precalculo

M.A. Pre cálculo Año 2020 / Pedro Tumax/2390-20-20036

 El ámbito del calculo y las matemáticas se han echo de mucha importancia, para los estudiantes y cualquier tipo de persona que quiera aprender algo nuevo y comprender cosas de la vida cotidiana.

Números Reales El conjunto de números reales, incluye tanto los números racionales, positivos, negativos y el cero.

Los números reales pueden ser descrito y construidos de varias formas algunas simples pero carentes del rigor necesario para los propósitos formales de las Matemáticas.

Los números reales son: Naturales

1,2,3,5 así sucesivamente asta el infinito y son representados con la letra (N)

Enteros

Números racionales

Son los enteros con sus respectivo negativo.

-3,-2,-1,0,1,3,3 Son representados con la letra (Z)

Cociente de dos números enteros y tienen representación decimal.

R=m/n Son representados con la letra (R)

Propiedades de números reales Propiedad

Representación

Ejemplo

Conmutativa

A+B=B+A AB=BA

5+4=4+5

Asociativa

Distributiva

(A+B)+C= A(B+C) (AB)C=A(BC)

A(B+C)=AB+AC (B+C)A=AB+AC

5*4=4*5 (6+6)+4=6(6+4) (6*6)4=6(6*4) 3(2+5)=3*2+3*5 (2+5)3=3*2+3*5

Descripción Cuando sumamos no importa el orden y lo mismo para la multiplicación.

Cuando sumamos tres números no importa con cual comencemos y lo mismo aplica para la multiplicación.

Cuando multiplicamos un número por una suma de dos números, obtenemos el mismo resultado si multiplicamos el número por cada uno de los términos y luego sumamos los resultados

Propiedad de negativos

Propiedad

Ejemplo

(-1)a=-a

-(1)2=-2

-(-a)=a

-(-2)=2

(-a)b=a(-b)=-(ab)

(-3)4= 3(-4)= -(3*4)= -12

(-a)(-b)=ab

(-5)(-2) = 5*2 =10

-(ab)=-a-b

-(2*3)=-2-3=1

-(a-b)=b-a

-(3-5)=5-3=2

Propiedad de las fracciones Propiedad

Ejemplo

Descripción

*=

*=

Para multiplicar fracciones, multiplique numeradores y denominadores

÷=*

÷=*

Para Para dividir dividir fracciones, fracciones, multiplique multiplique por por el el recíproco recíproco del del divisor divisor Para sumar fracciones Para fracciones con elsumar mismo con el mismo denominador, denominador, sume los numeradores sume los numeradores Para sumar fracciones con denominadores Para sumar fracciones diferentes, con denominadores encuentre un común diferentes, denominador ya encuentre un común continuación denominador y a sume los numeradores. continuación sume los numeradores.

Si entonces ad =bc

así que 2*2=5*4

Cancele números que sean factores comunes Cancele números que en sean factores numerador y comunes en denominador. numerador y denominador.

Multiplicación cruzada.

Multiplicación cruzada.

Ejercicio

1. (x+2y)+3z=x+(2y+3z) ¿Que propiedad de los números es utilizada?

EXPONENTES Y RADICALES

• Las leyes de los exponentes y radicales establecen una forma simplificada o resumida de trabajar una serie de operaciones numéricas con potencias, las cuales siguen un conjunto de reglas matemáticas.

Por su parte, se denomina potencia a la expresión an, (a) representa el número base y (n o enésima) es el exponente que indica cuántas veces se debe multiplicar o elevar la base según lo expresado en el exponente.

• La ley de los radicales se trata de una operación matemática que nos permite hallar la base a través de la potencia y el exponente.

Los radicales son las raíces cuadras que se expresan de la siguiente manera √, y consiste en conseguir un número que multiplicado por sí mismo dé como resultado lo que está en la expresión numérica

Claramente vemos que “a” es la base y que “n” es a la potencia la cual vamos a multiplicar en este caso multiplicaremos “a” las veces que “n” diga.

Cualquier numero que este elevado a la “0” potencia será “1”. cualquier numero elevado a una potencia negativa será “1” partido o dividido con la base que nos han dado, la base con el signo del exponente cambiado.

 Para elevar una fracción a una potencia negativa, invierta la fracción y cambie el signo del exponente  Para pasar un número elevado a una potencia del numerador al denominador o del denominador al numerador, cambie el signo del exponente

Ejemplos 1) porque pues es simplemente multiplicar 5 veces 5 y nos da el resultado: 5*5*5*5*5 = 3,125

Ejercicios

1) -

sume los exponentes si ambas tiene la misma base.

EXPRECIONES ALGEBRAICAS Una expresión algebraica es una combinación de letras y números ligadas por los signos de las operaciones: adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación.

Una variable es una letra que puede representar cualquier numero de un conjunto dado la letra puede ser cualquiera del abecedario

Para sumar y restar polinomios debemos haber leído todas las propiedades anteriores ya que todo esto va de la mano, solo debemos combinar los términos semejantes

Ejemplo

Cuando vamos a multiplicar polinomio nos apoyamos de leyes de exponentes y propiedades de números naturales

Para factorizar expresiones algebraicas

Ejemplo

Expresiones racionales Las expresiones racionales son fracciones que tienen un polinomio en el numerador o en el denominador o en ambos. Aunque las expresiones racionales pueden parecer complicadas porque contienen variables, pueden ser simplificadas de la misma forma que las fracciones numéricas.

En general, una expresión algebraica puede no estar definida para todos los valores de la variable. El dominio de una expresión algebraica es el conjunto de números reales que se permite tenga la variable.

Ejemplo 1) el dominio seria todo el conjunto de números reales 2) = el denominador seria 0 si x=2 o x=3, el dominio {x/x≠2 y x ≠3}

Simplificación Para simplificar expresiones racionales, factorizamos el numerador y el denominador y usamos la siguiente propiedad de fracciones:

Domini0 de una expresión

Multiplicación y división de expresiones racionales

Esto dice que para multiplicar dos fracciones multiplicamos sus numeradores y multiplicamos sus denominadores.

Para dividir expresiones racionales, usamos la siguiente propiedad de fracciones:

Ejemplo =

Ejemplo

Suma y resta de expresiones racionales Ejemplo Para sumar o restar expresiones racionales, primero encontramos un denominador común y a continuación usamos la siguiente propiedad de fracciones:

ECUACIONES Una ecuación es un enunciado de que dos expresiones matemáticas son iguales.

Dos ecuaciones con exactamente las mismas soluciones reciben el nombre de ecuaciones equivalentes

Propiedad de la igualdad

Ecuaciones lineales Una ecuación lineal en una variable es Una ecuación equivalente a una de la forma: Ax+b=0 Donde a y b son números reales y x es la variable

Hallar la solución de la siguiente ecuación: 1) Transpone los términos con variables a miembro de la ecuación y los números al otro.

12x-3x=31+5 2) Reduce los términos semejantes en ambos términos 9x=36 3) Despeja variables X= 36/9 4) Divide X=4

ECUACIONES CUADRATICAS Ejemplo Solución de una ecuación cuadrática por factorización:

Una ecuación cuadrática es de la forma: Donde a y b son números reales diferentes de “”

1) Factorizamos la ecuación (x+2)(x-3)=0 2) Recordemos que una ecuación de segundo grado tendrá dos soluciones por ende: X+2= 0 x-3=0 X= -2 x = 3

Formula cuadrática

La discriminante

Ejercicios

DESIGUALDADES Algunos problemas en álgebra llevan a desigualdades en lugar de ecuaciones. Una desigualdad se ve muy semejante a una ecuación, excepto que en lugar del signo igual hay uno de los símbolos , , ≤ o ≥. A continuación veamos un ejemplo de una desigualdad: 4x 7 ≤ 19 La tabla que aparece al margen muestra que algunos números satisfacen la desigualdad y algunos números no la satisfacen.

Resolver una desigualdad que contenga una variable significa hallar todos los valores de la variable que hagan verdadera la desigualdad. A diferencia de una ecuación, una desigualdad por lo general tiene un infinito de soluciones, que forma un intervalo o una unión de intervalos en la recta real.

Para resolver desigualdades, usamos las reglas siguientes para aislar la variable en un lado del signo de desigualdad. Estas reglas nos dicen cuándo dos desigualdades son equivalentes (el símbolo ⇔ significa “es equivalente a”). En estas reglas los símbolos A, B y C representan números reales o expresiones algebraicas. A continuación expresamos las reglas para desigualdades que contienen el símbolo ≤, pero aplican a los cuatro símbolos de desigualdad.

DESIGUALDADES LINEALES EJEMPLO Una desigualdad es lineal si cada término es constante o un múltiplo de la variable. Para resolver una desigualdad lineal, aislamos la variable en un lado del signo de desigualdad.

resuelva la siguiente desigualdad lineal 2x-6+3x ≥ 8x+21 1) Trasladando términos: 2x+3x-8x ≥ 21+6 2) Reduciendo términos semejantes y simplificando: -3x ≥ 27 x ≤ 27/-3 x ≥ -9 Resultado

DESIGUALDADES NO LINEALES Para resolver desigualdades que contengan cuadrados y otras potencias de la variable, usamos factorización, junto con el principio siguiente: Si un producto o un cociente tienen un número par de factores negativos, entonces su valor es positivo.

Si un producto o un cociente tienen un número impar de factores negativos, entonces su valor es negativo.

EJEMPLO Resuelva la desigualdad.

1)

Pasamos los términos de un lado

2) Factorizamos el lado izquierdo de la desigualdad.

3) Encuentre los intervalos. Los factores del lado izquierdo son x-2 y x-3, Estos factores son cero cuando x es 2 y 3, respectivamente. los números 2 y 3 dividen la recta real en los tres intervalos.

Los factores x - 2 y x - 3 cambian de signo sólo en 2 y 3, respectivamente. Por lo tanto, estos factores mantienen su signo en cada uno de estos tres intervalos.

4) Haga una tabla o diagrama Para determinar el signo de cada factor en cada uno de los intervalos que encontramos, usamos valores de prueba. Escogemos un número dentro de cada intervalo y comprobamos el signo de los factores x - 2 y x - 3 en el número que escojamos. Para el intervalo (- ∞, 2 ), escojamos el valor de prueba 1 . Sustituyendo 1 por x en los factores x - 2 y x - 3, obtenemos x -2 = 1-2= -1 < 0 x-3 = 1-3 = -2 <0

RECTAS En esta sección encontramos ecuaciones para rectas que se encuentren en un plano de coordenadas.

Las ecuaciones dependerán de cómo esté inclinada la recta, por lo que empezamos por estudiar el concepto de pendiente.

Primero necesitamos una forma de medir la “inclinación” de una recta, o cuál es la rapidez con la que sube (o baja) cuando pasamos de izquierda a derecha. Definimos el corrimiento como la distancia que nos movemos a la derecha y la elevación como la distancia correspondiente que la recta sube (o baja). La pendiente de una recta es la relación entre la elevación y el corrimiento: Pendiente= elevación corrimiento.

EJEMPLO:

ECUACION GENERAL DE LA RECTA

EJEMPLO

RECTAS PERPENDICULAERES Y PARALELAS

Rectas paralelas: dos rectas que son paralelas si y solo si tiene la misma pendiente

Rectas perpendiculares: Dos rectas con pendiente m 1 y m 2 son perpendiculares si y solo si m1m2=-1 M2 = 1/ m1 TambiĂŠn una recta horizontal (pendiente 0) es perpendicular a una recta vertical (sin pendiente

MODULO 2 FUNCIONES

QUE ES UNA FUNCION En matemática, se dice que una magnitud es función de otra si el valor de la primera depende del valor de la segunda. Por ejemplo el área A de un círculo es función de su radio r (el valor del área es proporcional al cuadrado del radio, A = π·r2). Del mismo modo, la duración T de un viaje en tren entre dos ciudades separadas por una distancia d de 150 km depende de la velocidad v a la que se desplace el tren (la duración es inversamente proporcional a la velocidad, T / v). A la primera magnitud (el área, la duración) se la denomina variable dependiente, y la magnitud de la que depende (el radio y la velocidad) es la variable independiente.

En análisis matemático, el concepto general de función, aplicación o mapeo se refiere a una regla que asigna a cada elemento de un primer conjunto un único elemento de un segundo conjunto. Las funciones son relaciones entre los elementos de dos conjuntos.

Una función es una regla. Para hablar de una función, es necesario darle un nombre. Usaremos letras como f, g, h,… para representar funciones. Por ejemplo, podemos usar la letra f para representar una regla como sigue: “f” es la regla “elevar al cuadrado el número”

EVALUACION DE FUNCIONES

DOMINIO DE FUNCIONES Recuerde que el dominio de una función es el conjunto de todas las entradas para la función.

El dominio de una función puede indicarse explícitamente. Por ejemplo, si escribimos entonces el dominio es el conjunto de todos los números reales x para los cuales 0 ≤ x ≤ 5.

Si la función está dada por una expresión algebraica y el dominio no se indica explícitamente, entonces por convención el dominio de la función es el dominio de la expresión algebraica, es decir, el conjunto de todos los números reales para los cuales la expresión está definida como un número real. Por ejemplo, considere las funciones La función f no está definida en x 4, de modo que su dominio es 5x 0 x 46. La función g no está definida para x negativa, de modo que su dominio es 5x 0 x ≥ 06.

EJEMPLO

1(una expresión racional no esta definida cuando el denominador es 0. como.

2) vemos que f (x) no está definida cuando x=o o x=1 entonces, e dominio de la función es

GRAFICA DE FUNCIONES Para graficar una funciรณn f, localizamos los puntos (x, f (x)) en un plano de coordenadas. En otras palabras, localizamos los puntos (x, y) cuya coordenada x es una entrada y cuya coordenada y es la correspondiente salida de la funciรณn.

DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCION

Una gráfica completa de una función contiene toda la información acerca de una función, porque la gráfica nos dice cuáles valores de entrada corresponden a cuáles valores de salida.

Para analizar la gráfica de una función, debemos recordar que la altura de la gráfica es el valor de la función.

Entonces, podemos leer los valores de una función a partir de su gráfica

EJEMPLO

El eje “x” representa las horas, y el eje “y” representa las temperaturas.

A)T(1) es la temperatura a la 1:00 p.m. Está representada por la altura de la gráfica arriba del eje x en x 1. Entonces, T(1) =25, T(3) =30 y T(5) =20. b)Como la gráfica es más alta en x =2 que en x =4, se deduce que T(2) es mayor que T(4). c)La altura de la gráfica es 25 cuando x es 1 y cuando x es 4.

En otras palabras, la temperatura es 25 a la 1:00 p.m. y a las 4:00 p.m. d)La gráfica es más alta de 25 para x entre 1 y 4. En otras palabras, la temperatura era 25 o mayor entre la 1:00 p.m. y las 4:00 p.m.

FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES Se duce que la función “f” cuando la grafica sube y decreciente cuando baja

EJEMPLO

Decreciente en Creciente en

Modulo 3 funciones Polinomiales y racionales

Funciones y modelos cuadráticos Una función polinomial es una función que está definida por una expresión con polinomial. Entonces una función polinomial de grado n es una función de la forma:P(x)=����+��−1��−1+.......��� +�0 FORMA GENERAL DE UNA FUNCION CUADRATICA

EJEMPLOS.

Exprese en su forma normal f(x)=2 x^(2)-12 x+23 1) Factorice 2 de los términos en x 2) Complete el cuadrado, sume 9 dentro de paréntesis, reste 2*9 fuera factorice y simplifique La forma normal es f(x) =

Valores mínimos y máximos de una función cuadrática

FUNCIONES POLINOMIALES Y SU GRAFICA

Funciones polinomiales básicas

 Las gráficas de polinomios de grado 0 o 1 son rectas.  Las gráficas de polinomios de grado 2 son parábolas  Cuanto mayor sea el grado de un polinomio, más complicada puede ser su gráfica  La gráfica de una función polinomial es continua  Esto significa que la gráfica no tiene puntos singulares ni huecos. Además, la gráfica de una función polinomial es una curva sin irregularidades; esto es, no tiene esquinas ni puntos agudos (cúspides) como se muestra en la Figura 1

Funciones polinomiales simples

Ceros reales de funciones polinomiales

División de polinomios Hasta este punto en este capítulo hemos estado estudiando funciones polinomiales gráficamente.

En esta sección empezamos por estudiar polinomios algebraicamente.

La mayor parte de nuestro trabajo se ocupará de factorizar polinomios y, para factorizar, necesitamos saber cómo dividir polinomios

EJEMPLO DIVISIÓN LARGA Siempre que desee dividir un polinomio por un polinomio, puede usar un proceso llamado división larga de polinomios. Este proceso es similar a la división larga para los números normales. Vea el siguiente ejemplo: (x2+3x+2) / (x+1)

DIVISION SINTETICA

CEROS REALES DE FUNCIONES POLINOMIALES.

PASOS PARA HALLAR LOS CEROS RACIONALES DE UN POLINOMIO Ejemplo

NÚMEROS COMPLEJOS Y TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ALGEBRA Los números complejos conforman un grupo de cifras resultantes de la suma entre un número real y uno de tipo imaginario. Un número real, de acuerdo a la definición, es aquel que puede ser expresado por un número entero (4, 15, 2686) o decimal (1,25; 38,1236; 29854,152). En cambio, un número imaginario es aquél cuyo cuadrado es negativo. El concepto de número imaginario fue desarrollado por Leonhard Euler en 1777, cuando le otorgó a v-1 el nombre de i (de “imaginario”).

EJEMPLO

DIVISION DE NUMEROS COMPLEJOS Ejemplo

Rises de números complejos Ejemplos

Teorema fundamental del algebra Debido a que cualquier numero real tambiĂŠn es un numero complejo el teorema tambiĂŠn se aplica a funciones polinomiales con coeficientes reales. El teorema fundamental del algebra y el teorema del factor juntos demuestran que un polinomio se puede factorizar completamente en factores lineales.

EJEMPLOS

TEOREMA DE CEROS

EJEMPLOS

TRIGONOMETRIA  La aplicación de la trigonometría en la vida de un ingeniero en sistemas es de mucha importancia porque en un momento dado debemos crear un sistema que calcule la altura de algún edificio o entre otras aplicaciones que se le da a la misma.

MEDIDAS DE UN ANGULO Si un circulo de radio 1 se traza con el vértice de un ángulo en su centro, entonces la medida de seste ángulo en radianes (abreviado rad) es la longitud del arco que subtiende el ángulo

RELACION ENTRE GRADOS Y RADIANES

ANGULOS EN POSICION NORMAL

Longitud de un arco

TRIGONOMETRIA DE TRIANGULOS RECTANGULOS

EJEMPLOS

TRIANGULOS ESPECIALES

INPORTANTE

EJEMPLO

LEY DE SENOS

Las longitudes de los lados de cualquier triangulo son proporcionales a los senos de los รกngulos opuestos correspondientes EJEMPLO

LEY DE COSENOS

La ley de cosenos no se puede utilizar directamente para resolver triรกngulos si conocemos dos lados y el Angulo entre ellos, o si se conoce los 3 lados. Para eso utilizamos la ley de cosenos EJEMPLO

EJERCICIO • En el siguiente triángulo ABC, a = 13 cm, c = 19cm, <B = 55° , Resuelva el triángulo.