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Geometría Trigonometría Plana

OpenUepc.com 1.1.3.3

Ver 01:05/02/2010


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NOTA La clasificación decimal de todos los temas de este manual tienen implícito el comienzo 1.1.3.3 correspondiente a 1

SCIENCE

1.1

MATHEMATICS

1.1.3

GEOMETRY

1.1.3.3

TRIGONOMETRIA PLANA

COPYRIGHT Este material así como los applets, powerpoints, videos y archivos de sonido asociados, puede ser distribuido bajo los términos y condiciones definidos en Open Publication License versión 1.0 o posterior (La versión más reciente está disponible en http://www.opencontent.org/openpub/). El contenido está sujeto a constantes cambios sin previo aviso. Su fin es didáctico y solo pretende la universalización de la cultura. Está escrito en base a la colaboración de las miles de personas que componen nuestra comunidad OpenUepc. Se ha exigido a los autores que referencien todas las fuentes utilizadas y figuran al final del texto. Cualquier distribución del mismo debe mencionar a OpenUepc como fuente. Miguel Pérez Fontenla miguelperez@edu.xunta.es INDICE AUTORES

Iniciado por: Miguel Pérez Fontenla 22/11/2009

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TABLA DE CONTENIDO INTRODUCCIÓN ..................................................................................................................... 3 Historia ................................................................................................................................... 3 Notas....................................................................................................................................... 9 Aplicaciones ......................................................................................................................... 10 CONCEPTOS BASICOS ........................................................................................................ 11 Razones trigonométricas en el triángulo rectángulo ............................................................ 11 Medida de los ángulos. El radián ......................................................................................... 13 Radián ............................................................................................................................... 14 LA CIRCUNFERENCIA GNIOMETRICA. FORMULAS FUNDAMENTALES ................ 16 REPRESENTACIÓNES LINEALES DE LAS RAZONES TRIGONOMETRICAS ............ 18 CALCULO DE TODAS LAS RAZONES TRIGONOMETRICAS A PARTIR DE UNA DADA ...................................................................................................................................... 20 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS DE 0º, 30º, 45º, 60º Y 90º .......... 21 RELACION ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMATRICAS DE DISTINTOS ÁNGULOS: REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE ..................................................... 24 Ángulos complementarios .................................................................................................... 24 Ángulos suplementarios ....................................................................................................... 24 Ángulos que se diferencian en 180º ..................................................................................... 25 Ángulos que suman 360º ...................................................................................................... 25 Reducción de un ángulo al primer cuadrante ....................................................................... 26 REPRESENTACIÓN GRAFICA DE LAS FUNCIONES CIRCULARES ........................ 28 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE OPERACIONES CON ÁNGULOS ....................... 30 Razones trigonométricas de la suma de dos ángulos ........................................................... 30 Razones trigonométricas de la diferencia de dos ángulos .................................................... 33 Razones trigonométricas del ángulo doble........................................................................... 35 Razones trigonométricas del ángulo mitad .......................................................................... 36 FORMULAS DE TRANSFORMACIÓN DE PRODUCTOS EN SUMAS ........................... 37 FORMULAS DE TRANSFORMACIÓN DE SUMAS EN PRODUCTOS .......................... 38 LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS ....................................................... 41 arcseno, arcocoseno y arcotangente ..................................................................................... 41 RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS ....................................................................................... 43 TEOREMA DEL SENO ...................................................................................................... 44 TEOREMA DEL COSENO ................................................................................................. 44 CASOS PRÁCTICOS DE RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS CUALESQUIERA ............ 46 FORMULA DE HERON ..................................................................................................... 51 | INTRODUCCIÓN 1


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Otras formas de calcular el รกrea de un triรกngulo .................................................................. 53 PROBLEMAS PROPUESTOS .............................................................................................. 54

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INTRODUCCIÓN La trigonometría es una rama de la matemática, cuyo significado etimológico es "la medida de los triángulos". Se deriva del vocablo griego τριγωνο <trigōno> "triángulo" + µετρον <metron> "medida".1 La trigonometría es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los ángulos y los lados de los triángulos. Para esto se vale de las razones trigonométricas, las cuales son utilizadas frecuentemente en cálculos técnicos. http://es.wikipedia.org/wiki/Trigonometr%C3%ADa

Trigonometría, rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados y los ángulos de triángulos, de las propiedades y aplicaciones de las funciones trigonométricas de ángulos. Las dos ramas fundamentales de la trigonometría son la trigonometría plana, que se ocupa de figuras contenidas en un plano, y la trigonometría esférica, que se ocupa de triángulos que forman parte de la superficie de una esfera.

Historia

La trigonometría aparece como auxiliar de la Geometría, en los primeros albores de la Matemática. Los egipcios y los babilonios utilizan en sus cálculos unos conceptos que podrían considerarse precursores de las razones trigonométricas …

La historia de la trigonometría se remonta a las primeras matemáticas conocidas, en Egipto y Babilonia. Los egipcios establecieron la medida de los ángulos en grados, minutos y segundos. En el siglo II a.C. el astrónomo Hiparco de Nicea compiló una tabla trigonométrica para resolver triángulos. Comenzando con un ángulo de 70° y yendo hasta 180 °C con incrementos de 70°, la tabla daba la longitud de la cuerda delimitada por los lados del ángulo central dado que corta a una circunferencia de radio r. 300 años más tarde el astrónomo Tolomeo utilizó r = 60, pues los griegos adoptaron el sistema numérico sexagesimal (base 60) de los babilonios. Tolomeo incorporó en su gran libro de astronomía, el Almagesto, una tabla de cuerdas con incrementos °, desde 0° a 180°, con un error menor que 1/3.600 de unidad.1angulares de También explicó su método para compilar esta tabla de cuerdas, y a lo largo del libro dio bastantes ejemplos de cómo utilizar la tabla para calcular los elementos desconocidos de un triángulo a partir de los conocidos. Hiparco de Nicea Fundador de la trigonometría, autor del primer catálogo de estrellas, que incluía la posición de 1026 aparte de proponer una clasificación de dichos objetos en diversas clases de acuerdo con su brillo. Sus teorías sobre la Luna y el Sol fueron reasumidas, tal cual, por Tolomeo. Determinó la distancia y tamaño tanto del Sol como de la Luna. Comparando sus estudios sobre el cielo con los de los primeros astrónomos, Hiparco descubrió la precisión de los equinoccios .Sus cálculos del año tropical, duración del año determinada por las estaciones, | INTRODUCCIÓN 3


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tenían un margen de error de 6,5 minutos con respecto a las mediciones modernas. También inventó un método para localizar posiciones geográficas por medio de latitudes y longitudes. tolomeo (c. 100-c. 170), Claudio Tolomeo, fue un astrónomo y matemático que dominó el pensamiento científico hasta el siglo XVI por sus teorías y explicaciones astronómicas. Posiblemente nació en Grecia, pero su verdadero nombre, Claudius Ptolemaeusél Contribuyó a las matemáticas con sus estudios en trigonometría y aplicó sus teorías a la construcción de astrolabios y relojes de sol. El tratado de la esféricas de Meneláo, que se sitúa hacia el fin del primer siglo de nuestra era, proporciono a claudio Ptolomeo de Alejandría ( h.90 - h.168) las proposiciones fundamentales de trigonometría esférica en particular el celebre teorema de menéalo. “Si un triángulo ABC, plano o esférico, es cortado por medio de una recta o de un circulo máximo en L, M, N se tiene: en el plano L = NA . MC A NC MB La trigonometría desarrollada por árabes A finales del siglo VIII los astrónomos árabes, que habían recibido la herencia de las tradiciones de Grecia y de la India, prefirieron trabajar con la función seno. En las últimas décadas del siglo X ya habían completado la función seno y las otras cinco funciones y habían descubierto y demostrado varios teoremas fundamentales de la trigonometría tanto para triángulos planos como esféricos. Varios matemáticos sugirieron el uso del valor r = 1 en vez de r = 60, lo que produjo los valores modernos de las funciones trigonométricas. Los árabes calcularon tablas precisas en división sexagesimal; entre ellos destacó en particular Abu al-Wafa al - Buzadjami (940 - 997) por las divisiones en cuarto de grado, con cuatro posiciones sexagesimales. Por otra parte, este matemático, introdujo, con otro nombre, la tangente y la secante al lado del seno. “Tratado del cuadrilátero” de Nasir al - Din al - Tusi (1201 - 1274). En esta obra, el cuadrilátero está formado por un triangulo esférico y un circulo máximo y permite emplear el teorema de Menelao.. . Esta resolución dice: “Cuando el triangulo viene dado mediante sus 3 ángulos, se resuelve gracias al triángulo suplementario”. La trigonometría en Occidente El occidente se familiarizó con la trigonometría árabe a través de traducciones de libros de astronomía arábigos, que comenzaron a aparecer en el siglo XII. El primer trabajo importante en esta materia en Europa fue, De triangulus escrito por el matemático y astrónomo alemán Johann Müller, llamado Regiomontano. Durante el siguiente siglo, el también astrónomo alemán Georges Joachim, conocido como Rético, introdujo el concepto moderno de funciones trigonométricas como proporciones en vez de longitudes de ciertas líneas. Los primeros trabajos matemáticos del francés Français Viéte (1540 - 1603) se referían a la trigonometría. Su Canon matemáticas (1579) es una tabla de seis líneas trigonométricas | INTRODUCCIÓN 4


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calculadas de minuto en minuto para el radio 100.000.. Esta tabla está acompañada de fórmulas para la resolución de triángulos planos y esféricos. . Este matemático también mostró la analogía entre estas fórmulas y las del desarrollo en potencias del binario. Desde entonces, la trigonometría, como estudio de las líneas circulares, y el álgebra delos polinomios se prestan mucho apoyo. La trigonometría en los tiempos modernos En el s. XVII, Isaac Newton (1642 - 1727) inventó el cálculo diferencial e integral. Uno de los fundamentos del trabajo de Newton fue la representación de muchas funciones matemáticas utilizando series infinitas de potencias de la variable x. Newton encontró la serie para el sen x y series similares para el cos x y la tg x. Con la invención del cálculo las funciones trigonométricas fueron incorporadas al análisis, donde todavía hoy desempeñan un importante papel tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas. Por último, en el siglo XVIII, el matemático suizo Leonhard Euler fue el que fundó verdaderamente la trigonometría moderna y definió las funciones trigonométricas utilizando expresiones con exponenciales de números complejos. Esto convirtió a la trigonometría en sólo una de las muchas aplicaciones de los números complejos. También se le debe a este matemático el uso de las minúsculas latinas a, b, c para los lados de un triángulo plano o esférico y el de las mayúsculas correspondientes A, B, C para los ángulos opuestos. Además, Euler demostró que las propiedades básicas de la trigonometría eran simplemente producto de la aritmética de los números complejos. Isaac newton El más grande de los matemáticos ingleses. Su libro "Principia Mathemáthica" basta para asegurarle un lugar sobresaliente en la Historia de las matemáticas. Descubrió simultáneamente con Leibnitz el Cálculo diferencial y el Cálculo integral. En Algebra le debemos el desarrollo del binomio que lleva su nombre. Según Leibnitz "Si se considera la matemática creada desde el principio del mundo hasta la época en que Newton vivió. Lo que él realizó fue la mejor mitad". Leonhard Euler fue un matemático suizo, cuyos trabajos más importantes se centraron en el campo de las matemáticas puras, campo de estudio que ayudó a fundar. Euler nació en Basilea y estudió en la Universidad de Basilea con el matemático suizo Johann Bernoulli, licenciándose a los 16 años. En 1771, cuando estalló un gran fuego en la ciudad, llegando hasta la casa de Euler, un compatriota de Basilea, Peter Grimm, se arrojó a las llamas, descubrió a Euler, y lo salvó llevándolo sobre sus hombros. Si bien se perdieron los libros y el mobiliario, se salvaron sus preciosos escritos. Euler continuó su profuso trabajo durante doce años, hasta el día de su muerte, a los setenta y seis años de edad. El paralaje trigonométrico El paralaje es una palabra de origen griego que significa cambio de posición. | INTRODUCCIÓN 5


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Con la siguiente experiencia se comprueba el efecto del paralaje; Colocando el dedo pulgar a unos 25 cm por delante de los ojos y situándose a 1 m de distancia de la pared. Tapando con la mano un ojo cada vez se ve que la posición del dedo pulgar respecto de la pared cambia. El paralaje es el responsable del movimiento aparente del dedo pulgar respecto de la pared. Este movimiento aparente depende de la longitud de la base o distancia entre los ojos y de la distancia a la que se encuentre el dedo de nosotros. Cuanto más alejado esté el objeto que miramos, mayor será la longitud de la base que habrá que tomar para que el ángulo de paralaje sea apreciable. El paralaje es el método más antiguo que se aplicó para calcular la distancia a las estrellas. El método consiste en trazar sendas visuales; una, por ejemplo en enero, y la otra, seis meses más tarde, en julio. Como estas observaciones están separadas 2 UA (la UA es la distancia media de la Tierra al sol), la estrella E se ve desde un punto con un ángulo diferente del ángulo con el que se ve desde otro punto. Con estas dos observaciones se puede construir un triángulo rectángulo de base 1 UA (1 UA = 149.597.840 Km) y ángulos también conocidos. La altura D de este triángulo es la distancia estelar que buscamos. conclusión A través de nuestro informe podemos concluir que la historia de la trigonometría fue evolucionando desde la antigüedad asta nuestro tiempos ,y que esto pudo aplicarse en varias áreas como la astronomía , la navegación entre otras cosas . también que por la trigonometría pasaron variados matemáticos , desde egipcios (árabes) hasta europeos .entre los que caben destacar Isaac newton , Leonhard Euler, Tolomeo y Hiparco de Nicea. Todos ellos hicieron grandes aportes y le debemos todos lo referente a la trigonometria. Fuente: http://html.rincondelvago.com/trigonometria_15.html

1.-HISTORIA La historia de la trigonometría se remonta a las primeras matemáticas conocidas, en Egipto y Babilonia. Los egipcios establecieron la medida de los ��ngulos en grados, minutos y segundos. Sin embargo, hasta los tiempos de la Grecia clásica no empezó a haber trigonometría en las matemáticas. En el siglo II a.C. el astrónomo Hiparco de Nicea compiló una tabla trigonométrica para resolver triángulos. Comenzando con un ángulo de 7y° y yendo hasta 180° con incrementos de 7y°, la tabla daba la longitud de la cuerda delimitada por los lados del ángulo central dado que corta a una circunferencia de radio r. Esta tabla es similar a la moderna tabla del seno. No se sabe con certeza el valor de r utilizado por Hiparco, pero sí se sabe que 300 años más tarde el astrónomo Tolomeo utilizó r = 60, pues los griegos adoptaron el sistema numérico sexagesimal (base 60) de los babilonios.

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Tolomeo incorporó en su gran libro de astronomía el Almagesto, una tabla de cuerdas con incrementos angulares de y°, desde 0° hasta 180°, con un error menor que 1/3.600 de unidad. También explicó su método para compilar esta tabla de cuerdas, y a lo largo del libro dio bastantes ejemplos de cómo utilizar la tabla para calcular los elementos desconocidos de un triángulo a partir de los conocidos. Tolomeo fue el autor del que hoy se conoce como teorema de Menelao para resolver triángulos esféricos, y durante muchos siglos su trigonometría fue la introducción básica para los astrónomos. Quizás al mismo tiempo que Tolomeo, los astrónomos de la India habían desarrollado también un sistema trigonométrico basado en la función seno en vez de cuerdas como los griegos. Esta función seno, al contrario que el seno utilizado en la actualidad, no era una proporción, sino la longitud del lado opuesto a un ángulo en un triángulo rectángulo de hipotenusa dada. Los matemáticos indios utilizaron diversos valores para ésta en sus tablas. A finales del siglo VIII los astrónomos árabes habían recibido la herencia de las tradiciones de Grecia y de la India, y prefirieron trabajar con la función seno. En las últimas décadas del siglo X ya habían completado la función seno y las otras cinco funciones y habían descubierto y demostrado varios teoremas fundamentales de la trigonometría tanto para triángulos planos como esféricos. Varios matemáticos sugirieron el uso del valor r = 1 en vez de r = 60, lo que dio lugar a los valores modernos de las funciones trigonométricas. Los árabes también incorporaron el triángulo polar en los triángulos esféricos. Todos estos descubrimientos se aplicaron a la astronomía y también se utilizaron para medir el tiempo astronómico y para encontrar la dirección de la Meca, lo que era necesario para las cinco oraciones diarias requeridas por la ley islámica. Los científicos árabes también compilaron tablas de gran exactitud. Por ejemplo, las tablas del seno y de la tangente, construidas con intervalos de 1/60 de grado (1 minuto) tenían un error menor que 1 dividido por 700 millones. Además, el gran astrónomo Nasir al-Dìn al-Tusì escribió el Libro de la figura transversal, el primer estudio de las trigonometrías plana y esférica como ciencias matemáticas independientes. El occidente latino se familiarizó con la trigonometría árabe a través de traducciones de libros de astronomía arábigos, que comenzaron a aparecer en el siglo XII. El primer trabajo importante en esta materia en Europa fue escrito por el matemático y astrónomo alemán Johann Müller, llamado Regiomontano. Durante el siguiente siglo, el también astrónomo alemán Georges Joachim, conocido como Rético, introdujo el concepto moderno de funciones trigonométricas como proporciones en vez de longitudes de ciertas líneas. El matemático francés François Viète incorporó el triángulo polar en la trigonometría esférica y encontró fórmulas para expresar las funciones de ángulos múltiples, sen nè y cos nè, en función de potencias de sen è y cos è. Los cálculos trigonométricos recibieron un gran empuje gracias al matemático escocés John Napier, quien inventó los logaritmos a principios del siglo XVII. También encontró reglas mnemotécnicas para resolver triángulos esféricos, y algunas proporciones (llamadas analogías de Napier) para resolver triángulos esféricos oblicuos. Casi exactamente medio siglo después de la publicación de los logaritmos de Napier, Isaac Newton inventó el cálculo diferencial e integral. Uno de los fundamentos del trabajo de Newton fue la representación de muchas funciones matemáticas utilizando series infinitas de potencias de la variable x. Newton encontró la serie para el sen x y series similares para el cos x y la tg x. Con la invención del cálculo las funciones trigonométricas fueron | INTRODUCCIÓN 7


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incorporadas al análisis, donde todavía hoy desempeñan un importante papel tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas. Por último, en el siglo XVIII, el matemático suizo Leonhard Euler definió las funciones trigonométricas utilizando expresiones con exponenciales de números complejos. Esto convirtió a la trigonometría en sólo una de las muchas aplicaciones de los números complejos; además, Euler demostró que las propiedades básicas de la trigonometría eran simplemente producto de la aritmética de los números complejos. 2.-TALES DE MILETO (c. 625-c. 546 a.C.), filósofo griego nacido en Mileto (Asia Menor). Fue el fundador de la filosofía griega, y está considerado como uno de los Siete Sabios de Grecia. Tales llegó a ser famoso por sus conocimientos de astronomía después de predecir el eclipse de sol que ocurrió el 28 de mayo del 585 a.C. Se dice también que introdujo la geometría en Grecia. Según Tales, el principio original de todas las cosas es el agua, de la que todo procede y a la que todo vuelve otra vez. Antes de Tales, las explicaciones del universo eran mitológicas, y su interés por la sustancia física básica del mundo marca el nacimiento del pensamiento científico. Tales no dejó escritos; el conocimiento que se tiene de él procede de lo que se cuenta en la Metafísica de Aristóteles. 3.-TEOREMA DE TALES Relación básica para obtener las propiedades fundamentales de la semejanza de triángulos. Según este teorema, una familia de rectas paralelas, r1, r2, r3,…, que cortan a dos rectas concurrentes, s y t, determinan en ellas segmentos proporcionales:

Fuente http://html.rincondelvago.com/trigonometria_10.html

NOTA HISTORICA extraida de Elementos de trigonometría esférica de Antini Vila Mitja

La Trigonometría aparece de forma incipiente, como auxiliar de la Geometrfa, en los primeros albores de Ia Matemática. Los egipcios y los babilonios utilizan en sus cálculos unos conceptos que pueden considerarse precursores de las razones trigonométricas. Sin embargo, el estudio sistematico de las relaciones entre los arcos de una circunferencia y las longitudes de las cuerdas que subtienden se lleva a cabo por primera vez entre los griegos, | INTRODUCCIÓN 8


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uno de los cuales, Hiparco de Nicea (180-125 a.C.), al que se le atribuye un tratado sobre et cálculo de las cuerdas en un circulo, suele considerarse como el padre de la Trigonometria. También Ia Trigonometria esférica tiene sus inicios en Ia antiguedad clásica. Menelao de Alejandr(a (140 d.C.) fue el primero en definir un triángulo esférico en su tratado Sphoerica, y desarrollo en él un gran numero de teoremas de Ia trigonometría esférica basados en el célebre teorema de Menelao. Pero el gran maestro en cuestiones trigonométricas fue sin duda Claudio Tolomeo (85-165 d.C.) cuya tangente obra de trece libros -Almagesto- puede considerarse el tratado de Astronomía por excelencia hasta Ia época de Copérnico y Kepler. A partir del siglo XIl Ilega Ia trigonometria a los paises occidentales de manos de los matemáticos árabes, que transmiten las contribuciones griegas e indias en esta materia. En todas ellas, los cálculos trigonométricos aparecen orientados de forma casi exclusiva a las aplicaciones astrondmicas o náuticas; pero el matemático árabe Nasir AI-Din (1201-1274) ya preconiza Ia consideracibn de Ia Trigonometric como una rams particular de las Matemáticas dotada de entidad propia, al publicar un primer tratado sobre trigonometria plana y esférica independiente de la Astronomia. Es en pleno siglo XV que se produce un decisivo avance en la trigonometric debido a las obras de Johan Muller (1436-1476}, mks conocido como Regiomontano, que realize una exposición sisternática de los distintos métodos de resolucidn de triángulos pianos y esféricos. Paraletamente a los trabajos de Regiomontano y de su maestro Peurbach, otros .....

Notas o

o

o

o

o

o

La cultura babilónica, egipcia y griega antigua [-]  Manejaron aspectos prácticos relacionados con la trigonometría. Medidas de ángulos en grados sexagesimales, realización de algunas construcciones, como el túnel de Samos, orientación de templos de modo que un cierto día del año el Sol iluminara el santuario consagrado al dios Eratóstenes [-]  Calculó el radio de la Tierra con notable precisión por métodos trigonométricos. Ptolomeo y el Almagesto [-]  Con el fin de afrontar problemas astronómicos construyó una minuciosa tabla trigonométrica desde 0º a 180º y explicó cómo utilizarla para construir triángulos. (Ptolomeo.ppt) (El Almagesto.ppt) Cultura india y árabe [-]  En los tratados de astronomía indios se exponen las funciones seno y coseno. Los árabes tomaron de la cultura india estas funciones, así como sus inversas, cosecante y secante y describieron la tangente y la cotangente. (india_arabe.ppt) Occidente latino [-]  A través de los árabes españoles, la trigonometría se introdujo en el occidente latino a partir del siglo XIII. (Edad Media.ppt) François Viète [-] | INTRODUCCIÓN 9


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Sistematizó y amplió los conocimientos trigonométricos con importantes teoremas que aplicó a la resolución de problemas aritméticos y geométricos. (Viete.ppt)

Hay ppts en http://platea.pntic.mec.es/anunezca/experiencias/experiencias_AN_0405/1_Bachillerato/trigonometria/trabajos_t rigonometria/trabajos_trigonometria.htm

Aplicaciones Las primeras aplicaciones de la trigonometría se hicieron en los campos de la navegación, la geodesia y la astronomía, en las que el principal problema era determinar una distancia inaccesible, como la distancia entre la Tierra y la Luna, o una distancia que no podía ser medida de forma directa. Otras aplicaciones de la trigonometría se pueden encontrar en la física, química y en casi todas las ramas de la ingeniería, sobre todo en el estudio de fenómenos periódicos, como el sonido o el flujo de corriente alterna. La trigonometría proporciona herramientas matemáticas imprescindibles para el cálculo de áreas, longitudes, distancias y ángulos de elevación y depresión. Su uso es extensivo en Ingeniería, arquitectura, cartografíay en ámbitos militares para calculod e disparo de proyectiles. Su extensión natural, que es la trigonometría esférica, resulta imprescindible para navegación y astronomía. Pero al margen de sus aplicaciones prácticas, las propias matemáticas necesitan de estas funciones en todo el cálculo infinitesimal y las funciones seno, coseno y tangente son funciones elementales básicas.

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CONCEPTOS BASICOS Razones trigonométricas en el triángulo rectángulo Consideremos el triángulo rectángulo de vértices A, B y C. Denotaremos por A el ángulo recto y denotaremos también los lados mediante las letras minúsculas a, b y c de forma que cada lado con la misma letra sea opuesto al vértice de esa letra

Definimos las razones trigonométricas seno (sen sine sin) , coseno (cos cosine cos) y tangente (tg tangente tan) de la siguiente manera Longitud cateto opuesto a B b = Longitud hipotenusa a Longitud cateto contiguo a B c COSENO co s B = = Longitud hipotenusa a Longitud cateto opuesto a B b TANGENTE tg B = = Longitud cateto contiguo a B c sen B =

SENO

A partir de ellas definimos las tres razones inversas: secante (sec secant sec), cosecante (csc cosecant scsn ) y cotangente (ctg cotangente cot), como: 1 hipotenusa a = = cos B cateto contiguo c 1 hipotenusa a csc B = = = sen B cateto opuesto b 1 cateto contiguo c ctg B = = = tg B cateto opuesto b

sec B =

Ejemplo 1 Dado un triángulo rectángulo de catetos 3 y 4, calcular todas las razones trigonométricas de sus ángulos agudos Ejemplo 2 En un triángulo rectángulo uno de los catetos vale ½ y la hipotenusa 1. Calcula las razones trigonométricas del ángulo comprendido entre esos dos lados | CONCEPTOS BASICOS 11


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Problemas propuestos 1.- Calcula todas las razones trigonométricas de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo cuyos catetos valen ambos 1. 2.- El seno de uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo vale 1/3. Calcula el cateto contiguo sabiendo que la hipotenusa vale 5. 3.- La cotangente de uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo vale 100. Si el cateto opuesto a dicho ángulo vale 1/5, calcula la hipotenusa.

| CONCEPTOS BASICOS 12


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Medida de los ángulos. El radián El sistema sexagesimal es un sistema de numeración posicional que emplea la base sesenta. Tuvo su origen enn la antigua Babilonia.. También fue empleado, en una forma más moderna, por los árabes durante el califato omeya.. El sistema sexagesimal se usa para medir tiempos (horas, minutos y segundos) y ángulos (grados, minutos y segundos). En dicho sistema, 60 unidades de un orden forman una unidad de orden super superior. http://es.wikipedia.org/wiki/Sexagesimal

El término radián surge en unas preguntas de examen propuestas por James Thomson, hermano de Lord Kelvin,, en el Queen's College de Belfast.. James Thomson usó el término ya en 1871, como variante de rad rad, radial y radián. El radián es una unidad sumamente útil para medir ángulos, puesto que simplifica los cálculos, ya que los más comunes se expresan mediante sencillos múltiplos o divisores de π. Además, podemos representar estas cantidades sobre la recta real y sus operaciones aritméticas son menos engorrosas que con los º ‘ “ . http://es.wikipedia.org/wiki/Radi%C3%A1n

Definición.. Sistema sexagesimal Si la longitud de una circunferencia se divide en 360 partes iguales, el ángulo definido por cada unaa de esas partes se llama grado sexagesimal. Si un grado sexagesimal se divide en 60 partes iguales, cada parte se llama minuto sexagesimal Si un minuto sexagesimal se divide en 60 partes iguales, cada parte se llama segundo sexagesimal.

| CONCEPTOS BASICOS 13


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Aunque hoy en día esta forma de medir los ángulos sigue vigente, se ha desarrollado un método más como desde el punto de vista de operativa matemática. Este método es el de medir los ángulos mediante radianes Radián Se denomina radián al ángulo determinado por una longitud de arco de circunferencia igual a su radio. En otras palabras, una vez inscrito el ángulo en una circunferencia cualquiera, para medirlo en radianes se mide el arco de circunferencia dividido por el radiod e la misma

α=

arc radianes r

Como la longitud de una circunferencia es L = 2πr, se deduce que la circunferencia completa tiene 2π radianes.

El paso de un tipo de medida a otro se realiza mediante simple proporción directa o regla de 3. Se parte de la base de que una circunferencia completa tiene 2π radianes, y que una circunferencia tiene 360° sexagesimales, luego tenemos:

360 180 grados π = = ⇒ radianes = grados 2π π radianes 180 Ejemplo 1 Completa la siguiente tabla calculando los radianes que corresponden a cada grado sexagesimal Sexagesimales 0 30 45 60 90 150 180 225 270 300 360 Radianes 0 π 2π

90 grados π π ⇒ radianes = 90 = y por simples proporciones π radianes 180 2 Sexagesimales 0 30 45 60 90 150 180 225 270 300 360 Radianes 0 π/6 π/4 π/3 π/2 5π/6 π 5π/4 3π/2 5π/3 2π 180

=

| CONCEPTOS BASICOS 14


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Ejemplo 2 Pasar a radianes 124º 15’ 45” Pasar a grados sexagesimales 1 y 2 radianes

radianes =

π 180

grados =

180

grados =

180

π π

grados =

π 180

radianes =

180

radianes =

180

π π

124º15'45" = 1=

180

2=

π 360

π

π 180

124, 26º = 2,1688

= 57, 296 = 57º17 ' 46" = 114,592 = 114º 35'32"

| CONCEPTOS BASICOS 15


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LA CIRCUNFERENCIA GNIOMETRICA. FORMULAS FUNDAMENTALES Sobre un sistema de ejes cartesianos dibujamos una circunferencia de centro en el origen de coordenadas O (0,0) y radio r = 1 Partiendo del lado positivo del eje OX tomamos un ángulo α y llamamos M y P a los extremos inicial y final del arco de circunferencia que comprende. Del punto P trazamos una perpendicular al eje OX y llamamos P’ al punto de corte con dicho eje.

Obtenemos asi un triángulo OPP’ rectángulo en P’ por lo que podemos aplicar las definiciones de razones trigonométricas dadas para triángulos rectángulos:

senα =

opuesto PP ' PP ' = = = PP ' hipotenusa OP 1

cos α =

contiguo OP ' OP ' = = = OP ' hipotenusa OP 1

Como el triangulo OPP’ es rectángulo se cumple el teorema de Pitágoras, luego 2

2

2

2

2

PP ' + OP ' = OP ⇔ PP ' + OP ' = 12 = 1 Y sustituyendo estos valores por el seno y el coseno del ángulo dado

( senα ) + ( cos α ) 2

2

= sen 2α + cos 2 α = 1 , que constituye la llamada 1ª Fórmula Fundamental

de la trigonometría

sen 2α + cos 2 α = 1 | LA CIRCUNFERENCIA GNIOMETRICA. FORMULAS FUNDAMENTALES 16


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Ahora volvemos a las definiciones de razones trigonométricas en triángulos rectángulos:

opuesto PP ' sin α = = , fórmula que constituye la llamada 2ª Fórmula Fundamental contiguo OP ' cos α de la trigonometría tanα =

tanα =

senα cos α

Problemas propuestos 1.- Simplificar las siguientes expresiones trigonométricas: a) sec α − sec α ⋅ sen 2α 2 2 b) ( se nα + cos α ) + ( se nα − cos α ) c) 1 + tan 2 α − sec 2 α d) se n 2α (1 + cot 2 α ) e) sen 4α − cos 4 α f) se nα ⋅ cos α ( tgα + cot α ) 2.- Decir en qué cuadrante se encuentra un ángulo en cada una de las siguientes condiciones: a) Su seno es negativo y su coseno es positivo b) Su coseno es negativo y su tangente positiva c) Su seno es positivo y su tangente negativa d) Su secante es negativo y su cosecante positiva e) Su cosecante y su cotangente son ambas positivas 3.- ¿Qué signo tendrá la secante de 2 radianes? Y la cotangente de 330º?

| LA CIRCUNFERENCIA GNIOMETRICA. FORMULAS FUNDAMENTALES 17


+

REPRESENTACIÓNES LINEALES DE LAS RAZONES TRIGONOMETRICAS Tomando la circunferencia gniométrica en su primera cuadrante, acabamos de ver que senα = PP ' cos α = OP '

Vamos ahora aver que líneas representan a las demás razones trigonométricas directas e inversas. Usaremos el signo ∼ para representar la semejanza de triángulos. Desde el punto M trazamos una perpendicular al eje OX y llamamos M’ al punto de corte con la recta que contiene al segmento OP Los dos triangulos OPP’ y OMM’ son semejantes por tener los 3 ángulos iguales , por lo que podemos escribir la relación:

tanα =

PP ' MM ' MM ' = = = MM ' OP ' OM 1

Y en los mismos triángulos podemos comprobar que:

sec α =

OP OM ' OM ' = = = OM ' OP ' OM 1

Los triangulos OB’B y OPP’ son también semejantes (pues ambos son rectángulos y los angulos POP’ y OB’B son iguales), por lo tanto se tienen las proporciones:

csc α =

OP OB ' OB ' = = = OB ' PP ' OB 1

c tgα =

OP ' BB ' BB ' = = = BB ' OP OB 1

| REPRESENTACIÓNES LINEALES DE LAS RAZONES 18 TRIGONOMETRICAS


+

2º cuadrante

3º cuadrante

4º cuadrante

Problemas propuestos Sobre una circunferencia gniométrica representa las líneas que corresponden a las razones trigonométricas de los siguientes ángulos a) 75º b) 20º c) 165º d) 225º e) 350º f) 270º

| REPRESENTACIÓNES LINEALES DE LAS RAZONES 19 TRIGONOMETRICAS


+

CALCULO DE TODAS LAS RAZONES TRIGONOMETRICAS A PARTIR DE UNA DADA Con conocer una razón, basta para obtener las otras 5. Esto se logra usando las dos fórmulas fundamentales y resolviendo el sistema de ecuaciones que se presente: sin 2 α + cos 2 α = 1   sin α tan α =  cos α 

Caso 1: Conocido el seno o el coseno Supongamos que conocemos el seno de un ángulo α y que es igual a 0,3. tendríamos el sistema

0,32 + cos 2 α = 1 cos 2 α = 1 − 0, 09 = 0,91 ⇔ cos α = 0,91 = 0,9539   0,3 0,3 tan α = = 0,3145 tan α =  0,9539 cos α  Las razones inversas se obtienen por simples cálculos de

sec α =

⌢ 1 1 1 1 1 1 = = 1,0483; cs c α = = = 3,3; ctgα = = = 3,1798 cos α 0,9539 sin α 0,3 tan α 0,3145

Caso 2: Conocida la tangente Supongamos que ahora sabemos que la tan α = 2. Tendríamos  sin 2α + cos 2 α = 1 1 2 2 2 = 0 ' 4472   ( 2 cos α ) + cos α = 1 ⇔ 5 cos α = 1 ⇔ cos α = 5   sin α sin α = 0,8944 2=   sin α = 2 cos α cos α  

Y calcularíamos las inversas como hicimos en el caso 1 Caso 3: Conocida alguna razón inversa Si conocemos cualesqueira de la sec α , csc α ó ctg α bastaría con calcular inicalmente la correcpondiente directa y ya estaríamos en el caso anterior. Por ejemplo, supongamos que ahora sabemos el valor de ctg α = 2. Entonces tan α = ½ , con lo que ahora aplicaríamos el proceso descrito en el caso 2 Problemas Sabiendo que la csc α = 2, calcula las demás razones

| CALCULO DE TODAS LAS RAZONES TRIGONOMETRICAS A PARTIR 20 DE UNA DADA


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RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS DE 0º, 30º, 45º, 60º Y 90º Vamos a calcular sin necesidad de calculadora ni ningún medio m´s que nuestro razonamiento, los siguientes valores, rellenando la siguiente tabla Seno Coseno Tangente Secante Cosecante Cotangente 0º 30º 45º 60º 90º Caso 0º Y 90º Observando la circunferencia gniométrica vemos que los senos decrecen al acercarse el valor a 0º y los cosenos crecen tendiendo a completar el radio completo de dicha circunferencia, que sabemos vale 1 De la misma forma los senos crecen hasta 1 al irse acercando el ángulo a 90º y los cosenos tienden a hacerse cada vez menores hasta tender a 0 cuando el angulo se acerca a 90º Por tanto, podemos rellenar los primeros valores de nuestro cuadro

0º 90º

Seno Coseno Tangente Secante Cosecante Cotangente 0 1 0 1 ∞ ∞ 1 0 ∞ ∞ 1 0

| RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS DE 0º, 30º, 45º, 60º Y 21 90º


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Caso se 30º y 60º Consideremos un triángulo equilátero de lado 1. Los tres ángulos valen 60º pero si trazamos la altura desde el vértice superior, ésta divide al ángulo en dos partes iguales de 30º y a la base en dos mitades de ½ cada una, dibujando un triángulo rectángulo del que calculamos la altura por pitágoras 2

4 −1 3 1 h = 1 −  = = 4 2 2 2

Con este dato, podemos calcuilar ahora las razones de los ángulos agudos de este triángulo que hemos construido, resultando: Seno Coseno Tangente Secante Cosecante Cotangente 30º

1 2

3 2

1 3

2 3

2

3

60º

3 2

1 2

3

2

2 3

1 3

Caso de 45º

Construimos un triángulo rectángulo con sus dos catetos iguales y de valor 1. Sus ángulos agudos, al ser iguales, necesariamente valen 45º La hipotenusa la calculamos

h = 12 + 12 = 2 Y ahora, con estos datos rellenamos la tabla con los valores restantes que queríamos obtener:

| RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS DE 0º, 30º, 45º, 60º Y 22 90º


+

Seno Coseno Tangente Secante Cosecante Cotangente 0 1 0 1 ∞ ∞ 2 1 1 2 3 3 2 3 3 2 45º 1 1 1 1 2 2 2 2 60º 2 1 2 1 3 3 2 3 3 2 90º 1 0 ∞ ∞ 1 0 0º 30º

| RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS DE 0º, 30º, 45º, 60º Y 23 90º


+

RELACION ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMATRICAS DE DISTINTOS ÁNGULOS: REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE Ángulos complementarios Dos ángulos α y β son complementarios si sumados valen un ángulo recto (90º o π/2 rad). Sean α y β complementarios, entonces β = (π/2 – α), luego les llamamos α y (π/2 – α). Los representamos en la siguiente figura, en la cual podemos observar que los triángulos OPP’ y OQQ’ son iguales, al tener los 3 ángulos iguales y la hipotenusa igual. En consecuencia, los catetos son también iguales PP’ = OQ’ y OP’=QQ’ Podemos entonces afirmar que

(

sin α = PP ' =OQ ' = cos π

(

2

cos α = OP ' = QQ ' = sin π tan α =

( (

−α

2

)

−α

) ) )

π PP ' OQ ' cos 2 − α = = = ctg π − α 2 OP ' QQ ' sin π − α 2

(

Ángulos suplementarios Dos ángulos α y β son suplementarios si sumados valen un ángulo llano (180º o π rad). Sean α y β complementarios, entonces β = (π – α), luego llamásmosles α y (π – α). Los representamos en la siguiente figura, en la cual podemos observar que los triángulos OPP’ y OQQ’ son iguales, al tener los 3 ángulos iguales y la hipotenusa igual. En consecuencia, los catetos son también iguales PP’ = OQ’ y OP’=QQ’ Podemos entonces afirmar que

| RELACION ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMATRICAS DE DISTINTOS 24 ÁNGULOS: REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE

)


+

sin α = PP ' =QQ ' = sin (π − α ) cos α = OP ' = −OQ ' = cos (π − α ) tan α =

sin ( π − α ) sin α = = − tan ( π − α ) cos α − cos (π − α )

Ángulos que se diferencian en 180º Tal y como están representados en la figura se deduce con facilidad que los triángulos OPP’ y OQQ’ son iguales, por tanto se deducen las las relaciones siguientes:

sin α = PP ' =− QQ ' = − sin (π + α ) cos α = OP ' = −OQ ' = − cos (π + α ) tan α =

sin α − sin (π + α ) = = − tan (π + α ) cos α − cos (π + α )

Ángulos que suman 360º Dado un ángulo α al ángulo (2π- α ) también le podemos llamar el opuesto a α , es decir, lo podemos representar también por – α. Como se ve en la figura los triángulos OPP’ y OQQ’ son iguales, por tanto

sin α = PP ' =− QQ ' = − sin (π + α ) cos α = OP ' = OQ ' = cos (π + α ) sin α − sin (π + α ) = = − tan (π + α ) cos α cos (π + α ) O, si lo expresamos en función de ángulos opuestos serían tan α =

| RELACION ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMATRICAS DE DISTINTOS 25 ÁNGULOS: REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE


+

sin α = − sin ( −α ) cos α = cos ( −α ) tan α = − tan ( −α )

Reducción de un ángulo al primer cuadrante Antiguamente, solo se disponía de unas tablas tabuladas para conocer las razones trigonométricas de los ángulos con una cierta exactitud. Las había de una sola hoja donde nos ofrecían las razones trigonométricas del seno y del coseno con cuatro decimales y tabuladas desde el 0º hasta el 90º cada 5” sexagesimales. Había también libros que incluían seis decimales y estaban tabulados cada segundo sexagesimal. Por aquel entonces era vital entender bien las relaciones de la pregunta previa para poder calcular cualquier razón trigonométrica a partir de aquellas tablas, que solo nos ofrecían las razones del seno y coseno en el primer cuadrante

Ejemplo 1 Imaginémonos que deseamos saber el seno de 175º 12’. Este ángulo está en el 2º cuadrante. Entonces, por todo lo estudiado en la pregunta previa, calculaba su suplementario y tendríamos sin175º12 ' = sin (180º −175º12 ' ) = sin 4º 48' cos175º12 ' = cos ( 360º −175º12 ' ) = − cos 4º 48' tan175º12 ' =

sin175º12 ' sin 4º 48' = = − tan 4º 48' cos175º12 ' − cos 4º 48'

Y el mismo proceso se utilizaría con ángulos en el tercer o cuarto cuadrante o ángulos opuestos. Ejemplo 2 Si el ángulo dado era mayor de 360º entonces es que daba más de una vuelta completa a la circunferencia gniométrica. Imaginémonos el ángulo de 1690º. Este ángulo da varios giros completos a la circunferencia. Para saberlos dividimos 1690º entre 360º y obtenemos 5 de cociente y 250º de resto, por tanto este ángulo da 5 giros completos y se detiene en 250º durante el sexto giro. Ahora bien, 250º es un ángulo del tercer cuadrante, luego aplicamos lo visto en el | RELACION ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMATRICAS DE DISTINTOS 26 ÁNGULOS: REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE


+

apartado previo de ángulos que se diferencian en 180º y tendríamos sin 250º = − sin ( 250º −180º ) = − sin 70º = −0.9397 cos 250º = − cos ( 250º −180º ) = − cos 70º = −0.3420 tan 250º =

− sin 70º = − tan 70º = 2.7475 − cos 70º

Ejemplo 3 Calcular las razones trigonoméetricas del ángulo de 11 radianes Cada vuelta completa son 2π radianes o 360º luego resolvemos la proporción 360º x 4320 = ⇔x= = 687.5494º = 687º 32 '57" 2π 12 2π

Ahora dividimos esta ángulo entre 360º para saber el cociente (número de giros) y el resto (númerod e grados en el último giro) resultando 687º 32 '57" 360º 327º 32 '57"

1

Como consecuencia tendremos sin12r = sin 327º 32 '57" = − sin ( 360º −327º 32 '57") = − sin 32º 27 '3" = −0.5366 cos12r = cos 327º 32 '57" = cos ( 360º −327º 32 '57") = cos 32º 27 '3" = 0.8439 tan12r =

sin12r − sin 32º 27 '3" = = − tan 32º 27 '3" = −0.6359 cos12r cos 32º 27 '3"

Problemas propuestos 1. 2. 3. 4.

Calcular las razones trigonométricas del ángulo de 3 radianes Calcular las razones trigonométricas del ángulo de 5715º Calcular las razones trigonométricas del ángulo de 2295º Calcular las razones trigonométricas del ángulo de 4180.575º

| RELACION ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMATRICAS DE DISTINTOS 27 ÁNGULOS: REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE


+

REPRESENTACIÓN GRAFICA DE LAS FUNCIONES CIRCULARES Mediante una tabla suficiente amplia de valores vamos a representar las funciones f ( x ) = sin x f ( x ) = cos x f ( x ) = tan x

Sin necesidad de utilizar tablas conocemos los siguientes valores, Grados 0 15 Radianes 0 π 12 Sin x 0 Cos x

1

Tan x

0

30 π 6 1 2 3 2 1

45 π 4 2 2 2 2 1

60 π 3 3 2 1 2

90 π 2 1

3

0

120 2π 3 3 2 −1 2

− 3

135 3π 4 2 2 − 2 2 -1

180 225 π 5π 4 0 − 2 2 -1 − 2 2 0 1

270 315 π 7π 4 -1 − 2 2 0 2 2 -∞ -1

3

330 11π 6 −1 2 3 2 −1

3

Los cuales resultan suficientes para deducir que su gráfica para estos valores y, como las funciones trigonométricas son periodicas, es decir, se repiten sus valores a partir de los 360º y antes del cero, la gráfica en todo R será

| RELACION ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMATRICAS DE DISTINTOS 28 ÁNGULOS: REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE

360

2π 0 1 0


+

Las gráficas para las funciones inversas es:

| RELACION ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMATRICAS DE DISTINTOS 29 ÁNGULOS: REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE


+

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE OPERACIONES CON ÁNGULOS Razones trigonométricas de la suma de dos ángulos Se trata ahora de conocidas las razones de los ángulos α y β, a partir de ellas conocer las razones del ángulo (α + β ). Por ejemplo, como conocemos las razones de 30º y 45º, podríamos conocer las de (45º + 30º) = 75º. Tendremos que probar las siguientes fórmulas

sin (α + β ) = sin α ⋅ cos β + cos α ⋅ sin β cos (α + β ) = cos α ⋅ cos β − sin α ⋅ sin β ç tan (α + β ) =

tan α + tan β 1 − tan α ⋅ tan β

Demostración Para demostrar estas fórmulas nos vamos a basar en el siguiente gráfico. En él sobreponemos los ángulos α y β resultando que los triángulos de manera que la recta MN sea perpendicular a la recta OM

De esta manera tenemos el que los triángulos NQM ∼ OQN’ y de ahí que el vértice N del primero coincida con el ángulo α. | RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE OPERACIONES CON ÁNGULOS 30


+

Seno (α + β ) Se cumplen, entonces, las siguientes relaciones En el triángulo OMM’ sin α =

MM ' ⇒ MM ' = sin α ⋅ OM OM

En el triángulo MPN cos α =

NP ⇒ NP = cos α ⋅ NM NM

En el triángulo OMN sin β =

NM OM y cos β = ON ON

Con estas premisas podemos deducir ahora que:

NN ' PN '+ NP MM '+ NP OM sin α + NM cos α OM NM = = = = sin α + cos α = ... ON ON ON ON ON ON ... = sin α ⋅ cos β + cos α ⋅ sin β sin (α + β ) =

Coseno (α + β ) Observamos ahora que se verifican las relaciones En el triángulo OMM’ cos α = En el triángulo MPN sin α =

OM ' ⇒ OM ' = cos α ⋅ OM OM

PM ⇒ PM = sin α ⋅ NM NM

Y por tanto

ON ' OM '− N ' M ' cos α ⋅ OM − PM cos α ⋅ OM − sin α ⋅ NM OM NM = = = = cos α − sin α = .. ON ON ON ON ON ON ... = cos α ⋅ cos β − sin α ⋅ sin β cos (α + β ) =

Tangente (α + β )

sin α ⋅ cos β + cos α ⋅ sin β sin α ⋅ cos β cos α ⋅ sin β + sin (α + β ) sin α ⋅ cos β + cos α ⋅ sin β cos α ⋅ cos β cos α ⋅ cos β cos α ⋅ cos β tan (α + β ) = = = = = cos (α + β ) cos α ⋅ cos β − sin α ⋅ sin β cos α ⋅ cos β − sin α ⋅ sin β cos α ⋅ cos β − sin α ⋅ sin β cos α ⋅ cos β cos α ⋅ cos β cos α ⋅ cos β sin α sin β ⋅1 + 1 ⋅ tan α + tan β cos α cos β ... = = sin α ⋅ sin β 1 − tan α ⋅ tan β 1− cos α ⋅ cos β

| RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE OPERACIONES CON ÁNGULOS 31


+

Ejemplos 2 3 21 6+ 2 + = 2 2 2 2 4 2 3 21 6− 2 cos 75º = cos ( 45º +30º ) = cos 45 ⋅ cos 30 − sin 45 ⋅ sin 30 = − = 2 2 2 2 4 1 1+ tan 45 + tan 30 3 = 3 +1 tan 75º = tan ( 45 + 30 ) = = 1 − tan 45 ⋅ tan 30 1 − 1 ⋅ 1 3 −1 3

sin 75º = sin ( 45 + 30 ) = sin 45 ⋅ cos 30 + cos 45 ⋅ sin 30 =

| RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE OPERACIONES CON ÁNGULOS 32


+

Razones trigonométricas de la diferencia de dos ángulos Se trata ahora de conocidas las razones de los ángulos α y β, a partir de ellas conocer las razones del ángulo (α - β ). Por ejemplo, como conocemos las razones de 45º y 30º, podríamos conocer las de (45º-30º) = 15º. Tendremos que probar las siguientes fórmulas

sin (α − β ) = sin α ⋅ cos β − cos α ⋅ sin β cos (α − β ) = cos α ⋅ cos β + sin α ⋅ sin β tan (α − β ) =

tan α − tan β 1 + tan α ⋅ tan β

Demostraciones Tendremos que recordar las relaciones trigonométricas entre ángulos opuestos, que son:

sin α = − sin ( −α ) cos α = cos ( −α ) tan α = − tan ( −α ) Basándonos en ellas, se obtiene que

sin (α − β ) = sin α + ( − β )  = sin α ⋅ cos ( − β ) + cos α ⋅ sin ( − β ) = sin α ⋅ cos β + cos α ⋅ ( − sin β ) = ... ... = sin α ⋅ cos β − cos α ⋅ sin β cos (α − β ) = cos α + ( − β )  = cos α ⋅ cos ( − β ) − sin α ⋅ sin ( − β ) = cos α ⋅ cos β − sin α ⋅ ( − sin β ) = ... ... = cos α ⋅ cos β + sin α ⋅ sin β

tan (α + β ) = tan α + ( − β )  =

tan α + tan ( − β ) tan α + tan β = 1 − tan α ⋅ tan ( − β ) 1 − tan α ⋅ tan β

Ejemplos 2 3 21 6− 2 − = 2 2 2 2 4 2 3 21 6+ 2 cos15º = cos ( 45º −30º ) = cos 45 ⋅ cos 30 + sin 45 ⋅ sin 30 = + = 2 2 2 2 4

sin15º = sin ( 45 − 30 ) = sin 45 ⋅ cos 30 − cos 45 ⋅ sin 30 =

| RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE OPERACIONES CON ÁNGULOS 33


+

1 tan 45 − tan 30 3 = 3 −1 tan15º = tan ( 45 − 30 ) = = 1 + tan 45 ⋅ tan 30 1 + 1 ⋅ 1 3 +1 3 1−

| RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE OPERACIONES CON ÁNGULOS 34


+

Razones trigonométricas del ángulo doble Se trata ahora de conocidas las razones del ángulo α, a partir de ellas conocer las razones del ángulo 2α Por ejemplo, como conocemos las razones de 60º, podríamos conocer las de 120º (aunque en este ejemplo ya las conocemos por ser ángulos suplementarios) Tendremos que probar las siguientes fórmulas

sin 2α = 2sin α ⋅ cos α cos 2α = cos 2 α − sin 2 α

tan 2α =

2 tan α 1 − tan 2 α

Demostraciones

sin 2α = sin (α + α ) = sin α ⋅ cos α + sin α ⋅ cos α = 2sin α ⋅ cos α cos 2α = cos 2 α − sin 2 α

tan 2α = tan (α + α ) =

tan α + tan α 2 tan α = 1 − tan α tan α 1 − tan 2 α

Ejemplos sin120º = sin ( 2 ⋅ 60 ) = 2 sin 60 ⋅ cos 60 = 2

31 2 3 3 = = 2 2 4 2 2

2  1   3  1 3 −1 cos120º = cos ( 2 ⋅ 60º ) = cos 60 − sin 60 =   −   = − = 4 4 2  2   2  2

tan120º = tan ( 2 ⋅ 60º ) =

2

2 tan 60 2 3 = 2 1 − tan 60 1 − 3

( )

2

=

2 3 =− 3 −2

| RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE OPERACIONES CON ÁNGULOS 35


+

Razones trigonométricas del ángulo mitad Se trata ahora de conocidas las razones del ángulo α, a partir de ellas conocer las razones del ángulo α/2 Por ejemplo, como conocemos las razones de 45º, podríamos conocer las de 22º30’ Tendremos que probar las siguientes fórmulas sin

cos

tan

α 2

=

1 − cos α 2

=

1 + cos α 2

=

1 − cos α 1 + cos α

α 2

α 2

Demostraciones Basándonos en dos fórmulas conocidas, la primera fórmula fundamental y la del coseno del ángulo doble sin 2 α + cos 2 α = 1 cos 2 α − sin 2 α = cos 2α

En las que hacemos un cambio de notación, dado que α es la mitad que 2 α , estas dos fórmulas las podríamos expresar también en la forma sin 2 cos 2

α

+ cos 2

2

α 2

− sin 2

α 2

α 2

=1 = cos α

Y sumando ambas ecuaciones obtendríamos 2 cos 2

α 2

= 1 + cos α ⇔ cos 2

α 2

=

1 + cos α α 1 + cos α ⇔ cos = 2 2 2

y si las restamos tenemos 2 sin 2

α 2

= 1 − cos α ⇔ sin 2

α 2

=

1 − cos α α 1 − cos α ⇔ sin = 2 2 2

Y para la tangente

| RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE OPERACIONES CON ÁNGULOS 36


+

1 + cos α α 1 + cos α 2 2 = tan = = 2 cos α 1 − cos α 1 − cos α 2 2 sin

α

Ejemplos

1+ 2 45 1 + cos 45 2 = 2+ 2 = 2+ 2 sin 22º 30 ' = sin = = 2 2 2 4 2 1− 2 45 1 − cos 45 2 = 2− 2 = 2− 2 cos 22º 30 ' = cos = = 2 2 2 4 2 tan 22º 30 ' = tan

1+ 2 45 1 + cos 45 2 = 2+ 2 = = 2 1 − cos 45 2− 2 1− 2 2

FORMULAS DE TRANSFORMACIÓN DE PRODUCTOS EN SUMAS Las fórmulas siguientes se usan en unos muy específicos futuros problemas de cálculo de integrales y ecuaciones diferenciales, pero que este es el momento de explicar y tener constancia de su existencia. sin α ⋅ cos β =

1 sin (α + β ) + sin (α − β )  2

cos α ⋅ cos β =

1  cos (α − β ) + cos (α + β )  2

sin α ⋅ sin β =

1  cos (α − β ) − cos (α + β )  2

Demostración Para demostrarlas basta operar con fórmulas ya conocidas, La primera de ellas, dadas

sin (α + β ) = sin α ⋅ cos β + cos α ⋅ sin β sin (α − β ) = sin α ⋅ cos β − cos α ⋅ sin β Sumándolas tenemos sin (α + β ) + sin (α − β ) = 2sin α ⋅ cos β ⇔ sin α ⋅ cos β =

1 sin (α + β ) + sin (α − β )  (1) 2

Y restándolas tendremos | FORMULAS DE TRANSFORMACIÓN DE PRODUCTOS EN SUMAS 37


+

sin (α + β ) − sin (α − β ) = 2sin β ⋅ cos α ⇔ sin β ⋅ cos α =

1 sin (α + β ) − sin (α − β )  (2) 2

Ahora tomamos otras dos fórmulas también conocidas del coseno:

cos (α − β ) = cos α ⋅ cos β + sin α ⋅ sin β cos (α + β ) = cos α ⋅ cos β − sin α ⋅ sin β Sumándolas obtenemos cos (α − β ) + cos (α + β ) = 2 cos α ⋅ cos β ⇔ cos α ⋅ cos β =

1  cos (α − β ) − cos (α + β )  (3) 2

Y restándolas obtenemos cos (α − β ) − cos (α + β ) = 2sin α ⋅ sin β ⇔ sin α ⋅ sin β =

1  cos (α − β ) + cos (α + β )  2

(4)

FORMULAS DE TRANSFORMACIÓN DE SUMAS EN PRODUCTOS sin α + senβ = 2 ⋅ sin

α +β 2

cos α + cos β = 2 ⋅ cos cos α − cos β = 2 ⋅ sin sin α − sin β = 2 ⋅ cos

⋅ cos

α +β 2

α +β 2

α +β 2

α −β 2

⋅ cos ⋅ sin ⋅ sin

α −β 2

α −β 2

α −β 2

Demostración En las fórmulas de transformación de productos (1), (2), (3) y (4) en sumas vistas en el apartado anterior obteníamos que:

sin (α + β ) + sin (α − β ) = 2sin α ⋅ cos β sin (α + β ) − sin (α − β ) = 2sin β ⋅ cos α cos (α + β ) + cos (α − β ) = 2cos α ⋅ cos β cos (α + β ) − cos (α − β ) = −2sin α ⋅ sin β Si en ellas hacemos un cambio de notación y a (α + β ) le llamamos γ y a (α - β ) le llamamos δ, como | FORMULAS DE TRANSFORMACIÓN DE SUMAS EN PRODUCTOS 38


+

 α +β =γ    2β = γ − δ  β = γ +δ     α − β = δ  2α = γ + δ  α =   2 

γ −δ   2  

De donde las fórmulas dadas podrían ser escritas del modo sin γ + sin δ = 2sin sin γ − sin δ = 2 sin

γ +δ 2

γ −δ

cos γ + cos δ = 2 cos

2

⋅ cos ⋅ cos

γ +δ

cos γ − cos δ = −2sin

2

γ +δ 2

γ −δ 2

γ +δ

⋅ cos ⋅ sin

2

γ −δ 2

γ −δ 2

| FORMULAS DE TRANSFORMACIÓN DE SUMAS EN PRODUCTOS 39


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Razones trigonométricas rectángulo

en

el

triángulo

sin α =

cateto opuesto b Razones inversas = 1 hipotenusa a sec α = cos α

cos α =

cateto contiguo c = hipotenusa a

1 senα 1 ctgα = tgα csc α =

cateto opuesto b = cateto contiguo c FORMULAS FUNDAMENTALES tgα =

sin 2 α + cos 2 α = 1

tan α =

sin α cos α

Ángulo sin (α + β ) = sin α ⋅ cos β + cos α ⋅ sin β

suma Ángulo diferencia sin (α − β ) = sin α ⋅ cos β − cos α ⋅ sin β

cos (α + β ) = cos α ⋅ cos β − sin α ⋅ sin β ç

cos (α − β ) = cos α ⋅ cos β + sin α ⋅ sin β

tan α + tan β 1 − tan α ⋅ tan β Ángulo doble

tan α − tan β 1 + tan α ⋅ tan β Ángulo mitad α 1 − cos α sin = 2 2 α 1 + cos α cos = 2 2 α 1 − cos α tan = 2 1 + cos α Transformaciones de productos en sumas 1 sin α ⋅ cos β = sin (α + β ) + sin (α − β )  2 1 sin α ⋅ sin β = cos (α − β ) − cos (α + β )  2 1 cos α ⋅ cos β = cos (α − β ) + cos (α + β )  2

tan (α + β ) =

sin 2α = 2sin α ⋅ cosα

cos 2α = cos 2 α − sin 2 α

tan 2α =

2 tan α 1 − tan 2 α

Transformaciones de sumas en productos α +β α −β sin α + senβ = 2 ⋅ sin ⋅ cos 2 2 α +β α −β cos α − cos β = 2 ⋅ sin ⋅ sin 2 2 α +β α −β sin α − sin β = 2 ⋅ cos ⋅ sin 2 2 α +β α −β cos α + cos β = 2 ⋅ cos ⋅ cos 2 2

tan (α − β ) =

| FORMULAS DE TRANSFORMACIÓN DE SUMAS EN PRODUCTOS 40


+

LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS arcseno, arcocoseno y arcotangente No confundamos el inverso del seno de un ángulo, que es la cosecante de ese ángulo 1 con la función inversa de la seno en el aspecto de dado el seno, hallar el ángulo csc α = sin α cuyo seno es ese, que también se puede llamar inversa como función que puede escribir sin −1 x . Quizás para evitar esta confusión, a este tipo de función inversa se le suele llamar en matemáticas la función arcoseno. Es decir, la función f ( x ) = arc sin x viene dada por el ángulo α cuyo seno es x. Por ejemplo, el arc sin 0.5 es igual a 30º porque el sin 30º = 0.5, aunque también podría ser f(0.5) = 330º. De la misma manera se puede definir f ( x ) = arc cos x ; donde f(0.5) = 60º pues la cos 60º = 0.5 f ( x ) = arc tan x ; donde f(1) = 45º pues la tan 45º = 1, pero también valdría f(1) = 225º f ( x ) = arc sec x ; donde f(0.5) = 60º ó f(0.5)= 300º f ( x ) = arc csc x ; donde f(0) = 0º y f(0) = 360º f ( x ) = arc cot x ; donde f (− 3) = arctan

330º −1 = 150º 3

Vemos sus gráficas:

| LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS 41


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Ejercicio Expresar las funciones f ( x) = arccos x , f ( x ) = arctan x , f ( x) = arc sec x , f ( x ) = arc csc x y f ( x ) = arc cot x en función de la función f ( x ) = arc sin x Este ejercicio es necesario, por ejemplo, para poder representar con Geogebra todas las funciones arco, pues Geogebra solo trae definida la función asin (x) Sea pues y = arc sin x , tendremos que, Para el arco coseno:

y = arccos x ⇔ x = cos y ⇔ x = 1 − sin 2 y ⇔ x 2 = 1 − sin 2 y ⇔ sin y = 1 − x 2 ⇔ ... ... ⇔ y = arc sin 1 − x 2 Para el arco tangente: y = arctan x ⇔ x = tan y ⇔ x =

sin y sin y = ⇔ x 1 − sin 2 y = sin y ⇔ ... 2 cos y 1 − sin y

... ⇔ x 2 (1 − sin 2 y ) = sin 2 y ⇔ x 2 = x 2 sin 2 y + sin 2 y = ( x 2 + 1) sin 2 y ⇔ sin 2 y = x

... ⇔ sin y =

x2 + 1 Para el arco secante

⇔ y = arcsin

y = arc sec x ⇔ x = sec y ⇔ x =

x2 ⇔ ... x2 + 1

x x2 + 1

1 1 = ⇔ x 1 − sin 2 y = 1 ⇔ x 2 (1 − sin 2 y ) = 1 ⇔ ... 2 cos y 1 − sin y

... ⇔ x 2 − x 2 sin 2 y − 1 = 0 ⇔ sin 2 y =

x2 −1 ⇔ sin y = x2

x2 − 1 x2 −1 ⇔ y = arcsin x2 x2

Para el arco cosecante y = arc csc x ⇔ x = csc y ⇔ x =

1 1 1 ⇔ sin y = ⇔ y = arc sin sin y x x

Y finalmente, para el arco cotangente y = arctgx ⇔ x = cot y ⇔ x =

1 − sin 2 y cos y = ⇔ x sin y = 1 − sin 2 y ⇔ ... sin y sin y

... ⇔ x 2 sin 2 y = (1 − sin 2 y ) ⇔ x 2 sin 2 y + sin 2 y = 1 ⇔ sin 2 y ( x 2 + 1) = 1 ⇔ ... ... ⇔ sin 2 y =

1 ⇔ sin y = x +1 2

1 x +1 2

⇔ y = acr sin

1 x2 + 1

| LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS 42


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RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS

Resolver un triángulo es llegar a conocer el valor de sus tres lados y de sus tres ángulos, conocidas algunas de las medidas o relaciones entre ellos. Hasta ahora en enseñanza secundaria de triángulos se saben unos datos básicos

La superficie es base por altura dividido por 2: S =

base ⋅ altura 2

La suma de los tres ángulos de un triángulo es 180º: A + B + C = 180º Si el triángulo es rectángulo, se verifica el Teorema de Pitágoras a 2 = b 2 + c 2 | LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS 43


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Aparte, si es rectángulo, hemos definido las razones trigonométricas de cualquiera de los ángulos. Es ahora el momento de generalizar estos conceptos a un triángulo cualquiera y estudiar más relaciones entre los lados, los ángulos y el área.

TEOREMA DEL SENO En un triángulo cualquiera se verifica la siguiente relación a b c = = sin A sin B sin C

Demostración Dado el triángulo ABC de la figura, trazamos dos alturas, la correspondiente a los vértices A y B, que les llamamos hA y hB y llamamos H y H’ a los puntos de intersección de estas alturas con los lados opuestos. Los triángulos ABH y ACH así obtenidos son rectángulos pues estamos hablando de trazar alturas que son perpendiculares a los lados. Lo mismo ocurre con los triángulos ACH’ y CBH’. Por todo ello se verifican las siguientes relaciones. En los triángulos ABH y ACH AH  ⇔ AH = AB ⋅ sin B = c ⋅ sin B  b c  AB =  ⇒ c ⋅ sin B = b ⋅ sin B ⇔ AH sin B sin C sin C = ⇔ AH = AC ⋅ sin C = b ⋅ sin B   AC  sin B =

Y en los triángulos ACH’ y CBH’: BH '  ⇔ BH ' = AB ⋅ sin A = c ⋅ sin A  a c  AB =  ⇒ c ⋅ sin A = a ⋅ sin C ⇔ BH ' sin A sin C sin C = ⇔ BH ' = BC ⋅ sin C = a ⋅ sin C   BC  sin A =

Igualando ambas conclusiones se tiene que

a b c = = sin A sin B sin C

TEOREMA DEL COSENO En un triángulo cualquiera se verifica la siguiente relación para uno cualquiera de sus lados | LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS 44


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a 2 = b 2 + c 2 − 2bc ⋅ cos A

Observa que a es cualquier lado y A es el ángulo opuesto al lado a. Observa también que esto es una generalización del teorema de Pitágoras, pues si A = 90º, nos queda precisamente el enunciado de dicho teorema por ser cos 90º = 0: a 2 = b 2 + c 2 − 2bc ⋅ cos 90 = b 2 + c 2 − 0 = b 2 + c 2

Demostración

Téngase en cuenta que el triángulo ABC no es necesariamente rectángulo. Vamos a demostrar el teorema para el lado b de la figura adjunta. Para cualquier otro lado la demostración sería análoga Como ya comentamos en la demostración del teorema dels eno, los triángulos AHC y AHB son rectángulos, luego en ellos se verifica el teorema de Pitágoras. Por tanto: 2 2 2 2 2 b 2 = hA + m 2   b = c − n + m   2  2 2 2 c 2 = hA + n 2  hA = c − n  

Pero m y n juntos son iguales al lado a: m + n = a, por lo tanto

b 2 = c 2 − n 2 + m 2  b 2 = c 2 − n 2 + m 2  b 2 = c 2 − n 2 + ( a − n )  b 2 = c 2 − n2 + a 2 − 2an + n 2  b 2 = c 2 + a 2 − 2an       a = m+n m = a − n     c Del triángulo ABH se obtienes que cos B = ⇒ c = n ⋅ cos B , y sustituyendo n 2

b 2 = c 2 + a 2 − 2an ⇔ b 2 = a 2 + c 2 − 2 ac ⋅ cos B

c-q.d.

Para los otros lados a y c se obtendrían fórmulas análogas a 2 = b 2 + c 2 − 2bc ⋅ cos A c 2 = a 2 + b 2 − 2ab ⋅ cos C

| LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS 45


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CASOS PRÁCTICOS DE RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS CUALESQUIERA Como ya hemos dicho anteriormente, consideraremos resuelto un triángulo de vértices ABC y lados a, b y c, cuando conozcamos el valor de sus tres lados y sus tres ángulos Como armas, tenemos que La suma de los tres ángulos de un triángulo es 180º: A + B + C = 180º El teorema del seno

a b c = = sin A sin B sin C

El teorema del coseno a 2 = b 2 + c 2 − 2bc ⋅ cos A Y si el triángulo es rectángulo y el lado a su hipotenusa, tenemos una simplificacion del teorema del coseno que es el teorema de Pitágoras a 2 = b 2 + c 2 Veamos entonces una descripción de los casos que se nos pueden ir presentando Caso 1 Conocidos 3 lados Caso 2 Conocidos 2 lados y 1 ángulo Caso 3 Conocidos 1 lado y 2 ángulos Caso 4 Conocidos los 3 ángulos

Caso 0. Triángulos rectángulos Hay un caso aún más básico, que podemos llamar Caso 0, que es que el triángulo sea rectángulo, en cuyo caso A = 90º y se verifica Pitágoras, lo cual implica una mayor sencillez de resolución. Veamos un Resuelve un triángulo rectángulo donde un cateto b = 2 y su ángulo C = 20º Como es rectángulo A = 90º luego sabemos 2 ángulos y un lado, tenemos que calcular B, a y c. Para ello: A + B + C = 180 B = 180 − 90 − 20 = 70º     b 2 2 2    2 sin B = = = 2.13 a = 22 + c 2 ⇔= c 2 = a 2 − 22 = 2.132 − 22 = 0.53  sin 70 = ⇔ a = a a sin 70 0.9397    2 2 2 2 2 2    a =b +c a = 2 + c 

| CASOS PRÁCTICOS DE RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS 46 CUALESQUIERA


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Ejemplo práctico Calcular la altura de un edificio pudiéndonos aproximar a la base, por ejemplo, calcular la altura de la torre de la figura, donde el ángulo es 38º y la distancia 7m. Se sobreentiende que la vertical de la altura forma 90º con el suelo Tenemos A + B + C = 180 C = 180 − 90 − 38 = 52º    b b   tan C =  tan 38 = ⇔ b = 0.7813 ⋅ 7 = 5.469  c 7   2 2 2   a =b +c Luego el cateto b de 5.469 m es la altura de la torre Caso 1 Conocidos 3 lados Resolver un triángulo conociendo los tres lados a = 1, b = 2 y c = 1.5

Vamos aplicar tres veces el teorema del coseno para calcular los tres ángulos Aunque sería más cómodo a efectos de cálculo aplicarlo dos veces y el tercer ángulo calcularlo mediante A + B + C = 180, o incluso una vez calculado A, calcular B por el teorema del seno. Tenemos b 2 + c 2 − a 2 22 + 1.52 − 12 5.25 = = = 0.875 ⇔ A = cos −1 0.875 = 28º 57 ' 2bc 2 ⋅ 2 ⋅1.5 6 a 2 + c 2 − b 2 12 + 1.52 − 22 −0.75 b 2 = a 2 + c 2 − 2ac ⋅ cos B ⇔ cos B = = = = 0.25 ⇔ B = cos −1 0.25 = 104º 28' 2ac 2 ⋅1 ⋅1.5 3 a 2 + b 2 − c 2 12 + 22 − 1.52 2.75 c 2 = a 2 + b 2 − 2ab ⋅ cos C ⇔ cos C = = = = 0.6875 ⇔ C = cos −1 0.6875 = 46º 35' 2ab 2 ⋅1 ⋅ 2 4 a 2 = b 2 + c 2 − 2bc ⋅ cos A ⇔ cos A =

| CASOS PRÁCTICOS DE RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS 47 CUALESQUIERA


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Caso 2.1 Conocidos 2 lados y 1 ángulo comprendido entre ellos Resolver un triángulo conociendo dos lados a = 1, b = 2 y un ángulo C = 46º35’ El gráfico es el mismo del ejercicio anterior, pero los datos conocidos son inicialmente distintos. Como conocemos dos lados y el ángulo comprendido, podemos calcular el tercer lado por el teorema del coseno

c2 = a2 + b2 − 2ab ⋅ cos C ⇔ c2 = 12 + 22 − 2 ⋅1⋅ 2 ⋅ cos 46º 35' = 5 − 4 ⋅ 0.6873 = 2.25 ⇔ c = 2.25 = 1.5 Ahora ya sabemos los 3 lados, luego podríamos calcular los ángulos restantes por el teorema del coseno igual que en el caso anterior, pero hagámoslo de otra forma por abrir más el abanico de métodos, apliquemos ahora el teorema del seno: 1 2 1.5 1 ⋅ sin 46º 35' 0.7264 a b c = = ⇔ = = ⇔ sin A = = = 0.4842 ⇔ ... sin A sin B sin C sin A sin B sin 46º 35' 1.5 1.5 28º 57 ' ... ⇔ A = sin −1 0.4842 = 151º 3' ⇒ Solucion falsa pues seria A+B+C>180 Por ello, sin embargo, aconsejo usar siempre que se pueda, el teorema del coseno, dado que el ángulo obtenido es único mientras que con el teorema del seno siempre hay dos posibles soluciones y una de ellas es falsa. Y solo nos queda calcular el ángulo que falta, que también por variar lo calculamos de la forma más directa, es decir B = 180º - A – C = 180º - 28º57’ – 46º35’ = 104º 28’ Caso 2.1 Conocidos 2 lados y 1 ángulo opuesto a uno de ellos Resolver un triángulo conociendo dos lados a = 1, b = 2 y un ángulo A = 28º57’ En este caso no nos valdría aplicar el teorema del coseno, pero lo intentamos por el del seno: a b c = = ⇔ ... sin A sin B sin C 75º 29 ' 1 2 c 2 ⋅ sin 28º 57 ' 2 ⋅ 0.4840 ... ⇔ = = ⇔ sin B = = = 0.9681 ⇔ B = sin −1 0.9681 = 104º 31' sin 28º 57 ' sin B sin C 1 1 Nota: Los minutos de diferencia con la solución conocida de partida se deben a los errores de los cálculos producidos por truncamientos de decimales Luego hay dos posibles soluciones, dado que hay dos ángulos que tienen por seno 0.9681,que son A = 75º29’ ó A = 104º31’ Nuestra pregunta ahora es ¿valen las dos? y en caso contrario ¿cuál será la buena?

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Veamos ambas soluciones por separado: Si B =75º29’ entonces C = 180 – A – B = 180 – 28’57’ – 75º29’= 75º26’ y en este caso el lado c que falta, sería a c 1 c 1 ⋅ sin 75º 26 ' 0.9679 = ⇔ = ⇔c= = ≃2 sin A sin C sin 28º 57 ' sin 75º 26 ' sin 28º 57 ' 0.4840

Si B =104º31’ entonces C = 180 – A – B = 180 – 28’57’ – 104º31’ = 46º32’, y en este caso llegamos a la solución conocida: a c 1 c 1 ⋅ sin 46º 32 ' 0.7263 = ⇔ = ⇔c= = ≃ 1.5 sin A sin C sin 28º 57 ' sin 46º 32 ' sin 28º 57 ' 0.4840

Y ambas soluciones son válidas.

Caso 3 Conocidos 1 lado y 2 ángulos Este es un caso sencillo que se resuelve directamente por el teorema del seno. Veamos de nuevo nuestro ejemplo inicial en el que ahora, de partida, conocemos a = 1, B = 104º28’ y C = 46º35’ Si sabemos dos ángulos, sabemos también el tercero: A = 10 - B - C = 180 – 104º28’ – 46º35’ = 28º57’ Y ahora aplicamos el teorema del seno para obtener b y c:

| CASOS PRÁCTICOS DE RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS 49 CUALESQUIERA


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1 ⋅ sin104º 28' 0.9682 = ≃2 a b c 1 b c sin 28º 57 ' 0.4840 = = ⇔ = = ⇔ 1 ⋅ sin 75º 26 ' 0.9679 sin A sin B sin C sin 28º 57 ' sin104º 28' sin 75º 26 ' c= = = 1.5 sin 28º 57 ' 0.4840

b=

Caso 4 Conocidos los 3 ángulos Este caso no tiene solución, o mejor dicho, tiene infinitas soluciones. En nuestro ejemplo de partida, si conociésemos solo los tres ángulos, es decir A = 28º57’, B = 104º28’ y C = 46º35’, habría infnitas soluciones para triángulos con estas medidas, luego es un problema irresoluble.

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FORMULA DE HERON Herón (o Hero) de Alejandría (aproximadamente año 10 dC. - alrededor del año 70) fue un ingeniero griego, que destacó en Alejandría (en la provincia romana de Egipto). Después de que desapareció el Imperio Alejandrino y con él la ciencia griega, todavía existieron algunos destellos de genialidad. Uno de estos genios fue Herón, que desplegó una actitud casi moderna para la mecánica, descubriendo de forma arcaica la ley de acción y reacción, mediante experimentos con vapor de agua. Describió un gran número de máquinas sencillas y generalizó el principio de la palanca de Arquímedes. Sin olvidar que realizó grandes trabajos, hizo numerables innovaciones en el campo de los autómatas, incluyendo uno el cual debería de hablar. Sin embargo, es conocido sobre todo como matemático tanto en el campo de la geometría como en el de la geodesia (una rama de las matemáticas que se encarga de la determinación del tamaño y configuración de la Tierra, y de la ubicación de áreas concretas de la misma). Herón trató los problemas de las mediciones terrestres con mucho más éxito que cualquier otro de su generación. Como matemático, escribió la obra La Métrica, donde estudia las áreas y volúmenes de distintas superficies y cuerpos. Desarrolla también técnicas de cálculo, tomadas de los babilonios y egipcios, como el cálculo de raíces cuadradas mediante iteraciones. Pero sin duda su logro más famoso en el campo de la geometría es la conocida como la fórmula de Herón, que relaciona el área de un triángulo con la longitud de sus lados. A Herón le cabe también el privilegio de haber identificado el cerebro como el órgano de la inteligencia, que hasta entonces era considerado el corazón. http://es.wikipedia.org/wiki/Her%C3%B3n_de_Alejandr%C3%ADa

En geometría, la fórmula de Herón, descubierta por Herón de Alejandría, plantea que la superficie de un triángulo de lados a, b, c viene dada por: S = p ( p − a )( p − b )( p − c ) Donde p es el semiperímetro: a+b+c p= 2 La fórmula puede ser reescrita de la siguiente forma:

S=

( a + b + c )( a + b − c )( b + c − a )( a + c − b ) 4

http://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%B3rmula_de_Her%C3%B3n

| CASOS PRÁCTICOS DE RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS 51 CUALESQUIERA


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Demostración Una demostración moderna, que emplea álgebra y trigonometría (bastante distinta a la que dio Herón en su libro), podría ser la siguiente. Supongamos un triángulo de lados a, b, c cuyos ángulos opuestos a cada uno de esos lados son A, B, C. Entonces,por el Teorema del coseno, tenemos que: a 2 + b2 − c2 cos C = 2ab . Si utilizamos la relación entre senos y cosenos, llegamos a

sin C = 1 − cos 2C =

(

4a 2b 2 − a 2 + b 2 − c 2

)

2

2ab La altura de un triángulo de base a tiene una longitud b |sin(C)|. Por tanto, siguiendo con la demostración

(

4a 2 b 2 − a 2 + b 2 − c 2

a ⋅b base ⋅ altura a ⋅ b sin C 2ab S= = = 2 2 2 1  1 ... = 2ab + a 2 + b 2 − c 2   2ab − a 2 + b 2 − c 2  =  4 4

(

... =

)

(

1  2 2 a + b ) − c 2  c 2 − ( a − b )  = (   4 

)

)

2

=

(

1 4a 2b 2 − a 2 + b 2 − c 2 4

( 2ab + a

2

)

2

= ...

)(

)

+ b2 − c 2 2ab − a 2 − b 2 + c 2 = ...

( a + b + c ) ⋅ ( a + b − c ) ⋅ ( c + a − b ) ⋅ ( c − a + b ) = ... 2

2

2

2

(a + b + c)   a + b + c   a + b + c  a +b +c  ... =  − c ⋅  − b ⋅  − a  = ... ⋅ 2   2   2     2 ... =

p ( p − a )( p − b )( p − c )

Generalización La fórmula de Herón es un caso particular de la fórmula de Brahmagupta para el cálculo de la superficies de cuadriláteros inscritos en una circunferencia; y ambas son casos particulares de la fórmula de Bretschneider para calcular la superficie de un cuadrilátero. Expresando la fórmula de Herón de forma matricial dentro de un determinante en términos de cuadrados de distancias de los tres vértices dados, obtenemos:

0 a2 b2 1 1 a2 0 c2 1 S= 4 b2 c2 0 1 1 1 1 0 Ninguno de los resultados puede dar 0, pues no tendría solución el problema; por ejemplo: a=10, b=20, c=30, el primero saldría bien porque es una suma, pero los siguientes (a+bc)=(10+20-30)=0 nunca se puede dar esa situación. | CASOS PRÁCTICOS DE RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS 52 CUALESQUIERA


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Otras formas de calcular el área de un triángulo Tenemos hasta ahora probadas dos base ⋅ altura 1.- S = 2 2.- La fórmula de Herón S = p ( p − a )( p − b )( p − c ) Pero también podemos probar ahora que 3.- S =

1 ⋅ b ⋅ a ⋅ sin C 2

La cual coincide, pero obtenida por otro camino, con la que veremos cuando estudiemos álgebra vectorial, que nos dice que un triángulo de vértices ABC tiene como área 1   1   1   S = ⋅ AC × BC = ⋅ AC × BC = ⋅ AC ⋅ BC ⋅ sin C 2 2 2 4.- S =

a ⋅b ⋅c , siendo R el radio de la circunferencia circunscrita 4R

5.- En un triángulo de vértices dicho triángulo viene dada por x1 1 S = x2 2 x3

de coordenadas A ( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) y C ( x3 , y3 ) el área de

y1 1 y2 1 y3 1

Demostración 3.- Por el teorema de la altura en triángulos rectángulos

4.- …. (Ver SM Matematicas I)

| CASOS PRÁCTICOS DE RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS 53 CUALESQUIERA


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PROBLEMAS PROPUESTOS 1.- Resolver un triángulo en el que a = 1, b = 2 y A = 60º

Solución Aplicamos el teorema del seno, resultando que a b c 1 2 c = = ⇔ = = ⇔ ... sin A sin B sin C sin 60º sin B sin C ... ⇔ sin B = 2 ⋅

3 = 3 = 1.7320 2

Pero es que los senos y los cosenos se mueven en el intervalo de la recta real [1, 1], luego nunca podrá valer 1.7320, luego la solución a este problema es imposible. En el gráfico adjunto marcamos el ángulo A = 60 y dibujado en rojo la dirección obligatoria que tiene que tomar el lado c. Se observa que el lado a de longitud 1, nunca puede llegar a tocar este lado.

2.- Resolver un triángulo en el que a = 1, b = 2 y B = 30º

Solucion En este caso probamos a resolverlo por el teorema del seno y tendremos: a b c 2 1 c = = ⇔ = = ⇔ ... sin A sin B sin C sin A sin 30 sin C 1 ... ⇔ sin A = 2 ⋅ = 1 ⇒ A = 90º 2

Por lo que estamos hablando de un triángulo rectángulo en A.

| PROBLEMAS PROPUESTOS 54


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3.- Medición de la longitud de un lago Supongamos que queremos medir el ancho de un lago, para lo cual, desde un punto fijo A medimos la distancia desde dicho punto A hasta los extremos del lago B y C, resultado ser AB = 75 m y AC = 125 m.

Sabiendo que el ángulo en el punto A BAC = 25º, calcular el ancho del lago

Solución Por el teorema del coseno c 2 = a 2 + b2 − 2ab ⋅ cos C ⇔ c 2 = 752 + 1252 − 2 ⋅ 75 ⋅152 ⋅ cos 25º = 5625 + 15625 − 16993 = 4257 ⇔ ... ... ⇔ c = 4257 = 65.24

4.- En el dibujo siguiente se quiera calcular la distancia desde el observador en el punto A hasta la puerta del castillo en el punto C

Solución El ángulo C lo obtenemos directamente C = 180 – A – B = 180 – 85º - 70º = 25º Y aplicando ahora el teorema del seno, tenemos b c b 50 50 ⋅ sin 70 50 ⋅ 0.9397 = ⇔ = ⇔b= = = 111.17 metros sin B sin C sin 70 sin 25 sin 25 0.4226

| PROBLEMAS PROPUESTOS 55


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5.- Para localizar una emisora clandestina E, dos unidades receptoras R1 y R2, distantes entre si 8 kilómetros, orientan sus antenas en la dirección de recepción óptima. Si R1 = 32º, R2=48º. ¿A qué distancia de R1, y R2 se encuentra la emisora?

Solución El ángulo en E es igual a E = 180 – 32 – 48 = 100º y aplicando el teorema del seno queda

8 b c 8 b c = = ⇔ = = ⇔ sin E sin R1 sin R2 sin100 sin 32 sin 48

8 ⋅ sin 32 8 ⋅ 0.5299 = = 2.56 sin100 0.9848 8 ⋅ sin 48 8 ⋅ 0.7431 c= = = 3.84 sin100 0.9848

b=

6.- Calcular la altura de la montaña siendo A=30º, B=35.2º y la distancia de A a B 200 metros.

Solución Problema clásico donde hay que calcular una altura sin poder acercarse a la perpendicular de caida, en este caso porque atraviesa el interior de la montaña Primero calculamos todos los ángulos posibles | PROBLEMAS PROPUESTOS 56


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Ahora calculamos la distancia BD mediante el teorema del seno 200 BC 200 ⋅ sin 30 200 ⋅ 0.5 = ⇔ BC = = = 1103.36 sin 5.2 sin 30 sin 5.2 0.0906

Como el triángulo BCD es rectángulo, entonces directamente tan 35.2 =

h ⇔ h = 1103.36 ⋅ tan 35.2 = 1103.36 ⋅ 0.7054 = 778.33 1103.36

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1º BOLETÍN DE PROBLEMAS DE TRIGONOMETRIA. NIVEL BACH 1.- Sabiendo que la tangente de un ángulo a vale 0’25, calcular su secante. 2.- Simplifica la siguiente expresión trigonométrica: a) (senα + cosα ) 2 + (senα − cosα ) 2 cos α 1 + sen α b) − 1 − sen α cos α 2 cot g α c) 1 + cot g 2α d) 1 + tg 2α − sec 2α 3.- Resuelve siguientes ecuaciones trigonométricas a) sin x = cos x b) sec x = 2 ⋅ c tg x c) 3cot x = 4 − tan x d) cos 2 x + 6 cos 2 x = 1 e) sin 2 x − sin x = 0 4.- Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones trigonométricas a)

sen x + sen y = 1  sen x − sen y = 1 cos x − sen y = 0

  sen x + sen y = 3 / 4 sen x ⋅ cos y = 3 / 4 c)  cos x ⋅ sen y = 1 / 4  5.- Calcular la altura de la montaña siendo A=30º, B=35.2º y la distancia de A a B 200 metros. b)

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6.- Para localizar una emisora clandestina E, dos unidades receptoras R1 y R2, distantes entre si 8 kilómetros, orientan sus antenas en la dirección de recepción óptima. Si R1 = 32º, R2=48º. ¿A qué distancia de R1, y R2 se encuentra la emisora?

7.- Desde un barco se miden las visuales a la base y extremo superior de un faro de 30 metros de altura, situado al borde de un acantilado. Calcular la distancia entre el barco y el punto A de la costa, así como la altura del acantilado.

8 .- Para conocer la altura de una montaña B, desde el plano horizontal que pasa por A, un observador mide el ángulo α =69º; gracias a un niveld e burbuja que le indica el horizonte. Se desplaza después hasta el punto C, y obtiene los datos que indica la figura (AC = 600 metros). Calcula h.

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9.- Se desea conocer la distancia entre dos cumbres de dos montañas con objeto de construir un teleférico. Desde el valle se obtienen por medición directa los datos que aparecen en la figura. Calcula, pues, la distancia entre cumbres.

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2º BOLETÍN DE PROBLEMAS DE TRIGONOMETRIA. NIVEL BACH 1.- Sabiendo que la cotangente de un ángulo a vale 3, calcular su cosecante.

2.- Simplifica la siguiente expresión trigonométrica: a) (tg α + c tg α ) 2 − sec 2 α + csc 2 α b)

cscα − sen α c tg α − cot gα cscα

c)

cos( x − y ) − cos( x + y ) sen( x − y ) + sen( x + y )

d) cos 4 x − sen 4 x 3.- Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas a) sen x = tg x b) sen 2 x − 1 = 2 cos 2 x c) tg 2 x = c tg x d) sen 2 x ⋅ cos x = 6 sen 3 x 2 e) cos x + sen 2x = 1 4.- Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones trigonométricas

sen x + sen y = 1  x + y = 90º  3 + 1  2   3 − 1 sen x − sen y = 2  sen x + sen y =

sen x + sen y = 1  cos x + cos y = 1

5.- Calcular la altura de la torre de la figura

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6.- Para calcular una altura inaccesible, por ejemplo, una montaña, calculamos los ángulos A y B de la figura, así como la distancia de A a B, resultando: A = 42º, B=59º y la distancia AB es de 100 metros. Calcular h.

7.- Dos personas A y B están observando un globo cautivo que está estacionado en el plano vertical que pasa por los observadores. Si la distancia entre A y B es de 4000 metros y los ángulos complementarios a A y B son, de 44º y 50º respectivamente, Calcula la altura a la que está el globo y su distancia a cada uno de los observadores.

8.- Se desea calcular la distancia entre los puntos inaccesibles A y B de la figura, supuesto que nos encontramos en el lado accesible donde están los puntos C y D, los cuales distan 500 metros entre sí. Si los ángulos conocidos son C=60º; D=75º; δ=40º y φ=35º, calcular la distancia entre A y B.

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Trigonometría plana