Tarea 10. Relaciones de Equivalencia 1. a) b) c) d) e) f)
Encuentre un ejemplo de relaciones (a través de su gráfica) que sean: Solamente Reflexiva. Sólo Simétrica Únicamente Transitiva. Solamente Antisimétrica. Reflexiva, simétrica y no transitiva. Reflexiva, transitiva y no simétrica.
2. En el conjunto A={1,2,3,4} se considera la relación R={(1,1),(2,2),(1,3),(3,1),(3,3),(3,4)}. Determinar si la relación R es Reflexiva, Irreflexiva, Simétrica, Antisimétrica o Transitiva. 3. Sea A={a,b,c,d}. Defínase la relación R en A por medio de su gráfica: Gr(R)= {(a,a),(b,a),(c,c),(d,d),(d,c)} Determine si R es una relación de equivalencia en A. 4. Sea A={1,2,3,4}. Defínase la relación R en A por Gr(R)={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,1),(3,3),(1,3),(4,1),(4,4)} Determine si R es una relación de equivalencia en A.
medio
de
su
gráfica
5. Determine si las siguientes relaciones son reflexivas, irreflexivas, simétricas, antisimétricas, o transitivas en A ={1, 2, 3, 4} a) {(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,3),(3,4),(4,3),(4,4)} b) {(1,2),(1,3),(1,4),(2, 3)(2,4),(3, 4)} c) {(1,3),(1,1),(3,1),(1,2),(3,3),(4,4)} d) ∅ e) A × A. f) y g) para estos incisos tomar A = {1, 2, 3, 4, 5} y las relaciones cuyos grafos dirigidos son:
g) h) i) j)
R1={(1,1),(1,2)} R2={(1,1),(2,3),(4,1)} R3={(1,3)(2,4)} R4={(1,1),(2,2),(3,3)}
6. Determine si la relación dada es reflexiva, irreflexiva, simétrica, antisimétrica o transitiva. En caso de ser su respuesta afirmativa dé una demostración; de lo contrario, encuentre un contraejemplo a) R: ℕ→ℕ aRb ⇔ a+3b=12 b) R: ℕ→ℕ aRb ⇔ (∃k ∈ ℕ)(b = ak) c) R: ℕ→ℕ aRb ⇔ (∃k ∈ ℕ) (a − b = 5k)