FÖR GYMNASIET NIVÅ 2
Nikola Tesla (1856–1943) var en serbisk-amerikansk uppfinnare och forskare. Han upptäckte de grundläggande principerna för växelströmsteknik och trådlös kommunikation och utvecklade visionära idéer av teknisk och vetenskaplig natur.
NE Nationalencyklopedin AB Ångbåtsbron 1, 211 20 Malmö redaktionen@ne.se www.ne.se
© NE Nationalencyklopedin AB 2026
Författare: Roland Johansson, Jesper Sörensson och Johan Warell Läromedelsutvecklare: Jesper Sörensson
Redaktör: Johan Warell
Bildredaktör: Martina Eriksson
Grafisk form: Jens Klaive Grafiska redaktörer och layout:
Arvid Gruvö Wärle och Ellen Rönn
Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen. Kopiering, utöver lärares och studenters begränsade rätt att kopiera för undervisningsändamål enligt Bonus Copyright Access kopieringsavtal, är förbjuden. För information om avtalet hänvisas till utbildningsanordnarens huvudman, t.ex. kommun, eller Bonus Copyright Access. De flesta skolor och högskolor har avtal med Bonus Copyright Access och har därigenom viss kopieringsrätt. Det är lärarens skyldighet att kontrollera att skolan har ett giltigt kopieringsavtal med Bonus Copyright Access. Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter och fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till rättsinnehavaren.
Tryckt hos GPS Group i Bosnien-Hercegovina, 2026 Första upplagan, första tryckningen
ISBN 978-91-89915-36-7
Välkommen till Nationalencyklopedins fysik för gymnasiet nivå 2. Läromedlet är omarbetat och uppdaterat i grunden enligt Gy25.
För att du på bästa sätt ska kunna ta till dig innehållet presenteras och förklaras centrala begrepp i början av varje avsnitt. Fysikaliska tankegångar beskrivs med utförliga texter, ett rikt bildmaterial och räkneexempel med fullständiga uträkningar. Varje avsnitt avslutas med sammanfattning, instuderingsfrågor och räkneövningar som hjälper dig att förstå och använda kunskaperna i praktiken.
Kapitlen avslutas med en formelsammanfattning och blandade uppgifter uppdelade i tre svårighetsnivåer. Centrala och vetenskapshistoriskt viktiga koncept och experiment lyfts fram genom laborationer och fördjupningar. I slutet av boken finns facit till räkneövningarna.
I NE:s digitala läromedel kompletteras innehållet i boken med bland annat filmer, interaktiviteter, extramaterial och facit med fullständiga lösningar till varje räkneövning.
Med den här boken får du inte bara faktakunskaper utan även en solid grund för att kunna använda dina fysikkunskaper i vardagliga situationer och utmaningar. Vår förhoppning är att väcka din nyfikenhet, ge dig en förståelse för fysikens olika områden och inspirera dig till att lära dig mer om fysik och dess betydelse för både vardag och forskning.
Redaktionen, NE
KAPITEL 1: Kraft och rörelse
1.1 Likformigt accelererad rörelse 7
1.2 Kaströrelse 16
1.3 Rörelse i elektriskt fält 30
1.4 Centralrörelse 36
1.5 Centralrörelse i vardagen 50
1.6 Relativitetsteori 62
Sammanfattning och blandade uppgifter 80
KAPITEL 2:
2.1 Magnetfält
2.2 Strömförande ledare i magnetfält 102
2.3 Laddade partiklar i magnetfält 120
2.4 Tillämpningar på magnetism 135 Sammanfattning och blandade uppgifter 147
KAPITEL 3: Induktion och växelström 152
3.1 Induktion 153
3.2 Växelströmmens grunder 168
3.3 Växelström i samhället 176 Sammanfattning och blandade uppgifter 188
KAPITEL 4: Svängning och vågrörelse 192
Harmonisk svängning
Vågors egenskaper
Superposition och reflektion av vågor
Stående vågor och musikinstrument
Brytning av ljus och vågor
Diffraktion
Sammanfattning och blandade uppgifter
KAPITEL 5:
5.1 Väteatomens linjespektrum
5.2 Tyngre atomers linjespektrum
Våg eller partikel?
Temperaturstrålning
Sammanfattning och blandade uppgifter
KAPITEL 6:
6.1 Vår plats i universum
6.2 Den kosmiska avståndsskalan
6.3 Rödförskjutning
Universums utveckling
6.5 En stjärnas livscykel
Exoplaneter
och blandade uppgifter
Fördjupningar
Gondolerna i ett pariserhjul beskriver en cirkulär rörelse. Eftersom hastigheten är konstant är rörelsen likformigt accelererad. Detta pariserhjul byggdes till världsutställningen i Chicago 1893 och var det första som konstruerades.
AVSNITT 1: L IK form I g T Acc ELE r E r A d rör ELSE
Här ska vi behandla rörelser där den resulterande kraften är parallell med rörelseriktningen. Vi tittar speciellt på fritt fall, där gravitationskraften är den resulterande kraften. Vi får då en likformigt accelererad rörelse med accelerationen 9,82 m/s2, jordens tyngdacceleration. Att rörelsen sker uppåt eller rakt nedåt betyder också att vi får en rätlinjig rörelse.
ORD OCH BEGREPP
Accelererad rörelse är en rörelse där farten eller rörelseriktningen förändras.
Fritt fall är en rörelse med konstant acceleration där alla krafter förutom tyngdkraften kan försummas.
Likformig acceleration är en acceleration som är konstant i sin storlek.
Likformig rörelse är en rörelse med konstant hastighet, vilket innebär att ingen resulterande kraft påverkar föremålet.
Resulterande kraft är summan av alla krafter som verkar på ett föremål.
Rätlinjig rörelse är en rörelse som sker längs en rät linje.
Rörelseekvationer
Likformig rörelse (konstant fart):
s = v · t
Likformigt accelererad rörelse (konstant acceleration):
s = vm t = v0 + v 2 t
s = v0 t = 1 2 a t2
v = v0 + at
v 2 = v0 2 + 2as
Här betecknar s lägeskoordinaten, v hastigheten, v0 begynnelsehastigheten och t tiden vid en viss tidpunkt. Den konstanta accelerationen betecknas a och medelhastigheten vm.
Tänk dig att du i stilla mak strosar över en bro i kanalernas Venedig. På lite avstånd hör du en gondoljärs romantiska sång och du lutar dig ut över broräcket för att ta en stilfull bild. Men du har alltför bråttom och tappar greppet om kameran, som faller mot vattnet.
Klarar sig kameran? Sannolikt inte. Men du kan i alla fall roa dig med att beräkna med vilken hastighet den kolliderar med vattenytan – för den missar gondoljären med en hårsmån.
Så länge som man kan bortse från luftmotstånd och friktion är accelerationen för ett fritt fallande föremål konstant. Då gäller följande samband för likformigt accelererad rörelse :
v 2 = v 0 2 + 2 a s
Här betecknar s den lägeskoordinat föremålet befinner sig på vid tiden t, under förutsättning att rörelsen startar vid lägeskoordinaten 0 . På motsvarande sätt betecknar v hastigheten vid tiden t. Föremålet har begynnelsehastigheten v 0 och accelerationen a. Vid fritt fall utan luftmotstånd är a = 9,82 m/s2 och riktad nedåt, det vill säga detsamma som tyngdaccelerationen.
Om lägeskoordinaten vid rörelsens startpunkt är s 0 kan det första sambandet skrivas
Vid alla rörelser gäller dessutom att
s = v m t
där v m betecknar rörelsens medelhastighet:
vm = v0 + v 2
Ofta kan accelerationen antas vara konstant. Din tappade kamera, en sten eller något annat tungt föremål har i början av rörelsen så gott som konstant acceleration.
Anledningen till att ett föremål accelererar är att det utsätts för en
resulterande kraft som inte är noll. Sambandet mellan ett föremåls acceleration och den kraft som påverkar föremålet ges av kraftlagen :
Fres = m a
där Fres är den resulterande kraften
Den italienske naturforskaren Galileo Galilei släppte 1589 två kroppar med olika massor från lutande tornet i Pisa. Han konstaterade att massan inte hade någon effekt på falltiden, möjligen med undantag för luftmotståndet.
En oförsiktig turist tappar sina glasögon från toppen av Eiffeltornet, 320 meter över marken. Anta att du kan bortse från luftmotståndet.
a) Sätt upp de samband som beskriver lägeskoordinaten som funktion av tiden, s (t), hastigheten som funktion av tiden, v (t), och accelerationen som funktion av tiden, a(t).
b) Hur lång tid tar fallet?
c) Med vilken hastighet slår glasögonen i marken?
Lösning
a) Välj origo som startpunkt och positiv riktning nedåt:
s(t)= 1 2 ⋅ 9,82 ⋅ t2
v (t) = 9,82 t
a(t) = 9,82
I samtliga samband är enheterna m, s, m/s och m/s2 .
b) Eftersom fallet är 320 m löses ekvationen:
s(t)= 1 2 9,82 t2
där s (t) = 320.
320 = 1 2 9,82 t2
t2 = 2 ⋅ 320 9,82 s2
t = 8,07 s
c) Hastigheten vid nedslaget ( det vill säga efter 8,07 s ) är då
v (8,07) = 9,82 ⋅ 8,07 ≈ 79,3 m/s
Svar
a) Se lösning.
b) Fallet tar 8,1 s.
c) Hastigheten vid nedslaget är 79 m/s.
Tänk dig att du ska briljera för din kompis. Du kastar din nyckel knippa rakt upp i luften och ska fånga den på väg ner. Men din skojfriska kompis knuffar till dig så du missar nycklarna, som trillar ner i Venedigs kanalvatten.
Att låsa upp dörren hemma blir en utmaning du får hantera senare, precis som den tappade kameran. Oavsett detta är den förlorade nyckelknippans bana ett exempel på ett vertikalt kast med likformig acceleration.
När ett föremål kastas vertikalt uppåt utsätts det för en enda kraft så snart det lämnat handen – gravitationen. Gravitationen eller tyngdkraften är nedåtriktad. Om man väljer positiv rörelseriktning uppåt är begynnelsehastigheten positiv. Eftersom tyngdkraften är nedåtriktad blir tyngdaccelerationen negativ.
Det vänstra diagrammet nedan visar höjden för ett uppkastat föremål som funktion av tiden och det högra föremålets hastighet som funktion av tiden. Hur hade diagrammen sett ut om du hade valt positiv rörelseriktning nedåt ?
t
s(t)- och v(t)-grafer för ett föremål som kastas vertikalt uppåt och faller tillbaka.
EXEMPEL 2
En boll kastas vertikalt uppåt med begynnelsefarten 5,0 m/s.
a) Hur länge är bollen i luften innan den återvänder till handen?
b) Hur lång tid tar det innan bollen når den högsta punkten ?
c) Hur högt över handen befinner sig bollen när den vänder ?
Lösning
Vid beräkningarna väljs positiv rörelseriktning uppåt.
a) Bollens läge relativt handen ges av : sy (t)= 5,0 ⋅ t 1 2 ⋅ 9,8 ⋅ t2
När bollen är i handen är y = 0. Detta ger
Lösningen är antingen t = 0
eller (5,0 1 2 9,8 t)= 0 t = 0 t = 5,0 4,9 ≈ 1,02s
Bollen är i handen vid tidpunkterna 0 s och 1,0 s.
b) När bollen når vändpunkten i sin rörelse är farten noll. Vi sätter in vy = 0 i sambandet
v y (t) = 5,0 − 9,8 t och får
0 = 5,0 − 9,8 t
t = 5,0 9,8 = 0,51s
Bollen vänder alltså efter halva tiden, det vill säga efter 0,51 s.
c) Bollens läge relativt handen ges av
sy (t)= 5,0 t 1 2 9,8 t2
Bollens läge vid tiden 0,51 s ges av
sy (0,51)= 5,
Svar
a) Bollen återvänder efter 1,0 s.
b) Högsta punkten nås efter 0,51 s.
c) Högsta punkten är 1,3 m över handen.
SAMMANFATTNING
* För en likformigt accelererad rörelse är accelerationen konstant i sin storlek och riktning.
* En rätlinjig rörelse är en rörelse som sker längs en rät linje.
* Fritt fall är en rörelse med konstant acceleration där luftmotstånd och friktion kan försummas.
* Ett föremål accelererar på grund av en resulterande kraft som inte är noll.
* Rörelseekvationerna beskriver sambanden mellan ett föremåls lägeskoordinat, hastighet, acceleration och tid.
* Ett vertikalt kast är ett exempel på en likformigt accelererad rörelse som endast påverkas av gravitationen.
1. Vad kännetecknar en rätlinjig rörelse?
2. Vad kännetecknar en likformig acceleration?
3. Vad är accelerationen för ett fritt fallande föremål utan luftmotstånd?
4. Vilken fysikalisk lag beskriver sambandet mellan ett föremåls acceleration och den resulterande kraften?
5. Vad är anledningen till att ett föremål accelererar?
6. Vilken slutsats drog Galileo Galilei om massans effekt på falltiden i sitt experiment vid lutande tornet i Pisa?
7. Vilken typ av rörelse är ett vertikalt kast exempel på?
8. Vilken kraft utsätts ett föremål för vid ett vertikalt kast så snart det lämnat handen?
9. Vad beskriver ett föremåls rörelseekvationer?
1.1.1
En kamera faller från toppen av Eiffeltornet, 320 meter över marken. Anta att du kan bortse från luftmotståndet.
a) Hur långt har kameran fallit på 3,0 s?
b) Hur stor hastighet har kameran när den har fallit halvvägs mot marken?
1.1.2
Anta att en fallskärmshoppare faller utan luftmotstånd från 3 000 meters höjd.
a) Hur lång tid tar fallet till marken?
b) Med vilken fart träffar personen marken?
c) Verkar antagandet rimligt?
1.1.3
En sten kastas rakt uppåt med begynnelsefarten 15 m/s. Rita graferna s(t), v(t) och a(t) för stenens rörelse från den tidpunkt då den lämnar handen tills den återvänder till samma nivå som handen.
1.1.4
Anta att stenen i föregående uppgift lämnar handen 1,45 m över marken. Med vilken hastighet slår stenen i marken?
1.1.5
En boll kastas rakt uppåt med begynnelsehastigheten 3,4 m/s. När bollen släpps befinner den sig 1,8 m över marken.
a) Beräkna bollens högsta höjd.
b) Beräkna bollens hastighet precis före landningen.
SYFTE
Att filma och analysera en likformigt accelererad rörelse.
MATERIEL
Boll. Långt måttband. Mobiltelefon eller höghastighetskamera. Kamerastativ.
1. Fäst måttbandet vertikalt på väggen.
2. Montera kameran på stativet och kontrollera att fokus är skarpt, särskilt på måttbandets skala.
3. Kasta bollen rakt upp framför måttbandet och filma rörelsen.
4. Titta på bilderna i ett datorprogram som visar tiden för varje bildruta.
5. Välj ut 10–20 bilder och mät bollens höjd med hjälp av måttbandets skala.
6. Studera bollens rörelse under både uppkastet och fallet.
1. Gör en tabell med tiden och bollens höjd relativt utkastets nivå.
2. Rita ett diagram med höjden som funktion av tiden.
3. Anpassa en funktion till grafen.
4. Vad har de olika konstanterna i funktionen för fysikalisk betydelse, om de har någon?
EXTRAUPPGIFT
Gör om försöket med en badboll eller pingisboll. Blir det någon skillnad? Varför i så fall?
De rörelser som har beskrivits hittills har varit rätlinjiga. Rörelser som inte är rätlinjiga kallas icke-linjära. En speciell sorts icke-linjär rörelse är kaströrelsen.
En kaströrelse beskrivs till exempel av en boll som kastas snett uppåt.
ORD OCH BEGREPP
Energiprincipen säger att energi inte kan skapas eller förstöras, bara omvandlas.
Icke-linjär rörelse är en rörelse som inte är rätlinjig.
Kaströrelse är en rörelse där den accelererande kraften är konstant till sin storlek och riktning.
Tänk dig att Anna är ute och går en vacker höstkväll. Hon har med sig ett äpple som hon kastar rakt upp i luften och fångar medan hon sakta går framåt. Anna stannar till och kastar äpplet uppåt en gång till medan hon funderar över hur hon kan beskriva rörelsen.
Om hon själv skulle beskriva dessa rörelser är de till att börja med båda vertikala kast. Om Anna skulle lyckas med att kasta äpplet med samma vertikala utgångsfart i båda kasten, till exempel 5,0 m/s, kan den vertikala rörelsen relativt hennes hand beskrivas med samma rörelseekvationer i bägge fallen.
Hastigheten i y-led kan beskrivas som
v y (t) = 5,0 − 9,8 t och läget i y-led relativt handen som
sy (t)= 5,0 ⋅ t 1 2 ⋅ 9,8 ⋅ t2
En kastad snöboll beskriver en kaströrelse.
I alla ekvationer förutsätts att enheterna för sträcka, tid och hastighet är m, s respektive m/s, och att positiv rörelseriktning har valts uppåt.
Om en annan person hade sett de båda kasten skulle hon ha beskrivit dem på ett annat sätt. När Anna rör sig landar äpplet inte i handen över samma punkt på marken som då den kastades. Under den sekund som äpplet befinner sig i luften har det förflyttats horisontellt.
När Anna har gått 1,4 m befinner sig äpplet 1,0 m rakt över hennes hand. För en stillastående betraktare ser äpplets kastbana ut som på bilden.
Anta att Anna går med farten 2,0 m/s då hon kastar äpplet. Under den sekund som äpplet är i luften har hon flyttat sig cirka 2 meter – äpplet landar i handen 2 meter längre fram jämfört med då det kastades.
Äpplets rörelse i horisontell led beskrivs av samma samband som hennes egen rörelse – äpplet följer ju Anna i x-led : s x (t) = 2,0 t och v x (t) = 2,0
Enheterna är som tidigare m, s och m/s.
Anna tar en välförtjänt tugga av äpplet och fortsätter promenaden.
EXEMPEL 1
En boll kastas vertikalt uppåt med begynnelsefarten 5,0 m/s. Var befinner sig bollen relativt en punkt på marken om personen som kastar går med farten 2,0 m/s ?
Redovisa bollens lägen med tidsintervallet 0,1 s tills bollen på nytt når handen. Åskådliggör grafiskt bollens bana, y (x), genom att rita bollens läge vid de givna tidpunkterna. Gör beräkningen i ett kalkylblad.
Lösning
Vid beräkningarna väljs positiv rörelseriktning uppåt.
Generera en lista med tider i ett kalkylblad. Talen 0, 0,1, 0,2 … 1,0 läggs in i kolumn A.
Läget i vertikal led relativt kastpunkten ges av
sy (t)= 5,0 t 1 2 9,8 t2
Detta samband läggs in i cell C1 genom att där skriva
= 5*A1 – 0,5 * 9,82 * A1^2
Kopiera sedan denna formel nedåt.
Bollen når åter handen då s y (t) = 0. Som framgår av värdena i kolumn C har bollen inte nått kastpunktens nivå 1,0 s. Därför kopieras värdena i kolumnerna A och C ytterligare en rad nedåt. Modellen är dock bara giltig till den tidpunkt då bollen når nivån
s y (t) = 0
Rörelsen i horisontell riktning relativt kastpunkten ges av
s x (t) = 2,0 ⋅ t
För att beräkna värden motsvarande de tider som finns i kolumn
A placeras markören i cell B1 och följande formel skrivs in: = 2,0 * A1
Formeln kopieras sedan nedåt. Bollbanan relativt kastpunkten ges av kolumnerna B och C, med x-värden i B och y-värden i C.
Genom att lösa ekvationen s y (t) = 0 beräknas tidskoordinaten för nedslagspunkten till 1,02 sekunder.
Svar : Se tabell och graf ovan. Modellen är giltig till och med tidpunkten 1,02 s.
EXEMPEL 2
Låt oss på nytt studera det nu halvätna äpplet som Anna kastar under promenaden. Äpplet har begynnelsehastigheten
5,0 m/s uppåt och hon går med hastigheten 2,0 m/s i horisontell riktning. Kastet påbörjas 1,20 m över marken. Tyvärr lyckas hon inte fånga äpplet denna gång.
Beräkna äpplets hastighet när det träffar marken.
Lösning
Om vi väljer positiv rörelseriktning uppåt och kastpunkten som referenspunkt beskrivs rörelsen av
sy (t)= 5,0 t 1 2 9,8 t
Äpplet träffar då marken när y = –1,20. Då kan vi beräkna tidpunkten för nedslagspunkten med
1,20 = 5,0 ⋅ t 1 2 ⋅ 9,8 ⋅ t2
Ekvationen ger lösningarna t = –0,20 eller t = 1,22. Den negativa tiden förkastas eftersom rörelsen startar vid t = 0. Äpplet
slår alltså i marken vid tiden 1,22 s.
Med hjälp av sambandet
v y (t) = 5,0 − 9,8 ⋅ t kan den vertikala hastighetskomposanten beräknas :
v y (1,22) = 5,0 − 9,8 1,22 ≈ −6,96 m/s
Äpplet slår alltså i marken med den nedåtriktade hastighetskomposanten 6,96 m/s.
Men äpplet har även en horisontell komposant i hastigheten, v x = 2,0 m/s.
Om ett parallellogram med hastigheterna ritas kan storleken av hastigheten v beräknas med hjälp av Pythagoras sats :
v 2 = 2,02 + 6,962 ≈ 52,44
v ≈ 7,24 m/s
2,0 m/s
74,0° v
6,96 m/s
Komposantuppdelning av äpplets rörelsevektor vid utkastet.
Svar: Äpplets hastighet är 7,24 m/s i vinkeln 74° nedåt.
Det är fortfarande en vacker höstkväll. Eftersom Annas äpple föll ner på marken och inte går att äta plockar hon upp ett nytt. När hon jonglerar med det nya äpplet kommer hon att tänka på att det finns ett annat sätt att utföra kastet så att äpplet får samma bana.
I stället för att gå framåt och kasta äpplet rakt uppåt skulle hon ju kunna stå stilla, kasta äpplet snett framåt och låta en kompis ta emot det!
Kastbanan blir densamma som innan om hon kastar äpplet snett uppåt från en punkt 1,20 meter över marken och tar emot det på samma höjd. Utgångshastigheten för äpplet måste då ha en horisontell hastighetskomposant som är 2,0 m/s och en vertikal hastighetskomposant som är 5,0 m/s.
Med Pythagoras sats kan utgångshastighetens storlek beräknas :
v 0 2 = 5,02 + 2,02
v 0 ≈ 5,39 m/s
Ur figuren erhålles
tan ������ 5,0 2,0
�� =68,2°
För att äpplet ska få samma rörelse som i det tidigare kastet ska det alltså kastas från en punkt 1,20 meter över marken. Utgångshastigheten ska vara 5,4 m/s och vinkeln relativt marken 68°.
Kaströrelsen kan beskrivas med hjälp av det tidigare sambandet
s x(t) = 2,0 t
sy (t)= 5,0 t 1 2 9,82 t2
Vid en kaströrelse verkar en konstant resulterande kraft på föremålet i en och samma riktning. Vanligtvis är denna kraft gravitationen, men som vi ska se senare kan andra krafter förekomma i andra situationer.
För rörelser i gravitationsfält verkar tyngdkraften nedåt. Om vi bortser från luftmotståndet blir detta den enda kraften som verkar, och därmed blir accelerationen 9,82 m/s2 nedåt i y-led. I x-led verkar inga krafter vilket innebär att rörelsen är likformig i x-led.
Genom att dela upp rörelsen i en likformigt accelererad rörelse i y-led och en likformig rörelse i x-led kan vi beräkna var ett föremål befinner sig i ett visst ögonblick och var det landar.
5,0 m/s
68,2°
2,0 m/s
Komposantuppdelning av äpplets rörelsevektor vid utkastet.
EXEMPEL 3
Du sparkar en boll snett uppåt med farten 12,0 m/s i vinkeln 35°. Hur långt bort landar bollen?
Lösning
Om bollen ligger på marken när du sparkar till den och underlaget är horisontellt kommer bollen att landa på samma höjd som du sparkade den från.
Dela upp rörelsen i x- och y-led och beräkna först tiden med hjälp av rörelsen i y-led. Därefter använder du tiden för att ta reda på var bollen landar vid kaströrelsens slut.
y-led:
v 0y = v sin 35° = 12 sin 35° = 6,88 m/s
sy = v0y ⋅ t + at2 2
0 = 6,88t 9,82t2 2
0 = t (6,88 – 4,91 t)
t1 = 0 s, t2 = 1,40 s
x-led:
v x = v cos 35° = 12 cos 35° = 9,83 m/s
s x = v x · t1 2 = 9,83 · 1,40 = 13,8 m
I ovanstående exempel landar bollen på samma höjd som den kastas från vilket innebär att vi kan bryta ut t ur rörelseekvationen i y-led.
För alla kaströrelser gäller att man utnyttjar den likformiga rörelsen i x-led och den likformigt accelererade rörelsen i y-led för att beräkna det som efterfrågas.
Svar: Bollen landar 13,8 m bort.
12 m/s
α = 35°
Att bollen landar på samma höjd som den utgår från är en av de typuppgifter som brukar förekomma. En annan typuppgift är när bollen kastas horisontellt, rakt framåt.
EXEMPEL 4
En kula rullar på ett bord som är 87 cm högt. Kulan faller från bordskanten och landar 58 cm bort på golvet. Beräkna kulans hastighet när den rullade över bordskanten.
Lösning
Eftersom kulan faller nedåt sätter du nedåtriktningen som positiv rörelseriktning. Beräkna först rörelsen i x-led och y-led och använd sluttiden i y-led för att beräkna sluthastigheten i x-led.
y-led:
v 0y = 0 m/s
s y = v 0y · t + at2 / 2
0,87 = 9,82t2 / 2
t =±√ 2 ⋅ 0,87 9,82 =±0,421s
t = 0,421 s (bortse från den negativa lösningen)
x-led:
s x = v x · t
v x = s x / t = 0,58 / 0,421 = 1,4 m/s
Det är tyvärr vanligt när man räknar uppgifter med horisontellt kast att man glömmer bort att v 0y = 0. Det gäller speciellt om man ger utgångshastigheten för kulan och ska beräkna var den landar. Därför är det alltid bra att rita en skiss och att börja lösningen i y-led med att skriva v 0y = 0.
Svar: Kulans hastighet var 1,4 m/s när den lämnade bordskanten.
En tredje och lite svårare variant på kaströrelse är ett snett kast där landningen inte sker på samma höjd som utkastet.
En boll kastas med farten 22 m/s snett uppåt i vinkeln 42°. När bollen lämnar handen befinner den sig 2,1 m över marken. Hur långt bort landar bollen?
Lösning y-led:
v 0y = v sin 42° = 22 sin 42° = 14,7 m/s
sy = v0y t + at2 2
2,1 = 14,7t 9,82t2 2
4,91t2 – 14,7t – 2,1 = 0
t2 – 3,00t – 0,428 = 0
t = 1,50 ± √1,502 + 0,428
t1 = 3,13 s (t2 = –0,14 s)
x-led:
v x = v cos 42° = 22 cos 42° = 16,3 m/s
s x = v x · t1 = 16,3 · 3,13 = 51 m
pq-formeln
En andragradsekvation på formen
x 2 + px + q = 0
har lösningen
x = p 2 ± p 2 2 q
Det senare uttrycket kallas pq-formeln.
sx sy = 2,1 m 42°
Svar: Bollen landar 51 m bort.
Svårigheten i det senaste exemplet är att hålla reda på riktningarna: positiv utgångshastighet i y-led men negativ sträcka och negativ acceleration. Utöver detta behöver man lösa andragradsekvationen med pq-formeln.
För att undvika att göra teckenfel bör man alltid rita en enkel skiss av situationen och i denna rita in pilar som visar positiv rörelseriktning.
Ett annat mycket användbart samband vid beräkningar av kaströrelser är energiprincipen. Eftersom vi bortser från luftmotståndet är partikelns totala energi under rörelsen densamma hela tiden :
där v 0 är begynnelsefarten och v farten vid en godtycklig punkt där föremålet befinner sig på höjden h relativt utgångsläget. Eftersom sambandet kan divideras med massan behöver massan inte vara känd.
EXEMPEL 6
Per använder en leksakskanon för att skjuta iväg en kula som får begynnelsehastigheten 11 m/s riktad 55° mot horisontalplanet. Kulan träffar den horisontella marken ett stycke bort. Anta att luftmotståndet kan försummas.
a) Ange rörelsens lägeskoordinater som funktioner av tiden.
b) Var befinner sig kulan efter 1,5 s ?
c) Hur högt upp i luften befinner sig kulan som högst ?
d) Hur långt från avskjutningspunkten träffar kulan marken?
Lösning
a) Vi börjar med att beräkna begynnelsefarterna i x- och y-led :
sin55° = v0y 11m/s ochcos55° = v0x 11m/s
v 0y = 11 ⋅ sin 55° m/s ≈ 9,01 m/s
v 0x =11 cos 55° m/s ≈ 6,31 m/s
Lägeskoordinaterna ges då av
sx (t)= 6,31 ⋅ t och sy (t)= 9,01 ⋅ t 1 2 ⋅ 9,82 ⋅ t2
b) Vid tiden 1,5 s bestäms läget av
s x (1,5) = 6,31 ⋅ 1,5 ≈ 9,46 m
sy (1,5)= 9,01 ⋅ 1,5 1 2 ⋅ 9,82 ⋅ 1,52 ≈ 2,47m
Kulans koordinater är (9,5 m; 2,5 m) relativt avskjutningspunkten.
c) När kulan är som högst är den i vändläget. Då är den vertikala hastigheten noll. Hastigheten i y-led ges av
v y = 9,01 − 9,82 ⋅ t
Tidpunkten då kulan vänder ges av
0 = 9,01 − 9,82 ⋅ t
t = 9,01 9,82 ≈ 0,92s
Den maximala höjden beräknas som
sy (0,92)= 9,01 ⋅ 0,92 1 2 ⋅ 9,82 ⋅ 0,922 ≈ 4,13m
Vändläget är alltså 4,1 m över avskjutningspunkten.
d) Kulan når utgångsnivån efter tiden
2 0,92 s = 1,84 s
Då ges läget i x-led av
s x (1,84) = 6,31 1,84 ≈ 11,58 m
Kulan slår i marken 11,6 m bort.
SAMMANFATTNING
* Icke-linjära rörelser är rörelser som inte är rätlinjiga, till exempel en kaströrelse.
* En kaströrelse kan delas upp i en horisontell rörelse (x-led) med konstant hastighet och en vertikal rörelse (y-led) med konstant acceleration.
* Vertikala kast med horisontell rörelse kan beskrivas genom att kombinera rörelseekvationer för både x- och y-led.
* Ett vertikalt framåtkast är en kaströrelse där ett föremål kastas snett uppåt och dess hastighetsvektor delas upp i horisontella och vertikala komponenter.
Svar
a) s x (t) = 6,31 ⋅ t och s y (t) = 9,01 t 12 ⋅ 9,82 t2
b) Vid koordinaten (9,5 m; 2,5 m) relativt avskjutningspunkten.
c) Vändläget är 4,1 m över avskjutningspunkten.
d) Kulan slår i marken 11,6 m bort.
* I kaströrelser som påverkas av gravitationen är accelerationen konstant i y-led och noll i x-led.
* Energiprincipen är ett användbart verktyg för att beräkna kaströrelser eftersom den totala energin (kinetisk och potentiell) är konstant.
1. Vad kallas de rörelser som inte är rätlinjiga?
2. Vilken kraft verkar vanligtvis på föremålet vid en kaströrelse?
3. Hur stor är accelerationen i y-led för rörelser i gravitationsfält när luftmotståndet bortses från?
4. Hur kan en kaströrelse beskrivas med avseende på rörelseriktningarna (x och y)?
5. Vilken princip kan användas vid beräkningar av kaströrelser, förutom rörelseekvationerna?
6. Vad är konstant under kaströrelsen enligt energiprincipen, förutsatt att luftmotståndet bortses från?
7. Vilken form har andragradsekvationen vars lösning är pq-formeln?
8. Hur sker rörelsen i x-led i kaströrelser i gravitationsfält?
9. Hur sker rörelsen i y-led i kaströrelser i gravitationsfält?
1.2.1
Petra sitter med handen utsträckt genom bilfönstret och håller ett äpple i handen. När hon vinkar till sin mamma tappar hon äpplet. Bilen kör då med farten 9,0 km/h och äpplet är 75 cm över marken. Luftmotståndet försummas.
a) Beskriv äpplets rörelse som Petra uppfattar den.
b) Beskriv äpplets rörelse som Petras mamma ser den.
c) Var träffar äpplet marken relativt den punkt där det släpptes?
d) Vilken hastighet har äpplet när det träffar marken?
1.2.2
Med en fallapparat kan man få en kula att falla vertikalt utan begynnelsefart samtidigt som en annan likadan kula skjuts ut horisontellt. Kulorna släpps från höjden 2,20 m.
a) Anta att du kan frysa förloppet vid olika tidpunkter under fallet, så att du får de båda kulornas lägen vid fem olika tidpunkter med samma tidsintervall mellan. Detta är möjligt genom att fotografera i stroboskopiskt ljus med en kamera med öppen slutare. Hur ser bilden ut? Rita och förklara.
b) Hur lång tid tar det innan vardera kulan når golvet?
c) Vilken hastighet har den fallande kulan när den slår i golvet?
d) Avståndet längs golvet mellan de båda kulornas nedslagspunkter är 2,95 m. Hur stor hastighet har den kula som skjuts ut, precis innan den slår i golvet?
1.2.3
En kula rullar ut över kanten på ett bord som är 85 cm högt. Kulans hastighet är 3,4 m/s när den passerar kanten. Beräkna hur långt från kanten kulan landar på golvet.
1.2.4
En kula rullar längs en bordsskiva. Bordets höjd är 78 cm. När kulan rullar över kanten landar den 48 cm bort på golvet. Beräkna kulans utgångshastighet.
1.2.5
En helikopter flyger parallellt med marken, 65 meter upp med hastigheten 75 km/h. En låda släpps från helikoptern. Anta att du kan bortse från luftmotståndet.
a) Hur långt färdas lådan i helikopterns riktning innan den landar?
b) Med vilken hastighet slår lådan ner?
1.2.6
En boll skjuts iväg med utgångshastigheten 25 m/s och passerar högsta punkten i banan med hastigheten 16 m/s.
a) Hur högt över marken är bollen när den är som högst?
b) Var slår bollen ner? Hur stor vinkel bildar hastigheten med marken då?
Bortse från luftmotståndets inverkan.
1.2.7
Per använder en leksakskanon för att skjuta iväg en kula som får begynnelsehastigheten 11 m/s i vinkeln 55° mot horisontalplanet. Kulan träffar den horisontella marken ett stycke bort. Anta att luftmotståndet kan försummas.
a) Hur stor är kulans hastighet efter 1,5 s?
b) Hur stor är hastigheten när kulan träffar marken?
1.2.8
En projektil avfyras så att den passerar högsta punkten i banan, 65 m över marken, med hastigheten 48 m/s. Beräkna begynnelsehastigheten. Anta att du kan bortse från luftmotståndet.
1.2.9
En kulstötare stöter iväg sin kula med en hastighet av 7,50 m/s i vinkeln 40,0° mot horisontalplanet. Kulan lämnar handen från en punkt 1,75 m över marken.
a) Var befinner sig kulan efter 0,500 s?
b) Hur lång tid tar det innan kulan slår i marken?
c) Hur långt bort sker nedslaget?
1.2.10
En kulstötare av världsklass stöter kulan 21 meter. Anta att han skickar iväg kulan med kastvinkeln 45° på höjden 2,0 m över marken. Vilken utgångsfart ger han kulan?
SYFTE
Att med hjälp av mätningar av en kulas nedslagsplats beräkna dess utgångshastighet.
MATERIEL
Rullbana. Kula. Linjal.
Karbonpapper. Vitt papper.
1. Ställ banan på ett cirka 1 m högt bord så att kulan lämnar banan i horisontell riktning.
2. Släpp kulan från banans högsta punkt.
3. Markera och mät upp läget för kulans landningspunkt.
TIPS
Om du inte har någon rullbana kan kulan rullas på bordet över bordskanten.
1. Använd de uppmätta värdena för att beräkna kulans hastighet i x-led då den lämnar banan.
2. Beräkna kulans rörelseenergi då den lämnar banan.
Bestäm kulans lägesenergi när du släpper den vid toppen av banan.
Jämför med rörelseenergin när den lämnar banan. Kommentera resultatet.
AVSNITT 3: r ör ELSE I ELEKT r ISKT fä LT
En laddad partikel som rör sig i ett homogent elektriskt fält får samma banrörelse som en partikel som kastas i ett gravitationsfält utan luftmotstånd.
Båda rör sig framåt med konstant fart och påverkas av en accelererande kraft i
vinkelrät riktning.
ORD OCH BEGREPP
Elektrisk fältstyrka är en storhet med beteckningen E som beskriver den kraft som ett elektriskt fält utövar på en laddning.
Elektriskt fält är ett område där en elektrisk laddning påverkas av en kraft.
Homogent fält är en typ av fält där kraftens styrka och riktning är konstant över hela området, som i ett homogent elektriskt fält.
Kaströrelse är en rörelse där den accelererande kraften är konstant till sin storlek och riktning.
En kaströrelse som inte påverkas av luftmotståndet karakteriseras av att partikeln påverkas av en konstant, resulterande kraft i en riktning. Rörelsen i kraftens riktning är likformigt accelererad, medan den vinkelräta rörelsen är likformig.
Ett elektriskt fält påverkar en laddad partikel med en kraft. I ett homogent elektriskt fält är denna kraft riktad åt samma håll under hela rörelsen i fältet. Riktningen beror på fältets riktning och om partikeln är positivt eller negativt laddad. Partikeln får på så sätt en likformigt accelererad rörelse i kraftens riktning. Vinkelrätt mot kraften blir rörelsen likformig.
Partikelbana i elektriskt fält
En laddad partikel rör sig i en parabelbana i ett elektriskt fält, precis som en boll som rör sig i ett gravitationsfält. Skillnaden är att en laddad partikel kan röra sig både uppåt och nedåt beroende på dess laddning och fältets riktning.
Laddad partikels rörelse i ett elektriskt fält. a) Partikeln på väg in i det elektriska fältet. b) När partikeln lämnar fältet har hastighetskomposanten i fältets riktning förändrats. Om partikeln byter laddning eller om fältet byter riktning kommer partikeln att böja av nedåt i stället för uppåt. Om både laddning och fält byter tecken kommer situationen att se likadan ut.
Förhållandena i ett homogent elektriskt fält är alltså desamma som för kaströrelsen i ett gravitationsfält. I fältriktningen påverkas partikeln av en kraft och får en likformigt accelererad rörelse. I vinkelrät riktning verkar ingen kraft och rörelsen blir likformig. En laddad partikel som kommer in i ett homogent elektriskt fält mellan två parallella laddade plattor beskriver en kastbana i fältet.
En partikel med laddningen +q rör sig genom det elektriska fältet E mellan två laddade plattor på avståndet d från varandra.
Den kraft F som en laddad partikel med laddningen q påverkas av i ett elektriskt fält med styrkan E ges av
F = q · E
Fältstyrkan beräknas med hjälp av den pålagda spänningen U : E = U d
där d är avståndet mellan de parallella plattorna. När den laddade partikeln lämnar fältet kan hastigheten vara riktad exempelvis så som bilden till vänster visar.
Mellan de båda lägena i ändpunkterna på plattorna har partikeln beskrivit en parabelbana. Den horisontella hastigheten är lika stor som den ursprungliga – i x-led har ingen kraftpåverkan skett. Partikeln har dock en högre fart eftersom den vertikala hastigheten har ökat på grund av att partikeln påverkas av en kraft i y-led.
Betrakta bilden nedan och fundera över följande :
p Åt vilket håll är det elektriska fältet riktat ?
p Vilken laddning har partikeln ?
p Finns det flera möjliga alternativ ?
Elektronstråle i ett urladdningsrör. Elektronernas bana (blå) blir synlig genom att röret innehåller en förtunnad gas. Elektronerna utsätts för ett elektriskt fält och kommer därför att avlänkas från sin rätlinjiga bana. Den vita ljusstrålen som går rakt fram orsakas av glödtråden i katodstråleröret och påverkas inte av det elektriska fältet.
EXEMPEL 1
En elektron som har hastigheten 2,5 · 107 m/s rör sig in i ett elektriskt fält mellan två parallella plattor. Hastigheten är ursprungligen vinkelrät mot fältet. Fältet är vertikalt och nedåtriktat.
Avståndet mellan plattorna är 3,0 cm och spänningen mellan plattorna är 120 V. Elektronen påverkas av det elektriska fältet under en sträcka av 7,0 cm (mätt i elektronens ursprungliga rörelseriktning).
a) Hur stor kraft påverkas elektronen av ?
b) Hur lång tid tar det för elektronen att passera genom fältet ?
c) Hur stor hastighet har elektronen och i vilken riktning rör den sig när den lämnar fältet?
d) I uträkningarna bortsåg vi från gravitationskraften. Visa att detta är rimligt.
Lösning
a) Den elektriska fältstyrkan är :
E = U d = 120V 3,0 10 2 m = 4,0kV/m
Kraften på elektronen är uppåtriktad och har storleken F = q E = 1,60
b) Eftersom den horisontellt riktade hastighetskomposanten inte förändras är rörelsen i denna riktning likformig. Elektronen passerar fältet under tiden t: t = s v = 7,0 10 2 m 2,5 ⋅ 107 m/s = 2,8 ⋅ 10 9 s
c) Elektronens massa m är 9,11 · 10–31 kg. Accelerationen hos elektronen kan beräknas med kraftlagen : a = F m = 6,41 10 16 N 9,11 10 31 kg ≈ 7,03 1014 m/s2
Elektronens hastighet i y-led blir
v y = v 0y + a ⋅ t = (0 + 7,03 ⋅ 1014 ⋅ 2,8 ⋅ 10−9) m/s ≈
≈ 1,97 106 m/s
SAMMANFATTNING
* Banan för en laddad partikels rörelse i ett homogent elektriskt fält är densamma som för kaströrelse i ett gravitationsfält.
* Analogt med kaströrelse kan en laddad partikels bana i ett elektriskt fält delas upp i en rörelse med konstant
Med Pythagoras sats kan totalhastigheten i rörelseriktningen beräknas : v = √vx 2 + vy 2 = √(2,5 ⋅ 107 )2 +(1,97 ⋅ 106 )2 ≈ 2,51 ⋅ 107 m/s ≈ 2,51 · 107 m/s
Riktningen bestäms av tan ������ 1,97 106 2,5 107 �� ≈ 4,5°
d) Vi kan bortse från gravitationskraften eftersom
Fg = m ⋅ g = 9,1 ⋅ 10−31 ⋅ 9,82 = 8,9 ⋅ 10−30 N
Gravitationskraften påverkar den elektriska kraften först i den trettionde decimalen och är således försumbar.
Svar
a) Kraften på elektronen är uppåtriktad och har storleken
6,4 · 10–16 N.
b) Elektronen passerar fältet på 2,8 ns.
c) Hastigheten är 2,5 · 107 m/s riktad 4,5° uppåt från horisontalplanet.
d) Fg ≈ 10–30 N << Fe ≈ 10–16 N och därför försumbar.
hastighet i en riktning och en rörelse med konstant acceleration i den vinkelräta riktningen.
* Den elektriska kraften F som verkar på en partikel med laddningen q i ett elektriskt fält med styrkan E ges av sambandet F = q · E.
* Rörelsen för en laddad partikel i ett elektriskt fält blir likformigt accelererad i fältets riktning om partikeln är positivt laddad, medan rörelsen är likformig vinkelrätt mot fältet. Partikeln kommer därför att beskriva en kastbana.
1. Vilken likhet har en laddad partikels rörelse i ett likformigt elektriskt fält med en kaströrelse i ett gravitationsfält utan luftmotstånd?
2. Vad kännetecknar rörelsen vinkelrätt mot den resulterande kraftens riktning vid kaströrelse?
3. Vilken riktning har den kraft som påverkar en laddad partikel i ett homogent elektriskt fält?
4. Vad avgör kraftriktningen på en laddad partikel i ett homogent elektriskt fält?
5. Vilken typ av rörelse har en partikel i ett elektriskt fält i kraftens riktning?
6. Vilket samband beskriver den elektriska kraften F som verkar på en partikel med laddningen q i ett elektriskt fält med styrkan E ?
7. Hur beräknas den elektriska fältstyrkan E mellan två parallella plattor?
8. Varför har partikeln en högre fart när den lämnar det elektriska fältet?
1.3.1
En elektron som har hastigheten 2,5 · 107 m/s kommer in i ett elektriskt fält mellan två parallella plattor. Hastigheten är ursprungligen vinkelrät mot fältet. Fältet är vertikalt och nedåtriktat. Avståndet mellan plattorna är 3,0 cm och spänningen mellan plattorna är 120 V. Elektronen påverkas av ett elektriskt fält under en sträcka av 7,0 cm (mätt i elektronens ursprungliga rörelseriktning). Hur mycket avlänkas elektronen i vertikal riktning vid passagen genom fältet?
1.3.2
Protoner med rörelseenergin 25 keV infaller mitt emellan två laddade plattor (se figur). Spänningen mellan plattorna är 4,5 kV.
l = 12 cm
skärm
d = 8 cm y
Efter passagen av det elektriska fältet träffar protonerna en skärm. Beräkna var protonerna träffar denna skärm. Avståndet y räknas enligt figuren.
1.3.3
En elektron accelereras i ett elektriskt fält med spänningen 800 V. Den skickas därefter in i ett elektriskt fält med en spänning på 2 500 V mellan plattorna som är separerade med 6,0 cm (se figur).
a) Beräkna elektronens hastighet, v, när den lämnar det accelererande fältet.
b) Var träffar elektronen den positiva plattan?
AVSNITT 4: cENT r AL rör ELSE
I vår vardag hittar vi många centralrörelser. Två exempel är slänggungans
och jordens rörelser. I en slänggunga accelereras man konstant runt karusellens centrum, vilket gör att man följer en cirkelrörelse. Jorden roterar ett varv runt sin axel på ett dygn och ett varv runt solen på ett år.
ORD OCH BEGREPP
Centralrörelse är en rörelse som bestäms av en resulterande kraft som är vinkelrät mot hastigheten och har konstant storlek.
Centripetalacceleration är den acceleration som den resulterande kraften ger upphov till, som påverkar
en kropp i en krökt bana så att den dras mot banans centrum.
Fart är hur snabbt ett föremål förflyttar sig, oavsett riktningen.
Hastighet är hur snabbt ett föremål förflyttar sig i en viss riktning.
Centralrörelse innebär att en kropp rör sig under inflytande av en kraft som hela tiden är vinkelrät mot dess hastighet.
Jordens cirkulära rörelse runt solen är ett exempel på centralrörelse. Gravitationskraften från solen på jorden är riktad rakt mot solen. Jorden utövar även den en kraft på solen riktad rakt mot jorden, men solens massa är så mycket större att kraften från jorden inte påverkas lika mycket.
Ett annat exempel är en kommunikationssatellit som rör sig runt jorden på cirka 36 000 km höjd i en så gott som cirkulär bana. Anledningen till att den blir kvar i banan är att den påverkas av gravitationskraften från jorden, en kraft som är vinkelrät mot satellitens hastighet och därför riktad in mot cirkelbanans centrum.
Om du står på en roterande karusell följer du med i dess rörelse tack vare den friktionskraft som finns mellan skorna och karusellgolvet. Att du åker runt i en cirkelbana beror på denna kraft som är riktad in mot cirkelbanans centrum. Vad skulle hända om friktionen helt plötsligt blev försumbar?
Konståkerskan på bilden kan åka i en cirkelbana genom att hålla sin partner i handen. Kraften är riktad längs armen in mot mannen som står i cirkelns medelpunkt. Givetvis påverkas mannen av en lika stor men motsatt riktad kraft som konståkerskan gör. Men mannen kan stå stilla eftersom han påverkas av en friktionskraft från underlaget som hela tiden är motriktad kraften från konståkerskan.
Du kan säkert föreställa dig många andra exempel på centralrörelser. Det kan handla om maskindelar, hjul på bilar, cyklar och tåg eller roterande galaxer.
Karusellåkare beskriver en centralrörelse.
Ett konståkningspar kan utföra en centralrörelse tack vare mannens friktionskraft mot isen, som är riktad mot cirkelns centrum.
Fart och hastighet
I fysik skiljer man på begreppen hastighet och fart.
p Hastigheten är förflyttningen i en viss riktning. Hastighet måste anges med både storlek och riktning, en så kallad vektor.
p Farten är beloppet av hastigheten och därmed endast dess storlek, utan hänsyn till riktningen. Fart är en så kallad skalär
Även om en kropp i cirkulär rörelse rör sig med konstant fart är den accelererad. Detta kan vid en första anblick tyckas märkligt – acceleration definieras ju som hastighetsändring dividerat med tid :
Månen, som har konstant banfart runt jorden, är ritad i två lägen. Storleken av hastigheterna v1 och v2 är lika. Denna konstanta banfart kallas v
Här är det viktigt att observera skillnaden mellan fart och hastighet Även om farten är konstant kan hastigheten förändras – om den ändrar riktning. Vid cirkulär rörelse ändras ju riktningen hela tiden.
Centripetalacceleration är den acceleration som den resulterande kraften ger upphov till, och påverkar en kropp i en krökt bana så att den dras mot banans centrum.
Vi ska nu härleda ett uttryck för centripetalaccelerationens storlek för ett föremål som rör sig med den konstanta farten v i en cirkelbana med radien r.
I bilden visas månens läge i banan runt jorden, som vi antar är helt cirkulär, vid två tillfällen. I läge 1 har månen hastigheten v1. I läge 2, tiden Δt senare, är hastigheten v2. Observera att storleken av dessa båda hastigheter, det vill säga farten, är lika. Den konstanta farten kallas v
Hastighetsförändringen mellan läge 1 och 2 är då Δv. Som du ser av bilderna blir Δv mindre ju mindre Δt är. Vinkeln ���� minskar också med Δt, och Δv blir i det närmaste vinkelrät mot v1 och v 2 . Om Δt går mot noll blir hastighetsändringen vinkelrät mot banhastigheten och riktad in mot cirkelns centrum, mot jorden.
Om punkterna 1 och 2 på bankurvan binds samman med rörelsens centrum bildas en likbent triangel med basen Δr. Denna triangel är likformig med hastighetstriangeln i figuren intill, eftersom vinklarna är lika. Därför gäller att
Accelerationen kan alltså skrivas som
Mellan lägena 1 och 2 i bilden har månen rört sig sträckan Δs längs banan. Om Δt går mot noll blir Δ s = Δr. Eftersom den konstanta banfarten ges av
=
innebär detta att
r
t = Δs
t = v då Δt går mot noll.
Uttrycket som beskriver förhållandet mellan accelerationen och hastigheten kan då skrivas
Centripetalaccelerationen är alltså vinkelrät mot hastigheten, riktad mot banans centrum och kan beräknas ur
a = v2 r
Enligt Newtons andra lag är den resulterande kraften Fres = m · a. I fallet med jorden och månen finns det bara en kraft som verkar,
Centripetalacceleration
Centripetalkraften är en resulterande kraft som ger kroppen en acceleration, centripetalaccelerationen, så att den accelereras mot banans centrum.
För en kropp med massan m som rör sig med hastigheten v längs en cirkel med radien R är centripetalkraften
Fres = m a = m v2 r
där Fres är centripetalkraften och a är centripetalaccelerationen.
gravitationskraften mellan dem. Jordens dragningskraft på månen blir den resulterande kraft som håller kvar månen i sin bana. Ibland kallar man denna kraft centripetalkraft, men notera att centripetalkraften inte är någon verklig kraft utan resultanten till de verkliga krafter som verkar på föremålet som beskriver en cirkelrörelse.
Sambandet mellan den resulterande kraften och accelerationen är därför
1
En bil kör genom en kurva med krökningsradien 120 m.
Bilen väger 1,1 ton och håller farten 90 km/h.
a) Hur stor kraft behövs för att hålla bilen kvar på vägen?
b) Varifrån kommer denna kraft?
Lösning
a) Skriv om farten i m/s :
90km/h = 90 1000 3600 m/s = 90 3,6 m/s = 25m/s
Kraften är då riktad mot cirkelns centrum : F = m v2 r = 1,1 103 252 120 N ≈ 5,73kN
b) Om vägbanan inte är doserad kommer kraften från friktionskrafterna mellan däcken och vägbanan.
Om kurvan är doserad (lutar in mot kurvans centrum) behöver inte friktionskrafterna vara så stora, eftersom normalkraften då ger ett bidrag till kraften in mot centrum.
Svar
a) 5,7 kN riktad mot centrum.
b) Från friktionskrafterna mellan däcken och vägbanan.
Bilden visar en satellit i cirkulär bana runt jorden. Om banans radie är r blir omkretsen 2πr. Om periodtiden (omloppstiden) är T blir den konstanta banfarten
v = 2���� r T
Ett bekvämt uttryck för att beräkna centripetalaccelerationen om omloppstiden är bekant är alltså
a = v2 r = ( 2���� r T )2 r = 4���� 2 r2 T2 r = 4���� 2 r T2
En annan fysikalisk storhet av intresse vid periodiska förlopp är frekvensen (med enheten hertz; 1 Hz = 1 s–1) : f = 1 T
Om detta sätts in i uttrycket för centripetalaccelerationen blir resultatet a = 4���� 2 r T2 = 4���� 2 f2 r
EXEMPEL 2
Bestäm hur stor kraft som behövs för att hålla kvar jorden i banan runt solen.
Utgå från banradien för jordens bana runt solen, jordens massa och omloppstid runt solen vid beräkningen (värdena finns i formelsamlingen).
Vilken kraft ger upphov till banrörelsen?
Lösning
Enligt tabell i formelsamlingen är banradien
1,496 108 km = 1,496 1011 m
Omloppstiden är
365,26dygn = 365,26 ⋅ 24 ⋅ 3600s ≈ 3,16 ⋅ 107 s
Eftersom omloppstiden T är känd kan centralaccelerationen beräknas som a = 4���� 2 r T2 = 4���� 2 1,496 1011 (3,16 ⋅ 107 )2 m/s2 ≈ 5,91 10–3 m/s2
Jordens massa är 5,977 · 1024 kg. Kraften blir därför F = m a = 5,977 1024 5,91 10–3 N ≈ 3,54 1022 N
Svar
Den kraft som behövs för att hålla kvar jorden i banan runt solen är 3,54 · 1022 N. Den kraft som ger upphov till cirkelrörelsen är solens attraktionskraft på jorden, det vill säga dess gravitationskraft.
I exempel 2 visades hur accelerationen kan beräknas om omloppstiden för rörelsen är känd. Denna beräkning kan generaliseras till ett annat bekvämt uttryck för centripetalaccelerationen. Vi inför därför begreppet vinkelhastighet, som betecknas med ω (litet omega).
På samma sätt som hastigheten anger hur lång sträcka ett föremål rör sig under en viss tid, v = s / t, anger vinkelhastigheten ω hur stor vinkel α ett föremål rör sig genom under en viss tid:
Eftersom föremålet i en cirkulär bana rör sig ett varv, 2π radianer, under en period T är vinkelhastigheten
2���� T
Utifrån detta kan accelerationen a skrivas som (kontrollera gärna själv)
a =����2 r EXEMPEL 3
Ann, som väger 25 kg, tränar till konståkerska. Hon åker runt på isen i en cirkel genom att hennes tränare håller henne med ett rep så att hon beskriver en cirkulär bana med radien 5,0 m.
Det tar henne 4,5 s att fullborda ett varv.
a) Hur stor är Anns acceleration och hur stor kraft påverkas hon av genom repet ?
b) Anta att Ann släpper repet. Med vilken hastighet och i vilken riktning lämnar hon cirkelbanan ?
c) Hur stor är Anns vinkelhastighet när hon roteras?
Lösning
a) Eftersom radien och omloppstiden är kända kan accelerationen beräknas :
a = 4���� 2 r T2 = 4���� 2 ⋅ 5,0 4,52 m/s2 ≈ 9,75m/s2
Centripetalaccelerationen är ungefär lika stor som tyngdaccelerationen. Kraften i repet är ungefär densamma som Anns tyngd. Eftersom Ann väger 25 kg är kraften i repet
F = m a = 25 9,75N ≈ 244N
b) Den konstanta banfarten är
v = 2���� r T = 2������ 5 4,5 m/s ≈ 6,98m/s
c) Vinkelhastigheten är ������ 2���� T �� 2���� 4,5 s –1 ≈ 1,4s–1
Svar
a) Accelerationen är 9,7 m/s2 och kraften 240 N.
b) Hon lämnar banan i tangentens riktning med farten 7,0 m/ s.
c) Vinkelhastigheten är 1,4 s–1
Uttryck för centripetalacceleration
Centripetalaccelerationen a kan beräknas med hjälp av banfarten v, omloppstiden T, frekvensen f eller vinkelhastigheten ω, beroende på vilket samband som är mest praktiskt:
Sammanfattningsvis orsakas en cirkulär centralrörelse av en kraft som är vinkelrät mot rörelseriktningen och konstant till sin storlek. Det föremål som rör sig i den cirkulära banan med konstant fart accelereras mot banans centrum.
Denna kraft benämns ibland centralkraft eller centripetalkraft. Märk att detta inte är en äkta kraft utan en resulterande kraft som uppstår genom verkan från verkliga krafter. Av denna anledning är det lämpligt att säga centripetalacceleration snarare än centripetalkraft.
Vår egen måne rör sig i en nästan cirkulär bana kring jorden. Det beror på att den påverkas av jordens gravitationskraft, som med hjälp av gravitationslagen kan skrivas
F = G M m r2
Här betecknar M jordens och m månens massa. Konstanten G är gravitationskonstanten och r är avståndet mellan de båda kropparnas centrum.
Uttrycket kan användas inte bara för månen utan för alla objekt i cirkulär omloppsbana kring en stor kropp. En satellit som rör sig i en cirkulär bana runt jorden med banfarten v har accelerationen a = v2 r
Månen beskriver en nästan cirkulär centralrörelse där gravitationskraften från jorden utgör den nödvändiga centripetalkraften som håller kvar månen i sin bana.
Med kraftlagens hjälp kan ett enkelt samband mellan hastigheten och satellitens banradie tecknas och förenklas :
G ⋅ M ⋅ m r2 = m ⋅ v2 r
G m = v2 r
v = √ G M r
Som du ser ingår inte satellitens massa i sambandet – hastigheten är oberoende av om massan är liten eller stor.
I fråga om satelliters och himlakroppars rörelser är det ofta mer relevant att diskutera omloppstid än banfart. Accelerationen vid en cirkulär centralrörelse kan också skrivas
a = 4 ⋅���� 2 r T2
Om du på nytt använder kraftlagen och förenklar får du sambandet mellan omloppstid och banradie :
G M m r2 = m 4 ⋅���� 2 r T2
T2 = 4���� 2 r3 G M
Sambanden för hastigheten v och perioden T kan användas för alla kroppar i omloppsbana kring en tyngre kropp, förutsatt att den lättare kroppens massa är avsevärt mindre. Om massorna är snarlika rör sig kropparna i stället kring sitt gemensamma masscentrum.
EXEMPEL 4
En satellit rör sig i en något ellipsformad bana runt jorden. Satellitens största avstånd är 7 228 km och dess minsta 6 778 km från jordens centrum. Vilken ungefärlig omloppstid har satelliten?
Uttryck för centralrörelse i gravitationsfält
För en kropp som går i omloppsbana kring en betydligt mer massiv kropp gäller följande uttryck för banhastigheten v och omloppstiden T:
v = G M r
T2 = 4π2 ⋅ r3 G M
Här betecknar M den tyngre kroppens massa, G gravitationskonstanten och r avståndet mellan de båda kropparnas centrum.
SAMMANFATTNING
* En centralrörelse är en rörelse längs en krökt bana som orsakas av en resulterande kraft som är vinkelrät mot hastigheten.
Approximera rörelsen med en cirkulär centralrörelse där radien r är lika med medelavståndet :
r = 7200 + 6778 2 km = 7003km
Den accelererande kraften är densamma som gravitationskraften på satelliten. Enligt kraftlagen gäller då att
där m är satellitens massa, M jordens massa, r avståndet mellan satellitens och jordens centrum och T satellitens omloppstid. Detta kan förenklas till :
Svar: Omloppstiden är cirka 1 h 40 min.
* En kropp som rör sig med konstant fart i en cirkulär bana påverkas av en centripetalacceleration som ständigt förändrar kroppens rörelseriktning.
* Centripetalkraften är den resulterande kraften från de verkliga krafter som verkar på föremålet och ger upphov till en centripetalacceleration.
1. Vad är orsaken till att en kommunikationssatellit blir kvar i sin cirkulära bana runt jorden?
2. Varför är en kropp i cirkulär rörelse accelererad även om den rör sig med konstant fart?
3. Vad är skillnaden mellan begreppen fart och hastighet i fysiken?
4. I vilken riktning är hastighetsändringen Δv vid cirkulär rörelse riktad om tidsintervallet Δt går mot noll?
5. Vilket uttryck kan centripetalaccelerationen a beräknas ur om banfarten v och radien r är kända?
6. Vad är sambandet mellan den resulterande kraften Fres och centripetalaccelerationen a?
7. Vad menas med vinkelhastighet?
8. Varför ingår inte satellitens massa i sambandet för banhastigheten?
1.4.1
På en gammaldags skivspelare roterar skivtallriken 78 varv per minut.
a) Hur stor är vinkelhastigheten och omloppstiden?
b) Vilken acceleration har ett mynt som tejpats fast på avståndet 10,0 cm från centrum?
1.4.2
En skridskoprinsessa håller i ett rep och snurras runt i en cirkel med radien 2,5 m. Det tar 4,5 s för henne att fullborda ett varv. Hur stor måste kraften i linan vara för att detta ska vara möjligt om hon väger 42,0 kg?
1.4.3
En leksaksbil kör runt på golvet med farten 3,0 m/s i en cirkelbana med diametern 1,8 m.
Hur stor måste friktionskraften mellan golvet och bilen vara för att bilen inte ska glida på golvet? Bilen väger 290 g.
1.4.4
Bilen i nedanstående figur håller konstant fart.
a) Rita ut samtliga krafter som verkar på bilen när den passerar brons högsta punkt.
b) Rita ut samtliga krafter som verkar på bilen när den passerar svackans lägsta punkt.
a)
b)
1.4.5
Hur stor är vinkelhastigheten hos sekundvisaren på en klocka?
1.4.6
En bil passerar en loop på en bilbana. Bilens hastighet är anpassad så att den precis passerar högsta punkten utan att falla ur loopen.
a) Hur fort måste bilen köra om banans radie är 12 cm?
b) Rita samtliga krafter som verkar på bilen i högsta punkten.
c) Rita, i samma skala, samtliga krafter som verkar på bilen om den i stället passerar loopens lägsta punkt med samma hastighet.
1.4.7
Använd enbart värdena för jordens banradie och omloppstid runt solen för att beräkna solens massa. Utnyttja att kraften kan tecknas med hjälp av gravitationslagen.
1.4.8
För att TV-satelliter och andra kommunikationssatelliter ska vara användbara måste de hela tiden befinna sig över samma punkt på jordytan. Annars skulle det bli stora problem med inriktningen av alla parabolantenner. Hur högt över jordytan befinner sig en sådan satellit?
1.4.9
Rymdingenjörer har skissat på bosättningar i rymden placerade på innerytan av jättelika cylindrar som roterar runt sina axlar.
Om du befinner dig med fötterna mot insidan av cylindern skapar rotationen en konstgjord gravitation som skulle ge dig intryck av ett gravitationsfält. Anta att cylindern har radien 5 km.
a) Hur snabbt måste cylindern rotera för att skapa en känsla av att stå på jorden?
b) Anta att det fanns ett konstgjort berg med höjden 1 km på cylinderns insida. Beskriv hur det skulle vara att bestiga detta berg i förhållande till ett 1 km högt berg på jorden.
SYFTE
Att med hjälp av mätningar kunna beräkna de krafter som verkar på en ”flygande gris” när den rör sig i en cirkelbana.
MATERIEL
Flygande gris eller liknande.
Linjal.
Stoppur.
1. Väg grisen innan du hänger upp den.
2. Häng upp grisen så att den kan flyga utan att krocka med något. Starta och försök ge den fart så att den flyger i en snygg cirkel.
3. Mät de storheter som behövs för att kunna bestämma samtliga krafter som verkar på grisen när den flyger.
1. Rita en figur över de krafter som verkar på grisen då den flyger.
2. Beräkna storleken på de krafter som verkar på grisen.
1. När du är klar med beräkningarna kan du fästa en dynamometer i grisen och dra ut den till en punkt som den passerade då den flög.
2. Vad visar dynamometern då? Förklara varför.
AVSNITT 5: cENT r AL rör ELSE I VA rdAg EN
Här tittar vi på några situationer från vardagen där krafter som friktion och normalkraft påverkar en centralrörelse.
ORD OCH BEGREPP
Centralrörelse är en rörelse som bestäms av en resulterande kraft som är vinkelrät mot hastigheten och har konstant storlek.
Centripetalacceleration är den acceleration som den resulterande kraften ger upphov till, som påverkar en kropp i en krökt bana så att den dras mot banans centrum.
Friktionskraft är en kraft som motverkar rörelsen för ett föremål.
Friktionstalet är ett mått på hur mycket två ytor ”fastnar” i varandra under rörelse.
Låt oss titta närmare på mannen på karusellen i bilden. Hur snabbt kan karusellen snurra om han ska kunna stå kvar utan att hålla i sig om han släpper greppet om stolpen? Den enda kraft som ger upphov till centripetalaccelerationen är då friktionen.
Vi börjar med att beräkna den kortast tänkbara omloppstiden, det vill säga rotationstiden för ett varv.
Personen på karusellen påverkas av en friktionskraft mot rotationsaxeln. Karusellgolvet påverkas av en lika stor men motriktad kraft. På personen verkar flera krafter som inte är utritade. Fundera över vilka Ff
Friktionskraften är fullt utbildad om man antar att mannen är precis på gränsen till att börja glida :
Ff =������ Fn =������ m �� g
Om omloppstiden är T är accelerationen a = 4���� 2 r T2 på avståndet r från rotationsaxeln. Enligt kraftlagen gäller då
Friktionstal
Friktionstalet är ett mått på hur mycket två ytor ”fastnar” i varandra under rörelse.
Dividera bort m och lös ut T : T2 = 4���� 2 r ������ g
Anta att mannen står 2,5 m från karusellens centrum och att friktionstalet mellan skosulorna och underlaget är 0,6. Med r = 2,5 m och
µ = 0,6 blir resultatet
2 = 4���� 2 ⋅ 2,5 0,6 9,82 ≈ 16,75s2 T ≈ 4,1s
Med en kortare omloppstid än 4 s måste alltså mannen hålla sig i stolpen för att inte glida av karusellen.
FRIKTIONSTAL ( μ ) VID OLIKA SITUATIONER
material μ
stål mot is
skida mot snö
trä mot trä
glas mot glas
bildäck mot isbelagd asfalt
bildäck mot våt asfalt
bildäck mot torr asfalt
– 0,06
gummi mot betong 1,0 – 1,5
Du vet av egen erfarenhet att du måste luta dig inåt om du ska kunna stå på en karusell utan att hålla i dig. Samma sak gäller om du cyklar och svänger i en kurva. Ju fortare karusellen rör sig eller du cyklar, desto mer måste du luta dig, det vill säga vinkeln mot horisontalplanet blir mindre.
När du åker bil över ett backkrön kan det kännas i magen som att du ”lättar” från bilsätet. Du har säkert sett biljakter på film där bilen lyfter från vägbanan. Hur kan detta komma sig ?
Vi börjar med att studera vilka krafter som påverkar en bil som kör med konstant fart över ett backkrön. Bilen passerar just den högsta punkten, vilket innebär att hastigheten enbart är horisontellt riktad. Bilen och personen rör sig vid detta tillfälle i en cirkelbana, där medelpunkten för cirkeln befinner sig en bit ner i marken under bilen – en cirkulär centralrörelse.
Personen i bilen (och naturligtvis även bilen) påverkas av en nedåtriktad resulterande kraft som uppkommer genom att normalkraften från sätet på personen är mindre än vanligt. Den nedåtriktade resulterande kraften är
mg − F N
där FN är normalkraften och m är bilens massa. Om bilen färdas med farten v över en bro som är välvd med krökningsradien r är bilens acceleration a = v2 r
Enligt kraftlagen gäller då att
mg FN = m v2 r
Du kan nu beräkna hur fort du ska färdas över ett backkrön för att uppleva dig själv ha hälften så stor tyngd som vanligt. Anta att bron är välvd så att den har krökningsradien 20 m. Om du ska uppfatta dig som hälften så tung är normalkraften från bilens säte
Personen i bilen påverkas enbart av tyngden och normalkraften eftersom bilen håller konstant fart. Krafterna verkar från bilens masscentrum men har ritats åtskilda i sidled för tydlighetens skull.
F N = 0,5 mg
Då gäller att
mg 0,5 ⋅ mg = m ⋅ v2 r ⇔ 0,5 ⋅ g = v2 r
Lös ut v och sätt in värden :
v 2 = 0,5 g r = 0,5 9,82 20 (m/s)2 ≈ 98,2 (m/s)2
v ≈ 9,9 m/s ≈ 36 km/h
Om farten ökas ytterligare kommer normalkraften från sätet att bli allt mindre. Om farten blir tillräckligt hög försvinner den helt. Om farten skulle öka ännu mer skulle bilen lämna vägbanan.
EXEMPEL 1
En bil kör över ett gupp med krökningsradien 35 m. Bilens fart är 65 km/h vid passagen över guppet. Föraren, som väger 75 kg, känner sig märkbart lättare då guppet passeras. Hur mycket lättare känner sig personen i detta ögonblick, det vill säga hur stor del av normalkraften från sätet uppfattar personen?
Lösning
Kraftsituationen framgår av bilden på föregående sida. Med beteckningarna i figuren gäller att accelererande kraften är mg – F N . Enligt kraftlagen gäller då: mg FN = m ⋅ v2 r FN = m ⋅(g v2 r
Förhållandet mellan denna kraft och normalkraften på personen i vila är:
37,9
75 9,82 ≈ 0,051
Svar: Personen uppfattar sin tyngd som cirka 5 % av den ”vanliga”.
En bil som kör in i en kurva är helt beroende av friktionskraften mellan vägbanan och däcken om vägen inte är rätt doserad (lutar inåt). Friktionskraften på ett av de två däcken är markerad i bilden. Summan av friktionskrafterna mellan de styrande framdäcken och vägbanan ger den resulterande kraft som ger upphov till centripetalaccelerationen.
Låt oss studera bilens rörelse i en odoserad kurva med radien 50 m. Hur fort kan den köra genom kurvan utan att förlora väggreppet ? Vi ser på situationen under tre olika förutsättningar : att underlaget är torr asfalt, våt asfalt respektive isig vägbana.
På bilen verkar tyngdkraften Fg , normalkraften FN och friktionskrafterna Ff som verkar på båda framdäcken. Friktionskrafterna accelererar bilen mot centrum av kurvan.
Vägen sedd uppifrån.
Friktionskraften är fullt utvecklad om man betraktar bilen då den precis är på gränsen att tappa väggreppet och börja glida. Då gäller att
Ff = µ F N = µ m g
Den krökta Storseisundsbrua på Atlanthavsvägen i Norges kustband är doserad för att motverka sladd i vägkurvan.
Eftersom centripetalaccelerationen ges av
a = v2 r
gäller enligt kraftlagen
μ mg = m v2 r
μ ⋅ g = v2 r
v 2 = µ g r
För torr asfalt är µ = 0,7. Det innebär att
v 2 = 0,7 9,82 50 (m/s)2
v ≈ 18,5 m/s ≈ 67 km/h
På motsvarande sätt får man v ≈ 56 km/h för våt asfalt ( µ = 0,5) och v ≈ 11 km/h för isbelagd väg ( µ = 0,02). Om farten överstiger dessa värden kommer inte friktionskrafterna att vara tillräckligt stora för att hålla kvar bilen i kurvan. Kontrollera gärna beräkningarna
Om du tittar på en typisk vägkurva på en landsväg ser du att den är doserad. Tack vare doseringen kan bilen hålla högre fart genom kurvan. Detta beror på att normalkraften inte längre är vertikal, utan även har en horisontalkomposant som är riktad in mot kurvans centrum. Denna horisontella komponent bidrar till den resulterande kraften och ökar därmed centripetalaccelerationen. Därmed kan hastigheten vara högre innan friktionskraften når sitt maximalvärde och greppet från vägbanan upphör.
EXEMPEL 2
En motorcyklist kör genom en kurva med farten 45 km/h. Kurvan har krökningsradien 25 meter. Vägbanan är inte doserad utan horisontell. Massan hos motorcykel och förare är tillsammans 165 kg. Hur stort måste friktionstalet mellan däck och vägbana minst vara för att ekipaget ska klara kurvan?
Lösning
Med beteckningarna r för radien och v för farten blir centralaccelerationen
a = v2 r
Den kraft som behövs för att ge detta är friktionskraften:
Ff = µ ⋅ F N = µ ⋅ Ft = µ ⋅ mg
Här betecknar µ friktionstalet, Fn normalkraften och Ft = mg tyngdkraften på motorcykeln med förare. Enligt kraftlagen följer då att
Ff = µ a
μ = mg = m v2 r
μ = v2 g ⋅ r ≈ 0,64
med farten v = 45 km/h = 12,5 m/s och r = 25 m.
Svar: Friktionstalet måste vara minst 0,64.
Vad blir ditt svar om motorcykeln tillsammans med föraren väger dubbelt så mycket? Förklara.
Den accelererande kraften är FN – Fg riktad mot gungans infästningspunkt P.
När Maja gungar beskriver hon en del av en cirkelrörelse. Vi ska nu studera vilka krafter som verkar på henne när hon befinner sig i jämviktsläget, alltså i lägsta punkten i banan.
Enligt bilden är den accelererande kraften på Maja
F N – Fg
Denna kraft ger upphov till en centripetalacceleration. När gungan passerar den lägsta punkten är accelerationen
a = v2 r
där r är radien i cirkelbanan och v gungans fart i lägsta punkten.
Du ska nu beräkna med hur stor kraft linorna påverkas då gungan passerar den lägsta punkten.
Om man väljer den lägsta punkten som referensnivå för den potentiella energin är enligt energiprincipen den potentiella energin i den högsta punkten lika stor som den kinetiska energin i den lägsta punkten.
Det innebär att man kan teckna ett uttryck för farten :
m g h = 1 2 m v2 ⇔ v2 = 2 g h
Enligt kraftlagen gäller då för den lägsta punkten i banan
FN Fg = m ⋅ v2 r
Sätt in Fg = m · g och v 2 = 2 · g · h :
FN mg = m 2gh r
Anta att Maja väger 18 kg och att hennes tyngdpunkt beskriver en del av en cirkelbana med radien 2,2 m. När Maja är som högst i vändläget är hennes tyngdpunkt 1,5 m över det lägsta läget för tyngdpunkten. Den kraft som Maja upplever från gungsitsen är då :
FN = mg + m ⋅ 2gh r = mg ⋅(1 + 2h r )= 18 ⋅ 9,82 ⋅(1 + 2 ⋅ 1,5 2,2 ) N ≈ 418N
1 + 2h r )= 18 9,82 ⋅(1 + 2 1,5 2,2 ) N ≈ 418N
Denna kraft ska fördelas mellan de båda gunglinorna. Om man bortser från tyngden hos gungans sits är kraften i vardera linan 210 N. Detta kan jämföras med cirka 90 N i vardera linan då Maja sitter stilla i gungan.
I en båtgunga utsätts passagerarna för en resulterande kraft mot rörelsens centrum.
Flygplanet påverkas av två krafter – tyngden (Fg ) och lyftkraften (Fl). Den resulterande kraften till dessa har betecknats F. Kraften F är riktad mot cirkelns centrum och ger upphov till centripetalaccelerationen.
När ett flygplan går in för landning svänger det ofta i en cirkelbana. Flygplanet lutar kraftigt mot horisontalplanet, och genom fönstren syns enbart himlen åt ena hållet och enbart marken åt andra.
Bilden till vänster visar en sådan situation och de krafter som verkar på planet. Anta att farten för tillfället är konstant, vilket innebär att det inte finns någon kraftresultant i framåtriktningen.
Genom vingarna påverkas planet av en lyftkraft F l och tyngden Fg . Resultanten till dessa båda krafter är i bilden markerad med F och verkar mot centrum av cirkelbanan.
Den resulterande kraften ger upphov till en centripetalacceleration som kan tecknas olika beroende på vad som är känt, omloppstid eller banfart. Kraften kan till exempel tecknas som
F = Fg tan α
om α är lutningsvinkeln mellan planets vingar och horisontalplanet.
Med känd fart och banradie kan sambandet skrivas med hjälp av kraftlagen :
Fg tan α = m v2 r
SAMMANFATTNING
* En centralrörelse är en rörelse längs en cirkelbana som orsakas av en resulterande kraft som är vinkelrät mot hastigheten.
* I vardagslivet orsakas centralrörelser av krafter som friktion, normalkraft och kraft i snören.
* Friktionskraften håller ett föremål kvar i en kurva på ett horisontellt underlag och måste vara tillräckligt stor för att skapa den nödvändiga centripetalaccelerationen.
* När en bil passerar ett backkrön med tillräckligt hög fart minskar normalkraften från sätet. Detta skapar en känsla av tyngdminskning eftersom normalkraften är mindre än vanligt.
* Ett flygplan som svänger i en kurva måste lutas in mot rörelsens centrum eftersom den resulterande kraften från tyngd- och lyftkraften från vingarna ger upphov till den centripetalacceleration som krävs för svängen.
1. Vilken kraft ger upphov till centripetalaccelerationen för en person på en karusell som släppt stolpen?
2. Vad händer med normalkraften från sätet när en bil kör med tillräckligt hög fart över ett backkrön?
3. Vilken kraft ger upphov till centripetalaccelerationen när en motorcyklist kör i en odoserad kurva?
4. Vilka krafter bidrar till centripetalaccelerationen när en person som gungar befinner sig i den lägsta punkten i banan?
5. Hur stor är den accelererande kraften när gungan passerar den lägsta punkten?
6. Vilka är de två krafter som verkar på ett svängande flygplan?
1.5.1
Anta att du cyklar med farten 25 km/h på torr asfalt ( μ = 0,7). Du ska vända om och vill då göra en cirkulär sväng. Vad gäller för radien på svängen?
1.5.2
Vilken fart har en person som står 2,5 m från centrum på en karusell som roterar med perioden 4,1 s?
1.5.3
Anta att rotationshastigheten för karusellen ovan ökar så att personens fart blir dubbelt så stor. Med hur stor kraft måste personen minst hålla sig fast om massan antas vara 75 kg och friktionstalet 0,6?
1.5.4
En bil åker över en välvd bro med radien 20 m. Hur fort ska bilen köra för att precis lätta från bron?
1.5.5
I ett experiment hängdes en ”flygande gris” i ett snöre från taket och flaxade runt i en cirkulär bana på konstant höjd. Grisens massa var 175 g. Banans radie mättes till 95 cm och tiden för 10 varv till 16 s.
a) Rita en figur över de krafter som verkar på grisen.
b) Beräkna spännkraften i snöret.
1.5.6
En leksaksbil släpps på en bana och kör genom en loop med radien 15 cm.
a) Vilken är den minsta hastighet bilen måste ha för att kunna passera loopens högsta punkt utan att falla ur banan?
b) Teckna kraftsituationen i detta fall.
c) Anta att bilen passerar banans lägsta punkt med samma hastighet. Rita kraftsituationen i lägsta punkten.
6: rELATIVITETSTE or I
är en fysikalisk teori som beskriver rummets och tidens egenskaper.
Einstein
fysikens
påverkat
Den formulerades av Albert
och utgör ett av den moderna
fundament. Den har starkt
vår vetenskapliga världsbild med sina häpnadsväckande förutsägelser som ofta strider mot vardagliga erfarenheter.
ORD OCH BEGREPP
Allmänna relativitetsteorin beskriver gravitationen som en effekt av att massa och energi kröker rumtiden, och inte som en kraft.
Längdkontraktion innebär att ett föremåls längd upplevs som mindre i rörelseriktningen av en observatör som har hög relativ hastighet i förhållande till föremålet.
Referenssystem är ett koordinatsystem som definierar riktningar och tid.
Relativistisk massa beskriver hur ett föremåls massa verkar öka när det accelererar till hastigheter nära ljusets.
Rörelse innebär att ett föremål ändrar sitt läge i rummet.
Speciella relativitetsteorin beskriver rummets och tidens egenskaper då gravitationskraftens inverkan kan försummas.
Tidsdilatation innebär att tiden går långsammare om en observatör har hög relativ hastighet eller befinner sig i ett starkt gravitationsfält.
Innan Albert Einstein publicerade sin speciella relativitetsteori 1905 såg fysikerna på universum och tidens gång som helt skilda storheter. Universum med sina tre rumsdimensioner var som ett stort tredimensionellt koordinatsystem där alla längder var fixa och rummet bredde ut sig i det oändliga.
På samma sätt var det med tiden. Den gick alltid lika fort och det gick inte att påverka dess gång. Självklart var tiden densamma för alla människor. Om jag var två år äldre än min lillasyster så hade jag alltid varit och skulle alltid vara två år äldre än henne.
Allt detta ändrade Einstein på. Om jag hade tillgång till en rymdraket som kunde ta mig till nästan ljusets hastighet så skulle jag kunna åka iväg med denna, komma tillbaka senare och då vara yngre än min lillasyster!
Även rummet fungerar på samma sätt. Det är inte alls något fixt koordinatsystem som alltid ser likadant ut överallt. I närheten av tunga kroppar kröks rummet och om kroppen har tillräckligt stor massa, som ett svart hål, blir det som om rummet har förvrängts.
Att tiden förändras när man rör sig med hastigheter nära ljusets, och att ett tåg som är 130 m långt då kan få plats i en tunnel som bara är 110 m lång, ska vi försöka förklara och räkna på i det här avsnittet. De mer komplicerade delarna av relativitetsteorin, den allmänna relativitetsteorin, kräver dock mer avancerade kunskaper i fysik.
Den märkliga tesserakten i filmen Interstellar (2014) är en femdimensionell konstruktion där tiden är en fysisk dimension, vilket gör det möjligt att med hjälp av gravitationen skicka meddelanden till vilken tidpunkt som helst. Detta bygger på relativitetsteorins beskrivning av den fyrdimensionella rumtiden.
Så fort du ska beskriva ett föremåls rörelse måste du göra det i förhållande till något. Vi börjar med att titta på ett exempel.
Två tåg kör åt samma håll men med olika fart. Tåg 1 har farten 10 m/s och tåg 2 farten 16 m/s. Båda hastigheterna mäts relativt marken.
1
tidpunkt 1
v1= 10 m/s
v2 = 16 m/s
2
v1 = 10 m/s
v2 = 16 m/s
tidpunkt 2
Två tåg i relativ rörelse.
Om du skulle stå på tåg 1 och mäta hastigheten skulle du säga att tåg 2 avlägsnar sig med farten 6 m/s. Hastigheten hos tåg 2 relativt tåg 1 är alltså 6 m/s. Om du i stället skulle stå på tåg 2 och jämföra hastigheten skulle du säga att tåg 1 rör sig med en bakåtriktad hastighet relativt tåg 2. Hastigheten hos tåg 1 relativt tåg 2 är alltså –6 m/s.
Relativt marken rör sig tåg 2 med hastigheten 16 m/s medan det relativt tåg 1 har hastigheten 6 m/s. Detta ter sig så självklart att vi knappast behöver förklara det. När det gäller ljus är det inte så enkelt.
För att förenkla resonemanget sätter vi ljusfarten till 30 m/s och låter en person på tåg 1 tända en lampa så att ljusstrålen rör sig mot tåg 2. Personen på tåg 1 mäter farten till 30 m/s relativt sig själv. När ljusstrålen når tåg 2 mäter personen där också farten 30 m/s liksom en person på marken gör. Detta beror på att alla uppfattar att ljus har samma hastighet oavsett hur man själv eller ljuskällan rör sig.
Hur kan detta vara möjligt? Denna synbara paradox leder till vissa slutsatser som strider mot våra föreställningar men som stämmer med alla observationer som hittills har gjorts. Men innan vi kommer till detta ska vi titta på ett berömt experiment.
I ett berömt experiment 1801 visade den brittiske fysikern Thomas Young (1773–1829) att ljus som passerar genom två intilliggande spalter orsakar ett mönster på en skärm, ett så kallat interferensmönster. Detta visade att ljus var en vågrörelse. Vid den tiden var uppfattningen att denna våg behövde ett medium att utbreda sig i, analogt med ljudvågor som behöver exempelvis luft för att kunna utbreda sig.
Detta medium kallades eter och förmodades fylla allt tomrum mellan himlakropparna i solsystemet, vilket innebar att jorden rörde sig genom etern. 1887 genomfördes ett berömt experiment för att visa denna rörelse. I Ohio byggde de amerikanska fysikerna Albert Michelson (1852–1931) och Edward Morley (1838–1923) ett känsligt instrument, en interferometer, som skulle kunna mäta skillnaden i ljusets hastighet när det rör sig i jordens rörelseriktning jämfört med vinkelrätt mot densamma.
Men hur noga man än mätte lyckades man inte observera någon skillnad, trots att instrumentets noggrannhet var stor nog att upptäcka en eventuell sådan skillnad. Olika förklaringar gavs till detta, bland annat att instrumentets ena arm drog ihop sig i rörelseriktningen på grund av rörelsen mot etern. Men inte förrän 1905, med Albert Einsteins speciella relativitetsteori, fick man en förklaring.
Originalskiss över Michelson–Morleys experiment.
Den tyskamerikanske fysikern Albert Einstein (1879–1955) betraktas tillsammans med engelsmannen Isaac Newton (1643–1727) och italienaren Galileo Galilei (1564–1642) som en av de största fysikerna genom tiderna. Einstein utförde flera banbrytande insatser som revolutionerade fysiken. Ett av dessa arbeten, den speciella relativitetsteorin, publicerades 1905. Det bör påpekas att Einstein aldrig utförde några experiment utan bara sysslade med tankeexperiment.
Det sägs att Einstein fick idén till sin teori när han satt på en bänk nere vid floden och tittade på svallvågorna från en båt. Han började då fundera över hur världen skulle se ut om man kunde åka med ”svallvågen” från en ljuskälla, det vill säga hur man skulle uppfatta världen omkring sig om man ”red” på en ljusvåg.
I stället för att försöka förklara varför man alltid mätte upp samma ljushastighet oavsett sin egen eller ljuskällans rörelse konstaterade han att så är fallet. Med detta som utgångspunkt förändrade han synen på saker som vi normalt sett betraktar som oföränderliga. Som vi ska se senare i avsnittet blir en av konsekvenserna att tiden förändras om man rör sig. Även längdmätningar skiljer sig beroende på om man är i rörelse eller inte.
Allt detta utgår från de två så kallade postulat (påstående som förutsätts gälla) som Einstein satte upp som grund för sin teori:
1. Ljusets hastighet i vakuum är konstant för alla observatörer, oberoende av deras egen rörelse.
2. Fysikens lagar är desamma i alla referenssystem som rör sig med konstant hastighet i förhållande till varandra.
Konsekvensen av det första postulatet är att ljusets hastighet alltid är densamma, oberoende av ljuskällans eller mottagarens rörelse.
Ljusets hastighet är också speciell i ett annat avseende: inget föremål kan röra sig med denna eller större fart.
Som en direkt följd av dessa postulat existerar ingen eter, vilket förklarar resultatet från Michelson-Morleys experiment. Trots detta hör man ibland i radion frasen ”nu när vi sänder ut i etern”. Det är en välkänd metafor, men ur fysikalisk synpunkt förstås ett felaktigt påstående.
Ordet ”speciell” ska tolkas så att den speciella relativitetsteorin var begränsad, i motsats till den allmänna relativitetsteorin. Einstein lade fram den allmänna relativitetsteorin 1915. Den innefattar den speciella relativitetsteorin men är i hög grad en teori som behandlar gravita-
tionen och som bland annat beskriver hur ljusstrålar kröks i närheten av kroppar med stor massa, till exempel solen
Den allmänna relativitetsteorin är mycket komplicerad. I fortsättningen av kapitlet ska vi därför begränsa oss till att studera några av de konsekvenser som den speciella relativitetsteorin får för vår uppfattning av tid och rum.
Följande tankeexperiment, Einsteins tågexperiment, visar att en konsekvens av det första postulatet är att tiden beror på i vilket referenssystem den mäts.
Föreställ dig att ett tåg kör med hög hastighet i förhållande till marken. Plötsligt slår två blixtar ner – en vid varje ände av tåget –och sätter märken på både tåget och rälsen. Vi ska nu se hur Elin, som befinner sig ombord på tåget, och Joakim, som står på marken, beskriver händelsen.
v
Ett tåg med Elin ombord rör sig med hastigheten v samtidigt som två blixtar slår ner vid tågets ändar. Joakim betraktar händelsen från marken.
Elins beskrivning från tåget.
Joakim ser två blixtar slå ner samtidigt, den ena vid framänden och den andra vid bakänden av tåget ( tidpunkt 1 ).
Från platsen där Joakim står är avstånden till de båda nedslagspunkterna lika stora. Det innebär att den tid ljuset behöver för att gå från nedslagspunkten till honom är densamma ( tidpunkt 2). Joakim bedömer att blixtarna slog ner samtidigt.
Elin, som sitter i tåget, kommer att färdas en liten bit framåt under den tid det tar för ljuset att nå henne. Detta gör att ljuset från blixten som slår ner i framänden av tåget kommer att ha kortare väg att gå innan Elin ser det än ljuset från blixten som slog ner i bakänden. Därför anser Elin att blixten slog ner först i framänden och därefter i bakänden av tåget.
Elins slutsats är att de båda blixtnedslagen inte sker samtidigt – blixtnedslaget i framänden sker först.
Två händelser som är samtidiga för en iakttagare behöver alltså inte vara samtidiga för en annan – tiden är relativ. Joakim och Elin är oeniga om samtidigheten hos händelserna. Men ingen av dem har mer rätt än den andra. Inte heller har den ena mer fel än den andra.
En konsekvens av den speciella relativitetsteorin är alltså att två händelser som är samtidiga för en person kan ske vid olika tidpunkter ur en annan persons synvinkel.
Men inte nog med att Joakim och Elin är oeniga om samtidigheten – de är också oeniga om tågets längd. Joakim, som står på marken, mäter avståndet mellan nedslagspunkterna och menar att detta är detsamma som tågets längd.
Elin har en annan uppfattning. Hon resonerar : ”Markeringen i framänden av vagnen skedde när den första blixten slog ner. Eftersom tåget hann flytta sig en liten sträcka innan den andra blixten slog ner måste tåget vara längre än avståndet mellan de båda markeringarna.” Även längd är alltså en relativ storhet.
Den speciella relativitetsteorin ogiltigförklarar inte den klassiska fysiken utan ska snarare ses som en utvidgning av den. När föremål rör sig med farter som är mycket mindre än ljusets ger den klassiska mekaniken bra resultat, men när hastigheterna närmar sig ljusets är relativistiska beräkningar nödvändiga.
Med lite otur slår blixten ner i rälsen samtidigt som tåget passerar.
I föregående avsnitt såg vi att Einsteins postulat säger att alla observatörer mäter samma ljushastighet oavsett deras egen rörelse. Det gör att vi måste tänka om beträffande vissa andra storheter som vi gärna vill uppfatta som absoluta, till exempel tid och längd.
Låt oss fortsätta med Einsteins tågexperiment: tänk dig att Elin studerar en ljuspuls som reflekteras mellan två speglar, en vid golvet och en vid taket. Ljuspulsen färdas fram och tillbaka mellan de båda speglarna. Hon kan mäta den tid det tar för ljuset att färdas från golvet till taket. Denna tid kallar hon t0. Denna tid kallas egentiden för händelsen eftersom den mäts i det referenssystem där händelsen utspelas.
Joakim studerar samma skeende när tåget passerar och anser att tåget har förflyttats en liten sträcka medan strålen har färdats från golvet till taket. Enligt honom kommer alltså ljuset att följa en sicksackformad bana.
Eftersom Joakim anser att ljuspulsen har färdats en längre väg och att ljushastigheten de mäter är densamma måste den av honom uppmätta tiden vara längre. Joakim kallar sin tid för t
Under tiden har tåget rört sig sträckan s = v · t. Den rätvinkliga triangeln i bilden nedan visar hur Elin och Joakim uppfattar de sträckor ljuspulsen har färdats mellan speglarna.
Enligt Pythagoras sats gäller då
Från sin betraktelsepunkt på marken utanför tågvagnen tycker Joakim att ljuspulsen rör sig upp och ner i en sicksackbana mellan speglarna tillsammans med tåget i dess rörelse.
Tiden för rörelsen mellan speglarna kallar han t, och den sträcka som ljusstrålen färdas blir då ct. Men Elin, som sitter inne i tågvagnen, tycker att ljuspulsen rör sig enbart rakt uppåt och nedåt mellan speglarna. Tiden för rörelsen mellan speglarna kallar hon t0, och sträckan som ljuspulsen färdas blir då ct0
Detta kan skrivas om som
t2 (c2 – v2 )= c2 t0 2
Nu kan t lösas ut:
t√(1–v2 c2 )= t0 ⟺ t = t0 √(1–v2 c2 )
Eftersom nämnaren alltid är mindre än 1 kommer den stillastående betraktaren att uppleva det som att den rörliga klockan går långsammare än hans egen. Detta fenomen kallas tidsdilatation, efter latinets dilatare, ’fördröja’.
Joakim och Elin bestämmer sig för att testa relativitetsteorin. Elin ger sig därför ut i rymden med ett rymdskepp som håller hög fart medan Joakim stannar på jorden. Innan Elin åker iväg synkroniserar de sina klockor – klockorna går exakt lika fort och visar exakt samma tid.
Om tidsintervallet t0 förflyter enligt Elins klocka i rymdskeppet kommer Joakim att registrera tiden t på jorden. Sambandet mellan tiderna ges enligt relativitetsteorin av sambandet
t = t0
1–v2 c2
Här är c ljusets fart och v den fart med vilken det rörliga systemet rör sig. Anta att Elins rymdskepp rör sig med farten v = 2 · 108 m/s och att klockorna jämförs efter t0 = 2 år:
t = 2år
1–(2 ⋅ 108 )2 (3 ⋅ 108 )2
På jorden har alltså 2,7 år förflutit när det har gått 2 år i rymdskeppet. Relativitetsteorin säger alltså att tiden går långsammare om hastigheten ökar, sett ur en annan observatörs referenssystem. Lägg märke till att tiden inte saktar ner ur Elins synvinkel – det är endast från Joakims referenssystem som tiden går långsammare.
Att tiden går långsammare när man färdas nära ljusets hastighet är en av orsakerna till att vissa forskare pratar om att man i framtiden kan komma att färdas till andra stjärnor – och kanske till och med mellan galaxer.
Första gången tidsdilatationen observerades i verkligheten var när man observerade ett slags elementarpartiklar, myoner, som bildas på hög höjd i jordatmosfären.
Myonerna är instabila och sönderfaller med så kort halveringstid att endast ett mycket litet antal borde kunna nå ner till jordytan – men cirka hälften av de bildade myonerna når jorden.
Att detta är möjligt beror på att myonerna rör sig med en fart som är obetydligt mindre än ljusets. Den korta halveringstiden i det rörliga systemet ( sett ur myonens synvinkel ) motsvarar alltså en betydligt längre tid i jordens referenssystem ( t > t0 ). Partiklarna hinner alltså tillryggalägga en mycket längre sträcka.
När myoner bildas i de övre lagren av atmosfären har de farter på upp till 99,99 % av ljusets. Halveringstiden för sönderfallet
är 2,0 µs i myonens vilosystem.
a) Hur lång är halveringstiden, sett ur jordens referenssystem?
b) Hur långt hinner en myon röra sig, sett ur jordens referenssystem, under en halveringstid?
Lösning
a) I jordens referenssystem är halveringstiden:
t = 2 10 6
√1 0,9992 ≈ 141,43μs
eftersom v = 0,9999c.
b) Myonen hinner röra sig sträckan:
s = v · t = 0,9999 · 3 · 108 · 141,43 · 10–6 m = 4,2 · 104 m.
Svar
a) Halveringstiden är cirka 140 ms.
b) Myonen hinner röra sig 42 km.
I det föregående exemplet såg vi att tiden är längre ur jordens referenssystem, men att tiden i myonernas referenssystem fortfarande är lika kort. Hur kan de då nå jorden? Anledningen är att sträckan till jorden är kortare sett från det rörliga systemet. Fenomenet kallas längdkontraktion.
0,40c
Längdkontraktionen för ett stillastående rymdskepp som en observatör upplever i ett rörligt referenssystem är starkt beroende av den relativa hastigheten. v = 0,00c
= 0,99c
Vi återgår till Joakim och Elin. Sträckan l0, som uppmätts av Elin, motsvaras av en sträcka l uppmätt av Joakim. Sambandet mellan sträckorna ges enligt relativitetsteorin av sambandet
Anta att Elin mäter rymdskeppets längd till l0 = 20,0 m. Då kommer Joakim, som står på jorden, att mäta längden l = 20,0m ⋅
1 (2 ⋅ 108 )2 (3 ⋅ 108 )2 = 14,9m
Mätt från jorden är rymdskeppet alltså 14,9 m långt. Relativitetsteorin säger alltså att längden minskar om hastigheten ökar.
Lägg märke till att längden inte minskar ur Elins synvinkel – detta sker endast i Joakims referenssystem. På motsvarande sätt skulle
Elin säga att det är jorden som har blivit plattare – ur rymdskeppets referenssystem rör sig ju jorden.
Eftersom myonerna rör sig med en fart som är obetydligt lägre än ljusets är sträckan ner till jordytan kort ur myonernas perspektiv.
Myoner bildas i atmosfären på mellan 10 och 15 km höjd över jordytan. Hur långt är det ner till jordytan i myonernas referenssystem om de rör sig med 99,9 % av ljushastigheten?
Anta att myonerna bildas på 12,5 km höjd.
Lösning
Använd formeln för den relativistiska längdkontraktionen:
12,5 ⋅ 0,04471 = 0,5589km
Svar: I myonernas referenssystem är jordens atmosfär bara cirka 600 m tjock.
Om man tillför rörelseenergi till ett föremål ökar dess hastighet. Eftersom ljusets hastighet är den högsta möjliga hastigheten måste energitillförseln även resultera i något annat – annars skulle ju så småningom ljushastigheten överskridas. Den speciella relativitetsteorin visar att ett föremål som rör sig med en hastighet nära ljusets får egenskaper som om dess massa ökar. Denna massa kallas den relativistiska massan.
Vi återgår än en gång till Joakim och Elin. Elin mäter rymdskeppets massa till vilomassan m0 (massan relativt det egna referenssystemet) och Joakim mäter den till m. Sambandet mellan massorna ges enligt relativitetsteorin av sambandet
m = m0
1 v2 c2
Anta att Elin mäter rymdskeppets massa till m0 = 200 ton. Då kommer Joakim, som står på jorden, att mäta den relativistiska massan
Du ser att den relativistiska massan hos ett föremål ökar då v närmar sig c och att farten omöjligt kan uppnå värdet c – då skulle den relativistiska massan bli oändlig.
”Jumpships” i TV-serien Foundation (2021) kan färdas med överljushastighet.
Den totala energin hos ett föremål ges relativistiskt av uttrycket
W = m · c2
Einstein, som är far till denna berömda ekvation, betecknade energin med E (således E = mc2). Här betecknar m den relativistiska massan, som kan beräknas med uttrycket
m = m0
Den energi som kan utvinnas om en mängd materia i vila omvandlas till energi kallas viloenergin, där m0 är partikelns vilomassa:
W = m0 ⋅ c2
Om vi ökar rörelseenergin hos en partikel i vila kommer den att börja röra sig. Ju mer rörelseenergi partikeln får, desto större blir dess hastighet och dess relativistiska massa. Ju större denna relativistiska massa blir, desto svårare blir det att ytterligare öka partikelns hastighet. Detta är orsaken till att vi aldrig kan accelerera en partikel så att den når ljusets hastighet. Vi kan komma mycket nära men aldrig ända fram. Testa att sätta v = c i formeln för relativistisk massa och se vad som händer.
Vid normala hastigheter är Wk = mv 2/2 en tillräckligt bra approximation, och det är inte förrän v överstiger 10 % av ljusets hastighet som vi behöver använda det relativistiska uttrycket. Den relativistiska rörelseenergin fås genom att subtrahera viloenergin från totalenergin hos en partikel:
Som framgår av detta uttryck skulle det krävas en oändlig mängd energi för att uppnå ljusets hastighet om partikelns vilomassa är skild från noll.
EXEMPEL 3
Man kan tänka att det är nästan omöjligt att uppnå relativistiska hastigheter i klassrummet, men kanske har ni redan gjort det! I avsnittet om kaströrelse i elektriska fält användes en elektronkanon för att accelerera elektronerna. Eftersom elektroner har väldigt liten massa behövs inte så stor spänning för att accelerera dem till höga hastigheter.
Anta att elektronerna accelereras av en spänning på 5 500 V. Hur stor blir då deras hastighet?
Lösning
Vi börjar med att räkna klassiskt. Elektronernas rörelseenergi blir
Detta är mer än 10 % av ljushastigheten och vi måste därför räkna relativistiskt för att få ett korrekt värde.
Den tillförda energin är densamma, W = QU, men nu har en del av denna energi gått åt till att öka elektronens massa. Wk = m
En trevlig algebrauppgift är att försöka lösa ut v ur ovanstående uttryck om vi ersätter Wk med QU: Q U = m0 c2
1 v2 c2 m0 c2 Q U + m0 c2 = m0 c2
1 v2 c2
Svar: 4,4 · 107 m/s
SAMMANFATTNING
* Relativitetsteorin beskriver rummets och tidens egenskaper givet att alla observatörer mäter samma ljushastighet i vakuum oavsett sin egen eller ljuskällans rörelse, och att fysikens lagar är desamma i alla referenssystem som rör sig med konstant hastighet i förhållande till varandra.
* Michelson–Morleys experiment visade att ljuset inte utbreder sig i ett förmodat medium som kallades eter.
* Samtidighet är ett relativt begrepp som innebär att två händelser som sker vid samma tidpunkt för en obser-
vatör kan inträffa vid olika tidpunkter för en annan observatör i relativ rörelse.
* Tidsdilatation är när tiden går långsammare för en observatör i rörelse, sett från en stillastående observatörs perspektiv.
* Längdkontraktion innebär att längden på ett föremål i rörelse upplevs som kortare i rörelseriktningen av en stillastående observatör.
* Relativistisk massa beskriver hur ett föremåls massa verkar öka när ett föremåls hastighet närmar sig ljusets.
* Energi och massa är relaterade enligt E = mc2, där m är föremålets vilomassa och c är ljushastigheten.
* Ingen partikel med vilomassa kan nå ljusets hastighet eftersom det skulle krävas oändlig energi.
1. Vilken är den uppenbara paradoxen beträffande ljusets hastighet?
2. Vad kallades det hypotetiska medium som man vid tiden för Michelson–Morleys experiment trodde att ljusvågor behövde för att förflyttas?
3. Vilket var syftet med det experiment som genomfördes 1887?
4. När publicerades Einsteins speciella relativitetsteori?
5. Vilket var det första postulatet som Einstein satte upp som grund för sin speciella relativitetsteori?
6. Vad blev konsekvensen av Einsteins postulat om ljusets hastighet för etern?
7. Vad händer med ett föremål med vilomassa om det närmar sig ljusets hastighet i vakuum?
8. Vad är slutsatsen om samtidighet från Einsteins tågexperiment?
9. Vad kallas tiden som mäts i det referenssystem där händelsen utspelas?
10. Vad kallas fenomenet att en stillastående betraktare upplever att en rörlig klocka går långsammare?
11. Vad kallas fenomenet att en sträcka är kortare sett från ett system i rörelse?
12. Vad händer med ett föremål som rör sig med en hastighet nära ljusets, enligt den speciella relativitetsteorin?
1.6.1
Tre bilar kör på en motorväg. Två av bilarna, A och B, kör åt samma håll och har farterna 90 km/h respektive 110 km/h. Bil C färdas åt motsatt håll med farten 70 km/h.
a) Hur stor hastighet har bil B relativt bil A?
b) Hur stor hastighet har bil C relativt bil A?
1.6.2
En stjärnkryssare är på väg mot jorden med hastigheten 0,7c (70 % av ljushastigheten). När stjärnkryssaren närmar sig jorden skickas en ljussignal mot jorden för att meddela att den är på väg.
a) Hur snabbt tycker passagerarna på stjärnkryssaren att ljuset avlägsnar sig på sin färd mot jorden?
b) Hur snabbt tycker mottagarna på jorden att ljuset kommer mot dem?
1.6.3
Två tvillingar, Adam och Eva, är 20 år gamla. Adam bestämmer sig för att ta en lång charterresa till ett planetsystem runt en annan stjärna. Samma dag som han äntligen kommer fram fyller han 35 år. Hur gammal är då Eva, som har stannat kvar på jorden? Adam färdas under hela resan med farten 2,8 · 108 m/s.
1.6.4
Rymdskeppet Enterprise är 45,0 meter långt. Eftersom det rör sig mycket snabbt relativt jorden uppfattas längden från jorden till 25,0 m. Hur fort färdas Enterprise?
1.6.5
I en av acceleratorerna vid MAX IV-laboratoriet i Lund uppnår elektronerna den imponerande farten 99,886 % av ljusets fart. Hur stor massa har dessa elektroner?
LIKFORMIGT ACCELERERAD RÖRELSE
När ett föremål med massan m påverkas av en konstant accelererande kraft Fres blir accelerationen a konstant:
Fres = m · a
Sträckan s, hastigheten v och tiden t kan beräknas med sambanden
s = v0 t + 1 2 a t2
v = v0 + a · t
v2 = v0 2 + 2 · a · s
om kraften är i eller motsatt rörelsens riktning.
Dessutom gäller vid alla rörelser att
s = vm t = v0 + v 2 t
där vm är medelhastigheten och v0 är begynnelsehastigheten.
En kaströrelse där man bortser från luftmotståndet kan beskrivas genom komposantuppdelning. Då är rörelsen likformig i x-led och föremålet påverkas inte av någon resulterande kraft. I y-led är rörelsen likformigt accelererad och den accelererande kraften är konstant.
Följande samband gäller för den tillryggalagda sträckan s under kaströrelsen:
sx(t) = v0x · t
sy (t)= v0y ⋅ t 1 2 ⋅ g ⋅ t2
där g är tyngdaccelerationen och v0x =
där α är kaströrelsens utgångsvinkel relativt horisontalplanet.
Föremålets totala energi, det vill säga summan av lägesenergin och rörelseenergin, är densamma under hela rörelsen.
Speciellt gäller att
där m är föremålets massa, v0 begynnelsefarten och v farten i en godtycklig punkt där partikeln befinner sig på höjden h relativt utgångsläget.
En laddad partikels rörelse i ett elektriskt fält kan beskrivas med en kaströrelse. I fältriktningen påverkas den laddade partikeln av en konstant kraft F och vinkelrätt mot denna inte av någon kraft alls. Härmed är betingelserna desamma som för en ”vanlig” kaströrelse. Kraften ges av
F = q ⋅ E = q ⋅ U d
där q är partikelns laddning, E den elektriska fältstyrkan och U spänningen över två parallella ledande plattor separerade med avståndet d
Den konstanta accelerationen kan beräknas med kraftlagen:
F = m · a
CIRKULÄR RÖRELSE
En centralrörelse uppkommer då den resulterande kraften på föremålet är vinkelrät mot hastigheten och har konstant storlek.
I en cirkulär centralrörelse rör sig ett föremål i en cirkelbana med konstant banfart. För att detta ska vara möjligt måste föremålet hållas kvar i banan av en resulterande kraft riktad mot banans centrum. Denna kraft kallas ibland centralkraft eller centripetalkraft.
I banan är föremålet accelererat trots att farten är konstant. Det beror på att hastigheten, som är tangent till bankurvan, hela tiden ändrar riktning.
Accelerationen kan beräknas antingen med hjälp av banfarten v, frekvensen f, omloppstiden T eller vinkelhastigheten ω, beroende på vilket samband som är mest praktiskt: a
Relativitetsteorin bygger på två grundläggande postulat:
1. Ljusets fart är oberoende av referenssystemets rörelse.
2. Fysikens lagar är lika i alla referenssystem som rör sig med konstant hastighet i förhållande till varandra.
Som en konsekvens av det första postulatet gäller till exempel, beroende på i vilket system rörelsen beskrivs, att
p samtidigheten hos händelser upplevs olika,
p tiden förflyter olika snabbt,
p längder mäts olika i olika referenssystem, p en partikels massa ökar med dess hastighet.
För relativistisk tid gäller följande samband:
t = t0 √1 v2 t2
där t0 är tiden uppmätt i ett system som rör sig med farten v i förhållande till det fasta systemet. Den sträcka l0 som uppmätts i det fasta systemet motsvaras av en sträcka l uppmätt i det rörliga systemet. Sambandet mellan sträckorna ges av
l = l0 √1 v2 c2
Sambandet för att beräkna massan hos ett föremål som rör sig med farten v är
m = m0 √1 v2 c2
där m0 betecknar vilomassan och m den relativistiska massan. Den totala energin hos ett föremål ges relativistiskt av det välkända uttrycket
W = m · c2
Den kinetiska energin kan beräknas som totalenergin minskad med viloenergin:
Wk = m · c2 m0 · c2
SVÅRIGHETSGRAD 1
1.B.1
En kula rullar över kanten på en bordsskiva med hastigheten 0,35 m/s. Bordsskivan är 72 cm över golvet.
a) Hur lång tid tar det för kulan att nå golvet?
b) Var träffar kulan golvet?
1.B.2
Hur stor kraft behövs för att du ska kunna hålla dig kvar på en horisontell karusellplatta som snurrar ett varv på 5,0 s om du står 1,7 m från rotationsaxeln?
1.B.3
Anta att det enbart är friktionskraften som håller dig kvar på karusellplattan ovan. Vad måste då gälla om friktionstalet?
1.B.4
En bil kör över ett backkrön med den konstanta farten 65 km/h. Bilen väger 650 kg och backkrönet kan antas vara en cirkelbåge med radien 45 m. Rita en figur där samtliga krafter som verkar på bilen är utsatta med korrekt storlek angiven. Bortse från luftmotståndet och motorns kraft framåt.
1.B.5
En kula rullar över bordskanten med hastigheten 4,5 m/s. Avståndet från bordsytan till golvet är 85 cm. Hur långt bort från bordskanten landar kulan på golvet?
1.B.6
En simhoppare springer rakt ut på 10-meterstrampolinen med farten 4,2 m/s. Hur långt ut i bassängen landar han?
1.B.7
Ett mynt ligger på en skivtallrik som snurrar med 45 varv per minut.
a) Vilket är det minsta möjliga friktionstal som kan hålla kvar myntet på ett avstånd av 12 cm från rotationsaxeln?
b) Rita en skalenlig figur över samtliga krafter som verkar på myntet. Det ska klart framgå av bild eller text hur myntet rör sig i den aktuella situationen.
1.B.8
En kula rullar rakt ut från en bänk med höjden 1,1 m över golvet. Kulan landar 1,4 m bort i x- led. Beräkna kulans utgångshastighet.
1.B.9
Anta i stället att kulan i föregående uppgift har en bestämd utgångshastighet, 2,5 m/s. Hur långt bort landar den om dess bana vinklas så att kulan färdas snett uppåt med vinkeln 30°?
1.B.10
Två stjärnkryssare färdas mot varandra. Starcruiser Alfa har hastigheten 2 · 108 m/s och Starcruiser Omega har hastigheten 1 · 108 m/s. I ett visst läge sänder Omega ut en ljuspuls mot Alfa. Hur stor hastighet mäter Alfa att ljuspulsen har när den passerar Alfa?
1.B.11
När man bygger hoppbassänger vill man vara säker på att det inte går att hoppa så långt att man slår i den motsatta bassängkanten.
a) Anta att man springer rakt ut från ett hopptorn som är 10 m högt. Hur lång måste då bassängen minst vara för att man inte ska slå i motsatta kanten?
b) Man kan komma ännu längre om man hoppar snett uppåt. Hur mycket längre kommer man om man, med samma fart, hoppar snett uppåt med vinkeln 30°?
SVÅRIGHETSGRAD 2
1.B.12
Med en leksakskanon som står på ett golv skjuts en kula iväg med utgångshastigheten 2,5 m/s i vinkeln 35° mot golvet.
a) Hur stora är utgångshastighetens komposanter?
b) Vilken maximal höjd når kulan?
c) Hur långt bort slår kulan ner?
1.B.13
Två små stenar kastas samtidigt från punkterna A och B och kolliderar i punkten P. Punkterna A och B ligger 28 m från varandra. Utgångshastighetens horisontella och vertikala komposanter framgår av bilden.
12,0 m/s 12,0 m/s 5,0 m/s 9,0 m/s A B C P
Beräkna höjden CP (bortse från luftmotståndet). Figuren är inte skalenligt ritad.
1.B.14
Två rymdraketer, A och B, rör sig mot varandra, båda med hastigheten 1 · 108 m/s. Vid en given tidpunkt sänder raket A ut en ljusstråle mot den andra raketen. En kort stund senare passerar ljusstrålen raket B och astronauterna i raket B mäter ljusstrålens fart. Beräkna denna fart.
1.B.15
Tänk dig att du snurrar en hink med vatten i en vertikal cirkel. Plötsligt går handtaget på hinken av. Hinken
befinner sig 1,9 m över marken och har en uppåtriktad hastighet av 8,5 m/s riktad 60° mot horisontalplanet. Hur långt bort slår hinken i marken?
1.B.16
Rebecka kastar boll med sin mamma Cissi. När Cissi kastar bollen lämnar den hennes händer med farten 1,7 m/s på höjden 1,3 m över marken. Rebecka fångar bollen på höjden 0,35 m över marken. Vilken fart har bollen då?
1.B.17
I ett experiment placerades ett mynt på en skivtallrik som snurrade 78 varv/minut. Myntet flyttades längre och längre från mitten tills det åkte av skivtallriken. Det yttersta läget varifrån myntet flög av var 4,6 cm från centrum. Använd denna information för att beräkna ett värde på friktionstalet mellan myntet och skivtallriken.
1.B.18
Den internationella rymdstationen ISS rör sig i en cirkulär bana cirka 350 km över jordytan. Vilken banfart och omloppstid har denna rymdstation?
1.B.19
Nedan visas en bild på världens första loop i en berg-och-dalbana, den franska ”French centrifugal railway” från 1845. Loopen har en diameter på 13 fot (räkna med att en fot är 33 cm).
Beräkna hur högt över loopens lägsta punkt kälken måste starta för att passera loopens högsta punkt utan att trilla ner. Bortse från energiförluster på vägen ner.
1.B.20
En leksaksbil med massan 75 g passerar övre delen av en loop utan att falla ner. Loopens radie är 12 cm.
a) Rita samtliga krafter som verkar på bilen när den precis klarar av att passera denna punkt.
b) Beräkna den minsta hastigheten bilen måste ha för att passera denna punkt.
1.B.21
En kulstötare släpper kulan 2,0 m över marken med en utgångshastighet av 11 m/s i en vinkel av 40° mot markplanet. Hur lång blir stöten?
1.B.22
Anta att tåget som beskrivs i Einsteins tågexperiment har längden 35 m när det står stilla. När tåget passerar Joakim, som står på marken bredvid tåget, uppfattar han det som att det var 5,0 m långt.
a) Hur fort färdas tåget?
b) Hur stor massa anser Joakim att tåget har om dess vilomassa är 8,3 ton?
1.B.23
En bil med massan 780 kg kör över ett backkrön med hastigheten 70 km/h. Backkrönet kan betraktas som en cirkel med radien 45 m. Beräkna de krafter som verkar på bilen högst uppe på backens krön. Bortse från motorns framdrivande kraft, luftmotstånd och friktion.
1.B.24
Cilla, som väger 37 kg, sitter och gungar. I gungans ytterläge bildar gungans linor vinkeln 50 grader relativt vertikalriktningen. Hur stor blir kraften i vardera linan när gungan passerar sin lägsta punkt? Cillas tyngdpunkt befinner sig då 2,1 m från linornas upphängningspunkt. Bortse från energiförluster vid beräkningarna.
1.B.25
En kula skjuts upp med hastigheten 22 m/s i kastvinkeln 27°.
Hur stor är kulans hastighet i kastbanans högsta punkt? Bortse från luftmotståndet.
1.B.26
En liten kula med massan 55 g är fäst i en tråd. Man låter kulan utföra en konisk pendelrörelse så att tråden bildar vinkeln 24° med lodlinjen. Hur stor är den resulterande kraften?
24°
55 g
1.B.27
Ett mynt ligger på en skivtallrik (se figur). Skivtallriken snurrar 78 varv per minut.
a) Rita av figuren till vänster och markera myntets momentanhastighet och acceleration med två olika pilar (det ska framgå vilken som är vilken). Skivtallriken roterar medsols.
b) I nästa figur ser vi myntet ligga på skivtallriken på väg bort från oss. Rita samtliga krafter som verkar på myntet.
c) När myntet läggs 4,8 cm från mitten är det på gränsen att glida av skivtallriken. Använd detta för att beräkna friktionstalet mellan mynt och skivtallrik.
1.B.28
En bil med massan 750 kg kör under en viadukt. Vägen under viadukten kan betraktas som en cirkelbåge med radien 36 m. Rita en figur och sätt ut tyngdkraft och normalkraft på bilen när den passerar lägsta punkten med en hastighet av 48 km/h.
1.B.29
Om du åker på upptäcktsfärd i universum i min hembyggda raket som har toppfarten 0,95c och kommer tillbaka när det gått 25 år på jorden, hur mycket har du åldrats under denna tid?
1.B.30
Om du riktar pipan på ett gevär mot mitten av måltavlan kommer skottet inte att träffa tavlans mitt. Anta att du skjuter ett skott mot en tavla som befinner sig 100 m bort. Kulans utgångshastighet är 270 m/s. Hur långt under mitten av tavlan träffar skottet? Bortse från luftmotståndet.
1.B.31
För att kompensera för att kulan faller i föregående uppgift ställer du in siktet så att pipan får en viss lutning.
Hur mycket ska gevärspipan lutas för att skottet ska träffa mitt i prick? Anta att gevärspipan och måltavlans mitt befinner sig på samma höjd.
1.B.32
En leksaksbil med massan 125 g gör en loop i en bana med radien 25 cm.
a) Med vilken fart måste bilen minst passera banans högsta punkt för att inte falla ner?
b) Anta att bilen passerar den högsta punkten med denna, lägsta möjliga, fart. Den fortsätter därefter ner till banans lägsta punkt. Ange samtliga krafter som verkar på bilen till storlek och riktning. Anta att bilen rör sig friktionsfritt i banan.
1.B.33
Hur lång uppfattas en sträcka som i jordens referenssystem är 2,4 km i ett system som rör sig med 99,99 % av ljusets fart?
1.B.34
I golf gäller det som bekant att slå ner bollen i ett hål på så få slag som möjligt. Putten får inte vara för hård – då kan bollen passera hålet utan att falla ner.
Anta att bollen hamnar i hålet om den faller minst en bollradie innan den slår i den motsatta sidan av hålet (se figur). Beräkna med denna modell den största hastighet bollen får ha i läge A om den ska hamna i hålet. Golfbollens radie är 2,1 cm och hålets diameter 10,8 cm.
1.B.35
En elektron med hastigheten 1,8 · 107 m/s kommer in horisontellt mitt emellan två laddade plattor. Plattorna är 10,0 cm långa och avståndet mellan dem är 4,00 cm. Mellan plattorna ligger en spänning på 250 V med den övre plattan positiv. Beskriv och beräkna elektronens rörelse när den kommer in mellan plattorna.
1.B.36
Den ”flygande grisen” har massan 160 g och rör sig i en bana med radien 96 cm och omloppstiden 1,2 s. Rita en figur och sätt ut de krafter som verkar på grisen när den flyger. Bortse från luftmotståndet och vingarnas kraft framåt.
1.B.37
En kula Q är upphängd i ett långt snöre enligt bilden. Om kulan släpps från höjden h kommer den att beskriva en pendelrörelse tills dess att snöret träffar den undre pinnen P. Om kulan har tillräckligt stor fart kommer den därefter att beskriva en cirkulär centralrörelse.
a) Från vilken höjd måste kulan släppas för att detta ska inträffa om radien i den lilla cirkeln är 12 cm?
b) Undersök hur högt upp kulan måste släppas för några andra värden på radien, till exempel 15 cm, 17 cm och så vidare.
c) Uttryck höjden h som funktion av radien r i det allmänna fallet.
1.B.38
Vid de olympiska spelen i Beijing år 2008 var BMX-cykling för första gången med på programmet. En BMX-bana innehåller en mängd gupp, både enstaka och i grupper. Den tävlande kan ha två olika taktiker när ett dubbelgupp ska passeras:
p Hålla hög fart så att båda guppen tas i ett hopp.
p Hålla så låg fart att cykeln har markkontakt hela tiden.
Beräkna tidsvinsten som görs om man flyger över de två guppen (från A till B) i jämförelse med att ha största möjliga konstanta hastighet utan att man lämnar vägbanan i någon punkt.
Vid beräkningarna kan cyklisten betraktas som punkt-
formig. Utgå från att banprofilen kan beskrivas med två kvartscirklar med radien 4,0 m och däremellan en kvartscirkel med radien 6,0 m (se figuren nedan).
1.B.39
År 1672 mätte Cassini avståndet till solen och beräknade det till ungefär 150 miljoner kilometer. Drygt 100 år senare, 1798, bestämde Cavendish den allmänna gravitationskonstanten. Använd information om dessa storheter och årets längd för att beräkna ett värde för solens massa. Redovisa eventuella antaganden som behövs för beräkningarna.
FÖRDJUPNING
Alla har vi väl någon gång stått på en flygplats och tittat på en jumbojet med tanken ”hur är det möjligt att få upp denna gigant i luften?”. På samma sätt har kanske den fotbollsintresserade funderat över hur det är möjligt att skruva bollen förbi muren och in i målet.
Intressant nog är det till viss del samma fysikaliska princip, Magnuseffekten, som orsakar båda dessa fenomen. Det är ganska enkelt att i klassrummet visa hur det fungerar.
Håll ett vanligt A4-papper framför munnen och låt det hänga ner enligt
bilden nedan. Blås sedan över papperet. Observera att du inte skall blåsa ner på papperet utan ovanför det. Du upptäcker då att papperet lyfter.
När du blåser över papperet kommer lufttrycket att minska på ovansidan. Det beror på att trycket påverkas av rörelsen hos luftens molekyler så att ju snabbare luften rör sig, desto lägre blir trycket. Eftersom trycket inte förändras på undersidan av papperet kommer det högre trycket underifrån att lyfta papperet.
Det är exakt detta som händer när
Håll papperet mot underläppen och låt det hänga ner.
ett flygplan lyfter. Vingarnas form är sådan att luften strömmar snabbare på ovansidan än på undersidan av vingarna, vilket skapar ett undertryck på vingarnas ovansida som får flygplanet att lyfta.
Precis samma princip gäller när du ska skruva fotbollen förbi muren eller rakt in i mål vid en hörna. Genom att träffa bollen så att den börjar rotera kommer luften att strömma olika fort på bollens olika sidor. Om bollen roterar moturs trycks den åt sidan av en kraft mot vänster.
När du blåser över papperet lyfter det sig.
En skruvad hörnspark sätter fotbollen i rotation och skapar en kraft som gör att bollbanan kröks.
KAPITEL 2:
Norrskenet bildas när laddade partiklar från solen fångas in av jordens magnetfält och förs ner i atmosfären. Där joniseras atomer som sänder ut ljus.
AVSNITT 1: mAg NET fä LT
Magneter har en nordpol och en sydpol som förbinds av slutna magnetiska fältlinjer. Magnetiska fält orsakas av laddningar i rörelse och finns på alla skalor – i atomer, permanentmagneter och i jordens inre. Genom samverkan mellan dessa fält uppstår magnetiska krafter som attraktion och repulsion.
ORD OCH BEGREPP
Fältlinje är en tänkt linje som i varje punkt visar vilken riktning nordänden på en kompassnål pekar.
Magnetfält är ett vektorfält som skapas av rörliga elektriska laddningar och som visas med slutna fältlinjer.
Magnetisk dipol är en källa till ett magnetfält vars slutna fältlinjer går ut från nordpolen och in i sydpolen.
Magnetisk flödestäthet är ett mått på det magnetiska fältets styrka mätt i SI-enheten tesla (T).
Magnetiskt dipolmoment anger styrkan hos en magnetisk källa.
Magnetism orsakas av elektriska laddningar i rörelse vilket ger upphov till magnetiska dipoler.
Permanentmagnet är ett material som är naturligt magnetiskt.
Orienteringen av elektronernas dipolmoment i ett magnetiskt och ett omagnetiskt material. Pilarna pekar i de magnetiska dipolfältens nordriktning. I ett magnetiskt material är de upplinjerade vilket ger upphov till ett magnetiskt dipolfält. I ett omagnetiskt material tar dipolmomentens riktningar ut varandra och nettomagnetismen är noll.
Magnetism uppkommer eftersom elektronen beter sig som en liten magnet med nordpol och sydpol, en så kallad magnetisk dipol. Man kan jämföra magnetiska dipoler med elektriska dipoler, som bildas av två motsatta elektriska laddningar på ett litet avstånd från varandra.
Från den elektriska dipolen utgår fältlinjer som visar det elektriska fältets styrka. Magnetfältet från en elektrisk strömslinga har på stora avstånd vissa likheter med det elektriska fältet från en elektrisk dipol. Man talar därför om magnetiska dipoler trots att inga ”magnetiska laddningar” existerar på samma sätt som elektriska (positiva och negativa) laddningar.
Styrkan hos den magnetiska källan anges av det magnetiska dipolmomentet, som även har en riktning. I de flesta material är elektronernas magnetiska dipolmoment helt slumpmässigt ordnade och tar ut varandra, men i vissa material, som magnetit, kan de magnetiska momenten samverka och göra materialet mer eller mindre magnetiskt. Då bildas en permanentmagnet .
Rent järn är ett exempel på ett material som i sig inte är magnetiskt eftersom elektronernas dipolmoment i genomsnitt är slumpmässigt ordnade. Men om en bit järn utsätts för ett magnetfält från en permanentmagnet kommer dipolmomenten i järnbiten att orientera sig efter det yttre magnetfältet och göra järnet magnetiskt. Denna upplinjering varar dock bara så länge det yttre fältet påverkar järnbiten. Så fort man tar bort magneten återgår elektronerna till sina ursprungliga orienteringar, dipolmomenten blir slumpmässiga igen och järnets magnetisering försvinner.
magnetiskt omagnetiskt
Den enklaste formen av magnet kallas stavmagnet. En sådan består av två poler, nordpol och sydpol. För att särskilja polerna målar man vanligtvis nordpolen röd och sydpolen vit.
En stavmagnet har en nordpol i ena änden och en sydpol i den andra. Magnetfältet runt en stavmagnet kan illustreras med järnfilspån som orienterar sig efter de magnetiska fältlinjerna. Fältlinjerna från en stavmagnet går ut från nordänden och in i sydänden.
För att illustrera magnetfältets riktning i rummet ritar man ut kurvor som binder samman fältets riktning i många punkter. Sådana kurvor kallas fältlinjer. Magnetiska fältlinjer går ut från nordpolen och in mot sydpolen. Kring en stavmagnet bildas ett magnetiskt dipolfält. En stor skillnad mellan magnetiska och elektriska fält är att magnetiska fältlinjer alltid är slutna. De går ut från nordpolen i en båge in mot sydpolen och fortsätter inne i magneten så att slutna kurvor bildas. Detta innebär att om man bryter sönder en magnet får man alltid en ny, men lite svagare, magnet. Magnetiska monopoler, analogt med positiva och negativa elektriska laddningar, existerar så vitt man vet inte.
En annan vanlig typ av magnet är hästskomagneten. Det speciella med denna är att magnetfältet mellan skänklarna är homogent och de kan därför förbindas med parallella fältlinjer.
Magnetfältet runt en stavmagnet kallas dipolfält. Fältets riktning är densamma som den riktning mot vilken en liten kompassnål pekar. Det innebär att fältet går ut från stavmagnetens nordände och in mot dess sydände.
Mellan skänklarna på en hästskomagnet är magnetfältet i stort sett homogent.
När två lika magnetiska poler vänds mot varandra, till exempel två nordpoler, repellerar magneterna varandra. De magnetiska fältlinjerna som går ut från varje nordpol kan inte förenas utan böjer i stället av och ”tar ut varandra” i området mellan magneterna. Denna interaktion mellan magnetfälten resulterar i en repellerande kraft som trycker magneterna bort från varandra.
Om en nordpol och en sydpol förs nära varandra kommer fältlinjerna som går ut från nordpolen på den ena magneten att naturligt fortsätta in i sydpolen på den andra magneten. Detta skapar ett starkt, sammanhängande magnetfält mellan de två magneterna, vilket resulterar i en attraherande kraft som drar dem samman. Två olika magnetiska poler som vänds mot varandra ger därför upphov till en attraktion.
Magnetisk attraktion och repulsion kan förklaras av att fältlinjerna alltid strävar efter att bilda slutna banor från nordpol till sydpol.
Magnetiska fältlinjer från två stavmagneter med nordändarna vända mot varandra. I gapet mellan magneterna syns nästan inga fältlinjer eftersom fälten i stort sett tar ut varandra. De två magneterna repellerar varandra.
Magnetiska fältlinjer från två stavmagneter med nord- och sydändarna vända mot varandra. I gapet mellan magneterna förstärks fälten från de två magneterna som därför attraherar varandra.
Det jordmagnetiska fältets fältlinjer kan ses på denna bild tagen från rymdstationen ISS. I den så kallade norrskensovalen som omger jordens magnetiska nordpol är polarskensaktiviteten som högst. Inom denna zon är de geomagnetiska fältlinjerna nästan vertikalt orienterade mot jordytan. Om man hade kunnat se fältlinjernas fulla utsträckning hade man insett att de sammanstrålar i jordens centrum och bildar ett dipolfält.
Jordens magnetfält kan visas med hjälp av en kompassnål. Den riktning som en fritt rörlig kompassnål ställer in sig mot visar magnetfältets orientering i just den punkten. Den rödmålade änden på kompassnålen (nålens magnetiska nordände) pekar mot magnetfältets sydpol. Magnetfältets sydpol ligger nära jordens geografiska nordpol. Fältlinjerna går ut från nordänden och in i sydänden, precis som för en permanentmagnet.
Jordens magnetfält är mycket likt fältet kring en stavmagnet, ett så kallat dipolfält. Forskare anser därför att jordens magnetfält orsakas av elektriska strömmar djupt i jordens inre. Förekomsten av permanent magnetiska material i jordskorpan orsakar dock störningar i det välordnade dipolfältet. Fältets utseende avviker därför till viss del från ett dipolfält.
Jordens magnetiska nord–sydaxel sammanfaller inte med rotationsaxeln.
Vinkeln mellan axlarna är cirka 4°.
Om du undersöker jordens magnetfält med en vanlig kompass ställer nålen in sig mot norr. Egentligen ställer den in sig mot jordens magnetiska sydpol som ligger en bit från geografiska nordpolen. Avvikelsen mellan nordriktningen och magnetfältets riktning kallas missvisning eller deklination och är tidsberoende. I Sverige är missvisningen mellan 5° och 12°, och den ökar ju längre norrut man kommer.
Eftersom kompassens nål bara är rörlig i horisontell led ger den ingen information om hur mycket magnetfältet ”lutar” mot marken. Om du undersöker magnetfältets riktning med en fritt rörlig kompassnål visar det sig att magnetnålens nordände pekar kraftigt nedåt på våra breddgrader.
Vinkeln mellan horisontalplanet och magnetfältets riktning kallas inklination. Denna vinkel varierar mellan 0° vid ekvatorn och 90° vid nordpolen (egentligen den magnetiska sydpolen). I södra Sverige är inklinationen cirka 70°, i norr cirka 78°.
magnetisk sydpol
geografisk nordpol
geografisk sydpol
magnetisk nordpol
negativ positiv noll
Jordens geografiska och magnetiska poler ligger inte på samma plats. Det innebär att en magnetnål inte pekar exakt norrut. Denna avvikelse kallas missvisning eller deklination. Kartan visar en modell av deklinationen på jordytan för år 2025. Värdet varierade då i Sverige mellan +5 grader i sydväst och +12 grader i nordöst.
negativ positiv noll
Den vinkel som magnetfältet bildar mot horisontalplanet kallas inklination. Inklinationen beror huvudsakligen på breddgrad, men även andra faktorer spelar in. Kartan visar en modell av inklinationen på jordytan för år 2025. Värdet varierade då i Sverige från +70 grader i söder till +78 grader i norr.
De magnetiska polerna ligger underligt nog inte stilla. Både riktningen och styrkan av jordens magnetfält ändras med tiden. Vi vet detta eftersom forskare har utfört mätningar sedan 1600-talet – dessförinnan kände man helt enkelt inte till jordmagnetismen. De första vetenskapliga studierna av magnetfält gjordes av engelsmannen William Gilbert (1544–1603). År 1600 gav han ut boken Om magneter där han beskrev jorden som en stor jättemagnet.
Numera har vi metoder som kan ge upplysningar om jordens magnetfält ännu längre tillbaka i tiden. Metoderna
bygger på att vissa material magnetiseras när de utsätts för ett yttre magnetfält. Om detta sker över en viss temperatur, den så kallade Curietemperaturen, förblir materialet magnetiskt när det kyls av. Järn, kobolt och nickel är exempel på sådana så kallade ferromagnetiska material som bildar permanentmagneter.
En av de metoder som kan ge information om jordens tidigare magnetfält bygger på att lera innehåller små mängder ferromagnetiskt material. När lera bränns och sedan kyls av kan man av dess magnetisering avgöra det jordmagnetiska fältets riktning och
styrka vid det tillfälle då bränningen skedde. Undersökningar av bränt tegel och krukskärvor kan på så sätt ge oss information om jordens magnetfält tusentals år bakåt i tiden – så lång tid som människor har bränt lera.
För att få information om hur jordens magnetfält såg ut ännu tidigare kan man undersöka vulkaniska bergarter, eftersom nästan alla bergarter innehåller ferromagnetiska material som magnetit. Vulkaniska bergarter har uppkommit genom stelning av flytande magma och innehåller därför upplysningar om jordens magnetfält vid stelningstillfället.
miljoner
år sedan
subkron
Tidslinje över polomkastningar under de senaste fem miljoner åren. Under perioderna markerade med svart hade det geomagnetiska fältet samma polaritet som i dag. Under de vitmarkerade perioderna var polariteten omvänd, vilket betyder att den norra magnetiska polen var riktad mot jordens norra halvklot. Kronerna och subkronerna har namn efter olika geologiska tidsperioder.
Styrkan hos ett magnetfält, den magnetiska flödestätheten, mäts i enheten tesla, T. En tesla är en förhållandevis stor enhet. Till exempel är den största flödestäthet som erhållits i ett laboratorium cirka 30 T. Flödestätheten i jordens magnetfält är cirka 70 µT vid Nordpolen och 30 µT vid ekvatorn.
I ett homogent magnetfält är den magnetiska flödestätheten B konstant och har samma storlek och riktning överallt. Ett så gott som homogent magnetfält finns inom ett begränsat område i gapet på en hästskomagnet. Det finns andra sätt att åstadkomma homogena fält med speciella arrangemang genom att använda spolar (Helmholtzspolar).
Fältlinjernas avstånd från varandra indikerar magnetfältets styrka. Tätare fältlinjer svarar mot ett starkare magnetfält. Magnetfältets orientering i en viss punkt ges av tangenten till fältlinjekurvan. Det är i denna riktning som en kompassnål ställer in sig, med dess rödmålade nordpol riktad mot magnetfältets sydpol.
I varje punkt har det magnetiska fältet B samma riktning som tangenten till fältlinjen genom punkten.
Flödestätheten är, liksom många andra fysikaliska storheter, en vektor och har alltså både storlek och riktning. Om flera magnetfält samverkar ska bidragen till flödestätheten från de olika fälten adderas som vektorer om man vill beräkna styrkan och riktningen av det totala magnetfältet. Omvänt kan vektorn delas upp i komposanter.
Ofta delas den jordmagnetiska flödestätheten upp i en horisontaloch en vertikalkomposant. Om du använder en vanlig orienteringskompass påverkas den enbart av horisontalkomposanten. Effekten av vertikalkomposanten blir knappast synlig eftersom nålen rör sig i ett plan.
I bilden nedan ser du en magnet som placerats vinkelrätt mot jordens magnetfält. I varje punkt finns både jordens, B jord , och stavmagnetens, Bmagnet , magnetfält. Bilden visar hur de två vektorerna Bmagnet och B jord adderas till vektorn B i en viss punkt i fältet.
En stavmagnet placeras i det jordmagnetiska fältet. Eftersom magnetfält har både storlek och riktning måste de adderas som vektorer. Vektorn B är det totala fältet i punkten P från stavmagnetens fält och det jordmagnetiska fältet.
EXEMPEL 1
I en ort i Skåne är den horisontella komposanten av jordens
magnetfält 16,8 µT och den vertikala 46,5 µT.
Beräkna inklinationen och den totala flödestätheten.
Lösning
Ur figuren får vi:
tan α = 46,5μT 16,8μT
som ger inklinationsvinkeln α = 70°.
Pythagoras sats ger den totala flödestätheten:
B = √B1 2 + B2 2 = √16,82 + 46,52 μT ≈ 49,4μT
Svar: Inklinationen är 70° och flödestätheten 49,4 µT.
SAMMANFATTNING
* Magnetfält är ett vektorfält med riktning och storlek som skapas av rörliga elektriska laddningar.
* Fältlinjer illustrerar magnetfältets riktning och styrka, är alltid slutna och går ut från en magnetisk nordpol och in i en sydpol.
* En magnetisk dipol är en källa till ett magnetfält.
* Magnetiska monopoler existerar inte, vilket innebär att en magnet alltid har både en nordpol och en sydpol.
* Liknande poler (nord–nord eller syd–syd) repellerar varandra, medan olika poler (nord–syd) attraherar varandra.
* Jordens magnetfält kan illustreras med en kompass vars nål ställer in sig mot den magnetiska sydpolen (som ligger nära den geografiska nordpolen).
* Magnetisk flödestäthet är ett mått på magnetfältets styrka i enheten tesla (T).
* Deklination är vinkeln mellan den geografiska nordpolen och den magnetiska sydpolen.
* Inklination är vinkeln mellan magnetfältets riktning och horisontalplanet.
* Jordens magnetfält har skiftat polaritet flera gånger, vilket har kunnat studeras genom att analysera gammalt bränt lergods och vulkaniska bergarter.
FÖRDJUPNING
När italienaren Christofer Columbus (1451–1506) färdades västerut 1492 för att finna sjövägen till Indien och hamnade på Nordamerikas östkust var kompassen ett nytt och mycket användbart hjälpmedel för europeiska sjöfarare. Kineserna upptäckte redan 1 500 år tidigare att en magnetisk nål alltid pekar åt ett visst håll, och den nya uppfinningen användes på kinesiska fartyg omkring år 1000. Eftersom dåtidens sjömän seglade i flera dagar eller veckor över öppet
hav utan landkontakt var det viktigt att kunna hålla kursen och känna till fartygets position. Helst ville sjömännen följa kusterna för att orientera sig med hjälp av fasta landmärken, men eftersom större delen av världen ännu inte var kartlagd var denna metod riskfylld. För att hålla kursen kom kompassen väl till pass, men eftersom kompassnålen inte pekar exakt mot norr fick dess användning ibland ändå katastrofala följder.
För att kunna bestämma positionen
måste både skeppets längdgrad och breddgrad vara kända. Breddgraden kunde bestämmas ganska väl genom att observera stjärnornas och solens höjd över horisonten. Att bestämma längdgraden var däremot ett stort problem och skedde ofta lite slumpartat genom att uppskatta skeppets fart och antalet dagar som resan pågått. Inte förrän i mitten av 1700-talet löstes detta problem av den brittiske urmakaren John Harrison (1693–1776) med hjälp av kronometrar (exakta klockor).
Antik kinesisk skedkompass. Dessa traditionella kompasser började användas under Handynastin, cirka 200 f.Kr. De utgjordes av en skedformad pekare av magnetit som kunde rotera på ett bronsbord, den så kallade himmelsplattan, och som ställde in sig mot den geomagnetiska sydpolen. Förutom att ta ut riktningar användes kompassen för beräkning av tidpunkter för rituella ceremonier som begravningar och för att bestämma var viktiga verksamheter och byggnader skulle placeras.
1. Hur uppkommer magnetism?
2. Varför är rent järn normalt sett inte magnetiskt?
3. Hur skiljer sig magnetiska och elektriska fältlinjer från varandra?
4. Hur definieras riktningen på magnetfältet runt en permanentmagnet?
5. Vad händer när två magnetiska poler av samma slag vänds mot varandra?
6. Vilken pol pekar kompassnålens magnetiska nordände mot?
7. Vad kallas avvikelsen mellan den geografiska nordriktningen och magnetfältets riktning?
8. Vad kallas vinkeln mellan horisontalplanet och det jordmagnetiska fältets riktning?
9. Vad innebär magnetisk flödestäthet och vilken enhet mäts den i?
10. På vilket sätt illustrerar fältlinjerna magnetfältets styrka?
2.1.1
Två magnetfält bildar en rät vinkel med varandra. Det ena fältet har flödestätheten 0,45 T och det andra 0,25 T. Bestäm den resulterande flödestätheten till storlek och riktning.
2.1.2
Rita en rimlig bild över hur den jordmagnetiska flödestätheten kan se ut på en ort i Australien. Rita ut horisontalkomposanten, vertikalkomposanten och den resulterande flödestätheten. Kommentera din bild.
2.1.3
Rita fältlinjerna utanför och inuti den hästskoformade permanentmagneten.
2.1.4
Rita ut komposanter för det resulterande magnetfältet i de tre markerade punkterna. a b c
AVSNITT 2: S T römför AN d E LE dA r E I m Ag NET fä LT Elektricitet som flödar genom en ledare ger upphov till ett magnetfält, en upptäckt som i början av 1800talet lade grunden för elektromagnetismen. Magnetfältets styrka beror på avståndet från ledaren och strömmens storlek, och illustreras med magnetiska fältlinjer. Om en strömförande ledare placeras i ett externt magnetfält påverkas den av en kraft.
ORD OCH BEGREPP
Laplaces lag ger kraften på en ledare som placeras i ett magnetiskt fält.
Magnetisk flödestäthet är ett mått på det magnetiska fältets styrka mätt i SI-enheten tesla (T).
Regeln om mötande fält säger att kraften på en strömförande ledare
är vinkelrät mot både ledaren och magnetfältet och är riktad åt det håll där magnetfälten motverkar varandra.
Spole är en ledare som är lindad flera varv i en ring vilket ger ett magnetiskt dipolfält som är likt stavmagnetens.
Hans Christian Ørsted upptäckte sambandet mellan elektricitet och magnetism 1820 och lade därmed grunden för ett nytt forskningsområde: elektromagnetismen.
Den danske kemisten och fysikern Hans Christian Ørsted (1777–1851) var professor vid Köpenhamns universitet. Hans forskning var huvudsakligen inriktad mot kemi, och det var ett kemiskt experiment som ledde honom till upptäckten av grundämnet aluminium 1825.
Men Ørsted hade också ett intresse för elektricitet och magnetism. Han hade länge trott att dessa fenomen var sammanlänkade, en idé som funnits i över tvåhundra år men aldrig bevisats. Under våren 1820 höll Ørsted föreläsningar i fysik och fick då inspiration att testa en hypotes som han hade haft under en tid, nämligen om magnetismen verkade i en annan riktning än den strömförande ledaren. Detta experiment hade ingen hittills gjort.
Ørsted planerade och satte upp sin experimentuppställning, men det var först under en kvällsföreläsning för sina studenter som han fick möjlighet att göra experimentet. Han lät en elektrisk ström passera genom en platinatråd placerad över en kompassnål, vilket resulterade i att nålen rörde sig och ställde sig i rät vinkel mot tråden. Utfallet stämde med hans egen hypotes, men demonstrationen gjorde inget starkt intryck på studenterna och Ørsted själv var tveksam. Han fruktade att det som skedde kunde vara en tillfällighet, liknande de
Hans Christian Ørsted demonstrerar i början av 1820-talet hur en strömförande ledare påverkar riktningen på en kompassnål.
felaktiga slutsatser som andra forskare tidigare hade dragit. Därför sköt han upp vidare undersökningar för att behandla frågan med ”större allvar och uppmärksamhet” när mer tid fanns.
Tre månader senare, i juli 1820, återupptog Ørsted sina experiment. Denna gång använde han ett mycket starkare galvaniskt batteri och tjockare ledningar, vilket gav en tydligare effekt. Efter några dagars ihärdigt experimenterande med varierade inställningar var han säker på sin slutsats: det magnetiska fältet bildar cirklar runt den strömförande ledaren. Han testade detta genom att placera nålen under och över ledaren och fann att avvikelsen var omvänd när strömriktningen ändrades. Därefter publicerade han snabbt sina resultat, som lade grunden för det nya forskningsfältet elektromagnetism.
En av de forskare som hörde talas om Ørsteds experiment var den franske fysikern och matematikern André Marie Ampère (1775–1836), som agerade snabbt för att verifiera och förbättra dem.
Inom loppet av några veckor genomförde Ampère en serie banbrytande experiment som inte bara bekräftade Ørsteds fynd utan också utvidgade dem. Med hjälp av dessa kunde han formulera den matematiska grunden för elektromagnetismen.
Genom sina experiment insåg Ampère att om en strömförande ledare skapar ett magnetfält så måste två strömförande ledare samverka med varandra.
I ett av experimenten spände han upp två långa, parallella ledare. När strömmen gick i samma riktning i ledarna observerade han att de attraherade varandra. När han vände på strömriktningen i en av ledarna stötte de däremot varandra ifrån sig. Han insåg att de två strömmarna växelverkade med varandra.
Ampère visade också att en strömslinga uppförde sig precis som en permanentmagnet. Kring slingan uppstod ett magnetfält med nordoch sydpol som attraherade och repellerade permanentmagneter. Av detta drog han slutsatsen att magnetismen i en permanentmagnet orsakas av mikroskopiska strömslingor inuti materialet.
Ampères experiment ledde till revolutionerande slutsatser som lade grunden för den moderna elektromagnetismen. Han formulerade en matematisk lag som säger att kraften är proportionell mot strömmens styrka i båda ledarna och omvänt proportionell mot avståndet mellan dem. Han hävdade också att all magnetism, inklusive den hos permanentmagneter, skapas av elektriska strömmar. Genom sina experiment kunde han visa att magnetism kan förklaras med laddningar i rörelse.
André Marie Ampère visade i början på 1820-talet bland annat att två ledare med samma strömriktning attraherade varandra, medan två ledare med motsatta strömriktningar repellerade varandra. Detta var en av de experimentuppställningar han använde.
En ström flyter genom en rak ledare. Till vänster: flödestätheten B som funktion av strömstyrkan I. Grafen visar proportionalitet, B = konstant · I
Till höger: flödestätheten B som funktion av avståndet till ledaren, r Grafen antyder omvänd proportionalitet, B = konstant / r.
För att undersöka hur magnetfältet runt en ledare varierar med strömstyrkan och avståndet till ledaren kan man mäta magnetfältets styrka på två komplementära sätt, analogt med de experiment som Ampère utförde.
I det första försöket håller man avståndet till ledaren konstant medan strömmen varieras. I det andra försöket hålls i stället strömmen i ledaren konstant medan avståndet till ledaren varieras.
Det första försöket ger att magnetfältets styrka ökar linjärt med strömstyrkan, medan det andra ger att fältstyrkan ökar mycket snabbt nära ledaren. Resultatet visas i diagrammen nedan.
Tumregeln
Fatta med högra handen runt ledaren med tummen i strömriktningen. De övriga fingrarna anger då det magnetiska fältets riktning.
Det magnetiska fältets styrka beskrivs med flödestätheten B. Resultaten från de båda experimenten ger att sambandet mellan B, strömmen I och avståndet till ledaren r kan skrivas:
B = k I r
Konstanten k har värdet k = 2 · 10–7 Tm/A. Sambandet kan visas teoretiskt. På liknande sätt kan formler för flödestätheten vid andra situationer visas experimentellt och härledas teoretiskt.
Magnetfältets styrka beror på avståndet från ledaren. Punkter med samma magnetiska fältstyrka binds samman av fältlinjer som är koncentriska runt ledaren. Fältlinjerna runt en rak ledare kan alltså ritas som cirklar runt ledaren.
Riktningen på fältlinjerna runt en strömförande ledare följer tumregeln : med höger tumme i strömriktningen bildar fältlinjerna cirklar i fingrarnas riktning, moturs runt ledaren.
Bilden till höger visar en strömförande ledare i gapet på en hästskoformad permanentmagnet. Ledarens magnetfält samverkar med permanentmagnetens fält så att ledaren påverkas av en kraft mot vänster i bilden. Vi ska nu titta närmare på varför det blir så.
Först kan vi konstatera att en svårighet med att rita i perspektiv, som i bilden till höger, är att det ibland kan vara svårt att avgöra om strömmen genom ledaren går in i eller ut ur bilden. Därför ritar man oftast situationen i två dimensioner där antingen strömmen eller magnetfältet går rakt in i eller ut ur papperet. Vi använder nedanstående symboler för att markera hur strömmen och magnetfältet är riktade.
Tänk dig nu att magneten i bilden till höger vrids så att ledaren pekar rakt mot dig. Strömmen kommer då att gå mot dig, ut ur papperet. Ledaren ritas i detta fall som en cirkel med en prick i centrum. Enligt högerhandsregeln pekar då ledarens magnetiska fältlinjer i moturs riktning.
Ström mot dig, ut ur papperet.
Magnetfält mot dig, ut ur papperet.
Ström från dig, in i papperet.
Magnetfält från dig, in i papperet.
Överst: symboler för strömriktningen i en ledare. En cirkel symboliserar ledaren. En central prick visar att strömmen går ut ur papperet, mot betraktaren. Ett kryss visar att strömmen går in i papperet, bort från betraktaren. Underst: symboler för magnetfältets riktning. En prick markerar att magnetfältet går ut ur papperet. Ett kryss visar att magnetfältet går in i papperet.
Riktningen hos kraften på ledaren i magnetfältet beror på strömriktningen och magnetfältets riktning.
Tumregeln visar att magnetfältet runt ledaren går moturs. Kraften riktas åt det håll där de båda fälten motverkar varandra.
Magnetfältet från permanentmagneten går ut från magnetens nordände och in i sydänden, vilket ger räta fältlinjer som pekar rakt uppåt i bilden, i papperets plan.
Regeln om mötande fält
Kraften på en strömförande ledare är vinkelrät mot både ledaren och magnetfältet och är riktad åt det håll där de båda magnetfälten motverkar varandra.
Vi ser att de två magnetfälten har samma riktning på höger sida om ledaren medan de är motriktade på den vänstra sidan. Det innebär att fälten förstärker varandra på höger sida och försvagar varandra på vänster sida.
Kraften på ledaren är riktad åt det håll där de två magnetfälten tar ut varandra, i detta fall åt vänster. Denna regel kallar vi i fortsättningen regeln om mötande fält
EXEMPEL 1
Bilden visar en strömförande ledare i ett homogent magnetfält. Åt vilket håll är kraften på ledaren riktad?
Lösning
Ledaren omger sig med ett magnetfält som är riktat medurs runt ledaren.
Ledarens magnetfält och det yttre magnetfältet är motriktade på undersidan av ledaren. Kraften är alltså riktad nedåt.
Svar: Se lösning.
Strömmen genom ledaren pekar mot höger och permanentmagnetens magnetfältlinjer (Bmagnet, stora grå kryss) pekar in i papperet. Ledarens fältlinjer (Bledare, små blå kryss och punkter) pekar ut ur bilden ovanför ledaren och tar delvis ut magnetens fältlinjer. Kraften på ledaren pekar därför uppåt, i papperets plan.
Ett annat sätt att visa kraftens riktning är att tänka sig att magneten vrids så att dess nordpol befinner sig ovanför papperet, ledaren ligger i papperets plan och sydpolen befinner sig under papperet. Permanentmagnetens fält är då riktat bortåt, in i papperet.
Ledaren ritas vinkelrätt mot permanentmagnetens fält med strömmen åt höger. Tumregeln ger att tummen pekar åt höger och att ledarens magnetfält går in i papperet under ledaren och ut ur papperet ovanför ledaren. Vi ser att fälten förstärker varandra på undersidan av ledaren och att kraften därför riktas uppåt i bilden.
Högerhandsregeln
Högerhandsregeln säger att om tummen pekar i strömmens riktning så pekar fingrarna ut magnetfältets och handflatan kraftens riktning.
Ett alternativt sätt att avgöra kraftens riktning är att använda högerhandsregeln. Om man lägger högerhanden så att tummen pekar i strömriktningen och fingrarna i magnetfältets riktning kommer handflatan att ge riktningen på kraften. Man kan tänka sig att handflatan ”trycker” ledaren i kraftens riktning.
Enligt Newtons tredje lag påverkar två föremål varandra med lika stora och motsatt riktade krafter. Det innebär att den kraft som hästskomagneten påverkas av är lika stor men motriktad den kraft som ledaren påverkas av.
Genom att göra en mätserie där strömstyrkan varieras kan man visa att kraften på ledaren beror på strömmen. På motsvarande sätt kan man visa att den magnetiska flödestätheten samt ledarens längd i fältet påverkar kraftens storlek. Sambandet har följande utseende:
F = B ⋅ I ⋅ L
Här betecknar F kraften på ledaren, B den magnetiska flödestätheten, I strömstyrkan och L längden av den del av ledaren som befinner sig i magnetfältet.
Sambandet mellan enheterna är följande: kraften ges i enheten N om flödestätheten anges i T, strömmen i A och längden i m.
Om du löser ut B,
B = F I ⋅ L
ser du att enheten för flödestäthet, 1 T, även kan skrivas som 1 N/(A · m).
I ett magnetfält med styrkan 1 T påverkas alltså en ledare av 1 N per ampere och meter av ledaren.
Om ledaren inte bildar rät vinkel med fältlinjerna ser sambandet något annorlunda ut:
F = B I L sin α
Här betecknar α vinkeln mellan fältlinjerna och ledaren. Detta samband kallas Laplaces lag.
Laplaces lag
En ledare som placeras i ett magnetiskt fält utsätts för en kraft F
F = B · I · L · sin α
där B är den magnetiska flödestätheten, I strömstyrkan, L längden av den del av ledaren som befinner sig i magnetfältet och α vinkeln mellan fältlinjerna och ledaren.
När en strömförande ledare inte bildar en rät vinkel med fältlinjerna kan kraften på ledaren beräknas med Laplaces lag: F = B I L sin α. Kraften på ledaren pekar rakt ut från papperet. Om magnetfältet och strömmen är parallella blir kraften 0.
EXEMPEL 2
En ledare med längden 6,0 cm befinner sig i gapet på en hästskomagnet. Magneten står på en nollställd våg.
En ström på 2,5 A skickas genom ledaren i den riktning som bilden visar. Då visar vågen 6,75 g. Hur stor är flödestätheten hos hästskomagneten? Vilken riktning har magnetfältet?
Lösning
Vågen påverkas av en nedåtriktad kraft vars storlek är:
Lös ut B ur sambandet F
Eftersom kraften på magneten är nedåtriktad är kraften på ledaren uppåtriktad. För att få en uppåtriktad kraft med ström inåt måste magnetfältet vara riktat åt vänster.
Svar: Flödestätheten är 0,44 T åt vänster.
Följande samband gäller för magnetfält och ledare i olika konfigurationer. B betecknar flödestätheten och I strömstyrkan. Konstanten
µ0 är permeabiliteten för vakuum och har värdet µ0 = 4π · 10–7 Tm/A.
Lång rak ledare
där r är avståndet från ledaren. Platt cirkulär spole
= μ0 ⋅ N ⋅ I 2 ⋅ r
där I är strömmen i ledaren och r är avståndet från ledaren.
Lång rak spole (solenoid)
B = μ0 N I L
där N är antalet varv i spolen och L dess längd.
Sluten cirkulär spole (torus)
B = μ0 2π N I r
där N är antalet varv i spolen och r dess centrumradie.
Magnetfältets riktning i spolarna kan bestämmas på samma sätt som runt en rak ledare. Låt fingrarna följa strömriktningen runt ett spolvarv. Tummen pekar då i fältets riktning inuti spolen där fältet är starkast.
EXEMPEL 3
En ström på 2,1 A skickas genom en 80,0 cm lång solenoid med 750 trådvarv.
Hur stor är flödestätheten i spolen?
Lösning
Flödestätheten är
Svar: Flödestätheten är 2,5 mT.
EXEMPEL 4
Avståndet mellan två långa parallella raka ledare är 1,50 m enligt bilden. Strömstyrkan i den ena ledaren är I1 = 10,0 A och i den andra I2 = 15,0 A.
Hur stor är flödestätheten i en punkt P mitt emellan de bägge ledarna?
Lösning
En punkt mitt emellan ledarna ligger på avståndet 75 cm från vardera ledaren. Flödestätheten i denna punkt kan då beräknas.
Ledare 1:
Ledare 2:
=
Vi ser att strömriktningen genom ledarna är densamma. I en godtycklig punkt mellan ledarna är då de båda flödestätheterna motriktade. I en punkt mitt emellan ledarna blir därför flödestätheten:
B2 B1 = (4,0 2,7) µT = 1,3 µT
Svar: Flödestätheten är 1,3 µT riktad ut ur papperet.
Fördjupning
Om strömriktningarna genom ledarna är motsatta blir flödestätheterna likriktade i en godtycklig punkt mellan ledarna. I en punkt mitt emellan ledarna är då flödestätheten:
B2 + B1 = (4,0 + 2,7) µT = 6,7 µT
EXEMPEL 5
Två 3,0 m långa ledningar är upphängda vertikalt 1,0 cm från varandra. Genom ledning 1 skickas en nedåtriktad ström,
I1 = 5,5 A, och genom ledning 2 skickas uppåtriktad ström,
I2 = 4,0 A.
Med hur stor kraft påverkas ledning 1 genom att den befinner sig i magnetfältet från ledning 2?
Lösning
Flödestätheten i magnetfältet från ledare 2 på 1,0 cm avstånd från ledare 2 är:
Enligt Laplaces lag är:
Kraften på ledare 1 är riktad bort från ledare 2, eftersom fältet runt ledare 1 är riktat medurs, sett från ovan. De båda fälten är motriktade på bortre sidan av ledare 1 (se bilden).
Svar: Ledare 1 påverkas av en repellerande kraft med storleken 1,3 mN.
* Hans Christian Ørsted upptäckte sambandet mellan elektricitet och magnetism 1820 och kunde visa att magnetfältet är orienterat i cirklar runt en ledare.
* Den franske fysikern André Marie Ampère vidareutvecklade Ørsteds fynd och lade den matematiska grunden för elektromagnetismen.
* Magnetfältets styrka runt en rak ledare, flödestätheten, är proportionell mot strömstyrkan och omvänt proportionell mot avståndet från ledaren.
* Högerhandsregeln används för att bestämma magnetfältets riktning: med höger tumme i strömmens riktning pekar fingrarna i fältets riktning.
* Enligt regeln om mötande fält är kraften på en strömförande ledare i ett magnetfält riktad vinkelrätt mot både ledaren och fältet, mot det håll där de båda fälten motverkar varandra.
1. Vad observerade Ørsted när han lät en elektrisk ström passera genom en tråd placerad över en kompassnål?
2. Vilken slutsats kom Ørsted fram till om magnetfältets form kring en strömförande ledare?
3. Vad fann André Marie Ampère när han studerade två parallella strömförande ledare?
4. Vilken slutsats drog Ampère om orsaken till magnetismen i en permanentmagnet?
5. Hur förändras magnetfältets styrka runt en rak ledare med avståndet till ledaren?
6. Hur kan man bestämma riktningen på magnetfältet runt en rak strömförande ledare?
7. Vilken typ av magnetfält bildas runt en strömförande spole?
8. Vad innebär regeln om mötande fält?
9. Vad beskriver Laplaces lag?
2.2.1
Beräkna flödestätheten från en rak ledare på avståndet 5,0 cm utanför den om strömmen i ledaren är 8,0 A.
2.2.2
Hur stor är flödestätheten i en punkt mittemellan två långa raka, parallella ledare då strömmen i vardera ledaren är 6,5 A och ledarna befinner sig på avståndet 25 cm från varandra?
2.2.3
I centrum av en platt cirkulär spole med 600 varv och med radien 10,0 cm vill en forskare ha en flödestäthet på 3,54 mT. Hur stor ström måste skickas genom spolen?
2.2.4
Två parallella långa raka ledare befinner sig 1,50 m från varandra. I den ena ledaren går strömmen 10,0 A och i den andra 15,0 A.
a) När strömriktningen i de båda ledarna är densamma finns en punkt mellan ledarna där den resulterande flödestätheten är 0 T. Var befinner sig denna punkt?
b) Finns det någonstans i ledarnas närhet någon punkt där den resulterande flödestätheten är 0 T om strömmarna är motriktade?
2.2.5
En grupp tyska forskare undersökte 1997 magnetfältets betydelse för duvors förmåga att orientera sig. Detta skedde genom att en grupp duvor utsattes för ett kortvarigt men starkt magnetfält innan de skickades iväg på en lång flygtur. En annan grupp duvor som inte utsattes för samma behandling skickades iväg som kontrollgrupp. Det visade sig att en stor andel av de duvor som utsatts för magnetfältsbehandlingen flög i felaktiga riktningar.
Magnetfältet skapades av en solenoid med diametern 10 cm, längden 18 cm och med 150 varv. Under loppet av 5,0 ms skickades en laddning 1,7 C genom solenoiden. Uppskatta hur starkt magnetfält duvorna utsattes för.
2.2.6
Strömmen i en 2,6 cm lång rak ledare är 7,8 A. Ledaren befinner sig i ett magnetfält med styrkan 260 mT. Fältet är vinkelrätt mot ledaren.
2.2.8
En horisontellt uppspänd ledare är 1,2 m lång och genomflyts av en ström på 2,7 A. Ledaren påverkas av det jordmagnetiska fältet som är riktat nedåt mot jordytan med inklinationsvinkeln 69° och flödestäthet 51 μT.
a) Hur stor kraft påverkas ledaren av?
b) Om strömmen är riktad i papperets plan åt höger och magnetfältet är vinkelrätt mot papperet och riktat ut ur det, i vilken riktning är då kraften riktad?
2.2.7
Vid ett försök med en våg användes en magnet vars flödestäthet var 0,26 T. Ledarens längd i magnetfältet var 6,0 cm. Uppställningen visas i bilden.
Vågen nollställdes innan magneten placerades på den. Med magneten på plats visade vågen 225,3 g när det inte flöt någon ström i ledaren. Vad visade vågen när strömmen genom ledaren var 4,3 A?
a) Hur stor är den kraft som ledaren påverkas av på grund av jordens magnetfält?
b) I vilken riktning är kraften orienterad?
2.2.9
Två 3,00 m långa ledningar är upphängda vertikalt 1,0 cm från varandra. Genom ledning 1 skickas en nedåtriktad ström, I1 = 5,5 A, och genom ledning 2 skickas en uppåtriktad ström, I2 = 4,0 A.
a) Beräkna hur stort magnetfält som ledare 1 ger upphov till vid ledare 2.
b) Bestäm kraften som ledare 2 utsätts av på grund av magnetfältet från ledare 1.
c) Vad kan du säga om kraften?
SYFTE
Att bestämma den magnetiska flödestätheten hos det jordmagnetiska fältet.
MATERIEL
Spänningsaggregat. Ledare.
Kompass. Linjal.
1. Placera kompassen på ett bord som inte innehåller för mycket järn. Kompassen ska peka mot norr.
2. Anslut ledaren till spänningsaggregatet och placera den ovanför kompassen så att ledaren har samma riktning som kompassnålen.
3. Slå på strömmen och öka strömstyrkan tills kompassnålen har vridits 45°. Om detta inte går, öka strömstyrkan så mycket som möjligt och avläs kompassen.
Fundera över hur du i kombination med ytterligare en mätning kan beräkna horisontalkomposanten av det jordmagnetiska fältet.
Om skolan har en vridbar kompassnål för att mäta inklinationen på det jordmagnetiska fältet så använd den för att göra det. Beräkna därefter den totala magnetiska flödestätheten för det jordmagnetiska fältet.
En laddning som rör sig i ett magnetfält påverkas av en kraft som bestäms av magnetfältets riktning och som avgör rörelsens utseende. Om rörelsen sker vinkelrätt mot magnetfältet beskriver laddningen en cirkulär bana som kan användas för att bestämma dess massa.
ORD OCH BEGREPP
Centralrörelse är en rörelse som bestäms av en resulterande kraft som är vinkelrät mot hastigheten och har konstant storlek.
Elektrisk laddning är en elektrostatisk egenskap hos en partikel som när den rör sig ger upphov till en elektrisk ström.
Elektronkanon är en anordning som accelererar elektroner genom att utnyttja en elektrisk spänning.
Magnetfält är ett vektorfält som skapas av rörliga elektriska laddningar och som visas med slutna fältlinjer.
Magnetisk flödestäthet är ett mått på det magnetiska fältets styrka mätt i SI-enheten tesla (T).
Som vi såg i förra avsnittet utsätts en strömgenomfluten ledare i ett magnetfält för en kraftpåverkan som upphör om det inte går någon ström i ledaren.
Det ligger nära till hands att anta att det är elektronernas translationsrörelse (rörelse mot det elektriska fältets riktning) som ger upphov till den kraft som påverkar ledaren. I så fall bör kraften på ledaren vara summan av alla de enskilda krafter som verkar på var och en av ledningselektronerna.
Utifrån detta antagande, som stämmer med verkligheten, ska vi nu beräkna kraften på en ledningselektron.
Kraften F på en ledare i ett magnetfält med flödestätheten B kan skrivas som
F = B I L där I är strömstyrkan i ledaren och L är ledarens längd. Om vi antar att det finns N ledningselektroner som rör sig i ledaren blir kraften Fe på var och en av dem
F1 = B I L N
Elektroner rör sig i en centralrörelse i ett homogent magnetfält. Elektronbanan (rosa) blir synlig genom kollisioner med atomerna i den förtunnade gasen i kammaren.
En strömgenomfluten ledare vinkelrät mot ett externt magnetfält. På bilden ses ledarstycket kraftigt förstorat.
För att hitta ett uttryck för kraften som inte innehåller N kan du tänka dig ett ledarstycke med längden L som befinner sig i ett magnetfält med flödestätheten B. Ledaren är orienterad vinkelrätt mot fältlinjerna. Strömstyrkan i ledaren är I och genomsnittsfarten hos ledningselektronerna är v. Ledarstycket innehåller N ledningselektroner.
Enligt tumregeln går ledarens magnetfält ut ur papperet på ovansidan och in i papperet på undersidan av ledaren. Det innebär att de båda magnetfälten är motriktade på ledarens ovansida. Enligt lagen om motriktade fält är kraften som verkar på ledarstycket riktad uppåt i papperets plan.
Beteckna den tid det tar för ledningselektronerna att passera ledningsstycket Δt. Eftersom ledarstycket har längden L gäller att
L = v Δt
Den laddning Q som passerar ledarstycket på tiden Δt är då
Q = N q
där q betecknar laddningen hos en elektron och N är antalet elektroner. Strömstyrkan i ledaren kan skrivas
I = Q Δt = N ⋅ q Δt
Sätt in detta uttryck i sambandet
Fe = B ⋅ I ⋅ L N
som anger kraften på var och en av elektronerna. Resultatet blir
Fe = B ⋅ N ⋅ q ⋅ L N Δt = B ⋅ q ⋅ L Δt = B ⋅ q ⋅ v
där det sista ledet följer av att
v = L Δt
Detta samband gäller inte enbart för elektroner i en ledare utan också för fria laddningar, vilket kan visas experimentellt.
Formeln för att bestämma kraften F på en partikel med laddningen q som rör sig med hastigheten v i ett magnetfält med flödestätheten B är
F = B ⋅ q ⋅ v
Ledaren som studerades vid härledningen av sambandet var vinkelrät mot fältlinjerna. I sambandet F = B q v förutsätts därför att hastigheten är vinkelrät mot fältlinjerna. Om den inte är vinkelrät delas hastighetsvektorn upp i komposanter – en vinkelrätt mot och en parallell med fältlinjerna. Vinkelberoendet blir detsamma som för ledaren.
Sambandet kan skrivas
F = B q v sin α där α är vinkeln mellan hastigheten och fältriktningen.
Den komposant av hastigheten som är parallell med fältlinjerna ger ingen kraftpåverkan. En laddad partikel som rör sig längs med fältlinjerna i ett magnetfält utsätts alltså inte för någon kraftpåverkan.
En laddning (i detta fall en elektron) med en hastighetsvektor i vinkel mot magnetfältets riktning påverkas av en kraft som är proportionell mot vinkeln mellan de båda. Kraften blir noll om rörelsen är parallell med fältlinjerna.
FÖRDJUPNING
För att mäta styrkan hos ett magnetfält kan ett Hallelement, en tunn platta av metall- eller halvledarmaterial, användas. Om en elektrisk ström skickas mellan två motstående sidor i plattan kan elektronerna avlänkas om ett magnetfält träffar plattan i rät vinkel. Fenomenet kallas Halleffekt och är särskilt stort i germanium, men kan även observeras i andra material.
I bilderna nedan är magnetfältet riktat inåt bort från betraktaren, vinkelrätt mot plattan. Strömmen är
uppåtriktad i plattan, vilket betyder att elektronerna rör sig nedåt.
Varje ledningselektron påverkas av en kraft åt vänster:
FB = B · q · v
På så sätt avlänkas efter hand allt fler elektroner till den vänstra sidan av plattan. Det uppstår då en spänning mellan den vänstra och den högra sidan. Den högra plattan får ett elektronunderskott och blir positiv medan den vänstra plattan får ett elektronöverskott och blir negativ.
Spänningsskillnaden mellan den vänstra och den högra sidan av plattan medför att elektronerna, utöver den magnetiska kraften, påverkas av en elektrostatisk kraft.
Så småningom har så många laddningar flyttats till den vänstra sidan att den elektrostatiska kraften blir lika stor som den magnetiska. Då uppkommer ett stabilt jämviktstillstånd mellan den högra och den vänstra sidan med spänningen U. Detta jämviktstillstånd uppstår nästan omedelbart.
Schematisk bild av ett Hallelement.
Vänster: En ström går genom Hallelementet som är placerat i ett magnetfält riktat in i papperet.
Mitten: Elektronerna påverkas av en kraft åt vänster och rör sig mot vänstra sidan.
Höger: Detta leder till att vänster sida får ett överskott av elektroner. När Fe = FB fortsätter elektronerna rakt fram.
Om den elektrostatiska kraften betecknas Fe uppträder jämvikten när
Fe = FB
Vi ska nu visa sambandet mellan spänning och flödestäthet. Det elektriska fältet E är riktat åt vänster. Då gäller att
E = U d
där d är plattans bredd. Kraften på laddningen blir
Fe = q E = q U d
Om man sätter samman detta uttryck med FB = B · q · v får man
q U d = B q v
vilket kan förenklas till
U = B · v · d
Eftersom både v och d är konstanter är spänningen U mellan de båda sidorna proportionell mot flödestätheten B Detta kan skrivas som
U = k · B
där k är en konstant som kan
bestämmas för varje enskild platta. För en kopparplatta är konstanten av storleksordningen 1 mV/T för en yta av normal storlek (cirka 1 cm2). För en halvledarplatta är ett typiskt värde cirka 100 gånger större.
På grund av den betydligt högre känsligheten används vanligen halvledarmaterial i Hallelement för mätändamål. En halvledarplatta sammankopplad med en voltmeter fungerar därför som en magnetfältsstyrkemätare, en så kallad teslameter.
När en elektron rör sig i det magnetiska fältet påverkas den av en kraft som är vinkelrät mot rörelseriktningen.
I bilden visas en elektron som rör sig åt höger i ett magnetfält som är riktat bort från betraktaren.
På samma sätt som en ledare i ett magnetfält påverkas av en kraft då det flyter en ström genom den, kommer enskilda elektroner att påverkas då de rör sig ett magnetfält. Att elektroner rör sig åt höger ger samma effekt som en ström åt vänster.
För att bestämma kraftens riktning kan du tänka dig att elektronen rör sig motsatt strömriktningen. Rörelsen mot höger i bilden motsvarar då en ström åt vänster i en tänkt ledare. Om du använder högerhandsregeln på denna tänkta ledare ska tummen alltså riktas åt vänster.
Eftersom det pålagda magnetfältet är riktat inåt i bilden, och magnetfältet som omger den tänkta ledaren är riktat utåt från bilden på undersidan av elektronbanan, blir magnetfälten motriktade på undersidan av elektronbanan. Det innebär enligt regeln om mötande fält att kraften blir nedåtriktad.
Elektronernas bana påverkas hela tiden av en kraft som är vinkelrät mot rörelseriktningen. Om magnetfältet är homogent kommer kraften att vara konstant till sin storlek. Som vi såg i föregående kapitel kommer en resulterande kraft som har konstant storlek och där riktningen på kraften är vinkelrät mot hastighetsvektorn att ge upphov till en centralrörelse med kraften riktad in mot cirkelns centrum.
2
Varje negativt laddad partikel utför samma typ av banrörelse. För en positivt laddad partikel gäller motsvarande, men rörelsen sker åt motsatt håll.
Som du känner till sedan tidigare är accelerationen ac vid centralrörelse
ac = v2 r
hos en partikel som rör sig med den konstanta farten v i en cirkelbana med radien r.
Den kraft som accelererar partikeln i magnetfältet ges av sambandet
F = B ⋅ q ⋅ v
Om du sätter in dessa båda uttryck i kraftlagen, F = m · ac , gäller alltså
B q v = m v2 r
Detta samband kan skrivas om genom att man dividerar bägge leden med v och sedan multiplicerar med r :
B q r = m v
Om partikeln är en elektron motsvarar m elektronens massa.
Eftersom kraften hela tiden är vinkelrät mot rörelsen ändras inte hastighetens storlek, endast dess riktning. Resultatet är en cirkulär centralrörelse.
EXEMPEL 1
Elektroner med energin 2,5 keV kommer in i ett magnetfält med flödestätheten 3,2 mT. Elektronernas rörelseriktning är vinkelrätt mot fältlinjerna. Beskriv med beräkningar vad som inträffar.
Lösning
Elektronerna påverkas hela tiden av en kraft som är vinkelrät mot deras hastighet. På grund av detta går de in i en cirkulär bana med konstant banfart.
Kraften som påverkar en elektron är F = B · q · v, där B är flödestätheten, q elektronladdningen och v elektronernas fart.
Enligt kraftlagen gäller att
F = m ⋅ v2 r
där m är elektronens massa och r är cirkelbanans radie.
Följaktligen är
B ⋅ q ⋅ v = m ⋅ v2 r
B q r = m v
r = m ⋅ v B q
Eftersom energin hos en elektron är känd kan farten beräknas:
Wk = m ⋅ v2 2 v2 = 2 ⋅ Wk m v =±√ 2 ⋅ Wk m =±√ 2 ⋅ 2,5 ⋅ 103 ⋅ 1,602 ⋅ 10 19 9,11 ⋅ 10 31 m/s ≈±2,97 ⋅ 107 m/s
≈ ±2,97 107 m/s
Endast det positiva värdet är av intresse för oss. Nu kan banradien beräknas:
r = m ⋅ v B ⋅ q = 9,11 ⋅ 10 31 ⋅ 2,97 ⋅ 107 0,0032 ⋅ 1,602 ⋅ 10 19 m ≈ 5,3cm
Svar: Elektronerna beskriver en cirkelbana i ett plan vinkelrät mot fältlinjerna. Banradien är 5,3 cm.
Att försöka väga en elektron med en vanlig våg är en omöjlig uppgift. Elektronens massa kan dock bestämmas med indirekta mätmetoder. Vi ska här utnyttja kunskapen om den centralrörelse som en elektron i rörelse med hastigheten v beskriver i ett homogent magnetfält med flödestätheten B för att bestämma elektronens massa m
Som vi såg ovan gäller enligt kraftlagen F = m · a att
B q v = m v2 r
där q är partikelns laddning och r banradien. Detta samband kan förenklas till
B q r = m v
Ur detta samband löser vi ut m:
m = B q r v
Flödestätheten och banradien kan vi enkelt mäta och elektronens laddning är känd (–1,602 · 10–19 C). Det innebär att man kan bestämma elektronens massa om man bara vet dess hastighet.
Cirkulär elektronbana i elektriskt fält.
Principen för en elektronkanon.
Längst till vänster avges elektroner från en glödtråd. Elektronerna accelereras genom spänningen Uacc och lämnar fältet med hastigheten v. Elektronkanonen omges av vakuum.
Hastigheten kan bestämmas genom mätning av den spänning som accelererar elektronen i en så kallad elektronkanon.
När elektronerna accelereras genom spänningen Uacc tillförs de energin Uacc q av fältet och får rörelseenergin
Wk = 1 2 m v2
Med denna rörelseenergi kommer elektronerna in i det homogena magnetiska fältet. Eftersom all den accelererande energin övergår till rörelseenergi gäller alltså
Uacc q = 1 2 m v2
Vi har nu två uttryck som kan kombineras: m = B ⋅ q ⋅ r v och Uacc q = 1 2 m v2
Efter några algebraiska förenklingar (som du gärna får genomföra på egen hand) blir resultatet
Redovisad med tre värdesiffror blir elektronens massa
me = 9,11 10−31 kg
EXEMPEL 2
I ett experiment med en elektronkanon mättes flödestätheten och banradien upp till 9,41 · 10–4 T respektive 7,0 cm. Den accelererande spänningen var 400 V. Elektronens laddning var känd. Vilket värde på elektronens massa erhölls?
Lösning
Massan ges av uttrycket
m = q r2 B2 2 Uacc
Med q = –1,602 · 10–19 C erhölls
m = 1,602 ⋅ 10 19 ⋅ 0,0702 ⋅(9,41 ⋅ 10 4 )2 2 ⋅ 400
m = 8,6886 · 10–31 kg
Svar: 8,7 · 10–31 kg
SAMMANFATTNING
* En laddad partikel som rör sig i ett magnetfält påverkas av en kraft som är vinkelrät mot både partikelns rörelseriktning och magnetfältets riktning.
* En laddad partikel som rör sig parallellt med fältlinjerna påverkas inte av någon kraft.
* En laddad partikel som rör sig vinkelrätt mot ett homogent magnetfält utför en centralrörelse i en cirkulär bana.
* En laddad partikel som rör sig i ett homogent magnetfält med en hastighetskomposant som är parallell med fältet rör sig i en spiralformad bana.
* Storleken på kraften som verkar på en laddad partikel som rör sig i ett magnetfält beror på dess laddning, hastighet och magnetfältets flödestäthet.
FÖRDJUPNING
Om en laddad partikel i ett magnetfält rör sig med en hastighet som inte är vinkelrät mot fältlinjerna blir partikelbanan inte en cirkel utan en spiral.
Anta att hastigheten hos den laddade partikeln är v. Hastigheten delas nu upp i två komposanter. Den ena, v1, är vinkelrät mot fältlinjerna och den andra, v2, är parallell med fältlinjerna. Om partikeln enbart hade hastigheten v1 skulle den röra sig i en cirkelbana i ett homogent fält.
Den andra komposanten, v2, orsakar ingen kraftpåverkan från magnetfältet. Hastighetskomposanten förblir alltså oförändrad. Partikeln får en translationsrörelse utmed fältlinjerna och banan blir i stället en spiral.
Även om fältet inte är homogent kan man dela upp hastigheten i komposanter, en parallell med och en
v1 v v2
vinkelrät mot fältet i punkten. Det innebär att laddade partiklar som kommer in i ett magnetfält med en hastighet som inte är vinkelrät mot fältlinjerna alltid beskriver spiralformiga banor längs med fältlinjerna. Spiralens radie är inte längre konstant.
Ett exempel på detta ser man i magnetosfären, det område utanför atmosfären där de fysikaliska förloppen domineras av jordens magnetfält. Detta område träffas av den så kallade solvinden som består av en ström av laddade partiklar som sänds ut av solen.
När solvinden träffar de yttre delarna av magnetosfären produceras ett stort antal energirika elektroner och joner. Dessa börjar röra sig i spiralformade banor längs med fältlinjerna in mot jorden. Som framgår av bilden
kan de laddade partiklarna närma sig jordytan enbart i närheten av de båda polerna.
På sin väg ner genom jonosfären förlorar partiklarna sin energi genom kollisioner med jonosfärens atomer och joner, som då joniseras och exciteras. När de atmosfäriska atomerna och jonerna återgår till sina grundtillstånd sänds ljus ut. Ljusets färger beror på vilka atomer och molekyler som exciteras. Polarskenets vanligaste färger är grönt och rött från atomer och joner av syre, medan neutrala och joniserade kvävemolekyler bidrar med nyanser i det blå och violetta spektrumet.
Det utstrålade ljuset kallas norrsken på det norra halvklotet och sydsken på det södra. Ett gemensamt namn på dessa fenomen är polarsken.
geografisk sydpol magnetisk nordända magnetisk sydända
geografisk nordpol
Spiralrörelse hos en laddad partikel i ett homogent magnetfält där hastigheten inte är vinkelrät mot fältet. Är partikeln positivt eller negativt laddad?
De laddade partiklarna från rymden ”fångas” i det inhomogena fältet vid polerna och spiraliserar runt där.
Gröna norrskensdraperier uppstår på ungefär 100 km höjd när syreatomer exciteras av de inkommande elektronerna från solen och därefter avger fotoner med en energi som motsvarar grönt ljus.
1. Vad har kraften på en strömgenomfluten ledare i ett magnetfält med elektronernas rörelse att göra?
2. Hur beräknas kraften på en laddad partikel som rör sig vinkelrätt mot magnetfältet?
3. Vilken kraft utsätts en laddad partikel för som rör sig parallellt med fältlinjerna i ett magnetfält?
4. Beskriv vad Halleffekten innebär.
5. Varför avlänkas elektronerna av den magnetiska kraften i ett Hallelement?
6. Vad blir resultatet av att en laddad partikel påverkas av en kraft som hela tiden är vinkelrät mot dess hastighetsvektor i ett homogent magnetfält?
7. Hur kan hastigheten hos en elektron i en elektronkanon bestämmas?
8. Vilken typ av bana får en laddad partikel om dess hastighet inte är vinkelrät mot magnetfältlinjerna?
9. Vad är orsaken till polarskenet?
2.3.1
En horisontellt riktad elektronstråle kommer in i ett vertikalt nedåtriktat magnetfält. Flödestätheten i fältet är 118 mT.
Med hur stor kraft påverkas en elektron vars fart är 450 km/s och hur är kraften riktad?
2.3.2
Protoner med hastigheten 2,7 Mm/s kommer in i ett homogent magnetfält vinkelrätt mot fältlinjerna. Flödestätheten är 75 mT.
Vilken radie får den cirkel som protonerna beskriver i fältet?
2.3.3
En proton med rörelseenergin 270 keV kommer in i ett homogent magnetfält med flödestätheten 0,152 T.
a) Med hur stor kraft påverkas protonen av magnetfältet?
b) Bestäm radien i den cirkulära bana som protonen rör sig i.
2.3.4
Vid ett skolexperiment för att bestämma elektronens massa uppmättes accelerationsspänningen till 225 V och radien i cirkelbanan till 5,0 cm. Flödestätheten kunde beräknas med hjälp av strömstyrkan I i spolarna som alstrade magnetfältet, antalet varv N i spolarna och spolarnas radie r med hjälp av följande samband:
B = μ0 4 5 ⋅ √5 N I r
Vid experimentet var N = 150, I = 3,0 A och r = 20,0 cm. Bestäm med hjälp av detta elektronens massa.
AVSNITT 4: T ILL äm PNIN g A r På m Ag NETIS m
Med en masspektrometer kan man bestämma laddade partiklars massor genom
att
accelerera dem genom elektriska och magnetiska fält.
Masspektrometrar
används bland annat för att utföra undersökningar av material och behandlingar av människokroppen.
ORD OCH BEGREPP
Avböjningsmagnet är den del av masspektrometern där joner med en specifik hastighet skickas in i ett homogent magnetfält och böjs av i cirkelbanor, vilkas radie är proportionell mot jonens massa.
Cyklotron är en typ av partikelaccelerator där en växelspänning används för att accelerera laddade partiklar i spiralformade banor.
Detektor är den del av masspektrometern som antingen registrerar den totala laddningen för att bestämma
den procentuella fördelningen av isotophalterna eller samlar upp joner för mängdbestämning.
Hastighetsfilter är den del av masspektrometern där jonstrålen passerar genom vinkelräta elektriska och magnetiska fält för att isolera joner med en specifik hastighet.
Jonkälla är den del av masspektrometern där ämnet överförs till gasform, joniseras och accelereras vid passage mellan två plana elektroder.
Kol-14-metoden används för att datera dött organiskt material genom att mäta halten av den radioaktiva isotopen kol-14.
Masspektrometer är ett instrument för att mäta laddade partiklars massor och för att separera isotoper av ett grundämne.
En masspektrometer kan användas för att bestämma atommassan hos olika ämnen eller för att separera isotoper av ett grundämne.
Kemiskt sätt är det ingen skillnad på de båda isotoperna Cl35 och Cl37 – enbart atommassan skiljer dem åt (den ena har massan 35 u och den andra 37 u). Isotoperna kan inte separeras på kemisk väg men väl med en masspektrometer.
En masspektrometer består av en jonkälla, ett hastighetsfilter, en avböjningsmagnet och en detektor. Alla dessa komponenter, som bygger på fundamentala fysikaliska principer, beskrivs nedan.
jonkälla hastighetsfilter magnetfält detektor
Fmagn
Principskiss över masspektrometer med jonkälla, hastighetsfilter, avböjningsmagnet och detektor.
Det ämne som ska undersökas måste först överföras till gasform. Därefter leds gasen in i jonkällan.
Inuti jonkällan passerar gasen genom hålet i en plan elektrod in till själva kammaren. Här sitter en glödtråd som upphettas så att den avger elektroner. Dessa elektroner accelereras genom gasen och får så hög
energi att de kan jonisera gasens atomer när gasen passerar. De joner som bildas är positiva och accelereras nu mellan de båda plana elektroderna av spänningen Uacc (se figuren).
Jonkälla. gas in joner ut
När jonerna accelereras ökas deras kinetiska energi med beloppet
Wkin = q ⋅ Uacc
Om jonerna från början har hastigheten v 0 och rörelseenergin ökas med q · Uacc kan sluthastigheten v bestämmas ur sambandet
1 2 ⋅ m ⋅ v2 = 1 2 ⋅ m ⋅ v0 2 + q ⋅ Uacc
Jonernas hastigheter är olika. Det beror dels på att de har olika hastighet från början, dels på att de skapas på olika ställen i kammaren och därför kommer att accelereras olika länge.
I en masspektrometer måste alla joner ha samma hastighet. Därför kan inte jonstrålen utnyttjas som den är – de hastigheter som ska användas behöver gallras ut. Detta sker genom att jonstrålen skickas genom ett hastighetsfilter.
När jonerna kommer in i hastighetsfiltret möts de av två fält, ett elektriskt och ett magnetiskt. Dessa båda fält är vinkelräta mot varandra.
I bilden är det magnetiska fältet riktat bort från betraktaren och det elektriska riktat åt vänster. Eftersom de positiva jonerna på väg nedåt möter ett inåtriktat magnetfält avlänkas de av en kraft F B åt vänster av magnetfältet. Kontrollera detta med tumregeln samt regeln om mötande fält.
joner in
joner ut
Hastighetsfilter.
Det elektriska fältet påverkar jonerna med en kraft Fe i fältriktningen, alltså åt vänster. För dessa båda krafter gäller att
F B = B q v
där B är flödestätheten, q laddningen och v hastigheten, samt att
Fe = q E
där q är laddningen och E den elektriska fältstyrkan.
Som du ser är endast den magnetiska kraften hastighetsberoende. Denna kraft ökar med hastigheten. För någon hastighet kan alltså de båda krafterna bli lika stora. Joner med denna hastighet kan passera
ut genom den cirkulära spalt som finns vid utgången från hastighetsfiltret, medan joner som har annan hastighet i stället kolliderar med väggen.
Villkoret för passage är alltså
F B = Fe
Det innebär att
B q v = q E
B v = E
= E
Lägg märke till att hastigheten inte beror på partikelns laddning. Genom att reglera spänningen mellan de plattor som ger upphov till det elektriska fältet kan man variera den elektriska fältstyrkan. Det är också möjligt att ändra på den magnetiska flödestätheten.
Man kan alltså välja ut vilken hastighet man vill att de joner som passerar ska ha.
Masspektrometrar har skickats med rymdsonder till bland annat Mars för att undersöka sammansättningen av ytan. NASA:s robotbil Curiosity, stor som en personbil, landade på Mars 2012 och har undersökt mineraler och bergarter sedan dess. Längst fram på chassits ovansida finns en svart låda där robotarmen kan släppa ner markprover för analys i SAM, som masspektrometern heter.
När jonerna har passerat hastighetsfiltret har de alla en känd hastighet v. Jonerna skickas nu in vinkelrätt mot fältlinjerna i ett homogent magnetfält Bavb. Här böjs jonerna av i olika cirkelbanor.
Banradien beror på jonens massa. Accelerationen ac för en partikel som rör sig med den konstanta farten v i en cirkelbana med radien r är:
ac = v2 r
jonkälla hastighetsfilter
magnetfält detektor
Bavb
Fmagn
Avböjningsmagneten är placerad mellan masspektrometerns hastighetsfilter och detektorn.
Den kraft som ger upphov till accelerationen är
F = Bavb q v
Enligt kraftlagen, F = m · ac , gäller
Bavb ⋅ q ⋅ v = m ⋅ v2 r
Detta samband kan förenklas till
Bavb q r = m v
Lös ut banradien ur sambandet
r = m v
Bavb q
Eftersom hastigheten, laddningen och den påverkande flödestätheten är desamma för alla de positiva elementarladdningarna beror radien enbart av massan − radien är alltså proportionell mot massan.
Av denna anledning separerar hastighetsfiltret olika isotoper av ett ämne. Det kan vara av historiskt intresse att veta att det var så en del av det uran som användes i Hiroshimabomben anrikades.
Genom att mäta banradier för olika joner kan masspektrometern användas för att bestämma deras massor. Massan beräknas ur
m =
Bavb q r v
Om man vill veta den procentuella fördelningen av isotophalterna i ett ämne kan man använda uppsamlingsdetektorer som registrerar den totala laddningen som kommer in i dem.
Om det gäller att separera isotoper, till exempel C12 från C14, samlas jonerna upp för mängdbestämning. Detta utnyttjas vid datering av arkeologiska fynd med hjälp av kol14metoden.
Masspektrometern används ofta för analys av kemiska föreningar. Genom att bestämma massan kan den kemiska föreningen identifieras.
Acceleratormasspektrometer (AMS) vid universitetet i Oxford som används för att åldersbestämma organiskt material genom kol-14-datering. Närmast ses avböjningsmagneten som används för att separera tre olika isotoper av positiva koljoner (12C, 13C och 14C) så att de relativa halterna mellan 12C och 14C kan bestämmas innan provet analyseras. I bakgrunden bakom operatören ses jonkällan och till höger detektorn.
I forskningen inom partikelfysik används olika sorters acceleratorer för att ge de laddade partiklarna hög energi för att de ska kunna användas i försök inom elementarpartikelfysik. Cyklotronen är en accelerator som även är av historiskt intresse eftersom den var en av de tidigaste acceleratorkonstruktionerna.
En cyklotron består av en delad, ihålig metallcylinder. Hålrummet är en vakuumkammare där partiklarna accelereras. De båda halvdelarna är placerade i ett kraftigt magnetfält där fältlinjerna är vinkelräta mot cylinderns ändytor. Mellan de båda halvdelarna läggs en växelspänning, som används för att accelerera de laddade partiklarna.
I centrum av cyklotronen finns en jonkälla, från vilken partiklarna som ska accelereras sänds ut. Vi antar här att det är protoner, som sänds ut som pulser vilka innehåller ett stort antal partiklar.
Världens största accelerator, LHC (Large Hadron Collider), började användas 2009 vid forskningscentret CERN i Schweiz. Acceleratorn är 27 km lång och kan accelerera protoner till en hastighet av 99,9999991 procent av ljushastigheten. Vid de energier som frigörs då två strålar frontalkolliderar kan nya elementarpartiklar upptäckas. I juli 2012 kungjordes att man hade hittat den länge eftersökta Higgspartikeln, som enligt de flesta modeller behövs för att förklara varför andra partiklar har massa. Året därpå erhöll upphovspersonerna till teorin om Higgspartikeln, Peter Higgs (1929–2021) och François Englert (1932–), Nobelpriset i fysik.
Schematiskt tvärsnitt av cyklotron.
När den första pulsen sänds är den högra delen av metallcylindern negativt laddad och den vänstra positivt laddad. Protonerna accelereras in i den högra halvan av cyklotronen. De kommer då in i ett magnetfält (i bilden riktat in i papperet), och kröks av i en cirkelformad bana.
När protonerna kommer fram till gapet mellan halvcirklarna byter växelfältet riktning så att den vänstra halvan blir negativ och den högra positiv. På så sätt accelereras protonerna på nytt.
Nu beskriver protonerna på nytt en cirkelformad bana i magnetfältet, fast nu med större banradie än tidigare (eftersom de har högre fart). När de fullbordat halvcirkeln i den vänstra kammaren och kommer till gapet mellan de två halvcylindrarna byter fältet riktning igen. Den högra delen blir negativ, protonerna får ett nytt energitillskott och går in i den högra halvcylindern i en bana med ännu större radie.
Nu har det gått en period av växelspänningen och nästa puls av protoner skickas iväg från jonkällan. Protonerna startar sin resa med en acceleration mot den högra kammaren och fortsätter på samma sätt som tidigare beskrivits.
Protonerna får allt större banradier tills de når randen av kammaren, där de lämnar cyklotronen med hög fart i en linjär bana. Sedan kan de användas för olika typer av experiment i partikelfysik.
En förutsättning för att cyklotronen ska fungera är att den tid det tar för protonerna att beskriva en halvcirkel hela tiden är densamma,
trots att banradien ökar. Annars kan inte frekvensen för växelspänningen, som accelererar protonerna, hållas konstant. Inte heller skulle det vara möjligt att skicka iväg ”nya” protoner förrän den tidigare pulsen lämnat acceleratorn.
Vi ska därför titta på hur lång tid det tar för protonen att färdas ett halvt varv. Med sedvanliga beteckningar gäller enligt kraftlagen
B q v = m v2 r
Om tiden det tar för protonen att fullborda ett halvt varv betecknas t0 gäller att
Här betecknar r radien i den cirkelbana som protonerna beskriver.
Om dessa båda samband sätts samman får du (kontrollera själv)
Du ser att tiden t0 för ett halvt varv varken beror av farten v eller radien r. Det tar med andra ord lika lång tid att fullborda en halvcirkel oberoende av vilken storlek halvcirkeln har.
Frekvensen för den växelspänning som används är
Det innebär att frekvensen blir
Kontrollera gärna den algebraiska förenklingen.
Frekvensen hos den växelspänning som ska accelerera protonerna beror alltså enbart av flödestätheten, laddningen och massan.
Den energi som protoner kan accelereras till i en cyklotron är begränsad till cirka 50 MeV. En orsak till begränsningen är rent fysisk.
Högre energier skulle kräva en mycket stor cyklotron och då uppkommer problem med att ha ett homogent magnetfält över ett så stort område.
En annan orsak är att protonernas fart närmar sig ljusets. Det innebär att relativistiska effekter blir alltmer märkbara. När protonernas massa ökar får det till följd att omloppsfrekvensen minskar.
Växelspänningens frekvens kan då inte längre hållas konstant – och därmed fungerar inte den princip cyklotronen bygger på.
SYNKROTRONEN
Problemet med effekterna av den relativistiska massökningen är löst i en annan liknande acceleratortyp, synkrotronen, som arbetar med varierande frekvens.
I en synkrotron är dessutom banradien i den cirkelbana som partik larna beskriver konstant. Det innebär att accelerationen kan ske i ett cirkulärt rör i stället för en stor kammare. Det medför också att magnetfältet kan begränsas till ett mindre område kring accelerationsröret, vilket ger betydande tekniska och ekonomiska vinster.
Radien i en synkrotron kan vara flera kilometer. För närvarande är det möjligt att uppnå energier på över 1 TeV, vilket är mycket hög energi för en så liten partikel.
SAMMANFATTNING
* En masspektrometer kan användas för att bestämma atommassor och separera isotoper.
* Masspektrometern består av en jonkälla, ett hastighetsfilter, en avböjningsmagnet och en detektor.
* En cyklotron är en partikelaccelerator där en växelspänning och ett magnetfält accelererar partiklar i en spiralbana.
* Cyklotronens funktion baseras på att tar det lika lång tid för en partikel att
fullborda ett halvt varv oavsett hastighet och banradie.
1. Vad används en masspektrometer till?
2. Vilka fyra huvudkomponenter ingår i en masspektrometer?
3. Hur fungerar jonkällan i masspektrometern?
4. Vilka två krafter verkar på jonerna i hastighetsfiltret och hur är dessa fält orienterade?
5. Vilket villkor måste uppfyllas för att en jon ska kunna passera genom hastighetsfiltret utan att avlänkas?
6. Vad bestämmer banradien i avböjningsmagneten?
7. Hur kan en masspektrometer användas för att datera arkeologiska fynd?
8. Vilket är ett grundläggande krav för att en cyklotron ska fungera med konstant frekvens?
9. Vad begränsar den maximala energin som protoner kan accelereras till i en cyklotron?
2.4.1
Vad inträffar i hastighetsfiltret med joner som har blivit av med två elektroner i jonkällan?
2.4.2
Anta att joner som förlorat två elektroner kommer in i avböjningsmagneten. Var blir de av?
2.4.3
Ett hastighetsfilter används för att välja ut elektroner med viss bestämd hastighet.
a) Vilken hastighet får en elektron om den elektriska fältstyrkan är 280 kV/m och flödestätheten är 120 mT?
b) Vilka förändringar (till exempel polaritet på spänningen och storlek på fälten) måste göras om man vill använda hastighetsfiltret för att i stället för elektroner välja ut protoner med samma hastighet?
KAPITEL 2: m Ag NETIS m
Jordens magnetfält har en nordände i närheten av Sydpolen och en sydände i närheten av Nordpolen. Fältlinjerna går ut från nordänden och in i sydänden.
En kompassnål ställer in sig i fältlinjernas riktning. Avvikelsen mellan den sanna nordriktningen, riktningen mot Nordpolen, och kompassnålens inriktning kallas deklination eller missvisning. Med inklination menas fältlinjernas lutning mot horisontalplanet.
LEDARE
Det magnetiska fältet runt en rak ledare är cirkulärt och ligger i plan som är vinkelräta mot ledaren. Riktningen hos fältlinjerna bestäms med hjälp av en minnesregel, tumregeln:
Fatta med högra handen om ledaren med tummen i strömriktningen. De övriga fingrarna anger då det magnetiska fältets riktning.
En strömgenomfluten ledare i ett magnetfält utsätts för kraftpåverkan. Riktningen hos kraften är vinkelrät mot flödestätheten och mot ledaren. Riktningen fastställs med hjälp av riktningen hos magnetfältet hos ledaren och hos det pålagda magnetfältet, regeln om mötande fält:
Kraften är vinkelrät mot både ledaren och magnetfältet och riktad åt det håll där de båda magnetfälten motverkar varandra.
Om ledaren är vinkelrät mot fältlinjerna blir storleken av kraften:
F = B · I · L
Här betecknar F kraften på ledaren, B den magnetiska flödestätheten, I strömstyrkan i ledaren och L längden av den del av ledaren som befinner sig i magnetfältet. Om ledaren inte bildar rät vinkel med fältlinjerna tillkommer ett vinkelberoende:
F = B · I · L · sin α
Här betecknar α vinkeln mellan fältlinjerna och ledaren. Detta samband kallas Laplaces lag.
KRAFTVERKAN PÅ LADDAD PARTIKEL I RÖRELSE
En laddad partikel som rör sig i ett magnetfält påverkas av en kraft:
F = B · q · v
Här betecknar B flödestätheten, q laddningen och v hastigheten. I sambandet förutsätts hastigheten vara vinkelrät mot fältlinjerna. Om rörelsen inte sker vinkelrätt mot fältlinjerna delas hastighetsvektorn upp i komposanter vinkelrät mot och parallellt med fältlinjerna. Endast den hastighetskomposant som är vinkelrät mot fältlinjerna ger upphov till en kraft. Kraften går åt det håll där de båda fälten är motriktade (regeln om motriktade fält).
Eftersom kraften på laddningen är vinkelrät mot fältet kommer den laddade partikeln att beskriva en cirkulär centralrörelse i fältet om fältet är homogent och hastigheten är vinkelrät mot fältlinjerna.
SVÅRIGHETSGRAD 1
2.B.1
På bilden ser du fyra olika bankurvor för partiklar i ett magnetfält riktat vinkelrätt mot papperet. Spåren orsakas av en proton, en elektron, en positron och en neutron.
Vilken riktning har magnetfältet?
2.B.2
Bestäm den magnetiska flödestätheten, till storlek och riktning, 3,4 cm till höger om en lång rak ledare i vilken en ström på 6,8 A flyter uppåt. Rita figur.
2.B.3
Bestäm den magnetiska flödestätheten i en punkt P som befinner sig 2,3 cm till vänster om en ledare i vilken det flyter en ström på 1,6 A.
2.B.4
En ledare med längden 22 cm befinner sig i ett homogent magnetfält med flödestätheten 3,5 mT.
a) Beräkna kraften på ledaren från magnetfältet om strömmen i ledaren är 2,3 A.
b) Rita en figur som visar magnetfältet, ledaren och kraften. Välj själv riktningar i figuren.
2.B.5
En ström på 2,0 A går genom en 5,0 m lång ledare. Hur stor är den magnetiska flödestätheten 1,0 dm från ledaren?
2.B.6
En strömförande ledare är placerad i ett magnetfält som figurerna nedan visar. Rita kraftriktningen på ledaren i de båda figurerna.
a) b) I I B B
2.B.7
I figuren visas två långa raka ledare med strömmarna
I1 = 4,6 A och I2 = 6,4 A. Punkten P befinner sig 2,0 cm från
I1 och 3,5 cm från I2 I1 = 4,6 A
I2 = 6,4 A
P
a) Beräkna den magnetiska flödestätheten i punkten P då det bara går ström genom den övre ledaren, I1
b) Beräkna den magnetiska flödestätheten i punkten P då det går ström i båda ledarna.
2.B.8
En forskare vill separera uranisotoperna U-235 och U-238 med en masspektrometer. I hastighetsfiltret är spänningen mellan de båda plattor som ger upphov till det elektriska fältet 25 kV.
Jonerna har laddningen +1. Avståndet mellan plattorna är 20,0 cm. Den magnetiska flödestätheten i både hastighetsfiltret och avböjningsmagneten är 0,45 T. Isotoperna samlas upp i ett metallkärl, som har en liten negativ laddning. För att träffa metallkärlet ska banradien i halvcirkeln vara 1,00 m.
a) Beräkna jonernas fart när de lämnar hastighetsfiltret och deras banradie i avböjningsmagneten.
b) Beräkna vilken flödestäthet som behövs i hastighetsfiltret och avböjningsmagneten för att joner av isotopen U-235 ska komma in i metallkärlet.
c) Beräkna motsvarande flödestäthet för U-238.
2.B.9
Två långa raka ledare befinner sig 6,0 cm från varandra. I den ena ledaren flyter en ström på 4,0 A och i den andra en ström på 6,0 A.
a) Beräkna den magnetiska flödestätheten i en punkt mitt emellan ledarna om strömmarna har samma riktning.
b) Beräkna den magnetiska flödestätheten i en punkt mitt emellan ledarna om strömmarna har motsatt riktning.
c) I en punkt P mellan ledarna är den magnetiska flödestätheten 0 T. Var finns denna punkt? Vad måste gälla för strömriktningen i ledarna?
d) Finns det någon punkt där flödestätheten är 0 T om strömriktningen i den ena ledaren ändras jämfört med föregående deluppgift?
2.B.10
Två långa raka parallella ledare är upphängda 12 cm från varandra. I den vänstra ledaren flyter en ström uppåt på 2,5 A och i den högra en ström uppåt på 3,5 A
a) Beräkna flödestätheten i en punkt mitt emellan ledarna.
b) Hitta en punkt i vilken flödestätheten är 0 T.
2.B.11
Vid en fysiklaboration skickar Boel en ström på 2,5 A genom en Slinky-fjäder. Denna är upphängd på en enmeterslinjal så att det finns åtta varv på 0,10 m.
Hur stor är flödestätheten vid spolens axel mitt på linjalen?
2.B.12
En lång, rak ledare är horisontellt monterad i nord–sydriktning. 2,5 cm rakt under ledaren finns en kompassnål som pekar i nordöstlig riktning med ett utslag på 45° mot ledaren.
På den plats där försöket utförs är den horisontella komposanten av jordens magnetfält 16,8 µT och den vertikala 46,5 µT. Förklara på utförligast möjliga sätt det som sker i experimentet.
2.B.13
En bil kör med farten 90 km/h längs en rak vägsträcka i nordlig riktning på en skånsk landsväg. På de gummiklädda lastbärarna på taket ligger en 1,2 m lång metallstång tvärs över bilens tak.
a) Varför uppkommer det en elektrisk spänning mellan stångens ändpunkter?
b) Hur stor är denna spänning?
c) Vilken polaritet får den uppkomna spänningen?
2.B.14
I ett hastighetsfilter vill man sortera ut positiva kol-14joner med hastigheten 2,0 · 107 m/s.
Rita en figur som visar ett hastighetsfilter och föreslå lämpliga värden för att sortera ut joner med just denna hastighet.
2.B.15
Två långa raka parallella ledare är upphängda 18 cm från varandra. I den vänstra ledaren flyter en ström nedåt på 3,5 A och i den högra en ström uppåt på 2,5 A.
Hitta en punkt i vilken flödestätheten är 0 T.
SVÅRIGHETSGRAD 3
2.B.16
I två korslagda ledare flyter lika mycket ström, I. Rita av figuren och markera de områden där det resulterande fältet är riktat ut från papperet.
I I
2.B.17
En lång rak ledare placeras rakt ovanför nålen på en kompass. Avståndet mellan kompassnålen och ledaren är 2,5 cm.
Vad kommer att hända med kompassnålen om en ström på 7,5 A skickas genom ledaren rakt söderut (rita en figur och beräkna)? Den horisontella komposanten av jordens magnetfält antas vara 17 μT där försöket utförs.
2.B.18
Elektroner med hastigheten v = 1,5 · 107 m/s kommer in från vänster i ett homogent magnetfält riktat rakt ut ur papperet (rita egen figur). Flödestätheten i det magnetiska fältet är 35 mT.
Beskriv elektronernas bana så noggrant som möjligt. Rita en egen figur och rita in banorna i den.
2.B.19
För att separera joner med laddningen –e från kol-12 och kol-14 med varandra används en masspektrometer. Det elektriska fältet genereras av två metallplattor som är placerade 4,00 cm från varandra och den magnetiska flödestätheten är 0,25 T.
a) Hur stor spänning behövs mellan plattorna i hastighetsfiltret om den önskade hastigheten är 1,5 · 106 m/s?
b) Kolatomerna fortsätter därefter in i avböjningsmagneten där bara det magnetiska fältet verkar. Hur blir deras bana då? Beskriv med ord och beräkningar.
2.B.20
Anta att en kompass är orienterad så att nålen pekar längs ledaren. När det flyter en ström på 1,75 A genom ledaren vrider sig kompassnålen enligt figuren.
a) Vilken riktning har strömmen?
b) Bestäm den horisontella komposanten av det jordmagnetiska fältet om avståndet mellan ledaren och kompassnålen är 2,5 cm.
2.B.21
En platt cirkulär spole med sex varv och en radie på 15 cm placeras i det magnetiska meridianplanet, det vill säga i ett lodrätt plan orienterat i nord–sydriktningen.
En kompassnål placeras i spolens mitt och pekar då längs spolens plan. Horisontalkomposanten av jordens magnetfält på platsen är 16,3 µT.
Beskriv så noga du kan vad som händer när en ström på 3,0 A skickas genom spolen.
2.B.22
Bilden visar en cirkulär horisontell spole med en inklinationsnål placerad i spolens medelpunkt.
Spolens radie är 15 cm och den har fyra tättliggande varv. Illustrationen visar inklinationen, 72°.
När strömstyrkan är 3,1 A ställer sig inklinationsnålen vågrätt. Beräkna det jordmagnetiska fältets horisontalkomposant.
inklinationsnål 72°
2.B.23
En ledare är spänd mellan polerna på en hästskomagnet enligt figuren nedan. När strömmen 4,6 A skickas genom ledaren minskar vågens utslag med 2,1 g.
a) Åt vilket håll går strömmen?
b) Beräkna den magnetiska flödestätheten i magneten. Anta att bredden på hästskomagneten är 3,5 cm.
2.B.24
Protoner med olika energier kommer in vinkelrätt mot ett magnetiskt fält. Protoner som har den kinetiska energin W beskriver en halvcirkel med radien r
Vilken energi har protoner som beskriver en cirkel med radien r/2?
Resonemanget ska motiveras med formler.
2.B.25
En cylinder är upphängd i en magnet enligt bilden. Cylindern är gjord av bly och har längden 50 mm och diametern 4 mm. Magnetfältet från magneten är 15 mT.
Åt vilket håll och med vilken vinkel flyttar sig cylindern om en spänning på 15 mV läggs över cylindern? Cylindern är upphängd i sladdar med försumbar resistans. N S (från sidan)