Cours 4ème by M. LENZEN

   Cours de Mathématiques  Classe de 4ème             Année scolaire 2008/2009 M. LENZEN

SOMMAIRE I. Nombres relatifs ....................................................................................................... 1 rappels (+, –, priorités de  et ÷), multiplication des nombres relatifs, initiation aux équations

II. Droites remarquables du triangle ..................................................................... 5 médianes, médiatrices, hauteurs, bissectrices, exemple de démonstration

III. Les fractions (partie 1) ........................................................................................ 7 inverse d’un nombre, quotient de deux nombres, rappels de 5ème (simplification, dénominateur commun)

IV. Le théorème de Pythagore .................................................................................. 9 vocabulaire, calculs posés, problèmes

V. Les puissances (partie 1) .................................................................................... 11 écriture, opérations sur les puissances

VI. Triangle rectangle, distance & cercle ............................................................ 13 propriété du cercle circonscrit à un triangle rectangle, distance d’un point à une droite, tangente à un cercle

VII. Les puissances (partie 2) ................................................................................. 16 écriture, opérations sur les puissances de 10, une nouvelle notation (scientifique), ordre de grandeur

VIII. Triangle rectangle ou non ? ........................................................................... 19 introduction, la réciproque de théorème de Pythagore, exercices

IX. Parenthèses & calcul littéral ............................................................................ 21 introduction au calcul littéral, la distributivité, réductions, double distributivité

X. Les théorèmes des milieux ................................................................................. 23 en hypothèse : deux milieux, en hypothèse : un milieu et deux droites parallèles

XI. Les fractions (partie 2)....................................................................................... 26 additions et soustractions de fractions, multiplication de fractions, division de fractions, calculs mêlés

XII. Le théorème de Thalès...................................................................................... 28 exemple d’introduction, le théorème de Thalès

XIII. Équations ............................................................................................................. 30 notion d’équation, résolution d’équations, problèmes

XIV. Le cosinus............................................................................................................. 34 cosinus et triangle rectangle, fonctions

sur la calculatrice, applications du cosinus

XV. Proportionnalité ................................................................................................. 36 rappels de 5ème, pourcentage ou indice 100, vitesse moyenne, exercice résolu

XVI. Espace ................................................................................................................... 39 la pyramide, le cône de révolution, volumes (avec rappels des formules d’aires)

XVII. Statistiques ........................................................................................................ 44 moyenne pondérée, effectifs & fréquences cumulé(e)s

XVIII. Ordre .................................................................................................................. 46 signe d’une différence, ordre et opérations, approximation d’un nombre, initiation aux inéquations

Chapitre 1 Nombres relatifs I.

Rappels 1. Additions et soustractions de nombres relatifs On les introduit sous forme de jeu avec gain ou perte d’argent : Opération décomposée 4 – 12 +4 –12 –8+9 –8 +9 –4–3 –4 –3 7+2 +7 +2 9 – (– 11) +9 +11 – 20 + (– 13) –20 –13 –(+ 8) + (+ 12) –8 +12 3–7+4–8+2 +3 –7 +4 –8 +2 4 – (– 5) + (– 3) – (– 2) +4 +5 –3 +2 Opération

Jeu G=4 P=8 P=4 G=7 G=9 P = 20 P=8 G=9 G = 11

P = 12 G=9 P=3 G=2 G = 11 P = 13 G = 12 P = 15 P=3

Résultat du jeu P=8 G=1 P=7 G=9 G = 20 P = 33 G=4 P=6 G=8

Résultat de l’opération –8 1 –7 9 20 – 33 4 –6 8

Pour passer de la colonne « Jeu » à « Résultat du jeu », on peut imaginer la situation suivante pour le premier exemple : “j’ai 100 € dans ma poche avant le jeu. J’en gagne 4, j’en ai donc 104 après la première manche. J’en perds ensuite 12, il m’en reste donc 104 – 12 = 92 à la fin du jeu. Au final, j’en avais 100 et il m’en reste 92, c’est que j’en ai perdu 8.” Exercice 1 : Effectuer les calculs suivants : A = 5 + 18 – 14 + 3 – 9 B = (2 – 8) + (– 15 + 4) C = – 15 – (7 – 18) + (14 – 16). 37, 38, 39 p. 25 43, 44 p. 25

2. Priorité de la multiplication et de la division Activité 1 : Effectuer les calculs suivants : A=7–48 B = 15 – (7 + 8  2) ÷ 10. 10 à 14 p. 23 41, 42 p. 25

II. Multiplication des nombres relatifs 1. Produit de deux nombres Exemples : 3  4 = 12 3  (– 4) = – 12 (– 3)  4 = – 12 (– 3)  (– 4) = 12

Chapitre 1 : Nombres relatifs

+ par + devient + + par – devient – – par + devient – – par – devient +

Règle des signes (1ère version)

MATHS ,

Découverte par le français Nicolas Chuquet (1445-1500).

La règle des signes ne s’applique que lorsque : - deux signes se suivent, - deux nombres se multiplient (ou se divisent). Ne pas confondre : – 2 – 3 = – 5 (soustraction de – 2 par 3) et (– 2)  (– 3) = 6 (multiplication de – 2 et de – 3).

1 à 6 p. 22

2. Produit de plusieurs nombres Exemples :

(–3)  4  (– 5) = 60 (–3)  (– 4)  (– 2) = – 24 (– 3)  (– 2)  (– 2)  (– 4)  5 = 240 (– 1)  (– 1)  (– 1)  (– 1)  (– 1) = – 1

2 facteurs 3 facteurs 4 facteurs 5 facteurs

– deviennent + – deviennent – – deviennent + – deviennent –

Règle des signes (2ème version) Lorsqu’on multiplie plusieurs nombres relatifs entre eux : - s’il y a un nombre pair de facteurs négatifs, alors le produit est positif, - s’il y a un nombre impair de facteurs négatifs, alors le produit est négatif.

Exercice 2 : Quel est le signe du nombre (– 15) (– 2,5)  (– 8,3)  7  (– 14,65) ? Comment finir le calcul (sans le faire) ? 7 p. 22 48 à 51 p. 25

Chapitre 1 : Nombres relatifs

3. Nombres au carré et nombre au cube On rappelle que : - élever un nombre au carré (par exemple 4) revient à le multiplier par lui-même et élever ce nombre au cube revient à le multiplier par son carré. De manière générale, an = a  a  ···  a -

n fois le carré, tout comme le cube, ne s’applique qu’à ce qui se trouve immédiatement avant lui : si c’est une parenthèse, il s’applique à toute la parenthèse, sinon il s’applique juste au nombre se trouvant immédiatement devant lui. Activité 2 : Effectuer les calculs suivants : A = (– 7)2 B = (– 2)3 C = – 52 D = 3  (– 3)3. sans rapport : 64, 65, 68 p. 26

III. Initiation aux équations 1. Vocabulaire

Définitions INCONNUE : c’est une lettre qui cache un nombre cherché. →x

ÉQUATION : c’est une opération « à trous » dont les « trous » sont simplement remplacés par une inconnue. → 10x – 2 = 2x + 3

RÉSOUDRE UNE ÉQUATION : c’est chercher et trouver le nombre caché sous l’inconnue. SOLUTION : c’est le nombre caché sous l’inconnue. → x = 0,625

VÉRIFICATION : c’est vérifier rapidement que la solution trouvée est la bonne. → 10  0,625 – 2 = 6,25 – 2 = 4,25  2  0,625 + 3 = 1,25 + 3 = 4,25 

donc 0,625 est bien solution.

Exercice 3 : Vérifier si 14 est solution de l’équation 4(x – 2) = 3x + 6. 46, 47 p. 25 90, 91 p. 28

2. …en fonction de… Cela revient à diviser par 10 dans un premier temps, puis multiplier par 2 dans un second temps. Activité 3 : Une carte d’abonnement pour le cinéma coûte 10 €. Avec cette carte, le prix d’une entrée est de 4 €. 1. Calculer le prix à payer pour 2, puis 3, et enfin 10 entrées. 2. Soit x le nombre d’entrées. Exprimer en fonction de x le prix à payer : a) pour x entrées, sans compter le prix de l’abonnement, b) pour x entrées, en comptant le prix de l’abonnement.

Chapitre 1 : Nombres relatifs

3. Quelques équations simples Activité 4 : Résoudre les équations suivantes (selon une méthode de votre choix, même en essayant plusieurs valeurs, éventuellement négatives, à la calculatrice) : 1. 2 + x = 3 4. 10 – x = 8 2. 3 – x = 1 5. 2x – 1 = 2 – x 3. 4 + x = 4 6. 3x + 10 = 2 – x

Chapitre 1 : Nombres relatifs

Définitions

Chapitre 2 Droites remarquables du triangle Médiatrices

Médianes

Hauteurs

Bissectrices

La médiatrice d’un segment est la droite perpendiculaire à ce segment et qui passe par son milieu

Dans un triangle, une médiane est un segment qui joint un sommet au milieu du côté opposé.

Dans un triangle, une hauteur est une droite qui passe par un sommet et qui est perpendiculaire au côté opposé.

La bissectrice d’un angle est la droite qui le partage en deux angles de même mesure.

Figures

J O

G C

H I

Points de concours

Centre du cercle circonscrit au triangle

Centre de gravité

Orthocentre

Découvert par Thalès et démontré par Euclide

Propriété des « 2/3 – 1/3 » : Propriétés

OA = OB = OC Le point de concours des médiatrices est équidistant des trois sommets du triangle.

GA = 2  GI GB = 2  GJ GC = 2  GK Le centre de gravité est situé au 2/3 de chaque médiane à partir du sommet.

Théorèmes 1.

 médiatrices médianes Dans un triangle, les trois  hauteurs sont concourantes.  bissectrices

2. Dans un triangle isocèle, la médiane, la hauteur et la bissectrice issues du sommet principal sont confondues avec la médiatrice du côté opposé. 3. Dans un triangle équilatéral, le centre du cercle circonscrit, le centre de gravité, l’orthocentre et le contre du cercle inscrit sont confondus.

Chapitre 2 : Droites remarquables du triangle

Centre du cercle inscrit dans le triangle

Activité 1 (exemple de démonstration) : ABC est un triangle. I est le milieu de [AB] et J celui de [AC]. Les segments [BJ] et [IC] se coupent en K. Démontrer que la droite (AK) coupe le segment [BC] en son milieu. Hypothèses : 1. I est le milieu de [AB] 2. J est le milieu de [AC] 3. [BJ] et [IC] se coupent en K. Démonstration : Par hypothèse, I est le milieu de [AB] (1.) et J est le milieu de [AC] (2.), donc [BJ] et [CI] sont des médianes du triangle ABC. Elles se coupent en K (3.) qui est le centre de gravité du triangle. Dans un triangle, les médianes sont concou-rantes, donc [AK] est la troisième médiane du triangle, et donc (AK) coupe [BC] en son milieu.

A J

I K B

Exercice 1 : ACGL est un rectangle de centre O. La médiatrice de [AG] coupe la droite (AC) en E et la droite (CG) en F. Démontrer que (GE) et (AF) sont perpendiculaires.

Exercice 2 : LOSA est un losange de centre N. La perpendiculaire à (LO) passant par A coupe la droite (LN) en H. Démontrer que (HO) est perpendiculaire à (LA).

Chapitre 2 : Droites remarquables du triangle

Chapitre 3 Les fractions (partie 1) I.

Inverse d’un nombre Exemples : L’inverse de…

0,4

1 2

est…

1 x

1 3

1 2

1 0,4

1 7

x

produit

1 x

7 12 12 7

1 21

---

Remarques : 1. Le nombre « 0 » n’a pas d’inverse : en effet, il est strictement de diviser par 0 ; 1 2. n’est pas une fractionnaire, mais un quotient. Pour avoir une fraction, il faut transformer 0,4 l’écriture pour ne plus avoir de virgule : 1 10 5 = = . 0,4 4 2

Définition 1 L’inverse d’un nombre x différent de 0 est . x

Propriété 1 Deux nombres sont inverse l’un de l’autre si leur produit est égal à 1. Remarque : Cela signifie qu’on pourrait échanger les deux cases « L’inverse de… » et « est… » sans aucune modification dans le tableau.

Activité 1 : Les nombres 3 et 0,333 sont-ils inverses l’un de l’autre ? 51 à 54 p. 44 77, 78 p. 46

II. Quotient de deux nombres 1. Exemples 2 ÷ 5 = 0,4 1 2  = 0,4 5

4 ÷ 8 = 0,5 1 4  = 0,5 8

3 ÷ 2 = 1,5 1 3  = 1,5 2

34, 35 p. 86 (avec – ‼) 38, 40 p. 87

Propriété 2 Diviser par un nombre, c’est multiplier par son inverse. 18, 19 p. 195

Chapitre 3 : Les fractions (partie 1)

2. Règle des signes Puisque « diviser, c’est multiplier », la règle des signes s’applique aussi aux divisions.

Propriété 3 La règle des signes s’applique aussi à la division, en particulier aux fractions. Exercice 1 : Grâce à la règle des signes, trouver d’autres écritures : –4 1. = . –5 –4 2. = = . Faire les calculs si nécessaire pour s’en convaincre ! 5

Propriété 4 –a a = –b b

–a a a = =– . b –b b

Exercice 2 : Effectuer les calculs suivants : –8 –8–2 1. 3. –4 –2 45 – 3  (– 4) 2. 4. – –5 – 12 10 à 14 p. 41 : déterminer le signe

III. Rappels de 5ème 1. Simplification de fractions 1470 ? 1680 On cherche d’abord une table de multiplication commune au numérateur et au dénominateur : ici, on trouve par exemple 10. On divise alors numérateur et dénominateur par ce nombre, et on recommence avec a nouvelle fraction obtenue : Comment simplifier la fraction

 10

3

7

1470 147 49 7 = = = . 1680 168 56 8  10

3

7

37, 38, 39 p. 43

2. Mettre des fractions sur un même dénominateur Exercice 3 : Mettre au même dénominateur les deux couples de fractions cidessous : 4 –5 5 5 1. et 2. et 7 35 8 – 12 40, 41 p. 43

Chapitre 3 : Les fractions (partie 1)

Chapitre 4 Le théorème de Pythagore Pythagore de Samos (–569 à –475) a fondé l’école pythagoricienne (à Crotone, en Italie du Sud). Le ème théorème de Pythagore, bien connu des élèves de 4 , n’est en fait pas une découverte de Pythagore, il était déjà connu par les chinois et les babyloniens 1000 ans avant lui. Pythagore (ou ses disciples) aurait découvert la formule générale. Les Égyptiens connaissaient aussi le théorème. Ils utilisaient la corde à 13 nœuds (régulièrement répartis) qui, une fois tendue, formait le triangle rectangle « 3 – 4 – 5 » et permettait d’obtenir un angle droit entre deux « longueurs ». Corde qui sera encore utilisée par les maçons du XXè siècle pour s’assurer de la perpendicularité des murs.

Racine carrée d’un nombre Exemples : 5 25

7 49

3,1 9,61

6 36

7 49

2,36 5,5696

2,3 5,29

Exercice 1 : Dans chaque cas, trouver le nombre qui vérifie l’égalité demandée : 1. x2 = 81 2. y2 = 5,5225 3. z2 = 14 26, 27 p. 211

II. Le théorème Exemples : ABC est un triangle rectangle en A. BC2 = 52 = 25 BA2 + AC2 = 32 + 42 = 9 + 16 = 25.

B 5 3

On constate que BC2 = BA2 + AC2.

EDF est un triangle rectangle en D. EF2 = 132 = 169 ED2 + DF2 = 122 + 52 = 144 + 25 = 169.

F 13 5

On constate que EF2 = ED2 + DF2.

Animation : http://www.col-camus-soufflenheim.ac-strasbourg.fr/telech/Pythagore.html

Chapitre 4 : Le théorème de Pythagore

Théorème de Pythagore -

Si le triangle ABC est rectangle en A, alors : BC2 = BA2 + AC2. Dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Démonstration animée : http://www.amicollege.com/maths/docudyna/cabri.php?nom=pythago2&id=M.LENZEN

Activité 1 (le côté à calculer est l’hypoténuse) : ABC est un triangle rectangle en A tel que AB = 6 cm et AC = 9 cm. Calculer BC. Donner la valeur exacte et un arrondi au dixième de cm. B ?

Activité 2 (le côté à calculer n’est pas l’hypoténuse) : CDE est un triangle rectangle en C tel que CE = 5 cm et ED = 8 cm. Calculer CD. Donner la valeur exacte et un arrondi au dixième de cm. E 8

Activité 1 : Je sais que le triangle ABC est rectangle en A. Son hypoténuse est donc le côté [BC]. D’après le théorème de Pythagore, 2 2 2 BC = BA + AC 2 2 2 BC = 6 + 9 2 BC = 36 + 81 2 BC = 117 BC = 117 cm  10,8 cm. Activité 2 : Je sais que le triangle CDE est rectangle en C. Son hypoténuse est donc le côté [ED]. D’après le théorème de Pythagore, 2 2 2 ED = EC + CD 2 2 2 8 = 5 + CD 2 64 = 25 + CD – 25 – 25 2 64 – 25 = CD 2 CD = 39 CD = 39 cm  6,2 cm. 1 à 6 p. 208 28, 29, 30, 32 p. 212

Chapitre 4 : Le théorème de Pythagore

Chapitre 5 Les puissances (partie 1) I.

Écriture 1. Exemples et définition 3 à la puissance 4 4 3 3333 81

5 à la puissance 3 3 5 555 125

0 à la puissance 4 4 0 0000 0

1 à la puissance 5 5 1 11111 1

9 à la puissance 1 1 9 9 9

–3 à la puissance 4 4 (– 3) (– 3)  (– 3)  (– 3)  (– 3) 81

Formule a4 = a  a  a  a,

ou plus généralement : an = a  a  ⋯  a n fois

2. Cas particuliers

Formules    

a1 = a a0 = 1 0p = 0 1p = 1

pour tout nombre a, pour tout nombre a (admis pour l’instant), pour tout nombre p, pour tout nombre p.

3. Attention aux signes !!! Ne pas confondre : (– 3)4 = (– 3)  (– 3)  (– 3)  (– 3) = 81 et : – 34 = – 3  3  3  3 = – 81.

Rappel : La puissance ne concerne que ce qui se trouve immédiatement devant elle :  si c’est une parenthèse, toute la parenthèse est concernée,  sinon, c’est uniquement le nombre juste devant a puissance qui est concerné.

Exercice 1 : Calculer (en s’aidant de la règle des signes) : (– 5)2 ; – 14 ; (– 1)4 ; – 33 ; (– 2)3 ; – 72 ; (– 9)0 ; – 90. 40, 45 p. 61

Chapitre 5 : Les puissances (partie 1)

II. Opérations sur les puissances 1. Formulaire (sur des exemples)

Formulaire    

a4 = a  a  a  a, a1 = a ; 17 = 1 ; 08 = 0 ; a0 = 1, 1 1 a–1 = ; a–8 = 8 , a a 6 a5 a3  a4 = a3 + 4 ; 3 = a5 – 3 ; (a2) = a2  6 ; a4  b4 = (a  b)4. a

Exercice 2 : Exprimer sous la formule d’une seule puissance : 6 54 A = 45  47 B= 6 C = 73  (78) D = 67  69. 5 1 à 11 p. 58 41, 47, 48 p. 61 58 à 64 p. 62

2. Démonstration des formules a) a3  a4 = a  a  a  a  a  a  a = a7, et a3 + 4 = a7, donc on a bien a3  a4 = a7. a5 a  a  a  a  a a  a 2 a5 b) = = a , et a5 – 3 = a2, donc a bien 3 = a2. 3 = a aaa 1 a 2 a Conséquence : a0 = a2 – 2 = 2 = 1. a 2 6 2 2 2 2 2 c) (a ) = a  a  a  a  a  a2 = a  a  a  a  a  a  a  a  a  a  a  a = 6 a12, et a2  6 = a12, donc on a bien (a2) = a12. 4 4 d) a  b = a  a  a  a  b  b  b  b, et (a  b)4 = a  b  a  b  a  b  a  b = a  a  a  a  b  b  b  b, donc on a bien a4  b4 = (a  b)4. a0 1 1 e) a–8 = a0 – 8 = 8 = 8 , donc on a bien a–8 = 8 a a a

Chapitre 5 : Les puissances (partie 1)

Chapitre 6 Triangle rectangle, distance & cercle I.

Propriété du cercle circonscrit à un triangle rectangle 1. Propriété

Propriété 1 Si un triangle est rectangle, alors le milieu de l’hypoténuse est équidistant des trois sommets :

Découverte par Thalès, voir chapitre 16.

1 à 7 p. 172

2. La propriété réciproque

Propriété 2 Si un triangle est inscrit dans un cercle dont un diamètre est un côté du triangle, alors ce triangle est rectangle :

8 à 13 p. 173

II. Distance d’un point à une droite Méthode

La distance AH est appelée distance du point A à la droite d.

H A

Chapitre 6 : Triangle rectangle, distance & cercle

Définition H est appelé le pied de la perpendiculaire à la droite d passant par A : le point H est le point de la droite d qui est « le plus près » du point A. 14 à 17 p. 193

III. Tangente à un cercle 1. Définition

Définition Une tangente à un cercle est une droite qui « touche » ce cercle en un point et un seul : M

Vient du latin « tangĕre » = toucher.

2. Construction

Propriété 3 La tangente à un cercle c en un point M de ce cercle est la perpendiculaire au rayon en ce point :

M Méthode découverte par Euclide.

Chapitre 6 : Triangle rectangle, distance & cercle

18 à 21 p. 193

IV. Exercices Exercice 1 : Calculer les longueurs des côtés du triangle ABC. Donner la valeur exacte ou, si besoin, un arrondi au dixième de cm.

Exercice 2 : Calculer, dans cet ordre, les longueurs OB, OC, OH, HC, BH, AC et AB. Donner la valeur exacte ou, si besoin, un arrondi au dixième de cm.

6 cm 5 cm

4 cm

B O

3 cm

Exercice 3 : Construire un triangle ABC rectangle en A tel que AB = 4,8 cm et AC = 3,6 cm. Marquer le milieu I du côté [BC]. Calculer les longueurs BC et AI. Arrondir au centième de cm.

Chapitre 6 : Triangle rectangle, distance & cercle

Chapitre 7 Les puissances (partie 2) I.

Écriture Exemples : 1. 105 = 10  10  10  10  10 = 100 000

(1 suivi de 5 zéros)

2. 10 = 10  10  10 = 1 000 1 1 3. 10–4 = 4 = = 0,000 1 10 10 000

(1 suivi de 3 zéros)

(1 précédé de 4 zéros)

Activité 1 : Écrire sous forme décimale les puissances de dix suivantes : 106 ; 10–7 ; 10–12 ; 100 ; 108.

II. Opérations sur les puissances de 10 Formulaire (sur des exemples)

Formulaire  

105 = 10  10  10  10  10, 1 106 = 1 000 000 ; 10–7 = 7 ; 10–5 = 0,000 01, 10 6 zéros



10  10 = 10 3

3+4

5 zéros 4 102 ; 8 = 102 – 8 = 10–6 ; (103) = 103  4 = 1012. 10 65, 67, 68, 69 p. 62

III. Une nouvelle notation 1. Changements d’écriture Activité 2 : 1. Exprimer sous forme décimale les nombres suivants : 3,25  105 ; 42,125  108 ; 1 589,2  10–4. 2. Compléter : 8,426 4  10… = 8 426,4 ; ……,…  10–3 = 0,125 8 ; 4 587,2  10…… = 45, 872. 54, 55, 56 p. 61

2. La notation scientifique Exemples :

7,328  105

12,2  104

0,2  10–1

1  1014

24,45  10–5

2,1  1047

9,99  10–7

0,99  10–6

Chapitre 7 : Les puissances (partie 2)

Définition La notation scientifique :

7,328  105 



un seul chiffre compris entre 1 et 9 (inclus)



une puissance de 10

Exercice 1 : Donner la notation scientifique des nombres suivants : A = 8 300 000, B = 0,000 000 456, C = 0,002 31, D = 147,3  105, E = 0,012 5  10–2. 3. La notation scientifique sur la calculatrice Pour que la TI-Collège affiche automatiquement tout nombre ou calcul sous forme scientifique, il faut activer le mode « SCI », et le désactiver quand on veut à nouveau un affichage normal : • activation :    mettre le curseur sous  • désactivation :    mettre le curseur sous  Remarque : En mode scientifique, un petit « SCI » est affiché en-bas à gauche de l’écran de la calculatrice.

Écriture scientifique / Affichage

Opération 850 000  450 000

10

8 500  7 200  2 500

10 – 10

57 ÷ 2 000 000 ÷ 2 000 000 250  6 500  9 200

10 – 10

63 ÷ 300 000 ÷ 500 000

Écriture entière 382 500 000 000 153 000 000 000 0,000 000 000 014 25 14 950 000 000 0,000 000 000 42

Exercice 2 : À l’aide de la calculatrice, effectuer les opérations suivantes et donner le résultat sous forme scientifique : 1. 2,32  105  3,14  103 2. 4,12  1012 + 3,11  1011 24

3. 3,125  10

– 3,125  10

4. 78,34  10

–7

5. 9,82  10

–8

 6,18  10

6. 2,14  10  9,14  10 7. 1,58  1022 + 1,32  1021 14

8. 3,895  10

– 2,145  10

12 à 16 p. 59

Chapitre 7 : Les puissances (partie 2)

4. Exercices type « brevet » Exercice 3 : Donner la notation scientifique des nombres suivants : 7  10–4  5  108 32  10–4 + 6  10–3 A = 4  10–5  7  10–8 ; B = ; C = . 56  10–9 2  10–5 17, 18 p. 59

IV. Ordre de grandeur

Définition On remplace les termes ou les facteurs à calculer par des nombres proches et plus « simples ». Le résultat obtenu est alors une valeur proche du vrai résultat. On l’appelle un ordre de grandeur.

Un ordre de grandeur ne remplace pas un résultat. Il permet juste de vérifier que le calcul fait est cohérent !! Activité 3 : Donner un ordre de grandeur des nombres suivants : A = 4,25  102 + 2,936  104 ; B = 69,32  103,2 ; C = 79,36 – 21,2. 19, 20 p. 59

Chapitre 7 : Les puissances (partie 2)

Chapitre 8 Triangle rectangle ou non ? I.

Introduction Les deux triangles suivants vérifient l’égalité de Pythagore : 1. AB = 2cm, BC = 2,1 cm et AC = 2,9 cm ; 2. EF = 5,6 cm, DE = 3,3 cm et DF = 6,5 cm. En effet, AC2 = 2,92 = 8,41 AB2 + BC2 = 22 + 2,12 = 8,41, donc AC2 = AB2 + BC2

DF2 = 6,52 = 42,25 DE2 + EF2 = 3,32 + 5,62 = 42,25, donc DF2 = DE2 + EF2.

Construisons ces deux triangles : A

2 cm

2,9 cm

6,5 cm

3,3 cm

2,1 cm

5,6 cm

Que remarque-t-on ? → Ces deux triangles semblent être rectangles !!

II. La réciproque de théorème de Pythagore Réciproque de théorème de Pythagore Si dans un triangle ABC on a BC2 = BA2 + AC2, alors le triangle ABC est rectangle en A.

III. Exercices résolus Exercice 1 : Le triangle suivant est-il rectangle ? C

Chapitre 8 : Triangle rectangle ou non ?

Solution : L’hypoténuse serait logiquement le plus long côté, donc [BC]. On a :  - BC2 = 132 = 169 2 2 2  - BA2 + AC2 = 122 + 52 = 144 + 25 = 169  donc BC = BA + AC . On en déduit, d’après la réciproque du théorème de Pythagore, que le triangle ABC est rectangle en A. Exercice 2 : Le triangle suivant est-il rectangle ? D

E Solution : L’hypoténuse serait logiquement le plus long côté, donc [CD]. On a :  - CD2 = 152 = 225 2 2 2  2 2 2 2 - CE + ED = 7 + 12 = 49 + 144 = 193  donc CD ≠ CE + ED . On ne peut pas utiliser la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle DCE n’est donc pas rectangle.

Chapitre 8 : Triangle rectangle ou non ?

7 à 14 p. 209 37 à 44 p. 212

Chapitre 9 Parenthèses & calcul littéral En 1591, François Viète (1540-1603) publie un nouvel ouvrage qui représente une avancée considérable pour l’algèbre. Le calcul littéral trouve ses bases dans le but de résoudre tout problème. Les grandeurs cherchées sont désignées par des voyelles et les grandeurs connues par des consonnes. Les symboles d’opérations sont officialisés : +, –, une barre horizontale pour ÷, et in pour  ; la multiplication par 2 est notée bis. Pour les parenthèses, il utilise des accolades.

Introduction au calcul littéral Activité 1 : 1. Exprimer en fonction de x l’aire de la figure ci-dessous. (plusieurs réponses possibles) 2. Calculer son aire lorsque x = 3, puis x = 4. 3. Prouver que toutes les expressions de la question 1 sont égales. x

6 50 p. 77

II. La distributivité 1. Avec des nombres (rappels de 5ème) Calculer mentalement 23  101 : 23  101 = 23  (100 + 1) = 23  100 + 23  1 = 2 300 + 23 = 2 323. c’est la distributivité 

Formule 1 2 1

24  ( 3 + 5 ) = 24  3 + 24  5. Je distribue la multiplication par 24, c’est la distributivité.

Chapitre 9 : Parenthèses & calcul littéral

Exercice 1 : Calculer de la même manière : 89  11 ; 45  101 ; 13  102

;

56  99

;

28  999.

2. Avec des lettres Activité 2 : Écrire les expressions suivantes sans parenthèse (= développer) : A = 2 (3 + y) = 6 + 2y B = –5 (x – y) = – 5x + 5y C = –3 (–2x + y) = 6x – 3y D = x (–4 – y) = – 4x – xy E = 2x (x – y + 4) = 2x2 – 2xy + 8x F = – (3 – x) = –3 + x (on dit que 3 – x et –3 + x sont opposés) G = + (–1 + x) = –1 + x. 10, 11, 12 p. 75 51, 52 p. 78

3. Réductions Activité 3 : 1. Réduire les expressions suivantes : A = 4x + 3x ; B = 2a + 4 – 3a + 8a – 8 ; C = x2 + 8x – 7 – 8x + 14 – 2x2 + 3x. 2. Développer et réduire les expressions suivantes : A = – (– x + 3) + 2(x – 5) ; B = 7 – 2(x – 2). 7 à 9 p. 74 13 p. 75, 65 p. 78

4. Double distributivité

Formule 2

Exercice 2 : Développer et, si possible, réduire : A = (x + 3)(y + 2) ; B = (3 – 2x)(4 – x) ; C = 2(3 + x)(3 – x) ; D = 2x (1 – x) – (x – 3)(3x + 2). 15 à 21 p. 75

Chapitre 9 : Parenthèses & calcul littéral

Chapitre 10 Les théorèmes des milieux En hypothèse : deux milieux Introduction : A I est le milieu de [AB] J est le milieu de [AC] I

Que constate-t-on ? → (IJ) // (BC) → BC = 2  IJ C

1er théorème des milieux Soit un triangle. Si une droite passe par les milieux de deux côtés, alors elle est parallèle au troisième côté :

…alors //

2ème théorème des milieux Dans un triangle, la longueur du segment joignant les milieux de deux côtés est égale à la moitié de celle du troisième côté.

Exercice 1 : A

3 cm

D ABCD est un rectangle tel que : BD = 7 cm et AD = 3 cm.

7 cm

K et L sont les milieux respectifs de [AB] et [AD]. C

1. Démontrer que (KL) // (BD). 2. Calculer la longueur LK.

Chapitre 10 : Les théorèmes des milieux

Solution : Hypotèses : (1) ABCD rectangle (2) BD = 7 cm (3) AD = 3 cm (4) K milieu de [AB] (5) L milieu de [AD] 1. Par hypothèse, K est le milieu de *AB+ (4) et L est le milieu de *AD+ (5). J’utilise le premier théorème des milieux, et donc (KL) // (BD). 1 2. D’après le deuxième théorème des milieux, on a directement que LK = BD, 2 donc LK = 3,5 cm.

II. En hypothèse : un milieu et deux droites parallèles Introduction : B

I est le milieu de [AB] La droite (d) passant par I est parallèle à (BC).

(d) I

Que constate-t-on ? → (d) coupe [AB] en son milieu. A

3ème théorème des milieux Soit un triangle. Si une droite passe par le milieu d’un côté et est parallèle à un deuxième côté, alors elle coupe le troisième côté en son milieu :

…alors

Chapitre 10 : Les théorèmes des milieux

1, 2, 5, 7 p. 155 33, 34, 35 p. 157

Exercice 2 : Les hypothèses sont codées sur la figure. Démontrer que J est le milieu de [AC]. A

I O

B Solution : Hypothèses :

(1) I milieu de [AB] (2) O milieu de [AM] (3) (IJ) // (BC) (vient dans un deuxième temps !)

Par hypothèse, I est le milieu de *AB+ (1) et O celui de *AM+ (2). J’utilise le premier théorème des milieux et donc (IO) // (BC), d’où par construction (IJ) // (BC) (→ 3). De plus, I est le milieu de [AB] (1) et (IJ) // (BC) (3). J’utilise le troisième théorème des milieux et donc J est le milieu de [AC]. 3, 4, 6 p. 155 42, 43, 44 p. 158

Chapitre 10 : Les théorèmes des milieux

Chapitre 11 Les fractions (partie 2) I.

Additions et soustractions de fractions Exercice 1 : Calculer, puis simplifier si possible : 4 –3 –2 3 5 – 34 A= – ; B= + ; C=1– ; D= +3 3 6 3 4 –7 11 –7 3 1 –1 4 5 4 2 1 E= + ; F= – + + ; G = –  +  25 15 2 6 9 –6 7 7 5 1 à 9 p. 40 45 à 50 p. 43

II. Multiplications de fractions 1. Exemples A=

2 –7 27 14  =– =– . –3 –5 35 15

Que constate-t-on ?

– 7 81 7  81 567  = = =⋯ 18 – 56 18  56 1008

Maladroit !!! Il est trop tard pour simplifier !

1 – 7 81 7  819 1  9 9  = = = . 18 – 56 218  568 2  8 16

Formule 1 a c ac  = , et penser à simplifier avant de « multiplier en ligne » !!! b d bd 10 à 14 p. 41

2. Fraction d’un nombre Activité 1 : 1. En décembre, pour les fêtes, M. Harry Covert dit avoir vendu les quatre cinquièmes de sa marchandise. En janvier, pendant les soldes, il a encore vendu les trois quarts de ce qu’il restait. Quelle fraction de sa marchandise at-il vendu en tout ? 2. La valeur totale de sa marchandise est de 262 000 €. Quelle somme représente sa vente globale ? Solution : 1.

En décembre : après les fêtes, il restait 1 cinquième. En janvier : il a vendu 3 quarts de ce qu’il restait, donc de 1 cinquième : qu’il a vendu en janvier. 4 3 16 3 16 + 3 19 En tout : + = + = = . 5 20 20 20 20 20

Chapitre 11 : Les fractions (partie 2)

3 1 3  = . C’est donc ce 4 5 20

Calculons les 19 vingtièmes de 262 000 :

19  262 000 = 248 900 €. Il a vendu globalement pour 20

248 900 €.

63 p. 44

III. Divisions de fractions Rappel : Diviser par un nombre, c’est multiplier par son inverse, donc 2 5 2 4 8 ÷ =  = . 3 4 3 5 15

Formule 2 a b a c a d = ÷ =  . c b d b c d

Activité 2 : Effectuer les calculs suivants : 3 –5 A= ÷ 4 8

;

–5 ÷3 6

4 9 ; C= . 16 –3 15 à 20 p. 41 55 à 58, 59 p. 44

IV. Calculs mêlés Activité 3 : Effectuer les calculs suivants : A = 

–2

7

5   3  5– 42  8

;

2 –3 + 5 4 –7 2 + (– 2)  4

. 60 à 62 p. 44 99 p. 47

Chapitre 11 : Les fractions (partie 2)

Chapitre 12 Le théorème de Thalès Thalès serait né autour de 625 avant J.-C. à Milet en Asie Mineure (actuelle Turquie). Considéré comme l’un des sept sages de l’Antiquité, il est à la fois mathématicien, ingénieur, philosophe et homme d’tat, mais son domaine de prédilection est l’astronomie. Il aurait prédit avec une grande précision l’éclipse du soleil de l’an –585. Ce n’est peut-être qu’une légende, Thalès en explique cependant le phénomène. ème Curieusement, le fameux théorème de Thalès (vu en 4 ) n’a pas été découvert par Thalès. Il était déjà connu avant lui des babyloniens et ne fut démontré qu’après lui par Euclide d’Alexandrie.

Exemple d’introduction Soit ABC un triangle. Soit un autre triangle AB’C’ tel que : B’  *AB+, C’  *AC+ et (B’C’) // (BC). B B’

C’

Calculons les rapports des côtés des triangles : AB 9,7 AC 10,1 =  1,51 ; =  1,51 ; AB’ 6,4 AC’ 6,7 Que constate-t-on ? → Que

C BC 6,5 =  1,51. B’C’ 4,3

AB AC BC = = !! AB’ AC’ B’C’

II. Le théorème de Thalès Le théorème de Thalès Soit un triangle ABC où B’  *AB+ et C’  *AC+. Si (B’C’) // (BC), alors : AB’ AC’ B’C’ = = . AB AC BC 18, 19 p. 195

Chapitre 12 : Le théorème de Thalès

Comment retenir le théorème de Thalès ? ABC et AB’C’ sont deux triangles en situation de Thalès ; ils ont un sommet commun A, (c’est nécessaire) et deux côtés parallèles (B’C’) et (BC). Un triangle est un agrandissement de l’autre. On dit que les deux triangles ont des côtés proportionnels. AB’ AC’ B’C’ = = AB AC BC ↑ côtés du haut

7 p. 85 43, 44, 45 p. 87

← le triangle A’B’C’ ← le triangle ABC

↑ ↑ côtés du côtés de bas gauche

Le produit en croix sera beaucoup mis à profit dans ce chapitre !

III. Exercice résolu Exercice 1 : Sur la figure ci-dessous, (CF) et (DE) sont parallèles. Calculer les longueurs BD et EF. Donner la valeur exacte et éventuellement un arrondi au dixième de cm.

C 3

4 4,5

Solution : Les triangles BCF sont en situation de Thalès car (CF) // (DE), donc : BC BF CF 4 4,5 3 = =  = = . BD BE DE BD BE 7 Calcul de BD 4 3 = BD 7 3  BD = 4  7 3  BD = 28 28 BD =  9,3 cm. 3

Calcul de EF 4,5 3 = BE 7 3  BE = 4,5  7 3  BE = 31,5 31,5 BE = = 10,5 cm. 3 1 à 4 p. 225 25, 26 p. 227 44, 46, 49 p. 230

Chapitre 12 : Le théorème de Thalès

Chapitre 13 Équations I.

Notion d’équation 1. Vocabulaire (rappels)

Définitions INCONNUE : c’est une lettre qui cache un nombre cherché. ÉQUATION : c’est une opération « à trous » dont les « trous » sont simplement remplacés par une inconnue. RÉSOUDRE UNE ÉQUATION : c’est chercher et trouver le nombre caché sous l’inconnue. SOLUTION : c’est le nombre caché sous l’inconnue. VÉRIFICATION : c’est vérifier rapidement que la solution trouvée est la bonne.

2. …en fonction de… Activité 1 : Une carte d’abonnement pour le cinéma coûte 10 €. Avec cette carte, le prix d’une entrée est de 4 €. 1. Calculer le prix à payer pour 2, puis 3 et enfin 10 entrées. 2. Soit x le nombre d’entrées. Exprimer en fonction de x le prix à payer : a) sans compter l’abonnement, b) en comptant l’abonnement.

II. Résolution d’équations 1. Introduction Soit l’équation : 2x + 5x – 4 = 3x +2 +3x.

Objectif Trouver x !! C’est-à-dire isoler x dans l’équation pour arriver à une égalité de la forme x = nombre ou nombre = x. Les différents éléments d’une équation sont liés ensemble par des opérations. Nous les désignerons « liens faibles » (+ et –) et « liens forts » ( et ÷). Ces derniers sont appelés « liens forts » car ils marquent une priorité opératoire. Le symbole «  » peut être omis dans le cas où un nombre est multiplié par une inconnue (par exemple, on écrira « 2x » au lieu de « 2  x ») ou dans le cas où un nombre/une inconnue est multiplié(e) par une parenthèse (par exemple, on écrira « 2(x – 2) » au lieu de « 2  (x – 2) »). Dans l’équation ci-dessus, par exemple, 2x et 5x sont juxtaposés par le lien faible « + ». Par contre, 2 et x sont aussi juxtaposés, mais par le lien fort «  » qui est omis.

Chapitre 13 : Équations

Dans l’équation 2x + 5x – 4 = 3x +2 +3x, on reconnait des membres de la famille des x et des membres de la famille des nombres, juxtaposés par des liens faibles. Pour obtenir « x = nombre » ou « nombre = x », on considèrera que la famille des x habite d’un côté de la « barrière = » et la famille des nombres de l’autre côté. Résoudre une équation, c’est mettre fin à deux petites réceptions où sont réunis des x et des nombres. Une se passe chez les x et l’autre chez les nombres. Quand la fête se termine, chacun rentre chez soi ! Nous seront donc amenés à effectuer des mouvements d’un côté à l’autre de la « barrière = », en suivant des règles différentes suivant que le lien soit fort ou faible.

2. Avec « lien faible » Le savant perse Abu Djafar Muhammad ibn Musa al Khwarizmi (Bagdad, 780-850) est à l’origine des méthodes appelées « al jabr » (=le reboutement ; le mot est aujourd’hui devenu « algèbre ») et « al muqabala » (= la réduction).

Méthode Résoudre l’équation : 2x + 5x – 4 = 3x + 2 + 3x. 1ère étape : chacun rentre chez soi !! 2x + 5x – 4 = 3x + 2 + 3x – 3x

– 3x

2x + 5x – 4 – 3x

= 3x + 2

– 3x – 3x

2x + 5x – 4 – 3x – 3x = 2 +4

2x + 5x – 3x – 3x

= 2+4

2ème étape : réduction (des familles) x = 6 Pour un lien faible, chaque déplacement par-dessus la « barrière = » se traduit par un changement de signe de l’élément déplacé. 1, 2 p. 91

3. Avec « lien fort » La méthode s’appelait « al hatt ».

Méthode Résoudre l’équation : 2x = 6.

÷2

2x 2x 2 x

= 6 6 = 2 = 3

÷2

Pour un lien fort, chaque déplacement par-dessus la « barrière = » se traduit par une « inversion » de l’élément déplacé.

Chapitre 13 : Équations

Activité 1 : Résoudre les équations suivantes : x 7 =4 ; x=–2 ; –3 9

–

2x = 4. 3 3, 4 p. 91

4. Avec les deux

Méthode En trois étapes : 1. « Chacun rentre chez soi ! » ; 2. Réduction (des familles) ; 3. Casser le dernier lien fort, et simplifier si nécessaire (fractions).

Activité 2 : Résoudre l’équation 4x + 5 – 3x – 4 = 3x + 2 + x. 5, 6, 7, 8 p. 91

5. Avec en plus des parenthèses

Méthode En trois étapes : 1. Se débarrasser des parenthèses (développement) ; 2. « Chacun rentre chez soi ! » ; 3. Réduction (des familles) ; 4. Casser le dernier lien fort, et simplifier si nécessaire (fractions).

Activité 3 : Résoudre l’équation 2(x + 3) = – (x + 3). 29, 30, 31 p. 93

Comment en est-on arrivé là ? Aujourd’hui René Descartes François Viète Simon Stevin Tartaglia

Vers 1640 Vers 1600 Fin XVIè Début XVIè

Nicolas Chuquet

Fin XVè

Luca Pacioli

Fin XVè

Diophante

IIIè

Babyloniens et Egyptiens

IIè millénaire avant J.C.

Chapitre 13 : Équations

4x2 + 3x – 10 = 0 4xx + 3x 10 4 in A quad + 3 in A aequatur 10 4 2 + 3 1 egales 10 0 4q p 3R equale 10N 42 p 31 egault 100 Quattro qdrat che gioto agli tre n0 facia 10 (traduit par 4 carrés joints à 3 nombres font 10) ΔYδ ζγ εστι ι (traduit par inconnue carré 4 et inconnue 3 est 10) Problèmes se ramenant à ce genre d’équation.

Exercice 1 : Résoudre les équations suivantes : 1. x – 3 = – 8 2. x + 9 = 4 3. 2 – x = – 2x + 5 4. 3x + 4 – x = x – 7 5. 3x – 5x + 2 – 6x = 3x – 5 – 12x 6. 7 – 2x = 2x + 5 – 3 + 4x – 9x 7. 3x + 5 – 9 + 9x = 4x + 3x – 9 + 4x 8. 2x – 5x – 6 + 3x = 1 – x – x + 2 + x 9. – 4x – 5 4x = – x + 8x + 9 – 8x – 9 10. 7x – 9 + 2x – 9x + 22x = 3 – x + 4x – 9 + 18x 11. 3x – 5x2 + 2 = 2x – 7x2 + 2x2 – 6 12. x + x + x = x + x.

III. Problèmes Pour résoudre un problème, il faut tout d’abord traduire les données fournies dans l’énoncé en langage mathématique. On aboutit alors à une équation que l’on sait maintenant résoudre. Il ne faut surtout pas oublier de mettre une phrase de conclusion !!! Énoncé : — Marc : « J’ai 3 cartes de moins que toi. » — Sophie : « Si tu m’en donnes 2, j’en aurai le double de toi. » Déterminer le nombre de cartes de Marc, puis en déduire celui de Sophie. Solution : Soit x le nombre de cartes de Marc. La première phrase de l’énoncé nous apprend que Sophie a trois cartes de plus que Marc, soit x + 3. La seconde phrase nous apprend que si Marc se débarrasse de 3 cartes qu’il donnerait à Sophie, celle-ci aurait deux fois plus de cartes que lui : - s’il lui donne deux cartes, il lui en restera x – 2. - Elle aura deux fois plus de cartes que lui, donc 2  (x – 2). À l’origine, elle avait x + 3 cartes. En lui en donnant 2, elle a alors x + 3 + 2 = x + 5 cartes. Les deux quantités étant égales, l’équation à résoudre est donc : 2(x – 2) = x + 5. 2(x – 2) = x + 5 2x – 4 = x + 5 2x – x = 5 + 4 x = 9. Marc possède donc 9 cartes, et on en déduit que Sophie en possède 12. Si Marc lui en donne 2, Marc aura 9 – 2 = 7 cartes et Sophie 12 + 2 = 14 cartes. On vérifie bien que 14 est le double de 7.

1. Poser l’inconnue.

2. Exprimer les informations de l’énoncé en fonction de l’inconnue.

3. Trouver l’équation à résoudre.

4. Résolution de l’équation

5. Phrase de conclusion

6. Vérification.

38, 39 p. 93 40-44 + 46-49 p. 94

Chapitre 13 : Équations

Chapitre 14 Le cosinus I.

Cosinus et triangle rectangle Introduction : AB . C3 AC 2. Calculer ce rapport avec d’autres triangles C2 rectangles en prolongeant [AB] et [AC]. C1 AB AB1 AB2 AB3 On remarque que : = = = . C AC AC1 AC2 AC3  Ces rapports s’appellent le cosinus de l’angle A, A B B1 B2 B3   et se notent cos( A) ou cos A et ne dépendent que de cet angle, pas d’autre chose.  3. Retrouvons la mesure de l’angle A : - D’abord vérifier que la calculatrice est bien en mode « D » (degrés) : Regarder sur l’écran allumé de la calculatrice si un petit « DEG » apparaît en bas à droite de l’écran. Si oui, passer au point suivant. Sinon, faire la manipulation suivante : ( ) → se déplacer à l’aide des flèche sur « DEG » et valider en appuyant sur . AB ( ) → entrer la valeur de → . AC 1. ABC est un triangle rectangle en B. Calculer

Définition Dans un triangle ABC rectangle en A, on a :  côté adjacent BA cos B= = . hypoténuse BC  AC A On a aussi : cos C = . BC

Le cosinus ne s’applique jamais sur l’angle droit !!! 13 à 16 p. 239

Chapitre 14 : Le cosinus

II. Les fonctions

de la calculatrice

Activité 1 : 1. Calculer le cosinus de 12°, 20°, 45°, 60°, 90° et 90°. Donner un arrondi au millième.    2. Trouver les mesures arrondies au degré des angles A, B et C tels que :     cos A= 0,8 ; cos B = 0,1 ; cos C = 0,42 ; cos D= 1,3. 52 p. 243 21 p. 240

III. Applications du cosinus 1. Calculs d’angles Activité 2 : 1. Tracer à main levée un triangle ABC rectangle en A tel que AB = 3 cm et BC = 7 cm.  2. Calculer la mesure de l’angle B au dixième de degré. Solution : Dans le triangle ABC rectangle en A,  BA  3  3 cos B =  cos B =  B = cos–1    65°. BC 7 7

26 à 30 p. 240

2. Calculs de longueurs Activité 3 : On donne la figure ci-dessous. D A

40°

30° B 1. Calculer AC. 2. En déduire AD.

C 5 cm

On arrondira les longueurs au centième de cm.

Solution : Dans le triangle ABC rectangle en B,  BC cos 30° 5 cos ACB =  = CA 1 CA donc CA  cos 30° = 1  5 (produit en croix) 5 CA =  5,77 cm. cos 30°

Dans le triangle ADC rectangle en D,  AD cos 40° AD cos DAC =  = AC 1 5,77 donc AD = 5,77  cos 40° (produit en croix) AD  4,42 cm.

1 à 8 p. 238 25 p. 240

Chapitre 14 : Le cosinus

Chapitre 15 Proportionnalité I.

Rappels de 5ème 1. Tableau de proportionnalité Voici un tableau : x 1 2 3 5 y 1,2 2,4 3,6 6 S’agit-il d’un tableau de proportionnalité ? 1,2 ÷ 1 = 1,2

;

10 12

2,4 ÷ 2 = 1,2

;

12 13 14,4 15,6

3,6 ÷ 3 = 1,2

15 18

;

⋯

Dans un tableau, on reconnaît une situation de proportionnalité lorsqu’il existe un coefficient de proportionnalité. Ici, il est égal à 1,2.

17, 18, 19 p. 125

2. Graphique

y 18 16 14 12 10 8 6 4 2

11 12 13 14

Sur un graphique, on reconnaît une situation de proportionnalité lorsque cette situation est représentée par des points alignés avec l’origine.

36 p. 126

3. Le produit en croix Activité 1 : Le prix de 500 g de viande est de 8 €. Combien coûtent 1 kg 300 ? Solution : Faisons un tableau pour récapituler les informations. Prix en € 8 x Poids en kg 0,5 1,3 Le principe du produit en croix, c’est que le produit de la croix rouge est égal au produit de la croix verte. Le calcul se termine avec les technique apprises au chapitre « Équations » : 8  1,3 10,4 10,4 0,5  x = 8  1,3  x = = = = 10,4  2 = 20,8 €. 0,5 0,5 1  2

Chapitre 15 : Proportionnalité

22 à 26 p. 125 1 à 6 p. 123

II. Pourcentage ou indice 100 Activité 2 : 1. Le prix HT (« Hors Taxes ») d’une caméra numérique est de 636 €. Sachant que la TVA (« Taxe sur la Valeur Ajoutée ») est de 19,6 %, calculer le prix TTC (« Toutes Taxes Comprises ») de cette caméra. 2. Un vêtement est vendu en magasin 65,78 €. Quel est son prix HT ? 3. La taxe sur les cigarettes est différente de celle appliquée sur les autres biens de consommation. Un paquet vendu 4,60 € comprend une taxe reversée à l’état de 3,68 €. a) Quel est le taux en % de la TVA sur les cigarettes ? b) Quel est le pourcentage de la taxe par rapport au prix TTC ? Solution : 19,6  636 = 124,656. D’où prix TTC = 636 + 124,656  760,66 €. 100 2. Faisons un tableau de proportionnalité : Prix TTC 119,6 65,78 65,78  100 x= = 55. Son prix HT est de 55 €. 119,6 Prix HT 100 x 1. 19,6 % de 636 =

3. a) Faisons un tableau : Prix HT 0,92 100 Taxe 3,68 x 3,68  100 x= = 400. 0,92 La TVA s’élève à 400 %.

b) Faisons un tableau : Prix TTC 4,60 100 Taxe 3,68 y 3,68  100 x= = 80. 4,60 La taxe représente 80 % du prix TTC. 32, 33 p. 126

III. Vitesse moyenne Contexte : Un automobiliste roule à la vitesse moyenne de 120 km/h pour faire le trajet Paris-Strasbourg. Traduction : À vitesse constante, il parcourt 120 km durant 1 heure. Complétons alors le tableau suivant : Distance 240 600 60 Temps 2h 5h ½h

30 ¼h

180 1h½

2 1 min

270 2h¼

Propriété 1 Vitesse moyenne (en km/h) =

Distance (en km) , Temps (en h)

ou encore V =

D . T

Exercice 1 : 1. La vitesse du son est de 1 224 km/h. Exprimer cette vitesse en m/s. 2. La vitesse de la lumière est de 300 000 km/s. Exprimer cette vitesse en km/h.

Chapitre 15 : Proportionnalité

Solution : D 1 224 km 1 224 000 km 340 m = = = = 340 m/s. T 1h 3 600 s 1s D 300 000 km 300 000  3 600 km 1 080 000 000 km 2. V = 300 000 km/s = = = = T 1s 1  3 600 s 1h = 1 080 000 000 km/h. 1. V = 1 224 km/h =

On pourra remarquer que la lumière se propage

1 080 000 000  882353 fois plus vite 1 224

que le son.

Toute unité de vitesse de la forme ⋯/⋯ possède une autre écriture : ⋯.⋯–1 !!! Par exemple, les kilomètres-heure se noteront indifféremment km/h ou km.h–1. 1, 2, 3, 6, 7, 8 p. 282 9, 10, 13, 15, 16 p. 283 22, 23 p. 284

Chapitre 15 : Proportionnalité

Chapitre 16 Espace I.

La pyramide 1. Vocabulaire

Définition Une pyramide est un solide formé d’un polygone « surmonté » d’un sommet. S

S : sommet en vert : base (un polygone) en rouge : arêtes latérales en bleu : hauteur

2. Une pyramide particulière : le tétraèdre Vient du grec « tetra » (= quatre) et « edros » (= base).

La base est un triangle 3. Le tétraèdre régulier

Définition On appelle tétraèdre régulier un tétraèdre dont toutes les faces sont des triangles équilatéraux.

Euclide a prouvé qu’il existe seulement 5 polyèdres réguliers : l’icosaèdre, le dodécaèdre, le tétraèdre, le cube et l’octaèdre. Ce sont les polyèdres de Platon qui symbolisent selon lui : l’Eau, l’Univers, le Feu, la Terre et l’Air.

Chapitre 16 : Espace

4. Patron Activité 1 : Construire le patron de la pyramide GABC inscrite dans le cube ABCDEFGH : G

H E

D A

C 6 cm

A G

G 1 à 8 p. 255

II. Le cône de révolution 1. Vocabulaire

Définition Un cône de révolution est un solide est un solide obtenu par rotation d’un triangle autour d’un des côtés de l’angle droit. S : sommet en vert : base (un disque) en rouge : génératrices en bleu : hauteur

Chapitre 16 : Espace

2. Patron Activité 2 : Construire le patron du cône de révolution ci-dessous : S

5 cm

3 cm

Commencer par faire un patron à main levée :

Quelques calculs s’imposent : -

 Périmètre de la base : 2  π  r = 2  π  3 = 6π = périmètre de l’arc AB Périmètre du disque de centre S et de rayon 5 cm : 2  π  5 = 10π.

Dans un cercle, la longueur de l’arc est proportionnelle à la mesure de l’angle au centre qui le définit, donc :  ASB Angle au centre 360 Longueur de l’arc

10π

6π

 ASB = 6π  360 ÷ 10π = 216°. On peut maintenant construire le patron en vraie grandeur : A 5 cm

3 cm

216°

Chapitre 16 : Espace

46, 47 p. 258

III. Volumes 1. Rappels : formules d’aires RECTANGLE

PARALLÉLOGRAMME h

ℓ

A =Lℓ

CARRÉ

TRIANGLE

LOSANGE

TRAPÈZE b

=bh

=cc

A A

= c2

b×h A= 2

D×d 2

B×h b×h + 2 2

(B + b) × h 2

DISQUE r

=r2

(circonférence = 2πr) 19 à 22 p. 271

Chapitre 16 : Espace

2. Formules de volume CUBE

PARALLÉLÉPIPÈDE

PYRAMIDE

ℓ

V=ccc

CÔNE DE RÉVOLUTION

V=L ℓH

V = c3 V = Aire de la base  H 3

PRISME

CYLINDRE

V = Aire de la base  H

Exercice 1 : On donne la pyramide ci-dessous, ainsi que AB = 4 cm et CH = 5 cm. La hauteur de la pyramide est de 3,5 cm. Calculer son volume arrondi au centième de cm3. S

3,5 cm

C H B

bh 45 = = 10 cm2. 2 2 A  H 10  3,5 35 v= = =  11,67 cm3. 3 3 3

Solution : a =

Chapitre 16 : Espace

1 à 6 p. 269 24 à 27 p. 271

Chapitre 17 Statistiques I.

Moyenne pondérée Exemple : Calcul de la moyenne pour l’obtention du brevet des collèges.

BREVET Notes Coefficients (= effectifs)

Moyenne des 3 trimestres de 4ème 12,1

Moyenne des 3 trimestre de 3ème 11,6

Épreuve finale de français 10

Épreuve finale d’Histoire-Géo. 11

Épreuve finale de Maths 15

Moyenne pondérée =

5  12,1 + 5  11,6 + 2  10 + 2  11 + 2  15 190,5 =  11,9. 16 16

Définition Pour calculer une moyenne pondérée, on additionne les valeurs multipliées par leur coefficient, et on divise le tout par la somme des coefficients. 1 à 5 p. 139

II. Effectifs cumulés, fréquences cumulées 1. Taille des élèves de 4ème en cm 174 – 160 – 161 – 166 – 177 – 172 – 157 – 175 – 162 – 169 – 160 – 165 – 170 – 152 – 168 – 156 – 163 – 167 – 169 – 158 – 164 – 151 – 162 – 166 – 156 – 165 – 179. 2. Regroupement de cette série de tailles par classes de longueur 5 cm et calcul des fréquences en % arrondies à l’unité Tailles Effectifs Fréquences (en %)

150  t < 155

155  t < 160

160  t < 165

165  t < 170

170  t < 175

175  t < 180

2  100 = 7 27

167

172

177

L’effectif total est 27. 3. Moyenne a) Calcul de la moyenne en centrant les classes Classes 152 157 162 centrées 2 Effectifs 4 7

Il s’agit d’un calcul de moyenne pondérée : 152  2 + 157  4 + 162  7 + 167  8 + 172  3 + 177  3 4 449 =  164,8 cm. 27 27

Chapitre 17 : Statistiques

b) Calcul de la moyenne exacte (174 + 160 + 161 + 166 + 177 + 172 + 157 + 175 + 162 + 169 + 160 + 165 + 170 + 152 + 168 + 156 + 163 + 167 + 169 + 158 + 164 + 151 + 162 + 166 + 156 + 165 + 179) / 27

4 444  164,6 cm 27

La méthode de calcul de la moyenne en centrant les classes est très fiable (ici, 2 mm d’erreur).

4. Cumuls Tailles Effectifs cumulés Fréquences cumulées (en %)

t < 155

t < 160

t < 165

t < 170

t < 175

t < 180

100

Quel est le pourcentage d’élèves dont la taille est inférieure à 170 cm ? Quel est le pourcentage d’élèves dont la taille est comprise entre 160 et 170 cm ? Combien y a-t-il d’élèves dont la taille est supérieure à 165 cm ?

Chapitre 17 : Statistiques

→ 78 % → 78 – 22 = 56 % → 27 – 13 = 14

39, 40, 41 p. 145

Chapitre 18 Ordre I.

Signe d’une différence Activité 1 : Effectuer à la calculatrice

28 412 9 470 – , puis comparer ces deux fractions. 12 345 4 113

Propriété 1 Pour comparer deux nombres a et b, on étudie leur différence : si a – b < 0, alors a < b ; si a – b > 0, alors a > b. 11 à 21 p. 107

II. Ordre et opérations 1. Ordre et addition Activité 2 : 1. On sait que x  8. En déduire une inégalité vérifiée pour : x + 3 ; x – 7 ; – 8 + x. 2. Compléter par < ou > : 50 50 x – 1,02 …… x – 1,002 ; + π …… + 3,14. 51 51

Propriété 2 Si a < b, alors a + c < b + c, pour tous nombres a, b et c. De même : si a < b, alors a – c < b – c. 51 à 58 p. 110

2. Ordre et multiplication Activité 3 : 1. On sait que x  5. En déduire une inégalité vérifiée pour : 2 4x ; 0,1x ; x. 3 2. Compléter par < ou >, sachant que x est un nombre strictement positif : 50 50 1,5 x …… 1,05 x ;  π ……  3,14. 51 51

Propriété 3 Si a < b et c > 0, alors a  c < b  c, pour tous nombres a, b et c > 0. De même : si a < b et c > 0, alors a ÷ c < b ÷ c. 60 à 67 p. 110

Chapitre 18 : Ordre

III. Approximation d’un nombre 1. Troncatures

Définition Donner la troncature au centième (par exemple) d’un nombre signifie qu’on coupe ce nombre au niveau des centièmes, et on ne garde que tout ce qu’il y a devant, sans rien modifier. Exemple : La troncature de 2009,627 au centième est 2009,62. Sa troncature à l’unité est 2009. Activité 4 : 1. Donner la troncature au centième des nombres suivants : 4,258 ; 2,158 95 ; 0,000 1 ; 1,999. 2. La troncature au dixième du nombre x est 2,5. Donner un encadrement de x aussi précis que possible.

2. Arrondis

Définition Donner l’arrondi au centième (par exemple) d’un nombre signifie qu’on ne garde que le centième le plus proche. Exemple : L’arrondi de 2009,627 au centième est 2009,63. Son arrondi à l’unité est 2010. Activité 5 : 1. Donner l’arrondi au centième des nombres suivants : 4,258 ; 2,158 95 ; 0,000 1 ; 1,999. 2. L’arrondi au dixième du nombre x est 2,5. Donner un encadrement de x aussi précis que possible. 47 à 50 p. 109

IV. Initiation à la résolution d’inéquations Exercice 1 : 1. L’inégalité 2x – 4 < 3 – 5x est-elle vraie dans les cas suivants : x = 0 et x = 2 ? 2. Isoler x dans les cas suivants : a) x + 4 > – 8, b) 4x  7, c) 2x + 7 > 2. 1 à 6 p. 106

Chapitre 18 : Ordre