Teorema de rouche frobenius

Teorema de Rouche Frobenius Vamos a ver cómo determinar el número de soluciones de un sistema de ecuaciones sin resolverlo, a través del llamado teorema de Rouche Frobenius.

Este Teorema se fundamenta en la comparación de rangos de las matrices de coeficientes y ampliada de un sistema en su representación matricial.

Si tenemos el sistema (por ejemplo de tres ecuaciones con tres incógnitas, pero valdría para cualquier sistema):

Su matriz de coeficientes será:

Y su matriz ampliada:

Entonces: ●

Si ​Rg(A) = Rg(A​*​) = nº de incógnitas ​→​ El ​Sistema​ será​ Compatible Determinado ​(SCD) y tendrá ​una única solución​.

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Si ​Rg(A) = Rg(A​*​) < nº de incógnitas ​→​ El ​Sistema​ será​ Compatible Indeterminado​ (SCI) y tendrá ​infinitas soluciones​.

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Si ​Rg(A) Rg(A) =/ Rg(A​*​) ​→​ El ​Sistema​ será​ Incompatible ​(SI)​ ​y ​no​ tendrá solución​.

Así de esta manera, aplicando lo que hemos aprendido para calcular el rango, podremos conocer cuántas soluciones tiene un sistema sin tener que calcularlo.

Como pequeño truco o atajo, comentaros que para un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas si el Rg(A)=3 ya podemos decir que el sistema es un SCD, ya que el Rg(A​*​) puede ser como mucho 3 y como mínimo el Rg(A) y tenemos tres incógnitas.