167680053 analisis matematico i limites y continuidad

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA FACULTAD DE INGENIERIA ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL

ANÁLISIS MATEMÁTICO I RESPONSABLES: DIAZ ESPINOZA SANDY MEDALITH. RAMIREZ CRUZ YALEMI LIBERTAD.

12

Universidad Nacional de

Ingeniería Civil II-ciclo

Cajamarca-SJ Límites y continuidad

INDICE I. INTRODUCCIÓN II. OBJETIVOS II.1. OBJETIVOS GENERALES: II.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS: III. MARCO TEÓRICO LÍMITES Y CONTINUIDAD III.1 LÍMITES III.1.1 PUNTO DE ACUMULACIÓN: III.1.2 FUNCIÓN ACOTADA: III.1.3 EL LÍMITE DE UNA FUNCION REAL DE VARIABLE REAL: III.1.4 OBSERVACIONES: III.1.5 TEOREMAS SOBRE LÍMITES: TEOREMA 1: TEOREMA 2: UNICIDAD DEL LÍMITE: TEOREMA3: TEOREMA DEL ENCAJO O TEOREMA DEL SANDWINCH: III.1.6. LÍMITES LATERALES: a) LÍMITE DE f POR LA DERECHA: a) LÍMITE DE f POR LA IZQUIERDA: III.1.7 LÍMITES INDETERMINADOS: III.1.10LÍMITES DE FUNCIONES CON: VALOR ABSOLUTO, MÁXIMO ENTERO Y SIGNO DE x:

DEFINICIÓN DE VALOR ABSOLUTO: DEFINICÓN DE MÁXIMO ENTERO: DEFINICIÓN DE FUNCIÓN SIGNO DE X: III.1.9. LÍMITES TRIGONOMÉTRICOS: III.1.10. LÍMITES FINITOS: III.1.11. LÍMITES AL INFINITOS: III.1.12. ASÍNTOTAS: 1) ASÍNTOTA VERTICAL: 2) ASÍNTOTA HORIZONTAL: 3) ASÍNTOTA OBLICUA: III.2. CONTINUIDAD III.2.3. CONTINUIDAD EN UN PUNTO: III.2.4. CONTINUIDAD EN TÉRMINOS DE VENCIDADES: III.2.5. CONDICIONES DE CONTINUIDAD: III.2.6. DISCONTINUIDAD: III.2.6.1. PUNTOS DE DISCONTINUIDAD: III.2.6.2. TIPOS DE DISCONTINUIDAD: 1) DISCONTINUIDAD EVITABLE: 2) DISCONTINUIDAD INEVITABLE:

Lic. Sánchez Culqui Eladio

Página 2

4 5 5 5 6 6 6 7 7 10 10 10 9 9 10 10 10 11 12 12 12 12 12 13 13 13 13 13 13 14 14 18 18 18 18 19 19 19

Universidad Nacional de

Ingeniería Civil II-ciclo

Cajamarca-SJ Límites y continuidad

3) DISCONTINUIDAD DE PRIMERA CLASE:  Discontinuidad finita.  Discontinuidad evitable o discontinuidad de punto faltante:  DISCONTINUIDAD DE SEGUNDA CLASE: III.2.7. CONTINUIDAD LATERAL: III.2.7.1. CONTINUIDAD POR LA DERECHA: III.2.7.2. CONTINUIDAD POR LA IZQUIERDA: III.2.10. CONTINUIDAD EN INTERVALOS: III.2.10.1. CONTINUIDAD SOBRE UN SUBCONJUNTO DEL DOMINIO: III.2.11. FUNCIONES ACOTADAS: III.2.11.1. FUNCIÓN ACOTADA SUPERIORMENTE: III.2.11.2. FUNCIÓN ACOTADA INFERIORMENTE: III.2.12. PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE LAS FUNCIONES CONTINUAS: III.2.12.1. TEOREMA DEL CERO: III.2.12.2. TEOREMA DEL VALOR INTERMEDIO (BERNARD BOLZANO): III.2.12.3.TEOREMA DE ACOTACIÓ LOCAL: III.2.12.4. TEOREMA DE ACOTACIÓN GLOBAL: III.2.12.5. TEOREMA DEL VALOR MÁXIMO Y MÍNIMO (Teorema de Karl Weierstrass): III.2.12.6. TEOREMA DE CONTINUIDAD: III.2.5. OBSERVACIONES: IV. Anexos: V. MISCELÁNEA DE EJERCICIOS

Lic. Sánchez Culqui Eladio

Página 3

20 20 24 24 24 25 25 29 29 31 31 34 34 34 35 35 35 35 35 35 36 37

Universidad Nacional de

Ingeniería Civil II-ciclo

Cajamarca-SJ Límites y continuidad

I.

INTRODUCCIÓN

La noción de límite de una función es el tema central del cálculo matemático, es tal vez el más importante, pues esta íntimamente ligada a los conceptos de continuidad, derivada e integral. Es por esto que antes de dar una definición formal del concepto de límite analizaremos ciertas definiciones, como punto de acumulación y una serie de ejemplos que sentaran las bases y a la vez facilitarán la comprensión de diversos términos que intervienen en la definición rigurosa.

Es preciso

recalcar que es de suma importancia abordar los temas antes ya

mencionados debido a su estrecha relación con el cálculo matemático la misma que repercute e influye mucho en la realización y ejecución de los proyectos de ingeniería civil.

A continuación trataremos los temas propuestos en este presente trabajo monográfico, de una manera profunda, tratando de enriquecer nuestro conocimiento con la ayuda de los conceptos obtenidos a través de esta recopilación de información.

En esta monografía hemos considerado importante mencionar y tratar ciertos puntos característicos relacionados con los temas: límites y continuidad, cuyos conceptos nos facilitara reforzar el proceso de aprendizaje para que luego podamos aplicarlo en la realidad.

Lic. Sánchez Culqui Eladio

Página 4

Universidad Nacional de

Ingeniería Civil II-ciclo

Cajamarca-SJ Límites y continuidad

II.

OBJETIVOS

II.1. OBJETIVOS GENERALES: 

Conocer y manejar las nociones de Análisis Matemático que son básicas para el estudio de esta y otras asignaturas del área: Límites y continuidad de funciones reales de varias variables reales.



Este objetivo se abordará al analizar e interpretar geométricamente diversos conceptos y resultados, y plantear problemas.



Adquirir destreza en la modelización y resolución de problemas de la vida real que se puedan abordaren nuestro campo de trabajo.

II.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS: 

Calcular el límite de una función real.



Establecer la continuidad o discontinuidad de una función real dada, en cualquier punto de su dominio.

Lic. Sánchez Culqui Eladio

Página 5

Universidad Nacional de

Ingeniería Civil II-ciclo

Cajamarca-SJ Límites y continuidad

III.

MARCO TEÓRICO

LÍMITES Y CONTINUIDAD III.1 LÍMITES III.1.1 PUNTO DE ACUMULACIÓN: DEFINICIÓN 1: Dado un subconjunto A de números reales

A ⊂B ), diremos que un punto ¿

x0∈ R

es

un punto de acumulación de A si cualquier vecindad V ε ( x 0 ) contiene por lo menos un punto x de A distinto de

x0

.

DEFINICIÓN 2: Sea

A ⊂ R , diremos que

x0 ∈ R

, es punto de acumulación de A si: V ε ( X 0 ) ∩ A ≠ ∅ .

Es decir: x 0 ∈ R es punto de acumulacion de A ↔ ∀ ε >0 ; V ,ε ( X 0 ) ∩ A ≠ ∅ . ↔ ( ∀ ε > 0 ) (∃ x ∈ A ) ; 0<|x−x 0|<ε ANÁLSIS MATEMÁTICO I

LÍMITES Y CONTINUIDAD. Autor: Moisés Lázaro C. Pág.

DEFINICIÓN 1: Sea el conjunto

S ∈ R y x0 ∈ R ,

entonces

x0

solo si, todo intervalo abierto y cerrado en x ∈ S , distinto de x 0 sí.

Lic. Sánchez Culqui Eladio

Página 6

se llama punto de acumulación de S, si x0

contiene por lo menos un punto

Universidad Nacional de

Ingeniería Civil II-ciclo

Cajamarca-SJ Límites y continuidad

Esto es

x0

, es punto de acumulación de S ↔ ∀ V ε ( X 0 ) y ε > 0 , se cumple:

(¿ x 0−ε , x 0+ ε >−{ x 0 } )∩ S ≠ ∅ Equivalentemente es

x0

es punto de acumulación de:

S ↔( ∀ ε >0, ∃ x ∈ S)/0<|x−x 0|<ε ANÁLSIS MATEMÁTICO I

Autor: R. Figueroa G.Pag140.

III.1.2 FUNCIÓN ACOTADA: Se dice que una función f : A → B es acotada sobre un conjunto S ⊆ A , si el conjunto de imágenes f(s) está acotado, es decir, si existe un número real r >0, llamado cota, tal que:

|f (x)|<r , ∀ xϵ S ⊆ A Equivalentemente: M f ( x ) Es acotada sobre S ↔∃ m, ≤ M , ∀ x ∈ S m Donde m y M son las cotas inferiores y superiores respectivamente.

ANÁLSIS MATEMÁTICO I

Autor: R. Figueroa G. Pág.143 III.1.3 EL LÍMITE DE UNA FUNCION REAL DE VARIABLE REAL: DEFINICIÓN 1: Sea f : A → R una función con valores reales definidos en Sea

x0∈ R

un punto de acumulación de A.

Lic. Sánchez Culqui Eladio

Página 7

A ⊂R :

Universidad Nacional de

Ingeniería Civil II-ciclo

Cajamarca-SJ Límites y continuidad

Diremos que el numero L es el límite de f(x) cuando x tiende hacia lim f ( x )=L

x → x0

si para cada número real

encontrar δ > 0 tal que si

x0

y escribiremos

ε > 0 , dado arbitrariamente podemos

x ∈ A y 0<|x− x0|< δ entonces

|f ( x )−L|< ε

.

Definición simbólica: Sea

f : A → R , A ⊂ R , x0

es punto de acumulación de A.

lim f ( x )=L ↔ ( ∀ ε> 0 ) , ( ∃ x ∈ S ) tal que :

x → x0

si x ∈ A ˄0<|x −x0|< δ →|f ( x )−L|< ε ANÁLISIS MATEMÁTICO I

LÍMITES Y CONTINUIDAD. Autor: Moisés Lázaro C.

DEFINICIÓN 1: Sea

f : R→R

contiene a

x0

una función definida en cada número de algún intervalo abierto que , excepto posiblemente en el numero

límite de la función f en δ> 0 tal que si

x0

x0

sin y sólo si para cada número

x ∈ Dom ( f ) y con la propiedad de que si:

Formalmente: 0<|x− x0|< δ →|f ( x )−L|< ε lim f ( x )=L ↔ ( ∀ ε> 0 ) ,∃ δ> 0, si x ∈ Dom ( f ) y

x → x0

Lic. Sánchez Culqui Eladio

mismo. Se dice que L es el

Página 8

ε > 0 existe un número

Universidad Nacional de

Ingeniería Civil II-ciclo

Cajamarca-SJ Límites y continuidad

0<|x− x0|< δ →|f ( x )−L|< ε

↔

ANÁLSIS MATEMÁTICO I Autor: R. Figueroa G. pág.151 III.1.4 OBSERVACIONES: III.1.5 TEOREMAS SOBRE LÍMITES: TEOREMA 1: : A ⊂ R , A → R , x0

Sea

A=D f

puno de acumulación de

, entonces:

lim f ( x )=L ⇔ lim f ( x 0 +h ) =L

x → x0

h →0

Es decir, si alguno de estos límites existe entonces, el otro también existe.

DEMOSTRACIÓN: 1) Si

lim f ( x )=L

x → x0

 (∀ ε>0)(∃ δ >0) ; tal que:

x ∈ D f ⋀ 0<|x−x 0|<δ

 0<|f (x )−L|< ε

x−x 0 )=h ⇔ x=x 0+ h x → x0 2) Hagamos que: ( ; donde si entonces h →0.

3) Sustituimos 2) en 1): x 0−L f ¿< ε h ∈ Dom( f ( x−x 0 ) ) ⋀ 0<|h|<δ ⇒ 0<¿ Por tanto esto implica que: lim f ( x 0+ h )=L h→0

ANÁLSIS MATEMÁTICO I

LÍMITES Y CONTINUIDAD. Autor: Moisés Lázaro C. Pág.

TEOREMA 2: UNICIDAD DEL LÍMITE: Si existe

Lic. Sánchez Culqui Eladio

lim f ( x )=L ,

x → x0

Página 9

este es único.

Universidad Nacional de

Ingeniería Civil II-ciclo

Cajamarca-SJ Límites y continuidad

DEMOSTRCIÓN: : A ⊂ R , A → R , x0

Sea

punto de acumulación de

lim f ( x )=L1 lim f ( x )=L2

Si

x → x0

, entonces:

x → x0

1) Debemos comprobar que: 2) Por hipótesis se tiene:

A.

L1=L2

|L1−L2|< ε, ∀ ε > 0

, lo cual implica:

L1=L2

l ℑ f ( x )=L1 lim f ( x )=L2 x → x0

x→ x0

δ 1> 0 y δ 2>0 , Luego dado cualquier ε > 0, existe tales que para: x ∈ A ⋀ 0<| x−x 0|<δ 1 →|f ( x )−L1|<

0<|x− x0|< δ 2 →|f ( x )−L2|<

3) Obtenemos:

δ =min { δ 1 ; δ 2 }

podemos encontrar

. Como

x0

ε 2

ε 2

es punto de acumulación de A

, x , ∈ A tal que 0<|x −x 0|<δ . Entonces:

|L1−L2|=| L1−f ( x , ) +f ( x , )−L2|≤|L1 −f ( x , )|+|f ( x , )−L2| ANÁLSIS MATEMÁTICO I

LÍMITES Y CONTINUIDAD. Autor: Moisés Lázaro C. TEOREMA 3: TEOREMA DEL ENCAJO O TEOREMA DEL SANDWINCH: Sea

: A ⊂R ; f , g ,h : A → R , x 0

Si para todo

x ∈ A , x ≠ x0

lim f ( x )= lim h ( x )=L

x → x0

x→ x0

punto de acumulación de

tenemos

, entonces:

A.

f (x) ≤ g(x )≤ h ( x ) y además: lim g(x )=L x → x0

ANÁLSIS MATEMÁTICO I

Lic. Sánchez Culqui Eladio

Página 10

Universidad Nacional de

Ingeniería Civil II-ciclo

Cajamarca-SJ Límites y continuidad

LÍMITES Y CONTINUIDAD. Autor: Moisés Lázaro C.

III.1.5. LÍMITES LATERALES: Los limites laterales de f, por la izquierda y por la derecha x de 0 , se presentan cuando se realiza restringiendo el dominio de la función f a los subconjuntos siguientes:



Domf ∩<−∞ , x 0 > para limitede f por laizquierda de x 0



Domf ∩< x 0 ,+ ∞> para limite de f por laderecha de x 0

b) LÍMITE DE f POR LA DERECHA: Definición: L es el límite por la derecha de

x0 ,

. .

si dado: ε > 0,∃ δ>0 tal que:

x ∈ Domf ∩< x 0 , ∞ >⋀ 0<|x−x 0|< δ →|f ( x )−L|<ε O también: x ∈ Domf ⋀ x ∈< x 0 , x 0 +δ > →|f ( x ) −L|<ε Denotación: x → x+¿ 0 f ( x) L=lim ¿ ¿

Se lee: “Límite lateral derecho de f en

x0

”

c) LÍMITE DE f POR LA IZQUIERDA: Definición: El valor L es el límite de f por la izquierda de

x0 ,

si:

x  Dado ε > 0,∃ δ>0 , que depende ε de y del punto 0 tal que: ( x ∈ Domf ∩ x 0−δ < x < x 0)→|f ( x )−L|< ε

O equivalentemente: x ∈ Domf ⋀ x ∈< x 0−δ , x 0 >¿ →|f ( x )−L|< ε ¿

Lic. Sánchez Culqui Eladio

Página 11

Universidad Nacional de

Ingeniería Civil II-ciclo

Cajamarca-SJ Límites y continuidad

x → x−¿ 0 f ( x) Denotación: L=lim ¿ ¿

Se lee: “Límite lateral izquierdo de f en

x0

”

III.1.5.1. TEOREMAS:



L∈ R ,

Si f está definida en un entorno reducido de a, y si

entonces se

cumple que: x → x−¿ 0 f (x) +¿ x → x 0 f ( x ) =L=lim ¿ ¿

L=lim f ( x )=L ↔ lim ¿ ¿

x →a

ANÁLSIS MATEMÁTICO I Autor: A. Venero B. Pag.267

III.1.6 LÍMITES INDETERMINADOS: Las formas indeterminadas más usadas son: a)

0 0

b)

1

∞

c)

Otras formas indeterminadas son: a)

0. ∞

b)

∞−∞

c)

00

0 1. Cálculo de límites indeterminados de forma: 0 Si

lim

x→ a

∞ ∞

d)

∞∞

f (x) 0 = g(x ) 0 , entonces para evitar la indeterminación se harán ciertas

operaciones en el numerador y/o denominador de modo que se pueda simplificar el binomio ( x−a) .

Casos que se presentan: CASO I:

Lic. Sánchez Culqui Eladio

Página 12

Universidad Nacional de

Ingeniería Civil II-ciclo

Cajamarca-SJ Límites y continuidad

Si

P(x ) 0 = , P ( x ) y Q(x ) son POLINOMIOS de grado n y m respectivamente, y lim 0 x→ a Q( x)

entonces la indeterminación se evita tan solo FACTORIZANDO el numerador

P ( x ) y/o

el denominador Q( x) , de modo que el binomio (x−a) se simplifique así: (x−a) P1 (x) P (x) P(x) =¿ lim =lim 1 Q( x) x→ a ( x−a)Q 1 (x ) x → a Q 1(x ) . lim ¿ x →a

CASO II: f (x) 0 lim f ( x ) y g( x ) Si son RADICALSE y x→ a g( x ) = 0 , entonces la indeterminación se evita RACIONALIZANDO en el denominador y /o numerador.

CASO III: Si

f ( x ) y g(x )

son FUNCIÓNES TRIGONOMETRICAS, y

indeterminación se evita haciendo uso del teorema de

lim x→ a

f (x) 0 = g(x ) 0 , entonces la

lim

μ→0

sin μ =1 μ

y algunas

identidades trigonométricas.

ANALSIS MATEMATICO I

LÍMITES Y CONTINUIDAD. Autor: Moisés Lázaro C. III.1.7 LÍMITES DE FUNCIONES CON: VALOR ABSOLUTO, MÁXIMO ENTERO Y SIGNO DE x: Cada vez que se tenga funciones con valor absoluto, máximo entero y signo de x, se deberá tener en cuenta las correspondientes definiciones: 1. DEFINICIÓN DE VALOR ABSOLUTO: y=f ( x ) =|x|=x , x ≥ 0 . ¿−x , x< 0 .

2. DEFINICÓN DE MÁXIMO ENTERO: f ( x )=⟦ x ⟧ =n , si n ≤ x< n+1, Z .

Lic. Sánchez Culqui Eladio

Página 13

Universidad Nacional de

Ingeniería Civil II-ciclo

Cajamarca-SJ Límites y continuidad

3. DEFINICIÓN DE FUNCIÓN SIGNO DE X: 1, Si x >0 sgn ( x ) 0, Si x=0 −1, Si x< 0 ANÁLSIS MATEMÁTICO I

LÍMITES Y CONTINUIDAD. Autor: Moisés Lázaro C. III.1.10. LÍMITES TRIGONOMÉTRICOS: Para calcular límites trigonométricos, se hará uso del siguiente teorema: lim

μ→0

sin μ =1 μ

De este teorema se deducen los siguientes teoremas siguientes: lim

μ =1 sin μ

lim

sin μ =0 μ

lim

1−cos μ =0 μ

μ→0

μ→∞

μ→0

lim

μ→0

tan μ =1 μ

lim μ=1 μ→0

lim

μ→0

1−cos μ 1 = 2 μ2

lim

μ→0

μ =1 tan μ

lim sin μ=1 μ→0

lim

μ→0

1−cos aμ a2 = 2 μ2

ANÁLSIS MATEMÁTICO I

LÍMITES Y CONTINUIDAD. Autor: Moisés Lázaro C. III.1.9. LÍMITES FINITOS: III.1.10. LÍMITES AL INFINITOS:

III.1.11. ASÍNTOTAS: Lic. Sánchez Culqui Eladio

Página 14

Universidad Nacional de

Ingeniería Civil II-ciclo

Cajamarca-SJ Límites y continuidad

1) ASÍNTOTA VERTICAL: La recta

la funcion de

x=a se una asíntota vertical de la gráfica de

y=f ( x) si:

x → x+¿ 0 f ( x ) =+∞→ dado un M > 0,∄ δ > 0, L=lim ¿

i. Si

tal que

f ( x )> M

siempre

tal que

f ( x )>M

siempre

tal que f ( x ) <−M

siempre

tal que f ( x ) <−M

siempre

¿

que:

x ∈ D f ⋀ 0< x−x 0< δ −¿

x → x 0 f ( x ) =−∞→ dado un M > 0,∄ δ>0, L=lim ¿

ii. Si

¿

que:

x ∈ D f ⋀ 0< x−x 0< δ +¿

iii. Si

x → x 0 f ( x ) =−∞→ dado un M > 0,∄ δ >0, L=lim ¿ ¿

que: iv. Si

x ∈ D f ⋀ 0< x−x 0< δ

x → x−¿ 0 f ( x ) =−∞ → dado un M > 0,∄ δ>0, L=lim ¿ ¿

que:

x ∈ D f ⋀ 0< x−x 0< δ

2) ASÍNTOTA HORIZONTAL: La recta

gráfica de la funcion de

y=k

se una asíntota horizontal de la

y=f ( x) si:

i. Sea : A ⊂ R ; A es ilimitado superiormente.

Dada f : A → R , escribamos: lim f (x )=b

x →+∞

Sí y sólo si: dado arbitariamente ε > 0, podemos encontrar N (δ )>0 Tal que: x ∈ A ⋀ x > N →|f ( x ) −b|< ε ii. Dada f : A → R , A es ilimitado inferiormente. lim f (x)=b ↔

x →−∞

Dado que ε > 0, existe un número

Tal que: x ∈ A ⋀ x <−N →|f ( x )−b|<ε

Lic. Sánchez Culqui Eladio

Página 15

N (δ )> 0 ,

Universidad Nacional de

Ingeniería Civil II-ciclo

Cajamarca-SJ Límites y continuidad

3) ASÍNTOTA OBLICUA: la recta

función i.

y=mx +b es asíntota oblicua de la gráfica de la

y=f ( x) si se cumple lo siguiente:

lim

f (x) =a lim [ f ( x )−ax ] =b x x→+ ∞

lim

f (x ) =a lim [ f ( x )−ax ]=b x x →−∞

x →+∞

Ó

ii.

x →−∞

III.2. CONTINUIDAD III.2.1. DEFINICIÓN: La idea de continuidad de una continuidad de una función f en un punto

x0

de su

dominio [ f ( x ) debe estar definida ] , es decir que la gráfica no tenga rupturas tipo salto vertical a lo largo de la recta vertical x ∈ Domf (x)

x=x 0

. La función f es continua en

si par cada ε > 0 , existe un δ> 0 tal que:

x ∈ Domf ( x ) ∧|x−x 0|<δ →|f ( x ) −f ( x 0 )|<ε

f ( x )=¿ f (x 0) lim ¿ x→ x0

∴ f es continua en x 0 GRÁFICA

Lic. Sánchez Culqui Eladio

Página 16

Universidad Nacional de

Ingeniería Civil II-ciclo

Cajamarca-SJ Límites y continuidad

ANÁLSIS MATEMÁTICO I Autor: R. Figueroa G. Pag.307 III.2.2 DEFINICIÓN2: Sea f : A → R , A ⊂ R , A=dominio de f ( x ) .

Si

x0

es punto que pertenece al dominio de

entonces decimos que

f ( x ) es discontinua

f ( x ) , en el cual x0

f ( x ) no es continua,

en o que tiene una discontinuidad en

x0.

ANÁLSIS MATEMÁTICO I

LÍMITES Y CONTINUIDAD. Autor: Moisés Lázaro C.

III.2.3. CONTINUIDAD EN UN PUNTO: Se dice que una función f ( x ) es continua en

x 0 ∈ domf ( x ) si y solo si:

lim f ( x )=f ( x 0)

x → x0

Ejemplos de funciones continuas en un punto de sus dominios son:

 

Funciones polinómicas: Funciones racionales:

Lic. Sánchez Culqui Eladio

lim P ( x ) =P (x 0)

x → x0

lim

x → x0

P ( x ) P ( x 0) = , siQ( x 0 )≠ 0 Q ( x ) Q ( x0 )

Página 17

Universidad Nacional de

Ingeniería Civil II-ciclo

Cajamarca-SJ Límites y continuidad



Funciones trigonométricas: sen x y cos x es continua en todo punto de 

x.



tan x=

sen x cos x , en todo

π x tal que cos x ≠ 0 ↔ x ≠ 2 kπ + 2 .



cot x=

cos x , sen x en todo

x tal que sen x ≠ 0↔ x ≠ 2 kπ .

ANÁLSIS MATEMÁTICO I Autor: R. Figueroa G. pag.308

EJEMPLOS 1 Para que valores de x la función definida es continua:

x 2−3 , si−1< x <1 f ( x )=2 x−4 , si 1≤ x< 2 5−x 2 , si 2≤ x< 3 Solución: Siendo f una función seccionada, los posibles puntos de continuidad se presentan en la unión de los intervalos de definición, esto es, en x=1 y x=2 . Analicemos la continuidad en cada caso.

1. Continuidad en x=1 x=1 , pues en

2

x ∈<−1; 1>: f (1 ) =(1) -3 = -2

i)

f está definida en

ii)

si x está en la vecindad de 1 y x< 1 , entonces los valores de f se acumulan cerca de:

Lic. Sánchez Culqui Eladio

Página 18

Universidad Nacional de

Ingeniería Civil II-ciclo

Cajamarca-SJ Límites y continuidad 2

x (¿−3)=12−3=−2 x →1−¿ ¿ lim ¿ ¿

Si x esta en la vecindad de 1 y

x> 1 , entonces los valores de f se

acumulan cerca de: x2 (¿−3)=2(1)−4=−2 x →1+¿ ¿ lim ¿ ¿

Como

x → 1+¿ ( x) x → 1−¿ f ( x )=lim f

¿

lim ¿ ¿

iii)

se cumple que:

⇒ existe li m f ( x )=−2

lim f ( x )=f ( 1 )=−2 x→ 1

, luego f es continua en

x=1

2. continuidad en x=2

i)

2; 3> , f ( 2 )=5−( 2 )2=1 en , existe. x ∈¿

ii)

Si x está en la vecindad de 2 y

x< 2 , entonces los valores de f se

acumulan cerca de: 2x (¿−4)=0 x → 2−¿ ¿ lim ¿ ¿

Si x está en la vecindad de 2 y acumulan cerca de:

Lic. Sánchez Culqui Eladio

Página 19

x> 2 , entonces los valores de f se

Universidad Nacional de

Ingeniería Civil II-ciclo

Cajamarca-SJ Límites y continuidad 2

5−x (¿)=1 x → 2+¿ ¿ lim ¿ ¿

+¿

Como

x →2 ( x ) −¿ x → 2 f ( x ) ≠ lim f lim ¿

¿

¿

iii)

No se cumple la condición:

⇒

∄ lim f ( x ) x →2

lim f ( x )=f (2) x→ 2

Entonces la función f no es continua en

x=2

En consecuencia, la función es continua en todo su dominio, excepto en x=2 Grafica

EJEMPLOS 2 Sea la función:

|x 2−4|, si x<−2 ˅ x >2 f ( x )=¿ 3 , si x=±2 Analizar la continuidad de f en los puntos x=−2 y x=2

Solución: Al eliminar las barras del valor absoluto obtenemos: Lic. Sánchez Culqui Eladio

Página 20

Universidad Nacional de

Ingeniería Civil II-ciclo

Cajamarca-SJ Límites y continuidad

x 2−4 , si x <−2 ˅ x> 2 f ( x )=4−x2 , si−2< x< 2 si x ≠± 2 3 , si x=±2

1. Continuidad en x=−2 i)

f (−x )=3 existe por definicion . x →−2+¿ 4−x 2=0

ii)

¿

x →−2+¿ f ( x )=lim ¿ lim ¿ ¿

x →−2−¿ x 2−4 =0 −¿

¿

x →−2 f ( x )=lim ¿ lim ¿ ¿

lim f ( x )=0

Luego, existe

x →−2

iii)

x →−2

Como

lim f ( x ) ≠ f (−2)

, la función es discontinua en x=−2

2. Análogamente se determina que también f es discontinua en x=2

3. La grafica de f es:

Lic. Sánchez Culqui Eladio

Página 21

Universidad Nacional de

Ingeniería Civil II-ciclo

Cajamarca-SJ Límites y continuidad

III.2.4.

TÉRMINOS DE VENCIDADES: Una función f ( x ) es continua próximo a

CONTINUIDAD EN x0

y solo si, para

x próximo a x 0 , f ( x ) es

f ( x0 ) :

∀ ε >0, ∃δ >0/ si x ∈V δ ( x 0 )→ f ( x)∈V ε [ f ( x) ] ANÁLSIS MATEMÁTICO I

Autor: R. Figueroa G.

Pag.309

III.2.5. CONDICIONES DE CONTINUIDAD: Se dice que una función es continua en el punto

x 0 ∈ Domf (x) si, y solo si, se

satisfacen las siguientes condiciones: i. ii. iii.

f (x0 ) esta definida, es decir, existe f (x0 ) .

Existe

lim f ( x )

x → x0

.

lim f ( x )=f ( x 0 ) .

x → x0

ANÁLSIS MATEMÁTICO I

Autor: R. Figueroa G.

Pag.309

III.2.6. DISCONTINUIDAD: III.2.6.1. PUNTOS DE DISCONTINUIDAD: En términos de la gráfica de una función, la discontinuidad implica una interrupción, un salto o ruptura en el trazado de dicha gráfica, originadas por dos motivos: Lic. Sánchez Culqui Eladio

Página 22

Universidad Nacional de

Ingeniería Civil II-ciclo

Cajamarca-SJ Límites y continuidad

lim f ( x )

a) Que el

x → x0

b) Que el

x → x0

existe, pero debe ser diferente a

lim f ( x )

f ( x0 ) .

no exista.

ANÁLSIS MATEMÁTICO I

Autor: R. Figueroa G.

Pag.315

III.2.6.2. TIPOS DE DISCONTINUIDAD: 1) DISCONTINUIDAD EVITABLE: Un punto

x0 ∈ R

se dice que es de discontinuidad

removible o evitable si se cumple lo siguiente: x ∈ D f y existe L= lim f ( x ) , pero lim f ≠ f ( x 0 ) x→x x→ x i. .

0

ii.

0

x ∈ D f y existe L= lim f ( x ) x → x0

Graficas: ANÁLSIS MATEMÁTICO I

Autor: R. Figueroa G.

Pag.315

2) DISCONTINUIDAD INEVITABLE: Un x0 ∈ R punto se dice que es de discontinuidad esencial o inevitable si se cumple que: i.

x ∈ D f y no existe L= lim f ( x ) , x → x0 −¿

x → x0 f ( x ) lim lim ¿ +¿

x → x0 f ( x) ≠

¿

perolos limiteslaterales existen pero que :¿ ii.

x ∈ D f y lim f ( x )=± ∞ x → x0

Grafico

Lic. Sánchez Culqui Eladio

Página 23

Universidad Nacional de

Ingeniería Civil II-ciclo

Cajamarca-SJ Límites y continuidad

ANÁLSIS MATEMÁTICO I

Autor: R. Figueroa G.

Pag.315 Se puede distinguir dos clases de discontinuidad:

 DISCONTINUIDAD DE PRIMERA CLASE:  Discontinuidad finita: se tiene en cuenta las siguientes condiciones:  f ( x )∈ R x → x−¿ 0 f (x) +¿ x → x 0 f ( x ) ≠ lim ¿



¿

lim ¿ ¿



Discontinuidad evitable o discontinuidad de punto faltante: se

cumple lo siguiente:  f ( x0 ) ∈ R x → x−¿ 0 f ( x ) lim f (x) ≠ f ( x 0 ) x→ x 0

+¿ 0

x → x f ( x ) ≠ lim ¿



lim ¿

¿

¿

 DISCONTINUIDAD DE SEGUNDA CLASE: si no existe limites laterales en

x0.

Es decir: x → x f ( x ) =± ∞ x → x+¿ 0 f ( x ) =± ∞ ⋁ lim ¿ −¿ 0

lim ¿

¿

¿

Si esto ocurre también se denomina discontinuidad infinita.

ANÁLSIS MATEMÁTICO I

LÍMITES Y CONTINUIDAD. Autor: Moisés Lázaro C.

Lic. Sánchez Culqui Eladio

Página 24

Universidad Nacional de

Ingeniería Civil II-ciclo

Cajamarca-SJ Límites y continuidad

EJEMPLOS 1 Sea la función: x 2 sgn ( x2 −2 ) +3 x , si x <−2 3 f ( x )= x +sgn ( x +3 ) , si−2≤ x ≤ 1 2 2 x 3−7 x 2+ 2 x +3 , si x <1 x 2−4 x+3 Analizar la continuidad de f en todo su dominio.

Solución: (2 x+1)(x−3)(x−1) 2 x 3−7 x 2+ 2 x +3 2 Teniendo en cuenta que: = ( x−3)( x−1) x −4 x+3 2 1, si x > 0 ⇔ x<−√ 2 ˅

sgn ( x 2−2 )=¿ 0, si x 2=0 ⇔ x=± √2

2 -1, si x < 0 ⇔ −√ 2< x < √ 2

1, si x >−3

sgn ( x +3 ) =0, si x =−3 −1, si x <−3

x 2+3 x , si x<−2

Entonces:

3 f ( x )= x +1 , si−2 ≤ x ≤1 2

Lic. Sánchez Culqui Eladio

Página 25

x> √ 2

Universidad Nacional de

Ingeniería Civil II-ciclo

Cajamarca-SJ Límites y continuidad

2 x +1 , si si x> 1, x ≠−2 y x ≠3

Analicemos ahora las condiciones de continuidad en x=−2 , x=1 y x =3 1. Continuidad en x=−2

i)

3 f (−2 )= (−2 ) +1=−2 , existe 2 x →−2−¿ ( x 2 +3 x )=−2 f ( x )=¿ lim ¿ ¿

ii)

x →−2−¿ ¿ lim ¿ ¿

x →−2+¿

( 32 x+ 1)=−2

f ( x )=¿ lim ¿ ¿

x →−2+¿ ¿ lim ¿ ¿

x →−2+¿ f ( x ) ⇒ f ( x )=¿ lim ¿ Dado que

¿

existe

x →−2−¿ ¿ lim ¿

lim f (−2 )

x →−2

¿

iii)

Se cumple que: lim f ( x )=f (−2 ) , por tanto f es continua en x =−2 x →−2

2. Continuidad en x=1 3 5 f ( 1 )=¿ ( 1 ) +1= , existe i) 2 2

Lic. Sánchez Culqui Eladio

Página 26

Universidad Nacional de

Ingeniería Civil II-ciclo

Cajamarca-SJ Límites y continuidad

x →1−¿ =

5 2

x → 1+¿ ( 2 x +1 )=3 ; lim ii)

( 32 x +1) ¿

f ( x )=¿ lim ¿ ¿

x →1+¿ ¿ lim ¿ ¿

Como

x →1−¿ f ( x ) ⇒ +¿ x → 1 f ( x ) ≠ lim ¿ lim ¿

no existe

¿

lim f ( x ) x→ 1

¿

iii)

No se cumple que:

x → 1+¿ f ( x )=f ( 1 ) , por tanto , x=1 es un punto de discontinuidad esencial o inevitable . lim ¿ ¿

3. Continuidad en x=3 Como f ( 3 ) no está definida, pues

x ≠ 3 , y lim f ( x )=lim ( 2 x +1 )=7 x →3

x →3

Si existe, significa que x=3 es un puntode dsicontinuidad evitable .

Luego la extensión continua de la función f en x=3 es:

EJEMPLOS 2 Sea la función: x 2+2 x−3 ( x +2 ) √ x 2 +1

, si x ≤ 1 f ( x )=¿

Lic. Sánchez Culqui Eladio

Página 27

Universidad Nacional de

Ingeniería Civil II-ciclo

Cajamarca-SJ Límites y continuidad 4

3

x +x 3 x + x 2−x−1

, si x>−1

Esbozar la gráfica mostrando todas las asíntotas existentes e indicar los puntos de discontinuidad.

Solución: 1. Intersección con los ejes coordenados.

En x ∈<−∞ ,−1 ¿: 2 a) Eje x : y =0 ⇒ x +2 x−3=0 ⇔ x=−3 ˅ x=1 Ɇ <−∞ ,−1 ¿

b) Eje y: x=0 Ɇ <−∞ ,−1 ¿ En x ∈<−1,+ ∞> :

No hay intersección.

a) Eje y: x=0 ⇒ y=0 La curva pasa por el origen.

2. Asíntotas verticales Para

f 1 ( x )=

2 ( x+ 3)(x −1) x +2 x−3 = ( x +2) √ x 2+1 (x +2) √ x 2+ 1

−¿ 0¿ ( √ 5) ¿ ¿ (1)(−3) ( x )=¿ ¿ x →−2−¿ f 1 ¿ lim ¿ ¿

;

, x ∈<−∞ ,−1 ¿

+¿ 0¿ (√ 5) ¿ ¿ (1)(−3) ( x )=¿ ¿ x →−2+¿ f 1 ¿ lim ¿ ¿

Luego, x=−2 es una asíntota vertical en ambos sentidos. x2 (x−1) x3 f ( x ) = = x ∈<−1,+∞ > x ≠1 Para 2 ( x−1)( x+ 1)2 ( x +1)2

Lic. Sánchez Culqui Eladio

Página 28

Universidad Nacional de

Ingeniería Civil II-ciclo

Cajamarca-SJ Límites y continuidad

+¿¿ 0 ¿ ¿ (−1) Es una asíntota vertical hacia abajo. ( x )=¿ ¿ +¿ x →−1 f 2 ¿ lim ¿ ¿

3. Asíntotas horizontales

( x )=¿ lim

x →−∞

[

2 3 x 2 (1+ − 2 ) x x

√

2 1 x (1+ )|x| 1+ 2 x x lim f 1 ¿

]

=-1 (par

x< 0 ,| x|=−x ¿

x →−∞

Entonces,

y=−1 es una asíntota horizontal

[

3

x ( x )=¿ lim 2 x →± ∞ ( x+1) lim f 2 ¿

]

= ± ∞ ⇒ No existe asíntota horizontal.

x→ ±∞

4. asíntotas oblicuas

En

En

f1

f2

:

:

m1

m2

=

y=mx +b

lim

x →−∞

f 1 (x) =0 ⇒ No existe asíntota oblicua izquierda. x

lim x 3−x 2 f 2 (x) x →+∞ =¿ 3 2 x + x −x−1 =1 = x lim ¿ x →+∞

b2

x 4−x 3 ( 3 2 −x) [ f 2 (x )−m2 x ] =¿ xlim →+∞ x + x −x−1 = =-2 lim ¿ x →+∞

Lic. Sánchez Culqui Eladio

Página 29

Universidad Nacional de

Ingeniería Civil II-ciclo

Cajamarca-SJ Límites y continuidad

Luego,

y=x−2 es una asíntota oblicua derecha.

5. Puntos de continuidad En x=−2 y x=−1 la discontinuidad es esencial ya que ambas rectas son asíntotas verticales. Sin embargo en

−¿ ∈ Dom(f 1) : x=−1¿

1−2−3 ¿ =−2 √ 2 f 1 ¿ −1)= (−1+ 2)( √ 1+1) ¿ Además como f 2 ¿ 1), no existe pues

, existe

x ≠−1

lim x

y

lim f 2 ( x )= x→ 1

3

x →1 2

( x+1)

Existe; entonces x=1 es un punto de discontinuidad evitable y podemos redefinir.

f ( x ) , si x ∈ Dom ( f )−{1 }

( x )=¿ f1¿ 1 4

, si x=1

Grafica

Lic. Sánchez Culqui Eladio

Página 30

=

1 4

Universidad Nacional de

Ingeniería Civil II-ciclo

Cajamarca-SJ Límites y continuidad

III.2.7. CONTINUIDAD LATERAL: III.2.7.1. CONTINUIDAD POR LA DERECHA: x Una función f ( x ) es continua por la derecha de 0 , si y sólo si: i.

f ( x ) existe.

ii.

x → x 0 f ( x ) =f (x 0 ) lim ¿

+¿

¿

x 0 ; x 0 +δ >→|f ( x )−f (x 0)|<¿ ∀ ε>0, ∃δ >0/ si x ∈ Domf ( x ) y x ∈¿ ε ANÁLSIS MATEMÁTICO I

Autor: R. Figueroa G.

Pag.324

Una función f es continua por la derecha en

x=x 0 si para cada ε > 0 existe un

correspondiente δ> 0 tal que: x0 ; x 0 +δ> ¿ x ∈ Domf ˄ x ∈¿ ⇒|f ( x ) −f (x 0 )|<¿

i)

f ( x0 ) está definida.

ii)

x → x+¿ 0 f ( x ) =f ( x 0 ) lim ¿

ε

¿

ANÁLSIS MATEMÁTICO I

Autor: A. Venero B.

Pag.348

III.2.7.2. CONTINUIDAD POR LA IZQUIERDA: x , Una función f ( x ) es continua por la izquierda de 0 si y sólo si: i.

f ( x ) existe.

Lic. Sánchez Culqui Eladio

Página 31

Universidad Nacional de

Ingeniería Civil II-ciclo

Cajamarca-SJ Límites y continuidad

x → x−¿ 0 f ( x ) =f ( x0 ) lim ¿

ii.

¿

∀ ε >0, ∃δ >0/ si x ∈ Domf ( x ) y x ∈< x 0−δ ; x 0 ¿→|f ( x ) −f ( x 0 )|<ε ANÁLSIS MATEMÁTICO I

Autor: R. Figueroa G.

Pag.324

Una función f es continua por la izquierda en

x=x 0

si para cada ε > 0 existe un

correspondiente δ> 0 tal que: x ∈ Domf ˄ x ∈< x 0−δ , x 0 >¿ ⇒|f ( x ) −f (x 0 )|<¿ i)

f ( x0 ) está definida.

ii)

x → x−¿ 0 f ( x ) =f ( x0 ) lim ¿

ε

¿

ANÁLSIS MATEMÁTICO I

Autor: A. Venero B.

Pag.348

III.2.10. CONTINUIDAD EN INTERVALOS: III.2.10.1. CONTINUIDAD SOBRE UN SUBCONJUNTO DEL DOMINIO: DEFINICIÓN1: Una función f ( x ) es continua sobre un conjunto S ⊂ Domf ( x) , si la función restringida, denotado por

Lic. Sánchez Culqui Eladio

f S,

es continua en cada punto de S .

Página 32

Universidad Nacional de

Ingeniería Civil II-ciclo

Cajamarca-SJ Límites y continuidad

Según la forma de S

estos pueden ser :

a) Si S= ⟨ a , b ⟩ , la función f ( x ) es continua sobre S= ⟨ a , b ⟩ ⊂ Domf (x ) , si f ( x ) es continua ∀ x ∈ ⟨ a , b ⟩ , se cumple: lim f ( x )=f ( x 0)

x → x0

b) Si S= [ a , b ] , la función f ( x ) es continua sobre S= [ a , b ] ⊂ Domf (x) , si se cumple: i.

x → x−¿ 0 f ( x ) =f ( x0 ) lim ¿

ii.

x → x+¿ 0 f ( x ) =f ( x 0 ) lim ¿

c) Si

¿

¿

a , b>¿ a , b>⊂ Domf (x ) f ( x ) es continua sobre , si se S=¿ , la función S=¿

cumple: +¿ x → x 0 f ( x ) =f ( x 0 ) lim ¿ ¿

d) Si S=¿ a ,b ¿ , la función f ( x ) es continua sobre S=¿ a ,b ¿ ⊂ Domf (x ) , si se cumple: x → x−¿ 0 f ( x ) =f ( x0 ) lim ¿ ¿

ANÁLSIS MATEMÁTICO I

Autor: R. Figueroa G.

Pag.329

DEFINICIÓN2: La función f se dice que es continua sobre un conjunto

función restringida es continua en cada punto de S ( S ≠ ∅ ) .

De manera que:  Si S= ⟨ a , b ⟩ , la definición dada resulta equivalente a:

Lic. Sánchez Culqui Eladio

Página 33

S ∩ Domf ( x ) si la

Universidad Nacional de

Ingeniería Civil II-ciclo

Cajamarca-SJ Límites y continuidad

La función

f ( x ) es continua sobre

⟨ a ,b ⟩ ⊂ Domf (x) , si f ( x ) es

continua cada punto de ⟨ a ,b ⟩ .

 Si S= [ a , b ] , la definición dada resulta equivalente a: La función f ( x ) es continua sobre [ a , b ] ⊂ Domf ( x ) . ¿ a,b¿  Si , la definición equivale a que: S=¿ La función f ( x ) es continua sobre

⊂ Domf ( x ) . a,b¿ ¿

EJEMPLOS 1 |x−2| f ( x ) = [ 0,4 ] Determinar la continuidad de la función x−2 en el intervalo Solución:

La función f es discontinua en x=2 x −2 x → 2+¿ =1 x −2 x> 2⇒ limf ( x )=¿ ¿

−(x −2) =−1 x−2 x <2 ⇒limf ( x )= ¿ ¿

x → 2−¿

Sin embargo f es continua sobre el conjunto 0,2>⊂ Dom ( f ) y tambiensobre el conjunto .

A=¿ B=¿ 2,4 ¿ ⊂ Dom ( f )

Lic. Sánchez Culqui Eladio

Página 34

Universidad Nacional de

Ingeniería Civil II-ciclo

Cajamarca-SJ Límites y continuidad

x ∈[0,2>∪<2,4 ]

En consecuencia, la función f es continua en

EJEMPLOS 2 La función definida por: f ( x )=

1−cos 2 πx ¿ 0,1>¿ 2 2 x (1−x) Es continua sobre

Solución: Dado que f es continua en ¿ 0,1>¿ , lo será en [ 0,4 ] senπx 2 1 2 πx 1−x 2 2 sen πx x →0 +¿ 2 =li m ¿ x (1−x )2 1−cos 2 πx x → 0+¿ 2 =lim ¿ ¿ x (1−x )2 f ( 0 )=limf ( x )= ¿ ¿

x → 0+¿ 2 π 2

i)

(

)( )

1 2 2 = 2 π (1) 1−0

2

( )

Lic. Sánchez Culqui Eladio

Página 35

2 = 2π

Universidad Nacional de

Ingeniería Civil II-ciclo

Cajamarca-SJ Límites y continuidad 2

2 sen πx x 2 (1−x)2 1−cos 2 πx x → 1−¿ 2 =lim ¿ ¿ x (1−x)2 f ( 1 )=lim ¿ x → 1−¿

ii)

¿

−¿ +¿ ¿ ¿ Sea u=1−x ⇒ x=1−u . si x →1 entonces u →0 2

2 sen π (1−u) u2 (1−u)2 pero como senπ (1−u )=senπu f ( 1 )=lim ¿

u →0+¿ Luego

¿

[( ) ( ) ]

senπu 2 1 πu 1−u ⇒ f ( 1 )=lim ¿

u →0+¿ 2 π 2

2

2 = 2π

¿

Por lo tanto, f será continua en

EJEMPLOS 3

[ 0,4 ] , si definimos: f ( 0 )=f ( 1 )=2 π 2

Sea la función: 2

x −2 x +2 (x −1)

, si x ∈<1,+∞>¿

f ( x )=¿

⟦⟧

3 x x 2

, si x ∈ [−10,1 ] −{0}

Hallar las asíntotas de la gráfica, analizar la continuidad de f en

Solución: a) Determinación de las asíntotas 1. Asíntotas horizontales: Lic. Sánchez Culqui Eladio

Página 36

−10,+ ∞>¿ ¿

Universidad Nacional de

Ingeniería Civil II-ciclo

Cajamarca-SJ Límites y continuidad

En

f 1 lim f 1 ( x ) x→+ = ∞ + ∞⇒ ∄

asintotas horizontales.

2. Asíntotas verticales: x → 1+¿ En

x 2−2 x+ 2 =+ ∞⇒ x=1 ( x−1) +¿ x →1 lim ¿ es una asíntota vertical hacia ¿

f 1 : lim f 1 ( x )= ¿ ¿ arriba. −¿

0 (−1 )=(−∞ )(−1 )=+ ∞

( ⟦ ⟧)

3 x 3 = ¿ x 2 −¿ x → 0 lim ¿

x →0

En

−¿

¿

f 2 : lim f 1 (x )= ¿ ¿

Entonces

x=0 es una asíntota vertical hacia arriba.

3. Asíntotas oblicuas:

y=mx +b

lim x 2−2 x+2 f 1 ( x ) x→+ ∞ = =1 En f 1 :m= lim x x→+ ∞ x 2−x

[ ]

lim 2−x b= lim [ f 1 ( x ) −mx ]= x→+ ∞ =−1 x −1 x →+∞ Por lo tanto y=x−1 es una asíntota oblicua derecha

b) Continuidad de f en

−10,+ ∞>¿ x∈¿

Continuidad en x=1 :

i)

f ( 1 )=

Lic. Sánchez Culqui Eladio

⟦⟧

3 1 =3 ( 0 )=0 1 2

Página 37

Universidad Nacional de

Ingeniería Civil II-ciclo

Cajamarca-SJ Límites y continuidad

x=1 ydiscontinua en x=0

Luego, f es continua por la izquierda de Continuidad en x ∈ [−10,1 ] − {0 }

( 2x )∈ z ∩ Dom(f ) 2

⟦⟧

x x =n ⇔ n ≤ <n+ 1⇔ 2n ≤ x< 2(n+1) 2 2

Entonces

⇔

x ∈ [−10,1 ] ⇔−10 ≤ x ≤ 1 ⇔−5≤

x 1 ≤ 2 2

⟦⟧

x =n=−5,−4,−3,−2,−1,0 2

Grafica

III.2.9. FUNCIONES ACOTADAS: III.2.9.1. FUNCIÓN ACOTADA SUPERIORMENTE: Una función f ( x ) está acotada superiormente sobre un conjunto S ⊂Domf (x) , si el conjunto de imágenes f ( S ) real

M

está acotado superiormente, es decir, si existe un número

tal que f ( x ) ≤ M , ∀ x ∈ S .

Lic. Sánchez Culqui Eladio

Página 38

Universidad Nacional de

Ingeniería Civil II-ciclo

Cajamarca-SJ Límites y continuidad

f ( x ) está acotada superiormente ↔∃ M ∈ R , ∀ x ∈ S ⊂ Domf ( x )/f ( x )≤ M ANÁLSIS MATEMÁTICO I

Autor: R. Figueroa G.

Pag.341

III.2.9.2. FUNCIÓN ACOTADA INFERIORMENTE: Una función f ( x ) está acotada inferiormente sobre un conjunto conjunto de imágenes f ( S )

S ⊂ Domf ( x) , si el

está acotado inferiormente, es decir, si existe un número

real m tal que f ( x ) ≥ m , ∀ x ∈ S . f ( x ) está acotada inferiormente ↔∃ m∈ R , ∀ x ∈ S ⊂ Domf ( x )/ f ( x )≥ m ANÁLSIS MATEMÁTICO I

Autor: R. Figueroa G. Pag.341

EJEMPLOS 1 Hallar el supremo e ínfimo de la función x 2−2 ( ) f x= 2 x +1

, si x ∈[−2,2]

Solución: 3 1− 2 x ∈ S=[−2,2] Sea f ( x ) = x +1 Si

x ∈ [−2,2 ] ⇔−2≤ x ≤ 2⇒ 0 ≤ x 2 ≤ 4 ⇔ 1 ≤ x 2 +1≤ 5

Lic. Sánchez Culqui Eladio

Página 39

Universidad Nacional de

Ingeniería Civil II-ciclo

Cajamarca-SJ Límites y continuidad

1 1 3 3 ≤ ≤1 ⇔−3 ≤− 2 ≤− Invirtiendo se tiene: 5 x 2+ 1 5 x +1 ⇔−2 ≤1−

3 2 ≤ ⇒ f ( x ) ∈[−2,2/5 ] x +1 5 2

{ f ( x ) / x ∈ [ −2,2 ] }

Luego: ¿s f ( x )=Supf ( S ) =

{[ ]}= 2 ¿ −2,

2 5

5

{[ ]}

Inf s f ( x )=Inf ( S ) =Inf {∈ [ f ( x ) / x ∈−2,2 ] }=Inf −2,

2 =−2 5

EJEMPLOS 2 Sea la función: 1 f ( x )= |sen 2 x| 2 Hallar si existen el

Y ¿s f

−π π ¿ , >−{0 } S= 2 2 y el

Inf s f

.

Solución: Como la función seno es acotada, esto es: −1 ≤ sen 2 x ≤ 1 y |sen 2 x|≥ 0 1 1 1 ⇒ 0<|sen 2 x|≤ 1 ⇔ 0< |sen 2 x|≤ ⇒f ( x ) ∈<0, ¿ 2 2 2

Por consiguiente: ¿s f

−π π f ( x ) / x ∈< , >−{0 }} { 2 2 =

1 1 ¿¿ 0, ¿= 2 2

Lic. Sánchez Culqui Eladio

Página 40

Universidad Nacional de

Ingeniería Civil II-ciclo

Cajamarca-SJ Límites y continuidad

{

Inf s f =Inf f ( x ) /x ∈<

}

−π π 1 , >−{0 } =Inf <0, ¿=¿ 0 2 2 2

Inf s f Ɇf ( S ) ⇒ ∄ Min(f )

Como Grafica

III.2.10. PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE LAS FUNCIONES CONTINUAS: III.2.10.1. TEOREMA DEL CERO: Sea f : [ a , b ] → R una función continua en [ a , b ] . Si f ( a ) y f ( b ) tiene signos opuestos, es decir, si: f (a)< 0< f (b) Ó f (b)<0< f (a) Entonces existe un número c en el intervalo abierto ⟨ a ,b ⟩ tal que : f ( c )=0

NOTA: Este teorema tiene su aplicación en la solución de ecuación de la forma f ( x )=0 .

ANÁLSIS MATEMÁTICO I

Autor: R. Figueroa G.

Pag.349

EJEMPLOS 1

2 Usando el teorema del cero, demostrar que la parábola y=x se

2 2 intersecta con la curva x + y =16 , y> 0

Solución: 2 1. Sean A: y=x , x ∈ R

Lic. Sánchez Culqui Eladio

2 C ¿ √ 16−x , x ∈<−4,4>, y >0

Página 41

Universidad Nacional de

Ingeniería Civil II-ciclo

Cajamarca-SJ Límites y continuidad

2. Si P(

x , y0 ¿ ∈

A ⇒ y 0=x

2

⇒ x 2=√ 16−x 2 ⇔ x 2−√ 16−x 2=0 P(

x , y0 ¿ ∈

2 C ⇒ y 0= √16−x

2 2 3. Sea la función f ( x )=x −√ 16−x que es continua en

x ∈ R ∩[−4,4]

4. Analicemos el signo que toma la función f en los extremos de los intervalos [−4,0] y [0,4]

Si

x=4 ⇒f (−4 )=16−√ 16−16=16> 0

Si

x=0 ⇒ f ( 0 )=0−√ 16−0=−4 <0

a) Para x ∈[−4,0]

Si

x=0 ⇒ f ( 0 )=0−√ 16−0=−4 <0

Si

x=4 ⇒f (−4 )=16−√ 16−16=16> 0

b) Para x ∈[0,4]

5. Por tanto la parábola A intercepta a la curva C en dos puntos: 0,4> ¿ c 1 ∈<−4,0 ¿ Y c2 ¿

EJEMPLOS 2 Sin resolver la ecuación de sus raíces reales.

Lic. Sánchez Culqui Eladio

Página 42

3

x −3 x−1=0 , hallar el número

Universidad Nacional de

Ingeniería Civil II-ciclo

Cajamarca-SJ Límites y continuidad

Solución: 3 Sea f ( x )=x −3 x−1 , continua ∀ x ∈ R

Por el teorema del cero sabemos que si

f ( x 1 ) >0

y

f ( x 2 ) <0

, entonces existe

c ∈< x 1 , x 2 >¿ f ( c )=0

Elegiremos entonces puntos del dominio de f tales que cumplan con el antecedente de la condición dada, esto es: 3

x 1=−2 ⇒ f (−2 ) =(−2 ) −3 (−2 )−1=−3 <0

1.

x 2=−1 ⇒ f (−1 )= (−1 )3−3 (−1 )−1=1> 0

⇒ ∃ c1 ∈<−2,−1> ¿ f ( c 1 )=0

x 1=−1 ⇒ f (−1 )=1> 0

2.

x 2=0 ⇒ f ( 0 )=−1< 0

⇒∃ c2 ∈<−1,0>¿ f ( c 2 )=0

x 1=1⇒ f ( 1 )=−3<0 3.

x 2=2⇒ f ( 2 )=1>0

Lic. Sánchez Culqui Eladio

Página 43

Universidad Nacional de

Ingeniería Civil II-ciclo

Cajamarca-SJ Límites y continuidad

⇒ ∃ c3 ∈< 1,2> ¿ f ( c 3 )=0 Por lo tanto, la ecuación dad tiene tres raíces reales

III.2.10.2. TEOREMA DEL VALOR INTERMEDIO (BERNARD BOLZANO): f :[a,b]→R [ a , b ] y k ∈ [ f ( a ) , f (b) ] Sea una función continua en

o

k ∈ [ f ( b ) , f ( a) ] .

Entonces k ∈ Ran(f ) y existe un número c entre a y b tal que: f ( c )=k

GRAFICA

ANÁLSIS MATEMÁTICO I

Autor: R. Figueroa G.

Pag.351

III.2.10.3.TEOREMA DE ACOTACIÓ LOCAL: Si

f (x)

f (x)

es continua en el punto

x0

, entonces existe un número

está acotada superiormente en el intervalo abierto

existe un número real

M ; tal que:

Lic. Sánchez Culqui Eladio

Página 44

δ > 0 , tal que

⟨ x0 −δ ; x 0 +δ ⟩

es decir,

Universidad Nacional de

Ingeniería Civil II-ciclo

Cajamarca-SJ Límites y continuidad

|f (x)|< M , ∀ x ∈ ⟨ x 0−δ ; x 0 +δ ⟩ ANÁLSIS MATEMÁTICO I

Autor: R. Figueroa G.

Pag.352

III.2.10.4. TEOREMA DE ACOTACIÓN GLOBAL: Sea

f :[a, b]→ R

una función continua sobre

[ a , b ] , se verifica que

f ( x ) es

acotada sobre [ a , b ] .

ANÁLSIS MATEMÁTICO I

Autor: R. Figueroa G.

Pag352

III.2.10.5. TEOREMA DEL VALOR MÁXIMO Y MÍNIMO (Teorema de Karl Weierstrass): Si f ( x ) es una función continua sobre cuales la función toma su valor máximo

[ a , b ] , entonces existe x 1 , x 2 ∈ [ a ; b ] en los M

y su mínimo m:

x 1 , x 2 ∈ [ a ; b ] → f ( x 1 ) <f ( x ) <f ( x 2 ) , ∀ x ∈ [ a , b ] → m< f ( x ) < M , ∀ x ∈ [ a , b ] ANÁLSIS MATEMÁTICO I

Autor: R. Figueroa G.

Lic. Sánchez Culqui Eladio

Página 45

Universidad Nacional de

Ingeniería Civil II-ciclo

Cajamarca-SJ Límites y continuidad

Pag.353

III.2.10.5. TEOREMA DE CONTINUIDAD: Sea f ( x ) es una función univalente. Si f ( x ) es continua sobre el intervalo [ a , b ] , f ¿ (x )

entonces la función inversa

es continua sobre el intervalo con extremos en los

puntos f ( a ) y f ( b ) .

ANÁLSIS MATEMÁTICO I

Autor: R. Figueroa G.

Pag.354

III.2.5. OBSERVACIONES:

1. Debido a la definición dada solamente tiene sentido analizar la continuidad de f en puntos del dominio de f ( x ) : 2. No es necesario la restricción: Domf ( x ) entonces para puesto que 3. Si

x0

x=x 0

|f ( x 0 ) −f ( x0 )|=0,(0< ε)

0<|x− x0|< δ

, pues al pertenecer

también se cumple que:

x0

|f ( x 0 ) −f ( x0 )|< ε

al ,

.

es además un punto de acumulación del

Domf ( x )

entonces se tiene

en forma equivalente que: x=x 0  F es continua en si se cumple las tres condiciones:

4. Si

x0

i.

f ( x0)

ii.

Existe bel limite de f en x 0 .

iii.

f ( x )=¿ f (x 0) lim ¿

está definido.

x→ x0

no es apunto de acumulación del Domf ( x )

automáticamente continua en

x0

. En efecto:

Existe una vecindad de

x0

de radio

punto del

Domf ( x ) que sea diferente de

Lic. Sánchez Culqui Eladio

Página 46

entonces f resulta

δ

donde no existe ningún otro

x0 ;

de esta manera la condición

Universidad Nacional de

Ingeniería Civil II-ciclo

Cajamarca-SJ Límites y continuidad

x ∈ Domf ( x ) ∧|x−x 0|<δ

es satisfecha por un único punto

cual:

|f ( x )−f ( x 0 )|=|f ( x 0 )−f (x 0)|=0, ( 0<ε ) , ∀ ε >0

Lic. Sánchez Culqui Eladio

Página 47

x=x 0

y para el

Universidad Nacional de

Ingeniería Civil II-ciclo

Cajamarca-SJ Límites y continuidad

ANEXOS

Lic. Sánchez Culqui Eladio

Página 48

Universidad Nacional de

Ingeniería Civil II-ciclo

Cajamarca-SJ Límites y continuidad

MISCELÁNEA DE EJERCICIOS 1. Evaluar los siguientes límites: 3 x−2 √ x+ 3 x−2 √ a) lim x−1 x→ 1

(

)

Solución: i.

Al evaluar el límite, tenemos la forma indeterminada

ii.

Factorizamos tratando de eliminar

0 0 .

x−1 , que es el factor que da la

forma indeterminada: 3 x−2 √ x +3 x−2 √ L=lim x →1

(

x−1

3 x−2 √ x +3 x−2 √ L=lim x →1

(

x−1

) )

( √3 x−1)−2 ( √ x−x )+( x−1) L=lim x−1 x →1

(

L=lim x →1

L=lim x →1

L=lim x →1

)

([ ([

( √ x−1) [ ( √ x) + ( √ x ) ( 1 ) +(1)2 ]

([

x−1 x−x 2 −2 +(x−1) 2 ( √ x+ x ) ( √3 x) + ( √3 x ) ( 1 )+(1)2 x−1

3

2

3

3

2

3

3

2

( √ x ) + ( √ x ) ( 1 ) +(1)

] [ −2

]

( √ x−x )( √ x + x ) +(x−1) ( √x+x)

x−1 3

(√3 x) −(1)

] [

]

2

( √ x ) −( x )2 −2 +(x−1) 2 3 3 ( √ x+ x ) ( √ x) + ( √ x ) ( 1 )+(1)2 x−1

Lic. Sánchez Culqui Eladio

] [

]

Página 49

)

)

)

Universidad Nacional de

Ingeniería Civil II-ciclo

Cajamarca-SJ Límites y continuidad

L=lim x →1

(

( x−1 )

{[

1 2

3

3

2

( √ x ) + ( √ x ) ( 1 ) +(1)

] [ +2

] }

x +1 ( √ x+ x )

x−1

)

L=lim

1 ( x−1 ) ( x−1) {[ ( √ x ) +( √1x ) ( 1)+(1) ]−2[ ( √ xx+ x ) ]+(1)}

L=lim

[√

x →1

x →1

2

3

1 2

3

3

2

( x) + ( √ x ) ( 1 ) +(1)

iii.

3

] [ −2

2

]

x +(1) ( √ x+ x )

Levantamos el límite: 1 1 L= 3 2 3 −2 +(1) 2 ( √ 1+1 ) ( √1) + ( √ 1 ) ( 1 ) +(1)

[

b)

x→ 0

(

3 √3 x +1−2 √ x+1+ 4 x−1 x 2+2 x 3

(

]

1 3

L=

lim

] [

)

3 √ x +1−2 √ x+ 1+ 4 x−1 L=lim 2 x →0 x +2x

)

Solución: i.

Al evaluar el límite, tenemos la forma indeterminada

ii.

Factorizamos tratando de eliminar

0 0 .

x , que es el factor que da la forma

indeterminada: L=lim x →0

L=lim x →0

(

(

3

3 ( √ x+1−1 )−2 ( √ x+1−1 ) +4 x x ( x+ 2)

)

2

3

( √3 x +1−1 ) ( ( √3 x+1 ) + √3 x +1+1 ) 2

(( √3 x +1 ) +√3 x+1+1 )

Lic. Sánchez Culqui Eladio

−2

x(x +2)

Página 50

( √ x +1−1 ) ( √ x+ 1+ 1 ) +4 x ( √ x+1+1 )

)

Universidad Nacional de

Ingeniería Civil II-ciclo

Cajamarca-SJ Límites y continuidad

L=li m

x→0

( ( √3 x+ 1 )3−13 )

(

( √ x +12−12 ) 3 −2 +4 x (( √3 x +1 )2 +√3 x+ 1+1 ) ( √ x +1+1 ) x ( x+2)

( ( [ ( ([ 3

L=lim x →0

L=lim x →0

( ( √3 x+1 ) + √3 x +1+1 )

x →0

L=lim x →0

iii.

−2

3 ( x) 2

−

2(x) +4 x ( √ x +1+1 )

x (x +2) 3 2

( ( √ x +1 ) +√ x +1+ 1 ) 3

3

−

3 2

−

2 +4 ( √ x+1+1 )

2 +4 ( √ x +1+1 )

( x +2)

Levantamos el límite: 3 2

( ( √3 0+1 ) +√3 0+1+1 )

−

)

)

x ( x +2)

(( √3 x +1 ) +√3 x+1+1 )

L=

( x) +4 x ( √ x +1+1 )

x (x+ 2)

( ( √3 x+ 1 ) +√3 x +1+1 )

(x)

L=lim

(x ) 2

)

])

])

2 +4 ( √ 0+1+1 )

(0+ 2)

L=2

c)

lim x→ 2

(

3 x−√ 20+8 x √ 20 x−15−(x +3)

)

Solución: i.

Al evaluar obtenemos la forma indeterminada

ii.

Factorizamos tratando de eliminar

indeterminada: 3 x−√ 20+8 x L=lim x →2 √ 20 x −15−(x+3)

(

Lic. Sánchez Culqui Eladio

) Página 51

0 .

0

x−2 , factor que da la forma

Universidad Nacional de

Ingeniería Civil II-ciclo

Cajamarca-SJ Límites y continuidad

L=lim x →2

L=lim x →2

(

( (

( 3 x− √20+8 x ) ( 3 x+ √ 20+8 x ) ( 3 x+ √20+ 8 x )

( √20 x−15−(x +3) )( √ 20 x −15+( x +3) ) ( √ 20 x−15+( x +3) )

(( 3 x )2−( √ 20+8 x )2 ) ( 3 x + √ 20+8 x )

( ( √ 20 x −15 )2−( x+3)2 ) ( √ 20 x−15+(x +3))

)

( 9 x2−20−8 x ) ( 3 x + √ 20+8 x ) L=lim x →2 ( 20 x−15−( x2 +2 ( 3 ) ( x ) +32 ) ) ( √20 x−15+( x+3) )

L=lim x →2

( ( (

( 9 x 2−8 x −20 ) ( 3 x + √ 20+8 x ) ( 20 x−15−x 2−6 x−9 ) ( √ 20 x−15+( x+3))

( x−2 ) (x +10) ( 3 x+ √ 20+ 8 x ) L=lim x →2 (−x2 +14 x−24 ) ( √20 x−15+(x+ 3) ) ( x−2 ) (x +10) ( 3 x+ √ 20+ 8 x ) L=lim x →2 −( x2 −14 x+ 24 ) ( √20 x−15+(x+ 3) ) ( x−2 ) (x +10) ( 3 x+ √ 20+ 8 x ) L=lim −( x−2 ) (x−12) x →2 ( √20 x−15+(x+ 3) )

(

Lic. Sánchez Culqui Eladio

)

)

) ) ) Página 52

)

Universidad Nacional de

Ingeniería Civil II-ciclo

Cajamarca-SJ Límites y continuidad

L=lim x →2

iv.

(

( x+10)

( 3 x+ √ 20+ 8 x ) −(x−12)

( √20 x−15+(x+ 3) )

)

Levantamos el límite:

(2+10) ( 3 (2)+ √ 20+8 (2)) L= −(2−12) ( √20( 2)−15+(2+3)) L=1

d)

lim x→ 1

(

√ x+ √3 x +1−√ 2 x+7 √ x + √ 4 x +5−√3 x +13

)

Solución: v.

Al evaluar obtenemos la forma indeterminada

0 .

0

vi.

Factorizamos tratando de eliminar el factor que da la forma indeterminada: x + 3 x +1− √ 2 x+ 7 L=lim √ √ x →1 √ x+ √ 4 x+5−√ 3 x+13

( ) x−1+ √ 3 x +1−2−√ 2 x +7+3 L=lim ( √ √ x−1+ √ 4 x +5−3−√ 3 x+13+ 4 ) x →1

( √ x −1 )( √ x +1 ) ( √ 3 x+1−2 )( √3 x +1+2 ) ( √ 2 x +7−3)(√ 2 x +7+3) + − ( √ x +1 ) ( √3 x+ 1+ 2 ) ( √ 2 x +7+3) L=lim x →1 ( √ x−1 ) ( √ x+ 1 ) ( √ 4 x +5−3 ) ( √ 4 x +5+3 ) ( √ 3 x +13−4 )( √ 3 x +13+4 ) + − ( √ x +1 ) ( √ 4 x +5+3 ) ( √ 3 x +13+ 4 )

(

L=lim x →1

(

( √ x 2−12 ) ( √ 3 x +12−2 2) (√ 2 x +72−3 2) + − ( √ 2 x +7+3) ( √ x +1 ) √ 3 x+1+2 2 2 ( √ x −12 ) ( √ 4 x +5 −32 ) (√ 3 x +132 −4 2 ) + − ( √ x +1 ) ( √ 4 x +5+3 ) ( √ 3 x+13+ 4 )

Lic. Sánchez Culqui Eladio

Página 53

)

)

Universidad Nacional de

Ingeniería Civil II-ciclo

Cajamarca-SJ Límites y continuidad

( 3 x−3 ) (2 x−2) x−1 + − ( √ x+ 1 ) √ 3 x +1+2 (√ 2 x+7+ 3) L=lim x →1 ( 4 x−4 ) ( 3 x−3 ) x−1 + − ( √ x +1 ) ( √ 4 x+5+ 3 ) ( √3 x +13+4 )

( (

3 ( x−1 ) 2(x−1) x−1 + − ( √ x+ 1 ) √ 3 x +1+2 (√ 2 x+7+ 3) L=lim x →1 4 ( x−1 ) 3 ( x−1 ) x−1 + − ( √ x +1 ) ( √ 4 x+5+ 3 ) ( √3 x +13+4 )

L=lim x →1

L=lim x →1

( (

( x −1 ) ( x−1 )

3 2 − ( ( √ x1+1) + √ 3 x+1+2 ( √2 x+ 7+3)

3 ( (√ x1+1) + ( √ 4 x+4 5+3) − (√ 3 x +13+ 4)

1 3 2 + − ( √ x+ 1 ) √ 3 x +1+2 (√ 2 x+7+ 3) L=lim 1 4 3 x →1 + − ( √ x +1 ) ( √ 4 x+5+ 3 ) ( √3 x +13+4 )

(

vii.

Levantamos el límite: 1 3 2 + − ( √1+1 ) √ 3(1)+1+2 ( √ 2(1)+7+ 3) L= 1 4 3 + − ( √ 1+1 ) ( √ 4(1)+5+3 ) ( √ 3(1)+13+4 ) 1 3 2 + − 2 4 6 L= 1 4 3 + − 2 6 8 L=

) ) ))

3 2 − ( ( √ x1+1) + √ 3 x+1+2 ( √2 x+ 7+3) )

3 ( (√ x1+1) + ( √ 4 x+4 5+3) − (√ 3 x +13+ 4) )

( x −1 ) ( x−1 )

) )

19 22

Lic. Sánchez Culqui Eladio

Página 54

)

Universidad Nacional de

Ingeniería Civil II-ciclo

Cajamarca-SJ Límites y continuidad

e)

3

(

8−2 x+ √ x −√2 x lim x −4 x→4

)

Solución: viii. ix.

Al evaluar obtenemos la forma indeterminada

x−4 , que es el factor que da la

Factorizamos tratando de eliminar forma indeterminada: 8−2 x + √ x−√3 2 x L=lim x−4 x→ 4

(

L=lim x→ 4

L=lim x→ 4

L=lim x→ 4

)

(

√ x−2−( √3 2 x−2 ) −2(x−4 )

( (

( √ x−2 )( √ x +2 ) ( √ 2 x−2 ) ( √2 x +2 √ 2 x +22 ) − −2( x−4) ( √ x +2 ) ( √3 2 x 2+ 2 √3 2 x +22 )

x−4 3

) 2

3

3

x−4

( √ x 2−22) ( √3 2 x 3−23 ) − −2(x−4) ( √ x+2 ) ( √3 2 x 2+ 2 √3 2 x+22 ) x−4

( x−4 ) ( 2 x−8 ) − 3 2 3 −2(x−4) ( √ x +2 ) ( √ 2 x +2 √ 2 x +22 ) L=lim x−4 x→ 4

( ( (

( x−4 ) 2 ( x−4 ) − 3 2 3 −2(x−4) ( √ x +2 ) ( √ 2 x +2 √ 2 x +22 ) L=lim x−4 x→ 4

L=lim x→ 4

L=lim x→ 4

x.

0 .

0

(

( x−4 )

(

1 2 − 3 2 3 −2 ( √ x+2 ) ( √ 2 x +2 √ 2 x +22 ) x−4

1 2 − 3 2 3 −2 ( √ x+2 ) ( √ 2 x +2 √ 2 x +22 )

Levantamos el límite:

Lic. Sánchez Culqui Eladio

Página 55

)

)

) ) ))

)

Universidad Nacional de

Ingeniería Civil II-ciclo

Cajamarca-SJ Límites y continuidad

1 2 − −2 2 ( √ 4+2 ) ( ( √3 2(4) ) + 2 √3 2( 4)+ 22)

L=

(

L=

( 14 − ( 4 +42+4 ) −2)

L=

−23 12

x→1 f)

+¿

(

⟦ 3 x 2−1 ⟧ +2 x ⟦ x 2 +1 ⟧ +3 x−1

)

)

li m ¿

Solución: i.

Determinamos el valor absoluto: ⟦ 3 x 2−1 ⟧  x> 1 x 2>12 3 x2 >3 3 x2 −1> 3−1 3 x2 −1> 2→ ⟦ 3 x 2−1 ⟧ =2



⟦ x 2 +1 ⟧ x> 1

x 2>12 x 2+1>1+1 x 2+1>2 → ⟦ x 2 +1 ⟧ =2 ii.

Evaluamos el límite: ⟦ 3 x 2−1 ⟧ +2 x x → 1+¿ 2 ⟦ x +1 ⟧ +3 x−1 L=lim ¿

(

)

¿

Lic. Sánchez Culqui Eladio

Página 56

Universidad Nacional de

Ingeniería Civil II-ciclo

Cajamarca-SJ Límites y continuidad

2+2(1) 2+3 (1)−1

L=

(

L=

4 4

)

L=1

g)

lim x→ 0

(

2+ √cos x−cos x 2 x

)

Solución: i.

Al evaluar el límite, tenemos la forma indeterminada

ii.

Factorizamos tratando de eliminar x indeterminada: 2− √ cos x−cos x L=lim x →0 x2 L=lim x →0

L=lim x →0

L=lim x →0

2

, que es el factor que da la forma

( ( (

1−cos x +1−√cos x x2

(

( 1−√ cos x ) ( 1+ √ cos x ) 1−cos x + 2 x x 2 ( 1+ √ cos x )

)(

) )

1−cos x 1−√ cos x + 2 x x2

)

)( )(

2

2

)(

2

2

( 1 ) −( √ cos x ) 1−cos x L=lim + 2 2 x →0 x x ( 1+ √ cos x )

(

( 1 ) −( √ cos x ) 1−cos x L=lim + 2 2 x →0 x x ( 1+ √ cos x )

(

Lic. Sánchez Culqui Eladio

Página 57

) )

0 0 .

)

Universidad Nacional de

Ingeniería Civil II-ciclo

Cajamarca-SJ Límites y continuidad

L=lim x →0

L=lim x →0

iii.

(

1−cos x 1−cos x + 2 2 x x ( 1+ √ cos x )

(

1−cos x 1−cos x + 2 2 x x

)( )(

() 1+√1cos x )

Levantamos el límite: 1 1 1 L= + 2 2 1+ √1

( )(

L=

h)

)

)

3 4

√1−sen x ) ( cos x ) ( (√ 1+sen x −sen ) x ( √ 1+ sen x−√ 1−sen x ) ( cos x ) lim ( ) sen x li m

x →0

x→ 0

Solución:

0 0 .

iv.

Al evaluar el límite, tenemos la forma indeterminada

v.

Factorizamos tratando de eliminar sen x , que es el factor que da la forma indeterminada: ( √ 1+ sen x− √1−sen x ) ( cos x ) L=lim sen x x →0

(

L=lim x →0

L=lim x →0

)

(

( √ 1+ sen x− √ 1−sen x ) ( √1+ sen x+ √1−sen x ) ( cos x ) sen x ( √1+ sen x+ √1−sen x )

(

[ ( √ 1+sen x )2− ( √1−sen x )2 ] ( cos x ) sen x ( √ 1+sen x + √ 1−sen x )

Lic. Sánchez Culqui Eladio

Página 58

)

)

Universidad Nacional de

Ingeniería Civil II-ciclo

Cajamarca-SJ Límites y continuidad

L=lim x →0

(

[ ( √ 1+sen x )2− ( √1−sen x )2 ] ( cos x ) sen x ( √ 1+sen x + √ 1−sen x )

)

x 1−sen ¿ 1+sen x−¿ ( cos x ) [ ¿ ¿ sen x ( √ 1+ sen x+ √ 1−sen x ) ) ¿ L=lim ¿ x→ 0

L=lim x →0

L=lim x →0

L=lim x →0

vi.

( ( ( (√

[ 2 sen x ] ( cos x )

) ))

sen x ( √ 1+ sen x + √ 1−sen x )

[ 2 sen x ] ( cos x )

sen x ( √ 1+ sen x + √ 1−sen x 2 ( cos x ) 1+ sen x + √ 1−sen x )

)

Levantamos el límite: 2 (1 ) L= ( √ 1+ 0+ √ 1−0 ) L=1

i)

lim x→

π 4

2 x−cos 2 x−1 ( sensen x−cos x )

Solución:

0 0 .

i.

Al evaluar el límite, tenemos la forma indeterminada

ii.

Factorizamos tratando de eliminar sen x −cos x , que es el factor que da la forma indeterminada:

Lic. Sánchez Culqui Eladio

Página 59

Universidad Nacional de

Ingeniería Civil II-ciclo

Cajamarca-SJ Límites y continuidad

L= lim π 4

x→

2 x−cos 2 x−1 ( sensen ) x−cos x

x cos x−sen2 ¿−1 ¿ ¿ 2 sen x cos x−( ) sen x−cos x ¿ ¿ L=lim ¿ 2

x→

L= lim π 4

x→

(

π 4

2 sen x cos x−cos 2 x + sen2 x−1 sen x −cos x

x 1−sen2 ¿ ¿ 2 ¿ 2 sen x cos x−cos x−( ) sen x−cos x ¿ ¿ L=lim ¿ x→

π 4

2

(

2 sen x cos x−2 cos x L= lim sen x−cos x π x→

)

4

sen x−cos x ¿ 2 cos x(¿ sen x−cos x ¿ ) ¿ L= lim ¿ x→

π 4

L= lim ( 2 cos x ) π 4

x→

iii.

Levantamos el límite: 1 L=2( ) √2 L=√ 2

Lic. Sánchez Culqui Eladio

Página 60

)

Universidad Nacional de

Ingeniería Civil II-ciclo

Cajamarca-SJ Límites y continuidad +¿

x→0 j)

(

2

2 x ( arc sen x ) + tan x−sen x 3 x lim ¿

)

¿

Solución: i.

Al evaluar el límite, tenemos la forma indeterminada

ii.

Factorizamos tratando de eliminar x

3

que es el factor que da la forma

indeterminada: x → 0+¿

(

2 x ( arc sen x )2+ tan x−sen x x3 L=lim ¿

)

¿

+¿

x→0

(

2

2 x ( arc sen x ) tan x−sen x + 3 3 x x L=lim ¿

)

¿

+¿

x→0

(

sen x −sen x 2 x arc sen x 2 cos x + x x x3 L=lim ¿

(

)

)

¿

x → 0+¿

sen x−sen x cos x arc sen x cos x 2 + x x3 L=lim ¿

((

2

)

¿

Lic. Sánchez Culqui Eladio

Página 61

0 0 .

)

Universidad Nacional de

Ingeniería Civil II-ciclo

Cajamarca-SJ Límites y continuidad

x x 1+ cos ¿ ¿ ¿ ¿ x 1+ cos ¿ 1−cos ¿ ¿ x¿ sen ¿ arc sen x 2 2 +¿ x ¿ +¿ x →0 ¿ L=lim ¿

(

)

¿

x 1−cos 2 ¿ ¿ ¿ ¿ x 1+ cos ¿ x¿ sen ¿ arc sen x 2 2 +¿ x ¿ x → 0+¿ ¿ L=lim ¿

(

)

¿

x 2 sen ¿ ¿ ¿ ¿ x 1+ cos ¿ x¿ sen ¿ arc sen x 2 2 +¿ x ¿ +¿ x →0 ¿ L=lim ¿

(

)

¿

Lic. Sánchez Culqui Eladio

Página 62

Universidad Nacional de

Ingeniería Civil II-ciclo

Cajamarca-SJ Límites y continuidad

x 1+cos ¿ ¿

2

(

arc sen x 2 + x

1 sen x 3 cos x (¿ ¿) x ¿ x → 0+¿ ¿ L=lim ¿

)

(

)

¿

x 1+cos ¿ ¿

2

(

arc sen x 2 + x

1 sen x 3 cos x (¿ ¿) x ¿ x → 0+¿ ¿ L=lim ¿

)

(

)

¿

iii.

Levantamos el límite: 1 2 3 L=2 ( 1 ) + (1) 1 ( 1+ 1 ) L=

k)

5 2

1+ tan x lim x→ 0 1+ sen x

(

)

1 sen x

Solución: i.

Podemos expresar el límite de la siguiente forma: 1+ tan x sen1 x L=lim x →0 1+sen x

(

)

1 sen x

lim (1+ tan x ) L= x →0 1 lim ( 1+ sen x ) sen x x→ 0

ii. iii.

∞ Al evaluar el límite del numerador, tenemos la forma indeterminada 1

.

Pero cuando evaluamos el límite del denominador obtenemos:

Lic. Sánchez Culqui Eladio

Página 63

Universidad Nacional de

Ingeniería Civil II-ciclo

Cajamarca-SJ Límites y continuidad 1

lim ( 1+ sen x ) sen x =e x→ 0

iv.

Para determinar el límite del numerador, seguiremos el siguiente procedimiento: 1 f ( x )=1+ tan x ⋀ g ( x )= ii.1. sen x → f ( x ) =h ( x )+1 ∴ h ( x )=f ( x )−1 h ( x )=1+tan x−1 h ( x )=tan x 1

h ( x )=0→ lim ( 1+ tan x ) sen x =e u ii.2. lim x→ 0 x→ 0 u=lim h ( x ) g(x )

Donde: ii.3.

x→0

lim h ( x )=0 x→ 0

lim tan x=0 x→ 0

Al levantar ellímite obtenemos :0=0 ii.4 evaluamos para

u:

u=lim h ( x ) g ( x ) x→0

u=lim ( tan x ) x→0

1 sen x

u=lim

x 1 ( sen cos x ) sen x

u=lim

( cos1 x )

x→0

x→0

Al levantar el límite obtenemos: u=1

( 1+ tan x ) Como: lim x→ 0

Lic. Sánchez Culqui Eladio

Página 64

1 sen x

=e u

Universidad Nacional de

Ingeniería Civil II-ciclo

Cajamarca-SJ Límites y continuidad 1 1

∴ lim ( 1+tan x ) sen x =e x →0

v.

Por último: 1

lim ( 1+tan x ) sen x

L= x →0

1

lim ( 1+ sen x ) sen x x→ 0

L=

e1 e

L=1

l)

lim x→ 0

[

( ex + x )

tan x

( 1+ sen x )x

]

cot x x

Solución: i.

Podemos expresar el límite de la siguiente forma: L=lim x →0

[

(1+ sen x )x

lim ( ( e + x ) x

L=

]

tan x

(ex + x )

tan x

x→ 0

lim ( (1+ sen x ) x→ 0

)

x

cot x x

cot x x

)

cot x x

∞

ii.

Al evaluar los límites, tenemos la forma indeterminada 1

iii.

Para determinar el límite del numerador, seguiremos el siguiente procedimiento: x tan ¿ iii.1. ¿ x f ( x )=e + x ⋀ g ( x )=¿ → f ( x ) =h ( x )+1 ∴ h ( x )=f ( x )−1 h ( x )=e x + x – 1

Lic. Sánchez Culqui Eladio

Página 65

.

Universidad Nacional de

Ingeniería Civil II-ciclo

Cajamarca-SJ Límites y continuidad ta n x

h ( x )=0→ lim ( ( e + x ) iii.2. lim x→ 0 x→ 0 x

Donde:

)

cot x x

=e u

u=lim h ( x ) g(x ) x→0

lim h ( x )=0

iii.3.

x→ 0

lim e x + x – 1=0 x→ 0

Al levantar ellímite obtenemos :0=0

iii.4 evaluamos para

u:

u=lim h ( x ) g ( x ) x→0

x tan¿ ¿ u=lim ( e x + x – 1 ) ¿ x→0

u=lim ( e x + x – 1 )

( cot1 x )( cotx x )

u=lim ( e x + x – 1 )

( 1x )

x→0

x→0

e x+ x – 1 x

( ) e −1 x u=lim ( + ) x x e −1 u=lim ( +1 ) x u=lim

x→0

x

x→0

x

x→0

Al levantar el límite obtenemos: u=ln e+1 u=1+1

u=2 tan x

( (e + x ) Como: lim x→ 0 x

Lic. Sánchez Culqui Eladio

Página 66

)

cot x x

=e u

Universidad Nacional de

Ingeniería Civil II-ciclo

Cajamarca-SJ Límites y continuidad

∴ lim (( e + x ) x

tan x

x →0

iv.

)

cot x x

=e2

Para determinar el límite del denominador, seguiremos el siguiente procedimiento: cot x f ( x )=1+ sen x ⋀ g ( x )= (x) iv.1. x

( )

→ f ( x ) =h ( x )+1 ∴ h ( x )=f ( x )−1 h ( x )=1+sen x −1 h ( x )=sen x h ( x )=0→ lim ( ( 1+ sen x ) iv.2. lim x→ 0 x→ 0

)

cot x x

=e u

u=lim h ( x ) g(x )

Donde: iv.3.

x

x→0

lim h ( x )=0 x→ 0

lim sen x=0 x→ 0

Al levantar ellímite obtenemos :0=0 iv.4 evaluamos para

u:

u=lim h ( x ) g ( x ) x→0

u=lim ( sen x ) x→0

u=lim

x→0

( cotx x ) ( x)

x cos x ( sen cos x ) sen x

u=lim ( 1 ) x→0

Al levantar el límite obtenemos: u=1

( ( 1+ sen x ) Como: lim x→ 0

Lic. Sánchez Culqui Eladio

Página 67

x

)

cot x x

=e

u

Universidad Nacional de

Ingeniería Civil II-ciclo

Cajamarca-SJ Límites y continuidad x ∴ lim ( ( 1+ sen x ) )

cot x x

=e

1

x →0

v.

Por último: lim ( ( e + x ) x

L=

tan x

x→ 0

lim ( (1+ sen x ) x→ 0

L=

)

x

cot x x

)

cot x x

e2 e

L=e

R y centro

2. Dada la circunferencia de radio

OC=CB , calcular el límite cuando área del triángulo

B

O , en donde se cumple que

tiende hacia

A del cociente entre el

AOB y el área del triángulo BCD .

B A

O C D

Solución: i.

Reemplazamos y completamos datos:

R

θ

O

θ a

θ

a 2θ C

R R cos θ

B

R sen θ D

A

Rsenθ=asen 2θ

Lic. Sánchez Culqui Eladio

Página 68

a=

Rsenθ sen 2 θ

Universidad Nacional de

Ingeniería Civil II-ciclo

Cajamarca-SJ Límites y continuidad

ii.

Calculamos el límite: Cuando B tiende a A , entonces B → 0 áreadel triángulo AOB ∴ lim el áreadel triángulo BCD n→ ∞

iii.

Determinamos el área del triángulo AO B=

iv.

( R sen θ ) ( R ) 2

Determinamos el área del triángulo BCD : BCD=

( R sen θ )( a cos 2 θ ) 2

v.

Determinamos a : R sen θ a= sen 2 θ

vi.

Reemplazamos en el límite: ( R sen θ ) ( R ) 2 L=lim n→ 0 ( R sen θ ) ( a cos 2 θ ) 2 L=lim n→ 0

( R)

(( Rsensen2θθ )cos 2 θ )

L=lim

sen 2 θ ( sen θ cos 2θ )

L=lim

2 sen θ cos θ ( sen θ ) ( cos2 θ−s en2 θ )

L=lim

2 cos θ ( cos θ−s en2 θ )

n→ 0

n→ 0

n→ 0

vii.

AOB :

2

Levantamos el límite: 2(1) L= 2 2 1 −0 L=2

Lic. Sánchez Culqui Eladio

Página 69

Universidad Nacional de

Ingeniería Civil II-ciclo

Cajamarca-SJ Límites y continuidad

3. Analizar la continuidad de la función f ( x) en el punto

x=

π 2 , siendo:

2−sen x−sen2 x π ( ) f x ,x ≠ 1−sen x 2 3, x=

π 2

Solución: i. ii.

f

Por definición: Si

( π2 )=3

⟨

⟩ ⟨

π π π → x ∈ −∞ ; ∪ :+∞ 2 2 2

x≠

⟩

π −¿ 2−sen x−sen2 x 2 1−sen x +¿ π 2−sen x−sen2 x Analizamos: x → lim ¿ 2 1−sen x ¿ lim ¿ x→

iii.

¿

x→ iii.1.

π 2

2

+¿

2−sen x−sen x 1−sen x L1 =lim ¿ ¿

Tratamos de eliminar 0 : 0

indeterminada π x→ 2

1−sen x , factor que le da la forma

2

+¿

2−sen x−sen x 1−sen x L1 =lim ¿ ¿

x 1−sen 2 ¿ ¿ ( 1−sen x )+ ¿ ¿ π +¿ x→ ¿ 2 L1=lim ¿ ¿

Lic. Sánchez Culqui Eladio

Página 70

Universidad Nacional de

Ingeniería Civil II-ciclo

Cajamarca-SJ Límites y continuidad

x 1−sen 2 ¿ ¿ ¿ +¿ ( 1−sen x) π x→ +¿ 2 1−sen x L1=lim ¿ ¿

x→

π +¿ 1+ 1−sen x 2 L1=lim ¿ ¿

Levantamos límite: L1=1+1−1 L1=1 x→ iii.1

π −¿ 2−sen x−sen 2 x 2 1−sen x lim ¿ ¿

Tratamos de eliminar

1−sen x , factor que le da la forma

0 : 0

indeterminada

π +¿ 2−sen x−sen2 x x→ 2 1−sen x L2 =lim ¿ ¿

x 2 1−sen ¿ ¿ ( 1−sen x )+ ¿ ¿ π +¿ x→ ¿ 2 L2=lim ¿ ¿

x 2 1−sen ¿ ¿ ¿ +¿ π ( 1−sen x ) x→ +¿ 2 1−sen x L2=lim ¿ ¿

Lic. Sánchez Culqui Eladio

Página 71

Universidad Nacional de

Ingeniería Civil II-ciclo

Cajamarca-SJ Límites y continuidad

x→

π +¿ 1+ 1−sen x 2 L2=lim ¿ ¿

Levantamos límite: L2=1+1−1 L2=1 L1=L2

Nos podemos dar cuenta que:

∴ existe el límite y la continuidad en el punto x=

π 2

4. Analizar la continuidad de la función f ( x) dada por:

√

2

x −5

⟦⟧

x ,−2 ≤ x<2 2

f ( x )=1−x 3 , x<−2 x+ 1, x ≥ 2

Solución: a) Determinamos la continuidad en el punto i.

x=2 :

f ( 2 )= (2 )+1 f ( 2 )=3

ii.

Como

x ≥ 2 , analizamos el límite por la derecha de 2 :

x → 2+¿ x+1 L=lim ¿ ¿

L=2+1



Evaluamos el límite:

L=3 x → 2+¿ x +1 ∴ f ( 2 )=lim ¿ ¿

Existe continuidad en el punto x=2 b) Determinamos la continuidad en el punto

Lic. Sánchez Culqui Eladio

Página 72

x=−2 :

Universidad Nacional de

Ingeniería Civil II-ciclo

Cajamarca-SJ Límites y continuidad

√

2

f (−2 )= (2) −5

i.

⟦⟧ x 2

Determinamos:

⟦⟧ x 2

−2 ≤ x

f (−2 )=√ 4−5 (−1) f (−2 )=√ 9 f (−2 )=3

x 2

−2 2

≤

−1

x x ≤ → =−1 2 2

⟦⟧

Como x<−2 , analizamos el límite por la izquierda de −2 :

ii.

3

−¿

x →−2 1−x L=lim ¿ ¿



Evaluamos el límite:

3

L=1−(−2) L=9

x → 2+¿ x+ 1 ∴ f ( 2 ) ≠ lim ¿ ¿

No existe continuidad en el p unto x=−2

5. Dada la función: b ⟦ 3 x +4 ⟧ , 1≤ x< 2 f ( x )=3 x √a−2 x , 2< x< 3

18, x=2 Hallar los valores de

a

y

b

para que

f (x)

sea una función continua en

x=2.

Solución: c) Determinamos la continuidad en el punto i.

ii.

f ( 2 )=18 x → 2−¿ b ⟦ 3 x+ 4 ⟧ x → 2+¿ 3 x √ a−2 x=lim ¿ lim ¿

¿

¿

Lic. Sánchez Culqui Eladio

Página 73

x=2 :

Universidad Nacional de

Ingeniería Civil II-ciclo

Cajamarca-SJ Límites y continuidad



−¿ : Determinamos ⟦ 3 x +4 ⟧ para x → 2¿

x< 2 3 x<3 (2)

3 x+4< 6+4 3 x+ 4<10

9 ≤3 x +4 <10 ∴ ⟦ 3 x + 4 ⟧ =9

 Evaluamos los límites: ( ) ( ) 3 2 √ a−2 2 =18 b ⟦ 3 ( 2 ) +4 ⟧ =18 a=13 b(9)=18

b=2 6. Hallar los valores de las constantes

a

y

b

que posibilitan la continuidad, en

todo su dominio, en las funciones dadas: √ x 3 +3 √ x−3 x−1 , x <1 a) x +3 √ x−3 √3 x 2−1 f ( x )=a , x=1

⟦ ⟧

3 19 + , x >1 8 x +1 2

Solución: i.

Determinamos la continuidad en el punto

x=1 :

i.1. f ( 1 )=a i.2. Evaluamos los límites por la derecha como por la izquierda los cuales deben ser iguales:

Lic. Sánchez Culqui Eladio

Página 74

Universidad Nacional de

Ingeniería Civil II-ciclo

Cajamarca-SJ Límites y continuidad −¿

x→1 x→1

+¿

√ x 3 +3 √ x −3 x −1 3 2 x+3 √ x−3 √ x −1

⟦ ⟧

3 19 + =lim ¿ ¿ 8 x +1 lim ¿ 2

¿

x → 1+¿



Evaluamos para:

⟦ ⟧

3 19 + 8 x +1 lim ¿ 2

¿

Determinamos

⟦ ⟧ 3 x +1 2

:

x> 1 2

x >1 2

x +1>1+1 x 2+1>2 1 1 > 2 2 x +1 1 1 (3) >(3) 2 2 x +1

⟦ ⟧

3 3 3 > 2 → 2 =1 2 x +1 x +1

Reemplazamos y levantamos el límite: 3 19 x → 1+¿ 2 + 8 x +1 L=lim ¿

⟦ ⟧ ¿

L¿ 1+ L¿

19 8

27 8 −¿

x→1



Evaluamos para:

√ x 3+ 3 √ x−3 x−1 3 x +3 √ x −3 √ x 2−1 lim ¿ ¿

Lic. Sánchez Culqui Eladio

Página 75

Universidad Nacional de

Ingeniería Civil II-ciclo

Cajamarca-SJ Límites y continuidad

x 3+ 3 √ x−3 x−1 x → 1−¿ √ 3 x +3 √ x −3 √ x 2−1 L=lim ¿ ¿

x → 1−¿

√ x3 −1+3(√ x−x) 3 x−1+3 ( √ x−1)−3 ( √ x 2−1) L=lim ¿ ¿

( √ x3 −1 )( √ x3 +1 ) ( √ x−x)( √ x + x) +3 3 (√ x + x ) ( ) √ x +1 x → 1−¿ 2 ( √3 x 2−1 ) ( √3 x2 + √3 x 2+1 ) ( x−1 ) ( x +1 ) ( √ x−1)( √ x+ 1) +3 −3 ( x+1 ) ( √ x+1) ( √3 x 22+ √3 x 2 +1 ) L=lim ¿ ¿

( √ x 32−1 ) (√ x2 −x2 ) +3 3 ( √ x+ x ) ( ) x +1 √ −¿ x→1 3 ( ( √3 x 2 ) −1) ( x 2−1 ) ( √ x 2−1) +3 −3 ( x+1 ) ( √ x+ 1) ( √3 x 22 +√3 x2 +1 ) L=lim ¿ ¿

( x 3−1 )

( √ x 3 +1 )

−¿

x→1

( x 2−1 ) ( x+1 )

+3

+3

( x−x 2) ( √ x + x)

(x−1) ( x−1) −3 ( √ x +1) ( √3 x 22+ √3 x 2 +1 ) L=lim ¿ ¿

( x−1 ) ( x 2+ x +1 )

( √ x +1 ) 3

x → 1−¿

−3

x(x −1) ( √ x + x)

( x−1 ) ( x +1 ) ( x−1) ( x−1) +3 −3 3 2 ( x+1 ) ( √ x +1) ( √ x 2+ √3 x 2 +1 ) L=lim ¿ ¿

Lic. Sánchez Culqui Eladio

Página 76

Universidad Nacional de

Ingeniería Civil II-ciclo

Cajamarca-SJ Límites y continuidad

( x−1 ) x → 1−¿

( x−1 )

( (√

( x2 + x +1 ) x +1 ) 3

−3

x ( √ x+ x)

)

( x +1 ) 3 3 + − 2 3 ( x +1 ) ( √ x +1) ( √ x 2 + √3 x 2 +1 )

(

)

L=lim ¿ ¿

( x 2+ x+1 )

x → 1−¿

( (√

(

x +1 ) 3

−3

x ( √ x + x)

)

( x +1 ) 3 3 + − 2 3 ( x +1 ) ( √ x +1) ( √ x2 + √3 x2 +1 )

)

L=lim ¿ ¿

Levantamos el límite: ( 12+1+1 ) 1 −3 ( √ 13 +1 ) ( √1+1) L= ( 1+1 ) 3 3 + − 2 ( 1+1 ) ( √1+1) ( √3 12 + √3 12+ 1 )

(

)

(

)

2 3 1+ ¿ 3 3 − ( 2 2) L= ( ¿−1 )

L= ii.

0(2) =∞ 3

Por último: x →1 x→1

−¿

+¿

√ x3 +3 √ x−3 x−1 3 2 x +3 √ x−3 √ x −1

⟦ ⟧

3 19 + ≠ lim ¿ ¿ 8 x +1 lim ¿ 2

¿

Por lo que la función f ( x ) no presenta continuidad en el punto x=1

Lic. Sánchez Culqui Eladio

Página 77

Universidad Nacional de

Ingeniería Civil II-ciclo

Cajamarca-SJ Límites y continuidad

√ x 2 +9−6 , si0< x <3

b)

√3−x

f ( x )=b , si x=3 sen ( 3−x ) , si x >3 √ x−3 Solución: i.

Determinamos la continuidad en el punto

x=3 :

i.1. f ( 3 ) =b i.2. Evaluamos los límites por la derecha como por la izquierda los cuales deben ser iguales: x 2 +9−6 x → 3−¿ √ √ 3−x sen ( 3−x ) x → 3+¿ =lim ¿ ¿ √ x−3 lim ¿ ¿

sen ( 3−x ) √ x−3 lim ¿

x → 3+¿ 

Evaluamos para:

¿

+¿ sen ( 3−x ) x→3 ; x →3 ¿ √ x−3 L=lim ¿ +¿

¿

x−3=h entonces h →0

sen (−h ) √h L=lim ¿

h →0 +¿

¿

−sen ( h ) √h L=lim ¿

h →0 +¿

¿

−√ s en2 ( h ) √h L=lim ¿

h →0 +¿

¿

Lic. Sánchez Culqui Eladio

Página 78

Universidad Nacional de

Ingeniería Civil II-ciclo

Cajamarca-SJ Límites y continuidad

√

s en2 ( h ) h →0 − h L=lim ¿ +¿

¿

+¿

(√ senh( h) ) sen(h)

h →0 −

L=lim ¿ ¿

Levantamos el límite: L=−√ (1 )(0) L=∞ Basta decir que uno de los límites es indeterminado para decir que no existe continuidad en el punto x=3 :

Lic. Sánchez Culqui Eladio

Página 79