Volumen de un sólido de revolución

Instituto Universitario Tecnológico Antonio José de Sucre Extensión Barquisimeto

Integrante: Álvarez Ivan.

C.I: 26.554.646

Volumen de un sólido de revolución Se denomina sólido de revolución o volumen de revolución, al sólido obtenido al rotar una región del plano alrededor de una recta ubicada en el mismo, las cuales pueden o no cruzarse. Dicha recta se denomina eje de revolución.

Sea f una función continua y positiva en el intervalo [a,b]. Si la región R indicada en la figura rota alrededor del eje X, ésta genera un sólido de revolución cuyo volumen tratamos de determinar.

Área de una Región en el Plano Cálculo del área de una región en un plano.

Cuando vimos la suma de Riemann, observamos la forma de calcular el área de una región limitada por contornos incluyendo una función que dijimos que era positiva.

Si la función es negativa, significa que el área se está midiendo hacia abajo y para evitar esto, tomamos la función con su respectivo signo.

Esta vez vamos a calcular áreas también limitadas por curvas, pero usaremos directamente el límite de la suma de Riemann, es decir la integral definida, ya que ahora conocemos diferentes técnicas para desarrollar estas integrales, el cálculo lo extenderemos a funciones menores que cero y será más fácil cuando aprendamos a aplicarlas. Esto nos permite recordar la interpretación geométrica de la integral, que no es más que un cálculo de área, pues es un producto de dos dimensiones.

A continuación veamos algunos ejemplos para ilustrar las técnicas que se siguen para alcanzar nuestro objetivo.

1. Calcular el área limitada por la curva y = x2-3x+2, x=0 , x=2 y el eje x. o Primero que nada identificamos el área a calcular, identificando sus límites. o Elegimos el elemento diferencial de manera que facilite los cálculos, esto es fácil. o Planteamos la integral. o Resolución de la integral.

La gráfica de esta función se muestra a continuación y también se muestra el área a calcular.

Primero se identifican los límites, el punto 4 se determina mediante la intersección de la curva con el eje x y observamos que se intercepta en dos puntos: en 0 y en 2.

El elemento diferencial lo hemos tomado vertical ya que su longitud varía siempre entre las mismas funciones y además sabemos desde qué sitio a dónde va a moverse, es decir cuál es el recorrido que hará dicho diferencial.

Claro está que si lo tomamos en forma vertical, también cumple con las condiciones anteriores sólo que se va a mover desde el eje x hasta el máximo de la curva, lo que significa que hay que determinar además el máximo, por lo tanto se elige en forma vertical.

El área del rectángulo o elemento diferencial es largo por ancho, el ancho es Dx y el largo es y, por lo que su área se puede expresar como: a = y. Dx pero queremos calcular el área de toda la región señalada, entonces tomamos el límite de la sumatoria de todos los rectángulos que se puedan construir sobre la región y esto no es más que:

Método del Disco y del Anillo Volumen Generado por un Sólido de Revolución Cuando un punto (adimensional) se desplaza, genera una recta (una dimensión), si esta recta se desplaza produce una superficie (dos dimensiones) y si esta superficie se desplaza dá un volumen (tres dimensiones).

Siempre que nombramos un sólido, hablamos por lo menos de dos dimensiones, y decimos que si un sólido se desplaza en alguna dirección va a generar el mismo. En este caso vamos a hablar de rotación, es decir giros.

Cuando un segmento gira alrededor de un eje, es evidente que el sólido que se genera es un cilindro hueco de la misma longitud del segmento y en este caso, una figura geométrica conocida, pues existen expresiones matemáticas preestablecidas que nos permiten hacerlo. Pero qué pasa cuando un triángulo da vueltas, probablemente no conocemos una fórmula para calcular el volumen del sólido que produce, en esta sección vamos a ver métodos permitidos para calcular

algunos volúmenes, cuando ciertos sólidos giran y cuyos contornos están definidos por una función conocida.

Para desarrollar estos cálculos, tomaremos en cuenta varios casos entre ellos citaremos cuando el eje de giro pertenece a la frontera del sólido que hace dicho giro (método del disco) y cuando el eje del mismo no pertenece a la frontera (método del anillo).

METODO DEL ANILLO

METODO DEL DISCO Volumen de un Sólido que tiene Secciones Paralelas Conocidas Si un sólido cuyas superficies, producto de un corte perpendicular al eje transversal, son paralelas entre sí y conocidas, a lo largo del eje entre dos puntos a y b, donde la función que determina la

cara paralela es continua, podemos calcular el volumen de cada una de ellas y la sumatoria, mediante la integración de todos los "n" volúmenes, nos dará dicho volumen del sólido estudiado.

Longitud de una Curva Plana Longitud de una curva plana Cuando queremos medir una curva, podemos dividir en segmentos cortos y midiendo y sumando cada uno de estos segmentos obtendríamos una longitud muy aproximada de la curva. En la figura siguiente tracemos una curva y luego tratar de conseguir una expresión que nos permita medir con mayor exactitud la longitud de una curva. Vamos a determinar la longitud del arco de una curva con ecuación y=f(x), comprendida entre los puntos A(a,f(a)),B(b,f(b)) .

Como se muestra en la figura anterior, dividimos el arco AB en n partes, uniendo luego los sucesivos puntos de división por segmentos rectilíneos.

Por ejemplo, el segmento DE tendrá como longitud

Que por definición corresponde a la integral: