Cours 3ème by M. LENZEN

   Cours de Mathématiques  Classe de 4ème             Année scolaire 2008/2009 M. LENZEN

SOMMAIRE I. Arithmétique .............................................................................................................. 1 divisibilité (dont nombres premiers et PGCD), nombres premiers entre eux, application aux fractions

II. Le théorème de Thalès .......................................................................................... 4 exemple d’introduction, le théorème, application : partage d’un segment

III. Équations du 1er degré ......................................................................................... 6 rappels des années passées, avec des fractions, équation produit, exercices

IV. Les racines carrées ................................................................................................ 8 la famille des racines carrées, opérations sur les racines, le théorème de Pythagore et sa réciproque

V. La réciproque du théorème de Thalès ........................................................... 12 la réciproque du théorème de Thalès

VI. Calculs numériques ............................................................................................. 13 les fractions, les puissances, proportionnalité

VII. Les fonctions (partie 1) .................................................................................... 15 fonction affine – linéaire – constante, déterminer une fonction linéaire à partir d’une image

VIII. Développements ............................................................................................... 18 la distributivité, la double distributivité, les identités remarquables

IX. Trigonométrie ....................................................................................................... 20 rappel : le cosinus, sinus & tangente, deux relations fondamentales de trigonométrie

X. Les fonctions (partie 2) ....................................................................................... 23 fonction affine et droite associée, coefficient directeur et ordonnée à l’origine, prolongement

XI. Factorisations........................................................................................................ 25 introduction, facteur commun apparent, facteur commun non apparent

XII. Angle inscrit ......................................................................................................... 27 définitions, propriétés, rappel d’un cas particulier, polygones réguliers

XIII. Systèmes d’équations ...................................................................................... 30 résolution par substitution, résolution par combinaisons, retour aux fonctions

XIV. Espace ................................................................................................................... 32 sphères & boules, sections de solides par un plan,

XV. Statistiques .......................................................................................................... 37 caractéristiques de position d’une série statistique, caractéristiques de dispersion d’une série statistique

XVI. Probabilités ......................................................................................................... 41 vocabulaire, notion de probabilité

Chapitre 1 Arithmétique Le mot arithmétique vient du grec « arithmos » (= nombre). En effet, l’arithmétique est la science des nombres ! Citons la célèbre conjecture de Goldbach énoncée en 1742 et jamais démontrée à ce jour : « Tout nombre pair est la somme de deux nombres premiers. »

Divisibilité 1. Rappels Un nombre entier est divisible par : - 2 s’il se termine par un nombre pair, - 3 si la somme de ses chiffres est un multiple de 3, - 5 s’il se termine par 0 ou 5, - 9 si la somme de ses chiffres est un multiple de 9, - 10 s’il se termine par 0, - 7 s’il vérifie la méthode suivante (exemple avec 3 192) : 3192 on soustrait le double de 2 à 319 – 4 315 on soustrait le double de 5 à 31 – 10 21 21 est divisible par 7, donc 3 192 l’est aussi. - 11 s’il vérifie la méthode suivante (exemple avec 61 952) : 61952 on soustrait 2 à 6 195 – 2 6193 on soustrait 3 à 619 – 3 616 on soustrait 6 à 61 – 6 55 55 est divisible par 11, donc 61 952 l’est aussi.

57, 58, 59 p. 62

2. Nombres premiers

Définition Un nombre est appelé nombre premier si ses seuls diviseurs sont 1 et luimême. Activité 1 : Trouver tous les nombres premiers inférieurs à 100. Le choix de la méthode est laissé libre. 64, 65 p. 62

Chapitre 1 : Arithmétique

3. Diviseurs communs à deux entiers Activité 2 : 1. Déterminer les diviseurs de 60. 2. Déterminer les diviseurs de 100. 3. En déduire quels sont les diviseurs communs à 60 et à 100. 74, 75, 76 p. 63

4. PGCD

Définition Le PGCD de deux nombres entiers est le Plus Grand Commun Diviseur à ces deux entiers. Exemple : Le PGCD de 60 et 100 est donc 20, et on note PGCD(60 ; 100) = 20.

5. Algorithme de calcul de PGCD de deux nombres entiers Le mot algorithme vient d’une déformation du nom du mathématicien perse al Khwarizmi (IXè s.). Un algorithme est une succession de manipulations sur les nombres qui s’exécutent toujours de la même manière.

L’algorithme d’Euclide permet de trouver assez rapidement le PGCD de deux nombres : essayons de déterminer le PGCD de 252 et 360. on divise le plus grand par le plus petit :

360

252

108

on divise le diviseur précédent par le reste précédent :

252 36

108 2

PGCD(252, 360) = 36 (dernier reste non nul)

on divise le diviseur précédent par le reste précédent :

108 0

36 0

le reste est nul, donc on s’arrête.

Exercice 1 : Calculer les PGCD suivants. PGCD(295 ; 177) ; PGCD(405 ; 243) ; PGCD(494 ; 143).

II. Nombres premiers entre eux Exercice 2 : 1. Déterminer tous les diviseurs de 7, puis ceux de 10, et calculer PCGD(7 ; 10). 2. Même question avec 6 et 35. 3. Même question avec 36 et 35. Que remarque-t-on ? → Que tous les PGCD sont égaux à 1.

Chapitre 1 : Arithmétique

77 p. 63

Définition On dit que deux nombres sont premiers entre eux si leur PGCD est égal à 1. 80 à 83 p. 63 85, 86 p. 63

III. Application aux fractions Définition On dit qu’une fraction est irréductible si son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux. Remarque : Cela revient à dire qu’on ne peut plus simplifier la fraction. Activité 3 : Les fractions

7 252 et sont-elles irréductibles ? Si non, les rendre 10 360

irréductibles. Solution : 7 est irréductible. 10 252 252 ÷ 36 7 2. PGCD(252 ; 360) = 36, donc = = . 360 360 ÷ 36 10 1. PGCD(7 ; 10) = 1, donc

90 à 92 p. 63

Chapitre 1 : Arithmétique

Chapitre 2 Le théorème de Thalès

Lors d’un voyage en Égypte, Thalès de Milet (-624 à -546) aurait mesuré la hauteur de la pyramide de Kheops par un rapport de proportionnalité avec son ombre : « Le rapport que j’entretiens avec mon ombre est le même que celui que la pyramide entretient avec la sienne. Par une relation de proportionnalité, il obtient la hauteur de la pyramide grâce à la longueur de son ombre. L’idée ingénieuse de Thalès est la suivante : « À l’instant où mon ombre sera égale à ma taille, l’ombre de la pyramide sera égale à sa hauteur. »

Exemple d’introduction Soient ABC un triangle, ainsi que  B’  [AB]  C’  [AC] deux points tels que (B’C’) // (BC). Nous savons (4ème) que dans ce cas, AB’ AC’ B’C’ = = . AB AC BC

B B’

C’’

C’

Qu’en est-il si dans les mêmes conditions B’’ B’’  (AB) et C’’  (AC) ? AB’’ AC’’ B’’C’’  0,82 ;  0,82 ;  0,82. → On constate le même résultat. AB AC BC Animation : http://www.col-camus-soufflenheim.ac-strasbourg.fr/telech/Thales.html

II. Le théorème Théorème de Thalès Soit un triangle ABC, où B’  (AB) et C’  (AC). Si (B’C’) // (BC), alors : AB’ AC’ B’C’ = = . AB AC BC Thalès de Milet (-642 à -546)

Chapitre 2 : Le théorème de Thalès

À la « situation 4ème », avec les deux triangles l’un dans l’autre, vient s’ajouter la « situation papillon » : B

C’

B’

Exercice 1 : Sachant que :  (EA) // (PR) // (CD) ;  EB = 2, BD = 5, PR = 4, CD = 6, calculer BR et EA.

C P

Donner une valeur exacte et éventuellement (si nécessaire) une valeur approchée à 10–2 centimètres près.

B R

13 à 16 p. 220 37 à 40 p. 223

III. Application : partage d’un segment Un segment [AB] est donné. Comment construire à la règle non graduée et au compas le point M sur le segment [AB] tel que : AM 5 = ? AB 7 -

On trace une demi-droite d’origine A. On reporte au compas 7 segments consécutifs de même longueur arbitraire. On place sur la demi-droite les points M’ et B’ tels que AM’ = 5 et AB’ = 7. On trace (BB’) puis la parallèle à (BB’) passant par M’. Elle coupe (AB) en M.

B’ M’

Les triangles AMM’ et ABB’ sont en situation de Thalès car (MM’) // (BB’), donc :

B AM AM’ 5 = = . AB AB’ 7 31 à 36 p. 222

Chapitre 2 : Le théorème de Thalès

Chapitre 3 er Équations du 1 degré

La méthode de résolution des équations (muadala) découverte par le perse Abu Djafar Muhammad ibn Musa al Khwarizmi (Bagdad, 780-850) consiste en al jabr (= le reboutement : 4x – 3 = 5 devient 4x = 5 + 3), le mot est devenu « algèbre » aujourd’hui. Dans l’équation, un terme négatif est accepté mais al Kwarizmi s’attache à s’en débarrasser au plus vite. Pour cela, il ajoute son opposé des deux côtés de l’équation. al muqabala (= la réduction : 4x = 9 + 3x devient x = 9), où les termes semblables sont réduits. À cette époque, la « famille des nombres » était appelée dirham et la « famille des x » chay (= chose), devenu plus tard xay en espagnol, ce qui explique d’ailleurs l’origine du x dans les équations.

Rappels des années passées Activité 1 : Résoudre les équations suivantes : 1. x – 3 = – 16 5. 3x – 5 + 8x + 2 = 7x – 9 2. – 3 + x = 2 6. (x – 3) – (x + 5) = 4 1 4 3. y=5 7. x = 2. 3 –5 4. 14x = 7 Rappel : Cinq étapes sont nécessaires (en fonction de l’équation, certaines étapes ne sont pas obligatoires) : supprimer les parenthèses → chacun rentre chez soi → réduction des familles → casser le dernier fort → écrire la solution. 6 p. 93 33, 34, 37 p. 96

II. Avec des fractions Exemple : Résoudre l’équation

→

4 (x + 4) x – 1 9 – = 12 12 12 4 (x + 4) – (x – 1) = 9 4x + 16 – x + 1 = 9 4x – x = 9 – 16 – 1 3x = – 8 8 x=– 3  8 s = –   3

x+4 x–1 3 – = . 3 12 4 (mettre sur le même dénominateur) (supprimer le dénominateur commun) (supprimer les parenthèses) (chacun rentre chez soi) (réduction des familles) (casser le dernier lien fort)

Chapitre 3 : Équations du 1er degré

35, 36, 38 p. 96

III. Équation produit Si a  b = 0, que peut-on dire de a et b ? Essayer sur des exemples en trouvant a et b tels que a  b = 0, et conclure.

Propriété 1 Si a  b = 0, alors a = 0 ou b = 0 : Si un produit de facteurs est nul, alors l’un au moins des facteurs est nul. 19 à 25 p. 95

IV. Exercices Exercice 1 : Résoudre les équations 1. 7x = 8 2. 2x – 8x – 4 = 8x + 6 – 7 + 4x 2 3. x=9 3 4. – (x + 5) = 5 (1 – 2x) 5. 8 = 4y 6. 9x – 7x + 5 – 9x = 6 – 4x + 8x 8 7. x = 14 7 8. 6 (3y – 5) = – (– 5 – y) 9. 12t = 48 10. 7x – 2x + 2x – 9 + 7x = 14x x 11. = 25 2 12. – (18 – x) + 7 (3x + 5) = – (2 – 4x)

Chapitre 3 : Équations du 1er degré

Exercice 2 : Résoudre les équations x–1 x+1 1. + =2 5 3 3 – 2x 3 + x 3 – 4x 2. + = +x 6 8 4 3 (x – 4) 4 – x 12x + 7 3. – = 5 6 30 3x – 4 4x + 7 4. – = 1 – 3x 6 9 3x – 4 3x 3x – 1 5. – = +1 5 4 2 2x 7 3 – x 6. – = – (x – 20) 7 2 2 x+3 x–1 7. + =7 4 6 x+3 x–1 8. – =7 4 6

Chapitre 4 Racines carrées

La devise pythagoricienne était « Tout est nombre », au sens de nombres rationnels (quotient de deux nombres entiers). L’erreur des pythagoriciens est d’avoir toujours nié l’existence des nombres irrationnels : il trouvent, pour la diagonale d’un carré de côté 1, le nombre inexprimable 2 qui étonne puis bouleverse les pythagoriciens. Dans un carré d’une telle simplicité se trouve un nombre indicible et jamais rencontré jusqu’alors. Cette découverte doit rester secrète pour ne pas rompre le foncement même de la Fraternité pythagoricienne jusqu’à ce qu’un des membres, Hippase de Métaponte, trahisse le secret ; il périra « curieusement » dans un naufrage ! Origine du symbole : - IIè siècle : ℓ12 = côté d’un carré d’aire 12 (ℓ comme « latus » = côté en latin) - 1525, Christoph Rudolff (allemand) : √12 (vient d’une déformation du R de racine) - 1637, René Descartes (français) : 12 (combinaison du « √ » de Rudolff et de la barre « ¯¯¯¯¯¯¯¯¯ » ancêtre des parenthèses).

La famille des racines carrées 1. Définition Exemples :

32 = 9 donc 9 = 3

;

2,62 = 6,76 donc 6,76 = 2,6.

Définition La racine carrée du nombre a est le nombre (toujours positif) dont le carré est a.

–5=? : La racine carrée de – 5 est par définition le nombre dont le carré vaut – 5. Or un nombre au carré est toujours positif (règle des signes), donc la racine carrée d’un nombre négatif est IMPOSSIBLE :

– 5 n’existe pas !!! 1, 5 p. 76

Chapitre 4 : Les racines carrées

2. Quelques nombres de la famille des racines carrées 0=0

;

1=1

;

2  1,4142

;

3  1,732.

ni entiers, ni rationnels !!!

3. Racines parfaites

Formules 4=2 9=3 16 = 4 25 = 5

36 = 6 49 = 7 64 = 8 81 = 9

100 = 10 121 = 11 144 = 12 169 = 13 3, 4 p. 76

4. Racines carrées d’un nombre au carré Exemple : 32= 9 = 3. Calculer de la même manière 52 et 92. Que constate-t-on ?

Propriété 1 Pour un nombre positif a, on a : a2 = a.

La racine « annule » le carré !

II. Opérations sur les racines 1. Exemples a b

9 16

25 4

36 16

a + b et

a+b

7 et 5

7 et  5,4

10 et  7,2

a – b et

a–b

– 1 et 

3 et  4,6

2 et  4,5

a  b et

ab

12 et 12

10 et 10

24 et 24

a ÷ b et

a÷b

3 3 et 4 4

5 5 et 2 2

3 3 et 2 2

Formules Pour tous nombres a et b positifs, on a :

a b= ab

Chapitre 4 : Les racines carrées

a = b

a b

Attention aux « non-formules » : a + b ≠ a + b et a – b ≠ a – b. 2. Carré d’une racine carrée

( a)

= a  a = a  a = a2 = a (d’après la propriété 1).

Propriété 1 2

Pour un nombre positif a, on a : ( a) = a.

Le carré « annule » la racine ! 11 p. 76

Exercice 1 : Écrire plus simplement les nombres suivants : A = 32  2 D = 3  36  3 G = 20082 B = 3  27 C=

98 2

E = (4 5) F=

50 72

H = – 2008 I=

16 + 9 100 22 à 28 p. 77

3. Extraire une racine parfaite Il est souvent demandé d’écrire un nombre « sous la forme a entiers tels que b soir le plus petit possible. » on simplifie la racine parfaite

b, avec a et b deux

on s’arrête car 2 ne contient plus de racine parfaite !

72 = 9  8 = 9  8 = 3  8 = 3  4  2 = 3  4  2 = 3  2  2 = 6 2. dans 72, on fait « apparaître » une racine parfaite

on recommence si possible

Remarque : Pour que b soit le plus petit possible, il ne doit pas contenir de racine parfaite !

Exercice 2 : Écrire les nombres suivants sous la forme a b, avec a et b deux entiers tels que b soir le plus petit possible : B = 45 ; C = 3 125 ; D = 32. 29 à 36 p. 77

III. Le théorème de Pythagore et sa réciproque 1. Rappel

Le théorème de Pythagore et sa réciproque  Si un triangle ABC est rectangle en A, alors BC2 = BA2 + AC2.  Si dans un triangle ABC on a BC2 = BA2 + AC2, alors il est rectangle en A.

Chapitre 4 : Les racines carrées

2. Rédaction Une bonne rédaction du théorème de Pythagore (ou même de sa réciproque) consiste à : - vérifier que les hypothèses sont vérifiées ; - énoncer la propriété utilisée (théorème ou réciproque) ; - Faire les calculs ; - Ne pas oublier la phrase de conclusion. Activité 1 : Calculer la diagonale d’un carré de 6 cm de côté.

D’après l’énoncé, ABDC est un carré, donc en particulier, le triangle ABC est rectangle en A. D’après le théorème de Pythagore, on a donc : BC2 = BA2 + AC2 BC2 = 62 + 62 BC2 = 36 + 36 BC2 = 72.

6 cm

Solution : Faisons d’abord une figure afin de donner des noms au point.

6 cm

Puisqu’une longueur est toujours positive, BC = 72 = 6 2 cm. La diagonale d’un carré de côté 6 cm mesure donc 6 2 cm.

59 p. 79 97-1) p. 82

Activité 2 : Un triangle a pour longueurs 12, 13 et 5 cm. Est-il rectangle ? Solution : Le côté le plus long de ce triangle (on ne peut pas encore parler d’ « hypoténuse » car on ne sait pas encore si ce triangle est rectangle ou non) mesure 13 cm. On calcule donc : 132 = 169 et 52 + 122 = 25 + 144 = 169. L’égalité de Pythagore est vérifiée, donc d’après la réciproque du théorème de Pythagore, ce triangle est rectangle.

117 p. 84

À la calculatrice, on ne peut pas écrire ou prolonger la barre de la racine, c’est pour ça qu’elle utilise des parenthèses : -

16 + 9 : 16 + 9 :

→ 5 → 13 44, 45 p. 78

Il y aura encore des racines carrées à la fin du chapitre 6.

Chapitre 4 : Les racines carrées

Chapitre 5 La réciproque du théorème de Thalès La réciproque du théorème de Thalès

Si les points A, B et B’ sont alignés dans le même ordre AB’ AC’ que les points A, C et C’, et si = , alors : AC AC (BC) // (B’C’). Thalès de Milet (-624 à -546)

Animation : http://www.col-camus-soufflenheim.ac-strasbourg.fr/telech/RThales.html

À nouveau, deux situations existent, dont une qui est bien connue : Situation 4ème Situation « papillon » B

B’

C’

B’ Activité 1 : 1. Les droites (AB) et (DE) sont-elles parallèles ? 2. Les droites (PR) et (DE) sont-elles parallèles ? Solution : 1.

CA 3 CB 4,5 9 3 CA CB = et = = = , donc = . CE 4 CD 6 12 4 CE CD De plus, les points A, C et E sont alignés dans le même ordre que les points B, C et D. D’après la réciproque du théorème de Pythagore, on a donc (AB) // (DE). CP 4 2 CR 2,5 5 CP CR = = et = = , donc ≠ . CD 6 3 CE 4 8 CD CE On ne peut pas utiliser la réciproque du théorème de Thalès, d’où (PR) et (DE) ne sont pas parallèles.

B A

4,5 3

C 4

2,5

1,5

D 17 à 22 p. 221 38, 41, 42, 43 p. 223

Chapitre 5 : La réciproque de théorème de Thalès

Chapitre 6 Calculs numériques I.

Les fractions Activité 1 : Calculer et donner le résultat sous la forme la plus simple possible : 8 –4 5 –3 –2 –4 5 1 3 A= –  ; B= ; C =  –  ÷  +   7 7 3 5 9  2 2 – 7 3 2+ 2 Solution : 8 – 20 24 – 20 24 + 20 44 A= – = – = = . 7 21 21 21 21 21 5 9 2 2 B = – 3 ÷ 2 +  = – 3 ÷ = – 3  = – . 2 9 3  2 –6 –4 5 3  2 35 3 2 32 2 14 2 7 14 7 C =  –  ÷  + = – ÷  –  = – ÷ = –  = –  = – =– . 9  2 – 14 9 14 14 9 14 9 32 9 16 144 72 9

43 à 58 p. 24

II. Les puissances Activité 2 : Calculer et donner le résultat en notation scientifique et décimale : 2 3  103  7  103 A = 7,5  105  4  8,2  (10–5) ; B = 8  102 + 85  10–2 ; C = . 50  10–4 Solution : A =246  10–5 = 2,46  102  10–5 = 2,46  10–3 = 0,002 46 B = 800 + 0,85 = 800,85 = 8,008 5  102 C = 0,42  1010 = 4,2  10–1  1010 = 4,2  109 = 4 200 000 000. 20 à 26 p. 22 31 à 35 p. 23 84 à 87 p. 26 (Brevet)

III. Proportionnalité Activité 3 : Un article coûtait 45 €. Il est maintenant affiché à 52,65 €. Quel est le pourcentage de cette augmentation ? Solution : Rappelons que le pourcentage d’une augmentation est calculé par rapport au prix de départ, non d’arrivée. Cela nous donne alors le tableau suivant : Réalité du Pourcentage problème Variation 7,65 x Départ 45 100 D’après la technique du produit en croix, x  45 = 7,65  100  x  45 = 765  x =

Chapitre 6 : Calculs numériques

765 = 17 %. 45

62, 63 p. 153

IV. Racines carrées (sommes et différences) Rappel : 2 + 3 ≠ 5 et 6 – 2 ≠ 4 (ce sont les « non-formules » !) Activité 3 : Écrire le plus simplement possible les nombres suivants : A = 4 3 – 2 3 + 6 3 ; B = 7 2 – 3 5 + 8 2 – 5 ; C = (3 – 2 3) – (4 – 6 3) Méthode : On regroupe les membres d’une même famille de racines carrées. Les différentes familles de racines carrées sont : 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 19, … Pourquoi pas 8 ou 16 ou 18 ?  8= 42= 4 2=2 2  16 = 4  18 = 9  2 = 9  2 = 3  2

⇒ 8 est de la même famille que 2 ⇒ 16 est un nombre entier ⇒ 18 est de la même famille que 2.

Solution : A = 4 3 – 2 3 + 6 3 = (4 – 2 + 6)  3 = 8 3. B = 7 2 – 3 5 + 8 2 – 5 = (7 + 8) 2 + (–3 – 1) 5 = 15 2 – 4 5. C = (3 – 2 3) – (4 – 6 3) = 3 – 2 3 – 4 + 6 3 = –1 + (–2 + 6) 3 = –1 + 4 3.

46 p. 78

Activité 4 : Écrire le plus simplement possible les nombres suivants : A = 12 + 7 3 – 27 ; B = 125 – 2 20 + 6 80. Méthode : On fait apparaître des racines carrées d’une même famille. Pour cela, il faut extraire des racines parfaites. Solution : A = 12 + 7 3 – 27 = 4  3 + 7 3 – 9  3 = 2 3 + 7 3 – 3 3 = 6 3. B = 125 – 2 20 + 6 80 = 25  5 – 2 4  5 + 6 16  5 = 5 5 – 4 5 + 24 5 = 25 5. 80, 81-1) p. 80

Chapitre 6 : Calculs numériques

Chapitre 7 Les fonctions (partie 1) I.

Fonction affine – fonction linéaire – fonction constante Activité 1 : Voici les trois tarifs proposés par un stade de foot :  tarif 1 : 8 € par entrée ;  tarif 2 : 4 € par entrée, avec la carte demi-tarif qui coûte 40 € pour la saison ;  tarif 3 : l’abonnement « intégrale » pour la saison, qui s’achète 92 €. 1. Calculer pour chaque tarif, la dépense pour 6, puis 11 et enfin 15 entrées. Dans chaque cas, quel est le tarif le plus intéressant ? 2. Soit x le nombre d’entrées. Exprimer en fonction de x la dépense pour la saison pour chaque tarif. 3. a) Avec le tarif 2, calculer le prix dépensé pour 18 entrées. b) Calculer de même f(2), h(2), g(4), g(7) et f(10). c) Trouver x tel que g(x)= 84. Interpréter ce résultat.

Ces notations seront introduites et expliquées pendant la résolution.

4. a) Pour chaque tarif, représenter sur un même graphique la dépense en fonction du nombre d’entrées. b) En utilisant le graphique, dans quels cas vaut-il mieux choisir un tarif plutôt qu’un autre ? Solution : 1. Faisons un tableau où apparaît en rouge le tarif le plus avantageux : x entrées x=6 x = 11 x = 15 Tarif 1 48 € 88 € 120 € Tarif 2 64 € 84 € 100 € Tarif 3 92 € 92 € 92 € 2. Tarif 1 : 8x À chaque nombre x (nombres d’entrées), on associe le nombre 8x (prix payé), on définit ainsi une fonction linéaire que l’on appelle f et que l’on note : f : x ↦ 8x ou f(x) = 8x. f(x) se lit « f de x ». Une fonction linéaire traduit une situation de proportionnalité.

Tarif 2 : 4x + 40 À chaque nombre x (nombre d’entrées), on associe le nombre 4x + 40 (prix payé), on définit ainsi une fonction affine que l’on appelle g et que l’on note : g : x ↦ 4x + 40 ou g(x) = 4x + 40.

Tarif 3 : À chaque nombre x (nombre d’entrées), on associe le nombre 92 (prix payé), on définit ainsi une fonction constante que l’on appelle h et que l’on note : h : x ↦ 92 ou h(x) = 92.

Définition a et b étant deux nombres fixés,  x ↦ ax + b est appelée fonction affine.  x ↦ ax est appelée fonction linéaire et a est appelé son coefficient.  x ↦ b est appelée fonction constante.

Chapitre 7 : Les fonctions (partie 1)

Propriété 1 Une fonction linéaire est une fonction affine où b = 0. 1 à 5 p. 166

3. a) x = 18. Calculons : g(18) = 4  18 + 10 = 72 + 40 = 112. Avec le tarif, 18 entrées coûtent 112 € : on dit que l’image de 18 par g est 112 et on note : g(18) = 112 ou g : 18 ↦ 112. b) f(2) = 16 ; h(2) = 92 ; g(4) = 56 ; g(7) = 68 ; f(10) = 80. c) g(x) = 84  4x + 40 = 84  4x = 44  x = 11. On dit qu’on a recherché l’antécédent de 84 par g, donc on pourrait dire que l’antécédent de 84 par g est 11. Interprétation : Avec le tarif 2, 84 € correspond au prix payé pour 11 entrées.

6, 7 p. 166 44 à 51 p. 170

4. a) Pour construire les représentations graphiques, on utilise le tableau de la question 1. S on n’en dispose pas, il faut en faire un ! f

100

90 80 70 60 50 40 30 20 10

Les représentations graphiques sont des droites.

Propriétés 1. Toute fonction affine est représentée par une droite. 2. Une fonction linéaire est représentée par une droite passant par l’origine. 3. Une fonction constante est représentée par une droite parallèle à l’axe des abscisses (horizontal). b) Entre 0 et 10 entrées : Entre 10 et 13 entrées : Plus de 13 entrées :

le tarif 1 le tarif 2 le tarif 3. 52, 53 p. 170

Chapitre 7 : Les fonctions (partie 1)

II. Déterminer une fonction linéaire à partir d’une image On souhaiterait déterminer la fonction linéaire f vérifiant l’égalité f(5) = 6. Mais comment faire ? Puisque f est une fonction linéaire, on sait qu’elle est de la forme f(x) = ax. Donc déterminer f revient à déterminer a : si on connaît a, on trouve f !! f(x) = ax = a  x, donc f(5) = a  5   donc a  5 = 6  a = 6. Or f(5) = 6 (hypothèse)  5 6 D’où f(x) = x . 5

Chapitre 7 : Les fonctions (partie 1)

31 à 36 p. 151

Chapitre 8 Développements I.

La distributivité Formule 1 2 1

24  ( 3 + 5 ) = 24  3 + 24  5. Je distribue la multiplication par 24, c’est la distributivité. Exercice 1 : Développer, puis réduire si possible : A = – (3 – 2x) ; B = 3 (4 – 6x) ; C = – 2x (5x + 7)

;

D = 8x (x – 3) – (4 – 3x). 7 p. 85 43, 44, 45 p. 87

II. Double distributivité Formule 2

Exercice 2 : Développer, puis réduire si possible : A = (2x + 3) (3x – 4) ; B = – 2 (4x + 5)(x – 5). 7 p. 85 43, 44, 45 p. 87

III. Identités remarquables 1. Formules Activité 1 : 1. Développer (a + b)2 en remarquant que (a + b)2 = (a + b) (a + b), puis réduire le résultat obtenu. 2. Même question pour (a – b)2. 3. Développer et réduire (a + b) (a – b).

Chapitre 8 : Développements

Formules 3   

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ; (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 ; (a + b) (a – b) = a2 – b2.

Exercice 3 : Développer et réduire en utilisant les identités remarquables : A = (x + 3)2 ; B = (4 – 3x)2 ; C = (2x + 3) (2x – 3). 38 à 42 p. 42

2. Application à des développements plus complexes Activité 2 : Développer et réduire en utilisant les identités remarquables : A = (2x – 3)2 + (x + 5) (3 – x) ; B = (x – 3) (x + 3) – (4 – 3x)2. Solution : A = 4x2 – 12x + 9 + 3x – x2 + 15 – 5x = 3x2 – 14x + 24 ; B = x2 – 9 – (16 – 24x + 9x2) = x2 – 9 – 16 + 24x – 9x2 = – 8x2 + 24x – 25. 43 à 46 p. 42 62 à 65 p. 79

Chapitre 8 : Développements

Chapitre 9 Trigonométrie

Le mot vient du grec « trigone » (= triangle) et « metron » (= mesure). On attribue à Hipparque de Nicée (-190 à -120) les premières tables trigonométriques. Elles font correspondre l’angle au centre et la longueur de la corde interceptée dans le cercle (voir figure à gauche). Le grec Claude Ptolémée (85-165) poursuit dans l’Almageste les travaux d’Hipparque avec une meilleure précision et introduit les premières formules de trigonométrie. Plus tard, l’astronome et mathématicien Regiomontanus, de son vrai nom Johann Müller, développe la trigonométrie comme une branche indépendante des mathématiques. Il serait à l’origine de l’usage systématique de terme « sinus ».

Rappel : le cosinus Définition Dans un triangle ABC rectangle en A, on a :  côté adjacent BA cos B= = . hypoténuse BC  AC A On a aussi : cos C = . BC

 Exercice 1 : Dans le triangle ci-dessous, calculer la mesure de l’angle BAC au degré près, puis la longueur AH : B H 8 cm

6 cm

Solution : Dans le triangle BAC rectangle en C, on a :  AC  6   cos BAC =  cos BAC =  cos BAC = 0,75  BAC = cos–1 0,75  41°. AB 8

Chapitre 9 : Trigonométrie

De plus, dans le triangle AHC rectangle en H, on a :  AH AH cos HAC =  0,75 =  AH = 6  0,75 = 4,5 cm. AC 6

35 à 38 p. 240

II. Sinus et tangente Définition

Dans un triangle ABC rectangle en A,  côté opposé sin B = ; hypoténuse  côté opposé tan B = . côté adjacent

Pour bien mémoriser ces trois formules indispensables, il existe un moyen mnémotechnique :

On peut entendre…

CAH SOH TOA*

* Casse-toi !

 Exercice 2 : Dans le triangle ci-dessous, calculer la mesure de l’angle BAC au degré près, puis la longueur HC arrondie au dixième de cm : B H 3 cm

7 cm

Solution : Dans le triangle BAC rectangle en C, on a :  BC  3  3 tan BAC =  tan BAC =  BAC = tan–1    23°. AC 7 7 On ne prendra pas de valeur approchée de 3/7, cela fausserait encore plus les résultats. De plus, dans le triangle AHC rectangle en H, on a :  HC HC sin HAC =  sin 23°   HC  7  sin 23°  2,7 cm. AC 7

Chapitre 9 : Trigonométrie

11, 13, 15, 17 p. 233 18, 20, 22, 24 p. 239 68 p. 244

III. Deux relations fondamentales de trigonométrie Reprenons une dernière fois notre triangle : A

angle B

OPP sin(angle) HYP = cos(angle) ADJ HYP OPP HYP =  HYP ADJ OPP = ADJ = tan(angle)

(cos(angle))2 + (sin(angle))2 ADJ 2 OPP2 =   +  HYP  HYP ADJ2 + OPP2 = HYP2 HYP2 = (Pythagore) HYP2 =1

Propriétés Pour tout nombre x, on a : tan x =

sin x cos x

cos2 x + sin2 x = 1. 49, 50, 51 p. 241

Chapitre 9 : Trigonométrie

Chapitre 10 Les fonctions (partie 2) I.

Fonction affine et droite associée Soit (d) la représentation graphique de la fonction affine f(x) = x – 1. On admettra que la droite (d) a pour équation y = x – 1. Cela veut dire que tous les points de coordonnées (x ; y) appartenant à la droite (d) vérifient l’équation y = x – 1.

y 2

–3 –2

0 –1

1 = 2 – 1, donc B  (d)

;

1 1

–2

9 Les points A(3 ; 2), B(2 ; 1) et C ; 1 2  appartiennent-ils à la droite (d) ? 2 = 3 – 1, donc A  (d)

(d)

–3

;

9 1 ≠ - 1, donc C  (d). 2

Propriété 1 Toute fonction affine f : x ↦ ax + b est représentée par une droite d’équation y = ax + b. Pour une fonction linéaire, b = 0.

II. Coefficient directeur et ordonnée à l’origine 1. Exemple y 2 1 –3 –2

–1

–2

s’appelle le coefficient directeur (si on avance de 1, on monte de 2)

+2 1

3 +1

–3

x – 0,5 s’appelle l’ordonnée à l’origine (se lit sur l’axe des ordonnées : –2)

Pour (d) :

Le coefficient directeur est 2 L’ordonnée à l’origine est –2  On retrouve ainsi l’équation de (d) : y = 2 x – 2.

Pour (d’) :

Le coefficient directeur est – 0,5 L’ordonnée à l’origine est –1  On retrouve ainsi l’équation de (d) : y = –0,5 x – 1.

Chapitre 10 : Les fonctions (partie 2)

37, 38, 39 p. 151 36 à 43 p. 169

2. Définition

Définition La droite (d) d’équation y = ax + b a pour coefficient directeur a et pour ordonnée à l’origine b. Remarques : 1. 2. 3.

Si le coefficient directeur est positif, alors la droite « monte ». On dit que la fonction affine associée est croissante. Si le coefficient directeur est négatif, alors la droite « descend ». On dit que la fonction affine associée est décroissante. y –y Si A(xA ; yA) et B(xB ; yB) sont deux points de la droite (d) d’équation y = ax + b, alors a = B A. xB – xA

III. Prolongement : exemple d’une fonction non affine Activité 1 : 1. Exprimer l’aire f(x) d’un carré en fonction de la longueur x de ses côtés. 2. Compléter le tableau de valeurs suivant : x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 f(x) 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 3. Représenter cette fonction dans un repère orthogonal. Solution : 1. f(x) = x2. 2. Voici le tableau complété : x 0 1 2 3 4 5 f(x) 0 1 4 9 16 25 3. Voici la représentation graphique attendue :

6 36

7 49

8 64

9 81

10 100

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

La représentation graphique de cette fonction n’est pas une droite : il s’agit en fait d’une parabole.

Chapitre 10 : Les fonctions (partie 2)

55, 56, 57 p. 153 52 à 57 p. 170

Chapitre 11 Factorisations I.

Introduction Pour l’activité qui suit, on rappelle qu’une expression est dite factorisée si la dernière opération à faire est une multiplication (ou plus rarement une division). Activité 1 : Parmi les expressions suivantes, retrouver celles qui sont factorisées : A = (2x + 1)(1 + x) F = (1 + 3x)(x – 2) + 1 K = (x – 4) – 3 (5 + 2x) B = (x + 3) + (1 – 3x) G = 4x – 12 L = (6 + x)2 – 4 (2 + 3x) C = (x – 4) – 3 (3 + 2x) H = (8x + 4)(2x + 1)(1 + x) M = (2 + 2)(3 – 4x) D = 2(1 + x) I = (x + 15)2 N = x (x – 2) E = 3 (5 – x)(32 + 5x) J = 4 – (5 – x)(3x – 5) O = (2x + 1)2 (1 + x) 9 p. 39

Solution : A – D – E – H – I – M – N – O.

Définition Factoriser, c’est mettre en facteurs (transformer en multiplications ou division) une expression qui ne l’est pas. Rien à voir avec moi…

II. Lorsque le facteur commun est apparent 1. Le facteur commun est un nombre ou une lettre Pour factoriser, il faut trouver dans l’expression un facteur commun. Activité 2 : Trouver dans les expressions suivantes le facteur commun, puis factoriser et réduire si possible : A = 3x – 4x + 2x C = 4x – 4y + 8 E = 3t + 9u + 3 2 2 B = 4t – 5tx + 3t D = x + 3x – 5x F = 3x - x

Solution :

A = 3x – 4x + 2x A = x (3 – 4 + 2) A=x1=x

C = 4x – 4y + 4  2 C = 4 (x – y + 2)

E = 3t + 3  3u + 3  1 E = 3 (t + 3u + 1)

B = 4t – 5tx + 3t B = t (4 – 5x + 3) B = t (7 – 5x)

D = x  x + 3x – x  5x D = x (x + 3 – 5x) D = x (3 – 4x)

F = 3x – x  1 F = x (3 – 1) F = 2x. 28 p. 41

Chapitre 11 : Factorisations

2. Le facteur commun est une expression ActivitĂŠ 3 : Trouver dans les expressions suivantes le facteur commun, puis factoriser et rĂŠduire si possible : A = 3(2 + 3x) â&#x20AC;&#x201C; (5 + 2x)(2 + 3x) B = (4x â&#x20AC;&#x201C; 1)(x + 6) + (4x â&#x20AC;&#x201C; 1) C = (1 â&#x20AC;&#x201C; 6x)2 â&#x20AC;&#x201C; (1 â&#x20AC;&#x201C; 6x)(2 + 5x) Solution (du A) :

A = 3(2 + 3x) â&#x20AC;&#x201C; (5 + 2x)(2 + 3x) A = (2 + 3x)(3 â&#x20AC;&#x201C; (5 + 2x)) A = (2 + 3x)(3 â&#x20AC;&#x201C; 5 â&#x20AC;&#x201C; 2x)

29 Ă 37 p. 41 67, 68 p. 44

III. Lorsque le facteur commun nâ&#x20AC;&#x2122;est pas apparent On applique une identitĂŠ remarquable pour factoriser. Pour rappel, factoriser

đ?&#x2018;&#x17D; + đ?&#x2018;? 2 = đ?&#x2018;&#x17D;2 + 2đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;? + đ?&#x2018;? 2 đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;? 2 = đ?&#x2018;&#x17D;2 â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;? + đ?&#x2018;? 2 đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x17D; + đ?&#x2018;? = đ?&#x2018;&#x17D;2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;? 2 dĂŠvelopper

ActivitĂŠ 4 : 1. Trouver dans les expressions rĂŠduire si possible : A = x2 â&#x20AC;&#x201C; 2x + 1 B = 4x2 + 12x + 9 2. Factoriser et rĂŠduire : G = (2x + 3)2 â&#x20AC;&#x201C; 64

suivantes le facteur commun, puis factoriser et C = 9x2 â&#x20AC;&#x201C; 4 D = 25 + 16x2 â&#x20AC;&#x201C; 40x

E = 1 â&#x20AC;&#x201C; 49x2 F = 12t + 4 + 9t2

H = 1 â&#x20AC;&#x201C; (2 â&#x20AC;&#x201C; 5x)2

Il sâ&#x20AC;&#x2122;agit donc de retrouver les termes a2, b2 et 2ab dans chacune des expressions. 17, 18 p. 39 47 Ă 52 p. 42 71 p. 44

Chapitre 11 : Factorisations

Chapitre 12 Angle inscrit I.

Définitions 1. Exemple d’introduction

J2 J1 O

B Filets

Pendant un match de handball, on a constaté que trois des tirs d’une même équipe sont partis de trois points sur un cercle dont le centre est le point de penalty. En mesurant les quatre angles de la figure, on a trouvé :     AJ1B = AJ2B = AJ3B = 21° et AOB = 42°.

2. Angle inscrit et angle au centre    AJ1B , AJ2B et AJ3B sont des angles inscrits :

Définition Un angle inscrit est formé par deux cordes issues d’un même point du cercle.

 AOB est un angle au centre :

Définition Un angle au centre est un angle dont le sommet est au centre du cercle, et les extrémités sont des rayons de ce cercle. 1, 2, 3 p. 255

Chapitre 12 : Angle inscrit

II. Propriétés Propriété 1 La mesure d’un angle au centre est le double de celle de l’angle inscrit qui intercepte le même arc. 4 p. 255, 42 p. 260 59 p. 262

Propriété 2 Deux angles inscrits qui interceptent le même arc ont la même mesure.

18, 19 p. 195 10, 11 p. 256 21, 23, 26, 27 p. 258

III. Rappel d’un cas particulier Si l’angle au centre est plat (180 °), alors un angle inscrit qui intercepte le même arc mesure 180 ÷ 2 = 90° :

On retrouve le théorème du triangle rectangle inscrit vu en 4ème…

22 p. 258

IV. Polygones réguliers

Définition Un polygone régulier est un polygone inscrit dans un cercle dont les côtés ont la même longueur.

72° 90°

45°

60°

120°

Triangle équilatéral

Carré

Pentagone régulier

Hexagone régulier

Octogone régulier

Chapitre 12 : Angle inscrit

Constructions : 

triangle équilatéral : faire un hexagone régulier et ne relier qu’un point sur deux.



carré : faire un octogone régulier et ne relier qu’un point sur deux



pentagone régulier : 1. Tracer un cercle c de centre O. 2. Tracer un diamètre (AC) de ce cercle. 3. Tracer la perpendiculaire en O à (AC) qui coupe ce cercle c en B et D. 4. Tracer le milieu I de [OA]. 5. Tracer le cercle de centre I passant par O (et donc par A aussi). 6. [BI) coupe ce cercle en E et F 7. L’arc de cercle de centre B passant par F coupe c en D1 et D4. 8. L’arc de cercle de centre B passant par E coupe c en D2 et D3. 9. Relier les points D, D1, D2, D3 et D4.



hexagone régulier : 1. Tracer un cercle c de centre O. 2. Tracer un diamètre de ce cercle qui coupe c en deux points. 3. À partir de l’un des deux points, reporter six fois le rayon de c à l’aide du compas. 4. Relier les points obtenus.



octogone régulier : 1. Tracer un cercle c de centre O. 2. Tracer un diamètre (AC) de ce cercle. 3. Tracer la perpendiculaire en O à (AC) qui coupe ce cercle c en B et D. 4. Tracer les bissectrices des angles et . 5. Elles coupent c en E, F, G et H. 6. Relier les points A, E, B, F, C, G, D et H.

12, 14, 17 p. 257 37 p. 259

Chapitre 12 : Angle inscrit

Chapitre 13 Systèmes d’équations I.

Résolution par substitution Activité 1 : Dans une boulangerie, Florence achète 3 pains au chocolat et 2 croissants. Elle paie 2,80 €. Dans la même boulangerie, Bob achète 1 pain au chocolat et 3 croissants. Il paie 2,10 €. Calculer le prix d’un pain au chocolat et d’un croissant. Première étape (choix des inconnues) : Soit x le prix d’un pain au chocolat et y celui d’un croissant. Deuxième étape (mise en équations) : Florence : 3x + 2y = 2,80 Bob : x + 3y = 2,10  3x + 2y = 2,80 Le système d’équations se note alors :  x + 3y = 2,10 

Troisième étape (résolution par substitution) :

Méthode   

3x + 2y = 2,80 x + 3y = 2,10

  

3x + 2y = 2,80 x = 2,10 – 3y

on isole une inconnue dans une équation

  

3(2,10 – 3y) + 2y = 2,80 x = 2,10 – 3y

on substitue l’inconnue isolée dans l’autre équation

  

6,30 – 9y + 2y = 2,80 x = 2,10 – 3y

on résout cette équation pour trouver une inconnue

  

–7y = –3,50 x = 2,10 – 3y

  

y = 0,50 x = 2,10 – 3  0,50

cette inconnue étant trouvée, on substitue dans l’autre équation

  

x = 0,60 y = 0,50

on calcule la seconde inconnue

Quatrième étape (notation et conclusion) : On note s = {(0,60 ; 0,50)}. Le prix d’un pain au chocolat est de 0,60 € et celui d’un croissant 0,50 €. 19 à 24 p. 113 45, 46 p. 115

Chapitre 13 : Systèmes d’équations

II. Résolution par combinaisons

(« addition » dans le manuel)

Les étapes 1, 2 et 4 restent les mêmes. Il ne faut surtout pas les oublier, elle font entièrement parti du proccessus de recherche de solution !

Troisième étape (résolution par combinaison) :

Méthode

–

 3x + 2y = 2,80   x + 3y = 2,10

← ℓ1 ← ℓ2

 3x + 2y = 2,80   3x + 9y = 6,30

← ℓ1 ← 3 ℓ2

7y = 3,5 3,5 y= 7 y = 0,50

← 3 ℓ 2 – ℓ1

⇒ ℓ1 : 3x + 2  0,50 = 2,80 3x = 2,80 – 1 1,80 x= 3 x = 0,60. Attention, il se peut qu’on ait aussi à multiplier toute la ligne ℓ1 (on peut avoir à faire 4 ℓ1 – 3 ℓ2 par exemple).  3x + 2y = 11 Exercice 1 : Résoudre le système d’équations suivant :  4x – 5y = –16. 

25 à 30 p. 113 45, 46 p. 115

III. Retour aux équations Activité 1 : Déterminer la fonction affine f vérifiant f(2) = 4 et f(5) = 1. Solution : f est une fonction affine. Elle est donc de la forme f(x) = ax + b. Déterminer f revient donc à trouver a et b. Puisque f(x) = ax + b, on a : f(2) = a  2 + b 4 = 2a + b

et et

f(5) = a  5 + b 1 = 5a + b.

Les deux conditions doivent être réunies. Il s’agit donc de résoudre le système d’équations  4 = 2a + b suivant :  1 = 5a + b  a=–1 Après résolution, on trouve :  b = 6 , d’où f(x) = – x + 6. 

Chapitre 13 : Systèmes d’équations

28 à 35 p. 168

Chapitre 14 Espace I.

Sphères & boules 1. Définitions

Définitions  

La sphère s de centre O et de rayon R est l’ensemble des points M de l’espace tels que OM = R. La boule b de centre O et de rayon R est l’ensemble des points M de l’espace tels que OM  R.

Le mot « sphère » vient du grec « sphaira » = balle à jouer).

Exemples :

une balle de ping-pong est une sphère, la terre est une boule, voici une boule b (dont le bord constitue la sphère s) :

B  b, B  s, A  b, A  s, C  b, C  s. 23, 26 p. 279

2. Aire de la sphère

Formule 1 L’aire d’une sphère de rayon r est donnée par : a = 4 π r 2. Exemple : Surface terrestre (rayon de la terre  6 370 km) : a = 4 π r 2  509 904 364 km2. (510 067 420 km2 d’après Wikipédia)

5-a) p. 293 35, 37 p. 296

3. Volume de la boule

Formule 2 4 Le volume d’une boule de rayon r est donnée par : v = π r 3. 3 Exemple : Volume de la Terre : 4 v = π r 3  108 269 693 000 km3. 3

Chapitre 14 : Espace

5-b) p. 293 36, 38, 39, 40 p. 296

4. Section d’une sphère par un plan

Propriété 1 Une sphère de centre O et de rayon R est coupée par un plan p. La perpendiculaire à p passant par O coupe p en H. La distance OH s’appelle la distance du point O au plan p.

La section d’une sphère de centre O et de rayon R par un plan est un cercle de centre H et de rayon noté r. Cas particuliers :

Si OH = 0, alors r = R.

Si OH = R, alors r = 0.

Le plan passe par le centre de la sphère. Le plan et la sphère ont un seul point La section est un grand cercle. commun. On dit que le plan est tangent à la sphère. 11 à 14 p. 277

5. Coordonnées géographiques Exemple : Axe de rotation de la terre

N Méridien

Greenwich

New York 41°N

74° O Équateur

Parallèle

Méridien de Greenwich

Les coordonnées géographiques de New York sont : (74° O ; 41° N) ↑ ↑ longitude

Chapitre 14 : Espace

latitude

II. Sections de solides par un plan http://www.cgmaths.fr/3eme/3eme.html (descendre avec la souris) 1. Parallélépipède

plan parallèle à une face

plan parallèle à une arête

Propriété 2 La section d’un parallélépipède par un plan est un rectangle. 7, 8, 9 p. 276 15, 16, 19 p. 278

2. Cylindre

plan parallèle à l’axe

plan perpendiculaire à l’axe

Propriétés 3  

La section d’un cylindre par un plan parallèle à l’axe est un rectangle. La section d’un cylindre par un plan perpendiculaire à l’axe est un cercle. 10 p. 276, 20 p. 278

3. Cône et pyramide Cône de révolution

Pyramide

Propriétés 4  

La section d’un cône de révolution par un plan parallèle à la base est un cercle. La section d’une pyramide par un plan parallèle à la base est une réduction de la base (si la base est un quadrilatère, la section sera un le même quadrilatère en plus petit ; si la base est un hexagone, alors la section sera le même hexagone, mais en plus petit).

Chapitre 14 : Espace

21, 22 p. 278 28 p. 279

Chapitre 15 Statistiques I.

Caractéristiques de position d’une série statistique 1. Série statistique Une enquête a été effectuée l’année dernière. Dans une classe de 6ème, des élèves ont pesé une pièce de 1 € à l’aide d’une balance électronique. Voici les masses obtenues (en grammes) : 7,49 – 7,49 – 7,51 – 7,55 – 7,51 – 7,52 – 7,51 – 7,54 – 7,51 – 7,51 – 7,52 – 7,51 – 7,53 – 7,5 – 7,54 – 7,51 – 7,6 – 7,59 – 7,56 – 7,49 – 7,53 – 7,51 – 7,54 – 7,53.

Définitions (rappels) La population étudiée est une classe de 6ème, d’effectif total 24 (il suffit de compter le nombre de valeurs). Le caractère étudié est la masse d’une pièce de 1 €. Le caractère possède 10 valeurs différentes.

  

19-1), 20-1) p. 188

2. Moyenne

Formule 1 somme des valeurs , effectif total somme des valeurs multipliées par leur coefficient  avec coefficients : M = . somme des coefficients  sans coefficients : M =

Exemple : Pour le calcul de la moyenne de la série ci-dessus sans coefficient, on a : M = 7,49+7,49+7,51+7,55+7,51+7,52+7,51+7,54+7,51+7,51+7,52+7,51+7,53+7,5+7,54+7,51+7,6+7,59+7,56+7,49+7,53+7,51+7,54+7,53 24 =

180,6 = 7,525 g. 24

Avec coefficient, il faudrait d’abord faire un tableau regroupant les ainsi que leur effectif : Valeur 7,49 7,50 7,51 7,52 7,53 7,54 7,55 7,56 7,59 3 1 8 2 3 3 1 1 1 Effectif Fréquence 13 % 4 % 33 % 8 % 13 % 13 % 4 % 4 % 4 % 46,8 14,4 118,8 28,8 46,8 46,8 14,4 14,4 14,4 Angle (°)

valeurs prises 7,60 Total 1 25 4 % 100 % 14,4 360°

3  7,49 + 1  7,50 +8  7,51 + 2  7,52 + ⋯ + 1  7,59 + 1  7,60 3+1+8+2+3+3+1+1+1+1 180,6 = = 7,525 g. 24

Que constate-t-on ? → on trouve le même résultat. C’est facile à observer ici, mais plus dur quand on prend on série de 3 notes avec coefficients…

Chapitre 14 : Espace

3. Représentations graphiques des effectifs

Diagramme en bâtons 10 8 6 4 2 0 1

Masse (grammes)

Diagramme circulaire 4%

7,49

4% 4%

7,5 13%

7,51

7,52 7,53

13%

7,54 7,55

33%

13%

7,56 8%

7,59 7,6

4. Cumuls  7,49  7,50  7,51  7,52  7,53  7,54  7,55  7,56  7,59  7,60 Valeur Effectifs 3 4 12 14 17 20 21 22 23 24 cumulés Fréquences 13 % 17 % 50 % 58 % 71 % 84 % 88 % 92 % 96 % 100 % cumulées

5. Polygone des effectifs cumulés 30 25 20 15 10 5 0 7,49

7,5

Chapitre 14 : Espace

7,51

7,52

7,53

7,54

7,55

7,56

7,59

7,6

II. Caractéristiques de dispersion d’une série statistique 1. Séries statistiques Voici les dernières notes obtenues par 3 élèves : Julie → 15 ; 9 ; 14 ; 13 ; 10 ; 12 ; 12 ; 12 ; 11 ; 10. Bertrand → 15 ; 13 ; 11 ; 10 ; 13 ; 3 ; 13 ; 12 ; 16. Jérôme → 4 ; 6 ; 18 ; 7 ; 17 ; 10 ; 12 ; 13 ; 17 ; 14.

2. Moyennes 15 + 9 + 14 + 13 + 10 + 12 + 12 + 12 + 11 + 10 118 = = 11,8. 10 10 15 + 13 + 11 + 10 + 13 + 3 + 13 + 12 + 16 106 MBertrand = =  11,8. 9 9 4 + 6 + 18 + 7 + 17 + 10 + 12 + 13 + 17 + 14 118 MJérôme = = = 11,8. 10 10 MJulie =

3. Médianes

Définition La médiane partage l’effectif en deux (c’est-à-dire que, par exemple, Julie aura exactement le même nombre de notes au-dessus et en-dessous de la médiane).

Pour déterminer les médianes, il faut d’abord ordonner la série !!!! Julie :

9 - 10 - 10 - 11 - 12 - 12 - 12 - 13 - 14 - 15 Julie a un nombre pair de notes (10). La médiane se trouve donc entre la cinquième et la sixième. Ces deux notes sont toutes les deux égales à 12, donc mJulie = 12.

Bertrand : 3 - 10 - 11 - 12 - 13 - 13 - 13 - 15 - 16 Bertrand a un nombre impair de notes. La médiane est donc exactement celle du milieu : mBertrand = 13. Jérôme : 4 - 6 - 7 - 10 - 12 - 13 - 14 - 17 - 17 - 18 Jérôme a, comme Julie, un nombre pair de note (10 aussi). La médiane se trouve donc aussi entre la cinquième (qui est 12) et la sixième (qui est 13). Ces notes sont différentes, on doit donc prendre la demi-somme des deux : 12 + 13 mJérôme = = 12,5. 2

4. Étendue

Définition L’étendue d’une série statistique est la différence entre la plus grande valeur et la plus petite.

Chapitre 14 : Espace

EJulie = 15 – 9 = 6

EBertrand = 15 – 3 = 12 EBertrand = 15 – 10 = 5

EJérôme = 18 – 4 = 14

Pour Bertrand, on peut ne pas compter le « 3 », considéré ici comme un accident. Dans ce cas, on dit qu’on a élagué la série.

5. Conclusions MJulie = 11,8 MBertrand = 11,8 MJérôme = 11,8

mJulie = 12 mBertrand = 13 mJérôme = 12,5

EJulie = 6 EBertrand = 5 EJérôme = 14

Les moyennes sont toutes égales, et pourtant les notes ne se répartissent pas de la même manière autour de la caractéristique de position. 10, 11 p. 186 12 (sauf 2-c)) p. 186 26, 27 p. 189

Chapitre 14 : Espace

Chapitre 16 Probabilités À l’origine, dans les traductions d’Aristote, le mot « probabilité » ne désigne pas une quantification du caractère aléatoire d’un fait mais l’idée qu’une idée est communément admise par tous. Ce n’est qu’au cours du Moyen Âge puis de la Renaissance autour des commentaires successifs et des imprécisions de traduction de l’œuvre d’Aristote que ce terme connaitra un glissement sémantique pour finir par désigner la vraisemblance d’une idée. Au XVIè puis au XVIIè siècle, c’est ce sens qui prévaut en particulier dans la probabilisme en théologie morale. Il faudra attendre le milieu de XVIIè siècle pour que ce mot prenne son sens actuel avec le début du traitement mathématique par Blaise Pascal et Pierre de Fermat. Ce n’est alors que XIXè siècle qu’apparait ce qui peut être considéré comme la théologie moderne des probabilités en mathématiques.

On réalise les trois expériences suivantes : On lance une pièce de monnaie équilibrée et on regarde sa face supérieure

On lance un dé à 6 faces équilibré et on regarde le chiffre inscrit sur sa face supérieure

On fait tourner une roue de loterie équilibrée, on attend qu’elle se stabilise et on regarde la couleur désignée par la flèche

Vocabulaire Définition Chacun des résultats possibles d’une expérience est une issue de l’expérience. Exemples : La pièce de monnaie Cette expérience admet deux issues : pile et face

Le dé à 6 faces

La roue de loterie

Cette expérience admet six issues : 1, 2, 3, 4, 5 et 6

Cette expérience admet trois issues : vers, jaune et rouge

Définition 

 

Un événement est une condition qui peut être, ou ne pas être, réalisée lors de l’expérience. Un événement peut être réalisé par une ou plusieurs issues de cette expérience. Un événement réalisé par une seule issue est appelé événement élémentaire. Le caractère possède 10 valeurs différentes.

Chapitre 14 : Espace

Exemples : La pièce de monnaie Le dé à 6 faces La roue de loterie  « on obtient pile » est un  « on obtient un nombre  « la flèche désigne une événement élémentaire.  « on obtient face » est un autre événement élémentaire.

pair » est un événement réalisé par les issues 2, 4, 6.  « on obtient 4 » est un événement élémentaire.  « on obtient 7 » est un événement impossible.

couleur primaire » est un événement réalisé par deux issues : rouge et jaune.  « la flèche désigne le jaune » est un événement élémentaire.

Définition Une expérience est dite aléatoire si chaque issue ne dépend pas des issues des expériences précédentes. Exemples :  Nos 3 expériences sont ici aléatoires. En effet, le fait d’« obtenir un 4 » ne veut pas dire qu’on aura moins ou plus de chances d’« avoir » un 4 au lancer suivant !  Par contre, quelle sont mes chances d’« avoir 21 » au tirage de la première boule du Loto® ? À priori, il y a 49 boules, et je n’en veux qu’une, donc 1/49. Mais quelle sont mes chances d’« avoir 21 » au tirage de la dernière boule du Loto® ? Six boules ont déjà été tirées, il n’en reste donc que 43, et je n’en veux toujours qu’une, donc 1/43. → Pour la même boule, mes chances sont différentes, donc cette expérience n’est pas aléatoire.

II. Notion de probabilité Définition Lorsqu’on effectue un très grand nombre de fois une expérience aléatoire, la fréquence de réalisation d’un événement se rapproche d’une « fréquence théorique », appelée probabilité. Exemples : La pièce de monnaie si on lançait la pièce un très grand nombre de fois, on obtiendrait pile environ une fois sur deux.

Le dé à 6 faces

La roue de loterie

si on lançait le dé un très grand nombre de fois, on obtiendrait 3 environ une fois sur six.

si on faisait tourner la roue de loterie un très grand nombre de fois, on obtiendrait vert environ une fois sur deux.

Notation : Si A désigne un événement, on notera p(A) la probabilité que l’événement A se réalise. Cette probabilité se note généralement sous la forme d’une fraction.

Exemple : 1 Si A = « on obtient 5 au lancer de dé », alors p(A) = . 6 En effet, il y a six issues possibles, et je n’en désire qu’une seule.

Chapitre 14 : Espace

24 à 28 p. 206

Exercice 1 : Pour chacun des événements suivants faisant référence aux trois expériences du cours, donner sa probabilité : A = « on obtient pile »

⇒ p(A) =

B = « on obtient face »

⇒ p(B) =

C = « on obtient 1 »

⇒ p(C) =

D = « on obtient 2 »

⇒ p(D) =

E = « on obtient un nombre pair »

⇒ p(E) =

F = « on obtient un nombre impair »

⇒ p(F) =

G = « on obtient 1 ou 6 »

⇒ p(G) =

H = « on tombe sur le vert »

⇒ p(H) =

I = « on tombe sur le jaune »

⇒ p(I) =

J = « on tombe sur le jaune ou le vert »

⇒ p(J) =

Propriétés 1    

Une probabilité est un nombre toujours compris entre 0 et 1. Un événement impossible a une probabilité nulle. Un événement dont la probabilité vaut 1 est appelé événement certain. La somme des probabilités de tous les événements élémentaires est toujours égale à 1.

Définitions Lorsque tous les événements élémentaires ont la même probabilité d’être réalisés, ont dit qu’il s’agit d’une situation d’équiprobabilité. Exemples : La pièce de monnaie on a autant de chance d’obtenir pile que face : il s’agit d’une situation d’équiprobabilité.

Le dé à 6 faces

La roue de loterie

on a autant de chances d’avoir 1, que 2, que 3, que 3, que 4, que 5, que 6 : il s’agit d’une situation d’équiprobabilité.

on a deux fois plus de chances de tomber sur le vert que sur le jaune : ce n’est pas une situation d’équiprobabilité.

Propriété 2 On désigne par n le nombre d’issues d’une expérience aléatoire. Dans une situation d’équiprobabilité, la probabilité d’un événement élémentaire est 1 égale à . n 29 à 33 p. 206

Chapitre 14 : Espace