Ejercicio 14: .
En cierto cultivo de bacterias la velocidad de aumento de población es proporcional al número presente en cualquier instante. Si se sabe que el número original se ha duplicado en 6 hrs. ¿Qué número se debe esperar al cabo de 12 hrs.? Solución: dp p Sea el número de bacterias presentes en un instante dado y dt la velocidad de aumento de p . Por lo tanto tenemos: dp = Kp dt
Resolviendo la ecuación por separación de variables vemos que: dp = Kdt p dp ∫ p = K ∫ dt por tanto tenemos que:
ln p = Kt + C
y aplicando propiedades de logaritmos expresamos como: P (t ) = e kt + C = e kt ⋅ eC = Ce kt por tanto: P (t ) = Ce kt y considerando que en t = 0 , habrá una cantidad inicial P(0) = P0 vemos que: P0 = Ce0 C = P0 entonces la ecuación toma la forma: P (t ) = P0 e kt Ahora bien, considerando que en t = 6, P(6) = 2 Po tenemos: 2 P0 = P0 e6k Por lo que despejando k:
6k = ln 2
ln(2) = 0.1155 6 con lo que la ecuación se puede expresar como: k=
P ( t ) = P0 e0.1155t De esta forma, para t = 12 hrs.: