Έτος Μαθηματικών - Υπολογισμοί με μαθημαγικά

Γρήγοροι πολλαπλασιασμοί σχεδιάζοντας γραμμές

Γυμνάσιο και Λυκειακές Τάξεις Βασιλικής 13/12/2018 – Εκδήλωση για το Έτος Μαθηματικών

Η βεδική μαθηματική μέθοδος είναι συλλογή κανόνων αριθμητικής που συνέλεξε ο Ινδός μοναχός Μπαράτι Κρίσνα Τιρτατζί μεταξύ 1911 και 1918 μελετώντας την Βέδα. Βέδα στην σανσκριτική γλώσσα σημαίνει γνώση.

Η συλλογή δημοσιεύθηκε το 1965 και ακόμη και σήμερα διδάσκεται και χρησιμοποιείται για την απλοποίηση πολλών μαθηματικών υπολογιστικών πράξεων.

Γυμνάσιο και Λυκειακές Τάξεις Βασιλικής 13/12/2018 – Εκδήλωση για το Έτος Μαθηματικών

Λόγω του ενδιαφέροντος που παρουσιάζει, αλλά και για να γνωρίσουμε άλλες προσεγγίσεις επίλυσης μαθηματικών πράξεων, θα δούμε ένα ωραίο παράδειγμα σχετικά με τον υπολογισμό του γινομένου μεταξύ 2 αριθμών.

Έστω λοιπόν ότι θέλουμε να πολλαπλασιάσουμε το 13 με το 21 13 x 21 13 +26 273 Γυμνάσιο και Λυκειακές Τάξεις Βασιλικής 13/12/2018 – Εκδήλωση για το Έτος Μαθηματικών

Σύμφωνα με τη βεδική μέθοδο, θα αναπαραστήσουμε τους 13 και 21 με γραμμές ως εξής: 1

3

1 2

Γυμνάσιο και Λυκειακές Τάξεις Βασιλικής 13/12/2018 – Εκδήλωση για το Έτος Μαθηματικών

Στη συνέχεια θα ελέγξουμε τα σημεία τομής και θα τα μετρήσουμε: 1

3

3

2 1 2

7

Πράγματι: 21·13=273!

Γυμνάσιο και Λυκειακές Τάξεις Βασιλικής 13/12/2018 – Εκδήλωση για το Έτος Μαθηματικών

Ένα ακόμη παράδειγμα με τριψήφιους 312 · 123= ?

6 3

7

7 8 13 3

Γυμνάσιο και Λυκειακές Τάξεις Βασιλικής 13/12/2018 – Εκδήλωση για το Έτος Μαθηματικών

Τι γίνεται αν κάπου εμφανίζεται το μηδέν 302 · 123= ?

6 3

4

6 7 11 1

Γυμνάσιο και Λυκειακές Τάξεις Βασιλικής 13/12/2018 – Εκδήλωση για το Έτος Μαθηματικών

Θα δοκιμάσετε; Χρησιμοποιήστε τη μέθοδο για να υπολογίσετε τα γινόμενα:

21·22 και

213·101

Γυμνάσιο και Λυκειακές Τάξεις Βασιλικής 13/12/2018 – Εκδήλωση για το Έτος Μαθηματικών

21·22

462

213·101

21513

Γυμνάσιο και Λυκειακές Τάξεις Βασιλικής 13/12/2018 – Εκδήλωση για το Έτος Μαθηματικών

Γρήγοροι πολλαπλασιασμοί χωρίς αριθμομηχανή

Γυμνάσιο και Λυκειακές Τάξεις Βασιλικής 13/12/2018 – Εκδήλωση για το Έτος Μαθηματικών

Όλοι μας μέχρι στιγμής έχουμε αναπτύξει μεθόδους για να κάνουμε πολλαπλασιασμούς. Αν σας ζητήσω να απαντήσετε πόσο κάνει 10 x 8 = ?

20 x 8 = ?

13 x 8 = ?

13 x 8 10 x 8 = 80 3 x 8 = + 24 104 Γυμνάσιο και Λυκειακές Τάξεις Βασιλικής 13/12/2018 – Εκδήλωση για το Έτος Μαθηματικών

Λίγες πράξεις ακόμη….

13 x 6

18 x 8

19 x 7

10 x 8 = 80 3 x 6 = + 18

10 x 8 = 80 8 x 8 = + 64

10 x 7 = 70 9 x 7 = + 63

98

144

133

Γυμνάσιο και Λυκειακές Τάξεις Βασιλικής 13/12/2018 – Εκδήλωση για το Έτος Μαθηματικών

Ας δούμε τι γίνεται με πολλαπλασιασμό αριθμών που βρίσκονται στο διάστημα μεταξύ 10 -20 Θα σας χρονομετρήσω σε πόση ώρα θα κάνετε την πράξη 13 x 14 13 x 14 52 13 182

Γυμνάσιο και Λυκειακές Τάξεις Βασιλικής 13/12/2018 – Εκδήλωση για το Έτος Μαθηματικών

Ας δούμε ένα μαθη «μαγικό» κόλπο: 13 x 14 = ?

13 x 14

18 x 19

13 + 4 =17 17 x 10 = 170 3 x 4 =12

18 + 9 =27 27 x 10 = 270 8 x 9 =72

170 +12 =182

Μόνοι σας….

28 x 21 28+1=29 29 x 20 =580 8 x 1= 8 290 + 8 = 588

270 +72 = 342

Γυμνάσιο και Λυκειακές Τάξεις Βασιλικής 13/12/2018 – Εκδήλωση για το Έτος Μαθηματικών

Στα μαθηματικά, τετράγωνο ενός αριθμού α ονομάζουμε το γινόμενο με τον εαυτό του, δηλαδή α × α. Αυτό συμβολίζεται ως α². π.χ. το τετράγωνο του αριθμού 3 (δηλαδή το γινόμενο με τον εαυτό του) είναι 9. Αυτό γράφεται ως 3 × 3 = 9 ή ως 3² = 9.

Γεωμετρική Αναπαράσταση:

3

Γυμνάσιο και Λυκειακές Τάξεις Βασιλικής 13/12/2018 – Εκδήλωση για το Έτος Μαθηματικών

Όταν οι αριθμοί είναι <10 όλοι μας μπορούμε σχετικά γρήγορα να υπολογίσουμε το τετράγωνο ενός αριθμού. Έτσι: 1² = 2, 2² = 4, 3² = 9, 4² = 16, 5² = 25, 6² = 36, 7² = 49, 8² = 64, 9² = 81, 10² = 100 Με το που περνάμε το 10 όμως… οι χρόνοι απάντησης ανεβαίνουν κατακόρυφα (και φυσικά εννοούμε χωρίς αριθμομηχανή) Ας δούμε πως μπορείτε γρήγορα να υπολογίσετε με το μυαλό σας, ή έστω σε ένα χαρτάκι χωρίς να κάνετε τον κλασικό πολλαπλασιασμό το τετράγωνο ενός αριθμού

Γυμνάσιο και Λυκειακές Τάξεις Βασιλικής 13/12/2018 – Εκδήλωση για το Έτος Μαθηματικών

Ας πάρουμε ένα τυχαίο αριθμό π.χ. το 23. Πόσο κάνει 232; Ας δούμε μια μέθοδο: 1.Σκεφτείτε έναν εύκολο αριθμό κοντά στο 23 2. Γράψτε τον εύκολο αριθμό επάνω ή κάτω από τον αρχικό αριθμό και στην αντίθετη θέση τον αριθμό που προκύπτει προσθέτοντας ή αφαιρώντας τον αριθμό που αφαιρέσατε ή προσθέσατε για να προκύψει ο εύκολος αριθμός. Στην περίπτωσή μας αν ο εύκολος αριθμός είναι το 20,θα γράψω: 26 23 20 Για να βρω το 232 θα πολλαπλασιάσω το 20 με το 26 και θα προσθέσω το τετράγωνο του 3 που ήταν ο αριθμός που με οδήγησε στον εύκολο αριθμό. Δηλαδή 26·20+92=529 Γυμνάσιο και Λυκειακές Τάξεις Βασιλικής 13/12/2018 – Εκδήλωση για το Έτος Μαθηματικών

Δηλαδή:

26

3 23

26 · 20 =520

3

520+9

20

32=9 232 =529 Γυμνάσιο και Λυκειακές Τάξεις Βασιλικής 13/12/2018 – Εκδήλωση για το Έτος Μαθηματικών

Ένα ακόμη: 492

50

1 49

48 · 50 =2400

1

2400+1

48

12=1 492 =2401 Γυμνάσιο και Λυκειακές Τάξεις Βασιλικής 13/12/2018 – Εκδήλωση για το Έτος Μαθηματικών

Ένα ακόμη: 492

50

1 49

48 · 50 =2400

1

2400+1

48

12=1 492 =2401 Γυμνάσιο και Λυκειακές Τάξεις Βασιλικής 13/12/2018 – Εκδήλωση για το Έτος Μαθηματικών

Δοκιμάστε μόνοι σας: 972

100

3 97

94 · 100 =9400

3

9409

94

32=9 972 =9409 Γυμνάσιο και Λυκειακές Τάξεις Βασιλικής 13/12/2018 – Εκδήλωση για το Έτος Μαθηματικών

Ας δούμε και έναν τριψήφιο: 7622

800

38 762

724 · 800 =579200

38 724

382=1444 7622 =580644 Γυμνάσιο και Λυκειακές Τάξεις Βασιλικής 13/12/2018 – Εκδήλωση για το Έτος Μαθηματικών

Δουλεύει για κάθε αριθμό η μέθοδος; Η απάντηση είναι ΝΑΙ, διότι Αλγεβρικά μπορούμε να πούμε ότι:

2 2 Α =(Α+Δ)(Α-Δ)+Δ Το οποίο είναι ίσο με

2 2 Α =Α -

2 Δ +

2 Δ

δηλαδή

Α2=Α2 Γυμνάσιο και Λυκειακές Τάξεις Βασιλικής 13/12/2018 – Εκδήλωση για το Έτος Μαθηματικών

Ας δούμε και μια ειδική περίπτωση: Πως θα βρω το τετράγωνο οποιουδήποτε αριθμού που τελειώνει σε 5; Έστω ο αριθμός 25, τότε 252=625. Πώς;

30

5 25

20 · 30 =600

5

625

20 52=25

Γυμνάσιο και Λυκειακές Τάξεις Βασιλικής 13/12/2018 – Εκδήλωση για το Έτος Μαθηματικών

Άρα: 252=625.

352=1225 452=2025

Τι παρατηρείτε;

552=3025 652=4225 Γυμνάσιο και Λυκειακές Τάξεις Βασιλικής 13/12/2018 – Εκδήλωση για το Έτος Μαθηματικών

Και τώρα μόνοι σας…

952

99952

?

Γυμνάσιο και Λυκειακές Τάξεις Βασιλικής 13/12/2018 – Εκδήλωση για το Έτος Μαθηματικών

Σας ευχαριστώ

Γυμνάσιο και Λυκειακές Τάξεις Βασιλικής 13/12/2018 – Εκδήλωση για το Έτος Μαθηματικών