Aritmética Modular

Aritmética modular Miguel Angel Peña Mat: 20191-0330 Matemáticas Prof. Cesar Batista 8:00 a 10:30 08/02/2019 Santo Domingo Republica Dominicana

Aritmética Modular Aplicaciones

Miguel Angel Peña 20191-0330

Aritmética modular En matemática, la aritmética modular es un sistema aritmético para clases de equivalencia de números enteros llamadas clases de congruencia. La aritmética modular fue introducida en 1801 por Carl Friedrich Gauß en su libro Disquisitiones Arithmeticae.

Algunas veces se le llama, sugerentemente, aritmética del reloj, ya que los números «dan la vuelta» tras alcanzar cierto valor llamado módulo.

Esta relación se puede expresar cómodamente utilizando la notación de Gauss ya que ambos, 63 y 83 dejan el mismo resto (3) al dividir entre 10, o, equivalentemente, 63 − 83 es un múltiplo de 10. Se lee:3 «63 es congruente con 83, módulo 10», «en módulo 10, 63 y 83 son congruentes», o «63 y 83 son congruentes uno con otro, módulo 10».

«Módulo» a veces se abrevia con la palabra «mod» al hablar, de la misma manera que como está escrito y proviene de la palabra modulus del latín, la lengua de los escritos originales de Gauss. Así, el número n, que en este ejemplo es 10, sería el modulus.

Otro ejemplo; cuando el módulo es 12, entonces cualesquiera dos números que divididos entre doce den el mismo resto son equivalentes (o "congruentes") uno con otro. Los números ..., −34, −22, −10, 14, 26,... son todos "congruentes módulo 12" unos con otros, ya que cada uno deja el mismo resto (2) cuando los dividimos entre 12. La colección de todos esos números es una clase de congruencia.

Los residuos comienzan en 0 y se incrementan en 1 cada vez, hasta que el número alcanza uno menos que el número entre el que estamos dividiendo. Después de eso, la secuencia se repite.

Al darnos cuenta de esto, podemos visualizar el operador módulo al usar círculos.

Escribimos 0 en la parte superior de un círculo y continuamos en sentido de las manecillas del reloj escribiendo enteros 1, 2, ... hasta uno menos que el módulo.

Por ejemplo, un reloj con el 12 sustituido por un 0 sería el círculo para un módulo de 12.

Para encontrar el resultado de podemos seguir estos pasos: Construye este reloj para el tamaño B .

Empieza en 0 y muévete alrededor del reloj A pasos Dondequiera que caigamos es nuestra solución.

(Si el número es positivo, damos un paso en sentido de las manecillas del reloj, si es negativo damos un paso en sentido contrario a las manecillas del reloj).

Con un módulo de 2 hacemos un reloj con los números 0, 1.

Empezamos en 0 y nos movemos 7 números en una secuencia en sentido de las manecillas del reloj de 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1. Con un módulo de 3 hacemos un reloj con los números 0, 1, 2.

Empezamos en 0 y nos movemos 5 números en una secuencia en sentido contrario a las manecillas del reloj (-5 es negativo) de 2, 1, 0, 2, 1. Muchos lenguajes de programación, y calculadoras, tienen un operador mod, típicamente representado con el símbolo %. Si calculas el resultado de un número negativo, algunos lenguajes te darán un resultado negativo.

Resolución de congruencias Si a y b son enteros, la congruencia: ax ≡ b (mod n) tiene solución x si y sólo si el máximo común divisor (a, n) divide a b. Los detalles están recogidos en el teorema de congruencia lineal. Sistemas de congruencias más complicados con módulos diferentes se pueden resolver usando el teorema chino del resto o el método de sustitución sucesiva.

En el anillo de enteros, si consideramos la ecuación ax ≡ 1 (mod n), vemos que a tiene un inverso multiplicativo si y sólo si a y n son coprimos. Por tanto, Z/nZ es un cuerpo si y sólo si n es un primo.8 Se puede probar que cada cuerpo finito es una extensión de Z/pZ para algún primo p.

Un hecho importante sobre aritmética modular, cuando los módulos son números primos es el pequeño teorema de Fermat: si p es un número primo, entonces:9 Si a es cualquier entero: Si a es un entero no divisible entre p:

Esto fue generalizado por Euler: para todo entero positivo n y todo entero a relativamente primo a n, :aφ(n) ≡ 1 (mod n), donde φ(n) denota función phi de Euler que cuenta el número de enteros entre 1 y n que sean coprimos con respecto a n.10 El teorema de Euler es una consecuencia del teorema de Lagrange, aplicado al caso del grupo de las unidades del anillo Z/nZ. La aritmética modular, estudiada sistemáticamente en primer lugar por Carl Friedrich Gauss al final del Siglo XVIII, se aplica en teoría de números, álgebra abstracta, criptografía, y en artes visuales y musicales.

Las operaciones aritméticas que hoy en día hacen la mayoría de las computadoras son aritmético modulares, donde el módulo es 2b (b es el número de bits de los valores sobre los que operamos). Esto se ve claro en la compilación de lenguajes de programación como el C; donde por ejemplo todas las operaciones aritméticas sobre "int", enteros, se toman módulo 232 en la mayoría de las computadoras.

En el arte En música, debido a la equivalencia de octavas y equivalencia enarmónica (esto es, los pasos en razones de 1/2 o 2/1 son equivalentes, y Do# es lo mismo que Reb), la aritmética modular se usa cuando consideramos la escala de doce tonos igualmente temperada, especialmente en el dodecafonismo. En artes visuales esta aritmética puede usarse para crear patrones artísticos basados en las tablas de multiplicación módulo n (ver enlace abajo).

En Matemáticas, dentro de la teoría de números se denomina residuo cuadrático módulo m a cualquier entero r coprimo con {m} m para el que tenga solución la congruencia: o lo que es lo mismo cuando r es un cuadrado no nulo módulo m, y que por lo tanto tiene una raíz cuadrada en la aritmética de módulo m.12 A los enteros que no son congruentes con cuadrados perfectos módulo {m} m se les denomina no-residuos cuadráticos. En adelante nos referimos a menudo a ellos como residuos y no-residuos.

En el estudio de los residuos cuadráticos es conveniente limitarse al caso en el que el módulo es un primo p, ya que entonces tenemos un comportamiento mucho más sencillo, y muchas propiedades de los residuos para módulos generales pueden derivarse de este caso

usando el teorema chino del resto, y otros resultados de la resolución de congruencias. Para estudiar este caso es muy conveniente el uso del símbolo de Legendre, y de su extensión el símbolo de Jacobi.

Con las congruencias podemos establecer un conjunto de operaciones aritméticas, como: Siendo a, b, c, d ∈ Z y m ∈ N, tales que a ≡ b (mod (m)) y c ≡ d (mod (m)). Entonces, a + c ≡ b + d (mod (m)) a · c ≡ b · c (mod (m)) (Recordemos que el signo ≡ significa “congruente con” y no es lo mismo que el signo = que significa “igual a”) A partir de esto, podemos definir las propiedades aritméticas para las sumas de congruencias: Propiedad asociativa: a + (b + c) (mod (m)) = (a + b) + c (mod (m)) Elemento neutro: Existe un elemento 0 ∈ Zm, tal que a + 0 (mod (m)) = a (mod (m)) Elemento opuesto: Existe un elemento b ∈ Zm, tal que a + b = 0 (recordemos que 0 es el elemento neutro de la suma) Propiedad conmutativa: a + b (mod (m)) = b + a (mod (m)) También podemos definir las propiedades aritméticas para el producto de congruencias: Propiedad cancelativa: a · c ≡ b · c (mod (m)) y MCD (m, c) = 1, entonces a ≡ b (mod (m)) Propiedad asociativa: a · (b · c) (mod (m)) = (a · b) · c (mod (m)) Elemento neutro: Existe un elemento 1 ∈ Zm, tal que a · 1 (mod (m)) = a (mod (m)) Elemento inverso: Existe un elemento a-1 ∈ Zm para todo a ∈ Zm con MCD (a, m) = 1, tal que a · a-1 = 1 (recordemos que 1 es el elemento neutro del producto) Además de todas estas propiedades también se cumple la propiedad distributiva: a · (b + c) (mod (m)) = (a · b) + (a · c) (mod (m))

Para acabar, os voy a dar unos ejemplos de usos de las congruencias: En el DNI: La letra de tu NIF se realiza del siguiente modo: Número DNI (mod 23) y el resultado se pasa a una tabla que relaciona números con letras.

En la generación de números seudoaleatorios: Los números aleatorios que genera cualquier ordenador se calculan usando una sucesión basada en congruencias: Xn+1 = (a · Xn + c) (mod (m)) En criptografía: De este tema os hablaré dentro de poco, por ahora saber que las congruencias son la base de toda la criptografía moderna: RSA, El Gamal, …

Se utilizan para asignar lugares de memoria a datos de forma que puedan ser recuperados rápidamente usando una clave. Una de las más comunes es: H(k) =k mód m Donde m es el número de posiciones de memoria existentes. El problema se presenta cuando el lugar está ya ocupado (colisión) y se suele resolver asignando la primera posición libre.

FUNCIONES DE DISPERSIÓN Hashing Functions También se utilizan para garantizar la integridad de un texto en una transmisión: Se divide el texto en bloques a los que se aplican diversas operaciones mód m. El resultado se envía junto al texto. El receptor repite los cálculos y la coincidencia en el resultado garantiza la integridad del envío. La seguridad depende de m y de los cálculos efectuados.

Entrada: Dos primos grandes p,q congruentes con 3 módulo 4. Un número e primo con n=p·q. Una semilla inicial x0 =e2 mód n. La longitud de la salida k. Algoritmo: Para j = 1 hasta k: a1) xj=(xj-1)2 mód n a2) zj=el bit menos significativo de xj Salida: La sucesión z1, z2, …, zk.

Dados m 1, m 2, .., m n números primos entre sí dos a dos. Todo entero a < m = m 1 m 2 .. m n puede ser representado de forma única por sus restos módulo mi y recuperado mediante el teorema chino del resto.

• Si n es suficientemente grande, el tiempo necesario para factorizarlo es excesivo.

• Sin p y q es imposible encontrar d , necesario para descifrar el mensaje • Cuando la mejora de los equipos permita factorizar n en un tiempo razonable, bastará aumentar n para recuperar la seguridad.

Para descifrar se usa la función siguiente donde d es un inverso de e módulo (p -1)( q -1) : C d = ( M e ) d = M e d = M 1 + k (p -1)( q -1) C d = M mod p C d = M mod q Y por el teorema Chino M, es la única solución mod n C d = M mod p qy.

Para descifrar se usa la función siguiente donde d es un inverso de e módulo (p -1)( q -1) : C d = ( M e ) d = M e d = M 1 + k (p -1)( q -1) Suponiendo que M no es múltiplo de p ni de q, lo que sucede en la mayoría de los casos : M (p-1) =1 mod p M ( q-1) =1 mod q M 1 + k (p -1)( q -1) = M ( M (p -1) ) k ( q -1) = M mod p M 1 + k (p -1)( q -1) = M ( M (q -1) ) k (p -1) = M mod q.

Se define cómo el residuo de una división no exacta donde Donde 'r es un número natural y se vuelve el módulo del número,mientras que es el divisor b y a el número modulado siempre y cuando sean números enteros.

El objeto de estas páginas web es presentar esta parte de la Matemática Discreta mediante la exposición de sus definiciones, teoremas y resultados más importantes, junto con sus aplicaciones más prácticas y poniendo a disposición del lector aplicaciones interactivas de ejemplo hechas en estándares de la web como Java o JavaScript.

Se tratarán materias tales como el concepto de divisibilidad y sus consecuencias, el algoritmo de Euclides, las ecuaciones diofánticas, los números primos, la relación de congruencia módulo m y la aritmética en Zm y sus aplicaciones, el teorema de Euler, el teorema menor de Fermat, etc.

En la parte práctica se verán diversas aplicaciones de la aritmética entera y modular, como los sistemas de numeración, la obtención de números pseudoaleatorios, las funciones "hash", la arimética modular como modo de facilitar operaciones con números enteros muy grandes, los dígitos de control que se emplean en nuestra vida

diaria (como el ISBN de los libros o nuestros códigos de cuentas bancarias), etc.

Dentro de la parte práctica al final se introduce uno de los empleos más interesantes de la aritmética modular, como es su uso históricamente en la criptografía clásica, y más recientemente, la importancia que ha alcanzado el estudio de la factorización de enteros muy grandes en números primos gracias a algo que ha sido vital para la expansión de los servicios en Internet y la web: la criptografía de clave pública.

Requisitos para la correcta visualización de estas páginas Tanto las páginas como la mayoría de las aplicaciones de ejemplo han sido pensadas para visualizarse con los navegadores habituales como Internet Explorer 5.5 y siguientes o Netscape 7 y siguientes, con una resolución estándar de pantalla de 1024x768.

Es necesario tener permitida en el navegador la ejecución de código JavaScript, así como permitir aplicaciones Java. Respecto a la máquina virtual Java, es necesario tener instalado en el sistema la M.V. estándar de Sun, en una versión más o menos reciente que permita la ejecución de código Java 1.2.

También se necesita tener en el sistema instaladas las fuentes Unicode completas, puesto que las páginas emplean aparte del ya común juego de caracteres occidentales estándar iso-8859-1, varios símbolos matemáticos del estándar Unicode 3.2. A continuación se mostrarán los símbolos de "pertenencia a un conjunto", "para todo", "sumatorio", y "equivalente". Si no se visualiza correctamente esta siguiente línea, se tendrán problemas para visualizar correctamente los textos: Los números enteros se definen como el conjunto de los números Z={...,-2,-1,0,1,2,3,...}. Dentro de este conjunto está el subconjunto de los números naturales, N={1,2,3,4,...}. Es decir, el subconjunto de los números enteros positivos (mayores que 0).

Pueden definirse en Z dos operaciones internas binarias + , . : Z x Z ⇒ Z, a las que llamamos suma y producto, respectivamente. Estas operaciones cumplen las siguientes propiedades: i.

Cerradas: a+b ∈ Z y a.b ∈ Z, ∀a,b ∈Z

ii.

Conmutativas: a+b = b+a , a.b = b.a , ∀ a,b ∈ Z

iii.

Asociativas: a+(b+c) = (a+b)+c , a.(b.c) = (a.b).c , ∀ a,b ∈ Z

iv.

Existencia de elementos neutros: a+0 = a , a.1 = a , ∀ a ∈ Z

v.

Existencia de elemento opuesto para la suma: ∀a ∈Z existe -a ∈ Z tal que a + (-a) = 0

vi.

Cancelativa: Si a es distinto de 0, y a.b = a.c entonces b = c

vii.

Distributiva: a.(b+c) = a.b + a.c ∀ a,b,c ∈ Z

La ordenación de los números enteros En Z se puede definir una relación de orden total, con el orden usual <. Así, para cualesquiera dos elementos distintos de Z, a<b o bien b<a. Es decir, Z es un conjunto totalmente ordenado.

Esta relación de orden total es compatible con la suma y el producto: a < b ⇒ a+c < b+c, para todo entero c. a < b ⇒ a.c < b.c, para todo entero c mayor que 0.

Dado un (A,<) conjunto ordenado y dado un subconjunto no vacío S de A, se dice que:  

c ∈ A es cota inferior de S si c < x, para todo x ∈ S m ∈ S es mínimo de S si m < x, para todo x ∈ S

Se dice por tanto que S está acotado inferiormente si existe un elemento c ∈ A que es cota inferior de S. Axioma de buena ordenación en (Z , <) Si X es un subconjunto no vacío de Z y está inferiormente, entonces X tiene mínimo (habrá pues un primer elementodel conjunto).

acotado siempre

Una consecuencia inmediata de esta propiedad es que un subconjunto de los números naturales también tendrá mínimo, evidentemente.

El principio de inducción fuerte:

A veces resulta conveniente tomar como hipótesis de inducción la suposición de que el resultado es cierto para todos los valores anteriores relevantes n < k, en lugar de suponer cierto sólo el caso n = k. Esta variante del principio de inducción se la suele llamar principio de inducción fuerte, que se formularía así: Dado un enunciado P(n) dependiente de un parámetro n ∈ Z, supongamos que se demuestra que: i. ii.

P(n0) es cierto para un cierto n0 ∈ Z Siempre que P(m) es cierto para cualquier entero n0 < m < k, entonces P(k+1) es cierto.

Entonces podemos afirmar que P(n) es cierto ∀n ∈ Z con n > n0 Un ejemplo de prueba mediante el principio de inducción matemática: el juego del NIM Este sencillo juego por turnos para dos jugadores puede presentar algunas variantes en sus reglas; nosotros vamos a ver ahora la versión más simple. Se trata de disponer sobre el tablero, en la forma que se desee, un número cualquiera de objetos iguales normalmente se usan palillos. En cada turno un jugador elimina del tablero uno, dos o tres objetos. El jugador que quite el último objeto es el que pierde.

Este juego o alguna de sus variantes ha sido muchas veces usado en la enseñanza informática como práctica de programación básica, o como ejemplo de estudio cuando alguien empieza a estudiar la disciplina de la Teoría de Juegos. Mediante el principio de inducción fuerte es posible demostrar que en la mayor parte de los casos existe una estrategia ganadora para el primer jugador en el juego del Nim. Pinchando en la imagen de abajo se abrirá una ventana nueva en donde se demostrará esta estrategia.

Divisibilidad: divisores y múltiplos. El teorema de la división.

Dados dos números enteros a y b (con a distinto de 0), se dice que a divide a b, y lo escribimos como a|b,si existe un c∈Z tal que b= ac.

También se dice que a es un factor o divisor de b, y que b es un múltiplo de a.

Algunas propiedades derivadas de la definición anterior: i. ii. iii. iv. v.

1|a a|0 a|b y a|c ⇒ a|b+c a|b y a|c ⇔ a|bx+cy para cualesquiera x, y∈ Z a|b y b|a ⇒ a = b o bien a = -b

Teorema de la división.

Sean a∈ Z y b∈ N. Entonces existen q, r∈ Z con 0< r <b tales que a=bq+r. Además, q y r son únicos.

Esta es la vieja fórmula de la división entera: dividendo a es igual al divisor b multiplicado por el cociente q, más un resto r.

Sistemas de numeración Una consecuencia importante del teorema de la división, es que nos sirve para justificar el método habitual en que representamos los números enteros (i.e. mediante un sistema de representación posicional).

Sea t > 2 un entero al que llamamos la base de cálculo. Para cualquier entero x tenemos, aplicando el teorema de la división dividiendo repetidamente el entero x por nuestra base t, x = tq0 + r0 q0 = tq1 + r1 .... qn-2 = tqn-1 + rn-1 qn-1 = tqn + rn cada resto ri es uno de los enteros 0,1,...,t-1, y se termina la serie cuando qn=0. Si eliminamos los cocientes qi , se obtiene que x = rntn + rn-1tn-1 +...+ r1t + r0

Puede así verse como podemos representar o expresar x en la base t, mediante la sucesión de restos obtenida, y lo escribimos como x = (rnrn-1...r1r0)t Esta representación del número entero x es además única para la base t Cuando la base es t=10, decimos que estamos usando notación decimal. A la notación en base 2 se le llama binaria, a la notación en base 16 se le llama hexadecimal y a la notación en base 8 se le llama octal. La base 10 es la notación convencional para calcular habitualmente, y es por eso que en el caso decimal omitiremos el subíndice t al representar el número.

Ecuaciones diofánticas Las ecuaciones de la forma ax + by = c con a,b,c ∈ Z\{0}, y con raíces enteras, se conocen como ecuaciones diofánticas de primer grado, llamadas así por Diofanto de Alejandría, matemático griego a quien se considera el padre del álgebra.

Lema de Euclides Sean a, b, c∈Z con mcd(a,b)=1, tales que a|bc. Entonces se puede afirmar que a|c. (Es decir, si a y b son primos entre sí, y a es un divisor de bc, entonces a es divisor de c) Teorema La ecuación diofántica ax + by = c, con a, b, c∈Z\{0} tiene soluciones enteras si y sólo si d|c, siendo d el mcd(a,b). Además, la solución general de esta ecuación es de la forma: x = x1 + (tb / d) y = y1 - (ta / d) para todo valor t entero, en donde (x1, y1) es una solución particular cualquiera de la ecuación ax + by = c (que puede obtenerse, por ejemplo, a partir del algoritmo de Euclides).

Números primos Decimos que un número entero p>1 es primo si sus únicos divisores positivos son 1 y p.



Si un número entero q >1 no es primo, se le llama número compuesto. Por tanto, un entero q será compuesto si y sólo si existen a,benteros positivos (menores que q) tales que q=ab.



Si mcd(a,b)=1 se dice que a y b son primos entre sí o que son primos relativos.

Algunas propiedades importantes sobre los números primos y compuestos: i.

Si p es primo, p|x1.x2...xn ⇒ p|xi para algún i

ii.

Teorema Fundamental de la Aritmética: Todo número natural mayor que 1 o bien es primo, o bien se puede descomponer como producto de números primos. Además esta descomposición es única -salvo el orden de los factores-.

iii.

Si un número n es compuesto, se verifica que ha de tener un divisor primo menor o igual que su raíz cuadrada.

iv.

Existen infinitos números primos

El método más antiguo y conocido de obtener todos los números primos menores que un entero dado n es la criba de Eratóstenes, método inventado por el matemático griego del mismo nombre en el siglo III a.C. Consiste en disponer en una tabla todos los enteros entre 2 y n. Se empieza eliminando de la tabla todos los múltiplos de 2. En el siguiente paso se hace igual con los múltiplos de 3, luego con los múltiplos de 5 (pues el 4 y sus múltiplos quedaron elimimados en el primer paso), etc. Así hasta que no puedan eliminarse más múltiplos de la tabla. Los números que finalmente queden en la tabla serán todos números primos, entre 2 y n.

Por la observación hecha anteriormente sobre los números compuestos, ocurre que sólamente es necesario cribar en la tabla hasta que lleguemos al paso correspondiente a un número mayor o igual que √n. El resto de números que queden por tachar a partir de este momento ya serán todos números primos.

La relación de congruencia Definición de congruencia

Dado m ∈ Z , m> 1, se dice que a, b ∈ Z son congruentes módulo m si y sólo si m|(a-b). Se denota esta relación como a ≡ b (mod m). m es el módulo de la congruencia.

Es importante darse cuenta de que si m divide a a-b, esto supone que ambos a y b tienen el mismo resto al ser divididos por el módulo m.

Ejemplos: 23≡2 mod 7 (porque 23=3.7 + 2), y -6≡1 mod 7 (porque 6= -7.1 +1) La relación de congruencia como equivalencia. El conjunto de residuos.

La relación de congruencia módulo m es una relación de equivalencia para todo m ∈ Z. Es decir, cumple las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva. Como en toda relación de equivalencia, podemos definir el conjunto cociente de las clases de equivalencia originadas por la relación de congruencia. En este caso la relación clasifica a cualquier entero a según el resto obtenido al dividirlo por el módulo m.

Llamaremos Zm al conjunto cociente de Z respecto de la relación de congruencia módulo m. A la clase de equivalencia de un elemento a ∈ Z se la denota por [a]m o simplemente [a].

Para todo a∈Z se tiene que [a] = [r] en Zm, donde r es el resto de dividir a entre m.Por lo tanto, el conjunto Zm es finito y tiene melementos: Zm = { [0]m, [1]m, ... , [m-1]m}, donde la clase [i]m representa al conjunto de todos los enteros que son congruentes con imod m. A este conjunto cociente se le conoce como el conjunto de restos o residuos (módulo m) Ejemplo: siguiendo con el ejemplo anterior, está claro que en Z7, el número entero 9, el 16 y el 23 pertenecen todos a la clase [2], y que el entero -6, el 1 y el 8 pertenecen a la clase [1] Compatibilidad de la relación de congruencia con la suma y el producto Sean m ∈ N y a, b, c, d ∈ Z tales que a ≡ b (mod m) y c ≡ d (mod m).

Entonces se cumple que: i.

a + c ≡ b + d (mod m)

ii.

a . c ≡ b . d (mod m)

Consecuentemente, el resto de la suma es congruente con la suma de restos, y el resto del producto es congruente con el producto de restos. Además podremos sumar y multiplicar clases de equivalencia (residuos) porque es indiferente el representante que se elija de cada clase a la hora de operar: el resultante de la operación siempre será un representante de la misma clase resultado.

Vamos ahora a definir la aritmética módulo m o aritmética en Zm: Aritmética en Zm Definición En Zm podemos definir dos operaciones binarias internas: + , . : Zm x Zm⇒ Zm que llamamos suma y producto, y están definidas de la siguiente manera, para cualesquiera a, b ∈ Z: I.

[a] + [b] = [a+b]

II.

[a] . [b] = [a.b]

Propiedades i.

Son operaciones cerradas, conmutativas y asociativas

ii.

Cumplen la propiedad distributiva

iii.

Tienen elemento neutro. [0] es el elemento neutro para ( Zm , + ) y [1] es el elemento neutro para ( Zm , . )

iv.

En el caso de ( Zm , + ) existe el elemento opuesto: -[a] = [-a]

v.

Propiedad cancelativa para ( Zm , . ) : si [a].[c] = [b].[c] en Zm, entonces [a] = [b] en Z(m/mcd (m,c)) o

Un caso especial es cuando mcd (m,c)=1 , ya que entonces se cumple la propiedad cancelativa para el producto en Zm: si [a][c] = [b][c] en Zm ⇒ [a] = [b] en Zm

o

Si m es primo, (Zm, .) tendrá la propiedad cancelativa del producto para todo c

Elementos invertibles o unidades de Zm Se dice que [a] es invertible en Zm si existe un [b] en Zm tal que [a][b]=[1]. Ese elemento [b] será el inverso de [a] en Zm, y se denota como [a]-1.

Proposición: o

[a] es invertible en Zm ,si y sólo si

o

existe [b] ∈ Zm tal que [a][b] = [1] en Zm ,si y sólo si

o

existen b, k ∈ Z tales que ab + km = 1 ,si y sólo si

o

mcd(a,m)= 1

Si [a] es invertible puede por tanto calcularse su inverso [a]1 mediante el algoritmo de Euclides. Además se puede asegurar que si existe el inverso de un elemento en módulo m, es único.