40 Aplicaciones de ecuaciones diferenciales de Primer orden Ejercicio 1: Un tanque está lleno con 10 galones de agua salada en la cual están disueltos 5lb de sal. Si el agua salada esta conteniendo 3lb de sal por gal que entra al tanque a 2 gal por minuto y la mezcla bien agitada sale a la misma tasa. Encontrar la cantidad de sal en el tanque en cualquier tiempo. • ¿Cuánta sal está presente después de 10min? • ¿Cuánta sal está presente después de un tiempo largo? Solución: Sea A el número de libras de sal en el tanque después de t minutos. Luego dA / dt es la tasa de cambio de esta cantidad de sal en el tiempo y esta dada por: dA / dt = tasa de cantidad ganada − tasa de cantidad perdida Puesto que entran 2gal/min. Conteniendo 3lb/gal de sal tenemos que la cantidad de sal que entra por minuto es: 2gal / min. x 3 lb./gal = 6 lb./min. Lo cual es la tasa a la cual se gana sal. Puesto que siempre hay 10 gal en el tanque y debido a que hay A libras de sal en cualquier tiempo t, la concentración de sal al tiempo t es A libras por 10gal. La cantidad de sal que sale por minuto es, por tanto, Alb / 10gal x 2gal / min. = 2A lb. / 10min. = A lb./ 5min. de: (dA / dt),(6 lb./min.) y (A lb./5min) tenemos que: dA / dt = 6 − A/5. Puesto que inicialmente hay 5lb. de sal, tenemos que A = 5 en t = 0. Así, la formulación matemática completa es: dA / dt =6 − A/5 A = 5 en t = 0 Usando el método de separación de variables, tenemos: “ (dA / 30 − A) = “ (dt / 5) ó − ln (30 − A) = t / 5 + c Puesto que A = 5 en t = 0, c = − ln 25. Así, − ln (30 − A) = t/5 − ln 25 = ln[(30 − A)/25] = A = 30 − 25 e La cual es la cantidad de sal en el tanque en cualquier tiempo t. Al final de los 10min. la cantidad de sal es A = 30 − 25 e = 26.6 lb. Ejercicio 2: Dos químicos, A y B, reaccionan para formar otro químico C. Se encuentra que la tasa a la cual C se forma varia con las cantidades instantáneas de los químicos A y B presentes. La formación requiere 2lb. de A por cada libra de B. Sí 10lb. de A y 20lb. de B están presentes inicialmente, y si 6lb. de C se forman en 20min. ; Encontrar la cantidad del químico C en cualquier tiempo.
Solución: Sea x la cantidad en libras de C formadas en el tiempo t en horas. Luego dx / dt es la tasa de su formación para formar x lb. de C, necesitamos (2x / 3lb.) de A y (x / 3lb.) de B, puesto que se necesita que el químico A sea el doble de B. Por tanto, la cantidad de A presente al tiempo t cuando se forman x lb. de C es 10 − 2x/3, y la cantidad de B en este tiempo es 20 − x/3. Por tanto: dx / dt = K [10 − (2x/3)] * [20 − (x/3)]; Donde K es la constante de la proporcionalidad. Esta ecuación puede escribirse de la siguiente manera: dx / dt = k[(15 − x) (60 − x)] donde k es otra constante. Hay dos condiciones. Puesto que el químico C inicialmente no está presente, tenemos x = 0 en t = 0. También x = 6 en t = 1/3. Necesitamos dos condiciones, una para determinar k, y la otra para determinar la constante arbitraria de la solución de la ecuación diferencial. La formulación completa es: dx / dt = k[(15 − x) (60 − x)] x = 0 en t = 0 ; x = 6 en t = 1/3 solución: La separación de variables produce: dx / [(15 − x) (60 − x)] = “ k dt = kt + C1 Ahora ; dx / [(15 − x) (60 − x)] = “ 1/45 [(1/15 − x) − (1/60 − x)] dx= 1/45 ln [(60 − x) / (15 − x)] así podemos mostrar que: 60 − x / 15 − x = C e Puesto que x = 0 en t = 0, encontramos c = 4. Así ( 60 − x ) / ( 15 − x ) = 4 e Puesto que x = 6 en t = 1/3, tenemos e = 3/2. Así, [(60 − x) / (15 − x)] = 4(e )³t = 4(3/2)³t ó x = 15 [ 1 − (2/3)³t] 1 − (1/4)(2/3)³t Cuando t!”, x=15lb. Ejercicio 3: Un tubo largo de acero de conductividad térmica k = 015 unidades cgs, tiene un radio interior de 10 cm y un radio exterior de 20 cm. La superficie interna se mantiene a 20°C y la superficie exterior se mantiene a 50°C. (a) Encuentre la temperatura como una función de la distancia r del eje como de los cilindros concéntricos. (b) Encuentre la temperatura cuando r = 15 cm y © ¿Cuanto calor se pierde por minuto en la parte del tubo de 20m de largo? Solución:
Sabemos que las superficies isotérmicas son cilindros concéntricos con los cilindros dados. El área de tal superficie con radio r y longitud l es 2_rl. La distancia dn en este caso dr. Así, la ecuación; q = − KA dU/dn puede escribirse como: q = − K(2 rl) dU/dr. Puesto que K = 0.15, l = 20 m = 2000 cm tenemos que: q = − 600_r dU/dr. De esta ultima ecuación, q es por supuesto una constante. Las condiciones son U = 200°C en r = 10, U = 50°C en r = 20 solución: Separando las variables en q = − 600_r dU/dr. e integrando se obtiene: - 600U = q ln r + c Usando las condiciones U = 200°C en r = 10, U = 50°C en r = 20 tenemos − 600_ (200) = q ln 10 + c, −600(50) = q ln 20 + c de donde obtenemos q = 408.000, c = 1.317.000. Por tanto, de − 600_U = q ln r + c encontramos que U = 699 − 216 ln r. Si r = 15, encontramos por sustitución que U = 114°C. Del valor anterior de q, el cual está en calorías por segundo, es claro que la respuesta a la parte © es Q= 408.000 x 60cal/min. = 24.480.000cal/min. Ejercicio 4: Las alturas promedios de los niños varones de varias edades se muestran en la siguiente tabla. Use estos datos para predecir la altura media de varones adultos con pleno crecimiento. Edad_________ Altura (pul) Nacimiento_______ 1 año ______________ 31.3 2 años______________ 34.5 3 años ______________37.2 4 años ______________40.3 5 años ______________43.9
6 años ______________48.1 7 años ______________52.5 8 años ______________56.8 solución: Para cubrir en conjunto completo de datos dado en la tabla, sea t = 0,1,2 las edades al nacimiento, 4 años y 8 años, respectivamente. F(y) = y − y , y = Yo para t = 0. Puesto que la ecuación F(y) = _y − _y es de variables separables, tenemos dy / y − y = dt ó “ dy / y ( − y) = t + c esto es, “1/[1/y + /− y]dy = t + c = 1/ [ln y − ln (_ − y)] = t + c Usando la condición y resolviendo en y = Yo en t = 0 se obtiene que: Y = 1 + [Yo − 1] e Si tomamos el limite de la ecuación anterior tenemos que: Cuando t!”, vemos, ya que _ > 0, que: Ymax = lim Y = t!” Ymax = lim Y = Y1(Yo − 2YoY2 + Y 1 Y 2) Así tenemos que Yo = 19.4 Y1 = 40.3 Y2 = 56.8. Sustituyendo estos valores en la ecuación de Ymax se obtiene el valor de 66.9 pul. o 5 pies con 7 pul. Ejercicio 5: El sistema estacionario con decaimiento de primer orden es
utilizado para el tratamiento de desechos industriales Utilizando una reacción que destruye los desechos de acuerdo con una cinética de primer orden:
dcr(t) dt= −kc(t), siendo k = 00216/día. El volumen del reactor es 500 m3, los caudales de entrada y salida son los mismos e iguales a 50 m 3/día y la concentración de residuos en la entrada es 100 mgr/l. ¿Cuál es la concentración de salida?. Solución: Puesto que los caudales de entrada y salida son los mismos, no hay cambio de volumen. dm dt= 0 y el balance de masa queda: 0 = Qece − Qsc + dMr dt = 50000 l/dia · 100 mgr/l − 50000 l/dia · c mgr/l − kV c = = 5 · 106 mgr/dia − 5 · 104 l/dia c – 0.216/dia · 5 · 105 l c Despejando c: c = 5 · 106 mgr/dia (5 · 104 + 00216 · 5 · 105) l/dia= 31.65 mgr/l. Ejercicio 6: Estado no estacionario con decaimiento de primer orden. El
proceso industrial del ejemplo anterior para el tratamiento de desechos tiene que pararse. En el momento de rearrancarlo, es decir en t = 0, se pone la concentración de entradaigual a 0 (i. e. solo entra agua limpia). ¿Cuál es la concentración de salida en función del tiempo? ¿Cuánto tiempo costara al reactor alcanzar una concentración que sea el 10% del valor obtenido en el ejemplo anterior en el caso estacionario?. Solución: Puesto que hay un cambio en la concentración de entrada, el estado no es estacionario; es decir, hay acumulación: dc(t)V (t) = V dc(t) dt dt porque el volumen en el reactor permanece constante al ser el caudal de entrada y salida el mismo: 50 m3/día. El balance de masa queda: V dc(t) = 0 − Qsc(t) − kV c(t) dt o dc(t) = −c(t) (Qs+ k) dt V Se trata de una ecuación diferencial en variables separables con la condición inicial c(0) = 31065 mgr/l, que es la concentración en el reactor cuando se producela parada y se arranca de nuevo. Resolvemos el correspondiente problema de condiciones iniciales: ∫ -1/s ds = ∫( Qs/ V + k)ds
Integrando ln(31.65) − ln c(t) =(Q/ + k)t ln(31.65/c(t))=(Qs/V + k) t, c(t) = 31065e−(Qs/V +k)t Como (Qs/V + k) =(50 m3/día/500 m3 +0.216/día) = 0.316 día resulta que c(t) = 31065 mgr/l e−00316 dia t
es la expresión de la concentración de salida en función del tiempo. En cuanto a la segunda cuestión: ¿cuánto tardara el reactor en producir una concentración que sea el 10% de la inicial?, tenemos que ´esta debe ser 3 0165. Sustituyendo en la solución: 3.165 = (31.65e−0.316t ) −0.316t = ln 0.1 = −(2.303 ) t = 7.3dias. Ejercicio 7: Estado no estacionario en un CSTR con sustancia
conservativa y volumen constante .Considérese un CSRT que contiene 1000 l. de agua limpia, hacia el que una solución salada de salmuera empieza a fluir a una velocidad constante de 6 l/min. La solución fluye hacia el exterior del tanque a la velocidad de 6 l/min. Si la concentración de sal en la salmuera que entra en el tanque es de 1 kgr/l, determínese cuando seria de 12 kgr/l la concentración en el tanque Solución: La cantidad de sal en el CSTR no es conservativa porque esta variando Continuamente. En efecto, inicialmente no hay sal en el tanque, así que si c(t) representa la concentración (en kgr/l) de sal en el tanque en el instante t (es decir, después de t minutos desde que empieza a entrar la solución salada de salmuera), tenemos que c(0) = 0. Pero en el “instante siguiente” ya hay una pequeña cantidad de sal en el tanque. Por lo tanto hay acumulación de sal. Por otra parte, no hay generación de sal por reacción química o de otra naturaleza. El balance de masa viene dado en este caso por Además Acumulación = V dc(t) dt porque V = 1000 l. constantemente ya que el caudal de entrada y salida es el mismo. Finalmente Entrada = Qece = 6 l/min · 1 kgr/l = 6 kgr/min, y la salida es la cantidad de sal que sale por minuto: Salida = Qsc(t) = 6 l/min · c(t) = 6c(t) kgr/min.
Así pues, la ecuación diferencial que rige la evolución de la concentración de sal en el interior del tanque es: dc(t) = 6 − 6c(t) dt 1000 con la condición inicial c(0) = 0. La ecuación anterior es lineal homogénea y también en variables separables. Podemos escribir: c0 = (1 − c)3/500 o bien (1/1 – c) dc = (3/500)dt que integrando, obtenemos: −ln |1 − c| =3/500 t + K o equivalentemente 1 − c = K0e− 3t/500 . Es decir c(t) = 1 − K0e− 3t/500 , y como c(0) = 0 resulta que 0 = c(0) = 1 − K0 ) K0 = 1 con lo que la solución del problema de condiciones iniciales es: c(t) = 1 − e− 3t/500 . Como nos piden cuando será la concentración 1/2 kgr/l 1 − e− 3t/500 =1/2 e− 3t/500 =1/2
1
y por lo tanto t = 500 ln 2/3 = 115.52 min. Es decir, la concentración de sal en el interior del tanque será de de 115.52 minutos.
12 kgr/l
al cabo
Ejercicio 8: Estado no estacionario en un CSTR con sustancia
conservativa y volumen no constante. Supongamos que un CSTR de 10 m3 contiene 4 m3 de agua limpia. En un momento dado se comienza a verter azúcar al recipiente a razón de 2’5 kgr/min. En el mismo Instante se comienza a verter agua limpia a razón de 2 m 3/min. Al mismo tiempo que se empieza a verter el azúcar y el agua limpia se comienza a sacar disolución del recipiente a razón de 1 m3 por minuto. ¿Cual será la concentración de azúcar en el recipiente cuando la Disolución llegue al límite de la capacidad del recipiente?
Solución: En este caso el volumen de la disolución no permanece constante en el interior del depósito porque sale menos cantidad de disolución de la que entra. Por consiguiente llegara un momento en que el líquido en el depósito comenzara a derramarse. ¿Cuánto tiempo? La capacidad del depósito es 10 m3, inicialmente hay 4 m3 y cada minuto hay 1 m3 más en el depósito porque entra 1 m3 más del que sale. Por lo tanto en 6 minutos se Llenara el depósito. Si llamamos V (t) a la cantidad de líquido en el depósito después de t minutos vemos que V (t) = 4 + t m3 Y si c(t) es la concentración de azúcar en el depósito después de t minutos, el balance de masa nos proporciona la siguiente situación: Acumulación: dV (t)c(t) = V (t)c0(t) + V 0(t)c(t) = (4 + t)c0(t) + c(t) dt
Entrada: 2.5 kgr/min de azúcar + 2m3/min · 0 kgr/min de azúcar = 2.5 kgr/min de azúcar Salida: c(t) kgr de azúcar/m3de disolución · 1m3disoluci´on/min. Por lo tanto la ecuación diferencial que gobierna el proceso es (4 + t)c0(t) + c(t) = 205 − c(t) o, equivalentemente c0(t) =2,5 − 2c(t) 4+t Esta es una ecuación en variables separables cuya solución, con la condición inicial c(0) = 0, es c(t) = 1.25 −20 (4 + t)2 Vemos finalmente que c(6) = 1.05 kgr/m3. Ejercicio 9: Se utiliza un termo eléctrico de agua para calentar agua de un
suministro que circula a 10o C. El nivel de calentamiento del termo se coloca al máximo mientras varias personas se duchan sucesivamente. Si, al máximo nivel, el calentador utiliza 5 Kw de electricidad por segundo, y el agua de la ducha fluye continuamente a 8 l/min ¿cuál es la temperatura del agua que sale del calentador? Se supone que la temperatura del agua en el Calentador es siempre la misma (estado estacionario) y que el calentador es 100% eficiente Solucion: energía que entra en el calentador proviene de dos fuentes: el calor del agua de la cañera que entra en el calentador y la corriente eléctrica. El flujo de energía que sale del calentador es el causado por el agua que ha sido calentada en el mismo.
Para calcular el flujo de calor aportado por el agua de la cañera fijamos una temperatura de referencia en el calentador, Tref, de modo que el calor que debe aportar el agua de la cañera para que la temperatura del agua en el termo varíe de la temperatura de entrada, Te = 10oC, A:
Tref es Qe = −mc(Tref − Te).
El signo − se debe a que estamos hablando del calor que Aporta el agua de la cañera al termo, la opuesta de la que deberíamos aportar al agua de la cañera para ˙Ee = m˙ c(Te − Tref) + 5Kw/s Donde m˙ es el flujo de masa de agua que entra medido en unidades masa/tiempo y c el calor específico del agua, 4190 J/(kgr· o C). De la misma forma el flujo de salida será el flujo de calor necesario (que aporta el calentador) para que el agua que sale pase de Tref a Ts. Ahora bien, la temperatura de salida es la del calentador: T. Por lo tanto ˙Es = m˙ c(T − Tref) Finalmente estamos suponiendo que el estado del agua en el calentador es estacionario: d E= 0 dt La ecuación del balance de energía queda: 0 = m˙ c(Te − Tref) + 5Kw/s − m˙ c(T − Tref) = m˙ c(Te − T) + 5Kw/h Se debe observar que en todo este proceso estamos haciendo una suposición muy importante: la capacidad calorífica del agua permanece constante. En general la capacidad Calorífica de una sustancia puede variar con la presión y la temperatura a la que se encuentra Dicha sustancia; si bien, para pequeños cambios de presión y temperatura se puede Considerar constante. De la ecuación anterior obtenemos que: T = Te + 5 cm Ahora lo que hay que hacer es homogeneizar las unidades. Hemos descrito el valor de c en J/(kgr o C); así que debemos escribir todo en este sistema de unidades: m˙ = pQ = 1 kgr/l · 8 l/min = 8 kgr/min (½ densidad del agua). cm˙ = 4190 J/kgr· o C· 8 kgr/min = 33520J/min o C
5 Kw/h = 5 · 1000 J/seg · 60 seg/ min = 300000 J/min Entonces T = 10oC +300000 J/min = 18.9oC 33520(J/min o C) Es la temperatura a la que sale el agua de la ducha. Ejercicio 10: Han de enfriarse 4536 l/h de acido sulfúrico, H2SO4 (calor
específico 0.36 kcal/(kgr·oC) y densidad relativa 1’85 kgr/l) en un CSTR . El acido a 174oC se introduce en el tanque donde es bien agitado en contacto con un serpentín refrigerante de área 8 m2 y que se mantiene constantemente a la misma temperatura de 20 oC. La capacidad del tanque es de 4536 l. de ´acido y el coeficiente de transmisión de calor entre el serpentín y el ´acido es de 635 Kcal/(h · m2·oC) y puede suponerse constante. Suponiendo que el caudal de salida del ´acido sulfúrico del tanque es el mismo que el de entrada ¿a que temperatura sale el ´acido sulfúrico del tanque en cada instante de tiempo? Solución: De forma evidente el recipiente de control de volumen es el tanque de enfriamiento del acido sulfúrico y vamos a suponer que la capacidad calorífica del acido sulfúrico permanece constante a lo largo de todo el proceso. Presentamos de nuevo un balance de energía: dE= ˙Ee − ˙Es. Dt El flujo de energía entrante es debido al flujo de calor aportado por el ´acido sulfúrico: ˙Ee = m˙ cTe. En este caso debemos calcular m˙ porque este dato viene dado en forma de caudal en unidades l/h. Pero m˙ = q · p siendo ½ la densidad relativa del ´acido sulfúrico y q el caudal de entrada. Así ˙Ee = qpcTe. Analizamos ahora el flujo de energía saliente. ´Esta es la energía aportada por el ´acido sulfúrico en el interior del tanque, la cual, a su vez, es debida al calor del acido sulfúrico y al calor (en Realidad enfriamiento) aportado por el serpentín. Según la ley de Newton de enfriamiento, la ´ultima es ®A(T − Ta) siendo ® el coeficiente de Transmisión de calor y A el área del serpentín. Y el flujo de calor aportado por el acido
Sulfúrico en el tanque: m˙= cT siendo T la temperatura del ´acido sulfúrico en el interior del tanque. Además, como mas arriba, m˙ = q · ½. Entonces ˙Es = qpcT + αA(T − Ta) Finalmente, el acido en el interior del tanque no esta en estado estacionario porque esta continuamente Cambiando de temperatura por la acción del serpentín que lo enfría. Por lo tanto, Hay acumulación. ´Esta es la variación del calor del ´acido sulfúrico. Recordemos que dQ = mc dT, de modo que dQ= mc= dT dt dt . Ahora bien m = V · p, así que dE= dQ = V pc dT dt dt dt El balance de energía proporciona la siguiente ecuación diferencial: V pc dT= q½cTe − q½cT − ®A(T − Ta) = q½c(Te − T) − ®A(T − Ta) dt dT= −( q / V+α A/ V pc)T+(q/ V Te + αA/ Vpc Ta ) dt que es una ecuación lineal homogénea y también una ecuación en variables separables. Veremos esto mejor dando los valores correspondientes a cada uno de los símbolos: q = 4536 l/h V = 4536 l ® = 635 Kcal/(h · m2·oC) A = 8 m2 ½ = 1085 kgr/l c = 0036 Kcal/ (kgr·oC) Te = 174oC Ta = 20oC q= 1 h−1 V aA pc = 5080 Kcal h oC
3020.976KcaloC = 1.68 h−1 Asi dT= −2.68T + (174 + 1.68 · 20) = −2.68T + 207.6 dt Teniendo en cuenta que la temperatura en el tanque antes de poner en marcha el serpentín es la de entrada, tenemos que T(0) = 174. Resolviendo este problema de condiciones iniciales: 1−2.68s + 207.6 ds = ds Integrando
∫Ln(174)−2.68T + 207.6= t evaluado de 1 a 2.68 Y despejando de aquí T: T(t) = 207.6 − 174e−2.68t La temperatura del ´acido sulfúrico después de, por ejemplo, una hora será T(1) = 68.68oC. Ejercicio 11: Calcular las trayectorias ortogonales de la familia de curva y s = x
− 1 + ke− x ,k ∈ℜ
SOLUCIÓN: Calculamos, en primer lugar la ecuación diferencial de la familia: Y=x-1+ ce Y=1- ce-x La ecuación diferencial de las trayectorias es, entonces: Y' =1/y- x Con el cambio de variable u = y − x queda u' +1 = 1/ u' Ecuación de variables separadas que escribimos como (1/-u -1)du= dx U=1 Sus soluciones son 1− u = ke−u− x ,k ∈ R. Deshaciendo el cambio anterior obtenemos la ecuación de las trayectorias: x = y − 1 + ke− y ,k ∈ℜ. Ejercicio 12: 2
2
x −y =a
2
Calcula las trayectorias ortogonales para la familia de curvas
.
Solución: Primer Paso Se deriva la ecuación de la familia de curvas dada para determinar el valor de la pendiente m1 y se despeja y ' , es decir:
(
)
d 2 d 2 x − y2 = a dx dx
2 x − 2 yy ' = 0 y ' = m1 =
−2 x x = −2 y y
Se obtiene la pendiente de las trayectorias ortogonales m2 :
m2 = −
1 m1
, por tanto: y ' = m2 = −
y x
Expresión que podemos anotar como: dy y =− dx x
Se resuelve la ecuación diferencial resultante por el método de separación de variables: dy dx =− y x
a continuación integrando los dos miembros de la ecuación podemos anotar:
∫
dy dx = −∫ y x
ln y = − ln x + C
es decir
ln y + ln x = C
y ahora aplicando propiedades de logaritmos anotamos: ln xy = C eln xy = eC xy = C
Finalmente la ecuación de la familia de trayectorias ortogonales a la familia dada es: y=
C x
Ejercicio 13: El radio se descompone a una velocidad proporcional a la cantidad presente en cualquier instante. Si la mitad de la cantidad original desaparece en 1600 años, calcula el porcentaje de pérdida en 100 años. Solución:
Sea N la cantidad de sustancia presente en cualquier instante y sea N 0 la cantidad de sustancia original, por tanto de acuerdo al enunciado del problema tenemos: dN = KN dt Resolviendo la ecuación por separación de variables vemos que:
dN = Kdt N dN ∫ N = K ∫ dt integrando tenemos:
ln N = Kt + C
y aplicando propiedades de logaritmos podemos anotar: N = e kt + C = e kt ⋅ eC es decir: N = Ce kt Como N esta en función del tiempo, podemos expresar la ecuación como: N (t ) = Cekt y ahora considerando que para t = 0; N (0) = No , vemos que: No = Ce k (0) es decir:
C = No
Así la ecuación de N (t ) toma la forma: N (t ) = Noe kt A continuación considerando que para t = 1600 años, No N (t ) = 2 Anotamos: No = Noe1600 k 2 Por lo que despejando K tenemos: 1 ln( ) 2 = −0.0004 K= 1600 entonces: N (t ) = Noe −0.0004t Finalmente si t = 100 N (100) = Noe( −0.0004)(100) N (100) = 0.9608 No por lo que el porcentaje de pérdida en 100 años es:
( 1 − 0.9608) ×100 =
3.92%
Ejercicio 14: .
En cierto cultivo de bacterias la velocidad de aumento de población es proporcional al número presente en cualquier instante. Si se sabe que el número original se ha duplicado en 6 hrs. ¿Qué número se debe esperar al cabo de 12 hrs.? Solución: dp p Sea el número de bacterias presentes en un instante dado y dt la velocidad de aumento de p . Por lo tanto tenemos: dp = Kp dt
Resolviendo la ecuación por separación de variables vemos que: dp = Kdt p dp ∫ p = K ∫ dt por tanto tenemos que:
ln p = Kt + C
y aplicando propiedades de logaritmos expresamos como: P (t ) = e kt + C = e kt ⋅ eC = Ce kt por tanto: P (t ) = Ce kt y considerando que en t = 0 , habrá una cantidad inicial P(0) = P0 vemos que: P0 = Ce0 C = P0 entonces la ecuación toma la forma: P (t ) = P0 e kt Ahora bien, considerando que en t = 6, P(6) = 2 Po tenemos: 2 P0 = P0 e6k Por lo que despejando k:
6k = ln 2
ln(2) = 0.1155 6 con lo que la ecuación se puede expresar como: k=
P ( t ) = P0 e0.1155t De esta forma, para t = 12 hrs.:
P (t ) = P0 e(0.1155)(12) P (t ) = 4 P0 Lo que significa que al cabo de 12 hrs. la cantidad de bacterias se habrá cuadruplicado
Ejercicio15 : Si la diferencia entre la temperatura de un cuerpo y la del medio ambiente es " x " grados, se considera que la disminución de x con respecto al tiempo es proporcional a x . Si esta diferencia era al principio de 80 grados y después de un minuto de 70 grados, ¿cuál será después de dos minutos?, ¿ en cuántos minutos será de 20 grados? Solución:
Según el enunciado del problema, dado que “x” representa la diferencia de temperaturas, la ecuación diferencial que modela el caso es: dx = kx dt ecuación que se resuelve separando variables, es decir: dx = kdt x por lo que integrando, tenemos::
∫ o sea:
dx = k ∫ dt x
ln x = k t + C x = e kt + C = e kt ⋅ eC = Ce kt
Considerando que x es función de t , la solución general de la ecuación propuesta se puede expresar como: x ( t ) = Ce kt Ahora bien, considerando la condición inicial: x(0) = 80 y sustituyendo: 80 = Cek (0) por tanto C = 80 , de manera que la ecuación se puede expresar como: x(t ) = 80ekt a continuación considerando la condición:
x(1) = 70
y sustituyendo en la ecuación tenemos: 70 = 80e k por lo que despejando k : 70 k = ln = −0.1335 80 entonces la forma de la ecuación es: x(t ) = 80e−0.1335t así que para t = 2 min: x(t ) = 80e−0.1335(2) = 61.25° Finalmente vemos que una diferencia de temperatura s x(t ) = 20° , se alcanzará en: 20 = 80e −0.1335t 1 e −0.1335t = 4 1 ln 4 t= −0.1335 t = 10.38 min
Ejercicio16 : Un barco disminuye su movimiento por la acción de la resistencia del agua, que es proporcional a la velocidad del barco. La velocidad inicial del barco es m 8 , y después de 5 segundos ha disminuido a s . ¿Después de cuanto tiempo la velocidad será de
1
m s ?
Solución:
De acuerdo a la segunda ley de Newton: F = ma considerando que: a=
dv dt
en donde v es la velocidad del barco y t el tiempo; y dado que la resistencia del agua es F = − Kv tenemos: m
dv = −kv dt
15
m s
dividiendo la ecuación anterior entre m : dv kv =− dt m k =β m Haciendo y resolviendo por separación de variables:
dv = −β v dt dv = − β dt v
∫
dv = − β ∫ dt v
por lo tanto: ln v = − β t + C y aplicando propiedades de logaritmos: v(t ) = e− β t + C = e − β t ⋅ eC = Ce − β t A continuación, considerando la condición
v ( 0 ) = 15
, para determinar el valor de C vemos que:
15 = Ce − β (0) C = 15 entonces: v(t ) = 15e− β t
β y ahora sabemos que para t = 5 , v = 8 por lo que determinamos el valor de : 8 = 15e −5 β 8 e −5 β = 15 −5 β = ln ( 8 /15 ) β = 0.1257
Ejercicio 17: En un movimiento rectilíneo la aceleración de un cuerpo es inversamente
proporcional al cuadrado de la distancia " x " e igual a −1 cuando x = 3 . Si la velocidad es igual a 5 y la distancia es igual a 10 cuando t = 0 . Calcula la velocidad cuando x = 24 . Solución: De acuerdo a las condiciones del problema tenemos que: a=− y considerando:
9 x2
dv dt dx v= dt a=
aplicando la Regla de la cadena podemos anotar: dx dv dv a= = v dt dx dx por lo tanto: v
dv 9 =− 2 dx x
de manera que anotando la ecuación en la forma: v dv = -
9 dx x2
e integrando ambos miembros tenemos: dx
∫ v dv = -9 ∫ x
2
es decir: v2 9 = +C 2 x o sea: v2 =
18 +C x
Ahora bien, cuando v = 5, x=10 por lo que sustituyendo en la ecuación anterior: 18 C = 25 − = 23.2 10 por tanto: 18 v 2 = + 23.2 x De esta ecuación, si x = 24 , resulta: v=
18 + 23.2 = 4.89 24
100 sen ( 10t ) Ejercicio 18: En t = 0 una fem de voltios se aplica a un circuito consistente de un inductor de 2 henrios en serie con una resistencia de 50 ohmios. Si la corriente es cero en t = 0 ¿Cuál es en cualquier tiempo t ≥ 0 ? Solución: E = 100sen ( 10t ) Dado que L = 2h , R = 50 ohmios, , sustituyendo en la ecuación diferencial correspondiente tenemos: dI 2 + 50 I = 100 sen(10t ) dt
dividiendo entre 2 tenemos: dI + 25 I = 50 sen(10t ) dt La ecuación resultante es de primer orden y primer grado por lo que para resolverla calculamos el factor integrante.
ρ (t ) = 25
∫ ρ (t )dt = 25∫ dt = 25t por lo que: e∫
ρ ( t ) dt
= e 25t
A continuación se multiplica la ecuación por el factor integrante, es decir: e 25t
dI + 25e 25t I = e 25t 50sen(10t ) dt
por la derivada del producto, simplificamos la ecuación anterior en la forma: d 25t (e I ) = 25e 25t sen(10t ) dt Integrando tenemos: e 25t I = 50 ∫ e 25t sen(10t )dt
por lo que: e 25t I =
I=
50 25t 20 25t e sen (10t ) − e cos (10t ) 29 29
50 20 sen (10t ) − cos (10t ) + C e −25t 29 29
i( t) = 0 A continuación, considerando la condición t = 0 , , calculamos el valor de C: 50 20 sen 10(0) − cos 10(0) + C 29 29 20 C= 29 0=
Finalmente la corriente en cualquier tiempo es. I (t ) =
50 20 20 sen10t − cos10t + 29 29 29
Ejercicio 19: Un termómetro se lleva al exterior de una casa donde la temperatura
ambiente es de 70° Fahrenheit. Al cabo de 5 minutos el termómetro registra 60° F y 5 minutos después registra 54° F Fahrenheit.¿Cuál es la temperatura del exterior?
Solución:
dT = k (T − Tm) La ecuación diferencial que modela el problema es dt en donde T es la Tm temperatura del termómetro, que varía en función del tiempo y es la temperatura del exterior, que se considera constante.
Resolviendo la ecuación por separación de variables tenemos: dT = kdt T − Tm
Integrando: dT
∫ T − Tm = k ∫ dt ln(T − Tm) = kt + C y aplicando propiedades de logaritmos: T − Tm = e kt + C T − Tm = e kt eC = Cekt por tanto: T (t ) = Tm + Ce kt A continuación, considerando la condición inicial T (0) = 70 vemos que: 70 = Tm + Ce k (0) es decir:
70 = C + Tm C = 70 − Tm
por lo que la solución general toma la forma: T (t ) = Tm + (70 − Tm)e kt y ahora tomando en cuenta que: T (5) = 60; T (10) = 54 en la expresión anterior tenemos: 1) 60 = Tm + (70 − Tm)e5 k 2) 54 = Tm + (70 - Tm)e10 k Manipulando algebraicamente la primera ecuación para despejar Tm 60 = Tm + 70e5 k − Tme5 k Tm(1 − e5 k ) = 60 − 70e5 k Tm = y la segunda ecuación:
60 − 70e5 k 1 − e5 k
54 = Tm + 70e10 k − Tme10 k Tm(1 − e10 k ) = 54 − 70e10 k Tm = y aplicando el método de igualación:
54 − 70e10 k 1 − e10 k
60 − 70e5 k 54 − 70e10 k = 1 − e5 k 1 − e10 k es decir: (60 − 70e5 k )(1 − e10 k ) = (54 − 70e10 k )(1 − e5 k ) 70e15 k − 60e10 k − 70e5 k + 60 = 70e15k − 70e10 k − 54e5 k + 54 por tanto, simplificando: 10e10 k − 16e5 k + 6 = 0 5k 2 5k ecuación cuadrática de la forma 10(e ) − 16e + 6 = 0 que podemos resolver por la fórmula 5k general, considerando e = x .
Es decir: 10 x 2 − 16 x + 6 = 0 16 ± 256 − 240 20 x1 = 1 x=
x2 =
3 5
entonces con x1 : e5 k = 1 ; 5k = ln1 5k = 0; k = 0 con x2 : e5 k =
3 3 ; 5k = ln 5 5
3 ln 5 k = = −0.1022 5
Ejercicio 20: Una fábrica de papel está situada cerca de un río con fluido constante de 100 m3/seg.; el cual va a dar a la única entrada de un lago de volumen 109 m3. Suponga que en el instante t = 0, la fábrica de papel empieza a bombear contaminantes al río a razón de 1 m3 por segundo; y que la entrada y salida del lago son constantes e iguales ¿cuál será la concentración de contaminantes en el lago al cabo de un tiempo t?
Solución: Sea X (t) la cantidad de sal que hay en el tanque en el instante t; entonces la velocidad de entrada de sal al tanque en el instante t es:
También en el instante t, la cantidad de líquido en el tanque es de:
La concentración es de:
La velocidad de salida de la sal es de:
Luego nuestra ecuación diferencial es:
Para resolverla consideremos la ecuación Homogénea:
Que se puede escribir:
La solución de la homogénea es:
Haciendo variar la constante: c = c (t) y reemplazando en la no homogénea tenemos:
Por lo tanto:
Como x (0) = 0, tenemos c =10006, y entonces nuestra solución es:
Así, la concentración de sal en el instante t es de:
Tenemos que encontrar t tal que:
Entonces:
Por tanto: t = 1000 min.
Ejercicio 21: Cierto producto químico se disuelve en el agua a una velocidad proporcional al producto de la cantidad aun no disuelta y la diferencia entre las concentraciones en una solución saturada y la concentración en la solución real. Si sabe que en 100 gr. de una solución saturada están disueltos 50 gr. de la sustancia. Si se agitan 30 gr. del producto químico con 100 gr. de agua en 2 horas se disuelven 10 gr. ¿Cuánto se disolverá en 6 horas? Solución: Sea Q (t) = numero de gramos del producto químico no disuelto después de un instante t.
La concentración real será: Cr(t) =
; y la concentración saturada: Cs(t) =
Por dato:
d Q (t) / d t = kQ(Cs – Cr) = kQ (
-
) = kQ(
)
Resolviendo resulta:
=>
=>
=>
Para t = 0 => Q = 30 en (1)
, en (1) : Para t = 2 => Q = 30 -10 = 20 en (2)
En (2), queda:
….. (2)
…..(1)
Para t = 6 =>
=>
La cantidad disuelta en 6 horas es
, por lo tanto la disuelta será:
Ejercicio 22: Un liquido transparente transporta una droga dentro de un órgano de volumen V cm3 a una velocidad de "a" cm3/seg. y sale a una velocidad de "b" cm3/seg. Si la concentración de la droga con el liquido que entra es "c" gr. /cm3. a) Escriba la ecuación diferencial para la cantidad de droga en un instante cualquiera. b) Resolver dicha ecuación diferencial.
Solución: a) Sea Q (t) la cantidad de droga en el órgano en un instante cualquiera.-
Luego: Pero
…… (1) …… (2)
Y además
……. (3)
Para un instante cualquiera la concentración es:
Ahora
, en (3):
……. (4)
(2) y (4) en (1):
……. (5) F.I. =
para todo
…… (6)
b) (5) * (6): …… (7)
Condición inicial: t = 0 =>
. En (7):
En (7):
Ejercicio 23: Un depósito tiene la forma de un cono truncado con 2,4 m de diámetro en la base superior y 1.2 m en la inferior. El fondo contiene un orificio cuyo coeficiente medio de descarga es de 0,60 m. ¿Cuál deberá ser el diámetro del orificio para vaciar el depósito en 6 minutos si la altura de carga inicial es de 3,0 m? Solución: Sabemos que:
En el problema:
0.6 * (1/4) π* d2 * dt = Donde:
d2 = diámetro del orificio.
Puesto que t = 360 segundos; integrando en ambos lados se obtiene:
d2 = Operando tenemos: d = 0.0987
Ejercicio 24: Un embudo, en cuya salida se tiene un ángulo de 60o y un área de la sección recta de 0.5 cm2, contiene agua. En el instante t = 0 se abre la salida y el agua fluye afuera. Determinar el tiempo en que se vaciara el embudo, suponiendo que la altura inicial del nivel del agua es de 10 cm.
Solución: Por Torricelli:
A (h) =
Entonces reemplazando tenemos:
Para t = 0 => h = 10
Luego:
Reemplazando tenemos:
Para h = 0;
Ejercicio 25: Cierta ciudad tenia una población de 25000 habitantes en 1960 y de 30000 habitantes en 1970 suponiendo que su población constinue creciendo
exponencialmente con un índice constante, ¿ Que población puede esperar que tenga la ciudad para el año 2000 Solución:
Ejercicio 26: En cierto cultivo de bacterias, el numero de estas se sextuplicó en 10 horas. ¿Qué tiempo tardo la población en duplicar su numero incial? Solución:
Ejercicio 27: El carbono extraído de un cráneo antiguo contenía solamente la sexta parte de carbono 14 extraído de un hueso de los tiempos actuales. ¿Cuál es la antigüedad del cráneo?
Ejercicio 28: El carbono Extraído de una reliquia de los tiempo de Cristo contenía 4.6*1010 átomos de carbono 14 por gramo. El carbono extraído de un espécimen actual de la misma sustancia contiene 5.0*1010 átomos de carbono 14 por gramo. Calcule la edad aproximada de la reliquia. Solución:
Ejercicio 29:Cuando nació su primer hijo una pereja deposito 5000 sus bajo interés compuesto continuo de 8%. Se dejo que se acumularon los intereses, cuanto tendrá en su cuenta cuando el joven tenga 18 años? Solución:
Ejercicio 30: Suponga que usa pentobarbitol sódico para anestesiar a un perro: El perro queda anestesiado cuando la concentración en su torrente sanguíneo es por lo menos de 45 miligramos de pentobarbitol sódico por kilogramo de peso del perro. Suponga también que el pentobarbitol sódico es eliminado de la corriente sanguínea del perro en forma exponencial con una vida media de 5 h. ¿Qué dosis debe ser administrada para tener anestesiado al perro durante una hora?. Solución:
Ejercicio 31: Dada una curva y=y(x), sea Lt(x) la longitud de la recta tangente entre el punto P=(x,y(x)) y su punto de intersecci贸n T con el eje OX
Ejercicio 32: Un profesor redacta las notas del curso con una rapidez proporcional al nĂşmero de hojas ya escritas. Por otra parte Sus alumnos son capaces de leer los apuntes con una velocidad constante. Al comenzar el curso, el profesor entrega 10 hojas a sus alumnos y posteriormente se las va proporcionando a medida que las acribe. Determine el atraso de uno de sus alumnos en la lectura de las notas al finalizar el 3er trimestre si al cabo del primero lleva un atraso de 20 pĂĄginas y al tĂŠrmino de 6 meses un atraso de 70 pĂĄginas.
Ejercicio 33: Un modelo matemático para describir la población humana es x'(t) = ax(t) – bx2(t) donde a = 0.029 y b = 2.695*10-12 . ¿Cuántos habitantes llegara a tener la tierra según este modelo?. Justifique sus afirmaciones.
Ejercicio 34: Un esquiador acuรกtico ubicado en el punto (a,0) es tirado por un bote localizado en el origen y que viaja hacia arriba a lo largo del eje OY. Hallar la trayectoria del esquiador si este se dirige en todo momento hacia el bote.
Ejercicio 35: Considere un tanque que contiene 1000 litros de agua, dentro del cual una soluciรณn salada de salmuera empieza a fluir a una velocidad constante de 6 litros por minuto. La soluciรณn dentro del tanque se mantiene bien agitada y fluye hacia el exterior del tanque a una velocidad de 5 litros por minuto, si la concentraciรณn de sal en la salmuera que entra al tanque es de 1 kilogramo por litro determine cuando serรก de 63/64 kilogramos por litro de concentraciรณn de sal en el tanque
Ejercicio 36: En el eje OY y la recta x= c son las orillas de un rio cuya corriente fluye a una velocidad uniforme a la dirección de y negativa. Una barca entra al rio por un punto (c,0) y se dirige hacia el origen con una velocidad b relativa al agua. ¿Qué trayectoria seguirá la barca?. Determine condiciones para a y b que permitirán a la barca alcanzar la otra orilla. ¿ En qué punto tocara tierra?
Ejercicio 37: Una fábrica de papel está situada cerca de un rio con un fluido constante de 1000m3/seg, el cual va a dar a la única entrada de un lago de volumen de 109m3. Suponga que en el instante t = 0, la fábrica de papel comienza a bombear contaminantes en el rio a razón de 1 m3/seg y que la entrada y salida de agua del lago son constantes e iguales. ¿Cuál será la concentración de contaminantes en el lago en cualquier tiempo t?
Ejercicio 38: Se ha detectado experimental mente que la variaciĂłn de peso de un tipo se pez varĂa segĂşn la ley
Donde p = P(t) representa el peso del pez y a y b son constantes positivas que caracterizan la especie para que valor de tiempo t le parece razonable autorizar la captura de peces de esa especie
Ejercicio 39: En el interior de una casa, y en un cierto instante, el termómetro marca 70°F. El termómetro se traslada al exterior de la casa, donde la temperatura del aire es de 10°F. Tres minutos después el termómetro marca 25°F. Determine la ecuación que permite conocer la temperatura del termómetro en el exterior de la casa en cualquier instante t.
Ejercicio 40: Una barra de largo L. de sección transversal A y de densidad (masa por unidad de volumen) po se sumerge en un liquido de densidad p. recuerde por el principio de Arquímedes: el liquido ejerce sobre el cuerpo que se sumerge una fuerza opuesta que es igual al peso del fluido desplazado por el objeto. Si x denota la parte de la barra sumergida, conservando una velocidad inicial vo. a) Obtenga la ecuación diferencial que describe el movimiento. b) Hasta que profundidad desciende la barra? c) Si vo = 0 ¿Cuál es la condición para que la barra descienda completamente? ¿Cuál es la velocidad máxima de descenso?