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Prof. Michele Baldi Laureato in Fisica Esperto didattica Informatica e Matematica

Ho cercato da sempre di rendere divertente e accattivante la Matematica per gli studenti, attraverso le tecnologie informatiche, con i software Logo e Micromondi (che ho tradotto dall’inglese) e la Robotica educativa. Ho fatto nascere e diretto per oltre 12 anni il Centro Intermedia per la formazione dei docenti sulle tecnologie per la didattica e la disabilità e per una scuola cittadina sempre più connessa e al passo con i tempi. Ho effettuato moltissimi corsi di formazione per i docenti su queste tematiche riconosciuti dal MPI. Ho pubblicato libri su Logo, Micromondi, Robotica educativa e “Matematica e Informatica in gioco”. ----------L’esigenza di raccogliere in questo volume le innovative e divertenti possibilità che offre la matematica vedica nelle scuole primarie, è nata da un accurato studio su testi in inglese e da una selezione degli argomenti più interessanti, resi semplici e accattivanti. Stimolo alla realizzazione, sono state anche le attività formative svolte con i docenti del territorio, in particolare con gli Istituti comprensivi "San Nicola" e "Santa Lucia". Il testo ha come obiettivo un apprendimento nuovo, divertente, ma non per questo meno scientifico delle quattro operazioni e delle magie matematiche. E’ rivolto ai docenti delle scuole primarie, ad alunni e studenti che desiderano conoscere nuove modalità per effettuare le quattro operazioni, anche mentalmente e senza l’ausilio delle calcolatrici, e ai genitori che saranno sorpresi nel vedere come alcune semplici regole possono trasformare l’interesse dei loro figli per la Matematica. Tutti coloro che non avranno il volume cartaceo potranno accedere a una versione elettronica sul sito www.infordida.it e a quello delle rispettive scuole. Ringrazio il Sindaco Vincenzo Servalli e l’Assessore alla P.I. Lorena Iuliano del Comune di Cava de’ Tirreni, le Dirigenti scolastiche Raffaelina Trapanese e Gabriella Liberti che hanno consentito questa pubblicazione.


INDICE Prefazione del Sindaco della Città di Cava de’ Tirreni..................... pag. 3 Prefazione Assessore P.I. della Città di Cava de’ Tirreni.................. pag. 4 Presentazione del Dirigente scolastico I.C. Santa Lucia................... pag. 5 Presentazione del Dirigente scolastico I.C. San Nicola.....................pag. 6 Presentazione del libro....................................................................... pag. 8 PARTE PRIMA Premessa........................................................................................... pag. 10 Carl Gauss........................................................................................ pag. 12 I numeri naturali............................................................................. pag. 13 Caratteristiche dei numeri............................................................... pag. 13 Definizione di complementare......................................................... pag. 14 Definizione di Base.......................................................................... pag. 14 Addizioni.......................................................................................... pag. 15 Arrotondare i numeri.......................................................................pag. 17 Ordine nelle addizioni......................................................................pag. 18 Ripartizione dei numeri...................................................................pag. 19 Somme da sinistra a destra.............................................................. pag. 19 Somme in colonna............................................................................pag. 22 Appendice alle addizioni. I numeri di Fibonacci............................ pag. 24 Il Triangolo di Tartaglia...................................................................pag. 26 Sottrazioni........................................................................................ pag. 27 Numeri intorno a 100...................................................................... pag. 29 Sottrazione scritta facile...................................................................pag. 31 Tutti dal 9 e l’ultimo da 10...............................................................pag. 32 Moltiplicazioni..................................................................................pag. 35 Utilizzando la Base 10..................................................................... pag. 37 Utilizzando la Base 100................................................................... pag. 39 Utilizzando la Base 1000................................................................. pag. 40 Moltiplicare i numeri sopra le decine.............................................. pag. 40 Numeri sopra e sotto la Base........................................................... pag. 42 Base 20..............................................................................................pag. 44 Base 50..............................................................................................pag. 45 Doppia moltiplicazione.................................................................... pag. 46 Pensiero laterale............................................................................... pag. 48 Metodo per risolvere moltiplicazioni con Basi diverse....................pag. 48


Moltiplicare con 2 Basi.....................................................................pag. 50 Approfondimento come funziona il metodo delle Basi...................pag. 52 Moltiplicazione “In verticale e diagonale”.......................................pag. 53 Caratteristiche particolari della tabellina del 9...............................pag. 57 Moltiplicazioni particolari............................................................... pag. 58 Moltiplicazioni per 5........................................................................ pag. 58 Moltiplicazioni per 11...................................................................... pag. 59 Numeri ultime cifre a somma dieci e cifre rimanenti uguali......... pag. 60 Moltiplicare un numero con un numero uguale di 9......................pag. 61 Regola segreta per semplificare alcune moltiplicazioni...................pag. 64 Moltiplicazione grafica o cinese....................................................... pag. 66 I bastoncini di Nepero...................................................................... pag. 68 Metodo reticolare..............................................................................pag. 70 Moltiplicazione egizia...................................................................... pag. 72 Moltiplicazione con le dita...............................................................pag. 73 Divisioni........................................................................................... pag. 75 Divisioni per 9.................................................................................. pag. 76 Divisioni con numeri che terminano con 5.....................................pag. 77 Divisioni per fattori con decimali.................................................... pag. 78 Divisioni a due cifre con fattori....................................................... pag. 79 Divisioni per numeri primi..............................................................pag. 80 Divisioni metodo Nikilam................................................................pag. 82 Divisioni primo dal primo e ultimo dall’ultimo.............................. pag. 83 Divisioni “Crowing gem” o metodo bandiera..................................pag. 84 Prova del 9........................................................................................ pag. 86 Quadrati di numeri che terminano con 5....................................... pag. 87 Quadrati di numeri vicini a 100......................................................pag. 88 Quadrati di qualsiasi numero - Duplex.......................................... pag. 89 Criteri di divisibilità.........................................................................pag. 93 Stima - Ordini di grandezza............................................................ pag. 95 Numeri figurati.................................................................................pag. 96 Numeri primi....................................................................................pag. 97 Pensa come Gauss............................................................................ pag. 99 Esercizi sulle quattro operazioni....................................................pag. 100 Spiegazione algebrica metodo delle Basi....................................... pag. 104 Soluzione “Pensa come Gauss”...................................................... pag. 106


PARTE SECONDA Magie Matematiche Piccole magie...................................................................................pag. 108 Magie con i calendari..................................................................... pag. 111 Grande magia “l’età dei figli”..........................................................pag. 113 Grandi magie..................................................................................pag. 114 Grande magia Griglia.....................................................................pag. 116 Quadrati magici..............................................................................pag. 118 Carte magiche.................................................................................pag. 126 Soluzioni piccole magie...................................................................pag. 131 Soluzioni grandi magie...................................................................pag. 133 ALLEGATI I 16 “Sutra”......................................................................................pag. 140 Commenti dei docenti sul corso di Matematica vedica.................pag. 141 Bibliografia......................................................................................pag. 147


Si ringraziano per il prezioso supporto: Matteo Fasano - Funzionario P.O. Istruzione, Biblioteca... Comune di Cava de’ Tirreni Gaetano Guida - Grafica della copertina Biblioteca e Archivio comunale di Cava de’ Tirreni Arianna Pisapia - Web designer - Insegnante Istituto comprensivo S. Lucia Cava de’ Tirreni Paola Sabatino - Animatore digitale - Insegnante Istituto comprensivo S. Lucia Cava de’ Tirreni Danilo Viscito - Impaginazione e stampa -

Finito di stampare nel mese di maggio 2021 Cava de’ Tirreni (SA) 089 443087

Distribuzione gratuita


Una dedica speciale a Paolo, Vincenzo e Olmina, i piccoli Andrea e Maria, Chiara e Marisa. “E’ bello fare del proprio lavoro ciò che piace e ancora più entusiasmante suscitare nei giovani la passione per la Matematica”.


Prefazione del Sindaco della Città di Cava de’ Tirreni Il lavoro del prof. Michele Baldi, oltre l’aspetto tecnico, di ricerca e divulgazione di una materia che per antonomasia si definisce ostica, può racchiudersi nella dedica agli alunni….”perché non manchi mai la curiosità di imparare”. Imparare a far di conto divertendosi, applicando le tecniche della matematica vedica, incuriosisce e stuzzica certamente l’interesse dei bambini e rende l’apprendimento facile, addirittura accattivante. Uno strumento per noi innovativo, a disposizione degli insegnanti e del mondo della scuola, così come per chiunque abbia una mente aperta e sia sempre curioso di imparare. Una qualità che ha sempre caratterizzato il prof. Baldi. Come non ricordare l’esperienza che lo ha visto alla guida del Centro Intermedia, nato a Cava de’ Tirreni nel 1997, punto di riferimento regionale e nazionale nella diffusione delle innovazioni informatiche e tecnologiche al servizio delle persone con disabilità, della robotica, con la partecipazione di tanti studenti e istituti scolastici, dai primi corsi sul LOGO negli anni novanta alla micro robotica. Una esperienza straordinaria. Grazie prof. Baldi, per la capacità di sorprenderci sempre e… buona matematica a tutti. Il Sindaco

Vincenzo Servalli

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Prefazione dell’Assessore P.I. della Città di Cava de’ Tirreni Quando ho conosciuto il professore Michele Baldi sono stata immediatamente travolta dai suoi metodi straordinariamente stimolanti e magici di insegnare la matematica. Con carta e penna si è seduto di fronte a me catapultandomi in un mondo a me fino a quel momento sconosciuto, fatto di formule e tecniche di calcolo, frutto di studi approfonditi di testi indiani di matematica vedica ma resi all'utente finale davvero unici e divertenti nel loro genere. Mi considero onorata per aver potuto scrivere la prefazione di questa avvincente e intensa raccolta di testi che sarà di supporto ai nostri docenti e ai nostri alunni. Anche se stiamo vivendo tempi difficili, abbiamo queste incredibili opportunità di espandere le nostre conoscenze grazie ad altri studi e ad altre culture, che possono aiutarci ad aprire la nostra mente a illimitate possibilità e soluzioni creative. Perché si sa i bambini, anche se tanto piccoli, riescono a contenere grandi informazioni, a scrutare con curiosità tutto ciò che hanno intorno per apprenderne il più possibile. Buona lettura a grandi e piccini e ancora un immenso grazie al prof. Baldi per averci ricordato che la magia esiste, è qualcosa che andrebbe insegnato ovunque e a tutti. Assessore alla Pubblica Istruzione

Avv. Lorena Iuliano

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Presentazione del Dirigente scolastico I.C. Santa Lucia Nel leggere i commenti dei docenti al termine del corso di Matematica vedica, tenuto dal Prof. Michele Baldi, un pensiero mi ha attraversato veloce, e provo a riportarlo più o meno così come si è affacciato alla mente: magari avessi potuto incontrare, nel mio trascorso ormai lontanissimo di discente, un docente in grado di riconciliarmi con la matematica! Quello che propone il Prof. Baldi, in questo suo prezioso volume, è un approccio inedito a una disciplina che da sempre, nella nostra tradizione occidentale, viene percepita e considerata difficile e, ancor peggio, arida e priva di creatività: pregiudizi, questi, che non hanno alcun riscontro sia nello statuto epistemologico della disciplina, sia nell’esperienza pratica. E purtroppo questa inesistente contrapposizione tra una presunta creatività, quale caratteristica unicamente delle discipline umanistiche da un lato, e il rigore logico della matematica e delle scienze dall’altro, è un’ eredità di un passato, di gentiliana memoria, duro a morire. La Matematica vedica, al contrario, è un magnifico esempio di come sia possibile esplorare nuovi sentieri alla ricerca di metodologie innovative, a partire dal presupposto che non esiste una sola soluzione ai problemi, ma più e diverse soluzioni. E tale pluralità fa rima con creatività! Riuscire a insegnare divertendosi e divertendo: questo è di certo uno degli obiettivi che i docenti hanno raggiunto nel partecipare al corso di formazione del Prof. Baldi. Ben volentieri, pertanto, abbiamo deciso di contribuire alla pubblicazione di questo libro, con l’intento di promuovere la diffusione di una didattica innovativa, che possa aiutare le nostre alunne e i nostri alunni ad apprendere con gioia, assaporando il gusto unico della scoperta, che genera stupore e meraviglia. Il dirigente scolastico

Gabriella Liberti

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Presentazione del Dirigente scolastico I. C. San Nicola Una scuola dinamica e innovativa non si ferma mai, neanche di fronte ad un’emergenza epidemiologica che ha implicato una riorganizzazione degli spazi e dei tempi scuola, pertanto, l’I. C. “San Nicola” ha messo in atto tutte le misure di sicurezza previsti dai protocolli sanitari, ma senza perdere di vista quello che è l’obiettivo prioritario di una Istituzione scolastica: garantire il diritto allo studio e l’acquisizione di competenze chiave per l’apprendimento permanente. Sono state realizzate molteplici attività di formazione/aggiornamento rivolte al personale docente e progetti rivolti agli studenti. Un argomento in particolare ha suscitato l’interesse del Collegio docenti, che ha aderito alla formazione proposta dal prof. Michele Baldi sulla Matematica Vedica, basata su un approccio innnovativo e, per così dire, “magico” a quella che da molti è considerata una disciplina alquanto ostica. La formazione dei docenti sull’argomento suddetto non poteva non prevedere una ricaduta didattica, per cui si è deciso di realizzare un modulo formativo sulla matematica vedica previsto nell’ambito del PON FSE Competenze di base 2 e destinato agli studenti di due classi prime della scuola secondaria di I grado. Il corso, curato dal prof. Michele Baldi in qualità di esperto, coadiuvato dal docente tutor Scannapieco Mariella, si è tenuto in modalità telematica e ha suscitato grande interesse negli studenti, che hanno appreso strategie e procedure con cui snellire i calcoli e applicare le proprietà delle operazioni anche con grandi numeri. Questo approccio ha sicuramente garantito il coinvolgimento anche degli studenti più fragili, che, messi in condizione di apprendere, sviluppano non solo competenze, ma anche autostima e migliore motivazione. L’ I. C. “San Nicola” persegue l’inclusione attiva da garantire a tutti gli allievi, ciascuno portatore di uno specifico bisogno, il che non significa solo far parte di un gruppo, ma soprattutto svolgere al suo interno un ruolo attivo promosso attraverso il ricorso a metodologie didattiche innovative quali il cooperative learning – il learning by doing – il learning by thinking – la flipped classroom. 6


Sentiamo spesso parlare in questo periodo di scuole “chiuse”. In realtà, la scuola non è stata e non sarà mai chiusa. Le tecnologie ci hanno permesso di conservare sempre il contatto con i nostri studenti e le famiglie, di attivare Legami Educativi A Distanza (LEAD) anche con i più piccoli, di implementare le competenze digitali di discenti e docenti. Guardiamo sempre avanti con entusiasmo perché a noi comunità educante è affidato il compito di educare e formare cittadini competenti e consapevoli, capaci di risolvere problemi, adattarsi a una società in continua trasformazione, prendere decisioni, valutare i risultati raggiunti e migliorarli. Ringrazio il prof. Michele Baldi per la consueta disponibilità e la passione con cui svolge il difficile mestiere di divulgatore di idee innovative; ringrazio i docenti per l’impegno profuso; ringrazio gli studenti per la partecipazione e l’entusiasmo che rende il nostro lavoro sempre motivante. Un ringraziamento all’Amministrazione comunale, al Sindaco Vincenzo Servalli, all’assessore all’istruzione Lorena Iuliano, al Dirigente III Settore Romeo Nesi, al Funzionario Matteo Fasano che hanno creduto in questo progetto e ne hanno garantito la realizzazione. La scuola rappresenta una risorsa per il territorio e il territorio, a sua volta, è una risorsa per la scuola. Solo lavorando in sinergia e mettendo in comune tutte le risorse si può contribuire alla costruzione di un futuro migliore per le giovani generazioni. Il dirigente scolastico

Raffaelina Trapanese

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Presentazione del libro Dedicato ad alunni e studenti… perché non manchi mai la curiosità di imparare.

Lo studio della matematica riserva molte sorprese. Sorprese in termini di giochi, di magie e regole straordinarie che fanno “danzare” i numeri davanti agli occhi. Per poter apprezzare queste sorprese devi liberarti delle idee tradizionali della matematica noiosa e poco attraente. “Devi immaginare di immergerti nel mondo dei numeri e vederli in un modo diverso dal solito, da una nuova prospettiva”. Imparerai che le operazioni elementari (Addizioni, Sottrazioni, Moltiplicazioni e Divisioni) e non solo, puoi svolgerle con una semplicità e un’ eleganza che non avevi mai immaginato. Sono sicuro che ti divertirai. Dalla Matematica tradizionale alla matematica vedica. Le sorprese che trovi in questo volume sono tratte quasi completamente da testi indiani di Matematica Vedica. Questi testi contengono i “sutra” (aforismi di saggezza indiana) che spiegano come utilizzare tecniche di calcolo, utili per sviluppare una maggiore flessibilità nel ragionamento matematico. Grazie a queste tecniche, approfondite in seguito da molti altri matematici, potrai renderti conto che non esiste un unico metodo di soluzione dei problemi. _____ Ho preferito rivolgermi nel testo a uno studente ideale, ma il libro è dedicato a docenti, studenti e genitori. A tutti chiedo scusa per eventuali refusi. Ringrazio chi mi farà avere commenti, suggerimenti e osservazioni alla e-mail: micbaldi@infordida.it. Mi perdonino anche i matematici puristi per eventuali inesattezze dovute a semplificazioni. Prof. Michele Baldi

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Matematica vedica - Divertimento e magia

PARTE PRIMA

Matematica vedica


Ciao, vuoi iniziare questo percorso che ti farà vedere una Matematica completamente diversa da quella tradizionale? Vuoi vedere com’ è possibile effettuare le quattro operazioni in tanti modi differenti divertendoti? Vuoi veramente imparare il significato profondo della Matematica? Vuoi stupire i tuoi amici con calcoli sorprendenti fatti a mente? E allora seguimi e leggi attentamente una piccola premessa, poi ti assicuro che tutto sarà emozionante e divertente.

PREMESSA Tutto ciò che imparerai in queste pagine è frutto di ragionamenti e studi di Matematici che hanno capito come fare calcoli in modo completamente diverso dal solito. La Matematica è stata studiata dagli antichi non solo nelle nostre zone del Mediterraneo, ma anche in Egitto, in Cina, in Arabia e moltissimi studiosi hanno dato il loro contributo. Lo “zero”, ad esempio, come pure il nostro sistema di numerazione decimale, è stato introdotto dagli arabi da un matematico del ‘200, Leonardo Fibonacci (sarà divertente vedere come funziona la sua successione). Noi conosciamo i grandi matematici greci come Pitagora, Euclide, Talete… ma ci sono moltissimi altri che hanno condotto studi per capire come risolvere meglio i problemi. La maggior parte dei calcoli che ti presento in questo libro derivano da matematici indiani che per far capire meglio i calcoli hanno scritto dei “sutra”. “Sutra” vuol dire aforisma, ovvero una massima che spiega in modo semplice come fare determinati calcoli. Quando incontrerai uno di questi aforismi (massima o proverbio) te lo spiegherò in modo più approfondito… Questo libro nasce da uno studio molto accurato, effettuato su vari testi in inglese e da me messi insieme nel modo più semplice e accattivante possibile. 10


Ho tralasciato alcuni argomenti che potevano creare confusione più che semplificazione. Sono sicuro che dedicando un poco del tuo tempo a leggere il testo e fare gli esercizi proposti, seguendo i consigli dei tuoi insegnanti, ti renderai conto che la Matematica può essere divertente e interessante. Grazie alle molteplici strategie presenti nel libro, potrai scegliere di volta in volta il metodo che ti risulta più facile e rapido. La seconda parte poi ti farà diventare veramente un mago della matematica, piccole e grandi magie che scoprirai e potrai utilizzare subito con i tuoi genitori, con i tuoi amici, ma la cosa più importante è che troverai le spiegazioni e con l’aiuto degli insegnanti potrai approfondire sempre di più le tue conoscenze nel mondo della matematica e chissà un domani non dovrai dire più: “ho paura della matematica!”. Buon divertimento! Prima di iniziare voglio raccontarti una storia del bambino Carl Gauss che poi è diventato un grande matematico.

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CARL GAUSS (1777 -1855) Si racconta che, un giorno, il suo maestro, per tenere impegnati gli alunni, chiese loro di sommare tutti numeri da 1 a 100. Si aspettava che ci mettessero molto tempo. Invece Carl, che aveva tra 8 e 9 anni, risolse immediatamente il problema. L’insegnante credeva che tutti sommassero i numeri uno per uno: 1 + 2 + 3 + 4 + . . . + 97 + 98 + 99 + 100 = ? Invece il genio Carl individuò uno schema, sommò i numeri a coppie, prendendo un numero dall’inizio e uno dalla fine così: (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + (4 + 97) + . . . + (50 + 51) queste coppie sono tutte uguali tra loro e la somma è: 101 + 101 + 101 + 101 + . . . + 101…. Quante volte 101? (Guarda la prima cifra di ogni coppia in parentesi e vedi che è 1, 2, 3, 4… 50 quindi 50 volte 101). Fa esattamente 101 × 50 = 5.050 e questa fu la sua risposta immediata. Ovviamente il maestro rimase sbalordito! Alla fine del libro troverai un quesito che puoi cercare di risolvere ragionando come ha fatto Carl Gauss. Buon lavoro.

LE QUATTRO OPERAZIONI Tutto ciò che devi conoscere prima di cominciare questo viaggio istruttivo e divertente sono il sistema decimale e le proprietà delle operazioni che ti presenterò di volta in volta.

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I NUMERI NATURALI I numeri naturali iniziano da uno, poi viene il due, il tre e così via. Il sistema decimale è composto da 10 cifre (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9). Dopo il 9 il 10, poi 11, 12…20 e il ciclo si ripete. Nel sistema decimale la posizione delle cifre è fondamentale. Le unità si trovano all’ultimo posto, poi vengono le decine, le centinaia, le migliaia e le altre potenze di dieci. Esempi: 123 e 132 sono numeri diversi perché il 2 una volta appartiene alle decine e un’ altra alle unità, il primo lo leggerai cento venti tre e il secondo cento trenta due. Nei numeri 502 e 205 il 5 appartiene prima alle centinaia e poi alle unità, difatti leggerai cinquecento due il primo e il secondo duecento cinque. Sono sicuro che ti è chiaro il sistema decimale, ma pensa che solo dopo il 1400 è diventato accessibile a tutti. CARATTERISTICHE DEI NUMERI Metti i numeri (da 1 a 10) su una circonferenza, in modo da far risaltare alcune proprietà caratteristiche:

Se unisci con linee (corde) orizzontali, ottieni 5 coppie di numeri la cui somma è 10 (numeri amici). Le coppie sono (9 e 1); (8 e 2); (7 e 3); (6 e 4); (5 e 5). I numeri delle coppie sono detti complementari. 13


Se continui sulla circonferenza, dopo il 10, i numeri terminano tutti con la stessa cifra (1 - 11 - 21; 2 - 12 - 22; 3 - 13 - 33...).

COMPLEMENTARI Il concetto di numeri complementari è molto utile per rendere facili e interessanti i calcoli. Sono detti complementari due numeri che, sommati l’uno con l’altro, danno come risultato non solo 10 ma anche una base successiva più vicina. Esempio: 46 + 54 = 100; 22 + 78 = 100. 46 è il complemento di 54 e 54 è il complemento di 46. In altre parole, il complemento di un numero può essere calcolato sottraendolo dalla sua base più vicina. Esempio: complemento di 75 = (100 - 75) = 25. BASI Le Basi sono le potenze di dieci, cioè i numeri che iniziano con 1 e sono seguite da qualsiasi numero di 0, ad es. 10, 100, 1.000, 10.000... 10 è la base per numeri a 2 cifre, 100 è la base per numeri a 3 cifre… In seguito utilizzerai anche Basi con numeri diversi, come 20, 50, 500 ecc.. 14


Matematica vedica - Divertimento e magia

Addizioni


ADDIZIONI La prima operazione che hai conosciuto a scuola (la più semplice) è l’addizione di due o più addendi, ma vedrai che anche per l’addizione ci sono delle sorprese. Imparerai anche a farla mentalmente e da sinistra verso destra. Comincia a ripassare le proprietà caratteristiche dell’ addizione: PROPRIETA’ COMMUTATIVA Significa commutare ovvero cambiare di posto, infatti come puoi vedere dagli esempi se cambi il posto agli addendi il risultato non cambia: Es. 8 + 7 = 7 + 8 = 15 8 + 7 + 6 = 6 + 7 + 8 = 21 PROPRIETA’ ASSOCIATIVA Significa mettere insieme, associare, come puoi vedere alcuni numeri possono essere sostituiti dalla loro somma: Es. 5 + 6 + 4 = 5 +(6 + 4) = 5 + 10 = 15 6 + 4 + 7 + 3 = (6 + 4) + (7 + 3) = 20 PROPRIETA’ DISSOCIATIVA Significa separare, sostituire a un numero una somma Es. 68 + 5 = 68 + 2 + 3= (68 + 2) + 3 = 70 + 3 = 73 Adesso imparerai come rendere l’addizione ancora più semplice. Alcuni numeri come 1 e 2, 10 e 20, 100 e 200, 1.000 e 2.000 sono facili da sommare. È facile sommare 10 a qualsiasi numero. Sono sicuro che conosci il risultato. Ora prova a fare le seguenti addizioni a mente. Cerca di dire la risposta il più velocemente possibile. 24 +10 = 38 +10 = 83 +10 = 67 +10 = 16


Di seguito ti mostro come effettuare in modo facile e diverso dal solito alcune addizioni molto semplici: come puoi sommare 9 a un numero? somma 10 e sottrai 1. come puoi sommare 8 a un numero? somma 10 e sottrai 2. come puoi sommare 7 a un numero? somma10 e sottrai 3. come puoi sommare 95 a un numero? somma 100 e sottrai 5. come puoi sommare 85 a un numero? somma 100 e sottrai 15. come puoi sommare 80 a un numero?somma 100 e sottrai 20. come puoi sommare 48 a un numero? somma 50 e sottrai 2. Per esempio, quando devi sommare 34 + 9, prova a dire la risposta in un solo passaggio, non “Quaranta quattro . . . quaranta tre”, ma facendo l’operazione mentre dici la risposta. Dovresti dire solo: “Quaranta tre”. Prova finché non ricordi che per sommare 9 basta aggiungere 10 e togliere 1. Non devi necessariamente sommare e sottrarre nel modo in cui ti è stato insegnato, puoi farlo anche così perché è più semplice e commetterai meno errori. Hai trovato queste somme facili da fare a mente? E se dovresti sommare 31 a un numero? Devi semplicemente aggiungere 30 e poi 1. Per 42 aggiungere 40, e poi 2. Potresti pensare che tutte queste risposte siano ovvie, ma molti alunni non effettuano i calcoli mentalmente.

ARROTONDARE I NUMERI AL CENTINAIO Come puoi risolvere mentalmente questa addizione? 2.351 + 489 = Potresti pensare che sia uguale a 2.351+500 -11= 2.840. Normalmente utilizzi carta e penna per fare il calcolo, ma quando vedi che a 489 mancano 11 per arrivare a 500, il calcolo diventa facile da fare a mente. 17


SOMMARE I NUMERI A MENTE Nella maggior parte delle addizioni, se le stai facendo mentalmente, dovresti sommare da sinistra a destra invece che da destra a sinistra come ti viene insegnato a scuola. Come sommeresti questi numeri a mente? 5.164 + 2.938 = 8.102 Aggiungi 3.000, poi sottrai 60 e 2 per ottenere il risultato 8.102. Per sommare 3.000 dirai: “Ottomila cento sessanta quattro”, quindi sottrai 60 e 2 per ottenere “Ottomila cento due”. Questa strategia rende facile tenere traccia dei tuoi calcoli se mantieni i numeri a mente.

ORDINE NELLE ADDIZIONI Supponi di dover sommare i seguenti numeri: 6+8+4= Il modo più semplice per sommarli è il seguente: 6 + 4 = 10; 10 + 8 = 18. La maggior parte degli alunni lo trova più facile di 6 + 8 + 4 = 18. Quindi, la regola è: “Quando stai sommando dei numeri in colonna, se puoi, somma prima le coppie di cifre che formano le decine e poi somma le altre cifre”. Se il risultato di una somma è 27 e i due numeri successivi sono 8 e 3, somma il 3 prima dell’8 per ottenere 30 e poi 8 per avere 38. Usando questi metodi ricorderai le combinazioni di numeri la cui somma è 10 e questo con la pratica diventa automatico. Va bene anche se devi sommare 26 + 32 + 14. Puoi vedere che le cifre delle unità di 26 e 14 (6 e 4) hanno somma 10, quindi è facile sommare 26 e 14 per ottenere 40, poi sommare 32 e avere come risultato 72. Il calcolo è semplice se lo fai con queste regole non rispettando l’ordine in cui i numeri sono scritti (ricorda le proprietà commutativa e associativa). 18


RIPARTIZIONE DEI NUMERI Ricorda come sono composti i numeri. Il 12 può essere ripartito in tanti modi diversi (6): 10 + 2; 8 + 4; 6 + 6; 7 + 5; 9 + 3 e 11 + 1. È anche importante conoscere come si possono suddividere tutti i numeri da 1 a 10. Vedi in quanti modi diversi: 2 = 1 + 1 (uno) 3 = 2 + 1 (uno) 4 = 2 + 2; 3 + 1 (due) 5 = 3 + 2; 4 + 1 (due) 6 = 3 + 3; 4 + 2; 5 + 1 (tre) 7 = 4 + 3; 5 + 2; 6 + 1 (tre) 8 = 4 + 4; 5 + 3; 6 + 2; 7 + 1 (quattro) 9 = 5 + 4; 6 + 3; 7 + 2; 8 + 1 (quattro) 10 = 5 + 5; 6 + 4; 7 + 3; 8 + 2; 9 + 1 (cinque) Come fai la somma di 8 + 5? Somma 10 + 5, sottrai 2 e otterrai 13. Oppure puoi sommare 8 + 2 = 10, e 10 + 3 sempre uguale a 13. Come fai la somma di 7 + 6? Siccome 6 = 3 + 3; Puoi sommare 7 + 3 = 10 e 10 + 3 = 13. Come vedi utilizzi sempre una strategia per calcolare la risposta.

ADDIZIONI DA SINISTRA A DESTRA Adesso voglio proporti di imparare a fare le addizioni a mente, ma partendo da sinistra, così potrai ricordare meglio i passaggi. Ecco un primo esempio: 78 + 45 = Passo 1 Inizia a sommare da sinistra a destra. 7 + 4 = 11. Ricorda questo numero! 19


Passo 2 Somma 8 e 5, otterrai 13. Ricorda che questi passaggi li fai a mente. Qui dici a te stesso, “11 e 13”. Scrivendola la somma appare così: 78 + 45 = 11; 13 Passo 3 “Metti insieme” ovvero somma le cifre centrali a mente. La risposta diventa 123. Abbastanza semplice, no? Altro esempio: 87 + 69 Passo 1 Somma mentalmente 8 + 6 = 14. Immagina questo risultato a sinistra: 87 + 69 = 14; Passo 2 Somma mentalmente 7 + 9 = 16. Questo risultato si trova a destra nella somma: 87 + 69 = 14; 16 Passo 3 Somma le cifre centrali 4 e 1 a mente e ottieni 5. Risultato: 156 20


Altro esempio: 48 + 97 = Somma mentalmente 4 + 9 = 13 e 8 + 7 = 15. 48 + 97 = 13;15 = 145

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SOMME IN COLONNA Supponi di dover sommare più addendi: 989 + 724 + 102 + 670 + 112 = Puoi utilizzare la tecnica della “colonna magica”, che ti consentirà di ridurre al minimo i numeri da tenere a mente. Ecco come funziona: Invece di partire dalle unità, come faresti per una normale addizione a colonna, parti di nuovo da sinistra in alto, scendi, e somma man mano tutti i numeri sulla stessa colonna di sinistra, facendo attenzione a tenere a mente di volta in volta solo i risultati parziali della somma. Ti ritroverai con: “9 + 7 = 16; 16 + 1 = 17; 17 + 6 = 23; 23 + 1 = 24” (e qui per fare questi calcoli ti puoi aiutare con alcune tecniche). Hai completato le operazioni sulla colonna più a sinistra (delle centinaia) e il tuo risultato parziale è 24. Ora spostati di una colonna verso destra (quella delle decine), prendi la prima cifra, mettila a destra del precedente risultato parziale (avrai 24_8) e somma man mano a questa cifra le altre sottostanti nella sua stessa colonna. Ripeti in mente: “24_8, 24_10, 24_10, 24_17, 24_18”. Solo se, come in questo caso, alla fine della somma ti ritrovi con un numero maggiore di 10, metti nel nuovo risultato parziale solo le unità e addiziona le decine alla cifra più a sinistra. Il tuo nuovo risultato parziale è 24_18 = 258, dopo aver riportato l’1 del 18 nel 24. Prendi ancora una volta il risultato parziale della vecchia colonna e aggiungi il numero più in alto della colonna più a destra (in questo caso hai 258_9). Poi, somma le cifre della colonna delle unità e aggiungi il riporto solo alla fine. Avrai: “258_9, 258_13, 258_15, 258_17 “. Riportando l’1 del 17 nel 258 otterrai 259_7. Il risultato finale è 2.597. Non ci sono altre colonne a destra e questo è il risultato finale. Hai ottenuto il risultato in maniera straordinariamente rapida ed efficace, 22


dovendo tenere a mente di volta in volta un solo numero e senza prestare alcuna attenzione ai riporti parziali. Se devi sommare numeri composti da differenti cifre, dovrai allineare le unità con le unità, le decine con le decine…, comportati come se gli spazi vuoti, presenti alla sinistra dei numeri più piccoli, fossero composti da tanti “zeri”. Per semplificarti le cose potresti addirittura mettere degli zeri a sinistra dei numeri più piccoli, così da ritrovarti con numeri composti dallo stesso numero di cifre. Un esempio per fissare meglio il metodo. 1341 + 450 + 2451 + 888 + 9872 = Incolonna prima i numeri e, per semplicità, metti uno “0” alla sinistra dei numeri composti da tre cifre: 1341 + 0450 + 2451 + 0888 + 9872 = Parti da sinistra e hai: “1 + 2 = 3; 3 + 9 = 12”. Il risultato parziale è 12. Andando verso destra hai: “12_3, 12_7, 12_11, 12_19, 12_27”. (Riporta il 2 del 27 al 12). Il risultato parziale è 147. Andando ancora verso destra: “147_4, 147_9, 147_14, 147_22, 147_29”. (Riporta il 2 del 29 al 147). Il risultato parziale è 1499. Operando sull’ultima colonna hai: “1499_1, 1499_2, 1499_10, 1499_12”. Riportando l’1 del 12 al 1499 otterrai 1500_2. Il risultato finale è 15.002.

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APPENDICE ALLE ADDIZIONI Una somma particolare… La successione di Fibonacci! E’ una delle serie numeriche più famosa e magica: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, … La sequenza di Fibonacci comincia con i numeri 1 e 1. Il terzo è 1 + 1, ossia la somma dei precedenti, che vale 2; il quarto è 1 + 2 = 3; il quinto 2 + 3= 5; gli altri continuano sommando i due precedenti: 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13; 8 + 13 = 21 e via dicendo… Uno dei problemi di aritmetica del libro “Liber Abaci” riguarda la vicenda dei conigli. Conigli che si riproducono e non muoiono mai…. Fibonacci immagina che una coppia di conigli piccoli impieghi un mese per crescere e, dopo un mese, genera una nuova coppia di conigli al mese per sempre!

1c = coppia di conigli piccoli 1C = coppia di conigli adulti 24


Primo mese 1c piccoli ====== Tot. 1 Secondo mese 1C Adulti ====== Tot. 1 Terzo mese 1C Adulti 1c piccoli Tot. 2 Quarto mese 2C Adulti 1c piccoli Tot. 3 Quinto mese 3C Adulti 2c piccoli Tot. 5 Sesto mese 5C Adulti 3c piccoli Tot. 8 Settimo mese 8C Adulti 5c piccoli Tot. 13 Ottavo mese 13C Adulti 8c piccoli Tot. 21 Nono mese 21C Adulti 13c piccoli Tot. 34 …… I numeri di Fibonacci hanno moltissime applicazioni e compaiono spesso in natura. Per esempio, il numero di petali di un fiore è spesso un numero di Fibonacci, così come anche il numero di spirali di un girasole, di un ananas o di una pigna. In matematica compaiono nel rapporto aureo e nel rettangolo aureo. Poi ci sono bellissimi schemi che si generano dalla successione di Fibonacci e che potrai studiare quando andrai alle scuole superiori.

Quadrati costruiti con i numeri di Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55. Se disegni in ogni quadrato un arco di cerchio ottieni una spirale.

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Triangolo di Pascal o di Tartaglia (versione grafica con i bambini)

(dal libro “How to be a Math Genius” di Mike Goldsmith)

Il Triangolo ha molte proprietà: - Ogni elemento è dato dalla somma dei due precedenti che si trovano sopra. -Tutti i numeri esterni sono uguali a 1 -La somma dei numeri di una riga è metà di quella successiva (1; 2; 4, 8, 16, 32…) Ci sono tantissime altre proprietà che studierai alle scuole superiori. Sai trovare i numeri da far indossare ai bambini dell’ultima riga?

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Matematica vedica - Divertimento e magia

Sottrazioni


SOTTRAZIONI La sottrazione gode solo della proprietà invariantiva. “Se aggiungi un numero o sottrai (un numero più piccolo) a entrambi i membri il risultato non cambia”. Esempio: 25 - 8 = (25 + 5) - (8 + 5) = 17 25 - 8 = (25 - 5) - (8 - 5) = 17 Sicuramente per te l’addizione è più facile della sottrazione. Adesso imparerai alcune strategie che faranno diventare facile la sottrazione. Innanzitutto, devi conoscere le combinazioni di numeri la cui somma è 10. Se in classe ti chiedono di sottrarre 9 da 56, dopo aver appreso questo metodo darai una risposta immediata e senza errori. Ricorda la regola: Il modo più semplice per risolvere un problema è anche il più veloce, con la minima possibilità di sbagliare. Il modo più semplice per sottrarre 9 da un numero? Sottrai 10 e aggiungi 1. Per sottrarlo da 8? Sottrai 10 e aggiungi 2. Per sottrarlo da 7? Sottrai 10 e aggiungi 3. Per sottrarlo da 6? Sottrai 10 e aggiungi 4. Per sottrarlo da 90? Sottrai 100 e aggiungi 10. Per sottrarlo da 80? Sottrai 100 e aggiungi 20. Per sottrarlo da 70? Sottrai 100 e aggiungi 30. Per sottrarlo da 95? Sottrai 100 e aggiungi 5. Il modo più semplice per sottrarre è arrotondare e poi sistemare aggiungendo la differenza.

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Quanto fa 284 meno 68? Sottrai 70 da 284 e aggiungi 2. 284 - 70 = 214 214 + 2 = 216 È facile farlo a mente. Il calcolo con carta e matita comporta il trasporto e il prestito. In questo modo è molto più facile. Come calcoleresti 537 - 298? Di nuovo useresti carta e penna. Il modo più semplice è sottrarre 300 e aggiungere 2. 537 - 300 = 237 237 + 2 = 239 Utilizzando il calcolo con carta e matita nel modo in cui viene insegnato a scuola dovresti prendere in prestito due volte. Per sottrarre 87 da un numero, sottrai 100 e aggiungi 13 (perché 100 è 13 in più di quanto volevi sottrarre). Esempio: 432 - 87 = 432 – 100 = 332; 332 + 13 = 345 Sottrai 100 per ottenere 332. Aggiungi 13 per ottenere 345. Facile no?!

NUMERI INTORNO A 100 Quando sottrai un numero appena inferiore a 100 da un numero sopra 100, esiste un metodo semplice. Disegna un cerchio sotto il numero che stai sottraendo e scrivi l’importo che è necessario per ottenere 100. Disegna un altro cerchio sul numero più grande e scrivi il valore superiore a 100. Questo trasforma la sottrazione in somma. Esempio: 123 – 75 = 123 = 100 + 23 75 = 100 - 25 29


Imposta la sottrazione così: 23 123 - 75 = 25 Somma 23 + 25 e avrai la risposta: 48. Un altro esempio: 132 - 88 = 32 132 - 88 = 12 32 + 12 = 44 Questa tecnica funziona per qualsiasi numero sopra e sotto le centinaia o migliaia. 364 - 278 = 64 364 - 278 = 22 64 + 22 = 86 Funziona anche per sottrarre numeri vicini alle decine. 13 - 6 = 3 13 - 6 = 4 3+4=7 Un ultimo esempio: 46 - 37 = 6 46 - 37 = 3 6+3=9 Se hai commesso degli errori, torna indietro, leggi la spiegazione e prova di nuovo. 30


SOTTRAZIONE SCRITTA FACILE La differenza tra sottrazione standard e la sottrazione facile è piccola ma importante. Adesso ti spiegherò la sottrazione facile con un nuovo metodo di trasporto e prestito. Ecco una tipica sottrazione: 82653897= 4368 La soluzione potrebbe apparire così: 715 82653897= 4368 Ecco come funziona: devi sottrarre 7 da 5. Non puoi farlo, “prendi in prestito” 1 dalla colonna delle decine che diventa 10. Cancella il 6 delle decine e sostituiscilo con 5. Qui sta la differenza. Non dici 7 da 15, ma 7 da 10, ovvero 10 - 7 = 3 a cui devi sommare 5 per avere 8, la prima cifra ____8. Con questo metodo, non sottrai mai da un numero maggiore di 10. E poi devi sommare. Continuando, nelle decine, non puoi sottrarre 9 da 5, prendi in prestito di nuovo (il 2 diventa 1). 10 - 9 = 1; 1 + 5 = 6; la cifra delle decine __68. Sei arrivato alle centinaia, non puoi sottrarre 8 da 1, prendi in prestito di nuovo (l’8 delle migliaia diventa 7). 10 - 8 = 2; 2 + 1 = 3, la cifra delle centinaia __368. L’ultima cifra della risposta è 7 - 3 = 4. Il risultato è 4.368.

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TUTTI DAL 9 E L’ULTIMO DA 10 C’è un metodo semplice per sottrarre un numero che termina con diversi zeri. Questo può essere utile quando utilizzi 100 o 1.000 come Basi. La regola è il sutra:“Tutti dal 9 e l’ultimo da 10” Sottrai ogni cifra da 9 e la cifra delle unità da 10. Per esempio: 1000368= Sottrai 3 da 9 e ottieni 6 Sottrai 6 da 9 e ottieni 3 Sottrai 8 da 10 e ottieni 2 Risultato: 632 Ecco cosa hai fatto veramente. Il problema era: 1000368= 632 Hai sottratto 1 da 1.000, per ottenere 999. Poi hai sottratto 368 da 999 senza riporti e prestiti (perché nessuna cifra nel numero che stai sottraendo può essere maggiore di 9). Hai compensato aggiungendo nuovamente 1 all’ultima cifra da 10 invece di 9. Quindi quello che hai calcolato veramente era questo: 9 9 9 + 1368 = 631+1 Questo metodo rende facili molti problemi di sottrazione. Se dovessi calcolare 40.000 meno 3.594, dovresti fare così: 4000003594=

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Sottrai 1 dalla cifra a sinistra (4) per ottenere 3, la prima cifra della risposta. (Stai sottraendo 3.594 da 39.999 e poi aggiungi 1.) Prima cifra è 3, poi 3 da 9 è 6; 5 da 9 è 4; 9 da 9 è 0. 4 da 10 è 6. La risposta è 36.406. Potresti fare il calcolo mentalmente. Potresti dire la risposta: “Trentaseimila quattrocento sei”. Prova. Con un poco di pratica puoi dire le cifre senza fermarti. Potresti trovare più facile dire: “Tre, sei, quattro, zero, sei”.

SOTTRAENDO NUMERI PIU’ PICCOLI Se il numero che stai sottraendo è piccolo, aggiungi gli zeri (almeno mentalmente) per ottenere il calcolo. Prova 45.000 - 23. Metti gli zeri davanti al sottraendo fino alla prima cifra che non è uno 0. Scrivi il primo 4 e sottrai 1 dalla seconda cifra (5 - 1 = 4). 450000023= 4 4......... Adesso applica la regola “tutti dal 9 e l’ultimo da 10”. 450000023= 44977 Questo ti sarà utile per calcolare i numeri da scrivere nei cerchi quando utilizzerai 100 o 1.000 come base per la moltiplicazione. I vantaggi di questo metodo è che diventa automatico e può essere eseguito con meno possibilità di sbagliare.

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Matematica vedica - Divertimento e magia

Moltiplicazioni


MOLTIPLICAZIONI Adesso voglio farti vedere quante scorciatoie e modalità diverse ci sono nelle moltiplicazioni, ma prima ricorda le sue proprietà: Commutativa: 4 x 3 x 5 = 4 x 5 x 3 = 60. Associativa: 3 x 5 x 2 = (3 x 5) x 2 = 15 x 2 = 30. Queste due le hai già viste nell’addizione e funzionano allo stesso modo. Invece la proprietà dissociativa permette di sostituire un fattore con un prodotto di numeri che danno come risultato il fattore sostituito, senza che il risultato finale cambi. Esempio: 160 x 24 = (160 x 3) x 8 = 480 x 8 = 3.840 La proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto alla somma o differenza di due o più numeri, dice che: per moltiplicare un numero per una somma o per una differenza, si può moltiplicare il numero per ciascun termine della somma (o differenza) e successivamente addizionare (o sottrarre) i risultati. Esempio: 26 x 8 = (20 + 6) x 8 = 160 + 48 = 208. Tabelline Utilizzando il metodo della matematica vedica non importa se dimentichi una tabellina. Perché? Perché se non sai una risposta, puoi fare un calcolo velocissimo per ottenere una soluzione immediata. Vuoi essere più veloce di una calcolatrice? Sono necessari cinque o dieci minuti di pratica con questo metodo ogni giorno. Ti è stato spiegato che per evitare di effettuare tante somme come ad esempio 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 = ... Puoi utilizzare la moltiplicazione, che significa appunto (in questo caso) sommare 8 volte 7 e si scrive: 7x8= La soluzione è: 7 x 8 = 56.

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BASI Ti mostro un sistema che permette di calcolare subito le tabelline (se le dimentichi) e non solo. (Come vedrai ho dedicato ampio spazio alle moltiplicazioni con le basi perché, oltre a farti effettuare le moltiplicazioni con facilità ed eleganza, ti sarà di grande aiuto nell’imparare tecniche e ragionamenti che ti permetteranno di risolvere problemi anche in altre situazioni.) Torna a 7 per 8: Scrivi così: 10 7 × 8 = Il 10 a sinistra del prodotto è la Base (guarda la definizione di base). È quella a cui sottrai i numeri che stai moltiplicando; la scrivi a sinistra del prodotto. Prima domanda: il numero che stai moltiplicando è sopra o sotto la base? In questo caso, entrambi i numeri sono sotto, quindi metti i cerchi sotto i numeri. Quanto sotto 10? 10 - 7 = 3 e 10 - 8 = 2. Scrivi 3 e 2 nei cerchi.

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UTILIZZANDO LA BASE 10 10 7 x 8 = 3 2 Sottrai diagonalmente: 7 - 2 o 8 - 3 avrai sempre 5. Comincia a scrivere 5 dopo il segno di uguale. 10 7 x 8 = 5... 3 2 Moltiplica 5 per la Base, 10. 5 x 10 = 50. (Per moltiplicare per 10 devi aggiungere uno 0) 50 è il totale parziale. Ecco come appare il calcolo adesso: 10 7 x 8 = 50... 3 2 Moltiplica i numeri nei cerchi. 3 x 2 = 6. Aggiungi questo al totale parziale di 50 per ottenere la risposta finale 56. Il calcolo completo è: 10 7 x 8 = 50 + 3 2 = 6 Risposta 56 Questo calcolo ti sembra banale? Vedi le basi 100 e 1000!

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UTILIZZANDO LA BASE 100 Prova a moltiplicare 96 × 97. La Base è 100, verifica quanto manca a 100 dai due numeri. 96 = 100 - 4 e 97 = 100 - 3. Scrivi 4 e 3 nei cerchi sotto. Sottrai diagonalmente: 96 - 3 o 97 - 4 avrai sempre 93. Moltiplica per 100 e hai 9.300. Poi somma il prodotto nei cerchi. 100 96 x 97 = 93... 4 x 3 93 x 100 = 9.300 + 12 = Risposta 9.312 Puoi usare questo metodo per fare i calcoli a mente. Prova come esempio con 98 x 98. Sottraendo 98 da 100 due volte ottieni in entrambi i casi 2. Sottrai 2 da 98, e hai 96. Dici la risposta ad alta voce, non devi dire “Novantasei”, ma “Novemila seicento e. . .” novemila seicento è la risposta che ottieni moltiplicando 96 per la Base 100. Ora moltiplica i numeri nei cerchi: 2 x 2 = 4. Puoi pronunciare la risposta completa: “Novemila seicento quattro”. Ecco come appare il calcolo completo nella tua mente: 100 98 x 98 = 96... 2 2 96 x 100 = 9.600 + 4= Risposta 9.604

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UTILIZZANDO LA BASE 1000 Prova a moltiplicare 997 × 996. La Base è 1000, e verifica quanto manca a 1000 dai due numeri. 997 = 1000 - 3 e 996 = 1000 - 4. Scrivi 3 e 4 nei cerchi sotto. Sottrai diagonalmente 997 - 4 o 996 - 3 avrai sempre 993. Moltiplica per 1.000 e hai 993.000. Poi somma il prodotto nei cerchi (3 x 4 = 12). 1000 997 x 996 = 993... 3 4 993 x 1000 = 993.000 + 12 = Risposta 993.012 E’ molto più facile farlo che spiegarlo. Hai mai imparato a fare i calcoli così velocemente? Che cosa succede se desideri moltiplicare i numeri sopra la Base; sopra 10 o 100? Il metodo funziona ancora? Scoprilo.

MOLTIPLICARE I NUMERI SOPRA LE DECINE Ecco come moltiplicare i numeri più grandi di 10. Userai 13 × 15 come esempio e 10 come base. 10 13 × 15 = Sia 13 che 15 sono sopra la base 10. Disegna i cerchi sopra i numeri, invece che sotto come hai fatto prima. Quanto sono più grandi di 10? 13 = 10 + 3 e 15 = 10 + 5, perciò scrivi 3 e 5 nei cerchi sopra 13 e 15. 3 5 10 13 × 15 = 40


Adesso devi sommare diagonalmente 13 + 5 o 15 + 3 avrai sempre 18. Comincia a scrivere 18 dopo il segno di uguale. 3 5 10 13 × 15 = 18... Moltiplica 18 per la Base 10 e ottieni 180. 180 è il totale parziale, scrivilo dopo il segno di uguale. Per l’ultimo passaggio, moltiplica i numeri nei cerchi. 3 per 5 è uguale a 15. Aggiungi 15 a 180 e ottieni la risposta di 195. Ecco il problema risolto: 3 5 15 + 10 13 x 15 = 180 Risposta 195 Se i numeri sono sopra 100 o 1.000 utilizzerai lo stesso sistema che hai usato per i numeri sopra le decine.

Regole Se il numero che stai moltiplicando è più grande della Base, metti il cerchio sopra. Se il numero che stai moltiplicando è minore della Base, metti il cerchio sotto. Se il numero con il cerchio si trova sopra, somma in diagonale. Se il numero con il cerchio si trova sotto, sottrai in diagonale. Ricorda I numeri nei cerchi che stanno sopra sono numeri positivi i numeri nei cerchi che si trovano sotto sono numeri negativi.

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NUMERI SOPRA E SOTTO LA BASE E se hai un numero minore e uno maggiore della base? Se i numeri nei cerchi sono uno sotto e uno sopra, il prodotto si sottrae al risultato ma la procedura è sempre la stessa. Ecco gli esempi con Base 10, 100 e 1000 Esempio: 12 x 9 = 108 12 = 10 + 2, mentre 9 = 10 - 1. Metterai 2 sopra e 1 sotto nei cerchi. Attenzione, devi sottrarre 12 - 1 o sommare 9 + 2. In entrambi i casi otterrai 11. Moltiplica 11 x 10 (la base) = 110. Devi sottrarre a 110 il prodotto dei numeri nei cerchi 2 x 1= 2. 2 10 12 x 9 = 110 1 2x1= 2 Risultato 108 Esempio: 102 x 96 = 9.792 102 = 100 + 2 mentre 96 = 100 - 4. Metterai un cerchio sopra e uno sotto. 102 - 4 o 96 + 2 = 98. Come prima, moltiplica 98 x 100 = 9.800 2 100 102 x 96 = 9.800 4 4x2= 8 Risultato 9.792 Esempio: 1003 x 995 = 997.985 1003 = 1000 +3 mentre 995 = 1000 - 5. Metterai un cerchio sopra e uno sotto. 1003 - 5 o 995 + 3 = 998. Moltiplica 998 x 1000 = 998.000 3 1000 1003 x 995 = 998.000 5 3x5= 15 Risultato 997.985

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Attenzione, queste moltiplicazioni sono semplicissime per i numeri vicini alle Basi. Vedrai più avanti come effettuare moltiplicazioni se i numeri sono distanti dalle Basi. Adesso divertiti con altri calcoli. I cerchi ti serviranno come riferimento per i primi calcoli ma poi quando hai capito il meccanismo potrai farne a meno, infatti adesso non li utilizzerò più. Hai visto che le basi (10, 100, 1000...) permettono di effettuare i calcoli in modo semplice, ma puoi utilizzare anche basi diverse. Ad esempio 20, 50, 200. Prima di usare queste basi ti ricordo ancora che i numeri devono essere vicini. Ad esempio, per la base 20 vanno bene i numeri da 16 a 19 e da 21 a 24. Perché? Ricorda sempre che la matematica vedica o indiana tende a rendere semplici i calcoli e quindi le operazioni sono fatte sempre (quando possibile) con numeri piccoli. Questo è anche il motivo per cui basta conoscere le tabelline fino al 5 e le altre le puoi ricavare.

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BASE 20

Esempi: 23 x 22 = 506 23 = 20 + 3 mentre 22 = 20 + 2. Somma 23 + 2 o 22 + 3, ottieni 25. Moltiplica per 20. (E’ più semplice moltiplicare prima per 10 e poi per 2). 25 x 10 = 250; 250 x 2 = 500. 3 2 20 23 x 22 = Risultato

3x2=

6+ 500 506

17 x 19 = 323 17 = 20 - 3 mentre 19 = 20 - 1. Sottrai 17 - 1 o 19 - 3, ottieni 16. Moltiplica per 20. 16 x 10 = 160; 160 x 2 = 320. 20 17 x 19 = 3 1 Risultato

3x1=

320 + 3 323

23 x 18 = 414 23 = 20 + 3 mentre 18 = 20 - 2. Sottrai 23 - 2 o somma 18 + 3, ottieni 21. Moltiplica per 20. 21 x 10 = 210; 210 x 2 = 420. 3 20 23 x 18 = 2 Risultato

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3x2=

420 6 414


BASE 50

Calcola 53 x 52 = 2.756 Somma 53 + 2 o 52 + 3 = 55. Poi moltiplica per 50. (E’ più semplice moltiplicare per 100 e dividere per 2.) 55 x 100 = 5.500; 5.500 : 2 = 2.750 3 2 3x2= 6 + 50 53 x 52 = 2.750 Risultato 2.756 47 x 49 = 2.303. Sottrai 47 - 1 o 49 - 3 = 46 Moltiplica per 50. 46 x 100 = 4.600; 4.600 : 2 = 2.300 50 47 x 49 = 3 1 2.300 + 3x1= 3 Risultato 2.303 53 x 48 = 2.554. Sottrai 53 - 2 o somma 48 + 3 = 51 Moltiplica per 50. 51 x 100 = 5.100; 5.100 : 2 = 2.550 3 50 53 x 48 = 2 2.550 3x2= 6 Risultato 2.544 Come vedi ottieni molto semplicemente i risultati, se devi fare calcoli con 2, 5, 10, 20, 50. APPROFONDIMENTO Devi sapere che (come vedrai più avanti negli anni con gli studi) il prodotto è positivo se i due numeri sono entrambi positivi (stanno sopra) o entrambi negativi (stanno sotto) invece il prodotto è negativo se un numero è negativo (si trova sotto) e uno è positivo (si trova sopra). 45


DOPPIA MOLTIPLICAZIONE Può capitare che utilizzando le Basi ottieni dei numeri più grandi da moltiplicare. Nessuna paura, anche in questo caso puoi usare il metodo delle Basi con la doppia moltiplicazione: Ad esempio, moltiplica 88 x 84. (numeri con maggior distanza da 100) Usa 100 come base. Tutti e due i numeri sono inferiori a 100, devi metterli sotto. 100 – 88 =12 e 100 - 84 = 16. 100 88 x 84 12 16 Ora sottrai diagonalmente: 84 - 12 o 88 – 16 = 72. Moltiplica 72 per la Base 100, ottieni 7.200. Il calcolo è questo: 100 88 × 84 = 72... 12 16 72 x 100 = 7.200 Tot. parziale Ora moltiplica 12 x 16. (hai ottenuto numeri maggiori di 10) Se, come penso, non sai farla, puoi effettuare un’ altra moltiplicazione con base 10). I numeri sono maggiori di 10 e vanno scritti sopra: 12 + 6 o 16 + 2 = 18. 2 6 10 12 × 16 = 18... 18 x 10 = 180 + 2 x 6 = 12 192 Tot. parziale Somma questa risposta al totale precedente 7.200 + 192 = 7.392 Se facessi il calcolo a mente, dovresti aggiungere 100, poi 92, in questo modo: 7.200 più 100 fa 7.300, più 92 è 7.392. Semplice no?!

46


MOLTIPLICARE NUMERI PICCOLI Potresti aver notato che il metodo di moltiplicazione con le basi non funziona con alcuni numeri. Prova 6 × 4. 10 6 × 4 = 4 6 Usando la Base 10, 6 e 4 sono inferiori a 10 e vanno sotto. Sottraendo in diagonale. 6 - 6 = 0 o 4 - 4 = 0 e moltiplicando i numeri sotto: 4 × 6 = 24. Si ritorna alla moltiplicazione iniziale, con le cifre invertite, il metodo non aiuta. C’è un modo per far funzionare il metodo in questo caso? C’è, ma devi usare una Base diversa. Il problema non è il metodo ma la scelta della Base. Prova con Base 5. E’ la metà di 10 o 10 : 2. Il modo più semplice per effettuare una moltiplicazione per 5 è moltiplicare per 10 e dimezzare la risposta. 6 è 5 + 1, metti 1 sopra. 4 è 5 - 1, metti 1 sotto. 1 5 6×4= 1 Somma o sottrai in diagonale: 6-1=5o4+1=5 Moltiplica 5 per la base 5 e ottieni 25. Moltiplica i due numeri sopra e sotto: 1 × 1 = 1. Il risultato devi sottrarlo dal totale: 1 5 6 × 4 = 5... 1 5 x 5 = 25 1x1= 1 Risposta 24 Questo è un metodo lungo e complicato per moltiplicare numeri piccoli, ma funziona, puoi utilizzarlo e sicuramente acquisirai una maggior confidenza con i calcoli. 47


In realtà, queste strategie svilupperanno anche la tua capacità di pensare lateralmente, molto importante per il tuo successo nello studio e nella vita. Che cos’è il pensiero laterale: “Quando devi risolvere un problema, a volte è meglio, invece che insistere sempre nella stessa direzione, provare a spostare lo sguardo un po’... di lato. Puoi arrivare così a scoprire una strada alternativa che porta alla soluzione”

UN METODO PER RISOLVERE MOLTIPLICAZIONI CON BASI DIVERSE La comprensione di questo semplice principio può aiutarti a risolvere alcuni problemi che sembrano difficili, ma possono essere adattati per farli diventare facili. Ecco un esempio. 8 × 79 = Quale BASE userai? Potresti usare 10 come BASE per 8, ma 79 è più vicino a 100. Forse potresti usare 50. Il metodo delle Basi è più facile da usare quando i numeri sono vicini tra loro. Allora, come risolvi il problema? Perché non consideri 8 come 8,0? (pensiero laterale) Non c’è differenza tra 8 e 8,0. Il primo numero è uguale 8; anche il secondo numero è uguale a 8, ma è preciso fino a un valore decimale. Il numero non cambia. Puoi usare 8,0 e risolvere il problema come se fosse 80, come hai fatto sopra. Ora puoi utilizzare la Base 100. Vedi cosa accade: 100 80 × 79 = 20 21 Adesso il problema è facile. Sottrai in diagonale. 79 - 20 o 80 - 21 = 59 48


Moltiplica 59 per la BASE (100) ottieni 5.900. Moltiplica i numeri in basso 21 x 20. Moltiplicazione per 20. (Puoi moltiplicare prima per 10 e poi per 2). 21 x 10 = 210; 210 x 2 = 420. Somma il risultato al totale parziale. 5.900 + 420 = 6.320 Il calcolo completo è questo: 100 80 × 79 = 59... 20 21 59 x 100 = 5.900 + 20 x 21 = 420 Risultato 6.320 Ora devi inserire la virgola. Quante cifre ci sono dopo la virgola? Una, lo 0 che hai inserito. Togli una cifra e ottieni 632,0 = 632.

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MOLTIPLICARE CON 2 BASI La regola generale per utilizzare una base nella moltiplicazione è sceglierla vicino ai due numeri. Se possibile, con entrambi sopra o sotto in modo da avere una somma. Se i numeri non sono vicini? In questo caso è impossibile scegliere una base vicina a entrambi i numeri. Ecco un esempio di come funziona il metodo utilizzando due Basi: 8 × 37 = Innanzitutto, la prima base deve essere un numero facile da usare come moltiplicatore, ad esempio 10 o 100. In questo caso scegli 10 come Base per 8. La seconda base deve essere un multiplo della prima. Potrebbe essere il doppio, tre volte, quattro volte la Base. In questo caso sceglierai 40 come seconda Base che è uguale a 4 volte 10. Scrivi le basi tra parentesi a lato della moltiplicazione, quella facile scritta prima e la seconda base come multiplo del prima. Scriverai 40 come (10 × 4), 10 è la base principale e 4 un multiplo della base principale. Scriverai così: (10 × 4) 8 × 37 = Entrambi i numeri sono sotto le basi, scrivili sotto, sono 2 e 3. (10 × 4) 8 × 37 = 2 3 Ecco cosa cambia. (Non puoi effettuare la differenza incrociata, le basi sono diverse) Moltiplica il 2 per il multiplo della prima base, 4, tra parentesi. 2 x 4 = 8. Inserisci il numero 8 sotto il 2. Il calcolo è questo: (10 × 4) 8 × 37 = 2 3 8 Ora devi sottrarre: 37 - 8 = 29 Adesso è tutto come prima! Comincia a scrivere 29 dopo il segno di uguale. 50


(10 × 4) 8 × 37 = 29... 2 3 8 Moltiplica 29 per la base principale, 10, e ottieni 290. Poi moltiplica i numeri sotto (2 × 3 = 6) e somma il risultato a 290. (10 × 4) 8 × 37 = 29... 2 3 29 x 10 = 290 + 8 6= Risultato 296 Il calcolo è facile. L’unico problema potrebbe essere quello di ricordare i vari passaggi. Scoprirai che puoi facilmente eseguire i calcoli a mente.

51


APPROFONDIMENTO Perché si possono utilizzare le BASI nella moltiplicazione. Ecco due diverse spiegazioni… 1. Calcoli a mente. Il modo più efficiente per fare a mente 97 x 96 è prendere ad esempio 97, sottrarre da esso quanto manca a 100 da 96 (che è 4). 97 – 4 = 93. Moltiplicare per la base ( 93 x 100 = 9.300) e sommare 4 × 3 = 12. Modificare mentalmente la prima parte della risposta se c’è un riporto. 2.Spiegazione grafica 97 x 96:

A

B

C Nei disegni devi calcolare 97 x 96 9.700 - 400 = 9.300; 9.300 + 12 = 9.312

D

Il quadrato di sinistra A di lati 97 x 96 è composto da un rettangolo B di lati 97 x 100 meno il rettangolo C di lati 4 x 100 a cui va sommato il rettangolino D di lati 3 x 4. In formula: A = B – C + D ovvero 9.700 – 400 + 12. N.B. La terza spiegazione, quella algebrica, è inserita nelle esercitazioni delle moltiplicazioni.

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MOLTIPLICAZIONE “IN VERTICALE E DIAGONALE” Quando non è possibile utilizzare le basi c’è un altro metodo per effettuare le moltiplicazioni. Il metodo è indicato con il sutra “in verticale e in diagonale”. Con questo metodo puoi ottenere la risposta della moltiplicazione in un solo passaggio, come indicato di seguito: 23x 12= 276 Ecco come fare: Passo1 Moltiplica le ultime cifre in verticale, cioè 3 × 2 = 6. Scrivi 6. 23x 12= 6 Passo 2 Incrocia i moltiplicandi e somma i prodotti, (2 × 2) + (3 × 1) = 7. Scrivi il 7 al secondo posto della risposta (le decine). 23x 12= 76 Passo 3 Moltiplica le prime cifre in verticale, 2 × 1 = 2 e scrivi il 2. 23x 12= 276 Questo è il risultato finale. Tieni nota dei tre passaggi per moltiplicare due numeri di 2 cifre tra loro. 53


a) *

*

*

*

b)

*

c) *

*

*

Ecco un altro esempio. 24x 25= Passo 1 4 x 5 = 20. Scrivi 0 e riporta 2 Passo 2 2 x 5 + 2 x 4 = 18 e 2 che riportavi 20. Scrivi 0 e riporta 2 Passo 3 2 x 2 = 4 e 2 che riportavi dà 6 Risposta = 600 24x 25= 600 Moltiplica 31 per 25 Moltiplica 1 per 5 in verticale e ottieni 5 31x 25= 5 Poi moltiplica (3 × 5) + (2 × 1) e ottieni 17. Scrivi 7 al posto delle decine e riporta 1. 31x 25= 75 Infine, moltiplica (3 × 2) e ottieni 6. Ma, siccome avevi il riporto di 1, la risposta è 7. 54


31x 25= 775 Ulteriore esempio di numeri a 2 cifre: 23 x 14 = 23x 14= 322 Innanzitutto, moltiplica 3 x 4 e ottieni 12. Scrivi 2 e riporta 1. La risposta parziale è_____2. Successivamente, incrocia i moltiplicandi (2 × 4) e (3 × 1) e sommali. Il totale è 11. Aggiungi 1 del riporto. Il totale è 12. Scrivi 2 e riporta 1. (La risposta parziale è _____22) Infine, moltiplica (2 × 1) e ottieni 2. Aggiungi il riporto 1 e ottieni 3. La risposta finale è 322. Ecco come il sistema di moltiplicazione Verticale-diagonale aiuta a ottenere la risposta in una sola riga! Il fatto sorprendente è che questo sistema può essere esteso alla moltiplicazione anche con un numero di cifre maggiori. E in ogni caso, sarai in grado di ottenere la risposta in una sola riga. Dai un’occhiata alla moltiplicazione di un numero di tre cifre per un altro di tre cifre. a b c d e * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * Esempio: Come suggerito dal punto (a), moltiplica 1 per 2 e ottieni 2. 121x 302= 2 Poi come indicato dal punto (b), moltiplica (2 × 2) e somma a (1 × 0). La risposta è 4. 55


121x 302= 42 Punto (c), moltiplica (1 × 2); (2 × 0) e (3 × 1). Sommali e ottieni 5. 121x 302= 542 Punto (d), moltiplica (1 × 0) e (3 × 2). Ottieni 6. 121x 302= 6542 Punto (e) alla fine, moltiplica la parte sinistra delle cifre (1 × 3) e ottieni 3. 121x 302= 36542 Risultato di 121 x 302 = 36.542

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ALCUNE CARATTERISTICHE PARTICOLARI DELLE MOLTIPLICAZIONI La tabellina del 9! Se non conosci bene la tabellina del 9 voglio presentarti una particolare curiosità. Nel prodotto, il primo numero aumenta sempre di 1 e l’ultimo diminuisce di 1, perciò basta ricordarne uno solo per ottenere subito gli altri. Vedi un esempio: 9 x 1 = 09 (ho messo lo 0 davanti per farti capire meglio), 9 x 2 aumenta di 1 il primo numero (che è 0) e diminuisci di 1 il secondo (che è 9) otterrai 18, … E così via.. 9x1 =09 9x2 =18 primo aumenta (0+1=1) e secondo diminuisce 9x3 =27 “ “ (1+1=2) e “ “ 9x4 =36 “ “ (2+1=3) e “ “ 9x5 =45 “ “ (3+1=4) e “ “ 9x6 =54 “ “ (4+1=5) e “ “ 9x7 =63 “ “ (5+1=6) e “ “ 9x8 =72 “ “ (6+1=7) e “ “ 9x9 =81 “ “ (7+1=8) e “ “

(9-1=8) (8-1=7) (7-1=6) (6-1=5) (5-1=4) (4-1=3) (3-1=2) (2-1=1)

La somma delle cifre è sempre 9!

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MOLTIPLICAZIONI PARTICOLARI Schema delle moltiplicazioni per 5, 50, 500, 25, 250 Moltiplicazione

Passo 1

Passo 2

Esempio

x 5 = 10 : 2

Aggiungi uno zero a destra

Dividi per 2 il risultato

42 x 5 = 420 : 2 = 210

x 50 = 100 : 2

Aggiungi due zeri a destra

Dividi per 2 il risultato

42 x 50 = 4.200 : 2 = 2.100

x 500 = 1000 : 2

Aggiungi tre zeri a destra

Dividi per 2 il risultato

x 25 = 100 : 4

Aggiungi due zeri a destra

Dividi due 42 x 25 = 4.200 : (2 x 2)= 1.050 volte per due il risultato

x 25 = 1000 : 4 Aggiungi tre zeri a destra

Dividi due volte per due il risultato

42 x 500 = 42.000 : 2 = 21.000

42 x 25 = 42.000 : (2 x 2)=10.500

MOLTIPLICAZIONE PER 5 Se devi moltiplicare un numero pari per 5, dimezzalo e aggiungi uno zero alla fine. Per esempio: 26 x 5 = ? 26 : 2 = 13 13 x 10 = 130 Ottieni 130. Se devi moltiplicare un numero dispari per 5, togli 1 per ottenere un numero pari. Dividilo per 2 e aggiungi cinque alla fine. Per esempio: 23 x 5 = ? 22 : 2 = 11 11; 5 = 115 Ottieni 115. 58


MOLTIPLICAZIONE PER 11 Guarda come è facile e immediato moltiplicare qualsiasi numero a due cifre per undici. Esempio: 32 x 11 Per trovare il risultato, somma le cifre, 3 + 2 = 5, metti la somma (5) tra il 3 e il 2, e avrai la risposta: 352 Facile e sorprendente! Ora prova: 53 x 11 Siccome 5 + 3 = 8, la risposta è 583 E adesso quanto fa 81 x 11? Hai ottenuto 891? Benissimo, hai capito il meccanismo. Adesso vedi un caso più generale. Devi calcolare 85 x 11 8 + 5 = 13, la risposta NON è 8.135! Come prima, il 3 va tra i due numeri, ma l’1 devi aggiungerlo all’8 per ottenere la risposta corretta che è: 935 Pensa al problema in questo modo: 1 835 935 Ecco un altro esempio. Prova 57 x 11. Siccome 5 + 7 = 12 riporta 1 1 527 627

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NUMERI CON ULTIME CIFRE A SOMMA DIECI E CIFRE RIMANENTI UGUALI In Matematica vedica, questa moltiplicazione è molto semplice. Ci sono due condizioni necessarie. a) Prima condizione: le ultime cifre devono avere somma 10 b) Seconda condizione: le cifre rimanenti devono essere uguali. Se queste due condizioni sono verificate si calcola facilmente il risultato: 1) Si moltiplica il primo numero per il successivo 2) Si moltiplicano le ultime cifre 3) Si mette insieme il risultato Ecco alcuni esempi: 66 x 107 x 91 x 51 x 64 = 103 = 99 = 59 = Calcoli: In questo caso il primo numero 6 si moltiplica per il successivo 7 66 x 64 = 6 x 7 = 42 6 x 4 = 24 42 24 Risultato: 4.224 Altri esempi. Funziona anche con un numero di 3 cifre… in questo caso il primo numero è composto da due cifre (10) che si moltiplica per 11. 107 x 103 = 10 x 11 = 110 7 x 3 = 21 110 21 Risultato: 11.021 60


Il primo numero è 9 che si moltiplica per il successivo 10 91 x 99 = 9 x 10 = 90 9 x 1 = 09 90 09 Risultato: 9.009 Il primo numero è 5 che si moltiplica per il successivo 6 51 x 59 = 5 x 6 = 30 9 x 1 = 09 30 09 Risultato: 3.009

MOLTIPLICA UN NUMERO CON UN NUMERO UGUALE DI NOVE Adesso vedrai come effettuare in modo semplice moltiplicazioni sempre più complesse in particolare con numeri con tanti nove. Quando hai capito (è semplicissimo...) potrai presentarti come un calcolatore umano!! Regola: a) Sottrai 1 dal numero dove non ci sono i nove. b) Sottrai poi, da questo numero, ogni cifra da 9. Metti insieme i due risultati nell’ordine in cui li hai ottenuti. Moltiplica 654 per 999. 654 x 999 = 653 346 61


a) Sottrai 1 da 654 e scrivi la prima metà della risposta 653___. b) Sottrai 653, ogni cifra da 999; 9 - 6 = 3; 9 - 5 = 4; 9 - 3 = 6. • Scrivi le cifre 3, 4 e 6 dopo 653 La risposta completa è 653.346 Avresti mai immaginato di fare questa moltiplicazione più velocemente di una calcolatrice? Moltiplica 9994 per 9999 9994 x 9999 = 9993 0006 Sottrai uno dal 9994 e scrivi 9993. Questa è la metà sinistra della risposta. Successivamente, sottrai ciascuna delle cifre di 9993 da 9999 e scrivi la risposta come 0006. Questa diventa la metà destra della risposta. La risposta completa è 99.930.006 Moltiplica 456789 per 999999 456789 x 999999 = 456788 543211 Sottrai 1 da 456789 e ottieni 456788. Scrivilo a sinistra. Successivamente, sottrai ciascuna delle cifre di 456788 (lato sinistro) da 999999 e ottieni 543211 che diventa la parte destra della risposta. La risposta completa è 456.788.543.211

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MOLTIPLICA UN NUMERO CON UN NUMERO MAGGIORE DI 9 Moltiplica 45 per 999 45 x 999 = Ci sono tre nove al moltiplicatore. Il moltiplicando 45 invece ha solo due cifre. Aggiungi uno zero e converti 45 in 045 così diventa un numero di tre cifre. Adesso, puoi usare la procedura spiegata nel caso iniziale. 045 x 999 = 044 955 Prima sottrai 1 da 045 e lo scrivi 044__. Successivamente, sottrai ciascuna delle cifre di 044 da 999 e scrivi la risposta 955. La risposta è 44.955. Moltiplica 654 per 99 In questo caso il numero di cifre è maggiore del numero di nove nel moltiplicatore. Invece di moltiplicare il numero 654 per 99 lo moltiplicherai per (100 - 1). Per prima cosa moltiplicherai 654 per 100 e poi sottrarrai da esso 654 (654 x 1 = 654). 654 x 99 654 x 100 = 65.400 654 = 64.746

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REGOLA SEGRETA PER SEMPLIFICARE ALCUNE MOLTIPLICAZIONI Considera due numeri che hanno come somma 20 (esempio 10 e 10) e prova a calcolare il prodotto. Poi aumenta di uno il primo e diminuisci di uno il secondo. Il prodotto maggiore lo ottieni quando i numeri sono entrambi uguali a 10, vedi lo schema: Numeri 10 x 10 11 x 9 12 x 8 13 x 7 14 x 6 15 x 5

Somma 20 10 + 10 11 + 9 12 + 8 13 + 7 14 + 6 15 + 5

Prodotto 100 99 96 91 84 75

Differenza da 100 ---1 4 9 16 25

Lo schema spiega che se i numeri si allontanano in modo equidistante, il prodotto diminuisce. E quanto diminuisce da 100? 1, 4, 9, 16, … che rappresentano 12, 22, 32, 42, e così via. Vedi se lo schema funziona sempre allo stesso modo, considera un altro esempio, il prodotto di due numeri che hanno somma 24. Numeri 12 x 12 13 x 11 14 x 10 15 x 9 16 x 8 17 x 7

Somma 24 12 + 12 13 + 11 14 + 10 15 + 9 16 + 8 17 + 7

Prodotto 144 143 140 135 128 119

Differenza da 144 ---1 4 9 16 25

Di nuovo, il prodotto è massimo quando i due numeri sono uguali, mentre diminuisce da 144 prima di 1, poi 4, 9…. 64


Puoi fare delle moltiplicazioni in modo semplice perché questa regola è sempre verificata. Così per calcolare 19 x 21 Ricorda che 20 x 20 = 400 (basta togliere 1 a 400) = 399. Oppure se vuoi calcolare 18 x 22 (togli 4 a 400) = 396. Questo schema puoi usarlo per il calcolo veloce del quadrato dei numeri. Per esempio, immagina di voler elevare al quadrato 98. Invece di calcolare direttamente 98 × 98, moltiplica 100 × 96 = 9.600 che è più facile. Hai quasi la risposta: siccome ti sei allontanato di 2 devi aggiungere 22 = 4. ATTENZIONE in questo caso 98 x 98 è il valore più grande mentre 100 x 96 è inferiore di 2 posti perciò devi aggiungere 4 al risultato. Il calcolo completo è: 982 = (100 × 96) + 22 = 9.600 + 4 = 9.604

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MOLTIPLICAZIONE GRAFICA O CINESE La prima delle moltiplicazioni grafiche che vedrai, è la “Moltiplicazione cinese”, che è molto più semplice rispetto alla moltiplicazione in colonna, un po’ perché, a tutti gli effetti, permette di operare solo disegnando delle “bacchette” e senza sapere nemmeno una tabellina. Inoltre, qualora non avessi a disposizione carta e penna, puoi utilizzare dei bastoncini o dei fiammiferi. Ecco come funziona: Per ogni cifra del primo numero da moltiplicare dovrai disegnare, dalbasso verso l’alto, altrettanti gruppi di linee oblique ed orientate come il simbolo “\” (quindi, per esempio, se hai due cifre ci vorranno due gruppi di linee, tre cifre, tre gruppi di linee, etc.). Ogni gruppo, inoltre, dovrà avere un numero di linee pari al valore della cifra. Per esempio, se devi moltiplicare “12” dovrai rappresentarlo disegnando una linea e poi altre due, disposte in questo modo:

Per ogni cifra del secondo numero da moltiplicare “34” dovrai disegnare, ora, dall’alto verso il basso, altrettanti gruppi di linee, ma orientate perpendicolarmente.

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Se devi moltiplicare “34 x 12” sovrapponi alle linee del 12 le linee del 34.

3

... 4

3;

......

... . 4 + 6;

6

...... ..

8

8;

In alcuni punti del disegno noterai che le linee si sono incrociate e che è possibile raggruppare gli incroci. Cerchia questi gruppi, se ti è più comodo, e conta quanti incroci sono presenti in ogni gruppo. Alcuni sono allineati verticalmente, come fossero “in colonna”. Somma i numeri degli incroci così allineati e riportali in basso. Qui, per esempio, sono allineati i due gruppi centrali (4 + 6) che, sommati, danno 10. Scrivi 10 in basso. Scrivi i numeri dei gruppi che “rimangono da soli” 3 e 8. Se una qualunque somma ti dà un numero maggiore di 10, lascia solo l’unità e riporta la cifra delle decine verso sinistra. In questo caso, per esempio, dovrai riportare l’1 del “10” al 3 ottenendo 4. Metti insieme le cifre 3, 10 e 8 ed ecco il risultato: 408. Nota bene: Devi cominciare a prendere le cifre a partire da destra.

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I BASTONCINI DI NEPERO Questi strumenti di calcolo furono presentati dal matematico scozzese Giovanni Nepero (1550 - 1617) in un volume intitolato Rabdologie, pubblicato a Edimburgo nel 1617. Sono una serie di dieci bastoncini di legno con una faccia divisa in dieci quadrati nei quali, eccetto il primo, è tracciata la diagonale che va dall’alto a destra in basso a sinistra. Nel regolo base sono stampate le cifre decimali da 1 a 9 (base 10) 1 2 R E 3 G O 4 L 5 O 6 B A 7 S 8 E 9

0

1

2

3

4

0

2

4

6

8

0

3

6

0

4

0

5

0

6

0

7

0

8

0

9

1 1 1 1 1

8 0 2 4 6 8

1 1 1 2 2 2

9 2 5 8 1 4 7

1 1 2 2 2 3 3

2 6 0 4 8 2 6

5 1 1 2 2 3 3 4 4

0 5 0 5 0 5 0 5

6 1 1 2 3 3 4 4 5

2 8 4 0 6 2 8 4

7 1 2 2 3 4 4 5 6

4 1 8 5 2 9 6 3

8 1 2 3 4 4 5 6 7

6 4 6 0 8 6 4 2

9 1 2 3 4 5 6 7 8

8 7 6 5 4 3 2 1

mentre negli altri quadratini in ogni bastoncino sono riportati i multipli del numero che sta in testa: le decine nel triangolo superiore e le unità nel triangolo inferiore. Con questi regoli effettuare una moltiplicazione e semplice, perché si riduce ad un’addizione. Per esempio, volendo calcolare 548 x 5, si affiancano, i bastoncini intestati 5, 4, 8 a un bastoncino-base sul quale sono stampate le cifre da 1 a 9. E su questo bastoncino-base che va considerato il moltiplicatore 5. Il prodotto si ricava dai bastoncini sommando in diagonale da destra verso sinistra i numeri riportati nelle caselle interessate:

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5 1 1 2 2 3 3 4 4

0 5 0 5 0 5 0 5

4 1 1 2 2 2 3 3

8 2 6 0 4 8 2 6

1 2 3 4 4 5 6 7

8

1

6

2

4

3

6

4

0

5

8

6

6

7

4

8

2

9

548 x 5 = 2; 5 + 2; 0 + 4; 0 = 2.740 Realizza questi bastoncini con dei cartoncini e vedrai che fare le moltiplicazioni sarà divertente e “costruttivo”.

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METODO RETICOLARE Il “Metodo reticolare della moltiplicazione” è un vecchio metodo che fu usato nelle scuole d’Inghilterra oltre 400 anni fa, per moltiplicare numeri interi. Per effettuare una moltiplicazione con questo metodo, crea una griglia formata da tanti quadrati quanti sono i numeri da moltiplicare e suddividi ogni quadrato con una diagonale. Esempio moltiplicare 348 per 734: (devi creare una griglia 3 x 3)

Il moltiplicando è scritto in alto (348) e il moltiplicatore a destra (734). Devi moltiplicare ogni fattore e scrivere il prodotto nella casella appropriata; ad esempio, moltiplica 8 x 4 e inserisci 32 nel quadrato comune alla colonna per 8 e alla riga per 4. I numeri a destra delle linee diagonali sono le unità; quelli a sinistra sono le decine. Moltiplica 4 x 4, 4 x 3, 3 x 8, 3 x 4, 3 x 3, 7 x 8, 7 x 4 e 3 x 7 in qualsiasi ordine. Inserisci i risultati nei quadrati corretti per completare la moltiplicazione. Il risultato deve essere simile all’esempio. Ora, per ottenere la risposta, devi effettuare le somme nelle diagonali, a cominciare dall’angolo in basso a destra. La prima diagonale di destra ha solo una cifra: 2. Pertanto, scrivi 2 nella parte inferiore. 70


La seconda (andando verso sinistra) contiene 4, 3 e 6, che sommati danno 13. Scrivi 3 e riporta 1. La terza contiene 6, 2, 2, 1, 2 che sommati danno 13 e 1 che riportava 14, scrivi 4 e riporta 1. La quarta contiene 5, 8, 1, 9, 1 che sommati danno 24 e 1 che riportava 25, scrivi 5 e riporta 2. La quinta contiene 2 e 1 che sommati danno 3 e 2 che riportava 5. Scrivi 5. La sesta diagonale contiene 2, scrivi 2. Il risultato letto dall’alto in basso e da sinistra a destra è 255.432 Altro Esempio Moltiplica 1.345 per 719:

Risultato 967.055 Prova con altri calcoli usando questo metodo. E’ molto utile per fare pratica con le tabelline della moltiplicazione.

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MOLTIPLICAZIONE EGIZIA Ecco un esempio per farti capire come facevano le moltiplicazioni gli antichi egiziani. Moltiplica 17 x 25. Disegna due colonne sotto la moltiplicazione. Nella colonna di sinistra, inizia da 1 e continua a raddoppiare fino a quando non superi 17 . Nella colonna di destra scrivi il numero in alto (25 in questo esempio) e continua a raddoppiarlo fino a livello del numero di sinistra: 17 x 25 17 x 25 1 1 25 2 2 50 4 4 100 8 8 200 16 16 400 I numeri nella colonna di sinistra che sommati danno il numero 17 sono: 1 + 16 = 17. Somma i numeri nella colonna di destra che corrispondono ai numeri della colonna di sinistra (1 e 16) : 25 + 400 = 425. 17 x 25 = 425

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MOLTIPLICAZIONE CON LE DITA Tabellina del 9 con le dita Tieni entrambe le mani con i palmi davanti a te. Immagina che ogni dito sia numerato da 1 a 10 con il pollice sinistro che rappresenta 1 e il pollice destro che rappresenta 10. Se devi moltiplicare 9 per un numero, piega il dito che lo rappresenta. Nell’esempio seguente, 9 è moltiplicato per 4, quindi il quarto dito è piegato. Per avere la risposta a 9 x 4, conta le dita a sinistra del dito piegato. Ci sono 3 dita e la risposta è delle decine, rappresenta 30. Conta le dita a destra del dito piegato. Ci sono 6 dita e la risposta è nelle unità, quindi questo rappresenta 6.

Totale 36.

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TABELLINA DEL 6 - 7 - 8 Inizia tenendo le mani davanti a te in modo da poter vedere i palmi. Immagina che le dita di ciascuna mano siano numerate da 6 a 10 con 6 sui pollici e 10 sui mignoli. Se devi moltiplicare un numero compreso tra 6 e 10 per un altro numero sempre tra 6 e 10, tocca le dita insieme per rappresentarli. Nell’ esempio seguente, 8 è moltiplicato per 7 così quelle dita si toccano. Conta le dita sopra quelle che si toccano, insieme a 8 e 7. Sono 5, rappresentano le decine, cioè 50. Poi le dita sotto, sono 2 a sinistra e 3 a destra. Moltiplica 3 x 2 = 6; 50 + 6 = 56.

Moltissime sono le operazioni che si possono fare con le dita, infatti per gli antichi era lo strumento più a portata di mano! Ho riportato solo questi esempi per farti capire come funziona.

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Matematica vedica - Divertimento e magia

Divisioni


DIVISIONI Le proprietà della Divisione Invariantiva Es. 28 : 4 = (28 x 2) : (4 x 2) = 7 28 : 4 = (28 : 2) : (4 : 2) = 7 (se dividi o moltiplichi dividendo e divisore per la stessa quantità, il risultato finale, “il quoziente” non cambia). Distributiva Es. (24 + 18) : 3 = 24 : 3 + 18 : 3 = 8 + 6 = 14 (24 - 18) : 3 = 24 : 3 - 18 : 3 = 8 - 6 = 2 (dividere una somma o una differenza per un numero, equivale a dividere ogni termine della somma o della differenza per quel numero, per poi addizionare o sottrarre i risultati ottenuti). Ti presento alcune scorciatoie prima di arrivare alla Divisione per fattori e alla Divisione generale.

DIVISIONI PER 9 Quando dividi un numero a due cifre per 9, la prima cifra del numero è il quoziente e il resto lo ottieni sommando le cifre. Esempio 42 : 9 = 4 resto 6. La prima cifra 4 è il quoziente e la somma delle cifre 6 è il resto. Se la somma delle cifre è 9 o superiore? Ad esempio, se dividi 65 per 9, la prima cifra, 6 è il quoziente e il resto è dato dalla somma di 6 + 5 = 11. Il risultato 6 resto 11 non ha senso, perché non puoi avere un resto maggiore del divisore. Dividi 11 per 9 ancora una volta avrai 1 con resto 2, somma 1 al quoziente (6 + 1) e il 2 che rimane da 11 diventa il nuovo resto. Il risultato é: quoziente 7 resto 2. 65 : 9 = 7 resto 2. Dividere un numero per 9 può diventare semplice come fare addizioni. 76


Altro esempio: 316 : 9 = 35 resto 1. Scrivi la prima cifra del risultato: 3. Somma la prima cifra alla seconda 3 + 1 = 4 (seconda cifra). Il quoziente è 34. Somma il risultato 4 alla terza cifra: 4 + 6 = 10 (resto). Il resto è maggiore del divisore. Fai di nuovo la divisione per 9. 10 : 9 = 1 con resto 1. Somma 1 al quoziente 34 + 1 = 35 con resto 1.

DIVISIONI CON NUMERI CHE TERMINANO CON 5 Per dividere per un numero di due cifre che termina con 5, raddoppia entrambi i numeri e utilizza i fattori. Il risultato sarà lo stesso. Esempio 512 : 35 = 14 resto 4. Il doppio di 500 è 1.000. Il doppio di 12 è 24. 512 raddoppiato è 1.024. Il doppio di 35 è 70. Il problema ora è dividere 1.024 : 70 Dividi 1.024 per 10, poi per 7. 1.024 : 10 = 102,4; 102,4 : 7 = ?; 10 diviso 7 è 1 con resto 3; 1 è la prima cifra. Aggiungi il resto 3 al 2, ottieni 32. 32 : 7 = 4 con resto 4. Hai come risposta finale 14 con resto 4.

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DIVIDERE PER FATTORI CON DECIMALI I fattori sono i divisori del numero. Puoi effettuare una divisione usando i fattori fino al numero desiderato di cifre decimali. Metti tanti zeri quante sono le cifre decimali richieste, poi aggiungine un altro. Questo fa sì che il calcolo delle cifre decimali sia accurato. Se dividi 1.486 per 28 e vuoi due posizioni decimali, inserisci tre zeri al dividendo. Dividerai 1.486,000 : 28. 28 = 4 x 7, pertanto dividi prima per 4 e poi per 7. Dividi per 4 1.486,000 : 4 28 371,500 -- 6 20 Dividi per 7 371,500 : 7 21 53,071 -- 5 50 10 3

il 4 nel 14 ci sta 3 volte con resto 2. il 4 nel 28 ci sta 7 volte con resto 0. Il 4 nel 6 ci sta 1 volta con resto 2. Il 4 nel 20 ci sta 5 volte con resto 0. (Si aggiungono i due 0). il 7 nel 37 ci sta 5 volte con resto 2. il 7 nel 21 ci sta 3 volte con resto 0. il 7 nel 5 ci sta 0 volte con resto 5. il 7 nel 50 ci sta 7 volte con resto 1. il 7 nel 10 ci sta 1 volta con resto 3…

ARROTONDARE I DECIMALI Per arrotondare a due cifre decimali, guarda la terza cifra. Se è inferiore a 5, lascia la seconda cifra così com’ è. Se la terza cifra è 5 o maggiore, aggiungi 1 alla seconda cifra. Risultato 53,07 78


DIVISIONI A DUE CIFRE CON FATTORI Sono certo che hai difficoltà a effettuare la divisione a più cifre, seguimi e troverai una risposta semplice. “Per dividere un numero per 6, devi conoscere la tabellina del 6. Per dividere un numero per 7, devi conoscere la tabellina del 7…” Ma se vuoi dividere un numero per 36? Devi conoscere la tabellina del 36? No, se dividi utilizzando la scomposizione in fattori. Esempio, se devi effettuare la divisione 2340 : 36 = 65 Puoi utilizzare come fattori 9 e 4 oppure 6 e 6. Usa 6 e 6. Inizia a dividere 2340 : 6 il 6 nel 23 ci sta 3 volte con resto 5 54 390 il 6 nel 54 ci sta 9 volte con resto 0; 0 Risultato 390 Adesso devi dividere 390 : 6 30 65 0 Risultato 65

il 6 nel 39 ci sta 6 volte con resto 3. il 6 nel 30 ci sta 5 volte con resto 0.

Una buona regola generale nella divisione per fattori è dividere prima per il numero più piccolo e poi per il numero più grande. Il numero sarà inferiore quando devi dividere per il numero maggiore. Se devi dividere 2.562 per 21, dividi prima per 3, quindi per 7. Quando dividi per 7, hai un numero inferiore su cui lavorare. 2.562 : 3 = 854 854 : 7 = 122 È più facile dividere 854 per 7 che dividere 2.562 per 7.

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DIVISIONI PER NUMERI PRIMI La divisione per fattori funziona bene per numeri come 36 = 6 × 6; 27 = 3 × 9 e qualsiasi altro numero che può essere facilmente ridotto a fattori. Ma per quanto riguarda la divisione per numeri come 29, 31 o 37, che non si riducono a fattori? Questi sono i numeri primi; gli unici fattori di un numero primo sono 1 e il numero stesso. Ecco come funziona il metodo in questi casi. Se vuoi dividere 12.345 per 29 non puoi utilizzare la divisione per fattori perché 29 è un numero primo. Non può essere suddiviso in fattori, quindi utilizza la divisione standard. Procedi come per la divisione a una cifra. Prova a dividere 1 per 29, ovviamente non puoi farlo. Abbassa la cifra successiva e dividi 12 per 29. 12 è ancora troppo piccolo - è inferiore al numero per cui stai dividendo – quindi abbassa la cifra successiva per ottenere 123. Dividi 123 per 29. Qui hai il problema; sicuramente non conosci la tabellina del 29, come puoi sapere quante volte 29 entra in 123? Ecco come si fa più semplicemente la divisione a due cifre, ma non viene spiegata sempre così. Arrotonda il numero che stai dividendo. Arrotonda 29 a 30. Dividi per 30 mentre procedi per stimare la risposta, poi però calcola per 29. Come dividi per 30? 30 è 10 per 3, quindi dividi per 10 e 3 per stimare ogni cifra della risposta. Dividi 123 per 10 e poi per 3. Per dividere (approssimativamente) 123 per 10, puoi semplicemente togliere l’ultima cifra del numero, rimuovi il 3 da 123 e ottieni 12. Poi dividi 12 per 3 e ottieni 4. Scrivi come prima cifra della risposta 4. 123 : 29 4

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Adesso però moltiplica 4 per 29 (non per 30) per trovare il resto. 4 x 29 = 116. E’ più semplice moltiplicare 4 per 30 e poi sottrarre 4 , ovvero 4 × (30 - 1) = 120 - 4 = 116. Sottrai 116 da 123 per ottenere il resto 7. 12345 : 29 116 425 74 58 165

4 per 29 è 116; 123 – 116 = 7 Abbassa il 4 e hai 74 74 diviso 29 (74 dividi per 30. 74 :10 = 7 circa; 7 diviso 3 è 2) 2 per 29 = 58; 74 – 58 = 74 - 60 + 2 = 14 + 2 = 16 Abbassa il 5; Dividi 165 per 30 165 diviso 30 è 165 diviso 10 = 16; 16 diviso 3 è 5 5 per 29 = 5 x (30-1) = 150 – 5 = 145. Sottrai 145 da 165

145 20 Risposta 425 con resto 20;

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DIVISIONI CON METODO NIKILAM (devi considerare il complemento a 100 o a 1.000) 234 : 87 = 2 34 : 87 26 2 60 431 : 89 = 4 31 : 89 44 4 75 2307 : 98 = 23 07 : 98 46 23 53

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Stacca due cifre da destra. Abbassa il 2. Calcola il complemento a 100 di 87 che è 13 2 x 13 = 26; Scrivi 26 sotto 34; 34 + 26 = 60 Risultato: Quoziente 2 Resto 60; Stacca due cifre da destra. Abbassa il 4. Calcola il complemento a 100 di 89 che è 11. 11 x 4 = 44; Scrivi 44 sotto 31; 31 + 44 = 75 Risultato: Quoziente 4 Resto 75; Stacca due cifre da destra. Abbassa il 23. Calcola il complemento a 100 che è 2. 23 x 2 = 46; Scrivi 46 sotto 7; 7 + 46 = 53 Risultato: Quoziente 23 Resto 53;


DIVISIONE “PRIMO DAL PRIMO E ULTIMO DALL’ULTIMO” Ecco un bel metodo per dividere i numeri con il resto. Come nel caso della moltiplicazione “lunga”, anche per la divisione “lunga” la risposta può essere in una riga. Esempio 369 : 72 = 5 resto 9 Usa il sutra “primo dal primo e ultimo dall’ultimo”. Dividi il 36 parte prima di 369 per la prima cifra di 72. 36 : 7 = 5 resto 1. Scrivi il resto 1 davanti al 9 e diventa 19. Sottrai al 19 il prodotto di 5 per l’ultima cifra di 72: 5 x 2 = 10. 19 - 10 = 9 il resto. Altro esempio 468 : 73 = 6 resto 30 Dividi il 46 parte prima di 468 per la prima cifra di 73. 46 : 7 = 6 resto 4. Scrivi il resto 4 davanti all’8 e diventa 48. Sottrai a 48 (6 x 3 =18) che è il prodotto di 6 per l’ultima cifra di 73: 48 - 18 = 30 il resto.

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DIVISIONE “CROWNING GEM” Ti presento un vera gemma, detta ”crowning gem”, chiamata così perché è una tra le principali applicazioni dei sutra e rappresenta una notevole semplificazione della divisione tradizionale (va bene per tutte le divisioni). E’ conosciuta anche come metodo bandiera. Indipendentemente dal numero di cifre del divisore, la divisione sarà effettuata sempre con una cifra o al massimo 2. La struttura è la seguente Bandiera Divisore |Dividendo Quoziente |Resto Esempio 321: 63 Inserisci una barra tra il Divisore e Dividendo e una barra prima dell’ultima cifra per i decimali. Imposta la divisione così (6 è l’asta e 3 la bandiera): (scriverai la bandiera e i resti che otterrai con numeri più piccoli)

6 3 32

1

2

15 5

6

Il 3 non puoi dividerlo per 6, invece 32 diviso 6 è 5 con resto di 2. Il 2 lo metti piccolo davanti al numero successivo 1 e diventa 21. Moltiplica 5 per la bandiera 5 x 3 otterrai 15. 21 – 15 = 6. La divisione è terminata 321 : 63 = 5 con resto 6.

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Altro esempio: 9216 : 72 = 128 resto 0 Inserisci una barra tra il Divisore e Dividendo e una barra prima dell’ultima cifra per i decimali. Imposta la divisione così (7 è l’asta e 2 la bandiera):

72 9

2 2 20 1 2 2

1 16 4 16 57 0 8 6

9 diviso 7 è 1 con resto 2; 2 davanti a 2 = 22 1 per la bandiera 2 = 2; 22 – 2 = 20 20 diviso 7 = 2 resto 6; 6 davanti a 1 è 61 2 per la bandiera 2; 2 x 2 = 4; 61 – 4 = 57 57 diviso 7 = 8 resto 1; 1 davanti al 6 è 16 8 per la bandiera 2; 8x2 = 16; 16 – 16 = 0 Non c’è resto. La divisione è terminata 9216 : 72 = 128. Le operazioni sono ripetitive. Dividi per l’asta della bandiera, moltiplica per la bandiera e sottrai

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COME FUNZIONA LA “PROVA DEL 9” La somma delle cifre della moltiplicazione di qualsiasi numero per nove darà sempre 9, sommando le cifre finché non ottieni un numero di una sola cifra. Questo è un modo semplice per capire se un numero è divisibile per 9. Se le cifre di un numero qualsiasi hanno somma 9 o un multiplo di 9, il numero è divisibile per 9. Se le cifre di un numero hanno somma diversa da 9, questo numero è il resto che otterresti dopo aver diviso il numero per 9. Esempio: 13 = 1 + 3 = 4; 4 è il resto della divisione di 13 per 9. Per effettuare la prova del 9 puoi utilizzare i numeri sostitutivi. Puoi capire i numeri sostitutivi guardando se è corretta la seguente moltiplicazione: 456 x 831 = 368.936 I numeri sostitutivi sono quelli ottenuti sommando le cifre: 4 + 5 + 6 = 9 + 6 = 15; 1 + 5 = 6 (6 è il numero sostitutivo di 456) 8 + 3 + 1 = 9 + 3 = 12; 1 + 2 = 3 (3 è il numero sostitutivo di 831) (Ricorda puoi togliere tutti i 9 o i numeri che sommano 9). Così il numero sostitutivo di 368.936 è 8. 3+6+8+9+3+6=8 Controlla se i numeri sostitutivi funzionano correttamente: Il prodotto dei numeri sostitutivi è 6 x 3 = 18; 1 + 8 = 9. Siccome il numero sostitutivo del prodotto è 8, hai commesso un errore da qualche parte, la moltiplicazione non è corretta. Il risultato corretto è 378.936. Infatti 3 + 7 + 8 + 9 + 3 + 6 = 18 = 1 + 8 = 9. La prova del 9 funziona anche sulle addizioni e sottrazioni. Per la divisione devi fare attenzione se c’è il resto, perché lo devi aggiungere al quoziente.

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QUADRATI DEI NUMERI CHE TERMINANO CON “5” Un piccolo segreto. Ottieni immediatamente il quadrato dei numeri che terminano con 5. Esempio: Trova il quadrato di 65. In 65 la prima cifra è 6, e la successiva è 7. Moltiplica 6 per 7 e scrivi la risposta 42. Le ultime due cifre sono sempre uguali a 25 (5 × 5) e scrivi 25 a destra di 42. La risposta è 4.225. Regola per trovare il quadrato di un numero che termina con 5 a) Moltiplica il primo numero per il successivo b) Scrivi 25 che è il prodotto del secondo numero per sé stesso. Altro esempio: Trova il quadrato di 105. La stessa tecnica può essere estesa a numeri con qualsiasi numero di cifre. Prima del 5 ci sono due cifre 10. La successiva è 11. Moltiplica 10 x 11 = 110. Moltiplica 5 x 5 = 25. La risposta finale è 11.025.

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QUADRATI DI NUMERI VICINI A 100 Se devi elevare al quadrato numeri vicini a 100, come 101, 102, 104…109 ecco come fare (ricorda il metodo delle Basi). 1012 = 10.201 (101 + 1 = 102; 1 x 1 = 01; 102 01). Ricorda che devi sommare a 101 l’1 dell’altro 101 e ottieni 102. Poi moltiplicare 1 x 1 = 1 e aggiungere 01. (01 perché devi mettere due cifre). 1022 = 10.404 (102 + 2 = 104; 2 x 2 = 04; 104 04) 1032 = 10.609 (103 + 3 = 106; 3 x 3 = 09; 106 09) 1042 = 10.816 (104 + 4 = 108; 4 x 4 = 16; 108 16) 1052 = 11.025 (105 + 5 = 110; 5 x 5 = 25; 110 25) 1062 = 11.236 (106 + 6 = 112; 6 x 6 = 36; 112 36) 1072 = 11.449 (107 + 7 = 114; 7 x 7 = 49; 114 49) 1082 = 11.664 (108 + 8 = 116; 8 x 8 = 64; 116 64) 1092 = 11.881 (109 + 9 = 118; 9 x 9 = 81; 118 81) . . .

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QUADRATI DI QUALSIASI NUMERO Duplex Come suggerisce il nome, duplex significa semplicemente doppio. Utilizzerai questo sistema per calcolare in modo semplice i quadrati di qualsiasi numero. Non pensare che esiste la calcolatrice! Utilizza questo metodo per esercitare nel miglior modo la tua mente matematica. Esistono tre tipi di duplex: Duplex di numeri singoli E’ il quadrato del numero oppure a2. Il duplex di 7 è il suo quadrato 49. Il duplex di 8 è 64. Allo stesso modo, il duplex di 5 è 25. Questo è valido solo per le singole cifre. Duplex con numero pari di cifre Ad esempio 73 è un numero con due cifre 7 e 3 (numero pari di cifre). Anche 64 ha un numero pari di cifre, 6 e 4. Ora per trovare il duplex con numero pari di cifre devi applicare la formula 2ab, dove a e b sono prima e seconda cifra. Supponi di dover trovare il duplex di 81: a = 8, b = 1; per cui sarà 2ab = 2 × 8 × 1 = 16. Il duplex di 81 è 16. Il duplex di 73 è 2 × 7 × 3 = 42. Il duplex di 1.234 invece è dato dalla formula: 2ad + 2bc = (2 × 1 × 4) + (2 × 2 × 3) = 8 + 12 = 20. (devi moltiplicare le cifre esterne e le cifre interne per 2) Il duplex di 8.231 è (2 × 8 × 1) + (2 × 2 × 3) = 16 + 12 = 28. Un altro esempio: Il duplex di 7.351 è (2 × 7 × 1) + (2 × 3 × 5) = 14 + 30 = 44. Spero sia chiaro. Ancora un po’ di pazienza, ti spiego come funzionano i duplex di numeri con cifre dispari e poi potrai calcolare qualsiasi quadrato! 89


Duplex con numero dispari di cifre E’ una combinazione del duplex di singole cifre e duplex con numero pari di cifre: un ibrido dei due che hai appena imparato. Ad esempio 178 ha un numero dispari di cifre. Per trovare il duplex applicherai la formula m2 + 2ab dove m è il numero centrale, a e b sono rispettivamente prima e ultima cifra. Calcola il duplex di 372. 72 + (2 × 3 × 2) = 49 + 12 = 61. Il duplex di 286: 82 + (2 × 2 × 6) = 64 + 24 = 88. Il duplex di 789: 82 + (2 × 7 × 9) = 64 + 126 = 190. Quando avrai capito il concetto di duplex vedrai che fare i quadrati è facile e divertente! Trovare quadrati usando il metodo duplex Quadrati di numeri a due cifre Primo esempio: 572. (ab)2 = Duplex (a|ab|b) Devi scrivere di seguito i numeri separati da una barra. I numeri sono a = 5 e b = 7. Passo 1 Il duplex di 5 è 25. Il duplex di 57 applicando la formula 2ab è 2 × 5 × 7 = 70. Il duplex di 7 è 49. Scrivi i duplex in questo modo: 25 | 70 | 49 Passo 2 Trasforma i tre numeri tra le barre in uno solo, una cifra per ogni barra. Inizia a sommare da destra a sinistra. Scrivi 9 da 49 e riporta 4. Somma 70 + 4 = 74. Scrivi 4 e riporta 7. 90


Infine somma 25 + 7 (riporto) = 32. Metti insieme le cifre e ottieni 3.249. Quindi 572 = 3.249. Altro esempio: Trova il quadrato di 74. Passo 1 Calcola i duplex di tutte le cifre. Il duplex di 7 è 49. Il duplex di 74 è 2 × 7 × 4 = 56. Il duplex di 4, che è 16. Ora scrivi i duplex: 49 | 56 | 16 Passo 2 Scrivi 6 da 16 e riporta 1. 56 + 1 = 57. Scrivi 7 e riporta 5. Infine 49 + 5 = 54. Il quadrato di 74 è 5.476. Sono sicuro che, con questi esempi, hai capito come funziona!

Quadrati di numeri con tre cifre (abc)2 = Duplex (a|ab|abc|bc|c) Esempio 7462. Calcola i duplex da sinistra a destra. Devi ricordare che in ogni colonna ci darà solo una cifra, proprio come prima. Passo 1 Trova il duplex di a, ab, abc, bc e c. Il duplex di 7 è 49. Il duplex di 74 è 2 × 7 × 4 = 56. Il duplex di 746 è m2 + 2ac = 42 + (2 × 7 × 6) = 16 + 84 = 100. Il duplex di 46 è 2 × 4 × 6 = 48. Il duplex di 6 è 36. 91


I duplex di 7462 sono i seguenti: 49 | 56 | 100 | 48 | 36 Passo 2 Ogni colonna deve diventare una cifra. Scrivi 6 e riporta 3. 3 + 48 = 51. Scrivi 1 e riporta 5. 100 + 5 = 105; scrivi 5 e riporta 10. 56 + 10 = 66. Scrivi 6 e riporta 6 Per ultimo 49 + 6 = 55. Il quadrato di 746 è 556.516. Trovare i duplex è una cosa e sommare i risultati è un’altra. Devi essere abile in entrambe le operazioni e vedrai che calcolare i quadrati sarà un gioco da ragazzi!

Esercizio Prova a calcolare il quadrato di un numero a 4 cifre. Esempio: 28942 Il duplex di 4 cifre (abcd)2 = (a|ab|abc|abcd|bcd|cd|d). Per verificare il risultato vedi la soluzione a pagina 106.

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CRITERI DI DIVISIBILITA’ Che cos’è la divisibilità. Ovvero come puoi verificare se un determinato numero è divisibile per un altro. Ecco alcune regole di divisibilità dei numeri. Come verificare se un numero è divisibile per 2? - Risposta: l’ultima cifra deve essere pari: 2, 4, 6, 8 o 0. Come verificare se un numero è divisibile per 3? - Risposta: somma tutte le cifre e se la somma è divisibile per 3, anche il numero è divisibile per 3. Esempio: 345, è divisibile per 3, perché 3 + 4 + 5 = 12 12 è un multiplo di 3. Come verificare se un numero è divisibile per 4? Risposta: se le ultime due cifre di un numero sono divisibili per 4, allora il numero è divisibile per 4. Ad esempio, 8732, le ultime due cifre 32, sono divisibili per 4; quindi 8732 è divisibile per 4. Come verificare se un numero è divisibile per 5? Risposta: Un numero è divisibile per 5, se l’ultima cifra è 0 o 5. Come verificare se un numero è divisibile per 6? Risposta: 6 è un numero composto da 2 e 3, perciò devi controllare se è divisibile per 2 e per 3. Come verificare se un numero è divisibile per 7? Risposta: effettua i seguenti calcoli. - Moltiplica l’ultima cifra per 2. - Sottrai il risultato dal resto del numero. - Ripeti le due operazioni finché non diventa facile verificare se il numero è divisibile per 7. Esempio 1.344 è divisibile per 7? 4 x 2 = 8 (moltiplica l’ultima cifra per 2) 134 - 8 = 126 (sottrai dal resto del numero) Non sai ancora se è divisibile per 7, ripeti le operazioni su 126 93


6 x 2 = 12 (moltiplica l’ultima cifra per 2) 12 -12 = 0 (sottrai dal resto del numero). Il risultato è 0 il numero è divisibile per 7. Anche se il risultato era 7 il numero è divisibile per 7. Come verificare se un numero è divisibile per 8? Risposta: Se le ultime tre cifre sono divisibili per 8, allora il numero è divisibile per 8. Esempio: 337312, le ultime tre cifre 312 sono divisibili per 8. Il numero è divisibile per 8. Come verificare se un numero è divisibile per 9? Risposta: se la somma di tutte le cifre è 9 o a un multiplo di 9 il numero è divisibile per 9. Come verificare se un numero è divisibile per 10? Risposta: un numero è divisibile per 10 se termina con 0 Come verificare se un numero è divisibile per 11? Risposta: se la differenza tra la somma delle cifre di posto dispari e quelle di posto pari è uguale a 0, 11 o un suo multiplo. Es. 15.345 è divisibile per 11 perché 1 + 3 + 5 = 9; 5 + 4 = 9 e 9 - 9 = 0

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STIMA (ORDINI DI GRANDEZZA) E’ molto importante effettuare una stima quando fai dei calcoli. Quando fai acquisti devi fare una stima per sapere se hai i soldi necessari (ti conviene farla sempre in eccesso). Hai utilizzato questo metodo quando hai fatto la divisione standard a due cifre arrotondando il divisore. Devi calcolare 399 x 58. Per ottenere una stima, moltiplica 400 x 60 ovvero 4 × 6 × 100 × 10, che è 24.000. Visto che hai arrotondato entrambi gli importi per eccesso, il risultato è inferiore a 24.000. Il calcolo esatto è 23.142, ma la tua stima ti dice subito qual è l’ordine di grandezza. La regola generale è provare ad arrotondare verso l’alto e verso il basso il più equamente possibile. Come arrotonderesti i seguenti numeri: 123; 409; 12.857; 948; 830? Le tue risposte dipendono dal grado di accuratezza che desideri. Probabilmente arrotonderai il primo numero a 125, o anche a 100. Poi 409 a 400; 12.857 a 13.000; 948 a 950 o 1.000; 830 a 800 o 850. Come valuteresti 489 × 706? Moltiplica 500 per 700. Perché un numero è arrotondato per difetto e l’altro per eccesso, ti aspetti che la risposta sia abbastanza vicina. 700 × 500 = 350.000, mentre 489 × 706 = 345.234 La risposta ha un errore molto piccolo. È una buona stima. Stimare le risposte, trovare gli ordini di grandezza è un buon esercizio, in quanto ti dà un’idea della risposta esatta. Cerca di farlo sempre quando utilizzi una calcolatrice, puoi sbagliare a premere i tasti e prendere una risposta per un’altra con ordini di grandezza diversi.

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I NUMERI FIGURATI Ogni numero ha qualità uniche. Tutti i numeri rientrano in diverse categorie, come i numeri pari (2, 4, 6, 8…) e dispari (1, 3, 5, 7, 9...). Un divisore divide esattamente un numero in un altro senza resto. Esempio 3 è divisore di 12 perché divide esattamente 12 in 4 parti (12 : 3 = 4). Invece 5 non è un divisore di 12 (nella divisione di 12 : 5 c’è un resto di 2). Tabella dei divisori Numeri 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Divisori 1 1e2 1e3 1, 2 e 4 1e5 1, 2, 3 e 6 1e7 1, 2, 4 e 8 1, 3 e 9 1, 2, 5 e 10 1 e 11 1, 2, 3, 4, 6 e 12

Numero di Divisori 1 2 2 3 2 4 2 4 3 4 2 6

Come puoi vedere alcuni numeri hanno solo due divisori, il numero stesso e 1, mentre altri hanno più divisori. Il 12, ad esempio, ha sei divisori, mentre 60 ne ha il maggior numero (dodici) per questo motivo fu scelto dai Babilonesi come base per il sistema di numerazione sessagesimale.

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NUMERI PRIMI I numeri primi sono divisibili solo per sé stessi e per 1. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19… Eratostene con il suo crivello (un setaccio) dimostrò come eliminare i numeri che non erano primi (puoi verificare anche tu scrivendo i numeri nel modo seguente, da 1 a 10 nella prima linea, da 11 a 20 nella seconda linea e così via:

Cominciò lasciando libero il numero 2 (primo) e cancellò tutti i numeri divisibili per 2 (4, 6, 8, 10, 12…) Poi il numero 3 (anch’esso primo) e cancellò tutti i divisori (6, 9, 12, 15, 18…). Il 4 non è un numero primo ed era già cancellato. Il numero primo successivo era 5 e cancellò (10, 15, 20, 25...). Poi il 7, 11 e così via. Restarono solo i numeri primi (quelli con lo sfondo chiaro). Nei 50 numeri della tabella ci sono 18 numeri primi. Trova quanti ce ne sono nei numeri da 1 a 100. La ricerca dei numeri primi continua ancora e l’ultimo trovato ha circa ventidue milioni (22.000.000) di cifre.

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NUMERI TRIANGOLARI I numeri triangolari sono 1, 3, 6, 10, 15… e si ottengono sommando al primo 2, al secondo 3, al terzo 4 e così via… aumentando sempre di 1 rispetto al precedente.

Se li rappresenti come in figura potrai rendere visibili proprietà che, sembrerebbero incomprensibili. Prova a sommare, ad esempio, i numeri dispari: 1 1+3=4 1+3+5=9 1 + 3 + 5 + 7 = 16 ... Otterrai i numeri quadrati!

NUMERI QUADRATI

Potrai scoprire molte altre caratteristiche dei numeri figurati più avanti nello studio della Matematica. 98


ESERCITAZIONI Pensa come Carl Gauss... Qual è la somma della prima riga nella tavola pitagorica? Riesci a trovare uno schema per evitare di effettuare la somma?

E adesso quanto vale la somma di tutti i numeri della tavola pitagorica? A prima vista, sembra una domanda complessa come il problema di sommare i primi 100 numeri. Tuttavia, se sei riuscito a trovare quanto vale la somma della prima riga hai familiarizzato con gli schemi meravigliosi che emergono quando i numeri danzano, e hai maggiori probabilità di trovare una risposta elegante al problema. Se non la trovi, puoi guardare la soluzione alla fine degli esercizi.

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ADDIZIONI a) 25 + 9 = b) 46 + 9 = c) 72 + 9 = d) 56 + 8 = e) 37 + 8 = f) 65 + 7 = Risposte: a) 34 b) 55 c) 81 d) 64 e) 45 f) 72 Altre addizioni: a) 23 + 48 = b) 126 + 39 = c) 47 + 34 = d) 424 + 28 = Suggerimenti: a) 23 più 50 = 73; 73 - 2 = 71. b) 126 più 40 = 166; 166 - 1 = 165. c) 50 più 34 = 84; 84 - 3 = 81. d) 424 più 30 = 454; 454 - 2 = 452. Calcoli a mente: a) 531 + 297 = b) 333 + 249 = c) 4.537 + 388 = Suggerimenti: a) somma 300 e sottrai 3; 531 + 300 = 831 - 3 = 828 b) somma 200, poi 50 e sottrai 1; 333 + 200 = 533 + 50 = 583 - 1 = 582 c) somma 400 e sottrai 12; 4.537 + 400 = 4.937 - 12 = 4.925 Colonna magica: 989 + 724 + 102 + 670 + 112 = 2.597; 682 + 324 + 512 + 450 + 112 = 2.080; 354 + 256 + 325 + 450 + 128 = 1.513; 145 + 234 + 415 + 619 + 205 = 1.618. 100


SOTTRAZIONI Fai questi calcoli a mente e scrivi le risposte. a) 86-38 = b) 42 - 9 = c) 184 - 57 = d) 423-70 = e) 651 - 185 = f) 3.424 - 1.895 = Suggerimenti a) devi sottrarre 40 e aggiungere 2. Risultato: 48 b) devi sottrarre 10 e aggiungere 1. Risultato: 33 c) devi sottrarre 60 e aggiungere 3. Risultato: 127 d) devi sottrarre 100 e aggiungere 30. Risultato: 353 e) devi sottrarre 200 e aggiungere 15. Risultato: 466 f) devi sottrarre 2.000 e aggiungere 100, quindi 5. Risultato: 1.529 In ogni caso c’è una facile sottrazione e poi un’addizione. Prova a) 13 - 8 = b) 17 - 8 = c) 12 - 9 = d) 12 - 8 = e) 124 - 88 = f) 161 - 75 = g) 222 - 170 = h) 111 - 80 = i) 132 - 85 = j) 145 - 58 = Risposte: a) 5 b) 9

c) 3

d) 4

e) 36

f) 86

g) 52

h) 31

i) 47

j) 87

Prova: a) 7.325 - 4.568 b) 5.417 - 3.179 Risposte: a) 2.757 b) 2.238 101


Sottrazioni da scomporre. Esempio: 583 - 271 = 583 - 200 - 70 - 1. 936 - 725 = 587 - 298 = 763 - 486 = 204 - 185 = 793 - 402 = “Tutti dal 9 e ultimo da 10”: a) 10.000 - 2.345

b) 60.000 - 41.726

Risposte: a) 7.655 b) 18.274

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MOLTIPLICAZIONI Esercitazioni Base 100 con cerchi:

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Esercitazioni Base 50: a) 45 × 45 = e) 51 × 57 = b) 49 × 49 = f) 54 × 56 = c) 47 × 43 = g) 51 × 68 = d) 44 × 44 = h) 51 × 72 = Risposte: a) 2.025 b) 2.401 c) 2.021 d) 1.936 e) 2.907 f) 3.024 g) 3.468 h) 3.672 Verifica le seguenti Moltiplicazioni (prima cifra uguale e somma delle ultime cifre dieci): 72 x 78 = 5.616 84 x 86 = 7.224 23 x 27 = 621 89 x 81 = 7.209 106 x 104 = 11.024 1003 x 1007 = 1.010.021

Approfondimento - Spiegazione algebrica metodo delle Basi Per capire bene come funziona il metodo delle basi devi conoscere l’algebra. Spiegazione: Esempio 97 x 96 Base 100 Poni la base 100 = B; a e c sono le differenze 3 e 4 rispetto a 100 Avrai: (B - a) x (B - c) = B2 - Bc - Ba + ac; metti in evidenza B tra i primi tre termini, avrai: B x (B - c - a) + ac. Sostituendo i numeri: 100 x (100 – 4 – 3) + 12 = 100 x 93 +12 = 9300 + 12 = 9.312

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DIVISIONI a) 25 : 9 = b) 61 : 9 = c) 34 : 9 = d) 75 : 9 = e) 82 : 9 = Risposte: a)2 r7 b)6 r7

c)3 r7

d)8 r3

e) 9 r1

Divisioni per fattori con due decimali: a) 4.166 : 42 = (Usa 6 × 7 come fattori) b) 2.545 : 35 = (Usa 5 × 7 come fattori) c) 4.213 : 27 = (Usa 3 × 9 come fattori) d) 7.817 : 36 = (Usa 6 × 6 come fattori) Risposte: a) 99,19 b) 72,71

c) 156,04

d) 217,14

Divisioni “primo dal primo e ultimo dall’ultimo” 1) 456 : 87 2) 468 : 73 3) 369 84 4) 543 : 76 5) 357 : 61 6) 131 : 43 Quadrati da verificare 152 = 225 252 = 625 352 =1225 452 = 2025 552 = 3025 852 = 7225 1152 = 13225 (12 x 11 = 132) 2052 = 42025 (20 x 21 = 420)

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SOLUZIONE (PENSA COME GAUSS) La somma dei numeri della prima riga è: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = ... Mettendo in coppia il primo e l’ultimo col metodo di Gauss, ottieni: (1 + 10) + (2 + 9) + (3 + 8) + (4 + 7) + (5 + 6) = ... Ogni coppia ha somma 11. Le coppie sono 5. Totale 5 x 11 = 55. E la somma della seconda riga? Puoi trovarla semplicemente mettendo in evidenza il 2 e ottieni i numeri della prima riga: 2 + 4 + 6 + … + 20 = 2 (1 + 2 + 3 + … + 10) = 2 x 55. Con lo stesso ragionamento, la somma della terza riga vale: 3 + 6 + 9 + 12 + 15… + 30 = 3 (1 + 2 + 3 + … + 10) = 3 x 55 e, continuando, puoi concludere che la somma di tutti i numeri sarà (1 + 2 + 3 + … + 10) x (1 + 2 + 3 + … + 10) = 55 x 55 = 552. Il prodotto lo sai calcolare (ovvero la prima cifra per il numero successivo) (5 x 6) e 25 alla fine = 3.025! SOLUZIONE DEL QUADRATO DI UN NUMERO A 4 CIFRE 2.8942 = 8.375.236 (abcd)2 = (a|ab|abc|abcd|bcd|cd|d) Utilizzando la formula del duplex di 4 cifre si ottiene: Duplex 2 = 4 Duplex 28 = 2 x 8 x 2 = 32 Duplex 289 = 64 + (2 x 2 x 9) = 100 Duplex 2894 = (2 x 2 x 4) + (2 x 8 x 9) = 16 + 144 =160 Duplex 894 = 81 + (2 x 8 x 4) = 81 + 64 = 145 Duplex 94 = 2 x 9 x 4 = 72 Duplex 4 = 16 Duplex: e lasciando una singola cifra per ogni colonna avrai il risultato finale, iniziando da destra: 8.375.236. Attenzione: i primi riporti sono semplici, ma a partire da 145 i riporti sono di due cifre. 106


Matematica vedica - Divertimento e magia

PARTE SECONDA

Piccole e grandi magie matematiche


Vorrei farti vedere com’ è divertente e magico giocare con i numeri. Tutti i giochi magici che ti presento sono semplici da eseguire e per quelli che non conoscono il trucco sembreranno vere e proprie magie. Al docente o genitore: per comprendere molti dei segreti di questi calcoli devi conoscere l’algebra (ti spiegherò alla fine del libro come funziona se sei curioso di saperlo). Piccola magia 1 Chiedi a un amico di pensare un numero qualsiasi di tre cifre e di scriverlo due volte per formare un numero di sei cifre. (Esempio 423.423) Deve dividere questo numero prima per 7, poi per 11 e infine per 13 (o in qualsiasi altro ordine). Digli che sai che in ogni divisione non c’è resto! Come per magia ritroverà il numero che ha pensato! Piccola magia 2 Utilizza la calcolatrice e chiedi a un amico un numero da 2 a 9 e per magia farai uscire tutti i numeri uguali a quello che ti ha detto. Poi moltiplica per 271 e 41 fai vedere il risultato… magia! Piccola magia 3 Chiedi a un amico di pensare a un numero, un qualsiasi numero di una o due cifre. Dopo aver ricordato che non hai alcun modo di conoscere il suo numero, dagli le seguenti istruzioni: 1. Raddoppia il numero 2. Aggiungi 12 3. Dividi il totale per 2 4. Sottrai il numero iniziale. A questo punto dirai: “Stai pensando al numero 6?” Se ad esempio il tuo amico ha pensato 15 Il doppio; 15 x 2 = 30 Aggiungi 12; 30 + 12 = 42 Dividi per 2; 42 : 2 = 21 Sottrai il numero 21 - 15 = 6 Questo vale per tutti i numeri. 108


Piccola magia 4 Per preparare questa magia devi scrivere su un foglio il numero che è il doppio dell’anno in corso. Ad esempio, se stai eseguendo la magia nel 2021 devi scrivere 4,042 (2021 x 2). (Assicurati di includere la virgola dopo la prima cifra in modo che si abbiano meno probabilità di sospettare da dove deriva il numero.) Questa magia va fatta con molti amici o compagni di scuola. Ogni compagno deve avere una penna e un foglio di carta. Dai queste istruzioni. Somma i seguenti numeri: 1. L’ anno in cui sei nato. 2. L’ anno di un evento memorabile: la prima comunione, il matrimonio dei genitori, nascita di un fratello o sorella, qualsiasi cosa. 3. L’ età che hai o che compi quest’anno. 4. Infine, il numero di anni trascorsi da quell’evento memorabile a quest’anno. Calcola il totale e dimmelo. Quando hai finito, mostra la carta su cui hai scritto il tuo numero in modo che tutti possano vederlo. “Quanti di voi hanno questo numero? “ Lo avranno scritto quasi tutti. Solo quelli che hanno sbagliato la somma non avranno la cifra esatta.

Piccola magia 5 Pensa due numeri da 1 a 10. (Esempio 7 e 5) Sommali (7 + 5 = 12) Moltiplica la somma per 10 (12 x 10 = 120). Aggiungi il più grande dei due numeri iniziali (120 + 7 = 127). Sottrai il più piccolo dei numeri iniziali (127 - 5 = 122). Dimmi il numero a cui sei arrivato e ti dirò i numeri di partenza!

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Piccola magia 6 - Giorno e mese di nascita di una persona Con questa tecnica puoi prevedere la data di nascita di un amico o un compagno di scuola. Chiedi al tuo amico: (supponi sia nato il 3 agosto) (a) Memorizza il numero del mese in cui sei nato (gennaio è 1, febbraio 2... agosto 8... dicembre 12); Risultato: 8 (b) Raddoppia questo numero; Risultato 16 (c) Aggiungi 5; Risultato 21 (d) Moltiplicalo per 5; Risultato 105 (e) Metti uno zero alla fine; Risultato 1.050 (f) Aggiungi il giorno di nascita; Risultato 1.050 + 3 = 1.053 Dopo che ha completato i passaggi, fatti dire il risultato. 1.053 Ed ecco! Ascoltando la risposta puoi prevedere la data di nascita! Il giorno 3 e il mese 8 (agosto). Come hai fatto? Vedi le soluzioni. Piccola Magia 7 - Numero scarpe ed età Dai a un amico le seguenti istruzioni: a) Scrivi il tuo numero intero di scarpe (esempio: 40). b) Moltiplica per 100 questo numero (40 x 100 = 4.000). c) Sottrai dal numero ottenuto il tuo anno di nascita (esempio nato il 2008, quindi: 4.000 – 2.008 = 1.992). d) Dimmi il risultato ottenuto (1.992). Dopo pochi secondi, sarai in grado di dire il numero di scarpe e l’età. Non devi far altro che sommare il valore dell’anno in corso al risultato. Se tutti i calcoli sono stati eseguiti correttamente il risultato sarà costituito da un numero composto da quattro cifre: le prime due indicheranno il numero di scarpe, mentre le altre due indicheranno l’età (nell’ esempio, supponendo che l’anno in corso sia il 2021, ottieni questo: 1.992 + 2021 = 4.013 -> 40; 13). Piccola Magia 8 Dici a un compagno di scrivere un numero di sei cifre (Es. 476.077). Fai cambiare l’ordine delle cifre (Es. 747.607). Fai sottrarre il numero più piccolo dal più grande (Es. 271.530). Fai sommare tutte le cifre del risultato e continuare a sommare finché non ha una sola cifra. Fai confrontare il risultato con il tuo, è 9. Perché? 110


Magie con i calendari Considera ad esempio il calendario del mese di Maggio 2021 (qualsiasi altro calendario andrà bene)

I primi matematici notarono molte relazioni all’interno del calendario. Vedi quante magie sono possibili. 1. Tre date Fai selezionare tre date consecutive da un amico e senza vederle fatti dire la somma, tu dirai immediatamente le tre date. Supponi che il tuo amico selezioni il 14, 15 e 16. Somma questi tre valori e ti dice la somma 45. Tu devi semplicemente dividere il totale per 3 (45 : 3 = 15) e il risultato sarà sempre la data centrale. Conoscendo la data centrale, per trovare le altre date devi sottrarre e aggiungere 1. Semplice no!! (Funzionerà sempre anche con altre tre date consecutive) Supponi che invece ti dica che la somma è in verticale ed è 36. Puoi risolvere lo stesso subito il problema. Dividi 36 di nuovo per 3 (36 : 3 = 12). Il risultato, 12, dà ancora una volta il valore centrale. Per trovare la prima data, devi semplicemente sottrarre 7 dalla data centrale e per trovare la terza data devi aggiungere 7. Le date sono 5, 12 e 19. 111


2. Quattro date in un quadrato Fatti dire la somma delle date. Dopo aver ricevuto il totale puoi dire immediatamente le quattro date. Esempio: il totale, in questo caso è 56. Per poter dire le quattro date devi prima scoprire il valore della data più piccola. Per fare questo dividi il totale per 4 e poi sottrai 4 dal risultato. Usando 56, lo dividi per 4, e ottieni 14. 14 - 4 = 10, la data più piccola. La data successiva la ottieni aggiungendo 1. 10 + 1 = 11 Per trovare la terza data, somma 7 al valore della prima data (10 più 7 è uguale a 17) e per trovare l’ultima aggiungi 1 a 17 e ottieni 18. Il quadrato selezionato è quello con le date: (10, 11, 17 e 18). Un altro sistema per ottenere la data più piccola è sottrarre 16 dal totale e dividere il risultato per 4. In questo caso 56 - 16 = 40 e 40 : 4 = 10. La prima data. 3. Nove date in un quadrato Non è necessario avere il totale di tutte le date! Ti basta conoscere solo la somma della prima e ultima data di una delle diagonali. Chiedi al tuo amico di sommare i due estremi di una delle due diagonali. (Nota che entrambe le diagonali danno lo stesso totale!) In questo esempio, il totale è 40. Per determinare il numero centrale devi dividere il totale per 2. 40 : 2 = 20 e 20 è la data centrale. Per trovare la data precedente devi sottrarre 1 da 20 (20 - 1 = 19) e per la successiva aggiungere 1 (20 + 1 = 21). Somma o sottrai 7 dal numero centrale per avere le due date centrali superiori (20 - 7 = 13) e inferiori (20 + 7 = 27), a questo punto ottenere le altre quattro date è semplicissimo e hai ricostruito il quadrato di 9 numeri! 12 13 14 19 20 21 26 27 28 112


Un’ altra magia interessante usando un blocco di nove numeri, puoi essere in grado di dire immediatamente il totale di tutte e nove le date dopo aver ricevuto la data più piccola. Usa l’esempio precedente delle nove date. 12 è la data più piccola. Chiedi al tuo amico di sommare tutti e nove numeri. Prima che inizi la somma, dirai il totale: 180! Il sistema per ottenere la somma è questo: aggiungi 8 e moltiplica il totale per 9. In questo caso somma 12 + 8 = 20, moltiplica per 9 (20 x 9 = 180). Questi passaggi puoi eseguirli rapidamente, per aumentare notevolmente l’effetto magia. I calendari permettono di effettuare una varietà infinita di combinazioni perché si basano sulle successioni numeriche che studierai più avanti negli anni. Grande Magia 1 - L’ età dei figli (uno dei più bei quesiti di magia matematica) Maria e Giovanna si incontrano dopo molti anni al bar e si raccontano la loro vita, alla fine parlano dei propri figli. Maria dice di avere tre figli e siccome conosce la passione per la matematica dell’amica, le chiede di indovinare l’età dandole questa informazione: “Il prodotto della loro età è 36.” Giovanna risponde subito che non può darle la risposta perchè ha troppe poche informazioni. Maria le dà ragione e le fornisce un aiuto: “La somma della loro età è il numero civico che vedi di fronte”. Giovanna, dopo aver avuto questa informazione non riesce ancora a dare la soluzione. Maria le fornisce l’aiuto finale: “Mio figlio, il più grande, ha gli occhi celesti”. Giovanna risponde subito: “Adesso conosco l’età dei tuoi figli”. Com’è possibile che con l’ultimo aiuto, Giovanna conosca l’età dei figli? 113


Grande Magia 2 Fai scrivere a un amico un numero di tre cifre a caso, ma con le cifre in ordine decrescente, come 842 o 951. Digli di scrivere ancora il numero precedente con le cifre invertite. Fai sottrarre questo secondo numero dal primo. Fai invertire le cifre del risultato e somma i due numeri. Esempio: 853 - numero iniziale con cifre decrescenti 358 = cifre invertite 495 + differenza 594 = cifre invertite 1.089 Risultato Ora prova con un numero diverso, se segui bene le istruzioni, il risultato sarà sempre 1.089!

Grande Magia 3 Uno studente pensa un numero e il docente scrive il numero seguente. Ecco un esempio: Studente scrive Studente scrive ancora Docente scrive Studente scrive Docente scrive Risultato

343 Il docente già conosce il risultato 268 * e lo scrive su un foglio. 731 ** 199 + 800 ++ 2.341

Quando lo studente fa la somma dei cinque numeri vede che coincide con quella che ha scritto subito il docente. Come ha fatto il docente a conoscere la somma se ancora non erano stati scritti tutti i numeri? Risposta: Magia della matematica.

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Grande Magia 4 - Serie di Fibonacci Disegna 6 quadratini e fai scrivere da un amico due numeri a piacere inferiori a 10. Come esempio 4 e 6, nel terzo fai inserire la somma dei primi due: 10; nel quarto la somma dei due precedenti e così via… 4 6 10 16 26 42 Totale 104 Ed ecco la magia: Dirai subito il Totale (devi moltiplicare il quinto numero per 4). Ovvero 26 x 4 = 104. Potrai anche dire che la divisione del sesto numero per il quinto è 1,61 arrotondato a due cifre decimali. Queste sono le proprietà della serie di Fibonacci. Estensione Scrivi su un foglio una colonna di numeri da 1 a 10 con uno spazio al fianco. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Questo ha un duplice scopo. Ti permette di assicurare che il tuo compagno scriva esattamente 10 numeri e di individuare il settimo numero a colpo d’occhio. 115


Adesso chiedi all’amico di scrivere due numeri a caso tra 1 e 20 (esempio 6 e 12). Il terzo sarà la somma dei primi due 6 + 12 = 18; il quarto 12 + 18 = 30 e così via... 1 6 2 12 3 18 4 30 5 48 6 78 7 126 8 204 9 330 10 534 Dopo una rapida occhiata alla colonna, scrivi il totale moltiplicando il settimo numero per 11. Chiedi al tuo compagno di sommare i numeri e mettere la sua risposta sotto la tua. La sua risposta è identica alla tua. Puoi ancora impressionare di più il tuo compagno dicendo di calcolare il risultato della divisione del decimo numero per il nono con due cifre decimali e di scrivere anche questa sotto la tua che già conosci.

Grande Magia griglia Su un pezzo di carta, crea una tabella con quattro righe e quattro colonne e scrivi i numeri da 1 a 16 di seguito, come mostrato di seguito: 1 2 5 6 9 10 13 14

3 4 7 8 11 12 15 16

Dici agli amici che stai per scrivere anche la risposta finale prima di iniziare. Su un altro piccolo pezzo di carta, scrivi “La somma dei quattro i numeri cerchiati è 34“, piegalo e tienilo da parte. 116


Esecuzione... Chiedi a un amico di mettere un cerchio su un numero qualsiasi della tabella. Esempio il 7. Vedi l’esempio mostrato in figura. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Chiedi di cancellare tutti i numeri nella stessa riga e colonna del numero che ha cerchiato. Chiedi di cerchiare uno qualsiasi dei numeri rimanenti (esempio il 12) che non è tra quelli cerchiati o cancellati. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Chiedi di cancellare tutti i numeri nella riga e colonna a cui appartiene questo numero appena cerchiato. Chiedi di ripetere i passaggi (cerchiando ad esempio il 2 e il 13) finché non ti rimangono quattro numeri cerchiati e tutti gli altri sono cancellati. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Chiedi di sommare i quattro numeri cerchiati. Esempio 2 + 7 + 12 + 13 = 34. Apri il pezzo di carta su cui avevi scritto la tua previsione, che dice “La somma dei quattro numeri cerchiati è 34” e lo fai vedere. Come hai fatto?

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Magia difficile - Scambia le cifre! Guarda questo prodotto: 23 x 96 = 32 x 69 Hai mai pensato che scambiando le cifre puoi ottenere lo stesso risultato? Ci sono molte coppie di numeri a due cifre, in cui il prodotto rimane lo stesso quando l’ordine delle cifre è invertito? Trovane almeno una, sei bravo se ne trovi 3. Attenzione: Non devi usare numeri con cifre ripetute come 22 e 55. Nemmeno invertire le cifre del primo numero, per ottenere il secondo, esempio 12 e 21. Nelle soluzioni ti spiego la matematica che c’ è dietro. Quadrati Magici “Quadrati magici” è un termine dato ai quadrati che sono riempiti con numeri interi consecutivi in cui il totale in orizzontale, verticale e diagonale ha sempre lo stesso valore. Molti praticanti di scienze mistiche nell’antica India e in altre parti del mondo hanno usato i quadrati magici. Un veggente vedico usò i principi dei quadrati magici in varie applicazioni. Un esempio di quadrato magico. È una griglia tre per tre in cui il totale di tutte le righe, colonne e diagonali è 15. Dato che ci sono 9 quadrati nella griglia, i numeri usati sono da 1 a 9. 4 3 8 9 5 1 2 7 6 Verifica i totali: Riga 1: 4 + 3 + 8 = 15 Riga 2: 9 + 5 + 1 = 15 Riga 3: 2 + 7 + 6 = 15 118


Colonna 1: 4 + 9 + 2 = 15 Colonna 2: 3 + 5 + 7 = 15 Colonna 3: 8 + 1 + 6 = 15 Diagonale 1: 4 + 5 + 6 = 15 Diagonale 2: 2 + 5 + 8 = 15 La domanda è: come si realizzano i quadrati magici? Risposta: Possono essere creati molto facilmente e di qualsiasi grandezza una volta comprese le regole seguenti. REGOLE per creare un quadrato magico: (1) Metti sempre il numero 1 nel quadrato centrale dell’ultima colonna. (2) Dopo aver inserito un numero in una casella, spostati nella casella nella direzione sud-est e riempilo con il numero successivo. (3) Se la casella nella direzione sud-est non può essere riempita, spostati nella casella a ovest o a nord (più lontana) e riempila con il numero successivo. (4) Dopo aver riempito un numero nell’ ultimo quadrato della griglia, riempi il numero successivo nel quadrato a ovest. Come si crea un quadrato magico 5 x 5. I numeri utilizzati saranno compresi tra 1 e 25. Ecco le indicazioni dei movimenti: NORD OVEST EST SUD

Sud-Est

(a) Innanzitutto, segui la regola 1 e posiziona il primo numero 1 nel quadrato centrale dell’ultima colonna

-----

-

1

119


(b) Successivamente, spostati nella direzione sud-est da questo posto. Non c’ è nulla nella direzione sud-est. Non puoi mettere nulla in un posto esterno e quindi il numero 2 devi scriverlo in un quadrato più lontano a ovest. (Immagina di uscire da destra verso sud-est e rientrare a sinistra) Il numero 2 andrà nella casella come mostrato di seguito:

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-

2

1 3

(c) Ora dalla casella in cui hai scritto il numero 2 spostati a sud-est e riempila con il numero 3. (d) Successivamente, da 3 ti sposti a sud-est e ti trovi fuori dalla griglia in basso. (Immagina di uscire dal basso verso sud-est e rientrare dall’alto). Spostati verso sud est e riempi con il numero 4 il posto più lontano in alto a destra. Fai riferimento alla figura seguente: 4

3

1

-----

-

2

5

(e) Da 4 vai a sud-est e riempilo con il numero 5. (f) Successivamente, dal 5 devi andare a sud-est per mettere il numero 6. Ma ti rendi conto che il quadrato a sud-est di 5 è già occupato dalla cifra 1. In questo caso segui la Regola 3 che recita: Se la casella nella direzione sud-est non può essere riempita, spostati nella casella a ovest e riempila con il prossimo numero. Riempirai con il numero 6 la casella che si trova a “ovest” di 5. Fai riferimento alla figura di seguito: 120


2

3

4 6 5 7 1 8

(g) Successivamente, da 6 ti sposti a sud-est e scrivi il numero 7. Da 7, ti sposti a sud-est e scrivi il numero 8. (h) Da 8, ti sposti a sud-est e sei all’ esterno. Metti il numero 9 nel quadrato più lontano a ovest nella stessa direzione spostato in basso. (Fai riferimento alla figura di seguito.) (i) Da 9, vai nella direzione sud-est e ti trovi all’esterno, pertanto riempi il posto più lontano in alto a Nord con il numero 10.

-

-

11 10 4 12 6 5 13 7 1 2 14 8 9 3 15 -- -- -----(j) Da 10, ti sposti verso sud-est e scopri che la casella è già occupata dal numero 6. Ti sposti a ovest di 10 e lo riempi con il numero 11. (k) Da 11 ti sposti a sud-est e riempi con 12, poi con 13, 14 e sempre a sud-est metti 15. (l) Hai scritto il numero 15 nell’ultimo quadrato della griglia. Dovrai usare la Regola (4) che recita: “Dopo aver riempito un numero nell’ultimo quadrato della griglia, riempi il numero successivo nel quadrato a ovest”. Metterai il numero 16 nella casella a “ovest” di 15. 11 10 4 12 6 5 13 7 1 2 14 8 9 3 16 15 121


(m) Da 16 non puoi andare a sud est e riempi con 17 il posto più lontano a Nord in alto. Da 17 non puoi andare a sud-est e riempi con 18 il posto più lontano a ovest a sinistra. Dal 18 vai a sud-est e inserisci 19, poi 20. 4 6 5 13 7 20 14 16

17

-----

-

11 10 18 12 19 2 9 3

1 8 15

(n) Da 20, il posto a sud-est è occupato e devi spostarti a ovest per inserire il numero 21. Dal 21 ti sposti a sud-est e inserisci il numero 22. Dal 22, non puoi andare a sud-est, ti sposti in alto a Nord e riempi con 23. Dal 23 vai a sud-est e riempi con 24. Dal 24, non puoi andare a sud-est e ti sposti a ovest per inserire l’ultimo numero 25. 17 24 1 ----8 15

-

11 10 4 23 18 12 6 5 25 19 13 7 2 21 20 14 9 3 22 16

Hai appena completato il tuo quadrato magico 5 x 5! Quali sono i numeri centrali estremi e come si calcola il numero centrale?

122


Le proprietà dei quadrati magici (a) Il numero di righe e colonne è sempre uguale. (b) Il primo e l’ultimo numero si trovano sempre nella stessa riga e sono esattamente opposti l’uno all’altro. (c) Il totale di ogni lato può essere ottenuto moltiplicando il numero nel quadrato centrale con il numero di quadrati su ogni lato. Ad esempio, in una griglia tre per tre, il numero centrale è 5 e il numero di quadrati su ogni lato è 3. 5 x 3 dà 15 e quindi il totale di ogni lato è sempre 15. Nell’esempio di una griglia cinque per cinque, il numero centrale è 13 e il numero di quadrati in ogni lato è 5 e quindi il totale di qualsiasi riga, colonna o diagonale sarà sempre 65. (d) Puoi scoprire quale numero si troverà nel quadrato centrale di qualsiasi griglia prendendo il numero più grande, dividendolo per 2 e arrotondandolo al numero successivo più alto. Esempio 1: in una griglia tre per tre, il numero più grande è 9. 9 diviso 2 è 4,5 arrotondato al numero più alto, è 5. Quindi, al centro del quadrato di una griglia tre per tre ci sarà il numero 5. Esempio 2: una griglia cinque per cinque avrà 25 quadrati e quindi il numero più grande sarà 25. 25 diviso 2 è 12,5 che arrotondato è 13. Quindi, il numero che apparirà nel quadrato centrale di una griglia cinque per cinque sarà 13. Esistono quattro modi possibili con cui un quadrato magico può essere ricavato da una determinata griglia. Supponi di prendere una griglia tre per tre, puoi formarne un quadrato magico in quattro possibili modi come indicato di seguito: 4 3 8 9 5 1 2 7 6

8 1 6 3 5 7 4 9 2

6 7 2 1 5 9 8 3 4

2 9 4 7 5 3 6 1 8 123


Per capire perché ci sono quattro possibili modi, devi fare riferimento alla regola 1 di cui sopra. La regola 1 dice che devi mettere il numero 1 nel quadrato centrale dell’ultima colonna. Tuttavia, puoi ruotare il quadrato in una delle quattro direzioni e far diventare qualsiasi colonna l’ultima, perciò avrai quattro possibili risposte. Divertiti a costruire il quadrato magico 7 x 7, 9 x 9 o 11 x 11 e vedrai che con queste istruzioni sarà semplicissimo! Quale somma ha in orizzontale, verticale e diagonale il quadrato 7 x 7 e quello 9 x 9?

Estensione - Quadrati magici 4 x 4 Esiste un quadrato magico 4 x 4 molto particolare: 15 4 6 9 12 7 1 14

5 10 16 3 2 13 11 8

La somma in orizzontale, verticale, diagonale… addirittura in ventiquattro modi diversi è 34. Vedi gli schemi nell’immagine seguente e verifica se la somma è effettivamente sempre 34. Esempio: La somma dei quattro numeri centrali è 9 + 16 + 7 + 2 = 34.

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C’ è ancora una caratteristica interessante. Puoi creare il tuo quadrato magico personale 4 x 4 cambiando soltanto i numeri 13, 14, 15 e 16. 15 4 6 9 12 7 1 14

5 10 16 3 2 13 11 8

Supponi di voler creare un quadrato 4 x 4 la cui somma è 41. Sai che 41 è 34 + 7. Devi soltanto sommare 7 ai 4 numeri in grigio, così: 22 4 6 9 12 7 1 21

5 10 23 3 2 20 11 8

Questo è il tuo quadrato magico con somma 41. Verifica che anche in questo caso le varie somme sono sempre 41. Prova con altri numeri (più grandi o più piccoli)!

125


Magia spettacolare - Le carte magiche Questa magia ti permetterà di stupire i tuoi amici. Sarai in grado di indovinare un numero soltanto facendoti dire la carta in cui si trova! Guarda come deve essere realizzata. Il primo passo è la conoscenza dei numeri binari ma, come al solito, niente paura. Segui la spiegazione, tutto ti sarà chiaro e diventerai un bravo prestigiatore e anche un buon binario?! Per cominciare prova a scrivere i numeri naturali come potenze di 2 senza ripetizioni. Ma cosa significa “potenze di due senza ripetizioni” e come puoi farlo? E abbastanza semplice, prova a immaginare i numeri naturali scritti nel modo seguente: 1 =1 2 =2 3 =1+2 4 =4 5 =1+4 6 =2+4 Come vedi ogni numero è dato dalla somma di una serie di potenze di 2 (ricorda che 20 = 1) e il numero 4 non è stato scritto come somma di 21 + 21 (in tal caso la potenza di 21 sarebbe stata ripetuta). Chiaro?

126


Intermezzo: i numeri binari I numeri naturali come hai visto sono formati da 9 cifre e dopo il nove viene il dieci. Li puoi scrivere anche come potenze di 10. Esempio: 35 = 3 x 101 + 5 x 100 = 30 + 5 = 35. 100 ha valore 1. Allo stesso modo i numeri binari avendo solo 2 cifre (0 e 1) si potranno esprimere come potenze di 2. 35 in binario sarà: 1 x 25+ 0 x 24+ 0 x 23+ 0 x 22 + 1 x 21+ 1 x 20 = 32 + 2 + 1 20 ha valore 1. I numeri binari (bit) sono utilizzati nei computer e permettono di effettuare una sola scelta tra due alternative “acceso/spento” ,“on/off ”. Esempio (primi 8 numeri in binario): 1=1 2 = 10 (si legge uno zero non dieci) 3 = 11 4 = 100 5 = 101 6 = 110 7 = 111 8 = 1000 ... Ogni volta che arrivi a una potenza di 2 successiva, il numero aumenta di una cifra (2 = 10, 4 = 100, 8 = 1000, 16 = 10000...). Il numero 64 in binario è 1000000. Puoi verificare che esiste un solo modo di scrivere un numero come potenze di 2 non ripetute. Viceversa, se sommi potenze di 2 non ripetute queste ti daranno un solo numero.

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Crea la seguente tabella (se utilizzi Excel il compito sarà molto agevolato). Disponi i numeri naturali (il numero 1 nella colonna A, il 2 nella colonna B, il 4 nella colonna C e così via): Ogni colonna inizia con una potenza di 2 (1, 2, 4, 8, 16, 32...). Esempi: Il numero 5 sarà dato dalla somma di 4 (=22) + 1 (= 20). Il numero 7 sarà dato dalla somma di 4 (=22) + 2 (=21) + 1 (= 20). Ripeto: così ogni numero sarà scritto in modo univoco (ovvero in un solo modo possibile) come potenza di 2. E adesso se metti insieme tutti i numeri che si trovano nella colonna A, poi tutti i numeri che si trovano nella colonna B e così via, puoi costruire le tue carte magiche.

128


Per i numeri da 1 a 15 ci vorranno 4 carte, infatti: la prima carta conterrà come primo numero 1 e poi 3, 5, 7, 9, 11, 13 e 15 (controlla dove ci sono gli 1). La seconda carta conterrà come primo numero il 2 e poi 3, 6, 7, 10, 11,14 e 15 (controlla dove ci sono i 2). La terza carta conterrà come primo numero il 4 e poi 5, 6, 7, 12, 13, 14 e 15 (controlla dove ci sono i 4). La quarta carta conterrà come primo numero l’8 e poi 9, 10, 11, 12, 13, 14 e 15 (controlla dove ci sono gli 8).

1

3

5

2

7

9

11

7

13

4

15

5

7

6

15

8

6

10 11 14

12 13 14

3

15

9

10

11 12 13 14

15

Se vuoi essere più sicuro che il trucco non venga scoperto facilmente, utilizza 6 carte magiche (numeri da 1 a 63)

129


1

3

5

7

9

2

3

6

7

10

4

5

6

7

12

11 13 15 17

11 14 15 18

13 14 15 20

19 21 23 25 27

19 22 23 26 27

21 22 23 28 29

29 31 33 35

30 31 34 35

30 31 36 37

37 39 41 43 45

38 39 42 43 46

38 39 44 45 46

47 49 51 53

47 50 51 54

47 52 53 54

55 57 59 61 63

55 58 59 62 63

55 60 61 62 63

8 9 10 11 12

16 17 18 19 20

32 33 34 35 36

13 14 15 24

21 22 23 24

37 38 39 40

25 26 27 28 29

25 26 27 28 29

41 42 43 44 45

30 31 40 41

30 31 48 49

46 47 48 49

42 43 44 45 46

50 51 52 53 54

50 51 52 53 54

47 56 57 58

55 56 57 58

55 56 57 58

59 60 61 62 63

59 60 61 62 63

59 60 61 62 63

Fotocopia e ritaglia le 6 carte di quest’immagine e sei pronto a giocare. Come funziona: Chiedi a un amico di pensare un numero e poi fatti dire in quali carte si trova. Supponi che l’amico abbia pensato il numero 7. Per come hai sistemato le carte questo numero si troverà soltanto in quelle carte che hanno come numeri iniziali 1, 2 e 4 (le prime tre). Basta sommare i numeri iniziali delle carte che il tuo amico ti dice e il gioco è fatto, il numero 7 si ottiene soltanto sommando (1 + 2 + 4). Supponi che il tuo amico abbia pensato il numero 24. Questo si troverà solo nelle carte che hanno come numeri iniziali 8 e 16 ovvero in due carte. 130


Soluzioni Spiegazione piccola magia 1 Devi sapere che il prodotto di 7 x 11 x 13 è uguale a 1.001. Scrivere due volte un numero di tre cifre equivale a moltiplicare quel numero di tre cifre per 1.001. Esempio 423.423 = 423 x 1001. Dividendo per i fattori di 1.001 (7, 11 e 13) ottieni il numero originale a tre cifre. Spiegazione piccola magia 2 (271 x 41 = 11.111 per cui ogni volta che moltiplichi per un numero tra 1 e 9 avrai tutte le cifre uguali a quel numero). Prova! Spiegazione piccola magia 3 Questo trucco è basato sull’algebra. Considera un numero qualsiasi “Y” Seguendo le istruzioni, devi moltiplicare il numero per 2 e sommare 12, poi dividere per 2. A questo punto ottieni Y + 6. Come puoi vedere semplificando i calcoli: (2Y + 12) : 2 = 2(Y + 6) : 2 = Y + 6. Se togli il numero iniziale Y otterrai sempre 6. Y + 6 – Y = 6. Spiegazione Piccola magia 4 Se consideri la data in cui si è verificato un evento e aggiungi il numero di anni in cui è avvenuto, avrai la data di quest’anno. Se lo fai due volte, finirai con un numero che corrisponde al doppio della data di quest’anno. E’ esattamente quello che hai scritto all’inizio. Spiegazione Piccola Magia 5 Per trovare il numero più grande prendi l’ultima cifra della risposta (nel tuo caso il 2) e somma il numero che la precede (il 12). Otterrai: (2 + 12 = 14), poi dividi per 2 (14 : 2 = 7). Per trovare il numero più piccolo sottrai dal numero appena trovato (cioè 7) l’ultima cifra della risposta 2 (7 - 2 = 5). 131


Spiegazione Piccola Magia 6 A partire dalla risposta 1.053: Sottrai mentalmente 50 dalle ultime due cifre e avrai il giorno: (53 - 50 = 3 giorno). Sottrai 2 dalle prime cifre e avrai il mese: (10 - 2 = 8 agosto). La sua data di nascita è il 3 Agosto. Altri esempi Se il totale fosse 765, 1.481 o 1.071, le date di nascita sarebbero: il 15 Maggio (65 - 50 = 15; 7 - 2 = 5). Il 31 Dicembre (81 - 50 = 31; 14 - 2 = 12). Il 21 Agosto (71 - 50 = 21; 10 - 2 = 8). Spiegazione Piccola Magia 7 Per comprendere il meccanismo di questo trucco devi tenere presente che, chiamando S il numero di scarpe, A l’anno di nascita e R il risultato finale, le istruzioni si possono scrivere così: Risultato (R) = S x 100 - A Inoltre, sia E l’età e C l’anno in corso, l’età è uguale alla differenza tra l’anno in corso e l’anno di nascita (ovvero: E = C - A), se aggiungi C ai due membri, avrai: R + C = S x 100 - A + C = S x 100 + (C - A) = S x 100 + E In conclusione, essendo sia E che S numeri formati al massimo da due cifre, le prime due cifre del risultato finale rappresentano il numero di scarpe e le ultime due l’età. Dall’esempio 4.016 si ricava subito 40 numero di scarpe e 16 età. Spiegazione piccola magia 8 La somma delle cifre di un numero intero (e continuando a sommare le cifre finché ottieni un numero di una sola cifra), è il resto della divisione per 9 o radice numerica del numero. La radice numerica di 476.077 è 4 perché 4 + 7 + 6 + 0 + 7 + 7 = 31 e 3 + 1 = 4. Qualsiasi numero intero diviso per 9 dà come resto la sua radice numerica. 132


La divisione di 476.077 per 9 dà come resto 4. Se cambi l’ordine delle cifre non cambia la sua radice numerica, per cui ad esempio 747.607 ha sempre radice numerica 4. La somma delle cifre della differenza dei due numeri è sempre 9. Verifica nell’ esempio: 747.607 - Somma cifre 7 + 4 + 7 + 6 + 0 + 7 = 31; 3 + 1 = 4 476.077 = Somma cifre 4 + 7 + 6 + 0 + 7 + 7 = 31; 3 + 1 = 4 271.530 Somma cifre 2 + 7 + 1 + 5 + 3 + 0 = 18; 1 + 8 = 9. La somma delle cifre di 271.530 è 18 e 1 + 8 = 9. Spiegazione Grande Magia 1 – L’età dei figli Giovanna mentalmente ha calcolato i prodotti di 3 numeri che hanno come risultato 36, eccoli: 1 x 1 x 36 = 36 1 x 2 x 18 = 36 1 x 3 x 12 = 36 1 x 4 x 9 = 36 1 x 6 x 6 = 36 2 x 2 x 9 = 36 2 x 3 x 6 = 36 3 x 3 x 4 = 36. Quando conosce la somma non sa dare ancora la risposta perché? Guarda le somme dei tre numeri e vedi che ci sono 2 somme uguali a 13. Se la somma dell’età fosse stata 21, 16, 14… avrebbe saputo rispondere subito. Prodotto Somma 1 x 1 x 36 = 36 38 1 x 2 x 18 = 36 21 1 x 3 x 12 = 36 16 1 x 4 x 9 = 36 14 1 x 6 x 6 = 36 13 2 x 2 x 9 = 36 13 2 x 3 x 6 = 36 11 3 x 3 x 4 = 36 10 133


L’aiuto determinante non è gli occhi celesti ma “mio figlio più grande”, infatti con questa informazione Giovanna può dire che i tre figli hanno 2, 2 e 9 anni. Spiegazione Grande Magia 2 Ti spiego il trucco usando l’algebra. Passo 1 Indica le tre cifre del numero come “a”, “b” e “c”. Il nostro sistema decimale è posizionale (ovvero ogni cifra ha un diverso valore a seconda della posizione in cui si trova). Tenendo presente il valore della posizione, le tre cifre del numero si possono scrivere così: 100a + 10b + c Passo 2 Invertendo le tre cifre si ottiene: 100c + 10b + a Passo 3 Sottraendo il numero più piccolo dal numero più grande, ottieni: 100a + 10b + c - (100c + 10b + a) = 100(a - c) + c - a = 100(a - c) - (a-c) = 99 (a - c). (a e c sono numeri diversi di una sola cifra, i possibili valori della sottrazione sono 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 o 9) e i risultati del loro prodotto per 99 sono rispettivamente: 1 x 99 = 099 2 x 99 = 198 3 x 99 = 297 4 x 99 = 396 5 x 99 = 495 6 x 99 = 594 7 x 99 = 693 8 x 99 = 792 9 x 99 = 891 Quando sommi uno di questi numeri con lo stesso numero con le cifre invertite, ottieni sempre 1.089. 134


099 + 990 198 + 891 297 + 792 396 + 693 495 + 594 594 + 495 693 + 396 792 + 297 891 + 198

= 1.089 = 1.089 = 1.089 = 1.089 = 1.089 = 1.089 = 1.089 = 1.089 = 1.089

Spiegazione grande magia 3 Il docente non considera il primo numero (343) ma aggiunge al secondo numero dello studente 268 il complemento a 999 cioè 731, infatti 268 + 731 = 999. La stessa cosa deve fare al quarto numero. Il docente già conosce il risultato e lo Studente scrive 343 scrive su un foglio. Studente scrive ancora 268 * Docente scrive 731 ** (* e ** sono i numeri la cui somma è 999). Studente scrive 199 + (+ e ++ sono i numeri la cui somma Docente scrive 800 ++ è 999). Risultato 2.341 Il docente conosce subito il risultato perché toglie 2 dal primo numero e lo aggiunge all’inizio (343 - 2 = 341 mettendo il 2 davanti 2.341). Ovviamente può fare il complemento a 999 del primo numero e non considerare il secondo: il risultato è (268 - 2 = 266 con il 2 davanti 2.266). Ebbene, perché la somma è corretta? Questa e la parte più interessante. Il docente aggiunge un 2 davanti e sottrae 2 al numero iniziale che lo studente ha scritto, questo significa sommare 2.000 e sottrarre 2. Quando lo studente scrive altri due numeri il docente li completerà facendo in modo che diano ciascuno come somma 999. 999 è esattamente (1.000 - 1) e questa operazione, fatta due volte, darà come risultato (2.000 - 2). Ed è esattamente quello che ha fatto! Aggiungere al numero originale (2.000 - 2). Per questo motivo può conoscere prima il risultato.

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Spiegazione Grande magia 4 - Serie di Fibonacci Se chiami a un qualsiasi primo numero e b un altro numero avrai: Primo numero = a Secondo numero = b Adesso seguimi attentamente... Il terzo numero è la somma dei primi due: Terzo = (a + b); li scrivo tra parentesi per farti capire meglio. Quarto = b + (a + b) = (a + 2b); è la somma dei due precedenti: Quinto = (a + b) + (a + 2b) = (2a + 3b); ancora la somma dei due precedenti. Sesto = (a+2b) + (2a + 3b) = (3a + 5b); sempre la somma dei precedenti. Facendo la somma di tutti i numeri a e b e mettendo insieme otterrai: a + b + (a + b) + (a + 2b) + (2a + 3b) + (3a + 5b) = 8a + 12b = 4(2a + 3b) Ma 4(2a + 3b) è il quinto numero della serie moltiplicato per 4. Qualsiasi siano i numeri iniziali a e b, la somma sarà data sempre dal quinto numero della serie moltiplicato per 4. Estensione Se utilizzi 10 numeri, per ottenere il totale basta moltiplicare il 7° numero per 11. Il ragionamento è lo stesso del precedente che considerava solo sei numeri (solo un poco più complicato sommare 10 numeri partendo da a e b). Per cui basterà moltiplicare 126 x 11. 1 6 2 12 3 18 4 30 5 48 6 78 7 126 8 204 9 330 10 534

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Moltiplicare per 11 è semplice, lo hai già visto, qui lo ripeto. Il 7° numero è 126; 126 x 11 = 1.386 La prima cifra (delle unità) sarà sempre la stessa in entrambi i numeri. In questo caso è 6. Per ottenere la cifra delle decine, somma la seconda e la terza cifra 6 e 2, ottieni 8. Metti 8 a sinistra del 6__86 Le prime due cifre sono 12. A queste somma la prima cifra, 12 + 1 = 13. Risultato 1.386 Un’altra interessante caratteristica della successione di Fibonacci è la seguente: se dividi la cifra al punto 10 per quella al punto 9 il risultato sarà sempre 1,61 (arrotondato a due cifre decimali) 534 : 330 = 1,61…

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Spiegazione Grande Magia Griglia Ecco come puoi prevedere la somma dei numeri cerchiati. Ogni volta che crei una tabella di numeri consecutivi, la somma dei quattro numeri cerchiati, secondo le indicazioni fornite nel trucco, saranno sempre la somma dei numeri di una delle due diagonali. Ogni combinazione dei quattro numeri per come ti è stato chiesto di sceglierli non si trovano mai nella stessa riga o colonna, in questo caso due si trovano sulle diagonali (7 e 13) e, gli altri due (2 e 12) distano 2 in meno e in più degli altri della diagonale (4 e 10) e pertanto la somma totale è quella della diagonale. La somma dei numeri nei cerchi sarà sempre la somma della diagonale. Nell’esempio, i numeri di una delle diagonali sono 4, 7, 10 e 13. Sommandoli, ottieni: 4 + 7 + 10 + 13 = 34. I numeri nell’altra diagonale sono 1, 6, 11 e 16 e sommandoli hai: 1 + 6 + 11 + 16 = 34. Questa sarà sempre anche la somma, qualsiasi siano i numeri cerchiati.

Suggerimento speciale 1. Se devi eseguire di nuovo il trucco di cui sopra ma con altri numeri, puoi creare una nuova tabella a partire da un numero diverso da 1. Somma rapidamente i numeri di una delle diagonali per ottenere il numero da indovinare. Ad esempio, puoi creare una tabella con numeri da 11 a 26: La somma dei numeri di una delle diagonali in questo caso è 74. 2. Puoi anche provare il trucco con griglie più grandi. Ad esempio 5 × 5 scrivendo sempre numeri consecutivi. La somma dei numeri nei cerchi sarà sempre la somma della diagonale.

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Spiegazione Magia difficile - Scambia le cifre Supponi che i due numeri siano ab e cd, per la regola indicata, il loro prodotto deve essere uguale al prodotto di ba e dc. Questo può essere espresso algebricamente come: (10a + b) (10c + d) = (10b + a) (10d + c) da cui: 100ac + 10ad + 10bc + bd = 100bd + 10bc +10ad + ac (semplifica 10bc e 10 ad) Rimane 100ac – ac = 100bd -bd ovvero 99ac = 99bd Quindi i numeri soddisfano la condizione richiesta quando: ac = bd Ciò è equivalente a dire che il prodotto delle cifre delle decine deve essere uguale al prodotto delle cifre delle unità. Otterrai le seguenti soluzioni: 12 x 42 = 21 x 24 ovvero 1 x 4 = 2 x 2 = 4 12 x 63 = 21 x 36 ovvero 1 x 6 = 2 x 3 = 6 13 x 62 = 31 x 26 ovvero 1 x 6 = 3 x 2 = 6 12 x 84 = 21 x 48 ovvero 1 x 8 = 2 x 4 = 8 14 x 82 = 41 x 28 ovvero 1 x 8 = 4 x 2 = 8 13 x 93 = 31 x 39 ovvero 1 x 9 = 3 x 3 = 9 23 x 64 = 32 x 46 ovvero 2 x 6 = 3 x 4 = 12 24 x 63 = 42 x 36 ovvero 2 x 6 = 4 x 3 = 12 24 x 84 = 42 x 48 ovvero 2 x 8 = 4 x 4 = 16 23 x 96 = 32 x 69 ovvero 2 x 9 = 3 x 6 = 18 26 x 93 = 62 x 39 ovvero 2 x 9 = 6 x 3 = 18 34 x 86 = 43 x 68 ovvero 3 x 8 = 4 x 6 = 24 36 x 84 = 63 x 48 ovvero 3 x 8 = 6 x 4 = 24 46 x 96 = 64 x 69 ovvero 4 x 9 = 6 x 6 = 36 Molte più di quelle che potevi immaginare!

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Allegato 1 Elenco dei 16 Sutra (tutti collegati alle proprietà delle operazioni) con una breve spiegazione per quelli più semplici: 1) Per uno più del precedente Come ottenere il numero successivo 2)Tutti dal 9 e l’ultimo dal 10 Si usa nelle sottrazioni per evitare il riporto 3) In verticale e diagonale Moltiplicare due numeri su una sola linea in verticale e diagonale 4)Trasponi e applica Ottenere il complemento di un numero 5) Per addizione e sottrazione Nella somma di numeri vicini a 10, aggiungi 10 e sottrai quello che manca a 10 6) Per completamento e non completamento Diventare abile a vedere e usare l’intero 7) Per difetto o della carenza Trovare il complemento alla base più vicina 8) L’ultimo e due volte il penultimo Se devi dividere per 5 puoi raddoppiare il numero e dividere per 10 (2 volte 5) 9) Per uno meno del precedente Nella moltiplicazione per 9 o con più 9, riduci di uno il numero e poi applica «tutti dal nove e l’ultimo da dieci» 10) I resti per l’ultima cifra Per trasformare in modo semplice una frazione in decimale 11) Specifico e generale 12) Se l’accumulo è lo stesso è 0 13) Se uno è in rapporto l’altro è 0 14) Tutti i moltiplicatori 15) Calcolo Differenziale 16) Il prodotto della somma è pari alla somma del prodotto 140


Commenti dei docenti sul corso di Matematica vedica Istituto Comprensivo Santa Lucia – Cava de’ Tirreni MARIANNA RUSSO Ho capito che la matematica è la mia passione. Grazie a Voi il corso è stato interessantissimo ed ha attivato in me la curiosità di conoscere in maniera approfondita la matematica vedica. Complimenti, sono stati fortunati i Vostri alunni. Il quadrato magico l’ho capito ;) l’ho fatto da 7, da 9 e 11... Non mi sarei mai arresa... FIORANGELA SALERNO Il corso mi ha appassionato e coinvolto tantissimo. Ho sempre considerato la matematica come un gioco e l’insegnamento della matematica come ricerca e scoperta di soluzioni. Terrò da parte i trucchetti e i sutra, con cui abbiamo giocato, per riservarli appena possibile ai miei alunni. Più di tutti ritengo validi i suggerimenti per risolvere velocemente moltiplicazioni e divisioni; strumenti utilissimi per quegli alunni con qualche difficoltà di memorizzazione delle procedure tradizionali. Le aspettative sul corso sono state ampiamente superate. Grazie a Michele per questa interessantissima esperienza. MARISA DI PIERRO Ritengo che il corso sia stato interessante, divertente e abbia suggerito come far approcciare i nostri alunni alla matematica in maniera meno noiosa e più accattivante. Tutte le strategie sono state interessanti e utili, come la nuova modalità di effettuare le moltiplicazioni, agevolando quegli alunni che hanno difficoltà a memorizzare le tabelline. In questi giorni sto mettendo in pratica tali strategie e i bambini si mostrano entusiasti perché riescono in breve tempo e con minor fatica a svolgere le moltiplicazioni.

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PAOLA SABATINO Il corso è stato molto interessante e anche divertente... il che non guasta soprattutto in questo periodo molto triste! Spero di avere occasioni per sperimentare con alunni, altrimenti farò tesoro dell’esperienza dei colleghi di Matematica. Le moltiplicazioni e le addizioni mi hanno entusiasmato maggiormente! Il “quid” in più è l’entusiasmo del formatore, che ha offerto solo ed unicamente per passione questo iter formativo!!! RAFFAELA CAMMAROTA Ho trovato questo corso assolutamente innovativo ed interessante ma soprattutto un modo alternativo e divertente per insegnare il calcolo. Purtroppo, non insegnando la materia mi sono trovata un poco in difficoltà nello stare al passo con le colleghe, ciò nonostante,mi sono cimentata grazie alla vostra guida e ho trovato enorme soddisfazione nella riuscita. GRAZIE VERAMENTE, spero ci possano essere altre occasioni di crescita. ANNA BARBARA REGA Il corso mi ha fornito strumenti per semplificare calcoli che normalmente potrebbero risultare ostici soprattutto a ragazzi che non masticano volentieri la matematica. La matematica diventa un gioco con il prodotto con i cerchi, la moltiplicazione egizia, cinese, araba per poi proseguire con la scomposizione del dividendo e con il metodo Nikilam. Tutto semplifica il calcolo. Grazie infinite Prof per avermi trasmesso le sue conoscenze, spero di farne un buon uso! ANNA TRIPOLINO Ho trovato il corso molto interessante sia per le metodologie proposte, che reputo sicuramente applicabili all’interno di un gruppo classe per rendere la lezione più piacevole e simpatica, sia per la semplicità e la chiarezza con cui i concetti sono stati esposti. Il corso è stato certamente utile per arricchire le mie conoscenze e le mie capacità in termini matematici. Ringrazio infinitamente il prof. Baldi per l’aiuto e la disponibilità.

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UGO SENATORE Il corso di matematica vedica è stato davvero coinvolgente ed interessante con un approccio “alternativo” a quella che è la “matematica tradizionale: un sistema rigido che risulta in parte caratterizzato da un atteggiamento “noioso” da parte degli alunni. Il repertorio delle strategie, dei “trucchi” presentati in questa iniziativa formativa, rappresenta un valore aggiunto alle pratiche didattiche nell’insegnamento della matematica. E’ stata l’occasione per scoprire le soluzioni attraverso un percorso creativo ed innovativo, al fine di coinvolgere gli studenti per imparare divertendosi con l’ausilio di tecniche intuitive e veloci attraverso l’utilizzo degli algoritmi. Credo che l’esperienza del divertimento della matematica sia una conseguenza immediata e naturale della pratica della matematica vedica. Un ringraziamento al docente che ha saputo con abile maestria illustrare con una logica persuasiva le varie tecniche, le strategie, gli esempi e le esercitazioni svolte negli incontri virtuali. ROSANNA SORRENTINO Ho partecipato ad un corso interessantissimo e allo stesso tempo rilassante. Ho imparato nuove strategie di calcolo rapido. Mi ha colpito particolarmente la moltiplicazione con le basi e l’ho presentata anche agli alunni che l’hanno apprezzata molto, l’hanno provata e si sono divertiti. Ringrazio il professore Baldi per questa esperienza che consiglierei ad altri. SONIA RUGGIERO E’ stato interessante scoprire meccanismi per semplificare le operazioni e strategie di calcolo veloce. Ho apprezzato in particole tecniche della moltiplicazione. E’ un bel modo di proporre agli alunni la matematica sotto forma di gioco. Ringrazio il prof. Baldi per questa esperienza. IMMACOLATA DI DONATO Il corso è stato interessante e ha soddisfatto le mie aspettative. Ho apprezzato la velocità con la quale vengono svolte le operazioni e penso che sia da proporre agli alunni. Ringrazio il Professore Baldi per la disponibilità e gentilezza con cui ha portato avanti questo corso. 143


LUCIA ANGRISANI Il corso mi è piaciuto molto perché ha dato diversi spunti per insegnare il calcolo in modo diverso e divertente. Anche se semplificate, queste nuove modalità per eseguire le 4 operazioni, secondo me, rafforzano anche il ragionamento logico. Sono attività sicuramente da proporre sia ai bambini che ad altre colleghe. MARIA VITALE I calcoli sono più semplici e la matematica non diventa un mattone. Molto simpatiche e divertenti soprattutto le moltiplicazioni. Il corso è risultato interessante, mi dispiace solo che insegnando in una prima non posso sperimentare questo metodo con i bambini. ENZA LAMBERTI Un corso meraviglioso! Molto interessante la moltiplicazione con la base, ma anche le sottrazioni con un numero sopra e l’altro sotto la base. Abbiamo imparato tante strategie di calcolo e tanti giochi di magia! Sicuramente queste indicazioni hanno arricchito il nostro bagaglio culturale e, di conseguenza, arricchiranno anche quello dei nostri alunni. Grazie di cuore! ANTONIETTA ARDITO Ho apprezzato molto l’aspetto pratico del corso, i vantaggi della matematica vedica quali la velocità, la flessibilità del ragionamento matematico e tutti i meccanismi per semplificare le operazioni. Sicuramente ha soddisfatto le mie aspettative e consiglierei il corso. Prima di presentare queste nuove strategie sento il bisogno di esercitarmi bene. Ringrazio il prof. Baldi per la piacevole esperienza.

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Istituto Comprensivo San Nicola – Cava de’ Tirreni MARIA GIORDANO Non è il primo corso che seguo con il Prof. Baldi e anche questa volta non posso esimermi dal complimentarmi con lui. Interessante e coinvolgente, il corso ha rapito totalmente la mia attenzione per la sua praticità e per la sua innovazione nei calcoli matematici. Se alcune cose possono essere d’aiuto ai nostri bambini, sicuramente altre hanno dato a me la possibilità di ragionare in modo diverso e inconsueto. ANNA LUCIA CATUOGNO Ringrazio vivamente il Prof. Baldi per avermi dato la possibilità di rendere più piacevole lo studio della Matematica per i nostri piccoli. Particolarmente interessanti le scorciatoie per la divisione e l’applicazione razionale delle proprietà delle quattro operazioni. ANTONIA PISCITELLI Il corso ci ha dimostrato la possibilità di utilizzare svariate tecniche nei procedimenti di calcolo delle 4 operazioni, sicuramente utili nelle applicazioni della didattica. Grazie per l’organizzazione e le direttive fornite. OLIMPIA ZITO Corso interessante, ricco di spunti da approfondire e consolidare. Molto utile e gradito sarà il libro. Grazie Professore Baldi. ORNELLA BARRA Vorrei ringraziare il prof. Baldi per aver organizzato questo corso ricco di spunti da poter trasmettere agli alunni delle varie classi. Ho trovato particolarmente interessanti le tecniche sulle moltiplicazioni e divisioni perché possono facilitare l’esecuzione di queste operazioni che risultano sempre più difficili ai bambini soprattutto se con numeri con più cifre. Attendo l’uscita del libro che raccoglierà queste tecniche anche se noi partecipanti al corso siamo state fortunate nel ricevere le slide.

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ANGELICA BIFULCO Il corso è stato interessante e piacevole e mi ha dato la possibilità di apprendere nuove tecniche divertenti e semplici per insegnare la matematica ai più piccoli. Spero di poterle applicare al più presto. Grazie per la professionalità e la disponibilità dimostrata durante tutti gli incontri. ROSANNA LAMBIASE Corso molto valido e interessante che ci ha fatto conoscere tecniche accattivanti e divertenti da sperimentare in classe con i bambini per sveltire il calcolo e rendere “meno ostica” la matematica. Un grande grazie al prof. Baldi. CARMELA CRISCUOLO Il corso di matematica vedica, appena concluso, è stato particolarmente interessante ed entusiasmante perché ha proposto strategie e metodologie di calcolo mentale e scritto, utili da poter applicare nella didattica con i bambini. Un modo alternativo per affrontare gli algoritmi delle 4 operazioni. Le nuove proposte possono agire da stimolo per noi docenti per metodologie diverse da quelle tradizionali e offrono agli alunni maggiore flessibilità di ragionamento oltre che un approccio simpatico e divertente alla matematica. Al professore l’invito a raccogliere in un volume queste nuove proposte da mettere a disposizione di studenti e insegnanti. Grazie per la formazione. BEATRICE LAMBERTI Un corso davvero interessante e piacevole da seguire, grazie alla bravura e alla professionalità del prof. Baldi. Le divertenti tecniche di calcolo che sono state proposte, nonché i giochi matematici/magici, saranno sicuramente molto accattivanti per i nostri piccoli allievi e renderanno più gradevole lo studio della Matematica. GIOVANNA VILLANO Il corso è stato molto interessante. Mi sono appassionata soprattutto alle tecniche di calcolo della moltiplicazione grazie alle quali ogni alunno può scoprire nuovi metodi di soluzione di problemi. La matematica diventa più creativa e gioiosa e velocizza i calcoli. 146


BIBLIOGRAFIA Le nozioni sulla matematica vedica e sui sutra sono state da me tradotte, elaborate e rese accessibili da moltissimi testi, qui segnalo quelli più interessanti: Dhaval Bathia - “Vedic Mathematics Made Easy” Gaurav Tekriwal - “Maths Sutra” Bill Handley - Speed Math for kids Atul Gupta - The Power of Vedic Maths Testi in italiano per chi vuole appassionarsi sempre di più alla matematica: Libri di magia e gioco 1. Matematicaterapia - Ennio Pers 2. L’ elmo della mente - Ennio Peres 3. Il matematico curioso - Giovanni Filocamo 4. Il matematico continua a curiosare - Giovanni Filocamo 5. Mai più paura della matematica - Giovanni Filocamo 6. Il grande gioco dei numeri - Federico Peiretti 7. Il matematico si diverte - Federico Peiretti 8. Matematica per gioco - Federico Peiretti 9. Enigmi e giochi matematici - Martin Gardner Libri di letture matematiche 10. Il teorema del pappagallo - Hans Magnus Enzensberger 11. Il mago dei numeri - Hans Magnus Enzensberger 12. La formula del professore - Yoko Ogawa Libri di approfondimento 13. La magia della matematica - Arthur Benjamin 14. I numeri magici di Fibonacci - Keith Devlin 15. Il meraviglioso mondo dei numeri - Alex Bellos 16. 1089 e altri numeri magici - David Acheson 17. Dare i numeri - Chris Waring 18. Se 2 + 2 non fa 4. - Kartan Poskitt 147


19. 20. 21. 22. 23.

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La gioia dei numeri - Steven Strogatz La piccola bottega delle curiosità matematiche - Ian Stewart Il museo dei numeri - Piergiorgio Odifreddi Non si può dividere per zero - Adrian Paenza Il grande romanzo della Matematica - Mickael Launary

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