MANUALPARAGEOGEBRA
Guíasparageometríadinámica,animaciones ydeslizadores
AlexánderBorbónA., EscueladeMatemática InstitutoTecnológicodeCostaRica.
Revista Digital Matemática Educación e Internet (www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate)
Textos Universitarios
1 MANUALDEGEOGEBRA.
Introducción
Enelaño2002saliólaprimeraversióndelprogramaGeoGebra,sucreadoryactual directordelequipoesMarkusHohenwarter(verfigura 1.1)quientrabajaenla UniversidadLinzJohannesKeplerenAustria.Actualmenteenelproyectotrabajan cercadeochopersonasdediversospaísesdelmundo:Inglaterra,Hungría,Francia, Luxemburgo,EstadosUnidosyAlemania.Ademásdelapoyoquerecibendealgunas personasdelacomunidad,traductores,institucionesyproyectosasociados. Talcomosunombrelodice,Geogebraesunprogramaquemezclalageometríacon elálgebra.Enestesentido,paralapartegeométricasepuedeubicardentrodelos programasdinámicosdegeometríaloscuales,engeneral,permitenrealizarconstruccionesgeométricas,conlaventajadepodermoverlospuntosdelaconstruccióny observarsusinvariantesycaracterísticas.Sinembargo,Geogebrapresentacaracterísticasadicionalesquelosprogramasdinámicosdegeometríaporlogeneralnoposeen yquelohaceespecial,conformeserealizanlasconstruccionesgeométricasenuna ventanasevanmostrandolasexpresionesalgebraicasquerepresentanalaslíneas,lossegmentos,círculosy puntosdelaconstrucción;tambiénpermitetrabajarconlasfuncionesalpoderlasgraficarymanipulardeuna manerasencilla.
Geogebratambiénpuedecalcularladerivadadelasfunciones,poseesupropiahojadecálculoyademás yatieneimplementadasmuchasfuncionesdemanerainternaloqueahorramuchotrabajo(porejemplo,la aproximacióndeláreabajolacurvautilizandorectángulos).
Lapantallaprincipalsemuestraenlafigura 1.2,enestasenotalazonadetrabajodondeestánlosejes decoordenadasylaventanaalaizquierdaqueeslaventanaalgebraica.Arribaestáelmenúylabarrade herramientasyabajoestálalíneadecomando.
Ademásdetodaslasbondadesyaplanteadasdeesteprogramasepuedeagregarunadesumaimportancia, GeoGebraesunprogramagratuitoysepuededistribuirmientrasnoseaparausocomercial.Esdecir,este programasepuedellevaracualquiercolegiosinproblemadelicencias,tambiénselepuededaratodoslos estudiantesparaqueloutilicenensuscasas,estoesunagranventajaparaquelosestudiantespuedanestudiar porsucuentaoprofundizarloquesehavistoenclase.
Lazonadetrabajoesdondeserealizanlasconstruccionesgeométricas,esendondeseponenlospuntos,se hacenlasrectas,segmentos,rayos,círculos,etc.Cadavezquesehaceunadeestasconstruccionesseagrega unelementonuevoalaventanaalgebraicadeunaexpresiónquerepresentaalobjetorealizado.
LalíneadecomandosesimportanteyaquetodoloquesepuederealizarconelratónenGeoGebratambién sepuedellevaracaboescribiendocadapasoallí,másadelanteserealizaráunaconstrucciónconelratónyla mismaconstrucciónescribiéndolaenlalíneadecomandos.
ParautilizarGeoGebralomáscomúnesutilizarlabarradeherramientas,cadaunodelos botonesqueaparecenallíposeenunpequeñotriánguloallado(verfigura 1.3)conelcualse despliegaunmenúdeherramientas(otraformadedesplegarestemenúesmantenerelbotón
AlexánderBorbón DerechosReservados
Figura1.3
Menúextendible
Figura1.1 Markus Hohenwarter
Geogebra.
Figura1.2 PantallaprincipaldeGeogebra
delratónapretadoyhacerelratónhaciaabajo),losbotonesseagrupansegúnherramientas comunes.
Cuandoenunodeestosbotonesseeligealgunaherramientadesumenúemergenteestaya quedaseleccionadaenelbotónpordefecto,entoncesparaseleccionaresaherramientaen particularyanoesnecesariovolveraescogerladelmenúemergentesinoquesólosedebe seleccionarelbotónquelacontinene.
Acontinuaciónsemuestranlosdistintosgruposquecontienecadabotón,lasfigurasqueaparecensonlas quesalenaliniciarelprograma,alescogerotraherramientadelmenúemergenteestascambiarán.
:Enesteseencuentranlasherramientasdeflechaquepermitenmoverelementos,rotarlosoregistrar valoresenlahojadecálculo.
:Aquísecontruyentodoloquetienequeverconpuntos:puntoslibres,puntosdeintersecciónypuntos medios.
:Enestebotónseencuentrantodaslasherramientasquecontruyenobjetosrectos:rectas,segmentos, rayosyvectores.
:Estecontienelasconstruccionesbásicasconreglaycompás:rectasparalelas,perpendiculares,mediatrices,bisectrices,rectastangentesauncírculo,rectaspolares,ajustelinealylugaresgeométricos.
:Aquíestánlasherramientaspararealizarpolígonos,tantoregularescomoirregulares.
:Estebotóncontienelasherramientasparaconstruirtodolorelacionadoconcírculos:circunferencias, semicircunferencias,arcosysectorescirculares.
:Estasherramientaspermitenconstruirlascónicas:elipses,hipérbolasyparábolas.
:Conestasherramientasserealizanlasmedidasdelongitudes,ángulos,áreasypendientes.
:Lasherramientaspararealizarreflejos,traslacionesyrotacionesseencuentranaquí.
:Enestebotónseencuentranlasherramientasquecontienenloscontroles:deslizadores,casillasde control,imágenesytambiénlasopcionesdetextoyparadeterminarsidoselementoscumplenalguna característica.
:Porúltimo,enestaopciónseencuentranlasopcionesgráficas:ocultarymostrarobjetos,hacerzoom ydesplazarlapantalla.
Antesdeiniciarconlasguíasfamiliaríceseconelambienteyutilicealgunasdelasherramientasparaquese acostumbrealprograma.
Enalgunasguíassepediráescribirenlalíneadecomandosexpresionesconsímboloscomo ? = , α,estos símbolossepuedenagregaralescogerlosdelosmenúesextendiblesqueseencuentranaladerechadelalínea decomandos,elprimeroesdesímbolos,elsegundoesdeletrasgriegasyeltercerodefuncionesinternasde GeoGebra.
Elmanualestádivididoencuatropartes:laprimeracontienelasconstruccionesbásicasparautilizarel programa,elsegundoestáenfocadoageometría,elterceroafuncionesyelcuartoalarealizaciónde animaciones.
2
CONSTRUCCIONESBÁSICAS
2.1 TriánguloEquilátero
Seusaránlassiguientesherramientas:
Construcciónpasoapaso:
GUíADECONSTRUCCIÓN PASOAPASO
1. AbraunnuevoarchivoenGeoGebra.
2. Ocultelosejes,paraestoelijaelmenú Vista ydesmarquelaopción Ejes
3. Elijalaherramienta NuevoPunto yconstruyaenlazonadetrabajodospuntos A y B
4. Utilicelaherramienta CircunferenciadadossuCentroyunodesusPuntos yconstruyaelcírculo concentroenelpunto A quepasapor B.Construyaunsegundocírculoconcentroen B quepasepor A
5. Elijalaherramienta InterseccióndeDosObjetos yconstruyaelpuntodeintersección C delosdos círculos.
Nota:Siseescojenlosdoscírculosseconstruyenlosdospuntosdeintersección C y D,sinembargo parahacersólounasedebeescogerlaherramientayhacerclicenunodelospuntosdeintersección, asísóloseharáesepuntodeintersección.
6. Utilicelaherramienta SegmentoentreDosPuntos yconstruyalossegmentos AB, BC y AC
7. Eltriángulo ABC esuntriánguloequilátero.
8. Muevalospuntos A y B yobserveque,noimportacómosemueva,eltriángulosiempresemantiene siendoequilátero.Observeademáscómolasexpresionesalgebraicascambianenlaventanaalgebraica.
9. Porúltimo,utilicelaherramienta Expone/OcultaObjeto paraocultarlosdoscírculoydejarvisible únicamenteeltriángulo.
Adicional:
10. Paracomprobarqueeltriánguloefectivamenteesequilátero,midalalongituddelosladosdeltriángulo ylosángulosdeltriángulo.
2.2 Cuadrado
Seusaránlassiguientesherramientas:
Construcciónpasoapaso:
1. AbraunnuevoarchivoenGeoGebra.
GUíADECONSTRUCCIÓN PASOAPASO
2. Ocultelosejes,paraestoelijaelmenú Vista ydesmarquelaopción Ejes
3. Elijalaherramienta NuevoPunto yconstruyaenlazonadetrabajodospuntos A y B.
4. Utilicelaherramienta SegmentoentreDosPuntos yconstruyaelsegmento AB
5. Utilicelaherramienta RectaPerpendicular yconstruyalarectaperpendicular b alsegmento AB por elpunto A,luegoutilicelamismaherramientaparaconstruirlarectaperpendicular a alsegmento AB porelpunto B.
6. Utilicelaherramienta CircunferenciadadossuCentroyunodesusPuntos yconstruyaelcírculo d concentroenelpunto A quepasapor B.
7. Elijalaherramienta InterseccióndeDosObjetos yconstruyaelpuntodeintersección C entreel círculo d ylarecta b
8. Utilicelaherramienta RectaParalela paraconstruirlarectaparalela e alsegmento AB porelpunto C
9. Elijalaherramienta InterseccióndeDosObjetos yconstruyaelpuntodeintersección D entrelarecta e ylarecta c
10. Utilicelaherramienta SegmentoentreDosPuntos yconstruyalossegmentos AC, CD y DB
11. Elcuadrilátero ABDC esuncuadrado.
12. Muevalospuntos A y B yobserveque,noimportacómosemueva,elcuadriláterosiempresemantiene siendocuadrado.
13. Porúltimo,utilicelaherramienta Expone/OcultaObjeto paraocultarelcírculoylasrectas,dejando sólovisibleelcuadrado.
14. Guardeelarchivo. Adicional:
15. Midalosladosdelcuadrado.
16. Geogebrayatieneimplementadaunaherramientapararealizarpolígonosregulares,pruébelapara realizaruncuadrado.Deahoraenadelantelospolígonosregularesseseguiránhaciendoconesta herramienta.
2.3
CuadradoconLíneadeComandos
GUíADECONSTRUCCIÓN PASOAPASO
Enestecasonoseusaránherramientasyaquetodoseescribiráenlalíneadecomandos Construcciónpasoapaso:
1. AbraunnuevoarchivoenGeoGebra.
2. Ocultelosejes,paraestoelijaelmenú Vista ydesmarquelaopción Ejes
3. Escribaenlalíneadecomandoscadaunadelassiguientesexpresiones(talcomosemuestran):
(a) A=(1,1)
(b) B=(5,1)
(c) Segmento[A,B]
(d) Perpendicular[A,a]
(e) Perpendicular[B,a]
(f) Circunferencia[A,B]
(g) Intersección[d,b]
(h) Recta[D,a]
(i) Interseca[c,e]
Nota:Parainterseccionessepuedeutilizarelcomandointersecciónoelcomandointerseca.
(j) Segmento[A,D]
(k) Segmento[D,E]
(l) Segmento[E.B]
4. Porúltimo,utilicelaherramienta Expone/OcultaObjeto paraocultarelcírculoylasrectas,dejando sólovisibleelcuadrado.
5. Guardeelarchivo.
2.4 Parábola
Seusaránlassiguientesherramientas:
GUíADECONSTRUCCIÓN PASOAPASO
Construcciónpasoapaso:
1. AbraunnuevoarchivoenGeoGebra.
2. Ocultelosejesdecoordenadasseleccionandoenelmenú Vista laherramienta Ejes
Nota:Recuerdequeunaparábolaestádefinidaportodoslospuntosqueequidistandeunpuntollamado focoyunarecta.
3. Activelaherramienta RectaquepasaporDosPuntos yconstruyalarecta a quepasaporlospuntos A y B.
4. Activelaherramienta NuevoPunto yconstruyaunpunto foco afueradelarecta.
Nota:Paracambiarleelnombrealpuntosehaceclicderechosobreélyseescojelaopción Propiedades..., enlalengüeta Básico selecambiaelnombre.
5. Activelaherramienta NuevoPunto yconstruyaunpunto C enlarecta a.
Nota:Elpuntodebeperteneceralarectadeformatalquesiseescogelaherramienta EligeyMueve (laflecha)ysemueveestepuntoentoncessemueveportodalarectasinsalirsedeella.
6. Seleccionelaherramienta SegmentoentreDosPuntos yconstruyaelsegmento b entrelospuntos foco y C
7. Elijalaherramienta PuntoMediooCentro yconstruyaelpuntomedio D delsegmento b
8. Elijalaherramienta RectaPerpendicular yconstruyalarectaperpendicular c alsegmento b quepase porelpunto D ytambiénlarectaperpendicular d alsegmento a quepaseporelpunto C
9. Elijalaherramienta InterseccióndeDosObjetos yconstruyaelpuntodeintersección E entrelas rectas c y d
10. Escojalaherramienta LugarGeométrico paraconstruirellugarqueseformaporelpunto E cuando elpunto C semueve.
Nota:Paraestoseescojelaherramientayseseleccionanlosdospuntosenelordendado.
11. Muevaelfocoylarectaparaobservarlasvariacionesdelaconstrucción.
12. Guardeelarchivo.
Adicional:
13. Sisetienendospuntosllamadosfocosysesabequelaelipseestádefinidaporlospuntosquecumplen quelasumadeladistanciadelpuntoalosfocosesconstante,construyaunaelipse.
3
GEOMETRíA
3.1 Sumadelosángulosinternosdeuncuadrilátero
Seusaránlassiguientesherramientas: Construcciónpasoapaso:
GUíADECONSTRUCCIÓN PASOAPASO
1. AbraunnuevoarchivoenGeoGebra.
2. Ocultelosejesdecoordenadasseleccionandoenelmenú Vista laherramienta Ejes
3. Activelaherramienta Polígono yconstruyaelcuadrilátero ABCD
Nota:Elijalaherramientayhagaclicendistintoslugaresdelapantallaparaquesevayanhaciendo cadaunodelospuntos A, B, C y D,alfinalvuelvaahacerclicenelpunto A paraterminarelpolígono.
4. Elijalaherramienta Ángulo ymidaloscuatroángulosdelcuadrilátero,paraestohagaclicenlospuntos D, A y B,luego A, B y C,luego B, C y D y,porúltimo C, D y A
5. Dependecomosehayahechoelcuadriláterolosángulosquedaronexternosynointernos,nose preocupe,paraarreglaresteproblemahagaclicderechoenunodelosángulosyelijalaopción Propiedades...,enlalengüeta Básico desactiveelcontrol Admiteánguloscóncavos;repitaelprocedimientoparalosotrostresángulos.
Nota:Sisehacenestoscambioslaconstrucciónsólofuncionasielcuadriláteroescóncavo.Sisedeja comoestabanofuncionasielcuadriláterosecolocadeformatalquelosándulosquedenexternos.
6. Escojalaherramienta InsertaTexto yhagaclicenalgúnlugardelapantallayescribaeneltexto:“La sumadelosángulosinternoses:”+ α +“+”+ β +“+”+ γ +“+”+ δ +“=”+(α + β + γ + δ)
7. Guardeelarchivo.
3.2 CírculoCircunscritoaunTriángulo
Seusaránlassiguientesherramientas:
GUíADECONSTRUCCIÓN PASOAPASO
Construcciónpasoapaso:
1. AbraunnuevoarchivoenGeoGebra.
2. Ocultelosejes,paraestoelijaelmenú Vista ydesmarquelaopción Ejes
3. Elijalaherramienta Polígono yconstruyaeltriángulo ABC
4. Utilicelaherramienta PuntoMediooCentro paraconstruirlospuntos D, E y F quecorrespondena lospuntosmediosdeloslados a, b y c eneseorden.
5. Elijalaherramienta RectaPerpendicular paraconstruirlarecta d queesperpendicularallado a y quepasaporelpunto D,larecta e queesperpendicularlalado b yquepasaporelpunto E ylarecta f queesperpendicularallado c yquepasaporelpunto F.
Nota:Lasrectasconstruidasenestepasoseconocencomolasmediatricesdeltriángulo.
6. Elijalaherramienta Interseccióndedosobjetos yconstruyaelpunto G queeslainterseccióndedos delasmediatrices,puedeser d y e
Nota:Estepuntoseconocecomoelcircuncentrodeltriángulo.
7. Porúltimo,utilicelaherramienta CircunferenciadadossuCentroyunodesusPuntos paraconstruir elcírculocircunscritoaltriángulo,esdecir,cuyocentroes G yquepasapor A (tambiénpuedeser B o C).
8. Guardeelarchivo.
Adicional:
9. Sepuedenrealizarnuevosarchivosconelincentro(interseccióndelasbisectrices),elbaricentro (interseccióndelasmedianas)yelortocentro(interseccióndelasalturas).
Nota:Elortocentro,elbaricentroyelcircuncentrodeuntriÉngulonoequilÉteroestÉn alineados,esdecir,pertenecenalamismarectaqueseconocecomolarectadeEuler.
3.3 ClasificacióndeÁngulos
Seusaránlassiguientesherramientas:
GUíADECONSTRUCCIÓN PASOAPASO
Construcciónpasoapaso:
1. AbraunnuevoarchivoenGeoGebra.
2. Ocultelosejesdecoordenadasseleccionandoenelmenú Vista laherramienta Ejes.
3. Activelaherramienta SemirrectaquepasaporDosPuntos yconstruyaunasemirrectaquepasepor lospuntos A y B.Muevaelpunto B hastaquelasemirrecta AB quedecompletamentehorizontal.
4. Activelaherramienta Deslizador yconstruyaundeslizadorpara ángulos llamado valor conunintervalo dadodesde0◦ hasta360◦ conunincrementode1◦.Elanchodeldeslizadorsepuedeaumentara360 paralograrquealmoverunpuntoenlapantallasemuevaungrado.
5. Activelaherramienta RotaObjetoentornoaPunto,elÁnguloindicado yelija,eneseorden,los puntos B, A yeldeslizador valor.Estorotaelpunto B entornoalpunto A elángulodadoporel deslizador valor.Llameaestenuevopunto C.
6. Activelaherramienta SemirrectaquepasaporDosPuntos yconstruyalasemirrecta AC
7. Activelaherramienta Ángulo yconstruyaelángulo α = ∠BAC.Enlaspropiedadesdesactivelacasilla MostrarRótulo yenlalengüeta Estilo escojaun Tamaño de50.
8. Activelaherramienta InsertaTexto yconstruyauntextoconlaleyendo“α =”yotroconeltexto “valor”(sinlascomillas),estohaceenelsegundocasoquesemuestreelvalordelángulo valor yno lapalabra.Acomodelosdostextosparaqueseveancomounosolo.
9. Activelaherramienta InsertaTexto yconstruyauntextoconlaleyendo“Elánguloseclasificacomo:”.
10. Conlamismaherramientarealicesietetextosdistintosconlasleyendas“NULO”,“AGUDO”, “RECTO”,“OBTUSO”,“LLANO”,“CÓNCAVO”y“COMPLETO,CONVEXOOPERíGONO”.
11. Hagaclicderechoencimadeltexto“NULO”yescojalas Propiedades...,enlalengüeta Avanzado se escribeenla CondiciónparaExponerelObjeto que“valor ? = 0◦”
12. Alosdemástextosselesrealizaunprocedimientosimilar,lasiguientetablaresumelacondiciónque seledebeescribiracadauno.
Texto Condición
AGUDO
valor > 0◦ ∧ valor < 90◦
RECTO valor ? = 90◦
OBTUSO
LLANO
CÓNCAVO
valor > 90◦ ∧ valor < 180◦
valor ? = 180◦
valor > 180◦ ∧ valor < 360◦
COMPLETO,CONVEXOOPERíGONO valor ? = 360◦
13. Hagaclicderechoencimadelpunto A yescojalas Propiedades...,enlalengüeta Básico elijalaopción ObjetoFijo.Hagalomismoconelpunto B
14. Activelaherramienta CircunferenciadadosuCentroyunodesusPuntos yconstruyaunacircunferencia c delmismoradioqueelsemicírculodelángulomarcado.Ensus Propiedades... escojala lengüeta Avanzado yenla CondiciónparaExponerelObjeto escriba valor ? = 360◦
15. Cierrela VistaAlgebraica.
16. Modifiqueeltamaño,elcolorylosestilosdesucontrucción.Sobretodoelcolordelcírculo c para queseaigualaldelánguloynosenoteladiferenciacuando valor tengaunvalorde360◦,paraque seveaigualtambiénseledebeponersombra,observelaspropiedadesdelánguloypógalelasmismas propiedadesalcírculo.Tambiéncoloquelostextosensurespectivolugar.
17. Guardeelarchivo.
3.4
Áreadelrombo
Seusaránlassiguientesherramientas:
Construcciónpasoapaso:
1. AbraunnuevoarchivoenGeoGebra.
GUíADECONSTRUCCIÓN PASOAPASO
2. Ocultelosejesdecoordenadasseleccionandoenelmenú Vista laherramienta Ejes
3. Activelaherramienta SegmentoentreDosPuntos yconstruyaelsegmento a quetienecomoextremos lospuntos A y B
4. Activelaherramienta PuntoMediooCentro yconstruyaelpuntomedio C delsemento AB.
5. Activelaherramienta RectaPerpendicular yconstruyalarecta b queesperpendicularalsegmento AB quepasaporelpunto C.
6. Activelaherramienta NuevoPunto yconstruyaelpunto D quepertenecealarecta b.
7. Activelaherramienta ReflejaObjetoenRecta yconstruyaelpunto D′ queseobtienealreflejarel punto D conrespectoalsegmento AB
8. Activelaherramienta SegmentoentreDosPuntos yconstruyalossegmentos: c quetienecomo extremoslospuntos A y D, d quetienecomoextremoslospuntos D y B, e quetienecomoextremos lospuntos B y D′ , f quetienecomoextremoslospuntos D′ y A, g quetienecomoextremoslospuntos D y D′
9. Activelaherramienta Expone/OcultaObjeto yocultelarecta b
10. Activelaherramienta Deslizador yconstruyaeldeslizador control.Definaelintervalodeldeslizador en [0, 0.5] conunincrementode0.01.
11. Escribaenlalíneadeentradalassiguientesinstrucciones:
(a) E = D′ + control ∗ (B A)
(b) F = D′ control ∗ (B A)
(c) G = D + control ∗ (B A)
(d) H = D control ∗ (B A)
(e) I = A + control ∗ (D D′)
(f) J = A control ∗ (D D′)
(g) K = B + control ∗ (D D′)
(h) L = B control ∗ (D D′)
12. Activelaherramienta Polígono yconstruyaelpolígono AIHDGKBLED′FJ eneseorden.
13. Cierrela VistaAlgebraica.
14. Muevaeldeslizador control paraverelefecto,másadelanteseveránlasanimacionesparaqueinicie automáticamente.
15. Modifiqueeltamaño,elcolor,ylosestilosdesucontrucción;ademásocultelosrótulosyobjetosque nosenecesiten.
16. Guardeelarchivo.
4 FUNCIONES
4.1 FunciónCuadráticaconParámetros
Seusaránlassiguientesherramientas:
Construcciónpasoapaso:
1. AbraunnuevoarchivoenGeoGebra.
GUíADECONSTRUCCIÓN PASOAPASO
2. Verifiquequelosejessemuestren,paraestoelijaelmenú Vista ymarquelaopción Ejes
3. Elijalaherramienta Deslizador yconstruyatresdeslizadores a, b y c conlosvaloresqueaparecenpor defecto.
4. Escribaenlalíneadecomandos: f (x)= a ∗ x2 + b ∗ x + c
5. Cambielosvaloresdelostresparámetrosparaobservarelefectoquetienecadaparámetroenlagráfica delaparábola.
Nota:Paracambiarlosvaloressedebemoverelpuntodeldeslizador,paraestosedebeescogerla herramientade EligeyMueve (laflecha).Además,paraobservarmejorelefectodelparámetro a, pongalosotrosparámetrosencero;para b ponga a enunoy c enceroypara c ponga a enunoy b
6. Guardeelarchivo.
Adicional:
7. Realiceunarchivoexploratoriosimilarparaunafunciónlineal y = mx + b,enestecasosepuede observarmuybienelefectodel m quemuestralainclinación(opendiente)delarectay b queesla intersección.
4.2 Crecimientoydecrecimientodefunciones
Seusaránlassiguientesherramientas:
Construcciónpasoapaso:
1. AbraunnuevoarchivoenGeoGebra.
GUíADECONSTRUCCIÓN PASOAPASO
2. Verifiquequelosejessemuestren,paraestoelijaelmenú Vista ymarquelaopción Ejes
3. Escribaenlalíneadecomandos:
(a) f (x)= x4 3x2
(b) g(x)= Derivada[ f (x)]
Nota:Recuerdequeenlosvaloresdondeladerivadadeunafunciónespositivalafunciónes crecienteydondeladerivadaesnegativalafunciónoriginalesdecreciente.
4. Hagaclicderechoenlafunción g(x) ydesactivelaopción MuestraObjeto
5. Ahoraelijalaherramienta NuevoPunto yconstruyaelpunto A eneleje X,conlaherramienta Elige yMueve muevaelpunto,estenosedebemoverfueradeleje X
6. Escribaenlalíneadecomandos:
(a) B =(x(A), 2)
Nota:Lafunción x(A) obtienelacoordenada X delpunto A
(b) C =(x(A), f (x(A)))
(c) a = sgn(g(x(A)))
Nota:Estafunciónobtieneelsignodeevaluacióndelpuntoenladerivada.
7. Elijalaherramienta EligeyMueve ymuevaelpunto A,observeenlaventanaalgebraicaqueefectivamenteelvalorde a es-1silafunciónesdecrecienteyde1siescreciente.
8. Escribaenlalíneadecomandos: b = 0.5 ∗ a + 0.5
Nota:Conestecálculoseobtienelavariable b cuyovalorescerosilafuncióndecrecey1sicrece.
9. Hagaclicderechoenelpunto B yelijalaopción Propiedades...,enlalengüetaavanzadosepueden ponercoloresdinámicos,enelcuadroderojoponga“b”(sinlascomillas),enlosdemáspongacero.
10. Nuevamenteelijalaherramienta EligeyMueve ymuevaelpunto A paraobservarqueelcolordel punto B cambiasilafunciónescrecienteodecreciente.
11. Hagaclicderechoenelpunto B yelijalaopción ActivaRastro verifiqueelresultadoalmoverelpunto A.
12. Elijalaherramienta InsertaImagen yhagaclicenalgunapartedelapantalla,agreguelaimagen PatiAbajo.png
13. Repitaelpasoanteriorparaagregarlaimagen PatiArriba.png
14. Hagaclicderechosobrelaimagendelapatinetahaciaabajoyelijalaopción Propiedades...,enla lengüeta Posición enlaEsquina1escriba C yenlalengüeta Avanzado enelcuadroparalaCondición paraExponerelObjetoescriba a ? = 1,cierrelaventana.
15. Hagaclicderechosobrelaimagendelapatinetahaciaarribayelijalaopción Propiedades...,enla lengüeta Posición enlaEsquina1escriba C yenlalengüeta Avanzado enelcuadroparalaCondición paraExponerelObjetoescriba a ? = 1
16. Muevaelpunto A paraqueobserveelefectofinal.
Nota:Paraborrarlasmarcasquedejaelpunto B sepuedeelejirenelmenú Vista laopción Actualiza VistaGráfica(Limpiarastros) o,loqueeslomismo, Ctrl-F.
17. Cambielafunción f (x) paraverelefectoenotrasfunciones.Puedenser
18. Guardeelarchivo.
Adicional:
19. Agregueuntextoadicionalquediga“Lafunciónescreciente”o“Lafunciónesdecreciente”cuando semuevaelpunto A.
5 ANIMACIONES
5.1 AnimaciónSencilla(Traslación)
Seusaránlassiguientesherramientas:
Construcciónpasoapaso:
1. AbraunnuevoarchivoenGeoGebra.
GUíADECONSTRUCCIÓN PASOAPASO
2. Ocultelosejesdecoordenadasseleccionandoenelmenú Vista laherramienta Ejes
3. Activelaherramienta Deslizador yconstruyaundeslizadorllamado radio.Definaelintervalodel deslizadorde0a8conunincrementode0.1.Construyaunsegundodeslizadorllamado traslacion, estesedebedefinirde0a1conunincrementode0.01.Construyauntercerdeslizadorllamadoiniciar conlosvaloresquesedanpordefecto.
4. Activelaherramienta CircunferenciadadossuCentroyRadio yconstruyaunacircunferencia c con centroenelpunto A yconradio radio
5. Activelaherramienta NuevoPunto yconstruyadospuntos B y C cualesquieraenlacircunferencia.
6. Activelaherramienta SectorCirculardadossuCentroyDosPuntos ymarque(enesteorden)los puntos A, B y C paraconstruirelsectorcircular d,luegomárquelosenelorden A, C y B paraconstruir elsectorcircular e
7. Activelaherramienta NuevoPunto yconstruyaunpuntos D fueradelacircunferencia(ytanalejado comosepuedadeella).
8. Escribaenlalíneadeentrada E = A + traslacion ∗ (D A)
9. Activelaherramienta ElijeyMueve ymuevaeldeslizador traslación paraobservarelmovimientodel punto E.
10. Activelaherramienta VectorentreDosPuntos yconstruyaelvectordelpunto A alpunto E.
11. Activelaherramienta TrasladaObjetoporunVector ymarqueenordenelsectorcircular e yel vectorreciéncreado.
12. Parahacerunbotónqueinicielaanimaciónhagaclicderechosobreeldeslizador iniciar yenelmenú emergenteactive AnimaciónAutomática,hagalomismoconeldeslizador traslacion.Conestoinicia laanimación;enlapantalla,enlaesquinainferiorizquierdaapareceráunpequeñobotón ,acciónelo paraqueparelaanimación,yvuelvaaapretarloparaqueiniciedenuevo.
13. Paraquelaanimaciónsedetengacuandoelobjetolleguealpunto D sedebeescribirenlalíneade entrada velocidad1 = Si[traslacion ? = 1, 0, 1].Luegohagaclicderechoeneldeslizador traslacion y escojalaopción Propiedades...,enlalengüeta Deslizador escribaenlavelocidad“velocidad1”(sin lascomillas).
14. Activelaherramienta Expone/OcultaObjeto paraocultarlosdeslizadoresylosdemásobjetoscomo elsector e,elvectorylacircunferencia c
15. Cierrela VistaAlgebraica
16. Modifiqueeltamaño,elcolorylosestilosdesucontrucción.
17. Guardeelarchivo.
Nota:Cuandoguardeelarchivohágalocuandoelbotónestáenpausaycoloquelosdeslizadorestal comodebenestaraliniciodelaanimación.
Adicional:
18. Realiceunaanimaciónqueroteuncuadrado360grados,paraestorealiceunodelosdeslizadores eligiendoeltipoángulode0◦ a360◦,luego,envezdeelegirlaherramientatrasladar,elijarotar.
5.2 TeoremadePitágoras
Seusaránlassiguientesherramientas:
GUíADECONSTRUCCIÓN PASOAPASO
Construcciónpasoapaso:
1. AbraunnuevoarchivoenGeoGebra.
2. Ocultelosejesdecoordenadasseleccionandoenelmenú Vista laherramienta Ejes.
3. Activelaherramienta SegmentoentreDosPuntos yconstruyaelsegmento a entrelospuntos A y B
4. Activelaherramienta RectaPerpendicular yconstruyalarecta b queesperpendicularalsegmento a yquepasaporelpunto A
5. Activelaherramienta NuevoPunto yconstruyaelpunto C enlarecta b
6. Activelaherramienta Expone/OcultaObjeto paraocultarelsegmento a ylarecta b
7. Activelaherramienta Polígono yconstruyaeltriángulo ABC.
8. Activelaherramienta PolígonoRegular yconstruyatrescuadrados,unoencadaladodeltriángulo, paraellomarquedosvérticesdeltriánguloeindiquequeelpolígonotendrácuatrolados(sielcuadrado quedadentrodeltriángulodevuélvaceconCtrl-Zyahoramarquelosvérticesdeltriánguloenelorden contrario).Construyaprimeroelcuadradosobrelahipotenusa BC,deformatalquequedeelcuadrado BCED,luegosobreellado CA deformatalquequedeelcuadrado CAGF y,porúltimo,elcuadrado sobreellado BA detalformaquequedeelcuadrado BAHI.Ahoramuevalafigurahastaqueelcuadrado CAGF seamásgrandequeelcuadrado BAHI
9. Activelaherramienta RectaParalela yconstruyalarecta j queesparalelaalsegmento CE yquepasa porelpunto G.Tambiénconstruyalarecta k queesparalelaalsegmento ED porelpuntoF.
10. Activelaherramienta IntersecciónentreDosObjetos yconstruyaelpunto J queeslaintersecciónde lasdosrectasanteriores j y k.Calculetambiénlaintersección K delarecta j conelladodelcuadrado CAGF ylaintersección L delarecta k conelotroladodelcuadrado CAGF
11. Activelaherramienta Polígono yconstruyalospolígonos CKJF, FJG, GJL y ALJK.Paracadauno deelloshagaclicderechosobreélyelijalaopción Propiedades...,enlalengüetade Color elijaalgún colordistintoparacadauno.
12. Conlamismaherramienta Polígono construyaotropolígono ABIH ycámbieleelcolor.
13. Activelaherramienta Deslizador yconstruyaundeslizadorllamado traslacion,estesedebedefinirde 0a1conunincrementode0.01.Construyaunsegundodeslizadorllamadoiniciarconlosvaloresque sedanpordefecto.
14. Escribaenlalíneadeentrada:
(a) M = J + traslacion ∗ (C J)
(b) N = J + traslacion ∗ (B J)
(c) O = J + traslacion ∗ (D J)
(d) P = J + traslacion ∗ (E J)
15. Activelaherramienta Compás yconstruyalacircunferencia p conradiodadoporlospuntos F y J y cuyocentroes D (marquelostrespuntoseneseorden).Asegúresequeenrealidadestámarcandoel punto D comocentrodelcírculo,paraellosesugiereponereldeslizador traslacion en0.5.
16. Activelaherramienta IntersecciónentreDosObjetos yconstruyaelpunto Q queeslaintersección delacircunferencia p conelsegmento DE
17. Escribaenlalíneadeentrada: R = B + traslacion ∗ (Q B)
18. Activelaherramienta VectorentreDosPuntos yconstruyaelvector u delpunto J alpunto M,el vector v delpunto J alpunto N,elvector w delpunto J alpunto O,elvector z delpunto J alpunto P y elvector m delpunto B alpunto R
19. Activelaherramienta TrasladaObjetoporunVector ymarqueenordenalpolígono AKJL (marque elpolígonoenelcentro,nolospuntos)yelvector u,luegoelpolígono FCKJ conrespectoalvector v,elpolígono FJG conrespectoalvector w,elpolígono GJL conrespectoalvector z yelpolígono ABIH conrespectoalvector m
20. Activelaherramienta ElijeyMueve ymuevaeldeslizador traslacion paraverelefecto.
21. Activelaherramienta Expone/OcultaObjeto paraocultartodoslosobjetosqueyanosenecesiten: losvectores,lospolígonosquenosemueven,etc.
22. Activelaherramienta Expone/OcultaRótulo paraocultartodoslosrótulosquenohaganfalta.
23. Parahacerunbotónqueinicielaanimaciónhagaclicderechosobreeldeslizador iniciar yenelmenú emergenteactive AnimaciónAutomática,hagalomismoconeldeslizador traslacion.Conestoinicia laanimación;enlapantalla,enlaesquinainferiorizquierdaapareceráunpequeñobotón ,acciónelo paraqueparelaanimación,yvuelvaaapretarloparaqueiniciedenuevo.
24. Paraquelaanimaciónsedetengasedebeescribirenlalíneadeentrada velocidad1 = Si[traslacion ? = 1, 0, 1].Luegohagaclicderechoeneldeslizador traslacion yescojalaopción Propiedades...,enla lengüeta Deslizador escribaenlavelocidad“velocidad1”(sinlascomillas).
25. Activelaherramienta Expone/OcultaObjeto paraocultarlosdeslizadores.
26. Cierrela VistaAlgebraica
27. Modifiqueeltamaño,elcolorylosestilosdesucontrucción.
28. Guardeelarchivo.
Nota:Cuandoguardeelarchivohágalocuandoelbotónestáenpausaycoloquelosdeslizadorestal comodebenestaraliniciodelaanimación.
Adicional:
29. Despuésdehacerlasiguienteguía,regreseaestearchivoymodifíqueloparaquesevayanmoviendo lospolígonosdeunoenuno.
5.3 AnimaciónDoble(TraslaciónyRotación)
Seusaránlassiguientesherramientas:
GUíADECONSTRUCCIÓN PASOAPASO
Enestecasoseharáunaanimacióndondesetrasladaráuncuadradodeunpuntoaotroyluegoserotará. Construcciónpasoapaso:
1. AbraunnuevoarchivoenGeoGebra.
2. Ocultelosejesdecoordenadasseleccionandoenelmenú Vista laherramienta Ejes
3. Activelaherramienta PolígonoRegular yconstruyauncuadrado ABCD
4. Activelaherramienta NuevoPunto yconstruyaelpunto E fueradelcuadrado.
5. Activelaherramienta Deslizador yconstruyaundeslizadorllamado traslación,definaelintervalodel deslizadorde0a1conunincrementode0.01.Construyaunsegundodeslizadorllamado α,defínalo queseaparaángulosyquevayade0◦ a360◦ conunincrementode1yenlalengüetade Animación defínaloparaquesóloseincremente.Construyauntercerdeslizadorllamadoiniciarconlosvalores quesedanpordefecto.
6. Escribaenlalíneadeentrada F = A + traslacion ∗ (E A)
7. Activelaherramienta ElijeyMueve ymuevaeldeslizador traslación paraobservarelmovimientodel punto F
8. Activelaherramienta VectorentreDosPuntos yconstruyaelvectordelpunto A alpunto F
9. Activelaherramienta TrasladaObjetoporunVector ymarqueenordenelcuadradoyelvector reciéncreado.
10. Ahoraactivelaherramienta RotaObjetoentornoaPuntoelAnguloindicado yroteelcuadrado conrespectoalpunto A′ elángulodadopor α.
11. Activelaherramienta Expone/OcultaObjeto yocultelosdosprimeroscuadrados,esdecir,dejesólo elúltimoqueseconstruyóconlarotación.
12. Parahacerunbotónqueinicielaanimaciónhagaclicderechosobreeldeslizador iniciar yenelmenú emergenteactive AnimaciónAutomática,hagalomismoconlosotrosdosdeslizadores. Nota:Observequeestasdosanimacionessehacenalmismotiempoynosedetienen,supongaquese quierequeprimerosetrasladeelcuadradoyluegoserote.
13. Paraquelatraslaciónsedetengacuandoelobjetolleguealpunto E sedebeescribirenlalíneade entrada velocidad1 = Si[traslacion ? = 1, 0, 1].Luegohagaclicderechoeneldeslizador traslacion y escojalaopción Propiedades...,enlalengüeta Deslizador escribaenlavelocidad“velocidad1”(sin lascomillas).
14. Paraquelarotacióniniciecuandolatraslaciónsedetengaylarotaciónsedetengacuandoelobjeto rotecompletamenteentoncessedebeescribirenlalíneadeentrada velocidad2 = Si[velocidad1 ? = 0 ∧ α = 360◦ , 1, 0].Luegohagaclicderechoeneldeslizador α yescojalaopción Propiedades...,enla lengüeta Deslizador escribaenlavelocidad“velocidad2”(sinlascomillas).
15. Activelaherramienta ElijeyMueve ypongatodoslosdeslizadoresencero.
16. Activelaherramienta Expone/OcultaObjeto paraocultarlosdeslizadoresytodoslosobjetosexcepto elcuadrado.
17. Cierrela VistaAlgebraica
18. Guardeelarchivo.
Nota:Cuandoguardeelarchivohágalocuandoelbotónestáenpausaycoloquelosdeslizadorestal comodebenestaraliniciodelaanimación(todosencero).
5.4 Sumadelosángulosinternosdeuntriángulo
Seusaránlassiguientesherramientas:
Construcciónpasoapaso:
GUíADECONSTRUCCIÓN PASOAPASO
1. AbraunnuevoarchivoenGeoGebra.
2. Ocultelosejesdecoordenadasseleccionandoenelmenú Vista laherramienta Ejes
3. Activelaherramienta Polígono yconstruyaeltriángulo ABC
4. Activelaherramienta Deslizador yconstruyaeldeslizadord1.Definaelintervalodeldeslizadoren [0, 1] conunincrementode0.01.
5. Escribaenlalíneadeentradalassiguientesinstrucciones:
(a) D = B + 0.5 ∗ d1 ∗ (C A)
(b) E = B + 0.5 ∗ d1 ∗ (A C)
(c) F = B + 0.5 ∗ d1 ∗ (B A)
(d) G = B + 0.5 ∗ d1 ∗ (B C)
6. Activelaherramienta SegmentoentreDosPuntos ytracelossegmentos BD, BE, BF y GB.
7. Conlaherramienta EligeyMueve,muevaeldeslizadord1paraobservarelefectologrado.
8. Activelaherramienta Expone/OcultaObjeto paraocultarlospuntos D, E, F y G
9. Activelaherramienta Ángulo ytracelosángulos ∠ABC, ∠BCA y ∠CAB
10. Activelaherramienta Deslizador yconstruyaeldeslizador d2enelmodoÁngulo.Definaeldeslizador paraquesuintervalosea [0◦ , 180◦] conunincrementede1◦
11. Activelaherramienta RotaObjetoentornoaPunto,elÁnguloindicado yroteelpunto A con respectoalpunto B deacuerdoalángulo d2.Realicelomismopararotarelpunto C conrespectoal punto B elángulo d2.Estoconstruyelospuntos A′ y C′
12. Activelaherramienta Ángulo yconstruyaelángulo ∠A′BC′
13. Conlaherramienta EligeyMueve,muevaeldeslizador d2paraobservarelefectologrado.
14. Activelaherramienta Expone/OcultaObjeto paraocultarlospuntos A′ y C′ .
15. Activelaherramienta Deslizador yconstruyaeldeslizadord3.Definaelintervalodeldeslizadoren [0, 1] conunincrementode0.01.
16. Escribaenlalíneadeentradalassiguientesinstrucciones:
(a) H = A + d3 ∗ (B A)
(b) I = C + d3 ∗ (B A)
(c) J = B + d3 ∗ (B A)
17. Activelaherramienta Ángulo yconstruyaelángulo ∠IHJ
18. Escribaenlalíneadeentradalassiguientesinstrucciones:
(a) K = A + d3 ∗ (B C)
(b) L = C + d3 ∗ (B C)
(c) M = B + d3 ∗ (B C)
19. Activelaherramienta Ángulo yconstruyaelángulo ∠MLK
20. Conlaherramienta EligeyMueve,muevaeldeslizador d3paraobservarelefectologrado.
21. Activelaherramienta Expone/OcultaObjeto paraocultarlospuntos H, I, J, K, L y M
22. Activelaherramienta Expone/OcultaRótulo paraocultarleelrótuloatodosloselementosdela pantalla.
23. Activelaherramienta EligeyMueve y,paracadaunodelosángulosdelafigura,hagaclicderecho encimadeélyescojalas Propiedades...,desactivelacasilla AdmiteÁngulosCóncavos.Además escojaelmismocolorparacadapardeánguloscongruentesdelafigura.
24. Escribaenlalíneadeentradalassiguientesinstruccionesparadefinirlavelocidaddecadaunodelos deslizadores:
(a) v1=Si[d1 = 1,4,0]
(b) v2=Si[d1 ? = 1 ∧ (d2 = 180◦),4,0]
(c) v3=Si[d2 ? = 180◦ ∧ (d3 = 1),4,0]
25. Enlaspropiedadesdeldeslizador d1definasuvelocidadcomo v1.Lavelocidaddeldeslizador d2es v2yladeldeslizador d3es v3.
26. Activelaherramienta Deslizador yconstruyaunúltimodeslizador d.Estedeslizadorsóloservirápara queaparezcanlosbotonesdeanimaciónenlapantalla.
27. Enlaspropiedadesdeloscuatrodeslizadoresmarquelacasilla AnimaciónAutomática.Hagaclic sobreelbotóndepausadelaanimaciónydevuelvalosdeslizadoresacero.
28. Activelaherramienta Expone/OcultaObjeto paraocultarlosdeslizadores.
29. Cierrela VistaAlgebraica.
30. Modifiqueeltamaño,elcolorylosestilosdesucontrucción.
31. Guardeelarchivo.
Bibliografía
[1] Hohenwarter,J.Hohenwarter,M.“IntroductiontoGeogebra”.En http://www.geogebra.org/book/intro-en/..ConsultadaenFebrero,2010.
[2] “GeogebraQuickstart,aquickreferenceguideforGeogebra”.En http://www.geogebra.org/help/geogebraquickstart_en.pdf.ConsultadaenFebrero, 2010.