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Equações 9º Ano

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Nesta apresentação pode ver:  Equações do 2º grau do tipo ax2= b

com a ≠0

 Equações do 2º grau do tipo ax2+ bx = 0 com a ≠0  Equações do 2º grau do tipo ax2+bx + c = 0 com a ≠0  Equações do 2º grau e fórmula resolvente.  Número de soluções de uma equação do 2º grau.  Resolução de problemas geométricos usando

equações do 2º grau.  Resolução de problemas e equações do 2º grau.


Equações 9º Ano Tema 1 Equações do 2º grau. Equações do tipo ax2 = b, b ≠ 0 anterior

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Equações do 2º grau ax2 = 0 , a ≠ 0 Exemplo 1) Qual o número cujo quadrado é 64? x2 = 64 x = ± 64 x =±8 


Equações do 2º grau ax2 = 0 Exemplo 2) Qual a altura do poste? x2 = 42 - 32 x = 7 x ≅ 2,65m 

4m

3m

?


Equações 9º Ano Tema 2 Equações do 2º grau. Equações do tipo ax2 + bx = 0, a ≠ 0 anterior

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Equações do 2º grau ax2 + bx = 0  Como resolver

1º - colocar em evidência 2º - aplicar a lei de anulamento do produto Exemplo: x2 +5x = 0 x ( x + 5) = 0 ---------- colocar em evidência x = 0 ∨ x + 5 = 0 -------lei do anulamento do produto x = 0 ∨ x = -5 S = {0, -5}


Exemplo  A altura h, alcançada por um foguete, t segundos

após o lançamento, é: h = 60t -5t2  Quanto tempo decorreu desde o momento em que foi

lançado o foguete até ao momento em que caiu no solo?


resolução Quando inicia e aterra a altura é zero h = 60t -5t2 como h = 0 vem: 60t -5t2 = 0 t(60-5t) = 0 t=0 V 60 – 5t = 0 t=0 V -5t = -60 t =0 V 5t = 60 t=0 V t = 60/5 t=0 V t = 12 A altura é zero para t=0 ou para t=12 (quando aterra) O foguete esteve no ar 12 segundos         


Equações 9º Ano Tema 3 Equações do 2º grau. completas anterior

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Equações do 2º grau ax2 + bx + c = 0  Como resolver – 1º processo

1º - Simplificar a equação até se apresentar na sua forma canónica, ( ax2 + bx + c = 0 ). 2º - Passar da forma canónica para o quadrado de um binómio 3º - Aplicar a lei do anulamento do produto


exemplo x2 = - 8x -16 ⇔ ⇔ x2 + 8x +16 = 0⇔ ⇔ (x + 4)2 = 0 ⇔

colocar na forma canónica Transformar no quadrado de um

binómio

⇔ (x+4) (x + 4) = 0 ⇔ ⇔ x+4 = 0 v x + 4 = 0 ⇔

Factorizar

⇔ x = -4 v x = -4

Encontrar o conjunto de soluções

Aplicar a lei do anulamento do

produto

S = { -4}

solução


Equações do 2º grau ax2 + bx + c = 0  Como resolver – 2º processo

1º - Simplificar a equação até se apresentar na sua forma canónica, ( ax2 + bx + c = 0 ). 2º - Aplicar a fórmula resolvente Fórmula resolvente

2

− b ± b − 4ac x= 2a


exemplo x2 = - 8x -16 ⇔ ⇔ x2 + 8x +16 = 0⇔

colocar na forma canónica

a = 1, b = 8, c = 16 −b ± b 2 − 4ac x= 2a − 8 ± 82 − 4 ×1×16 x= ⇔ 2 ×1 − 8 ± 64 − 64 ⇔x= ⇔ 2 8 ⇔ x=− ⇔ 2 ⇔ x = −4

S = { -4}

solução

aplicar a fórmula resolvente


Equações 9º Ano Tema 4 Equações do 2º grau e fórmula resolvente anterior

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Equações do 2º grau e a fórmula resolvente  A fórmula resolvente deve ser

aplicada a equações do 2º grau completas.  Aplicar a fórmula resolvente a equações incompletas é possível mas é mais confuso. exemplo: 4x2 + 3x = 0 a=4; b=3 ; c=0

x ( 4 x + 3) = 0 ⇔ ⇔ x = 0 ∨ 4x + 3 = 0 ⇔ 3 ⇔ x = 0∨ x = − 4

− 3 ± 9 − 4× 4×0 ⇔ 8 −3±3 ⇔x= ⇔ 8 −6 0 ⇔x= ∨x= ⇔ 8 8 3 ⇔ x=− ∨x=0 4 x=


Equações 9º Ano Tema 5 Número de soluções de uma equação do 2º grau anterior

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Número de soluções de uma equação do 2º grau - parábolas  Duas soluções – tipo de gráfico

Exemplo:

x2 – 4x + 3 = 0 x=3 V x=1 1

3


Número de soluções de uma equação do 2º grau - parábolas  uma soluções – tipo de gráfico

Exemplo:

x2 - 2x + 1 = 0 x=1 1


Número de soluções de uma equação do 2º grau - parábolas  zero soluções – tipo de gráfico

Exemplo:

x2 – 2x + 3 = 0 impossível


Equações 9º Ano Tema 6 Resolução de Problemas geométricos usando equações anterior

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Resolução de problemas geométricos usando equações do 2º grau  Observa a figura.  A área do rectângulo maior é 140 cm 2  De acordo com os dados determina o perímetro do

rectângulo maior x x

8 cm

12 cm x x


Resolução x

8 cm

x 12 cm

x

8 + 2x

x 12+2x

(12 + x) (8 + 2x) = 140 96 + 16x + 24x + 4x2 -140 = 0 4x2 + 40x -44 = 0 Aplicar a fórmula resolvente x = -11 V x = 1 Perímetro = 2( 8 + 2 ) + 2(12 + 2) = 48 cm


Resolução de problemas  De um terreno quadrangular retirou-se uma parte

para fazer uma estrada. A largura da estrada é de 8m.  Sabendo que a área do terreno é 768m 2 , qual foi a área cedida?


Resolução x( x − 8) = 768 ⇔ x 2 − 8 x − 768 = 0 8 ± 64 + 3072 ⇔x= 2 8 ± 56 ⇔x= 2 8 + 56 8 − 56 ⇔x= ∨x= 2 2 ⇔ x = 32

A área cedida foi (8 x 32)=256m2

x

x


Equações 9º Ano Tema 7 Resolução de Problemas usando equações do 2º grau anterior

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Resolução de problemas e equações do 2º grau  Um grupo de abelhas, cujo número era igual ao

   

quadrado da vigésima parte do todo do enxame, pousou num jasmim, deixando para trás 3/8 do enxame. Havia ainda 25 abelhas que voavam em torno da planta. Quantas abelhas tinha o enxame? X = nº de abelhas do enxame Verifica a solução


FIM  Prof: Nelson Escalda  Escola EB 2,3 Dr. Afonso Rodrigues Pereira  Email: nescalda@eb23arp.pt

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Equações do 2º gru