Kvadratické rovnice

KVADRATICKÉ ROVNICE

STAŽENO Z WWW . STEJSKALOVA . E - BLOG . CZ , VÝTAHY Z MATEMATICKÝCH UČEBNIC COPYRIGHT MICHAELA STEJSKALOVÁ 2014©

KVADRATICKÉ ROVNICE Kvadratická rovnice má mocninu na druhou. Dělíme jí do třech kategorií: I) Rovnice bez absolutního členu II) Ryze kvadratická rovnice III) Kvadratická rovnice

Lineární člen Kvadratický člen

ax2 + bx + c = 0 Absolutní člen

I. Rovnice bez absolutního členu Je to neúplná kvadratická rovnice, chybí „číslo“ bez proměnné. ax2 + bx = 0 Příklad: 5x2 + 2x = 0

Vytkneme x před závorku

x.(5x + 2) = 0 x = 0

nebo

Položíme x rovné nule a závorku rovnou nule, protože jeden z nich musí být nulový 5x + 2 = 0 5x = -2 2 x = 5

/-2 /:5

  2 Výsledek zapisujeme jako množinu   0;  5  

II. Ryze kvadratická rovnice Rovnice bez lineárního členu, tedy rovnice bez x¹ (bez x). ax2 + c = 0 Příklad 1: x2 - 49 = 0 x2 = 49 x = 7 Příklad 2: x2 + 49 = 0 x2 = -49 Nemá řešení

/+49 / Tedy 7 a (-7), protože 7.7= 49 a (-7).(-7)= +49

/-49 / Nemá řešení, protože nemůžeme odmocnit (sudou odmocninou) záporné číslo!

STAŽENO Z WWW . STEJSKALOVA . E - BLOG . CZ , VÝTAHY Z MATEMATICKÝCH UČEBNIC COPYRIGHT MICHAELA STEJSKALOVÁ 2014©

III. Kvadratická rovnice Má kvadratický člen, lineární i číslo. Pokud se nedá vytknout nebo rozložit na součin dvou závorek podle vzorce (a ± b)² = a² ± 2ab + b², přichází na řadu metoda pomocí diskriminantu. ax2 + bx + c = 0

Vypočítáme pomocí diskriminantu ( D  b2  (4ac), který dosadíme do vzorečku

x1,2 

 b  2a

D

, takže vznikne obecný vzorec:

x1,2  Příklad 1: x2 + 7x + 2 = 0

D  72  (4  1  2) D = 49-8 D = 41 x1,2 

 7  41 2

Příklad 2: x2 + 2x + 3 = 0

D  22  (4  1  3) D = 4 - 12 D = -8 Nemá řešení

 b 

b2  (4ac) 2a

a=1 b=7 c=2 Dosadíme do vzorce

Dosadíme do vzorce, tento výsledek je konečný.

a=1 b=2 c=3 Dosadíme do vzorce Záporné číslo nemůžeme odmocnit sudou odmocninou, tedy rovnice nemá řešení

STAŽENO Z WWW . STEJSKALOVA . E - BLOG . CZ , VÝTAHY Z MATEMATICKÝCH UČEBNIC COPYRIGHT MICHAELA STEJSKALOVÁ 2014©

PŘÍKLADY K PROCVIČENÍ Příklady na kvadratickou rovnici bez absolutního členu a) 3x2 + 7x = 0

c) 8x2 + 4x = 0

e) 13x2 + 12x = 8x + x2

b) x2 – 6x = 0

d) 10x2 + 20x = 5x

f) 22x2 + 33x = 0

Příklady na ryze kvadratickou rovnici a) x2 + 7 = 0

c) 2x2 - 98 = 0

e) x2 + 12 = 16

b) x2 – 64 = 0

d) 3x2 + 85 = 160

f) x2 – 15 = 10

a) x2 + 8x – 9 = 0

c) 2x2 + 2x – 3 = 0

e) 3x2 + x – 1 = 0

b) x2 + 8x + 9 = 10

d) -3x2 + x + 1 = 0

f) 5x2 + 2x – 3 = 0

Kvadratická rovnice

VÝSLEDKY Příklady na kvadratickou rovnici bez absolutního členu   7   1   3   1   3 a)   0;  b)   0;6 c)   0;  d)   0;  e)   0;  f)   0;  3  2  2  3  2      

Příklady na ryze kvadratickou rovnici a)NŘ

b)x = 8

c)x = 7

d)x = 5

e)x = 2

f)x = 5

Kvadratická rovnice a) x1  1; x2  9 d) x1 

1

13 6

 2  28  2  28 ; x2  4 4 3  1  13  1  13 ; x2  e) x1  f) x1  ; x2  1 2 6 6

b) x1  4 

; x2 

1

13 6

17; x2  4 

17 c) x1 

STAŽENO Z WWW . STEJSKALOVA . E - BLOG . CZ , VÝTAHY Z MATEMATICKÝCH UČEBNIC COPYRIGHT MICHAELA STEJSKALOVÁ 2014©