sigma binome

Les symboles Σ et Π. Le binôme de Newton Nous consacrons ici un long chapitre au symbole Σ (et au symbole Π). A terme, la maîtrise de ce symbole est une compétence essentielle à acquérir et nous pensons qu’il faut y consacrer un nombre conséquent de pages.

Plan du chapitre 1 Le symbole Σ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 2 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5

Etude d’un exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 2 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 3 Règles de calculs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 4 Changement de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 5 Sommes télescopiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 7 n n n X X X 1.6 Plusieurs calculs de k, k2 et k3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 10 k=1

2

3

k=1

k=1

1.7 Somme de termes consécutifs d’une suite arithmétique ou d’une suite géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 12 1.7.1 Suites arithmétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 12 1.7.2 Suites géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 13 1.8 L’identité an − bn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 14 1.9 Sommes trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 15 1.10 Sommes doubles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 16 Le binôme de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 19 2.1 Les coefficients binomiaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 19 2.2 La formule du binôme de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 22 2.3 Application à la trigonométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 25 2.3.1 Linéarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 25 2.3.2 Polynômes de Tchebychev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 27 Le symbole Π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 27

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1

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Le symbole Σ

1 1.1

Etude d’un exemple

Nécessité d’une nouvelle notation. La somme Sn des entiers impairs 1, 3, 5,..., 2n − 1 s’écrit Sn = 1 + 3 + 5 + ... + (2n − 1).

Cette notation cohérente se révèle à l’usage pleine de pièges. En effet, que signifie l’écriture 1 + 3 + 5 + ... + (2n − 1) quand n vaut 1, 2, 3 ou même 4 ? Si on ne réfléchit pas suffisamment, on écrit S2 = 1 + 3 + 5 + ... + 3, alors qu’il fallait comprendre que S2 était constituée de 2 termes, en commençant par 1 et en finissant par 2 × 2 − 1 = 3. C’est encore pire avec S1 qui ne contient qu’un seul terme. On peut trouver désagréable que soit écrit explicitement le nombre 5 dans l’écriture de Sn , alors qu’il n’apparaît ni dans S1 , ni dans S2 ... De manière générale, dans de nombreuses situations, les notations utilisant des pointillés sont sources d’erreurs si elles ne sont pas maîtrisées.

Pour cette raison et par souci de concision, on introduit une nouvelle notation. La somme Sn ci-dessus est la somme des n nombres 2 × 1 − 1 = 1, 2 × 2 − 1 = 3,..., 2 × n − 1. Ils ont une écriture commune, à savoir 2k − 1 où k prend successivement les valeurs 1, 2,..., n. On décide alors de la noter n X

(2k − 1)

(∗)

k=1

(la lettre grecque Σ correspondant à notre S, initiale du mot somme). On peut apporter sur l’expression (∗) les commentaires suivants : ⋄ en bornes du symbole Σ, on voit que k varie de 1 à n et on a donc en évidence le nombre de termes de la somme, à savoir n, ce qui était peut-être moins évident dans la notation utilisant des pointillés ; ⋄ dans l’expression

n X

(2k − 1), nous avons fait l’effort de donner une écriture commune à chacun des termes de la somme

k=1

et donc de comprendre cette somme, ce qui n’est pas le cas dans l’expression 1 + 3 + ... + (2n − 1) ; ⋄

n X

(2k−1) est une expression compréhensible même quand n = 2 ou n = 1. Dans ce dernier cas, la somme est constituée

k=1

d’un seul terme et on parle donc d’une somme de un terme. Cette phrase a un sens conventionnel. ⋄ la somme obtenue est une fonction de n, mais n’est pas une fonction de k, ce qui est explicite dans la notation Sn (et non pas Sn,k ) ou encore, on ne retrouve pas la lettre k dans le résultat final. Ainsi, on peut écrire une phrase du genre ∀n ∈ N∗ , n X

n X

k=

k=1

n(n + 1) , 2

n(n + 1) n’a aucun sens. Pour cette raison, la variable k est dite 2 k=1 muette et on peut la remplacer par n’importe quelle autre lettre sans que cela ne modifie le résultat final :

mais par contre, la phrase ∀k ∈ N∗ , ∀n ∈ N∗ ,

n X

i=

i=1

k=

n X

k=1

k=

n X

k ′ =1

k ′ ... =

n(n + 1) .

2

⋄ l’écriture de Sn n’est absolument pas unique, et par exemple, on pourrait tout à fait considérer que les entiers 1, 3,..., n−1 X 2n − 1 sont de la forme 2k + 1 où k varie cette fois-ci de 0 à n − 1 et écrire Sn = (2k + 1), mais aussi que ces entiers k=0 n+1 X

sont de la forme 2k − 3 où k prend les valeurs 2, 3,..., n + 1 et écrire dans ce cas Sn =

(2k − 3) ; l’essentiel est d’obtenir

k=2

1 pour la première valeur de k considérée, 3 pour la deuxième,... et 2n − 1 pour la dernière.

Que signifie calculer une somme ? Calculons maintenant la somme proposée et pour cela, posons nous d’abord la question : que signifie la phrase « calculer la somme Sn » ? Calculer 1 + 3 + 5 consiste à effectuer les deux additions pour obtenir 9. De même, calculer 1 + 3 + ... + (2n − 1) consiste à effectuer les n − 1 additions et donc à exprimer le résultat sous une forme n’utilisant plus de pointillés.

Dans les paragraphes suivants, on décrira quelques techniques de calculs de somme. Ici, en calculant les premiers termes, nous allons essayer de deviner une formule générale, formule que l’on démontrera ensuite par récurrence. c Jean-Louis Rouget, 2016. Tous droits réservés.

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On trouve S1 = 1 puis S2 = 1 + 3 = 4 puis S3 = 1 + 3 + 5 = 9 puis S4 = 1 + 3 + 5 + 7 = 16 puis S5 = S4 + 9 = 16 + 9 = 25.

Il apparaît, semble-t-il, la suite des carrés des nombres entiers, mais cette constatation est insuffisante. Nous ne savons toujours pas ce que vaut S6 avant de l’avoir calculé, et pour savoir si nous avons vu juste, il faut se diriger vers un raisonnement de portée générale : si au k-ème carré parfait, à savoir k2 , on ajoute le (k + 1)-ème nombre impair, à savoir 2k + 1, on obtient k2 + 2k + 1 = (k + 1)2 qui est bien le (k + 1)-ème carré parfait. Tout semble coller et nous pouvons donc n X (2k − 1) = n2 . démontrer par récurrence que : ∀n ∈ N∗ , k=1

• Pour n = 1, S1 =

1 X

(2k − 1) = 1 = 12 et la formule proposée est exacte.

k=1

• Soit n > 1. Supposons que n+1 X

(2k − 1) =

k=1

n X

(2k − 1) = n2 . Alors,

k=1 n X

!

(2k − 1)

k=1

+ (2n + 1) = n2 + 2n + 1 (par hypothèse de récurrence)

= (n + 1)2 .

Nous avons montré par récurrence que ∀n ∈ N∗ ,

n X

(2k − 1) = n2 .

k=1

Les n − 1 additions ont été effectuées. Maintenant il est certain qu’il persiste dans le résultat final une multiplication (n2 = n × n), mais on peut estimer que la somme, elle, a été calculée.

1.2

Définition

On se donne une suite (un )n∈N de nombres complexes.

Pour p et n entiers naturels donnés tels que p 6 n, la somme des nombres up , up+1 ,..., un est notée

n X

uk .

k=p n X

uk = up + ... + un (∗).

k=p

Ainsi,

0 X

k=0

uk = u0 ,

5 X

k=3

uk = u3 + u4 + u5 ,

3 X

2n X

u2k+1 = u3 + u5 + u7 et

k=1

uk = un+1 + un+2 + ... + u2n−1 + u2n .

k=n+1

Pn

uk , évitant l’utilisation de pointillés. On pose   p n+1 n X X X uk = up et ∀n > p, uk =  uk  + un+1 (definition par récurrence).

On peut donner une définition plus méticuleuse de

k=p

k=p

k=p

k=p

La variable de sommation k est muette, ce qui signifie que la valeur de la somme n’est pas une fonction de k et que cette variable peut donc être remplacée par n’importe quelle autre variable, à l’exception des variables utilisées en bornes (ici les variables n et p), sans modification du résultat.

Analysons maintenant le nombre de termes de la somme (∗). On commence par le cas particulier où 1 < p < n. L’idée est de tout rapporter à l’entier 1. z 1 |

n entiers

}| ... (p − 1) p {z } |

p−1 entiers

... n {z }

{

.

n−(p−1) entiers

Il y a ainsi n − p + 1 entiers entre les entiers p et n, p et n compris. Ce résultat reste clair quand p = n (dans ce cas, n − p + 1 = 1) ou p = 1 ou p = 0 (dans ce cas, n − p + 1 = n + 1). Donc, si n et p sont deux entiers naturels tels que p 6 n, entre p et n, (p et n compris), il y a n − p + 1 entiers, n X la somme uk est constituée de n − p + 1 termes. k=p

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Donnons maintenant différentes interprétations possibles d’une telle somme. Dans le cas d’une suite réelle, on peut intern X préter uk comme la hauteur totale d’un escalier dont la hauteur de la marche no 0 est u0 , la hauteur de la marche no 1 k=0

est u1 ,..., et la hauteur de la marche no n est un , étant entendu que si uk > 0, la marche est montante et si uk < 0, la n X marche est descendante (et de même pour l’escalier tout entier si uk < 0). k=0

un u2

u3

n X

un−1

u1

uk

k=0

u0

Dans le cas où la suite (un )n∈N est une suite de réels positifs, on dispose d’une autre interprétation graphique. En abscisse, on place les nombres 0, 1,..., n, n + 1, et en ordonnée, les nombres u0 , u1 ,..., un . u1 un−1 u2 ......

u0 un 0

1

2

n−1 n n+1

3

Si on note Ak le point de coordonnées (k, 0) et Bk le point de coordonnées (k, uk ) alors, puisque la distance de 0 à 1 est 1, u0 = u0 × 1 est l’aire du rectangle (A0 A1 B1 B0 ), et plus généralement, puisque entre les deux entiers consécutifs k et n X k + 1, il y a 1 d’écart, uk = uk × (k + 1 − k) est l’aire du rectangle (Ak Ak+1 Bk+1 Bk ). Par suite, uk est la somme des k=0

aires des rectangles ci-dessus.

1.3

Règles de calculs

On commence par des résultats évidents qui ont besoin d’être énoncés mais nul besoin d’être démontrés. (un )n∈N étant une suite complexe, pour n ∈ N, on pose Sn =

n X

uk .

k=0

1) ∀n ∈ N, Sn+1 = Sn + un+1 , et donc aussi ∀n ∈ N∗ , un = Sn − Sn−1 . p n n X X X uk + uk (relation de Chasles).

2) Pour n et p tels que 0 6 p < n, uk = k=0

k=0

k=p+1

En 1), la première formule fait comprendre comment on passe de la somme no n à la somme no (n + 1) (on rajoute un+1 ), et la deuxième formule permet de récupérer un en fonction de Sn . Par exemple, si on sait que pour tout entier naturel n, n X n(n + 1) , on peut connaître la valeur du n-ème terme de la suite u : uk = 2 k=0

pour n > 1, un = Sn − Sn−1 =

n(n + 1) (n − 1)n n((n + 1) − (n − 1)) − = = n.

2 2 2

On peut noter que puisque l’on désirait obtenir la valeur de un , on n’a pas écrit un+1 = Sn+1 − Sn = ..., mais on a écrit un = Sn − Sn−1 = ...

En 2), on doit simplement mettre en garde contre une trop grande analogie avec les intégrales. La relation de Chasles Zb Zc Zb . La deuxième intégrale « démarre » où « finit » la première. Avec le symbole Σ, = + pour les intégrales est a

c

a

la première somme finit à p et la deuxième commence à l’entier suivant p + 1. Pour ne pas commettre l’erreur de faire c Jean-Louis Rouget, 2016. Tous droits réservés.

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redémarrer la deuxième somme à p et ainsi répéter deux fois le terme up , il ne faut pas hésiter à se redétailler les différentes sommes à l’aide de pointillés en explicitant les débuts et les fins de sommes : u0 + u1 + ... + un−1 + un = (u0 + ... + up ) + (up+1 + ... + un ).

Soient (un )n∈N et (vn )n∈N deux suites de nombres complexes. n n n X X X 1) ∀n ∈ N, (uk + vk ) = uk + vk . k=0

2) ∀n ∈ N, ∀λ ∈ C, n X

3) ∀n ∈ N, ∀(λ, µ) ∈ C2 ,

n X

k=0

k=0

λuk = λ

k=0

(λuk + µvk ) = λ

k=0

n X

n X

uk .

k=0

uk + µ

k=0

n X

vk (linéarité de Σ).

k=0

Ces résultats sont clairs. 1) signifie que (u0 + v0 ) + (u1 + v1 ) + ... + (un + vn ) = (u0 + u1 + ... + un ) + (v0 + v1 + ... + vn ), 2) signifie que λu0 + λu1 + λun = λ(u0 + u1 + ... + un ) et 3) est un cumul des résultats de 1) et 2) (le mot linéarité sera correctement défini dans les différents chapitres d’algèbre linéaire). D’autre part, ces résultats restent bien sûr valables en changeant les bornes du Σ.

X n n n n n X X X

1 X 1 1 1 2 = − − ou aussi que 2k − 3k + 1 = 2 k2 − Ainsi, on peut par exemple écrire que k k+1 k k+1 k=1 k=1 k=1 k=1 k=1 n n X X 3 k+ 1. Il faut noter au passage la signification de la dernière somme : k=1

k=1

n X

k=1

On a additionné les termes d’une suite constante.

1 = 1| + 1 + {z... + 1} = n. n fois

La règle 2) est source d’erreurs classiques. Elle signifie que l’on peut mettre en facteur de dante de k. Ainsi, dans

n X

n X

toute expression indépen-

k=0

3n(cos θ)k2k , on peut mettre en facteur 3, n et cos θ, mais pas k ou 2k :

k=1 n X

k

3n(cos θ)k2 = 3n(cos θ)

k=1

1) ∀n ∈ N, Re

n X

k2k .

k=1

Soit (u une suite complexe. ! ! n )n∈N n n n n X X X X Re(uk ) et Im Im(uk ). uk = uk = k=0

k=0

2) ∀n ∈ N,

k=0

n X

k=0

uk =

n X

k=0

uk .

k=0

Ici, on a simplement rappelé que la partie réelle (resp. la partie imaginaire ou le conjugué) d’une somme est la somme des parties réelles (resp. des parties imaginaires ! ou des conjugués). Grâce à ces résultats, on peut par exemple écrire que n n n X X X

cos(kθ) = Re eikθ = Re eikθ . k=0

1.4

k=0

k=0

Changement de variable n X 1

1 . Cette somme rentre dans le cadre général des sommes télescopiques qui sera détaillé − On veut calculer k k+1 k=1 plus loin. Ici, nous allons la calculer grâce à un changement de variable. La linéarité du symbole Σ permet d’écrire : n X 1

k=1

1 − k k+1

n n X 1 X 1 1 1 1 1 1 = − . − = 1 + + ... + + + ... + k k+1 2 n 2 3 n+1 k=1

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k=1

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Dans la deuxième somme, on peut considérer que k + 1 est un entier k ′ prenant toutes les valeurs de 2 à n + 1 et donc n X

k=1

n+1 X 1 1 . = k+1 k′ ′ k =2

Le changement de variable permet de mieux comprendre que la somme considérée était la somme des inverses des entiers 2, 3,..., n + 1. Pendant le changement de variable, on avait besoin de deux lettres : la lettre k désignant un entier variant de 1 à n et la lettre k ′ désignant un entier variant de 2 à n + 1. Mais une fois que le changement de variable a eu lieu, n+1 X 1 un nouvel exercice commence avec la somme . La lettre k ′ apparaît alors comme une complication inutile ′ k ′ k =2

de l’expression et il est largement préférable de réécrire

n+1 X k=2

1 la somme précédente, cette écriture représentant aussi la k

1 1 . On rappelle à ce sujet que la variable de sommation est muette (voir page 3). Ainsi, en fin de somme + ... + 2 n+1 parcours, nous réutilisons la même lettre k, pour désigner un nouvel objet, mais quoi de plus normal (heureusement que depuis le début de votre scolarité, vous vous êtes permis de réutiliser plusieurs fois la lettre x et on a du mal à imaginer ce qui se serait passé dans le cas contraire).

On peut alors terminer le calcul pour n > 2 : X n n n n n+1 n n X X X 1 1 X 1 1 1 1 n 1 X1 1 X1 = − − = − =1+ − − =1− = . k k+1 k k+1 k k k k n+1 n+1 n+1 k=1

k=1

k=1

k=1

k=2

k=2

k=2

En pratique, on utilise deux types de changement de variable et deux seulement : • Translation : on pose ; k ′ = k + p où p est un entier relatif donné.

• Symétries : on pose k ′ = p − k où p est un entier relatif donné.

Ces deux changements de variable ont en commun d’associer de manière bijective un ensemble de nombres entiers consécutifs à un autre. La translation est un changement de variable strictement croissant et la symétrie est un changement de variable strictement décroissant. Rappelons à ce sujet que le symétrique d’un réel x par rapport à un réel a est 2a − x.

1 En effet, le milieu des deux nombres x et 2a − x est (x + (2a − x)) = a.

2 n X n+1 Par exemple, dans k, posons k ′ = n + 1 − k (symétrie par rapport au nombre rationnel ) ou ce qui revient au 2 k=1 même k = n + 1 − k ′ . A priori, l’entier k ′ varie en décroissant de n + 1 − 1 = n à n + 1 − n = 1. Néanmoins, un Σ est toujours pensé avec une variable croissante et la borne du bas est toujours inférieure ou égale à la borne du haut. Un changement de variable décroissant permet donc de parcourir la somme en sens inverse : n X

1 + 2 + ... + (n − 1) + n =

k=

k=1

n X

(n + 1 − k ′ ) =

k ′ =1

n X

(n + 1 − k) = n + (n − 1) + ... + 2 + 1.

k=1

On doit noter que pour passer d’une variable k à une variable k ′ , on a besoin d’avoir k ′ en fonction de k (k ′ = f(k)) pour trouver les nouvelles bornes du Σ mais aussi k en fonction de k ′ (k = f−1 (k ′ )) pour pouvoir remplacer dans l’expression à sommer.

Exercice 1. Pour n > 2, on considère la somme Sn =

n+1 X

k22k+1 . Faire une translation d’indices où la nouvelle

k=3

variable varie de 0 à n − 2 et une symétrie d’indices où la nouvelle variable varie de 3 à n + 1.

Solution 1. Soit n > 2. On pose k ′ = k − 3. On obtient Sn =

n+1 X

2k+1

k2

k=3

=

n−2 X

2(k ′ +3)+1

′

(k + 3)2

k ′ =0

=

n−2 X

(k + 3)22k+7 .

k=0

De même, effectuons une symétrie par rapport au milieu de 3 et n + 1, à savoir On pose donc k ′′ = n + 4 − k. On obtient Sn =

n+1 X

(n + 4 − k ′′ )22(n+4−k

′′

k ′′ =3

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)+1

=

n+1 X

n+4 3+n+1 = .

2 2

(n + 4 − k)22n+9−2k .

k=3

6

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2n−1 X

Exercice 2. Pour n > 2, montrer à l’aide d’un changement d’indices que

k=n+1

kπ ln sin 2n

=

n−1 X k=1

kπ ln sin .

2n

′

Solution 2. Soit n > 2. Pour k ∈ {n + 1, ..., 2n − 1}, posons k = 2n − k ou encore k = 2n − k ′ . Quand k décrit {n + 1, ..., 2n − 1}, k ′ varie de 2n − (2n − 1) = 1 à 2n − (n + 1) = n − 1 et donc, 2n X

k=n+1

n−1 n−1 n−1

X X X k ′ π (2n − k ′ )π k ′π kπ = ln sin = ln sin π − = ln sin ln sin 2n 2n 2n 2n ′ ′ ′ k =1

=

n−1 X k=1

1.5

k =1

k =1

kπ ln sin .

2n

Sommes télescopiques

Soit (un )n∈N une suite de nombres complexes. ∀n ∈ N∗ ,

n−1 X

(uk+1 − uk ) = un − u0 .

k=0

Pour s’en convaincre, il suffit d’écrire la somme non pas sous sa forme initiale (u1 − u0 ) + (u2 − u1 ) + (u3 − u2 ) + ... + (un−1 − un−2 ) + (un − un−1 ), mais sous la forme −u0 + (u1 − u1 ) + (u2 − u2 ) + ... + (un−1 − un−1 ) + un et on voit les termes intermédiaires se simplifier par télescopage. On dit que la somme considérée est télescopique. Ce calcul se visualise :

+ + +

u1 u2 u3 u4 .. .

− − − −

+ +

un−1 un

− un−2 − un−1 ?

u0 u1 u2 u3 .. .

+ u1 + u2 + u3 .. . + un−2 + un−1 + un un

− − − −

u0 u1 u2 u3 .. .

− −

un−2 un−1

−

u0

Le calcul ci-dessus peut être traité de manière synthétique à l’aide du symbole Σ. Pour n > 2, on a : n−1 X

(uk+1 − uk ) =

k=0

n−1 X

uk+1 −

n X

uk −

k=0

=

n−1 X

uk =

k=1

uk ′ −

k ′ =1

k=0

n−1 X

n X

uk = un +

k=0

n−1 X k=1

n−1 X

uk

k=0

uk −

n−1 X

uk − u0 = un − u0 .

k=1

On a d’autres lectures possibles du résultat encadré plus haut. La différence uk+1 − uk visualisée sur une droite muni d’un − → −−−→ repère (0, i ) s’identifie au vecteur − u− k uk+1 . La formule écrite s’interprète alors comme la relation de Chasles usuelle pour les vecteurs : →+− −−→ −−−−−−−→ −−−−−→ −−−→ (u1 −u0 )+(u2 −u1 )+...+(un−1 −un−2 )+(un −un−1 ) " = " − u−0− u 1 u1 u2 +...+ un−2 un−1 + un−1 un = u0 un " = " un −u0 .

C’est la bonne vieille formule « extrémité - origine ».

On peut aussi réutiliser un escalier où cette fois-ci les marches ont pour hauteur (u1 − u0 ), (u2 − u1 ),..., (un − un−1 ).

Dans ce cas, uk ne désigne pas la hauteur d’une marche mais désigne l’altitude à laquelle se trouve le bas de la marche no k + 1 : le bas de cette marche est à l’altitude uk et le haut à l’altitude uk+1 de sorte que la hauteur de cette marche n−1 X est égale à uk+1 − uk . La hauteur totale de l’escalier est alors la somme (uk+1 − uk ). Ayant démarré à l’altitude u0 et k=0

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terminé à l’altitude un , la hauteur cherchée est un − u0 . Représentons ce calcul dans le cas où la suite (un )n∈N est une suite réelle croissante (de sorte que chaque différence uk+1 − uk est positive). un

un − un−1 un−1 − un−2

u3 u2

n−1 X

u3 − u2 u2 − u1

u1 u0

uk = un − u0

k=0

u1 − u0

Le résultat sur les sommes télescopiques est l’outil de base permettant de calculer différentes sommes. On veut calculer n X une somme du type uk . On cherche (mais on ne trouve pas toujours) une suite (vn )n∈N telle que pour tout entier k, k=0

on ait uk = vk+1 − vk (de même que pour calculer une intégrale, on peut chercher des primitives de la fonction à intégrer).

Si on trouve une telle « suite primitive », alors on peut calculer la somme : ∀n ∈ N,

n X

uk =

k=0

n X

(vk+1 − vk ) = vn+1 − v0 .

k=0

En prenant l’opposé des deux membres, on a aussi ∀n ∈ N,

n X

(vk − vk+1 ) = v0 − vn+1 .

k=0

Exercice 3. Calculer les sommes suivantes : n n X X 1 1 1) et , k(k + 1) k(k + 1)(k + 2) k=1 k=1 n X 2) k × k! (où k! = 1 × 2 × . . . × k), 3) 4)

k=1 n X

2 sin

k=0 n X

x 2

cos(kx),

(k + 2)2k (chercher une suite primitive sous la forme (ak + b)2k )).

k=0

Solution 3.

1) Soit n ∈ N∗ . n X

k=1

n X

k=1

n n X 1 1 n 1 (k + 1) − k X 1 = = − = et =1− k(k + 1) k(k + 1) k k+1 n+1 n+1 k=1

k=1

n n X 1 1 1 1X 1 1 (k + 2) − k 1 = = = − − k(k + 1)(k + 2) 2k(k + 1)(k + 2) 2 k(k + 1) (k + 1)(k + 2) 2 1 × 2 (n + 1)(n + 2) k=1

k=1

n(n + 3) = .

4(n + 1)(n + 2) 2) Soit n ∈ N∗ .

n X

k=1

k × k! =

n X

k=1

(k + 1 − 1) × k! =

n X

((k + 1) × k! − 1 × k!) =

k=1

n X

((k + 1)! − k!) = (n + 1)! − 1.

k=1

3) Soit n ∈ N. n X

k=0

2 sin

x 2

n X

n

x X 1 1 x − sin k− x + kx + sin − kx = sin k+ 2 2 2 2 k=0 k=0

1 (2n + 1)x x 1 x − sin − x = sin + sin . = sin n+ 2 2 2 2

cos(kx) =

sin

x

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4) Posons uk = (ak + b)2k et cherchons a et b tels que, pour tout entier k, uk+1 − uk = (k + 2)2k . uk+1 − uk = (a(k + 1) + b)2k+1 − (ak + b)2k = 2k (2(a(k + 1) + b) − (ak + b)) = (ak + 2a + b)2k .

En prenant a = 1 puis b = 0 (de sorte que 2a + b = 2), ou encore, en posant uk = k2k pour tout entier k, on a bien uk+1 − uk = (k + 2)2k . Mais alors, n X

(k + 2)2k =

k=0

n X

(uk+1 − uk ) = un+1 − u0 = (n + 1)2n+1 .

k=0

1 résulte bien sûr de la réduction au même dénominateur d’une fraction de dénominateur k k(k + 1) 1 1 et d’une fraction de dénominateur k + 1 et il ne faut pas longtemps pour que l’on essaie de calculer la différence − . En b), k k+1 1 1 on essaie de généraliser l’idée. Le seul écueil à éviter est de calculer − car la deuxième fraction n’est pas obtenue k(k + 1) k(k + 2) en remplaçant k par k + 1 dans la première.

➱ Commentaire . En 1)a),

Exercice 4.

a−b (la fonction 1 + ab Arctangente est définie dans le chapitre « Fonctions de référence » et la fonction tangente est étudiée dans le chapitre « Trigonométrie »).

n X 1 Arctan 2) Calculer lim . n→+∞ k2 + k + 1 1) Montrer que pour a et b réels strictement positifs donnés, on a Arctan a−Arctan b = Arctan

k=1

Solution 4. i πh i πh et Arctan b ∈ 0, .

1) Soient a et b deux réels strictement positifs. Arctan a ∈ 0, 2 2 i π πh Par suite, Arctan a − Arctan b ∈ − , . Mais alors, tan(Arctan a − Arctan b) existe et 2 2

tan(Arctan a) − tan(Arctan b) a−b a−b tan(Arctan a − Arctan b) = . = = tan Arctan 1 + tan(Arctan a) tan(Arctan b) 1 + ab 1 + ab

i π πh a−b sont dans − , et ont même tangente. On en déduit Ainsi, les deux nombres Arctan a − Arctan b et Arctan 1 + ab 2 2 que ces deux nombres sont égaux.

2) Soit k ∈ N∗ . k2

1 1 (k + 1) − k = = , +k+1 k(k + 1) + 1 k(k + 1)

et donc, puisque k et k + 1 sont des réels strictement positifs, le 1) permet d’écrire Arctan

1 = Arctan(k + 1) − Arctan(k). k2 + k + 1

Soit n ∈ N∗ . Par télescopage, on obtient n X

k=1

Arctan

n X 1 π = (Arctan(k + 1) − Arctan(k)) = Arctan(n + 1) − Arctan(1) = Arctan(n + 1) − , 2 k +k+1 4 k=1

et immédiatement, lim

n→+∞

n X

Arctan

k=1

k2

π 1 = . +k+1 4

Il se peut dans certains cas, que l’on ne connaisse d’une suite (un )n∈N que son premier terme u0 et les différences successives uk+1 − uk . On peut alors récupérer les termes de la suite (un )n∈N par une variante de la formule précédente : c Jean-Louis Rouget, 2016. Tous droits réservés.

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∗

∀n ∈ N , un = u0 +

n−1 X

(uk+1 − uk ).

k=0

On peut de nouveau noter que, puisque l’on désire la valeur de un , on n’a pas écrit un+1 = u0 +

n X

(uk+1 − uk ),

k=0

mais on a écrit un = ... On utilise ce résultat dans l’exercice suivant (déjà posé dans le chapitre « Ensembles, relations, applications ») : Exercice 5. On se donne un entier n supérieur ou égal à 2. Dans le plan, on trace n droites telles que deux quelconques de ces droites ne soient pas parallèles et trois quelconques de ces droites ne soient pas concourrantes.

Déterminer le nombre P(n) des régions du plan définies par ces n droites.

Solution 5. Il est clair que P(1) = 2. Soit n > 1. Supposons connaître le nombre P(n) de régions du plan déterminées par n droites vérifiant les conditions de l’énoncé. On trace une (n + 1)-ème droite (Dn+1 ). D’après les hypothèses de l’énoncé, (Dn+1 ) coupe les n premières droites en n points deux à deux distincts. Ces points définissent sur (Dn+1 ) (n + 1) intervalles (dont deux sont non bornés). Chacun de ces intervalles coupe l’une des P(n) régions en deux nouvelles régions, rajoutant ainsi une nouvelle région aux P(n) régions préexistantes. On a donc : ∀n > 1, P(n + 1) = P(n) + (n + 1).

On peut alors calculer P(n). Soit n > 2.

P(n) = P(1) +

n−1 X

(P(k + 1) − P(k)) = 2 +

k=1

n−1 X

(k + 1) = 2 +

k=1

n X

k=1+

k=2

n X

k=1+

k=1

n(n + 1) 2

ce qui reste vrai pour n = 1.

➱ Commentaire . Pour résoudre cet exercice, il faut commencer par tracer patiemment une droite, puis deux droites, puis trois droites, puis quatre droites en comptant à chaque fois, puis en traçant lentement une cinquième droite, il faut essayer de comprendre ce qui se passe ...

1.6

Plusieurs calculs de la somme des n premiers entiers, de leurs carrés et de leur cube

Pour (n, p) ∈ (N∗ )2 , on pose Sp (n) =

n X

k=1

kp . On se propose de calculer Sp (n) quand p ∈ {1, 2, 3}. Chacune des techniques

de calcul ci-dessous est digne d’intérêt. On peut déjà énoncer les résultats suivants qui sont à apprendre et à connaître :

∗

∀n ∈ N ,

n X

k=1

n n n(n + 1) X 2 n(n + 1)(2n + 1) X 3 n2 (n + 1)2 , k = , k = = k= 2 6 4 k=1

k=1

n X

!2

k

k=1

.

Commençons par calculer de différentes manières S1 (n).

Premier calcul. Au lycée, on démontre le résultat ci-dessus, soit par récurrence, soit de la façon suivante : 1 + n + (n + 1) +

2 (n − 1) (n + 1)

+ + +

... + ... + ... +

k + n+1−k + (n + 1) +

... + ... + ... +

(n − 1) 2 (n + 1)

+ + +

n 1 (n + 1)

et donc S1 (n) + S1 (n) = (1 + 2 + ... + n) + (n + ... + 2 + 1) = (n + 1) + (n + 1) + ... + (n + 1) = n(n + 1), ce qui fournit {z } | n termes

le résultat. Il est intéressant de voir ce que donne cette démonstration en utilisant le symbole Σ : 2S1 (n) =

n X

k+

k=1

n X

(n + 1 − k) =

k=1

n X

(n + 1) = n(n + 1).

k=1

L’idée de ce premier calcul est l’utilisation d’une propriété particulière des suites arithmétiques : on passe de 1 à 2 en ajoutant 1 et de n à n − 1 en retranchant 1, de sorte que les sommes 1 + n et 2 + (n − 1) sont égales. . . c Jean-Louis Rouget, 2016. Tous droits réservés.

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Deuxième calcul. On cherche une suite primitive de la suite à sommer, c’est-à-dire une suite (vn ) telle que ∀k ∈ N∗ , vk+1 − vk = k. On pense immédiatement à du degré 2 et on calcule : (k + 1)2 − k2 = 2k + 1. Pour n ∈ N∗ , on a alors n X

((k + 1)2 − k2 ) =

k=1

n X

(2k + 1) = 2

k=1

n X

k+

k=1

n X

1 = 2S1 (n) + n.

k=1

Par télescopage, on obtient " n # (n + 1)((n + 1) − 1) (n + 1)n 1 1 X 2 2 = . ((k + 1) − k ) − n = ((n + 1)2 − 1 − n) = S1 (n) = 2 2 2 2 k=1

Ici, l’idée était de faire de la somme à calculer une somme télescopique, et on y est approximativement parvenu. On pourra généraliser cette idée à S2 (n), S3 (n),... en calculant (k + 1)3 − k3 , (k + 1)4 − k4 ...

Troisième calcul. C’est une variante du calcul précédent. La différence (k + 1)2 − k2 n’a pas fourni k mais 2k + 1. Le triangle de Pascal fournit une suite (wn ) telle que, pour k ∈ N∗ , wk+1 − wk = k. En effet, la relation de Pascal, réexposée plus loin, permet d’écrire pour k > 2,

k k+1 k(k + 1) k(k − 1) k − ), k= = − (= 2 2 1 2 2 et donc, pour n > 2, S1 (n) =

n X

k=1+

k=1

n X k+1 2

k=2

−

k n+1 2 n(n + 1) n+1 =1+ − = . = 2 2 2 2 2

La recherche systématique de polynômes Bp tels que ∀k ∈ N∗ , Bp (k + 1) − Bp (k) = kp conduit à la découverte des polynômes de Bernoulli qui seront étudiés dans le chapitre « Polynômes » et dans le cours de deuxième année.

Quatrième calcul. Comme souvent, représenter graphiquement un objet permet de comprendre cet objet.

n

∗ ∗ .. . ∗ ∗

Ainsi,

n X

∗

∗

∗ ..

.

... n

∗ ∗

+ ∗ ...

n ... ∗ .. .

...

∗

∗

n+1

∗ ∗ .. .

n

∗ ∗

=

∗ ∗ .. .

∗ ∗

∗ ∗

∗ ∗

...

...

...

...

∗ ∗ .. .

n

∗ ∗

k est le nombre de points d’un triangle isocèle ayant n points de côté. Pour cette raison les nombres

k=1

n(n + 1) 2

sont appelés nombres triangulaires (vous connaissiez déjà les nombres carrés : n2 est le nombre de points d’un carré ayant n points de côté). Comme d’habitude, deux triangles font un rectangle, et on lit directement 2S1 (n) = n(n + 1).

1

3 6

Nombres triangulaires 10 15 21 28 36 45

55....

On peut aussi définir les nombres pentagonaux, hexagonaux,..., voire pyramidaux,... mais nous n’en parlerons pas ici.

Passons maintenant au calcul de S2 (n) =

n X

k2 et S3 (n) =

k=1

n X

k3 . Nous traiterons ce calcul à travers un exercice.

k=1

Exercice 6. En utilisant les expressions développées de (k + 1)3 − k3 et (k + 1)4 − k4 , calculer S2 (n) = S3 (n) =

n X

n X

k2 et

k=1 3

k .

k=1

Solution 6. Nous vous laissons démontrer les identités (a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 et (a + b)4 = a4 + 4a3 b + 6a2 b2 + 4ab3 + b4 (en développant (a + b)(a + b)2 puis (a + b)(a + b)3 ) qui sont des cas particuliers de la formule du binôme de Newton exposée plus loin dans ce chapitre. c Jean-Louis Rouget, 2016. Tous droits réservés.

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Soit n ∈ N∗ . Pour 1 6 k 6 n, on a (k + 1)3 − k3 = 3k2 + 3k + 1. En additionnant ces n égalités, on obtient : (n + 1)3 − 1 =

n X

((k + 1)3 − k3 ) = 3

k=1

n X

k2 + 3

k=1

n X

k+

k=1

n X

1 = 3S2 (n) + 3S1 (n) + n,

k=1

et donc,

n(n + 1) 1 1 (n + 1)3 − 1 − 3 −n = 2(n + 1)3 − 3n(n + 1) − 2(n + 1) 3 2 6

(n + 1)(2n2 + n) n(n + 1)(2n + 1) n+1 2 n2 + 2n + 1 − 3n − 2 = = . = 6 6 6

S2 (n) =

n X

De même, (n + 1)4 − 1 =

k=1

(k + 1)4 − k4 = 4S3 (n) + 6S2 (n) + 4S1 (n) + n, et donc,

1 n(n + 1)(2n + 1) n(n + 1) n+1 (n + 1)3 − n(2n + 1) − 2n − 1 (n + 1)4 − 1 − 6 −4 −n = 4 6 2 4 2 2 2

(n + 1) n (n + 1) = (n + 1)2 − (2n + 1) = .

4 4

S3 (n) =

1.7 1.7.1

Somme de termes consécutifs d’une suite arithmétique ou d’une suite géométrique Suites arithmétiques

On rappelle le résultat suivant : Soient (un )n∈N une suite arithmétique complexe et n et p deux entiers naturels tels que n 6= p, n X (premier terme + dernier terme) × (nombre de termes) (up + un )(n − p + 1) = . uk = 2 2 k=p

Pour démontrer ce résultat, on utilise le fait que les sommes up + un , up+1 + un−1 = up + r + un − r = up + un , up+2 +un−2 = up +2r+un −2r = up +un ,..., et plus généralement uk +un+p−k = up +(k−p)r+un +(p−k)r = up +un sont égales. Cela donne

2

n X

uk =

k=p

=

n X

uk +

k=p n X

n X

uk =

k=p

n X

uk +

k=p

n X

un+p−k ′ =

k ′ =p

n X

k=p

uk +

n X

k=p

un+p−k =

n X

(uk + un+p−k )

k=p

(up + un ) = (n − p + 1)(up + un ).

k=p

Exercice 7. Calculer les sommes : 1)

n+1 X

k, 2)

k=3

n X

(2k − 1).

k=1

Solution 7.

1) Pour n > 2,

n+1 X

k=

k=3

2) Pour n ∈ N∗ ,

n X

k=1

(n − 1)(n + 4) (3 + (n + 1))((n + 1) − 2) = .

2 2

(2k − 1) =

(1 + (2n − 1))n = n2 .

2

➱ Commentaire . Rappelons que les suites arithmétiques sont les suites de la forme un = an + b (où a et b sont indépendants de n). Ainsi, dans les deux cas nous devions calculer une somme de termes consécutifs d’une suite arithmétique. En 1), il aurait été

Pn Pn Pn+1 très maladroit d’écrire k=3 k= k=1 k − 1 − 2 + (n + 1) et de même en 2), il aurait été un peu maladroit d’écrire k=1 (2k − 1) = Pn Pn 2 k=1 k − k=1 1. Dans les deux cas, nous avons utilisé la formule (premier terme+ dernier terme)×(nombre de termes)/2. c Jean-Louis Rouget, 2016. Tous droits réservés.

12

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1.7.2

Suites géométriques

On rappelle les résultats suivants : Soient q un nombre complexe et n un entier naturel n n X X 1 − qn+1 qk = n + 1, , et si q = 1, qk = Si q 6= 1, 1−q k=0 k=0 Soient (un )n∈N une suite géométrique complexe de raison q 6= 1 et n et p deux entiers naturels tels que p ≤ n, n X 1 − qn−p+1 1 − raisonnombre de termes uk = up = premier terme × .

1−q 1 − raison

k=p

Notons que si q est un réel strictement supérieur à 1, il faut avoir comme réflexe d’écrire

k=0

dans laquelle numérateur et dénominateur sont strictement positifs.

1 n n 1 − n+1 X X 2n+1 − 1 1 1 k n+1 2 = Ainsi, 2 = =2 − 1 et = 2− n.

1 2−1 2k 2 k=0 k=0 1− 2 Démontrons les résultats ci-dessus. Pour n dans N et q ∈ C, posons Sn =

n X

n X

qk =

qn+1 − 1 , écriture q−1

qk .

k=0

On suppose que q est différent de 1 (le résultat est clair quand q = 1). Alors Sn − qSn =

n X

qk −

k=0

n X

qk+1 =

k=0

n X

(qk − qk+1 ) = 1 − qn+1 (somme télescopique),

k=0

d’où le résultat. Plus généralement, si (un )n∈N est une suite géométrique de raison q 6= 1, n X

k=p

uk =

n X

up qk−p = up

k=p

n−p X

qk = up

k=0

1 − qn−p+1 .

1−q

Exercice 8. Calculer 1)

n−1 X

2k ,

k=3

2) 3) 4)

n X

k=0 n X

k=0 n X

k=1

cos(kπ), 2k cos

2kπ , 3

kxk pour x ∈ R.

Solution 8.

1) Pour n > 4,

n−1 X

2k = 23

k=3

2)

n X

k=0

cos(kπ) =

n X

k=0

2n−3 − 1 = 2n − 8.

2−1

(−1)k =

1 1 − (−1)n+1 = (1 + (−1)n ) = 1 − (−1) 2

1 si n est pair .

0 si n est impair

3) En posant j = e2iπ/3 (voir le chapitre « nombres complexes »),

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n X

k=0

2kπ 2 cos = Re 3 k

n X

k 2ikπ/3

2 e

k=0

!

= Re

n X

k

(2j)

k=0

!

= Re

2n+1 jn+1 − 1 2j − 1

!

2 j − 1 2j2 − 1 (2j − 1) (2j2 − 1) n+1 n+1

= Re

1 n+2 2i(n+3)π/3 Re 2 e − 2n+1 e2i(n+1)π/3 − 2e4iπ/3 + 1 (car j3 = 1 et j2 + j = −1) 7

2(n + 3)π 1 2(n + 1)π 2n+2 cos = − 2n+1 cos +2 .

7 3 3 =

4) Pour x ∈ R et n ∈ N∗ , posons fn (x) =

n X

xk et Sn (x) =

k=0

n X

k=1

xfn′ (x) = x

n X

kxk−1 =

k=1

Si x ∈] − ∞, 1[∪]1, +∞[, fn (x) =

n X

kxk = Sn (x).

k=1

xn+1 − 1 et donc x−1

Sn (x) = xfn′ (x) = x

Si x = 1, on a directement Sn (1) =

n X

nxn+1 − (n + 1)xn + 1 (n + 1)xn (x − 1) − (xn+1 − 1) =x .

2 (x − 1) (x − 1)2

k=

k=1

1.8

kxk . Alors,

n(n + 1) .

2

L’identité an − bn

Théorème 1. Soient a et b deux nombres complexes et n un entier naturel non nul. n−1 X

an − bn = (a − b) an−1 + an−2 b + ... + abn−2 + bn−1 = (a − b) an−1−k bk . k=0

Démonstration .

Par télescopage, on obtient

(a − b)

n−1 X

an−1−k bk = a

n−1 X

=

n−1 X

n−1 X

an−1−k bk =

n−1 X

an−k bk −

n−1 X

an−1−k bk+1

k=0

k=0

k=0

k=0

k=0

an−1−k bk − b

an−k bk − an−(k+1) bk+1 = an − bn .

k=0

❏

Ainsi, a2 − b2 = (a − b)(a + b), a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2 ), a4 − b4 = (a − b)(a3 + a2 b + ab2 + b3 ).

n

Cette identité est liée au paragraphe précédent : quand a = 1 et b = q, on obtient 1 − q = (1 − q)

n−1 X

qk .

k=0

Quand n est impair, on a −bn = +(−b)n et on obtient une nouvelle identité : Théorème 2. Soient a et b deux nombres complexes et n un entier naturel impair. n−1 X

an + bn = (a + b) an−1 − an−2 b + ... − abn−2 + bn−1 = (a + b) (−1)k an−1−k bk . k=0

Ainsi, c Jean-Louis Rouget, 2016. Tous droits réservés.

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a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2 ), a5 + b5 = (a + b)(a4 − a3 b + a2 b2 − ab3 + b4 ).

1.9

Sommes trigonométriques

Les différents résultats sur les sommes de termes consécutifs d’une suite géométrique et sur les sommes télescopiques ont une application dans le calcul de certaines sommes trigonométriques.

Pour θ ∈ R et n ∈ N, on pose Sn (θ) =

n X

cos(kθ). On se propose de calculer Sn (θ) par deux méthodes différentes (la

k=0

somme précédente a une grande importance dans la théorie des séries de Fourier par exemple (les séries de Fourier sont au programme de certains BTS mais ne sont plus abordées en mathématiques spéciales depuis le changement de programme)). ! ! n n X X

ikθ iθ k Première méthode. Soient θ ∈ R et n ∈ N. Sn (θ) = Re = Re . e e k=0

k=0

Maintenant, eiθ = 1 ⇔ θ ∈ 2πZ. Deux cas se dégagent.

• Si θ ∈ / 2πZ, eiθ 6= 1 et Sn (θ) = Re =

n+1 !

−i(n+1)θ/2 1 − eiθ − ei(n+1)θ/2 i( n+1 θe −1 inθ/2 −2i sin((n + 1)θ/2) ) 2 2 = Re e = Re e 1 − eiθ −2i sin(θ/2) e−iθ/2 − eiθ/2

sin((n + 1)θ/2) cos(nθ/2) sin((n + 1)θ/2) Re(einθ/2 ) = . sin(θ/2) sin(θ/2)

• Si θ ∈ 2πZ, on trouve directement Sn (θ) =

n X

1 = n + 1.

k=0

Première méthode (variante). Pour θ ∈ / 2πZ, n X

eikθ =

k=−n

−1 X

eikθ + 1 +

k=−n

n X

eikθ = 1 +

k=1

n X

k=1

n X

cos(kθ) = 1 + 2(Sn (θ) − 1) = 2Sn (θ) − 1. eikθ + e−ikθ = 1 + 2 k=1

Par suite,

2Sn (θ) − 1 =

n X

eikθ = e−inθ

k=−n

1 − ei(2n+1)θ sin((2n + 1)θ/2) sin((2n + 1)θ/2) = ei(−n+(2n+1)/2−1/2)θ = . iθ 1−e sin(θ/2) sin(θ/2)

sin((2n + 1)θ/2) sin(θ/2) + sin((2n + 1)θ/2) cos(nθ/2) sin((n + 1)θ/2) 1 1+ = = .

Ainsi, Sn (θ) = 2 sin(θ/2) 2 sin(θ/2) sin(θ/2) Deuxième méthode. Par télescopage, on obtient

n n X X θ θ θ θ − sin kθ − 2 sin cos(kθ) = sin kθ + 2 sin Sn (θ) = 2 2 2 2 k=0 k=0

n X 1 1 1 1 = sin k+1− θ − sin k− θ = sin n+1− θ − sin − θ 2 2 2 2 k=0

(2n + 1)θ θ (n + 1)θ nθ = sin + sin = 2 sin cos .

2 2 2 2 De plus, si θ ∈ / 2πZ, alors

θ cos(nθ/2) sin((n + 1)θ/2) θ ∈ / πZ et donc sin 6= 0. On réobtient alors Sn (θ) = .

2 2 sin(θ/2)

Exercice 9. Pour θ ∈ R et n ∈ N, calculer les sommes suivantes : 1)

n X

k=0

sin(kθ), 2)

n X

cos2 (kθ).

k=0

Solution 9. Soient θ ∈ R et n ∈ N. c Jean-Louis Rouget, 2016. Tous droits réservés.

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1) Si θ ∈ / 2πZ, n X

sin(kθ) = Im

k=0

=

Si θ ∈ 2πZ, 2)

n X

k=0

n X

n+1 !

−i(n+1)θ/2 1 − eiθ − ei(n+1)θ/2 i((n+1)/2−1/2)θ e = Im e 1 − eiθ e−iθ/2 − eiθ/2

sin(nθ/2) sin((n + 1)θ/2) . sin(θ/2)

sin(kθ) = 0.

k=0

n X 1 1 cos (kθ) = (1 + cos(2kθ)) = 2 2

n X

2

k=0

n X

cos(2kθ)) = Re

k=0

n X

k=0

k=0

!

e2ikθ

k=0

1+

n X

= Re

!

cos(2kθ)

n

=

1 − e2i(n+1)θ 1 − e2iθ

X 1 (n + 1 + cos(2kθ)). Puis, si θ ∈ / πZ, 2 k=0

−2i sin((n + 1)θ) = Re ei(n+1)θ −2i sin(θ)

cos((n + 1)θ) sin((n + 1)θ) , = sin(θ) et donc n X

k=0

Si θ ∈ πZ,

n X

k=0

cos2 (kθ) =

n X

1 cos (kθ) = 2 2

sin(2(n + 1)θ) n+1+ .

2 sin(θ)

1 = n + 1.

k=0

➱ Commentaire . Dans la solution ci-dessus, nous n’avons supposé acquise aucune formule et nous avons redémarré les calculs P P Pn Pn Pn Pn 2 2 2 à zéro. En 2), une variante était n cos2 θ + n k=0 sin θ = k=0 1 = n + 1 et k=0 cos θ − k=0 sin θ = k=0 cos(2θ) = . . .

Pn Pn k=0 2 2 Puis on obtient k=0 cos θ ou k=0 sin θ en ajoutant ou en retranchant membre à membre.

1.10

Sommes doubles

Quand on développe l’expression (a1 + a2 ) (b1 + b2 + b3 ), on obtient a1 b1 +a1 b2 +a1 b3 +a2 b1 +a2 b2 +a2 b3 . Si les deux parenthèses avaient contenu respectivement 6 et 9 termes au lieu de 2 et 3, l’expression développée aurait été constiutée de 6 × 9 = 54 termes et serait ingérable. On a de nouveau besoin d’une notation synthétique. Le même développement peut s’écrire    ! 3 2 2 3 X X X X X  ai  bj  = a i bj  = a i bj . i=1

j=1

i=1

j=1

16i62, 16j63

La première égalité est obtenue en distribuant chacun des termes de la première parenthèse sur la deuxième. Dans la dernière expression, les encadrements 1 6 i 6 2, 1 6 j 6 3 signifient que les deux indices i et j varient respectivement de 1 à 2 et de 1 à 3, indépendamment l’un de l’autre, ou encore que le couple (i, j) prend les 2 × 3 = 6 valeurs suivantes : (1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3). Par ailleurs, la suite (ai bj )16i62, 16j63 est un exemple de suite double (on dit aussi suite à double entrée). Il faut deux indices pour décrire son terme général et l’on pourrait décider de le noter ui,j (ui,j = ai × bj ), insistant ainsi sur le fait que deux numéros sont nécessaires pour décrire un terme. Ceci nous amène à la définition suivante : Définition 1. Soit (ui,j )(i,j)∈N2 une suite double complexe. Pour n, p, q et r entiers naturels donnés tels que n 6 p et q 6 r, on pose   p r X X X  ui,j = ui,j  . n6i6p, q6j6r

i=n

j=q

On a maintenant une définition générale qui mérite d’être analysée. L’expression

2 X i=1

 

3 X j=1



ui,j  contient 6 termes, ad-

ditionnés dans un ordre très précis. On commence à donner la valeur 1 à i puis on fait varier j de 1 à 3, puis on c Jean-Louis Rouget, 2016. Tous droits réservés.

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2 X

donne à i la valeur 2 et on fait de nouveau varier j de 1 à 3. La signification exacte de

i=1

  3 X  ui,j  est donc j=1

(u1,1 + u1,2 + u1,3 ) + (u2,1 + u2,2 + u2,3 ). Mais, l’addition des complexes étant commutative (et associative), cette somme peut tout autant s’écrire u2,1 + u2,2 + u1,3 + u1,1 + u2,3 + u1,2 . On a là la signification la plus exacte de l’exX pression ui,j : on veut additionner les 6 termes ui,j , « en vrac ». Pour ce faire, on peut décider d’ordonner 1≤i≤2, 1≤j≤3

les calculs en faisant varier j à ifixé, puisen faisant varier i, c’est-à-dire en sommant sur j d’abord puis sur i ensuite.

2 3 X X  Ceci correspond à l’écriture ui,j . Mais on peut aussi décider de fixer d’abord j, c’est-à-dire de sommer sur i=1

j=1

i à j fixé puis de sommer sur j, ce qui correspond à l’écriture

3 2 X X j=1

!

ui,j . Cette dernière somme s’écrit explicite-

i=1

ment : (u1,1 + u2,1 ) + (u1,2 + u2,2 ) + (u1,3 + u2,3 ). De manière générale : Théorème 3. Soit (ui,j )(i,j)∈N2 une suite double complexe. Pour n et p entiers naturels donnés,   ! p p n n X X X X  ui,j  = ui,j . i=0

Démonstration .

j=0

j=0

i=0

On présente les nombres ui,j dans un tableau à double entrée où le numéro i est un numéro de ligne

(horizontale) et le numéro j est un numéro de colonne (verticale) :

0

0 u0,0

1 u0,1

... ...

j u0,j

1 .. . i .. . n

u1,0 .. . ui,0 .. . un,0

u1,1

u1,j

ui,1

ui,j

... ...

p u0,p

0

0 u0,0

1 u0,1

... ...

j u0,j

u1,p .. . ui,p .. . un,p

1 .. . i .. . n

u1,0 .. . ui,0 .. . un,0

u1,1

u1,j

ui,1

ui,j

... ...

p u0,p u1,p .. . ui,p .. . un,p

un,1 . . . un,j . . . un,1 . . . un,j . . .   ! p p n n X X X X   ui,j et le tableau de droite représente ui,j . Dans le premier cas, on a additionné Le tableau de gauche représente i=0

j=0

j=0

i=0

tous les termes d’une même ligne puis on est passé à la ligne suivante et dans le deuxième, on a additionné tous les termes d’une colonne puis on est passé à la colonne suivante. Dans les deux cas, on additionné tous les ui,j . ❏

En référence aux tableaux précédents, additionner en ligne les nombres ui,j , c’est calculer

n X i=0

ner en colonne les nombres ui,j , c’est calculer

p n X X j=0

à j fixé,

n X

i=0

!

ui,j . A i fixé,

p X

 

p X j=0



ui,j  et addition-

ui,j est la somme des termes de la ligne i et

j=0

ui,j est la somme des termes de la colonne j.

i=0

Développement d’un produit de deux sommes.

On se donne n nombres complexes a1 ,..., an puis p autres nombres complexes b1 ,..., bp . Immédiatement, on a

1)

2)

n X i=1

n X

ai

i=1 !2

ai

!

=

  p X × bj  = j=1

X

ai aj =

16i,j6n

X

a i bj

16i6n, 16j6p

n X i=1

a2i + 2

X

ai aj .

16i<j6n

En 1), on doit noter que lorsqu’on développe le produit d’une parenthèse à n termes par une parenthèse à p termes, on obtient n × p termes (chacun des n nombres ai est multiplié par chacun des p nombres bj ). La première égalité de 2) est c Jean-Louis Rouget, 2016. Tous droits réservés.

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un cas particulier de 1) (p = n et pour tout i, bi = ai ). Dans la deuxième égalité, on a isolé les n termes ai × ai , ce qui permet déjà d’écrire n X

ai

i=1

!2

=

n X

a2i +

X

ai aj ,

i6=j

i=1

puis on a regroupé les termes égaux (a1 a2 + a2 a1 = 2a1 a2 et plus généralement, en imposant i < j, ai aj + aj ai = 2ai aj ).

Ainsi, par exemple, (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + ac + bc).

Généralisation.

Dans ce qui précède, on a fait varier le couple (i, j) dans le rectangle R = {(i, j) ∈ N2 / 0 6 i 6 n, 0 6 j 6 p} et on a noté X X X la somme correspondante. Quand p = n, au lieu de , on écrit plus simplement . Ainsi, 06i6n, 06j6p

X

06i6n, 06j6n

06i,j6n

ui,j = u0,0 + u1,0 + u0,1 + u1,1 .

06i,j61

Plus généralement, on peut faire varier le couple d’indices (i, j) dans un sous-ensemble D de l’ensemble des couples d’entiers X ui,j . compris entre 0 et n. La somme correspondante se note alors (i,j)∈D

Les situations les plus fréquentes sont

X

X

,

X

et

06i6j6n 06i<j6n

(souvent notée plus simplement

06i,j6n, i6=j

X

). Dans chacun

i6=j

des cas, il est indispensable de se représenter l’ensemble des couples (i, j) considérés, par exemple en visualisant un repère : 1 2 3

0 1 2 3

n

j

i<j i=j i>j

n i

Exercice 10. Ecrire les sommes suivantes en sommant en lignes et de même en sommant en colonnes X X 1) ij, 2) ij.

16i<j6n

16j6i6n

Solution 10. Soit n > 2. En sommant en lignes, on obtient     n−1 n n−1 n X X X X X  i 1) ij = ij = j, et 2)

16i<j6n

i=1

X

n X

ij =

16j6i6n

i=1

i=1 j=i+1  j=i+1   i n i X X X  i ij = j. j=1

i=1

j=1

En sommant en colonnes, on obtient ! ! j−1 j−1 n n X X X X X 1) ij = i , et ij = j 2)

16i<j6n

j=2

X

n X

16j6i6n

ij =

j=1

i=1  j=2  i=1  n n n X X X  j ij = i . i=j

j=1

j=i

Par exemple, pour écrire correctement la première somme, on a visualisé dans un tableau ou un repère l’ensemble des couples (i, j) tels que 1 6 i < j 6 n (ce qui se détaille en 1 6 i et i < j et j 6 n), on a fixé un i entre 1 et n − 1 (ces deux

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nombres sont obtenus en projetant sur l’axe des i le domaine considéré) puis on a fait varier j de i + 1 à n (ces nombres sont lus sur une « verticale »).

Exercice 11. Calculer les sommes suivantes : 1)

X

X

2)

ij,

16i<j6n

X

3)

i,

16i<j6n

ij

16i,j6n

Solution 11. Soit n ∈ N∗ .

1) X

ij =

16i<j6n

n−1 X i=1

1 = 2 =



i



n X

j =

j=i+1

n−1 X i=1

1 (i + 1 + n)(n − i) = i 2 2

n−1 X

−

3

i −

i=1

n−1 X

2

i + n(n + 1)

i=1

n−1 X i=1

i

!

(n − 1)2 n2 (n − 1)n(2n − 1) (n − 1)n2 (n + 1) − − + 4 6 2

(n − 1)n(3n2 + 5n + 2) (n − 1)n (−3(n − 1)n − 2(2n − 1) + 6n(n + 1)) = .

24 24

2) X

i=

16i<j6n

i=1

= X

3)

ij =

16i,j6n

n X

i

i=1

n−1 X

!2



i

n X

j=i+1



1 =

n−1 X

i(n − i) = n

i=1

n−1 X

i−

i=1

n−1 X

i2 =

i=1

n2 (n − 1) n(n − 1)(2n − 1) − 2 6

(n + 1)n(n − 1) n(n − 1)(3n − (2n − 1)) = .

6 6 =

n2 (n + 1)2 .

4

➱ Commentaire . ⋄ En 2), il faut comprendre que pour i et j donnés, ui,j = i. Ainsi, on a placé le nombre 1 dans toutes les cases de la première ligne, le nombre 2 dans toutes les cases de la deuxième ligne... ⋄ En 1), on aurait pu être plus astucieux. On a X X

X

ij =

ij +

X

X

ij +

n X

⋄ En 1) toujours, à la première étape, nous avons écrit

X 16i<j6n

i=1



pas j.

j=i+1



ij =

n−1 X i=1



i

i=1

16i,j6n

i2 =

i=1

16i<j6n

n X

n X

i

!2

.

ij et donc

2



ij =

16j<i6n

16i<j6n

n−1 X

X

ij =

i=j

16j<i6n

16i<j6n

Mais bien sûr,

X

ij +

n X j=i+1

Ensuite, nous avons écrit



j. Maintenant, dans

n X

j=i+1

j =

n X

n X i=1

ij =

i

!2

n−1 X i=1

. . ..



i

n X j=i+1



j ce qui peut se détailler en

X

ij =

16i<j6n

ij, la variable de sommation est j. On peut donc mettre i en facteurs mais

j=i+1

(i + 1 + n)(n − i) et pour ce faire, nous avons utilisé la formule fournissant une somme de 2

termes consécutifs d’une suite arithmétique donnée page 12.

2 2.1

Le binome de Newton Les coefficients binomiaux

Pour n ∈ N∗ , on pose n! = 1 × 2 × ... × n, et par convention, 0! = 1. n! est la factorielle de l’entier n. On peut également définir n! par récurrence : 0! = 1 et ∀n ∈ N, (n + 1)! = (n + 1) × n!. On doit connaître les premières factorielles : c Jean-Louis Rouget, 2016. Tous droits réservés.

19

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0! = 1

1! = 1 2! = 2

3! = 6 4! = 24

5! = 120 6! = 720 7! = 5040...

n Maintenant, pour n et p entiers naturels donnés, on définit le symbole (aussi noté Cp n ) par p

n! n n = si p 6 n et = 0 si p > n. p p!(n − p)! p Les définitions précédentes sont péremptoires et non motivées.

Ce problème sera réglé dans le chapitre « Dénombre n ments » où l’on donnera la signification du coefficient . La manipulation de ces coefficients appartient à une branche p des mathématiques appelée analyse combinatoire, qui est l’ensemble des techniques qui servent à dénombrer (ou plus simplement compter).

On doit déjà connaître en tant que telles les valeurs usuelles suivantes :

n n n n n n(n − 1) n ∗ . ∀n ∈ N, = = 1, ∀n ∈ N , = = n, ∀n > 2, = = 2 0 n 1 n−1 2 n−2 Sinon, les différentes propriétés de calculs des coefficients binomiaux sont regroupés dans l’encadré suivant : Théorème 4. p facteurs

}| { z n(n − 1)...(n − p + 1) n .

1) Pour n et p entiers naturels donnés tels que 1 6 p 6 n, = p p! n n 2) Pour n et p entiers naturels donnés tels que 0 6 p 6 n, = . p n − p

n−1 n−1 n 3) Pour n et p entiers naturels donnés tels que 1 6 p 6 n − 1, + = . p − 1 p p n n−1 n 4) Pour n et p entiers naturels donnés tels que 1 6 p 6 n, = , p p p−1

n n−1 et donc aussi p =n . p p−1 Démonstration . ! n...(n − p + 1)(n − p)...1 n...(n − p + 1) × (n − p)! n(n − 1)...(n − p + 1) n 1) = = = . p p!(n − p)! p!(n − p)! p! ! ! n n! n n! . = = = 2) p (n − p)!(n − (n − p))! (n − p)!p! n−p 3) n−1 p−1

4)

n p

!

!

+

n−1 p

!

(n − 1)! p.(n − 1)! (n − p) × (n − 1)! (n − 1)! + = + (p − 1)!(n − p)! p!(n − 1 − p)! p × (p − 1)!(n − p)! p!(n − p) × (n − 1 − p)! ! p × (n − 1)! + (n − p) × (n − 1)! n × (n − 1)! n! n = . = = = p!(n − p)! p!(n − p)! p!(n − p)! p

=

! n! n × (n − 1)! n n−1 = . = = p!(n − p)! p × (p − 1)!((n − 1) − (p − 1))! p p−1

❏

➱ Commentaire . ! n est fréquement meilleure que la première ⋄ La relation 1) fournit une écriture simplifiée du coefficient p !

8 = fournie car la fraction est simplifiée. On l’utilise systématiquement quand p prend une valeur précise petite. Par exemple, 2 ! n . Cette écriture de p

2 facteurs

8×7 = 28 et non pas 2

!

8!

8 = , ou aussi 2!6!

2

n 2

!

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z }| { n(n − 1) = et non pas 2

20

! n! n = . D’autre part, seule cette expression 2!(n − 2)!

2

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3 facteurs

de

n p

!

l’écriture

pourra se généraliser au cas où n n’est pas entier. Ainsi, on verra que 1 !

2

3!( 21 − 3)!

z }|

{ 1 1 1 ! −1 −2 2 2 2 1/2 = (alors que bien sûr, 3 3×2

n’a aucun sens).

⋄ La relation 2) montre la symétrie des coefficients binômiaux. Par exemple, n − p sont symétriques par rapport au nombre rationnel

!

8 = 2

8 6

!

ou

n car leur somme vaut p + (n − p) = n.

2

n 2

!

=

! n . Les entiers p et n−2

⋄ Les relations 3) et 4) permettent l’une ou l’autre de calculer les coeffcients binomiaux par récurrence. Dans les deux cas, si on connaît les coefficients de la ligne no (n − 1) du triangle de Pascal, on peut en déduire ceux de la ligne no n. La relation 3) est la relation de Pascal qui fournit la construction usuelle du triangle de Pascal (voir ci-dessous). Elle a un mérite supplémentaire par rapport à la relation 4) : elle n’utilise qu’une addition, cette opération étant réalisée plus rapidement par une machine qu’une multiplication et une division, opérations utilisées quant à elles en 4). ⋄ On a donné une variante de 4). La nuance entre les deux égalités est que la deuxième ne fait apparaître que des nombres entiers alors que la première fait apparaître des fractions. La deuxième égalité, sans fraction, se révèlera pratique à utiliser en arithmétique. ! ! ! n−1 n−1 n ⋄ On doit aussi noter que la relation 3) reste valable pour p > n. En effet, si p = n, + =1= , et si p > n, p−1 p p ! ! ! n n−1 n−1 . =0= + p p p−1

Triangle de Pascal

n , n étant un numéro de ligne et p un numéro de colonne. On démarre p la construction de ce tableau infini en plaçant des 1 dans les cases (0, 0), (1, 0), (2, 0),..., (k, 0)... et aussi (1, 1), (2, 2),...,

n n−1 (k, k). Puis on remplit le triangle ainsi formé grâce à la relation de Pascal. Le nombre est la somme de et p p

n−1 ou encore la somme des deux nombres de la ligne précédente situés juste au-dessus et au-dessus et à gauche. p−1 On représente dans un tableau les nombres

n 0

p

0

1

2

3

4

5

6

7

+

n−1 p

=

n p

1

1

1

1

2

1

2

1

3

1

3

3

1

4

1

4

6

4

1

5

1

5

10

10

5

1

6

1

6

15

20

15

6

1

7

1

7

21

35

35

21

7

n−1 p−1

1

Ce tableau que Blaise Pascal nommait le triangle arithmétique, n’a pas été découvert par Pascal lui-même mais, c’est le premier à l’avoir étudié de manière systématique. Il est d’une richesse infinie. Par exemple, • la somme des termes d’une ligne est une puissance de 2 (1 + 1 = 2, 1 + 2 + 1 = 4, 1 + 3 + 3 + 1 = 8,...). Ceci sera démontré plus loin.

• dans les lignes dont le numéro est un nombre premier (n = 2, n = 3, n = 5, n = 7, . . . ) tous les coefficients à l’exception du premier et du dernier sont divisibles par n (par exemple dans la ligne no 7, les nombres 7, 21 et 35 sont divisibles par 7). Ce résultat constitue un exercice classique d’arithmétique.

• Quand on additionne les nombres d’une colonne jusqu’à une certaine ligne, on trouve le coefficient situé à la ligne et à la colonne suivante. Par exemple, en descendant le long de la colonne no 2 et en s’arrêtant à la ligne no 5, on trouve 1 + 3 + 6 + 10 = 20 qui est le coefficient situé à la colonne no 3 et à la ligne no 6. Ce résultat est un exercice classique d’analyse combinatoire... c Jean-Louis Rouget, 2016. Tous droits réservés.

21

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2.2

La formule du binôme de Newton

Théorème 4 (formule du binôme de Newton). Soient a et b deux nombres complexes. Pour tout entier naturel n, on a n n X n n−k k X n k n−k (a + b) = a b = a b . k k n

k=0

k=0

➱ Commentaire . La formule ci-dessus appelle plusieurs commentaires. Tout d’abord, l’entier k varie de 0 à n (et non pas de 1 à n), et cette somme est donc constituée de n+ 1 termes et non pas de n termes ((a + b)1 contient deux termes, (a + b)2 contient trois

0 n termes...). Ensuite, les premiers et derniers termes sont n0 an b0 = an b0 et n a b = a0 bn . Ces termes devant par ailleurs être n n n a et b , on décide conventionnellement que pour tout nombre complexe z, on a z0 = 1, y compris quand z = 0. Cette convention

permet d’une part de donner du terme général de la somme une écriture unique : nk an−k bk et d’autre part, permet que la formule écrite soit valable dans les cas particuliers a = 0 ou b = 0. Par exemple, quand b = 0, l’expression bk vaut 0 quand k ≥ 1 et 1 quand

k = 0 de sorte que nk an−k bk vaut 0 quand k > 1 et an quand k = 0. Néanmoins, la convention z0 = 1 est très dangereuse quand z = 0 et source d’erreurs dans certaines situations, et on doit énormément s’en méfier.

Démonstration .

1

Le résultat est conventionnel quand n = 0. On le démontre par récurrence quand n > 1.

• Pour n = 1, (a + b) = a + b =

1 0

1 0

a b +

1 0 1 X a b =

1 1

k=0

!

1 1−k k a b . Le résultat est donc vrai pour n = 1. k

! n n−k k n • Soit n > 1. Supposons que (a + b) = a b . Alors, k k=0 ! ! n X n n−k k n+1 n (a + b) = (a + b)(a + b) = (a + b) a b (par hypothèse de récurrence) k k=0 ! ! ! ! n n n n X X n n−k k X n n+1−k k X n n−k k+1 n n−k k a b a b + a b = a b +b =a k k k k k=0 k=0 k=0 k=0 ! ! n n+1 X ′ ′ n n n+1−k k X = an−(k −1) bk (en posant k ′ = k + 1) a b + ′ −1 k k k=0 k ′ =1 ! ! n n X n n+1−k k X n n+1 =a + a b + an+1−k bk + bn+1 k k − 1 k=1 k=1 ! !! ! n n X X n + 1 n+1−k k n n n+1−k k n+1 n+1 n+1 a b + bn+1 a b +b =a + + =a + k k − 1 k k=1 k=1 ! n+1 X n + 1 n+1−k k = a b . k k=0 ! n X n n−k k ∗ n On a montré par récurrence que ∀n ∈ N , (a + b) = a b , le résultat restant vrai quand n = 0. D’autre part, k k=0 ! ! ! n n n X X n k n−k n n n−k k X a b . ❏ an−(n−k) bn−k = a b = k n − k k k=0 k=0 k=0 n X

n X n En remplaçant b par −b, on obtient (a − b) = (−1)k an−k bk . Dans la pratique, on aura souvent intérêt à ne k k=0 n X n n−k n n n pas utiliser cette formule. Par exemple, pour développer (2 − 1) , on écrira (2 − 1) = (2 + (−1)) = 2 (−1)k , k k=0 évitant ainsi des problèmes de signes dus à une mauvaise utilisation de la symétrie du binôme. n

Exercice 12. Calculer les sommes suivantes : 1)

n 2n n X X X n k 2n kπ n 2 , 2) (−1)k 2k−1 , 3) cos .

2 k k k

k=0

k=1

k=0

Solution 12. n n X n k X n k n−k 1) Soit n ∈ N. 2 = 2 1 = (1 + 2)n = 3n . k k k=0

k=0

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!

2n X

1 2n (−2 + 1)2n − 1 = 0. (−2)k − 1 = 2 k

2n 2n X 1 1 X 2n 2n k k−1 ∗ (−2)k = 2) Soit n ∈ N . (−1) 2 = 2 2 k k

k=0

k=1

k=1

3) Soit n ∈ N. n X n

k=0

n X n

kπ cos = Re k 2

eiπ/2

k

!

= Re

n

n

= Re einπ/4 eiπ/4 + e−iπ/4 1 + eiπ/2

k nπ nπ 1 n n √ . = 2n/2 cos = 2 cos 4 4 2 k=0

➱ Commentaire .

coefficient

Dans les trois cas, il s’agit de repérer le développement d’un binôme. Le 2) est le moins clair. C’est le qui nous guide et non pas les bornes du Σ. Ce coefficient nous dit de chercher un binôme d’exposant 2n.

2n k

Exercice 13. Quel est le coefficient de a4 b2 c3 dans le développement de (a − b + 2c)9 ?

Solution 13. La formule du binôme de Newton fournit

9 X 9 9 k 9−k 9 (a − b + 2c) = (a − b) (2c) = (a − b) + ... + (a − b)6 (2c)3 + ... + (2c)9 . k 6 9

k=0

6 X 6 k 6 4 2 a (−b)6−k = a6 − ... + a b − .. + b6 . k 4 k=0

9 6 3 9×8×7 6×5 2 = × × 23 = 3 × 4 × 7 × 3 × 5 × 8 = 10080.

Le coefficient cherché est donc 6 4 3×2 2 Ensuite, (a − b)6 =

➱ Commentaire . Cet exercice n’est pas anecdotique. Le moment venu, il faudra développer des expressions compliquées. Ceci sera fait en particulier dans les chapitres « Dénombrements », « Polynômes » et « Développements limités ».

Théorème 5. n X n 1) ∀n ∈ N, = 2n , k k=0 X n = 2) ∀n ∈ N∗ , 2k n 06k6 2

X

06k6 n−1 2

n = 2n−1 .

2k + 1

Démonstration . !

! n X n k n−k = 1 1 = (1 + 1)n = 2n . k k=0 k=0 ! ! ! n X X X n n k n ∗ (−1) . Alors, S1 − S2 = = (1 − 1)n = 0 (car n > 1), et S2 = 2) Soit n ∈ N . Posons S1 = 2k + 1 k 2k n−1 k=0 06k6 n 06k6 2 2 ! n X n et donc S1 = S2 . Puis 2S1 = S1 + S2 = = 2n , et donc S1 = S2 = 2n /2 = 2n−1 . k k=0 ❏ n X n 1) Soit n ∈ N. k

➱ Commentaire . La démonstration du 2) est peut-être plus lisible en détaillant les sommes considérées. On a écrit que ( et que

n 0

n 2

+

(

n 0

+

+

n 2

n 4

+

+ ...) − (

n 4

n 1

+

+ ...) + (

n 1

n 3

+

n 5

+

c Jean-Louis Rouget, 2016. Tous droits réservés.

n 3

+ ...) =

+

n 5

n 0

+ ...) =

23

n 1

−

n 0

+

+

n 1

n 2

+

n 3

−

n 2

+

+

n 3

n 4

+

n 5

−

n 4

+ ... = (1 − 1)n = 0

+

n 5

+ ... = 2n .

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Détaillons l’écriture de la somme S1 . Il n’est pas possible de préciser le dernier terme sans préciser la parité de l’entier n. Le terme

n général de la somme S1 s’écrit 2k où k est un entier naturel tel que 0 6 2k 6 n, ou encore 0 6 k 6 n2 . On a écrit ce dernier encadrement sous le symbole Σ ce qui signifie que k prend toutes les valeurs entières comprises entre 0 et n2 , sans nécessairement prendre la valeur n2 .

Exercice 14. (identités combinatoires)

n n n n n n 1) Calculer les sommes + + + ... et + + + ... pour n ∈ N. 0 3 6 0 4 8

n n n 2) Calculer la somme 0 × +1× + ... + n × .

0 1 n

p p+1 n n+1 3) Montrer que + ... + = où 0 6 p 6 n. Interprétation dans le triangle de Pascal ? p p p p+1 2 2 2 n n n 2n 4) Montrer que + + ... + = (utiliser le polynôme (1 + x)2n ).

0 1 n n Solution 14.

1) Soit n ∈ N. En posant j = e2iπ/3 (le nombre j est étudié dans le chapitre « Nombres complexes »), on a : n

n

2 n

(1 + 1) + (1 + j) + (1 + j ) =

n X n

k=0

k

3

Maintenant, puisque j = 1, • si k ∈ 3N, il existe p ∈ N tel que k = 3p et 1 + jk + j2k = 1 + j3

p

1 + jk + j2k .

+ j3

2p

• si k ∈ 3N + 1, il existe p ∈ N tel que k = 3p + 1 et 1 + jk + j2k = 1 + j j3 k

• si k ∈ 3N + 2, il existe p ∈ N tel que k = 3p + 2 et 1 + j + j n X X n

n k 2k =3 1+j +j . Par suite, Finalement, k 3k n k=0

2k

=1+j

2

j

p

= 3; + j2 j3

3 p

+j

4

2p

j

= 1 + j + j2 = 0 ;

3 2p

= 1 + j2 + j = 0.

06k6 3

X n 1 n 1 n n 1 n = = (2 + 2Re ((1 + j)n )) = 2n + (1 + j)n + 1 + j2 2 + 2Re −j2 3k 3 3 3 n

06k6 3

=

1 n nπ 2 + 2 cos .

3 3

De même, pour n ∈ N∗ , (1 + 1)n + (1 + i)n + (1 − 1)n + (1 − i)n =

n X n

k=0

k

Par suite,

X n

1k + ik + (−1)k + (−i)k = 4 .

4k n 06k6 4

√ n 1 X n 1 n 1 n = (2n + 2Re ((1 + i)n )) = 2 + 2Re 2n + 2 2 +1 Re einπ/4 = 2eiπ/4 4k 4 4 4 n

06k6 4

=

nπ 1 n n 2 + 2 2 +1 cos .

4 4

n X n k−1 k 2) 1ère solution. Pour x réel, posons P(x) = x . Pour x réel, k k=1

d P(x) = dx

! n X d n k x = ((1 + x)n ) = n(1 + x)n−1 . dx k

k=0

En particulier, pour x = 1, on obtient :

n X n k = n(1 + 1)n−1 = n2n−1 . k

k=1

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2ème solution.

X

n n n−1 X X n − 1 n n−1 k = n =n = n(1 + 1)n−1 = n2n−1 . k k−1 k k=1 k=1 k=0

p+k p+k+1 p+k p 3) Pour 1 6 k 6 n−p, = − (ce qui reste vrai pour k = 0 en tenant compte de = 0). p p+1 p+1 p+1 Par télescopage, on obtient alors

n−p n−p X p + k X p + k + 1 p + k n+1 n+1 =1+ − =1+ −1= . p p+1 p+1 p+1 p+1 k=0

k=1

Interprétation : quand on descend dans le triangle de Pascal, le long de la colonne dans le triangle de Pascal

p, du p p n+1 coefficient (ligne p) au coefficient (ligne n), et que l’on additionne ces coefficients, on trouve qui se p n p+1 trouve une ligne plus bas et une colonne plus loin.

2n 4) est le coefficient de xn dans le développement de (1 + x)2n . Mais d’autre part , n ! n ! n X X n n (1 + x)2n = (1 + x)n (1 + x)n = xk xk . k k k=0

k=0

n n 2 X X n n n n Dans le développement de cette dernière expression, le coefficient de x vaut ou encore . k n−k k k=0 k=0 X n 2 2n n Deux polynômes sont égaux si et seulement si ils ont mêmes coefficients et donc = . n k k=0

➱ Commentaire . Le 1) est un prolongement du théorème qui précède cet exercice. On veut calculer la somme des coefficients binomiaux de 2 en 2, de 3 en 3, de 4 en 4... La connaissance des racines k-èmes de l’unité dans C nous a guidé. Ces racines ont deux propriétés fondamentales. Tout d’abord, (−1)2 = 1, j3 = (j2 )3 = 1, i4 = (−1)4 = (−i)4 = 1... et de manière générale, si ω est une racine k-ème de 1, ωk = 1. Dans les développements de (1 − 1)n , (1 + j)n , (1 + i)n , on retrouve donc écrit un coefficient 1 de 2 en 2, de 3 en 3... Mais de plus, 1 − 1 = 0, 1 + j + j2 = 0, 1 + i − 1 − i = 0 ce qui a permis, par addition, d’éliminer les coefficients binomiaux indésirables.

2.3

Application à la trigonométrie

2.3.1

Linéarisation

Dans le chapitre « Nombres complexes », nous avons déjà vu des exemples de linéarisation. Nous pouvons maintenant passer au cas général. Pour n ∈ N, linéarisons l’expression cosn x. D’après les formules d’Euler, cosn x =

eix + e−ix 2

n

=

n n

1 X n 1 X n i(2k−n)x ix k −ix n−k e . e e = 2n 2n k k k=0

k=0

Si n est pair, on peut poser n = 2p où p est un entier naturel. En isolant le terme k = p et en regroupant les termes conjugués, on obtient :  

2p p−1 X X 2p 2p 2i(k−p)x 1 2p 2i(k−p)x  + e + cos2p x = 2p  e 2 p k k k=p+1

=

1 22p

=

1 22p

= Ainsi,

1 22p

k=0

!

X p p X ′′ ′ 2p 2p 2p e−2ik x (en posant k ′ = k − p et k ′′ = p − k) e2ik x + + p − k ′′ p + k′ p ′′ ′ k =1 k =1 !

X

p p X 2p 2p 2p 2p 2p 2ikx −2ikx + e + ( = car p + k + p − k = 2p) e p p+k k+p k−p p−k k=1 k=1 ! !

X

p p X

1 2p 2p 2p 2p 2ikx −2ikx + = 2p +2 cos(2kx) . e +e 2 p p+k p p+k k=1

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k=1

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∀p ∈ N, ∀x ∈ R, cos

2p

1 x = 2p 2

!

p X 2p 2p +2 cos(2kx) . p p+k k=1

Pour comprendre complètement le calcul ci-dessus, il faut le refaire en écrivant explicitement beaucoup de termes du début, du milieu et de la fin.

Le cas où n est impair se traite de manière analogue (il n’est pas besoin dans ce cas d’isoler un terme), de même que la linéarisation de sinn x.

On rappelle qu’il est indispensable de savoir linéariser pour savoir intégrer (et même dériver) correctement des expressions trigonométriques, le moment venu. La maîtrise parfaite de l’exercice ci-dessous est un objectif essentiel.

Exercice 15. Linéariser les expressions suivantes : 1) cos4 x, 2) sin5 x, 3) cos3 x sin4 x, 4) cos3 x sin3 x.

Solution 15. Soit x ∈ R. ix 4 3 4 3 2 −2ix 2 e + e−ix 1 ix 4 cos4 x = = e + 4eix e−ix + e−ix e + 4 eix e−ix + 6 eix 2 16 1 1 4ix = e + e−4ix + 4(e2ix + e−2ix ) + 6 = (cos(4x) + 4 cos(2x) + 3).

16 8 1 et en même temps développé le binôme. A la 24 deuxième étape, on a regroupé les termes conjugués. A la troisième étape, on a utilisé eiθ + e−iθ = 2 cos θ puis on a simplifié ce 2 et prenant garde au coefficient isolé, qui lui n’avait pas été doublé avant.

➱ Commentaire . A la première étape du calcul, on a tout de suite isolé

5

1 eix − e−ix = e5ix − e−5ix − 5 e3ix − e−3ix + 10 eix − e−ix sin x = 2i 32i 1 = (sin(5x) − 5 sin(3x) + 10 sin(x)).

16 5

➱ Commentaire . Ici, il ne faut pas oublier le nombre i : sin θ =

1 iθ (e + e−iθ ) et eiθ + e−iθ = 2i sin θ.

2i

1 1 (e3ix + 3eix + 3e−ix + e−3ix )(e4ix − 4e2ix + 6 − 4e−2ix + e−4ix ) 23 (2i)4

1 = 7 e7ix + e−7ix − e5ix + e−5ix − 3 e3ix + e−3ix + 3 eix + e−ix 2 1 = (cos(7x) − cos(5x) − 3 cos(3x) + 3 cos(x)).

64

cos3 x sin4 x =

➱ Commentaire . Ici, il faut développer complètement l’expression avant de repasser en sinus et cosinus.

3

3

1 1 1 1 sin(2x) = 3× e2ix − e−2ix = 3 × e6ix − e−6ix − 3 e2ix − e−2ix 3 3 2 2 (2i) 2 (2i) 1 1 1 = 3× (2i sin(6x) − 3 × 2i sin(2x)) = (− sin(6x) + 3 sin(2x)).

2 (2i)3 32

cos3 x sin3 x =

➱ Commentaire . Dans les quatre cas, la parité de la fonction était une aide précieuse dans les calculs. En 1) et 3), les fonctions considérées sont paires et on peut démontrer que le développement ne peut contenir que des cosinus. De même, les fonctions de 2) et 4) sont impaires et le développement ne peut contenir que des sinus.

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26

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2.3.2

Polynômes de Tchebychev

Pour n entier naturel donné, cherchons à exprimer cos(nx) comme une expression polynomiale en cos x.

inx

cos(nx) = Re e =

= Re

ix n

e

n X n

n

= Re ((cos x + i sin x) ) = Re

k

k=0

n−k

cos

k

x(i sin x)

!

X X n n cosn−2l x(i)2l (sin2 x)l = cosn−2l x(1 − cos2 x)l . (−1)l 2l 2l n n 0≤l≤ 2

06l6 2

Ainsi, si pour tout réel X, on pose X

Tn (X) =

(−1)k

06k6 n 2

n Xn−2k (1 − X2 )k , 2k

alors, pour tout réel x, on a Tn (cos x) = cos(nx). Tn est le n-ème polynôme de Tchebychev de première espèce. Ceux-ci seront étudiés en détail dans le chapitre « Polynômes ».

Pour 0 6 n 6 3, on obtient en particulier ∀X ∈ R, T0 (X) = 1, ∀X ∈ R, T1 (X) = X, ∀X ∈ R, T2 (X) = 2X2 − 1, ∀X ∈ R, T3 (X) = 4X3 − 3X.

3

Le symbole Π

Si (un )n∈N est une suite de nombres complexes, pour p et n entiers naturels tels que p 6 n, on note

n Y

uk le produit

k=p

up × up+1 × ... × un . Ainsi, p Y

k=p

uk = up et ∀n > p,

Par exemple, pour n > 1, on peut écrire n! =

k=1

usuelles sont les suivantes : 1)

n Y

n Y

k=p



uk vk = 

n Y

k=p

uk  

n Y

k=p

2) 

k=p



uk = 

n Y

k=p



uk  × un+1 .

k ou aussi, pour n > 1 et a ∈ C, an =

 

n+1 Y

n Y

k=p



vk  et α

uk  =

n Y

(λuk ) = λn−p+1

k=p n Y

n Y

n Y

a. Les règles de calculs

k=1

uk .

k=p

uα k.

k=p

On dispose aussi d’une formule sur les produits télescopiques pour une suite (un )n∈N ne s’annulant pas : n−1 Y k=p

uk+1 un « extrémité » = (= ). uk up « origine »

Enfin, les fonctions exponentielles et logarithmes permettent de relier les sommes et les produits (la première formule est valable pour une suite de réels strictement positifs uniquement) : 

ln 

n Y

k=p



uk  =

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n X

ln(uk ) et

k=p

n Y

Pn

euk = e

k=p

uk

.

k=p

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Exercice 16. Calculer :

n Y 1 1) 1+ k k=1

2)

n X

k=1

a ln cos k où a est un réel donné élément de ]0, π[ puis déterminer 2

lim

n→+∞

n X

k=1

a ln cos k .

2

Solution 16 Y n n Y 1 k+1 n+1 1) Soit n ∈ N .

1+ = = = n + 1 (produit télescopique). k k 1 k=1 k=1 i πh a 2) Soient n ∈ N∗ et a ∈]0, π[. Puisque a ∈]0, π[, pour k > 1, k ∈ 0, . Par suite, pour tout k compris entre 1 et n, 2 2 a cos k > 0. On en déduit que la somme proposée est parfaitement définie.

2 i πh sin(2x) a (sin x étant non nul). Pour x = k , on Ensuite, pour x ∈ 0, , on a sin(2x) = 2 sin x cos x et donc, cos x = 2 2 sin x 2 a sin(a/2k−1 ) obtient en particulier cos k = et donc : 2 2 sin(a/2k ) ∗

n X

k=1

a ln cos k = ln 2

= ln

n Y

k=1

a cos k 2

!

= ln

k=1

sin a 2n sin(a/2n )

sin x = 1. Par suite, x→0 x 1 sin a sin a . Finalement, tend vers a sin(a/2n ) a a/2n

Maintenant, on sait que lim

lim

n→+∞

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n Y sin(a/2k−1 ) 2 sin(a/2k )

!

= ln

n Y 2k−1 sin(a/2k−1 ) 2k sin(a/2k )

k=1

!

(produit télescopique).

sin a sin(a/2n ) = 1 et donc, quand n tend vers +∞, n = n→+∞ a/2n 2 sin(a/2n ) lim

n X

k=1

a sin a . ln cos k = ln 2 a

28

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