27 %20chuy%c3%aan%20%c4%91%e1%bb%81%20gi%e1%bb%9bi%20h%e1%ba%a1n%20c%c3%b3%20%c4%91%c3%a1p%20%c3%a1n

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Giới hạn – ĐS&GT 11

Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Website: https://toanmath.com/

Trang 1

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Giới hạn – ĐS&GT 11

MỤC LỤC PHẦN I – ĐỀ BÀI ............................................................................................................................... 4 GIỚI HẠN DÃY SỐ ........................................................................................................................... 4 A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP ............................................................................................. 4 B – BÀI TẬP ....................................................................................................................................... 4 DẠNG 1: TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH NGHĨA ........................................................................ 4 DẠNG 2: TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ DỰA VÀO CÁC ĐỊNH LÝ VÀ CÁC GIỚI HẠN CƠ BẢN ................................................................................................................................................ 7 GIỚI HẠN HÀM SỐ ......................................................................................................................... 15 A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT ............................................................................................................ 15 B – BÀI TẬP ..................................................................................................................................... 15 DẠNG 1: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG BẰNG ĐỊNH NGHĨA HOẶC TẠI MỘT ĐIỂM ................... 15 DẠNG 2: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH

0 ........................................................................ 18 0

DẠNG 3: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH

 ....................................................................... 23 

DẠNG 4: GIỚI HẠN MỘ BÊN VÀ CÁC DẠNG VÔ ĐỊNH KHÁC........................................... 27 DẠNG 5 : GIỚI HẠN LƯỢNG GIÁC ........................................................................................... 29 HÀM SỐ LIÊN TỤC ......................................................................................................................... 32 A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP ........................................................................................... 32 B – BÀI TẬP ..................................................................................................................................... 32 DẠNG 1: TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM ...................................................... 32 DẠNG 2: TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TRÊN TẬP XÁC ĐỊNH ........................................... 37 DẠNG 3: ÁP DỤNG TÍNH LIÊN TỤC XÉT SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH ................... 41 ÔN TẬP CHƯƠNG IV...................................................................................................................... 42 PHẦN II – HƯỚNG DẪN GIẢI........................................................................................................ 50 GIỚI HẠN DÃY SỐ ......................................................................................................................... 50 A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP ........................................................................................... 50 B – BÀI TẬP ..................................................................................................................................... 50 DẠNG 1: TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH NGHĨA ...................................................................... 50 DẠNG 2: TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ DỰA VÀO CÁC ĐỊNH LÝ VÀ CÁC GIỚI HẠN CƠ BẢN .............................................................................................................................................. 55 GIỚI HẠN HÀM SỐ ......................................................................................................................... 78 A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT ............................................................................................................ 78 B – BÀI TẬP ..................................................................................................................................... 78 DẠNG 1: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG BẰNG ĐỊNH NGHĨA HOẶC TẠI MỘT ĐIỂM ................... 78 Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Website: https://toanmath.com/

Trang 2

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Giới hạn – ĐS&GT 11

DẠNG 2: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH

0 ........................................................................ 85 0

DẠNG 3: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH

 ....................................................................... 95 

DẠNG 4: GIỚI HẠN MỘ BÊN VÀ CÁC DẠNG VÔ ĐỊNH KHÁC ......................................... 106 DẠNG 5 : GIỚI HẠN LƯỢNG GIÁC ......................................................................................... 110 HÀM SỐ LIÊN TỤC ....................................................................................................................... 118 A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP .......................................................................................... 118 B – BÀI TẬP ................................................................................................................................... 118 DẠNG 1: TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM .................................................... 118 DẠNG 2: TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TRÊN TẬP XÁC ĐỊNH ......................................... 126 DẠNG 3: ÁP DỤNG TÍNH LIÊN TỤC XÉT SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH ................. 135 ĐÁP ÁN ÔN TẬP CHƯƠNG IV ..................................................................................................... 136

Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Website: https://toanmath.com/

Trang 3

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Giới hạn – ĐS&GT 11

PHẦN I – ĐỀ BÀI GIỚI HẠN DÃY SỐ A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIỚI HẠN HỮU HẠN 1. Giới hạn đặc biệt: 1 1 lim  0 (k    ) lim  0 ; k n n n n lim q n  0 ( q  1) ;

n

lim C  C

n

2. Định lí : a) Nếu lim un = a, lim vn = b thì  lim (un + vn) = a + b  lim (un – vn) = a – b  lim (un.vn) = a.b u a (nếu b  0)  lim n  vn b b) Nếu un  0, n và lim un= a thì a  0 và lim

un  a

c) Nếu un  vn ,n và lim vn = 0 thì lim un = 0 d) Nếu lim un = a thì lim un  a 3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn u S = u1 + u1q + u1q2 + … = 1  q  1 1 q

GIỚI HẠN VÔ CỰC 1. Giới hạn đặc biệt:

lim n  

lim n k   (k    )

lim qn   (q  1) 2. Định lí:

a) Nếu lim un   thì lim

1 0 un

b) Nếu lim un = a, lim vn =  thì lim

un vn

=0

c) Nếu lim un = a  0, lim vn = 0 u  neáu a.vn  0 thì lim n =  neáu a.vn  0 vn  d) Nếu lim un = +, lim vn = a  neáu a  0 thì lim(un.vn) =  neáu a  0   * Khi tính giới hạn có một trong các dạng vô 0  định: , ,  – , 0. thì phải tìm cách khử 0  dạng vô định.

B – BÀI TẬP DẠNG 1: TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH NGHĨA Phương pháp:  Để chứng minh lim un  0 ta chứng minh với mọi số a  0 nhỏ tùy ý luôn tồn tại một số na sao cho un  a n  na .

 Để chứng minh lim un  l ta chứng minh lim(un  l )  0 .  Để chứng minh lim un   ta chứng minh với mọi số M  0 lớn tùy ý, luôn tồn tại số tự nhiên nM sao cho un  M n  nM .  Để chứng minh lim un   ta chứng minh lim(un )   .  Một dãy số nếu có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất.

Câu 1. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau: A. Nếu lim un   , thì lim un   .

C. Nếu lim un  0 , thì lim un  0 .

B. Nếu lim un   , thì lim un   .

D. Nếu lim un  a , thì lim un  a .

Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Website: https://toanmath.com/

Trang 4

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 1 bằng: n 1 A. 0 B. 1 1 Câu 3. Giá trị của lim k ( k  *) bằng: n A. 0 B. 2 2 sin n Câu 4. Giá trị của lim bằng: n2 A. 0 B. 3 Câu 5. Giá trị của lim(2n  1) bằng: A.  B.  2 1 n Câu 6. Giá trị của lim bằng: n A.  B.  2 bằng: Câu 7. Giá trị của lim n 1 A.  B.  cos n  sin n Câu 8. Giá trị của lim bằng: n2  1 A.  B.  n 1 Câu 9. Giá trị của lim bằng: n2 A.  B.  3 3n  n Câu 10. Giá trị của lim bằng: n2 A.  B.  2n bằng: Câu 11. Giá trị của lim n 1 A.  B.  2n  1 Câu 12. Giá trị của A  lim bằng: n2 A.  B.  2n  3 Câu 13. Giá trị của B  lim 2 bằng: n 1 A.  B. 

Giới hạn – ĐS&GT 11

Câu 2. Giá trị của lim

n2  1 bằng: n 1 A.  B.  n2 n Câu 15. Giá trị của A  lim bằng: 2n

C. 2

D. 3

C. 4

D. 5

C. 5

D. 8

C. 0

D. 1

C. 0

D. 1

C. 0

D. 1

C. 0

D. 1

C. 0

D. 1

C. 0

D. 1

C. 0

D. 1

C. 2

D. 1

C. 0

D. 1

C. 0

D. 1

1 2

D. 1

Câu 14. Giá trị của C  lim

A. 

B. 

n sin n  3n 2 Câu 16. Giá trị của B  lim bằng: n2 A.  B. 

C.

C. 3

D. 1

Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Website: https://toanmath.com/

Trang 5

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 1 bằng: n 2 n 7 A.  B.  4n  1 Câu 18. Giá trị của D  lim bằng: n 2  3n  2 A.  B.  n a Câu 19. Giá trị của lim  0 bằng: n!

A.  B.  n Câu 20. Giá trị của lim a với a  0 bằng: A.  B. 

Câu 17. Giá trị của C  lim

Giới hạn – ĐS&GT 11

2

C. 0

D. 1

C. 0

D. 4

C. 0

D. 1

C. 0

D. 1

Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Website: https://toanmath.com/

Trang 6

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Giới hạn – ĐS&GT 11

DẠNG 2: TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ DỰA VÀO CÁC ĐỊNH LÝ VÀ CÁC GIỚI HẠN CƠ BẢN Phương pháp:  Sử dụng các định lí về giới hạn, biến đổi đưa về các giới hạn cơ bản. f (n )  Khi tìm lim ta thường chia cả tử và mẫu cho n k , trong đó k là bậc lớn nhất của tử và g ( n) mẫu.  Khi tìm lim  k f (n)  m g (n)  trong đó lim f ( n)  lim g ( n)   ta thường tách và sử dụng phương pháp nhân lượng liên hơn. + Dùng các hằng đẳng thức:



a  b  a  b   a  b;

 3 a  3 b   3 a2  3 ab  3 b2   a  b

 Dùng định lí kẹp: Nếu un  vn ,n và lim vn = 0 thì lim un = 0 Khi tính các giới hạn dạng phân thức, ta chú ý một số trường hợp sau đây:  Nếu bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng 0.  Nếu bậc của từ bằng bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng tỉ số các hệ số của luỹ thừa cao nhất của tử và của mẫu.  Nếu bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó là + nếu hệ số cao nhất của tử và mẫu cùng dấu và kết quả là – nếu hệ số cao nhất của tử và mẫu trái dấu.

Câu 1. Cho dãy số  un  với un 

1 .

2 n cos 2n   Câu 2. Kết quả đúng của lim  5  2  là: n 1  

A.

1 .

4

n u 1 và n 1  . Chọn giá trị đúng của lim un trong các số sau: n 4 un 2

A. 4.

Câu 3. Giá trị của. A  lim

D. 1 .

B. 5.

C. –4.

D.

B. 

1 .

4

C. 

2 3

D. 1

4n 2  3n  1 bằng: (3n  1)2

A.  Câu 5. Kết quả đúng của lim A. 

C. 0 .

2n  1 bằng: 1  3n

A.  Câu 4. Giá trị của. B  lim

B.

3 .

3

Câu 6. Giới hạn dãy số  un 

B. 

C.

4 9

D. 1

 n 2  2n  1

là 3n 4  2 2 B.  .

3 3n  n 4 với un  là: 4n  5

1 C.  .

2

D.

1 .

2

Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Website: https://toanmath.com/

Trang 7

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A.  .

B.  .

C.

n3  2n  5 Câu 7. Chọn kết quả đúng của lim : 3  5n 2 A. 5 .

B. .

5 2 2n  3n  1 Câu 8. Giá trị của A  lim 2 bằng: 3n  n  2 B. 

A.  Câu 9. Giá trị của B  lim

n  3n2  1

A. 

A. 

2

4

 1  n  2 

Câu 11. Giá trị của D  lim A. 

3

Câu 15. Giá trị của. D  lim A. 

C. 16

D. 1

C.

1 3 3 4 2 1

D. 1

3n3  1  n

bằng: 2n 4  3n  1  n A.  B.  (n  2)7 (2n  1)3 bằng: Câu 13. Giá trị của. F  lim (n 2  2)5 A.  B.  n3  1 Câu 14. Giá trị của. C  lim bằng: n(2n  1) 2 A. 

D.

bằng:

B. 

Câu 12. Giá trị của C  lim

1 1 3

C. 0

3

2n 4  n  2  n

4

D. 1

bằng:

n  1  3n  2 4

D.  .

9

n17  1 B.  2

2 3

D. 0 .

bằng:

B. 

 2n Câu 10. Giá trị của C  lim

C.  .

C.

n 2  2n

3 .

4

Giới hạn – ĐS&GT 11

C. 0

D. 1

C. 8

D. 1

B. 

C.

1 4

D. 1

n3  3n 2  2 bằng: n 4  4n3  1 B. 

C. 0

D. 1

C. 0

D. 1

3

Câu 16. Giá trị của. E  lim A. 

n  2n  1 bằng: n2 B.  4

Câu 17. Giá trị của. F  lim A. 

4

n  2n  1  2n 3

3n3  n  n

B. 

bằng: C.

3

3 3 1

D. 1

Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Website: https://toanmath.com/

Trang 8

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 18. Cho dãy số un với un   n  1 A.  .

Câu 19. lim

B. 0 .

10 n4  n2  1

2n  2 . Chọn kết quả đúng của lim un là: n  n2 1 C. 1 .

D.  .

4

bằng :

B. 10 . n 1  4 Câu 20. Tính giới hạn: lim n 1  n A.  .

B. 0 .

A. 1 .

Câu 21. Tính giới hạn: lim A. 0 .

1  3  5  ....   2n  1 3n2  4 1 B. .

3

Câu 22. Chọn kết quả đúng của lim 3  A. 4 .

Câu 23. Giá trị của D  lim

C. 0 .

D.  .

C. 1

1 D. .

2

2 C. .

3

D. 1 .

C. 2 .

D.

n2  1 1  .

3  n2 2n

B. 3 .

1 .

2

ak n k  ...  a1n  a0 (Trong đó k , p là các số nguyên dương; ak b p  0 ). bp n p  ...  b1n  b0

bằng: A. 

B.  2  5n  2 Câu 24. Kết quả đúng của lim n là: 3  2.5n 5 1 A.  .

B.  .

2 50 n n 1 3  4.2  3 Câu 25. lim bằng: 3.2n  4n A.  .

B.  .

3.2 n  3n Câu 26. Giá trị của C  lim n 1 n 1 bằng: 2 3 A. 

Giới hạn – ĐS&GT 11

B. 

C. Đáp án khác

D. 1

5 .

2

D. 

C. 0 .

D. 1 .

1 3

D. 1

C.

C. 

25 .

2

Câu 27. Giá trị đúng của lim  3n  5n  là: A.  .

B.  .

3.2n  3n Câu 28. Giá trị của. K  lim n 1 n 1 bằng: 2 3 1 A.  B.  3 5n  1 Câu 29. lim n bằng : 3 1 A.  .

B. 1 .

C. 2 .

D. 2 .

C. 2

D. 1

C. 0

D.  .

Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Website: https://toanmath.com/

Trang 9

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 30. lim 4

Giới hạn – ĐS&GT 11

4n  2n 1 bằng : 3n  4 n  2

1 B. .

2 3.3n  4n Câu 31. Giá trị của. C  lim n 1 n 1 bằng: 3 4 1 A.  B. 2

A. 0 .

1 C. .

4

D.  .

C. 0

D. 1

Câu 32. Cho các số thực a,b thỏa a  1; b  1 . Tìm giới hạn I  lim

1  a  a 2  ...  a n .

1  b  b 2  ...  b n

1 b 1 a k k 1 a .n  a n  ...  a1n  a0 Câu 33. Tính giới hạn của dãy số A  lim k p k 1 p 1 với ak b p bp .n  b p 1n  ...  b1n  b0 A.  B.  C. Đáp án khác n    2n3  bằng: Câu 34. lim  n 2 sin 5   A.  .

B. 0 .

C. 2 .

B. 

A. 

Câu 35. Giá trị của. M  lim

Câu 36. Giá trị của. H  lim

Câu 38. Giá trị đúng của lim

Câu 40. Giá trị của B  lim

A. 



1 2

D. 1

C. 0

D. 1

1 2

D. 1



n  1  n bằng:



C.



n 2  1  3n 2  2 là:

C. 0 .

D. 1 .

C. 3

D. 1

C. 0

D. 3



n 2  6n  n bằng: 3



n3  9n 2  n bằng:

B. 

A.  Câu 41. Giá trị của D  lim



2

B. 



D. 1

2n 2  1  n bằng:



A. 

C. 3

C.

B.  .

A.  .

D.  .

n  n  1  n bằng:

B. 

A. 

D. 1



2

B. 

Bài 40. Giá trị của K  lim n

.:





A. 

0



B. 

A. 

Câu 39. Giá trị của A  lim



D. 1

n 2  6n  n bằng:

B. 

A. 

Câu 37. Giá trị của B  lim



C.

2

3

3

n  2n  n  2n

B. 

2

 bằng: C.

1 3

D. 1

Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Website: https://toanmath.com/

Trang 10

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 42. Giá trị của. M  lim A. 

1 12





3

1  n 2  8n3  2n bằng:

B. 

Câu 43. Giá trị của. N  lim

C. 0

Câu 44. Giá trị của. K  lim



4n 2  1  3 8n3  n bằng:

C. 0

Câu 45. Giá trị của. N  lim



D. 1



3

n3  n 2  1  3 4n 2  n  1  5n bằng:

B. 

A. 

D. 1





B. 

A. 

C. 

5 12

n3  3n 2  1  n bằng:

B.  C. 0 Câu 46. Giá trị đúng của lim  n n  1  n  1  là:   A. 1 .

B. 0 .

C. 1 .



Câu 47. Giá trị của. H  lim n

Câu 48. Giá trị của A  lim



3

D. 1



D.  .



8n3  n  4n 2  3 bằng:

B. 

C. 

2 3

n 2  2n  2  n bằng:

B. 

C. 2

Câu 49. lim 5 200  3n5  2n 2 bằng : A. 0 .

B. 1 .

C.  .

3 2n  sin 2n  1 bằng: Câu 50. Giá trị của. A  lim n3  1 A.  B.  C. 2 n n!

Câu 51. Giá trị của. B  lim bằng: 3 n  2n A.  B.  C. 0 n 1 Câu 52. Giá trị của. D  lim bằng: 2 2 n ( 3n  2  3n 2  1) 2 A.  B.  C. 3 Câu 53. Giá trị của. E  lim( n 2  n  1  2n) bằng: A.  B.  Câu 54. Giá trị của. F  lim A. 

D. 1





A. 

D. 1



3

A. 

A. 

Giới hạn – ĐS&GT 11



D. 1 D.  .

D. 1

D. 1

D. 1

C. 0

D. 1

C. 0

D. 1



n  1  n bằng:

B.  k

2

p

2

Câu 55. Giá trị của. H  lim( n  1  n  1) bằng: A.  B.  C. Đáp án khác D. 1 1 1 1 Câu 56. Tính giới hạn của dãy số un  :   ...  2 1 2 3 2 2 3 ( n  1) n  n n  1 A.  B.  C. 0 D. 1 Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Website: https://toanmath.com/

Trang 11

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Giới hạn – ĐS&GT 11

(n  1) 13  23  ...  n3 : 3n3  n  2 1 C. D. 1 9 n(n  1) 1 1 1 .:  (1  )(1  )...(1  ) trong đó Tn  2 T1 T2 Tn 1 C. D. 1 3 23  1 33  1 n 3  1 .:  3 . 3 .... 3 2 1 3 1 n 1 2 C. D. 1 3 n 2k  1  k .: 2 k 1 C. 3 D. 1 2 n .:  q  2 q  ...  nq với q  1

Câu 57. Tính giới hạn của dãy số un  A. 

B. 

Câu 58. Tính giới hạn của dãy số un A. 

B. 

Câu 59. Tính giới hạn của dãy số un A. 

B. 

Câu 60. Tính giới hạn của dãy số un A.  B.  Câu 61. Tính giới hạn của dãy số u n A. 

B. 

C.

q

1 q 

D.

2

q

1 q 

2

n

n k 1 n  k

Câu 62. Tính giới hạn của dãy số un   A. 

2

B. 

C. 3 3

Câu 63. Tính giới hạn của dãy số B  lim A. 

B. 

Câu 64. Tính giới hạn của dãy số C  lim A. 

A. 



B. 

Câu 65. Tính giới hạn của dãy số D  lim B. 

.:



6

D. 1

4

n  n  1  4 n  2n  1 (2n  3)2

.:

C. 3

D.



.:

C. 3

D.

4n 2  n  1  2n

n 2  n  1  2 3 n3  n 2  1  n

C. 

1 6

1 Câu 66. Cho dãy số ( xn ) xác định bởi x1  , xn 1  xn2  xn ,n  1 2 1 1 1 Đặt S n  . Tính lim Sn .    x1  1 x2  1 xn  1 A.  B.  C. 2 1 2 k Câu 67. Cho dãy ( xk ) được xác định như sau: xk    ...  2! 3! ( k  1)!



3 4

1 4

.: D. 1

D. 1

n Tìm lim un với un  n x1n  x2n  ...  x2011 .

Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Website: https://toanmath.com/

Trang 12

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A. 

B. 

C. 1 

Giới hạn – ĐS&GT 11 1 2012!

D. 1 

u0  2011 un3  .

Tìm Câu 68. Cho dãy số (un ) được xác định bởi:  . lim 1 u  u  n n  1 n 2  un  A.  B.  C. 3 x 1 1 Câu 69. Cho dãy x  0 xác định như sau: f ( x)  . Tìm  0;   . x A.  B.  C. 2010 n. 1  3  5  ...  (2n  1) Câu 70. Tìm lim un biết un  2n 2  1 1 A.  B.  C. 2 3  x  2  2x 1 khi x  1  Câu 71. Tìm lim un biết f ( x )   x 1 3m  2 khi x  1 

D. 1

D. 1

D. 1

3

A. 

B. 

1 2012!

C. 2

D.

 x  1 1 khi x  0  Câu 72. Tìm lim un biết f ( x)   x 2 x 2  3m  1 khi x  0  A.  B.  C. 2  2x  4  3 khi x  2  Câu 73. Tìm lim un biết f ( x)   trong đó x  1 . x 1 khi x  2  2  x  2mx  3m  2 1 A.  B.  C. 3 n 1 Câu 74. Tìm lim un biết un   k 1 n2  k A.  B.  C. 3

6 2

D. 1

D. 1

D. 1

Câu 75. Tìm lim un biết un  2 2... 2  n dau can

A.  B.  C. 2 Câu 76. Gọi g ( x)  0, x  2 là dãy số xác định bởi  . Tìm lim f ( x)  lim x 2

A. 

B. 

C. 2

4 3

x2



D. 1 2x  4  3  3 .



D. 1

2

1   1  1 Câu 77. Cho dãy số A   x12  x1 x2    x1 x2  x22   x12 x22  3  0 được xác định như sau 2   4  2  x1  x2 .

Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Website: https://toanmath.com/

Trang 13

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Đặt x 

Giới hạn – ĐS&GT 11

3 . Tìm  x3  2 x  3 3  2 x  4  0 .

2

1 D. 1 2 Câu 78. Cho a, b    , (a, b)  1; n  ab  1, ab  2,... . Kí hiệu rn là số cặp số (u, v)       sao cho

B. 

A. 

n  au  bv . Tìm lim n 

A. 

C.

rn 1  . n ab

B. 

C.

1 ab

D. ab  1

1  u1  2 Câu 79. Cho dãy số có giới hạn (un) xác định bởi :  . Tìm kết quả đúng của lim un .

1 un 1  , n 1 2  un  1 A. 0 .

B. 1 .

C. 1 .

D. 2 1  1 1 1  Câu 80. Tìm giá trị đúng của S  2 1     ...  n  .......  .

2  2 4 8  1 B. 2 .

C. 2 2 .

D. .

A. 2  1 .

2  1 1 1  Câu 81. Tính giới hạn: lim    ....   n  n  1  1.2 2.3

A. 0

B. 1 .

3 C. .

2

D. Không có giới

2 C. .

3

D. 2 .

hạn.  1  1 1 Câu 82. Tính giới hạn: lim    ....   n  2 n  1  1.3 3.5

A. 1 .

B. 0 .

 1  1 1 Câu 83. Tính giới hạn: lim    ....   n n  2  1.3 2.4 3 A. .

B. 1 .

C. 0 .

4  1 1 1  Câu 84. Tính giới hạn: lim   .  ...  n(n  3)  1.4 2.5 11 A. .

B. 2 .

C. 1 .

18  1  1  1  Câu 85. Tính giới hạn: lim  1  2  1  2  ... 1  2   .  2   3   n   1 1 A. 1 .

B. .

C. .

2 4

2 D. .

3

D.

3 .

2

D.

3 .

2

Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Website: https://toanmath.com/

Trang 14

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Giới hạn – ĐS&GT 11

GIỚI HẠN HÀM SỐ A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT Giới hạn hữu hạn 1. Giới hạn đặc biệt: lim x  x0 ; lim c  c x  x0

x x0

(c: hằng số) 2. Định lí: a) Nếu lim f ( x )  L và lim g( x )  M x  x0

x  x0

thì: lim  f ( x )  g( x )  L  M x  x0

lim  f ( x )  g( x )  L  M

x  x0

lim  f ( x ).g( x )  L.M

x  x0

f ( x) L  (nếu M  0) x x0 g( x ) M b) Nếu f(x)  0 và lim f ( x )  L lim

x  x0

thì L  0 và lim

x  x0

f (x)  L

c) Nếu lim f ( x )  L thì lim f ( x )  L x  x0

x  x0

3. Giới hạn một bên: lim f ( x )  L  x  x0

lim f ( x )  lim  f ( x )  L

x x0

x  x0

Giới hạn vô cực, giới hạn ở vô cực 1. Giới hạn đặc biệt:  neáu k chaün lim x k   ; lim x k   x  x    neáu k leû c lim c  c ; lim 0 x  x  x k 1 1 lim   ; lim   x 0 x x 0 x 1 1 lim  lim   x0 x x 0 x 2. Định lí: Nếu lim f ( x )  L  0 và lim g( x )   thì: x  x0

x  x0

 neáu L vaø lim g( x ) cuøng daáu  x  x0 lim f ( x )g( x )    neá u L vaø lim g( x ) traùi daáu x x0  x  x0  0 neáu lim g( x )   x  x0 f ( x )  lim   neáu lim g( x )  0 vaø L .g( x )  0 x x0 g( x )  x  x0  g( x )  0 vaø L .g( x )  0  neáu xlim  x0  * Khi tính giới hạn có một trong các dạng vô định:

0 , 0

 ,  – , 0. thì phải tìm cách khử dạng vô định. 

B – BÀI TẬP DẠNG 1: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG BẰNG ĐỊNH NGHĨA HOẶC TẠI MỘT ĐIỂM Phương pháp: + Sử dụng định nghĩa chuyển giới hạn của hàm số về giới hạn của dãy số. + Nếu f ( x) là hàm số cho bởi một công thức thì giá trị giới hạn bằng f ( x0 ) + Nếu f ( x) cho bởi nhiều công thức, khi đó ta sử dụng điều kiện để hàm số có giới hạn ( Giới hạn trái bằng giới hạn phải). x3  2 x 2  1 Câu 1. Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của lim là: x 1 2 x5  1 1 1 A. 2 .

B.  .

C. .

D. 2 .

2 2

Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Website: https://toanmath.com/

Trang 15

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Giới hạn – ĐS&GT 11

4 x3  1 bằng: x 2 3 x 2  x  2

Câu 2. lim

11 11 ..

C. . .

4 4 x 1 Câu 3. Tìm giới hạn hàm số lim bằng định nghĩa. x 1 x  2 A.  B.  C. 2 3 Câu 4. Tìm giới hạn hàm số lim  x  1 bằng định nghĩa.

A . .

B. 

D. .

D. 1

x2

B.  C. 9 x3 2 Câu 5. Tìm giới hạn hàm số lim bằng định nghĩa. x 1 x 1 A. 

A. 

B. 

C. 2

x3 bằng định nghĩa. x2 A.  B.  C. 2 2 2x  x 1 Câu 7. Tìm giới hạn hàm số lim bằng định nghĩa. x  x2 A.  B.  C. 2 3x  2 Câu 8. Tìm giới hạn hàm số lim bằng định nghĩa. x 1 2 x  1 A.  B.  C. 5

D. 1

D.

1 4

Câu 6. Tìm giới hạn hàm số lim

x 

D. 1

D. 1

D. 1

2

Câu 9. Cho hàm số f ( x)  5 .

9

4 x  3x . Chọn kết quả đúng của lim f ( x ) : x 2  2 x  1  x3  2 

5 5 .

C. .

3 9 x4 2 Câu 10. Tìm giới hạn hàm số lim bằng định nghĩa. x 0 2x 1 A.  B. C. 2 8 4x  3 Câu 11. Tìm giới hạn hàm số lim bằng định nghĩa. x 1 x 1 A.  B.  C. 2 3x  1 Câu 12. Tìm giới hạn hàm số lim bằng định nghĩa. x 2 x  2 A.  B.  C. 2 2x2  x  3 Câu 13. Tìm giới hạn hàm số lim bằng định nghĩa. x 1 x 1 A.  B. 5 C. 2 x 1 Câu 14. Tìm giới hạn hàm số lim bằng định nghĩa.

4 x2 2  x

A.

A. 

B.

B. 

C. 2

D.

2 .

9

D. 1

D. 1

D. 1

D. 1

D. 1

Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Website: https://toanmath.com/

Trang 16

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Giới hạn – ĐS&GT 11

3x 2 bằng định nghĩa. x  2 x 2  1 3 A.  B.  C. 2 2 Câu 16. Tìm giới hạn hàm số lim x  x  1 bằng định nghĩa.

Câu 15. Tìm giới hạn hàm số lim

x 

A. 



D. 1



B. 

C. 2

D. 1

2

Câu 17. Tìm giới hạn hàm số lim x 2

A. 

x 4

x

4

B. 

 1  2  x 

bằng định nghĩa.

C. 0

D. 1

2

x  3x  2 bằng định nghĩa. x 1 x 1 A.  B.  C. 2 2 x  x 1 Câu 19. Tìm giới hạn hàm số A  lim bằng định nghĩa. x 1 x 1 1 A.  B.  C. 2 2 tan x  1 Câu 20. Tìm giới hạn hàm số B  lim bằng định nghĩa.  sin x  1 x

Câu 18. Tìm giới hạn hàm số lim

D. 1

D. 1

6

A. 

B. 

C.

4 36 9

D. 1

3

x  2  x 1 bằng định nghĩa. x 0 3x  1 A.  B.  C. 3 2  1 3 7x 1 1 Câu 22. Tìm giới hạn hàm số D  lim bằng định nghĩa. x 1 x2 A.  B.  C. 2 x 1 Câu 23. Tìm giới hạn hàm số A  lim 2 bằng định nghĩa. x 2 x  x  4 1 A.  B.  C.  6 2 sin 2x  3cos x Câu 24. Tìm giới hạn hàm số B  lim bằng định nghĩa. tan x x

Câu 21. Tìm giới hạn hàm số C  lim

D. 1

D. 3

D. 1

6

A. 

B. 

C.

3 3 9  4 2

2x2  x  1  3 2x  3 bằng định nghĩa. x 1 3x 2  2 3 3 9 A.  B.  C.  4 2 3x  1  2 Câu 26. Tìm giới hạn hàm số D  lim 3 bằng định nghĩa. x 1 3x  1  2

D. 1

Câu 25. Tìm giới hạn hàm số C  lim

D.

Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Website: https://toanmath.com/

235

Trang 17

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A. 

B. 

C. 

1 6

Giới hạn – ĐS&GT 11 D. 0

 x 2  3 khi x  2 . Chọn kết quả đúng của lim f  x  : Câu 27. Cho hàm số f  x    x2 x  1 khi x  2  A. 1 .

B. 0 .

C. 1 .

D. Không tồn tại.

2  x  ax  1 khi x  2 Câu 28. Tìm a để hàm số sau có giới hạn khi x  2 f ( x)   2 .  2 x  x  1 khi x  2 1 A.  B.  C. D. 1 2 5ax 2  3 x  2a  1 khi x  0 Câu 29. Tìm a để hàm số sau có giới hạn tại x  0 f ( x)   .

2 1  x  x  x  2 khi x  0 A. 

B. 

2 2 khi x  0

C.

5ax 2  3 x  2a  1 Câu 30. Tìm a để hàm số. f ( x)   2 1  x  x  x  2

A. 

B. 

D. 1 có giới hạn tại x  0

khi x  0 2 2

C.

D. 1

2  x  ax  1 khi x  1 Câu 31. Tìm a để hàm số. f ( x)   2 có giới hạn khi x  1 .  2 x  x  3a khi x  1

A. 

B. 

C. 

DẠNG 2: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH

1 6

D. 1

0 0

P ( x) với P(x), Q(x) là các đa thức và P(x0) = Q(x0) = 0 Q( x ) Phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử và rút gọn.

Chú ý: + Nếu tam thức bậc hai ax 2  bx+c có hai nghiệm x1 , x2 thì ta luôn có sự phân tích

1. L = lim x  x0

ax 2  bx  c  a ( x  x1 )( x  x2 ) .

+ an  bn  (a  b)(a n1  a n2b  ...  abn 2  bn1 ) P ( x) 2. L = lim với P(x0) = Q(x0) = 0 và P(x), Q(x) là các biểu thức chứa căn cùng bậc x  x0 Q ( x ) Sử dụng các hằng đẳng thức để nhân lượng liên hợp ở tử và mẫu.

Các lượng liên hợp: + ( a  b )( a  b )  a  b 3 2 3 2 3 3 3 + ( a  b )( a  ab  b )  a  b

+ ( n a  n b )( n a n 1  n a n  2b  ...  n b n 1 )  a  b P ( x) với P(x0) = Q(x0) = 0 và P(x) là biêu thức chứa căn không đồng bậc 3. L = lim x  x0 Q ( x )

Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Website: https://toanmath.com/

Trang 18

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Giả sử: P(x) =

m

u ( x)  n v ( x) vôùi

m

Giới hạn – ĐS&GT 11

u ( x0 )  n v ( x0 )  a .

Ta phân tích P(x) =  m u ( x )  a    a  n v ( x)  .

Trong nhiều trường hợp việc phân tích như trên không đi đến kết quả ta phải phân tích như sau: n u ( x)  m v ( x )  ( n u ( x )  m( x))  ( m v ( x )  m( x)) , trong đó m( x)  c . x2  2x 1 là: x 1 2 x 3  2 1 C. .

2

Câu 1. Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của lim A.  .

B. 0 .

Câu 2. Tìm giới hạn A  lim x 1

x 3  3x 2  2 : x2  4 x  3

B. 

A. 

Câu 3. Tìm giới hạn B  lim x2

C.

3 2

D. 1

x 4  5x 2  4 : x3  8

B. 

A. 

D.  .

C. 

1 6

D. 1

C. 

1 6

D. 25

(1  3x) 3  (1  4 x ) 4 : x 0 x

Câu 4. Tìm giới hạn C  lim A. 

B.  x 3

. Giá trị đúng của lim f  x  là: x3 x2  9 A. . .

B. 0. .

C. 6. .

(1  x)(1  2 x)(1  3x )  1 Câu 6. Tìm giới hạn D  lim : x 0 x 1 A.  B.  C.  6 n x 1 Câu 7. Tìm giới hạn A  lim m ( m, n  *) : x 0 x  1 n A.  B.  C. m n 1  ax  1 Câu 8. Tìm giới hạn B  lim ( n  *, a  0) : x 0 x a A.  B.  C. n n 1  ax  1 Câu 8. Tìm giới hạn A  lim m với ab  0 : x  0 1  bx  1 am A.  B.  C. bn 3 4 1   x 1   x 1   x 1 Câu 9. Tìm giới hạn B  lim với   0 . : x 0 x Câu 5. Cho hàm số f  x  

D. .

D. 6

D. m  n

D. 1

n a

D. 1

am bn

Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Website: https://toanmath.com/

Trang 19

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A. 

B. 

C. B 

Giới hạn – ĐS&GT 11

     4 3 2

D. B 

     4 3 2

2 x 2  5x  2 : x 2 x 3  3x  2

Câu 10. Tìm giới hạn A  lim A. 

B. 

Câu 11. Tìm giới hạn B  lim x 1

A. 

B. 

x 3

B.  3 x0 4

C.

1 5

D. 1

C. 

3 x 7

1 3

D. 1

x 1 1 : 2x 1 1

B. 

Câu 14. Tìm giới hạn E  lim A. 

D. 1

2x  3  x : x2  4 x  3

Câu 13. Tìm giới hạn D  lim A. 

1 3

x 4  3x  2 : x3  2 x  3

Câu 12. Tìm giới hạn C  lim A. 

C.

C.

2 3

D. 1

C.

8 27

D. 1

4 x 1  x  2 : 4 2x  2  2

B. 

(2 x  1)(3 x  1)(4 x  1)  1 : x 9 A.  B.  C. 2 3 1 4x  1  6x Câu 16. Tìm giới hạn M  lim : x 0 x2 1 A.  B.  C. 3 m n 1  ax  1  bx Câu 17. Tìm giới hạn N  lim : x 0 x a b A.  B.  C.  m n m n 1  ax 1  bx  1 Câu 18. Tìm giới hạn G  lim : x 0 x a b A.  B.  C.  m n

Câu 15. Tìm giới hạn F  lim x 0

n

Câu 19.

A. 

1  mx   1  nx  Tìm giới hạn V  lim x 0

B. 

x2

D. 1

D. 0

D.

a b  m n

D.

a b  m n

D.

mn  n  m  2

m

: C.

mn  n  m  2

Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Website: https://toanmath.com/

Trang 20

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Giới hạn – ĐS&GT 11

1  x 1  x  ...1  x  : Câu 20. Tìm giới hạn K  lim 3

1  x 

x 1

A. 

n

n 1

B. 

Câu 21. Tìm giới hạn L  lim



C.

1  x2  x

n

  

1  x2  x

B.  2 x 2  5x  2 Câu 22. Tìm giới hạn A  lim : x 2 x3  8 B. 

Câu 23. Tìm giới hạn B  lim x 1

A. 

B. 

1 4

D. 0

C. 

2 5

D. 0

2x  3  3 : x  4x  3 2

x 3

B.  3

Câu 25. Tìm giới hạn D  lim x0

A. 

C.

D. 0

x 4  3x 2  2 : x3  2 x  3

Câu 24. Tìm giới hạn C  lim A. 

:

C. 2n

A. 

D. 0

n

x

x 0

A. 



1 n!

C.

1 6

D. 0

C.

1 3

D. 0

x 1 1 : 2x 1 1

B. 

(2 x  1)(3 x  1)(4 x  1)  1 : x 0 x 9 B.  C. n n

Câu 26. Tìm giới hạn F  lim A. 

Câu 27. Tìm giới hạn M  lim x 0

A. 

m x0

A. 

1 4x  3 1  6x : 1  cos 3 x

B. 

Câu 28. Tìm giới hạn N  lim

n

1  mx   1  nx  Câu 29. Tìm giới hạn V  lim A. 

C.

4 9

D. 0

C.

2  an  bm  mn

D. 0

C.

2  an  bm  mn

D. mn  n  m 

1  ax  n 1  bx : 1  x 1

B. 

x 0

D. 0

1  2 x  3 1  3x

B. 

m

:

Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Website: https://toanmath.com/

Trang 21

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Giới hạn – ĐS&GT 11

1  x 1  x  ...1  x  : Câu 30. Tìm giới hạn K  lim 3

2 n 1

1  x 

x 1

A. 

B. 

x 0

B. 

Câu 32. Tìm giới hạn B  lim x 1

A. 

C.

1 n!

D. 0

C.

4 3

D. 0

C.

4 3

D.

C.

4 3

D. 3

C.

4 3

D. 1

C.

1 2

D. 0

C.

4 3

D. 1

4x 1  3 2x 1 : x

Câu 31. Tìm giới hạn A  lim A. 

n

4x  5  3 : 3 5x  3  2

B. 

2 5

2 x  3  3 2  3x : Câu 33. Tìm giới hạn C  lim x 1 x  2 1 4

A. 

B. 

Câu 34. Tìm giới hạn D  lim x2

A. 

B. 

Câu 35. Tìm giới hạn A  lim x 0

A. 

1  2 x  3 1  3x : x2

B. 

Câu 36. Tìm giới hạn B  lim

x 1

A. 

x x2 : x  3 3x  2

5  4x  3 7  6x : x3  x 2  x  1

B. 

Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Website: https://toanmath.com/

Trang 22

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

DẠNG 3: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH

Giới hạn – ĐS&GT 11

 

Phương pháp: P( x)  trong đó P ( x ), Q( x)   , dạng này ta còn gọi là dạng vô định .

Q( x)  với P(x), Q(x) là các đa thức hoặc các biểu thức chứa căn.

– Nếu P(x), Q(x) là các đa thức thì chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x.

– Nếu P(x), Q(x) có chứa căn thì có thể chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x hoặc nhân lượng liên hợp.

Tương tự như cách khử dạng vô định ở dãy số. Ta cần tìm cách đưa về các giới hạn: + lim x 2 k   ; lim x 2 k 1   () .

L = lim

x 

x  ( x  )

+ lim

x  ( x  )

x  ( x  )

k  0 (n  0; k  0) . xn

+ lim f ( x )   ( )  lim x  x0

Câu 1. lim x 

x  x0

k  0 ( k  0) . f ( x)

5 bằng: 3x  2

A. 0 .

B. 1 .

5 .

3

D.  .

C. 7. .

D. .

C.

x4  7 là: x  x 4  1 B. 1. .

Câu 2. Giá trị đúng của lim A. 1.

2

Câu 3. Tìm giới hạn C  lim

x 

A. 

2 x  3x  2 5x  x 2  1

B. 

: C.

2 3 6

D. 0

2x 2  1 bằng: x  3  x 2

Câu 4. lim

1 1 B.  .

C. .

3 3 2 x 1 Câu 5. Cho hàm số f ( x)  . Chọn kết quả đúng của lim f ( x ) : 4 x  2x  x2  3 1 2 A. .

B. .

C. 0 .

2 2 1  3x Câu 6. lim bằng: x  2 x2  3 3 2 2 3 2 A.  .

B. .

C. .

2 2 2

A. 2 .

3

Câu 7. Tìm giới hạn D  lim

x 

1  x4  x6 1  x3  x 4

D. 2 .

D.  .

D. 

2 .

2

:

Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Website: https://toanmath.com/

Trang 23

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A B. 

A. 

Câu 8. Cho hàm số f  x    x  2  A. 0 .

Câu 9. lim x 1

A. 3 .

Giới hạn – ĐS&GT 11

4 3

C.

D. 1

x 1 . Chọn kết quả đúng của lim f  x  : x  x  x2 1 4

B.

1 .

2

C. 1 .

D. Không tồn tại.

B.

1 .

2

C. 1 .

D.  .

x2  x  3 bằng: 2 x 1

x 4  8x là: x  x 3  2 x 2  x  2 24 C.  .

5

Câu 10. Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của lim A. 

21 .

5

21 .

5

B.

D.

24 .

5

Câu 12. Tìm giới hạn E  lim ( x 2  x  1  x ) : x 

A. 

B. 

C. 

1 2

D. 0

Câu 13. Tìm giới hạn F  lim x( 4 x 2  1  x) : x 

4 3 Câu 14. Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của lim  4 x5  3x 3  x  1 là:

A. 

B. 

A.  .

B. 0 .

C.

D. 0

x 

C. 4 . x 4  x 3  x 2  x là:

Câu 15. Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của lim

x 

A.  .

B. 0 .

D.  .

C. 1 .

D.  .





Câu 16. Tìm giới hạn B  lim x  x 2  x  1 : x 

A. 

B. 

4 3

C.

D. 0

Câu 17. Tìm giới hạn M  lim ( x 2  3 x  1  x 2  x  1) : x 

A. 

B. 

Câu 18. Tìm giới hạn N  lim

x 

A. 

3

x 



4

x 



D. Đáp án khác

C.

4 3

D. 0





16 x 4  3x  1  4 x 2  2 :

B. 

Câu 20. Tìm giới hạn K  lim

4 3

8x 3  2x  2x :

B. 

Câu 19. Tìm giới hạn H  lim A. 



C.

C.

4 3

D. 0



x2  1  x 2  x  2 x :

Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Website: https://toanmath.com/

Trang 24

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A. 

B. 

C. 

Giới hạn – ĐS&GT 11

1 2

D. 0

3x2  5x  1 : x  2 x 2  x  1

Câu 21. Tìm giới hạn A  lim A. 

B. 

C.

3 2

D. 0

a0 x n  ...  an 1 x  an (a0b0  0) : x  b x m  ...  b 0 m 1 x  bm 4 B.  C. 3

Câu 22. Tìm giới hạn B  lim A. 

3

Câu 23. Tìm giới hạn A  lim

3x3  1  2 x2  x  1 4

x 

4x4  2

: 3

A. 

B. 

3

x 

A. 

C. 

x x2  1  2 x  1

Câu 24. Tìm giới hạn B  lim

D. Đáp án khác

3 2 2

D. 0

:

2 x3  2  1

B. 

C.

4 3

D. 0

(2 x  1)3 ( x  2) 4 : x  (3  2 x )7

Câu 25.Tìm giới hạn A  lim A. 

B. 

C. 

4 x 2  3x  4  2 x

Câu 26. Tìm giới hạn B  lim

x2  x 1  x B. 

x 

A. 

2 x  3x2  2

Câu 27. Tìm giới hạn C  lim

5x  x 2  1

x 

A. 

3

1  x3  x 4

x 

A. 

x 



x 



D. 0

: C.

2 3 4

D. 0

C.

4 3

D. 1

:



x2  x  1  3 2 x3  x  1 :

B. 

Câu 30.Tìm giới hạn C  lim A. 

C. 2

B. 

Câu 29. Tìm giới hạn A  lim A. 

1  x4  x6

D. 0

:

B. 

Câu 28. Tìm giới hạn D  lim

1 16

C.

4 3

D. 0

C.

1 2

D. 0



4 x2  x  1  2 x :

B. 

Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Website: https://toanmath.com/

Trang 25

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 31. Tìm giới hạn D  lim

x 

A. 

3



x3  x 2  1  x2  x  1 :

B. 

Câu 32. Tìm giới hạn A  lim

x 

A. 

 

Giới hạn – ĐS&GT 11

C. 

1 6

D. 0



x2  x  1  2 x 2  x  x :

B. 

C.

3 2

D. 0

Câu 33.Tìm giới hạn B  lim x( x 2  2 x  2 x 2  x  x ) : x 

A. 

B. 

C. 

1 4

D. 0

a0 x n  ...  an 1 x  an , (a0 b0  0) : x  b x m  ...  b 0 m 1 x  bm 4 B.  C. 3

Câu 34. Tìm giới hạn A  lim A. 

4 x 2  x  3 8 x3  x  1

Câu 35. Tìm giới hạn B  lim

4

x 

A. 

B. 

4 x2  2  3 x3  1

Câu 36. Tìm giới hạn C  lim

x2 1  x

x 

A. 

B. 

Câu 37. Tìm giới hạn D  lim

x x2 1  2x 1

x  3

A. 

x4  3

2 x3  x  1  x

B. 

: C.

4 3

D. 4

C.

3 2

D. 0

C.

4 3

D. 0

:

:

Câu 38. Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của lim x 2 cos x 0

A. Không tồn tại.

B. 0 .

D. Đáp án khác

C. 1 .

2 là: nx

D.  .

Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Website: https://toanmath.com/

Trang 26

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Giới hạn – ĐS&GT 11

DẠNG 4: GIỚI HẠN MỘ BÊN VÀ CÁC DẠNG VÔ ĐỊNH KHÁC Phương pháp: 1. Giới hạn một bên : Áp dụng định lý giới hạn của một tích và một thương..

2. Dạng  – : Giới hạn này thường có chứa căn Ta thường sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp của tử và mẫu, Sau đó tìm cách biến đổi đưa  về dạng .  3. Dạng 0.: Ta cũng thường sử dụng các phương pháp như các dạng ở trên.

2  1 Câu 1. Chọn kết quả đúng của lim  2  3  : x 0  x x  A.  .

B. 0 .

C.  .

D. Không tồn tại.

Câu 2. lim x 1

x3  x2 x 1 1 x

bằng: B. 0 .

C. 1 .

D.  .

B. –1. x3 Câu 4. Giá tri đúng của lim x 3 x  3 A. Không tồn tại.

B. 0 .

C. 1.

D. +.

C. 1 .

D.  .

A. 1 .

2

Câu 3. lim x 1

x  x 1 bằng: x2 1

A. –.

Câu 5. Tìm giới hạn A  lim

x 





x2  x  1  x :

B. 

A. 



C. 

1 2

D. 0



Câu 6. Tìm giới hạn B  lim 2 x  4 x 2  x  1 : x 

B. 

A. 

C.

1 4

D. 0

1 1  . Chọn kết quả đúng của lim f  x  : x1 x 1 x 1 2 2 A.  .

B.  .

C. .

3 3 Câu 8. Tìm giới hạn C  lim [ n ( x  a1 )( x  a2 )...( x  an )  x] :

Câu 7. Cho hàm số f ( x) 

3

D.  .

x 

A. 

B. 

C.

a1  a2  ...  an n

D.

a1  a2  ...  an 2n

Câu 9. Tìm giới hạn A  lim ( x 2  x  1  x) : x 

A. 

B. 

C. 

1 2

D. 0

Câu 10. Tìm giới hạn B  lim x( 4 x 2  1  x) : x 

A. 

B. 

C.

1 4

D. 0

Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Website: https://toanmath.com/

Trang 27

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Giới hạn – ĐS&GT 11

Câu 11. Tìm giới hạn C  lim ( x 2  x  1  x 2  x  1) : x 

A. 

B. 

C.

1 4

D. Đáp án khác

C.

1 4

D. 0

Câu 12. Tìm giới hạn D  lim ( 3 8x 3  2x  2x) : x 

A. 

B. 

Câu 13. Tìm giới hạn E  lim ( 4 16 x 4  3 x  1  4 x 2  2) : x 

A. 

B. 

C.

1 4

D. 0

C.

1 4

D. 0

Câu 14. Tìm giới hạn F  lim ( x  3 1  x 3 ) : x 

A. 

B. 

Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Website: https://toanmath.com/

Trang 28

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Giới hạn – ĐS&GT 11

DẠNG 5 : GIỚI HẠN LƯỢNG GIÁC Phương pháp: Ta sử dụng các công thức lượng giác biến đổi về các dạng sau: sin x x tan x x  lim  1 , từ đây suy ra lim  lim  1.  lim x0 x  0 x  0 x  0 x sin x x tan x sin u ( x ) tan u ( x )  Nếu lim u ( x )  0  lim  1 và lim  1. x  x0 x  x0 x  x0 u( x) u( x) 1  cos ax : Câu 1. Tìm giới hạn A  lim x0 x2 a A.  B.  C. 2 1  sin mx  cos mx : Câu 2. Tìm giới hạn A  lim x 0 1  sin nx  cos nx m A.  B.  C. n 1  cos x.cos 2 x.cos 3 x Câu 3. Tìm giới hạn B  lim : x0 x2 A.  B.  C. 3 1  cos 2 x Câu 4.Tìm giới hạn A  lim : x0 3x 2sin 2 A.  B.  C. 1 Câu 5. Tìm giới hạn B  lim x 0

D. 0

D. 0

D. 0

cos 2 x  cos 3x : x(sin 3 x  sin 4 x )

B. 

A. 

D. 0

tan 2 2 x : x 0 1  3 cos 2 x A.  B.  x2 Câu 7. Tìm giới hạn D  lim : x 0 1  x sin 3 x  cos 2 x

5 2

D. 0

C. 6

D. 0

C.

7 2

D. 0

C.

n m

D. 0

C.

5 2

D. 1

C.

Câu 6. Tìm giới hạn C  lim

B. 

A. 

sin( x m ) Câu 8.Tìm giới hạn A  lim . : x 1 sin( x n ) B. 

A. 

 Câu 9. Tìm giới hạn B  lim(  x) tan x :  2 x 2

A. 

B. 

Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Website: https://toanmath.com/

Trang 29

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 10. Tìm giới hạn C  lim x sin x0

A. 

Giới hạn – ĐS&GT 11

1 (  0) : x

B. 

C.

5 2

D. 0

C.

5 2

D. 0

C.

7 11

D. 0

Câu 11.Tìm giới hạn D  lim (sin x  1  sin x ) : x 

A. 

B.  cos 3 x  cos 4 x : x  0 cos 5 x  cos 6 x

Câu 12. Tìm giới hạn A  lim A. 

B.  1  3 1  2 sin 2 x : x 0 sin 3x

Câu 13. Tìm giới hạn B  lim A. 

B. 

sin 2 2 x : x  0 3 cos x  4 cos x A.  B.  sin 4 2 x : Câu 15.Tìm giới hạn D  lim 4 x  0 sin 3 x

4 9

D. 0

C. 96

D. 0

C. 

Câu 14.Tìm giới hạn C  lim

A. 

B. 

C.

16 81

D. 0

C.

5 2

D. 0

C.

5 2

D. 0

C.

b a  2n 2 m

D. 0

C.

a 2n

D. 0

C.

7 11

D. 0

 1  sin( cos x) 2 Câu 16.Tìm giới hạn E  lim : x 0 sin(tan x) A. 

B. 

Câu 17. Tìm giới hạn F  lim

x 

A. 

3sin x  2 cos x : x 1  x

B.  m

Câu 18. Tìm giới hạn H  lim x 0

A. 

cos ax  m cos bx : sin 2 x

B.  1  n cos ax : x 0 x2

Câu 19.Tìm giới hạn M  lim A. 

B. 

Câu 20.Tìm giới hạn A  lim x0

A. 

cos 3 x  cos 4 x : cos 5 x  cos 6 x

B. 

Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Website: https://toanmath.com/

Trang 30

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Giới hạn – ĐS&GT 11

1  3 1  2 sin 2 x : x 0 sin 3x

Câu 21.Tìm giới hạn B  lim A. 

B. 

sin 2 2 x : x  0 3 cos x  4 cos x A.  B.  sin 4 2 x Câu 23. Tìm giới hạn D  lim 4 : x  0 sin 3 x

4 9

D. 0

C. 96

D. 0

C. 

Câu 22. Tìm giới hạn C  lim

A. 

B. 

 1  sin( cos x) 2 Câu 24. Tìm giới hạn E  lim : x 0 sin(tan x) A.  B.  3sin x  2 cos x Câu 25.Tìm giới hạn F  lim : x  x 1  x A. 

B.  m

Câu 26. Tìm giới hạn H  lim x 0

A. 

3 x 0

A. 

16 81

D. 0

C. 1

D. 0

C.

5 2

D. 0

C.

b a  2n 2 m

D. 0

cos ax  m cos bx : sin 2 x

B. 

Câu 27. Tìm giới hạn M  lim

C.

1  3x  1  2 x : 1  cos 2 x

B. 

3x  5sin 2 x  cos 2 x bằng: x  x2  2 A.  .

B. 0 .

C. 

1 4

D. 0

Câu 28. lim

C. 3 .

D.  .

Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Website: https://toanmath.com/

Trang 31

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Giới hạn – ĐS&GT 11

HÀM SỐ LIÊN TỤC A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP 1. Hàm số liên tục tại một điểm: y = f(x) liên tục tại x0 

lim f ( x)  f ( x0 )

x x0

 Để xét tính liên tục của hàm số y = f(x) tại điểm x0 ta thực hiện các bước: B1: Tính f(x0).

B2: Tính lim f ( x) (trong nhiều trường hợp ta cần tính lim f ( x) , lim x  x0

B3: So sánh

x  x0

f ( x) )

x  x0

lim f ( x) với f(x0) và rút ra kết luận.

x  x0

2. Hàm số liên tục trên một khoảng: y = f(x) liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó.

3. Hàm số liên tục trên một đoạn [a; b]: y = f(x) liên tục trên (a; b) và

lim f ( x)  f (a), lim f ( x)  f (b)

x a 

x b

 Hàm số đa thức liên tục trên R.  Hàm số phân thức, các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng.

Giả sử y = f(x), y = g(x) liên tục tại điểm x0. Khi đó:  Các hàm số y = f(x) + g(x), y = f(x) – g(x), y = f(x).g(x) liên tục tại x0.  Hàm số y =

f ( x) liên tục tại x0 nếu g(x0)  0. g ( x)

4. Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b] và f(a). f(b)< 0 thì tồn tại ít nhất một số c  (a; b): f(c) = 0.

Nói cách khác: Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b] và f(a). f(b)< 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm c (a; b).

Mở rộng: Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b]. Đặt m = min f ( x ) , M = max f ( x) . Khi đó với mọi T  (m; M) luôn tồn  a ;b

 a ;b

tại ít nhất một số c  (a; b): f(c) = T.

B – BÀI TẬP

DẠNG 1: TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM Phương pháp:  Tìm giới hạn của hàm số y  f ( x ) khi x  x0 và tính f ( x0 )

 Nếu tồn tại lim f ( x) thì ta so sánh lim f ( x) với f ( x0 ) . x  x0

x  x0

Chú ý: 1. Nếu hàm số liên tục tại x0 thì trước hết hàm số phải xác định tại điểm đó 2. lim f ( x)  l  lim f ( x)  lim f ( x)  l . x  x0

x  x0

x  x0

 f ( x ) khi x  x0 liên tục tại x  x0  lim f ( x)  k . x  x0 khi x  x0 k

3. Hàm số y  

 f1 ( x ) khi x  x0 liên tục tại điểm x  x0 khi và chỉ khi f ( x ) khi x  x 0  2

4. Hàm số f ( x )  

lim f1 ( x)  lim f 2 ( x )  f1 ( x0 ) .

x  x0

x  x0

Chú ý:

Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Website: https://toanmath.com/

Trang 32

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Giới hạn – ĐS&GT 11

 f ( x ) khi x  x0  Hàm số y   liên tục tại x  x0 khi và chỉ khi khi x  x0 k lim f ( x)  k . x x0

 f ( x ) khi x  x0  Hàm số y   liên tục tại x  x0 khi và chỉ khi g ( x ) khi x  x 0  lim f ( x )  lim g ( x) . x  x0

x  x0

Câu 1. Cho hàm số f  x   A.

3.

Câu 2. Cho hàm số f  x  

x2 1 và f  2   m 2  2 với x  2 . Giá trị của m để f  x  liên tục tại x  2 là: x 1 B.  3 .

C.  3 .

D. 3

x2  4 . Chọn câu đúng trong các câu sau:

(I) f  x  liên tục tại x  2 .

(II) f  x  gián đoạn tại x  2 .

(III) f  x  liên tục trên đoạn  2;2 .

A. Chỉ  I  và  III  .

B. Chỉ  I  .

C. Chỉ  II  .

D.

 II  và

Chỉ

 III   x2 1  Câu 3. Cho hàm số f  x    x 3  x  6  b  3

A.

x  3; x  2 x  3; b  

B.  3 .

3.

. Tìm b để f  x  liên tục tại x  3 .

C.

2 3 .

3

D. 

2 3 .

3

x 1 . Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau: x 1  I  f  x  gián đoạn tại x  1.

Câu 4. Cho hàm số f  x  

 II  f  x  liên tục tại f  x   III  lim x 1

A. Chỉ  I  .

x  1.

1 2

B. Chỉ  I  .

C. Chỉ  I  và  III  .

D.

 II  và

Chỉ

 III  .  2x  8  2  Câu 5. Cho hàm số f  x    x2 0   I  lim f  x   0 .

x  2

. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

x  2

x 2

 II  f  x  liên tục tại x  2.  III  f  x  gián đoạn tại x  2.

A. Chỉ  I  và  III  .

B. Chỉ  I  và  II  .

C. Chỉ  I  .

D. Chỉ  I 

Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Website: https://toanmath.com/

Trang 33

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A  4  x 2 1

Câu 6. Cho hàm số f  x   

Giới hạn – ĐS&GT 11

2 x  2 . Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:. x2

 I  f  x  không xác định tại x  3.  II  f  x  liên tục tại x  2. f  x  2  III  lim x2 A. Chỉ  I  .

C. Chỉ  I  và  III  .

B. Chỉ  I  và  II  .

D. Cả  I  ;  II  ;  III  đều sai.

 sin 5 x x0  Câu 7. Cho hàm số f  x    5 x . Tìm a để f  x  liên tục tại x  0. a  2 x0 A. 1 .

B. 1 .

C. 2 .

2  x  1 , x  1  Câu 8.Cho hàm số f  x    x 2  3 , x  1 . Tìm k để f  x  gián đoạn tại x  1 .  2 , x 1 k A. k  2 .

B. k  2 .

C. k  2 .  x 2 khi x  4  Câu 9.Cho hàm số f ( x )   x  4 . Khẳng định nào sau đây đúng nhất 1 khi x  4  4 A. Hàm số liên tục tại x  4 B. Hàm số liên tục tại mọi điểm trên tập xác định nhưng gián đoạn tại x  4 C. Hàm số không liên tục tại x  4

D. 2.

D. k  1 .

D. Tất cả đều sai

 x 2  3x  2  2 khi x  1  Câu 10. Cho hàm số f ( x)   . Khẳng định nào sau đây đúng nhất x 1 3 x 2  x  1 khi x  1  A. Hàm số liên tục tại x  1 B. Hàm số liên tục tại mọi điểm C. Hàm số không liên tục tại x  1 D. Tất cả đều sai

x  khi x  1  cos Câu 11. Cho hàm số 3. f  x    . Khẳng định nào sau đây đúng nhất 2  x 1 khi x  1  A. Hàm số liên tục tại tại x  1 và x  1 .

B. Hàm số liên tục tại x  1 , không liên tục tại điểm x  1 .

C. Hàm số không liên tục tại tại x  1 và x  1 .

D. Tất cả đều sai

Câu 12. Chọn giá trị f (0) để các hàm số f ( x)  A. 1

B. 2

2x  1 1 liên tục tại điểm x  0 . x( x  1) C. 3

D. 4

Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Website: https://toanmath.com/

Trang 34

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 3

Câu 13. Chọn giá trị f (0) để các hàm số f ( x )  A. 1

B. 2

Giới hạn – ĐS&GT 11

2x  8  2 liên tục tại điểm x  0 .

3x  4  2 2 1 C. D. 9 9

x x2 khi x  1  . Khẳng định nào sau đây đúng nhất Câu 14. Cho hàm số f ( x)   x  1  khi x  1 2 x  3 A. Hàm số liên tục tại tại tại x0  1 B. Hàm số liên tục tại mọi điểm C. Hàm số không liên tục tại tại x0  1 .

D. Tất cả đều sai

 x  1  3 x 1 khi x  0  Câu 15. Cho hàm số 3. f ( x )   . Khẳng định nào sau đây đúng nhất x 2 khi x  0  A. Hàm số liên tục tại x0  0 B. Hàm số liên tục tại mọi điểm như gián đoạn tại x0  0 C. Hàm số không liên tục tại x0  0 D. Tất cả đều sai

 3 x 1 khi x  1   x 1 Câu 16. Cho hàm số f ( x)   . Khẳng định nào sau đây đúng nhất 1 khi x  1  3 A. Hàm số liên tục tại x  1 B. Hàm số liên tục tại mọi điểm C. Hàm số không liên tục tại tại x  1 D. Tất cả đều sai

 x2  x  2  2 x khi x  2  Câu 17. Cho hàm số f ( x)   x  2 x2  x  3 khi x  2  . Khẳng định nào sau đây đúng nhất A. Hàm số liên tục tại x0  2 B. Hàm số liên tục tại mọi điẻm C. Hàm số không liên tục tại x0  2 D. Tất cả đều sai

 x  2a khi x  0 Câu 18. Tìm a để các hàm số f  x    2 liên tục tại x  0  x  x  1 khi x  0 1 1 B. C. 0 D. 1 A. 2 4

Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Website: https://toanmath.com/

Trang 35

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Giới hạn – ĐS&GT 11

 4x  1 1 khi x  0  2 Câu 19. Tìm a để các hàm số f ( x )   ax  (2a  1) x liên tục tại x  0 3 khi x  0  1 1 1 A. B. C.  D. 1 2 4 6  3x  1  2 khi x  1  2 Câu 20.Tìm a để các hàm số f ( x )   x2  1 liên tục tại x  1 a ( x  2)  khi x  1  x  3 1 1 3 B. C. D. 1 A. 2 4 4

Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Website: https://toanmath.com/

Trang 36

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Giới hạn – ĐS&GT 11

DẠNG 2: TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TRÊN TẬP XÁC ĐỊNH Phương pháp: + Sử dụng các định lí về tính liên tục của hàm đa thức, lương giác, phân thức hữu tỉ … + Nếu hàm số cho dưới dạng nhiều công thức thì ta xét tính liên tục trên mỗi khoảng đã chia và tại các điểm chia của các khoảng đó.

Câu 1. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:  I  f  x   12 liên tục trên  . x 1 sin x có giới hạn khi x  0.  II  f  x   x

 III  f  x   9  x2 liên tục trên đoạn  3;3 .

B. Chỉ  II  và  III  .

A. Chỉ  I  và  II  .

C. Chỉ  II  .

D. Chỉ  III  .

C. Chỉ  I  và  III  .

D. Chỉ  II  và  III 

Câu 2. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau: x 1 liên tục với mọi x  1 .  I  . f  x  x 1  II  . f  x   sin x liên tục trên  .

 III  . f  x  

x liên tục tại x  1 . x

A. Chỉ  I  đúng.

B. Chỉ  I  và  II  .

.

 x2  3 ,x 3  Câu 3. Cho hàm số f  x    x  3 . Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau: 2 3 ,x 3 

 I  . f  x  liên tục tại x  3 .  II  . f  x  gián đoạn tại x  3 .  III  . f  x  liên tục trên  .

A. Chỉ  I  và  II  .

C. Chỉ  I  và  III  .

B. Chỉ  II  và  III  .

D. Cả  I  ,  II  ,  III  đều đúng.

Câu 4. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:  I  . f  x   x5 – x 2  1 liên tục trên  .  II  . f  x   12 liên tục trên khoảng  –1;1 . x 1  III  . f  x   x  2 liên tục trên đoạn  2;  .

A. Chỉ  I  đúng.

B. Chỉ  I  và  II  .

C. Chỉ  II  và  III  .

D. Chỉ  I  và  III  .

Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Website: https://toanmath.com/

Trang 37

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Giới hạn – ĐS&GT 11

3  9  x , 0 x9  x  ,x0 . Tìm m để f  x  liên tục trên  0;  là.

Câu 5. Cho hàm số f  x   m 3  , x9  x 1 1 . C. .

D. 1 .

2 6 x2 1 Câu 6. Cho hàm số f ( x)  2 .Khi đó hàm số y  f  x  liên tục trên các khoảng nào sau đây? x  5x  6 A.  3; 2  .

B.  2;   .

C.  ;3  .

D.  2;3 .

A.

1 .

3

B.

 x 2  5x  6 khi x  2  Câu 7. Cho hàm số f  x    2 x 3  16 . Khẳng định nào sau đây đúng nhất.  2  x khi x  2  A. Hàm số liên tục trên  B. Hàm số liên tục tại mọi điểm C. Hàm số không liên tục trên  2 :   D. Hàm số gián đoạn tại điểm x  2 .

 3 x 1 khi x  1   x 1 Câu 8. Cho hàm số f ( x)   . Khẳng định nào sau đây đúng nhất.  3 1 x  2 khi x  1  x  2 A. Hàm số liên tục trên  B. Hàm số không liên tục trên  C. Hàm số không liên tục trên 1:   D. Hàm số gián đoạn tại các điểm x  1 .   tan x , x  0  x   k , k    Câu 9. Cho hàm số f  x    x . Hàm số y  f  x  liên tục trên các khoảng 2 0 ,x0 nào sau đây?

 

A.  0;

 .

2

 

B.  ;

 .

4

   ; .  4 4

C.  

D.  ;   .

a 2 x 2 , x  2, a   Câu 10. Cho hàm số f  x    . Giá trị của a để f  x  liên tục trên  là: 2  2  a  x , x  2 A. 1 và 2 .

B. 1 và –1 .

C. –1 và 2 .

D. 1 và –2 .

2 x , x 1  3  2x Câu 11. Cho hàm số f  x    , 0  x  1 . Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau: 1  x  x sin x , x  0  A. f  x  liên tục trên  .

B. f  x  liên tục trên  \ 0 .

Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Website: https://toanmath.com/

Trang 38

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A C. f  x  liên tục trên  \ 1 .

Câu 12. Cho hàm số f ( x ) 

Giới hạn – ĐS&GT 11

D. f  x  liên tục trên  \ 0;1 .

x2 . Khẳng định nào sau đây đúng nhất. x x6 2

A. Hàm số liên tục trên  B. TXĐ : D   \ 3; 2 .Ta có hàm số liên tục tại mọi x  D và hàm số gián đoạn tại x  2, x  3 C. Hàm số liên tục tại x  2, x  3 D. Tất cả đều sai

Câu 13. Cho hàm số f ( x)  3 x 2  1 . Khẳng định nào sau đây đúng nhất.

A. Hàm số liên tục trên  1   1   B. Hàm số liên tục tại mọi điểm x   ;  ;     3  3   

C. TXĐ : D   ;



1   1   ;    2  2 

1 1  ; .

3 3  Câu 14. Cho hàm số f ( x)  2 sin x  3 tan 2 x . Khẳng định nào sau đây đúng nhất.

A. Hàm số liên tục trên  B. Hàm số liên tục tại mọi điểm    C. TXĐ : D   \   k , k    D. Hàm số gián đoạn tại các điểm 2 2    x   k ,k  4 2  x 2  3x  2 khi x  1  x 1 Câu 15. Cho hàm số f  x    . Khẳng định nào sau đây đúng nhất.  a khi x  1  A. Hàm số liên tục trên  B. Hàm số không liên tục trên  C. Hàm số không liên tục trên 1:   D. Hàm số gián đoạn tại các điểm x  1 . 

D. Hàm số liên tục tại mọi điểm x   

 2x  1 1 khi x  0  Câu 16. Cho hàm số f  x    . Khẳng định nào sau đây đúng nhất. x  0 khi x  0  A. Hàm số liên tục trên  B. Hàm số không liên tục trên  D. Hàm số gián đoạn tại các điểm x  0 .

C. Hàm số không liên tục trên  0;   2 x  1 khi x  0  Câu 17. Cho hàm số f ( x )  ( x  1)3 khi 0  x  2 . Khẳng định nào sau đây đúng nhất.   x  1 khi x  2 A. Hàm số liên tục trên  B. Hàm số không liên tục trên  C. Hàm số không liên tục trên  2;  D. Hàm số gián đoạn tại các điểm x  2 . 2 x 2  x  1 khi x  1 Câu 18. Cho hàm số f ( x )   . Khẳng định nào sau đây đúng nhất.

3 x  1 khi x  1  A. Hàm số liên tục trên  B. Hàm số không liên tục trên  C. Hàm số không liên tục trên  2;  D. Hàm số gián đoạn tại các điểm x  1 .

Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Website: https://toanmath.com/

Trang 39

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Giới hạn – ĐS&GT 11

   sin x khi x  2 Câu 19. Xác định a, b để các hàm số f  x    liên tục trên   ax  b khi x   2 2 2 1    a  a  a  A.  B.  C.  D.    b  1 b  2 b  0

2  a    b  0

 x3  3 x 2  2 x khi x( x  2)  0  x( x  2)  Câu 20. Xác định a, b để các hàm số f ( x)  a khi x  2 liên tục trên  b khi x  0   a  10 a  11 a  1 a  12 A.  B.  C.  D.  b  1 b  1 b  1 b  1  3 x  2  2x 1 khi x  1  Câu 21. Tìm m để các hàm số f ( x )   liên tục trên  x 1 3m  2 khi x  1  4 A. m  1 B. m  C. m  2 D. m  0 3  x  1 1 khi x  0  Câu 22. Tìm m để các hàm số f ( x)   liên tục trên  x 2 x 2  3m  1 khi x  0  1 A. m  1 B. m   C. m  2 D. m  0 6  2x  4  3 khi x  2  liên tục trên  Câu 23. Tìm m để các hàm số f ( x)   x 1 khi x  2  2  x  2mx  3m  2 1 A. m  1 B. m   C. m  5 D. m  0 6

Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Website: https://toanmath.com/

Trang 40

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Giới hạn – ĐS&GT 11

DẠNG 3: ÁP DỤNG TÍNH LIÊN TỤC XÉT SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH Phương pháp :  Để chứng minh phương trình f ( x )  0 có ít nhất một nghiệm trên D, ta chứng minh hàm số y  f ( x ) liên tục trên D và có hai số a, b  D sao cho f ( a ). f (b)  0 .  Để chứng minh phương trình f ( x )  0 có k nghiệm trên D, ta chứng minh hàm số y  f ( x ) liên tục trên D và tồn tại k khoảng rời nhau (ai ; ai 1 ) (i=1,2,…,k) nằm trong D sao cho f (ai ). f (ai 1 )  0 .

Câu 1. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau: I. f  x  liên tục trên đoạn  a; b và f  a  . f  b   0 thì phương trình f  x   0 có nghiệm.

II. f  x  không liên tục trên  a; b và f  a  . f  b   0 thì phương trình f  x   0 vô nghiệm.

A. Chỉ I đúng.

B. Chỉ II đúng.

C. Cả I và II đúng.

D. Cả I và II sai.

Câu 2. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:  I  f  x  liên tục trên đoạn  a; b và f  a  . f  b   0 thì tồn tại ít nhất một số c   a; b  sao cho f  c   0 .

 II  f  x  liên tục trên đoạn  a; b và trên b; c  nhưng không liên tục  a; c  A. Chỉ  I  .

B. Chỉ  II  .

D. Cả  I  và  II  sai.

C. Cả  I  và  II  đúng.

3 2 Câu 3. Cho hàm số f  x   x –1000 x  0, 01 . Phương trình f  x   0 có nghiệm thuộc khoảng nào trong các khoảng sau đây?

I.  1;0  . II.  0;1 . III. 1;2  .

A. Chỉ I.

B. Chỉ I và II.

C. Chỉ II.

D. Chỉ III.

Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Website: https://toanmath.com/

Trang 41

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Giới hạn – ĐS&GT 11

ÔN TẬP CHƯƠNG IV Câu 1. Dãy số nào sau đây có giới hạn khác 0 ?

1 1 A. . .

B. n n Câu 2. Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0 ? n

n

 4  4 A.   .

B.    .  3  3 Câu 3. Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0 ? n

n

A.  0, 999  .

B. 1, 01 .

Câu 4. Dãy số nào sau đây không có giới hạn? n n A.  0,99  .

B.  1 .

Câu 5.

 1

n 1 . n

D. n

sin n . n n

 5 C.    .  3

1 D.   . 3

n

n

C. 1, 01 .

D.  2, 001 . n

n

C.  0, 99  .

D.  0,89  .

C. 0 .

1 D.  .

4

C.

4 .

5

4 D.  .

5

C.

2 .

3

D.

n

n3

1 A.  .

3

có giá trị là bao nhiêu?

B. 1 .

 3  4n  Câu 6. lim   có giá trị là bao nhiêu?  5n  3 3 A. .

B.  .

5 5 n n 2 3 Câu 7. lim có giá trị là bao nhiêu?

3n

A. 0 .

B. 1 .

Câu 8. lim 4  A. 0 .

C.

5 .

3

cos 2n có giá trị là bao nhiêu? n B.

2.

C. 2 .

D. 4 .

3

Câu 9. lim

3n  2n  1 có giá trị là bao nhiêu?

4n4  2n  1

A. 0 .

Câu 10. lim A. 0 .

Câu 11. lim 3 A.  .

4

Câu 12. lim A. 0 .

B.  .

C.

3 .

4

D.

2 .

7

C.

3 .

4

D.

4 .

7

C.

1 .

2

D.

3 .

4

C.

3 .

4

D.

4 .

3

3n 4  2n  3 có giá trị là bao nhiêu?

4n 4  2n  1

B.  .

2 n 2  3n 4 có giá trị là bao nhiêu?

4 n 4  5n  1

B. 0 .

3n 4  2 n  4 có giá trị là bao nhiêu?

4n 4  2 n  3

B.  .

Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Website: https://toanmath.com/

Trang 42

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Giới hạn – ĐS&GT 11

Câu 13. lim  3n3  2n 2  5  có giá trị là bao nhiêu?

A. 3 .

B. 6 .

4 2 Câu 14. lim  2n  n  5n  có giá trị là bao nhiêu?

C.  .

D.  .

C. 2 .

D.  .

4n 2  5  n  4 có giá trị là bao nhiêu?

2n  1 B. 1 .

C. 2 .

D.  .

A.  .

B. 0 .

Câu 15. lim A. 0 .

Câu 16. lim





n  10  n có giá trị là bao nhiêu?

B. 10 .

A.  .

C. 10 .

D. 0 .

2

Câu 17. lim

3  2n  4n có giá trị là bao nhiêu?

4 n 2  5n  3

3 .

4 Câu 18. Nếu lim un  L thì lim un  9 có giá trị là bao nhiêu?

4 D.  .

3

B. L  3 .

C. L  9 .

1 Câu 19. Nếu lim un  L thì lim có giá trị là bao nhiêu?

3 u 8 n 1 1 1 A. .

B. .

C. 3 .

L 8 L 8 L 2 n4 Câu 20. lim có giá trị là bao nhiêu? n 1 A. 1 .

B. 2 .

C. 4 .

2 1  2 n  2n có giá trị là bao nhiêu?

Câu 21. lim 2 5n  5n  3 1 2 A. 0 .

B. .

C. .

5 5 4 10 n Câu 22. lim 4 có giá trị là bao nhiêu?

10  2n A.  .

B. 10000 .

C. 5000 .

1  2  3  ...  n có giá trị là bao nhiêu?

Câu 23. lim 2n 2 1 1 A. 0 .

B. .

C. .

4 2 3 3 n n Câu 24. lim có giá trị là bao nhiêu?

6n  2 3 1 1 2 A. .

B. .

C. .

6 4 6

D.

A. 0 .

B. 1 .

C.

A. L  9 .

Câu 25. lim n A.  .



D.

L 3.

3

1 .

L 8

D.  .

2 D.  .

5

D. 1.

D.  .

D. 0 .



n 2  1  n 2  3 có giá trị là bao nhiêu?

B. 4 .

C. 2 .

D. 1 .

Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Website: https://toanmath.com/

Trang 43

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A n  sin 2n có giá trị là bao nhiêu? n5 2 1 A. .

B. .

5 5 3 Câu 27. lim  3n  4n  có giá trị là bao nhiêu?

Giới hạn – ĐS&GT 11

Câu 26. lim

A.  .

B. 4 .

Câu 28. Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0 ? n 2  2n 1  2n A. un  .

B. un  .

2 5n  n 5n  5 Câu 29. Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng  ?

A. u n  3n 2  n 3 .

B. u n  3n 2  n 3 .

Câu 30. Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng  ?

A. u n  n 4  3n 3 .

B. u n   n 4  3n 3 .

C. 0 .

D. 1.

C. 3 .

D.  .

C. un 

1  2n 2 .

5n  5

D. un 

1  2n .

5n  5n 2

C. u n  3n 2  n .

D. u n   n 2  4 n 3 .

C. u n  3n 2  n .

D. u n   n 2  4 n 3 .

n 1

 1 ;... có giá trị là bao nhiêu?

1 1 Câu 31. Tổng của cấp số nhân vô hạn ;  ;...; 2 4 2n 1 2 A. 1.

B. .

C.  .

D. 3 3 n 1  1 1 Câu 32. Tổng của cấp số nhân vô hạn  ; ;...; n ;... có giá trị là bao nhiêu?

2 4 2 1 1 2 B.  .

C.  .

D. A. .

3 3 3 n 1 1  1 1 Câu 33. Tổng của cấp số nhân vô hạn ;  ;...; ;... có giá trị là bao nhiêu?

3 9 3n 1 1 3 A. .

B. .

C. .

D. 4 2 4 1 1 1 Câu 34. Tổng của cấp số nhân vô hạn ; ;...; n1 ;... có giá trị là bao nhiêu?

2 6 2.3 1 3 3 A. .

B. .

C. .

D. 3 8 4 n 1 1  1 1 Câu 35. Tổng của cấp số nhân vô hạn ;  ;...; ;... có giá trị là bao nhiêu?

2 6 2.3n 1 8 3 2 B. .

C. .

D. A. .

3 4 3 n 1 1  1 1 Câu 36. Tổng của cấp số nhân vô hạn 1;  ; ;...; n 1 ;... có giá trị là bao nhiêu?

2 4 2 2 2 3 A.  .

B. .

C. .

D. 3 3 2 Câu 37. Dãy số nào sau đây có giới hạn là  ? n 2  2n 1  2n 1  n2 A. un  .

B. u  .

C. .

D. un  n 5n  5n 2 5n  5 5n  5 Câu 38. Dãy số nào sau đâu có giới hạn là  ?

1  .

3

1 .

3 .

2

3 .

2

3 .

8

2.

n2  2 . un  5n  5n 3

Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Website: https://toanmath.com/

Trang 44

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Giới hạn – ĐS&GT 11

9n 2  7n . n  n2 C. u n  2008n  2007 n 2 .

Câu 39. Trong các giới hạn sau đâu, giới hạn nào bằng 2n 2  3 2n 2  3 A. lim .

B. lim . 2n3  4 2n 2  1 Câu 40. Trong các giới hạn sau đâu, giới hạn nào bằng 2n 2  3 2n 2  3n3 A. lim .

B. . lim 2n3  4 2n 2  1 Câu 41. Trong các giới hạn sau đâu, giới hạn nào bằng 2n 2  3 2n  3n3 A. lim 3 .

B. lim . n 4 2n 2  1 1 Câu 42. Dãy số nào sau đây có giới hạn nào bằng ?

5 2 n  2n 1  2n A. un  .

B. un  .

2 5n  5 5n  5n Câu 43. lim  3 có giá trị là bao nhiêu?

2007  2008n . n 1 D. n 2  1 . 1 ?

2n 2  3 C. lim . 2n3  2n 2 0?

2n 2  3n 4 C. lim . 2n3  2n 2  ?

2n 2  3n 4 C. lim . 2n3  2n 2

A. 2 .

B. 1 .

2 Câu 44. lim  x  2 x  3 có giá trị là bao nhiêu?

C. 0 .

D. 3 .

A. 0 .

B. 2 .

2 Câu 45. lim  x  3 x  5  có giá trị là bao nhiêu?

C. 4 .

D. 6 .

C. 3 .

D.  .

3 .

5

D. .

A. un 

B. un 

C. un 

1  2n 2 .

5n  5

2n 3  3 D. lim . 2n 2  1

D. lim

3  2n3 .

2n 2  1

D. lim

3  2n3 .

2n 2  1

D. un 

1  2n .

5n  5n 2

x1

x 1

x2

A. 15 .

B. 7 .

4

3x  2 x  3 có giá trị là bao nhiêu?

5x4  3x  1 4 A. 0.

B. .

9 4 5 3x  2 x Câu 47. lim 4 có giá trị là bao nhiêu? x  5 x  3 x  2 2 3 A.  .

B. .

5 5 2 5 3x  x Câu 48. lim 4 có giá trị là bao nhiêu? x  x  x  5 A. .

B. 3.

4 5 3x  2 x Câu 49. lim 4 có giá trị là bao nhiêu? x  5 x  3 x 6  1 3 A. .

B. .

5 4 5 3x  2 x Câu 50. lim 4 có giá trị là bao nhiêu? x 1 5 x  3 x 6  1 1 3 A. .

B. .

9 5

Câu 46. lim

x 

C.

C. .

D. .

C. 1.

D. .

2 C.  .

5

D. 0.

2 C.  .

5

2 D.  .

3

Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Website: https://toanmath.com/

Trang 45

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 3 x 4  2 x5 có giá trị là bao nhiêu? x 1 5 x 4  3 x 2  1 1 5 A. .

B. .

3 9 4 5 3x  x Câu 52. lim 4 có giá trị là bao nhiêu? x 1 x  x  5 4 4 A. .

B. .

5 7 4 3x  2 x Câu 53. lim 4 có giá trị là bao nhiêu? x 2 x  3 x  2 13 7 A.  .

B. .

6 4 2 3 x x Câu 54. lim 2 có giá trị là bao nhiêu? x 2 x  x  3 4 12 A.  .

B. .

9 5 4 5 x  2x Câu 55. lim 4 có giá trị là bao nhiêu? x 1 2 x  3 x 5  2 1 1 B.  .

A.  .

12 7 3 xx Câu 56. lim 2 có giá trị là bao nhiêu? x 2 x  x  1 10 10 A.  .

B.  .

7 3 3 Câu 57. lim 4 x  2 x  3 có giá trị là bao nhiêu?

Giới hạn – ĐS&GT 11

Câu 51. lim

C.

3 .

5

D.

5 .

3

C.

2 .

5

D.

2 .

7

C.

11 .

6

D.

13 .

6

C.

4 .

3

D. .

2 C.  .

3

C.

6 .

7

D.

1 .

2

D. .

x 1

A. 9.

B. 5.

Câu 58. lim

x 

A. 0.

Câu 59. lim

x 2

A.

1 .

15

Câu 60. lim

x 1

A.

1 .

8

Câu 61. lim x 1

3x4  4 x5  3 có giá trị là bao nhiêu?

9 x5  5 x 4  1 1 B. .

3 x4  4 x 2  3 có giá trị là bao nhiêu?

7 x2  9 x 1 1 B. .

3 x 4  4 x 2  3x có giá trị là bao nhiêu? x 2  16 x  1 3 B. .

8

D. 5.

C. 1.

C.

3 .

5

D.

C.

35 .

9

D. .

C.

3 .

8

2 .

3

D. .

1  x3 có giá trị là bao nhiêu?

3x 2  x

Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Website: https://toanmath.com/

Trang 46

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A. 0.

B. 1.

Câu 62. lim x 1

1 A.  .

2

x2 có giá trị là bao nhiêu? x 1 1 B. .

2

10  x 3 có giá trị là bao nhiêu?

3x 2  x 11 .

B. 4

Câu 63. lim

x 1

A.

3 .

2

Câu 64. lim

x 



1 .

2

C.

C. .

9 .

2

C.

B. 3  5.

C. .

2 x  x  2x 1 Câu 65. lim có giá trị là bao nhiêu? x  x  2x4 A. 2.

B. 1.

C. 1.

A.



3



D. .

D. 2.



x 2  5  x có giá trị là bao nhiêu?

B.

x 

11 .

2

D.

2

5 .

2

Câu 67. lim x

D. .



4

x 

1 .

3

D.

x  3  x  5 có giá trị là bao nhiêu?

A. 0.

Câu 66. lim x

Giới hạn – ĐS&GT 11

5 .

2

C.

5.

D. .

C.

1 .

2

D.



x 2  1  x có giá trị là bao nhiêu?

B. 0.

A. .

y4 1 có giá trị là bao nhiêu? y 1 y  1 A. .

B. 4.

4 4 y a Câu 69. lim có giá trị là bao nhiêu? y a y  a A. .

B. 2a 3 . y4 1 Câu 70. lim 3 có giá trị là bao nhiêu? y 1 y  1

1 .

2

Câu 68. lim

B. 0.

A. .

Câu 71.

lim

x 

A. 0.

C. 2.

D. .

C. 4a 3 .

D. 4a 2 .

C.

3 .

4

4x2  2  x  3 có giá trị là bao nhiêu?

2x  3 B. 1.

C. 2.

D.

4 .

3

D. .

2

Câu 72.

A. 0.

lim

x 

4x  2  x  3 có giá trị là bao nhiêu?

2x  3 B. 1.

1 C.  .

2

D. .

Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Website: https://toanmath.com/

Trang 47

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A x 2  3x  2 có giá trị là bao nhiêu? x 2 2x  4 3 A. .

B. .

2 2 x  12 x  35 Câu 74. lim có giá trị là bao nhiêu? x 2 x 5 A. .

B. 5.

2 x  12 x  35 có giá trị là bao nhiêu?

Câu 75. lim x 5 5 x  25 1 A. .

B. .

5 2 x  2 x  15 có giá trị là bao nhiêu?

Câu 76. lim x 5 2 x  10

Giới hạn – ĐS&GT 11

Câu 73. lim

A. 8.

B. 4.

1 .

2

1 D.  .

2

C. 5.

D. 14.

C.

2 .

5

2 D.  .

5

C.

1 .

2

D. .

C.

x 2  2 x  15 có giá trị là bao nhiêu?

Câu 77. lim x 5 2 x  10 A. 4.

B. 1.

C. 4.

2 x  9 x  20 Câu 78. lim có giá trị là bao nhiêu? x 5 2 x  10 5 3 A.  .

B. 2.

C.  .

2 2 3x 4  2 x 5 Câu 79. lim 4 có giá trị là bao nhiêu? x  5 x  3 x  2 2 3 A.  .

B. .

C. .

5 5 x3  1 có giá trị là bao nhiêu?

Câu 80. lim 2 x 1 x  x A. 3.

B. 1.

C. 0. x Câu 81. lim  x  2  3 có giá trị là bao nhiêu? x  x 1 A. .

B. 0.

C. 1.

2 x  3x  2 Câu 82. lim có giá trị là bao nhiêu? x 1 x3  1 1 1 A.  .

B. .

C. 0.

3 3 Câu 83. lim x  3  x  5 có giá trị là bao nhiêu? x 



D. .

D. .

D. .

D. 1.

D. .

D. 1.



B. 4.

A. .

C. 0.

D. .

C. 6.

D. .

2

3x  7 x có giá trị là bao nhiêu? x 3 2x  3

Câu 84. lim A.

3 .

2

B. 2.

Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Website: https://toanmath.com/

Trang 48

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 85.

Giới hạn – ĐS&GT 11

6 x3  x 2  x có giá trị là bao nhiêu? x 1 x2 lim

8 A.  .

3

B. 2.

4 C.  .

3

D.

8 .

3

x2 1 có giá trị là bao nhiêu? x 1 x  1 A. .

B. 2.

C. 1.

D. . x2  2 x với x  0 . Phải bổ sung thêm giá trị f  0  bằng bao nhiêu thì Câu 87. Cho f  x   x hàm số liên tục trên  .

1 1 A. 0.

B. 1.

C. .

D. .

2 2 2 x với x  0 . Phải bổ sung thêm giá trị f  0  bằng bao nhiêu thì hàm Câu 88. Cho f  x   x  1 1 số liên tục trên  .

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 2.

2 x  5x với x  0 . Phải bổ sung thêm giá trị f  0  bằng bao nhiêu thì hàm số Câu 89. Cho f  x   3x liên tục trên  .

5 1 5 A. .

B. .

C. 0.

D.  .

3 3 3 2 x vôùi x  1, x  0 x  Câu 90. Cho hàm số f  x   0 vôùi x  0 . Hàm số f  x  liên tục tại:   x vôùi x  1  A. mọi điểm thuộc  .

B. mọi điểm trừ x  0.

C. mọi điểm trừ x  1.

D. mọi điểm trừ x  0 và x  1.

Câu 91. Hàm số f  x  có đồ thị như hình bên không liên tục tại điểm có hoành độ là bao nhiêu?

Câu 86.

lim

A. x  0.

B. x  1.

C. x  2.

D. x  3.

Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Website: https://toanmath.com/

Trang 49

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Giới hạn – ĐS&GT 11

PHẦN II – HƯỚNG DẪN GIẢI GIỚI HẠN DÃY SỐ A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIỚI HẠN HỮU HẠN 1. Giới hạn đặc biệt: 1 1 lim  0 (k    ) lim  0 ; k n n n n lim q n  0 ( q  1) ;

n

lim C  C

n

2. Định lí : a) Nếu lim un = a, lim vn = b thì  lim (un + vn) = a + b  lim (un – vn) = a – b  lim (un.vn) = a.b u a (nếu b  0)  lim n  vn b b) Nếu un  0, n và lim un= a thì a  0 và lim

un  a

c) Nếu un  vn ,n và lim vn = 0 thì lim un = 0 d) Nếu lim un = a thì lim un  a 3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn u S = u1 + u1q + u1q2 + … = 1  q  1 1 q

GIỚI HẠN VÔ CỰC 1. Giới hạn đặc biệt:

lim n  

lim n k   (k    )

lim qn   (q  1) 2. Định lí:

a) Nếu lim un   thì lim

1 0 un

b) Nếu lim un = a, lim vn =  thì lim

un vn

=0

c) Nếu lim un = a  0, lim vn = 0 u  neáu a.vn  0 thì lim n =  neáu a.vn  0 vn  d) Nếu lim un = +, lim vn = a  neáu a  0 thì lim(un.vn) =  neáu a  0   * Khi tính giới hạn có một trong các dạng vô 0  định: , ,  – , 0. thì phải tìm cách khử 0  dạng vô định.

B – BÀI TẬP DẠNG 1: TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH NGHĨA Phương pháp:  Để chứng minh lim un  0 ta chứng minh với mọi số a  0 nhỏ tùy ý luôn tồn tại một số na sao cho un  a n  na .

 Để chứng minh lim un  l ta chứng minh lim(un  l )  0 .  Để chứng minh lim un   ta chứng minh với mọi số M  0 lớn tùy ý, luôn tồn tại số tự nhiên nM sao cho un  M n  nM .  Để chứng minh lim un   ta chứng minh lim(un )   .  Một dãy số nếu có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất.

Câu 1. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau: A. Nếu lim un   , thì lim un   .

C. Nếu lim un  0 , thì lim un  0 .

B. Nếu lim un   , thì lim un   .

D. Nếu lim un  a , thì lim un  a .

Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Website: https://toanmath.com/

Trang 50

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Giới hạn – ĐS&GT 11

Hướng dẫn giải: Chọn C. Theo nội dung định lý.

Câu 2. Giá trị của lim A. 0 Hướng dẫn giải: Chọn A.

1 bằng: n 1 B. 1

Với a  0 nhỏ tùy ý, ta chọn na  Câu 3. Giá trị của lim A. 0 Hướng dẫn giải: Chọn A.

A. 0 Hướng dẫn giải: Chọn A.

D. 3

1 1 1 1  1 ta có  0.   a n  na nên có lim a n 1 n  1 na  1

1 ( k  *) bằng: nk B. 2

Với a  0 nhỏ tùy ý, ta chọn na  Câu 4. Giá trị của lim

C. 2

k

C. 4

D. 5

1 1 1 1 ta có k  k  a n  na nên có lim k  0 . a n n na

sin 2 n bằng: n2 B. 3

C. 5

D. 8

sin 2 n 1 1 1 Với a  0 nhỏ tùy ý, ta chọn na   2 ta có    a n  na nên có a n  2 n  2 na  2 sin 2 n lim  0. n2 Câu 5. Giá trị của lim(2n  1) bằng: A.  B.  Hướng dẫn giải: Chọn A.

C. 0

D. 1

M 1 2 Ta có: 2n  1  2nM  1  M n  nM  lim(2n  1)   .

Với mọi số dương M lớn tùy ý ta chọn nM 

Câu 6. Giá trị của lim A.  Hướng dẫn giải: Chọn B.

1  n2 bằng: n B. 

Với mọi số dương M lớn tùy ý ta chọn nM thỏa

C. 0

D. 1

nM2  1 M nM

M  M2 4  nM  .

2

Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Website: https://toanmath.com/

Trang 51

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A n2  1 n2  1  M n  nM  lim   n n 1  n2 Vậy lim   . n 2 Câu 7. Giá trị của lim bằng: n 1 A.  B.  C. 0 Hướng dẫn giải: Chọn C. 2  Với mọi a  0 nhỏ tùy ý, ta chọn na    1  1 a  2 2 Suy ra  a n  na  lim  0. n 1 n 1 cos n  sin n Câu 8. Giá trị của lim bằng: n2  1 A.  B.  C. 0 Hướng dẫn giải: Chọn C. cos n  sin n 2 1 cos n  sin n Ta có 0  2 mà lim 2  0  lim 2 n n n n2  1 n 1 Câu 9. Giá trị của lim bằng: n2 A.  B.  C. 0 Hướng dẫn giải: Chọn C. 1  Với mọi số thực a  0 nhỏ tùy ý, ta chọn na   2  1  1 a  n 1 1 n 1 Ta có:   a n  na  lim  0. n2 n2 n 1

Giới hạn – ĐS&GT 11

Ta có:

3n3  n Câu 10. Giá trị của lim bằng: n2 A.  B.  Hướng dẫn giải: Chọn A. M  Với mọi M  0 lớn tùy ý, ta chọn nM     1 3 3 3n  n 1 Ta có:  3n   M n  nM 2 n n 3 3n  n Vậy lim   . n2 2n Câu 11. Giá trị của lim bằng: n 1 A.  B. 

D. 1

D. 1

D. 1

C. 0

D. 1

C. 0

D. 1

Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Website: https://toanmath.com/

Trang 52

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Giới hạn – ĐS&GT 11

Hướng dẫn giải: Chọn B. 2

1  Với mọi M  0 lớn tùy ý, ta chọn nM    3   1 a  n2 3 Ta có:  n 1   1  n  3  M n  nM 1 n n 1 2n Suy ra lim   . n 1 2n  1 bằng: Câu 12. Giá trị của A  lim n2 A.  B.  C. 2 Hướng dẫn giải: Chọn C. 5 Với số thực a  0 nhỏ tùy ý, ta chọn na   2  2 a 2n  1 5 5 Ta có: 2    a n  na n2 n  2 na  2 Vậy A  2 .

2n  3 Câu 13. Giá trị của B  lim 2 bằng: n 1 A.  B.  C. 0 Hướng dẫn giải: Chọn C. 2n  3 Với số thực a  0 nhỏ tùy ý, ta chọn na thỏa 2a a na  1

1  a 2  4a  13 a 2n  3 Ta có: 2  a n  na  B  0 . n 1 n2  1 Câu 14. Giá trị của C  lim bằng: n 1 A.  B.  Hướng dẫn giải: Chọn D.

D. 1

D. 1

 na 

Với số thực a  0 nhỏ tùy ý, ta chọn na  Ta có:

C. 0

D. 1

1 2

D. 1

1 1 a

n2  1 n2 1 1  1   a n  na n 1 n 1 na  1

Vậy C  1 .

Câu 15. Giá trị của A  lim A. 

n2 n bằng: 2n

B. 

C.

Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Website: https://toanmath.com/

Trang 53

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Giới hạn – ĐS&GT 11

Hướng dẫn giải: Chọn C. Câu 16. Giá trị của B  lim A.  Hướng dẫn giải: Chọn C. Câu 17. Giá trị của C  lim A.  Hướng dẫn giải: Chọn C. Câu 18. Giá trị của D  lim A.  Hướng dẫn giải: Chọn D. Câu 19. Giá trị của lim

n sin n  3n 2 bằng: n2 B. 

C. 3

D. 1

1 bằng: n2  2 n  7 B. 

C. 0

D. 1

C. 0

D. 4

4n  1

bằng:

2

n  3n  2 B. 

an  0 bằng: n!

B. 

A.  C. 0 Hướng dẫn giải: Chọn C. Gọi m là số tự nhiên thỏa: m  1  a . Khi đó với mọi n  m  1 m

an a a a a a a  a  Ta có: 0   . ... . ...  .  n! 1 2 m m  1 n m!  m  1 

D. 1

n m

n m

 a  an Mà lim    0 . Từ đó suy ra: lim  0 . n!  m 1  Câu 20. Giá trị của lim n a với a  0 bằng: A.  B.  Hướng dẫn giải: Chọn D. Nếu a  1 thì ta có đpcm





n



C. 0

D. 1



 Giả sử a  1 . Khi đó: a  1  n a  1   n n a  1   a Suy ra: 0  n a  1   0 nên lim n a  1 n 1 1  Với 0  a  1 thì  1  lim n  1  lim n a  1 . a a Tóm lại ta luôn có: lim n a  1 với a  0 .

Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Website: https://toanmath.com/

Trang 54

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Giới hạn – ĐS&GT 11

DẠNG 2: TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ DỰA VÀO CÁC ĐỊNH LÝ VÀ CÁC GIỚI HẠN CƠ BẢN Phương pháp:  Sử dụng các định lí về giới hạn, biến đổi đưa về các giới hạn cơ bản. f (n )  Khi tìm lim ta thường chia cả tử và mẫu cho n k , trong đó k là bậc lớn nhất của tử và g ( n) mẫu.  Khi tìm lim  k f (n)  m g (n)  trong đó lim f ( n)  lim g ( n)   ta thường tách và sử dụng phương pháp nhân lượng liên hơn. + Dùng các hằng đẳng thức:



a  b  a  b   a  b;

 3 a  3 b   3 a2  3 ab  3 b2   a  b

 Dùng định lí kẹp: Nếu un  vn ,n và lim vn = 0 thì lim un = 0 Khi tính các giới hạn dạng phân thức, ta chú ý một số trường hợp sau đây:  Nếu bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng 0.  Nếu bậc của từ bằng bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng tỉ số các hệ số của luỹ thừa cao nhất của tử và của mẫu.  Nếu bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó là + nếu hệ số cao nhất của tử và mẫu cùng dấu và kết quả là – nếu hệ số cao nhất của tử và mẫu trái dấu.

Câu 1. Cho dãy số  un  với un 

n u 1 và n 1  . Chọn giá trị đúng của lim un trong các số sau: n 4 un 2

1 1 .

B. .

C. 0 .

4 2 Hướng dẫn giải: Chọn C. Chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học ta có n  2n , n  

A.

n n n 1 1 Nên ta có : n  2  n  1  n n  n  n    2 2 .2 2 4  2

D. 1 .

n

n

n

n

1 1 Suy ra : 0  un    , mà lim    0  lim un  0 . 2 2 n cos 2n   Câu 2. Kết quả đúng của lim  5  2  là: n 1  

A. 4.

B. 5.

C. –4.

D.

1 .

4

Hướng dẫn giải: Chọn B. n n cos 2n n  2  2  2 n 1 n 1 n 1 n 1 1 n Ta có lim 2  lim .  0 ; lim  2 0  2 n 1 n 11 / n n 1 n cos 2n   n cos 2n    lim  2   0  lim  5  2   5. n 1   n 1  

Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Website: https://toanmath.com/

Trang 55

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 3. Giá trị của. A  lim

Giới hạn – ĐS&GT 11

2n  1 bằng: 1  3n

B. 

A. 

C. 

2 3

D. 1

Hướng dẫn giải: Chọn C. Câu 4. Giá trị của. B  lim

4n 2  3n  1 bằng: (3n  1)2 B. 

A. 

C.

4 9

D. 1

Hướng dẫn giải: Chọn C. Câu 5. Kết quả đúng của lim 3 .

3 Hướng dẫn giải: Chọn A.

A. 

lim

 n 2  2n  1 3n 4  2

 n 2  2n  1 3n 4  2 2 B.  .

3

là 1 C.  .

2

 1  2 / n  1/ n   1  0  0    lim 2

3  2 / n2

30

D.

1 .

2

3 .

3

4

Câu 6. Giới hạn dãy số  un  với un  A.  .

3n  n là: 4n  5

B.  .

C.

Hướng dẫn giải: Chọn A. 3n  n4 3 / n3  1 lim un  lim  lim n3   .

4n  5 45/ n 3 / n3  1 1 Vì lim n3  ; lim  .

45/ n 4 n3  2n  5 : Câu 7. Chọn kết quả đúng của lim 3  5n 2 A. 5 .

B. .

5 Hướng dẫn giải: Chọn D. n3  2n  5 lim  lim n .

3  5n

Vì lim n  ;lim

1  2 / n

1  2 / n

2

 5 / n3 

3/ n5 2

 5 / n3 



3 .

4

C.  .

D. 0 .

D.  .

  .

1 .

5

3/ n5 2n 2  3n  1 Câu 8. Giá trị của A  lim 2 bằng: 3n  n  2

Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Website: https://toanmath.com/

Trang 56

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A B. 

A. 

C.

2 3

Giới hạn – ĐS&GT 11 D. 1

Hướng dẫn giải: Chọn C.

3 1  n n2  2 .

Ta có: A  lim 1 2 3  2 3 n n 2

Câu 9. Giá trị của B  lim

n 2  2n n  3n2  1

bằng:

B. 

A. 

1 1 3

C. 0

D.

C. 16

D. 1

Hướng dẫn giải: Chọn D. 1 n2  n 1 n  1 n Ta có: B  lim  lim 1 1 3 n  3n 2  1 1 3  2 n n

 2n Câu 10. Giá trị của C  lim

2

4

 1  n  2 

9

bằng:

n17  1 B. 

A.  Hướng dẫn giải: Chọn C.

1 4 9 2 1 2 ) .n (1  )9 (2  2 )4 .(1  )9 2 n n  lim n n  16 1 1 n17 (1  17 ) 1  17 n n

n8 (2  Ta có: C  lim

Câu 11. Giá trị của D  lim A. 

n 2  1  3 3n3  2 4

2n 4  n  2  n

bằng:

B. 

C.

1 3 3 4 2 1

D. 1

Hướng dẫn giải: Chọn C.  1 2  n 1 2  3 3  3  n n  1 3 3 Ta có: D  lim  4 .   2 1 1 2 n  4 2  3  4  1 n n   4

Câu 12. Giá trị của C  lim A.  Hướng dẫn giải:

3n3  1  n

2n 4  3n  1  n B. 

bằng: C. 0

D. 1

Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Website: https://toanmath.com/

Trang 57

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Giới hạn – ĐS&GT 11

Chọn C.

3 1 1  8  5 n n n  0.

2 Chia cả tử và mẫu cho n ta có được C  lim 3 1 1 2 3  4  n n n 4

Câu 13. Giá trị của. F  lim A.  Hướng dẫn giải: Chọn C.

(n  2)7 (2n  1)3 bằng: (n 2  2)5 B. 

C. 8

D. 1

1 4

D. 1

n3  3n 2  2 Câu 15. Giá trị của. D  lim 4 bằng: n  4n3  1 A.  B.  Hướng dẫn giải: Chọn C.

C. 0

D. 1

n3  2n  1 bằng: Câu 16. Giá trị của. E  lim n2 A.  B.  Hướng dẫn giải: Chọn A.

C. 0

D. 1

7

3

1  2  1    2   n  n 8 Ta có: F  lim  5 5   1  2   n  n3  1 Câu 14. Giá trị của. C  lim bằng: n(2n  1) 2

B. 

A. 

C.

Hướng dẫn giải: Chọn C.

4

Câu 17. Giá trị của. F  lim A. 

n 4  2n  1  2n 3

3n3  n  n

B. 

bằng: C.

3

3 3 1

D. 1

Hướng dẫn giải: Chọn C. Câu 18. Cho dãy số un với un   n  1 A.  .

Hướng dẫn giải: Chọn B. Ta có: lim un  lim  n  1

B. 0 .

2n  2 . Chọn kết quả đúng của lim un là: n  n2 1 C. 1 .

D.  .

4

2n  2 n  n2  1 4

Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Website: https://toanmath.com/

Trang 58

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Giới hạn – ĐS&GT 11

2

 lim

 n  1  2n  2 n4  n2  1

2n3  2n 2  2n  2  lim n4  n2  1 ` 2 2 2 2  2 3 4  lim n n n n  0.

1 1 1 2  4 n n 10 Câu 19. lim bằng : n4  n2  1 A.  .

B. 10 .

Hướng dẫn giải: Chọn C. 10 10 Ta có: lim  lim 4 2 1 1 n  n 1 n2 1  2  4 n n 1 1 10 Nhưng lim 1  2  4  1 và lim 2  0 n n n 10 Nên lim  0.

4 n  n2  1 n 1  4 Câu 20. Tính giới hạn: lim n 1  n A. 1 .

B. 0 .

C. 0 .

D.  .

C. 1

1 D. .

2

Hướng dẫn giải: Chọn B.

1 1 4  2  n 1  4 n n n 00 .

Ta có: lim  lim 1 n 1  n 1 1  2 1 n n 1  3  5  ....   2n  1 Câu 21. Tính giới hạn: lim 3n2  4 1 2 A. 0 .

B. .

C. .

3 3 Hướng dẫn giải: Chọn B. 1  3  5  ....   2n  1 n2 1 1 Ta có: lim  lim 2  lim  .

2 4 3n  4 3n  4 3 2 3 n 2 n 1 1  .

Câu 22. Chọn kết quả đúng của lim 3  3  n2 2n

D. 1 .

Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Website: https://toanmath.com/

Trang 59

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A B. 3 .

A. 4 .

C. 2 .

Giới hạn – ĐS&GT 11 D.

1 .

2

Hướng dẫn giải: Chọn C. 1 n 1 1 n2  1  3  1  0  2 lim 3    lim 3  n 3 3  n2 2n 1 1 2 2 n a n k  ...  a1n  a0 Câu 23. Giá trị của D  lim k p (Trong đó k , p là các số nguyên dương; ak b p  0 ). bp n  ...  b1n  b0 bằng: A.  B.  C. Đáp án khác D. 1 Hướng dẫn giải: Chọn C. Ta xét ba trường hợp sau a a ak  k 1  ...  0k  if a b  0 k p n n   k  p . Chia cả tử và mẫu cho n k ta có: D  lim .  bp b0  if a b  0  k p   ...  k n p k n a a ak  k 1  ...  0k n n  ak .  k  p . Chia cả tử và mẫu cho n k ta có: D  lim b bk bk  ...  0k n ak a0  ...  p p k p n n  0.  k  p . Chia cả tử và mẫu cho n : D  lim b0 bp  ...  p n n 2 25 Câu 24. Kết quả đúng của lim n là: 3  2.5n 5 1 5 25 A.  .

B.  .

C. .

D.  .

2 50 2 2 Hướng dẫn giải: Chọn B. 2 1 1  0 n 2 n 25 25   1 . lim n  lim 5 n 25  n 3  2.5 02 50 3  5   2.   n 3  4.2 n 1  3 Câu 25. lim bằng: 3.2n  4n A.  .

B.  .

C. 0 .

D. 1 .

Hướng dẫn giải: Chọn C. 2

1

Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Website: https://toanmath.com/

Trang 60

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Giới hạn – ĐS&GT 11

n n  2 1  3  1  4.    3.    3  3   3n  4.2n 1  3 3n  2.2n  3  lim  lim  lim 3.2n  4n 3.2 n  4n   2 n  n 4  3.    1  4    n

n n  2 1  1  4.    3.    n   3  3   3   lim   0.   2 n  4  3.    1  4 

Câu 26. Giá trị của C  lim

3.2 n  3n bằng: 2 n 1  3n 1

B. 

A. 

C. 

1 3

D. 1

Hướng dẫn giải: Chọn C. n

2 3.    1 n n 3.2  3 1 3 Ta có: C  lim n 1 n 1  lim  n  2 3 3 2 2.    3 3 Câu 27. Giá trị đúng của lim  3n  5n  là:

A.  .

Hướng dẫn giải: Chọn B.

B.  .

  3 n  lim  3  5   lim 5     1    .  5     n  3   Vì lim 5n  ; lim     1  1 .  5     3.2n  3n Câu 28. Giá trị của. K  lim n 1 n 1 bằng: 2 3 1 A.  B.  3 Hướng dẫn giải: Chọn A. n 2 3  1 1 3 K  lim  n  3 2 2   3 3 5n  1 Câu 29. lim n bằng : 3 1 A.  .

B. 1 .

Hướng dẫn giải: n

n

C. 2 .

D. 2 .

C. 2

D. 1

C. 0

D.  .

n

Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Website: https://toanmath.com/

Trang 61

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Giới hạn – ĐS&GT 11

Chọn A. n

1 1   n 5 1 5  lim Ta có: lim n n n 3 1  3 1     5 5 n n n n n  1   3 1 3 1 Nhưng lim  1      1  0 , lim       0 và       0 n  *  5  5 5 5 5   5n  1 Nên lim n   .

3 1

Câu 30. lim 4

4n  2n 1 bằng : 3n  4 n  2 1 B. .

2

A. 0 .

1 C. .

4

D.  .

Hướng dẫn giải: Chọn B. n

Ta có: lim 4

4n  2n 1 3n  4 n  2

n

1 1  2.   1 n 1 2 2  1 .  lim  lim 4 n n 2 4 3 3 2 2   4 4 4 4   n

1 3 Vì lim    0; lim    0. 2 4

Câu 31. Giá trị của. C  lim A. 

3.3n  4n bằng: 3n 1  4n 1 1 B. 2

C. 0

D. 1

Hướng dẫn giải: Chọn B. Câu 32. Cho các số thực a,b thỏa a  1; b  1 . Tìm giới hạn I  lim A. 

B. 

C.

1  a  a 2  ...  a n .

1  b  b 2  ...  b n

1 b 1 a

D. 1

Hướng dẫn giải: Chọn C. Ta có 1, a, a2 ,..., a n là một cấp số nhân công bội a 1  a  a 2  ...  a n  Tương tự 1  b  b 2  ...  b n 

1  a n 1 1 a

1  b n 1 1 b

1  a n 1 1 b Suy ra lim I  lim 1  an 1  1 b 1 a 1 b ( Vì a  1, b  1  lim a n 1  lim b n 1  0 ).

Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Website: https://toanmath.com/

Trang 62

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 33. Tính giới hạn của dãy số A  lim A.  B.  Hướng dẫn giải: Chọn C. Ta chia làm các trường hợp sau

Giới hạn – ĐS&GT 11

ak .n k  ak 1n k 1  ...  a1n  a0 với ak b p  0 bp .n p  b p 1n p 1  ...  b1n  b0 C. Đáp án khác D. 1

.:

ak 1 a  ...  0k n n  ak .

TH 1: n  k , chia cả tử và mẫu cho n k , ta được A  lim bp 1 b bp bp   ...  0k n n ak 1 a ak   ...  0k  khi ak bp  0 n n  TH 2: k  p , chia cả tử và mẫu cho n k , ta được A  lim bp bp 1 b  khi ak bp  0   ...  0k  kp k  p 1 n n n ak a a  pkk11  ...  0p p k n n 0.

TH 3: k  p , chia cả tử và mẫu cho n p , ta được A  lim n bp 1 b0 bp   ...  p n n n   Câu 34. lim  n 2 sin  2n3  bằng: 5   A.  .

B. 0 .

C. 2 .

D.  .

Hướng dẫn giải: Chọn C. n   sin   n  2  5  2   lim  n sin  2 n3   lim n3   5 n       n   sin   5  2  2 Vì lim n 3  ;lim    n    n n   sin sin  5  1 ; lim 1  0  lim 5  2   2 .   n n n  n    ak 



Câu 35. Giá trị của. M  lim



A.  Hướng dẫn giải: Chọn C. 6n M  lim 3 2 n  6n  n

B. 

Câu 36. Giá trị của. H  lim



A. 

n 2  6n  n bằng:

C. 3

D. 1

1 2

D. 1



n2  n  1  n bằng:

B. 

C.

Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Website: https://toanmath.com/

Trang 63

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Giới hạn – ĐS&GT 11

Hướng dẫn giải: Chọn C. 1 1 n Ta có: H  lim  lim  2 1 1 n2  n  1  n 1  2 1 n n 1

n 1

Câu 37. Giá trị của B  lim





2n 2  1  n bằng:

A.  B.  Hướng dẫn giải: Chọn A.  1  Ta có: B  lim n  2   1   n   Bài 40. Giá trị của K  lim n

D. 1

1 2

D. 1





n 2  1  n bằng:

B. 

A. 

C. 0

C.

Hướng dẫn giải: Chọn C.



Câu 38. Giá trị đúng của lim



A.  .

Hướng dẫn giải: Chọn B.

B.  .

lim





n 2  1  3n 2  2 là:

n 2  1  3n 2  2  lim n



C. 0 .

D. 1 .



1  1/ n 2  3  2 / n2   .

 Câu 39. Giá trị của A  lim  n  6n  n  bằng: Vì lim n  ; lim



1  1 / n2  3  2 / n2  1  3  0 .

2

B. 

A.  Hướng dẫn giải: Chọn C. Ta có A  lim  lim





n2  6n  n  lim

6n 2

n  6n  n



3



3

C. 0

D. 3

n 2  6n  n 2 n 2  6n  n

n3  9n 2  n



n3  9n 2  n bằng:

B. 

A.  Hướng dẫn giải: Chọn D. Ta có: B  lim

D. 1

6 3 6 1 1 n

 lim

Câu 40. Giá trị của B  lim

C. 3



Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Website: https://toanmath.com/

Trang 64

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Giới hạn – ĐS&GT 11

9n 2

 lim 3

n

3

2

 9n2   n 3 n3  9n 2  n 2 9

 lim

3.

2

9  9 3 1    1 1 n  n

Câu 41. Giá trị của D  lim



n 2  2n  3 n3  2n2

 bằng:

B. 

A. 

1 3

D. 1

C. 0

D. 1

C.

Hướng dẫn giải: Chọn C. Ta có: D  lim





n 2  2n  n  lim



3

n3  2n 2  n

2n 2

2n

 lim



 lim 3 n 2  2n  n ( n3  2n 2 ) 2  n 3 n3  2n 2  n 2 2 2 1  lim  lim  .

3 2 2 2 3 2 3 (1  1 1 )  1 1 n n n



Câu 42. Giá trị của. M  lim 1 12 Hướng dẫn giải: Chọn A.

3



1  n 2  8n3  2n bằng:

B. 

A. 

1  n2

Ta có: M  lim 3

(1  n 2  8n3 ) 2  2n 3 1  n 2  8n3  4n 2



A.  Hướng dẫn giải: Chọn C.

B. 

Mà: lim lim



3





4n 2  1  3 8n3  n bằng:



C. 0

4n 2  1  2n  lim





3

8n 3  n  2 n

1



4n 2  1  2n  lim

2

3

D. 1



0

4 n  1  2n n

8n 2  n  2n  lim

1 12



Câu 43. Giá trị của. N  lim

Ta có: N  lim



(8n 2  n) 2  2n 3 8n 2  n  4n 2

0

Vậy N  0 .

Câu 44. Giá trị của. K  lim A. 



3



n3  n 2  1  3 4n 2  n  1  5n bằng:

B. 

C. 

5 12

D. 1

Hướng dẫn giải: Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Website: https://toanmath.com/

Trang 65

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Giới hạn – ĐS&GT 11

Chọn C. Ta có: K  lim



3



n3  n 2  1  n  3lim

1 n3  n 2  1  n  ; lim 3 1 3 5 Do đó: K     3 4 12

Mà: lim





3



4n 2  n  1  2 n



4n 2  n  1  2n 



A.  Hướng dẫn giải: Chọn D.

B. 

3

1 4

n3  3n 2  1  n bằng:

C. 0

3n 2  1

N  lim





Câu 45. Giá trị của. N  lim

3



(n3  3n 2  1)2  n. 3 n3  3n 2  1  n 2

D. 1

1





Câu 46. Giá trị đúng của lim  n n  1  n  1  là:   A. 1 .

B. 0 .

C. 1 .

D.  .

Hướng dẫn giải: Chọn C.  n  n  1  n  1  2 n lim  n n  1  n  1   lim   lim  1.    n 1  1/ n  1  1/ n  n  1  n  1 







Câu 47. Giá trị của. H  lim n



3



8n3  n  4n 2  3 bằng:

B. 

A. 



C. 

2 3

D. 1

Hướng dẫn giải: Chọn C. H  lim n



3



8n3  n  2n  lim n

Câu 48. Giá trị của A  lim







4n 2  3  2 n  

2 3



n 2  2n  2  n bằng:

A.  B.  Hướng dẫn giải: Chọn A.   2 2 Ta có A  lim n  1   2  1   n n     2 2 Do lim n  ; lim  1   2  1   2 . n n   Câu 49. lim 5 200  3n5  2n 2 bằng : A. 0 .

B. 1 .

Hướng dẫn giải: Chọn D. Ta có: lim 5 200  3n5  2n 2  lim n 5

C. 2

D. 1

C.  .

D.  .

200 2 3 3 5 n n

Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Website: https://toanmath.com/

Trang 66

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nhưng lim 5

200 2  3  3  5 3  0 và lim n   5 n n

Nên lim 5 200  3n5  2n 2   2n3  sin 2n  1 Câu 50. Giá trị của. A  lim bằng: n3  1 A.  B.  Hướng dẫn giải: Chọn C. sin 2n  1 2 n3 A  lim 2 1 1 3 n n n!

Câu 51. Giá trị của. B  lim bằng: n3  2n A.  B.  Hướng dẫn giải: Chọn C. n

Ta có:

3

Giới hạn – ĐS&GT 11

n!

n



n  2n

nn

3

n  2n

Câu 52. Giá trị của. D  lim A. 



C. 2

D. 1

C. 0

D. 1

n

0 B 0 n  2n n 1 3

n2 ( 3n 2  2  3n 2  1) B. 

bằng: C.

2 3

D. 1

Hướng dẫn giải: Chọn C. Câu 53. Giá trị của. E  lim( n 2  n  1  2n) bằng: A.  B.  Hướng dẫn giải: Chọn B. Câu 54. Giá trị của. F  lim n  1  n bằng:



A.  Hướng dẫn giải: Chọn A.

C. 0

D. 1

C. 0

D. 1



B. 

p

Câu 55. Giá trị của. H  lim( k n2  1  n 2  1) bằng: A.  B.  C. Đáp án khác D. 1 Hướng dẫn giải: Chọn C. Xét các trường hợp TH1: k  p  H   TH 2: k  p  H   TH 3: k  p  H  0 .

1 1 1 Câu 56. Tính giới hạn của dãy số un  :   ...  2 1 2 3 2 2 3 ( n  1) n  n n  1 Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Website: https://toanmath.com/

Trang 67

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A.  B.  Hướng dẫn giải: Chọn D. 1 1 1 Ta có:   ( k  1) k  k k  1 k k 1 1 Suy ra un  1   lim un  1 n 1

C. 0

Giới hạn – ĐS&GT 11 D. 1

(n  1) 13  23  ...  n3 Câu 57. Tính giới hạn của dãy số un  : 3n3  n  2 1 A.  B.  C. D. 1 9 Hướng dẫn giải: Chọn C. 2  n(n  1)  3 3 3 Ta có: 1  2  ...  n     3  n(n  1)2 1  lim un  .

Suy ra un  3 3(3n  n  2) 9 n(n  1) 1 1 1 Câu 58. Tính giới hạn của dãy số un  (1  )(1  )...(1  ) trong đó Tn  .: 2 T1 T2 Tn 1 A.  B.  C. D. 1 3 Hướng dẫn giải: Chọn C. 1 2 ( k  1)( k  2) Ta có: 1   1   Tk k (k  1) k (k  1) 1 n2 1 Suy ra un  .  lim un  .

3 n 3 23  1 33  1 n 3  1 .: Câu 59. Tính giới hạn của dãy số un  3 . 3 .... 3 2 1 3 1 n 1 2 A.  B.  C. D. 1 3 Hướng dẫn giải: Chọn C. k 3 1 (k  1)(k 2  k  1) Ta có 3  k  1 (k  1)[(k  1)2  (k  1)  1] 2 n2  n  1 2 Suy ra  un  .  lim un  3 (n  1)n 3 n 2k  1 Câu 60. Tính giới hạn của dãy số un   k . : 2 k 1 A.  B.  C. 3 D. 1 Hướng dẫn giải: Chọn C.

Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Website: https://toanmath.com/

Trang 68

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Giới hạn – ĐS&GT 11

1 1 1 1 1  2n  1 Ta có: un  un     2  ...  n 1   n 1 2 2 2 2 2  2 1 3 2n  1  un   n 1  lim un  3 .

2 2 2 Câu 61. Tính giới hạn của dãy số u n  q  2 q 2  ...  nq n với q  1

B. 

A. 

C.

q

1 q 

2

.: D.

q

1 q 

2

Hướng dẫn giải: Chọn C. Ta có: u n  qu n  q  q 2  q 3  ...  q n  nq n 1

 (1  q )un  q

1  qn q  nq n 1 . Suy ra lim un  .

2 1 q 1  q  n

n k 1 n  k

Câu 62. Tính giới hạn của dãy số un  

2

.:

A.  B.  C. 3 Hướng dẫn giải: Chọn D. n n n 1 Ta có: n 2  un  n 2  2  un  1  2 n n n 1 n 1 n 1 n  un  1  2  0  lim un  1 . n 1 3 6 n  n  1  4 n 4  2n  1 Câu 63. Tính giới hạn của dãy số B  lim (2n  3)2 A. 

B. 

D. 1

.:

C. 3

D.



.:

C. 3

D.

3 4

Hướng dẫn giải: Chọn D. Chia cả tử và mẫu cho n 2 ta có được: 1 1 2 1 3 1  6  4 1 3  4 5 n n n n  1 4   3 .

B  lim 2 4 4 3  2  n  Câu 64. Tính giới hạn của dãy số C  lim A. 



4n 2  n  1  2n

B. 

1 4

Hướng dẫn giải: Chọn D. 1 n 1 1 n Ta có: C  lim  lim  2 4 1 1 4n  n  1  2n 4  2  2 n n 1

Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Website: https://toanmath.com/

Trang 69

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 65. Tính giới hạn của dãy số D  lim



n 2  n  1  2 3 n3  n 2  1  n

B. 

A. 

C. 

1 6

Giới hạn – ĐS&GT 11



.: D. 1

Hướng dẫn giải: Chọn C. Ta có: D  lim





n 2  n  1  n  2 lim



3

n3  n 2  1  n



1 1 n 1 n Mà: lim n 2  n  1  n  lim  lim  2 2 1 1 n  n 1  n 1  2 1 n n 2 n 1 lim 3 n3  n 2  1  n  lim 3 2 2 3 (n  n  1)  n. 3 n3  n 2  1  n 2





1





1  lim

1 n2

2



1 1  1 1  1  4  6   3 1   3  1 n n  n n  1 2 1 Vậy D     .

2 3 6

1 3

3

1 Câu 66. Cho dãy số ( xn ) xác định bởi x1  , xn 1  xn2  xn ,n  1 2 1 1 1 Đặt S n  . Tính lim Sn .    x1  1 x2  1 xn  1 A.  B.  C. 2 Hướng dẫn giải: Chọn C. Từ công thức truy hồi ta có: xn1  xn , n  1, 2,...

D. 1

Nên dãy ( xn ) là dãy số tăng.

Giả sử dãy ( xn ) là dãy bị chặn trên, khi đó sẽ tồn tại lim xn  x Với x là nghiệm của phương trình : x  x 2  x  x  0  x1 vô lí Do đó dãy ( xn ) không bị chặn, hay lim xn   .

1 1 1 1 Mặt khác:    xn 1 xn ( xn  1) xn xn  1 1 1 1 Suy ra:   xn  1 xn xn 1 1 1 1 1 Dẫn tới: S n    2  lim Sn  2  lim 2 x1 xn 1 xn 1 xn 1 1 2 k Câu 67. Cho dãy ( xk ) được xác định như sau: xk    ...  2! 3! ( k  1)! n Tìm lim un với un  n x1n  x2n  ...  x2011 .

Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Website: https://toanmath.com/

Trang 70

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A B. 

A. 

C. 1 

Giới hạn – ĐS&GT 11 1 2012!

D. 1 

1 2012!

Hướng dẫn giải: Chọn C. k 1 1 1 Ta có:   nên xk  1  ( k  1)! k ! (k  1)! ( k  1)!

1 1 Suy ra xk  xk 1    0  xk  xk 1 ( k  2)! ( k  1)! n  n 2011x2011 Mà: x2011  n x1n  x2n  ...  x2011

Mặt khác: lim x2011  lim n 2011x2011  x2011  1  Vậy lim un  1 

1 2012!

1 .

2012!

u0  2011 u3  Câu 68. Cho dãy số (un ) được xác định bởi:  1 . Tìm lim n . n un1  un  u 2 n  A.  B.  C. 3 Hướng dẫn giải: Chọn C. Ta thấy un  0, n 3 1 Ta có: un31  un3  3  3  6 (1) u n un 3 3 Suy ra: un  un 1  3  un3  u 03  3n (2) 1 1 1 1 Từ (1) và (2), suy ra: un31  un3  3  3   un3  3   2 2 3 u0  3n  u  3n  3n 9n

D. 1

0

Do đó: un3  u03  3n 

1 n 1 1 n 1    (3) 3 k 1 k 9 k 1 k 2

n 1 1 1 1 1 1  1    ...   2   2 .  n   2 n 1.2 2.3 ( n  1) n k 1 k k 1 k n

Lại có:

2 Nên: u03  3n  un3  u03  3n   9 3 3 3 u u u 2 Hay 3  0  n  3  0   n n n 9n 3 3 u Vậy lim n  3 . n

1

k

2

 2n

k 1

2n 3 2 . n

Câu 69. Cho dãy x  0 xác định như sau: f ( x)  A.  Hướng dẫn giải: Chọn C.

n

B. 

x 1 1 . Tìm  0;   . x C. 2010

D. 1

Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Website: https://toanmath.com/

Trang 71

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ta có un 1  un 

Giới hạn – ĐS&GT 11

un2 u u un  n 1 n  2010 un 1.un 2010un 1

1 un 1   2010.   un1  un un1  u 1 1 1 Ta có  n  2010(  )  2010(1  ) un 1 u1 un 1 un 1 Mặt khác ta chứng minh được: lim un   . u Nên lim( u )  2010 . un 1



Câu 70. Tìm lim un biết un 

n. 1  3  5  ...  (2n  1) 2n 2  1

B. 

A. 

C.

1 2

D. 1

Hướng dẫn giải: Chọn C. Ta có: 1  3  5  ...  2n  1  n 2 nên lim un 

1 2

 3 x  2  2x 1 khi x  1  Câu 71. Tìm lim un biết f ( x )   x 1 3m  2 khi x  1  3

B. 

A. 

C. 2

D.

6 2

Hướng dẫn giải: Chọn D. Ta có: 1  2  ...  n  3

Nên lim un 

n(n  1)(2n  1) n(n  1) và 12  22  ...  n 2  6 2

6 2

 x  1 1 khi x  0  Câu 72. Tìm lim un biết f ( x)   x 2 x 2  3m  1 khi x  0  A.  B.  C. 2 Hướng dẫn giải: Chọn D. 1 1 1 1 Suy ra un  1   lim un  1 Ta có:   n 1 ( k  1) k  k k  1 k k 1

 2x  4  3 khi x  2  trong đó x  1 .

Câu 73. Tìm lim un biết f ( x)   x 1 khi x  2  2  x  2mx  3m  2 1 A.  B.  C. 3

D. 1

D. 1

Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Website: https://toanmath.com/

Trang 72

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Giới hạn – ĐS&GT 11

Hướng dẫn giải: Chọn C. 1 n2 1 1 2 ( k  1)( k  2) Ta có: 1   1  Suy ra un  .  lim un  .  3 n 3 Tk k (k  1) k (k  1) n

1

Câu 74. Tìm lim un biết un  

2

n k B.  k 1

A.  C. 3 Hướng dẫn giải: Chọn D. 1 1 1 n n Ta có: , k  1, 2,..., n Suy ra  un    n2  n n2  1 n2  n n2  k n2  1 n n Mà lim  lim  1 nên suy ra lim un  1 .

2 n n n2  1

D. 1

Câu 75. Tìm lim un biết un  2 2... 2  n dau can

B. 

A.  Hướng dẫn giải: Chọn C. Ta có: un  2

1 1 1  ... n 2 22 2

1 1   2

2

n

C. 2

1 1   2

,nên lim un  lim 2

D. 1

n

 2.

Câu 76. Gọi g ( x)  0, x  2 là dãy số xác định bởi  . Tìm lim f ( x)  lim x 2

A. 

B. 

C.

4 3

x2





2x  4  3  3 .

D. 1

Hướng dẫn giải: Chọn C. 4 8 4 8 3u1    3u2  u3 nên dãy (un ) là dãy tăng.

Ta có 0  u1  u2  u3    9 9 9 9 4 4 Dễ dàng chứng minh được un  , n  * .Từ đó tính được lim un  .

3 3 2 2 1   1  1 Câu 77. Cho dãy số A   x12  x1 x2    x1 x2  x22   x12 x22  3  0 được xác định như sau 2   4  2  x1  x2 .

3 Đặt x  . Tìm  x3  2 x  3 3  2 x  4  0 .

2 1 A.  B.  C. D. 1 2 Hướng dẫn giải: Chọn C.

Ta có: un1  (un2  3un )(un2  3un  2)  1  (un2  3un  1) 2  u n2  3u n  1

Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Website: https://toanmath.com/

Trang 73

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Suy ra: un 1  1  (un  1)(un  2)  Suy ra:

1 un 1  1



Giới hạn – ĐS&GT 11

1 1  un  1 un  2

1 1 1   un  2 un  1 un 1  1

n  1 1  1 1 1 1 Do đó, suy ra: vn         ui 1  1  u1  1 un 1  1 2 un1  1 i 1  ui  1 2 Mặt khác, từ u n 1  u n  3un  1 ta suy ra: un 1  3n .

1 1 Nên lim  0 . Vậy lim vn  .

2 un 1  1

Câu 78. Cho a, b    , (a, b)  1; n  ab  1, ab  2,... . Kí hiệu rn là số cặp số (u, v)       sao cho rn 1  . n  n ab

n  au  bv . Tìm lim A. 

B. 

C.

1 ab

D. ab  1

Hướng dẫn giải: Chọn C.  n 1 (1).

Xét phương trình  0; n   Gọi (u0 , v0 ) là một nghiệm nguyên dương của (1). Giả sử (u, v) là một nghiệm nguyên dương khác

(u0 , v0 ) của (1).

Ta có au0  bv0  n, au  bv  n suy ra a(u  u0 )  b(v  v0 )  0 do đó tồn tại k nguyên dương sao cho v 1 u  u0  kb, v  v0  ka . Do v là số nguyên dương nên v0  ka  1  k  0 . (2) a Ta nhận thấy số nghiệm nguyên dương của phương trình (1) bằng số các số k nguyên dương cộng với  v 1  n u 1 1. Do đó rn   0   1    0    1 .  a   ab b a  n u0 1 n u0 1 Từ đó ta thu được bất đẳng thức sau:    rn     1. ab b a ab b a 1 u0 1 rn 1 u0 1 1 Từ đó suy ra :        . ab nb na n ab nb na n r 1 .

Từ đây áp dụng nguyên lý kẹp ta có ngay lim n  n  n ab 1  u1  2 Câu 79. Cho dãy số có giới hạn (un) xác định bởi :  . Tìm kết quả đúng của lim un . un 1  1 , n  1 2  un  1 A. 0 .

B. 1 .

C. 1 .

D. 2 Hướng dẫn giải: Chọn B.

Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Website: https://toanmath.com/

Trang 74

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Giới hạn – ĐS&GT 11

1 2 3 4 5 Ta có: u1  ; u2  ; u3  ; u4  ; u5  .;...

2 3 4 5 6 n Dự đoán un  với n  * n 1 Dễ dàng chứng minh dự đoán trên bằng phương pháp quy nạp. n 1 Từ đó lim un  lim  lim  1.

1 n 1 1 n 1  1 1 1  Câu 80. Tìm giá trị đúng của S  2 1     ...  n  .......  .

2  2 4 8 

A. 2  1 .

B. 2 .

C. 2 2 .

Hướng dẫn giải: Chọn C. 1 1  1 1 1  Ta có: S  2 1     ...  n  .......   2. 2 2.

1 2  2 4 8  1 2  1 1 1  Câu 81. Tính giới hạn: lim    ....   n  n  1  1.2 2.3 3 A. 0 B. 1 .

C. .

2 hạn.

Hướng dẫn giải: Chọn B. Đặt : 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n A   ....   1     ...    1  1.2 2.3 n  n  1 2 2 3 n n 1 n 1 n 1

D.

1 .

2

D. Không có giới

 1 1 1  n 1  lim    ....   lim 1   lim 1 1.2 2.3 n n  1 n  1     1 n  1  1 1 Câu 82. Tính giới hạn: lim    ....   n  2 n  1  1.3 3.5 A. 1 .

B. 0 .

2 C. .

3

D. 2 .

Hướng dẫn giải: Chọn B. Đặt

Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Website: https://toanmath.com/

Trang 75

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

A

Giới hạn – ĐS&GT 11

1 1 1   ....  1.3 3.5 n  2n  1

 2A 

2 2 2   ....  1.3 3.5 n  2n  1

1 1 1 1 1 1 1  2 A  1       ...   3 3 5 5 7 n 2n  1 1 2n  2 A  1  2n  1 2n  1 n  A 2n  1  1  1 1 n 1 1 Nên lim    ....   lim  .   lim 1 2 n  2n  1  2n  1 1.3 3.5 2 n  1  1 1 Câu 83. Tính giới hạn: lim    ....   n n  2  1.3 2.4 3 B. 1 .

C. 0 .

A. .

4 Hướng dẫn giải: Chọn A.  1   1 1 1 2 2 2 Ta có : lim    ....   ....    lim    n  n  2  2 1.3 2.4 n n  2  1.3 2.4 1 1 1 1 1 1 1 1  1 1 1  3  lim  1      ...     lim  1    .

2 3 2 4 3 5 n n2 2 2 n2 4  1 1 1  .

Câu 84. Tính giới hạn: lim    ...  n(n  3)  1.4 2.5 11 A. .

B. 2 .

C. 1 .

18 Hướng dẫn giải: Chọn A. Cách 1:  1 1 1  1  1 1 1 1 1 1 1  lim    ...   lim   1       ...     n(n  3)  n n  3   3  4 2 5 3 6 1.4 2.5

2 D. .

3

D.

3 .

2

1  1 1 1 1 1   lim   1        3  2 3 n  1 n  2 n  3   3n 2  12n  11  11 11   lim   .

18 n  1 n  2 n  3       18 100 1 Cách 2: Bấm máy tính như sau:  và so đáp án (có thể thay 100 bằng số nhỏ hơn hoặc lớn 1 x  x  3 hơn).

Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Website: https://toanmath.com/

Trang 76

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Giới hạn – ĐS&GT 11

 1  1  1  Câu 85. Tính giới hạn: lim  1  2  1  2  ... 1  2   .  2   3   n   1 1 3 A. 1 .

B. .

C. .

D. .

2 4 2 Hướng dẫn giải: Chọn B. Cách 1:  1  1  1   1   1  1  1   1  1   lim 1  2  1  2  ... 1  2    lim  1   1  1   1   ... 1   1     2   3   n    2   2  3  3   n  n   1 n 1 1  1 3 2 4 n  1 n  1  lim  . . . ... .  lim .   n n  2 n 2 2 2 3 3 100 1   Cách 2: Bấm máy tính như sau:   1  2  và so đáp án (có thể thay 100 bằng số nhỏ hơn hoặc lớn x  2  hơn).

Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Website: https://toanmath.com/

Trang 77

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Giới hạn – ĐS&GT 11

GIỚI HẠN HÀM SỐ A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT Giới hạn hữu hạn 1. Giới hạn đặc biệt: lim x  x0 ; lim c  c x  x0

x x0

(c: hằng số) 2. Định lí: a) Nếu lim f ( x )  L và lim g( x )  M x  x0

x  x0

thì: lim  f ( x )  g( x )  L  M x  x0

lim  f ( x )  g( x )  L  M

x  x0

lim  f ( x ).g( x )  L.M

x  x0

f ( x) L  (nếu M  0) x x0 g( x ) M b) Nếu f(x)  0 và lim f ( x )  L lim

x  x0

thì L  0 và lim

x  x0

f (x)  L

c) Nếu lim f ( x )  L thì lim f ( x )  L x  x0

x  x0

3. Giới hạn một bên: lim f ( x )  L  x  x0

lim f ( x )  lim  f ( x )  L

x x0

x  x0

Giới hạn vô cực, giới hạn ở vô cực 1. Giới hạn đặc biệt:  neáu k chaün lim x k   ; lim x k   x  x    neáu k leû c lim c  c ; lim 0 x  x  x k 1 1 lim   ; lim   x 0 x x 0 x 1 1 lim  lim   x0 x x 0 x 2. Định lí: Nếu lim f ( x )  L  0 và lim g( x )   thì: x  x0

x  x0

 neáu L vaø lim g( x ) cuøng daáu  x  x0 lim f ( x )g( x )    neá u L vaø lim g( x ) traùi daáu x x0  x  x0  0 neáu lim g( x )   x  x0 f ( x )  lim   neáu lim g( x )  0 vaø L .g( x )  0 x x0 g( x )  x  x0  g( x )  0 vaø L .g( x )  0  neáu xlim  x0  * Khi tính giới hạn có một trong các dạng vô định:

0 , 0

 ,  – , 0. thì phải tìm cách khử dạng vô định. 

B – BÀI TẬP DẠNG 1: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG BẰNG ĐỊNH NGHĨA HOẶC TẠI MỘT ĐIỂM Phương pháp: + Sử dụng định nghĩa chuyển giới hạn của hàm số về giới hạn của dãy số. + Nếu f ( x) là hàm số cho bởi một công thức thì giá trị giới hạn bằng f ( x0 ) + Nếu f ( x) cho bởi nhiều công thức, khi đó ta sử dụng điều kiện để hàm số có giới hạn ( Giới hạn trái bằng giới hạn phải). x3  2 x 2  1 Câu 1. Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của lim là: x 1 2 x5  1 1 1 A. 2 .

B.  .

C. .

D. 2 .

2 2 Hướng dẫn giải: Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Website: https://toanmath.com/

Trang 78

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Giới hạn – ĐS&GT 11

Chọn A. 3

2

x3  2 x 2  1  1  2.  1  1   2 5 x 1 2 x5  1 2  1  1

Cách 1: lim

x3  2 x 2  1 + CACL + x  1  10 9 và so đáp án.

2 x5  1 x3  2 x 2  1 Cách 3: Dùng chức lim của máy VNCALL 570ES Plus: lim và so đáp án.

2 x 5  1 x  1  109

Cách 2: Bấm máy tính như sau:

4 x3  1 bằng: x 2 3 x 2  x  2

Câu 2. lim A . .

B. 

11 ..

4

C.

11 ..

4

D. .

Hướng dẫn giải: Chọn B 4 x3  1 11 lim 2  . x 2 3 x  x  2 4 x 1 bằng định nghĩa. x 1 x  2 B.  C. 2

Câu 3. Tìm giới hạn hàm số lim A.  Hướng dẫn giải: Chọn C.

Với mọi dãy ( xn ) : lim xn  1 ta có: lim

D. 1

xn  1 x 1  2 Vậy lim  2 . x 1 x  2 xn  2

Câu 4. Tìm giới hạn hàm số lim  x 3  1 bằng định nghĩa. x2

A.  Hướng dẫn giải: Chọn C.

B. 

Câu 5. Tìm giới hạn hàm số lim x 1

A. 

C. 9

D. 1

x 3 2 bằng định nghĩa. x 1

B. 

C. 2

D.

1 4

Hướng dẫn giải: Chọn D. x3 2 1 lim  x 1 x 1 4 x3 bằng định nghĩa. x  x  2 B.  C. 2

Câu 6. Tìm giới hạn hàm số lim A.  Hướng dẫn giải: Chọn D.

2x2  x 1 Câu 7. Tìm giới hạn hàm số lim bằng định nghĩa. x  x2 A.  B.  C. 2 Hướng dẫn giải:

D. 1

D. 1

Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Website: https://toanmath.com/

Trang 79

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Giới hạn – ĐS&GT 11

Chọn B. 2 x2  x  1 lim   x  x2 3x  2 bằng định nghĩa.

2x 1 B.  C. 5

Câu 8. Tìm giới hạn hàm số lim x 1

A.  Hướng dẫn giải: Chọn C.

Với mọi dãy  xn  : lim xn  2 ta có: lim x 1

Câu 9. Cho hàm số f ( x)  5 .

9 Hướng dẫn giải: Chọn B.

A.

Cách 1: lim x 2

D. 1

3x  2 3 x  2 3.1  2  lim n  5 2 x 1 2 xn  1 2.1  1

4 x 2  3x . Chọn kết quả đúng của lim f ( x ) : x 2  2 x  1  x3  2 

B.

5 .

3

4 x 2  3x   2 x  1  x3  2 

Cách 2: Bấm máy tính như sau:

C.

5 .

9

D.

2 .

9

4.22  3.2 5  3  2.2  1  2  2  3 4 x 2  3x + CACL + x  2  109 và so đáp án.

3  2 x  1  x  2 

4 x2  3x Cách 3: Dùng chức lim của máy VNCALL 570ES Plus: lim  2 x  1  x3  2 

và so đáp x  2  10

9

án. cos 5 x + CACL + x  109 và so đáp án.

2x cos 5 x Cách 3: Dùng chức lim của máy VNCALL 570ES Plus: chuyển chế độ Rad + lim và 2 x x  109 so đáp án. x4 2 Câu 10. Tìm giới hạn hàm số lim bằng định nghĩa. x0 2x 1 A.  B. C. 2 D. 1 8 Hướng dẫn giải: Chọn B. Với mọi dãy  xn  : lim xn  0 ta có:

Cách 2: Bấm máy tính như sau: Chuyển qua chế độ Rad +

lim x0

x 42 x4 2  lim n  lim 2x 2 xn 2 xn

xn



xn  4  2



1

 lim 2

4x  3 bằng định nghĩa. x 1 x 1 B.  C. 2



1  . xn  4  2 8



Câu 11. Tìm giới hạn hàm số lim A. 

D. 1

Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Website: https://toanmath.com/

Trang 80

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Giới hạn – ĐS&GT 11

Hướng dẫn giải: Chọn A. Với mọi dãy ( xn ) : xn  1, n và lim xn  1 ta có: lim x 1

4x  3 4x  3  lim n   . x 1 xn  1

3x  1 bằng định nghĩa. x 2 x  2 B.  C. 2

Câu 12. Tìm giới hạn hàm số lim A.  Hướng dẫn giải: Chọn B.

Với mọi dãy ( xn ) : xn  2, n và lim xn  2 ta có: lim x 2

D. 1

3x 1 3x  1  lim n   . x2 xn  2

2x2  x  3 bằng định nghĩa. x 1 x 1 B. 5 C. 2

Câu 13. Tìm giới hạn hàm số lim A.  Hướng dẫn giải: Chọn B.

D. 1

2 xn2  xn  3 2x2  x  3 Với mọi dãy ( xn ) : lim xn  1 ta có: lim  lim  lim  2 xn  3  5 . x 1 x 1 xn  1 x 1 Câu 14. Tìm giới hạn hàm số lim bằng định nghĩa.

4 x2 2  x A.  B.  C. 2 D. 1 Hướng dẫn giải: Chọn A. 3x 2 bằng định nghĩa.

Câu 15. Tìm giới hạn hàm số lim 2 x  2 x  1 3 A.  B.  C. D. 1 2 Hướng dẫn giải: Chọn C. 3x2 3 Đáp số: lim 2  x  2 x  1 2 Câu 16. Tìm giới hạn hàm số lim  x 2  x  1 bằng định nghĩa. x 

A.  Hướng dẫn giải: Chọn A.

Câu 17. Tìm giới hạn hàm số lim x 2

A.  Hướng dẫn giải: Chọn C.

C. 2

B. 

B. 

Câu 18. Tìm giới hạn hàm số lim x 1

x2  4

x

4

 1  2  x 

D. 1

bằng định nghĩa.

C. 0

D. 1

x 2  3x  2 bằng định nghĩa. x 1

Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Website: https://toanmath.com/

Trang 81

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A.  Hướng dẫn giải: Chọn D.

B. 

C. 2

Giới hạn – ĐS&GT 11 D. 1

x2  3x  2 Do x  1  x  1  ( x  1) . Đáp số: lim  1 . x 1 x 1 

Câu 19. Tìm giới hạn hàm số A  lim x 1

A. 

B. 

x2  x 1 bằng định nghĩa. x 1 1 C. 2

D. 1

Hướng dẫn giải: Chọn C. x2  x  1 1  1  1 1 Ta có: A  lim   . x 1 x 1 11 2 Câu 20. Tìm giới hạn hàm số B  lim  x 6

A. 

B. 

2 tan x  1 bằng định nghĩa. sin x  1

C.

4 36 9

D. 1

Hướng dẫn giải: Chọn C.

 1 2 tan x  1 4 36 6 Ta có B  lim   .  sin x  1 9 x sin  1 6 6 3 x  2  x 1 Câu 21. Tìm giới hạn hàm số C  lim bằng định nghĩa. x 0 3x  1 A.  B.  C. 3 2  1 Hướng dẫn giải: Chọn C. 3 x  2  x 1 3 Ta có: C  lim  2 1. x 0 3x  1 3 7x 1 1 Câu 22. Tìm giới hạn hàm số D  lim bằng định nghĩa. x 1 x2 A.  B.  C. 2 Hướng dẫn giải: Chọn D. 3 7x 1 1 3 8 1 Ta có: D  lim   3 . x 1 x2 1 2 x 1 Câu 23. Tìm giới hạn hàm số A  lim 2 bằng định nghĩa. x 2 x  x  4 1 A.  B.  C.  6 Hướng dẫn giải: Chọn C. 2 tan

D. 1

D. 3

D. 1

Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Website: https://toanmath.com/

Trang 82

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 24. Tìm giới hạn hàm số B  lim x

6

sin 2 2x  3cos x bằng định nghĩa. tan x

B. 

A. 

Giới hạn – ĐS&GT 11

C.

3 3 9  4 2

D. 1

Hướng dẫn giải: Chọn C. Câu 25. Tìm giới hạn hàm số C  lim x 1

B. 

A. 

2x2  x  1  3 2x  3 bằng định nghĩa.

3x 2  2 3 3 9 C.  4 2

235

D.

Hướng dẫn giải: Chọn D. Câu 26. Tìm giới hạn hàm số D  lim x 1

B. 

A. 

3x  1  2 bằng định nghĩa.

3 3x  1  2 1 C.  6

D. 0

Hướng dẫn giải: Chọn D.  x 2  3 khi x  2 Câu 27. Cho hàm số f  x    . Chọn kết quả đúng của lim f  x  : x 2  x  1 khi x  2 A. 1 .

B. 0 .

C. 1.

D. Không tồn tại.

Hướng dẫn giải: Chọn C. Ta có lim f  x   lim x 2  3  1 x 2

x2





lim f  x   lim  x  1  1

x  2

x 2

Vì lim f  x   lim f  x   1 nên lim f  x   1 . x 2

x 2

x 2

 x 2  ax  1 khi x  2 Câu 28. Tìm a để hàm số sau có giới hạn khi x  2 f ( x)   2 . 2 x  x  1 khi x  2 1 A.  B.  C. D. 1 2 Hướng dẫn giải: Chọn C. Ta có: lim f ( x )  lim ( x 2  ax  2)  2 a  6 . lim f ( x)  lim (2 x 2  x  1)  7 . x 2

x2

x2

x2

Hàm số có giới hạn khi x  2  lim f ( x)  lim f ( x )  2a  6  7  a  x 2

x 2

1 1 . Vậy a  là giá trị cần 2 2

tìm.

2 5ax  3 x  2a  1 Câu 29. Tìm a để hàm số sau có giới hạn tại x  0 f ( x )   2 1  x  x  x  2

khi x  0

.

khi x  0

Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Website: https://toanmath.com/

Trang 83

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A B. 

A. 

C.

2 2

Giới hạn – ĐS&GT 11 D. 1

Hướng dẫn giải: Chọn C.

2 . x 0 x 0 2 5ax 2  3 x  2a  1 Câu 30. Tìm a để hàm số. f ( x )   2 1  x  x  x  2 Ta có lim f ( x)  2a  1  1  2  lim f ( x )  a 

B. 

A. 

khi x  0

có giới hạn tại x  0

khi x  0

C.

2 2

D. 1

Hướng dẫn giải: Chọn C. Ta có: lim f ( x )  lim  5ax 2  3x  2a  1  2a  1 x 0

x0





lim f ( x )  lim 1  x  x 2  x  2  1  2

x 0

x 0

Vậy 2a  1  1  2  a 

2 .

2

2  x  ax  1 khi x  1 Câu 31. Tìm a để hàm số. f ( x )   2 có giới hạn khi x  1 . 2 x  x  3a khi x  1 1 A.  B.  C.  D. 1 6 Hướng dẫn giải: Chọn D. Ta có: lim f ( x)  lim( x 2  ax  2)  a  3 .  x 1

x 1

lim f ( x )  lim(2 x 2  x  3a)  3a  1 .  x 1

x 1

Hàm số có giới hạn khi x  1  lim f ( x)  lim f ( x) x 1

x 1

 a  3  3a  1  a  1 . Vậy a  1 là giá trị cần tìm.

Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Website: https://toanmath.com/

Trang 84

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

DẠNG 2: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH

Giới hạn – ĐS&GT 11

0 0

P ( x) với P(x), Q(x) là các đa thức và P(x0) = Q(x0) = 0 x  x0 Q ( x ) Phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử và rút gọn.

Chú ý: + Nếu tam thức bậc hai ax 2  bx+c có hai nghiệm x1 , x2 thì ta luôn có sự phân tích

1. L = lim

ax 2  bx  c  a( x  x1 )( x  x2 ) . + an  bn  (a  b)(a n1  a n2b  ...  abn 2  bn1 ) P ( x) với P(x0) = Q(x0) = 0 và P(x), Q(x) là các biểu thức chứa căn cùng bậc 2. L = lim x  x0 Q ( x ) Sử dụng các hằng đẳng thức để nhân lượng liên hợp ở tử và mẫu.

Các lượng liên hợp: + ( a  b )( a  b )  a  b 3 2 3 2 3 3 3 + ( a  b )( a  ab  b )  a  b

+ ( n a  n b )( n a n 1  n a n  2b  ...  n b n 1 )  a  b P ( x) 3. L = lim với P(x0) = Q(x0) = 0 và P(x) là biêu thức chứa căn không đồng bậc x  x0 Q ( x ) Giả sử: P(x) =

m

u ( x)  n v ( x) vôùi

m

u ( x0 )  n v ( x0 )  a .

Ta phân tích P(x) =  m u ( x )  a    a  n v( x )  .

Trong nhiều trường hợp việc phân tích như trên không đi đến kết quả ta phải phân tích như sau: n u ( x )  m v ( x )  ( n u ( x )  m( x))  ( m v ( x)  m( x)) , trong đó m( x )  c . x2  2x 1 là: x 1 2 x 3  2 1 C. .

2

Câu 1. Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của lim A.  .

B. 0 .

D.  .

Hướng dẫn giải: Chọn B. 2

 x  1 x2  2x 1 x 1  lim  lim 0 3 2 2 x 1 2 x  2 x 1 2 x  1 x  1 2  x  x  1    x  x  1

Cách 1: lim

x2  2x 1 + CACL + x  1  10 9 và so đáp án.

3 2x  2 x2  2x 1 Cách 3: Dùng chức lim của máy VNCALL 570ES Plus: lim và so đáp án.

2 x3  2 x  1  109

Cách 2: Bấm máy tính như sau:

Câu 2. Tìm giới hạn A  lim x 1

A. 

x 3  3x 2  2 : x2  4 x  3

B. 

C.

3 2

D. 1

Hướng dẫn giải: Chọn C. Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Website: https://toanmath.com/

Trang 85

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Giới hạn – ĐS&GT 11

x 3  3x 2  2 ( x  1)( x 2  2 x  2) x2  2 x  2 3  lim  lim  . x 1 x 2  4 x  3 x 1 x 1 ( x  1)( x  3) x3 2 4 2 x  5x  4 Câu 3. Tìm giới hạn B  lim : x2 x3  8 1 A.  B.  C.  D. 1 6 Hướng dẫn giải: Chọn D. ( x 2  1)( x  2)( x  2) x 4  5 x2  4 ( x 2  1)( x 2  4) ( x 2  1)( x  2) Ta có: B  lim  lim  lim  lim  1. x  2 ( x  2)( x 2  2 x  4) x2 x 2 x 2 x3  8 x3  23 x2  2 x  4 (1  3 x )3  (1  4 x) 4 Câu 4. Tìm giới hạn C  lim : x 0 x 1 A.  B.  C.  D. 25 6 Hướng dẫn giải: Chọn D. (1  3 x )3  (1  4 x) 4 Ta có: C  lim x 0 x 3 (1  3x )  1 (1  4 x) 4  1  lim  lim x 0 x 0 x x 2 3x[(1  3x )  (1  3 x)  1] 4 x (2  4 x)[(1  4 x ) 2  1]  lim  lim x 0 x 0 x x 2  lim 3[(1  3 x)  (1  3x )  1]  lim 4(2  4 x)[(1  4 x) 2  1]  25 Ta có: A  lim

x 0

x 0

Câu 5. Cho hàm số f  x   A. . .

Hướng dẫn giải: Chọn B

lim

x 3

 lim x 3

x3 x2  9

x 3 x2  9 B. 0. .

. Giá trị đúng của lim f  x  là: x 3

C.

6. .

D. .

C. 

1 6

D. 6

2

 lim x 3

 x  3 .  x  3 x  3

 x  3 0.  x  3 (1  x)(1  2 x )(1  3x )  1 : x 0 x

Câu 6. Tìm giới hạn D  lim A. 

B. 

Hướng dẫn giải: Chọn D. (1  x)(1  2 x)(1  3 x)  1 6 x3  11x 2  6 x Ta có: D  lim  lim 6. x 0 x 0 x x

Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Website: https://toanmath.com/

Trang 86

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 7. Tìm giới hạn A  lim x 0

A. 

Giới hạn – ĐS&GT 11

xn  1 ( m, n  *) : xm 1

B. 

C.

n m

D. m  n

Hướng dẫn giải: Chọn C. ( x  1)( x n 1  x n  2  ...  x  1) x n 1  x n  2  ...  x  1 n Ta có: A  lim  lim  . x 0 ( x  1)( x m 1  x m  2  ...  x  1) x  0 x m 1  x m  2  ...  x  1 m n

Câu 8. Tìm giới hạn B  lim x 0

A. 

1  ax  1 (n  *, a  0) : x

B. 

C.

a n

D. 1

n a

D. 1

am bn

Hướng dẫn giải: Chọn C. Cách 1: Nhân liên hợp Ta có: B  lim

( n 1  ax  1)( n (1  ax) n 1  n (1  ax ) n  2  ...  n 1  ax  1)

x ( n (1  ax) n 1  n (1  ax )n  2  ...  n 1  ax  1) a a B  lim  . x0 n (1  ax )n 1  n (1  ax) n  2  ...  n 1  ax  1 n x 0

Cách 2: Đặt ẩn phụ t n 1 và x  0  t  1 a t 1 t 1 a  B  a lim n  a lim  . t 1 t  1 t 1 (t  1)(t n 1  t n  ...  t  1) n

Đặt t  n 1  ax  x 

n

Câu 8. Tìm giới hạn A  lim m x0

A. 

1  ax  1 với ab  0 1  bx  1

B. 

: C.

am bn

Hướng dẫn giải: Chọn C. Áp dụng bài toán trên ta có: n 1  ax  1 x a m am A  lim .lim m  .  . x0 x  0 1  bx  1 x n b bn 1   x 3 1   x 4 1   x 1 Câu 9. Tìm giới hạn B  lim với   0 . : x0 x    A.  B.  C. B    4 3 2 Hướng dẫn giải: Chọn C. Ta có: 1   x 3 1   x 4 1   x  1 

D. B 

     4 3 2

 1   x 3 1   x ( 4 1   x  1)  1   x (( 3 1   x  1)  ( 1   x  1)

Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Website: https://toanmath.com/

Trang 87

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Giới hạn – ĐS&GT 11

3 1   x 1 1  x 1 1   x 1  lim 1   x  lim x0 x  0 x  0 x x x 2 2 x  5x  2 Câu 10. Tìm giới hạn A  lim 3 : x 2 x  3x  2 1 A.  B.  C. 3 Hướng dẫn giải: Chọn C. ( x  2)(2 x  1) 1  Ta có: A  lim 2 x 2 ( x  2)( x  2 x  1) 3 x 4  3x  2 Câu 11. Tìm giới hạn B  lim 3 : x 1 x  2 x  3 1 A.  B.  C. 5 Hướng dẫn giải: Chọn C. ( x  1)( x 3  x 2  x  2) 1  Ta có: B  lim x 1 ( x  1)( x 2  x  3) 5 4

B  lim( 1   x 3 1   x )

Câu 12. Tìm giới hạn C  lim x 3

D. 1

2x  3  x : x2  4 x  3

B. 

A. 

D. 1

C. 

1 3

D. 1

Hướng dẫn giải: Chọn C.

( x  3)( x  1)

Ta có: C  lim x 3

( x  3)( x  1)



2x  3  x 3

Câu 13. Tìm giới hạn D  lim

x 0 4





1 3

x  1 1 : 2x  1 1

B. 

A. 

C.

2 3

D. 1

8 27

D. 1

Hướng dẫn giải: Chọn C. x

Ta có: D  lim



x 0

4

2x



3



( x  1) 2  3 x  1  1 3

Câu 14. Tìm giới hạn E  lim x 7

A. 

2

(2 x  1)3  4 (2 x  1) 2  4 2 x  1  1

3

4 x 1  x  2 : 4 2x  2  2

B. 

C.

Hướng dẫn giải: Chọn C.

Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Website: https://toanmath.com/

Trang 88

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Giới hạn – ĐS&GT 11

3

3 4x 1  x  2 4x 1  3 x2 3 Ta có: E  lim 4  lim 4  lim 4  AB x7 x  7 x  7 2x  2  2 2x  2  2 2x  2  2

3

4 x 1  3 A  lim 4  lim x 7 2 x  2  2 x7

2



4

2x  2  2



x 7

 2 x  2

2

4

  64

  4x 1  3 4x 1  9 27  2 x  2  2    2 x  2  4 8 x2 3  lim  2

3

4

B  lim 4

4

2x  2  2

E  AB 

3

2

4

x7

2



x2 3



3

64 8 8   27 3 27

(2 x  1)(3 x  1)(4 x  1)  1 : x 0 x 9 B.  C. 2

Câu 15. Tìm giới hạn F  lim A. 

D. 1

Hướng dẫn giải: Chọn C. Câu 16. Tìm giới hạn M  lim x0

1 4x  3 1  6x : x2

B. 

A. 

C.

1 3

D. 0

Hướng dẫn giải: Chọn D. 3 4 x  1  (2 x  1) 1  6 x  (2 x  1) Ta có: M  lim  lim 0 2 x0 x  0 x x2 m 1  ax  n 1  bx Câu 17. Tìm giới hạn N  lim : x 0 x a b A.  B.  C.  m n Hướng dẫn giải: Chọn C. m n 1  ax  1 1  bx  1 a b Ta có: N  lim  lim   x0 x0 x x m n m n 1  ax 1  bx  1 : Câu 18. Tìm giới hạn G  lim x0 x a b A.  B.  C.  m n Hướng dẫn giải: Chọn D. m

Ta có: G  lim x 0

1  ax



n

  lim

1  bx  1

x

x0

m

D.

a b  m n

D.

a b  m n

1  ax  1 b a   x n m

Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Website: https://toanmath.com/

Trang 89

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A n

Câu 19.

1  mx   1  nx  Tìm giới hạn V  lim x2

x 0

m

:

B. 

A. 

Giới hạn – ĐS&GT 11

C.

mn  n  m  2

D.

mn  n  m  2

Hướng dẫn giải: Chọn C. (1  nx ) m  (1  mnx) (1  mx) n  (1  mnx ) mn(n  m) Ta có: V  lim  .  lim x 0 x 0 x2 x2 2

1  x 1  x  ...1  x  : Câu 20. Tìm giới hạn K  lim 3

1  x 

x 1

n

n 1

B. 

A. 

C.

1 n!

D. 0

Hướng dẫn giải: Chọn C. Ta có: K  lim x 1

1 (1  x )( 3 x 2  3 x  1)...( n x n 1  ...  1)

Câu 21. Tìm giới hạn L  lim



1  x2  x

n

  

1  x2  x

A.  B.  Hướng dẫn giải: Chọn C. n n    2 2 1  x  x  1 1  x  x  1      2n .

L  lim n x0 x 1  x2  x

 

1 . n!



n

:

x

x 0





C. 2n

D. 0







2 x 2  5x  2 : x 2 x3  8

Câu 22. Tìm giới hạn A  lim

B. 

A. 

C.

1 4

D. 0

Hướng dẫn giải: Chọn C. (2 x  1)( x  2) 1  2 ( x  2)( x  2 x  4) 4 x 4  3x 2  2 Câu 23. Tìm giới hạn B  lim 3 : x 1 x  2 x  3

Ta có: A  lim x2

A. 

B. 

C. 

2 5

D. 0

Hướng dẫn giải: Chọn C. ( x 2  1)( x 2  2) 2 Ta có: B  lim  2 x 1 ( x  1)( x  x  3) 5

Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Website: https://toanmath.com/

Trang 90

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 24. Tìm giới hạn C  lim x 3

2x  3  3 : x  4x  3 2

B. 

A. 

Giới hạn – ĐS&GT 11

C.

1 6

D. 0

C.

1 3

D. 0

Hướng dẫn giải: Chọn C.

2( x  3)

Ta có: C  lim x 3

( x  1)( x  3)



2x  3  3 3

Câu 25. Tìm giới hạn D  lim x 0





1 6

x  1 1 : 2x  1 1

B. 

A.  Hướng dẫn giải: Chọn C.

x Ta có: D  lim





2x 1 1



1 3

2 x  3 ( x  1)2  3 x  1  1   n (2 x  1)(3 x  1)(4 x  1)  1 Câu 26. Tìm giới hạn F  lim : x 0 x 9 A.  B.  C. n Hướng dẫn giải: Chọn C. Đặt y  n (2 x  1)(3x  1)(4 x  1)  y  1 khi x  0 x0

D. 0

yn 1 (2 x  1)(3x  1)(4 x  1)  1  lim 9 x 0 x 0 x x yn 1 9  Do đó: F  lim n  1 n  2 x 0 x y  y  ...  y  1 n

Và: lim





Câu 27. Tìm giới hạn M  lim x0

A. 

1 4x  3 1  6x : 1  cos 3 x

B. 

C.

4 9

D. 0

C.

2  an  bm  mn

D. 0

Hướng dẫn giải: Chọn C.

1  4 x  3 1  6x x2 2 4 .  2.  .

2 x0 x 1  cos 3 x 9 9 m n 1  ax  1  bx Câu 28. Tìm giới hạn N  lim : x 0 1 x 1

Ta có: M  lim

A. 

B. 

Hướng dẫn giải: Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Website: https://toanmath.com/

Trang 91

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Giới hạn – ĐS&GT 11

Chọn C.

 m 1  ax  1 n 1  bx  1  2(an  bm) x  a b   .2  Ta có: N  lim   . .     1 x 1  m n  x 0 x x mn   n

Câu 29. Tìm giới hạn V  lim x 0

1  mx   1  nx 

m

1  2 x  3 1  3x

:

B. 

A. 

C.

2  an  bm  mn

D. mn  n  m 

Hướng dẫn giải: Chọn D.  1  mx  n  1 (1  nx )m  1  x2 mn(n  m) Ta có: V  lim    .2  mn(n  m) .  2 2 3 x 0 2 x x   1  2 x  1  3 x

1  x 1  x  ...1  x  : Câu 30. Tìm giới hạn K  lim 3

n

2 n 1

1  x 

x 1

B. 

A. 

C.

1 n!

D. 0

Hướng dẫn giải: Chọn C. Ta có: K  lim x 1

1 3

2

n

(1  x )( x  3 x  1)...( x

Câu 31. Tìm giới hạn A  lim x 0

n 1

  ...  1)

4x 1  3 2x  1 : x

B. 

A. 

1 . n!

C.

4 3

D. 0

Hướng dẫn giải: Chọn C. 3 4x  1 1 2x 1 1 Ta có: A  lim  lim x0 x 0 x x 4x  1 1 4x 4 Mà: lim  lim  lim 2 x 0 x  0 x  0 x 4x 1 1 x 4x 1  1





3

2x 1 1 2x 2  lim  x0 x0 x x  3 (2 x  1)2  3 2 x  1  1 3   2 4 Vậy A  2   .

3 3 4x  5  3 Câu 32. Tìm giới hạn B  lim 3 : x 1 5x  3  2 lim

A. 

B. 

C.

4 3

D.

2 5

Hướng dẫn giải: Chọn D.

Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Website: https://toanmath.com/

Trang 92

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Giới hạn – ĐS&GT 11

4( x  1)  3 (5 x  3)2  2 3 5 x  3  4 4  3 (5 x  3)2  2 3 5 x  3  4  2    .

Ta có: B  lim  lim  x 1 x  1 5 5( x  1)  4 x  5  3 5 4x  5  3



4

Câu 33. Tìm giới hạn C  lim

x 1

2 x  3  3 2  3x : x  2 1

B. 

A. 



C.

4 3

D. 3

Hướng dẫn giải: Chọn D. 3 2x  3 1 3x  2  1  lim x 1 x  2  1 x 1 x  2  1 4 2( x  1)  1  1 3 3( x  1)  1  1 x 1 x 1  lim  lim  x 1 ( x  1)  1  1 x 1 ( x  1)  1  1 x 1 x 1 x x2 : Câu 34. Tìm giới hạn D  lim x 2 x  3 3x  2 4

Ta có: C  lim

2 4  1  3 1 1 2 2

B. 

A. 

C.

4 3

D. 1

Hướng dẫn giải: Chọn D. Ta có: D  lim

x

x2

2

 x 2  x. 3 3 x  2  3 (3 x  2)2   x  2   x 2  x. 3 3 x  2  3 (3 x  2) 2     lim    1.

3 x2 ( x  3x  2) x  x  2 ( x  1) x  x  2



Câu 35. Tìm giới hạn A  lim x 0





1  2 x  3 1  3x : x2

B. 

A. 



C.

1 2

D. 0

Hướng dẫn giải: Chọn C. Cách 1: Đặt t  3 3 x  1  x 

t3 1 và x  0  t  1 3

t 3 1 t3  2 1 t t 3 3 Nên A  lim  9lim 2 t 1 t 1 (t  1) 2 (t 2  t  1) 2  t 3 1     3   3lim t 1

t 3  3t 2  2  t3  2  (t  1) 2 (t 2  t  1)2  t   3  

Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Website: https://toanmath.com/

Trang 93

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Giới hạn – ĐS&GT 11

(t  1)2 (t  2) t 1  t3  2  (t  1) 2 (t 2  t  1)2  t   3   t2 1  3lim  . t 1 3  t 2  2 (t 2  t  1) 2  t   3   Cách 2: Ta có: 3 1  2 x  (1  x ) 1  3 x  (1  x ) A  lim  lim 2 x 0 x 0 x x2 1 3  x  lim  lim 2 x 0 1  2 x  1  x x0 3 (1  3x )  (1  x) 3 1  3x  (1  x) 2  3lim

Do đó: A 

1 .

2

5  4x  3 7  6x Câu 36. Tìm giới hạn B  lim : x 1 x3  x 2  x  1 B. 

A. 

C.

4 3

D. 1

Hướng dẫn giải: Chọn D. Ta có: B  lim

x 1

5  4x  3 7  6x 2

 x  1  x  1

Đặt t  x  1 . Khi đó: 5  4x  3 7  6x 1  4t  3 1  6t lim  lim 2 x 1 t 0 t2  x  1 3 1  4t  (2t  1) 1  6t  (2t  1)  lim 2 x 0 t  0 t t2 4 8t  12  2.  lim  lim t 0 1  4t  2t  1 t 0 3 (1  6t )2  (2t  1) 3 (1  6t )2  (2t  1)2 Do đó: B  1.

 lim

Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Website: https://toanmath.com/

Trang 94

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

DẠNG 3: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH

Giới hạn – ĐS&GT 11

 

Phương pháp: P( x)  trong đó P ( x ), Q( x)   , dạng này ta còn gọi là dạng vô định .

Q( x)  với P(x), Q(x) là các đa thức hoặc các biểu thức chứa căn.

– Nếu P(x), Q(x) là các đa thức thì chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x.

– Nếu P(x), Q(x) có chứa căn thì có thể chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x hoặc nhân lượng liên hợp.

Tương tự như cách khử dạng vô định ở dãy số. Ta cần tìm cách đưa về các giới hạn: + lim x 2 k   ; lim x 2 k 1   () .

L = lim

x 

x  ( x  )

+ lim

x  ( x  )

x  ( x  )

k  0 (n  0; k  0) . xn

+ lim f ( x )   ( )  lim x  x0

Câu 1. lim x 

x  x0

k  0 ( k  0) . f ( x)

5 bằng: 3x  2

B. 1.

A. 0 .

C.

5 .

3

D.  .

Hướng dẫn giải: Chọn A.

5 5 Cách 1: lim  lim x  0 x  3 x  2 x  2 3 x 5 + CACL + x  109 và so đáp án (với máy casio 570 VN Plus) 3x  2 5 Cách 3: Dùng chức lim của máy VNCALL 570ES Plus: lim và so đáp án.

3x  2 x  109

Cách 2: Bấm máy tính như sau:

x4  7 là: x  x 4  1 B. 1. .

Câu 2. Giá trị đúng của lim A. 1.

Hướng dẫn giải: Chọn B

C. 7. .

D. .

7 x 7 x4  1 . lim 4  lim x  x  1 x  1 1 4 x 4

1

Câu 3. Tìm giới hạn C  lim

x 

A. 

2 x  3x 2  2 5x  x 2  1

B. 

: C.

2 3 6

D. 0

Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Website: https://toanmath.com/

Trang 95

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Giới hạn – ĐS&GT 11

Hướng dẫn giải:

2 x2  2  3 Ta có: C  lim x  6 1 5  1 2 x 2 2x 1 Câu 4. lim bằng: x  3  x 2 1 1 A. 2 .

B.  .

C. .

D. 2 .

3 3 Hướng dẫn giải: Chọn D. 1 2 2 2x2 1 x 2  lim Cách 1: lim x  3 x  3  x 2 1 x2 2 x2  1 Cách 2: Bấm máy tính như sau: + CACL + x  109 và so đáp án.

3  x2 2 x2  1 và so đáp án.

Cách 3: Dùng chức lim của máy VNCALL 570ES Plus: lim 3  x 2 x  109 2 3

Câu 5. Cho hàm số f ( x)  1 .

2 Hướng dẫn giải: Chọn C.

x2 1 . Chọn kết quả đúng của lim f ( x ) : x  2 x4  x 2  3 B.

A.

2

Cách 1: lim

x 

x 1  lim 2 x  x 2  3 x  4

Cách 2: Bấm máy tính như sau:

2 .

2

C. 0 .

1 1  x 2 x4  0 1 3 2 2  4 x x

x2  1 + CACL + x  109 và so đáp án.

4 2 2x  x  3

x2 1 Cách 3: Dùng chức lim của máy VNCALL 570ES Plus: lim 2x4  x2  3 Câu 6. lim

x 

1  3x 2x2  3

3 2 .

2 Hướng dẫn giải: Chọn A. A. 

D.  .

và so đáp án.

9

x  10

bằng: B.

2 .

2

C.

3 2 .

2

D. 

Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Website: https://toanmath.com/

2 .

2

Trang 96

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Giới hạn – ĐS&GT 11

1 3 2 3 2 Cách 1: lim  lim x  x  2 3 2 x 2  3 x  2 2 x 1  3x + CACL + x  109 và so đáp án.

Cách 2: Bấm máy tính như sau: 2 2x  3 1  3x

Cách 3: Dùng chức lim của máy VNCALL 570ES Plus: lim 3

Câu 7. Tìm giới hạn D  lim

x 

1  x4  x6 1  x3  x 4

B. 

A. 

1  3x 2 x 2  3 x  109

và so đáp án.

: C.

4 3

D. 1

Hướng dẫn giải:

x2 3 Ta có: D  lim

x 

x2

1 1  1 x6 x 2 1 1 1  1 x4 x2

Câu 8. Cho hàm số f  x    x  2  A. 0 .

B.

x 1 . Chọn kết quả đúng của lim f  x  : x  x  x2 1 4

1 .

2

C. 1.

D. Không tồn tại.

Hướng dẫn giải: Chọn A. lim f  x   lim  x  2 

x 

x 

x 1  lim 4 x  x 2  1 x

 x  1 x  2   x4  x 2  1

lim

x 

1 1 2   x 2 x3 x 4  0 .

1 1 1 2  4 x x

x2  x  3 Câu 9. lim bằng: x 1 2 x 1 A. 3 .

B.

1 .

2

C. 1.

D.  .

Hướng dẫn giải: Chọn A.

1 3 1 3 1 3 x 1  2 x 1  2 1  2 x x  lim x x  lim x x  3. .   x  1 x  1 1 1 2x 1   x2   2  x x   4 x  8x Câu 10. Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của lim 3 là: x  x  2 x 2  x  2 21 21 24 A.  .

B. .

C.  .

5 5 5 Hướng dẫn giải: x2  x  3 lim  lim x 1 x 1 2 x 1

D.

24 .

5

Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Website: https://toanmath.com/

Trang 97

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Giới hạn – ĐS&GT 11

Chọn C. x 4  8x x 4  8x thành lim x  x 3  2 x 2  x  2 x 2 x 3  2 x 2  x  2 x  x  2  x 2  2 x  4 x  x2  2 x  4  x 4  8x 24 lim  lim  lim  .

2 2 x 2 x 3  2 x 2  x  2 x 2 x  2 5  x  2   x  1  x  1 lim

Câu 12. Tìm giới hạn E  lim ( x 2  x  1  x) : x 

B. 

A. 

C. 

1 2

D. 0

Hướng dẫn giải: Ta có: E  lim

x 

x 1



2

x  x 1  x

1 2

Câu 13. Tìm giới hạn F  lim x( 4 x 2  1  x) : x 

B. 

A. 

C.

4 3

D. 0

Hướng dẫn giải:

  1 Ta có: F  lim x 2   4  2  1   x  x   Câu 14. Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của lim  4 x 5  3x 3  x  1 là: x 

A.  .

Hướng dẫn giải: Chọn A.

C. 4 .

B. 0 .

D.  .

3 1 1  lim  4 x5  3 x3  x  1  lim x 5  4  2  4  5   . . x  x  x x x   Câu 15. Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của lim

x 

A.  .

Hướng dẫn giải: Chọn D. lim

x 

C. 1.

B. 0 .

x 4  x3  x 2  x  lim

x 

x 4  x 3  x 2  x là:

D.  .

 1 1 1  x 4  1   2  3   . . x   x x





Câu 16. Tìm giới hạn B  lim x  x 2  x  1 : x 

A. 

B. 

C.

4 3

D. 0

Hướng dẫn giải:   1 1  1 1  Ta có: B  lim  x  x 1   2   lim x  1  1   2    x  x x  x   x x   Câu 17. Tìm giới hạn M  lim ( x 2  3 x  1  x 2  x  1) : x 

A. 

B. 

C.

4 3

D. Đáp án khác

Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Website: https://toanmath.com/

Trang 98

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Giới hạn – ĐS&GT 11

Hướng dẫn giải: 2 khi x    x  3x  1  x  x  1 2 khi x   4x

Ta có: M  lim

2

x 

2

Câu 18. Tìm giới hạn N  lim

x 



3



8x 3  2x  2x :

B. 

A. 

4 3

C.

D. 0

Hướng dẫn giải: 2x

Ta có: N  lim

x  3

(8 x 3  2 x )2  2 x 3 8 x 3  2 x  4 x 2



Câu 19. Tìm giới hạn H  lim

x 

4

0



16 x 4  3x  1  4 x 2  2 :

B. 

A. 

C.

4 3

D. 0

Hướng dẫn giải: 16 x 4  3 x  1  (4 x 2  2)

Ta có: H  lim

x  4

 lim

x 

 lim

x 



4

16 x 4  3 x  1  4 x 2  2 16 x 4  3 x  1  (4 x 2  2)2

16 x 4  3 x  1  4 x 2  2



16 x 4  3x  1  4 x 2  2



16 x 2  3x  3



4

16 x 4  3 x  1  4 x 2  2



16 x 4  3x  1  4 x 2  2



Suy ra H  0 .

Câu 20. Tìm giới hạn K  lim

x 





x2  1  x 2  x  2 x :

B. 

A. 

C. 

1 2

D. 0

Hướng dẫn giải: Ta có: K  lim

x 

 lim

x 

 lim

x 

 lim

x 

2 x 2  x  1  2 ( x 2  1)( x 2  x) x2  1  x 2  x  2 x 4( x 4  x 3  x 2  x)   2 x 2  x  1







x 2  1  x 2  x  2 x 2 ( x 2  1)( x 2  x)  2 x 2  x  1 4( x 4  x 3  x 2  x)   2 x 2  x  1



2

2





x 2  1  x 2  x  2 x 2 ( x 2  1)( x 2  x)  2 x 2  x  1

8 x 3  7 x 2  2 x  1







x 2  1  x 2  x  2 x 2 ( x 2  1)( x 2  x )  2 x 2  x  1



1 2

3x2  5x  1 : x  2 x 2  x  1

Câu 21. Tìm giới hạn A  lim

Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Website: https://toanmath.com/

Trang 99

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A B. 

A. 

C.

Giới hạn – ĐS&GT 11

3 2

D. 0

Hướng dẫn giải:

5 1 5 1  2) 3  2 x x  lim x x 3 Ta có: A  lim x  2 x  1 1 1 1 2 x (2   2 ) 2  2 x x x x n a x  ...  an 1 x  an Câu 22. Tìm giới hạn B  lim 0 m (a0b0  0) : x  b x  ...  b 0 m 1 x  bm 4 A.  B.  C. 3 Hướng dẫn giải: a a a x n (a0  1  ...  nn11  nn ) x x x Ta có: B  lim x  m bm 1 bm b1 x (b0   ...  m 1  m ) x x x a a a a0  1  ...  nn11  nn x x x  a0 . * Nếu m  n  B  lim x  b b b b0  1  ...  mm11  mm b0 x x x a a a a0  1  ...  nn11  nn x x x * Nếu m  n  B  lim 0 x  m  n bm1 bm b1 x (b0   ...  m1  m ) x x x ( Vì tử  a0 , mẫu  0 ). * Nếu m  n a a a x n m (a0  1  ...  nn11  nn )  khi a .b  0 0 0 x x x   B  lim .  x  bm1 bm b1  a b  khi 0 0 0  b0   ...  m1  m x x x x 2 (3 

3

Câu 23. Tìm giới hạn A  lim

3 x3  1  2 x 2  x  1 4

x 

4 x4  2

: 3

B. 

A. 

D. Đáp án khác

C. 

3 2 2

D. 0

Hướng dẫn giải:

x3 3 Ta có: A  lim

x 

1 1 1  x 2  2 3 3 x x x  3 2 .

2 2 x 4 4  4 x

Câu 24. Tìm giới hạn B  lim

x 

x x2  1  2 x  1 3

2 x3  2  1

:

Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com 100 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Website: https://toanmath.com/

Trang

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A. 

B. 

C.

4 3

Giới hạn – ĐS&GT 11 D. 0

Hướng dẫn giải:

1 2 1 1 2 1   2 ) x( 1  2   2 ) 2 x x x  x x x   B  lim x  2 1 2 1 3 2 x( 3 2  3  )  x x x3 x (do tử   , mẫu  3 2 ). x2 ( 1 

(2 x  1)3 ( x  2) 4 Câu 25.Tìm giới hạn A  lim : x  (3  2 x )7 A. 

B. 

C. 

1 16

D. 0

Hướng dẫn giải: 3 4 1  2   2   1   1 x  x A  lim   7 x  16 3   x  2   4 x 2  3x  4  2 x

Câu 26. Tìm giới hạn B  lim

x2  x 1  x B. 

x 

A.  Hướng dẫn giải: 3 4  4  2 2 x x B  lim 2 x  1 1  1  2  x x x

Câu 27. Tìm giới hạn C  lim

x 

A. 

2 x  3x2  2 5x  x 2  1

B. 

: C. 2

D. 0

: C.

2 3 4

D. 0

C.

4 3

D. 1

Hướng dẫn giải:

2 x2  2  3 C  lim x  4 1 5  1 2 x 2  3

3

Câu 28. Tìm giới hạn D  lim

x 

A. 

1  x4  x6 1  x3  x 4

B. 

:

Hướng dẫn giải:

Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com 101 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Website: https://toanmath.com/

Trang

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Giới hạn – ĐS&GT 11

1 1  2 1 6 x x D  lim  1 x  1 1  1  4 x x 3

Câu 29. Tìm giới hạn A  lim

x 





x2  x  1  3 2 x3  x  1 :

B. 

A. 

Hướng dẫn giải:  1 1 1 1 Ta có: A  lim  x 1   2  x 3 2  2  3 x  x x x x   1 1 1 1   lim x  1   2  3 2  2  3    x  x x x x   Câu 30.Tìm giới hạn C  lim

x 

4 3

D. 0

C.

1 2

D. 0

  





4 x2  x  1  2 x :

B. 

A. 

C.

Hướng dẫn giải: Ta có: C  lim

x 

 1 1 x 1   1 x 1 1 x   x  lim  .  lim 4 x 2  x  1  2 x x x 4  1  1  2 x x 4  1  1  2 2 x x2 x x2

Câu 31. Tìm giới hạn D  lim

x 



3



x3  x 2  1  x2  x  1 :

B. 

A. 

C. 

1 6

D. 0

Hướng dẫn giải: Ta có: D  lim

x 



3



x3  x 2  1  x  lim

M  lim

x 





x2  x  1  x  M  N

x2  1



1 3

( x3  x 2  1) 2  x. 3 x 3  x 2  1  x 2 1 1 x 1 1 x N  lim  lim  x  2 1 1 x 2  x  1  x x  1  2 1 x x 1 1 1 Do đó: B     .

3 2 6 x  3

Câu 32. Tìm giới hạn A  lim

x 

A. 





x2  x  1  2 x 2  x  x :

B. 

C.

3 2

D. 0

Hướng dẫn giải: Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com 102 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Website: https://toanmath.com/

Trang

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

x2  x  1  2 x2  x  x 

Ta có: 

2

x 2  x  1  x  4( x 2  x ) x2  x 1  2 x2  x  x

2x x2  x 1 1  5x  2x2 x2  x  1  2 x 2  x  x

2x  





Giới hạn – ĐS&GT 11



x2  x 1  x

2

2



1  5x



2

x  x  1  2 x2  x  x

x  x 1  2 x  x  x 2 x( x  1)



x2  x  1  2 x2  x  x



1  5x



2

x  x 1  2 x2  x  x

x2  x  1  x





.

2

Do đó: A  lim

2 x

  1 1 1  1 1  1   2  2 1   1 1   2  1 x x x  x x   1 5 1 5 3 x  lim    x  4 4 2 1 1 1 1  2  2 1 1 x x x x 



Câu 33.Tìm giới hạn B  lim x( x 2  2 x  2 x 2  x  x ) : x 

B. 

A. 

C. 

1 4

D. 0

Hướng dẫn giải: x2  2 x  2 x2  x  x 

Ta có:

 2x



2 x2  2 x  2 x x 2  2 x  4 x2  4 x x2  2 x  2 x 2  x  x

x2  2x  x 1 x2  2 x  2 x2  x  x 2 x

( x 2  2 x  2 x 2  x  x)( x 2  2 x  x  1)

Nên B  lim

.

2 x 2

( x 2  2 x  2 x 2  x  x)( x 2  2 x  x  1) 2 1  lim  . x  4 2 1 2 1 ( 1   2 1   1)( 1   1  ) x x x x n a x  ...  an 1 x  an Câu 34. Tìm giới hạn A  lim 0 m , (a0b0  0) : x  b x  ...  b 0 m 1 x  bm x 

Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com 103 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Website: https://toanmath.com/

Trang

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A B. 

A. 

C.

4 3

Giới hạn – ĐS&GT 11 D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải:

a1 a a  ...  nn11  nn ) x x x A  lim x  m b b b x (b0  1  ...  mm11  mm ) x x x a1 an1 an a0   ...  n1  n x x x  a0 . m  n  B  lim x  b b b b0  1  ...  mm11  mm b0 x x x a1 an1 an a0   ...  n1  n x x x m  n  B  lim 0 x  m  n bm1 bm b1 x (b0   ...  m1  m ) x x x  a0 , mẫu  0 ). a a a x n m (a0  1  ...  nn11  nn )  khi a .b  0 0 0 x x x  m  n , ta có: B  lim  x  bm1 bm b1  khi a0b0  0 b0   ...  m1  m x x x x n (a0 

Ta có:

 Nếu

 Nếu ( Vì tử

 Nếu

4 x 2  x  3 8 x3  x  1

Câu 35. Tìm giới hạn B  lim

4

x 

x4  3

B. 

A. 

: C.

4 3

D. 4

Hướng dẫn giải:

x 4 Ta có: B  lim

x 

1 1 1 1 1 1  x. 3 8  2  3 4  3 8 2  3 x x x  lim x x x 4 x  3 3 4 1 x 4 1 4 x x4 4 x2  2  3 x3  1

Câu 36. Tìm giới hạn C  lim

x2 1  x

x 

:

B. 

A. 

C.

3 2

D. 0

Hướng dẫn giải:

2 1  x 3 1 3  2 x x  lim x  1 x 1 2  x x

x 4 Ta có: C  lim

x 

Câu 37. Tìm giới hạn D  lim

2 3 1  1 3 2 x x 3 2   1   1  2  1 x  

x x2  1  2 x  1

x  3

2 x3  x  1  x

4

:

Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com 104 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Website: https://toanmath.com/

Trang

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A. 

B. 

C.

Giới hạn – ĐS&GT 11

4 3

D. 0

Hướng dẫn giải:

 1 2 1  x2  1  2   2  x x x   Ta có: D  lim   . x   1 1 1 2 3 2 x  3 5 6   x x x  x Câu 38. Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của lim x 2 cos x 0

A. Không tồn tại.

B. 0 .

Hướng dẫn giải: Chọn B. 2 2  1  0  x 2 cos  x2 Cách 1: 0  cos nx nx 2 Mà lim x 2  0 nên lim x 2 cos  0 x0 x 0 nx

2 là: nx

C. 1.

Cách 2: Bấm máy tính như sau: Chuyển qua chế độ Rad + x 2 cos

D.  .

2 + CACL + x  109 + n  10 và nx

so

Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com 105 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Website: https://toanmath.com/

Trang

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Giới hạn – ĐS&GT 11

DẠNG 4: GIỚI HẠN MỘ BÊN VÀ CÁC DẠNG VÔ ĐỊNH KHÁC Phương pháp: 1. Giới hạn một bên : Áp dụng định lý giới hạn của một tích và một thương..

2. Dạng  – : Giới hạn này thường có chứa căn Ta thường sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp của tử và mẫu, Sau đó tìm cách biến đổi đưa  về dạng .  3. Dạng 0.: Ta cũng thường sử dụng các phương pháp như các dạng ở trên.  1 2 Câu 1. Chọn kết quả đúng của lim  2  3  : x 0  x x  A.  .

B. 0 .

C.  .

D. Không tồn tại.

Hướng dẫn giải: Chọn C.  1 2  x2 lim  2  3   lim  3  x 0  x x  x 0  x  lim  x  2   2  0 x 0

Khi x  0  x  0  x3  0  x2 Vậy lim  3    . x 0  x  Câu 2. lim x 1

x3  x2 x 1 1 x

bằng:

A. 1 .

Hướng dẫn giải: Chọn C.

B. 0 .

x3  x 2 lim  lim x 1 x  1  1  x x1

x 2  x  1

Câu 3. lim x 1

x 1 

 x  1

C. 1.

2

 lim x 1

D.  .

x x 1



x  1 1  x 1



 lim x 1

x

1 

x 1



 1. .

x2  x 1 bằng: x2 1

A. –.

B. –1.

C. 1.

Hướng dẫn giải: Chọn D. x2  x  1 lim   vì lim  x 2  x  1  1  0 và lim  x 2  1  0; x 2  1  0 .

2 x 1 x 1 x 1 x 1 x3 Câu 4. Giá tri đúng của lim x 3 x  3 A. Không tồn tại.

B. 0 .

C. 1.

Hướng dẫn giải: Chọn A.

D. +.

D.  .

Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com 106 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Website: https://toanmath.com/

Trang

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Giới hạn – ĐS&GT 11

x 3  x3  lim 1  x3 x3 x 3 x  3 x 3 x  3   lim   xlim 3 x  3 x 3 x  3 x 3 x  3 lim  lim  1  x 3 x  3 x 3 x  3 Vậy không tồn tại giới hạn trên. lim

Câu 5. Tìm giới hạn A  lim

x 





x2  x  1  x :

B. 

A. 

C. 

1 2

D. 0

Hướng dẫn giải: Chọn C. Ta có: A  lim

( x 2  x  1  x )( x 2  x  1  x)

x2  x 1  x x2  x  1  x 2 x 1 1  lim  lim  .

2 2 x  x  2 x  x 1  x x  x 1  x x 





Câu 6. Tìm giới hạn B  lim 2 x  4 x 2  x  1 : x 

A. 

B. 

C.

1 4

D. 0

Hướng dẫn giải: Chọn C. B  lim

(2 x  4 x 2  x  1)(2 x  4 x 2  x  1)

x 1

 lim



1 .

4

x  2x  4x2  x 1 2x  4x2  x  1 1 1  Câu 7. Cho hàm số f ( x)  3 . Chọn kết quả đúng của lim f  x  : x 1 x 1 x 1 2 2 C. .

A.  .

B.  .

3 3 Hướng dẫn giải: Chọn A.   x2  x  lim f  x   lim  3  x 1 x 1  x 1  x 

D.  .

lim   x 2  x   2

x 1

Khi x  1  x  1  x3  1  0 Vậy lim f  x    . x 1

Câu 8. Tìm giới hạn C  lim [ n ( x  a1 )( x  a2 )...( x  an )  x] : x 

A. 

B. 

C.

a1  a2  ...  an n

D.

a1  a2  ...  an 2n

Hướng dẫn giải: Chọn C. Đặt y  n ( x  a1 )( x  a2 )...( x  an ) Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com 107 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Website: https://toanmath.com/

Trang

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

 y n  x n  ( y  x)( y n 1  y n1 x  ...  xn1 )  y  x 

Giới hạn – ĐS&GT 11

yn  xn y n 1  y n 1 x  ...  x n 1

y n  xn x  x  y n 1  y n  2 x  ...  x n 1 y n  xn x n 1 .  C  lim n 1 n  x  y  y 1 x  ...  x n 1 x n 1 y n  xn b b b Mà lim  lim ( a1  a2  ...  an  2  32  ...  nn1 ) n  1 x  x  x x x x  a1  a2  ...  an .  lim ( y  x )  lim

y k x n 1k y n 1  y n 2 x  ...  x n 1  1  k  0,..., n  1  lim n. x  x  x n 1 x n 1 a  a  ...  an Vậy C  1 2 . n lim

Câu 9. Tìm giới hạn A  lim ( x 2  x  1  x ) : x 

B. 

A. 

C. 

1 2

D. 0

Hướng dẫn giải: Chọn C. x  1 1 A  lim  2 x  2 x  x 1  x Câu 10. Tìm giới hạn B  lim x( 4 x 2  1  x) : x 

B. 

A. 

C.

1 4

D. 0

1 4

D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải: Chọn B. Câu 11. Tìm giới hạn C  lim ( x 2  x  1  x 2  x  1) : x 

B. 

A. 

C.

Hướng dẫn giải: Chọn D.

 lim  lim

x 

x 

 x  x  1   lim

x 2  x  1  x 2  x  1  lim x2  x  1 

2 x

x 

x  x  1  x2  x  1 2 x

x 

x2  x 1  x2  x 1

2

2

 1  1.

Câu 12. Tìm giới hạn D  lim ( 3 8x 3  2x  2x) : x 

A. 

B. 

C.

1 4

D. 0

Hướng dẫn giải: Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com 108 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Website: https://toanmath.com/

Trang

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Giới hạn – ĐS&GT 11

Chọn D. 2x

D  lim

x  3

(8 x 3  2 x) 2  2 x 3 (8 x3  2 x)  4 x 2

0

Câu 13. Tìm giới hạn E  lim ( 4 16 x 4  3 x  1  4 x 2  2) : x 

B. 

A. 

C.

1 4

D. 0

C.

1 4

D. 0

Hướng dẫn giải: Chọn D. E  lim

x 



4



16 x 4  3 x  1  2 x  lim

x 





4x2  2  2x  0

Câu 14. Tìm giới hạn F  lim ( x  3 1  x3 ) : x 

A. 

B. 

Hướng dẫn giải: Chọn D.

Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com 109 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Website: https://toanmath.com/

Trang

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Giới hạn – ĐS&GT 11

DẠNG 5 : GIỚI HẠN LƯỢNG GIÁC Phương pháp: Ta sử dụng các công thức lượng giác biến đổi về các dạng sau: sin x x tan x x  lim  1 , từ đây suy ra lim  lim  1.  lim x0 x  0 x  0 x  0 x sin x x tan x sin u ( x ) tan u ( x )  Nếu lim u ( x )  0  lim  1 và lim  1. x  x0 x  x0 x  x0 u( x) u( x) 1  cos ax : Câu 1. Tìm giới hạn A  lim x0 x2 a A.  B.  C. 2 Hướng dẫn giải: Chọn C. 2 ax   2 ax 2 sin sin  a 2  a lim  2 Ta có: A  lim  ax   .

2 x 0 x  0 x 2 2    2  1  sin mx  cos mx Câu 2. Tìm giới hạn A  lim : x 0 1  sin nx  cos nx m A.  B.  C. n Hướng dẫn giải: Chọn C. mx mx 2 mx 1  sin mx  cos mx 2sin 2  2sin 2 cos 2 Ta có:  nx nx nx 1  sin nx  cos nx 2sin 2  2sin cos 2 2 2 mx nx mx mx sin  cos m sin 2 2 2  . 2 . mx nx nx nx n sin sin  cos 2 2 2 2 mx nx mx mx sin sin  cos m 2 .lim 2 .lim 2 2  m.

A  lim n x 0 mx x 0 sin nx x 0 sin nx  cos nx n 2 2 2 2 1  cos x.cos 2 x.cos 3 x Câu 3. Tìm giới hạn B  lim : x0 x2 A.  B.  C. 3 Hướng dẫn giải: Chọn C. Ta có: 1  cos x.cos 2 x.cos 3x 1  cos x  cos x cos 2 x (1  cos 3 x)  cos x (1  cos 2 x)  x2 x2

D. 0

D. 0

D. 0

Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com 110 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Website: https://toanmath.com/

Trang

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 1  cos x 1  cos 3 x 1  cos 2 x  cos x.cos 2 x  cos x 2 2 x x x2 1  cos x 1  cos 3 x 1  cos 2 x B  lim  lim cos x.cos 2 x  lim cos x 3 2 2 x0 x  0 x  0 x x x2 1  cos 2 x Câu 4.Tìm giới hạn A  lim : x0 3x 2sin 2 A.  B.  C. 1

Giới hạn – ĐS&GT 11



D. 0

Hướng dẫn giải: Chọn D.

3x sin sin 2 x sin x 2 3 2  0.

Ta có: A  lim  lim x ( ) . lim x0 x 0 3 x x0 3x x 2 sin 2 2 cos 2 x  cos 3x Câu 5. Tìm giới hạn B  lim : x 0 x (sin 3 x  sin 4 x ) A. 

B. 

C.

5 2

Hướng dẫn giải: Chọn C. 5x x 5x 2sin sin sin 5 2 2   lim( .

2 ).lim 1  5 .

B  lim x 0 x 0 2 x 0 7x x 5x 7x 2 2 x cos sin cos 2 2 2 2 2 tan 2 x : Câu 6. Tìm giới hạn C  lim 3 x 0 1  cos 2 x A.  B.  C. 6 Hướng dẫn giải: Chọn C. tan 2 2 x tan 2 2 x(1  3 cos 2 x  3 cos 2 2 x )  lim C  lim x  0 1  3 cos 2 x x 0 1  cos 2 x

D. 0

D. 0

tan 2 2 x (1  3 cos 2 x  3 cos 2 2 x ) x 0 2sin 2 x tan 2 x 2 x 2  2lim( ) .( ) (1  3 cos 2 x  3 cos 2 2 x ). x 0 2x sin x  C  6. x2 Câu 7. Tìm giới hạn D  lim : x 0 1  x sin 3 x  cos 2 x  lim

A. 

B. 

C.

7 2

D. 0

Hướng dẫn giải: Chọn C.

Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com 111 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Website: https://toanmath.com/

Trang

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

1 x0 1  x sin 3 x  cos 2 x x2 1  x sin 3 x  cos 2 x 1  x sin 3 x  1 1  cos 2 x Mà : lim  lim  lim 2 2 x0 x0 x 0 x x x2 sin 3 x 1 7  3lim( . )2 . x 0 3x 2 1  x sin 3x  1 7 Vậy: D  .

2 sin( x m ) Câu 8.Tìm giới hạn A  lim. : x 1 sin( x n ) n A.  B.  C. m Hướng dẫn giải: Chọn C. sin  (1  x m ) sin  (1  x m )  (1  x n ) 1  xn A  lim  lim .lim .lim x 1 sin  (1  x n ) x 1  (1  x m ) x 1 sin  (1  x n ) x 1 1  x m 1  xn (1  x)( x n 1  x n 2  ...  1) n  lim  lim  . x 1 1  x m x 1 (1  x )( x m 1  x m  2  ...  1) m  Câu 9. Tìm giới hạn B  lim(  x) tan x :  2 x

Giới hạn – ĐS&GT 11

Ta có: D  lim

D. 0

2

A. 

B. 

5 2

D. 1

C.

5 2

D. 0

C.

5 2

D. 0

C.

Hướng dẫn giải: Chọn D.

 x  sin x 2 Ta có: B  lim(  x)  lim .lim sin x  1 .  2 cos x x  sin(  x) x  x 2 2 2 2 1 (  0) : Câu 10. Tìm giới hạn C  lim x sin x0 x A. 

B. 

Hướng dẫn giải: Chọn D. 1 Ta có: 0 | x sin | x . Mà lim x  0 x 0 x Nên theo nguyên lí kẹp  A39  0 .

Câu 11.Tìm giới hạn D  lim (sin x  1  sin x ) : x 

A. 

B. 

Hướng dẫn giải: Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com 112 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Website: https://toanmath.com/

Trang

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chọn D. Trước hết ta có: sin x  x

Giới hạn – ĐS&GT 11

x  0

Ta có: sin x  1  sin x  2sin

x 1  x x 1  x .cos  2 2

1 x 1  x

1  0 nên D  0 . x  x 1  x cos 3 x  cos 4 x : Câu 12. Tìm giới hạn A  lim x  0 cos 5 x  cos 6 x

Mà lim

B. 

A. 

C.

7 11

D. 0

Hướng dẫn giải: Chọn C.

7x x sin 2 2  7 Ta có: A  lim x0 11x x 11 sin sin 2 2 1  3 1  2sin 2 x Câu 13. Tìm giới hạn B  lim : x0 sin 3x sin

B. 

A. 

4 9

D. 0

C. 96

D. 0

C. 

Hướng dẫn giải: Chọn C. Ta có B  lim x 0

2 sin 2 x



sin 3 x 1  3 1  2sin 2 x  3 (1  2sin 2 x) 2

sin 2 2 x : x  0 3 cos x  4 cos x B. 





4 9

Câu 14.Tìm giới hạn C  lim A.  Hướng dẫn giải: Chọn C.

sin 2 2 x x2 Ta có: C  lim 3  96 x 0 cos x  1 1  4 cos x  x2 x2 sin 4 2 x Câu 15.Tìm giới hạn D  lim 4 : x  0 sin 3 x

A. 

B. 

C.

16 81

D. 0

Hướng dẫn giải: Chọn C.

 1  sin( cos x) 2 Câu 16.Tìm giới hạn E  lim : x 0 sin(tan x)

Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com 113 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Website: https://toanmath.com/

Trang

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A B. 

A. 

Giới hạn – ĐS&GT 11

C.

5 2

D. 0

C.

5 2

D. 0

C.

b a  2n 2 m

D. 0

C.

a 2n

D. 0

Hướng dẫn giải: Chọn D.   1  sin  cos x  2  tan x E  lim 0 x 0 sin(tan x) tan x Câu 17. Tìm giới hạn F  lim

x 

3sin x  2 cos x : x 1  x

B. 

A.  Hướng dẫn giải: Chọn D. 3sin x  2 cos x Ta có: 0   x 1  x Vậy F  0 .

1  0 khi x   x 1  x m

Câu 18. Tìm giới hạn H  lim x0

cos ax  m cos bx : sin 2 x

B. 

A.  Hướng dẫn giải: Chọn C. m

cos ax  1 1  n cos bx  b a x2 x2 Ta có: H  lim   2 x 0 sin x 2n 2m 2 x 1  n cos ax Câu 19.Tìm giới hạn M  lim : x 0 x2

A. 

B. 

Hướng dẫn giải: Chọn C.

1  cos ax 1  n cos ax  ( n cos ax )2  ...  ( n cos ax )n1 1  cos ax 1  M  lim lim n 2 n x 0 x 0 1  cos ax  ( cos ax ) 2  ...  ( n cos ax ) n 1 x cos 3 x  cos 4 x Câu 20.Tìm giới hạn A  lim : x  0 cos 5 x  cos 6 x 7 A.  B.  C. 11 Hướng dẫn giải: Ta có: 1  n cos ax 

a 1 a  .  .

2 n 2n

D. 0

Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com 114 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Website: https://toanmath.com/

Trang

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Giới hạn – ĐS&GT 11

Chọn C.

7x x sin 2 2  7 Ta có: A  lim x0 11x x 11 sin sin 2 2 1  3 1  2sin 2 x Câu 21.Tìm giới hạn B  lim : x0 sin 3x sin

B. 

A. 

4 9

D. 0

C. 96

D. 0

C. 

Hướng dẫn giải: Chọn C. Ta có B  lim x 0

2 sin 2 x



sin 3 x 1  3 1  2sin 2 x  3 (1  2sin 2 x)

sin 2 2 x Câu 22. Tìm giới hạn C  lim 3 : x0 cos x  4 cos x A.  B.  Hướng dẫn giải: Chọn C. sin 2 2 x x2 Ta có: C  lim 3  96 x 0 cos x  1 1  4 cos x  x2 x2 sin 4 2 x : Câu 23. Tìm giới hạn D  lim 4 x  0 sin 3 x A. 

B. 

2





C.

4 9

16 81

Hướng dẫn giải: Chọn C. 4 4  sin 2 x   3x  16 16 Ta có: D  lim   .  .  x0  2 x   sin 3x  81 81  1  sin( cos x) 2 Câu 24. Tìm giới hạn E  lim : x 0 sin(tan x) A.  B.  C. 1 Hướng dẫn giải: Chọn D.   1  sin  cos x  2  sin(tan x) tan x Ta có: E  lim Mà lim  1; x 0 x0 sin(tan x ) tan x tan x

D. 0

D. 0

Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com 115 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Website: https://toanmath.com/

Trang

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

    1  sin  cos x  1  cos  (1  cos x)  2   lim 2  lim x0 x 0 tan x tan x x   sin 2   2 sin 2   2   sin 2 x    2 .x. x  0  lim x  0 x x 4 tan x  sin 2 ( )2 2 2 2 Do đó: E  0 .

Giới hạn – ĐS&GT 11

x   sin 2   2 2sin 2   2      lim x 0 tan x

3sin x  2 cos x : x  x 1  x

Câu 25.Tìm giới hạn F  lim

B. 

A.  Hướng dẫn giải: Chọn D. 3sin x  2 cos x Ta có: 0   x 1  x Vậy F  0 .

5 2

D. 0

1  0 khi x   x 1  x 3

Câu 26. Tìm giới hạn M  lim x0

1  3x  1  2 x : 1  cos 2 x

B. 

A. 

C.

C. 

1 4

D. 0

Hướng dẫn giải: Chọn C. 3

3x  1  2 x  1 1  2 1 x Ta có: M  lim  2  . x0 1  cos 2 x 2 4 2 x 3x  5sin 2 x  cos 2 x Câu 27. lim bằng: x  x2  2 A.  .

B. 0 .

C. 3 .

Hướng dẫn giải: Chọn B. 3x  5sin 2 x  cos 2 x 3x 5sin 2 x cos 2 x lim  lim 2  lim 2  lim 2 x  x  x  2 x  x  2 x  x  2 x2  2 3 3x A1  lim 2  lim x  0 x  2 x 1  2 x  x2

D.  .

Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com 116 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Website: https://toanmath.com/

Trang

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Giới hạn – ĐS&GT 11

5 5sin 2 x 5  0  A2  lim 2  lim 2  0  A2  0 x  x  2 x  x  2 x  x  2 0 cos 2 x 1 lim 2  0  A3  lim 2  lim 2  0  A3  0 x  x  2 x  x  2 x  x  2 3 x  5sin 2 x  cos 2 x Vậy lim 0. x  x2  2 lim

2

Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com 117 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Website: https://toanmath.com/

Trang

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Giới hạn – ĐS&GT 11

HÀM SỐ LIÊN TỤC A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP 1. Hàm số liên tục tại một điểm: y = f(x) liên tục tại x0 

lim f ( x)  f ( x0 )

x x0

 Để xét tính liên tục của hàm số y = f(x) tại điểm x0 ta thực hiện các bước: B1: Tính f(x0).

B2: Tính lim f ( x) (trong nhiều trường hợp ta cần tính lim f ( x) , lim x  x0

B3: So sánh

x  x0

f ( x) )

x  x0

lim f ( x) với f(x0) và rút ra kết luận.

x  x0

2. Hàm số liên tục trên một khoảng: y = f(x) liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó.

3. Hàm số liên tục trên một đoạn [a; b]: y = f(x) liên tục trên (a; b) và

lim f ( x)  f (a), lim f ( x)  f (b)

x a 

x b

 Hàm số đa thức liên tục trên R.  Hàm số phân thức, các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng.

Giả sử y = f(x), y = g(x) liên tục tại điểm x0. Khi đó:  Các hàm số y = f(x) + g(x), y = f(x) – g(x), y = f(x).g(x) liên tục tại x0.  Hàm số y =

f ( x) liên tục tại x0 nếu g(x0)  0. g ( x)

4. Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b] và f(a). f(b)< 0 thì tồn tại ít nhất một số c  (a; b): f(c) = 0.

Nói cách khác: Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b] và f(a). f(b)< 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm c (a; b).

Mở rộng: Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b]. Đặt m = min f ( x ) , M = max f ( x) . Khi đó với mọi T  (m; M) luôn tồn  a ;b

 a ;b

tại ít nhất một số c  (a; b): f(c) = T.

B – BÀI TẬP

DẠNG 1: TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM Phương pháp:  Tìm giới hạn của hàm số y  f ( x ) khi x  x0 và tính f ( x0 )

 Nếu tồn tại lim f ( x) thì ta so sánh lim f ( x) với f ( x0 ) . x  x0

x  x0

Chú ý: 1. Nếu hàm số liên tục tại x0 thì trước hết hàm số phải xác định tại điểm đó 2. lim f ( x)  l  lim f ( x)  lim f ( x)  l . x  x0

x  x0

x  x0

 f ( x ) khi x  x0 liên tục tại x  x0  lim f ( x)  k . x  x0 khi x  x0 k

3. Hàm số y  

 f1 ( x ) khi x  x0 liên tục tại điểm x  x0 khi và chỉ khi f ( x ) khi x  x 0  2

4. Hàm số f ( x )  

lim f1 ( x)  lim f 2 ( x )  f1 ( x0 ) .

x  x0

x  x0

Chú ý:

Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com 118 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Website: https://toanmath.com/

Trang

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Giới hạn – ĐS&GT 11

 f ( x ) khi x  x0  Hàm số y   liên tục tại x  x0 khi và chỉ khi khi x  x0 k lim f ( x)  k . x x0

 f ( x ) khi x  x0  Hàm số y   liên tục tại x  x0 khi và chỉ khi g ( x ) khi x  x 0  lim f ( x )  lim g ( x) . x  x0

x  x0

Câu 1. Cho hàm số f  x  

x2 1 và f  2   m 2  2 với x  2 . Giá trị của m để f  x  liên tục tại x  2 là: x 1 B.  3 .

C.  3 .

D. 3

A. 3 .

Hướng dẫn giải: Chọn C Hàm số liên tục tại x  2  lim f  x   f  2 . x2

2

x 1  lim  x  1  1 . x  1 x 2 m  3 .

Vậy m2  2  1    m   3

Ta có lim x 2

Câu 2. Cho hàm số f  x  

x2  4 . Chọn câu đúng trong các câu sau:

(I) f  x  liên tục tại x  2 .

(II) f  x  gián đoạn tại x  2 .

(III) f  x  liên tục trên đoạn  2;2 .

A. Chỉ  I  và  III  .

B. Chỉ  I  .

C. Chỉ  II  .

D.

 II  và

Chỉ

 III  Hướng dẫn giải: Chọn B. Ta có: D   ; 2   2;   . lim f  x   lim x 2  4  0 . x2

x 2

f  2  0 .

Vậy hàm số liên tục tại x  2 .  x2 1  3 Câu 3. Cho hàm số f  x    x  x  6  b  3 A.

3.

x  3; x  2

. Tìm b để f  x  liên tục tại x  3 .

x  3; b  

B.  3 .

C.

2 3 .

3

D. 

2 3 .

3

Hướng dẫn giải: Chọn D. Hàm số liên tục tại x  3  lim f  x   f  3 . x3

Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com 119 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Website: https://toanmath.com/

Trang

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Giới hạn – ĐS&GT 11

x2  1 1  .

3 x 3 x  x6 3 f  3  b  3 .

lim

1 1 2 b 3  .

3 3 3 x 1 Câu 4. Cho hàm số f  x   . Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau: x 1  I  f  x  gián đoạn tại x  1.

Vậy: b  3 

 II  f  x  liên tục tại f  x   III  lim x 1

x  1.

1 2

A. Chỉ  I  .

B. Chỉ  I  .

C. Chỉ  I  và  III  .

D.

 II  và

Chỉ

 III  .

Hướng dẫn giải: Chọn C. D   \ 1 x 1 1 1  lim  x 1 x  1 x 1 x 1 2 Hàm số không xác định tại x  1. Nên hàm số gián đoạn tại x  1. .  2x  8  2 x  2  Câu 5. Cho hàm số f  x    . Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau: x2 0 x  2   I  lim f  x   0 . lim

x 2

 II  f  x  liên tục tại x  2.  III  f  x  gián đoạn tại x  2.

A. Chỉ  I  và  III  .

B. Chỉ  I  và  II  .

Hướng dẫn giải: Chọn B. 2x  8  2 lim  lim x 2 x 2 x2

2x  8  4



2x  8  2



x2

 lim x 2

C. Chỉ  I  .

2 x2



2x  8  2



D. Chỉ  I 

 0.

Vậy lim f  x   f  2  nên hàm số liên tục tại x  2. . x 2

 4  x 2 1

Câu 6. Cho hàm số f  x   

2 x  2 . Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:. x2

 I  f  x  không xác định tại x  3.  II  f  x  liên tục tại x  2. f  x  2  III  lim x2 Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com 120 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Website: https://toanmath.com/

Trang

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A. Chỉ  I  .

Giới hạn – ĐS&GT 11

B. Chỉ  I  và  II  .

C. Chỉ  I  và  III  .

Hướng dẫn giải: Chọn B. D   2; 2

D. Cả  I  ;  II  ;  III  đều sai.

f  x  không xác định tại x  3. lim 4  x 2  0 ; f  2   0 . Vậy hàm số liên tục tại x  2.

x 2

lim f  x   lim 4  x 2  0 ; lim f  x   1 . Vậy không tồn tại giới hạn của hàm số khi x  2. .

x 2

x 2

x 2

 sin 5 x x0  Câu 7. Cho hàm số f  x    5 x . Tìm a để f  x  liên tục tại x  0. a  2 x0 A. 1 .

B. 1 .

C. 2 .

Hướng dẫn giải: Chọn B. sin 5 x  1 ; f  0  a  2 .

Ta có: lim x 0 5x Vậy để hàm số liên tục tại x  0 thì a  2  1  a  1 .  x  12 , x  1  Câu 8.Cho hàm số f  x    x 2  3 , x  1 . Tìm k để f  x  gián đoạn tại x  1 .  2 , x 1 k A. k  2 .

B. k  2 .

C. k  2 .

D. 2.

D. k  1 .

Hướng dẫn giải: Chọn A. TXĐ: D   .

Với x  1 ta có f 1  k 2 Với x  1 ta có 2

lim f  x   lim  x 2  3  4 ; lim f  x   lim  x  1  4 suy ra lim f  x   4 . x 1

x 1

x 1

x 1

x 1

Vậy để hàm số gián đoạn tại x  1 khi lim f  x   k  k  4  k  2 .

2

2

x 1

 x 2 khi x  4  x  4 Câu 9.Cho hàm số f ( x )   . Khẳng định nào sau đây đúng nhất 1 khi x  4  4 A. Hàm số liên tục tại x  4 B. Hàm số liên tục tại mọi điểm trên tập xác định nhưng gián đoạn tại x  4 C. Hàm số không liên tục tại x  4 D. Tất cả đều sai Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com 121 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Website: https://toanmath.com/

Trang

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Giới hạn – ĐS&GT 11

x 2 1 1  lim   f (4) x  4 x4 x 2 4 Hàm số liên tục tại điểm x  4 .

Ta có : lim f ( x)  lim x4

x4

 x 2  3x  2  2 khi x  1  Câu 10. Cho hàm số f ( x)   . Khẳng định nào sau đây đúng nhất x 1 3 x 2  x  1 khi x  1  A. Hàm số liên tục tại x  1 B. Hàm số liên tục tại mọi điểm C. Hàm số không liên tục tại x  1 D. Tất cả đều sai Hướng dẫn giải:

Chọn C.  ( x  1)( x  2)  lim f ( x)  lim   2  2 x 1 x 1 x 1   2 lim f ( x )  lim  3 x  x  1  3  lim f ( x ) x 1

x 1

x 1

Hàm số không liên tục tại x  1 .

x  khi x  1  cos Câu 11. Cho hàm số 3. f  x    . Khẳng định nào sau đây đúng nhất 2  x 1 khi x  1  A. Hàm số liên tục tại tại x  1 và x  1 .

B. Hàm số liên tục tại x  1 , không liên tục tại điểm x  1 .

C. Hàm số không liên tục tại tại x  1 và x  1 .

D. Tất cả đều sai Hướng dẫn giải:

Chọn B. Hàm số liên tục tại x  1 , không liên tục tại điểm x  1 .

2x  1 1 liên tục tại điểm x  0 . x( x  1)

Câu 12. Chọn giá trị f (0) để các hàm số f ( x)  A. 1 Hướng dẫn giải:

B. 2

C. 3

D. 4

Chọn A. Ta có : lim f ( x)  lim x 0

x 0

2x 1 1 2x  lim 1 x 0 x( x  1) x( x  1) 2 x  1  1





Vậy ta chọn f (0)  1 3

Câu 13. Chọn giá trị f (0) để các hàm số f ( x )  A. 1

B. 2

2x  8  2 liên tục tại điểm x  0 .

3x  4  2 2 1 C. D. 9 9

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com 122 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Website: https://toanmath.com/

Trang

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

2 Ta có : lim f ( x )  lim x0

x0

Vậy ta chọn f (0) 

3



3



3x  4  2



(2 x  8) 2  2. 3 2 x  8  4





Giới hạn – ĐS&GT 11

2 9

2 .

9

x x2 khi x  1  Câu 14. Cho hàm số f ( x)   x  1 . Khẳng định nào sau đây đúng nhất 2 x  3 khi x  1  A. Hàm số liên tục tại tại tại x0  1 B. Hàm số liên tục tại mọi điểm C. Hàm số không liên tục tại tại x0  1 .

D. Tất cả đều sai Hướng dẫn giải:

Chọn C. Ta có: f (1)  1 và lim f ( x)  lim  2 x  3  1 x 1

x 1

x x2 x2  x  2 lim f ( x)  lim  lim x 1 x 1 x 1 ( x  1)( x  x 1 x  2) x2 3 lim  x 1 x  x2 2 Suy ra lim f ( x )  lim f ( x) x 1

x 1

Vậy hàm số không liên tục tại x0  1 .

 x  1  3 x 1 khi x  0  Câu 15. Cho hàm số 3. f ( x )   . Khẳng định nào sau đây đúng nhất x 2 khi x  0  A. Hàm số liên tục tại x0  0 B. Hàm số liên tục tại mọi điểm như gián đoạn tại x0  0 C. Hàm số không liên tục tại x0  0 D. Tất cả đều sai Hướng dẫn giải:

Chọn C. Ta có: f (0)  2 lim f ( x)  lim x 0

x 0

 1 3 x 1  x 1 3 x 1  lim 1   x 0 x x  

1    lim 1    2  f (0) 3 x0  1  x  1  x 1  Vậy hàm số liên tục tại x  0 .

Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com 123 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Website: https://toanmath.com/

Trang

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Giới hạn – ĐS&GT 11

 3 x 1 khi x  1  Câu 16. Cho hàm số f ( x)   x  1 . Khẳng định nào sau đây đúng nhất 1  khi x  1  3 A. Hàm số liên tục tại x  1 B. Hàm số liên tục tại mọi điểm C. Hàm số không liên tục tại tại x  1 D. Tất cả đều sai Hướng dẫn giải:

Chọn C. 3

x 1 1 1  lim   f (1) 3 2 x  4 3 x 1 x  x 1 3 Hàm số liên tục tại điểm x  1 .  x2  x  2  2 x khi x  2  Câu 17. Cho hàm số f ( x)   x  2 x2  x  3 khi x  2 

Ta có : lim f ( x )  lim x 1

x 4

. Khẳng định nào sau đây đúng nhất A. Hàm số liên tục tại x0  2 B. Hàm số liên tục tại mọi điẻm C. Hàm số không liên tục tại x0  2 D. Tất cả đều sai Hướng dẫn giải:

Chọn C.  ( x  1)( x  2)   2x  4 x2  

Ta có : lim f ( x )  lim  x 2 x 2

lim f ( x)  lim  x 2  x  3  5  lim f ( x)

x 2

x2

x2

Hàm số không liên tục tại x0  2 .

 x  2a khi x  0 Câu 18. Tìm a để các hàm số f  x    2 liên tục tại x  0  x  x  1 khi x  0 1 1 A. B. C. 0 D. 1 2 4 Hướng dẫn giải:

Chọn A. Ta có : lim f ( x)  lim ( x 2  x  1)  1 x 0

x 0

lim f ( x)  lim ( x  2a )  2a

x 0

x 0

1 .

2  4x  1 1 khi x  0  2 Câu 19. Tìm a để các hàm số f ( x )   ax  (2a  1) x liên tục tại x  0 3 khi x  0  Suy ra hàm số liên tục tại x  0  a 

Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com 124 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Website: https://toanmath.com/

Trang

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A.

1 2

B.

1 4

C. 

1 6

Giới hạn – ĐS&GT 11 D. 1

Hướng dẫn giải:

Chọn C. Ta có : lim f ( x)  lim x0

 lim x 0

x 0

4x 1 1 x  ax  2a  1 4

 ax  2a  1 



4x 1 1



2 2a  1

2 1 3 a  .

2a  1 6  3x  1  2 khi x  1  2 x  1 Câu 20.Tìm a để các hàm số f ( x )   liên tục tại x  1 2  a( x  2) khi x  1  x  3 1 1 3 A. B. C. D. 1 2 4 4

Hàm số liên tục tại x  0 

Hướng dẫn giải:

Chọn C. 3x  1  2 3  x 1 x 1 x2 1 8 2 a( x  2) a lim f ( x)  lim  x 1 x 1 x 3 2 a 3 3 Suy ra hàm số liên tục tại x  1    a  .

2 8 4

Ta có : lim f ( x )  lim

Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com 125 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Website: https://toanmath.com/

Trang

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Giới hạn – ĐS&GT 11

DẠNG 2: TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TRÊN TẬP XÁC ĐỊNH Phương pháp: + Sử dụng các định lí về tính liên tục của hàm đa thức, lương giác, phân thức hữu tỉ … + Nếu hàm số cho dưới dạng nhiều công thức thì ta xét tính liên tục trên mỗi khoảng đã chia và tại các điểm chia của các khoảng đó.

Câu 1. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:  I  f  x   12 liên tục trên  . x 1 sin x có giới hạn khi x  0.  II  f  x   x

 III  f  x   9  x2 liên tục trên đoạn  3;3 .

B. Chỉ  II  và  III  .

A. Chỉ  I  và  II  .

C. Chỉ  II  .

D. Chỉ  III  .

Hướng dẫn giải: Chọn B. Dễ thấy kđ (I) sai, Kđ (II) là lí thuyết.

Hàm số: f  x   9  x2 liên tục trên khoảng  3;3 . Liên tục phải tại 3 và liên tục trái tại 3 .

Nên f  x   9  x2 liên tục trên đoạn  3;3 .

Câu 2. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau: x 1 liên tục với mọi x  1 .  I  . f  x  x 1  II  . f  x   sin x liên tục trên  .

 III  . f  x  

x liên tục tại x  1 . x

A. Chỉ  I  đúng.

B. Chỉ  I  và  II  .

C. Chỉ  I  và  III  .

D. Chỉ  II  và  III 

.

Hướng dẫn giải: Chọn D. Ta có  II  đúng vì hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng của tập xác định.

x , khi x  0 x  x Ta có  III  đúng vì f  x    . x  x  , khi x  0  x Khi đó lim f  x   lim f  x   f 1  1 . x 1

x1

x liên tục tại x  1 . x  x2  3 ,x 3  Câu 3. Cho hàm số f  x    x  3 . Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau: 2 3 ,x 3  Vậy hàm số y  f  x  

Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com 126 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Website: https://toanmath.com/

Trang

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

 I  . f  x  liên tục tại x  3 .  II  . f  x  gián đoạn tại x  3 .  III  . f  x  liên tục trên  .

A. Chỉ  I  và  II  .

C. Chỉ  I  và  III  .

Giới hạn – ĐS&GT 11

B. Chỉ  II  và  III  .

D. Cả  I  ,  II  ,  III  đều đúng.

Hướng dẫn giải: Chọn C.

x2  3 liên tục trên khoảng ; 3 và 3;  , 1 . x 3 x2  3 3  2 3 và lim f  x   lim  2 3  f 3 nên hàm số liên tục tại x 3 x 3 x  3



Với x  3 ta có hàm số f  x   Với x  3 ta có f

 

 



 

x  3 ,  2 Từ 1 và  2  ta có hàm số liên tục trên  .

Câu 4. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:  I  . f  x   x5 – x 2  1 liên tục trên  .

 II  . f  x  

1

liên tục trên khoảng  –1;1 . x2  1  III  . f  x   x  2 liên tục trên đoạn  2;  .

A. Chỉ  I  đúng.

B. Chỉ  I  và  II  .

C. Chỉ  II  và  III  .

D. Chỉ  I  và  III  .

Hướng dẫn giải: Chọn D. 5 2 Ta có  I  đúng vì f  x   x  x  1 là hàm đa thức nên liên tục trên  .

Ta có  III  đúng vì f  x  

x  2 liên tục trên  2;  và lim f  x   f  2   0 nên hàm số liên tục trên x 2

 2;  . 3  9  x , 0 x9  x  ,x0 Câu 5. Cho hàm số f  x   m . Tìm m để f  x  liên tục trên  0;  là. 3  , x9  x A.

1 .

3

B.

1 1 . C. .

2 6

D. 1 .

Hướng dẫn giải: Chọn C. TXĐ: D   0;   .

Với x  0 ta có f  0   m .

Ta có lim f  x   lim x 0

x 0

3 9 x 1 1  lim  . x 0 3  9  x x 6

Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com 127 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Website: https://toanmath.com/

Trang

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Vậy để hàm số liên tục trên  0;  khi lim f  x   m  m  x0

Giới hạn – ĐS&GT 11

1 .

6

2

Câu 6. Cho hàm số f ( x)  A.  3; 2  .

x 1 .Khi đó hàm số y  f  x  liên tục trên các khoảng nào sau đây? x  5x  6 B.  2;   .

C.  ;3  .

D.  2;3 .

2

Hướng dẫn giải: Chọn B.

 x  3 .  x  2

Hàm số có nghĩa khi x 2  5 x  6  0  

x2 1 Vậy theo định lí ta có hàm số f  x   2 liên tục trên khoảng  ; 3  ;  3; 2  và  2;   . x  5x  6  x 2  5x  6 khi x  2  Câu 7. Cho hàm số f  x    2 x 3  16 . Khẳng định nào sau đây đúng nhất.  2  x khi x  2  A. Hàm số liên tục trên  B. Hàm số liên tục tại mọi điểm C. Hàm số không liên tục trên  2 :   D. Hàm số gián đoạn tại điểm x  2 .

Hướng dẫn giải:

Chọn D. TXĐ : D   \ 2 x2  5x  6  Với x  2  f ( x)   hàm số liên tục 2 x 3  16  Với x  2  f ( x )  2  x  hàm số liên tục  Tại x  2 ta có : f (2)  0

lim f ( x)  lim  2  x   0 ;

x 2

x2

( x  2)( x  3) 1   lim f ( x ) 2 x 2 x  2 2( x  2)( x  2 x  4) 24 x 2 Hàm số không liên tục tại x  2 .  3 x 1 khi x  1   x 1 Câu 8. Cho hàm số f ( x)   . Khẳng định nào sau đây đúng nhất.  3 1 x  2 khi x  1  x  2 A. Hàm số liên tục trên  B. Hàm số không liên tục trên  C. Hàm số không liên tục trên 1:   lim f ( x )  lim

D. Hàm số gián đoạn tại các điểm x  1 .

Hướng dẫn giải:

Chọn A. Hàm số xác định với mọi x thuộc 

Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com 128 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Website: https://toanmath.com/

Trang

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Giới hạn – ĐS&GT 11

1 x  2  hàm số liên tục x2 3 x 1  Với x  1  f ( x)   hàm số liên tục x 1 2  Tại x  1 ta có : f (1)  3 3 x 1 ( x  1)( x  1) 2 lim f ( x )  lim  lim  ; 3 2 x 1 x 1 x  1 x1 ( x  1)( x  3 x  1) 3

 Với x  1  f ( x) 

1 x  2 2   lim f ( x )  f (1) x2 3 x1 Hàm số liên tục tại x  1 .

Vậy hàm số liên tục trên  .   tan x , x  0  x   k , k    Câu 9. Cho hàm số f  x    x . Hàm số y  f  x  liên tục trên các khoảng 2 0 ,x0 lim f ( x )  lim

x 2

x 1

nào sau đây?

 

A.  0;

 .

2

 

B.  ;

 .

4

   ; .  4 4

D.  ;   .

C.  

Hướng dẫn giải: Chọn A.

   k , k    . 2  Với x  0 ta có f  0   0 .

TXĐ: D   \ 

tan x sin x 1  lim .lim  1 hay lim f  x   f  0  . x 0 x0 x 0 x0 x x x 0 cos x Vậy hàm số gián đoạn tại x  0 . a 2 x 2 , x  2, a   Câu 10. Cho hàm số f  x    . Giá trị của a để f  x  liên tục trên  là: 2  2  a  x , x  2 A. 1 và 2 .

B. 1 và –1 .

C. –1 và 2 .

D. 1 và –2 . lim f  x   lim

Hướng dẫn giải: Chọn D. TXĐ: D   .

Với x  2 ta có hàm số f  x   a 2 x 2 liên tục trên khoảng





2;  .





Với x  2 ta có hàm số f  x    2  a  x 2 liên tục trên khoảng ; 2 .

Với x  2 ta có f

 2   2a .

2

lim f  x   lim  2  a  x 2  2  2  a  ; lim f  x   lim a 2 x 2  2a 2 .

x 2

x 2

x 2

x 2

Để hàm số liên tục tại x  2  lim f  x   lim f  x   f x 2

x 2

 2   2a

2

 2  2  a  a2  a  2  0

a  1 .   a  2 Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com 129 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Website: https://toanmath.com/

Trang

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Giới hạn – ĐS&GT 11

Vậy a  1 hoặc a  2 thì hàm số liên tục trên  .

 x2 , x 1  3  2x Câu 11. Cho hàm số f  x    , 0  x  1 . Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau: 1  x  x sin x , x  0  A. f  x  liên tục trên  .

B. f  x  liên tục trên  \ 0 .

C. f  x  liên tục trên  \ 1 .

D. f  x  liên tục trên  \ 0;1 .

Hướng dẫn giải: Chọn A. TXĐ: TXĐ: D   .

Với x  1 ta có hàm số f  x   x 2 liên tục trên khoảng 1;  . 1

2 x3 liên tục trên khoảng  0;1 .  2  Với 0  x  1 ta có hàm số f  x   1 x Với x  0 ta có f  x   x sin x liên tục trên khoảng  ;0  .  3  Với x  1 ta có f 1  1 ; lim f  x   lim x2  1 ; lim f  x   lim x1

x 1

x 1

x 1

2 x3 1 1 x

Suy ra lim f  x   1  f 1 . x1

Vậy hàm số liên tục tại x  1 .

Với x  0 ta có f  0   0 ; lim f  x   lim x 0

x 0

2 x3 sin x 0  0 ; lim f  x   lim  x.sin x   lim x 2 . lim x  0 x  0 x  0 x  0 1 x x

suy ra lim f  x   0  f  0  . x 0

Vậy hàm số liên tục tại x  0 .  4  Từ 1 ,  2  ,  3  và  4  suy ra hàm số liên tục trên  .

Câu 12. Cho hàm số f ( x ) 

x2 . Khẳng định nào sau đây đúng nhất. x x6 2

A. Hàm số liên tục trên  B. TXĐ : D   \ 3; 2 .Ta có hàm số liên tục tại mọi x  D và hàm số gián đoạn tại x  2, x  3 C. Hàm số liên tục tại x  2, x  3 D. Tất cả đều sai Hướng dẫn giải:

Chọn B. TXĐ : D   \ 3; 2 .

Ta có hàm số liên tục tại mọi x  D và hàm số gián đoạn tại x  2, x  3

Câu 13. Cho hàm số f ( x)  3 x 2  1 . Khẳng định nào sau đây đúng nhất.

A. Hàm số liên tục trên  1   1   B. Hàm số liên tục tại mọi điểm x   ;  ;     3  3  

Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com 130 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Website: https://toanmath.com/

Trang

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 

C. TXĐ : D   ;



Giới hạn – ĐS&GT 11

1   1   ;    2  2  

D. Hàm số liên tục tại mọi điểm x   



1 1  ; .

3 3

Hướng dẫn giải:

Chọn B. 

TXĐ : D   ; 



1   1    ;    3  3  

Ta có hàm số liên tục tại mọi điểm x   ; 



lim



 1  x     3

1   1  ;     3  3 

 1  1 f ( x)  0  f     hàm số liên tục trái tại x   3 3 

 1  1 lim  f ( x)  0  f   hàm số liên tục phải tại x    1  3  3 x    3

1 1  ; .

3 3  Câu 14. Cho hàm số f ( x)  2 sin x  3 tan 2 x . Khẳng định nào sau đây đúng nhất.

A. Hàm số liên tục trên  B. Hàm số liên tục tại mọi điểm    C. TXĐ : D   \   k , k    D. Hàm số gián đoạn tại các điểm 2 2    x   k ,k  4 2 

Hàm số gián đoạn tại mọi điểm x   

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

    k , k   2 4 

TXĐ : D   \ 

Ta có hàm số liên tục tại mọi điểm thuộc D và gián đoạn tại các điểm

x

   k ,k  .

4 2

 x 2  3x  2 khi x  1  x 1 Câu 15. Cho hàm số f  x    . Khẳng định nào sau đây đúng nhất.  a khi x  1  A. Hàm số liên tục trên  B. Hàm số không liên tục trên  C. Hàm số không liên tục trên 1:   D. Hàm số gián đoạn tại các điểm x  1 .

Hướng dẫn giải:

Chọn D. Hàm số liên tục tại mọi điểm x  1 và gián đoạn tại x  1

Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com 131 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Website: https://toanmath.com/

Trang

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Giới hạn – ĐS&GT 11

 2x  1 1 khi x  0  . Khẳng định nào sau đây đúng nhất.

Câu 16. Cho hàm số f  x    x  0 khi x  0  A. Hàm số liên tục trên  B. Hàm số không liên tục trên  C. Hàm số không liên tục trên  0;   D. Hàm số gián đoạn tại các điểm x  0 .

Hướng dẫn giải:

Chọn D. Hàm số liên tục tại mọi điểm x  0 và gián đoạn tại x  0

2 x  1 khi x  0  Câu 17. Cho hàm số f ( x )  ( x  1)3 khi 0  x  2 . Khẳng định nào sau đây đúng nhất.   x  1 khi x  2 A. Hàm số liên tục trên  B. Hàm số không liên tục trên  D. Hàm số gián đoạn tại các điểm x  2 .

C. Hàm số không liên tục trên  2;  Hướng dẫn giải:

Chọn D. Hàm số liên tục tại mọi điểm x  2 và gián đoạn tại x  2

2 x 2  x  1 khi x  1 . Khẳng định nào sau đây đúng nhất.

Câu 18. Cho hàm số f ( x )   khi x  1 3 x  1 A. Hàm số liên tục trên  B. Hàm số không liên tục trên  C. Hàm số không liên tục trên  2;  D. Hàm số gián đoạn tại các điểm x  1 .

Hướng dẫn giải:

Chọn D. Hàm số liên tục tại mọi điểm x  1 và gián đoạn tại x  1 .

   sin x khi x  2 liên tục trên  Câu 19. Xác định a, b để các hàm số f  x    ax  b khi x    2 2 2 1    a  a  a  A.  B.  C.  D.    b  1 b  2 b  0

2  a    b  0

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

 2 a  b 1   2 a  Hàm số liên tục trên         a  b  1 b  0  2

Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com 132 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Website: https://toanmath.com/

Trang

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Giới hạn – ĐS&GT 11

 x3  3 x 2  2 x khi x( x  2)  0  x( x  2)  Câu 20. Xác định a, b để các hàm số f ( x)  a khi x  2 liên tục trên  b khi x  0   a  10 a  11 a  1 a  12 A.  B.  C.  D.  b  1 b  1 b  1 b  1 Hướng dẫn giải:

Chọn C. a  1 . b  1

Hàm số liên tục trên   

 3 x  2  2x 1 khi x  1  liên tục trên  Câu 21. Tìm m để các hàm số f ( x )   x 1 3m  2 khi x  1  4 C. m  2 D. m  0 A. m  1 B. m  3 Hướng dẫn giải:

Chọn B. 3

x  2  2x 1 nên hàm số liên tục trên khoảng  \ 1 x 1 Do đó hàm số liên tục trên  khi và chỉ khi hàm số liên tục tại x  1 Ta có: f (1)  3m  2 Với x  1 ta có f ( x ) 

3

lim f ( x)  lim x 1

x 1

x  2  2x 1 x 1

 x3  x  2  lim 1  x 1  2 2 3 3  ( x  1) x  x x  2  ( x  2)



 x2  x  2  lim 1  x 1  x 2  x 3 x  2  3 ( x  2)2



   

 2 

Nên hàm số liên tục tại x  1  3m  2  2  m  Vậy m 

4 3

4 là những giá trị cần tìm.

3

 x  1 1 khi x  0  Câu 22. Tìm m để các hàm số f ( x)   liên tục trên  x 2 x 2  3m  1 khi x  0  1 A. m  1 B. m   C. m  2 6

D. m  0

Hướng dẫn giải:

Chọn B. Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com 133 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Website: https://toanmath.com/

Trang

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Giới hạn – ĐS&GT 11

x 1 1 nên hàm số liên tục trên  0;   x  Với x  0 ta có f ( x)  2 x 2  3m  1 nên hàm số liên tục trên ( ; 0) .

Do đó hàm số liên tục trên  khi và chỉ khi hàm số liên tục tại x  0 Ta có: f (0)  3m  1

 Với x  0 ta có f ( x) 

x  1 1  lim x0 x

1 1  x 0 x 0 x 1 1 2 lim f ( x)  lim  2 x 2  3m  1  3m  1 lim f ( x)  lim

x 0

x 0

Do đó hàm số liên tục tại x  0  3m  1 

1 1 m 2 6

1 thì hàm số liên tục trên  .

6  2x  4  3 khi x  2  liên tục trên  Câu 23. Tìm m để các hàm số f ( x)   x 1 khi x  2  2  x  2mx  3m  2 1 A. m  1 B. m   C. m  5 D. m  0 6

Vậy m  

Hướng dẫn giải:

Chọn C. Với x  2 ta có hàm số liên tục Để hàm số liên tục trên  thì hàm số phải liên tục trên khoảng  ; 2  và liên tục tại x  2 .

 Hàm số liên tục trên  ; 2  khi và chỉ khi tam thức

g ( x)  x 2  2mx  3m  2  0, x  2  '  m 2  3m  2  0 3  17 3  17 TH 1:   m 2 2  g (2)  m  6  0 m 2  3m  2  0 2  '  m  3 m  2  0   TH 2:   m  2   x1  m   '  2 2  '  (m  2)  3  17 3  17 m    m6 2 2 m  6  3  17  m  6 (*) thì g ( x)  0, x  2 2  lim f ( x)  lim 2 x  4  3  3

Nên

x 2

x2





x 1 3  x  2mx  3m  2 6  m 3 Hàm số liên tục tại x  2   3  m  5 (thỏa (*)) 6m lim f ( x)  lim

x 2

x 2

2

Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com 134 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Website: https://toanmath.com/

Trang

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Giới hạn – ĐS&GT 11

DẠNG 3: ÁP DỤNG TÍNH LIÊN TỤC XÉT SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH Phương pháp :  Để chứng minh phương trình f ( x )  0 có ít nhất một nghiệm trên D, ta chứng minh hàm số y  f ( x ) liên tục trên D và có hai số a, b  D sao cho f ( a ). f (b)  0 .  Để chứng minh phương trình f ( x )  0 có k nghiệm trên D, ta chứng minh hàm số y  f ( x ) liên tục trên D và tồn tại k khoảng rời nhau (ai ; ai 1 ) (i=1,2,…,k) nằm trong D sao cho f (ai ). f (ai 1 )  0 .

Câu 1. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau: I. f  x  liên tục trên đoạn  a; b và f  a  . f  b   0 thì phương trình f  x   0 có nghiệm.

II. f  x  không liên tục trên  a; b và f  a  . f  b   0 thì phương trình f  x   0 vô nghiệm.

A. Chỉ I đúng.

B. Chỉ II đúng.

C. Cả I và II đúng.

D. Cả I và II sai.

Hướng dẫn giải: Chọn A. Câu 2. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:  I  f  x  liên tục trên đoạn  a; b và f  a  . f  b   0 thì tồn tại ít nhất một số c   a; b  sao cho f  c   0 .

 II  f  x  liên tục trên đoạn  a; b A. Chỉ  I  .

C. Cả  I  và  II  đúng.

và trên  b; c  nhưng không liên tục  a; c 

B. Chỉ  II  .

D. Cả  I  và  II  sai.

Hướng dẫn giải: Chọn D. KĐ 1 sai.

KĐ 2 sai.

Câu 3. Cho hàm số f  x   x3 –1000 x 2  0, 01 . Phương trình f  x   0 có nghiệm thuộc khoảng nào trong các khoảng sau đây?

I.  1;0  . II.  0;1 . III. 1;2  .

A. Chỉ I. B. Chỉ I và II. C. Chỉ II. D. Chỉ III. Hướng dẫn giải: Chọn B. TXĐ: D   .

Hàm số f  x   x3  1000 x 2  0, 01 liên tục trên  nên liên tục trên  1;0 ,  0;1 và 1; 2 , 1 .

Ta có f  1  1000,99 ; f  0   0, 01 suy ra f  1 . f  0   0 ,  2  .

Từ 1 và  2  suy ra phương trình f  x   0 có ít nhất một nghiệm trên khoảng  1;0  .

Ta có f  0   0, 01 ; f 1  999,99 suy ra f  0  . f 1  0 ,  3  .

Từ 1 và  3  suy ra phương trình f  x   0 có ít nhất một nghiệm trên khoảng  0;1 .

Ta có f 1  999,99 ; f  2   39991, 99 suy ra f 1 . f  2   0 ,  4  .

Từ 1 và  4  ta chưa thể kết luận về nghiệm của phương trình f  x   0 trên khoảng 1;2  .

Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com 135 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Website: https://toanmath.com/

Trang

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Giới hạn – ĐS&GT 11

ĐÁP ÁN ÔN TẬP CHƯƠNG IV Câu 1

Câu 2

Câu 3

Câu 4

Câu 5

Câu 6

Câu 7

Câu 8

Câu 9

Câu 10

C

D

A

B

C

D

B

C

A

C

Câu 11

Câu 12

Câu 13

Câu 14

Câu 15

Câu 16

Câu 17

Câu 18

Câu 19

Câu 20

A

B

C

D

B

D

B

C

D

A

Câu 21

Câu 22

Câu 23

Câu 24

Câu 25

Câu 26

Câu 27

Câu 28

Câu 29

Câu 30

C

C

B

A

C

D

A

D

C

B

Câu 31

Câu 32

Câu 33

Câu 34

Câu 35

Câu 36

Câu 37

Câu 38

Câu 39

Câu 40

B

B

A

C

D

B

C

D

B

A

Câu 41

Câu 42

Câu 43

Câu 44

Câu 45

Câu 46

Câu 47

Câu 48

Câu 49

Câu 50

C

A

D

D

B

C

C

D

D

A

Câu 51

Câu 52

Câu 53

Câu 54

Câu 55

Câu 56

Câu 57

Câu 58

Câu 59

Câu 60

D

A

D

C

B

A

B

D

B

B

Câu 61

Câu 62

Câu 63

Câu 64

Câu 65

Câu 66

Câu 67

Câu 68

Câu 69

Câu 70

A

C

D

A

B

B

D

B

C

D

Câu 71

Câu 72

Câu 73

Câu 74

Câu 75

Câu 76

Câu 77

Câu 78

Câu 79

Câu 80

B

A

C

C

D

B

C

B

D

A

Câu 81

Câu 82

Câu 83

Câu 84

Câu 85

Câu 86

Câu 87

Câu 88

Câu 89

Câu 90

C

A

C

B

D

A

C

D

D

A

Câu 91 B

Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com 136 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Website: https://toanmath.com/

Trang