FUNCIONES CUADRATICAS
♣ Definición
♣ Representación gráfica
♣ Estudio de los parámetros de la función y su relación con el gráfico
♣ Dominio e Imagen
♣ Gráfico de funciones cuadráticas
Definición
Una función cuadrática (o función de segundo grado) es una función polinómica de grado 2, es decir, el mayor exponente del polinomio es x elevado a 2 (x2).
Su forma general es:
��(��)=����2 +����+�� ��������������≠ 0
Son a, b y c escalares, valores constantes o denominados, que también se denominan los coeficientes de la función
La forma estándar o canónica de la función cuadrática es
��(��) = ��(�� ℎ)2 + ��
ℎ = (��/(2��)),�� = ��(ℎ) = ��( (��/(2��)) donde (h, k) es el vértice de la función.
Su representación gráfica es una parábola vertical
Existen dos elementos fundamentales en la parábola que definen como es esta.
1.- El eje de simetría, que es una recta vertical que parte la parábola en dos ramas iguales
2.- El vértice, es el punto de interseccion de la parábola con el eje de simetría.
Por ejemplo:
Sea la función ��(��) = ��2 + 3�� 2 , donde �� = 1 y es el coeficiente principal, �� =3 y es el coeficiente lineal, y �� = 2 y es el término independiente.
Su gráfico se muestra acontinuación:
�� =��(��)
Observamos que la gráfica �� =��(��) es una parábola.
Estudio de los parámetros de la función y su relación con el gráfico
1.- Concavidad: debemos analizar el coeficiente principal a. Si �� > 0, tendrá concavidad positiva (las ramas de la parábola se abrehacia arriba). Si �� <0, tendrá concavidad negativa (las ramas de la parábola se abre hacia abajo).
2.- Vértice (xv; yv): como analizamos anteriormente en la forma canónica, el vértice estará dadopor ���� = (��/(2��),���� = ��(����) = ��( (��/(2��))⇒ V =(-(b/(2a); f(-(b/(2a)))
3.- Eje de simetría: es una recta vertical que pasa por el vértice y se define x = xv
4.- Raíces: son las intersecciones con el eje x. Se resuelve mediante la fórmula de Bhaskara: ��1;2 = ��±√��2 4���� 2��
El discriminante de la fórmula (Δ = b2 - 4ac) determinará la cantidad de raíces: Si Δ > 0 entonces hay dos raíces reales, si Δ = 0 entonces hay 1 raíz real, si Δ < 0 entonces no hay raíces reales.
5.- Ordenada al origen: es la intersección de la gráfica con el eje y. Se resuelve evaluando a la función en cero: ��(0) = ��02 + 0�� + �� ⇒ ��(0) = ��
La ordenada al origen es el término independiente.
Dominio e Imagen
El dominio de las funciones cuadráticas son todos los números reales: ������(��) = ℝ
La imagen o rango de las funciones cuadráticas estará determinada por el coeficiente principal y por la coordenada y del vértice:
♣ Si, �� > 0 ⇒ ��(��) ≥ ��( ��/(2��));
Por lo tanto, ����(��) = [��( ��/(2��)); +∞]
♣ Si, �� < 0 ⇒ ��(��)≤ ��( ��/2��);
Por lo tanto, ����(��) =[ ∞; ��( ��/(2��))]
Gráfico de funciones Cuadráticas
Sea f(x) = Determinar la concavidad, el vértice, el eje de simetría, las raíces y la ordenada al origen. Luego dar el dominio y la imagen de la función.
- Concavidad negativa porque �� = 1/2 es menor que cero.
- Vértice: ���� = ( 3)/(2⋅( 1/2)) ⇒ ���� = 3; ���� = ��(−3),���� = −1/2(−3)2 − 3(−3) − 5/2 ⇒ ���� = 2
Por lo tanto, �� = ( 3; 2)
- Eje de simetría, �� = ���� ⇒ �� = 3
- Raíces: ��(��) = 0 (aplicar fórmula de Bhaskara).
- Ordenada al origen ��(0)=
- Dominio ������(��) = ℝ
- Imagen ����(��) = ( ∞; 3]
Referencias bibliográficas
♣ Openstax - Rice University. Tiene una Licencia Creative Commons Attribution 4.0, en la cual yo puedo compartir, remezclar y ganar dinero, siempre y cuando mencione al autor. Este tipo de licencia es más permisiva.
♣ UAPA - UNAM. Tiene una Licencia Creative Commons Atribución-NoComercialSinDerivar 4.0, en la cual yo puedo compartir, siempre y cuando mencione al autor, no haga remezclas, no gande dinero y mantenga la misma licencia. Este tipo de licencia es más restrictiva.
Openstax (s/f), Precálculo 2ed: Funciones cuadráticas. Disponible en: 3.2 Funciones cuadráticas - Precálculo 2ed | OpenStax (05/07/2023).
B@UNAM (s/f), Ecuaciones cuadráticas. Disponible: https://uapas2.bunam.unam.mx/matematicas/ecuaciones_cuadraticas/ (05/07/2023).