Quantum
Gravity and the Functional Renormalization Group The Road Towards Asymptotic Safety Martin Reuter
Visit to download the full and correct content document: https://textbookfull.com/product/quantum-gravity-and-the-functional-renormalization-g roup-the-road-towards-asymptotic-safety-martin-reuter/
More products digital (pdf, epub, mobi) instant download maybe you interests ...
A Legal Analysis of the Belt and Road Initiative: Towards a New Silk Road? Giuseppe Martinico
https://textbookfull.com/product/a-legal-analysis-of-the-beltand-road-initiative-towards-a-new-silk-road-giuseppe-martinico/
Beyond Spacetime The Foundations of Quantum Gravity 1st Edition Nick Huggett (Editor)
https://textbookfull.com/product/beyond-spacetime-thefoundations-of-quantum-gravity-1st-edition-nick-huggett-editor/
Renormalization Group Analysis of Nonequilibrium Phase Transitions in Driven Disordered Systems Taiki Haga
https://textbookfull.com/product/renormalization-group-analysisof-nonequilibrium-phase-transitions-in-driven-disordered-systemstaiki-haga/
The Universal Computer The Road from Leibniz to Turing Martin Davis
https://textbookfull.com/product/the-universal-computer-the-roadfrom-leibniz-to-turing-martin-davis/
Loop Quantum Gravity for the Bewildered: The Self-Dual Approach Revisited, 2nd 2nd Edition Bilson-Thompson
https://textbookfull.com/product/loop-quantum-gravity-for-thebewildered-the-self-dual-approach-revisited-2nd-2nd-editionbilson-thompson/
Introduction to Quantum Field Theory with Applications to Quantum Gravity 1st Edition Iosif L Buchbinder Ilya Shapiro
https://textbookfull.com/product/introduction-to-quantum-fieldtheory-with-applications-to-quantum-gravity-1st-edition-iosif-lbuchbinder-ilya-shapiro/
Mobile broadband communications for public safety the road ahead through LTE technology 1st Edition Ferrus
https://textbookfull.com/product/mobile-broadband-communicationsfor-public-safety-the-road-ahead-through-lte-technology-1stedition-ferrus/
Mathematical Foundations of System Safety Engineering: A Road Map for the Future Richard R. Zito
https://textbookfull.com/product/mathematical-foundations-ofsystem-safety-engineering-a-road-map-for-the-future-richard-rzito/
Practical functional group synthesis 1st Edition Robert A. Stockland Jr
https://textbookfull.com/product/practical-functional-groupsynthesis-1st-edition-robert-a-stockland-jr/
QUANTUMGRAVITYANDTHE FUNCTIONALRENORMALIZATIONGROUP
TheRoadtowardsAsymptoticSafety
DuringthepasttwodecadesthegravitationalAsymptoticSafetyscenariohas undergoneamajortransitionfromanexoticpossibilitytoaseriouscontender asarealistictheoryofquantumgravity.Itaimsatamathematicallyconsistentquantumdescriptionofthegravitationalinteractionandthegeometry ofspacetimewithintherealmofquantumfieldtheory,keepingitspredictive poweratthehighestenergies.Thisvolumeprovidesaself-containedpedagogical introductiontoAsymptoticSafetyandintroducesthefunctionalrenormalization grouptechniquesusedinitsinvestigation,alongwiththerequisitecomputational techniques.Thefoundationalchaptersarefollowedbyanaccessiblesummaryof theresultsobtainedthusfar.ItisthefirstdetailedexpositionofAsymptotic Safety,providingauniqueintroductiontoquantumgravity.Thetextassumes nopreviousfamiliaritywiththerenormalizationgroupandthusservesasan importantresourceforbothpracticingresearchersandgraduatestudentsenteringthismaturingfield.
MartinReuter isaprofessorofTheoreticalPhysicsattheJohannes GutenbergUniversityMainz.HepreviouslyworkedattheEuropeanLaboratoryforParticlePhysics,CERN,inGeneva,theDESYlaboratoryinHamburg, andtheLeibnizUniversityofHanover.Inthe1990s,heinitiatedtheexploration ofquantumgravityandtheAsymptoticSafetyscenariousingthefunctional renormalizationgroupandsubsequentlyplayedakeyroleindevelopingthe programintoitspresentform.
FrankSaueressig isanassistantprofessorattheRadboudUniversity Nijmegen.Beforehisappointment,heheldresearchpositionsatUtrechtUniversity,theInstitutdePhysiqueTh´eoriqueatCEA/Saclay,andanEmmyNoether fellowshipattheJohannesGutenbergUniversityMainz.Withmorethan70 scientificpublicationsinthefieldofquantumgravityheisamongtheleading youngtalentsinthefield.
CAMBRIDGEMONOGRAPHSONMATHEMATICALPHYSICS
S.J.Aarseth GravitationalN-BodySimulations:ToolsandAlgorithms†
J.Ambjørn,B.DurhuusandT.Jonsson QuantumGeometry:AStatisticalFieldTheoryApproach †
A.M.Anile RelativisticFluidsandMagneto-fluids:WithApplicationsinAstrophysicsand PlasmaPhysics
J.A.deAzc´arragaandJ.M.Izquierdo LieGroups,LieAlgebras,CohomologyandSome ApplicationsinPhysics†
O.Babelon,D.BernardandM.Talon IntroductiontoClassicalIntegrableSystems†
F.BastianelliandP.vanNieuwenhuizen PathIntegralsandAnomaliesinCurvedSpace†
D.BaumannandL.McAllister InflationandStringTheory
V.BelinskiandM.Henneaux TheCosmologicalSingularity†
V.BelinskiandE.Verdaguer GravitationalSolitons†
J.Bernstein KineticTheoryintheExpandingUniverse†
G.F.BertschandR.A.Broglia OscillationsinFiniteQuantumSystems†
N.D.BirrellandP.C.W.Davies QuantumFieldsinCurvedSpace†
K.Bolejko,A.Krasi´nski,C.HellabyandM-N.C´el´erier StructuresintheUniversebyExact Methods:Formation,Evolution,Interactions
D.M.Brink Semi-ClassicalMethodsforNucleus-NucleusScattering †
M.Burgess ClassicalCovariantFields†
E.A.CalzettaandB.-L.B.Hu NonequilibriumQuantumFieldTheory
S.Carlip QuantumGravityin2+1Dimensions†
P.CartierandC.DeWitt-Morette FunctionalIntegration:ActionandSymmetries†
J.C.Collins Renormalization:AnIntroductiontoRenormalization,theRenormalizationGroup andtheOperator-ProductExpansion†
P.D.B.Collins AnIntroductiontoReggeTheoryandHighEnergyPhysics†
M.Creutz Quarks,GluonsandLattices†
P.D.D’Eath SupersymmetricQuantumCosmology†
J.Derezi´nskiandC.G´erard MathematicsofQuantizationandQuantumFields
F.deFeliceandD.Bini ClassicalMeasurementsinCurvedSpace-Times
F.deFeliceandC.J.SClarke RelativityonCurvedManifolds†
B.DeWitt Supermanifolds,2ndedition†
P.G.O.Freund IntroductiontoSupersymmetry†
F.G.Friedlander TheWaveEquationonaCurvedSpace-Time†
J.L.FriedmanandN.Stergioulas RotatingRelativisticStars
Y.FrishmanandJ.Sonnenschein Non-PerturbativeFieldTheory:FromTwoDimensional ConformalFieldTheorytoQCDinFourDimensions
J.A.Fuchs AffineLieAlgebrasandQuantumGroups:AnIntroduction,withApplicationsin ConformalFieldTheory†
J.FuchsandC.Schweigert Symmetries,LieAlgebrasandRepresentations:AGraduateCourse forPhysicists†
Y.FujiiandK.Maeda TheScalar-TensorTheoryofGravitation†
J.A.H.Futterman,F.A.Handler,R.A.Matzner ScatteringfromBlackHoles†
A.S.Galperin,E.A.Ivanov,V.I.OgievetskyandE.S.Sokatchev HarmonicSuperspace† R.GambiniandJ.Pullin Loops,Knots,GaugeTheoriesandQuantumGravity †
T.Gannon MoonshinebeyondtheMonster:TheBridgeConnectingAlgebra,ModularFormsand Physics†
A.Garc´ıa-D´ıaz ExactSolutionsinThree-DimensionalGravity
M.G¨ockelerandT.Sch¨ucker DifferentialGeometry,GaugeTheoriesandGravity †
C.G´omez,M.Ruiz-AltabaandG.Sierra QuantumGroupsinTwo-DimensionalPhysics† M.B.Green,J.H.SchwarzandE.Witten SuperstringTheoryVolume1:Introduction M.B.Green,J.H.SchwarzandE.Witten SuperstringTheoryVolume2:LoopAmplitudes, AnomaliesandPhenomenology
V.N.Gribov TheTheoryofComplexAngularMomenta:GribovLecturesonTheoreticalPhysics †
J.B.GriffithsandJ.Podolsk´y ExactSpace-TimesinEinstein’sGeneralRelativity †
T.HarkoandF.Lobo Extensionsoff(R)Gravity:Curvature-MatterCouplingsandHybrid Metric-PalatiniGravity
S.W.HawkingandG.F.R.Ellis TheLargeScaleStructureofSpace-Time† F.IachelloandA.Arima TheInteractingBosonModel †
F.IachelloandP.vanIsacker TheInteractingBoson-FermionModel †
C.ItzyksonandJ.M.Drouffe StatisticalFieldTheoryVolume1:FromBrownianMotionto RenormalizationandLatticeGaugeTheory†
C.ItzyksonandJ.M.Drouffe StatisticalFieldTheoryVolume2:StrongCoupling,MonteCarlo Methods,ConformalFieldTheoryandRandomSystems†
G.Jaroszkiewicz PrinciplesofDiscreteTimeMechanics
G.Jaroszkiewicz QuantizedDetectorNetworks
C.V.Johnson D-Branes†
P.S.Joshi GravitationalCollapseandSpacetimeSingularities†
J.I.KapustaandC.Gale Finite-TemperatureFieldTheory:PrinciplesandApplications,2nd edition†
V.E.Korepin,N.M.BogoliubovandA.G.Izergin QuantumInverseScatteringMethodand CorrelationFunctions†
J.Kroon ConformalMethodsinGeneralRelativity
M.LeBellac ThermalFieldTheory†
Y.Makeenko MethodsofContemporaryGaugeTheory†
S.MallikandS.Sarkar HadronsatFiniteTemperature
A.MalyarenkoandM.Ostoja-Starzewski Tensor-ValuedRandomFieldsforContinuumPhysics
N.MantonandP.Sutcliffe TopologicalSolitons†
N.H.March LiquidMetals:ConceptsandTheory†
I.MontvayandG.M¨unster QuantumFieldsonaLattice†
P.Nath Supersymmetry,Supergravity,andUnification
L.O’Raifeartaigh GroupStructureofGaugeTheories†
T.Ort´ın GravityandStrings,2ndedition
A.M.OzoriodeAlmeida HamiltonianSystems:ChaosandQuantization †
M.Paranjape TheTheoryandApplicationsofInstantonCalculations
L.ParkerandD.Toms QuantumFieldTheoryinCurvedSpacetime:QuantizedFieldsandGravity
R.PenroseandW.Rindler SpinorsandSpace-TimeVolume1:Two-SpinorCalculusand RelativisticFields†
R.PenroseandW.Rindler SpinorsandSpace-TimeVolume2:SpinorandTwistorMethodsin Space-TimeGeometry†
S.Pokorski GaugeFieldTheories,2ndedition†
J.Polchinski StringTheoryVolume1:AnIntroductiontotheBosonicString †
J.Polchinski StringTheoryVolume2:SuperstringTheoryandBeyond †
J.C.Polkinghorne ModelsofHighEnergyProcesses†
V.N.Popov FunctionalIntegralsandCollectiveExcitations†
L.V.ProkhorovandS.V.Shabanov HamiltonianMechanicsofGaugeSystems
S.RaychaudhuriandK.Sridhar ParticlePhysicsofBraneWorldsandExtraDimensions
A.RecknagelandV.Schiomerus BoundaryConformalFieldTheoryandtheWorldsheetApproach toD-Branes
M.ReuterandF.Saueressig QuantumGravityandtheFunctionalRenormalizationGroup
R.J.Rivers PathIntegralMethodsinQuantumFieldTheory†
R.G.Roberts TheStructureoftheProton:DeepInelasticScattering †
C.Rovelli QuantumGravity†
W.C.Saslaw GravitationalPhysicsofStellarandGalacticSystems†
R.N.Sen Causality,MeasurementTheoryandtheDifferentiableStructureofSpace-Time M.ShifmanandA.Yung SupersymmetricSolitons
Y.M.Shnir TopologicalandNon-TopologicalSolitonsinScalarFieldTheories
H.Stephani,D.Kramer,M.MacCallum,C.HoenselaersandE.Herlt ExactSolutionsofEinstein’s FieldEquations,2ndedition†
J.Stewart AdvancedGeneralRelativity†
J.C.Taylor GaugeTheoriesofWeakInteractions†
T.Thiemann ModernCanonicalQuantumGeneralRelativity †
D.J.Toms TheSchwingerActionPrincipleandEffectiveAction †
A.VilenkinandE.P.S.Shellard CosmicStringsandOtherTopologicalDefects†
R.S.WardandR.O.Wells,Jr TwistorGeometryandFieldTheory† E.J.Weinberg ClassicalSolutionsinQuantumFieldTheory:SolitonsandInstantonsinHigh EnergyPhysics
J.R.WilsonandG.J.Mathews RelativisticNumericalHydrodynamics† †Availableinpaperback
AQuantumFieldTheoryofGravity
Todayweknowoffourkindsoffundamentalinteractionswhichseemtounderlie allelementaryprocessesobservedinnature.Threeofthem,theelectromagnetic, theweak,andthestronginteractions,arecombinedinthestandardmodelof elementaryparticlephysics,whichhasreceivedstrikingexperimentalconfirmationduringthepastdecades.Regardedasaclassicalfieldtheory,themodel employsgeometricallynaturalandmathematicallywell-understoodstructures suchasconnectionsoftheYang–Millstype,forexample.Furthermore,being renormalizableinperturbationtheory,wealsoknowhowthemodelcanbeelevatedtothelevelofaperturbativelydefinedquantumfieldtheory.Beyondthis stagethereareongoingeffortsdirectedtowardanon-perturbativedefinitionand evaluationofatleastcertainsectorsofthetheory.Here,modernconceptsofstatisticalfieldtheoryhaveproveninvaluable.Theyexplain,forinstance,howthe renormalizationpropertiesoftheoriginalcontinuumtheoryarerelatedtothe behaviorofappropriatestatisticalmechanicsmodelsonspacetimelatticeswhen theyapproachasecond-orderphasetransition.Theseinsightsopenedthedoor foremployingMonte-Carlosimulationsasanon-perturbativetoolinquantum fieldtheory,andinparticular,asadevicetotestforthe“existence”ofatheory beyondtherealmofperturbationtheory.
1.1RenormalizingtheUnrenormalizable
Asforourtheoreticalunderstandingofthefourthofthefundamentalinteractions,gravity,thesituationismarkedlydifferentfromtheotherthreeforcesof nature.WithEinstein’sgeneraltheoryofrelativitywehaveaclassicalfieldtheoryatourdisposalwhichisspectacularlysuccessfulinexplaininggravitational phenomenaonscalesthatspanmanyordersofmagnitude.However,whenwe trytoquantizeGeneralRelativity(GR)alongthesamelinesasthestandard model,wefindthatthisroadisblockedsincethetheoryisnon-renormalizable withinperturbationtheory[1, 2].Athigherordersoftheloopexpansionthe
calculationsmustcopewithanincreasingnumberofnewtypesofdivergences andtheyallmustbeabsorbedbysuitablecounterterms.Thefinitepartsof theircoefficientsareleftundeterminedbythetheoryitselfandsotheymustbe takenfromexperiment.Whilethisdoesnotexcludethepossibilityofcomputingquantumcorrectionstopredictionsoftheclassicaltheory,itimpliesthat thosecorrectionsinvolveanincreasingnumberofundeterminedparametersas theperturbationorderisincreased.
Aslongasonerestrictsattentiontoaregimewhereonlyafewsuchnewcouplingconstantsplayarole,quantizedGeneralRelativity(GR)hasthestatusof an effectivequantumfieldtheory [3–5].Similartochiralperturbationtheory[6] itmakesunambiguouspredictionsforcertainleadingquantumcorrections.With increasingenergyincreasinglyhighloopordersmustbeincludedandhencethe predictionsunavoidablyinvolveagrowingnumberofundeterminedparameters. Atthisstagethetheorygraduallylosesitspredictivepower,andultimatelyit maybreakdowncompletely.Increasingtheorderofperturbationtheorybeyond thispoint,wouldthenhavetheparadoxicalconsequenceofdiminishingthetheory’snetpredictivepowerasthehoped-forbetterprecisionismorethanoffset bythenewundeterminedparametersitintroduces.
Thislossofpredictivityathigh-energyorshort-distancescalesisastrong motivationtosearchfora fundamentalquantumtheory ofgravity,i.e.,atheory thatis predictiveonallscales andthatadmits potentiallylargequantumeffects Ideallythishypotheticaltheorywouldcontainonlyafewfreeparameterswhose valuesarenotfixedbythetheoryitself.Similartothefamiliarsituationin perturbativelyrenormalizablemodelsitwouldexpressallpredictionsaswelldefined,computablefunctionsofthosefewmeasuredparameters.
GiventhatGRisnotrenormalizableinstandardperturbationtheory,ithas commonlybeenarguedthatasatisfactorymicroscopictheoryofthegravitationalinteractioncannotbesetupwithintherealmofquantumfieldtheory,at leastnotwithoutaddingfurthersymmetries,extradimensions,ornewprinciples suchasholography,forinstance.Bycontrast,theAsymptoticSafetyprogram retainsquantumfieldtheorywithoutsuchadditionstothetheoreticalarena. Instead,itabandonsthetraditionaltechniquesofperturbationtheory,theconceptsofperturbativerenormalization,andofperturbativerenormalizabilityin particular.
TheAsymptoticSafetyapproachisbasedonthegeneralizednotionofrenormalizationshapedbyKadanoffandWilson[7–9]andtheuseofa“functional” or“exact”renormalizationgroup(RG)equation.Hence,conceptsfrommodern statisticalfieldtheoryplayapivotalrole.Theyprovideaunifiedframeworkfor approachingtheproblemswithbothcontinuumanddiscretemethods.
Inthenewsettingonecanconceiveof non-perturbativelyrenormalizable quantumfieldtheories,i.e.,modelsfreefromphysicallyharmfuldivergences thatremainpredictiveuptothehighestenergieseventhoughtheyare non-renormalizableintheperturbativesense.
Theideathattheremightexistanon-perturbativelyrenormalizable,orashe calledit,“asymptoticallysafe”quantumtheoryofgravitywasfirstproposed byS.Weinberginthelate1970s[10].Atthattimenoefficienttoolstotestthis scenariowereavailable.However,anepsilon-expansionvalidnear two dimensions indicatedthatthenewpathcouldindeedbeviable,atleastforanunphysical dimensionalityofspacetime.Furtherencouragementcamefromcertainmatter fieldtheoriesthatlikewisewerenotrenormalizablewithinperturbationtheory butcouldbeshowntobenon-perturbativelyrenormalizable.Inapaperentitled “RenormalizingtheNon-renormalizable,”GawedzkiandKupiainen[11]useda 1/N -expansiontoprovethenon-perturbativerenormalizabilityoftheGross–Neveumodelinthreedimensions[12, 13].
ThesystematicexplorationoftheAsymptoticSafetyscenarioinfourdimensionsbeganonlyinthe1990swhenpowerfulfunctionalrenormalizationgroup methodsbecameavailableforthegravitationalfield[14].Theexpositionof thesenon-perturbativemethodsandtheiruseinscrutinizingtheviabilityof theAsymptoticSafetyroutetoafundamentalquantumfieldtheoryofgravity isthemaintopicofthisbook.
1.2BackgroundIndependence
WhilethevariousapproachestryingtounifytheprinciplesofquantummechanicsandGeneralRelativityarebaseduponratherdifferentphysicalideasandare formulatedincorrespondinglydifferentmathematicalframeworks,1 theyallmust copewiththeproblemofBackgroundIndependenceinonewayoranother.Whatevertheultimatetheoryofquantumgravity,acentralrequirementweimposeon itisthatitshouldbeBackgroundIndependentinthesamesenseasGR.Loosely speaking,thismeansthespacetimestructurethatisactuallyrealizedinnature shouldnotbepartofthetheory’sdefinitionbutratherariseasasolutionto certaindynamicalequations[18–20].
InclassicalGeneralRelativitythespacetimestructureisencodedina Lorentzianmetriconasmoothmanifold,andthismetric,viaEinstein’sequation, isadynamicalconsequenceofthematterpresentintheuniverse.Inquantum gravitywewouldliketoretainthefundamentalideathat“mattertellsspacehow tocurve,andspacetellsmatterhowtomove,”butdescribeboth“matter”and “space”quantummechanically.While,today,itisfairlywellunderstoodhowto setupquantumfieldtheoriesofmattersystems,theopenkeyproblemisthe quantummechanicaldescriptionof“space.”
Inthisbookwewillmostlyexplorethepossibilityofconstructingaquantum fieldtheoryofgravityinwhichthespacetimemetriccarriesthedynamicaldegrees offreedomwhichweassociateto“space.”Eventhoughthispropertyistaken
1 Forreviewsoftheattemptstoobtainaquantumtheoryofgravitationsee,forexample, [15–17].
fromGR,thefundamentaldynamicsofthosemetricdegreesoffreedomisallowed tobedifferentfromthatintheclassicaltheory.
Thequantumtheoryofgravitywearesearchingforwillberequiredtorespect thefollowingprincipleofBackgroundIndependence:Intheformulationofthe theorynospecialmetricshouldplayanydistinguishedrole.Theactualmetricof spacetimeshouldariseastheexpectationvalueofthequantumfield(operator) g
withrespecttosomestate:
Thisrequirementisinsharpcontradistinctiontothetraditionalsettingof quantumfieldtheoryofmattersystemsonMinkowskispacewhoseconceptual foundationsheavilyrelyontheavailabilityofanon-dynamical(rigid)Minkowski spacetimeasabackgroundstructure.
TheprincipleofBackgroundIndependence2 canberephrasedmoreprecisely asfollows.Werequirethat noneofthetheory’sbasicrulesandassumptions, andnoneofitspredictions,therefore,maydependonanyspecialmetricthathas beenfixedapriori.Allmetricsofphysicalrelevancemustresultfromtheintrinsic quantumgravitationaldynamics.
Apossibleobjectionagainstthisworkingdefinition[21]couldbeasfollows:A theorycanbemade“BackgroundIndependent”intheabovesense,butneverthelesshasadistinguishedrigidbackgroundifthelatterarisesastheuniquesolution tosomefieldequationwhichismadepartofthe“basicrules.”Forinstance,rather thanintroducingaMinkowskibackgrounddirectlyoneinsteadimposesthefield equation Rµ νρσ =0.However,thisobjectioncanapplyonlyinasettingwhere thedynamics,thefieldequations,canbechosenfreely.Inasymptoticallysafe gravitythisisimpossiblesince,asweshallsee,thedynamicallawsaredictated bythefixed-pointaction.Theyarethusapredictionratherthananinput.
Ifwetrytosetupacontinuumquantumfieldtheoryforthemetricitself, evenassumingwearegivensomeplausiblecandidateforamicroscopicdynamics,describedby,say,adiffeomorphisminvariantbareactionfunctional S,then alreadywellbeforeoneencountersthenotoriousproblemsrelatedtotheUV divergences,profoundconceptualproblemsarise.Justtonameone,inabsence ofarigidbackgroundwhenthemetricisdynamical,thereisnopreferredtime direction,forinstance,hencenonotionofequaltimecommutators,andclearly theusualrulesofquantizationcannotbeappliedstraightforwardly.
Manymoreproblemsarisewhenonetriestoapplythefamiliarconceptsand calculationalmethodsofquantumfieldtheorytothemetricitselfwithoutintroducingarigidbackgroundstructure.Someofthemareconceptuallydeepwhile othersareofamoretechnicalnature.
Theproblemsareparticularlysevereifonedemandsthatthesought-for theorycanalsodescribepotentialphasesofgravityinwhich ⟨gµν ⟩ isdegenerate
2 Here,andinthefollowing,wewrite“BackgroundIndependence”withcapitalletterswhen werefertothisprincipleratherthansimplytotheindependenceofsomequantitywith respecttothebackgroundfield.
(non-invertible)orcompletelyvanishinginthemostextremecase.Interpreting ⟨gµν ⟩ asanorderparameteranalogoustothemagnetizationinamagneticsystem, anon-degenerateclassicalmetric ⟨gµν ⟩ wouldsignalaspontaneousbreakingof diffeomorphisminvariancethatleavesonlythestabilitygroupof ⟨gµν ⟩ unbroken, i.e.,thePoincar´egroupforexample,when ⟨gµν ⟩ isgivenbytheMinkowskimetric.Conversely, ⟨gµν ⟩≡ 0wouldthenbethehallmarkofaphasewithcompletely unbrokendiffeomorphisminvariance.
Theanalogytomagneticsystemssuggeststhatthis“unbrokenphase”ismuch easiertodealwiththanthosewith ⟨gµν ⟩̸=0.However,inpracticethisisnotthe case,andagainthereasonisthatthetraditionaltoolboxofquantumfieldtheory asshapedbytherequirementsofparticleorcondensedmatterphysicshasvery littletoofferassoonas gµν vanishes.Thefamiliaractionsformatterfieldssuch as,say, ∫ √ggµν DµϕDν ϕ or ∫ √ggµν gαβ FµαFνβ ,cannolongerbewrittendown sincetheyrequirean invertible gµν ,andproblemsofthiskindareclearlyonly thetipoftheiceberg.
Asimilardifficultyshowsupwhenonetriestoconceiveanappropriatenotion ofa“functionalrenormalizationgroup”intherealmofquantumgravity.Instandardfieldtheoryonarigidbackgroundspacetimetypicalregularizationschemes (byhigherderivativeregulators,forexample)whichareusedtomakethecalculationswelldefinedbothintheinfrared(IR)andtheultraviolet(UV)make essentialuseofthemetricprovidedbythisbackgroundspacetime.Asaresult,it isnotobviouswhetherandhowsuchschemescancarryovertoquantumgravity.
Thisproblemisparticularlyacutefornon-perturbativeapproachesemployinganykindoffunctionalrenormalizationgroupequation(FRGE)thatwould implementaWilson-likeor“exact”renormalizationgroupflowbyarepeated coarsegraining[22–35].
InconventionalEuclideanfieldtheoryasitisemployedinstatisticalmechanics, forinstance,everysuchcoarse-grainingstepcomesequippedwithanassociated lengthscale.Inthecaseof,say,block-spintransformationsitmeasuresthesize ofthespacetimeblockswithinwhichthemicroscopicdegreesoffreedomwere averaged.Butwhenthemetricisdynamicalandnorigidbackgroundisavailable, thisconceptbecomeshighlyproblematicsinceitisnotclearintermsofwhich metriconeshouldmeasurethephysical,i.e.properextensionofagivenspacetime block.
Fromacontinuumviewpoint,inonewayoranotheralltechniquesoffunctional renormalizationinvolveamodedecompositionofthe(field)configurationsthat aresummedorintegratedoverinthepartitionfunctionorfunctionalintegral. Inthestandardcasethemodesareoftentakentobeplanewaves,characterized byamomentumvector pµ.Theyshouldbethoughtofastheeigenfunctionsof theLaplacian δµν ∂µ∂ν .Thesemodesaregroupedintotwoclassesthen,namely longwavelength(orIR)modes,andshort-wavelength(orUV)modes,respectively,dependingonwhethertheEuclideanmagnitudeoftheirmomentum, (δµν pµpν )1/2,issmallerorbiggerthanacertainvalue.Theshort-wavelength
modesarethen“integratedout”andtheresultingeffectivedynamicsofthe long-wavelengthmodesisdeduced.
Intheabsenceofanintrinsicallygivenmetriccomparableto δµν thisprocedurefailsfor(atleast)thefollowingobviousreasons:Thereisneitheranatural, physicallymotivatedwayofchoosingthebasisoffieldmodes,norisitclear howtodiscriminatebetweenIRandUVmodesandtofixtheorderinwhich theindividualmodesbelongingtosome(adhoc)basisoffieldmodesshouldbe integratedout.
Thus,thepotentialdangeronefacesinapplyingtheideasofcoarsegrainingandRGflowstoacontinuumformulationofgravityisthatintheabsence ofanaturallyprovidedmetricthereisaconsiderabledegreeofarbitrariness intheflowthatmightruinthepowertheexactRGhasotherwise.Afterall, mostofitscelebratedsuccessesonboththefoundationalorconceptualside (understandingthenatureofcontinuumlimits,etc.)andthepracticalside(computingusefuleffectivedescriptionsofagivenfundamentaltheory)heavilyrely ontherule“shortwavelengthsfirst,longwavelengthssecond”whenitcomesto integratingoutdegreesoffreedom.Trivialasitsounds,nothingthelikeofit isavailableinamanifestlyBackgroundIndependentcontinuumformulationof gravity.
1.3AllBackgroundsIsNoBackground
Therearetwoquitedifferentstrategiesforcomplyingwiththerequirementof BackgroundIndependence:
(i) Onecantrytodefinethetheoryandworkoutitsimplicationswithout everemployingabackgroundmetricorasimilarnon-dynamicalstructure. ThisisthepathtakeninLoopQuantumGravity[36–39]andthediscrete approachestoquantumgravity[40–48],forinstance,wheremanifestBackgroundIndependencehasdramaticconsequencesforthestructureofthe theory[49].Aswesaw,itseemsveryhard,ifnotimpossible,torealizeitin acontinuumfieldtheory,however.3
(ii) Onetakesadvantageofanarbitraryclassicalbackgroundmetric¯ gµν atthe intermediatestepsofthequantization,butverifiesattheendthatnophysicalpredictiondependsonwhichmetricwaschosen.This backgroundfield method isattheheartofthecontinuum-basedgravitationalaverageaction approach[14],whichweshallemployinourinvestigationofasymptotic safety.
3 Someofthedifficultiesarereminiscentofthoseencounteredinthequantizationoftopological Yang–Millstheories.Evenwhentheclassicalactioncanbewrittendownwithouttheneed ofametric,thegaugefixingandquantizationofthetheoryusuallyrequiresone.Hence,the onlywayofprovingthetopologicalcharacterofsomeresultistoshowitsindependenceof themetricchosen.
Thetwostrategieshavecomplementaryadvantagesanddisadvantages.Followingthepath(i),BackgroundIndependenceisimplementedstrictly.Hence,itis manifestatallintermediatestepsoftheconstructionsandcalculations,butone mustthencopewiththeaboveprofounddifficulties.Takingthepath(ii)instead, BackgroundIndependenceisnotmanifestduringtheintermediatestepsand requiresanefforttoreestablishitattheend.Thisstrategyhastheinvaluable benefitthatbasicallytheentirearsenalofgeneralconceptsandtechnicaltools ofconventionalbackground-dependentquantumfieldtheoryisapplicable.
Inthesimplestvariantofthebackgroundfieldmethodoneparameterizesthe quantummetricas gµν =¯ gµν + hµν oranon-lineargeneralizationthereof,and thenquantizesthefluctuation hµν inessentiallythesamewayonewouldquantize amatterfieldinaclassicalspacetimewithmetric¯ gµν .Inthisway,allofthe conceptualproblemsalludedtoabove,inparticularthedifficultiesrelatedtothe constructionofregulators,disappear.
Technicallythequantizationofgravityproceedsthenalmostasinstandard fieldtheoryonarigidclassicalspacetime,withoneessentialdifference,though: Inthelatter,oneconcretelyfixesthebackground¯ gµν typicallyas¯ gµν = ηµν oras gµν = δµν intheEuclideancase.In“backgroundindependent”quantumgravity instead,themetric¯ gµν isneverspecifiedconcretely.Allobjectsthatonehas tocomputeinthissetting,generatingfunctionals,say,arefunctionalsofthe variable¯ gµν
AnexampleistheeffectiveactionΓ[hµν ;¯ gµν ]thatgeneratesthedynamical equationsfortheexpectationvalue hµν ≡⟨hµν ⟩ of hµν anditshigher n-point functions.Itdependsonboththebackgroundmetricandthefluctuationexpectationvalue.Similarlyall n-pointcorrelationfunctionsof hµν whichonecomputes fromithaveaparametricdependenceon¯ gµν .Tostressthisfactwesometimes write hµν [¯ g] ≡⟨hµν ⟩g forthe1-pointfunction,forexample. Thus,inasense, theBackgroundIndependentquantizationofgravityamounts toitsquantizationonallpossiblebackgroundssimultaneously.
Therearenowtwometricsinthegamewhichareequallyimportant:the background¯ gµν andtheexpectationvalueofthefullmetric,
Alternativelywemayregardtheeffectiveactionasafunctionalofthetwometrics ratherthan hµν and¯ gµν .Wedefine
Becauseofthealmostsymmetricstatusenjoyedbythetwometricswereferto thissettingasthe “bi-metric”approachtotheBackgroundIndependenceproblem. Asforthenotionofan“exactrenormalizationgroup”inquantumgravity,we willintroducetheEffectiveAverageAction(EAA)asascale-dependentversion oftheordinaryeffectiveactionwithabuilt-inIRcutoffatavariablemassscale
k andderiveinparticularafunctionalRGequationforit.Aswewillexplainin moredetailbelow,theconstructionoftheEAAanditsRGequationareonly possibleduetothepresenceoftheclassicalbackgroundspacetime.
Despitetheunavoidablebi-metricappearanceofthebackgroundfieldmethod, theexpectationvalueofthemicroscopicmetric, gµν ,andthevariablebackgroundmetric¯ gµν ,enterphysicalquantities(observables)notindependently butinsteadareconstrainedbyasymmetryrequirement.Obviouslythefull metric gµν ≡ g
+ hµν isinvariantunderthe splitsymmetrytransformation δh
withanarbitrarysymmetrictensorfield εµν .Atthe quantumlevel,thistransformationimpliesWardidentitiesforthe n-pointfunctionsandtheeffective(average)actionsimilartothoseimpliedbygaugeor Becchi–Rouet–Stora–Tyutin(BRST)invariance.Ineithercaseonemustmake surethatintheendthequantumtheoryconstructedactuallysatisfiestheseWard identities.
Inaway,thisisthepointwhereoneispayingthepriceforthemanyadvantagesthebackgroundfieldtechniquebringsabout.However,itwillbecomeclear thatwhiletheextraworknecessarytoimplementsplitsymmetry,andthusBackgroundIndependenceatthequantumlevel,isahardtechnicalchallenge,itdoes notinvolveinsolubleproblemsofprinciple.
1.4AsymptoticSafetyinaNutshell
InthissectionwegiveaconcisepreviewofwhatAsymptoticSafetyisabout. Technicaldetailsandrefinementsareomittedasmuchaspossible.Theywillbe deliveredlateroninthisbook.
(1)Theproblem. TheultimategoaloftheAsymptoticSafetyprogramconsists ingivingamathematicallyprecisemeaningto,andactuallycompute,functional integralsover“all”spacetimemetricsoftheform ∫ Dgµν exp (iS[gµν ]),or
fromwhichallquantitiesofphysicalinterestcanbededucedthen.Here S[gµν ] denotestheclassicalor,morecorrectly,thebareaction.Itisrequiredtobediffeomorphisminvariant,butiskeptcompletelyarbitraryotherwise.Ingeneralit differsfromtheusualEinstein–Hilbertaction.Thisgeneralityisessentialinthe AsymptoticSafetyprogram:theviewpointisthatthefunctionalintegralwould existonlyforacertainclassofactions S andthetaskistoidentifythisclass.
(2)Theproblem,reformulated. Followingtheapproachproposedin[14]one attacksthisprobleminanindirectway:ratherthandealingwiththeintegralper se,oneinterpretsitasthesolutionofacertaindifferentialequation,afunctional renormalizationgroupequation,or“FRGE”.Theadvantageisthat,contraryto thefunctionalintegral,theFRGEismanifestlywelldefined.Itcanbeseenasan
“evolutionequation”inamathematicalsense,defininganinfinitedimensional dynamicalsysteminwhichtheRGscaleplaystheroleoftime.
Looselyspeaking,thisreformulationreplacestheproblemofdefiningfunctional integralsbythetaskoffindingevolutionhistoriesofthedynamicalsystemthat extendto infinitelylatetimes.AccordingtotheAsymptoticSafetyconjecture thedynamicalsystempossessesafixedpointwhichisapproachedatlatetimes, yieldingwell-defined,fullyextendedevolutions,whichinturntellushowtoconstruct(or“renormalize”)thefunctionalintegral.
(3)FromthefunctionalintegraltotheFRGE. Letusnowbeslightlymore explicitaboutthepassagefromthefunctionalintegraltotheFRGE.
(3a)Formalcharacteroftheintegral. Recallthatintryingtoputthepurely formalfunctionalintegralsonasolidbasisoneisconfrontedwithanumberof obstacles:
(i) Asineveryfieldtheory,difficultiesarisesinceonetriestoquantize infinitely manydegreesoffreedom.Therefore,attheintermediatestepsoftheconstructiononekeepsonlyfinitelymanyofthembyintroducingcutoffsatvery smallandverylargedistances,Λ 1 and k 1,respectively.Weshallspecify theirconcreteimplementationinamoment.Theultravioletandinfrared cutoffscalesΛand k,respectively,havethedimensionofamass,andthe originalsystemisrecoveredforΛ →∞, k → 0.
(ii) Wementionedalreadythatthemostsevereproblemoneencounterswhen tryingtoquantizegravityistherequirementof BackgroundIndependence. IntheapproachtoAsymptoticSafetyalongthelinesof[14]wefollow thespiritofDeWitt’sbackgroundfieldmethod[50, 51]andintroducea (classical,non-dynamical)backgroundmetric¯ gµν ,whichiskeptarbitrary. Wethendecomposetheintegrationvariableas gµν ≡ gµν + hµν ,oranonlineargeneralizationthereof,andreplace Dgµν withanintegrationover thefluctuation, Dhµν .Inthiswayonearrivesataconceptuallyeasiertask, namelythequantizationofthematter-likefield hµν inageneric,butclassical background¯ gµν .
Theavailabilityofthebackgroundmetriciscrucialatvariousstagesof theconstructionofanFRGE.However,thefinalphysicalresultsdonot dependonthechoiceofaspecificbackground.
(iii) Asineverygaugetheory,the redundancyofgauge-equivalentfieldconfigurations (diffeomorphicmetrics)hastobecarefullyaccountedfor.Here weemploytheFaddeev–Popovmethodandaddagauge-fixingterm Sgf ∝ ∫ √ggµν FµFν to S where Fµ ≡ Fµ(h;¯ g)ischosensuchthatthecondition Fµ =0picksasinglerepresentativefromeachgaugeorbit.Theresultingvolumeelementonorbitspace,theFaddeev–Popovdeterminant,isexpressed asafunctionalintegraloverGrassmannianghostfields Cµ and Cµ,governed byanaction Sgh
Inthisway(1.3)getsreplacedby Z[Φ]= ∫ DΦexp( Stot[Φ, Φ]).Herethe totalbareaction Stot ≡ S + Sgf + Sgh dependsonthedynamicalfields Φ ≡ (hµν ,Cµ , Cµ),thebackgroundfields Φ ≡ (¯ gµν ),andpossiblyalsoon(bothdynamicalandbackground)matterfields,whichforsimplicityarenotincludedhere.
(3b)Standardeffectiveaction. Usingthegaugefixedandregularizedintegralwecancomputearbitrary(Φ-dependent!)expectationvalues ⟨O(Φ)⟩≡ Z 1 ∫ DΦ O(Φ) e Stot[Φ,Φ];forinstance, n-pointfunctionswhere O consists ofstrings Φ(x1)Φ(x2) Φ(xn).For n =1weusethenotationΦ ≡⟨Φ⟩≡ (hµν ,ξµ , ξµ),i.e.,theelementaryfieldexpectationvaluesare hµν ≡⟨hµν ⟩, ξµ ≡ ⟨Cµ⟩ and ξµ ≡⟨Cµ⟩.Thus,thefulldynamicalmetrichastheexpectationvalue gµν ≡⟨g
+ h
ThedynamicallawswhichgoverntheexpectationvalueΦ(x)haveanelegant descriptionintermsofthe effectiveaction Γ.ItisafunctionaldependingonΦ similartotheclassical S[Φ]towhichitreducesintheclassicallimit.Requiring stationarity, S yieldstheclassicalfieldequation(δS/δΦ)[Φclass]=0,whileΓgives risetoaquantummechanicalanalogsatisfiedbytheexpectationvalues,the effectivefieldequation (δΓ/δΦ)[⟨Φ⟩]=0.
If,asinthecaseathand,Γ ≡ Γ[Φ, Φ] ≡ Γ[hµν ,ξµ , ξµ;¯ gµν ]alsodependsonbackgroundfields,thesolutionsofthisequationinheritthisdependenceandthus hµν ≡⟨hµν ⟩ functionallydependson¯ gµν
Technically,Γisobtainedfromafunctionalintegralwith Stot replacedby SJ tot ≡ Stot ∫ dxJ(x)Φ(x).Thenewtermcouplesthedynamicalfieldstoexternal,classicalsources J(x)andrepeatedfunctionaldifferentiation(δ/δJ)n of ln Z[J, Φ]yieldsthe n-pointfunctions.Inparticular,Φ= δ ln Z/δJ.ItisastandardresultthatΓ[Φ, Φ]equalsexactlytheLegendretransformofln Z[J, Φ],at fixedbackgroundfields Φ.
TheimportanceofΓalsoresidesinthefactthat itisthegeneratingfunctional ofspecial n-pointfunctionsfromwhichallotherscanbeeasilyreconstructed. Therefore,findingΓinagivenquantumfieldtheoryisoftenconsideredequivalenttocompletely“solving”thetheory.
(3c)Notionsofgaugeinvariance. InpracticalapplicationsofΓ[Φ, Φ]itis advantageoustoemployagauge-breakingcondition Fµ thatfixesagaugebelongingtothedistinguishedclassoftheso-called backgroundgauges.Toseethe benefit,recallthattheoriginalgaugetransformationsread δgµν = Lvgµν where Lv,denotestheLiederivativewithregardstothevectorfield v
Whenwedecompose gµν =¯ gµν + hµν wecandistributethegaugevariationof gµν indifferentwaysover¯ gµν and hµν .Inparticular,thisgivesrisetowhatis knownas quantumgaugetransformations,
and backgroundgaugetransformations,
Notethatthe“ordinary”or“true”gaugeinvariancetheFaddeev–Popov methodhastotakecareofisthe δQ-invariance.Itmustbegauge-fixedbythe condition Fµ(h;¯ g)=0.
Interestinglyenough,thereexist Fµ’s,avariantoftheharmoniccoordinate condition,forexample,whichindeedfixthe δQ-transformations,butatthe sametime transformcovariantlyunder δB-transformations: δBFµ = LvFµ.They implementthebackgroundgauges,andfromnowonweassumethatoneofthose isemployed.
Then,asaconsequence,theeffectiveactionΓ[Φ, Φ] isinvariantunder background-gaugetransformations whichincludetheghosts: δBΓ[Φ, Φ]=0where allfieldstransformas δBΦ= LvΦ, δBΦ= LvΦ.
Weemphasizethatthispropertyshouldnotbeconfusedwithanothernotionof “gaugeindependence,”whichtheaboveΓ[Φ, Φ]actuallydoes not have:Itisnot independentofwhichparticular Fµ ispickedfromtheclasswith δBFµ = LvFµ. This Fµ-dependencewilldisappearonlyatthelevelofobservables.
(3d)EffectiveAverageAction. Headingnowtowardtheconceptofa functionalrenormalizationgroupforgravity werecallthattheabovedefinitionof ΓisbasedonthefunctionalintegralregularizedintheIRandUVandhence dependsonthecorrespondingcutoffscales:Γ ≡ Γk,Λ[Φ, Φ].Itisthisobjectfor whichwederiveaFRGE,morepreciselyaclosedevolutionequationgoverning itsdependenceontheIRcutoffscale k.ThisispossibleonlyiftheIRregularizationisimplementedappropriately,asintheso-called EffectiveAverageAction (EAA)[22, 23].
TheEAAisrelatedtothemodifiedintegral,
whosesecondexponentialfactorintheintegrand,containingthe cutoffaction ∆Sk,isdesignedtoachievetheIRregularization.Toseehowthisworks,assume theintegrationvariable Φ=(h,C, C)isexpandedintermsofeigenfunctions φp of thecovarianttensorLaplacianrelatedtothebackgroundmetric, D2 ≡ gµν DµDν Writing D2φp = p2φp wehave,symbolically, Φ(x)= ∑p αpφp(x).The α′ psare generalizedFouriercoefficients,andsothefunctionalintegrationover Φamounts tointegratingoverall αp:
Here SJ tot ′ equals SJ tot[Φ, Φ]+∆Sk[Φ, Φ]withtheexpansionfor Φinserted. In(1.7)weimplementedtheUVregularizationbyretainingonlyeigenfunctions (or“modes”)correspondingto D2-eigenvalues(orsquared“momenta”)smaller thanΛ2.TheIRcontributions,i.e.thosecorrespondingtoeigenvaluesbetween p2 =0andabout p2 = k2 arecutoffsmoothlyinstead,namelybya p2-dependent suppressionfactorarisingfrom∆Sk
ToobtainastructurallysimpleFRGE,∆Sk shouldbechosenquadraticinthe dynamicalfields.Usuallyonesets∆Sk = 1 2 ∫ dx ΦRkΦwithanoperator Rk ∝ k2R(0)( D2/k2)containingadimensionlessfunction R(0).Inthe D2-basiswe havethen∆Sk ∝ k2 ∑p R(0)(p2/k2)α2 p,whichshowsthat∆Sk representsakind of p2-dependentmassterm:Amodewitheigenvalue p2 acquiresa(mass)2 ofthe order k2R(0)(p2/k2).
Werequire R(0)(p2/k2)tohavethequalitativepropertiesofasmearedstep function,which,around p2/k2 ≈ 1,dropssmoothlyfrom R(0) =1for p2/k2 1 to R(0) =0for p2/k2 1.ThisachievespreciselythedesiredIRregularization: Intheproductover p2 in(1.7),∆Sk equipsall ∫ dαp-integralspertainingtothe lowmomentummodes,i.e.,thosewith p2 ∈ [0,k2],withaGaussiansuppression factor e k2 α 2 p sinceforsucheigenvalues R(0)(p2/k2) ≈ 1.The highmomentum modes,having p2 ∈ [k2 , Λ2],yield R(0)(p2/k2) ≈ 0andthusremainunaffected by∆Sk
Atleastonaflatbackground,low(high)momentummodes φp(x)havelong (short)wavelengths.Therefore,whenonelowers k from k =Λdownto k =0one “unsuppresses”modesofincreasinglylongwavelengths,thusproceedingfrom theUVtotheIR.4
Notethatatthispointtheavailabilityofthebackgroundmetriciscrucial forthewholeconstruction:ViatheassociatedcovariantLaplacian D2 it defines whichmodesarehighorlowmomentum.Hence,tuning k fromhightolowscales, thebackgroundmetricalsodecidesinwhichorderthevariousfieldmodesget integratedout.
Thecutoffactionforthegravitationalfielditselfhasthestructure∆Sk ∝ ∫ dx√g hµν R(0)( D2/k2)hµν andhenceisinvariantundergeneralcoordinate transformationsifboth hµν and¯ gµν transformastensors.Thishighlydesirable propertycouldnothavebeenrealizedwithouthavingthebackgroundmetricin thegame.
Thisprocessofencodingthecontributionsfromanincreasingnumberofmodes inascale-dependentor“running”actionfunctionalispreciselya renormalization inthemodernsense duetoWilson[7].
TheEAA,Γk,Λ[Φ, Φ],isdefinedtobetheLegendretransformofln Zk,Λ[J, Φ] givenby(1.7),withrespectto J,for k,Λ,and Φfixed(andwith∆Sk[Φ, Φ] subtractedfromtheresultofthetransformation,whichisnotessentialhere).
4 Thisiscalledthe“integratingout”ofthehighmomentummodessinceinolderapproaches thelowmomentummodeswerecompletelydiscarded,ratherthanjustsuppressed.
TheEAAhasanumberofimportantfeaturesnotrealizedinotherfunctional RGapproaches:
(i) Sincenofluctuationmodesaretakenintoaccountinthe k =Λ →∞ limit, theEAAapproaches(essentially)thebare(i.e.,unrenormalized)action, ΓΛ,Λ ∼ Stot.Inthelimit k → 0,ityieldsthestandardeffectiveaction(with anUVcutoff).
(ii) TheEAAsatisfiesanexactFRGEindependentof S andcanbecomputed byintegratingthisFRGEtowardlow k,withtheinitialconditionΓΛ,Λ = Stot + at k =Λ.(Thedotsstandforacomputablecorrectiontermwhich isunimportanthere.)
(iii) ThefunctionalΓk,Λ[Φ, Φ]isinvariantunderbackgroundgaugetransformations δB forallvaluesofthecutoffs.Thispropertyispreservedbythe FRGE:theRGevolutiondoesnotgenerate δB-noninvariantterms.
(iv) TheFRGEcontinuestobewellbehavedwhentheUVregularizationis removed(Λ →∞).DenotingsolutionstotheUVcutoff-freeFRGEby Γk[Φ, Φ],itreads: k∂kΓk[Φ, Φ]= 1 2 STr [(Γ
HereSTrdenotesthefunctionalsupertrace,andΓ(2) k standsforthematrix ofsecondfunctionalderivativesofΓk withrespecttoΦatfixed Φ.The interplayoftheregulators Rk inthenumeratoranddenominatorensures thattheargumentofthesupertraceisstronglypeakedaround p2 = k2 and vanishesfor p2 ≫ k2.Asaconsequence,thetraceisperfectlyfinitebothin theIRandtheUV,andthisiswhysendingΛ →∞ wasunproblematic.
(v) Atleastinnon-gaugetheories,Γk iscloselyrelatedtoageneratingfunctionalfor fieldaverages overfinitedomainsofsize k 1;hencethenameEAA [22, 23].Thankstothisproperty,whentreatedasa classical action,Γk can provideaneffectivefieldtheorydescriptionof quantum physicsinvolving typicalmomentanear k.Thispropertyhasbeenexploitedinnumerous applicationsoftheEAAtoparticleandcondensedmatterphysics,butit playsnoroleinthepresentcontext.Rather,itisitsinterpolatingpropertybetween S andΓk=0 whichisinstrumentalintheAsymptoticSafety program.
(3e)Theoryspace. ThearenainwhichtheRGdynamicstakesplaceisthe infinitedimensional theoryspace, T .Itconsistsofallwell-behavedactionfunctionals(Φ, Φ) → A[Φ, Φ],whichdependonagivensetoffieldsandrespectcertain subsidiaryconditionsandsymmetryconstraints.Inmetricgravitythe“points” of T are δB-invariantfunctionals A[gµν , gµν ,ξµ , ξµ].
TheRHSoftheFRGE(1.8)definesavectorfield β on T .Itsnaturalorientationissuchthat β pointsfromhighertolowermomentumscales k,fromthe
UVtotheIR.(Thisisthedirectionofincreasing“coarse-graining”inwhichthe microscopicdynamicsis“averaged”overincreasinglylargespacetimevolumes.) Theintegralcurvesofthisvectorfield, k → Γk,arethe RGtrajectories,andthe pair(T , β)iscalledthe RGflow .Itconstitutesthedynamicalsystemalludedto earlier.
(3f)Coordinates,a.k.a.couplingconstants. Oneusuallyassumesthat every A ∈T canbeexpandedas A[Φ, Φ]= ∑∞ α=1 uαIα[Φ, Φ]wheretheset {Iα} formsabasisofinvariantfunctionals.WritingtheRGtrajectorycorrespondingly,Γk[Φ, Φ]= ∑∞ α=1 uα(k)Iα[Φ, Φ],oneencountersinfinitelymany running couplingconstants,¯ uα(k),whose k-dependenceisgovernedbyaninfinitecoupled systemofdifferentialequations: k∂kuα(k)= βα(¯ u1 , u2 , ··· ; k).Thedimensionful betafunctions βα arisebyexpandingtheRHSoftheFRGE: 1 2 STr[ ]= ∑∞ α=1 βαIα[Φ, Φ].Thecoefficients βα aresimilartothefamiliarbetafunctions ofperturbativequantumfieldtheory(where,however,onlythefinitelymany betafunctionsoftherelevantcouplingsareconsidered).
ReexpressingtheRGequationsintermsofdimensionlesscouplings uα ≡ k dα uα with dα thecanonicalmassdimensionof¯ uα,theresulting FRGE incomponentform isautonomous,i.e,.its β-functionshavenoexplicit kdependence: k∂kuα(k)= βα(u1(k),u2(k), ··· ).Thecouplingconstants(uα) ≡ u serveaslocalcoordinateson T ,andthe βαsarethecomponentsofthevectorfield β ≡ (βα(u)).
(4)AsymptoticSafetyconstructionoftheUVlimit. Theconstruction ofaquantumfieldtheoryinvolvesfindinganRGtrajectorythatisinfinitely extendedinthesensethatitisacurve,entirelywithintheoryspace,withwelldefinedlimits k → 0and k →∞,respectively. AsymptoticSafetyisaproposalfor ensuringtheexistenceofthesecondlimit. Itscrucialprerequisiteisanon-trivial RGfixedpointon T
(4a)Fixedpoints. Bydefinition,atafixedpointoftheRGflowthevector field β vanishes, β =0,soitscoordinates(uα ∗ )= u∗ satisfytheinfinitelymany conditions βα(u∗)=0.Thefixedpoints UVcriticalhypersurface, SUV,orsynonymouslyits unstablemanifold,isdefinedtoconsistofallpointsin T ,which arepulledintothefixedpointundertheinverseRGflow,i.e.,forincreasing scale k.
Linearizingtheflowabout u∗ onehas k∂kuα(k)= ∑γ Bα γ (uγ (k) uγ ∗ ) with the stabilitymatrix B =(Bα γ ), Bα γ ≡ ∂γ βα(u∗).Iftheeigenvectorsof B forma basis,itssolutionreads uα(k)= uα ∗ + ∑I CI V α I ( k0 k )θI .Herethe CI ’sareconstantsofintegrationandthe VI ’sdenotetheright-eigenvectorsof B with eigenvalues θI ,i.e., ∑γ Bα γ V γ I = θI V α I .Ingeneral, B isnotsymmetricand the criticalexponents θI arecomplex.
AlongeigendirectionswithRe θI > 0(Re θI < 0)deviationsfrom uα ∗ grow (shrink)when k isloweredfromtheUVtowardtheIR;theyaretermed relevant (irrelevant).
Atrajectory uα(k)within SUV,bydefinition,approaches uα(k →∞)= uα ∗ in theUV.Fortheconstants CI initslinearizationthisimpliesthat CI =0forall I withRe θI < 0.Hence,thetrajectoriesin SUV arelabeledbytheremaining C′ I srelatedtothecriticalexponentswithRe θI > 0.(Forsimplicity,weassume allRe θI non-zero.)
Asaconsequence, thedimensionalityofthecriticalhypersurface SUV equals thenumberofcriticalexponentswith Re θI > 0,i.e.,thenumberofrelevant directions.
Afixedpointiscalled Gaussian ifitcorrespondstoafreefieldtheory.Its criticalexponentsagreewiththecanonicalmassdimensionofthecorresponding operators.Afixedpointwhosecriticalexponentsdifferfromthecanonicalones isreferredtoasnon-trivialorasa non-Gaussianfixedpoint (NGFP).
(4b)AsymptoticallysafeRGtrajectories. Nowwereturntothekeyproblemofensuringtheexistenceofthe k →∞ limit.Soletusassumethatthereis indeedafixedpointoftheRGflowontheoryspace.Thenitissufficienttopick anyofthetrajectorieswithinitshypersurface SUV tobesurethatthetrajectory hasasingularity-freeUVbehavior.Inthiscaseitiscertainthatthetrajectory willalwayshitthefixedpointfor k →∞,thusexcludingthepossibilitythatit ultimatelyleavesthespaceofacceptableactions, T
Thereexistsadim(SUV)-parameterfamilyofsuch“asymptoticallysafe”trajectories.AssumingtheexistenceofasuitableIR-limit,anyofthemconstitutes acompletefamilyofactionfunctionals, {Γk,k ∈ (0, ∞)},whichdescribesthe integratingoutof all modesofthefield,andhencemaybeseenasdefininga quantumfieldtheory.
MostprobablyaUVfixedpointisnotonlysufficientbutalsonecessaryforan acceptabletheorywithoutdivergences.Therefore,inthesimplestcasewhenthere existsonlyone,thephysicallyinequivalentasymptoticallysafequantumtheoriesonecanconstructarelabeledbythedim(SUV)parameterscharacterizing trajectoriesinside SUV
Thus,thedegreeofpredictivityofasymptoticallysafetheoriesisessentially determinedbythenumberof relevant eigendirections.Ifdim(SUV)isafinite number,itissufficienttomeasureonlydim(SUV)ofthecouplings {uα(k)} characterizingΓk inordertopredicttheinfinitelymanyothers.Inparticular,at k =0thestandardeffectiveactionΓ ≡ Γ0 isobtainedwhich“knows”allpossible predictions.
(4c)BackgroundIndependenceofthesecondkind. Theonlyinput requiredinordertostartthesearchforasymptoticallysafequantumfieldtheories
isthetheoryspace T ,i.e.,thedesiredfieldcontentandthesymmetries.Itfully determinesthestructureoftheFRGEand,asaconsequence,theRGflowand inparticularitsfixedpointproperties.
IntheEAAapproach,thefunctionalflowequationwiththeUVregulator removediscompletelyindependentofthebareaction S intheoriginal,merely formalfunctionalintegralfromwhichwestarted.Hence,theentireRGflow andinparticular(ifoursearchissuccessful)itsfixedpointsenjoyanexistence independentofanypreconceivedbareaction,andsothesameistrueforthe asymptoticallysafetrajectoriesrelatedtothosefixedpoints.
Werefertothispropertyas BackgroundIndependenceofthesecondkind.This termexpressestheindependenceofourapproachfromapreferred action,inthe samespiritasthefamiliarBackgroundIndependence(ofthefirstkind)refersto theabsenceofadistinguished metric
(5)Constructionofabareaction. BythegeneralpropertiesoftheEAA inthepresenceofanexplicitUVregulator,thefunctionalΓΛ,Λ ≡ Γk=Λ,Λ for Λ →∞ iscloselyrelatedtothebareaction S ≡ SΛ intheUVregularizedfunctionalintegral,ΓΛ,Λ = SΛ + Thisasymptoticactionshouldnotbeconfused withthelimitΓk=Λ→∞ ofasolutionΓk tothe UVregulator-free flowequation (1.8).Undercertain(technical)conditionsthetwocanberelated,providedone morepieceofinputissupplied,namelyaUV-regularizedmeasure(andofcourse aUV-regularizationscheme,inthefirstplace).Theinformationcontainedin anasymptoticallysafetrajectoryΓk nearthefixedpointshouldthensuffice todeterminehowtheΛ-dependentcouplingsinthebareaction SΛ→∞ must betunedsothat,togetherwiththeparticularmeasureselected,amathematicallywell-behavedfunctionalintegralarisesinthelimitΛ →∞.Thislaststep intheAsymptoticSafetyprogramissometimesreferredtoasthe reconstruction problem,i.e.,thetaskofaposteriorifindingabare,or“classical”theorythat reproducesagiveneffectiveone.
Thus,contrarytotheusualsituationinquantummechanicsorquantumfield theorytheimplicitlyunderlyingclassicaltheoryisactually computed here.Itis anoutputratherthananinput,givingspecialpredictivepowertotheapproach. BasedontheEAA,theAsymptoticSafetyprogrammaybethoughtofasasystematicresearchprocessamongquantumtheories,ratherthanthequantization ofaclassicalsystemknownbeforehand.
Ithasbecomecustomarytocall QuantumEinsteinGravity,orQEG,anyquantumfieldtheoryofmetric-basedgravity,regardlessofitsbareaction,whichis definedbyacompletetrajectoryonthetheoryspace T≡TQEG.Soconceptually QEGhasapriorinoreasontoberelatedtothefamiliarEinstein–Hilbertaction, oranyothersimplediffeomorphisminvariantfunctionalofthemetriconemight guessnaively.
Another random document with no related content on Scribd:
Jatkaa kolmas jaksajista: "Koska teitä kuulen, heräjän kuin horroksista, päättyneen jo luulen, tämän pitkän tähtiretken, tulleen elon juhlahetken.
Autuaammat ootte mua: teitä vaivaa Henki, mua, maahan vangittua, valta ainehenki, kauneus ja kaiken kaiho, mitä kukkii luonnon laiho.
Sielustain en vielä riistä siemeniä vaiston, vaikka tiedän, että niistä varttuu vilja taiston, nuo kun voitan voimat elon, kukistan myös kuolon pelon."
Pysähtyi jo tähti pyhä, tietäjille näytti, mitä kukin etsi yhä, mikä mielen täytti, kaikui heille kaikkialta sopusoinnun suuren valta.
Heilimöivät henki, aine heille kerran yhteen, lauloi rinnan riemulaine siemenestä lyhteen, joka kelpas jumalille, mutta kasvoi ihmisille. 1916.
Kulkuset. Muistan, kuinka lasna muinen taivon tähtiä tähysin, elon etsin arvoitusta tuoltapuolelta elämän.
Mitä löysin? Miettehiä raskasmielisen sydämen, autiutta ilman aavan, illan tummuvan tuloa, varjoja piteneviä, päiviä lyheneviä, kaiken kaunihin menoa, jähmetystä jään ikuisen.
En totuutta nimeksikänä, viisautta vähemmän vielä.
Kuuntelen nyt kulkusia, tiukuja elon iloisen, soipien, soreaäänten, kyläteillä kiitävien.
Mitä löydän? Vaikka onkin lumi valkea kujilla, mennytkin minun kesäni, löydän kukkivan elämän, luonnon laajan, Luojan suuren, kuulen kaikkeuden sävelet, tunnen riemut ihmisrinnan, tuhat tuskaakin totista.
Päivä päivältä enemmän arvailen elämän arvat.
Enkä syrjässä alati istu, kuule ikkunasta, valjastan runonkin varsan, istun itse korjahani, annan tiukujen helistä, joulukulkusten kulista, käyn kera ilohon, ajan taloihin Tapanin kanssa.
1916.
Tuli ja rauta
Joulu Belgiassa.
He asuivat kaikessa rauhassaan, he raatoivat, tekivät työtä, tulet hehkuvat heidän tehtaistaan ylt'ympäri valkaisi yötä; he padoin sulkivat valtameren. Ken sulkee, ken sulkee nyt
syyttömän veren, jota pellot poljetut huppeloi, mi huutaa, min huuto taivohon soi? Laps siellä nyt itkee taattoaan, emo miestänsä miekkavyötä.
Tääll' lepäävät arki-askaret, maa nauttivi joulurauhaa, kyläteillä kaikuvat kulkuset vain lapsuus-iloa lauhaa; siellä soi sota täydellä voimallansa, koko kansa on häädetty kodeistansa, ei rauhan, vaan kuolon enkeli yli talvisten tannerten kulkevi; siell' lepää myös arki-askaret, mut tykkien jylinä pauhaa.
Meille oikeutta, totuutta opetetaan ja ijäistä ihmisyyttä, miten miekkojen asia päällä maan on suojata syyttömyyttä; siellä itse on oikeus kattoa vailla, monet hoippuvat haudoilla haamujen lailla yli kumpujen käy kuin huokaus: ei koita kansojen vapautus! Siellä miekan oikeutta opetetaan, miten kansa kuolevi syyttä.
Ah, tähdet kaunihit, kirkkahat vilun pohjolan viitojen yllä, te Karman korkeat taivahat, sen näätte ja kuulette kyllä, väkivalta nyt riehuu, on ihmiset hullut, tää tähti, tää tahti on hulluksi tullut, te sinne kauneimmin kaartukaa, missä raunioina on rakkain maa; tänä yönä on tähdet kirkkaimmat polon Belgian kenttien yllä. 1914. Europa 1915.
Sata vuotta sitten: Napoleon ja Metternich, Pyhä liitto, ei unhotu Waterloo, Wellington, ei Moskovan surmaniitto, ne painuivat maahan ja hurmeeseen, ne nousevat aikojen takaa kuin muistelot murheiden, vapauden, kuin kansojen vartio vakaa.
Ne sortui, ne soturit urheat, se kaatui, se vanha kaarti, mut raukesi pilvetkin raskahat, jotka Europan taivaan saarti, jos hukkuikin hankihin Grande armée, jos Vive l'Empereur ei soinut, jäi kansoille usko vapauteen, jota murtaa ei vuossata voinut.
Taas surmaa pauhaavat tykkien suut, rajat maiden ja kansojen siirtyy, nyt Kitchner, Shilinski, Joffre ja muut nimet Klion kirjahan piirtyy, taas kärsivät, kuolevat miljoonat, taas vaarass' on kansojen vapaus. Mitä eessä on? Vaiensi profeetat tää aikojen ankarin tapaus.
Koko Europa vaieten vartoo niin, vain miekoilla on puhevuoro, soi Ranskan virroilta Weikseliin nyt vuossadan jättikuoro, maat järkkyvät alla armeijain, sota soi meren yllä ja alla, ja päällä kirkkojen korkeain käy taistelo taivahalla.
Mut kansain on vapaus loukkaamaton! Miten vaihtuukin tappio, voitto, ijät kaiket taivahan kaarista on tuo kaikuva syyttävä soitto: Itävalta hyökkäsi Serbiaan, meni Saksa Belgian sotaan, on häpeä iskeä heikompaan, ken kaatuukin miekan otaan.
Valkeat hanget.
Valkeat hanget mustan maan, toitteko rauhan maailmaan?
— "Emme, me peitimme vain veret, rauniot, ruhjotut ruumiit, asunnot autiot."
Valkeat hanget mustan maan, teidät ken tänne kutsuikaan?
— "Tulimme tuulien, tähtien teiltä, tuomahan valkeita viestejä heiltä."
Kuinka kuuluvi viestinne?
— "Näe ja katso ja kuuntele!"
Ymmärrä teidän en kieltänne mykkää vaikka se tuhanten tuskia sykkää.
— "Tulimme tuomahan unhoitusta, kaivannee sitä maailma musta."
Liian on viestinne varhainen!
— "Varromme, siks kuin on hetki sen."
Taidatte saada vartoa kauan, aika on myrskyn, aika on rauan.
"Myrskyn ja rauan on tehtävä ratkaista, elon ijäisen kulkua katkaista."
Voi suvi tulla ja talvi uus — "Palaamme jälleen kuin ikuisuus."
1915.
Surma hiihti suota myöten… (1915).
1.
Kimmelsi kiteet.
Kimmelsi kiteet, miekkoina iskivät mielipiteet, välkkyi aattehen ankara teräs, nukkuva nousi, hengetön heräs, kasvoivat kansat jo oikeutta kohti, kullakin Vapaus tähtenä hohti.
Niin silloin tulikin Surma.
Välkähti rauta, aukesi myös monen aattehen hauta, haihtuivat ilmahan tuulien tuvat, lempeät haaveet, kaunihit kuvat; taas oli taivas kirkas ja seijas, kuoleman henki vain kummuilla leijas
Kimmelsi kiteet.
Ratsumies.
— Minne riennät, ratsumies?
"Kuolemahan kukaties."
— Sinnekö niin kiire sulla?
"Tahdon eellä muiden tulla."
— Tuonelaanko tummaiseen?
"Vievät voitonseppeleen!"
— Tuonko riennät riemun tähden?
"Seppelpäänä täältä lähden."
— Vaan jos kaadut etkä voita?
"Tahtoani kunnioita!"
— Tahtoasi tuhkaks tulla?
"Ei lie vaalin valta mulla."
— Jos ei sulla, kellä sitten? "Tutki juoksut jumalitten!"
— Tutkin poves pohjaan asti. "Sinne Luoja tiensä rasti."
— Rakkaus on Luojan rata. "Oppinut en parempata."
3.
Äiti ja lapsi.
Tuli tuvan ovelle Surma.
Äkkäs äidin lapsinensa istumassa ikkunassa, viittas, nosti viikatteensa: "Lempeä lepo Manalan."
Liikahda ei äiti, lapsi.
Tutki Tuoni tarkempahan: kuolleet kumpikin olivat!
Tuumi tuota hetken, kaksi, jop' on muistui mielellensä hiihtäjätoveri toinen, Tauti, käyjä talviteiden.
Paukahteli kiuas kylmä: "Nää ei Taudin tappamia."
Tutki Tuoni tarkempahan: "Niinpä Nälkä ne näversi."
Hanki haastoi ikkunalta: "Viel' oli kapea kakku."
Tutki Tuoni tarkempahan: näki reijän pienenpienen puhki äityen povesta, halki lapsen hartioista.
Jop' on tunsi tuttavansa, irvisti ikeniänsä:
"Sota, sorja veikkoseni, aina eelleni ehätät, kuljet tuulen teitä myöten, riennät sa ratoja myrskyn, isket inhat, isket vanhat, poiatkin emon povelta."
Läksi tuosta läylimielin saloa samoamahan, kentän poikki potkimahan, eilisen kahakan kentän.
4.
Pääkallot.
Jo hanki haihtuu, lähtee jää, pääkallot suosta irvistää, ne kysyy toinen toisiltaan: — "Mink' olet mies sa vieraan maan?"
Ei tunne toinen toistansa, mut kaikki korjas kuolema, nyt kaikk' on samankaltaiset:
— "Sua tunne en, mua tunne et."
— "Ma sodin vuoksi synnyinmaan.
— "Ma pyrin sankarkunniaan."
— "Ma eestä ihmisyyden löin."
— "Ma sotamiehen leipää söin."
Suo sulaa, hanget haipuvat, pääkallot mutaan vaipuvat, vain poreet sieltä täältä käy, ei kohta heitä ketään näy.
5.
Nykyaikainen Ikarus.
Sain ma siivet aurinkoon, itse ilman herra oon, ukkoselta vaajat vienen, jumalaksi luotu lienen.
Minkä tahdon, sen ma voin: päiden päällä salamoin,
isken maihin ihmisien, katot särjen kaupunkien.
Suitsen surmaa helmastain, tapan, ketä tahdon vain, aseellista, aseetonta — niitä jo ma niitin monta.
Vuosisatain unelman, toivon pitkän toteutan, niinkuin lintu lennän, liidän, kimppuun ihmiskunnan kiidän.
Kunniaani laulakaa kaikki kansat, kaikki maa, kiitostani veisatkaatte, silloin tekin siivet saatte!
Eri tilaisuuksiin
Kotikansalleni.
Niin, sinne mun mieleni palaa, pois rannoille rakkahan Pohjanmaan, niin, siellä mun aatteeni kulkee, kuink' kaukana itse ma kuljenkaan; siell' äärillä virtojen vaahtoavain talot vilkkuvi koivujen takaa, siellä hehkun sain minä heimoltain, ja siellä mun maammoni makaa.
Niin jylhät siellä on korvet ja kodit on köyhät ja matalat vaan, mut kodeiss' on lämpimät liedet ja Jumalan pelkoa julistetaan; siellä muistoja aikojen menneiden isät harmajat haastavi illoin, ja poikasten veret poskillen niitä kuullessa kohoo silloin.
Isät harmajat muistoja haastaa, mut pohjolan valta on vastaisuus, ja isien intoa kuullen näin vaieten vannovi polvi uus: "Se maa, joka huovien hurmeet joi, kun Suomessa aik' oli ankee, joka johtajat toi, sotatorvi kun soi, pian meille, meille se lankee.
Pian meitä se taistohon kutsuu. Isänperinnöt vaatii, ne velvoittaa, ja sen ei velk' ole pienin, kelle kerran on kuuluva Pohjanmaa. Mut äärestä äärehen kyntäen sen me pelloksi, puistoksi luomme, joka torpallen, tiet tietojen, joka rintahan riemun tuomme."
Näin vaieten vannovat nuoret. Mut illalla honkia Pohjanmaan kun kuuntelet vaarojen alla, ne kuiskivat hiljaa ja vakaisaan: "Niin oikein, nuoret, kun vanhojen tavan tuon te muistatte vainen, koko Suomea ken kynti parhaiten, oli parhain se pohjalainen." 1897.
Henrik Ibsen
20/3 1828 — 20/3 1898.
Aina kun häntä ma aattelen, niin aattelen suurta vuorta, min huippu on lunta ja jäätä vaan, mut juuri nurmea nuorta.
Ja vuori hän onkin, hän sankari on ja niitä on Norjassa monta — mut yhtään ei niin ylpeää, niin vankkaa, vaappumatonta.
Hän seisovi niinkuin Dovrefjeld ja katsovi kääpiö-aikaa, ja kansa kertovi kammoksuin, että vuoressa siinä on taikaa.
Se tunturi heimoa hiisien on, on jättien juurta ja helmaa, se kutsuvi Alppeja kummikseen ja serkukseen Sulitelmaa.
Ei aina se vanha Dovrefjeld ole ollut jäätä ja lunta. Sen sydän on ollut nuori ja hellä, on sykkinyt suurta unta.
Se tahtonut nousta on taivaaseen, mut pilvihin tuskin pääsi, kun Luoja jo rohkean rankaisi ja lämpimän lumeksi sääsi.
Nyt lumessa seisovi Dovren ukko, on seisonut vuosia monta, niin pitkää, kylmää ja kaameaa, niin yöllistä, ilotonta.
Älä astu veikaten vuoren luo, kun aika on ankara tällä, se puhuvi vaan lumivyöryillä ja ukkosen jylinällä.
Mut välistä, laaksossa lauletaan, kun ilta himmeä lankee, niin tuolla vanhassa vuoressa käy kuiske niin kumma ja ankee.
Ja on kuin lapset ne laulaisi, suvituulet tuutisi viljaa, ja on kuin liikkuisi Dovrefjeld — taas sitten kaikki on hiljaa.
Ja kansa se laulavi lauluaan ja laulu on laakson kukka. Mut lumessa seisovi Dovrefjeld ja lumessa Dovren on tukka.
Tiedon tultua Z. Topeliuksen kuolemasta.
Läksi lintu kotivaaran alta, koivu kaatui lahden rantamalta, jonka alla torpan lapset leikki, jota kuuli Maija, Liisa, Heikki.
Lintu lauloi kaukomaailmasta, koivu kuiski kultataivahasta, töllit avartui ja kuvat kulki, sydän nuori kaikki sisääns' sulki.
Ken nyt laulaa töllin lapsosille, ken nyt kuiskii salon kuuleville?
Vaan jos koivu kaatui, lintu lähti, elää koivun päällä koiton tähti.
Elää ehtootähti armahainen, tähti ihmisyyden ihanainen, tähti ihanteiden, innostuksen — elää tahti Zachris Topeliuksen.
1898.
Hymni Z. Topeliuksen haudalla.
Nukkuos alla kukkaisen kunnahan, nukkuos niinkuin helmassa äidin armaan. Helppo on maata päivätyön tehneen; rauha on palkka raatajan parhain.
Kuolema kulkee, kaatuvi kukka, puu. Kansansa helmaan kaatuvi kansan urho. Nukkuos jälkeen päivätyön pitkän, nukkuos, lämmin on helma Suomen.
1898.
Pellervon laulu.
Maa on mainio meill', elo elpynyt ympäri maata, tehtahat jyskyen käy, pieneksi pirstou puu.
Korskuvi rautaiset orhit ja kaupungit uljahat kasvaa. Kuulkatte kuitenkin oi, Maa-emo haastavi näin:
"Aatran, aatran on valta ja pellossa Suomen on ponsi!
Maita ken kyntämähän? Kauan jo kaivattu on."
Terve, tervepä siis, sinä Pellervo, peltojen poika, ken tuhatvoimilla käyt turvetta kääntämähän.
Kylväös siementä maahan ja siementä kansani mieleen: Pois raja-riitaisuus! Hengen on vainto yks.
Toimi kuin mielevä mies, käy kauppaa yhteisin voimin.
Auta itseäs, niin Herrakin auttajas on.
1899.
Nuorten kiitos Ida Aalbergille.
On monta kansan neuvojaa ja monta maassa Jumalaa ne julistaa. Mut yks on neuvo nuorilla, kun aik' on ahdas matala: Se laajenna! Ja yksi vaan on urhon työ, kun häntä uhkaa peikot yön: Ne maahan lyö!
On monta rinnan riemua ja monta mielen murhetta ja pettymystä pelkkää. Mut yks on juhla nuorten, oi, kun sotalaulut maassa soi, kun pitkin linjaa salamoi ja hengen miekat helkkää.
Ja moni suihki säilä jous, ja monta miekkaa maassa nous ja monta urhon rintaa. Mut yksi nousi nainen vaan, mi säilän tempas huotrastaan, min maine kulki kautta maan ja piirsi merten pintaa.
Yks vaan on neuvo nuorilla, kun aik' on ahdas, matala: Se laajenna! Ja yks on Ida Aalberg vaan, mi monta rintaa laajentaa ja suureks saa. Ja siksi suusta monien nyt kuule kiitos yhteinen, tää toivo sataintuhanten: Hän kauan eläköön! 1899.
Kun saapuu Herra Zebaoth
Kun saapuu Herra Zebaoth, maan kruunut, vallat vaviskoot, Hän oikeuden Herra on ja kantaa kalpaa tuomion.
On maassa paljon murhetta.
O, kuule kansas huutoa!
Sun sanahas me luotamme, ei koskaan, koskaan järky se.
Äl' itke, kansa onneton!
Sun rukoukses kuultu on.
Jo Herran miekka välkähtää ja päättyy tuskan päivät nää.
1899. Hymni.
Nouskaa aatteet murheiden alta Luojan luokse niinkuin
nousee usmat yöni Kummut, maat kaikki itkee, huokaa niinipuu, maamies käy surren pitkin pellonpiennartaan. Anna, Herra, armosi paistaa! Taivahalla kaaret kauniit kimmeltää.
Eero Erkko.
Kävi myrsky, kun lippusi tankohon tartuit, nous taistelon lainehet korkealle, mut et sinä sortunut aaltojen alle, vaan kuohuissa seisoit ja kasvoit ja kartuit.
Tuli tyyni, — ja moni, jot'ei murtanut myrsky, nyt sortui tyynessä, veltossa veessä, mut ain oli Erkko joukkonsa eessä, oli aurinko mailla tai hyökäsi hyrsky.
Näin seisoi hän kohta jo kymmenen vuotta. Nyt kaatunut on hän. Ken hänet kaasi?
Sa ääneti seisot. On vastaus suotta.
Sun puolestas vastaa kansas ja maasi.
1900.
Proloogi
Tampereen teatterin avajaisiin 8 p. syysk. 1904.
Aatra, käyvä kynnökselle, lippu, luotu liehumaan, pyhä viiri, pystytetty sydämehen Hämeenmaan, lyylilehto laulun laajan, sanan soipa pyhäkkö, taimi taiteen suomalaisen, Suomen nuorin näyttämö!
Näin ma tähden lentäväksi, lensi suoraan sydämeen, käen kuulin kukkuvaksi yli syksyn synkän veen, tunsin posken tulta saavan, poven käyvän kukkasiin, — tiesin tuosta: taitehelle, jumaloille juhlittiin.
Suur' on taiteen valtakunta, mahtuu sinne maailmat, mahtuu nuoret, mahtuu vanhat, mahtuu köyhät, rikkahat, mahtuu kaikki onnen osat, riemu, murhe, kevät, syys, yksi vaan ei sinne sovi: sydän ahdas, itsekkyys.
Tasa-arvoisuus on täällä! Jumaluutta palvellaan. Aatos pienin, salaisinkin tuodaan julki, tuomitaan, tutkitahan töiden synnyt, syytkin: voiton seppelen saa, ken ollut elämässä enimmän on ihminen.
Onpa vakaa taiteen valta, on sen säädöt ankarat: ihmiskunnan parhaat henget tuomareina istuvat, auki sydänten on laki, vakavanha, aina uus, toinen todistaja aika, toinen — iankaikkisuus.
Eessä taiteen jumaloiden niinpä nöyrry, ihminen Astu taiteen taikapiiriin niinkuin Herran huoneesen! Näyttämö on pyhä paikka, kieli sen on kalleus, sana, kansan omatunto, ajan hengen heijastus.
Kaitse, kaitse kalleuttas, Suomen nuorin näyttämö! Laiminlöisit laulun kielen, vihastuisi Väinämö.
Vaali isän, äidin kieltä, että orpo suojan sais, ettei itkis ihanainen, ettei kaunis karkkoais.
Taitehessa kansa laatii ihanteensa ikilait, taitehessa kansa puhuu, kun on ihmiskielet vait, taitehessa kansa tuntee kauneimpansa päällä maan, taitehessa kansa elää, kukkii vielä kuoltuaan.
Salome.
Aino Acktelle omistettu.
Salome, sa hurmasit meidät sotakirkkailla soinnuillas, Salome, sa surmasit meidät punahuulillas, hunnuillas; kun kauneus, luonto ja taide noin yhtyvät liittohon, profeetat on vaarassa silloin, moni valtias voimaton.
Joka liikkeesi jousena taipui, joka äänesi tiukuna soi, joka askelees oli laulu, joka elkesi kuvia loi. Kävi katsomon halki kuin henkäys lie unta tää armasta vaan, hän Suomesta Europan loihti, vei Suomen hän Europaan!
1910.
Savonlinnan laulu.
Juhlaruno laulu- ja soittojuhliin 4—6.7.1913.
Oli kerran — ah, mene mielestäin se milloinkaan ei ehtoo — näyn näin minä näillä silmilläin, kun katselin rannan lehtoon.
Tuli rantahan morsian seppelpää — oli salmi ja salmessa saari — suvi-illan ilmahan istahti tää kuin korkean taivaan kaari.
Hän lauloi laulun kummallisen — mene milloinkaan ei ehtoo — Hän lauloi: "Vei vesi kaunehen, sitä kaivaten kuljin ma lehtoon.
Sitä säilytin kerran ma sydämelläin — oli saari ja saaressa linna — minä elämän onnesta orvoksi jäin, en löydä ma riemua rinnan.
Minä luulen, se oli minun vapautein suru milloinkaan ei suistu — mull' ei ole aamua, iltaa ei, jona ei se mielehen muistu.
Näät kun olin nuori ja onnellinen — mene milloinkaan ei ehtoo — oli vapaus solkeni sorjin, sen minä hukkasin rannan lehtoon.
Tai aaltojen alle se pudonnut lie — oli salmi ja salmessa saari —
