Teorema de Pitรกgoras
Índice 1. Teorema de Pitágoras; 2. Determinação da hipotenusa; 3. Determinação do cateto; 4. Aplicações do teorema de Pitágoras; 5. Diagonal de um paralelepípedo e de um cone; 6. Teorema de Pitágoras e áreas; 7. Teorema de Pitágoras e área de um trapézio; 8. Decomposição de figuras e áreas; 9. Triângulos semelhantes; 10.Critérios de semelhança de triângulos; 11. Relação entre perímetros e áreas de triângulos semelhantes; 12.Semelhança de triângulos e Teorema de Pitágoras
Teorema de Pitágoras • Cálculo de áreas
A área do quadrado maior é igual áreas dos outros dois quadrados
Teorema de Pitágoras • Um teorema é uma afirmação que para ser aceite tem que ser demonstrada Hipotenusa Cateto
Cateto
Num triângulo rectângulo a hipotenusa ao quadrado é igual à soma dos quadrados dos catetos h2 = c2 +c2
Demonstração
Temos dois quadrados iguais de lado a+b. Todos os triângulos rectângulos marcados em ambos os quadrados são iguais (a e b são os seus catetos e c a hipotenusa). O primeiro quadrado é formado por quatro triângulos e por um quadrado de lado c, pelo que a sua área é c2 + 4(ab/2) = c2 + 2ab. O segundo quadrado é formado por dois quadrados de lados a e b e por quatro triângulos. Logo, a sua área é dada por a2 + b2 + 4(ab/2) = a2 + b2 + 2ab. Igualando ambas as expressões, temos c2 + 2ab = a2 + b2 + 2ab ou seja, a2
+ b2 = c2.
Determinação da hipotenusa • Como calcular a hipotenusa conhecendo o comprimento dos catetos?
c ?
b
2
2
2
c =a +b ⇔ 2
a
⇔c=± a +b
2
Nota: rejeita-se a solução negativa porque estamos a trabalhar com comprimentos
Aplicações do teorema de Pitágoras • Como verificar se um triângulo é triângulo rectângulo?
2
8cm
5cm
3cm
2
2
5 +3 =8 25 + 9 = 64 34 = 64
Falso, logo o triângulo não é rectângulo
Aplicações do teorema de Pitágoras • Qual o comprimento de uma diagonal de um quadrado de lado 5cm?
x 2 = 52 + 52 ⇔ 5cm
x
⇔ x 2 = 25 + 25 ⇔ ⇔ x 2 = 50 ⇔
5cm
⇔ x = ± 50 ⇔ ⇔ x = 7.07cm Valor aproximado a 2c.d
Valor exacto
Determinação de um cateto • Observa: a
2
2
2
a +b =c ⇔ b c
2
2
2
⇔ a =c −b ⇔ 2
⇔ a = ± c −b
2
Exemplo prático • Qual o desnível da estrada?
x 2 + 102 = 122 ⇔ ⇔ x 2 = 122 − 102 ⇔
x?
12m 10m
⇔ x 2 = 44 ⇔ ⇔ x = ± 44 ⇔ ⇔ x = 6,63m
Exemplo prático • Considera um triângulo equilátero com 6 cm de lado.
6cm
6cm
x 3cm 6cm
Qual é a altura do triângulo?
x 2 + 32 = 62 ⇔ ⇔ x 2 = 62 − 32 ⇔ ⇔ x 2 = 36 − 9 ⇔ ⇔ x 2 = 27 ⇔ ⇔ x = ± 27 ⇔ ⇔ x = 5.20cm
Aplicações do teorema de Pitágoras • Exemplo 1 (manual)
x 2 + 1.22 = 1.52 ⇔ x
⇔ x 2 = 1.52 − 1.22 ⇔ 2
2
⇔ x = 1.5 − 1.2 ⇔ ⇔ x = 0. 9 m
2 × 0,9 + 4 × 0.1 + 2 × 1.2 + 1.5 = 6.1m
Aplicações do teorema de Pitágoras • Exemplo 2 (manual)
3cm 4cm
P = 12 + 5 + 15 + 4 = 36cm
Resolução de problemas usando o teorema de Pitágoras • Diagonal de um paralelepípedo
x 2 = 82 + 32 ⇔ 2
⇔ x = 73 ⇔ 5cm
D?
x 8cm
3cm
⇔ x = 73 2
2
D = 73 + 52 ⇔ ⇔ D 2 = 73 + 25 ⇔ ⇔ D 2 = 98 ⇔ ⇔ D = 98 = 9.9cm
Resolução de problemas usando o teorema de Pitágoras • Diagonal de um paralelepípedo
D?
D 2 = 82 + 32 + 52 ⇔ 5cm 3cm
8cm
⇔ D 2 = 98 ⇔ ⇔ D = 98 ⇔ ⇔ D = 9.9cm
Resolução de problemas usando o teorema de Pitágoras • Volume de um cone recto Para calcular o volume temos de calcular o raio
10cm
8cm r
1 V = Ab × h 3
r 2 = 102 − 82 r 2 = 36
Área da base
Altura
1 V = × Π × 62 × 10 3
r = 36 = 6cm V = 1130.98cm3
Cálculo de áreas • determina a área do triângulo 1º determina-se a altura do triângulo 10cm
10cm h 16cm
8cm
2º determinar a área do triângulo
h 2 = 102 − 82 ⇔ ⇔ h 2 = 36 ⇔ ⇔ h = ± 36 ⇔ ⇔h=6
base × altura A= 2 16 × 6 A= = 48m 2 2
Cálculo de áreas • determina a área do triângulo isósceles 1º determina-se a altura do triângulo
h 2 = 52 − 32 ⇔ 5cm
⇔ h 2 = 16 ⇔
h
3cm
5cm
2º determinar a área do triângulo
⇔ h = ± 16 ⇔ ⇔h=4
8× 4 A= = 16cm2 2
Cรกlculo de รกreas โ ข determina a รกrea da figura
Teorema de Pitágoras e área de um trapézio • Observa a figura e determina a sua área 3cm
13cm
3cm 5cm
5cm 7cm 13-7=6 6:2=3cm
x 2 + 32 = 5 2 x 2 = 5 2 − 32 x 2 = 16 x = ± 16 x = 4cm
1º PASSO – decompor a figuras em 2 triângulos e num rectângulo 2º PASSO – determinar a altura dos 2 triângulos 3º PASSO – calcular as áreas
A
3×4 3×4 trapézio = + + 7×4 2 2 2
A = 40cm
Teorema de Pitágoras e área de um trapézio • Observa a figura e determina a sua área 3cm
13cm
3cm 5cm
5cm 7cm 13-7=6 6:2=3cm
x 2 + 32 = 52 x 2 = 52 − 32 x 2 = 16 x = ± 16 x = 4cm
1º PASSO – determinar a altura do trapézio 2º PASSO – calcular a área aplicando a fórmula
Área do trapézio
B+b A= ×h 2
Base grande
Base pequena
13 + 7 A= × 4 = 40cm2 2
Decomposição de figuras A = A1 + A2
• Área de um terreno:
7 × 24 A1 = = 84m 2 2
D A
2
2
BD = 7 + 24 2
BD = 625 BD = ± 625 BD = 25m
A1
A2
15 × 20 A2 = = 150m 2 2
C
2
2
BC + 20 = 25
2 B
2
2
BC = 252 − 202 2
BC = 225 BC = ± 225 BC = 15m
A = 150 + 84 = 234m 2
Casos de semelhanças de um triângulo 2. Dois triângulos são semelhantes se têm dois ângulos iguais
a
b
a
b
Casos de semelhanças de um triângulo 1.
Dois triângulos são semelhantes se têm os três lados proporcionais C
AB AC BC = = DE DF EF
F
A
B
D
E
Casos de semelhanças de um triângulo 3. Dois triângulos são semelhantes se têm
um ângulo igual e os lados proporcionais C
AB AC = DE DF
F
a A
a B
D
E
Problemas resolvidos • Observa a figura. Qual a largura do rio? 1º Passo – Verificar se os triângulos são semelhantes Critério aplicado - dois ângulos iguais nos dois triângulo: Ângulos verticalmente opostos
CBˆ A = CPˆ B = 90 º
ACˆ B = PCˆ J
2º Passo – Aplicar as proporções
20 5 x = ⇔ 3 x = 20 ⇔ x = = 6,7(1c.d .) 3 3 4
R: a largura do rio é aproximadamente 6,7 metros
Problemas resolvidos
• Qual o diâmetro do lago? M e N são os pontos médios dos respectivos segmentos 1º Passo – Verificar se os triângulos são semelhantes Critério aplicado - dois lados proporcionais e o ângulo por eles formado igual:
Ângulo igual e os lados que formam este ângulo são proporcionais
CBˆ A = NBˆ A BC = 2 × NB AB = 2 × MB 2º Passo – Aplicar as proporções
AC 15 = ⇔ 7,5 AC = 75 ⇔ AC = 10 5 7,5 R: O LAGO TEM 10 METROS DE DIÂMETRO
Razão de semelhança • Observa os seguinte triângulos 3
A 4
5
6
10 B
15 9
C
8
Qual a relação entre o triângulo A e o B?
12
Qual a relação entre o triângulo A e o C?
Facilmente se concluí que os comprimentos do triângulo B foram multiplicados por 2 e os do triângulo C foram multiplicados por 3. O que acontece à relação entre os perímetros?
PB 24 = =2=r PA 12
PC 36 = =3=r PA 12
A razão entre os perímetros é de A e B é r
Razão de semelhança • Observa os seguinte triângulos
3
A
5
6
10 B
4
9
C
8
Qual a relação entre as áreas dos triângulo A e o B?
AA =
15
3× 4 = 6cm2 2
AB =
12
Qual a relação entre as áreas triângulo A e o C?
6×8 = 24cm2 2
AB 24 = = 4 = r2 AA 6
AC =
12 × 9 = 54cm2 2
AC 54 = = 9 = r2 AA 6
A razão entre os Áreas é de A e B é r2
• Um problema dois processos para resolver. O triângulo A é rectângulo? e o triângulo B? 1,5cm
2cm
A
4,5cm
B
6cm
2,5cm 7,5cm
2.52 = 22 + 1,52
Conclusão, triângulo A é rectângulo.
6.25 = 6.25
E o triângulo B? será rectângulo? Aplicar novamente o teorema de Pitágoras
2
2
7.5 = 6 + 4,5 56.25 = 56.25
2 Conclusão
Utilizar um critério de semelhança (L.L.L)
O triângulo B é rectângulo
7.5 6 4.5 = = 2.5 2 1.5 3=3=3
Teorema de Pitรกgoras
FIM