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fractal

ART EL OTRO LADO DE LAS MATEMATICAS


by omanel


Tejido ocular. Creado con Apophysis


by omanel


Del fr. fractal, voz inventada por el matemático francés B. Mandelbrot en 1975, y este del lat. fractus, quebrado. 1. m. Fís. y Mat. Figura plana o espacial, compuesta de infinitos elementos, que tiene la propiedad de que su aspecto y distribución estadística no cambian cualquiera que sea la escala con que se observe. Tejido alienígena. Creado con Apophysis


La esponja de Menger es un cubo que tiene en cada cara una alfombra de Sierpinski

Un poco de historia

Aunque en apariencia es un término relativamente moderno, en 1975 lo definía Mandelbrot, habría que remontarse al matemático Euclides y su libro “los elementos” como el verdadero padre de las matemáticas ya que el concepto “fractal” se realiza mediante algoritmos matemáticos. Desde el siglo XIX, matemáticos como K. Weierstrass (1815-1897) que definió, por primera

vez, una curva continua no diferenciable, G. Cantor (1845-1918) que estableció una sucesión de segmentos conocida como “polvo de Cantor”, o G. Peano (1858-1932) que diseñó una curva que, al desarrollarse, pasa por todos los puntos del plano, han aportado su granito de arena en lo referente a esos algoritmos matemáticos que generan imágenes espectaculares. Estas imágenes se conocen también como fractales.

También hay que hablar de N. Koch (1815-1897) con su aportación más famosa llamada “Copo de nieve”; W. Sierpinski (1882-1969) y su “triángulo” es, probablemente, el fractal más conocido.


El fractal de Mandelbrot, se genera mediante un algoritmo de escape. Para cada punto se calculan una serie de valores mediante la repetici贸n de una formula hasta que se cumple una condici贸n, momento en el cual se asigna al punto un color relacionado con el n煤mero de repeticiones.


El padre de los fractales Gaston Julia fue el primero en estudiar el tema, y explicar cómo a partir de cualquier función compleja se puede fabricar, por medio de una sucesión definida por inducción, un conjunto cuya frontera es imposible dibujar a pulso (por ser de longitud infinita, entre otras propiedades).

Todas las propiedades de los fractales que estableció a fuerza de cálculos y deducciones, con papel y lápiz, las podía observar en su pantalla Mandelbrot y los millones de propietarios de ordenadores personales en modo gráfico.


by omanel Volcano. Creado con Fractal Forge

Entonces ¿qué es un fractal? En la segunda mitad del siglo pasado, Benoît Mandelbrot convenció al mundo científico de que la geometría que usamos desde los tiempos clásicos no servía para describir la naturaleza. Que las montañas no son como pirámides, que los árboles no son como conos, que las líneas de costa no son rectas. Y propuso el uso una nueva geometría que describe mejor la complejidad de las formas naturales: la geometría fractal. La geometría fractal no es otra cosa que el lenguaje de la naturaleza. Este concepto matemático, propuesto por Mandelbrot en 1975 al hojear

un diccionario de latín de su hijo, surge de la fusión de las palabras fractus (romper) + fracture (fractura), y dota así de una función doble (sustantivo/adjetivo) a su creación. Aunque ha habido diversos debates sobre cómo definirlo de forma clara y concisa, podemos decir que un fractal es precisamente eso, un objeto cuya estructura, fragmentada o irregular, se repite a diferentes escalas. Y tanto se salen estos objetos autos semejantes de la geometría euclídea que generalmente tienen dimensiones no enteras. A menudo, los fractales son semejantes a sí mismos; poseen la

propiedad de que cada pequeña porción del fractal puede ser visualizada como una réplica a escala reducida del todo. La característica que fue decisiva para llamarlos fractales es su dimensión fraccionaria. No tienen dimensión uno, dos o tres como la mayoría de los objetos a los cuales estamos acostumbrados. Los fractales tienen usualmente una dimensión que no es entera, ni uno ni dos, pero muchas veces entre ellos.


Copo de nieve de Koch

1ª etapa

2ª etapa

3ª etapa

4ª etapa

5ª etapa

6ª etapa

Es una curva cerrada continua pero no diferenciable en ningún punto descrita por el matemático sueco Helge von Koch en 1904 en un artículo titulado “Acerca de una curva continua que no posee tangentes y obtenida por los métodos de la geometría elemental”.


Triángulo de Sierpinski

Un triángulo en el que se aloja otro, uniendo los puntos medios de cada uno de sus lados. Esto se repite con todos y cada uno de los triángulos formados que tengan la misma orientación que el original, y así sucesivamente.


El arte fractal... Todo aquello que simboliza la belleza, la armonía de la esfera y del círculo, las curvas perfectas de los modelos y de los cuerpos geométricos perfectos: puntos, líneas, ángulos, círculos y esferas, da paso a otra forma de representar la armonía del caos: las curvas fractales y sus movimientos sinuosos y dinámicos. La ciencia del siglo XXI es la de lo increíblemente pequeño: mecánica cuántica, genética y microbiología, nanotecnología, etc. Las dimensiones son tan pequeñas que su comportamiento es, a menudo, radicalmente distinto del que están acostumbrados a ver el ojo y la escala humanos. A nivel microscópico, la estructura de la materia está compuesta por átomos y moléculas con formas poliédricas y con complejas formas espaciales. Todo esto se refleja en el arte por medio de los fractales, en donde las líneas rectas y el plano bidimensional dan paso a las líneas curvas y los espacios tridimensionales; y lo entero da paso a la totalidad fragmentada. En el siglo XXI es posible crear imágenes sin ningún referente real en el mundo físico y sin cámara, objetivo, lente, ojo, ni observador. La imagen ya no representa el mundo real, sino que crea, mediante el modelado, mundos paralelos, animaciones, simulaciones y realidades virtuales. Existen numerosos programas para el modelado de imágenes y animaciones en 2D y 3D, algunos con funcionalidades específicas como es la generación de fractales.

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Ya el cubismo significó una vuelta de tuerca para ver la realidad desde otros ángulos en donde el artista reducía las formas de la naturaleza a pura geometría, el arte fractal, supone un nuevo cambio, al trascender el ojo humano y dotar a la visión del espectador de una nueva dimensión iterada. No se trata de ofrecer un nuevo punto de vista, sino de reiterar el mismo punto enfocándolo bajo un zoom que se aleja o acerca hasta penetrar en el objeto como nunca le había sido posible al ojo humano.


Alien. Creado con Apophysis


by omanel

Nebulosa. Creado con Apophysis


En el siglo XX, la pintura ya había dejado de ser el medio icónico por excelencia en el siglo XXI, por ello arte encuentra un nuevo camino: la descripción del mundo de lo infinitamente pequeño, algo invisible al ojo humano y que los medios de comunicación de masas tradicionales son incapaces de representar. El arte fractal, es pues la representación del mundo y la creación de otros mundos posibles. Gracias a las técnicas infográficas son un nuevo camino para el arte y la “pintura” digital.


Geometría líquida. Creado con Apophysis

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Naturaleza fractal La naturaleza está llena de este tipo curioso de estructuras. De hecho, es como si la misma naturaleza se sintiera incómoda en una geometría tan simple como la euclídea, y decidiera demostrarnos que la geometría fractal, sin que nos demos cuenta, es mucho más común en nuestras vidas. Tenemos algunos ejemplos como: las hojas de los helechos; el brócoli, o su primo hermano, el romanescu; las redes que forman los ríos y sus afluentes; las ramas de los árboles; los nervios de las hojas de un árbol; los copos de nieve; los rayos; algunos equinodermos; etc. Todas estas hermosas estructuras tienen en común una complejidad regular y una auto semejanza interminable, que muestran la curiosa belleza de los fractales.


Los helechos muestran la rigurosa y disciplinada estructura fractal.

BrocolĂ­ Romanescu


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Tejidos. Creado con Apophysis


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Creaciones fractales realizadas con Fractal Forge

Creaci贸n fractal basada en el conjunto de Mandelbrot

by omanel


Apophysis Es una aplicación informática, libre y de código abierto, de creación y renderización de imágenes de tipo fractal. Fue creado por Mark Townsend y posteriormente mejorado y actualizado por Peter Sdobnov, Piotr Borys, y Ronald Hordijk (promotores del proyecto SourceForge) bajo licencia GNU GPL.

Este programa crea un tipo de imágenes fractales denominadas “fractal flames” o llamas fractales usando diversas herramientas, que incluyen un editor que permite modificar directamente las transformaciones que forman la imagen fractal, una ventana de mutación que aplica transformaciones aleatorias, una ventana de ajuste que permite modificar el color y la posición de la imagen, e incluso un lenguaje tipo script. También permite exportar los fractales a otros programas específicos para renderizar imágenes de tipo “fractal flame” como Flam3.

En la ventana del editor se pueden crear fractales nuevos. Para hacerlo añadiremos, duplicaremos, o eliminaremos triangulos. Luego en el panel de variaciones seleccionaremos la que queramos aplicar


En la ventana de ajustes se pueden modificar el renderizado, el tamaño del fractal, o en este caso el tamaño de la imagen

En esta ventana se puede ve r las diferentes transiciones del mismo fractal. Seleccionando una de ellas se generaran otras en función de la seleccionada.

También en la ventana de ajustes se puede modificar, crear o incluir un nuevo gradiente.


Diseño y Maquetación j.m. Ruiz Composición y fotomontajes j.m. Ruiz Imágenes diseñadas con: Apophysis josemanuel@omanel.net © 2013 omanel.net

Sobre el arte fractal  

Acerca de los fractales en el mundo