đ?‘‘đ?‘Ľ = 2 che conduce a dx =

�� 2

A questo punto e’ possibile riscrivere l’integrale dato nella forma âˆŤ √đ?‘˘ 1

1 √đ?‘˘3

= 2 âˆŤ √đ?‘˘đ?‘‘đ?‘˘ = 2

3 2

�� 2

1

+đ?‘? = 3 √đ?‘˘3 + đ?‘?.

Riflettendo non ho trovato ragioni per dichiarare inamissibile questa sostituzione che ho introdotto in luogo di quella proposta nel testo.

Devo ritenere che sostituzioni diverse conducano ad espressioni delle primitive diverse cosi’ come a distinte espressioni booleane corrisponde una funzione booleana.

Le stesse riflessioni possno farsi per gli altri integrali indicati in questo breve paragrafo.

In relazione ad integrali del tipo âˆŤ √đ?‘Ľ 2 − đ?‘Ž2 đ?‘‘đ?‘Ľ ci si dovrebbe riferire alla condizione di esistenza in R della funzione integranda dovendo risultare đ?‘Ľ 2 − đ?‘Ž2 > 0.

Integrazione per parti

Si deve partire dal solito assunto che derivazione e integrazione sono operazioni opposte. Sia data la funzione f(x) = đ?‘“1 (đ?‘Ľ)đ?‘“2(x) . Si ricordi il teorema di Leibnitz della derivate del prodotto di due funzioni avendo che: đ??ˇđ?‘Ľ ( đ?‘“1 (đ?‘Ľ)đ?‘“2 (x)) = đ?‘“′1 (đ?‘Ľ)đ?‘“2(x) +đ?‘“1 (đ?‘Ľ)đ?‘“2 ′(x)

E’ applicabile l’operatore integrale ai due membri, avendo che: đ??ˇđ?‘Ľâˆ’ (đ??ˇđ?‘Ľ ( đ?‘“1 (đ?‘Ľ)đ?‘“2 (x))) = âˆŤ đ?‘“ ′1 (đ?‘Ľ)đ?‘“2 (x)dx + âˆŤ đ?‘“1 (đ?‘Ľ)đ?‘“2 ′(x) đ?‘‘đ?‘Ľ (đ??ˇđ?‘Ľâˆ’ đ??ˇđ?‘Ľ )( đ?‘“1 (đ?‘Ľ)đ?‘“2(x))) = âˆŤ đ?‘“ ′1 (đ?‘Ľ)đ?‘“2 (x)dx + âˆŤ đ?‘“1 (đ?‘Ľ)đ?‘“2 ′(x) đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘“1 (đ?‘Ľ)đ?‘“2 (x) = âˆŤ đ?‘“ ′1 (đ?‘Ľ)đ?‘“2 (x)dx + âˆŤ đ?‘“1 (đ?‘Ľ)đ?‘“2 ′(x) đ?‘‘đ?‘Ľ In altri termini si puo’ scrivere che: âˆŤ đ?‘“ ′1 (đ?‘Ľ)đ?‘“2 (x)dx = đ?‘“1 (đ?‘Ľ)đ?‘“2(x) − âˆŤ đ?‘“1 (đ?‘Ľ)đ?‘“2 ′(x) đ?‘‘đ?‘Ľ

La relazione puo’ essere scritta in forma equivalente come segue: âˆŤ đ?‘‘đ?‘“1 (đ?‘Ľ)đ?‘“2 (x) = đ?‘“1 (đ?‘Ľ)đ?‘“2 (x) − âˆŤ đ?‘“1 (đ?‘Ľ)đ?‘‘đ?‘“2 (x)

La riscrittura deriva dalla nozione di differenziale di una funzione. Ad esempio per la funzione đ?‘“1 (x) si ha

đ?‘‘

đ?‘“ (x)= đ?‘‘đ?‘Ľ 1

�′1(x) da cui d�1 (x) =

�′1 (x)dx . Per evitare confusione le funzioni vengono indicate con lettere distinte, f e g, ad esempio.

Sono calcolabili con il metodo di integrazione per parti integrali dei tipi seguenti: âˆŤ đ?‘Ľ đ?‘› đ?‘’ đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ âˆŤ đ?‘Ľ đ?‘› sin(đ?‘Ľ)đ?‘‘đ?‘Ľ âˆŤ đ?‘Ľ đ?‘› cos(đ?‘Ľ)đ?‘‘đ?‘Ľ

La relazione che contiene le forme differenziali e’ la seguente: âˆŤ đ?‘“đ?‘‘đ?‘” = đ?‘“đ?‘” − âˆŤ đ?‘”đ?‘‘đ?‘“

In ognuno dei tre integrali si pone f ≥ đ?‘Ľ đ?‘› mentre la funzione g viene data in forma differenziale ovvero ponendo dg = đ?‘’ đ?‘Ľ dx . Da f(x) = đ?‘Ľ đ?‘› si ha che f’(x) = đ?‘›đ?‘Ľ đ?‘›âˆ’1 ed anche df(x) = đ?‘›đ?‘Ľ đ?‘›âˆ’1 dx âˆŤ đ?‘Ľ đ?‘› đ?‘’ đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ = đ?‘Ľ đ?‘› đ?‘’ đ?‘Ľ − đ?‘› âˆŤ đ?‘Ľ đ?‘›âˆ’1 đ?‘’ đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ.

Il procedimento deve essere applicato iterativamente all’integrale âˆŤ đ?‘Ľ đ?‘›âˆ’1 đ?‘’ đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ e questo e’ sicuramente un inconveniente. Per il caso n = 2 si ha: âˆŤ đ?‘Ľ 2 đ?‘’ đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ = đ?‘Ľ 2 đ?‘’ đ?‘Ľ − 2 âˆŤ đ?‘Ľ 2−1 đ?‘’ đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ = đ?‘Ľ 2 đ?‘’ đ?‘Ľ − 2⌋đ?‘’ đ?‘Ľ (đ?‘Ľ − 1)âŚŒ + đ?‘?

Esiste una best practice generale per la quale nell’integrazione per parti dg deve essere facilmente integrabile nel senso che quando si considera il fattore differenziale questo e’ riferito ad una funzione per la quale dg e’ facilmente integrabile.

Un caso ulteriore e’ dato dall’integrale seguente.

âˆŤ đ?‘Ľ đ?‘› ln(đ?‘Ľ) đ?‘‘đ?‘Ľ sotto la condizione n ≠−1.

Si pone ln(x) = f(x) e si pone dg(x) =đ?‘Ľ đ?‘› dx da cui g(x) =

đ?‘Ľ đ?‘›+1 đ?‘›+1

Pertanto, si puo’ scrivere che:

âˆŤ đ?‘Ľ đ?‘› ln(đ?‘Ľ) đ?‘‘đ?‘Ľ = ln(đ?‘Ľ) ln(đ?‘Ľ)

đ?‘Ľ đ?‘›+1 đ?‘›+1

1

đ?‘Ľ đ?‘›+1 đ?‘›+1

âˆ’âˆŤ

đ?‘Ľ đ?‘›+1 1 đ?‘›+1

dx đ?‘Ľ đ?‘Ľ đ?‘›+1

= ln(đ?‘Ľ)

đ?‘Ľ đ?‘›+1 đ?‘›+1

đ?‘Ľđ?‘›

− âˆŤ đ?‘›+1dx

+đ?‘? =

1

− đ?‘›+1 âˆŤ đ?‘Ľ đ?‘› dx +đ?‘? = ln(đ?‘Ľ) đ?‘›+1 − (đ?‘›+1)2 đ?‘Ľ đ?‘›+1

Si noti che per n = 0 si ottiene la formula che calcola âˆŤ ln(đ?‘Ľ) đ?‘‘đ?‘Ľ.

Metodo dei coefficienti indeterminati Con questo metodo sono determinabili integrali del tipo âˆŤ đ?‘?(đ?‘Ľ)sin(đ?‘Žđ?‘Ľ) e âˆŤ đ?‘?(đ?‘Ľ)đ?‘’ đ?‘Žđ?‘Ľ ove p(x) e’ un polinomio di grado n.

Si dimostra che: âˆŤ đ?‘?(đ?‘Ľ)sin(đ?‘Žđ?‘Ľ) = đ?‘?1 (đ?‘Ľ) sin(đ?‘Žđ?‘Ľ) + đ?‘?2 (đ?‘Ľ) cos(ax) + cost. Anche đ?‘?1 (đ?‘Ľ) đ?‘’ đ?‘?2 (đ?‘Ľ) sono due polinomi di grado eguale al grado di p(x).

La precedente relazione e’ derivabile rispetto alla x.

Pertanto si ha: đ?‘?(đ?‘Ľ) sin(đ?‘Žđ?‘Ľ) = đ??ˇđ?‘Ľ (đ?‘?1 (đ?‘Ľ) sin(đ?‘Žđ?‘Ľ) + đ?‘?2 (đ?‘Ľ) cos(ax)) Risulta che: âˆŤ đ?‘?(đ?‘Ľ)đ?‘’ đ?‘Žđ?‘Ľ = đ?‘?1 (đ?‘Ľ)đ?‘’ đ?‘Žđ?‘Ľ + đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?‘Ą. Derivando rispetto alla indeterminata x si ha: đ?‘?(đ?‘Ľ)đ?‘’ đ?‘Žđ?‘Ľ = đ??ˇđ?‘Ľ (đ?‘?1 (đ?‘Ľ)đ?‘’ đ?‘Žđ?‘Ľ )

Il principio di identita’ dei polinomi (Abel) Siano dati due polinomi đ?‘?1(x) e đ?‘?2 (x) tali che đ?‘?1(x)=∑đ?‘›đ?‘–=1 đ?‘Žđ?‘– đ?‘Ľ đ?‘–

e

đ?‘– đ?‘?2 (x)=∑đ?‘š đ?‘–=1 đ?‘?đ?‘– đ?‘Ľ .

I due polinomi sono identici (o eguali‌) se e solo se sono verificate le seguenti due condizioni:

m = n (i due polinomi devono avere lo stesso grado) đ?‘Žđ?‘– = đ?‘?đ?‘– ∀ đ?‘– ∈ { 1, 2, 3, ‌. , n}

Due polinomi sono eguali se sono lo stesso polinomio.

L’identita’ dei polinomi di eguale grado, essendo esso n, puo’ essere gestita dimostrando che esistono (n +1) punti, detti đ?‘Ľđ?‘˜| đ?‘˜â‰¤đ?‘›+1 , per i quali risulti vera la condizione: đ?‘?1 ( đ?‘Ľđ?‘˜| đ?‘˜â‰¤đ?‘›+1 ) =đ?‘?2 ( đ?‘Ľđ?‘˜| đ?‘˜â‰¤đ?‘›+1) Se cio’ e’ determinato allora deve intendersi che la relazione đ?‘?1 (đ?‘Ľ) = đ?‘?2 (đ?‘Ľ) e’ identicamente vera, quindi vera per ogni x | x ∊ dom đ?‘“đ?‘– =1,2(x).

Il teorema della media Sia data una funzione f(x) definita e continua in ⌋a , bâŚŒ. Esiste un c ∈ ⌋a , 1

đ?‘?

bâŚŒ tale che f( c) = đ?‘?−đ?‘Ž âˆŤđ?‘Ž đ?‘“(đ?‘Ľ)đ?‘‘đ?‘Ľ. Questo teorema, per il quale esiste una dimostrazione rigorosa, e’ intuitivo e discende dal fatto che la funzione f(x) non e’ costante ed essendo contiunua ha un minimo e un massimo. Il valore

1 đ?‘?−đ?‘Ž

đ?‘?

âˆŤđ?‘Ž đ?‘“(đ?‘Ľ)đ?‘‘đ?‘Ľ e’

compreso tra detti valori estremi e per la continuita’ di f(x) detto valore vale f(c ) per un c ∈ ⌋a , bâŚŒ.

Ottentuto f(c) si ottiene immediatamente c (poiche’ e’ nota la dipedendenza funzionale delle variabili, essendo f( c) ottenuto e quindi noto).

f(c ) e’ detto valore medio di una funzione riferito ad un dato intervallo.

Detto valore non va confuso con il valore efficace di una data funzione rispetto ad un dato intervallo, definito come: 1

đ?‘?2

âˆŤ √(đ?‘“(đ?‘Ľ))2 đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘?−đ?‘Ž đ?‘Ž

Data una funzione f(x) definita e continua in un dato intervallo chiuso se ne calcoli il valore medio. đ?œ‹

f(x) = rđ?‘Ľ 2 + cos(đ?‘Ľ) studiata in ⌋ 0, 2 âŚŒ đ?œ‹ 2

Calcoliamo dapprima l’integrale definito âˆŤđ?‘œ (rđ?‘Ľ 2 + cos(đ?‘Ľ)) dx

đ?œ‹

đ?œ‹

đ?œ‹

Possiamo scrivere che âˆŤđ?‘œ2 (rđ?‘Ľ 2 + cos(đ?‘Ľ)) dx = âˆŤ02 đ?‘&#x;đ?‘Ľ 2 dx + âˆŤ02 cos(đ?‘Ľ)dx= đ?œ‹

(

đ?‘&#x;đ?‘Ľ 3 2 | 3 0

đ?œ‹ 2

) + (sin(đ?‘Ľ)|0 ) =

đ?‘&#x; đ?œ‹ 3 ( ) 3 2

đ?‘&#x; đ?œ‹

−0 + 1 − 0 = 3 ( 2 )3 +1

A questo punto si ottiene il valore medio inteso come: đ?œ‹

âˆŤđ?‘œ2 (rđ?‘Ľ 2 + cos(đ?‘Ľ)) dx đ?œ‹ −0 2

=

đ?‘&#x; đ?œ‹ 3 ( ) 3 2 đ?œ‹ 2

+1

đ?œ‹

Considerando un caso piu’ semplice quale f(x) = rđ?‘Ľ 2 studiata in ⌋ 0, 2 âŚŒ si otterrebbe il valore medio

đ?‘&#x; đ?œ‹ 3 ( ) 3 2 đ?œ‹ 2

e quindi considerando c come una incognita

si avrebbe che: đ?‘&#x; đ?œ‹ 3 ( ) 3 2 đ?œ‹ 2

= đ?‘&#x;đ?‘? 2 ove l’incognita e’ la lettera c.

1

Moltiplicando ambo i membri per đ?‘&#x; ≠0 si ha

valore c = Âąâˆš

1 đ?œ‹ 3 ( ) 3 2 đ?œ‹ 2

1 đ?œ‹ 3 ( ) 3 2 đ?œ‹ 2

= đ?‘? 2 da cui si ottiene il

.

Per la limitazione su c si considera solo la grandezza positiva.

đ?œ‹2

In definitiva c = √12 =

đ?œ‹âˆš12 12

Integrali definiti di funzioni pari e di funzioni dispari Ci si riferisce a intervalli simmetrici âŚ‹âˆ’ đ?‘Ž , +đ?‘ŽâŚŒ e a funzioni f(x) continue e definite in I ⊆ âŚ‹âˆ’ đ?‘Ž , +đ?‘ŽâŚŒ. Una funzione f(x) e’ pari se f(x) =f(−đ?‘Ľ) per ogni x del suo dominio. Una funzione f(x) e’ dispari se f(x) = −đ?‘“(−đ?‘Ľ) per ogni x del suo dominio. Si consideri il caso di una funzione pari quale e’ y =đ?‘Ľ 2 (segmento parabolico).

Detta funzione e’ simmetrica rispetto all’asse delle ordinate.

đ?‘Ž

đ?‘Ž

0

L’integrale definito corrispondente e’ âˆŤâˆ’đ?‘Ž đ?‘Ľ 2 dx vale 2 âˆŤ0 đ?‘Ľ 2 dx=2 âˆŤâˆ’đ?‘Ž đ?‘Ľ 2 dx

Una funzione dispari considerata in un intervallo simmetrico conduce alla risultanza che l’integrale definito vale zero, come e’ facile comprendere dalla sottostante figura, tenendo conto della convenzione sul segno delle aree sopra e sotto l’asse delle ascisse.

đ?‘Ž

In questo caso si ammette sia âˆŤâˆ’đ?‘Ž đ?‘“(đ?‘Ľ)đ?‘‘đ?‘Ľ = 0

Lunghezza di un arco f(x) tra i punti a e b.

Per la determinazione della lunghezza di un arco di curva delimitato da due punti a e b si utilizza la notazione della derivata prima da cui immediatamnte deriva che dy = f’(x)dx .

Si utilizza il concetto di una sostanziale linearizzazione imponendo che tra i punti x e (x + dx) la funzione sia approsimata da un segmento.

Con questa approsimazione e’ possibile utilizzare il teorema di Pitagora e la lunghezza dell’arco e’ legata a dx e a dy dalla seguente relazione:

ds = √(đ?‘‘đ?‘Ľ)2 + (đ?‘‘đ?‘Ś)2 Ma essendo dy = f’(x)dx si ha che đ?‘‘đ?‘Ś 2 = (đ?‘“′(đ?‘Ľ)2 )đ?‘‘đ?‘Ľ 2

đ?‘‘đ?‘Ś

ds = √1 + (đ?‘‘đ?‘Ľ )2 dx

nella quale compare la notazione di von Leibinitz della derivata prima.

La lunghezza dell’arco di curva tra i due punti a e b di essa e’ dato đ?‘?

đ?‘‘đ?‘Ś

dall’integrale âˆŤđ?‘Ž √1 + (đ?‘‘đ?‘Ľ )2 đ?‘‘đ?‘Ľ

Sempre con riferimento al segmento parabolico y = � 2 ci si puo’ chiedere quanto vale la misura dell’arco di segmento tra i punti 1 e 4. ��

Il primo passaggio consiste nel derivare y avendo che đ?‘‘đ?‘Ľ = 2đ?‘Ľ. A questo punto si usa la formula trovata scrivendo che: 4

L = âˆŤ1 √1 + (2đ?‘Ľ)2dx Posto √1 + (2đ?‘Ľ)2 = đ?‘˘2 cioe’ u = 1 + (2đ?‘Ľ)2 si puo’ differenziare rispetto a x avendo che

�� ��

=

đ?‘‘ đ?‘‘đ?‘Ľ

(1 + (2đ?‘Ľ)2) e quindi

4 e quindi du = 4đ?‘‘đ?‘Ľ e quindi dx =

�� ��

=

đ?‘‘ đ?‘‘đ?‘Ľ

(1 + (2đ?‘Ľ)2 = 0 +

�� 4

A questo punto sorge una complicazione dovuta alla sostituzione utilizzata per gestire l’integrale, dovendosi ridefinire opportunamente gli estremi di integrazione con valori đ?‘˘đ?‘– tali che đ?‘˘đ?‘– = 1 + (2đ?‘Ľđ?‘– )2 . Il primo estremo (inferiore) di integrazione si ottiene ponendo đ?‘Ľđ?‘– = 1 ottenendo dalla relazione funzionale che collega u a x il nuovo estremo di integrazione inferiore. Si ha đ?‘˘đ?‘–đ?‘›đ?‘“ = 1 + (2 ∗ 1)2 = 5.

L’estremo superiore di integrazione si ottiene ponendo x = 4 ed avendo che đ?‘˘đ?‘ đ?‘˘đ?‘? = 1 + (2 ∗ 4)2 = 65

L’integrale che ridefinisce la questione e’ il seguente: 65 âˆŤ √đ?‘˘du 4 5 1

facilmente calcobile !

Integrali di funzioni discontinue e di funzioni definite a tratti E’ il caso delle funzioni definite in un intervallo ⌋đ?‘Ž , đ?‘?âŚŒ ma non continue in un un numero discreto di punti di discontinuita’ a salto. Ho rinvenuto il caso in un testo istituzionale ⌋Bramanti, Pagani, SalsaâŚŒ che definisce detto integrale nei termini seguenti: đ?‘?

đ?‘&#x;

đ?‘&#x;

đ?‘?

1

đ?‘˜

1 2 âˆŤđ?‘Ž đ?‘“(đ?‘Ľ)đ?‘‘đ?‘Ľ = âˆŤđ?‘Ž đ?‘“(đ?‘Ľ)đ?‘‘đ?‘Ľ + âˆŤđ?‘&#x; đ?‘“(đ?‘Ľ)đ?‘‘đ?‘Ľ + â‹Ż . . + âˆŤđ?‘&#x; đ?‘“(đ?‘Ľ)đ?‘‘đ?‘Ľ

Questo formalismo potrebbe essere ridefinito nei termini che seguono considerando distinte funzioni đ?‘“đ?‘– (x) riferite ad intervalli del tipo ⌋đ?‘&#x;đ?‘˜ , đ?‘&#x;đ?‘˜+1 âŚŒ

In effetti una funzione f(x) si connota oltre che per la relazione che collega le variabili x ed y anche dal dominio di definizione che si considera, con o senza restrizioni.

đ?‘?

đ?‘&#x;

Una certa perplessita’ nell’usare la notazione âˆŤđ?‘Ž đ?‘“(đ?‘Ľ)đ?‘‘đ?‘Ľ = âˆŤđ?‘Ž 1 đ?‘“(đ?‘Ľ)đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘&#x;

đ?‘?

1

đ?‘˜

+ âˆŤđ?‘&#x; 2 đ?‘“(đ?‘Ľ)đ?‘‘đ?‘Ľ + â‹Ż . . + âˆŤđ?‘&#x; đ?‘“(đ?‘Ľ)đ?‘‘đ?‘Ľ deriva dal fatto che in detti punti đ?‘&#x;đ?‘– di discontinuita’ la funzione avrebbe due valori.

Ad onor del vero sono gli stessi autori che ricordando che “cio’ che conta e’ che su ciascun intervallino (đ?‘&#x;đ?‘˜ , đ?‘&#x;đ?‘˜+1 ) la funzione sia continua e i limiti ai due estremi esistano finiti, non ha importanza, invece, il valore effettivo di f nei due estremiâ€?.

Cio’ non toglie che f possa avere due valori distinti per un dato valore del suo dominio. Nel caso delle discontinuita’ a salto nei punti đ?‘&#x;đ?‘– il dominio di quella che nel testo citato e’ la funzione f(x) potrebbe essere inteso come ⌋đ?‘Ž = đ?‘&#x;0 , đ?‘&#x;1) âˆŞ ⌋đ?‘&#x;1 , đ?‘&#x;2 ) âˆŞ ⌋đ?‘&#x;1 , đ?‘&#x;2 ) âˆŞ ⌋đ?‘&#x;2 , đ?‘&#x;3 ) âˆŞ ‌ . .âˆŞ (đ?‘&#x;đ?‘˜ ,b)

Molto gradita la conclusione sugli intervallini perche’ da un fondamento all’integrabilita’ delle funzioni f(x) definite e continue in un intervallo (a, b) e non in ⌋a, bâŚŒ.

Rispetto a questo caso, e quindi rispetto al caso che la funzione sia definita e continua in (a, b) per poter dichiarare la funzione f(x) integrabile devono esistere finiti i due seguenti limiti: lim đ?‘“(đ?‘Ľ) e lim đ?‘“(đ?‘Ľ).

�→�

đ?‘Ľâ†’đ?‘?

Anche se mai rinvenuta la formalizzazione dell’integrale in questo caso puo’ essere: đ?‘Ľâ†’2−

âˆŤđ?‘Ľâ†’1+ đ?‘“(đ?‘Ľ)đ?‘‘đ?‘Ľ Un esempio riferito ad una funzione elementare quale y = đ?‘Ľ đ?‘› che riconduce quindi al caso di un integrale immediato.

Si ammetta che la funzione sia definita e continua, introducendo quindi una restrizione, nell’intervallo (1, 2), avendo cura che il dominio naturale di essa e’ R.

In questo caso si calcolano i due limiti, cioe’ lim+ đ?‘Ľ 2 = 1 e lim− đ?‘Ľ 2 = 22 đ?‘Ľâ†’2

�→1

= 4. 2

Sotto queste condizioni l’integrale si scrive come âˆŤ1 đ?‘Ľ 2 dx che si calcola come un normale integrale immediato, cioe’ con l’espressione

23 3

1

7

3

3

− =

Criteri di convergenza per integrali particolari

Si considera il caso particolare di due funzioni non negative f(x) e g(x) definite in un intervallo ⌋ a , b) e ivi continue. Sia per esse verificata la condizione 0 ≤ f(x) ≤ g(x).

In alcuni casi e’ sufficiente dire se un integrale e’ convergente senza calcolarlo.

Un integrale e’ convergente quando il limite esiste ed e’ finito.

Per la relazione data tra le funzioni in detto comine intervallo si puo’ scrivere che: đ?‘?−

đ?‘?−

0 ≤ âˆŤđ?‘Ž đ?‘“(đ?‘Ľ) ≤ âˆŤđ?‘Ž đ?‘”(đ?‘Ľ)

Sono evidenti due circostanze. đ?‘?−

đ?‘?−

Se âˆŤđ?‘Ž đ?‘”(đ?‘Ľ) e’ convergente allora anche âˆŤđ?‘Ž đ?‘“(đ?‘Ľ) e’ convergente. đ?‘?−

đ?‘?−

Se âˆŤđ?‘Ž đ?‘“(đ?‘Ľ) e’ divergente allora anche âˆŤđ?‘Ž đ?‘”(đ?‘Ľ) e’ divergente. Una fondamentale conclusione e’ data dalla seguente implicazione (non e’ una condizione necessaria e sufficiente): đ?‘?

Data una funzione |f(x)| integrabile in ⌋a , bâŚŒ se âˆŤđ?‘Ž |f(x)| dx converge si đ?‘?

puo’ dire che âˆŤđ?‘Ž f(x) dx converge. Se e’ vera questa implicazione si dice che la funzione f(x) e’ assolutamente convergente. đ?‘˜

Una funzione f(x) si dice integrabile in ⌋a, +∞) se il lim âˆŤđ?‘Ž đ?‘“(đ?‘Ľ)đ?‘‘đ?‘Ľ esiste đ?‘˜â†’+∞

finito.

Riflessione analoga puo’ essere fatta per una funzione f(x) considerando l’intervallo (−∞, đ?‘?âŚŒ.

Anche in questo caso e’ dato un criterio di confronto.

Se 0 ≤ đ?‘“(đ?‘Ľ) ≤ đ?‘”(đ?‘Ľ) per x đ?œ– ⌋a, +∞) si hanno le due seguenti implicazioni: 

se g(x) e’ integrabile allora f(x) e’ integrabile;



se f(x) non e’ integrabile neppure lo e’ g(x).

E’ dato anche un criterio di confronto asintotico per due funzioni f(x) e g(x) positive e tali che f ~ g per x → +∞.

Dimostrare l’integrabilita’ di una funzione equivale a dimostrare l’integrabilita’ dell’altra (c.n.e.s.).

Integrazione di funzioni razionali di ��

Gli integrali in argomento hanno come funzione integranda una espressione razionale dell’esponenziale reale.

Oltre ai casi di integrazione delle funzioni iperboliche si hanno casi di đ?‘’ đ?‘Ľ +2

integrali del tipo âˆŤ đ?‘’ −đ?‘Ľ −1 dx In caso del genere si utilizza la sostituzione đ?‘’ đ?‘Ľ = đ?‘Ą .

Equivalentemente si puo’, applicando il logaritmo in base e ad ambo i membri, che: ln � � = ln � e quindi xln � = ln � e in definitiva x = ln �. �

đ?‘‘

đ?‘‘

1

Applicando la derivata đ?‘‘đ?‘Ą x = đ?‘‘đ?‘Ą ln(đ?‘Ą) e ricordando che đ?‘‘đ?‘Ą ln(đ?‘Ą) = đ?‘Ą . đ?‘‘

1

1

Quindi si puo’ scrivere che đ?‘‘đ?‘Ą x= đ?‘Ą e quindi dx = đ?‘Ą dt Dette funzioni integrande solitamente contengono pure l’espressione đ?‘’ −đ?‘Ľ . 1

Se đ?‘’ đ?‘Ľ = đ?‘Ą si ha đ?‘’ −đ?‘Ľ = đ?‘’ đ?‘Ľ e quindi đ?‘’ −đ?‘Ľ =

1 đ?‘Ą

.

Fatte queste osservazioni e’ possibile lavorare sull’integrale con le opportune sostituzioni, come appena definite. � � +2

âˆŤ đ?‘’ −đ?‘Ľ −1 dx = âˆŤ

đ?‘Ą+2 1 1 đ?‘Ą

dt = âˆŤ(đ?‘Ą + 2)đ?‘‘đ?‘Ą = âˆŤ đ?‘Ąđ?‘‘đ?‘Ą + 2 âˆŤ đ?‘‘đ?‘Ą = đ?‘Ą

đ?‘Ą2 2

+2đ?‘Ą + cost.

Solitamente la primiviva a meno della costante viene messa nella forma con la x, avendosi che: đ?‘’ đ?‘Ľ +2

âˆŤ đ?‘’ −đ?‘Ľ −1 dx =

(đ?‘’ đ?‘Ľ )2 2

+2đ?‘’ đ?‘Ľ + cost.

Integrazione delle funzioni razionali fratte đ?‘ƒ(đ?‘Ľ)

Ci si riferisce a integrali del tipo âˆŤ đ?‘„(đ?‘Ľ) dx ove P(x) e Q(x) sono due funzioni polinomiali.

Il primo caso che si presenta e’ quello per il quale P(x) ha grado minore di Q(x).

Si puo’ fare un primo esempio. 1

âˆŤ đ?‘Ľ 2 −4 dx Si puo’ scrivere che: 1

đ?‘Ž

đ?‘Ľ 2 −4

đ?‘?

= đ?‘Ľ+2 + đ?‘Ľâˆ’2

(basta ricordare che đ?‘Ľ 2 − 4 = (đ?‘Ľ + 2)(đ?‘Ľ − 2)). Moltiplicando ambo i membri per đ?‘Ľ 2 − 4 si ottiene:

1=

đ?‘Ž(đ?‘Ľ 2 −4) đ?‘Ľ+2

+

đ?‘?(đ?‘Ľ 2 −4) đ?‘Ľâˆ’2

e quindi

1 = a(x −2) + đ?‘?(đ?‘Ľ + 2) Per x = 2 si ha (sostituendo in formula) che risulta b = 4.

Per x =− 2 si ha (sostituendo in formula) che risulta a = −4.

A questo punto 1

đ?‘Ž

đ?‘Ľ 2 −4

đ?‘?

= đ?‘Ľ+2 + đ?‘Ľâˆ’2 e’ integrabile ponendo in essa a = −4 đ?‘’ đ?‘? = 4 .

1

đ?‘Ž

đ?‘?

1

−4

4

âˆŤ đ?‘Ľ 2 −4 đ?‘‘đ?‘Ľ = âˆŤ đ?‘Ľ+2 đ?‘‘đ?‘Ľ + âˆŤ đ?‘Ľâˆ’2 đ?‘‘đ?‘Ľ

âˆŤ đ?‘Ľ 2 −4 đ?‘‘đ?‘Ľ = âˆŤ đ?‘Ľ+2 đ?‘‘đ?‘Ľ + âˆŤ đ?‘Ľâˆ’2 đ?‘‘đ?‘Ľ

1

1

1

âˆŤ đ?‘Ľ 2 −4 đ?‘‘đ?‘Ľ = −4 âˆŤ đ?‘Ľ+2 đ?‘‘đ?‘Ľ + 4 âˆŤ đ?‘Ľâˆ’2 đ?‘‘đ?‘Ľ 1

âˆŤ đ?‘Ľ 2 −4 đ?‘‘đ?‘Ľ = (−4 ln |x −2| + 4 ln|đ?‘Ľ + 2| ) + đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?‘Ą. 1

âˆŤ đ?‘Ľ 2 −4 đ?‘‘đ?‘Ľ = 4( ln |x +2| − ln|đ?‘Ľ − 2| ) + đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?‘Ą. 1

|đ?‘Ľâˆ’2|

âˆŤ đ?‘Ľ 2 −4 đ?‘‘đ?‘Ľ = 4 ln(|đ?‘Ľ +2|) + đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?‘Ą. 1

đ?‘Ľâˆ’2

âˆŤ đ?‘Ľ 2 −4 đ?‘‘đ?‘Ľ = ln (đ?‘Ľ+2)4 ) + đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?‘Ą.

Il secondo sottocaso si ha quando Q(x) ha radici multiple.

Un esempio pertinente e’ il seguente:

đ?‘Ľâˆ’6

âˆŤ đ?‘Ľ 3 −2đ?‘Ľ 2 dx Si puo’ agevolmente scrivere che: đ?‘Ľ 3 − 2đ?‘Ľ 2 = đ?‘Ľ 2 (đ?‘Ľ − 2)

Pertanto si puo’ scrivere che: đ?‘Ľâˆ’6 đ?‘Ľ 3 −2đ?‘Ľ 2

đ?‘Ž

đ?‘?

đ?‘?

= đ?‘Ľ + đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ľâˆ’2

ax(x −2) + đ?‘?(đ?‘Ľ − 2) + đ?‘?đ?‘Ľ 2 = đ?‘Ľ − 6 ađ?‘Ľ 2 − 2đ?‘Žđ?‘Ľ + đ?‘?đ?‘Ľ − 2đ?‘? + đ?‘?đ?‘Ľ 2 = đ?‘Ľ − 6 ađ?‘Ľ 2 + đ?‘?đ?‘Ľ 2 +đ?‘?đ?‘Ľ − 2đ?‘Žđ?‘Ľ −2đ?‘? = đ?‘Ľ − 6 đ?‘Ľ 2 (a+đ?‘?) + đ?‘Ľ (−2đ?‘Ž + đ?‘?) − 2đ?‘? = đ?‘Ľ − 6

Per il principio di identita’ dei polinomi deve essere: đ?‘Ž+đ?‘? =0 −2đ?‘Ž + đ?‘? = 1 −2đ?‘? = −6 −6

Si osserva immediatamente che b = −2 = 3. −2đ?‘Ž + đ?‘? = 1

−2đ?‘Ž + 3 = 1 −2đ?‘Ž = −2 đ?‘Ž = 1. Da đ?‘Ž + đ?‘? = 0 si ricava immediatamente c = - 1.

Pertanto possiamo scrivere che: đ?‘Ľâˆ’6

đ?‘Ž

đ?‘?

đ?‘?

đ?‘Ľâˆ’6

1

3

−1

đ?‘Ľâˆ’6

1

3

1

âˆŤ đ?‘Ľ 3 −2đ?‘Ľ 2 dx = âˆŤ đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ + âˆŤ đ?‘Ľ 2 đ?‘‘đ?‘Ľ + âˆŤ đ?‘Ľâˆ’2dx

âˆŤ đ?‘Ľ 3 −2đ?‘Ľ 2 dx = âˆŤ đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ + âˆŤ đ?‘Ľ 2 đ?‘‘đ?‘Ľ + âˆŤ đ?‘Ľâˆ’2dx

âˆŤ đ?‘Ľ 3 −2đ?‘Ľ 2 dx = âˆŤ đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ + âˆŤ đ?‘Ľ 2 đ?‘‘đ?‘Ľ − âˆŤ đ?‘Ľâˆ’2dx đ?‘Ľâˆ’6

1

âˆŤ đ?‘Ľ 3 −2đ?‘Ľ 2 dx = ln|x| − ln|đ?‘Ľ − 2| +3 −2−1 đ?‘Ľ −2+1 + đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?‘Ą. đ?‘Ľâˆ’6

đ?‘Ľ

1

âˆŤ đ?‘Ľ 3 −2đ?‘Ľ 2 dx = ln |đ?‘Ľâˆ’2| − đ?‘Ľ + cost.

Applicazione degli integrali indefiniti. Il problema di Cauchy ante litteram. Data una funzione y =f(x) continua in ⌋a, bâŚŒ e derivabile in (a, b) ∀đ?‘Ľ0 ∈ (đ?‘Ž, đ?‘?).

Data la funzione y = f(x) la derivate f’(x) indica il coefficiente angolare della retta tangente a detta curva. ��

Da đ?‘‘đ?‘Ľ = đ?‘š si ha che dy = đ?‘šđ?‘‘đ?‘Ľ e quindi âˆŤ đ?‘‘đ?‘Ś = âˆŤ đ?‘šđ?‘‘đ?‘Ľ e in definitiva: y = f(x) +đ?‘?.

Questa relazione indica una famiglia di curve, una per ogni valore reale di c.

Gli integrali indeifniti hanno molteplici applicazioni, alcune delle quali alla fisica e alla cinematica in particolare. Ad esempio y = đ?‘“(đ?‘Ą) indica la posizione di una particella, rispetto ad una assegnata origine.

Le derivate prime, rispetto a t, indicano, rispettivamente la velocita’ e la accelerazione e sono indicate con le forme y’ e y’’. đ?‘‘đ?‘

Se e’ nota la velocita’ scalare f’(t)= đ?‘‘đ?‘Ą integrando si ottiene âˆŤ đ?‘‘đ?‘ = âˆŤ đ?‘Ł(đ?‘Ą)đ?‘‘đ?‘Ą ovvero s(t)= âˆŤ đ?‘Ł(đ?‘Ą)đ?‘‘đ?‘Ą + c.

s(t) e’ un modo alternativo per intendere y(t). Si tratta della funzione primitiva. Per le ragioni esposte precedentemente la primitive non e’ unica ma e’ definite a meno di una costante.

La costante c e’ detta condizione iniziale.

Con riferimento al caso concreto c indica la posizione della particella all’istante iniziale, risultando cioe’ essere: c = đ?‘ (0). In genere si ammette sia s(0) = 0 ad indicare che al tempo iniziale il corpo si trova nel punto 0. E’ in generale possibile sia s(0) = đ?‘˜ ≠0. In buona sostanza il punto materiale si muove con legge oraria y(t) = đ?‘ (đ?‘Ą) + đ?‘ (0). Al tempo đ?‘Ą0 la particella si trova nel punto f(đ?‘Ą0 ) +đ?‘ (0). La velocita’ scalare istantanea e’ banalmente đ??ˇđ?‘Ľ (f(đ?‘Ą0 ) +đ?‘ (0)) = đ??ˇđ?‘Ľ (f(đ?‘Ą0 )). Si ricordi che đ??ˇđ?‘Ľ (đ?‘ (0) = 0 .

Si puo’ andare a ritroso a partire da f’’(t) = đ?‘Śâ€˛â€˛. A questo punto si puo’ scrivere che âˆŤ đ?‘“ ′′ (đ?‘Ą)đ?‘‘đ?‘Ľ = đ?‘“ ′ (đ?‘Ą) + đ?‘?1 La funzione đ?‘“ ′ (đ?‘Ą) indica la velocita’ istantanea al tempo t mentre đ?‘?1 indica la condizione inziale, cioe’ đ?‘?1 = đ?‘Ł(0) = đ?‘Ł0 , la velocita’ iniziale. Non necessariamente e’ đ?‘Ł0 = 0.

Questi esempi chiariscono il senso della questione.

Un corpo si muove con velocita’ istantanea v(t) = 4� + 1 partendo da una velocita’ v(0)= �0 .

Si chiede di determinare lo spazio percorso dal corpo dal tempo 0 al tempo 4 (in secondi) sotto le condizioni imposte.

La funzione che definisce la velocita’ deve ritenersi riferita all’intervallo (0, +∞).

Ove la funzione della velocita’ nel dominio del tempo fosse riferita all’intervallo ⌋0, +∞) allora la condizione iniziale sarebbe ottenuta per sostituzione in formula, avendosi quindi che v(0) = 4đ?‘Ą + 1.

E’ ben noto che la velocita’ istantanea nel tempo t e’ data dalla formula v(t) = quale discende che:

đ?‘‘đ?‘ đ?‘‘đ?‘Ľ

dalla

ds = đ?‘Ł(đ?‘Ą)đ?‘‘đ?‘Ą .

Integrando indefinitamente si ottiene che:

âˆŤ đ?‘‘đ?‘ = âˆŤ đ?‘Ł(đ?‘Ą)đ?‘‘đ?‘Ą

s(t) = âˆŤ đ?‘Ł(đ?‘Ą)đ?‘‘đ?‘Ą +đ?‘ 0

s(t) = (âˆŤ(4đ?‘Ą + 1)đ?‘‘đ?‘Ą) + đ?‘ 0 đ?‘ 0 indica la condizione iniziale che, nel caso di specie, e’ la posizione occupata dal corpo al tempo t = 0.

In definitiva si ha: s(t) = 2đ?‘Ą 2 + đ?‘Ą + đ?‘ 0 s(t) ha dominio ⌋0 , +∞) e per t = 0 si ha la condizione iniziale s(0) = đ?‘ 0 .

Con i dati in nostro possesso e’ possible calcolare lo spazio percorso tra il tempo 0 e il tempo 4 per banale sottrazione, ovvero calcolando s(4) − đ?‘ (đ?‘œ) = 2∗ 162 + 4 = 32 + 4 = 36.

Si osservi che allo stesso risultato si perviene usando gli integrali definiti come segue.

4

4

4

s(t) = âˆŤ0 (4đ?‘Ą + 1)đ?‘‘đ?‘Ą = âˆŤ0 4đ?‘Ąđ?‘‘đ?‘Ą + âˆŤđ?‘œ đ?‘‘đ?‘Ą = (4

đ?‘Ą2 4 | 2 0

Un ulteriore esempio potrebbe essere il seguente.

) + �|40 = ⋯ ‌ . = 36

Una particella si muove a velocita’ iniziale đ?‘Ł0 = 2 e con accelerazione a = 32. La velocita’ e’ espresso in mđ?‘ đ?‘’đ?‘? −1 mentre l’accelerazione e’ misurata in mđ?‘ đ?‘’đ?‘? −2 .

Si parte dalla definizione di accelerazione avendo che:

a=

đ?‘‘đ?‘Ł đ?‘‘đ?‘Ą

e quindi adt = đ?‘‘đ?‘Ł da cui integrando indefinitamente si ha:

âˆŤ đ?‘‘đ?‘Ł = đ?‘Ž âˆŤ đ?‘‘đ?‘Ą e quindi:

v(t) = đ?‘Žđ?‘Ą + đ?‘Ł0

A sua volta questa ultima relazione puo’ essere integrate indefinitamente, come segue:

âˆŤ đ?‘Ł(đ?‘Ą)đ?‘‘đ?‘Ą = âˆŤ(đ?‘Žđ?‘Ą + đ?‘Ł0 )đ?‘‘đ?‘Ą = âˆŤ đ?‘Žđ?‘Ąđ?‘‘đ?‘Ą + âˆŤ đ?‘Ł0 đ?‘‘đ?‘Ą = đ?‘Ž

đ?‘Ą2 2

+đ?‘Ł0 t +đ?‘ 0

In definitiva si ha che:

s(t) = đ?‘Ž

đ?‘Ą2 2

+đ?‘Ł0 t +đ?‘ 0

Da essa discende che ∆đ?‘ (đ?‘Ą, 0) = s(t) − đ?‘ (0) = đ?‘Ž

đ?‘Ą2 2

+đ?‘Ł0 t ed anche che lo spazio percorso đ?‘Ž

tra due istanti di tempo đ?‘Ą2 > đ?‘Ą1 > 0 e’ ∆đ?‘ (đ?‘Ą2 , đ?‘Ą1 ) = s(đ?‘Ą2 ) − đ?‘ (đ?‘Ą1 ) = (đ?‘Ą22 − đ?‘Ą12 ) +đ?‘Ł0 (đ?‘Ą2 − 2

đ?‘Ą1 ) .

E’ possibile dare una interpretazione naï�� del problema di Cauchy nei termini che seguono.

Si puo’ considerare un grafico nel quale si pone t sull’asse delle ascisse e x(t) su quello delle ordinate. Si ammetta che x(t) sia una funzione affine del tipo x(t) = �� + �

Si ha questa situazione al variare di q quando le funzioni sono considerate per t positivo.

x(o) indica la condizione iniziale e si ha x(0) = 0 đ?‘?đ?‘’đ?‘&#x; đ?‘ž = 0.

In termini cinematici la posizione di un corpo al tempo t e’ funzione del tempo secondo la legge f(x) tenendo conto della posizione iniziale del corpo y(0) = đ?‘ž . Per t đ?œ– (0+ , đ?œ?) la posizione del corpo e’ data y(t)=f(t) +đ?‘Ś(0) .

Nel contesto cinematico f(t) definisce la legge del moto in senso stretto e deve ritenersi verificata la condizione che deve essere y(0) =f(0) +�(0) e quindi f(0) = 0. Ad esempio e’ f(0) = 0 anche nel caso sia f(t) = �� � .

Le traiettorie ortogonali

Dato un sistema di curve le traiettorie ortogonali sono definite da un altro sistema di curve ciascuna delle quali interseca ogni curva del primo sistema dato ad angolo retto.

Sia ad esempio dato il sistema di parabole di equazione đ?‘Ś 2 = 2đ?‘Ľ + đ?‘?.

Si chiede di trovare l’equazione della famiglia delle traiettorie ortogonali. Sia P=(x, y) un punto di đ?‘Ś 2 = 2đ?‘Ľ + đ?‘?

La funzione implicita deve essere derivata implicitamente avendo quindi đ?‘‘đ?‘Ś

đ?‘‘đ?‘Ś

đ?‘‘đ?‘Ś

1

che 2yđ?‘‘đ?‘Ľ = 2 da cui yđ?‘‘đ?‘Ľ = 1 e quindi đ?‘‘đ?‘Ľ = đ?‘Ś .

Per le traiettorie ortogonali la relazione deve essere tale che sia

đ?‘‘đ?‘Ś đ?‘‘đ?‘Ľ

= −đ?‘Ś

che puo’ essere scritta sotto forma di equazione differenziale come segue: đ?‘ŚĚ‡ = −đ?‘Ś che fa comprendere che la funzione candidata non puo’ essere đ?‘‘

quella esponenziale, in quanto per essa si ha, come noto, che: đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘’ đ?‘Ľ = đ?‘’ đ?‘Ľ . I passaggi che portano alla soluzione sono i seguenti: đ?‘‘đ?‘Ś

đ?‘ŚĚ‡ = −đ?‘Ś â&#x;ş đ?‘‘đ?‘Ľ = −đ?‘Ś â&#x;ş

đ?‘‘đ?‘Ś 1 đ?‘Ś đ?‘‘đ?‘Ľ

= −1 â&#x;ş

Integrando indefinitamente si ha âˆŤ

đ?‘‘đ?‘Ś đ?‘Ś

đ?‘‘đ?‘Ś đ?‘Ś

= −đ?‘‘đ?‘Ľ

= − âˆŤ đ?‘‘đ?‘Ľ da cui, a meno della

costante, si ha: ln|y| = −đ?‘Ľ e quindi |y| = đ?‘’ −đ?‘Ľ . Pertanto le funzioni che verificano le condizioni del problema sono quelle per le quali sia y= đ?‘?đ?‘’ −đ?‘Ľ

Integrali impropri

L’integrazione impropria comprende due distinti casi:

1) Le condizioni di discontinuita’ della funzione integranda; 2) quando almeno uno dei due estremi di integrazione e’ all’infinito.

Il primo caso ricomprende due distinti sottocasi. Il primo di essi si ha quando la funzione f(x) e’ continua in ⌋ a , b ).

In questo caso si ha: đ?‘?

đ?‘?−đ?œ€

âˆŤđ?‘Ž đ?‘“(đ?‘Ľ)đ?‘‘đ?‘Ľ = lim+ âˆŤđ?‘Ž đ?œ€â†’0

đ?‘“(đ?‘Ľ)đ?‘‘đ?‘Ľ

Questa relazione ha senso quando detto limite esiste finito.

Il secondo sottocaso si ha quando la funzione f(x) risulta essere definita e continua in (a, b âŚŒ. đ?‘?

đ?‘?

In questo caso si scrive âˆŤđ?‘Ž đ?‘“(đ?‘Ľ)đ?‘‘đ?‘Ľ = lim+ âˆŤđ?‘Ž+đ?œ€ đ?‘“(đ?‘Ľ)đ?‘‘đ?‘Ľ purche’ questo đ?œ€â†’0

limite esista finito.

Un terzo sottocaso presuppone la discontinuita’ della funzione in almeno un punto c interno ad (a,b) essendo la funzione f(x) continua in ⌋ a, b âŚŒ.

In questo caso si scrive, presupponendo esistenti e finiti i due limiti, che:

đ?‘?

đ?‘?−đ?œ€

âˆŤđ?‘Ž đ?‘“(đ?‘Ľ)đ?‘‘đ?‘Ľ = lim+ âˆŤđ?‘Ž đ?œ€â†’0

đ?‘?

đ?‘“(đ?‘Ľ)đ?‘‘đ?‘Ľ + lim+ âˆŤđ?‘?+đ?œ€ đ?‘“(đ?‘Ľ)đ?‘‘đ?‘Ľ. đ?œ€â†’0

La seconda tipologia di integrali che devono essere considerati sono quelli che contengono estremi di integrazione posti all’infinito, cioe’ uno dei seguenti casi: +∞

âˆŤđ?‘Ž

đ?‘?

đ?‘“(đ?‘Ľ)đ?‘‘đ?‘Ľ = lim âˆŤđ?‘Ž đ?‘“(đ?‘Ľ)đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘?→+∞

Anche in questo caso il limite deve esistere finito. đ?‘Ž

đ?‘Ž

Il secondo sottocaso e’ del tipo âˆŤâˆ’âˆž đ?‘“(đ?‘Ľ)đ?‘‘đ?‘Ľ = lim âˆŤđ?‘? đ?‘“(đ?‘Ľ)đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘?→−∞

(che ha senso quando il limite esiste finito).

Il caso piu’ ampio e’ il seguente: −∞

đ?‘Ž

đ?‘Ł

âˆŤâˆ’âˆž đ?‘“(đ?‘Ľ)đ?‘‘đ?‘Ľ = lim âˆŤđ?‘˘ đ?‘“(đ?‘Ľ)đ?‘‘đ?‘Ľ + lim âˆŤđ?‘Ž đ?‘“(đ?‘Ľ)đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘˘â†’−∞

đ?‘Ł →+∞

Si osservi che a e’ un qualunque punto di (−∞ , +∞) tale che la funzione f(x) sia ivi definita e continua.

La relazione ha senso se i due limiti esistono finiti.

Esercizi sugli integrali impropri 1 1

Puo’ essere richiesto di dimostrare che âˆŤ0

√đ?‘Ľ

dx = 2.

La funzione integranda đ?‘Ś = √đ?‘Ľ non e’ definita in x = 0 ma esiste finito il limite per x → 0+ . Si puo’ scrivere che dom f = ( 0, +∞).

In termini di integrazione indefinita si puo’ scrivere che: 1

1 2

âˆŤ(đ?‘Ľ) dx =

− +1 (đ?‘Ľ) 2 1 2

− +1

+ đ?‘? = 2√đ?‘Ľ + đ?‘?.

Occorre quindi calcolare il seguente limite, applicando il corollario di Torricelli: lim ⌋ 2√đ?‘ĽâŚŒ10+ = 2√1 −2√đ?œ€ = 2 − 0 = 2, c.v.d..

đ?œ€â†’0+

Un secondo esempio di integrale improprio e’ il seguente: +∞ 1

âˆŤ1

đ?‘Ľ2

dx = 1

Se ci si riferisce ai due estremi di integrazione si puo’ dire che in (1, +∞) la funzione e’ definita e continua.

Piu’ in generale la funzione e’ definita e continua in R −{0}.

In termini di integrazione indefinita possiamo scrivere che:

1

âˆŤ đ?‘Ľ 2 đ?‘‘đ?‘Ľ =

đ?‘Ľ −2+1 −2+1

1

+đ?‘? = − đ?‘Ľ + đ?‘?

A questo punto si puo’ porre: +∞ 1

âˆŤ1

đ?‘Ľ2

1

1

1

đ?‘Ľ

đ?‘Ľâ†’+∞ đ?‘Ľ

dx = lim − − (lim − ) = − lim đ?‘Ľâ†’+∞

đ?‘Ľ

�→1

1

– (−(lim ) = 0 + 1 = 1. đ?‘Ľâ†’1 đ?‘Ľ

La funzione integrale

La nozione di funzione integrale e’ immdiata. E’ infatti sufficiente considerare un intergrale avente come estremo di integrazione inferiore una costante reale �0 e come estremo di ingrazione superiore un punto variabile �.

La funzione integranda f(.) si intende solitamente definita e continua in ⌋đ?‘Ľ0 , đ?‘ĽâŚŒ ⊇ dom f(.) Poiche’ đ?‘Ľ0 e’ variabile e’ possibile definire la funzione integrale come segue: đ?‘Ľ

F(x) = âˆŤđ?‘Ľ đ?‘“(đ?‘Ą)đ?‘‘đ?‘Ą 0

La lettera t e’ un indice muto, ma ogni altra lettera puo’ essere utilizzata. Ad essere sottili si potrebbe dire che t ≥ � e quindi dt = ��.

In buona sostanza, non esiste una variabile indipendente distinta ed ulteriore rispetto alla x, come pure i termini di integrazione lasciano ben intravedere‌‌.

Cio’ premesso e’ possibile enunciare il secondo teorema fondamentale del calcolo integrale per il quale:

Se f(x) e’ una funzione definita e continua in I ⊆ � per la quale F(x) = �

âˆŤđ?‘Ľ đ?‘“(đ?‘Ą)đ?‘‘đ?‘Ą allora e’ 0

F’(x) = f(x) ∀đ?‘Ľ | đ?‘Ľ ∈ đ??ź. Una interessante conseguenza del teorema enunciato ⌋Bramanti, Pagani, SalsaâŚŒ e’ che ogni funzione continua in I ⊆ đ?‘… ammette una funzione primitiva. La migliore manualistica ⌋Bramanti, Pagani, SalsaâŚŒ distingue ampiamente i tre concetti, integrale definito, inteso quale numero (area di una superficie, ad esempio), integrale indefinito, e, appunto, funzione integrale, che ormai sono da considerarsi concetti acquisiti.

Integrali trigonometrici

Una nutrita parte di integrali puo’ essere gestito utilizzando le identita’ trigonometriche, specie quelle inserite in uno degli allegati a questo fascicolo.

Un esempio classico e’ il seguente:

âˆŤ đ?‘?đ?‘œđ?‘ (đ?‘Ľ) 2dx

Va precisato che la funzione integranda

đ?‘?đ?‘œđ?‘ (đ?‘Ľ) 2 deve essere intesa come una funzione

composta secondo lo schema seguente: đ?‘“1

đ?‘“2

x → cos(x) → (cos(x))2 ≥ đ?‘?đ?‘œđ?‘ (đ?‘Ľ) 2

Ma, comunque, in questo caso si puo’ utilizzare la seguente identita’:

đ?‘?đ?‘œđ?‘ (đ?‘Ľ) 2 =

1 2

(1 + đ?‘?đ?‘œđ?‘ (2đ?‘Ľ))

Si puo’ quindi scrivere che:

1

âˆŤ đ?‘?đ?‘œđ?‘ (đ?‘Ľ) 2dx

1

= âˆŤ 2 (1 + đ?‘?đ?‘œđ?‘ (2đ?‘Ľ))đ?‘‘đ?‘Ľ = 2 âˆŤ đ?‘‘đ?‘Ľ

1

+ 2 âˆŤ đ?‘?đ?‘œđ?‘ (2đ?‘Ľ)đ?‘‘đ?‘Ľ

1

= 2x

1

+ 2 âˆŤ đ?‘?đ?‘œđ?‘ (2đ?‘Ľ)đ?‘‘đ?‘Ľ A questo punto si puo’ ragionare sull’integrale âˆŤ đ?‘?đ?‘œđ?‘ (2đ?‘Ľ)đ?‘‘đ?‘Ľ

Detto integale indefinito e’ gestito per sostituzione ponendo 2x = u da cui discende che 2dx = du e quindi dx =

�� 2

.

Con questa sostituzione ci si riconduce all’integrale seguente:

âˆŤ đ?‘?đ?‘œđ?‘ (đ?‘˘)

�� 2

1

1

1

= 2 âˆŤ đ?‘?đ?‘œđ?‘ (đ?‘˘) đ?‘‘đ?‘˘ = 2 sin(u) = 2 sin(2x).

In definitiva si ottiene che: 1

1

âˆŤ đ?‘?đ?‘œđ?‘ (đ?‘Ľ) 2dx = 2x + 4 sin(2x) + c.

Esistono alcuni integrali contenenti funzioni goniometriche che si gestiscono con l’applicazione delle formule di prostaferesi (vedi l’appendice contenente le piu’ importanti identita’ goniometriche).

Detti integrali sono i seguenti: âˆŤ sin(đ?‘›đ?‘Ľ) cos(đ?‘šđ?‘Ľ) âˆŤ cos(đ?‘›đ?‘Ľ) cos(đ?‘šđ?‘Ľ) âˆŤ sin(đ?‘›đ?‘Ľ) cos(đ?‘šđ?‘Ľ) âˆŤ cos(đ?‘Žđ?‘Ľ) cos(đ?‘?đ?‘Ľ)

Sostituzioni trigonometriche

Particolari funzioni integrande contengono o sono costituite da espressioni del tipo √đ?‘Ž2 + (đ?‘›đ?‘Ľ)2 , √đ?‘Ž2 − (đ?‘›đ?‘Ľ)2

e √(đ?‘›đ?‘Ľ)2 − đ?‘Ž2 possono essere calcolati

applicando le cosiddette sostituzioni trigonometriche.

In questi casi ci si aiuta con un disegnino di un triangolo rettangolo.

Si consideri il caso dell’espressione √đ?‘Ž2 + (đ?‘›đ?‘Ľ)2.

L’unica possibilita’ e’ costituita dal daver lavorare sulla funzione tg(đ?œƒ) = cui si ha a tg(đ?œƒ) = đ?‘›đ?‘Ľ da cui si ottiene x = a dx =

đ?‘Ž đ?‘›

đ?‘Ž đ?‘›

d(tg(đ?œƒ)) e quindi dx = đ?‘ đ?‘’đ?‘?(đ?œƒ)2 dđ?œƒ.

�� �

da

tg(đ?œƒ) che differenziata conduce

Quindi, l’integrale indefinito puo’ essere âˆŤ đ?‘Žđ?‘ đ?‘’đ?‘?(đ?œƒ) đ?‘ đ?‘’đ?‘?(đ?œƒ)2dđ?œƒ e quindi si ha il seguente

đ?‘Ž2 đ?‘›

âˆŤ đ?‘ đ?‘’đ?‘? 3(đ?œƒ) dđ?œƒ.

L’integrale âˆŤ đ?‘ đ?‘’đ?‘? 3 (đ?œƒ) dđ?œƒ e’ gestibile con la tecnica dell’integrazione per parti.

Osservazione su una classe di funzioni integrande

Non e’ infrequente trovare integrali indefiniti nei quali la funzione integranda e’ il prodotto di due funzioni distinte f e g tali che esse abbiano il medesimo dominio. Essi sono integrali del tipo âˆŤ đ?‘“(đ?‘Ľ)đ?‘”(đ?‘Ľ)đ?‘‘đ?‘Ľ che e’ ponibile nella forma âˆŤ â„Ž(đ?‘Ľ)đ?‘‘đ?‘Ľ essendo h(x) = f(x)g(x) cioe’ h(x) = đ?‘“ g (x) che non puo’ essere intesa alla stregua di una funzione composta. L’integrale nella forma âˆŤ â„Ž(đ?‘Ľ)đ?‘‘đ?‘Ľ non e’ immediatamente gestibile ma puo’ essere ricondotto alla forma di integrale immediato lavorando su dx.

Infatti da

đ?‘‘ â„Ž(đ?‘Ľ) đ?‘‘đ?‘Ľ

= h’(x) e quindi dh(x) = ℎ′(x) dx e cioe’ dx =

�ℎ(�) ℎ′(�)

đ?‘‘â„Ž(đ?‘Ľ)

Per questa eguaglianza si puo’ scrivere che âˆŤ â„Ž(đ?‘Ľ)đ?‘‘đ?‘Ľ = âˆŤ â„Ž(đ?‘Ľ) ℎ′(đ?‘Ľ)

.

Questo ultimo integrale trovato non e’ riconducibile ad un integrale immediato, come sarebbe stato nel caso fosse risultato âˆŤ â„Ž(đ?‘Ľ)đ?‘‘â„Ž(đ?‘Ľ) cioe’ fosse risultato âˆŤ â„Ž(đ?‘Ľ)ℎ′ (đ?‘Ľ)đ?‘‘đ?‘Ľ. đ?‘‘â„Ž(đ?‘Ľ)

â„Ž(đ?‘Ľ)

L’integrale âˆŤ â„Ž(đ?‘Ľ) ℎ′(đ?‘Ľ) e’ riscrivibile come âˆŤ ℎ′(đ?‘Ľ)dh(x). â„Ž(đ?‘Ľ)

La funzione h(x) deve ammettere derivata prima. Sia đ?œ‘(đ?‘Ľ) = ℎ′(đ?‘Ľ) da cui deve â„Ž(đ?‘Ľ)

intendersi dato đ?‘‘(đ?œ‘(đ?‘Ľ)) = đ?‘‘(ℎ′ (đ?‘Ľ)) =

ℎ′ (đ?‘Ľ)đ?‘‘â„Ž(đ?‘Ľ)−ℎ(đ?‘Ľ)đ?‘‘(ℎ′ (đ?‘Ľ) ℎ′(đ?‘Ľ)2

Vi sono due soli casi immediati rispetto ai quali e’ possibile dare un senso a queso integrale. Se risulta h(x) = ℎ′(đ?‘Ľ) quindi per h(x) = đ?‘’ đ?‘Ľ cioe’ per f(x) = đ?‘’ đ?‘Ľ e g(x) = đ?‘˜. Il secondo caso e’ h’(x) = đ?‘˜ vera per f(x) = đ?‘˜đ?‘Ľ Âą đ?‘&#x; đ?‘’ g(x) = â„Ž.

Integrali di linea Si puo’ partire dale funzioni vettoriali r : R → �3 essendo:

r = (x, y, z)

x = đ?‘Ľ(đ?‘Ą)

y = đ?‘Ś(đ?‘Ą) z = đ?‘§(đ?‘Ą) Ad un r corrispondono tre funzioni scalari nel dominio del tempo. r = đ?’“(đ?‘Ą) e’ una curva, o, a volte definita “un cammino in đ?‘…3 â€?. Notissimo esempio ⌋Bramanti, Pagani, SalsaâŚŒ e’ la cosiddetta elica cilindrica. (x(t) , y(t), z(t)) ≥ (acos(t), asin(t), bt) con a > 0, đ?‘? > 0. r = đ?’“(đ?‘Ą) definisce una curva continua se e solo se sono continue le funzioni scalari componenti. L’insieme dei punti della curva r = đ??Ť(đ?‘Ą) , imagine della funzione, e’ detto sostegno della curva. Il sostegno di una curva e’ solitamente indicato con la lettera greca gamma đ?›ž. Una curva r = đ?’“(đ?‘Ą) e’ detta chiusa se esistono due punti tali che đ?’“(đ?‘Ąđ?‘– ) = đ?’“(đ?‘Ąđ?‘“ ), essendo I = ⌋đ?‘Ąđ?‘– , đ?‘Ąđ?‘“ âŚŒ . Una ulteriore rilevante proprieta’ delle curve dello spazio e’ la regolarita’. Una curva continua e’ regolare se ∀đ?‘Ą | đ?‘Ą ∈ ⌋đ?‘Ąđ?‘– , đ?‘Ąđ?‘“ âŚŒ e’ possibile definire un versore tangente come segue: t=

đ??Ťâ€˛(đ?‘Ą) |đ?’“′ (t)|

Affinche’ la definizione sia vera per ogni t occorre che sia đ?’“′ (t) ≠đ?&#x;Ž, cioe’ diverso dal vettore nullo di đ?‘˝đ?&#x;‘đ?&#x;Ž che risulta, come noto, essere (0, o, 0). A questo punto va introdotta la lunghezza di un arco di curva. Si puo’ infatti scrivere che:

ds = √đ?‘Ľâ€˛(đ?‘Ą)2 + đ?‘Śâ€˛(đ?‘Ą)2 + đ?‘§ ′ (đ?‘Ą)2 dt S = âˆŤ √đ?‘Ľâ€˛(đ?‘Ą)2 + đ?‘Śâ€˛(đ?‘Ą)2 + đ?‘§ ′ (đ?‘Ą)2 dt = âˆŤ |đ?‘&#x;′(đ?‘Ą) |đ?‘‘đ?‘Ą Dalla precedente relazione discende che ds = |r’(t)|dt Si osservi che in termini cinematici |r’(t)| e’ la velocita’ scalare istantanea. Sulla falsariga della nozione di funzione integrale e’ possibile introdurre la nozione di parametro d’arco. Anche in questo caso occorre utilizzare un indice muto, come đ?œ?. Si puo’ scrivere che: đ?‘Ą

s(t) = âˆŤđ?‘Ą |đ?‘&#x; ′ (đ?œ?)|dđ?œ? 0

Questi concetti possono essere applicati a curve quali l’elica conica data in forma parametrica dalla terna (tcos(t), tsin(t), t) per t ⌋0, 2đ?œ‹âŚŒ

Per t = 0 si ha (0cos(o), 0sin(0), 0) = (0 ,0, 0)

Per t = 2đ?œ‹ si ha ha (2đ?œ‹cos(2đ?œ‹), 2đ?œ‹ sin(2đ?œ‹ ), 2đ?œ‹) = (0 , 2đ?œ‹ , 2đ?œ‹)

Poiche’ (0 ,0, 0) ≠(0 , 2đ?œ‹ , 2đ?œ‹) la curva non e’ chiusa.

A prescindere dai calcoli la non chiusura della curva deriva immediatamente dal fatto che la funzione scalare z(t) = t e’ strettamente monotona quindi a distinti t corrispondono distinti z(t).

E’ ora il caso di chiedersi se la curva e’ semplice ovvero se per distinti t di (0, 2đ?œ‹) sia đ?’“(đ?‘Ą1 ) ≠đ?’“(đ?‘Ą2 ).

(tcos(t), tsin(t), t) per t ⌋0, 2đ?œ‹âŚŒ

Anche in questo caso e’ sufficiente concentrare l’attenzione sulla funzione z(t) = t per evidenziare che anche per la funzione vettoriale sia r(t) ha distinti valori al variare di t giustificati dai distinti valori della terza componente.

Non rileva lo studio delle funzioni scalari x(t) e y(t) nell’intervallo considerato.

Va studiato se la funzione vettoriale considerata e’ derivabile e se la somma dei quadrati delle derivate prime delle funzioni scalari componenti e’ diversa da zero per ogni t .

Se sono verificate queste condizioni la funzione e’ detto regolare.

Data (tcos(t), tsin(t), t) per t ⌋0, 2đ?œ‹âŚŒ occorre calcolare le derivate prime delle tre funzioni scalar rispetto al tempo.

Procedendo ordinatamente si ha: đ?‘‘ đ?‘‘đ?‘Ą

đ?‘‘ đ?‘‘đ?‘Ą

đ?‘‘ đ?‘‘đ?‘Ą

đ?‘‘

đ?‘‘

đ?‘‘đ?‘Ą

đ?‘‘đ?‘Ą

tcos(t)= t cos(t) + cos(đ?‘Ą) t = −đ?‘Ąđ?‘ đ?‘–đ?‘›(đ?‘Ą) + cos(đ?‘Ą)

đ?‘‘

đ?‘‘

đ?‘‘đ?‘Ą

đ?‘‘đ?‘Ą

(tsin(t))= t sin(t) + đ?‘ đ?‘–đ?‘›(đ?‘Ą) t = tcos(t) + đ?‘ đ?‘–đ?‘› (đ?‘Ą)

đ?‘Ą=1

La tre componenti scalari sono ovunque derivabili in detto intervallo.

Si osservi che la somma dei quadrati delle derivate delle funzioni e’ un numero sicuramente positivo, qindi la funzione e’ regolare.

đ?‘‘

đ?‘‘

đ?‘‘đ?‘Ą

đ?‘‘đ?‘Ą

Non puo’ esistere un đ?‘Ąđ?‘œ tale che sia x(đ?‘Ąđ?‘œ ) =

đ?‘Ś(đ?‘Ąđ?‘œ ) =

đ?‘‘ đ?‘‘đ?‘Ą

đ?‘§(đ?‘Ąđ?‘œ ) = 0 in quanto risulta che

đ?‘‘ đ?‘‘đ?‘Ą

�(t)

= 1 ∀đ?‘Ľ dell’intervallo considerato.

La curva e’ regolare. �

đ?‘‘

đ?‘‘đ?‘Ą

đ?‘‘đ?‘Ą

Al variare di t il vettore tangente la curva e’ definito come ( x(t) ,

đ?‘Ś(t) ,

đ?‘‘ đ?‘‘đ?‘Ą

�(t))

A questo punto e’ possibile introdurre la nozione di integrale di linea di prima specie. Da ds = |r’(t)|dt si puo’ costruire abbastanza meccanicamente l’integrale di linea quando venga introdotta una funzione f definita in un insieme di � � contenente almeno il supporto � .

In termini formali l’integrale di linea e’: đ?‘?

âˆŤđ?›ž đ?‘“ ds ≥ âˆŤđ?‘Ž đ?‘“(đ?’“′(t)|đ??Ťâ€˛(t) | đ?‘‘đ?‘Ą Per i dettagli si rimanda all’ottima manualistica esistente ⌋Bramanti, Pagani, SalsaâŚŒ.

Esercizi sugli integrali di linea di prima specie

Come esempio di integrale di linea di prima specie si potrebbe considerare il seguente. âˆŤđ??ż (đ?‘Ľ + đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘ quando L e’ il triangolo di vertici (0, 0), (1, 0) e (o ,1). Questo formalismo ha un significato geometrico evidente. Si tratta di trovare la lunghezza del percorso evidenziato dalla seguente figura.

Detto integrale di linea e’ immediato e vale √2 +2.

Integrali di linea di seconda specie. Un esempio. A volte gli integrali di linea non contengono ds ma contengono i differenziali dx , dy e dz ed hanno forme quali la seguente: âˆŤđ??ż đ?‘Ľ 2 y dx +đ?‘Ľđ?‘Ś đ?‘‘đ?‘Ś ove L e’ un arco di cubica y = đ?‘Ľ 3 tra i punti (1, 1) e (2 , 2)

(questo integrale non l’ho rinvenuto ma l’ho elaborato a partire da uno piu’ complesso ⌋BoellaâŚŒ). Come parametro si puo’ utilizzare x che varia da 1 a 2. Va quindi studiata la relazione intercorrente tra dx e dy. Essa si ricava dai dati del problema ovvero dal fatto che

đ?‘‘đ?‘Ś đ?‘‘đ?‘Ľ

= 3đ?‘Ľ 2 da cui si

ottiene dy= 3đ?‘Ľ 2 đ?‘‘đ?‘Ľ. Tale relazione e’ sostituibile nell’inegrale che diviene: âˆŤđ??ż đ?‘Ľ 2 y dx +đ?‘Ľđ?‘Ś 3đ?‘Ľ 2 đ?‘‘đ?‘Ľ = âˆŤđ??ż đ?‘Ľ 2 y dx + 3đ?‘Ľ 3 đ?‘Śđ?‘‘đ?‘Ľ Un ulteriore passo e’ la sostituzione y= đ?‘Ľ 3 che conduce a: 2

âˆŤ1 đ?‘Ľ 5 đ?‘‘đ?‘Ľ + 3đ?‘Ľ 6 dx calcolabile elementarmente. Solitamente l’integrale si mette nella forma del raccoglimento di dx a fattor comune, ossia: 2

âˆŤ1 (đ?‘Ľ 5 + 3đ?‘Ľ 6 ) dx che e’ immediatamente calcolabile.

Integrazione di funzioni iperboliche Con la sostituzione � � = � (vedi il paragrafo dedicato all’integrazione delle funzioni espressioni razionali di � � ) e’ possibile ricavare molte regole di integrazione di funzioni iperboliche.

Molti eserciziari ⌋AyresâŚŒ contengono un dettagliato elenco delle formule di integrazione di funzioni iperboliche e ad essi si rimanda.

A titolo esemplificativo si puo’ dimostrare una di queste formule, quali la seguente: âˆŤ tanh đ?‘˘ đ?‘‘đ?‘˘ = ln(đ?‘?đ?‘œđ?‘ â„Ž(đ?‘˘)) + đ?‘? sinh(đ?‘˘)

Questo integrale e’ immediato in quanto tanh(u) = cosh(�) e sinh(u) puo’ essere inteso come la derivata di cosh(u) . Sarebbe quindi che la funzione integranda e’ del tipo

�′(�) �(�)

ove u ha lo stesso

ruolo dell’indeterminata x solitamente usata. �′(�)

Ne consegue il risultato âˆŤ tanh đ?‘˘ đ?‘‘đ?‘˘ = ln(đ?‘?đ?‘œđ?‘ â„Ž(đ?‘˘)) + đ?‘? in quanto âˆŤ đ?‘“(đ?‘˘) du = ln|f(x)|.

Siano da risolvere integrali del tipo âˆŤ sinh(đ?‘˜đ?‘Ľ)dx con k razionale positivo. E’ idonea la sostituzione kx = đ?‘Ą che differenziata porta a kdx = đ?‘‘đ?‘Ą da cui si ricava dx = 1 đ?‘˜

âˆŤ sinh(đ?‘Ą) đ?‘‘đ?‘Ą.

đ?‘‘đ?‘Ą đ?‘˜

ottenedo quindi l’integrale indefinito âˆŤ sinh(đ?‘Ą)

đ?‘‘đ?‘Ą đ?‘˜

=

âˆŤ sinh(đ?‘Ą) đ?‘‘đ?‘Ą puo’ sempre essere inteso come un integrale immediato sia che la t sia intesa alla stregua di una indeterminata che di una funzione.

Infatti, se t = đ?œ‘(đ?‘Ľ) allora dt puo’ essre intesa come dt = đ?‘‘(đ?œ‘(đ?‘Ľ)). Quindi âˆŤ sinh(đ?‘Ą) đ?‘‘đ?‘Ą e’ in ogni caso un integrale immediato. E’ noto che âˆŤ sinh(đ?‘Ą) đ?‘‘đ?‘Ą = cosh(t) + cost. 1

1

In definitiva âˆŤ sinh(đ?‘˜đ?‘Ľ)dx= đ?‘˜ âˆŤ sinh(đ?‘Ą) đ?‘‘đ?‘Ą = đ?‘˜cosh(kx) +đ?‘? .

Integrazione multipla E’ necessario dare un senso a stenografie del tipo âˆŹđ??ˇ đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ś e ∭đ?‘‡ đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§). Si puo’ certamente partire dall’integrazione doppia, cioe’ dalla forma âˆŹđ??ˇ đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ś.

Si ha a che fare con una funzione di due variabili reali, indicate come f(x,y). La funzione fa corrispondere ad una coppia (x, y) un solo elemento f(x,y). Pertanto si ha che f e’ tale che đ?‘… 2 =đ?‘›đ?‘˘đ?‘šđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘œ đ?‘‘đ?‘’đ?‘™đ?‘™đ?‘’ đ?‘Łđ?‘Ł.đ?‘–đ?‘–. → đ?‘….

In questo contesto si ha che D ⊆ � 2 .

La parte teorica e’ astrattamente semplice in quanto si tratta di un ampiamento delle somme di Cauchy dell’integrale di una funzione f(x). Si ammette di considerare D come un rettangolo e ammettendo entro di esso un numero arbitrariamente grande di rettangolini infinitesimi che costituiscono una partizione di D. Ognuno di detti rettangolini e’ individuate da due indici. Quindi, ciascuno di essi e’ identificato come đ??źâ„Ž,đ?‘˜ . Sia poi per ciascuno di essi un punto f(đ?‘Ąâ„Ž,đ?‘˜ ) della funzione quando đ?‘Ąâ„Ž,đ?‘˜ ∈ đ??źâ„Ž,đ?‘˜ .

Si pone per definizione che: âˆŹđ??ˇ đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ś = lim ∑đ?‘›â„Ž,đ?‘˜ =1 | đ??źâ„Ž,đ?‘˜ | f(đ?‘Ąâ„Ž,đ?‘˜ ) đ?‘›â†’+∞

Detto limite finito e’ detto integrale doppio.

Al fine di approfondire le questioni e’ utile dare la nozione di insieme y-semplice e di insieme x-semplice, osservando che un dato insieme E ⊆ đ?‘…2 . Un insieme E ⊆ đ?‘…2 e’ y-semplice se esistono due funzioni continue in ⌋a, bâŚŒ tali che per ogni x di detto intervallo risulti essere đ?‘“1 (x) < đ?‘Ś < đ?‘“2 (x). Sempre per definizione di dice che un insieme insieme E ⊆ đ?‘…2 e’ x-semplice se esistono due funzioni continue tali che per ogni x di detto intervallo riuslti essere â„Ž1 (y) < đ?‘Ľ < â„Ž2 (y).

Un insieme E e’ detto regolare se e’ costituito da un numero finito di insiemi semplici, in termini dii ntersezione tra essi. Se e’ assegnato un dominio x-semplice si puo’ scrivere che: �

â„Ž (đ?‘Ś)

2 âˆŹđ?›ş đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ś = âˆŤđ?‘? (âˆŤâ„Ž (đ?‘Ś) đ?‘“(đ?‘Ľ)đ?‘‘đ?‘Ľ) dy 1

Quando il dominio đ?›ş e’ y-semplice si ha: đ?‘?

đ?‘“ (đ?‘Ľ)

2 âˆŹđ?›ş đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ś = âˆŤđ?‘Ž (âˆŤđ?‘“ (đ?‘Ľ) đ?‘“(đ?‘Ľ)đ?‘‘đ?‘Ś) dx 1

In genere i domini che si considerano sono generalmente sia x che y semplici e questo semplifica alquanto la situazione.

L’integrale doppio gode di interessanti proprieta’ quali le seguenti: Se in Ί ⊆ đ?‘… 2 si ha f(x,y) ≼ g(x, y) allora âˆŹđ?›ş đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ś ≼ âˆŹđ?›ş đ?‘”(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ś Se in Ί ⊆ đ?‘… 2 si ha f(x,y) ≼ 0 implica âˆŹđ?›ş đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ś ≼ 0.

Una ulteriore proprieta’ e’ quella della additivita’ rispetto al dominio di integrazione. Se i domini che si considerano sono đ??ˇ1 e đ??ˇ2 ed e’ verificata una delle due condizioni đ??ˇ1 ∊ đ??ˇ2 = ∅ oppure A(đ??ˇ1 ∊ đ??ˇ2 ) = 0 L’integrale doppio viene scritto come: âˆŹđ??ˇ

1 âˆŞ đ??ˇ2

đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ś = âˆŹđ??ˇ đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ś + âˆŹđ??ˇ đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ś 1

2

Solitamente il dominio Ί ha la sembianza di un prodotto cartesiano di intervalli chiusi, come si vede nel seguente integrale doppio. âˆŹâŚ‹0 ,

đ?œ‹ 2

1âŚŒĂ—âŚ‹0 , âŚŒ

đ?‘Śđ?‘ đ?‘–đ?‘›(đ?‘Ľđ?‘Ś) đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ś

1

Si puo’ ragionare sull’integrale âˆŤ0 đ?‘Śđ?‘ đ?‘–đ?‘›(đ?‘Ľđ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ľ. In esso la y puo’ essere considerare alla stregua di una costante, avendo che: 1

1

âˆŤ0 đ?‘Śđ?‘ đ?‘–đ?‘›(đ?‘Ľđ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ľ = đ?‘Ś âˆŤ0 đ?‘ đ?‘–đ?‘›(đ?‘Ľđ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ľ. Questo integrale puo’ essere ricondotto alla sua forma indefinita, avendo che: âˆŤ đ?‘ đ?‘–đ?‘›(đ?‘Ľđ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ľ = − đ?‘Śđ?‘?đ?‘œđ?‘ (đ?‘Ľđ?‘Ś) + đ?‘?. La y si intende come fosse una costante.

In sintesi si ha: 1

1

đ?‘Ľ=1 = −đ?‘Ś 2 (cosy −1). âˆŤ0 đ?‘Śđ?‘ đ?‘–đ?‘›(đ?‘Ľđ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ľ = đ?‘Ś âˆŤ0 đ?‘ đ?‘–đ?‘›(đ?‘Ľđ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ľ = đ?‘Ś (−đ?‘Ś)⌋đ?‘?đ?‘œđ?‘ (đ?‘Ľđ?‘Ś)âŚŒđ?‘Ľ=0

A questo punto e’ possibile lavorare sul seguente integrale semplice. đ?œ‹ 2

− âˆŤ0 đ?‘Ś 2 (cos(y) −1) dy calcolabile con i metodi usuali.

Ulteriori esempi di integrali doppi da valutare sono i seguenti. 1

2

âˆŤ0 âˆŤ1 đ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ś 1

2

Esso e’ riscrivibile come âˆŤđ?‘œ (âˆŤ1 đ?‘‘đ?‘Ś) dx 2

2

Da âˆŤ1 đ?‘‘đ?‘Ś si ha che âˆŤ1 đ?‘‘đ?‘Ś = ⌋đ?‘ŚâŚŒ12 = 2 − 1 1

Quindi occorre valutare âˆŤ0 1đ?‘‘đ?‘Ľ = ⌋đ?‘ŚâŚŒ10 = 1 −0 = 1

2

3

âˆŤ1 âˆŤ0 (đ?‘Ľ + đ?‘Ś )đ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ś Questo integrale doppio e’ immediatamente riscrivibile come segue: 2

3

âˆŤ1 (âˆŤ0 (đ?‘Ľ + đ?‘Ś )đ?‘‘đ?‘Ś) đ?‘‘đ?‘Ľ 3

3

3

3

Considerando âˆŤ0 (đ?‘Ľ + đ?‘Ś )đ?‘‘đ?‘Ś si ha âˆŤ0 (đ?‘Ľ + đ?‘Ś )đ?‘‘đ?‘Ś = âˆŤ0 đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ś + âˆŤ0 đ?‘Śđ?‘‘đ?‘Ś = x⌋đ?‘ŚâŚŒ30 đ?‘Ś2

9

+⌋ 2 âŚŒ30 = 3đ?‘Ľ + 2. A questo punto si valuta 9

3

9

2

2

9

9

2

đ?‘Ľ2

âˆŤ1 (3đ?‘Ľ + 2)đ?‘‘đ?‘Ľ = 3 âˆŤ1 đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ľ + 2 âˆŤ1 đ?‘‘đ?‘Ľ = 3⌋ 2 âŚŒ12 9

9

+ 2 ⌋đ?‘ĽâŚŒ12 =2(4 −1) + 2(2 −1) = 2 + 2 =

18 2

=9

Ben oltre questi semplici esempi numerici gli integrali doppi vengono rappresentati da una forma generale del tipo âˆŤ âˆŤđ??ˇ đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ś ove D e’ in sottoinsieme di đ?‘… 2 detto dominio.

Esempi classici di domini sono i triangoli di dati vertici, per esempio nei punti (0, o), ( a, 0), (a ,d) tutti del I quadrante. Questa figura chiarisce i termini della questione.

I punti del dominio sono quelli interni al considerato triangolo.

Il dominio D e’ il luogo dei punti (x, y) interni al triangolo e quindi costituito da tutti gli x tali che 0 ≤ đ?‘Ľ ≤ đ?‘Ž e dagli y tali che 0 ≤ đ?‘Ś ≤ đ?‘“(đ?‘Ľ) ove la funzione e’ ricavata dai dati del problema, retta passante per l’origine e di coeffiente đ?‘?

angolare đ?‘Ž. đ?‘?

Deve quindi essere 0 ≤ � ≤ �(�) = �x

Il considerato dominio puo’ essere rappresentato nella seconda modalita’ �

dicendo che la y e’ tale che 0 ≤ đ?‘Ś ≤ đ?‘? e che x e’ tale che 0 ≤ đ?‘Ľ ≤ đ?‘?y Un esempio applicativo chiarisce quanto rileva inordine al dominio D. đ?‘Ś

Si chiede di valutareâˆŤ âˆŤđ??ˇ đ?‘’ đ?‘Ľ dxdy D e’ la parte del piano al di sotto del segmento parabolico y = đ?‘Ľ 2 a sinistra della retta y = 1.

La rappresentazione grafica e’ immediata.

E’ immediato constatare che il dominio puo’ essere messo nella forma 0 ≤ � ≤ 1 e 0 ≤ � ≤ �2 .

APPENDICE 1

Soluzioni di una equazione

Un interessante esercizio che ho rinvenuto recentemente in rete (sito della Scuola Normale di Pisa)

Soluzioni dell’equazione đ?‘˜đ?‘Ľ = |đ?‘Ľ − 3| al variare di k.

Caso banale k = o. Allora sarebbe |đ?‘Ľ − 3| = 0 đ?‘’ quindi x = 0. In generale risolvere l’equazione đ?‘˜đ?‘Ľ = |đ?‘Ľ − 3| al variare di k significa trovare un numero reale a per il quale đ?‘˜đ?‘Ž = |đ?‘Ž − 3| e’ vera. Dire che la soluzione a e’ unica equivale ad ammettere che đ?‘˜đ?‘? = |đ?‘? − 3| e’ vera se e solo se b =đ?‘Ž. Poiche’ |đ?‘Ž − 3| e’ per definizione un numero positivo allora la eguaglianza e’ verificata solo se ka e’ un numero positiv0.

Pertanto la radice segue il segno di k.

Da k > 0 discende che la soluzione deve essere a > 0. Da k < 0 discende che la soluzione deve essere a < 0.

Per k = 0 risulta essere (quando si ipotizza la soluzione della equzione) che |đ?‘Ž − 3| = 0. Quindi a = 3 e’ soluzione per k= 0.

La questione puo’ essere portata sul piano della geometria analitica nel senso che e’ possibile considerare la funzione y = đ?‘˜đ?‘Ľ − |đ?‘Ľ − 3| da studiare al variare del parametro k in R.

Trovare una soluzione vuo dire trovare un a reale per il quale sia y = 0.

La ricerca e’ complicata dal fatto che la soluzione dipende da k. Trattando funzione y = đ?‘˜đ?‘Ľ − |đ?‘Ľ − 3| si osserva che essa e’ nella sostanza una funzione definita a tratti. Per x = 3 si ha immediatamente y = 3k Per x > 3 si ha |đ?‘Ľ − 3| = đ?‘Ľ − 3 e pertanto si puo’ scrivere che: y = đ?‘˜đ?‘Ľ − |đ?‘Ľ − 3| = đ?‘˜đ?‘Ľ − (đ?‘Ľ − 3) = đ?‘˜đ?‘Ľ − đ?‘Ľ + 3 = đ?‘Ľ(đ?‘˜ − 1) + 3

Quindi per x > 3 si ha y = đ?‘Ľ(đ?‘˜ − 1) + 3. Per x < 3 si ha |đ?‘Ľ − 3| = −(đ?‘Ľ − 3) e pertanto si puo’ scrivere che: y = đ?‘˜đ?‘Ľ − |đ?‘Ľ − 3| = kx −( −(đ?‘Ľ − 3)) = đ?‘˜đ?‘Ľ + đ?‘Ľ − 3= x(k+1) − 3. In definitiva per x < 3 si ha y = đ?‘˜đ?‘Ľ − |đ?‘Ľ − 3| =x(k+1) − 3. A questo punto occorre osservare che x = 3 e’ soluzione quando k = 0.

Non casualmente ponendo k = o nella altre due espressioni analitiche risulta f(x, | k = 0) ≠0.

E’ pero’ possibile dare una rappresentazione grafica della questione prospettata.

L’uguaglianza proposta puo’ essere vista in termini di intersezione tra due funzioni, dette đ?‘“1 = kx e đ?‘“2 = | x −3| . La prima funzione e’ banalmente la legge della proporzionalita’ diretta, quindi una retta passante per l’origine del sistema di riferimento cartesiano.

La seconda funzione e’ una funzione composta contenenente un valore assoluto.

Le intersezioni possono ben essere rappresentate dalla seguente figura nella quale si considera il k > 0.

Si osservi che la inclinazione di �1 varia al variare di k. E’ essenziale comprendere che per k positivo

varia il numero delle

soluzioni.

In particolare quando k = 1 il problema non ha soluzioni.

In questo caso infatti la retta đ?‘“1 = đ?‘Ľ e’ parallela alla semiretta đ?‘“2 = đ?‘Ľ − 3 definita per x > 3.

Dette rette non si intersecano, quindi‌‌ Per k ∊ (0, 1) il problema ammette due soluzioni. In questo caso, infatti la retta di equazione đ?‘“1 = đ?‘Ľ interseca le due semirette di origine x = 3. Il caso k = 0 fa corrispondere la funzione đ?‘“1 all’asse delle ascisse, quindi il problema ammette una soluzione particolare unica tale che sia x = 3.

E’ poi immediato studiare il caso in cui sia k un parametro negativo, cioe’ sia k < 0.

In questo caso sono possibili due sottocasi. Nel caso sia k =−1 la funzione đ?‘“1 = −đ?‘Ľ e’ parallela alla semiretta đ?‘“2 = 3 − đ?‘Ľ definita per x < 3. In questo caso risulta che i due luoghi sono paralleli.

Da cio’ discende che in caso sia k =−1 il numero delle soluzioni e’ zero.

Nel caso sia k ∊ (−∞, 0) − {−1} il problema ammette una sola soluzione, come e’ facile vedendo graficamente disegnando una retta inclinata negativamente.

In buona sostanza il quesito e’ traducibile in linguaggio algebrico presupponendo i seguenti sistemi:

Caso k > 0 | k ≠1

Caso k < 0 | k ≠−1

prima soluzione

soluzione unica

kđ?‘Ľ1 = 3 − đ?‘Ľ1

kđ?‘Ľ3 = 3 − đ?‘Ľ3

k>0|k≠1

đ?‘Ľ3 < 0

0 < đ?‘Ľ1 < 3 seconda soluzione kđ?‘Ľ2 = đ?‘Ľ2 − 3 đ?‘Ľ2 > 3

Un possibile ampliamento del problema che potrebbe essere proposto potrebbe essere il seguente:

Studiare al variare di due parametri đ?‘˜1 e đ?‘˜2 il numero delle soluzioni dell’equazione đ?‘˜1 x = |đ?‘Ľ − đ?‘˜2 | con due possibili restrizioni sul secondo parametro, ponendo ad esempio đ?‘˜2 positivo oppure ponendo đ?‘˜2 < 0. Nel caso banale đ?‘˜2 = 0 si ha il caso dell’equazione đ?‘˜1 x = |đ?‘Ľ | che per đ?‘˜1 ≠0 ammette sempre una soluzione salvo che per đ?‘˜1 ≠¹ 1.

La figura da conto di quanto detto.

In questo caso il problema ammette sempre soluzione in quanto (0, o) e’ comune alle due curve.

Nel caso invece sia đ?‘˜1 = Âą 1 allora il problema ammette infinite soluzioni in quanto nei due casi la retta si sovrappone alle due semirette che individuano la funzione contenente il valore assoluto. In modo analogo si puo’ trattare il caso generale dell’equazione đ?‘˜1 x = |đ?‘Ľ − đ?‘˜2 | con due possibili restrizioni sul secondo parametro, ponendo ad esempio đ?‘˜2 positivo oppure ponendo đ?‘˜2 < 0. Nel caso đ?‘˜2 < 0 il secondo membro diviene eguale a |đ?‘Ľ + | đ?‘˜2 | | con questa corrispondente situazione grafica per lo zero della funzione.

Si ammetta ad esempio sia đ?‘˜2 = −2 . Allora si avrebbe | x −(−2)| = |đ?‘Ľ + 2| e lo zero della funzione si ha nel punto x = −2 e in generale sotto la condizione data lo zero si ha nel punto x = −|đ?‘˜2 | . A questo punto lo studio del numero delle funzioni si ricava dalle intersezioni delle curve, agevolmente.

APPENDICE 2

Ricerca del minimo di una funzione somma di funzioni contenenti valori assoluti

Sia data una funzione f(x) del tipo f(x) = |đ?‘“1 (x)| + |đ?‘“2 (x)| Siano đ??ź1 e đ??ź2 i domini delle funzioni |đ?‘“1 (x)| đ?‘’ |đ?‘“2 (x)| . Essi sono, ovviamente, anche i domini delle funzioni đ?‘“1 (x) đ?‘’ đ?‘“2 (x). Il dominio di f(x) e’ đ??ź1 ∊ đ??ź2 . La funzione e’ definita se đ??ź1 ∊ đ??ź2 ≠∅. In un mio precedente elaborato (Appunti matematici n. 34, ottobre 2017) si era considerato il caso della ricerca del minimo della funzione f(x).

Il caso piu’ banale e’ quello che esistano (uno o piu’ valori reali) per cui sia f(x) = 0.

In quella occasione si considerava il caso di due funzioni, una affine e una di secondo grado completa e si evinse la condizione che doveva esistere tra i parametri delle funzioni affinche’ fosse f(x) eguale a zero. La condizione di minimo tale che sia f(x) = 0 e’ che esista almeno un �0 tale che sia �1 (�0 ) = �2 (�0 ) = 0. Non e’ detto in generale che detto valore comune alle due funzioni esista. Siano, rispettivamente, �1 � �2 gli elementi rappresentativi degli insiemi che individuano gli zeri delle due funzioni.

Siano, nella ipotesi piu’ generale, che detti insiemi siano disgiunti, cioe’ che nessun elemento di un insieme sia eguale ad ogni altro elemento dell’altro insieme.

Sotto queste ipotesi si puo’ scrivere che: f(�1 ) = |�2 (�1)| ≠0 f(�2 ) = |�1 (�2)| ≠0

Se si ipotizza che le funzioni đ?‘“1 (x) e đ?‘“2 (x) siano continue. Da cio’ discende la continuita’ di f(x). Poiche’ in generale f(đ?‘Ľ1 ) = |đ?‘“2 (đ?‘Ľ1 )| ≠f(đ?‘Ľ2 ) = |đ?‘“1 (đ?‘Ľ2 )| la funzione f(x) non e’ costante ed essa, poiche’ continua, deve poter assumere ogni valore y | y ∊ ⌋ min (f(đ?‘Ľ1 ), f(đ?‘Ľ2 ) , max (f(đ?‘Ľ1 ), f(đ?‘Ľ2 )âŚŒ. Se Im f = ⌋ min (f(đ?‘Ľ1 ), f(đ?‘Ľ2 ) , max (f(đ?‘Ľ1 ), f(đ?‘Ľ2 )âŚŒ si puo’ scrivere che min f = min (f(đ?‘Ľ1 ), f(đ?‘Ľ2 )) Ogni y ∊ ( min (f(đ?‘Ľ1 ), f(đ?‘Ľ2 )) , max (f(đ?‘Ľ1 ), f(đ?‘Ľ2 )) non puo’ ovviamente essere il minimo della funzione in quanto detti y sono tali che y > min ((f(đ?‘Ľ1 ), f(đ?‘Ľ2 )). Queste considerazioni forse andrebbero ampliate e sviluppate.

In ogni caso e’ possibile dare una interpretazione intuitiva della soluzione del problema. Le due funzioni ��≤2 (x) sono riferite al medesimo piano ed hanno un minimo in quanto non sono costanti (per ipotesi).

La funzione considerata e’ costituita dalla somma delle due funzioni prese in valore assoluto. Siano �1 � �2 i punti per i quali le funzioni |�1 (x)| e |�2 (x)| hanno valore minimo comunque ≼ 0. Se �1 = �2 allora detto punto e’ quello a cui corrisponde il minimo di |�1 (x)| e |�2 (x)|. Si consideri quindi il caso sia �1 ≠�2 . Un esempio grafico chiarisce il senso della spiegazione intuitiva. Nel grafico sono considerate con due distinti colori due esempi di funzioni non negative aventi minimi traslati.

La figura rilevante e’ la seguente.

La funzione somma puo’ essere ottenuta traslando opportunamente una delle due funzioni e il minimo della fuzione somma puo’ essere calcolato come min f(x) = đ?‘“1 (đ?‘Ľ1 ) + đ?‘“2 (đ?‘Ľ2 + |đ?‘Ľ1 − đ?‘Ľ2 |). La seconda modalita’ e’ f(x) = đ?‘“2 (đ?‘Ľ2 ) + đ?‘“1 (đ?‘Ľ1 − |đ?‘Ľ1 − đ?‘Ľ2 |). Questo e’ un approccio piu’ generale di quello avviato nel precedente elaborato e copre i casi di minimi in punti di non derivabilita’ delle funzioni, come solitamente accade coi moduli.

La pregrassa osservazione finale potrebbe apparire errata e in realta’ lo e‘ quando si hanno casi di non derivabilita’.

Ma cio’ non e’ errato in senso generale in quanto esistono funzioni contenenti valori assoluti che hanno un minimo in un punto nel quale la derivata esiste ed e’ nulla. E’ il caso delle funzioni y = đ?‘Žđ?‘Ľ 2 +đ?‘?đ?‘Ľ + đ?‘? = 0 con a > 0 e con 4ac > đ?‘? 2 Sotto queste condizioni si ha y = |đ?‘Ś|

La corrispondente situaizone grafica per due distinte funzioni aventi questa caratteristica potrebbe essere la seguente.

In entrambi i casi le fuzioni hanno un minimo e nel punto di minimo la derivata prima si annulla.

APPENDICE 3

Sulla definizione di limite

Nel precedente numero di Appunti matematici n. 34 dell’ottobre 2017 ho impostato una serie di osservazioni relativamente alla nozione di limite di una funzione di una variabile reale.

Non sono stato assolutamente conforme nel procedere secondo gli schemi delle dimostrazioni đ?›ż − đ?œ€ che sono peraltro inconfutabili.

Ho ripensato ai passi dimostrativi che hanno determinato uno scostamento dale consuete modalita’ dimostrative contenute nella migliore manualistica.

E’ bene ritornare su alcuni aspetti della questione per meglio focalizzarli.

Sotto questo profilo non e’ necessario – e non ve ne e’ ragione logica alcuna – porre đ?œ€ = 0. A stretto rigore il porre đ?œ€ = 0 e’ una condizione piu’ forte dello scrivere đ?‘Ľ → đ?‘Ľ0 in quanto conduce a definire formalmente đ?‘Ľ = đ?‘Ľ0 .

Lo scrivere đ?œ€ → 0+ equivale a đ?‘Ľ → đ?‘Ľ0 .

APPENDICE 4

Ripasso di alcune parti dell’algebra

La divisione dei polinomi

Per i polinomi si usa l’algoritmo euclideo. Dati due polinomi A(x) e B(x) tali che grad(A(x)) ≼ grad(B(x)) si puo’ scrivere che A(x)= đ??ľ(đ?‘Ľ)đ?‘„(đ?‘Ľ) + đ?‘…(đ?‘Ľ).

Q(x) e’ detto quoziente mentre R(x) e’ detto resto della divisione. Da A(x)= đ??ľ(đ?‘Ľ)đ?‘„(đ?‘Ľ) + đ?‘…(đ?‘Ľ) dividendo per B(x) ≠0 si ha: đ??´(đ?‘Ľ) đ??ľ(đ?‘Ľ)

đ?‘…(đ?‘Ľ)

= đ?‘„(đ?‘Ľ) + đ??ľ(đ?‘Ľ) da cui, immediatamente si ha:

đ??´(đ?‘Ľ)

đ?‘…(đ?‘Ľ)

âˆŤ đ??ľ(đ?‘Ľ) đ?‘‘đ?‘Ľ = âˆŤ đ?‘„(đ?‘Ľ)đ?‘‘đ?‘Ľ + âˆŤ đ??ľ(đ?‘Ľ) đ?‘‘đ?‘Ľ

E’ utile fare qualche esempio di divisione di polinomi. (x) = 7đ?‘Ľ 2 + 5x +2 , B(x) = đ?‘Ľ − 1. 7đ?‘Ľ 2 + 5x +2

x −1

−(7đ?‘Ľ 2 − 7đ?‘Ľ)

7x +12

12x +2 −(12đ?‘Ľ − 12) 14 Quindi si ha Q(x) = 7x +12 e R(x) = 14. A(x) = đ?‘Žđ?‘Ľ 2 + bx +đ?‘? , B(x) = đ?‘Ľ − đ?‘˜ (k > 0) đ?‘Žđ?‘Ľ 2 +

+ đ?‘?

bx

−(đ?‘Žđ?‘Ľ 2 − đ?‘˜đ?‘Žđ?‘Ľ) (b+đ?‘˜đ?‘Ž)đ?‘Ľ

đ?‘Ľ −1 ax +(đ?‘? + đ?‘˜đ?‘Ž)

+đ?‘?

− ⌋((b+đ?‘˜đ?‘Ž)đ?‘Ľ − đ?‘˜(đ?‘? + đ?‘˜đ?‘Ž) đ?‘? + đ?‘˜(đ?‘? + đ?‘˜đ?‘Ž)

R(x) = đ?‘? + đ?‘˜(đ?‘? + đ?‘˜đ?‘Ž) Q(x) = ax +(đ?‘? + đ?‘˜đ?‘Ž)

Le soluzioni dell’equazione di II grado Il trinomio đ?‘Žđ?‘Ľ 2 + đ?‘?đ?‘Ľ + đ?‘? ha sempre due zeri. Essi sono reali se vale la condizione đ?‘? 2 − 4đ?‘Žđ?‘? ≼ 0.

Altrimenti le soluzioni sono complesse coniugate.

La formula risolutiva e’ ben nota ed e’ la seguente:

đ?‘Ľ1,2 =

−đ?‘?Âąâˆšđ?‘?2 −4đ?‘Žđ?‘? 2đ?‘Ž

Quando risulta essere đ?‘? 2 − 4đ?‘Žđ?‘? = đ?‘œ l’equazione di II grado ammette le đ?‘?

due soluzioni reali e coincidenti đ?‘Ľ1,2 = − 2đ?‘Ž.

Le proprieta’ delle potenze in R

In svariate parti di questo elaborato sono state utilizzate le ben note proprieta’ delle potenze dei numeri reali che per comodita’ si riassumono come segue: � � � � = � �+� �� ��

= đ?‘Ž đ?‘Ľâˆ’đ?‘Ś

đ?‘Ž0 = 1 ∀đ?‘Ž > 0. (đ?‘Ž đ?‘Ľ )đ?‘Ś = đ?‘Ž đ?‘Ľđ?‘Ś

La definizione e le proprieta’ dei logaritmi

Del logaritmo puo’ essere data una definizione formale banale.

Dicesi logaritmo di un numero reale positivo r rispetto ad una base b l’esponente x rispetto al quale elevare la base per ottenere il numero dato. Formalmente si scrive đ??żđ?‘œđ?‘”đ?‘? r = đ?‘Ľ e quindi đ?‘? đ?‘Ľ = đ?‘&#x;. Tra le possibili basi si utilizzano ampiamente đ?‘? = 10 e b = đ?‘’, numero di Nepero.

Sono particolarmente utili alcuni elementari teoremi, la cui dimostrazione discende direttamente dalla definizione di logaritmo. log đ?‘Ľđ?‘Ś = đ?‘™đ?‘œđ?‘” đ?‘Ľ + đ?‘™đ?‘œđ?‘”đ?‘Ś con x > 0 đ?‘’ đ?‘Ś > 0 đ?‘Ľ

log đ?‘Ś = đ?‘™đ?‘œđ?‘”đ?‘Ľ − đ?‘™đ?‘œđ?‘”đ?‘Ś con x > 0 đ?‘’ đ?‘Ś > 0 logđ?‘Ľ đ?‘˜ = đ?‘˜đ?‘™đ?‘œđ?‘”đ?‘Ľ

I teoremi sono veri per ogni base positiva.

Quando si scrive log(x) si intende che la base e’ 10, cioe’ log(x) = log10 �. I logaritmi in base e si indicano come ln(x), abbreviazione di logaritmo naturale. 1

In questo elaborato si e’ evidenziato che âˆŤ đ?‘Ľdx = ln |đ?‘Ľ| + đ?‘?. Da qui la spiegazione analitica dell’integrale quale area sottesa dalla 1

curva y = đ?‘Ľ.

All’uopo riporto un paragrafo del numero 6 di Appunti matematici del giugno 2015.

15. Definizione analitica del logaritmo Oltre alla definizione elementare di logaritmo ne esiste una analitica per la quale dato un đ?‘Ľ1

x > 0 viene definito logaritmo naturale di x, L(x), l’integrale L(x) = âˆŤ1 dt. đ?‘Ą

Per x > 1 L(x) ha una interpretazione geometrica, costituendo l’area sottesa dalla curva 1/t nel piano t (in ascissa) e y in ordinata.

La funzione logaritmo gode di tre fondamentali proprietà: L(1) = 0 L’(x) = 1/x L(ab) = L(a) + L(b) È ben evidente che tutte le proprietà ordinarie dei logaritmi (teoremi dei logaritmi) valgono anche in questo contesto.

APPENDICE 5

Le principali identita’ goniometriche utili al calcolo integrale

Dando per scontate le nozioni trigonometriche fondamentali e’ utile avere a disposizione un elenco di identita’ trigonometriche.

Esse sono di fondamentale importanza per le sostituzioni trigoometriche utili al calcolo integrale per calcolare i cosiddetti integrali trigonometrici. đ?‘ đ?‘–đ?‘›2 (đ?‘Ľ) + đ?‘?đ?‘œđ?‘ 2 (đ?‘Ľ) = 1 1 +đ?‘Ąđ?‘”2 (đ?‘Ľ) = đ?‘ đ?‘’đ?‘? 2 (đ?‘Ľ) 1 +đ?‘?đ?‘Ąđ?‘”2 (đ?‘Ľ) = đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?‘’đ?‘? 2 (đ?‘Ľ) 1

đ?‘ đ?‘–đ?‘›2 (đ?‘Ľ) = 2(1 −cos(2đ?‘Ľ)) 1

đ?‘?đ?‘œđ?‘ 2 (đ?‘Ľ) = 2(1 +cos(2đ?‘Ľ)) 1

sin(x)cos(x) = 2sin(2x)

Alcune identita’ coinvolgono archi distinti detti x ed y rispettivamente. 1

sin(x)cos(y) = 2⌋sin(x −đ?‘Ś) + sin(đ?‘Ľ + đ?‘Ś)âŚŒ 1

sin(x)sin(y) = 2⌋cos(x−đ?‘Ś) − đ?‘?đ?‘œđ?‘ (đ?‘Ľ + đ?‘Ś)âŚŒ

1

cos(x)cos(y) = 2⌋cos(x−đ?‘Ś) + đ?‘?đ?‘œđ?‘ (đ?‘Ľ + đ?‘Ś)âŚŒ đ?‘Ľ

1 – cos(x) = 2đ?‘ đ?‘–đ?‘›2 (2) đ?‘Ľ

1 + cos(x) = 2đ?‘?đ?‘œđ?‘ 2 (2) đ?œ‹

1 Âą sin(x) = 1 Âą cos( 2 − đ?‘Ľ)

Fermo restando che le definizioni delle funzioni goniometriche sono date a partire dalla circonferenza goniometrica e’ utile ricordare che esse, equivalentemente, pososno essere date con riferimento a relazioni tra gli elementi di un triangolo rettangolo.

Sia dato un triangolo rettangolo ABC di lati a b, e c.

đ?œ‹

L’angolo � e’ retto e misura 2 rad. Gli altri due angoli sono complementari.

Per ognuno dei tre angoli interni del triangolo ABCdi lati a, b e c pososno essere definite le funzioni trigoometriche sin(.), cos(.), tang(.) dalle quali poi si ricavano le ulteriori.

Ad esempio si puo’ porre che:

sin(�) =

đ?‘?đ?‘œđ?‘ (đ?›ž) =

đ?‘šđ?‘–đ?‘ đ?‘˘đ?‘&#x;đ?‘Ž đ?‘‘đ?‘’đ?‘™ đ?‘?đ?‘Žđ?‘Ąđ?‘’đ?‘Ąđ?‘œ đ?‘œđ?‘?đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?‘Ąđ?‘œ

=

đ?‘?

đ?‘šđ?‘–đ?‘ đ?‘˘đ?‘&#x;đ?‘Ž đ?‘‘đ?‘’đ?‘™ đ?‘?đ?‘Žđ?‘Ąđ?‘’đ?‘Ąđ?‘œ đ?‘Žđ?‘‘đ?‘–đ?‘Žđ?‘?đ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘’

=

đ?‘–đ?‘?đ?‘œđ?‘Ąđ?‘’đ?‘›đ?‘˘đ?‘ đ?‘Ž

đ?‘–đ?‘?đ?‘œđ?‘Ąđ?‘’đ?‘›đ?‘˘đ?‘ đ?‘Ž

sin(�)

tang(�) = cos(γ) =

đ?‘? đ?‘? đ?‘Ž đ?‘?

đ?‘?đ?‘?

đ?‘?

đ?‘?

đ?‘Ž đ?‘?

đ?‘šđ?‘–đ?‘ đ?‘˘đ?‘&#x;đ?‘Ž đ?‘‘đ?‘’đ?‘™ đ?‘?đ?‘Žđ?‘Ąđ?‘’đ?‘Ąđ?‘œ đ?‘œđ?‘?đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?‘Ąđ?‘œ

= đ?‘? đ?‘Ž = đ?‘Ž = đ?‘šđ?‘–đ?‘ đ?‘˘đ?‘&#x;đ?‘Ž đ?‘‘đ?‘’đ?‘™ đ?‘?đ?‘Žđ?‘Ąđ?‘’đ?‘Ąđ?‘œ đ?‘Žđ?‘‘đ?‘–đ?‘Žđ?‘?đ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘’

Da queste “definizioni� e’ possibile ricavare le altre grandezze trigonometriche, come la cotangente, la secante e la cosecante.

Si osservi che quando ci si riferisce all’angolo retto, che nel caso della figura e’ l’angolo đ?›ź nasce una complicazione terminologica in quanto đ?œ‹

scrivendo sin(� = 2 ) =

đ?‘šđ?‘–đ?‘ đ?‘˘đ?‘&#x;đ?‘Ž đ?‘‘đ?‘’đ?‘™ đ?‘?đ?‘Žđ?‘Ąđ?‘’đ?‘Ąđ?‘œ đ?‘œđ?‘?đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?‘Ąđ?‘œ đ?‘–đ?‘?đ?‘œđ?‘Ąđ?‘’đ?‘›đ?‘˘đ?‘ đ?‘Ž

andrebbe evidenziato che

cateto opposto e ipotenusa si identificano nel medesimo segmento.

đ?œ‹

cos(đ?›ź = 2 ) non e’ definibile con queste modalita’. Quale cateto “adiacenteâ€? considerare ?

Ho introdotto queste relazioni solo ed in quanto utilizzate con riferimento ad alcuni integrali.

E’ sicuramente conveniente riferirsi alla loro definizione apartire dalla circonferenza goniometrica di equazione � 2 + � 2 = 1. Puo’ poi essere utile ricordare che sin(�) = cos(�) coerentemente con la definizione di coseno che deriva dalla contrazione di complementi sinus (seno dell’angolo complementare).

BIBLIOGRAFIA

AA.VV., L’esame di Analisi matematica, Tomo I, Edizioni Simone, 2012

Ayres Jr., Calcolo differenziale ed integrale, Etas Libri, 1973

Boella, Analisi matematica 2, Esercizi, Pearson Educational, 2008

Bramanti, Pagani, Salsa, Matematica, Calcolo infinitesimale e algebra lineare, II edizione, Zanichelli, 2009

Campitelli, Campodonico, Galdi, Analisi infinitesimale 2, Societa’ Editrice Dante Alighieri, 2007.

Fico, Cariani, Mattina, Il paesaggio matematico, rosso, 5, Loecher, 2008.

Galligani, Lagana’, Mazzone, Esercitazioni di analisi matematica, ECIG, 1987.

ANTICIPAZIONE

Il prossimo numero di Appunti matematici sara’ dedicato alla teoria dei limiti.

Karl Weierstraβ sara’ il matematico in copertina.

Egli sistemo’ definitivamente la teoria dei limiti.

PROPRIETA’ LETTERARIA

Questo elaborato non ha finalita’ commerciali o lucrative. Ne e’ autorizzata la divulgazione, anche totale, a condizione che essa non abbia finalita’ commerciali o lucrative purche’ essa avvenga con la citazione dell’autore e del soggetto diffusore dell’opera.

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