Mecánica para ingenieros: cinemática by Editorial Pontificia Universidad Javeriana

Carlos Eduardo Muñoz Rodríguez

Estos apuntes son el resultado de la experiencia docente con cursos de dinámica realizados con estudiantes de pregrado de ingeniería industrial e ingeniería mecánica. Se trata de un material de trabajo que puede servir de complemento a colegas y a estudiantes que pueden emplearse como una guía para la introducción a la cinemática y a las vibraciones mecánicas. Se han iniciado con la descripción del movimiento de una partícula, presentando una conceptualización encaminada a abordar, en su orden, el modelamiento de movimientos en tres, dos y una dimensión, empleando sistemas de coordenadas. La razón es que, por su vivencia, los alumnos están más familiarizados con el movimiento tridimensional. Luego se considera la descripción del movimiento plano de cuerpos rígidos, a partir nuevamente del establecimiento de un conjunto de conceptos básicos relacionados con los mecanismos. Sobre esta base se abordan las opciones de cálculo de velocidades y aceleraciones considerando situaciones paramétricas, movimientos relativos, centros instantáneos de rotación y generalizando con el movimiento de una partícula móvil dentro de un sistema en traslación y rotación. A continuación, se realiza una breve descripción del movimiento en tres dimensiones de cuerpos rígidos y finalmente se efectúa una introducción a la temática de las vibraciones mecánicas, como un posible elemento a considerar debido al efecto del movimiento del cuerpo de análisis o del cuerpo de referencia. El modelamiento teórico se ha acompañado de un conjunto de ejercicios que se presentan por secciones al final de cada capítulo. Buena parte de ellos se han relacionado con posibles contextos de aplicación y se ha procurado brindar en algunos de ellos más información de la requerida para resolver la problemática y en otros quizás faltando datos; lo anterior, con la intención de que los estudiantes se vuelvan más analíticos, sepan seleccionar la información requerida, se preparen para resolver problemas en su vida profesional y, sobre todo, para romper el paradigma que todos los datos suministrados se deben emplear para solucionar un caso. Se han incluido algunos ejercicios resueltos para ilustrar los conceptos y teoría expuesta, enfatizando en el orden para llegar a la solución.

Carlos Eduardo Muñoz Rodríguez

Mecánica para ingenieros:

Cinemática Mecánica para ingenieros

Apuntes de preparación de clases

9 789587 812169

carlos eduardo muñoz rodríguez realizó estudios de Licenciatura en Física, Ingeniería Mecánica y Maestría en Ciencias. Desde 1979, ha sido docente y directivo, del Departamento de Ingeniería Industrial, Facultad de Ingeniería, de la Pontificia Universidad Javerian. Fue colaborador de la Fundación Universidad de América como docente y director del Departamento de Física. Desde 2017 es profesor asociado del Programa de Ingeniería Industrial de la Universidad El Bosque. Su experiencia docente está relacionada con cursos de física, estática, dinámica, mecanismos, mecánica de materiales, materiales e historia de la ciencia. Su carrera profesional comprende más de 35 años en docencia y administración en educación superior, planeación e implementación curricular y, evaluación y desarrollo en procesos de calidad en educación universitaria en ingeniería. La Pontificia Universidad Javeriana en 1994 le concedió la distinción de Profesor Titular de Dinámica y en el 2011 fue condecorado con la Cruz San Francisco Javier por su trayectoria. En el 2014 recibió el reconocimiento de mejor profesor de la Facultad de Ingeniería de la Pontificia Universidad Javeriana y la Orden al Mérito Vicente Pizano Restrepo, otorgada por la Asociación de Ingenieros Javerianos.

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M E C Á N I C A PA R A I N G E N I E R O S : C I N E M ÁT I C A

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C A R L O S E D UA R D O M U Ñ O Z R O D R Í G U E Z

M E C Á N I C A PA R A I N G E N I E R O S : C I N E M ÁT I C A Apuntes de preparación de clases

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© reservados todos los derechos Pontificia Universidad Javeriana, Facultad de Ingeniería © Carlos Eduardo Muñoz Rodríguez Primera edición Bogotá, D. C., marzo de 2018 isbn: 978–958–781–215–2 Número de ejemplares: 300 Impreso y hecho en colombia Printed and made in Colombia Editorial Pontificia Universidad Javeriana Carrera 7.a n.o 37-25, oficina 1301 Edificio Lutaima Teléfono: 320 8320 ext. 4752 www.javeriana.edu.co/editorial editorialpuj@javeriana.edu.co Bogotá, d. c.

corrección de estilo: Ella Suárez diseño de pauta LATEX, diagramación y diseño de cubierta: Andrés Conrado Montoya Acosta impresión: Javegraf

Pontificia Universidad Javeriana | Vigilada Mineducación. Reconocimiento como Universidad: Decreto 1297 del 30 de mayo de 1964. Reconocimiento de personería jurídica: Resolución 73 del 12 de diciembre de 1933 del Ministerio de Gobierno

Muñoz Rodríguez, Carlos Eduardo, autor Mecánica para ingenieros: cinemática. Apuntes de preparación de clases / Carlos Eduardo Muñoz Rodríguez. — Primera edición. — Bogotá: Editorial Pontificia Universidad Javeriana, 2018. 246 páginas: ilustraciones, fotos a color, gráficas; 28 cm Incluye referencias bibliográficas (páginas 243-244). isbn: 978–958–781–215–2 1. Ingeniería mecánica. 2. Cinemática. 3. Movimientos mecánicos. 4. Procesos de manufactura. 5. Vibración. I. Pontificia Universidad Javeriana. Facultad de Ingeniería. cdd 621 edición 21 Catalogación en la publicación – Pontificia Universidad Javeriana. Biblioteca Alfonso Borrero Cabal, s. j.

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05/04/2018

Prohibida la reproducción total o parcial de este material, sin autorización por escrito de la Pontificia Universidad Javeriana.

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Índice general Agradecimientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Nota explicativa

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 Cinemática de una partícula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1 Conceptos cinemáticos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2 Movimiento curvilíneo en el espacio tridimensional empleando algunos sistemas coordenados

. . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3 Transformación de coordenadas

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Cinemática plana de cuerpos rígidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

111

1.4 Movimiento curvilíneo en el espacio bidimensional 1.5 Movimiento en el espacio unidimensional 1.6 Casos de análisis

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

112

2.2 Tipos de movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

115

2.3 Diagramas y gráficos de posición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

118

2.4 Algunos métodos de análisis

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

120

2.5 Método de movimientos relativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

154

2.6 Análisis cinemático del movimiento de una partícula móvil en un sistema en traslación y rotación

. . . . .

165

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

175

2.1 Conceptos preliminares

2.7 Casos de análisis

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

193

3.1 Tipos de movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

193

3.2 Rotaciones

194

3 Cinemática tridimensional de un cuerpo rígido

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.3 Determinación de la velocidad y de la aceleración

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

197

3.4 Casos de análisis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

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índice general

4 Vibraciones mecánicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 4.1 Análisis cinético de una vibración libre de un cuerpo material

. . . . . . . . . . . . . . . . .

4.2 Análisis cinético de una vibración forzada con amortiguamiento viscoso 4.3 Oscilaciones forzadas de un punto material

. . . . . . . . . . . . . .

216

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

4.4 Oscilaciones forzadas no amortiguadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 Casos de análisis

210

231

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

Obras de consulta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

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Agradecimientos Es importante mencionar y expresar reconocimientos a varios de los estudiantes que de manera generosa y entusiasta han retroalimentado y efectuado varias sugerencias muy útiles. En particular se agradece a los ingenieros Diana Hernández, Fredy Leonardo Maldonado Ortiz y Jimmy Enrique Castillo Delgado, quienes en calidad de estudiantes realizaron importantes contribuciones. De la misma manera, a María Patricia Medina Correa por sus aportes iniciales en diagramación y a Juan Carlos Barbosa Herrera por sus excelentes comentarios de revisión de estilo en el manuscrito. También los integrantes de la Editorial Javeriana por sus permanentes aportes y sugerencias. Un agradecimiento especial al Departamento de Ingeniería Industrial de la Pontificia Universidad Javeriana de Bogotá, a los doctores Martha Patricia Caro Gutiérrez, Lope Hugo Barrero Solano, Leonardo Augusto Quintana Jiménez y Daniel Ricardo Suárez, por su confianza, orientaciones y apoyo continuo. A los sacerdotes Álvaro González Sánchez (q. e. p. d.), Antonio José Sarmiento Nova y Sergio Bernal Restrepo (q. e. p. d.), de la Compañía de Jesús, por su disposición y pleno apoyo a esta labor. Finalmente, a la Pontificia Universidad Javeriana por haber brindado la oportunidad de ser miembro de su institución.

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Introducción Cuando se haya terminado esta introducción al curso de Cinemática, se debe estar en capacidad de contextualizar situaciones de movimiento en procesos de manufactura, las partes que los conforman y su interrelación. Antes de iniciar formalmente el contenido del curso, es conveniente hacer unos comentarios introductorios con la intención de brindar una perspectiva más amplia. En la industria de la producción, la conversión de las materias primas en productos terminados se logra por medio de los procesos de manufactura. La manufactura es el proceso de coordinación de personal, herramientas y máquinas para transformar materias primas en productos útiles para la sociedad. Hoy en día, tal como en los inicios de la manufactura, los productos continúan fabricándose, principalmente, con base en las habilidades individuales y la tecnología empleada. La calidad de la manufactura depende del acabado y cuidado por parte de los operarios. El desarrollo de nuevas máquinas y nuevos métodos de trabajo han mejorado la calidad de los productos, ha incrementado su diversidad, ha reducido los costos de producción y ha aumentado el volumen. Lo anterior también ha permitido el desarrollo de nuevos materiales. Ahora bien, si se busca una producción eficiente, económica y competitiva, todos los recursos se deben organizar, controlar y coordinar con cuidado. Esto debe resultar en una organización integral, capaz de lograr una producción competitiva en términos de calidad y rentabilidad. Por ello, es importante entender que las actividades de manufactura, aunque sean de naturaleza especializada, son parte integral de un sistema mayor: la compañía, la organización o la empresa. Existen muchos procesos de manufactura, como los de conformado, los de ensamble y los de acabado. Pero, ¿dónde tienen lugar estos procesos? Ellos se realizan en las plantas industriales. A manera de ejemplos, las figuras 0.1 a 0.4 ilustran varios casos particulares de plantas industriales de producción. Allí se tendrán necesidades especiales, por ejemplo: líneas de producción bien diseñadas, pisos resistentes, instalaciones posiblemente dotadas de maquinaria, montacargas y grúas especiales, entre otros, para transformar y transportar materiales o productos y sistemas de seguridad. En algunas de estas plantas industriales suelen emplearse grúas de puente de viga doble y corredera elevada, las cuales proporcionan mayor espacio, ya que los controles corren sobre rieles montados en la parte superior de las vigas de puente. La viga doble permite una buena distribución de carga. 7 i

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introducción

Figura 0.1. Planta de producción de muebles y accesorios. Fuente: Fotolia 57795 Subscription L.

Figura 0.2. Planta de producción del sector farmacéutico. Fuente: Fotolia 1758607 Subscription L.

Figura 0.3. Planta de producción de una siderúrgica. Fuente: Fotolia 306816 Subscription L.

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i introducción

Figura 0.4. Planta de producción de alambre. Fuente: Fotolia 759902 Subscription L.

De lo visto se encuentra una variable, entre otras más, que debe considerarse para permitir que se efectúen los procesos y está relacionada con el movimiento de materia prima y materia en proceso, a través de la utilización de máquinas y mecanismos. Por lo tanto, desde la perspectiva de la formación en ingeniería, conviene poseer nociones sobre el movimiento, sus formas de generación y transmisión, así como sobre sus aplicaciones. Teniendo en cuenta que lo que interesa es el movimiento, desde la perspectiva de la ingeniería conviene recordar que la mecánica es una rama de la ciencia física que estudia el estado de reposo o de movimiento de los cuerpos bajo la acción de las fuerzas. La mecánica, para su estudio en la ingeniería, se ha dividido en tres partes: la estática, que trata del equilibrio de los cuerpos; la dinámica, que se encarga de los cuerpos en movimiento, y la mecánica de materiales, que se relaciona con el comportamiento de los cuerpos bajo la acción de las fuerzas internas. Por su parte, la dinámica está constituida básicamente por la cinemática, que estudia el movimiento sin hacer referencia a las fuerzas que lo originan, y por la cinética, que establece la conexión entre la acción de las fuerzas externas que se ejercen sobre los cuerpos y los movimientos resultantes. La mecánica es la más antigua de las ciencias físicas. Los escritos iniciales que se registran acerca de la estática son los de Arquímedes, relativos al principio de la palanca y al principio del empuje. La dinámica se origina en el Renacimiento, con los trabajos de Galileo Galilei sobre la caída de los cuerpos y el movimiento de objetos sobre un plano inclinado. Avances posteriores se deben a Christiaan Huygens, con la invención del reloj de péndulo. Isaac Newton formuló con precisión las leyes del movimiento y la ley de gravitación universal. Después de Newton, aportaron importantes contribuciones Leonard Euler, Jean le Rond d‘Alembert, Joseph-Louis Lagrange, Pierre-Simon Laplace, Louis Poisson, Gustave-Gaspard Coriolis, Albert Einstein, entre otros. La aplicación de la dinámica en el campo de la tecnología es más reciente, ya que está relacionada con la aparición de máquinas y estructuras. Los desarrollos tecnológicos actuales que implican movimiento, obviamente, se basan en principios dinámicos. Algunos de ellos se relacionan con sistemas de mando automático, compresores, bombas, turbinas, estructuras móviles, estructuras fijas sometidas a choques, mecanismos, grúas, máquinas, herramientas,

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introducción bandas transportadoras, elevadores de cangilones, estribas, ascensores, sistemas de elevación, sistemas de ventilación, etc. Con el propósito de exponer otras situaciones que involucran movimiento, se presentan algunas ilustraciones adicionales de algunos sistemas utilizados en la industria, acompañados de un breve comentario. Los ejemplos seleccionados se muestran a continuación. La figura 0.5 muestra una carretilla de horquilla o montacargas que se emplea para transportar, subir o bajar cajas.

Figura 0.5. Carretilla de horquilla o montacargas. Fuente: Fotolia 8550752 Subscription L.

Las figuras 0.6 e 0.7 muestran bandas transportadoras. Usualmente, estas se emplean para el manejo de todo tipo de materiales. Pueden encontrarse en las industrias alimenticia, textil, agropecuaria, de frutas, de hortalizas, cafetera, etc. La figura 0.8 muestra un barco carguero ubicado en un puerto equipado con plumas para cargar o descargar contenedores.

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i introducción

Figura 0.6. Planta productora de cemento. Fuente: Fotolia 1638359 Subscription L.

Figura 0.7. Banda transportadora. Fuente: Fotolia 12028119 Subscription L.

Figura 0.8. Carguero con plumas en un puerto. Fuente: Fotolia 931521 Subscription L.

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Nota explicativa Cada una de las unidades del curso incluye en las primeras páginas un enunciado de sus objetivos. La lista de objetivos es una guía de lo que aprenderá en cada unidad y una indicación de lo que debe esperar en los contenidos de las evaluaciones y exámenes. Posteriormente, encontrará secciones de estudio donde se presentan los contenidos formales del curso, acompañados de breves cuestionamientos. Se debe tratar de responder a estas preguntas y hacer los ejercicios propuestos, pero no se debe gastar demasiado tiempo en cada inquietud; para ellas, unos pocos minutos es suficiente. No se preocupe si no puede responderlas, pueden anotarse todas las dudas por separado y manifestárselas al profesor.

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1 Cinemática de una partícula Objetivos Cuando se haya terminado el trabajo de esta unidad, se debe ser capaz de: q

Definir los conceptos de marco o sistema de referencia, movimiento, intervalo de tiempo, cuerpo rígido, cuerpo deformable, fluido, partícula o punto material, vector, escalar, posición, desplazamiento, distancia recorrida, velocidad, rapidez y aceleración.

Describir los sistemas: rectangular (x; y; z), cilíndrico (r; ; z), esférico (R; ; ), radial-transversal (r; ) y normal-tangencial (n-t), para determinar variables cinemáticas.

Resolver un conjunto de problemas en tres, dos o una dimensión, seleccionando el sistema de coordenadas más conveniente.

Establecer los diversos pasos que deben seguirse o pueden darse para solucionar un problema cinemático específico.

Evaluar propuestas de alternativas de solución a problemas de ingeniería que involucren movimiento de una partícula desde el punto de vista de la cinemática.

La descripción del movimiento constituye una alternativa para el inicio de su estudio, es decir, dar algunas de sus características sin entrar a establecer sus posibles causas. Específicamente en ingeniería, la descripción de un movimiento suele darse empleando un conjunto de términos que, desde la perspectiva de la física, se basa en el uso de otros conceptos, como sistema de referencia, posición, desplazamiento, velocidad, aceleración y duración o intervalo de tiempo. Usualmente, una descripción de esta forma se enmarca en una rama de la mecánica que se denomina cinemática. Por otra parte, cuando se aborda el análisis de las causas del movimiento, con relativa frecuencia se involucran conceptos de naturaleza cinemática, lo cual implica su manejo adecuado. En esta unidad, y en las dos siguientes, se trabajará en torno al empleo y determinación de cantidades cinemáticas, las cuales, generalmente, cambiarán a medida que pasa el tiempo. Por lo tanto, para abordar el tratamiento de esta unidad se ha preferido partir de un repaso de algunos de los conceptos de mayor uso. El propósito es que el lector, desde el comienzo, precise su significado y lo involucre como lenguaje vital de la unidad.

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cinemática de una partícula Una vez definidos los conceptos básicos, se centrará primero la atención en el movimiento tridimensional, empleando para ello la opción de uso de sistemas coordenados. Entre otros se considerarán tres de ellos: el rectangular, el cilíndrico y el esférico. Para cada uno de ellos se establecerán, en primera instancia, las características propias de cada sistema, para luego desarrollar, paso a paso, formas concretas para determinar en su orden, la posición, la velocidad y la aceleración. Cubierto el análisis tridimensional, se considerará el movimiento en dos dimensiones, basado también en el empleo de sistemas coordenados; sin embargo, los sistemas descritos en el tratamiento para tres dimensiones serán la fuente primaria del análisis. Luego se estudiarán los movimientos acelerados dependientes de una o dos variables en un movimiento rectilíneo. Aquí se emplearán algunos apartes del cálculo integral y de las ecuaciones diferenciales, así como el enfoque basado en gráficos. Por último, se considerarán algunas situaciones donde el movimiento de uno de los elementos de un conjunto incide directamente en el movimiento de otros. Como ayuda metodológica para la comprensión, aplicación, análisis, síntesis y evaluación de casos concretos, se presentará un conjunto de ejercicios. Desde este momento se le insta y se le alienta para que los realice a conciencia.

1.1 Conceptos cinemáticos básicos 1.1.1 conceptos generales Para iniciar esta unidad se considerarán algunos conceptos y sus definiciones, ya que son fundamentales para el estudio de la dinámica y deben comprenderse muy bien desde el principio. Estos son: q

Espacio.

Marco o sistema de referencia.

Movimiento.

Intervalo de tiempo.

Cuerpo rígido.

Cuerpo deformable.

Fluido.

Partícula o punto material.

Vector.

Escalar.

1.1.1.1 espacio Para los propósitos de esta temática, se considerará aquí el espacio como la región geométrica tridimensional donde tienen lugar los sucesos. 1.1.1.2 marco o sistema de referencia La ubicación de los objetos en el espacio se determina con relación a cierto sistema geométrico de referencia, mediante medidas lineales y angulares. El sistema de referencia básico (figura 1.1) es el sistema inercial primario o sistema astronómico de referencia. Es un sistema imaginario de ejes rectangulares que, se supone, no tiene traslación o rotación en el espacio. Ahora bien, debe tenerse presente que las leyes de la mecánica de Newton son válidas Figura 1.1.

para este sistema de referencia mientras las velocidades que intervengan sean despreciables

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conceptos cinemáticos básicos

frente a las de la propagación de la luz; para velocidades del orden de la luz, hay que trabajar con la teoría de la relatividad. Las mediciones realizadas frente a este sistema de referencia se han denominado absolutas, y este sistema de referencia se considera fijo en el espacio. Si se piensa en un sistema de referencia colocado sobre la superficie terrestre, este tendría un movimiento de rotación debido al giro de la Tierra sobre su eje y otro de traslación, ocasionado por el recorrido de la Tierra sobre su órbita alrededor del sol. Bajo estas condiciones, este sistema de referencia no es inercial y, en consecuencia, habría que corregir las ecuaciones fundamentales de la mecánica para las medidas tomadas con respecto al sistema de referencia ubicado en la Tierra. A pesar de lo anterior, en muchos problemas técnicos de máquinas y sistemas móviles que permanecen sobre la superficie terrestre, las correcciones son despreciables. Para estos problemas se pueden aplicar las leyes de Newton, con las medidas relativas a la Tierra. 1.1.1.3 movimiento Se considerará que hay movimiento cuando un objeto cambia su ubicación por intermedio de la modificación permanente de su posición a través del tiempo, en un sistema de referencia. 1.1.1.4 intervalo de tiempo Se tomará un intervalo de tiempo como una medida de duración de un suceso. 1.1.1.5 cuerpo rígido Se asumirá por cuerpo rígido aquel que no tiene deformación apreciable. También se podrá decir que es aquel en el cual la distancia entre cualquier par de puntos pertenecientes a este no cambia apreciablemente. En la figura 1.2 se ilustra un cuerpo rígido de forma arbitraria, al cual se le ha hecho un corte transversal. Se han seleccionado dos puntos arbitrarios A y B, y se ha denotado como AB la distancia entre ellos. A manera de ejemplos ilustrativos, en la figura 1.3 se muestran algunos casos donde intervienen uno o varios cuerpos rígidos. Es importante mencionar que la condición de cuerpo rígido es ideal, ya que todos los cuerpos reales cambian de forma hasta cierto punto cuando se les somete a fuerzas. Sin embargo, cuando dichos cambios son despreciables frente a las dimensiones del cuerpo, será permisible la hipótesis de rigidez. En otros términos, en el caso de un cuerpo rígido se despreciará la diferencia de configuración existente entre sus estados inicial y posterior. 1.1.1.6 cuerpo deformable En oposición a lo dicho en el numeral anterior, se considerará un cuerpo deformable aquel

Figura 1.2.

en el que la distancia entre dos puntos cualesquiera que pertenezcan a él no permanece constante. También se puede decir que debe considerarse deformable al cuerpo cuyas deformaciones y esfuerzos no puedan despreciarse en el momento de examinar los efectos que hayan tenido las fuerzas aplicadas exteriormente sobre él. 1.1.1.7 fluido Es una sustancia incapaz de resistirse a la deformación. Es aquella que ofrece una resistencia pequeña o nula a las fuerzas cortantes. Es una sustancia o un medio continuo que se deforma incesablemente en el tiempo ante la aplicación de una fuerza tangencial, sin importar su magnitud. Se denomina así al sistema de partículas que, a diferencia de los sólidos rígidos, no está unido rígidamente y puede moverse con cierta libertad unas partículas respecto de las Figura 1.3.

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cinemática de una partícula otras. Bajo estas condiciones, esto le permite al sistema ceder a cualquier fuerza tendiente a alterar su forma, con lo que fluirá adaptándose a la forma del recipiente que lo contenga. 1.1.1.8 partícula o punto material En una primera definición, se denomina partícula a un cuerpo de dimensiones despreciables o muy pequeñas comparadas con las del entorno o medio en la cual se encuentra. También es frecuente considerar una partícula como un elemento muy pequeño de un cuerpo. Así mismo, cuando las dimensiones de un cuerpo no influyen en la descripción de su movimiento, puede tratarse como si fuera una partícula. Ante todo, debe tenerse presente que el uso de la palabra partícula no implica que su estudio se limite a pequeños objetos, sino que puede extenderse a situaciones de movimientos de cuerpos posiblemente grandes. Cuando los cuerpos no tengan movimiento de rotación, podrán ser tratados como partículas, sin importar su tamaño. 1.1.1.9 vector Un vector es una cantidad que queda especificada mediante una magnitud o valor y mediante una dirección particular en el espacio. Dada su importancia, se hace hincapié en que, en el transcurrir del tiempo, una cantidad vectorial podrá cambiar de tamaño o valor manteniendo constante la dirección, podrá modificar su orientación conservando su tamaño o, finalmente, podrá cambiar su valor y dirección simultáneamente. En cualquiera de estos tres casos, el vector no será una cantidad constante, es decir, será variable. 1.1.1.10 escalar Muchas cantidades físicas quedan completamente especificadas por una magnitud o valor. Dichas cantidades se llaman escalares.

1.1.2 conceptos relativos al movimiento de una partícula 1.1.2.1 posición Considérese una partícula P ubicada en un lugar del espacio tridimensional dentro del sistema de referencia (figura 1.4). Respecto al origen O, la partícula se encuentra a cierta distancia y en determinada dirección. Los datos anteriores son indispensables para localizar la partícula P . Por consiguiente, este dato doble es de carácter vectorial y se denominará vector posición o simplemente posición.

Figura 1.4.

Se representará esta cantidad con una flecha que sale de O y llega a P , y se denotará #— como R (figura 1.5). 1.1.2.2 trayectoria Al moverse la partícula por el espacio, trazará una línea usualmente invisible que representa el conjunto de puntos por donde ha pasado. A esta línea se le denomina trayectoria. En la figura 1.6 se ha trazado un posible camino seguido por la partícula móvil. La trayectoria es la línea que resulta al unir los extremos de los vectores de posición. 1.1.2.3 desplazamiento #— #— Considérense dos posiciones, R1 y R2 , con respecto a O de la partícula (figuras 1.7 y 1.8). Obsérvese que ellas se diferencian: en la primera, P se encuentra en .100 m; 100 m; 100 m/; mientras que en la segunda está en .200 m; 750 m; 150 m/. En otras palabras, la partícula ha #— #— cambiado de posición. Como R1 y R2 son las posiciones, se denominará desplazamiento al

Figura 1.5.

cambio de posición (figura 1.9). Se determinará el desplazamiento comparando las posiciones,

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conceptos cinemáticos básicos es decir:

#— R2

#— R1 D Desplazamiento #— #— #— R2 R1 D R

(1.1)

#— Donde R representa el desplazamiento.

Figura 1.6.

Figura 1.7.

1.1.2.4 distancia recorrida A la longitud de la trayectoria seguida entre dos puntos en consideración se le denominará distancia o espacio recorrido. En la figura 1.9 se observa que la magnitud del desplazamiento es menor o, a lo sumo, igual a la distancia recorrida. Figura 1.8.

1.1.2.5 velocidad media Frecuentemente, hay interés en la relación entre el cambio de una variable o cantidad y el intervalo de tiempo necesario para hacerlo.

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cinemática de una partícula

Figura 1.9.

Una de estas relaciones es la correspondiente al cambio de posición y el intervalo de tiempo empleado para ello. Se denominará velocidad media a este cociente y se representará #— #— con # m o # . Entonces se tiene que: Velocidad media D

Cambio de posición Intervalo de tiempo necesario para el cambio de posición

Velocidad media D

Desplazamiento Intervalo de tiempo necesario para el cambio de posición #— R2 #— #m D t2

#— #— R R1 D t1 t

(1.2)

#— Obsérvese que la dirección en la cual apunta la velocidad media, # m , es la misma que la #— del desplazamiento R. 1.1.2.6 velocidad instantánea También es importante saber qué sucede en un lugar determinado de la trayectoria o en un momento particular. Para ello se habla, a nivel temporal, de instantes, que se consideran intervalos de tiempo muy cortos. Un instante es, entonces, un transcurrir tan corto que podría decirse que es cercano a cero. En un tiempo así, el cambio de posición también es muy pequeño. Se representan los #— cambios de posición con d R y los cambios de tiempo por dt . En las figuras 1.10 y 1.11 se ha considerado un punto P cualquiera de la trayectoria por donde pasa la partícula móvil; aquí #— la posición de la partícula es R y se tiene en el momento t. Figura 1.10.

Un instante después dt, cuando la partícula está pasando por el punto P 0 , la posición #— #— será R C d R. Casi no se aprecia el cambio de posición. Para visualizarlo se colocarán en la figura 1.12 las dos posiciones anteriores.

#— Se define la velocidad instantánea, representada por # , como el límite del cociente entre #— el desplazamiento . R/ y el intervalo de tiempo . t/, cuando este último tiende a cero; es decir: #— R2 #— # D lKım t2 !t1 t2

#— #— #— R1 R dR D lKım D t!0 t t1 dt

Para simplificar la notación, se representará la variación de una cantidad respecto al tiempo colocando un punto encima de la respectiva cantidad. Entonces,

Figura 1.11.

#— #— d R #— P #D DR dt

(1.3)

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conceptos cinemáticos básicos

Figura 1.12.

Esta nueva cantidad estará dirigida en la misma dirección del cambio infinitesimal de la #— posición d R, el cual tiende a quedar sobre la trayectoria (figura 1.13). 1.1.2.7 rapidez media Se puede también establecer relación entre la distancia recorrida y el intervalo de tiempo empleado. A este cociente lo llamamos rapidez media y lo representaremos con Rapm . Entonces, si l es la distancia recorrida y t el intervalo de tiempo, Distancia recorrida Intervalo de tiempo l Rapm D t Rapm D

Figura 1.13.

(1.4)

1.1.2.8 rapidez o celeridad Se denomina rapidez o celeridad a la magnitud o valor de la velocidad instantánea. Esta #— cantidad será representada por # o por k # k. 1.1.2.9 aceleración media Al considerar la velocidad instantánea en diferentes puntos de la trayectoria curvilínea seguida por la partícula, se ve que ella cambia continuamente de dirección y que también puede hacerlo en tamaño. A la relación entre el cambio de la velocidad instantánea y el intervalo de tiempo se le denominará aceleración media y será representada por #— a m. Aquí,

#— #2 #— am D t2

#— #— #1 # D t1 t

(1.5)

#— #— Donde # 2 y # 1 son las velocidades instantáneas en dos puntos diferentes de la trayectoria, y t2 y t1 son los instantes correspondientes. 1.1.2.10 aceleración instantánea Se denomina aceleración instantánea al límite del cociente del cambio de velocidad instantánea # — # y el intervalo de tiempo t necesario para el cambio. Si #— a es la aceleración instantánea, entonces: #— #— # d# #— P #— a D lKım D D# t !0 t dt

(1.6)

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cinemática de una partícula

1.2 Movimiento curvilíneo en el espacio tridimensional empleando algunos sistemas coordenados En este numeral, a partir de la definición de los conceptos posición, velocidad y aceleración, se describen tres opciones para su determinación. En su orden, primero se trabajará con el sistema rectangular (x, y, z), donde se considerarán tres distancias o longitudes y sus relaciones de cambio respecto al tiempo. Luego se tomará el sistema cilíndrico (r; ; z), en el cual se trabajará con dos distancias (r y z) y con un ángulo representado por . A continuación, se estudiará el sistema esférico (R, , ), considerando dos ángulos ( y ) y una distancia dada por R. Por último, se muestra cómo posiciones, velocidades o aceleraciones, escritas en uno de los anteriores sistemas coordenados, pueden transformarse o darse en otro de estos sistemas considerados. Vale la pena destacar las dos formas básicas que se emplearán para obtener la expresión de la posición, la velocidad o la aceleración: por un lado, la que utiliza vectores unitarios y, por otro, la forma de corchete, que establece por separado la magnitud del vector y su dirección a través de los ángulos directores.

1.2.1 sistema coordenado rectangular A continuación se presenta cómo pueden determinarse posiciones, velocidades y aceleraciones empleando el sistema rectangular (x, y, z). Para ello debe tenerse en cuenta lo siguiente: El origen del sistema está ubicado en todo momento en el lugar donde se encuentra localizado el punto de referencia seleccionado. Este punto de referencia se asume estático en el espacio. El sistema está compuesto por tres rectas perpendiculares entre sí, las cuales reciben el nombre de ejes (figura 1.14).

Figura 1.14.

En este sistema, la ubicación de los ejes depende de quién estudie el movimiento. Debe tenerse en cuenta que usualmente hay libertad para escoger el primero de ellos, a partir del cual se especifican los demás ejes con sus respectivos planos. Sin embargo, deliberadamente o con cierta malicia, es necesaria una adecuada elección para facilitar el análisis del caso que se estudie. A partir de la elección del primer eje, se define el segundo, con el cual debe formar un ángulo recto. El tercer eje es perpendicular a los dos anteriores. Aquí se han efectuado los

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movimiento curvilíneo en el espacio tridimensional empleando algunos sistemas coordenados

giros en el sentido contrario a las agujas del reloj y para cada eje también se indica una dirección positiva o negativa que estará asociada, por ejemplo, con movimientos hacia la izquierda o hacia la derecha, hacia arriba o hacia abajo, etc. Una forma de denominar los ejes es: q

Primer eje: x

Segundo eje: y

Tercer eje: z

Finalmente, se tiene la representación de los ejes juntos con los correspondientes planos formados (figura 1.15).

Figura 1.15.

Cuando se trabaja con sistemas coordenados, se definen vectores sobre cada uno de sus ejes. Estos vectores se denotan de muchas formas, una de ellas es: b i; b j; b k El primero está asociado con el eje x, apunta en dirección positiva, usualmente inicia en el punto de referencia u origen del sistema, y su fin o extremo está sobre cualquier punto del eje x. Los otros dos vectores tienen idéntica ubicación, salvo que están sobre los ejes Cy y Cz, respectivamente. Aquí se usará la notación b x , b y , b z para cada uno de ellos, y su ubicación será la que aparece en la figura 1.16.

Figura 1.16.

Es indispensable recordar que este sistema rectangular está estático, es decir, tanto su origen como sus ejes permanecen fijos en el espacio, manteniendo siempre la misma ubicación. En consecuencia, los vectores unitarios serán constantes tanto en tamaño o magnitud como en dirección u orientación.

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Obras de consulta Bedford, Anthony y Wallace Fowler. Dinamics. Engineering Mechanics. Boston: AddisonWesley, 1995. Bedford, Anthony y Wallace Fowler. Mecánica para ingeniería. Dinámica. México: AddisonWesley Iberoamericana, 1996. Bedford, Anthony y Wallace Fowler. Mecánica para ingeniería. Dinámica. 5a ed. México: Addison-Wesley Iberoamericana, 2008. Beer P. Ferdinand y E. Russell Johnston Jr. Mecánica vectorial para ingenieros. Dinámica. 10a ed. México: McGraw Hill, 2013. Beer P. Ferdinand y E. Russell Johnston Jr. Mecánica vectorial para ingenieros. Dinámica. 9a ed. México: McGraw Hill, 2010. Beer P. Ferdinand y E. Russell Johnston Jr. Mecánica vectorial para ingenieros. Dinámica. 8a ed. México: McGraw Hill, 2007. Beer P. Ferdinand y E. Russell Johnston Jr. Mecánica vectorial para ingenieros. Dinámica. 7a ed. México: McGraw Hill, 2005. Beer P. Ferdinand y E. Russell Johnston Jr. Mecánica vectorial para ingenieros. 5a ed. Madrid: McGraw Hill, 1990. Beer P. Ferdinand y E. Russell Johnston Jr. Mecánica vectorial para ingenieros. 6a ed. Madrid: McGraw Hill, 1998. Beer P. Ferdinand y E. Russell Johnston Jr. Vector Mechanics for Engineers. 5th ed. New York: McGraw Hill, 1988. Beer P. Ferdinand y E. Russell Johnston Jr. Vector Mechanics for Engineers. Statics and Dynamics. 6th ed. New York: McGraw Hill, 1997. Das Braja M., Aslam Kassimali y Sedat Sami. Mecánica para ingenieros. Dinámica. México: Limusa, 1999. Ginsberg, Jerry H. y Joseph Genin. Statics-Dynamics. Hoboken, NJ: John Wiley and Sons, 1977. Hibbeller, R. C. Ingeniería mecánica. Dinámica. 10a ed. México: Pearson, 2004. Hibbeller, R. C. Ingeniería mecánica. Dinámica. 7a ed. México: Prentice Hall, 1996. Huang, T. C. Mecánica para ingenieros. Tomo II: Dinámica. México: Fondo Educativo Interamericano, 1975. Lawden, D. F. Mecánica analítica. Selección de problemas resueltos. México: Limusa, 1974. McGill, David J. y Wilton W. King. Mecánica para ingeniería y sus aplicaciones. Dinámica. México: Grupo Editorial Iberoamericana, 1991. 243 i

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obras de consulta Meriam, J. L. Dinámica. 2a ed. Barcelona: Reverté, 2000. Meriam, J. L. Engineering Mechanics. Statics and Dynamics. Haboken, NJ: John Willey and Sons, 1978. Meriam, J. L. y L. G. Kraige. Dinámica. 3a ed. Barcelona: Reverté, 2000. Myszka, David H. Máquinas y mecanismos. 4a ed. México: Pearson, 2012. Ogata, Katsuhiko. Dinámica de sistemas. México: Prentice Hall Hispanoamericana, 1987. Pytel Andrew y Jaan Kiusalaas. Ingeniería mecánica. Dinámica. 2a ed. México: International Thomson, 1999. Rao, Singiresu S. Vibraciones mecánicas. 5a ed. México: Pearson, 2012. Riley, William F. y Leroy D. Sturges. Dinámica. Bilbao: Reverté, 1996. Shames H., Irving. Mecánica para ingenieros. Dinámica. 4a ed. Madrid: Prentice Hall, 1999. Singer, Ferdinand. Mecánica para ingenieros. Dinámica. 3a ed. México: Harla, 1982. Smith, Charles E. Applied Mechanics. Dynamics. Haboken, NJ: John Willey and Sons, 1976. Southas-Little, Robert W., Daniel J. Inman y Daniel S. Balint. Ingeniería mecánica. Dinámica. México: Gengage, 2008. Steidel, Robert F. An Introduction to Mechanical Vibrations. 2nd ed. Haboken, NJ: John Willey and Sons, 1971.

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Este libro se compuso usando tipos LinuxLibertine & LinuxBiolinum (para el texto) y Math Times Pro 2 (para las matemáticas), con el sistema de composición tipográfica LATEX. Se terminó de imprimir en los talleres de Javegraf en abril de 2018.

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Carlos Eduardo Muñoz Rodríguez

Mecánica para ingenieros:

Cinemática Mecánica para ingenieros

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