Matematik for nørder og nysgerrige

Morten Jagd Christensen

DR A

FT

Matematik for nørder og nysgerrige

jCAPS Publishing

1 Introduktion

FT

Indhold

5

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

7 9 10 10 10 11

3 Lige og ulige tal 3.1 Lige gange ulige . . . . . .

3.2 Summen af ulige tal . . .

3.3 4N + 1 eller 4N + 3? . . .

3.4 Eksempler pËš a lige og ulige

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

13 14 15 15 16

DR A

2 Matematikkens historie 2.1 Matematisk oldtid (-1000BC) . . . . .

2.2 Klassisk matematik (1000BC-300AD) 2.3 Middelalder (300-1500) . . . . . . . . .

2.4 Guldalder (1500-1850) . . . . . . . . .

2.5 Moderne matematik (1850-) . . . . . .

4 Primtal 4.1 Eratosthenes si . .

4.2 Goldbach’s Teorem 4.3 Tvillinge primtal .

4.4 Mersenne primtal .

4.5 Fermat primtal . .

4.6 Er 1 et primtal? . .

. . . . . . tal

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

17 18 20 21 21 21 21

5 Talfamilier 5.1 Naturlige tal . . . .

5.2 Rationelle tal . . . .

5.3 Gentagne decimaltal 5.4 Reelle tal . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

23 23 24 25 26

2

5.5 5.6 5.7

Irrationelle tal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Imaginære tal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Matematiske konstanter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 32 32 34 37

7 Ligninger, Identiteter og Definitioner 7.1 Simpe ligninger . . . . . . . . . . . . .

7.2 Ubekendte og parametre . . . . . . . .

7.3 Ligninger der ’hænger sammen’ . . . .

7.4 Uligheder . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

38 39 40 42 44

8 Geometri 8.1 Parallelle linier . . . . . . .

8.2 Retvinklede trekanter . . .

8.3 Firkanter . . . . . . . . . .

8.4 Ligesidede polygoner . . . .

8.5 Cirkler . . . . . . . . . . . .

8.6 Trekanter, Linier og Cirkler 8.7 Vektorer . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

46 47 47 48 48 49 49 52

9 Funktioner og Kurver 9.1 Polynomier . . . . . . . . . . . . . . . .

9.2 Eksponentialfunktioner . . . . . . . . . .

9.3 Kurvers Hældning (Differentialregning) .

9.4 Kurvers areal (Integralregning) . . . . .

9.5 Parametriske kurver . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

53 54 55 56 58 59

FT

6 Talsystemer 6.1 Ti-tals systemet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.2 Andre talsystemer i brug . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.3 Unormale talsystemer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

DR A

. . . . . . .

10 Mængder 62 10.1 Mængders størrelse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 10.2 Modsigelser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 10.3 Mængder og funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 11 Kombinationer 11.1 Terningekast . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11.2 n vælg k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11.3 n elementer fordelt i m grupper . . . . . . . . . . . . . . .

68 69 70 71

12 Uendelighed 72 12.1 Uendelige summer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 12.2 Den geometriske sum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

12.3 Uendelige brøker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 12.4 Uendelige produkter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 12.5 Uendelige linier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

FT

13 Matematiske Beviser 13.1 Er 0.999 = 1? . . . . . .

13.2 Diagonalargumentet . . √ 13.3 Er √2 et rationelt tal? .

13.4 Er 3 et rationelt tal? .

13.5 Uendeligt mange primtal 13.6 Induktion . . . . . . . .

13.7 Er nm lige eller ulige? .

. . . . . . .

82 82 83 84 85 86 86 87

14 Matematikkens fædre 88 14.1 Matematiske bedstefædre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 14.2 Erd˝ os tal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 15 Afslutning

A Matematikkens symboler

95 96

DR A

B Referencer 98 B.1 Bøger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 B.2 Webreferencer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 Indeks

100

Kapitel

1

FT

Introduktion

DR A

”If people do not believe that mathematics is simple, it is only because they do not realize how complicated life is.”

John von Neumann (1903-1957)

Jeg har altid været glad for matematik, men lidt ked af at matematikundervisning og matematikpensummet er s˚ a konservativt. Hvorfor skal man læse matematik p˚ a universitetsniveau før man bliver introduceret til talteori? Eller til transcendentale tal? Der er mange af matematikkens rigtig seje emner som man godt kan f˚ a en lille smagsprøve af p˚ a et langt tidligere tidspunkt. Og hvorfor vente til gymnasiet før man f˚ ar lov til at prøve differentiation?

En af mine allerstørste helte indenfor formidling, er fysikeren og Nobelpris vinderen Richard Feynmann. Hans tilgang til b˚ ade matematik og fysik er at det skal kunne forklares til enhver, og han brugte en stor del af sit liv p˚ a formidling. Hans forsøg p˚ a radikalt at udfordre den gængse m˚ ade at undervise i fysik, resulterede i de berømte ”Feynmann Lectures on Physics”. Serien best˚ ar af tre bind og et fantastisk eksempel p˚ a god formidling af komplicerede emner. Der mangler desværre stadig en ”Feynmann Lectures”for Matematik. En person der har potentialet til at løfte opgaven er Japaneren Hiroshi Yuki som blandt andret har skrevet novellen ’Math Girls’ som godt kunne g˚ a hen og blive en klassiker.

Dette hæfte er skrevet i Feynmann’s og Yuki’s ˚ and, uden forsøg p˚ a sammenligning ivrigt, og forsøger at forklare udvalgte emner i matema5

1. Introduktion

DR A

FT

tik i en let tone og ved at vende lidt rundt p˚ a b˚ ade indhold og form i forhold til ’normale’ matematikbøger: Traditionelle matematikbøger starter med de basale regneregler og bygger et matematisk fundament hvor nye emner benytter sig af allerede kendt viden. Det er p˚ a mange m˚ ader en god metode, men desværre betyder den at der g˚ ar lang tid før læseren f˚ ar lov til at se eksempler p˚ a avanceret matematiske emner.

Det var netop det Feynmann i sin tid opponerede imod, og som lagde grunden til hans ’Lectures’: At kaste sig ud i de spændende emner først, og s˚ a forklare detaljerne senere.

Jeg har i dette hæfte valgt at følge samme metode selvom det betyder at man kan risikere at se nogle formler, eller læse om nogle begreber før de er defineret. I det tilfælde kan man enten acceptere det der st˚ ar, bladre lidt frem, eller vende tilbage til emnet igen p˚ a et senere tidpunkt.

Det er form˚ alet med hæftet at vise en interesseret elev at der er mange veje ind i matematikkens verden. Men det er ogs˚ a en opfordring til matematiklæreren om ind i mellem at benytte en time til at uddele en lille matematisk ’godbid’ til eleverne. Jeg har selv afprøvet dele af indholdet af dette hæfte p˚ a mine to ældste børn som henholdsvis g˚ ar i 8. klasse og 1.G., og mener at hæftet kan bruges fra 8. klasse til 3.G. Hæftet er skrevet ved hjælp af to fantastiske programmer til at lave matematiske formler og grafiske illustrationer: LATEX og Tik Z.

6

Kapitel

2

FT

Matematikkens historie

DR A

”The mathematics are distinguished by a particular privilege, that is, in the course of ages, they may always advance and can never recede.”

Edward Gibbon

Matematik har formentlig altid været menneskets følgesvend. Fra de første mennesker lavede hakker i dyreknogler for at tælle dagene til fuldm˚ ane, til de første bønder skulle holde styr p˚ a hvor mange køer de ejede har matematikken været det værktøj der hjalp dem. Det har været nødvendigt for livets ophold at have styr p˚ a˚ arstiderne, som afhænger af jordens bevægelse omkring solen. Til beregning af skatter til kongerne har man skulle opm˚ ale landbrugsarealer. Indenfor handel har det været nødvendigt at finde effektive regnemetoder, og indenfor religion har solformørkelser, fuldm˚ ane, jvævndøgn og nyt˚ ar været vigtige.

For de søfarende nationer har tidevand, kalendere, navigation og tidstagning været essentielle. S˚ a fra et tidligt tidspunkt i civilisationernes opst˚ aen har man arbejdet med de fire regnearter, geometri, trigonometri og algebra.

Det at matematikken har været vigtigt for menneskets liv kan ses ved at den er opst˚ aet flere steder i verden uafhængigt af hinanden. Det betyder at der har været mange forskellige talsymboler og notationer i matematikken. Generelt har matematikken udviklet sig sammen med de store civilisaioner: Sumererne, babylonerne, egypterne, grækerne, de indiske kulturer, mellemøsten og Kina. Da de har haft deres storhedstider 7

2. Matematikkens historie

s ge br u ke r

D iE ef gy ørs pt te en br ø

ro n B omi a 60 by sk ta lon kal l s er en ys ne de te b r m en et y tt

st

500BC 400BC

ed

næ

vn

es

i

P er yth irr ag at ora In ion s v op dis el ise r da ke at √ ge m r at 2 nu em l at ik Er er til ato e at st fin hen de es pr alg im o ta ritm l e 1 de 0-ta s ls iI s nd ys ie tem n et op fin -

1000BC

800BC

200

8

3000BC 2400 2000BC

3500BC

U In end di e en lig h

70000-20000BC

A

DR A

er

T tr egn be isk ing sk e fi er riv gu a es re f g r, eo pr m im eta l Su fø m e rs r te er ta ne lsy op st fin em d er er de

FT

p˚ a forskellige tidspunkter i historien og i forskellige lande er der mange matematiske opdagelser som er blevet gjort flere gange. Historisk har der ikke været mulighed for at dele sin matematiske viden med folk i andre lande, blandt andet p˚ a grund af sproglige problemer, men ogs˚ a p˚ a grund af krige og kulturelle forskelle.

Fra den græske periode og frem til 1800 tallet var det en del af den klassiske dannelse at kunne latin. Derfor skrev alle lærde i europa, for eksempel matematikere, læger, fysikere og præster p˚ a latin. Dette betød at en lærebog i matematik som var skrevet af Euklid i Grækenland i 300 BC. kunne læses af alle matematikere i hele europa i to tusinde ˚ ar.

Efter at bogtrykkeriet blev opfundet af Gutenberg omkring 1440 kom der rigtig godt gang i udgivelsen af matematisk litteratur, stadig primært p˚ a latin.

I dag er engelsk endnu det mest benyttede sprog indenfor matematikken og andre videnskaber, og med hjælp af internettet og i sær email foreg˚ ar kommunikationen meget effektivt. Der er alts˚ a ikke mange matematiske beviser der kan bekrives p˚ a Twitters 140 tegn!

500

800

240BC

50BC

240BC

1200

1644

1766

1850

1900

m F be erm vi a t se s s si

ds te

te

or e

pl ek se al oi s Ri e an m al an ys n e s ko m

G g be lo A

E lig ule ni rs ng fu n

D op iffe fin ren de ti s alr

eg

da m

ni

en

ng e

ta le

n

2.1. Matematisk oldtid (-1000BC)

1995BC

2.1

FT

Vi kan groft sagt dele matematikkens historie op i fem perioder: Oldtiden, den klassiske periode, middelalderen, guldalderen og den moderne matematik. Opdelingen st˚ ar helt for min egen regning og man kunne sagtens definere flere perioder hvis man ville. Jeg vil i det følgende gennemg˚ a nogle af de vigtigste matematiske opdagelser i disse perioder.

Matematisk oldtid (-1000BC)

DR A

Oldtiden strækker sig fra tidernes morgen til ca. 1000BC. Perioden er kendetegnet ved at forskellige matematiske emner som relaterer sig til landm˚ aling og astronomi opst˚ ar uafhængigt af hinanden i flere kulturer.

For eksempel i Mesopotamien og Egypten.

De tidligste geometriske mønstre ridset i sten er fra Sydafrika og er ca. 70000 ˚ ar gamle. De første tegn p˚ a optælling er ca. 35000 ˚ ar gamle og best˚ ar af en bavianknogle med 29 hakker i svarende til antallet af dage mellem to fuldm˚ aner. Ishango knoglen er ca. 25000 ˚ ar gammel og er ogs˚ a udstyret med hakker. Blandt andet alle primtallene mellem 10 og 20.

Ellers er det sparsomt hvad der findes af tegn p˚ a matematisk aktivitet indtil ca. 4000 BC hvor man i Mesopotamien udviklede flere forskellige tælle systemer. Det svarer lidt til at have et tegn for en ko, to køer, ... og et for en dag, og for to dage osv.. Men der var ikke noget symbol for tallet 1 i sig selv. Her har man fundet en ca 7000 ˚ ar gammel lerskive med geometriske figurer og tal. For eksempel er forholdet mellem en cirkels omkreds og en hexagon (6-side) givet som 25/24 hvilket er den første værdi af π ≈ 3.125.

9

2. Matematikkens historie

2.2

Klassisk matematik (1000BC-300AD)

2.3

FT

Den klassiske periode strækker sig fra ca. 1000 BC til ca. 300 AD. I denne periode som omfatter blandt andet Grækernes store bidrag med Pythagoras og Euclid, formaliseres den aksiomatiske tilgang til matematikken, geometri og talteori. Tallet 0 defineres og det positionsbaserede talsystem etableres. I egypten ser vi den første brug af simple brøker som 1/2, 1/3, 1/4, ... omkring 1000BC og i 800BC nævnes begrebet √ uendelighed i matematisk forstand i Indien. Irrationelle tal som 2 udregnes som følge af arbejde med andengradsligninger.

I det hele taget foreg˚ ar der en lang række matematisk landvindinger som i ˚ arhundreder danner grundlaget for matematikkens videre udvikling. Ikke mindst Euclids ’Elementerne’ som best˚ ar af 13 bøger der beskriver Euklidisk geometri og starten p˚ a talteorien. Euklids ’Elementerne’ har ligget p˚ a natbordet hos alle de store matematikere gennem tiderne.

Middelalder (300-1500)

DR A

Middelalderen, fra ca. 300 AD til ca. 1500 AD er karakteriseret ved at specielle ligninger og geometriske funktioner opdages og forskellige løsninger til disse findes ved ’gætte metoder’. I denne periode skete der ikke mange matematiske fremskridt i Europa, da kirken var meget stærk og modstander af de naturvidenskabelige fag. Til gengæld var der stor fremdrift i de Arabiske lande og Indien. Her opstod blandt andet algebra, 10 tals systemet, og der blev arbejdet meget med for eksempel tredjegradsligninger. Decimal repræsentationen af tal 3.14125... opstod ogs˚ a i denne periode, ligesom uendelige talrækker tager deres begyndelse. Hvor den klassiske periodes matematik var mere filosofisk i sin natur er denne periode præget af konkrete løsninger og praktiske metoder.

I europa afholdt man for eksempel matematiske dueller hvor tidens store matematikere udfordrede hinanden ved at sende hinanden opgaver som skulle løses inden en given dato. Der var b˚ ade hæder og penge til vinderen. En af de mere legendariske dueller var mellem NIccola Targaglia og Antonio Maria Fior i 1535. Begge havde givet hinanden 30 problemer og Tartaglia lammetævede Fior ved a løse alle Fiors opgaver, hvor Fior ikke løste en eneste af Tartaglias.

2.4

Guldalder (1500-1850)

Matematikkens guldalder begynder ca. 1500. I denne periode g˚ ar det virkelig stærkt: Der findes generelle løsninger baseret p˚ a algebra til tredje10

2.5. Moderne matematik (1850-)

DR A

FT

gradsligninger. Koordinatsystemet og den moderne notation for variable, parametre og matematiske symboler etableres. Matematikken bliver mere stringent og der bliver muligt at regne kurvers hældninger og arealer ud ved hjælp af differential og integralregning. Geometri g˚ ar fra at være noget med passer og lineal til at være baseret p˚ a ligninger og funktioner.

Sandsynlighedsregning tager form og meget mere.

Baseret p˚ a de matematiske opdagelser i de foreg˚ aende perioder kombineret med en mere effektiv m˚ ade a kommunikere p˚ a(mere effektive postvæsner, bogtrykkerkunsten), en spirende bevidsthed hos adelen om matematikken som dannelse havde matematikken gode vækstbetingelser i denne periode. Groft sagt opdages ’resten’ af matematikken. Vi har nu differentialgeometri, differential og integralregning, kombinatorik, topologi, talteori, algebra, spilteori, dynamiske systemer, trigonometri, uendelige serier og produkter, og mere endnu og det foreg˚ ar altsammen i europa. Newton, Pascal, Laplace, Euler, Gauss, Fermat, Leibniz, Bernoulli, Descartes, Napier, Abel, Galois og Dirichlet er nogle af de vigtigste personer i den henseende.

Tre virkeligt store matematiske opdagelser sker i denne periode: For det første beviser Gauss algebraens hovedsætning som siger noget om antallet af løsninger til en given (polynomial) ligning. For det andet opdages den ikke-Euklidiske geometri. For det tredje bevises det at der ikke findes algebraiske løsninger til ligninger af femte grad eller derover.

2.5

Moderne matematik (1850-)

Her i de sidste to hundrede ˚ ar har matematikerne arbejdet p˚ a at systematisere og generalisere matematikken. Differentialregning er blevet generaliseret til at kunne foreg˚ a i virk˚ arlige geometrier og integraler kan regnes ud for nogle meget komplicerede funktioner ved hjælp af komplekse tal. Samtidig med at de matematiske definitioner er blevet strammet op, s˚ a det hele hænger bedre sammen er vi ogs˚ a blevet gjort opmærksomme p˚ a, takket være G¨ odel, at uanset for fint et matematisk system vi bygger op, vil der altid være nogle logiske ’huller’ tilbage.

Med computerens indtog er der ogs˚ a opst˚ aet nye matematiske discipliner som numerisk analyse og kaosteori, selvom ’rigtige’ matematikere naturligvis stadig sværger til papir og blyant! Samtidig er der sket det sjove at fysikken og matematikken p˚ a nogle omr˚ ader er smeltet sammen efter i mange ˚ ar at have arbejdet sig i hver sin retning: Albert Einsteins generelle relativitetsteori er egentlig en beskrivelse af tyngdekraften, men er s˚ a ekstremt matematisk i sin formulering at det kræver flere ˚ ars matematikstudier for at kunne bruge den i praksis. Ogs˚ a inden for kvantemekanikken og partikelfysikken er der i dag brug for avancerede 11

2. Matematikkens historie

DR A

FT

matematiske modeller, nogen gange i mange dimensioner, for at kunne beskrive den ’virkelige’ verden.

Heldigvis er der stadig masser af udfordringer i matematikken, men ogs˚ a store successer. For eksempel er der ikke mange ˚ ar siden art Fermats sidste teorem blev bevist - et problem som var mere end 350 ˚ ar gammelt, og for nylig beviste en Russisk matematiker et meget svært problem som var mere end 100 ˚ ar gammelt, den s˚ akaldte Poincar´e formodning.

12

Kapitel

3

FT

Lige og ulige tal

”I don’t get even. I get odder”

DR A

Unknown

Al matematik starter med de hele tal, og s˚ a kaldet tælletallene.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, · · ·

Hvis man kikker lidt nærmere p˚ a tallene kan man observere følgende mønster. n

formel

2 4 6 8 ··· N

2·1 2·2 2·3 2·4 ··· 2·M

Vi ser at hvert andet tal kan skrives som tallet 2 ganget med et andet tal. Disse tal kalder vi de lige tal. Det er tallene 2, 4, 6, 8, 10, · · · . Hvis vi fjerner de lige tal fra tælletallene er der disse tal tilbage: 1, 3, 5, 7, 9 · · · , som kaldes de ulige tal. De ulige tal kan skrives som 2N + 1, hvor N = 0, 1, 2, 3, · · · , mens de lige tal kan skrives som 2N , for N = 1, 2, 3, 4, · · · .

13

3. Lige og ulige tal

Omvendt kan man sige at alle tal der kan skrives p˚ a formen 2N er lige og alle tal der skrives som 2N + 1 er ulige.

Om lige og ulige

3.1

FT

I flere kulturer har man tillagt begreberne lige og ulige forskellige betydninger. Lige er som regel godt: vi er lige gode, lige høje, lige meget værd, mens det ikke er godt at være ulige: Goderne var ulige fordelt osv. P˚ a engelsk hedder det ”odd”og ”even”og odd betyder ogs˚ a underlig eller mærkelig.

Lige gange ulige

Vi kan nu vise at produktet af to lige tal er lige: 1) Først tager vi to lige tal: 2L og 2M .

2) Dernæst danner vi produktet af de to tal: 2L · 2M = 4LM 3) S˚ a sætter vi 2 uden for en parentes: 4LM = 2(2LM ) 4) Til sidst omdøber vi 2LM til N , og har endelig at 2L · 2M = 2N

DR A

Men 2N er jo et lige tal og dermed er har vi vist at produktet af to vilk˚ arlige lige tal er et lige tal. Som et special tilfælde har vi ogs˚ a vist at et lige tal i anden potens er lige, for vi kan bare vælge det samme tal to gange: 2L · 2L = (2L)2 . P˚ a samme m˚ ade kan vi vise at produktet af et ulige og et lige tal er lige: 1) Vi vælger et lige tal 2L, og et ulige tal 2M + 1 2) Produktet er 2L(2M + 1) = 2 · L(2M + 1) 3) Som er det samme som 2N hvis vi sætter N lig med L(2M + 1).

Til sidst vil vi vise at produktet af to ulige tal er et ulige tal. Ideen er den samme som tidligere: Vi tager to ulige tal: 2L + 1 og 2M + 1. Produktet er (2L + 1) · (2M + 1) = 4LM + 2L + 2M + 1 = 2(2LM + L + M ) + 1.

Dette er det samme som 2N + 1 hvis N = 2LM + L + M og dermed ulige. Vi har nu vist følgende regneregler: lige · lige = lige

ulige · ulige lige · ulige

= ulige = lige

Er N 3 lige eller ulige? Lad os finde ud af det.

Tallet N er enten lige eller ulige, s˚ a vi deler opgaven op i to. n lige: 14

3.2. Summen af ulige tal

N 3 = N · N · N = N · (N · N ). Men fra vores regneregler er (N · N ) lige, og lad os kalde resultatet M . Vi har nu at N 3 = N · M hvor N og M er lige s˚ a igen er resultatet lige. Dvs. N 3 er lige hvis N er lige.

N ulige: Bevises helt p˚ a samme m˚ ade som for N lige. Resultatet er at N 3 er ulige n˚ ar N er ulige.

N3 =

lige ulige

hvis N er lige hvis N er ulige

FT

Kan du generalisere beviset til at gælde alle potenser af m? Med andre ord kan du vise om nm er lige eller ulige?

Vi kan ogs˚ a vise at hvis man lægger 1 til et ulige tal s˚ a f˚ ar man et lige tal. Lad os prøve: (2N + 1) + 1 = 2N + 2 = 2(N + 1) og igen ser vi at resultatet er af samme form som de lige tal. Kan du vise at at hvis man lægger 1 til et lige tal s˚ a f˚ ar man et ulige?

Summen af ulige tal

DR A

3.2

Matematikken er fyldt med sjove systemer og regler. Hvis du for eksempel tager summen af de ulige tal er resultatet

1

=

1 = 12

1+3

=

4 = 22

1+3+5

=

9 = 32

1+3+5+7

=

16 = 42

1+3+5+7+9

=

25 = 52

Det vil sige at der er en sammenhæng mellem summen af ulige tal og de tal vi kalder kvadrattallene (tal der er ganget med sig selv). Nu ved du med det samme at summen af de første 10 ulige tal er 102 = 100 og det er jo nemmere end at sidde og lægge tallene sammen p˚ a en lommeregner.

3.3

4N + 1 eller 4N + 3?

Alle ulige tal er enten af formen 4N + 1 eller 4N + 3. Er det sandt? Lad os lave en tabel og se om det ser rigtigt ud.

15

3. Lige og ulige tal

N

formel

1 3 5 7 9 11

4·0+1 4·0+3 4·1+1 4·1+3 4·2+1 4·2+3

formel

1 3 5 7 9 11

2·0+1 2·1+1 2·2+1 2·3+1 2·4+1 2·5+1

Eksempler p˚ a lige og ulige tal

DR A

3.4

N

FT

- og det gør det søreme! Men det er ikke s˚ a underligt for hvis vi skriver tabellen p˚ a en anden m˚ ade f˚ ar vi

Perfekte tal

I matematikken definerer man et perfekt tal som et tal der er summen af dets divisorer. Vi kommer nærmere ind p˚ a divisorer i afsnittet om primtal, men her er et eksempel p˚ a et perfekt tal. Tallet 6 har følgende divisorer 1, 2 og 3. Der er ikke andre tal der g˚ ar op i 6. 6 = 1 + 2 + 3 og derfor er 6 et perfekt tal. De perfekte tal er sjældne: De første fire af slagsen er 6, 28, 496 og 8128. Som du ser er de alle lige. Faktisk er alle perfekte tal vi endnu har fundet, lige. Vi ved ikke engang om der overhovedet findes perfekte tal der er ulige. Matematikerne har dog bevist at hvis der findes et ulige perfekt tal s˚ a skal det være ekstremt stort (> 101500 ).

Primtal

Der findes kun et lige primtal nemlig tallet 2. Alle andre primtal er ulige.

Husnumre Hvilket husnummer bor du i? Jeg bor i nummer 13 og min nabo til den ene side bor i nummer 11. Min nabo til den anden side bor i nummer 15. I Danmark - og mange andre lande er alle husnumre p˚ a den ene side af vejen ulige og p˚ a den anden side lige.

16

Kapitel

4

FT

Primtal

DR A

”Mathematicians have tried in vain to this day to discover some order in the sequence of prime numbers, and we have reason to believe that it is a mystery into which the human mind will never penetrate.”

Leonhard Euler (1707-1783)

Et primtal er et tal der kun kan divideres med 1 eller med sig selv.

Det vil sige at 2 er et primtal da det kun kan deles med 2 og 1. 3 er ogs˚ a et primtal da det kun kan deles med 3 og 1. 4 er ikke et primtal da det kan deles med 4, 2 og 1. Primtal er meget vigtige i matematikken fordi de p˚ a en m˚ ade er de naturlige tals byggeklodser. Hvad mener vi med det? Lad os give et eksempel.

Alle primtal mindre end 30 er: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 og 29. Vi vil nu vise at alle de øvrige tal fra 2 til 30 kan skrives som produkter af disse primtal.

En snedig græsk matematiker ved navn Euclid BEVISTE at ethvert tal kan skrives p˚ a een og kun een m˚ ade som et produkt af et eller flere primtal. Den viden bruger vi senere til at BEVISE at der er uendelig mange primtal.

17

4. Primtal

4 6 8 9 10 12 14 15 16

faktorer

samlet

n

faktorer

samlet

2·2 2·3 2·2·2 3·3 2·5 2·2·3 2·7 3·5 2·2·2·2

2

18 20 22 24 25 26 27 28 30

2·3·3 2·2·5 2 · 11 2·2·2·3 5·5 2 · 13 3·3·3 2·2·7 2·3·5

2 · 32 22 · 5

2

23 32 22 · 3 24

23 · 3 52 33 2 ·7 2

FT

n

DR A

For lige at vise hvor tilfældige primtallene kan se ud har jeg her valgt at kikke p˚ a primtalsfaktorerne for tallene fra 43627553 til 43627562. Der er alt fra 1 faktor (da tallet er et primtal) til 6 faktorer. Den højeste faktor varierer fra 2029 til 43627561. Men der er ogs˚ a lidt system i dem.

Hvis du ser efter vil du opdage at hvert andet tal har 2 som faktor (nogen gange mere end en gang), hvert tredje tal har 3 som faktor, hvert femte har 5 og s˚ a videre. n

43627553 43627554 43627555 43627556 43627557 43627558 43627559 43627560 43627561 43627562

4.1

faktorer

19 · 2296187 2 · 3 · 3 · 2423753 5 · 8725511 2 · 2 · 7 · 101 · 15427 3 · 14542519 2 · 13 · 827 · 2029 17 · 2566327 2 · 2 · 2 · 3 · 5 · 363563 43627561 2 · 11 · 47 · 42193

Eratosthenes si

Der findes en meget gammel algoritme (opskrift) til at finde primtal med.

Den kaldes Eratosthenes si og fungerer p˚ a denne m˚ ade: Hvis vi ønsker 18

4.1. Eratosthenes si

at finde alle primtal mindre end f.ex. 100 skriver vi først alle tal fra 2 til 100. Første tal, 2, er et primtal. Nu streger vi alle tal i 2 tabellen ud som er større end 2. Det er 4,6,8,... . Disse er vist i bl˚ a.

FT

S˚ a finder vi næste tal i rækken som endnu ikke er streget ud og det er 3. Tre er da et primtal da det ikke kan divideres med to og dermed ikke er streget ud i tabellen. Nu streger vi alle tal større end 3 som er med i 3 tabellen. Dvs. 6,9,12,... og s˚ a videre. Disse tal er røde. Nu finder vi det næste tal som ikke er streget ud: 5. Fem m˚ a s˚ a være et primtal da det ikke kan deles med 2 eller 3. Vi fortsætter indtil vi n˚ ar til et tal der ganget med sig selv giver 100. Det vil sige at vi stopper ved 11. Nu er alle de tal der endnu ikke er streget ud primtal.

4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

3

DR A

2

Prøv selv at benytte sien til at finde alle primtal op til 200. De fleste algoritmer til at finde sm˚ a (mindre end 10.000.000) primtal benytter sig af Eratosthenes si eller varianter af den. Hvis man vil finde større primtal findes der nogle mere avancerede algoritmer og metoder.

Primtal bliver brugt i forbindelse med computersikkerhed: Her skal der laves et rigtig godt password som er svært at bryde og det bruger man primtal til. Primtal blev ogs˚ a brugt af en østriger ved navn G¨odel til at bevise at der er grænser for hvor meget man kan bevise i matematikken.

Der er et helt forskningsfelt indenfor matematik der hedder talteori som er baseret p˚ a primtal.

19

4. Primtal

Berømte ligninger Leonhard Euler opdagede ligningen, ∞ Y X 1 1 = s n 1 − p−s n=1 p prime

4.2

FT

som knytter de hele tal sammen med alle primtal.

Den er en af matematikkens hovedsætninger.

Goldbach’s Teorem

Et teorem i matematikken betyder en teori eller formodning. Det vil sige at det endnu ikke er bevist. Her er Goldbach’s teorem: Alle tal større end 5 kan skrives som en sum af højest tre primtal. Vi prøver lige med nogle af de lige tal:

sum

n

sum

3+3 5+3 7+3 7+5 7+7 11+5 11+7 11+7+2

22 24 26 28 30 32 34 36

19+3 19+5 23+3 23+5 23+7 23+7+2 29+5 31+5

DR A

n

6 8 10 12 14 16 18 20

Indtil videre ser det ud til at passe og du kan jo selv forsøge med tallene op til 100. Men i matematikken er det ikke nogen garanti. For at være helt sikker kræves et bevis. Desværre er Goldbach’s teorem kun bevist for tal større end ca. 103000 som er et 100 · · · 00 med 3000 nuller. Det er et meget stort tal. Man har med Computer bekræftet Goldbach’s teorem for værdier op til 1018 s˚ a der er lang vej igen. Men dette er et godt eksempel p˚ a at computere kan hjælpe den teoretiske matematik, for hvis der p˚ a et tidspunkt bliver lavet et matematisk bevis for at Goldbach’s teorem gælder for værdier større end f.ex. 1020 skal vi bare køre computerprogrammet 100 gange længere tid s˚ a vil vi f˚ a teoremet endeligt bevist eller modbevist.

20

4.3. Tvillinge primtal

4.3

Tvillinge primtal

4.4

Mersenne primtal

FT

To primtal kaldes tvillinger (twin primes) hvis de ligger lige ved siden af hinanden - det vil sige at forskellen imellem dem er 2. Her er nogle eksempler p˚ a tvillingeprimtal: (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31) og (41, 43).

Man har en formodning om at der findes uendeligt mange tvillingeprimtal, men det er endnu ikke bevist. De største tvillingeprimtal vi kender her hvor bogen skrives er 65516468355 · 2333333 ± 1.

De aller største primtal man kender kaldes Mersenne primtal. De har formen Mp = 2p − 1. I skrivende stund er det størst kendte Mersenne primtal 243112609 − 1 som er ubeskriveligt stort. Dette tal er fundet ved at tusindvis af computere verden over har samarbejdet om at søge efter det i noget der kaldes GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search).

Fermat primtal

DR A

4.5

Pierre de Fermat som ogs˚ a er kendt for Fermat’s sidste teorem, havde m følgende ide. Han havde observeret at Fm = 22 + 1 gav primtal for m = 0, 1, 2, 3 og 4: F0 = 3, F1 = 5, F2 = 17, F3 = 257, F4 = 65567.

Han gættede derfor at Fm er primtal for alle værdier af m. Et s˚ adant gæt kaldes i matematikken en konjektur. Fermat tallene vokser meget hurtigt og F5 = 4294967297. Det er pænt stort tal og dengang (≈ 1630) havde man ikke computere til at hjælpe med udregningen. Dette var et udemærket gæt men desværre var det ikke rigtigt: Euler viste at F5 = 641 · 6700417 og faktisk har man ikke fundet et eneste Fermat primtal med m > 5. Vi ved endnu ikke om der er flere, et endeligt antal, et uendeligt antal eller ingen Fermat primtal med m > 5.

Det er lidt af en drøm at finde en funktion der kun laver primtal, og det er der endnu ikke nogen der har, men der findes nogle simple funktioner der genererer et antal primtal. For eksempel fandt Euler ud af at funktionen n2 + n + 41 giver primtal for 0 ≥ n < 40.

4.6

Er 1 et primtal?

Tidligere nævnte vi at definitionen p˚ a et primtal er at det er et tal der kun kan divideres med sig selv og 1. Men betyder det ikke at 1 s˚ a er et primtal? Det kan jo divideres med sig selv, som er 1 og med 1.

21

4. Primtal

DR A

FT

Det var faktisk noget man i matematikkens yngre dage var lidt uenige om, men her kommer forklaringen p˚ a hvorfor vi i dag siger at 1 ikke er et primtal. Et af den moderne talteoris hovedsætninger er at ethvert tal kan skrives p˚ a en og kun en m˚ ade som et produkt af primtal. For eksempel er 12 = 2 · 2 · 3. Hvis vi samler de ens faktorer og sorterer dem i stigende størrelse f˚ ar vi 12 = 22 · 3 og du kan ikke finde andre m˚ ader at skrive 12 som et produkt af primtal p˚ a. Lad os nu lege at vi har defineret 1 som et primtal og vise at det ødelægger det hele. For eksempel er 12 = 1 · 22 · 3, men ogs˚ a 12 · 22 · 3 og 13 · 22 · 3 osv.. Derfor har det vist sig at være praktisk at ’vedtage’ at tallet 1 ikke er et primtal.

22

Kapitel

5

FT

Talfamilier

”I tell you, with complex numbers you can do anything.”

DR A

John Derbyshire

Der findes uendeligt mange tal, men tal er ikke bare tal. Der er hele talfamilier med hver deres egenskaber. Hver talfamilie har f˚ aet et navn, og vi vil kort gennemg˚ a de mest kendte.

5.1

Naturlige tal

Det varer ikke længe fra vi lærer at tale til vi lærer at tælle til ti. En, to, tre, ..., ti. Disse tal kaldes de naturlige tal, eller tælletallene, og der er uendeligt mange af dem. Det varede mange ˚ ar fra de første mennesker begyndte at tælle, til de opdagede de negative tal og nul. De hele tal er diskrete og med det mener man at de har en indbyrdes afstand som ikke kan gøres mindre. For eksempel er afstanden mellem tallene 5 og 9 fire, og mellem 1 og 7 er afstanden seks. Hvad er den mindste afstand mellem to naturlige tal?

Mængden af de naturlige tal (1, 2, 3, · · · , n), betegnes af matematikere som N. Hvis man gerne vil have nul med kaldes mængden N0 . Alle hele tal, det vil sige mængden af alle positive, negative tal og nul betegnes Z. De naturlige tal er byggeklodserne i alle de andre talfamilierfor udfra dem kan vi skabe alle andre tal. Der er en matematisk disciplin som hedder talteori eller p˚ a engelsk number theory, som udelukkende beskæftiger sig med at vise forskellige egenskaber hos de naturlige tal. Vi har 23

5. Talfamilier

tidligere allerede vist et par stykker, nemlig da vi viste at produktet af to lige tal er lige, men her er et andet eksempel.

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + · · · + n = n(n + 1)/2

5.2

Rationelle tal

FT

Det er en matematisk sætning der siger at summen af tallene fra 1 til n er det samme som halvdelen af produktet af n og n + 1. Du vil senere benytte en matematisk bevisform kaldet induktion til at vise dette.

Rationelle tal, er tal der kan skrives som en brøk (fra latin ’ratio’) af to hele tal. Ligesom i divisions stykker m˚ a nævneren ikke være nul, og brøker kan betragtes som divisionsstykker.

DR A

De betegnes Q og her er er nogle eksempler: 22 , 7

110 , 99

344 , 113

12345678 9876543215

Hvorfor m˚ a nævneren ikke være nul? En af regnereglerne i matematik er at k · 0 = 0 uanset hvilket tal vi sætter ind p˚ a k’s plads. Dvs. 1 · 0 = 0, 2 · 0 = 0, 3 · 0 = 0 osv.

Men lad os nu antage at det er okay at dividere med 0. S˚ a har vi for eksempel at 5 =k 0

men hvis vi nu ganger med 0 p˚ a begge sider f˚ ar vi at 5 = k ·0, og det er jo et problem for k·0 kan ikke b˚ ade være 0 og 5 p˚ a samme tid. P˚ a den m˚ ade bliver matematikken upræcis eller inkonsistent, og det er noget som er forbudt i matematikken: Her skal man altid kunne stole p˚ a resultaterne.

Hvis du tænker lidt over det vil de indse at tallet 2 kan skrives som brøken 21 , og generelt kan ethvert helt tal n (vi skriver n ∈ Z) skrives n1 .

Det vil sige at alle hele tal ogs˚ a er rationelle tal. Vi siger at de hele tal er en delmængde af de rationelle tal (det skrives matematisk N ⊂ Q).

24

5.3. Gentagne decimaltal

Definition af rationelle tal De rationelle tal kan findes som løsningen til en ligning af første grad; a·x−b=0

hvor a og b er hele tal og a 6= 0. Ligningens løsning er x=

b a

FT

hvilket jo netop er definitionen p˚ a et rationelt tal. Et rationelt tal kaldes ogs˚ a et algebraisk tal af første grad.

De rationelle tal er ikke diskrete p˚ a samme m˚ ade som de naturlige tal fordi det altid gælder at imellem to rationelle tal kan findes et ny rationelt tal der ligger ind i mellem. Her er et eksempel q1 =

3 , 2

q2 =

5 4

DR A

Hvis vi regner de rationelle tal ud som decimaltal, for eksempel ved at udføre divisionen p˚ a computer eller lommeregner har vi at q1 = 1.5 og q2 = 1.25, s˚ a nu skal vi bare finde et rationelt tal (eller en brøk) som er større end 1.25 og mindre end 1.5. Der er uendelig mange muligheder men her er et.

4 q3 = 3 regn selv efter om det passer.

Hvis vi har to vilk˚ arlige og forskellige rationelle tal p, og q givet ved

a b , q= c d kan vi finde det nyt rationelt tal, r, som ligger i midten af de to ved at tage gennemsnittet af dem: r = (p + q)/2. Resultatet er et nyt rationelt tal r ad + bc , r= 2cd og da b˚ ade tæller og nævner er hele tal er r alts˚ a et rationelt tal. Prøv selv og se om det passer med eksemplet ovenfor. p=

5.3

Gentagne decimaltal

Vi har tidligere lært at man kan skrive gentagelser med en streg over de tal der gentages. For eksempel kan 1.123123... ogs˚ a skrives 1.123 men faktisk kan ALLE decimaltal med et uendeligt antal decimaler som gentager sig selv ogs˚ a skrives som en brøk. For eksempel kan 1.123123...

25

5. Talfamilier

ogs˚ a skrives som 1122/999. Men hvorfor, og hvordan regner man den ud?

Lad os skrive tallet 1.123123... som 1 + 0.123123... og kalde decimaldelen x 1.123123... = 1 + 0.123123... = 1 + x Nu ganger vi x med 1000 1000 · x = 123.123123... = 123 + 0.123123... = 123 + x

FT

Men hvis 1000x = 123 + x betyder det at 999x = 123 og dermed at x = 123 999 . Det vil sige at 1.123123... = 1 +

999 123 1122 123 = + = 999 999 999 999

ALLE decimal med et endeligt antal decimaler tal kan ogs˚ a skrives 2 23 som en brøk. For eksempel kan 0.2 skrives som 10 , 0.23 som 100 , 0.231 231 = 1000 osv.

Reelle tal

DR A

5.4

S˚ a er der de Reelle tal, som har symbolet R. Det er alle tal der kan ligge p˚ a en tallinie. De Reelle tal indeholder de Naturlige tal og uendeligt mange flere. For eksempel: 1.5, 0.99999, 31 osv.. Men de Reelle tal kan deles op to familier: De Rationelle tal og de Irrationelle tal. −1 -0.4 0

1 2

1

√ √ 2 32

e 3π

4

∞

Tallinien, som ses ovenfor, indeholder alle tal: hele tal, brøk tal, irrationelle tal og decimaltal. Uanset hvor tæt to tal ligger p˚ a tallinien er der altid plads til flere tal imellem dem. Det vil vi bevise senere.

5.5

Irrationelle tal

Fra afsnittet om gentagne decimaltal har vi lært at vi kan skrive ALLE tal med et endeligt antal decimaler og ALLE tal med decimaler der gentager sig selv som brøker (rationelle tal). De eneste tal der er tilbage er alle de uendelige tal der IKKE gentager sig selv. De er s˚ a spændende at de har f˚ aet deres eget navn: irrationelle tal. √ Du kender m˚ aske allerede et par irrationelle tal: π og 2, men der er mange flere. Faktisk uendeligt mange. Her er nogle eksempler p˚ a dem: 26

5.5. Irrationelle tal

Berømte irrationelle tal ln(2) √ √2 3 e π

0.69314718055...

1.41421356237...

1.73205080756...

2.71828182845...

3.14159265358...

FT

Hvis der er nogle af symbolerne du ikke kender endnu skal du ikke tage det tungt, det kommer. En del af de Irrationelle tal kaldes Transcendentale tal. Deres DEFINITION er at de IKKE er løsning til de ligninger man kan lave med hele tal som koefficienter (det tal der st˚ ar foran x).

For eksempel 5x3 − 7x + 3 = 0. Du kender m˚ aske allerede π som er et Transcendentalt tal.

Det er nemt at konstruere nogle irrationelle tal. For eksempel er tallet

DR A

0.123456789101112131415...

Irrationelt, da det er uendeligt og ikke gentager sig selv. Tallet er ’konstrueret’ ved at skrive alle tælle tallene efter hinanden. Her er et andet eksempel 7.499912345678910111213...

Hvis du kan se mønsteret kan du nu selv lave lige s˚ a mange irrationelle tal som du har lyst til.

De sidste tal vi vil nævne er de Imaginære tal, som ogs˚ a kaldes Komplekse tal. De er nu ikke mere komplekse end at √ vi kan regne med dem hvis det skulle være. De komplekse tal er tal som −1 og lignende. Dem vender vi tilbage til senere.

Matematikere elsker symboler og flere af talfamiliens medlemmer har f˚ aet deres eget symbol. Nogle af dem har vi allerede nævnt. Her er en liste med dem jeg er stødt p˚ a, de to sidste er der ikke mange der kender.

N, Z, Q, A, R, C, H, O Talfamilietræet ser nu s˚ adan ud: 27

5. Talfamilier

Positive tal Negative tal

Gentagne decimaler

Endelige decimaler

Decimal tal Hele Tal Rationale tal

Algebraiske tal

FT

Nul

Transcendentale tal

Irrationale tal

DR A

Reelle tal

Jeg synes der ogs˚ a burde være et symbol for de ulige tal , de lige tal og for primtallene. Men det ser der ikke ud til at være. De lige og ulige tals mængde kunne kaldes L og U, og primtallene P.

5.6

Imaginære tal

√ Nogen gange støder man i matematikken p˚ a tal som −5 og lignende.

De kaldes for imaginære tal. De er nu ret praktiske, s˚ a lad os lege lidt med dem. √ Vi starter med en DEFINITION: Vi kalder tallet −1 for i. Det vil sige at i · i = −1.

Udfra denne definition kan vi beskrive ENHVER kvadratrod af et negativt tal. Eksempler: √ √ √ √ √ √ √ √ −5 = −1· 5 = 5·i, og −0.23456 = −1 0.23456 = 0.23456·i , osv. Man kan nu lave vilk˚ arlige Imaginære tal ved at lægge et Reelt tal til et rent Imaginært. For eksempel: √ 1 + i, 2 + 5i, π − 3i, π + 2i Imaginære tal er bare tal! Man kan lægge dem sammen, trække dem fra, gange og dividere Imaginære tal præcis som man kan med de ’Almin-

28

5.6. Imaginære tal

delige’ tal. Der gælder DE SAMME regler for regning med Imaginære tal.

Addition (1 + i) + (2 + 5i) = (1 + 2) + (i + 5i) = 3 + 6i Multiplikation med et reelt tal 3 · (1 + i) = 3 + 3i

FT

Multiplikation med et komplekst tal i · (2 + 3i) = (2i + 3i · i) = (2i + 3 · (−1)) = (2i − 3) = (−3 + 2i) Lad os nu gange to Imaginære tal sammen.

(1 + i) · (2 + 3i) = 1 · (2 + 3i) + i · (2 + 3i) = (2 + 3i) + (2i − 3) = −1 + 5i

DR A

Men hvorfor er komplekse tal interessante?

Det er de fordi de p˚ a en m˚ ade fuldender de Reelle tal. De Reelle tal er ikke helt fuldendte fordi ikke alle regneoperationer med Reelle tal giver √ √ et Reelt tal som resultat. For eksempel giver −2 et komplekst tal 2i.

S˚ adan er det ikke med de komplekse tal. Her giver ethvert regnestykke med komplexe tal et komplext tal som resultat.

Du kender m˚ aske formlen for løsningen til en andengrads ligning?

Hvis ax2 + bx + c = 0 s˚ a er løsningerne √ −b ± b2 − 4ac x= 2a og det er fint nok n˚ ar ligningen fx. ser s˚ adan ud: x2 − 4 = 0, for s˚ a er løsningen √ ± 16 x= = ±2 2 Det vil sige at ligningen kan skrives som produktet af de to løsninger (x − 2)(x + 2) = 0. Men hvad nu hvis x2 + 4 = 0? S˚ a er √ ± −16 x= 2 men det er ikke noget problem for det er blot komplekse tal √ √ √ ± −1 16 ±i 16 x= = = ±2i 2 2

29

5. Talfamilier

og igen kan ligningen skrives som et produkt af løsningerne: (x − 2i)(x + 2i) = 0.

Ved hjælp af de komplekse tal kan man bevise at enhver andengradsligning ALTID har to løsninger: enten to Reelle tal, eller to Komplekse.

Det hedder algebraens hovedsætning og gælder for ENHVER ligning af n’te grad at den har NETOP n løsninger. De Komplekse tal bruges ogs˚ a inden for elektroniske kredsløb, til at gøre svære regnestykker lette, til at beregne luftens strømning omkring en fly-vinge og meget meget mere.

Matematiske konstanter

FT

5.7

Selvom der er uendelig mange tal er der nogle der er s˚ a vigtige at de har en særlig plads i matematikken. Nogle af dem har endda f˚ aet et græsk bogstav som navn (det er noget af det aller fineste man som tal kan opn˚ a.).

0

DR A

er et vigtigt tal i matematikken men var det sidste hele tal der blev opdaget. N˚ ar vi tæller til 10 bruger vi nul til at vise at det foranstillede et-tal er tiere og ikke enere. Selv inden for købmandsregning har man brug for nul. Hvis jeg har 250 kroner og l˚ aner 250 kroner ud, s˚ a har jeg 0 kroner tilbage. Det lyder indlysende men der gik mange ˚ ar inden 0 blev opdaget.

1

Tallet 1 er ogs˚ a meget vigtigt i matematikken. Dels bruger vi det til at tælle med (ved hele tiden at lægge 1 til) s˚ a 1 kan bruges til at skabe alle hele tal. Ethvert er uændret n˚ ar det ganges med 1 og det benytter vi n˚ ar vi løser ligninger.

i2 er et komplext tal der minder lidt om 1 blot i det komplexe talrum. i = i · i = −1.

γ

(udtales ’gamma’) er en speciel konstant som blev opdaget af en kvik fætter ved navn Euler. Den opst˚ ar i forholdsvis avanceret matematik.

φ (staves phi udtales ’fi’) kaldes ogs˚a det gyldne snit (1.618033..) e har værdien 2.718218... og bruges i forbindelse med noget der hedder logaritmer samt i forbindelse med trigonometriske (geometri) funktioner.

π

(udtales ’pi’) 3.1415926... blev opdaget for flere tusinde ˚ ar siden i forbindelse med at man har tegnet cirkler og m˚ alt deres længde: Forholdet mellem omkredsen af en cirkel og dens diameter er O = Dπ.

30

5.7. Matematiske konstanter

∞

er et symbol for uendelighed. Symbolet benyttes ofte n˚ ar man vil vise at noget skal udføres uendeligt mange gange. Der gælder nogle specielle regler for uendeligt, for eksempel er ∞ + 1 = ∞.

Gudeligningen Der gælder en særlig sammenhæng mellem tallene 0, 1, e, i og π. eiπ + 1 = 0

DR A

FT

At de vigtigste tal i matematikken er knyttet sammen i en enkelt ligning har f˚ aet nogle af de mest religiøse matematikere til at sige at det er et bevis for guds eksistens!

31

Kapitel

6

DR A

FT

Talsystemer

6.1

”Why are numbers beautiful? Its like asking why is Beethovens Ninth Symphony beautiful. If you dont see why, someone cant tell you. I know numbers are beautiful. If they arent beautiful, nothing is.” ˝ s (1913-1996) Paul Erdo

Ti-tals systemet

Vi er vant til at tælle og skrive tal p˚ a en bestemt m˚ ade, s˚ a vant til det faktisk at mange af os ikke ved at der er andre muligheder. Men lad os se p˚ a det. ’Vores’ talsystem kaldes ti-tals systemet. I titalssystemet er der ti cifre: 0,1,2,3,4,5,6,7,8 og 9 og med dem kan vi skrive alle hele tal.

N˚ ar vi for eksempel skriver 1423 har vi vedtaget at det har betydningen 1423 = 1 · 1000 + 4 · 100 + 2 · 10 + 3 · 1, og det er ogs˚ a s˚ adan vi udtaler tallene (eller rettere alle andre end Danskerne): et tusind fire hundrede to-ti tre.

Det kan ogs˚ a skrives p˚ a denne m˚ ade 1423 = 1 · 103 + 4 · 102 + 2 · 101 + 3 · 100 , 32

6.1. Ti-tals systemet

hvor for eksempel 103 (ti i tredje) betyder 10 · 10 · 10. P˚ a denne m˚ ade er det lidt mere tydeligt hvorfor vi kalder det ti-tals systemet: Tallet ti er simpelthen en ’byggeklods’ for vores notation.

Det var alle de hele tal i ti-tals systemet, men hvad med decimaltallene? Jo dem klarer vi p˚ a samme m˚ ade.

1 1 1 1 +2· +3· +1· , 10 100 1000 10000 eller p˚ aden lidt mere kompakte m˚ ade: 0.4231 = 4 ·

FT

0.4231 = 4 · 10−1 + 2 · 10−2 + 3 · 10−3 + 1 · 10−4 ,

Nu vender vi tilbage til de hele tal. Vi har alts˚ a helt generelt at ethvert helt tal p som har n cifre kan skrives som p = bn 10n + bn−1 10n−1 + · · · + b1 101 + b0 100

DR A

Fra tidernes morgen har matematikere været meget økonomiske og har villet spare p˚ a papir og pen (eller lerklinker, vokstavler og papyrus), s˚ a matematikere er glade for at udvikle bestemte notationer som kan hjælpe med at gøre matematiske udtryk kortere (og dermed mindske risikoen for fejl). Her er en matematisk m˚ ade at skrive p p˚ a som er meget effektiv. p=

n X

bi 10i

i=0

og som blot betyder: for alle værdier af i fra 0 til n, lav produktet af det i’te b og 10i , og læg dem alle sammen. Tyg lidt p˚ a den, det er en meget benyttet notation i matematikken. Symbolet for summen, Σ, er græsk og kaldes sigma. P˚ a den form er det meget tydeligt at vi har med et tal i titals systemet at gøre, og man siger at ti-tals systemet har basen 10.

Vi er s˚ a vant til denne notation at den næsten virker indlysende, men det har det historisk set ikke været. En helt fundamental byggeklods er cifret 0. Uden nullet virker metoden ikke fordi man ikke længere kan være sikker p˚ a hvilken værdi cifferet har. Det var for eksempel et problem de gamle Babyloniere havde, og som Romerne ogs˚ a m˚ atte kæmpe med. Her er problemet: Lad os antage at vi ikke nar noget nul. Nu skriver vi et tal, 31. Men hvad betyder det? Her er tre lige gode bud: 0

310 = 3 · 101 + 1 · 100 = 31

0

310 = 3 · 102 + 0 · 101 + 1 · 100 = 301

0

310 = 3 · 102 + 1 · 101 + 0 · 100 = 310 33

6. Talsystemer

6.2

FT

Som du kan se kan ’31’ betyde tre forskellige værdier, og det er jo ikke særligt praktisk hvis man vil skrive en bageopskrift ned og ikke ved om der skal 31g mel eller 310g mel i kagen!

Nogle kulturer udviklede et tegn som blev sat imellem for at indikere at her var der en position som ikke blev benyttet, men der gik rigtig mange ˚ ar før nullet fik sit eget symbol og blev accepteret som et gyldigt ciffer i talrækken. I europa skete det først omkring ˚ ar 1100.

Er der noget specielt ved ti-tals systemet? Nej rent matematisk er der ikke, men man gætter p˚ a at det er opst˚ aet fordi vi er startet med at tælle p˚ a fingrene, og da vi har to hænder med hver fem fingre, s˚ a har den naturlige begrænsning været ti.

Andre talsystemer i brug

Men er der s˚ a andre talsystemer? Ja det er der, faktisk uendelig mange.

Men i praksis er der kun nogle f˚ a der bliver brugt udover titals systemet og typisk indenfor matematik og datalogi.

To-tals systemet

DR A

Det simpleste talsystem er to-tals systemet. To-tals systemet som ogs˚ a kaldes de binære tal, har cifrene 0 og 1 og vi siger at basen er 2. Ethvert tal p kan alts˚ a skrives som p = bn 2n + bn−1 2n−1 + · · · + b1 21 + b0 20

For eksempel skrives 37 i to-tals systemet 100101 fordi 37 = 1 · 25 + 0 · 24 + 0 · 23 + 1 · 22 + 0 · 21 + 1 · 20

og allerede her er vi nødt til at opfinde en notation for ikke at forvirre os selv, for vi kan jo ikke se om 100101 er et lille tal i to-tals systemet eller et stort tal i ti-tals systemet, s˚ a fremover skriver vi 3710 = 1001012

for at vise hvilket talsystem tallet er skrevet i. To-tals systemet benyttes i alle computere til beregninger. Grunden er at computerens CPU som foretager beregninger er lavet af transistorer. Transistorer har normalt to tilstande: enten er de tændt eller slukket, 1 eller 0, og regnereglerne er nemme.

For en computer er reglerne for addition: 0+0=0

34

0+1=1

1+0=1

1+1=0

6.2. Andre talsystemer i brug

I den sidste regne regel er der dog en i mente. Det vil sige der er kun fire regler for addition. For ti-tals systemet er der 100! Prøv at se om du kan regne ud hvorfor! Jo færre regneregler desto hurtigere kan computeren regne, s˚ a derfor benyttes to-tals systemet i computere.

Otte-tals systemet

FT

Lad os nu tage ottetalssystemet, ogs˚ a kaldet de oktale tal. Her er der otte cifre: 0,1,2,3,4,5,6 og 7. Et tal p i ottetal systemet, base 8, kan skrives som p = bn 8n + bn−1 8n−1 + · · · + b1 81 + b0 80

Hvis vi for eksempel tæller til ti i ottetalssystemet ser det s˚ adan ud: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 12

DR A

Tallet ti i ottetalssystemet skrives alts˚ a 12. Det er fordi otte i ottetalssystemet svarer til ti i titalssystemet: ti = 1 · 8 + 2.

Der findes nogle f˚ a kulturer der benytter otte-tals systemet og det er fordi de her tæller ved at bruge mellemrummene i mellem fingrene.

I UNIX styresystemet benytter man for eksempel ottetals systemet til at beskrive en computerbrugers rettigheder med, og i programmeringssproget C benyttes otte-tals systemet til at beskrive tegn som man ikke kan taste ind fra tastaturet.

Base 2 3 4 8 9 10

0 0 0 0 0 0 0

1 1 1 1 1 1 1

2 10 2 2 2 2 2

3 11 10 3 3 3 3

4 100 11 10 4 4 4

5 101 12 11 5 5 5

6 110 20 12 6 6 6

7 111 21 13 7 7 7

8 1000 22 20 10 8 8

9 1001 100 21 11 10 9

10 1010 101 22 12 11 10

16-tals systemet

Der findes ogs˚ a talsystemer større end 10. Men hvad gør man s˚ a for der findes jo kun tallene 0-9? Man beslutter bare at bruge bogstaver!

For eksempel i 16 tals systemet (kaldes ogs˚ a hexadecimale tal) findes der følgende tal: 01234567ABCDEF. Det vil sige at det hexadecimale tal AB er det samme som A · 16 + B = 10 · 16 + 11 = 171. For ikke at blive forvirret over hvilket talsystem der tales om kan man skrive det i et subscript: AB16 = 17110 .

35

6. Talsystemer

Bliver de brugt eller er det bare matematisk nørderi? Ja nogle af dem bliver brugt: 2, 8 og 16 talssystemerne (binære, octale og hexadecimale tal) bliver for eksempel brugt meget af dem der arbejder med programmering af computere. Her bliver det nogen gange ret nørdet og man kan for eksempel finde tal i computerprogrammer der er ord eller korte sætninger: "ate bad food" "cafe babe" "dead beef" "face feed"

0xABADCAFE 0xDEADBABE 0xDEADC0DE 0xFEE1DEAD

"a bad cafe" "dead babe" "dead code" "feel dead"

FT

0x8BADF00D 0xCAFEBABE 0xDEADBEEF 0xFACEFEED

ref: http://en.wikipedia.org/wiki/Hexspeak

DR A

64-talsystemet benyttes n˚ ar man skal regne store tal ud p˚ a computer, f.eks. for at finde ud af at 7612058254738945 · 9263591128439081 er lig med 70514995317761165008628990709545. Her er det ofte mere effektivt at lave tallene om til 64-talsystemet inden man udfører regnestykket. ¡¡¡Lidt om kileskrift og deres tal symboler - dette er ikke de rigtige!¿¿¿ 3412345

60-tals systemet

60-tals systemet bliver brugt af os alle hvergang vi ser p˚ a klokken: 1 time = 60 minutter, 1 minut er 60 sekunder. 60-tals systemet bruges ogs˚ ai astronomi hvor man m˚ aler vinkler i grader, minutter og sekunder og en landm˚ aler bruger længde og breddegrader der ogs˚ a er baseret p˚ a 60-tals systemet.

Et par talsystem jokes

“Why do programmers often confuse Halloween and Christmas?”

“Because 31 OCT = 25 DEC” “Der findes 10 slags mennesker: dem der kender de binære tal og dem der ikke gør.”

36

6.3. Unormale talsystemer

6.3

Unormale talsystemer

Efter vi har været igennem flere forskellige talsystemer burde man tro at nu er der ikke mere kød p˚ a det ben, men det er der!

Som potentiel matematiker eller blot en nysgerrig person er det ikke svært at stille nogle spørgsm˚ al som kan rokke ved vores ide om talsystemer. For eksempel

FT

”Er basen altid positiv?”

Svaret er at det behøver basen ikke være. Vi kan lave et talsystem med base −10 p˚ a fuldstændig samme m˚ ade som de talsystemer vi allerede har set p˚ a. p = bn (−10)n + bn−1 (−10)n−1 + · · · + b1 (−10)1 + b0 (−10)0

Prøv selv at Skrive tallene 108, 109, 110, 111, 112 og 113 i −10-tals systemet!

DR A

”Er basen altid fast eller kan den variere?” basen kan godt variere, men nu er vi ogs˚ a lidt langt ude. Men her er et eksempel: Der er 60 sekunder p˚ a et minut, 60 minutter p˚ a en time og 24 timer i døgnet. Det vil sige at klokkeslættet 135631 kan fortolkes som et talsystem med variabel base (60 og 24). Vi kan lægge 30 sekunder til og har at 135631 + 30 = 135701 i dette talsystem.

”Hvad nu hvis basen ikke var et helt tal for eksempel π? Kan det lade sig gøre?”

Ja det kan det p˚ a en m˚ ade godt. Du kan bare sætte π ind som base, men det er højest unormalt. Man kan for eksempel ikke sige at der er π cifre i π-tals systemet, og generelt er ikke sikkert at du kan skrive alle hele tal i dette talsystem. Men i nogle af dem kan det lade sig gøre. For eksempel φ-tals systemet, hvor φ er det gyldne snit.

37

Kapitel

7

DR A

FT

Ligninger, Identiteter og Definitioner

”Equations are more important to me, because politics is for the present, but an equation is something for eternity.”

Albert Einstein (1879-1955)

Inden vi kaster os over ligninger er vi lige nødt til at tale lidt om lighedstegnet (=). I matematikken har det tre forskellige betydninger.

Se for for eksempel her

s =

s2 − s = s2

=

r+q

(r + q)(r + q) − (r + q) = r2 + 2rq + q 2 − r − q 0

I første linie bruges lighedstegnet som en definition. Det vil sige at s = r + q betyder at man fremover kan benytte s i stedet for r + q. Det gør man tit i matematikken for at gøre udregningerne simplere. For eksempel er det kortere at skrive s2 − s end (r + q)(r + q) − (r + q). I anden linie benyttes lighedstegnet som identitet, hvilket vil sige at at der egentlig st˚ ar det samme p˚ a hver side, men at det blot har forskellig form: 38

7.1. Simpe ligninger

(r + q)2 kan jo regnes ud til r2 + 2rq + q 2 og disse to udtryk er blot to forskellige m˚ ader at skrive det samme p˚ a. I tredje linie har lighedstegnet betydningen en ligning.

Her er et eksempel p˚ a en identitet. P˚ a venstre side af lighedstegnet har vi et produkt af to faktorer (x − 2) og (x + 1), og p˚ a højre side en sum af tre led x2 , −x, og −2. Man kan skifte imellem de to udtryk ved. For eksempel kan man g˚ a fra en sum af led som p˚ a højre side af lighedstegnet til et produkt af faktorer. Det kaldes at faktorisere et udtryk. Den modsatte vej hedder det at multiplicere.

(x − 2) (x + 1) | {z } | {z } f aktor

f aktor

=

FT

multiplicere

x2 − |{z} x − |{z} 2 |{z} led

led

led

DR A

faktorisere

7.1

Simpe ligninger

Hvad er en ligning s˚ a? En ligning ser s˚ adan ud A=B

Det vil sige en ligning er to udtryk, A og B som skal være ens (lig med hinanden). Det vil igen sige at alt det der st˚ ar til højre for lighedstegnet er IDENTISK med det der st˚ ar til venstre for det. Her er endnu en ligning x=5

Det vi kan se fra denne ligning er at x er lig med 5. Det er desværre ikke altid s˚ a simpelt, fx. x+1=5 Nu ved vi ikke helt hvad x er men vi ved at x + 1 er lig med 5, s˚ a vi kan jo gætte p˚ a at x er 4.

Til gengæld er det ikke helt rart at skulle gætte en løsning, det ville være bedre om vi kunne regne den ud. Det kan vi sagtens, der gælder kun en regel: 39

7. Ligninger, Identiteter og Definitioner

Du skal ALTID gøre det samme p˚ a begge sider af lighedstegnet!

I ligningen ovenfor kan vi for eksempel trække 1 fra p˚ a begge sider: x+1−1=5−1 som er det samme som x=4

FT

og det er simpelthen m˚ aden at løse ligninger p˚ a: man retter lidt p˚ a ligningen indtil x st˚ ar alene p˚ a den ene side af lighedstegnet. S˚ a st˚ ar løsningen p˚ a den anden side. Lad os tage endnu et eksempel: 2(x − 1) + 2 = 6

(7.1)

først trækker vi 2 fra p˚ a begge sider

2(x − 1) = 4

DR A

s˚ a dividerer vi med 2 (p˚ a begge sider)

x−1=2

til sidst lægger vi 1 til.

x=3

Du kan checke resultatet ved at sætte x = 3 i formel nr. (7.1) og se om det passer.

Det er iøvrigt ikke nødvendigt at bruge s˚ a mange ord n˚ ar man skal løse en ligning. Ved hjælp af det matematiske symbol ⇔ kan det gøres mere elegant:

⇔

⇔ ⇔

7.2

2(x − 1) + 2 = 6 2(x − 1) = 4 x−1=2 x=3

Ubekendte og parametre

N˚ ar man i matematikken løser ligninger er man sjældent i tvivl om hvad man skal løse. Det er fordi matematikere har lavet nogle regler for hvordan man skriver ligninger. Regel nummer 1 er at de ubekendte som 40

7.2. Ubekendte og parametre

Berømte ligninger Fermat’s Sidste Teorem siger at ligningen xn + y n = z n

FT

ikke har nogen heltals løsninger for x, y og z n˚ ar n > 2. Det var Pierre de Fermat der i 1637 kom p˚ a ideen, men det tog mere end 350 ˚ ar før det i 1995 blev endeligt bevist af englænderen Andrew Wiles.

Fermat skrev i sine noter at han havde fundet et bevis men at marginen i hans hæfte var for lille til at beskrive det. Hans teorem har givet mange dygtige matematikere igennem tiderne hovedbrud.

DR A

skal findes kaldes x, y, z. Egentlig er der ikke mere end ubekendte og tal.

Men nogen gange er der tal i en ligning som vi ikke kender n˚ ar vi løser ligningen, dem kalder vi parametre. Parametre skrives som a, b, c, · · · , h.

Her er et eksempel. Du sparer op til et Wii spil der koster 700 kroner.

Jo mere du hjælper til der hjemme jo flere lommepenge f˚ ar du. Hvor mange m˚ aneder er du om at spare op til spillet? I denne opgave er der kun en ubekendt og det er antallet af m˚ aneder du er om at spare op.

Den ubekendte kalder vi x. Dine lommepenge er ikke en ubekendt, for n˚ ar først du har besluttet dig for hvor meget du vil hjælpe til s˚ a ved du hvad du tjener, s˚ a dem kalder vi a. Den ligning vi ønsker at løse kan nu udtrykkes ved hjælp af de informationer vi har

x · a = 700 ⇔ x =

700 a

Løsningen viser - ikke overraskende - at jo mere du f˚ ar i lommepenge, desto hurtigere kan du spare op til dit Wii spil.

N˚ ar man løser ligninger hvor der er parametre i, s˚ a skal du bare betragte dem som et tal som du endnu ikke kender, f.ex. x + ax − 3 = 2 − bx

⇔ x + ax + bx = 2 + 3 ⇔ x(1 + a + b) = 5 5 ⇔ x= (1 + a + b)

41

7. Ligninger, Identiteter og Definitioner

Ubekendtes efternavne Der er to vigtige regler n˚ ar man skal simplificere eller løse ligninger hvor de ubekendte optræder i forskellige kombinationer, som 2xy + zx2 + yx + 3xzx.

Den første er at samle og sortere faktorerne: 2xy + xy + x2 z + 3x2 z. Den næste er at man kun kan lægge tal med samme ”efternavn” sammen. Tallets ”efternavn” er produktet af de ubekendte, f.ex. xy. Det vil sige at vores udtryk kan simplificeres (reduceres) til 3xy + 4x2 z

FT

En ligning kan have 0, 1, flere eller uendeligt mange løsninger. Her er et eksempel p˚ a en meget vigtig ligning som har uendeligt mange løsninger. (x − a)2 + (y − b)2 = r2 Prøv at sætte parametrene a og b til 0 og se om du kan finde et par løsninger.

7.3

Ligninger der ’hænger sammen’

DR A

Nogen gange kan man ikke nøjes med en enkelt ligning, men er nødt til at have to (eller flere) der ’hænger sammen’. Det betyder at de BEGGE skal være opfyldt SAMTIDIG. For eksempel 2x + 3y = 8 y−x=1

hvor x og y er ukendte. Dette kaldes to ligninger med to ubekendte.

Her er et eksempel p˚ a hvordan disse ligninger kan opst˚ a: Adam er to ˚ ar ældre end Berit. Til sammen er Adam og Berit 8 ˚ ar.

Hvor gamle er Adam og Berit?

Vi kalder Adams alder for A og Berits alder for B. A og B er de ukendte som vi skal finde (vi kunne lige s˚ a godt have kaldt dem x og y eller noget helt fjerde). Det vil sige at nu gælder der disse to ligninger med to ubekendte A=B+2 A+B =8

Den kan løses p˚ a denne m˚ ade: Da A = B + 2(den første ligning) kan vi i stedet for A i den anden ligning indsætte B + 2. Nu st˚ ar der B + 2 + B = 8 det er det samme som 2B + 2 = 8 og 2B = 6 og til sidst B = 3. Der vil sige at Berit er 3 42

7.3. Ligninger der ’hænger sammen’

˚ ar. Nu indsætter vi 3 for B i den første ligning: A = 3 + 2 = 5. Der vil sige at Adam er 5 ˚ ar. Prøv selv at checke efter om det passer.

Forklaringen ovenover er fyldt med b˚ ade tekst og ligninger og er lidt rodet. Jeg ville nok skrive det uden s˚ a mange ord: A

=B+2 =8

2B + 2

=8

⇔

2B

=6

B

= 6/2 = 3

⇔

A

⇔

FT

⇒ B+2+B

⇔

=3+2=5

Ligninger med mange ubekendte

DR A

N˚ ar man pludselig st˚ ar overfor n ligninger med n ubekendte og n er stor s˚ a benytter man i praksis andre metoder til at løse ligningerne. Her er et eksempel hvor n = 4. !!! Vektorer og Matricer er endnu ikke beskrevet !!!

Vi har to vektorer a ¯ og ¯b med dimensionen 2. Det vil sige de kan skrives som a ¯=

a1 a2

¯b =

b1 b2

og for dem gælder der følgende sammenhænge 2¯ a − 3¯b =

−1 17

og

a ¯ + 2¯b =

0 , 5

og nu skal vi finde a ¯ og ¯b. Dette problem er faktisk fire ligninger med fire ubekendte:

2a1

2a2 a1 a2

−3b1 = −1

−3b2 = 17 +2b1 = 0 +2b2 = 5

Disse ligninger kan løses p˚ a samme m˚ ade som tidligere beskrevet, men man kan med fordel benytte sig af noget der hedder lineær algebra. Ved hjælp af matrix og vektor notation kan ligningerne ogs˚ a skrives som ¯ A¯ x = k.

43

7. Ligninger, Identiteter og Definitioner

 2 0 0 2  1 0 0 1

−3 0 2 0

    −1 a1 0     −3  a2  =  17  , 0   b1   0  5 b2 2

hvor A er en 4x4 matrix, x ¯ er en vektor med de fire ubekendte og k¯ er resultatvektoren. Det smarte er at ligesom vi kan finde løsningen til ligningen cx = d ved at dividere med c som giver x = d/c s˚ a kan vi med denne vektor/matrix ligning gøre noget tilsvarende. I stedet for at dividere med A ganger vi med A−1 s˚ a vi f˚ ar

FT

A−1 A~x = ~x = A−1~k.

A−1 kaldes den inverse matrix af A, og beregnes nemt p˚ a computer i programmer som mathcad, matlab, octave, maple eller maxima. P˚ a den m˚ ade er det ikke sværere at løse 100 ligninger med 100 ubekendte end det er at løse en ligning med en ubekendt.

7.4

Uligheder

DR A

En ulighed ligner en ligning, hvor lighedstegnet er skiftet ud med et større-end eller mindre-end tegn. For eksempel A<B

som betyder A er mindre end B. A og B kan være tal, ubekendte og parametre. For eksempel 3(x − 4) + x2 < 7

Man kan ændre p˚ a uligheder ligesom man kan p˚ a ligninger ved at lave de samme operationer p˚ a begge sider af ulighedstegnet. Og s˚ a er der een regel mere: Ulighedstegnet vender n˚ ar der ganges eller divideres med et negativt tal.

Lad os prøve med følgende ulighed 2 · (4 − x) < −4 · x

først dividerer vi med 2 p˚ a begge sider

4 − x < −2 · x 44

7.4. Uligheder

s˚ a lægger vi x til p˚ a begge sider, 4 < −x til sidst ganger vi med −1 p˚ a begge sider og husker at vende ulighedstegnet: −4 > x Det vil sige at løsningen best˚ ar af alle de x der er mindre end −4.

Igen kan det skrives kortere og uden ord:

⇔

⇔ ⇔

4 − x < −2 · x 4 < −x

−4 > x

x < −4

DR A

Berømte ligninger

FT

⇔

2 · (4 − x) < −4 · x

Heisenbergs usikkerhedsrelation er givet ved uligheden ~ ∆x · ∆p > 2 Det betyder at der er grænser for hvor nøjagtigt man kan m˚ ale hastighed og position samtidig. Det er en ligning der har haft stor filosofisk betydning.

Uligheden blev opdaget i 1927 af tyskeren Werner Heisenberg.

45

Kapitel

8

FT

Geometri

DR A

”There is geometry in the humming of the strings, there is music in the spacing of the spheres.”

Pythagoras (582-507 bc)

Geometri handler om punkter, linier, flader og rumlige figurer. Punkter har ingen dimension. Linier har dimension 1 som er længde, flader har dimension 2 som m˚ ales i areal. Rumlige figurer har dimension 3 som m˚ ales i volumen.

1D

0D

46

2D

3D

8.1. Parallelle linier

8.1

Parallelle linier F

C

γ α

A

D

δ

β

B

N˚ ar liniestykkerne AB og CD er parallelle (vi skriver AB k CD), s˚ a er α = δ and β = γ.

8.2

Retvinklede trekanter

FT

E

En klog gammel mand ved navn Pythagoras som kom fra Grækenland fandt ud af at der i retvinklede trekanter var en sammenhæng mellem længden af de to korteste sider og den lange (som kaldes hypotenusen).

DR A

a2 + b2 = c2 c

b

a

Grunden til at netop de retvinklede trekanter er vigtige er at har man først forst˚ aet dem, s˚ a kan man regne all slags trekanter (og all geometriske figurer lavet af rette linier) ud! Arealet af en retvinklet trekant er A = 12 a · b. Kan du regne ud hvorfor?

c

b

a Trekanter bruges for eksempel meget inden for 3D grafik og computerspil. Grunden er at enhver geometrisk figur - uanset hvor kompliceret 47

8. Geometri

Firkanter

DR A

8.3

FT

den ser ud - kan deles op i trekanter. Nedenfor ses en figur med en irregulær form. Den har vi delt op i tre- og firkanter (hver firkant kunne vi lave om til to trekanter ved at dele den p˚ a skr˚ a). Hvis man for eksempel skulle finde arealet af figuren, kan man i stedet først finde arealerne af de mindre trekanter og firkanter og derefter lægge dem sammen.

Firkanter er alle vegne: i Lego klodser, huse, mælkekartoner, bøger,...

b

a

a

b

b a

De tre firkanter ovenfor kaldes (fra venstre): kvadrat, rektangel og parallelogram. Der findes ogs˚ a andre firkanter som er mere irregulære i deres form, men dem vil vi ikke tale om nu. Længden af grundlinien kalder vi a og højden b. Arealet af en firkant er A = a · b. Dette gælder ogs˚ a for parallelogrammet. Kan du regne ud hvorfor?

8.4

Ligesidede polygoner

En polygon betyder en ”mange side”.

48

8.5. Cirkler

4

5

6

7

8

9

10

···

∞

FT

8.5

3

Cirkler

DR A

Mennesket har været fascineret af cirkler i mange tusinde ˚ ar. Vi ved derfor ikke hvorn˚ ar man først opdagede sammenhængen mellem en cirkels omkreds og dens diameter. Hvis man tegner en ret linie gennem en cirkels centrum vil linien skære cirklen i to punkter. Afstanden fra centrum til disse punkter kalder vi radius r. En cirkels omkreds hænger sammen med dens radius p˚ a denne m˚ ade: O = 2πr.

r

C

d

8.6

Trekanter, Linier og Cirkler

Tre linier fra toppunkterne til midten af grundlinierne mødes i et punkt.

En midtnormal er en linie fra midten af et liniestykke vinkelret p˚ a denne. Du kan konstruere en midtnormal ved hjælp af passer og lineal p˚ a følgende m˚ ade: Ved hjælp af passeren tegner du en cirkel med centrum i A som g˚ ar gennem C og en cirkel med centrum i C som g˚ ar gennem A. De to cirkler skærer hinanden i to punkter. Tegn en ret linie mellem disse to punkter. Nu har du den første midtnormal.

49

8. Geometri

C

A

FT

B

DR A

C

B

A

Der er tre midtnormaler i en trekant. De tre midtnormaler skærer hinanden i et punk. Igennem dette punkt kan man tegne en cirkel der g˚ ar igennem de tre spidser. Det kaldes den omskrevne cirkel. Bemærk at centrum for cirklen godt kan ligge udenfor selve trekanten.

Vinkelhalveringslinien er den linie fra et toppunkt som halverer vinklen i toppunktet. Den kan konstrueres p˚ a følgende m˚ ade: Lav en cirkel med centrum i a0 dens radius kan vælges tilfældigt. Denne cirkel skærer trekantens sider i punkterne p og q. Nu laver vi to ens cirkler i p og q deres radius er heller ikke vigtig s˚ a længe at den er stor nok til at cirklerne skærer hinanden. Disse to cirkler skærer hinanden i to punkter. Til sidst tegnes en ret linie fra et af disse to skæringspuntker til a0 .

Hvis vi laver vinkelhalveringslinien for de tre hjørner viser det sig at

50

8.6. Trekanter, Linier og Cirkler

FT

c0

b0

DR A

a0

c0

p

a0

q

b0

de ogsË&#x161; a skĂŚrer hinanden i et punkt. I dette punkt kan vi lave en cirkel som ligger inden i trekanten og netop rører (tangerer) trekantens sider.

Vi kalder den for den indskrevne cirkel.

51

8. Geometri

c0

b0

8.7

Vektorer

FT

a0

DR A

En vektor er et stykke ret linie med en bestemt retning og en bestemt lĂŚngde.

52

Kapitel

9

FT

Funktioner og Kurver

DR A

”In the old days when people invented a new function they had something useful in mind.”

´ (1854-1912) Henri Poincare

Du har sikkert set udtryk som y = 2x + 3 og lignende. Det er en speciel form for ligning som vi kalder en funktion. En funktion skaber en sammenhæng mellem en x værdi og en y værdi. M˚ aden det sker p˚ a er at vi først vælger en x værdi. Udfra den beregner vi y. Her er et eksempel: y = −x2 + 4x − 2. N˚ ar man skal finde ud af hvordan en funktion opfører sig kan man for eksempel lave en tabel hvor man beregner y for forskellige værdier af x.

Ofte er der bedre for forst˚ aelsen at tegne værdierne ind i et koordinatsystem.

53

9. Funktioner og Kurver y x 0 0.5 1 2 3 3.5 4

2

−x2 + 4x − 2 -2 -0.25 1 2 1 -0.25 -2

1

0

1

2

3

4

x

−1

FT

−2

Men hvis funktionen er bare lidt avanceret er det tit en god ide at forbinde punkterne med rette linier, da det giver et bedre billede af hvordan funktionen ser ud.

Men i virkeligheden er der jo uendelig mange x værdier at vælge imellem og dermed ogs˚ a uendelig mange y værdier. Det vil sige at kurven for funktionen i virkeligheden er glat. y y

DR A

2

1

0

9.1

1

2

3

4

x

2

1

0

−1

−1

−2

−2

1

2

3

4

Polynomier

Der findes en klasse af funktioner som er specielt vigtige i matematikken, de kaldes polynomier.

Polynomier af første grad Et polynomium af første grad er en funktion af formen y = ax+b. Det er en forudsætning at a 6= 0 for ellers var ligninen af 0-te grad. Løsningen af ligningen ax + b = 0 findes let til x = −b/a og er et rationelt tal hvis a og b er hele tal. Funktionen y = ax + b forestiller en ret linie ned 54

x

9.2. Eksponentialfunktioner

hældning a og som har værdien b n˚ ar x = 0, og man siger at den skærer y-aksen i værdien b. Ligninger af denne type er specielt anvendelige i matematikken fordi de altid kan løses. Nogen gange bruger man linier som tilnærmelser til ikke-lineære funktioner.

Polynomier af anden grad

FT

Et polynomium af anden grad ser i sin fulde form s˚ adan ud: y = ax2 + bx + c. Ligningen forestiller, hvis man tegner den i et koordinatsystem, en parabel hvis bue vender opad hvis a er positiv og nedad hvis a er negativ (se figuren p˚ a side 54).

En andengradsligning har op til to løsninger. Løsningen er √ −b ± b2 − 4ac , x= 2a

DR A

hvilket betyder at ligningen kan skrives som ! ! √ √ −b + b2 − 4ac −b − b2 − 4ac x− · x− =0 2a 2a

lad os se om det passer. Først ganger vi ligningen med (2a) · (2a) for at fjerne de 2a i nævneren. Derefter hæver vi den inderste parentes

p p 2ax + b − b2 − 4ac · 2ax + b + b2 − 4ac = 0

s˚ a ganger vi de to parenteser sammen

4a2 x2 + b2 − (b2 − 4ac) + 4abx = 0

og hæver parentesen, hvorefter vi vi dividerer med 4a. ax2 + bx + c = 0

9.2

Eksponentialfunktioner

En anden type af funktioner som man møder rigtig meget i matematikken er eksponentialfunktioner. Her er et eksempel y = 2x Denne funktion giver, n˚ ar x er heltallig, hvor mange forskellige mængder man kan lave af x objekter. Hvis objekterne for eksempel er antal bits i en computer, giver 2x antallet af forskellige værdier computeren kan 55

9. Funktioner og Kurver

regne med. Hvis computeren har 16 bits (det er en meget lille computer som man nok vil kalde en microcontroller i dag) er der 216 = 65536 forskellige værdier. Det er vigtigt at kunne se forskel p˚ a polynomier hvor x st˚ ar for neden og eksponentialfunktioner hvor x er potensen (st˚ ar for oven)! Kurverne for polynomier og eksponentialfunktioner ser meget forskellige ud, og eksponentialfunktioner vokser meget hurtigere end polynomier. Eksponentialfunktioner benyttes til at beskrive radioaktive materialers henfaldstid, varmeledning i materialer, absorption af lys og radioaktivitet i tætte materialer og meget mere.

FT

f (x) = ex f (x)

f (x) = x2

DR A

f (x) = x

x

9.3

Kurvers Hældning (Differentialregning)

N˚ ar man har tegnet en funktion vil man se at med mindre det er en ret linie, s˚ a vil kurven nogle steder være stejl og andre steder flad. Det kaldes kurvens hældning. En hældning kan være positiv, negativ eller nul hvis kurven g˚ ar opad, nedad eller er flad. Man kan beregne en kurves hældning p˚ a følgende m˚ ade.

Man vælger to punkter, x1 og x2 , p˚ a x-aksen. Afstanden imellem dem kaldes ∆x = x2 − x1 (udtales delta-x). S˚ a regner man funktionens værdi ud for de to punkter x1 og x2 : y1 = f (x1 ), y2 = f (x2 ). Forskellen mellem de to y-værdier kaldes ∆y = y2 − y1 . Hældningen siger noget om hvor meget y-værdierne ændres n˚ ar x-værdierne ændres med ∆x. hældning =

56

y2 − y1 f (x2 ) − f (x1 ) ∆y = = ∆x x2 − x1 x2 − x1

9.3. Kurvers Hældning (Differentialregning)

y

1

0.75

0.5

0.25

x

0.5

0.75

DR A

0.25

∆x

FT

∆y ∆x

∆y

1

Som det kan ses p˚ a figuren s˚ a svarer hældningen vi har beregnet ikke helt til funktionen. Det skyldes at der er for stor afstand imellem de to x-værdier. Hvis vi sørger for at de ligger tættere p˚ a hinanden bliver resultatet bedre. I grænsen n˚ ar forskellen mellem værdierne er meget tæt p˚ a nul f˚ as den korrekte hældning. Det kaldes ogs˚ a differentialkoefficienten af funktionen. Det vil vi ikke g˚ a s˚ a meget ind i her, men du skal alligevel ikke snydes for lidt seje formler: Der gælder en simpel regneregel for at finde differentialkvotienten af en andengradsligning.

Hvis

y(x) = ax2 + bx + c,

er

∆y = 2ax + b ∆x Prøv selv om det passer, for eksempel ved at tegne y(x) og derefter se om hældningen passer.

57

9. Funktioner og Kurver

Differentiale af polynomier Hvis vi har et polynomium af n-te grad, f (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 , findes differentialkoefficienten, f 0 (x), som f 0 (x) = nan xn−1 + (n − 1)an−1 xn−2 + · · · + a1

Kurvers areal (Integralregning)

FT

9.4

Hvis man har en funktion eller en kurve ønsker man nogen gange at finde arealet under kurven. f (x) x2

DR A

3 2 14 2

1

A

1

1 12

2

x

3

Integrale af polynomier

Hvis vi har et polynomium af n-te grad, f (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 ,

findes integralet, F (x), som F (x) =

an n+1 an−1 n a1 2 x + x + ··· + x + a0 x + c n+1 n 2

hvor c er en konstant.

58

9.5. Parametriske kurver

Berømte ligninger

9.5

Parametriske kurver

FT

Isaac Newton opdagede i 1666 hvordan tyngdekraften virkede og blev i stand til at beskrive planeternes og m˚ anernes bevægelser samt tidevandets opførsel. Som hjælpemidler opfandt han b˚ ade differential- og integralregningen og grundlagde den moderne funktionsanalyse.

DR A

Forestil dig at du g˚ ar en tur i skoven og at du har en GPS med. En GPS er et apparat der ved hjælp af satelliter kan finde din position. Positionen m˚ ales i et bestemt koordinatsystem der hedder længde og breddegrader.

I praksis er der tale om en x og en y koordinat, hvor x er positionen i retningen øst-vest og y i retningen nord-syd. Imens du g˚ ar noterer du din position hvert tiende sekund. Det vil sige at nu har du en tabel med tre kolonner: tidspunktet t, x og y. Hvis vi tegner punkterne (x,y) ind til de bestemte tidspunkter f˚ ar vi en kurve som den der ses ved siden af tabellen. y t=50s t x y 9 t=60s 0 0.0 0.0 t=20s t=70s 10 20 30 40 50 60 70 80 90

5.3 10.2 6.6 10.9 12.9 12.9 12.9 12.9 0.0

2.9 7.3 6.2 5.1 9.2 9.2 9.2 9.2 1.2

6

t=30s

t=80s

3

t=40s

t=10s

t=90s

x t=0s 3 6 9 12 En kurve hvis koordinater er afhænger af en parameter kaldes en parametriseret kurve. Det der gør parametriske kurver interessante er at de i modsætning til et plot af en funktion, hvor x-koordinaten hele tiden stiger og y-koordinaten er en funktion af x, s˚ a kan b˚ ade x, og y variere uafhængigt af hinanden. Derfor kan man lave nogle mere ’fancy’ kurver p˚ a denne m˚ ade. Lad os tage et eksempel.

59

9. Funktioner og Kurver y 3 Den parametriske kurve

2 1 −1

x(t)

=

t

y(t)

=

t2 + t − 1

er blot en parabel. Det ses ved at sætte x ind i stedet for t i y’s ligning:

1

2

y(x) = x2 + x − 1

FT

−1

x

DR A

Indtil videre ser det jo ikke mere spændende ud end hvad vi kunne lave med de funktioner vi har talt om tidligere, og det kan let vises (se faktaboxen) at det blot er formeln for en parabel (polynomium af anden grad, andengrads ligning). Men som du nu skal se kan de hurtigt blive meget mere avancerede. Vi kan for eksempel lave en lille ændring af formlen. y 3 Den parametriske kurve x(t)

=

y(t)

=

2

|t|

|t2 + t − 1|

er meget mere spændende. Den har ’knæk’ og skærer sig selv. Funktionen |t| kaldes den absolutte værdi af t og er altid positiv. Dvs. | − 5| = |5| = 5.

1 −1

1 −1

Mange af naturens former lader sig beskrive af parametriske kurver, blandt andet sneglehuse, konkylieskaller, placeringen af solsikkekerner, formen p˚ a en æggeskal, planeternes bevægelse p˚ a nattehimlen og meget mere. Herunder har jeg lavet en ’sommerfugl’.

60

2

x

9.5. Parametriske kurver

DR A

FT

Sommerfuglens ligning er dog lidt kompliceret men du f˚ ar formlen alligevel.

x(t) = sin(t) ecos(t) − 2 cos(4t) − sin5 (t/12)

y(t) = cos(t) ecos(t) − 2 cos(4t) − sin5 (t/12) , 0 < t < 8π

61

Kapitel

10

FT

Mængder

”A set is a Many that allows itself to be thought of as a One”

DR A

Georg Cantor (1845-1918)

Vi benytter dagligt mængdebegrebet uden at tænke over det. ”alle mine sorte sokker”, ”mine skolebøger”, ”eleverne i klasselokalet”. Selv tallene vi bruger. N˚ ar vi siger ”fem”taler vi ikke om et bestemt femtal, men om begrebet, mængden, fem.

N˚ ar vi taler om mængder virker noget af det helt trivielt, og alligevel er der gemt nogle interessante fænomener i mængdelæren. Faktisk er mængde lære sammen med symmetri, som begge er forholdsvis abstrakte begreber, helt centrale i den moderne matematik. Som med al matematik er der over tiden blevet udviklet nogle symboler man bruger til at beskrive mængder med. Mængder beskrives med store bogstaver, A, B, C, · · · , for eksempel kan vi kalde L mængden af lige tal mindre end 10, vi skriver L = {2, 4, 6, 8}.

Lad os tegne tre mængder af tal mindre end 10: mængden af de lige tal, de ulige tal og kvadrattallene. De lige tal er 2, 4, 6, 8, de ulige 1, 3, 5, 7, 9 og kvadrattallene 1, 4, 9. Nu tegner vi tre cirkler, en for hver mængde, og fordeler tallene heri.

62

K

U 1, 9 3, 5, 7

2, 6, 8

DR A

L

FT

4

Som vi ser er der et vist sammenfald: 1 og 9 er b˚ ade kvadrattal og ulige tal, 4 b˚ ade et lige tal og et kvadrattal. Der er ikke nogen tal der b˚ ade er lige og ulige p˚ asamme tid. Der er heller ikke nogen tal der hverken er lige eller ulige. Det kan vi beskrive ved hjælp af nogle matematiske symboler.

Den tomme mængde betegner vi ∅ eller {}. Fællesmængden mellem to mængder betegnes ∩ og foreningsmængden ∪. Nu kalder vi mængden af lige tal, L, mængden af ulige tal U , og kvadrattallene K. Det skrives p˚ a matematiksprog U = {1, 3, 5, 7, 9},

L = {2, 4, 6, 8},

K = {1, 4, 9}.

Nu kan vi beskrive mængden af tal der b˚ ade er ulige og kvadrattal p˚ a samme tid. Det er nemlig fællesmængden af U og K, som skrives: U ∩ K = {1, 9}. Mængden af tal der er kvadrattal eller lige tal er foreningsmængden af K og L: K ∪ L = {1, 2, 4, 6, 8, 9}. Mængden af tal der b˚ ade er lige og ulige: U ∩ L = {} = ∅, som er den tomme mængde.

63

10. Mængder

Mængdelærens symboler Der findes en række symboler der benyttes til at beskrive mængder - der er næsten tale om et sprog. Vi definerer mængden M som ”alle naturlige tal mindre end 5”. Det skrives p˚ a denne m˚ ade.

M = {x ∈ N0 | x < 5},

formlen læses ”M er lig med mængden af x’er tilhørende de naturlige tal og nul, for hvilke der gælder at x er mindre end 5”. Vi har nu M = {0, 1, 2, 3, 4}.

Hvis vi nu ønsker at beskrive en delmængde O af M som indeholder alle de tal fra M som er mindre end 4 og ikke er 0, skrives det s˚ adan O = {x ∈ M | x < 4 ∧ x 6= 0}

FT

og vi har s˚ a at O = {1, 2, 3}. Vi skriver at O ⊂ M , som betyder at O er en delmængde af M .

Her er nogle eksempler p˚ a hvordan to mængder kan sammensættes.

A

B

DR A

B

A

B

A\B

A

B

A∩B

A

B A∪B

Der gælder nogle regneregler med mængder, her er en af dem (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)

den siger at hvis vi først tager foreningsmængden mellem A og B, og derefter laver fællesmængden med C s˚ a er det det samme som hvis vi laver fællesmængden mellem A og C, fællesmængden mellem B og C og derefer laver foreningsmængden af dem. Lad os vise at det passer med vores eksempel ovenfor. I stedet for A, B og C bruger vi L, U og K.

(L ∪ U ) ∩ K = {2, 4, 6, 8} ∪ {1, 3, 5, 7, 9} ∩ {1, 4, 9} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} ∩ {1, 4, 9} = {1, 4, 9}

64

10.1. Mængders størrelse

(L ∩ K) ∪ (U ∩ K)

=

{2, 4, 6, 8} ∩ {1, 4, 9} ∪ {1, 3, 5, 7, 9} ∩ {1, 4, 9}

= {4} ∪ {1, 9} = {1, 4, 9}

10.1

Mængders størrelse

10.2

Modsigelser

FT

Antallet af elementer i en mængde kaldes mængdens kardinal tal, eller størrelse. Det vil sige størrelsen af U er 5.

S˚ a langt s˚ a godt. Nu skal vi forestille os mængden af alle de hele tal 1, 2, 3, · · · . Den er uendelig stor. Dernæst betragter vi mængden af alle kvadrattal 1, 4, 9, 16, · · · . Hvilken mængde er størst? Man skulle umiddelbart tro at det er den første, men det kan vises at de begge er lige store.

DR A

Nogle af de vigtigste matematikere i omkring 1900 var meget optagede af at skabe orden i matematikken. Der skulle være et ordentligt fundament at bygge videre p˚ a. Det var meget vigtigt at der ikke var revner i fundamentet (manglende beviser af vigtige sætninger) og der var en tro p˚ a at man nok snart fik orden i matematikkens sager. Men en walisisk filosof ved navn Bertrand Russel og en østrisk matematiker ved navn Kurt G¨ odel fik sat en stopper for den drøm.

Russel begyndte at lege med mængde begrebet og fik hurtigt skabt nogle modsigelser. For eksempel betragtede han mængden, R, der indeholder alle mængder der ikke er medlemmer af af sig selv! Dernæst stillede han følgende spørgsm˚ al: Er R medlem af sig selv? Det er lidt langh˚ aret, men prøv at følge med: Hvis R er medlem af sig selv kan den jo ikke være med i R som netop er defineret ved at der kun er de mængder med som ikke er medlem af sig selv. Men hvis R ikke er medlem af sig selv m˚ a kvalificerer den sig jo netop til at være medlem af R. Det vil sige R er b˚ ade medlem og ikke medlem af R. Hermed bankede Russel et stort hul i det matematiske fundament ved at vise at matematiske modsigelser let kan konstrueres.

Der findes nogle sproglige eksempler der illustrerer problematikken: Hvis jeg siger ”denne sætning er usand”opst˚ ar der en modsætning. Modsætningen vises s˚ adan: Vi antager udtrykket er sandt, det vil s˚ a sige at sætningen er usand. Men hvis det er usandt at ”denne sætning er usand”, m˚ a sætningen være sand. Det vil sige at den er b˚ ade sand og usand p˚ a samme tid og dermed bryder logikken sammen.

65

10. Mængder

Senere viste G¨ odel at lige meget hvor solidt et matematisk grundlag man bygger, startende fra simple grundbegreber og sætninger som kan bevises, vil der altid være modsætninger tilstede. Det vil sige der vil altid være nogle ting der ikke kan bevises matematisk.

Berømte matematikere

FT

Bertrand Russell (1872-1970) var matematiker, filosof og indædt krigsmodstander. Han opdagede modsætninger i mængdelæren. P˚ a grund af hans modstand imod krig blev han flere gange forbig˚ aet i forbindelse med ansættelser p˚ a universiteterne i England. Han modtog Nobelprisen i litteratur i 1950.

DR A

Mængdebegrebet kan ogs˚ a bruges til at beskrive talfamilierne. For eksempel N⊂Z⊂Q⊂R⊂C

10.3

Mængder og funktioner

Mængdebegrebet benyttes ogs˚ a til at forklare hvad en funktion er. En funktion - eller en afbildning - er en ’metode’ der skaber en sammenhæng mllem to mængder. Lad os prøve at tegne det: P˚ a figuren har vi tegnet to mængder, A og R. I dette tilfælde er A mængden af tal fra 1 til 6. Mængden A er diskret, det vil sige at den best˚ ar af et endeligt antal elementer. Mængden R er de reelle tal. De reelle tals mængde er kontinuert, og indeholder alle tal p˚ a tal aksen. En mulig afbildning mellem A og R kunne være: hvor stor er andelen af de ulige tal i A. Svaret er 0.5 det vil sige at de ulige tal udgør halvdelen af A. R

A

2

1

5

4 6

66

3

f :A→R 0.5

10.3. Mængder og funktioner

Et andet eksempel er funktionen f (x) = x2 . Den laver en afbildning fra R til R+ fordi funktionen tager en hvilken som helst værdi fra R og overfører til de reelle tal der er større eller lig med 0.

R

f (x) = x2 : R → R+

R+

2.0

4.0

1.0

DR A

1.0

2.25

FT

1.5

67

Kapitel

11

FT

Kombinationer

DR A

”Falsehood has an infinity of combinations, but truth has only one mode of being.”

Jean Jacques Rousseau (1712-1778)

Inden for matematikken er der en gren der arbejder med kombinationer. Her er et eksempel: ”P˚ a hvor mange m˚ ader kan man fordele tre kugler i to kopper?”. Svaret vil du snart lære at regne ud.

Lad os starte i klasselokalet. Din lærer sætter to stole frem og kalder Alice og Berit frem og beder dem om at vise hvor mange m˚ ader de kan fordele sig p˚ a de to stole. Først sætter Alice sig p˚ a den ene stol, og s˚ a er Berit nødt til at sætte sig p˚ a den anden. Det var en kombination. S˚ a sætter Alice sig p˚ a den anden stol og dermed m˚ a Berit sætte sig p˚ a den første. Det var to kombinationer, {Alice, Berit}, {Berit, Alice}, og nu er der ikke flere muligheder.

Nu kommer Clara og læreren sætter endnu en stol frem. Hvad s˚ a? Nu er der seks kombinationer: {Alice, Berit, Clara}, {Alice, Clara, Berit}, {Berit, Alice, Clara}, {Berit, Clara, Alice}, {Clara, Alice, Berit}, {Clara, Berit, Alice}.

Nu gør vi det som matematikken er kendt for, vi ser bort fra klasselokalet, stolene og pigenavnene. Vi benytter i stedet bogstaverne A,B,C,D. Antallet af kombinationer vokser hurtigt - ved fire personer er der for eksempel 24.

68

11.1. Terningekast

{A, B, C, D} {A, D, B, C} {B, C, A, D} {C, A, B, D} {C, D, A, B} {D, B, A, C}

{A, B, D, C} {A, D, C, B} {B, C, D, A} {C, A, D, B} {C, D, B, A} {D, B, C, A}

{A, C, B, D} {B, A, C, D} {B, D, A, C} {C, B, A, D} {D, A, B, C} {D, C, A, B}

{A, C, D, B} {B, A, D, C} {B, D, C, A} {C, B, D, A} {D, A, C, B} {D, C, B, A}

DR A

FT

Kan vi forklare at antallet af kombinationer g˚ ar fra 6 til 24 n˚ ar vi g˚ ar fra tre til fire personer? Ja: N˚ ar der er fire personer har vi fire muligheder for at vælge den første. N˚ ar det er gjort er der tre tilbage som kan fordeles p˚ a 6 m˚ ader. Det vil sige at antal muligheder er 4 · 6. Men hvor kom de 6 fra? Jo vi havde tre muligheder for at vælge den første. Derefter er der to tilbage og de kan kun fordeles p˚ a to m˚ ader. Det vil sige at antallet af kombinationer af fire personer er N (4) = 4 · 3 · 2 · 1 = 24. Med samme argument kan vi nu finde antal kombinationer af fem personer N (5) = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120. Hvor mange kombinationer tror du der kan laves med seks personer?

I stedet for at skrive lange rækker af tal med gange tegn imellem har matematikerne opfundet et symbol som letter notationen. Man skriver 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1. Symbolet kaldes ’fakultet’ og man siger ’fem fakultet’.

Chokolademysteriet

Forestil dig at du har en stor æske chokolade, hvor hvert stykke chokolade ligger i et lille rum. Du hælder chokoladerne ud p˚ a bordet og tager et stykke ad gangen og ligger tilfældigt p˚ a tilbage. Hvor stor er sandsynligheden for at ingen af chokoladerne nu ligger p˚ a deres oprindelige plads?

Leonhard Euler viste at sandsynligheden for dette er ≈ 0.37 (1/e) næsten uanset hvor mange chokolader der er i æsken. Beviset bygger p˚ a at betragte antallet af kombinationer.

11.1

Terningekast

Kombinationer bruges meget indenfor spilteori og sandsynlighedsregning. Her er et eksempel. Hvis jeg kaster en terning, hvad er s˚ a sandsynligheden for at f˚ a mindst 2?

Først kikker vi p˚ a antallet af mulige resultater ved et terningekast det er 6 (1,2,...,6). Dernæst kikker vi p˚ a antallet af muligheder for at vi mindst f˚ ar værdien 2 - det er 5 (2,3,...6). Til sidst finder vi sandsynligheden som antallet af muligheder der opfylder kravet divideret med det totale antal muligheder. I dette tilfælde er resultatet 5/6 ≈ 0.83 = 83%.

69

11. Kombinationer

At sandsynligheden er 83% betyder at hvis du for eksempel kaster en terning 100 gange s˚ a vil du ca. 83 gange opleve at tallet er 2 eller derover.

Lad os tage endnu et eksempel: Du kaster to terninger - hvad er sandsynligheden for summen af øjnene er mindst 9? Der er følgende 10 muligheder der opfylder kravet.

FT

36 45 46 54 55 56 63 64 65 66

DR A

Nu mangler vi bare at finde ud af p˚ a hvor mange m˚ ader man kan sl˚ a med to terninger. Det er nemt nok - der er 36 muligheder. Prøv eventuelt at skrive dem ned. Det vil sige at sandsynligheden for at summen ved et kast med to terninger er mindst 9, er 10/36 ≈ 0.28 = 28%.

Hvorfor er der 36 muligheder? Det er fordi der er 6 muligheder for den første terning og ligegyldigt hvad den første viser er der ogs˚ a 6 muligheder for den anden: 6 · 6 = 36.

Hvad med tre terninger? Der gælder samme argument at lige meget hvad de to første terninger har vist, er der stadig 6 muligheder for den tredje: 6 · 6 · 6 = 216. Generelt har vi at for n terninger er der 6n muligheder.

Hvis du spiller Yatzy har du 5 terninger. Hvor mang kombinationer kan man lave med dem? og hvad er sandsynligheden for at f˚ a Yatzy (fem ens) i første slag?

11.2

n vælg k

I kombinatorik og andre matematiske discipliner har man tit en mængde af n elementer og skal udfra denne vælge k. For eksempel Der er 30 børn i klassen og der skal vælges 2 til elevr˚ adet. P˚ a hvor mange m˚ ader kan man gøre dette? Det er brugt s˚ a tit at man har opfundet et symbol for dette.

n k amerikanerne siger ”n choose k”som meget præcist siger hvad funktionen gør. Funktionen kaldes binomial koefficienten og er defineret ved hjælp af fakultet funktionen.

n n! = . k k!(n − k)!

70

11.3. n elementer fordelt i m grupper

Lad os bruge Binomial koefficieneten til at regne ud hvor mange m˚ ader vi kan vælge 2 elever til elevr˚ adet ud af de 30 elever i klassen.

30!

30 · 29 · 28 · · · 2 · 1 30 30! = = , = 2!(30 − 2)!

2 · 28!

2 · 28 · 27 · · · 2 · 1 2 som heldigvis kan forkortes en hel del

30 · 29 · 2 8···2 ·1 = 30 · 29 = 435 2 · · · 2 · 2 8 · 27 2· 1

11.3

FT

S˚ a der er 435 m˚ ader at sammensætte de to elevrødder p˚ a.

P˚ a samme m˚ ade kan vi finde ud af hvor mange m˚ ader man kan udfylde en lotto kupon p˚ a. Der er 36 tal p˚ a kuponen og der skal vælges 7. Det giver 36 ar hver spiller 7 = 8347680 muligheder. I kortspillet ”500”f˚ 7 kort. P˚ a hvor mange m˚ ader kan de vælges? Er det sandsynligt at du nogensinde f˚ ar de samme 7 kort to gange?

n elementer fordelt i m grupper

n+m−1 m−1

DR A

Men hvad nu hvis kuglerne er forskellige?

71

Kapitel

12

DR A

FT

Uendelighed

”Mathematicians aren’t satisfied because they know there are no solutions up to four million or four billion, they really want to know that there are no solutions up to infinity.”

Andrew Wiles (1953-)

Uendelighed er et spændende begreb. Der er flere matematikere der har arbejdet med uendeligheder, en sf de største hed Cantor. Han opdagede at der findes flere forskellige slags uendeligheder - man bliver helt svimmel bare ved tanken.

12.1

Uendelige summer

Uendelige summer er et uendeligt langt plus stykke. De bruges rigtig meget inden for ingeniørfagene. Her er et simpelt eksempel 1+

1 1 1 1 1 + + + + + ··· 2 4 8 16 32

Denne sum giver resultatet 2. Prøv selv at se hvor tæt p˚ a 2 du kommer hvis du lægger de første 10 led sammen.

Matematikerne har fundet en kortere m˚ ade at skrive resultatet p˚ a.

72

12.1. Uendelige summer

∞ X 1 =2 n 2 n=0

Det er bestemt ikke alle uendelige summer der giver et resultat, for eksempel bliver denne sum 1 + 1 + 1 + 1 + ··· uendelig stor, man siger at den divergerer, og det gør denne her ogs˚ a, selvom det g˚ ar meget langsomt.

1 1 1 1 1 + + + + + ··· 2 3 4 5 6

FT

1+

Det er let at vise at denne sum divergerer. Først skriver vi den lidt om ved at indsætte nogle parenteser.

1 1 1 1 1 1 1 1+ + + + + + + + ··· 2 3 4 5 6 7 8

DR A

Nu bemærker vi at 1/3 > 1/4 og at 1/5, 1/6 og 1/7 alle er større end 1/8 og s˚ avidere. Der vil sige at summen ovenfor er større end 1 1+ + 2

1 1 + 4 4

+

1 1 1 1 + + + 8 8 8 8

+ ··· = 1 +

1 1 1 + + + ··· 2 2 2

og s˚ a er det nemmere at se at summen bliver uendelig stor. Med lidt kendskab til brøker kan vi ogs˚ a regne ud at denne sum divergerer.

1 1 1 1 + + + + ··· 3 6 9 12 Det ser ud til at alle nævnere i summen kan deles med 3.

1+

1 1 1 1 1 1 1 · 1 + · + · + · + ··· 3 3 2 3 3 3 4 og hvis vi sætter 1/3 uden for parentes f˚ ar vi

1 1 1 1 1+ 1 + + + + ··· 3 2 3 4 1+

men vi har jo lige vist at den sum der st˚ ar inden i parentesen divergerer (bliver uendelig stor) og det gælder ogs˚ a selvom vi ganger med 1/3. Kan du p˚ a samme m˚ ade vise at denne sum ogs˚ a divergerer?

1+

1 1 1 1 + + + + ··· 5 10 15 20 73

12. Uendelighed

Hvad med denne her? ∞ X

10−n = 1 +

n=0

1 1 1 1 + + + + ··· 10 100 1000 10000

∞ X

n=1

FT

Det er jo nemt nok, for det er 1 + 0.1 + 0.01 + 0.001 + · · · = 1.111... og det er et uendeligt decimaltal som gentager sig selv, s˚ a det kan skrives som en brøk, men hvilken?

Joseph Liouville var den første til at bevise eksistensen af transcendentale tal, og ved hjælp af uendelige summer skabte han et. Tallet kaldes Liouvilles konstant og er defineret s˚ aledes 10−n! =

1 1 1 + + + ··· 10 100 1000000

Det er helt sikkert at dette tal konvergerer for det svarer til den forrige sum, blot med nogle af leddene fjernet, s˚ a det m˚ a være mindre end 0.111... men kan du vise at det er større end 0.11?

Den geometriske sum

DR A

12.2

Indtil videre har vi set p˚ a uendelige summer best˚ aende af tal. Men hvad hvis nu vi lader en variabel, x, indg˚ a?

Her er et eksempel. f (x) = 1 + x + x2 + x3 + · · ·

Det der er det smarte ved at den uendelige sum afhænge af en variabel er at den kan indeholde mange forskellige løsninger. For eksempel kan vi sætte x = 1. f (1) = 1 + 1 + 1 + 1 + · · · =

∞ X

1

n=0

hvis vi i stedet sætter x = 1/2 f˚ ar vi den uendelige sum f (1/2) = 1 +

∞ X 1 1 1 + + ··· = 2 4 2n n=0

og hvis x = 0 er funktionen specielt nem f (0) = 1 74

12.2. Den geometriske sum

Du kan selv finde p˚ a flere (undersøg for eksempel om det passer at f(1/10) = 10/9? ). Lad os nu se om vi kan finde en generel løsning. Først betragter vi den endelige sum med n led, fn (x), fn (x) = 1 + x + x2 + x3 + · · · + x(n−1) Hvis vi multiplicerer fn (x) med x f˚ ar vi xfn (x) = x + x2 + x3 + x4 + n · · · + x , og det vil sige at fn (x) − xfn (x) = (1 − x)fn (x) = 1 + x − x + x2 − x2 + · · · − xn = 1 − xn ,

fn (x) =

FT

Men hvis (1 − x)fn (x) = 1 − xn , s˚ a er

!

1−xn 1−x ,

og dermed har vi fundet en funktion der kan regne den endelige sum ud.

Lad os for sjov regne denne sum ud

DR A

1 + 2 + 22 + 23 + · · · + 214

Vi har jo allerede formlen for løsningen, s˚ a vi skal blot finde x, og n. x er 2 og den højeste potens i serien er 14. Det vil sige at n − 1 = 14 og alts˚ a at n=15. Løsningen er nu 1 − 215 −32767 = = 32767 1−2 −1

Kan du finde løsningen til

1 + 3 + 32 + 33 + · · · + 37 ? n

Formlen 1 + x + x2 + · · · + x(n−1) = 1−x a 1−x gælder for alle værdier af x s˚ længe n er endelig. Men hvad med den uendelige sum? Vi kan benytte samme fremgangsm˚ ade: f (x)

xf (x)

f (x) − xf (x)

=

1 + x + x2 + x3 + · · · ,

= x + x2 + x3 + · · · ,

=

(1 − x)f (x) = 1 + x − x + x2 − x2 + · · · = 1,

og dermed at f (x) =

1 1−x

!

75

12. Uendelighed

For god ordens skyld skal vi lige nævne at denne formel ikke gælder for alle x, kun for −1 < x < 1, som man kalder for summens konvergensinterval. Udenfor konvergensintervallet divergerer summen.

Med formlen for denne sum kan vi let finde formlen for nogle andre interessante tilfælde. Hvis vi for eksempel erstatter x med −x finder vi f (x) = 1+(−x)+(−x)2 +· · · = 1−x+x2 −x3 +· · · =

1 1 = 1 − (−x) 1+x

og hvis vi i stedet erstatter x med x2 finder vi

Genererende funktioner

1 1 − x2

FT

f (x) = 1 + (x2 ) + (x2 )2 + · · · = 1 + x2 + x4 + x6 + · · · =

DR A

Der findes et matematisk hjælpeværktøj der p˚ a engelsk kaldes ”Generating functions”. Ved deres hjælp kan man finde funktioner for uendelige summer. Tag for eksempel Fibonacci sekvensen: 0, 1, 1, 2, 3, 5, ... Sekvensen fn findes ved at definere f0 = 0, og f1 = 1. Herefter er hver følgende tal lige med summen af de to foreg˚ aende: fn = fn−2 + fn−1 . Vi skaber nu en funktion, F (x) udfra talserien, F (x) = 0 + 1 · x + 1 · x2 + 2 · x3 + 3 · x4 + · · · = x + x2 + 2x3 + 3x4 + · · ·

og bemærker at

xF (x)

=

2

=

2

=

x F (x)

x + xF (x) + x F (x)

x2 + x3 + 2x4 + 3x5 + · · · ,

x3 + x4 + 2x5 + 3x6 + · · · ,

x + x2 + 2x3 + 3x4 + · · · = F (x),

og da F (x) = x + xF (x) + x2 F (x) s˚ a er (1 − x − x2 )F (x) = x og dermed

x .

1 − x − x2 Ved hjælp af dette funktionsudtryk for F (x) kan man vise at det n’te Fibonacci tal, fn er √ !n √ !n !

1 1+ 5 1− 5 fn = √ − 2 2 5 F (x) =

12.3

Uendelige brøker

Det findes ogs˚ a uendelige brøker. En uendelig brøk skrives p˚ a denne mde a0 + 76

1 a1 +

1 a2 +···

,

12.3. Uendelige brøker

hvor konstanterne a0 , a1 , ¡ ¡ ¡ er hele tal. Ved hjÌlp af uendelige brøker kan man for eksempel bevise eksistensen af de transcendentale tal .

Hvis vi sĂŚtter alle aâ&#x20AC;&#x2122;erne til 1 kan vi prøve at tage flere og flere led med 1+ 1+

1+

1+

1 1+

= 1.5

1 1

1 1 1+ 11

1+

1 1

1+

1+

= 1.625

1 1+

1 1+

= 1.6

1 1+ 1 1

1 1+

= 1.666

FT

1+

1 =2 1

1 1+ 1 1

DR A

osv. derud af.

Det vi ser er at andet tal er mindre end første, tredje er større end andet, fjerde er mindre end det tredje og denne skiften fortsĂŚtter i det uendelige, men til sidst ender vi med vĂŚrdien Ď&#x2020; â&#x2030;&#x2C6; 1.618033 ¡ ¡ ¡ som kaldes det gyldne snit. Det gyldne snit kan ogsË&#x161; a beskrives ved formlen

Ď&#x2020;=

â&#x2C6;&#x161;

!

5+1 2 .

Ď&#x2020; er ligesom Ď&#x20AC; og mange andre tal irrationelle og det vil sige at det ikke kan skrives som en simpel brøk af to hele tal. Decimalerne fortsĂŚtter i det uendelige pË&#x161; a en tilsyneladende tilfĂŚldig mË&#x161; ade.

Her er et andet kendt tal udtrykt som en uendelig brøk 1+

1

2+

=

1

2+

â&#x2C6;&#x161;

2

1 2+

1 2+

1 1+

I stedet for at skrive alle brøkstregerne og fË&#x161; a nogle meget gnidrede formler skriver man i stedet [a0 ; a1 , a2 , ¡ ¡ ¡ , an ] = a0 +

1 a1 +

1 a2 +

,

1 ¡¡¡+ 1 an

77

12. Uendelighed

P˚ a denne m˚ ade kan vi nemmere skrive brøken for forskellige kendte tal

Uendelige brøker

FT

Her er nogle forskellige irrationelle tal udtrykt som uendelige brøker. P˚ anær π har de alle nogle mønstre som er nemme at genkende. √ 2 = [1;2,2,2,2,2,2,2,2,2,...] = [1;1,1,1,1,1,1,1,1,1,...] √φ = [1;1,2,2,2,2,2,2,2,2,...] √3 5 = [2;4,4,4,4,4,4,4,4,4,...] e = [2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,...] π = [3;7,15,1,292,1,1,1,...]

M˚ aske har du hørt at en gammel, og ikke særlig præcis, tilnærmelse til π er 22/7? Men hvorfor? Hvis vi kikker p˚ a de første to led i den uendelige brøk for π f˚ ar vi

DR A

1 22 = , 7 7

π ≈3+

det vil sige at det er den første tilnærmelse til π i en uendelig brøk. Men vi kan fortsætte og tage et led mere med π ≈3+

1 1 7 + 15

hvis vi ganger med 15 i tæller og nævner, f˚ ar vi π ≈3+

15 15 333 =3+ = 7 · 15 + 1 106 106

Dette er en endnu bedre tilnærmelse til π. Men hvis vi tager blot et led mere med (prøv selv at regne det ud) f˚ ar vi en tilnærmelse til π som er meget bedre og som er nemmere at huske ”et et tre tre fem fem” π≈

355 113

!

og denne rationelle brøk har været meget brugt i matematikkens historie.

Lad os se hvor gode tilnærmelserne er

78

12.4. Uendelige produkter

π tilnærmelser 22 7 333 106 355 113

π

= 3.142... = 3.14150... = 3.1415929... = 3.1415926535...

12.4

Uendelige produkter

FT

Det ses at 355/113 er nøjagtig med seks decimaler. Hvor godt er det?

Jo hvis vi regner jordens omkreds ud (vi ved at dens radius er 6300km) med denne værdi i stedet for π s˚ a er fejlen mindre end fire meter!

Vi har nu set uendelige summer og uendelige brøker, og nu fortsætter vi med uendelige produkter. Lad os starte med noget nemt 1 · 1 · 1 · 1··· = 1

DR A

Dvs. 1 ganget med sig selv uendeligt mange gange giver stadig 1. Men hvad med andre tal?

2 · 2 · 2 · 2··· = ∞

hmm. 2 gange 2 er 4. 4 gange 2 er 8, 16, 32, ... tallene stiger og stiger og resultatet bliver uendeligt.

1 1 1 1 · · · ··· = 0 2 2 2 2 hmm. 1/2 gange 1/2 er 1/4, 1/4 gange 1/2 er 1/8, 1/16, 1/32, ... tallene bliver mindre og mindre og bliver man ved uendeligt bliver det nul.

Men det ser ud til at være svært at f˚ a et uendeligt produkt til at blive til andet end 0 eller ∞. Findes der uendelige produkter med andre værdier? Ja det gør der, men helt generelt er det sværere at arbejde med uendelige produkter end med uendelige summer. Her er et eksempel.

2 2 4 4 6 6 8 8 · · · · · · · ··· = π 1 3 3 5 5 7 7 9 Det nok mest berømte uendelige produkt kommer fra Leonhard Euler.

2·

1 1 1 1 1 1 1 1 · · · · ··· = s + s + s + s + ··· −s −s −s −s 1−2 1−3 1−5 1−7 1 2 3 4

Denne formel er helt speciel da venstre side er et produkt hvor kun primtallene indg˚ ar. P˚ a højre side er der en uendelige sum hvor alle hele tal indg˚ ar. Denne formel er udgangspunktet for den matematiske forskning der hedder analytisk talteori.

79

12. Uendelighed

12.5

Uendelige linier

FT

Forestil dig en cirkel med en uendelig omkreds. Den cirkel vil være uendeligt stor. En ret linie med uendelig længde er ogs˚ a uendelig stor (og svær at tegne), men kan man have en uendelig lang kurve (der i hverttilfælde ikke er en cirkel eller en ret linie) som ikke fylder uendeligt meget?

Ja det kan man. Der er faktisk mange og de kaldes fraktaler. Her er et eksempel som kaldes Koch kurven.

Vi starter med at tegne en ret linie (bl˚ a). I næste skridt erstatter vi den midterste tredjedel af linien med en ’bule’ (rød): Da hver side i den trekantede bule er lige s˚ a lange som de øvrige linier er den røde linie 4/3 ≈ 1.333 gange s˚ a lang som den bl˚ a.

DR A

Nu gentager vi uendeligt mange gange: hvert rette linie stykke f˚ ar en ’bule’ i sin midterste tredjedel. Allerede ved tredje (grøn) runde kan vi fornemme hvilken figur der tegnes.

Men hvad med længden? Den grønne er 1.333 gange s˚ a lang som den røde og 1.333 · 1.333 = 1.777 gange s˚ a lang som den bl˚ a. Vi kan fortsætte i det uendelige og kurven bliver længere og længere men den fylder ikke mere.

Ja ja det er jo meget matematisk, men finder man fraktaler i den virkelige verden? Ja det gør man: Trærnes grene spreder sig i fraktale mønstre, bjerges hakkede udseende kan beskrives som fraktaler og selv den danske kystlinie er en fraktal. Hvor lang er Danmarks kystlinie?

Det afhænger af hvilken m˚ alestok du bruger. Hvis du m˚ aler med en lineal p˚ a 1m f˚ ar du et tal. Men hvis man bruger en lineal p˚ a 1cm bliver længden større. Det er fordi vi nu kan m˚ ale de sm˚ a ’buler’ som sten i strandkanten laver. Jo mindre lineal, desto længere kystlinie. Tilsidst bliver den uendelig lang, men den har et endeligt areal og s˚ a er den en fraktal.

80

12.5. Uendelige linier

Uendelighedens udfordrer

FT

Træer og buske forgrener sig p˚ a en m˚ ade der ogs˚ a kan betragtes som en fraktal. Her er nogle eksempler som alle er lavet ud fra den samme formel, med ganske f˚ a variationer.

DR A

Georg Cantor var meget optaget af begrebet uendelighed. Han viste f.ex. at de rationelle tal kan tælles, at de reelle tal ikke kan, at der er flere slags uendeligheder ℵ0 , ℵ1 , · · · , og meget mere. Hans ideer mødte stor modstand i samtiden.

Sidste eksempel p˚ a uendelighed i matematikken er M¨obius b˚ andet.

Man kan selv lave et ud af papir. Du klipper et stykke p˚ a ca. 2cm x 15cm. S˚ adrejer du den ene ende en halv omgang og derefter klistrer du enderne sammen. Du vil opdage at papiret kun har en side og hvis du forsøger at m˚ ale længden af papiret, s˚ a er det uendeligt langt.

81

Kapitel

13

DR A

FT

Matematiske Beviser

”I mean the word proof not in the sense of the lawyers, who set two half proofs equal to a whole one, but in the sense of a mathematician, where half proof = 0, and it is demanded for proof that every doubt becomes impossible.”

Carl Friedrich Gauss (1777-1855)

Fra matematikkens barndom har man benyttet sig af beviser. Der er i matematikkens verden uendelig stor forskel p˚ a at gætte p˚ a at der er udendelig mange primtal fordi det ’virker sandsynligt’ og s˚ a p˚ a faktisk at bevise det. N˚ ar først en ting er bevist er der ikke mere at diskutere og man kan koncentrere sig om det næste problem.

Her vil vi give nogle eksempler p˚ a matematiske beviser.

13.1

Er 0.999 = 1?

Bevæbnet med vores viden om de gentagne decimaltal kan vi BEVISE at 0.99999... = 1. Det lyder m˚ a ske ikke af noget særligt men det er faktisk meget vigtigt for det har betydning for at vi kan bevise at der er flere slags uendeligheder.

Lad os igen kalde 0.999 for x og gange med 1000.

82

13.2. Diagonalargumentet

1000 · x = 999.999 = 999 + x men hvis 1000x = 999 + x s˚ a er 999x = 999 og dermed x = 999 999 = 1.

S˚ a svaret er ja vi har bevist at 0.99999999... = 1. Q.E.D

13.2

Diagonalargumentet

. . . . . . .

0 0 2 4 4 8 9

1 1 3 1 1 2 9

0 0 3 0 3 4 3

5 5 0 7 2 5 7

1 1 1 2 0 0 8

1 3 2 4 4 2 3

0 0 6 6 3 6 9

... ... ... ... ... ... ...

0 0 0 0 0 0 0 0

. . . . . . . .

0 1 0 5 1 1 0 ...

0 1 0 5 1 3 0 ...

2 3 3 0 1 2 6 ...

4 1 0 7 2 4 6 ...

4 1 3 2 0 4 3 ...

8 2 4 5 0 2 6 ...

9 9 3 7 8 3 9 ...

0 1 3 7 0 2 9 ...

DR A

0 0 0 0 0 0 0

FT

Her kan vi lære at BEVISE at de reelle tal ikke kan tælles, det vil sige at der er flere af dem (faktisk uendeligt mange flere) end der er af de rationelle tal.

Lad os forestille os at vi har talt og lavet en liste med alle de rationelle tal. Da den liste er uendeligt stor viser vi et udsnit af den efter at have blandet tallene lidt

Nu skaber vi et nyt tal der ikke er i listen p˚ a følgende m˚ ade: Vi lægger 1 til første ciffer i første tal og til andet ciffer i andet tal osv.

Hvis tallet er 9 lader vi det nye tal være 0. Vi samler nu alle de tal vi har ændret sammen til et nyt tal.

0 0 0 0 0 0 0 0

. . . . . . . .

0 0 2 4 4 8 9 1

1 1 3 1 1 2 9 2

0 0 3 0 3 4 3 4

5 5 0 7 2 5 7 8

1 1 1 2 0 0 8 1

1 3 2 4 4 2 3 3

0 0 6 6 3 6 9 0

... ... ... ... ... ... ... ...

0 0 0 0 0 0 0 0

. . . . . . . .

0 0 1 2 4 4 8 9

1 1 2 3 1 1 2 9

0 0 4 3 0 3 4 3

5 5 8 0 7 2 5 7

1 1 1 1 2 0 0 8

1 3 3 2 4 4 2 3

0 0 0 6 6 3 6 8

... ... ... ... ... ... ... ...

Dette tal er forskelligt fra alle de andre tal i den oprindelige tabel.

Hvorfor? Fordi vi ved at lægge 1 til tallene i diagonalen har sørget for første ciffer i vores nye tal er forskellig fra første ciffer i første tal, andet ciffer i vores nye tal er forskelligt fra andet ciffer i det andet tal, og s˚ a videre. Det vil sige at ligemeget hvor mange tal vi har samlet er der altid 83

13. Matematiske Beviser

plads til et nyt som er forskelligt fra dem. Med andre ord har vi vist at man ikke kan tælle de reelle tal. Q.E.D

13.3

Er

√ 2 et rationelt tal?

FT

√ Vi kan ogs˚ a BEVISE at 2 er et irrationelt tal.

Beviset er af en type hvor vi antager det modsatte og viser at den antagelse fører til en modsigelse. Det er en snedig matematisk bevisførelse som kaldes ”reductio ad absurdum”. √ √ Antag at 2 er rationel, dvs. at 2 kan skrives som en brøk ab . Antag ogs˚ a at a og b ikke har nogen fælles divisor. Det vil sige vi forudsætter at der ikke findes tal k, c, d s˚ a a = kc og b =√kd. kc For hvis det var tilfældet kunne vi skrive 2 = ab = kd . Efterfølgende kunne vi s˚ a forkorte k væk, og bare benytte c og d i stedet for a og b.

Men hvis det gælder at √ a 2= b s˚ a kan vi kvadrere begge sider: a2 b2 og ved at gange (p˚ a begge sider) med b2 ,

DR A

2=

2b2 = a2

Da 2b2 er et lige tal1 betyder det (da det er en ligning) at a2 ogs˚ a er lige. Men for at kvadratet af et tal skal være lige m˚ a tallet selv være lige2 . Det vil sige at a kan skrives som 2c. Det sætter vi nu ind i den oprindelige ligning: √

2=

a 2c = b b

2

2 2 2 som vi kvadrerer til 2 = 4c b2 . Det betyder at b = 2c , det vil sige at b 2 er lige. Men hvis b er lige m˚ a b ogs˚ a være lige og det kan vi skrive som b = 2d.

Vi har nu fundet ud af at a = 2c og b = 2d men hov! a og b har nu en fælles faktor 2. Dette er i MODSTRID √ mod hvad vi antog til at starte med. Det vil sige antagelsen om at 2 var rationel (kunne skrives som √ en brøk af to hele tal) ikke kan være rigtig. Vi har dermed bevist at 2 er et irrationelt tal. Q.E.D 1 Lad os gange alle tal fra 1 til 9 med 2: (2,4,6,8,10,12,14,16,18) hmm. de er alle lige...

2 Lad os kvadrere de ulige tal fra 1 til 9: (1, 9, 25, 49, 81) hmm de er alle ulige...

84

13.4. Er

13.4

Er

√

3 et rationelt tal?

√ 3 et rationelt tal?

3= hvilket er ensbetydende med

FT

√ Vi vil her bevise at 3 er iraationrelt. Beviset bygger som ovenfor p˚ a en modstrid, som er en meget almindelig bevisform.

Men det er alligevel √ helt anderledes end beviset for 2. Vi bruger nemlig vores viden om de ulige og lige tal. √ Først antager vi at 3 er rationel. Det vil sige at der findes to heltal p, q s˚ a √ p 3= q √ og ligesom i beviset for 2 antager vi at p og q ikke har fælles faktorer.

Nu kvadrerer vi p˚ a begge sider, s˚ a vi f˚ ar p2 q2

3q 2 = p2

DR A

Vi ved nu at p og q ikke begge kan være lige, for hvis de var det, kunne vi forkorte begge tal med 2. Men det har vi antaget at vi allerede har gjort. Antag nu at p er lige og q ulige. Da 3q 2 er ulige og p2 er lige (fra vores regneregler om lige og ulige tal) har vi s˚ a at højre side af lighedstegnet er lige og venstre side ulige og det kan jo ikke lade sig gøre. P˚ a samme m˚ ade kan vi vise at det heller ikke duer hvis p er ulige og q er lige - prøv selv!

Det vil sige at den eneste mulighed er at b˚ ade p og q er ulige. Men s˚ a kan de jo skrives p˚ a formen p = 2M + 1 og q = 2N + 1. Hvis vi indsætter i formlen ovenfor giver det 3(2M + 1)2 = (2N + 1)2

som er det samme som

12M 2 + 12M + 3 = 4N 2 + 4N + 1

nu forkorter vi med 2 og f˚ ar

6M 2 + 6M + 1 = 2N 2 + 2N Hvis kan kikker nærmere p˚ a denne ligning ser vi at venstre side er ulige og højre side er lige. Men dette kan jo ikke lade sig gøre og dermed er alle muligheder afprøvet. √ Konklusionen a p/q = 3. Dermed √ er at der ikke findes to tal p, q, s˚ har vi vist at 3 er irrationel. Q.E.D 85

13. Matematiske Beviser

13.5

Uendeligt mange primtal

DR A

FT

Nu vil vi bevise at der findes uendeligt mange primtal. Vi starter dog i det sm˚ a.

Vi ved for eksempel at 2, 3, og 5 er de tre første primtal. Vi vil nu vise at der findes et primtal der er større end dem (og mindre end 31): Først laver vi et nyt tal ved at gange dem alle sammen og lægge 1 til. 2 · 3 · 5 + 1 = 31.

Nu checker vi lige at 2, 3 eller 5 ikke g˚ ar op i 31: a det gør de ikke. Men da 31/2 = 15 12 , 31/3 = 10 31 , 31/5 = 6 51 s˚ ethvert tal kan dannes som et produkt af dets primtalsfaktorer m˚ a der eksistere et primtal større end 5 og mindre eller lig med 31. Hvis vi sl˚ ar op i en tabel over primtal kan vi se at der i dette tilfælde er flere muligheder: 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 og 31. Der behøver ikke være mange men der skal ALTID være mindst et!

S˚ a prøver vi igen men nu tager vi de fire første primtal og danner et nyt tal: 2 · 3 · 5 · 7 + 1 = 211. Igen er der ingen af de første fire tal der g˚ ar op i 211 (regn selv efter) s˚ a derfor m˚ a der eksistere (mindst) et primtal større end 7 og mindre eller lig med 211.

Man kan blive ved p˚ a den m˚ ade i det uendelige, s˚ a lige meget hvor stort et primtal man finder, kan man bare lave et nyt tal ved at gange alle de mindre primtal sammen og lægge 1 til og s˚ a ved vi at der m˚ a findes (mindst) et der er større endnu.

Dermed er det bevist at der er uendeligt mange primtal. Q.E.D

13.6

Induktion

Der findes en speciel slags beviser som kaldes induktion. Induktion bruges for eksempel til at vise at en formel er gyldig for alle værdier. Her er et eksempel. Vi skal vise at følgende formel gælder for alle n.

0 + 1 + 2 + 3 + ··· + n =

n(n + 1) 2

beviset deles i to. Først viser vi at det gælder for n = 0 0=

0(0 + 1) =0 2

Nu kommer selve induktionen. Vi antager nu at formlen er bevist for en bestemt værdi af n. Vi skal s˚ avise at den ogs˚ a gælder for n + 1. Da n var tilfældigt valgt kan man p˚ a denne m˚ ade vise at formlen gælder for 86

13.7. Er nm lige eller ulige?

alle værdier af n.

= = = =

FT

=

0 + 1 + 2 + · · · n + (n + 1) n(n + 1) + (n + 1) 2 n(n + 1) + 2(n + 1) 2 n2 + 3n + 2 2 (n + 1)(n + 2) 2 (n + 1)((n + 1) + 1) 2

hvilket netop er formlen for summen op til (n + 1). Vi har nu vist at formlen gælder for 0 og at hvis den gælder for 0 s˚ a gælder den ogs˚ a for 1. Hvis den gælder for 1 gælder den ogs˚ a for 2 og s˚ a videre mod det uendelige univers. Q.E.D

Er nm lige eller ulige?

DR A

13.7

Lad n og m være hele tal. Er nm lige eller ulige? Beviset laves ved hjælp af regnereglerne for de lige og ulige tal og som ved hjælp af induktion.

Vi har tidligere vist at n3 er lige hvis n er lige og ellers ulige. Nu viser vi at det samme gælder for n4 . Vi har at n4 = n3 · n. De to faktorer i produktet er enten begge lige eller begge ulige og dermed - ved hjælp af regnereglerne at n4 er lige hvis n er lige og ulige ellers. Vi har nu vist at hvis n3 er ulige er n4 ulige osv. vi kan nu fortsætte p˚ a den m˚ ade, og har derfor at

lige hvis n er lige m n = ulige hvis n er ulige for heltallige n og m. Q.E.D

87

Kapitel

14

FT

Matematikkens fædre

DR A

Der er tusindvis af personer der gennem tiderne har bidraget til matematikken som vi kender den i dag. Men der er nogle f˚ a personer der har ydet nogle ekstra store bidrag.

Pythagoras (c. 570-495 BC):Pythagoras’ theorem. Fra Wikipedia: Pythagoras was an Ionian Greek philosopher, mathematician, and founder of the religious movement called Pythagoreanism. Most of the information about Pythagoras was written down centuries after he lived, so very little reliable information is known about him. He was born on the island of Samos, and might have travelled widely in his youth, visiting Egypt and other places seeking knowledge. Pythagoras made influential contributions to philosophy and religious teaching in the late 6th century BC. He is often revered as a great mathematician, mystic and scientist, but he is best known for the Pythagorean theorem which bears his name.

Euclid (c. 300 BC):Elements. Fra Wikipedia: Euclid, also known as Euclid of Alexandria, was a Greek mathematician, often referred to as the ”Father of Geometry”. He was active in Alexandria during the reign of Ptolemy I (323283 BC). His Elements is one of the most influential works in the history of mathematics, serving as the main textbook for teaching mathematics (especially geometry) from the time of its publication until the late 19th or early 20th century. In the Elements, Euclid deduced the principles of what is now called Euclidean geometry from a small set of axioms. Euclid also wrote works on perspective, conic sections, spherical geometry, number theory and rigor.

Fibonacci (c. 1175-1250):Liber Abbaci. Fra Wikipedia: also known as Leonardo of Pisa, Leonardo Pisano, Leonardo Bonacci, Leonardo Fibonacci, or, most commonly, simply Fibonacci, was an Italian mathema88

tician, considered by some ”the most talented western mathematician of the Middle Ages.”Fibonacci is best known to the modern world for the spreading of the Hindu-Arabic numeral system in Europe, primarily through the publication in the early 13th century of his Book of Calculation, the Liber Abaci; and for a number sequence named after him known as the Fibonacci numbers, which he did not discover but used as an example in the Liber Abaci.

FT

Rene Descartes (1596-1650):La Geometrie. Opfandt koordinatbaseret geometri. Fra Wikipedia: Ren´e Descartes was a French philosopher, mathematician, and writer. He has been dubbed the ’Father of Modern Philosophy’, and much subsequent Western philosophy is a response to his writings, which are studied closely to this day. Descartes’ influence in mathematics is equally apparent; the Cartesian coordinate system allowing algebraic equations to be expressed as geometric shapes, in a 2D coordinate system was named after him. He is credited as the father of analytical geometry, the bridge between algebra and geometry, crucial to the discovery of infinitesimal calculus and analysis.

DR A

Pierre de Fermat (1601-1665):Fermat’s sidste teorem. Fra Wikipedia: Pierre de Fermat was a French lawyer at the Parlement of Toulouse, France, and an amateur mathematician who is given credit for early developments that led to infinitesimal calculus, including his adequality.

In particular, he is recognized for his discovery of an original method of finding the greatest and the smallest ordinates of curved lines, which is analogous to that of the then unknown differential calculus, and his research into number theory. He made notable contributions to analytic geometry, probability, and optics. He is best known for Fermat’s Last Theorem, which he described in a note at the margin of a copy of Diophantus’ Arithmetica.

Isaac Newton (1642-1727):Principia, Differential og integralregning.

Fra Wikipedia: Newton was an English physicist, mathematician, astronomer, natural philosopher, alchemist, and theologian, who has been ”considered by many to be the greatest and most influential scientist who ever lived.”His monograph Philosophi Naturalis Principia Mathematica, published in 1687, lays the foundations for most of classical mechanics.

In this work, Newton described universal gravitation and the three laws of motion, which dominated the scientific view of the physical universe for the next three centuries. Newton showed that the motions of objects on Earth and of celestial bodies are governed by the same set of natural laws, by demonstrating the consistency between Kepler’s laws of planetary motion and his theory of gravitation, thus removing the last doubts about heliocentrism and advancing the Scientific Revolution. The Prin-

89

14. Matematikkens fædre

cipia is generally considered to be one of the most important scientific books ever written, due, independently, to the specific physical laws the work successfully described, and for the style of the work, which assisted in setting standards for scientific publication down to the present time.

FT

Gottfried Leibnitz (1646-1716):Differentialregning. Fra Wikipedia: Leibniz occupies a prominent place in the history of mathematics and the history of philosophy. He developed the infinitesimal calculus independently of Isaac Newton, and Leibniz’s mathematical notation has been widely used ever since it was published. He became one of the most prolific inventors in the field of mechanical calculators. While working on adding automatic multiplication and division to Pascal’s calculator, he was the first to describe a pinwheel calculator in 1685 and invented the Leibniz wheel, used in the arithmometer, the first mass-produced mechanical calculator. He also refined the binary number system, which is at the foundation of virtually all digital computers.

DR A

Leonhard Euler (1707-1783):Talteori, geometri, matematisk analyse.

Fra Wikipedia: Leonhard Euler was a pioneering Swiss mathematician and physicist. He made important discoveries in fields as diverse as infinitesimal calculus and graph theory. He also introduced much of the modern mathematical terminology and notation, particularly for mathematical analysis, such as the notion of a mathematical function. He is also renowned for his work in mechanics, fluid dynamics, optics, and astronomy. He is considered to be the preeminent mathematician of the 18th century, and one of the greatest of all time. He is also one of the most prolific mathematicians ever; his collected works fill 6080 quarto volumes. A statement attributed to Pierre-Simon Laplace expresses Euler’s influence on mathematics: ”Read Euler, read Euler, he is the master of us all.”

Joseph Fourier (1768 - 1830):Varmeledning, Fouriertransformationen. Fra Wikipedia: Joseph Fourier was a French mathematician and physicist best known for initiating the investigation of Fourier series and their applications to problems of heat transfer and vibrations. The Fourier transform and Fourier’s Law are also named in his honour. Fourier is also generally credited with the discovery of the greenhouse effect.

Sophie Germain (1776 - 1831):Elasticitetsteori, Fermat’s teorem. Fra Wikipedia: Sophie Germain was a French mathematician, physicist, and philosopher. Despite initial opposition from her parents and difficulties presented by a gender-biased society, she gained education from books in her father’s library and from correspondence with famous mathematicians such as Lagrange, Legendre, and Gauss. One of the pioneers of

90

elasticity theory, she won the grand prize from the Paris Academy of Sciences for her essay on the subject. Her work on Fermat’s Last Theorem provided a foundation for mathematicians exploring the subject for hundreds of years after. Because of her gender, she was unable to make a career out of mathematics, but she worked independently throughout her life.

FT

Carl Friedrich Gauss (1777-1855):Talteori, geometri, fysik, landm˚ aling. Fra Wikipedia: Gauss was a German mathematician and physical scientist who contributed significantly to many fields, including number theory, statistics, analysis, differential geometry, geodesy, geophysics, electrostatics, astronomy and optics. Sometimes referred to as ”the Prince of Mathematicians”and ”greatest mathematician since antiquity”, Gauss had a remarkable influence in many fields of mathematics and science and is ranked as one of history’s most influential mathematicians.

DR A

Joseph Liouville (1809 - 1882):Transcendentale tal. Fra Wikipedia: Liouville worked in a number of different fields in mathematics, including number theory, complex analysis, differential geometry and topology, but also mathematical physics and even astronomy. He is remembered particularly for Liouville’s theorem, a nowadays rather basic result in complex analysis. In number theory, he was the first to prove the existence of transcendental numbers by a construction using continued fractions (Liouville numbers). In mathematical physics, Liouville made two fundamental contributions: the SturmLiouville theory, which was joint work with Charles Franois Sturm, and is now a standard procedure to solve certain types of integral equations.

Bernhard Riemann (1826 - 1866):Kompleks analyse, differentialgeometri. Fra Wikipedia: Riemann’s published works opened up research areas combining analysis with geometry. These would subsequently become major parts of the theories of Riemannian geometry, algebraic geometry, and complex manifold theory. The theory of Riemann surfaces was elaborated by Felix Klein and particularly Adolf Hurwitz. This area of mathematics is part of the foundation of topology, and is still being applied in novel ways to mathematical physics. Riemann made major contributions to real analysis. He defined the Riemann integral by means of Riemann sums, developed a theory of trigonometric series that are not Fourier seriesa first step in generalized function theoryand studied the RiemannLiouville differintegral. He made some famous contributions to modern analytic number theory. In a single short paper (the only one he published on the subject of number theory), he introduced the Riemann zeta function and established its importance for understanding 91

14. Matematikkens fædre

the distribution of prime numbers. He made a series of conjectures about properties of the zeta function, one of which is the well-known Riemann hypothesis.

FT

Georg Cantor (1846 - 1918):Mængdelære, uendelighed. Fra Wikipedia: Cantor was a German mathematician, best known as the inventor of set theory, which has become a fundamental theory in mathematics. Cantor established the importance of one-to-one correspondence between the members of two sets, defined infinite and well-ordered sets, and proved that the real numbers are ”more numerous”than the natural numbers.

In fact, Cantor’s method of proof of this theorem implies the existence of an ”infinity of infinities”. He defined the cardinal and ordinal numbers and their arithmetic. Cantor’s work is of great philosophical interest, a fact of which he was well aware.

DR A

Henri Poincar´ e (1854 - 1912):Dynamiske systemer. Fra Wikipedia: He is often described as a polymath, and in mathematics as The Last Universalist, since he excelled in all fields of the discipline as it existed during his lifetime. As a mathematician and physicist, he made many original fundamental contributions to pure and applied mathematics, mathematical physics, and celestial mechanics. He was responsible for formulating the Poincar´e conjecture, one of the most famous unsolved problems in mathematics, until it was solved in 20023. In his research on the three-body problem, Poincar became the first person to discover a chaotic deterministic system which laid the foundations of modern chaos theory. He is also considered to be one of the founders of the field of topology.

Kurt G¨ odel (1906 - 1978):Ukompletheds teoremet. Fra Wkipedia: G¨ odel is best known for his two incompleteness theorems, published in 1931 when he was 25 years old, one year after finishing his doctorate at the University of Vienna. The more famous incompleteness theorem states that for any self-consistent recursive axiomatic system powerful enough to describe the arithmetic of the natural numbers (for example Peano arithmetic), there are true propositions about the naturals that cannot be proved from the axioms. To prove this theorem, G¨odel developed a technique now known as G¨ odel numbering, which codes formal expressions as natural numbers.

Pal Erd˝ os (1913 - 1996):Mange discipliner. Fra Wikipedia: Pal Erd˝os was a Hungarian mathematician. Erd˝ os published more papers than any other mathematician in history, working with hundreds of collaborators.

He worked on problems in combinatorics, graph theory, number theory, classical analysis, approximation theory, set theory, and probability theory. He is also known for his ”legendarily eccentric”personality.

92

14.1. Matematiske bedstefædre

14.1

Matematiske bedstefædre

Mange matematikere taler om deres matematiske bedstefar eller lignende. Med det mener de at de inden for det matematiske felt nedstammer fra en bestemt kendt matematiker. Der er ikke tale om familieslægtskab, men slægtskab mellem vejleder og studerende.

FT

Leonhard Euler (1726) J Lagrange (1754) J G Fourier (17xx)

S Poisson (1800)

J Liouville (1836)

M Chasles (1814)

L Kronecker (1845)

E C Catalan (1841)

H A Newton (1850)

C Hermite (187x)

E H Moore (1885)

H Poincare (1879)

G Birkhoff (1907)

T D Donder (1901)

H Whitney (1932)

I Prigogine (1941)

J Eells (1954)

DR A

G Dirichlet (1827)

V L Hansen (1972)

Her har jeg lavet et ufuldstændigt slægtstræ startende med Leonhard Euler. Mange af hans matematiske børnebørn har sat varige spor i matematikken, dem har jeg markeret med fed skrift. Men slægtskabet breder udover matematikken. For eksempel har Ilya Prigogine været med til at forske i det man kalder ulineære systemer som ofte fører til kaosteori og fraktaler. I den matematiske ende har vi den danske matematiker Vagn Lundsgaard Hansen som har undervist mig p˚ a universitetet. S˚ a man kan p˚ a en m˚ ade sige at Euler er min matematiske tip, tip, · · · , tipoldefar.

93

14. Matematikkens fædre

14.2

Erd˝ os tal

Mit Erd˝ os tal

FT

Paul Erd˝ os var en af verdens mest produktive matematikere nogen sinde.

Derfor opfattes han af mange som noget særligt. Da han levede i nyere tid er der mange der har arbejds sammen med ham. Man har derfor opfundet noget der kaldes et Erd˝ os tal. Erd˝os har tallet 0. Man har et Erd˝ os tal p˚ a 1 hvis man har arbejdt sammen (og udgivet en artikel sammen med) Paul Erd˝ os. Hvis man har udgivet en artikel med en der har udgivet en artikel med Erd˝ os har man et Erd˝os tal p˚ a 2.

Jeg er ikke matematiker, men jeg har alligevel et Erd˝ os tal p˚ a fire.

DR A

Bollob´ as, B´ ela; Erd˝ os, P´ al. ”Extremal problems in graph theory.”

(Hungarian) Mat. Lapok 13 1962 143-152.

Bollob´ as, B´ ela; Rasmussen, Steen. ”First cycles in random directed graph processes.” Graph theory and combinatorics (Cambridge, 1988).

Discrete Math. 75 (1989), no. 1-3, 55-68.

Rasmussen, S.;Mosekilde, E.; Engelbrecht, J. ”Time of emergence and dynamics of cooperative gene networks.” Structure, coherence and chaos in dynamical systems (Lyngby, 1986), 315-331, Proc. Nonlinear Sci. Manchester Univ. Press, Manchester 1989.

Hansen, Lars-Ulrik W.;Christensen, Morten; Mosekilde, Erik. ”Deterministic analysis of the probability machine.” Phys Scripta 51 (1995), no 1, 35-45.

94

Kapitel

15

FT

Afslutning

”TBD”

DR A

NN (XXXX-YYYY)

Egentlig behøver en bog som denne ikke at have en afslutning

95

Bilag

A

DR A

FT

Matematikkens symboler

Symbol

Betydning

+ − ·/ ± ≈ = 6= ∧ ∨ <> ≤≥ ··· Σ ⇒ ⇔ √

De fire regningsarter plusminus: ±1 = −1, 1 næsten lig med: 1.998 ≈ 2 Lighedstegn: 0.5 = 12 Forskellig fra. 5 6= 2 logisk ’og’ logisk ’eller’ Mindre-end og større end. ex. A < 5, A er mindre end 5 Mindre-end eller lig med, større-end eller lig med Fortsættelsestegn, ex. 1, 2, 3, · · · Summeringstegn, bruges i uendelige summer Medfører Ensbetydende med Kvadratrod Den imaginære enhed, bruges i komplekse tal Uendelig Delta, forskellen mellem to (sm˚ a) tal Pi, forholdet mellem cirklens omkreds og diameter Phi, det gyldne snit Beskrivelse af en uendelig brøk, ex. [1; 1, 1, · · · ] = φ

i ∞ ∆ π φ [; ]

96

MĂŚngdelĂŚre Betydning

{} â&#x2C6;Š â&#x2C6;Ş â&#x160;&#x2020; â&#x160;&#x201A; â&#x2C6;&#x2C6; â&#x2C6;&#x2C6; / â&#x2C6;&#x2026; \ â&#x201E;ľ0 N Z Q R C

MĂŚngde. Ex. A = {1, 2, 4}, B = {2, 3, 4, 10} FĂŚllesmĂŚngden af to mĂŚngder: A â&#x2C6;Š B = {2, 4} ForeningsmĂŚngden af to mĂŚngder: A â&#x2C6;Ş B = {1, 2, 3, 4, 10} DelmĂŚngde: {1, 2, 4} â&#x160;&#x2020; {1, 2, 4} Ă&#x2020;gte delmĂŚngde. f.ex. {1, 2} â&#x160;&#x201A; {0, 1, 2, 3} Tilhører. f.ex. A = {1, 2, 4}, 2 â&#x2C6;&#x2C6; A Tilhører ikke. f.ex. 5 â&#x2C6;&#x2C6; / {1, 2, 4} Den tomme mĂŚngde: â&#x2C6;&#x2026; = {} Undtagen: B \ A = {3, 10} Størrelsen (kardinal tallet) af de tĂŚllelige uendeligheder.

De naturlige tal, 1, 2, 3, ¡ ¡ ¡ De hele tal, 0, Âą1, Âą2, Âą3, ¡ ¡ ¡ De rationelle â&#x2C6;&#x161; tal: p/q, q 6= 0 De reelle tal: 2 De komplexe tal: a + i ¡ b

DR A

FT

Symbol

GrĂŚske bogstaver Symbol

Navn

Udtale

Symbol

Navn

Udtale

Îą β Î&#x201C;, Îł â&#x2C6;&#x2020;, δ

Îś Ρ Î&#x2DC;, θ Κ Îş Î&#x203A;, Îť Âľ

alpha beta gamma delta epsilon zeta eta theta iota kappa lambda mu

alfa beta gamma delta epsilon sĂŚta ĂŚta tĂŚta jota kappa lamda my

ν Î&#x17E;, Ξ Î , Ď&#x20AC; Ď ÎŁ, Ď&#x192; Ď&#x201E; ÎĽ, Ď&#x2026; ÎŚ, Ď&#x2020; Ď&#x2021; Ψ, Ď&#x2C6; â&#x201E;Ś, Ď&#x2030;

nu xi pi rho sigma tau upsilon phi chi psi omega

ny ksi pi ro sigma tau ypsilon fi ki si omega

97

Bilag

B

B.1

Bøger

FT

Referencer

Pædagogiske introduktioner til matematikkens verden

DR A

• Hans magnus Enzensberger - ”Taldjævelen” • Hiroshi Yuki - ”Math Girls” Biografier om matematikere

• Stuart Hollingdale - ”Makers of Mathematics” • Ioan James - ”Remarkable Mathematicians” • N.N. Gauss • N.N. Euler

• Edna E. Kramer - ”Nature and Growth of Modern Mathematics” Matematik og Matematisk historie • A. Ya. Kinchin - ”Continued Fractions” • Edna E. Kramer - ”Nature and Growth of Modern Mathematics” • Douglas E. Hofstaedter - ”G¨ odel Escher and Bach” 98

B.2. Webreferencer

B.2

Webreferencer

Der findes utallige websider som handler om matematik. Nogle af dem har været i funktion længe og nogle er relativt nye. De følgende referencer har jeg benyttet eller fundet frem til i forbindelse med at jeg skrev dette hæfte.

• www.mersenne.org - Great Internet Mersenne Prime Search • http://primes.utm.edu/ • wolframalpha.com

DR A

• wikipedia.com

FT

• Prime factors online http://www.alpertron.com.ar/ECM.HTM

99

DR A

Σ, 33 ℵ0 , 81 ∅, 63 γ, 30 ∞, 31 C, 27 N, 23, 27 Q, 24, 27 R, 26, 27 Z, 23, 27 φ, 30, 76, 78 π, 27, 30, 78 e, 30, 78 16-tals systemet, 35

FT

Indeks

algebraisk tal, 25 analytisk talteori, 79 andengradsligning, 55 areal, 58

Bernhard Riemann, 91 beviser, 82 binære tal, 34, 36 binomial koefficienten, 71 Cantor, 72 Carl Friedrich Gauss, 91 centrum, 49 cirkel, 49 computer matematik, 20

definition, 38 det gyldne snit, 37, 77 diagonalbeviset, 83 differentialregning, 56 dimension, 46 diskrete tal, 23 divergens, 73

eksponentialfunktion, 55 Eratosthenes, 18 Eratosthenes si, 18 Erd˝os tal, 94 Euclid, 17, 88 Eulers produktformel, 79 fællesmængde, 63 faktorisere, 39 fakultet, 69 Fermat primtal, 21 Fermat’s Sidste Teorem, 40 Fibonacci, 88 Fibonacci sekvens, 76 flade, 46 foreningsmængde, 63 fraktaler, 80 funktion genererende, 76 G¨odel, 19 genererende funktioner, 76

100

Indeks

hældning, 56 Heisenbergs usikkerhedsrelation, 45 Henri Poincar´e, 92 hexadecimale tal, 35 hypotenuse, 47

M¨ obius b˚ and, 81 mændger, 62 mængders størrelse, 65 matematikkens fædre, 88 matematisk bedstefar, 93 Mersenne primtal, 21 midtnormal, 49 modsigelser, 65 multiplicere, 39 naturlige tal, 23

oktale tal, 35 omkreds, 49 omskreven cirkel, 50 otte-tals systemet, 35 ottetalsystemet, 35

DR A

identitet, 38 induktion, 86 integrale, 58 irrationelle tal, 26, 78 Isaac Newton, 89

Leonhard Euler, 19, 90 lige tal, 13, 85 ligning, 39 linie, 46 Liouvilles konstant, 74 lotto kupon, 71

FT

gennemsnit, 25 gentagne decimaltal, 25 geometrisk sum, 74 Georg Cantor, 92 GIMPS, 21 Goldbach’s Teorem, 20 Gottfried Leibnitz, 90 Great Internet Mersenne Prime Search, 21 grundlinie, 49 gudeligningen, 31

Joseph Fourier, 90 Joseph Liouville, 74, 91

Kaosteori, 92 kardinal tal, 65 kileskrift, 36 Koch kurve, 80 kombinationer, 68 komplekse tal, 27 konjektur, 21 konkylie, 60 konvergens, 76 Kurt G¨ odel, 92 kurve areal, 58 hældning, 56 parametrisk, 59 kvadrat, 48

Pal Erd˝ os, 92 parallelle linier, 47 parallelogram, 48 parametre, 41 parametrisk kurve, 59 Pierre de Fermat, 89 polygon, 48 polynomier, 54 primtal, 17 primtal generator, 21 punkt, 46 Pythagoras, 47, 88 radius, 49 rationelle tal, 24 reelle tal, 26 rektangel, 48 Rene Descartes, 89 retvinklet trekant, 47 101

Indeks

tĂŚlletal, 13 talfamilier, 23 tallinie, 26 talsystemer, 32 talteori, 19, 23 analytisk, 79 terningekast, 69 ti-tals systemet, 32 to-tals systemet, 34 tomme mĂŚngde, 63 toppunkt, 49 transcendentale tal, 27, 77 tvillinge primtal, 21

DR A

ubekendte, 41 uendelige brøker, 76 uendelige linier, 80 uendelige produkter, 79 uendelige summer, 72 uendelighed, 72 ulige tal, 13, 85 uligheder, 44 UNIX, 35

FT

sigma, 33 sneglehuse, 60 sommerfugl parametrisk, 60 Sophie Germain, 90

vektorer, 52 vinkelhalveringslinie, 50 volumen, 46 Werner Heisenberg, 45 yatzy, 70

zeta funktionen, 92

102

FT

Hvad har haloween med juleaften at gøre - hvis man er computer programmør, og er DeadBeef et tal eller er metalband? Kan man have mere end to bedstefædre hvis man er matematiker og hvad er et Erd˝ os tal? Har de gamle Babylonere noget med klokken at gøre, og hvem løste mysteriet om Fermat’s sidste teorem? Disse og mange flere spørgm˚ al bliver besvaret i dette hæfte om matematik.

‘Fantastisk Inspirerende.’ - Aa. Brodtgaard

DR A

Dette hæfte er skrevet for dem der lidt nysgerrige eller nørdede og som gerne vil vide lidt mere om matematik. Gennem historier og enkle forklaringer bliver man indviet i nogle af matematikkens vigtigste principper, fra de hele tal til transcendentale tal, fra nul til uendelig, fra trekanter til fraktaler. Hæftet kan bruges fra 8. klasse til og med 3.G, for eksempel i forbindelse med temauger, master classes eller som opfølgning p˚ a gode spørgsm˚ al n˚ ar der er en time ledig.

jCAPS Publishing • http://www.jcaps.com Forsidedesign af Morten Jagd Christensen • http://www.jcaps.com

ISBN 978-87-994778-0-7

9 788799 477807