Veggen bak mottar en lyd med frekvens f π = f v / (v + vs ), og ekkoet som denne veggen sender ut har dermed denne frekvensen. Men du beveger deg bort fra denne lydkilden, og hører derfor frekvensen f’’ = f (v – vs) / (v + vs) = f (340-10) / (340+10) ≈ f / 1.06. I den tempererte toneskalaen, der alle de 12 halvtonetrinnene i en oktav er like store, får vi neste halvtone ved å multiplisere frekvensen til en gitt tone med en konstant k, som er 12. rot av 2, dvs. k ≈ 1.06. Vi ser altså at den løpende sangeren hører et ekko forfra som ligger et halvtonetrinn over f, mens ekkoet bakfra ligger en halvtone under f. Her har vi valgt frekvenen til høy C (C6 = 1046.5 Hz). Lydhastigheten er 340 m/s, som er lydhastigheten i luft ved nåværende gjennomsnittstemperatur på Jorda (15°C) – som vi håper holder seg. Og sangeren beveger seg med 10 m/s, omtrent så raskt som et menneske kan løpe. Sangeren vil da høre tre nabohalvtoner i den toneskalaen som er mest utbredt i vår kulturkrets. Prøv gjerne selv! Og punktet der ekkoene møtes ligger slik at forholdet mellom avstanden til høyre og venstre kant er det gylne snitt. Underveis skaper disse enkle bølgemønstrene med forskjellige bølgelengder et intrikat interferensmønster.
72 | Bård Breivik
halvtoner
f ’ = f (v + vs) / (v - vs ) = f (340+10) / (340-10) ≈ 1.06 f.
Imagine that you are singing a pure tone at a frequency f. At the same time you are moving in a straight line at constant speed vs = 10 m/s towards a wall that reflects an echo. Which frequencies will you hear if the speed of sound in air is v = 340 m/s? The wall in front of you will receive a sound at frequency f0 = f v / (v - vs), and the echo that the wall emits is a sound signal at this frequency. But you are moving towards the wall at a speed vs, so you will hear the frequency f ’ = f (v + vs) / (v - vs ) = f (340+10) / (340-10) ≈ 1.06 ƒ. A wall behind you receives a sound at frequency f π = f v / (v + vs), so the echo that this wall emits has this frequency. But you are moving away from this sound source, and therefore you hear the frequency f’’ = f (v – vs) / (v + vs) = f (340-10) / (340+10) ≈ f / 1.06. In the tempered scale, where all 12 steps of an octave are equal, we get the next tone by multiplying the frequency of a given tone by a constant k, which is the 12th root of 2, i.e., k ≈ 1.06. Thus, a running singer will hear one echo from the wall in front that is a half-tone above f, while the echo from behind is a half-tone below f. We have chosen the high C (C6 = 1046.5 Hz). The speed of sound is 340 m/s, corresponding to sound propagating in air at the present global mean temperature (15°C) – which we hope will not change much. The speed of the singer is 10 m/s, about as fast as a human can run. The singer will then hear three neighboring half-tones in the scale that is the dominant one in our cultural sphere. You are welcome to try! And at the point where the echoes meet, the golden ratio is found in the ratio between the distances to the right and left hand edge. These different simple wave-patterns create an intricate interference pattern.
høy c high c
Anta at du synger en ren tone med frekvens f. Du beveger deg rettlinjet med en konstant hastighet vs = 10 m/s mot en vegg som kaster tilbake et ekko. Bak deg er det også en vegg som kaster tilbake et ekko. Hvilke frekvenser vil du høre, hvis lydhastigheten er v = 340 m/s? Veggen foran vil motta en lyd med frekvens f0 = f v / (v - vs). Ekkoet som veggen sender ut er et lydsignal med denne frekvensen. Men du beveger deg mot denne lyden med hastighet vs, og hører derfor frekvensen