Page 1

Калмакская школа

Что такое флексагоны и флексоры? Для тех, кто не знает и для тех, кому интересно

2013 год


1

Содержание: 1.Что такое флексагоны? История создания. 2. Вы хотите собрать модель? 3.Виды гексофлексагона: Пентагексафлексагон Гексагексафлексагон Гептагексафлексагон Дуогексафлексагон Тригексафлексагон Тетрафлексагон Додекагексафлексагон Унагексофлексагон 4.Как правильно собрать. 5. Флексор 6. Изготовление и свойства флексмана 7. Если тебе интересно, то…. 8. Наша коллекция


2

Что такое флексагоны? История создания.

Флексагоны - это многоугольники, сложенные из полосок бумаги прямоугольной или более сложной, изогнутой формы, которые обладают удивительным свойством: при перегибании флексагонов их наружные поверхности прячутся внутрь, а раннее скрываемые поверхности неожиданно выходят наружу. Интересный факт: придумать флексагоны помогло одно случайное обстоятельство - различие в формате английских и американских блокнотов. Флексагоны, не были бы открыты и по сей день, и многие выдающиеся математики лишились бы удовольствия изучать их замысловатую структуру. Если бы в конце 1939 года, Артур Х. Стоун, двадцатитрехлетний аспирант из Англии, изучавший математику в Пристоне, обрезая листы американского блокнота, не пожелал немного развлечься. Стоун принялся складывать из отрезанных полосок бумаги различные фигуры. Одна из сделанных им фигур оказалась особенно интересной. Перегнув полоску бумаги в трѐх местах и соединив концы, он получил правильный шестиугольник (рис.1). Взяв, этот шестиугольник, за два смежных треугольника, Стоун подогнул противоположный угол вниз так, что его вершина совпала с центром фигуры. При этом Стоун обратил внимание на то, что когда шестиугольник раскрывался словно бутон, видимой становилась совсем другая поверхность. Если бы обе стороны исходного шестиугольника были разного цвета, то после перегибания видимая поверхность изменила бы свою окраску. Был открыт самый первый флексагон! Он был назван тригексафлексагоном, так как у него три поверхности, (гекса от греческого «гекс», что означает шесть), флексагонами - из-за их способности складываться. Вторая не менее изящная модель получила название гексагексафлексагона (первое «гекса» - шесть означает число поверхностей этой модели). Друзьями был создан «Флексагонный комитет», который обнаружил что, удлиняя цепочку треугольников, можно делать флексагоны с 9, 12, 15 и даже большим числом поверхностей.


3

Строптивый калейдоскоп Классический гексагексафлексагон можно сложить из прямой полоски бумаги. Полосу следует разметить на 19 равносторонних треугольников. Треугольники можно пометить цифрами с двух сторон в порядке, указанном

на рисунке. Пустой треугольник на каждой стороне служит для склейки. Полоска складывается таким образом, чтобы треугольники с одинаковыми цифрами на оборотной стороне накладывались друг на друга. Получившуюся короткую полоску перегибают в трех местах так, чтобы получился шестиугольник (точно так же складывают из ленты простейший тригексафлексагон). Оставшийся не у дел треугольник, помеченный цифрой 1, перегибается через грань и приклеивается к пустому треугольнику. Флексагон готов. Каждая поверхность флексагона состоит из шести треугольников. Чтобы раскрыть флексагон, необходимо взять его двумя пальцами за пару соседних треугольников и сложить их по линии сгиба. Второй рукой нужно отогнуть противоположную пару треугольников. Флексагон явит миру свою новую поверхность и спрячет предыдущую. Играя с фигурой, вы вскоре обнаружите, что некоторые поверхности гораздо труднее вызволить на свободу, нежели остальные. Иногда вы будете блуждать по замкнутому кругу, натыкаясь лишь на знакомую пару «лиц» флексагона. Брайант Таккерман вывел простейший способ нахождения всех поверхностей фигуры, известный как «путь Таккермана». Простое правило позволяет увидеть все поверхности гексагексафлексагона всего за 12 раскрытий. Следует брать флексагон за один и тот же угол и открывать его, пока он открывается. Затем можно переходить к следующему углу по порядку. Многообразие проявлений гексагексафлексагона вовсе не ограничивается шестью цветами или шестью цифрами, обозначающими поверхности. Если нанести на треугольники более замысловатую раскраску,


4

можно увидеть, что каждый из них может менять ориентацию внутри своей поверхности. Пометим углы каждого треугольника буквами A, B и C и проследуем по «пути Таккермана». Мы увидим, как в центре одного и того же шестиугольника по очереди побывает каждая из букв. Это дает нам по три варианта каждой поверхности. Итого для гексагексафлексагона мы имеем целых 18 вариантов рисунка поверхности. На самом деле для гексагексафлексагона, собранного из прямой полосы бумаги (возможны и другие конструкции), число вариаций окажется несколько меньше. Складывая флексагон, вы можете заметить, что четыре из его поверхностей состоят из шести треугольников, а еще две – из трех параллелограммов. Эти последние поверхности не могут меняться и всегда выглядят одинаково, что в итоге дает нам всего 15 комбинаций для гексагексафлексагона. Данное свойство многократно использовали шутникиматематики для своих головоломок с картинками. Скажем, после определенных стараний игрок мог собрать четыре картинки, развернув составляющие их треугольники в определенную сторону, а еще одна картинка, самая желанная (к примеру, фотография очаровательной девушки в бикини), никак не собиралась воедино, хотя все ее соблазнительные компоненты были отчетливо видны. Есть у гексафлексагона и еще один секрет: три из шести его поверхностей могут образовывать зеркально симметричные пары. К примеру, если угол А одного из треугольников такой поверхности находится в центре, то угол B может оказаться как справа, так и слева от него. Таким образом мы получаем еще три дополнительные комбинации и общее число рисунков поверхности гексагексафлексагона все же достигает 18.


5

Гексафлекасагон: гексагексафлексагон - шестиугольник, имеет шесть поверхностей, сгибаем. В случае, когда флексагон изготовлен из прямой полоски бумаги, имеем пятнадцать различных изображений. Первая, вторая и третья поверхности имеют по три варианта, четвертая, пятая и шестая - по два. Во втором случае, первая, вторая, третья и четвертая поверхности имеют по три варианта; пятая и шестая - по два. Всего шестнадцать изображений.


6

Гептагексафлексагон: гептагексафлексагон - шестиугольник, имеет семь поверхностей, сгибаем. Первая, вторая, третья и четвертая поверхности имеют по три варианта; пятая, шестая и седьмая - по два. Всего восемнадцать изображений.

Додекагексафлексагон (37 ПРАВИЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ): додекагексафлексагон - шестиугольник, сгибаем, имеет двенадцать поверхностей. Первая - шестая поверхности имеют по три варианта изображений; седьмая - двенадцатая имеют по два. Всего тридцать изображений.


7

Пентагексафлексагон: ентагексафлексагон - шестиугольник, имеет пять поверхностей, сгибаем. Первая, вторая и третья поверхности имеют по три варианта, четвертая и пятая - по два. Всего различных изображений - тринадцать.

Тетрагексафлексагон: шестиугольник, имеет четыре поверхности, сгибаем. Первая и вторая поверхности имеют по три варианта, третья и четвертая - по два. Всего различных изображений - десять. Как ни странно, квадратные тетрафлексагоны, которые выглядят куда проще шестиугольных собратьев, оказались куда более загадочными с точки зрения математики. Все тайны четырехугольных головоломок «Флексагонному комитету» разгадать так и не удалось. Простейший представитель этого семейства - тритетрафлексагон - можно легко сложить из полосы бумаги, состоящей из шести квадратов. Достаточно сложить ее в трех местах, как показано на рисунке, склеить пару «двоек» - и флексагон готов. Кстати, изобретение этой фигуры принадлежит вовсе не Стоуну. Оно уже несколько столетий известно как шарнирное соединение двойного действия - петля, которая позволяет открывать дверь в любую сторону (как тамбурные двери в железнодорожных вагонах). Тетратетрафлексагон можно часто встретить в роли головоломки или рекламного буклета. Это связано с его особым свойством: одну из поверхностей отыскать гораздо сложнее, чем три других. На этом свойстве основан старый фокус с «исчезающие и интересной математической модели, открытой в первой половине XX века


8


9

Тригексафлексагон тригексафлексагон шестиугольник, имеет три поверхности, сгибаем. Каждая поверхность имеет два варианта изображений. В результате имеем шесть различных изображений. Полоску из десяти равносторонних треугольников (а), перегибают по линии ab и переворачивают (б). Перегнув полоску ещѐ раз по линии cd, расположим еѐ концы так, чтобы предпоследний треугольник оказался наложенным на первый (в). Последний треугольник нужно подогнуть вниз и прикрепить к оборотной стороне первого (г). Флексагон готов. [Гарднер М. Математические головоломки и развлечения. - М.: Мир, 1971, С. 11.]


10

Унафлексагон унагексафлексагон - этот простейший экземпляр представляет собой лист Мѐбиуса1 с треугольным краем. Он имеет одну поверхность и состоит из шести треугольников, поэтому его можно назвать гексафлексагоном, хотя у него нет шести сторон, и он не складывается. В связи с этим он интересен лишь как иллюстрация топологии2 Мѐбиуса, а не как представитель класса флексагонов

Как правильно собрать. Прежде чем приступать к изготовлению флексагона, полезно несколько раз перегнуть в обе стороны его развертку по всем линиям сгиба. Это намного облегчает последующие манипуляции с Флексагонами. Для более долговечных моделей, нужно вырезать треугольники из картона или металла и соединить их липкой лентой или же наклеить на длинную полоску ткани. Между треугольниками остаются небольшие зазоры, что позволяет легко сгибать флексагоны. Существует множество способов раскраски флексагонов, которые приводят к интересным головоломкам и самым неожиданным зрительным эффектам. Так, каждая поверхность гексагексафлексагона может появляться по крайней мере в двух различных видах в зависимости от того, как повернуты относительно друг друга образующие ее треугольники. Например, если каждую поверхность разделить на части так, как показано на рис. 5, и выкрасить области А, В и С в различные цвета, то в центре видимой поверхности могут появиться и области А (именно этот случай и показан на рис. 5), и области В, и области С. На рис. 6 изображен геометрический узор, 1 2

Август Фердинанд Мѐбиус — немецкий математик и астроном-теоретик. Топология — раздел математики, изучающий в самом общем виде явление непрерывности.


11

который, будучи нарисован на одном развороте флексагона, появляется на двух других разворотах, каждый раз принимая иной вид.


12

Флексор Флексор (латин. flexor - сгибатель) – вращающиеся кольца тетраэдров Вращающиеся кольца тетраэдров – эта цепочка из тетраэдров обладает удивительной способностью изгибаться и выворачиваться до бесконечности, все время, меняя свою форму. Кольцо из тетраэдров – это первый пример флексора – изгибаемого многогранника. Дж. М. Андреас и Р.М. Сталкер независимо друг от друга открыли семейство изгибаемых конечных многогранников с 2n вершинами, 6n ребрами (из которых 2n сдвоенных) и 4n треугольными гранями; n может равняться 6, 8 или любому большему целому числу. Гранями служат грани n тетраэдров, соединенных между собой в циклическом порядке по определенным парам противоположных ребер каждого, так что получается фигура наподобие кольца. При n = 6 эта фигура еще достаточно жесткая, но при n = 8 она уже может изгибаться и выворачиваться до бесконечности, как колечко дыма. Когда n четно, фигура стремится принять симметричную форму; особенно хороша она при n = 10 (рис. 4). Когда n нечетно, из-за полного отсутствия симметрии картина становится, пожалуй, еще более захватывающей. При n, большем или равном 22, кольцо может зауживаться.

Для изготовления модели кольца достаточно одного листа. В случае n = 6, нужно разместить фигуру, состоящую из 24 правильных треугольников и 9 клапанов. Вырезав ее, нужно сделать сгибы по внутренним линиям – по штриховым линиям вверх, а по пунктирным вниз – и приклейте клапаны в соответствии с буквенными обозначениями.


13

Спор о существовании флексора. Кольцо из тетраэдров как изгибаемый многогранник вызывает ряд возражений. Во - первых, в нем есть дырка. Во-вторых, имеются ребра, к которым подходят по четыре грани. Так что непонятно, стоит ли называть это кольцо многогранником. Чтобы избежать всяких сомнений, при поиске флексоров можно было бы ограничиться только выпуклыми многогранниками, т.е. многогранниками, лежащими по одну сторону от каждой из своих граней. Но имеется знаменитая теорема Коши о том, что любой выпуклый многогранник неизгибаем. Она была доказана в 1813 году. Хотя эта теорема не исключала существования невыпуклых флексоров, но многие математики считали, что и таких флексоров тоже не существует.


14

Магическое кольцо из восьми тетраэдров. Магическое кольцо из восьми тетраэдров – является магическим в нескольких смыслах. На нем расположены числа от 1 до 32. Четыре грани каждого тетраэдра дают в сумме 66; соответствующие грани, взятые по одной из каждого тетраэдра дают в сумме 132 (например, 9+7+17+31+10+8+18+32 = 132) – то же самое получается для восьми наборов из восьми граней, которые спирально обвиваются вокруг кольца (например, 1+12+31+21+2+11+32+22 = 132). Изготовление и свойства флексмана Флексманы – это существа, населяющие мир флексагонов и флексоров. Надо вырезать из плотной бумаги квадрат со стороной 15-20 см. Его нужно согнуть по диагоналям сгибом вверх и по штриховой линии сгибом вниз (рис 5). А затем сложить, чтобы получился треугольник. Теперь нужно будет проделать четыре одинаковые операции. Результат первой из них – сгиб по штриховой линии рисунка 5, б – изображен на рисунке 5, в, окончательный результат – на рисунке 5, г. Остаются еще четыре одинаковые завершающие операции – отгибание маленьких треугольников, и перед нами – флексман. Самое примечательное свойство флексманов – это их умение ходить по наклонным плоскостям. Стоит поставить флексмана на достаточно пологую наклонную плоскость, и он тут же начинает мелкими шажками спускаться по ней. Каждый из флексманов обладает своеобразным характером или, уж во всяком случае, своеобразной походкой.


15

Дорогой друг, если тебя заинтересовали флексагоны, то познакомиться с ними поближе ты можешь здесь! Из Гарднера (введение в тему, так сказать) http://netnotes.narod.ru/math/flex1.html Раскрашивание флексагонов http://netnotes.narod.ru/math/flex2.html На немецком, но все понятно, схемы и пути складывания разных флексагонов http://www.mathematische-basteleien.de/index.htm Гексафлексагоны http://stepanov.lk.net/gardner/hex/hex01.html Отличный сайт, можно распечатать развертки раскрашенных флексов http://www.flexagon.net/ Как свернуть гексофлексагон http://atanvarnoalda.livejournal.com/1041.html Гексотетрафлексагон видео http://www.metacafe.com/watch/1007181/the_best_of_paper_toy_just_one_piece_ of_paper_no_glue_6_face/ crazy cylinder http://www.metacafe.com/watch/928529/crazy_paper_cylinder_how_to_make/ Crazy disc http://www.metacafe.com/watch/959857/unbelievable_crazy_paper_disc/ Не совсем флексагоны, так как объемные, но все равно красиво: http://netnotes.narod.ru/math/tetr.html, выворачивающийся кубик http://crafters.ucoz.ru/publ/4-1-0-55, трансформер из бумаги http://crafters.ucoz.ru/publ/4-1-0-9, "выворачиватель мозга" http://crafters.ucoz.ru/publ/4-1-0-3 Математика флексов http://delta.cs.cinvestav.mx/~mcintosh/comun/flexagon/flexagon.html Статьи в Науке и жизни о флексагонах http://arbuz.uzpak.uz/s_flexagon.html Из английской википедии были еще хорошие ссылки, но вдумчиво прочитать у меня руки еще не дошли http://en.wikipedia.org/wiki/Flexagon По ссылке на ютюбе флексикуб и флексизвезда http://www.youtube.com/user/bluejaybaseballfan (еще слева в "похожих видео")


16

Наши коллекции 1. Тетрофлексор


17

2. Тетрафлексор


18

3. Тритетрофлексагон


19

Схемы: 1.

2.


20

3.


21

Уногексафлексоген

Дуогексафлексагон

Тригексафлексагон

Тетрагексофлексагон


22

Пентагексафлексагон

Гексагексафлексагон

Гептагексафлексагон


23

Додекагексафлексагон


24

Вид гексофлексагона

Количество поверхностей

Количество изображений

Число треугольников

1

Унагексафлексагон

1

1

6

2

Дуогексафлексагон

2

2

6

3

Тригексафлексагон

3

2

10

4

Тетрагексафлексагон

4

10

13

5

Пентагексафлексагон

5

13

16

6

Гексагексафлексагон

6

15

19

7

Гептагексафлексагон

7

18

22

8

Додекагексафлексагон

12

30

37

Что такое флексагоны и флексоры?  

Математические головоломки, флексагоны, флексоры.