+
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc ⋅ cos A
Observa que a es cualquier lado y A es el ángulo opuesto al lado a. Observa también que esto es una generalización del teorema de Pitágoras, pues si A = 90º, nos queda precisamente el enunciado de dicho teorema por ser cos 90º = 0: a 2 = b 2 + c 2 − 2bc ⋅ cos 90 = b 2 + c 2 − 0 = b 2 + c 2
Demostración
Téngase en cuenta que el triángulo ABC no es necesariamente rectángulo. Vamos a demostrar el teorema para el lado b de la figura adjunta. Para cualquier otro lado la demostración sería análoga Como ya comentamos en la demostración del teorema dels eno, los triángulos AHC y AHB son rectángulos, luego en ellos se verifica el teorema de Pitágoras. Por tanto: 2 2 2 2 2 b 2 = hA + m 2 b = c − n + m 2 2 2 2 c 2 = hA + n 2 hA = c − n
Pero m y n juntos son iguales al lado a: m + n = a, por lo tanto
b 2 = c 2 − n 2 + m 2 b 2 = c 2 − n 2 + m 2 b 2 = c 2 − n 2 + ( a − n ) b 2 = c 2 − n2 + a 2 − 2an + n 2 b 2 = c 2 + a 2 − 2an a = m+n m = a − n c Del triángulo ABH se obtienes que cos B = ⇒ c = n ⋅ cos B , y sustituyendo n 2
b 2 = c 2 + a 2 − 2an ⇔ b 2 = a 2 + c 2 − 2 ac ⋅ cos B
c-q.d.
Para los otros lados a y c se obtendrían fórmulas análogas a 2 = b 2 + c 2 − 2bc ⋅ cos A c 2 = a 2 + b 2 − 2ab ⋅ cos C
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