REVISTA DIGITAL LÓGICA MATEMÁTICA UMG

PRESENTADO POR: KENIA PAOLA BARRIOS MÉRIDA

Lógica ..................................................................................................................................... 3 Principios de la Lógica ........................................................................................................... 4 Conjuntos ................................................................................................................................ 5 Solución de problemas con conjuntos .................................................................................... 7 Cálculo Proposicional ............................................................................................................. 8 Formalización de las Proposiciones...................................................................................... 10 Equivalencias lógicas............................................................................................................ 12 Razonamientos Deductivos e Inductivos .............................................................................. 14 Proposiciones Categóricas .................................................................................................... 16 Silogismo Categórico............................................................................................................ 19 Calidad, cantidad y distribución de una proposición lógica y el cuadro de oposición ......... 21 .............................................................................................................................................. 23 Leyes de inferencia ............................................................................................................... 24 Validez de un argumento utilizando tablas de verdad .......................................................... 24 Aplicación de las diferentes leyes de inferencia en la demostración de la validez de un argumento ............................................................................................................................. 24 Cuantificadores ..................................................................................................................... 24

Pensar es un complejo proceso que se inicia con la creación de imágenes mentales en nuestro cerebro. Estas imágenes las integramos, emparejamos, proyectamos o asociamos con nuestros conceptos o esquemas que tenemos memorizados, representándonos las situaciones del mundo y de nosotros mismos en un proceso simbólico que necesitamos estructurar en secuencias sintácticamente, esto es, lógicamente, organizadas.

Se considera a Aristóteles el fundador de la lógica como propedéutica o herramienta básica para todas las ciencias. La lógica aristotélica fue ampliamente aceptada en ciencias y matemáticas y permaneció en uso amplio en Occidente. El sistema de lógica de Aristóteles fue responsable de la introducción del silogismo hipotético, de la lógica modal temporal, de la lógica inductiva, así como de términos influyentes tales como términos, predicables, silogismos y proposiciones.

La lógica podemos definirla como la ciencia de los principios de la validez formal de la inferencia.

La lógica se estructura de la siguiente manera: 







Lógica de Proposiciones o de Enunciados Es el cálculo de enunciados o proposicional, cuyas fórmulas son proposiciones, oraciones o enunciados sin analizar internamente.

Lógica de Predicados o Cuantificacional Se caracterizan por analizar las oraciones en sus componentes, sujeto y predicado, y porque se puede cuantificar sobre individuos, es decir podemos tratar con todos o con algunos de los elementos que pueden ser sujetos de una oración.

Lógica de Primer Orden Es la unión del cálculo proposicional y del cálculo de predicados.

Lógica de 2o (3o,4o...n) Orden Sobre la lógica de primer orden, según admitamos cuantificar sobre propiedades o predicados, o predicados de predicados, iremos subiendo de orden.

Ejemplo Supongamos que hemos obtenido un juicio tal como:  Todos los hombres son mortales Y que posteriormente conocemos a Juan y construimos el siguiente juicio  Juan es un hombre ¿Necesitamos esperar a la muerte de Juan para deducir  Juan es mortal?

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Principio de la identidad Se expresa con la fórmula A = A. Indica que un concepto solo es idéntico a sí mismo y no cambia en el momento en que se piensa. Esto significa que un concepto o una cosa cualquiera, solo puede ser ella misma y no otra.

Ejemplo: El círculo es un círculo y no un cuadrado.

Principio de no contradicción Demuestra que en la realidad nada puede ser y no ser al mismo tiempo, la cual se expresa con la fórmula A ≠ no A. El principio de no contradicción nos dice que es imposible que algo sea y no sea al mismo tiempo.

Ejemplo: No es posible que un objeto sea un árbol y no sea, a la vez, un árbol.

Principio tercero excluido Entre el ser y el no ser no existe una tercera opción. La tercera opción está excluida.

Ejemplo: El día está nublado o no está nublado.

Principio razón suficiente Con este principio afirmamos que todo cuanto ocurre tiene una causa o razón suficiente. También indica que un pensamiento o hecho podrá ser considerado verdadero si existen suficientes razones para ello. Es decir, para nuestro pensamiento solo son verdaderos los conocimientos que podamos probar suficientemente.

Ejemplo: Las matemáticas pertenecen a las ciencias exactas, porque siempre dan resultados precisos.

Uno de los hechos más interesantes acerca de la teoría de conjuntos es que las operaciones básicas de esta teoría se corresponden de forma muy estrecha con las estructuras lógicas que obtenemos al utilizar conectivos.

Intersección de conjuntos

Unión de conjuntos

La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos comunes a los dos conjuntos. La intersección de A y B se denota por A y B, y en lenguaje lógico el conjunto puede escribirse como:

La unión de dos conjuntos A y B consta de todos los elementos que pertenecen a A o a B. La unión de A y B se denota por A x B. En lenguaje lógico podemos escribir:

La operación de intersección de conjuntos comparte muchas propiedades con el conectivo ∧.

Note que si extraemos un elemento de A x B, éste puede estar sólo en A, o sólo en B, o ser un elemento común a A y a B.

Diferencia de conjuntos

Diferencia simétrica de conjuntos

La diferencia entre dos conjuntos A y B o el complemento relativo de B respecto a A es el conjunto que consiste en todos los elementos que pertenecen a A pero no a B. La diferencia entre A y B se denota por A 2 B. En lenguaje de la lógica A 2 B se representa como:

La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos de la unión de A y B, eliminando los elementos de la intersección de A y B. La diferencia simétrica de A y B se denota por A Δ B. Usando el lenguaje lógico podemos expresar A Δ B como:

Note que de acuerdo con la descripción dada para la diferencia simétrica, podemos escribir:

¡DATO CURIOSO!

George Cantor (1845-1918) fue quien prácticamente formuló de manera individual la teoría de conjuntos a finales del siglo XIX y principios del XX. Su objetivo era el de formalizar las matemáticas como ya se había hecho con el cálculo cien años antes. Cantor comenzó esta tarea por medio del análisis de las bases de las matemáticas y explicó todo basándose en los conjuntos (por ejemplo, la definición de función se hace estrictamente por medio de conjuntos). Este monumental trabajo logró unificar a las matemáticas y permitió la comprensión de nuevos conceptos.

Problema Estamos en una asamblea de futuros copropietarios de un edificio a la que asisten 100 personas.

Sabemos que 35 son hombres que viven solos, 24 son mujeres que viven solas y 20 son hombre y mujeres que viven en parejas. El resto de los asistentes, son inversores que no planifican vivir en el edificio sino que comprarán como inversión. ¿Cuántos inversores hay presentes en la asamblea?

1. Lee el problema con mucha atención y determina a cuántos conjuntos de personas corresponden los datos que se te ofrecen.

En este caso son 3: los hombres solos, las mujeres solas y las parejas (compuestas obviamente por hombres y mujeres) 2.

Realiza un diagrama de Venn que te permita dibujar los datos que estás leyendo. En este caso podría ser algo así (recuerda que tienes que definir cuánto es el “universo” es decir, la totalidad de elementos que se mencionan en la situación problemática, en este caso, los 100 asistentes a la asamblea. Coloca en los diferentes sectores los números con los datos que te aporta el problema; en este caso quedaría algo como esto:

3. Comienza a razonar la letra y a escribirla en forma de ecuación. Después de todo, lo que estás buscando es una incógnita: el número de personas entre las 100 presentes que no están en ninguna de las categorías antes mencionadas.

La ecuación en cuestión podría escribirse así y resolverse como cualquier otra ecuación de una sola incógnita. Toma nota: x + 35 + 20 + 24 = 100 x + 79 = 100 x = 100 – 79 x = 21

4. Analiza la respuesta numérica y redacta la respuesta final al problema. En este caso sería así: Respuesta: el número de asistentes que son inversores es 21.

Cuando una proposición se construye a partir de otras proposiciones, mediante conectivos lógicos, el valor de verdad lo determinan los valores de verdad de las proposiciones originales.

Para verificar el valor de verdad de una proposición compuesta se utilizan las siguientes tablas.

Tabla de verdad para la disyunción

Tabla de verdad para la conjunción

La disyunción es verdadera, si una o las dos proposiciones son verdaderas.

La conjunción es verdadera, si las dos proposiciones son verdaderas.

Tabla de verdad para la implicación

Tabla de verdad para la doble implicación

La implicación es falsa, si la primera proposición es verdadera y la segunda es falsa.

La doble implicación es verdadera, si las dos proposiciones son verdaderas o las dos son falsas.

Tabla de verdad para la negación En la negación de una proposición, su valor de verdad es el contrario del original.

La tabla de verdad fue desarrollada por Charles Sanders Peirce por los años 1880, pero el formato más popular es el que introdujo Ludwig Wittgenstein en su Tractatus logico-philosophicus, publicado en 1921.

Lógica proposicional La lógica proposicional trata sobre la verdad o la falsedad de las proposiciones y de cómo la verdad se transmite de unas proposiciones (premisas) a otras (conclusión). Una proposición es la unidad mínima de significado susceptible de ser verdadera o falsa.

Conectivas lógicos Los elementos que sirven para conectar las proposiciones atómicas entre sí se llaman conectivas lógicas. Las conectivas lógicas nos dicen cómo afecta el valor de verdad de las proposiciones atómicas al valor de verdad de las proposiciones moleculares.

A cada conectiva lógica le corresponde un símbolo, como queda resumido en la siguiente tabla:

Formalización de proposiciones Formalizar una proposición significa abstraer su forma lógica, es decir, revelar su estructura sintáctica a través del lenguaje formalizado de la lógica. En términos más sencillos, formalizar una proposición equivale a representarla simbólicamente.

La técnica de formalización de proposiciones comprende los siguientes pasos: a) Se explicita su forma lógica empleando las conjunciones ‘y’, ‘o’, ‘si..., entonces’, ‘si y sólo si’ y el adverbio ‘no’ en sustitución de sus expresiones equivalentes. b) Se halla su fórmula reemplazando cada proposición atómica por una variable proposicional, las conjunciones gramaticales por sus operadores lógicos correspondientes y el adverbio ‘no’ por el operador negativo. c) Los signos de agrupación se usan para establecer la jerarquía entre los operadores de una fórmula lógica, pero sólo cuando su omisión la hace ambigua.

Ejemplos de formalización de proposiciones No iremos al teatro a menos que venga Raúl.

Forma lógica: Si Raúl viene, entonces iremos al teatro.

Fórmula: p: Raúl viene. q: iremos al teatro. p→q

Formalización de la conjunción Proposición en lenguaje natural: Los perros son listos y los gatos egoístas. p= los perros son listos q= los gatos son egoístas Formalización: p ∧ q (se lee ‘p y q’)

Formalización del condicional Proposición en lenguaje natural: Si Misha es un gato, entonces escupirá bolas de pelo. p= Misha es un gato q= Misha escupirá bolas de pelo Formalización: p → q (se lee ‘si p entonces q’ ó ‘p implica q’)

Formalización de la disyunción Proposición en lenguaje natural: Voy al cine o voy al teatro p = voy al cine q= voy al teatro Formalización: p v q (se lee ‘p o q’)

Formalización de la negación Proposición en lenguaje natural: No voy a solucionarte el problema p= voy a solucionarte el problema Formalización: ¬p

Formalizaciones combinando todas las anteriores Proposición en lenguaje natural: Si estudias y vienes a clase, entonces aprobarás. p= estudias q= vienes a clase r= aprobarás Formalización: (p ∧ q) →r

Los conectivos lógicos conjunción, disyunción, implicación o doble implicación requieren estar acompañados de dos o más proposiciones simples y el conectivo lógico negación siempre va antes de una proposición simple o compuesta.

Formalización:&¬p

Dos fórmulas lógicas son equivalentes si tienen los mismos valores de verdad para todos los posibles valores de verdad de sus componentes atómicos. Diremos que dos proposiciones P y Q son lógicamente equivalentes si es una tautología, es decir, si las tablas de verdad de P y Q son iguales.

Equivalencias Conmutativas

Equivalencias Asociativas

Se conserva el conectivo y se cambia el orden de los enunciados simples de la proposición. Sólo se cumple con conectivos de conjunción y disyunción.

Se aplica también con enunciados compuestos por más de dos simples.

Se conserva el conectivo y los enunciados simples de la proposición, sólo varía el lugar de los signos de agrupación. Se cumple únicamente con conectivos de conjunción, disyunción y con una proposición de tres enunciados.

p∧q≡q∧p

(p∧q)∧r≡p∧(q∧r)

p∨q≡q∨p

(p∨q)∨r≡p∨(q∨r)

(p ∨ q) ∧ r ≡ r ∧ (p ∨ q)

( p ∨ ~ q ) ∨ ~ r ≡ p ∨ (~ q ∨ ~ r )

Equivalencias Distributivas

Equivalencias de Morgan

El primer enunciado acompañado del conectivo que lo prosigue, se opera con cada enunciado dentro de paréntesis con un respectivo paréntesis, separado por el segundo conectivo de la proposición. Se cumple con varios conectivos, excepto con la doble implicación.

La negación fuera de los paréntesis afecta a cada enunciado dentro de los paréntesis y así también al conectivo que los une. Se cumple con la conjunción y disyunción, no obstante la implicación y doble implicación podrían estar también afectadas por Morgan.

p∧(q∨r)≡(p∧q)∨(p∧r)

~(p∧q)≡~p∨~q ~(p∨q)≡~p∧~q ~(p∧~q)≡~p∨q ~(~p∨~q)≡p∧q

p∨(q∧r)≡(p∨q)∧(p∨r) p→(q∧r)≡(p→q)∧(p→r)

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Razonamiento Deductivo

Razonamiento Inductivo

Tradicionalmente, el razonamiento deductivo, se ha considerado que va de lo general a lo particular.

Se utiliza el concepto de validez para el razonamiento deductivo.

El razonamiento inductivo es una modalidad del razonamiento no deductivo que consiste en obtener conclusiones generales a partir de premisas que contienen datos particulares.

 Un razonamiento es deductivo si la conclusión se sigue necesariamente de las premisas.  Cuando se deriva necesariamente de las premisas es válido y, si es válido, significa que, siendo las premisas verdaderas, las conclusiones, también lo serán.  De este tipo de razonamiento, se pueden obtener razonamientos válidos e inválidos.

Es un sistema para organizar hechos conocidos y extraer conclusiones, lo cual se logra mediante una serie de enunciados que reciben el nombre de silogismos, los mismos comprenden tres elementos: a) la premisa mayor, b) la premisa menor y c) la conclusión.

Se utiliza el concepto de probabilidad.

Se distinguen dos tipos:  Completo: se acerca a un razonamiento deductivo porque la conclusión no aporta más información que la ya dada por las premisas. En él se estudian todos los individuos abarcados por la extensión del concepto tratado.  Incompleto: la conclusión va más allá de los datos que dan las premisas. A mayor cantidad de datos, mayor probabilidad.

Ejemplos de Razonamiento Deductivo

Ejemplos de Razonamiento Inductivo

-Las ciencias usan el método científico.

-La biología es una ciencia.

-Conclusión: La biología usa el método científico.

-Jesús estudió para la prueba y aprobó.

-Richard también estudió para la prueba y aprobó.

-Conclusión: Si estudias para la prueba aprobarás.

-Los insectos asustan a Laura.

-Las abejas son insectos.

Conclusión: Las abejas asustan a Laura.

-Los planetas del sistema solar giran alrededor del Sol. -Júpiter es un planeta del sistema solar.

-Conclusión: Júpiter gira alrededor del Sol.

-José es pastelero y sabe preparar tortas.

-Josefina también es pastelera y sabe preparar tortas.

-Inés también es pastelera y sabe preparar tortas.

-Conclusión: Entonces todos los pasteleros saben preparar tortas.

-Dos por cero es igual a cero (2 x 0 = 0).

-Treinta y siete por cero es igual a cero (37 x 0 = 0).

-Quinientos noventa y tres por cero es igual a cero (593 x 0 = 0).

Conclusión: Entonces, todos los números multiplicados por cero dan como resultado cero.

¡DATO INTERESANTE! En el razonamiento deductivo primero deben conocerse las premisas para que pueda llegarse a una conclusión, mientras que en el inductivo la conclusión se alcanza observando ejemplos y generalizando de ellos a la clase completa.

Sujeto y Predicado en una Proposición Clase: es una colección de objetos que tienen alguna característica en común.

Las clases pueden estar relacionadas entre sí de diversas maneras: 

Incluida o contenida



Incluida o contenida parcialmente



No tienen ningún miembro en común

Sujeto y Predicado Proposición: TODOS LOS POLÍTICOS SON MENTIROSOS 

El término sujeto es: “Políticos”



El término predicado es: “Mentirosos” FORMAS TÍPICAS DE PROPOSICIONES CATEGÓRICAS

1. Proposición Universal Afirmativa TODOS LOS POLÍTICOS SON MENTIROSOS 

La primera clase está contenida en la segunda



El término sujeto es: “Políticos”



El término predicado es: “Mentirosos”



Se puede escribir como: TODO S ES P

2. Proposición Universal Negativa NINGÚN POLÍTICO ES MENTIROSO 

La primera clase está excluida de la segunda (Totalmente)



El término sujeto es: “Políticos”



El término predicado es: “Mentirosos”



Se puede escribir como: NINGÚN S ES P

3. Proposición Particular Afirmativa ALGUNOS POLÍTICOS SON MENTIROSOS 

La primera clase está parcialmente contenida en la segunda (Algunos miembros en común)



El término sujeto es: “Políticos”



El término predicado es: “Mentirosos”



Se puede escribir como: ALGÚN S ES P

4. Proposición Particular Negativa ALGUNOS POLÍTICOS NO SON MENTIROSOS 

Algún miembro de la primera clase no está contenido en la segunda



El término sujeto es: “Políticos”



El término predicado es: “Mentirosos”



Se puede escribir como: TODO S ES P

GRÁFICA DE CADA PROPOSICIÓN

Aristóteles (384-322 a.C.). Fue el primero en estudiar las formas de argumentación; a él se le atribuye la invención de la lógica como ciencia.

La forma de argumentación que él identificó y sistematizó usaba enunciados sujeto-predicado en un silogismo (dos premisas y una conclusión).

Un silogismo es un argumento deductivo en el que se infiere una conclusión a partir de dos premisas. Un silogismo contiene exactamente tres términos, cada uno de los cuales sólo aparece en dos de las proposiciones que lo constituyen. Se dice que un silogismo está en forma estándar cuando sus premisas y conclusión están arregladas en cierto orden específico.

La conclusión de un silogismo de forma estándar es una proposición que contiene dos de los tres términos del silogismo. El término que aparece como predicado de la conclusión se llama término mayor del silogismo, y el término que aparece como sujeto de la conclusión es el término menor del silogismo.

Estructura del silogismo 1. El silogismo categórico se forma a partir de dos premisas y una conclusión, que siempre son proposiciones categóricas, y tres términos: el medio el menor y el mayor.

2. La conclusión siempre va a estar constituida por el término menor y el término mayor.

3. El término menor es el sujeto (S) de la conclusión.

4. El término mayor es el predicado (P) de la conclusión.

5. El término medio puede ir como sujeto o como predicado de las premisas.

6. La conclusión siempre va separada de las premisas ya sea por la partícula “por tanto”, “por consiguiente”, etc. y otras que indican derivación o deducción.

7. Las premisas siempre van relacionadas de alguna manera; por lo regular por una cópula 8. (y, ni, e); pero cuando la conclusión se sitúa en medio del razonamiento, entonces, van separadas por la conclusión.

9. La conclusión también puede situarse al principio del razonamiento; en tal caso, no encontraremos las partículas que indican derivación o deducción (por tanto, por consiguiente, etc.) simplemente la conclusión estará separada de las premisas, por un punto o un punto y coma de las premisas y éstas se encontrarán unidas por una cópula. Una vez localizada la conclusión, se procederá a ordenar el silogismo en forma típica; es decir, la conclusión al final y las premisas ordenadas de acuerdo a los términos de la conclusión.

10. Si hay alguna premisa particular, la conclusión debe ser particular.

11. Si hay alguna premisa negativa, la conclusión debe ser negativa.

La primera premisa será la premisa mayor que es la que contendrá al término mayor, es decir el predicado de la conclusión.

La premisa menor será la que contenga el término menor, o sea el sujeto (S) de la conclusión.

El otro término en las premisas será el término medio, que servirá de enlace entre el término menor y el mayor; enlace que se explicará en la conclusión.

Forma típica de un silogismo   

Un silogismo categórico es un razonamiento que tiene dos premisas y una conclusión.

Un silogismo categórico de forma típica, contiene exactamente tres términos o clases.

El término predicado de la conclusión es llamado “término mayor” y el sujeto es llamado “término menor” del silogismo.

Ejemplo:   

Ningún héroe es cobarde.

Algunos soldados son cobardes.

Por lo tanto, algunos soldados no son héroes.

El término menor y el mayor siempre aparecen en premisas diferentes.  

La premisa que contiene al término mayor, se llama premisa mayor.

La premisa que contiene al término menor, se llama premisa menor.

Modo Se define modo de un silogismo categórico de forma típica, por los tipos de proposiciones categóricas que contiene.

Se representa cada modo por tres letras, la primera de las cuales designa la forma de la premisa mayor del silogismo, la segunda la forma de la premisa menor y la tercera la de la conclusión.

¡DATO INTERESANTE! La validez o invalidez de un silogismo no depende del contenido, si no de su forma.

Cantidad y Calidad   

La calidad de una proposición es: afirmativa o negativa.

La cantidad de una proposición es universal o particular.

El esquema de toda proposición categórica consta de 4 partes: Cuantificador, sujeto, cópula y predicado.

Distribución Una proposición distribuye un término si se refiere a todos los miembros de la clase designada por ese término.

Proposiciones categóricas

Las proposiciones o juicios categóricos enuncian la relación entre dos conceptos, es decir entre el sujeto y el predicado.

TODO S ES P Se refiere a la totalidad de su sujeto, pero no a la totalidad de su predicado, necesariamente.

Ejemplo Todos los números positivos pertenecen a la recta numérica.   

Proposición: Todo S es P. Forma: A Análisis: Sujeto distribuido y predicado indistribuido.

NINGUN S ES P La proposición se refiere tanto a la totalidad del sujeto como a la del predicado aunque negativamente.

Ejemplo Ningún molusco es vertebrado.   

Proposición: Ningún S es P. Forma: E Análisis: Sujeto distribuido y predicado distribuido.

ALGUN S ES P Tanto la clase S como la P, están indistribuidos, porque se refiere únicamente a algunos elementos de la clase S y, en consecuencia, a algunos de la clase P, están indistribuidos. No se refiere a la totalidad ni de S ni de P. Ejemplo Algunos ángulos son agudos.   

Proposición: Algún S es P. Forma: I Análisis: Sujeto indistribuido y predicado indistribuido.

ALGUNOS S ES P En tanto que se refiere solamente a algunos de la clase S, éste está indistribuido. No sucede lo mismo con P, pues la proposición indica que ninguno de P admite a alguno de S así la clase P está negativamente incluyendo a algunos del sujeto.

Ejemplo Algunos automóviles no son automáticos.   

Proposición: Algún S no es P. Forma: O Análisis: Sujeto indistribuido y predicado distribuido.

Cuadro de oposición Existen cuatro maneras en que las proposiciones se pueden “oponer”: como contradictorias, contrarias, subcontrarias, o bien, como subalternas o superalternas. Éstas se presentan con un importante y muy utilizado diagrama llamado cuadro de oposición.

Se creía que las relaciones mostradas en este cuadro de oposición proveían las bases lógicas para validad ciertas formas elementales de argumento. Para explicarlas, primero se debe distinguir entre inferencias inmediatas e inferencias mediatas.

Inferencia lógica: Manera como obtenemos conclusiones a partir de enunciados u observaciones dadas.

Las leyes de inferencia se utilizan para determinar la validez de un argumento al deducir su conclusión a partir de sus premisas.

¡DATO INTERESANTE! La validez de una inferencia no radica en la verdad o falsedad de sus premisas, sino en la validez del razonamiento que conecta premisas y conclusiones. Así, es posible obtener conclusiones verdaderas o falsas a través de un procedimiento válido de inferencia.

Tablas de verdad “Las tablas de verdad son, por una parte, uno de los métodos más sencillos y conocidos de la lógica formal, pero al mismo tiempo también uno de los más poderosos y claros. Entender bien las tablas de verdad es, en gran medida, entender bien a la lógica formal misma” Una tabla de verdad muestra el valor de verdad de una proposición compuesta. Así como lo explica el principio de bivalencia: una proposición puede ser verdadera o falsa únicamente, nunca ambas.

El valor verdadero se representa por una “V” o un “1” o “┳” El valor falso se representa por una “F” o un “0” o “┻” Existe una tabla de verdad para cada uno de los conectivos lógicos, las cuales Se presentan a continuación. Lo que se tiene que evaluar para responder si una proposición compuesta es verdadera o falsa es el estatus actual de las proposiciones simples.

1. NEGACIÓN (NO)

2. DISYUNCIÓN (O)

3. CONJUNCIÓN (Y)

4. IMPLICACIÓN O CONDICIONAL (SI..., ENTONCES...)

5. DOBLE IMPLICACIÓN O BICONDICIONAL (SI Y SOLO SI)

Se puede establecer el valor de verdad de cualquier proposición compuesta conociendo las tablas de verdad de los conectivos lógicos. Así, la valoración de la proposición compuesta: (R∧Q)→P Se construye introduciendo una columna por cada proposición simple, después una columna para la proposición compuesta del paréntesis y posteriormente una para la proposición compuesta completa.

Para calcular el número de renglones se hace la operación 2k, donde k es el número de proposiciones simples; en el caso del ejemplo son 3 proposiciones simples y la operación 23=8, así la tabla de verdad tendrá 5 columnas y 8 renglones.

PRIMER PASO: Acomodar los valores de verdad de las premisas simples. En la primera premisa simple, cuatro verdaderos, cuatro falsos; en la segunda premisa simple, dos verdaderos, dos falsos; en la tercera premisa simple, uno verdadero, uno falso.

SEGUNDO PASO: Valorar la premisa compuesta que está entre paréntesis. En este ejemplo dicha premisa solo ocupa las dos premisas simples acomodadas en las columnas 1 y 2; así que solo los valores de las premisas R y Q son los valores que se toman en cuenta (iluminados en gris claro).

TERCER PASO: Considerar los valores de verdad de la premisa compuesta (R∧Q) como si fuera una premisa simple y los valores de verdad de P, de acuerdo con la tabla de la implicación. El resultado es que la proposición compuesta (R∧Q)→P resulta falsa, cuando P es falsa y Q y R verdaderas.

Tautología: es una proposición compuesta que resulta siempre verdadera, cualesquiera que sean los valores de verdad de las proposiciones simples. La construcción de tablas de verdad es uno de los métodos más efectivos para determinar si una fórmula o proposición compuesta es o no una tautología.

Contradicción: es una proposición compuesta que resulta siempre falsa, cualesquiera que sean los valores de verdad de las proposiciones simples. Es lo contrario a la tautología.

Indeterminación: se dice que existe una indeterminación cuando en los valores finales de la tabla de verdad encontramos verdaderos y falsos.

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Las leyes de inferencia, son todas aquellas reglas aplicadas a un grupo de proposiciones o premisas relacionadas entre sí, por medio de las cuales es posible obtener una conclusión. 

Modo en el que Afirmando Afirmo (Modus Ponendo Ponens)

Premisa 1: Si los puntos integran líneas entonces las líneas integran planos.

Premisa 2: Los puntos integran líneas Conclusión: Las líneas integran planos Simbolizando: P1: p → q P2: p _____________________ C: q MAA P1:P2 

Modo en el que Negando, Niego (Modus Tollendo Tollens)

Premisa 1: Los colores cálidos crean ambientes acogedores entonces ayudan a relajarse.

Premisa 2: Los colores cálidos no ayudan a relajarse.

Conclusión: Las colores cálidos no crean ambientes acogedores.

Simbolizando: P1: p → q P2: ~ q _____________________ C: ~ p MNN P1:P2



Modo en el que Negando, Afirmo (Modus Tollendo Ponens)

Premisa 1: La línea tiene fin o principio.

Premisa 2: La línea no tiene fin.

Conclusión: La línea tiene principio.

Simbolizando: P1: p ∨ q P2: ~ p _____________________ C: q MNA P1:P2 

Silogismo Hipotético

Premisa 1: Si los puntos integran líneas entonces las líneas integran planos.

Premisa 2: Si las líneas integran planos entonces los planos integran volúmenes Conclusión: Si los puntos integran líneas entonces los planos integran volúmenes.

Simbolizando: P1: p → q P2: q → r _____________________ C: p → r SH. P1:P2 

Adjunción

Premisa 1: La ley de la proximidad está dentro de la ley de la Gestalt.

Premisa 2: La ley del toque está dentro de la ley de la Gestalt.

Conclusión: La ley de la proximidad y toque están dentro de la ley de la Gestalt.

Simbolizando: P1: p P2: q _____________________ C: p ∧ q Adjunción P1:P2



Adición

Premisa 1: La línea tiene principio.

Premisa 2: La línea tiene fin.

Conclusión: La línea tiene principio o fin.

Simbolizando: P1: p P2: q _____________________ C: p ∨ q Adición P1:P2 

Simplificativa

Premisa 1: La ley de la proximidad y toque están dentro de la ley de la Gestalt.

Conclusión: La ley de la proximidad está dentro de la ley de la Gestalt.

Simbolizando: P1: p ∧ q _____________________ C1: p Simplificativa P1 ó C2: q Simplificativa P1 

Simplificación

Premisa 1: El diseño es pregnante o es pregnante.

Conclusión: El diseño es pregnante.

Simbolizando: P1: p ∨ p _____________________ C: p Simplificación P1 Las reglas de inferencia se aplican para enunciados compuestos por simples definidos e indefinidos.

En lógica, un cuantificador es una expresión que indica la cantidad de veces que un predicado o propiedad P se satisface dentro de una determinada clase (por ejemplo, pertenencia, equivalencia u orden).

Existen muchos tipos de cuantificadores, entre los más utilizados están: CUANTIFICADOR EXISTENCIAL

CUANTIFICADOR UNIVERSAL 

Símbolo



Símbolo



Sintaxis (∀ x a)



Sintaxis (∃ x a)

A a se le llama el Alcance del cuantificador ∀x. 

Lectura

La expresión “(∀ x a)” debe leerse de cualquiera de las siguientes maneras: o Para toda x, a. o Para cada x, a. o Todos los x, a. o Todos, a. o Dada x. o Cualquiera sea x, a. 

Ejemplo

Se puede leer: Para todo número real x, x más uno es mayor que uno.

Para cualquier número real x, x más uno es mayor que uno.

Para cada número real x, x más uno es mayor que uno.

A a se le llama el Alcance del cuantificador ∃x. 

Lectura

La expresión “(∃x a)” debe leerse de cualquiera de las siguientes maneras: o Existe un(a) x tal, que a. o Hay una x tal, que a. o Para una x se tiene que, a. o Hay al menos una x tal, que a. o Para al menos una x se tiene que a. o Algunos, a. 

Ejemplo

Se puede leer: Existe un número entero n, tal que n más dos es igual a cero.

Para algún número entero n, n más dos es igual a cero.

Al menos para un número entero n, n más dos es igual a cero.

“Las matemáticas son la música de la razón” - James Joseph Sylvester