Logaritmos

Logaritmos Indicaciones: Leer el siguiente documento sobre logaritmos y dar “click” a los hipervínculos para obtener información adicional importante.

Si se invierten en el banco $25,000 a un interés compuesto anual del 13.5%, ¿cuanto tiempo deberá mantenerse el dinero en la cuenta para obtener un monto final de $35,000?

Para resolver este problema, se debe considerar la fórmula siguiente de monto, con interés compuesto: M  C (1  i) n En donde: M= Monto final C=Capital inicial i=interés (convertido a decimal al dividir entre 100) n= número de veces que se capitaliza el interés Entonces, se tiene que: M=35000 C=25000 13.5% i= =0.135 100 n=¿?

Se sustituyen los datos en la fórmula de monto: 35000  25000(1  0.135) n Por lo tanto, nuestra variable es “n”, y se debe despejar de la ecuación anterior: 35000  (1  0.135) n 25000 ** 1.4  (1.135) n Para despejar una variable cuando ésta se encuentra en el exponente, se debe realizar un cambio de notación, de forma exponencial a forma logarítmica.

Entonces, la ecuación ** queda reescrita como: log1.1351.4  n …lo cual se lee como: el logaritmo base 1.135 de 1.4 es “n” Para resolver este logaritmo, como la calculadora científica no puede calcular un logaritmo con base 1.135, se debe realizar un cambio de base: log 1.4 n log 1.135 Esto sí se puede resolver con la calculadora, utilizando el botón “log”. Por tanto, resulta:

0.146128035 n 0.054995861 2.657  n Finalmente, con el resultado obtenido se concluye que si se invierten $25,000 en el banco a un interés compuesto del 13.5% anual, después de 2.657 años (aproximadamente dos años y siete meses), se obtendrá el monto deseado de $35,000.

Convertir de forma exponencial a forma logarítmica Si se tiene la forma exponencial siguiente: Bx  R En donde “B” es la base a la cual se eleva el exponente “x”, y “R” es el resultado de esta elevación, se puede reescribir de forma logarítmica como: log B R  x Esto se lee: El logaritmo base “B” de “R” es igual a “x”.

Por ejemplo, para cambiar 53 x  14 A forma logarítmica, se reescribe como. log 5 14  3x Y se lee: El logaritmo base 5 de 14 es igual a “3x”.

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¿Por qué la calculadora científica no puede calcular un logaritmo con base 1.135?

La calculadora científica contiene dos botones para calcular logaritmos: 1. Botón “log” Este botón sólo calcula logaritmos con base “10” 2. Botón “ln” Este botón sólo calcula logaritmos con base “e” (recordar que “e” es el número de Euler, aproximadamente 2.71828) Por lo tanto, SÓLO LOS LOGARITMOS con base “10”, o base “e” se podrán calcular directamente en la calculadora científica. Cualquier otro logaritmo con base distinta a éstas no se podrá calcular directamente en la calculadora científica.

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Cambio de Base Para resolver un logaritmo con base diferente de “10” o de “e”, se debe realizar un CAMBIO DE BASE, aplicando la siguiente fórmula:

log B R 

log R , o en su defecto, usar: log B

log B R 

ln R ln B

Por ejemplo, para cambiar log 3 7 a base 10, se hace: log 7 log 3 7   1.77124 (Este resultado se obtiene utilizando el botón “log” en la log 3 calculadora científica.)

O en su defecto, también se puede cambiar a base “e”, haciendo: ln 7 log 3 7   1.77124 (Este resultado se obtiene utilizando el botón “ln” en la calculadora ln 3 científica.)

Cualquiera de los dos cambios de base es equivalente, pero la ventaja es que al trabajar con base “10” o base “e”, se puede calcular el logaritmo en la calculadora científica, pero con base 3 no es posible realizar ese cálculo en la calculadora.

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